RIDEME Volumen 18, Número 3

Revista de Investigación y Divulgación en Matemática
Educativa

Volumen 18, Número 3, Diciembre 2021
NÚMERO ESPECIAL

Cuerpo Académico Enseñanza de las Matemáticas

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA

EDUCATIVA, Volumen 18, Número 3, Diciembre de 2021, es una

publicación cuatrimestral con arbitraje, editada por el Cuerpo

Académico Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Autónoma

de Yucatán, en la Facultad de Matemáticas, Periférico Norte, Tablaje

13615, junto al local del FUTV, Mérida, Yucatán, México, Tel. 999

9423140 al 49. https://intranet.matematicas.uady.mx/rideme.

Editora responsable de este número: Landy Elena Sosa Moguel. Reserva

de Derechos al Uso Exclusivo No. En trámite, ISSN XXXX-XXXX en trámite,

ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor.

Responsable de la última actualización de este número, Landy Elena

Sosa Moguel. Calle 49 x 100 No. 542, Mérida, Yucatán, México. Fecha

de última modificación, 21 de diciembre de 2021.

Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan la
postura de los editores de la publicación.

Se autoriza la reproducción total o parcial de los contenidos de la
revista siempre que sean utilizados sin fines de lucro y citando

adecuadamente la fuente y la dirección electrónica de la publicación.

Revista de Investigación y Divulgación en
Matemática Educativa

Volumen 18, Número 3, Diciembre 2021

Revista cuatrimestral editada en la
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán

Cuerpo Académico Enseñanza de las Matemáticas

DIRECCIÓN EDITORIAL
Dra. Landy Sosa Moguel

Editora en jefe Editores asociados
LEM. Yahaira Zapata Canché Dr. Eric Flores Medrano
Dra. Dinazar Escudero Ávila

COMITÉ EDITORIAL

Br. Areli Canul LEM. Victoria Cardós

Br. Paola Carrillo Br. Jessica Dorantes

P/LEM. José González Br. Juary Lizama
Br. Melissa Montero Br. Itzel Pérez
Br. Antonio Pool
LEM. Ángel Vázquez

COMITÉ CIENTÍFICO

Dr. Luis Cabrera M. en C. Eduardo Canul

Dra. Marcela Ferrari Dra. María García
Dra. Karla Gómez Dra. Judith Hernández
Dr. Javier Ledezma MINE. Alejandro López
M. en C. Luis López Dra. Samantha Quiroz

M. en C. Leslie Torres Dr. David Zaldívar

Impreso en Mérida, Yucatán, México

Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán

COSTO DE RECUPERACIÓN: $10.00

Contenido

Pág.

Artículo de Investigación

Aplicación de una situación didáctica para 2
la enseñanza del cálculo de volumen,
construida mediante la teoría Espacio de
Trabajo Geométrico

Jorge Astudillo Ugalde; Daniela Soto
Soto; Gladys Bobadilla Abarca

Introducción a la derivada mediante 12
rectas tangentes y pendientes

Eduardo Canul Pech

Modelos tácitos y metáforas conceptuales 21
en el estudio del infinito matemático

Tamara Díaz Chang; Elizabeth Hernández 31
Arredondo

La formación y la identidad docente. Un
estudio con profesores de matemáticas de
secundaria

Gabriela Escobedo Garza, Erika García 40
Torres

Componentes del modelo MTSK que se
emplean para atender situaciones
afectivas en el aula

Verónica Aguilar Mendieta Torres

Niveles de sentido estructural de 51
estudiantes de ingeniería en cálculo

Gloria Cancec Murillo; Pablo Flores
Martínez; Ana Montoro Medina

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

Contenido

El conocimiento didáctico en evaluación 57
docente hacia la enseñanza de ecuaciones

María Reyes Escobar; Antonio Moreno 63
Verdejo

El aula de matemáticas gamificada: una
experiencia con estudiantes de secundaria

Miguel Verástegui Gutiérrez

Conocimiento afectivo del profesorado de 71
matemática, las emociones del profesor

Patricia Eva Bozzano 81

Obstáculos epistemológicos en los
profesores de la probabilidad y
estadística

María Martínez Acosta; Alberto Camacho
Ríos; Bertha Sánchez Lujan

Análisis del modelo de autorregulación de 87
Zimmerman en estudiantes de geometría y
trigonometría plana

Erendira Santos Viveros

Artículo de Divulgación

El uso del conocimiento matemático en la 94
cosmovisión mapuche. El caso del tejido

Mapuche

Daniela Soto; Juan Pablo Vargas; Héctor
Silva; Romina Vera; Karina Vilches

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021

Contenido

Propuesta Didáctica 99

Diseño de actividades didácticas con el
uso de simuladores PHET en nivel
secundaria

Arely Rocha García; Miguel Verástegui
Gutiérrez

Un acercamiento a las pruebas de 105
significación con tecnología para
profesores de bachillerato

Francisco Sepúlveda Vega; Ernesto
Sánchez Sánchez

Experiencia de Aula

Articulando investigación con docencia en 112
el aula de matemáticas: el puzle Hands
of Time

Marcos Campos Nava; Agustín Torres
Rodríguez; Víctor Reyes Rodríguez

Reseña del SIME 118

Hacia un modelo para el desarrollo del
pensamiento geométrico analítico en
estudiantes de bachillerato

Relator: Andy Caamal Canché

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

Contenido 121

Noticias y Eventos
Noticias
Tendencia
Trabajos de titulación

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021

Nota del Editor

Estimado lector,

En esta edición de la revista, presentamos un número
especial de la RIDEME, con memorias del Segundo
Encuentro Virtual: La investigación y el Aula de
Matemáticas, organizado por miembros del proyecto
Matemática Educativa para Educadores de Matemáticas
(MatEduMat). Algunos trabajos de este evento que podrá
leer en este número son artículos de investigación, de
divulgación y propuestas didácticas relacionadas con la
enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Especialmente
en las propuestas, los autores intentaron articular teoría,
práctica y tecnología.

Desde números anteriores, se ha enfatizado en las demandas y transformaciones que en
la práctica docente han tenido lugar por las clases virtuales a raíz de la pandemia. Sin
embargo, cada vez estamos más cerca de regresar, en mayor medida, al aula presencial
en la cual se debe estar preparado para nuevos retos académicos, laborales, sociales y
de salud. Por lo tanto, los docentes requieren herramientas que les permitan seguir
mejorando en su quehacer educativo con nuevas perspectivas de aprendizaje
matemático, clases adaptadas a las necesidades del aula/escuela/docentes/alumnos,
clases híbridas, la atención de deficiencias en la comprensión de conceptos
matemáticos, entre muchas otras cosas.

Con el objetivo de orientar y proporcionar al lector información y herramientas para
apoyar su labor docente, en este número especial presentamos artículos acerca de la
utilización de software en el aula, usos de la matemática en diferentes contextos,
propuestas didácticas, modelos matemáticos, estudios sobre el profesor, entre muchas
otras temáticas.

Directora editorial y editores

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 1

Artículo de Investigación

APLICACIÓN DE UNA SITUACIÓN
DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DEL
CÁLCULO DE VOLUMEN, CONSTRUIDA
MEDIANTE LA TEORÍA ESPACIO DE
TRABAJO GEOMÉTRICO
Jorge Astudillo Ugalde, Daniela Soto Soto y
Gladys Bobadilla
Abarca. [email protected],
[email protected],
[email protected]
Universidad de Santiago de Chile.
Santiago, Chile.

Resumen

En la presente investigación se diseñó situaciones didácticas a partir de la
teoría educacional de Kuzniak "El Espacio de Trabajo Geométrico", esta
conlleva contenidos geométricos de enseñanza básica. La idea fundamental de
la situación de aprendizaje es estimular las génesis, que son una de las
componentes de la teoría. La manera de validar el instrumento de enseñanza
fue a través de la metodología de la "Ingeniería Didáctica", que está compuesta
de varias fases, en donde una de las principales, será la ejecución del material
en estudiantes de 8° básico de un colegio particular subvencionado ubicado en
la comuna de Maipú, Santiago de Chile.

Abstract

In the present work, a didactic situation was designed based on Kuzniak's
educational theory "The Geometric Work Space", this entails basic teaching
geometric content. The fundamental idea of the learning situation is to stimulate
genesis, which are one of the components of the theory. The way to validate the
teaching instrument was through the methodology of "Didactic Engineering",
which is composed of several phases, where one of the main ones will be the
execution of the material in 8th grade students of a private school subsidized
located in the commune of Maipu, Santiago of Chile.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 2

Artículo de Investigación

Problema de investigación

La tradición en la enseñanza de la geometría tridimensional se reduce casi
exclusivamente a la pizarra, lápiz y papel, lo que dificulta la visualización y
comprensión de los conceptos geométricos espaciales, por otra parte, los
profesores tienen cierto rechazo a la utilización de tecnologías en la sala clase
(Artigue, 2001). Los dos motivos anteriormente nombrados, son el foco del
problema al enseñar geometría tridimensional. Centrándose en la utilización de
los recursos de enseñanza se mencionan dos puntos, el primero menciona la
mala utilización de recursos de 2D para enseñar conceptos 3D, y el segundo
enfatiza la utilización de recursos 2D no adecuados para la enseñanza de
conceptos 3D. A continuación, se darán algunos ejemplos.

Figura 1. Exceso de información y perspectiva única al trabajar conceptos 3D en espacios
2D.

La figura anterior muestra la intersección de dos planos, lo que da como
resultado una recta. Aquí se observa una gran cantidad de líneas e información,
lo que complejiza el entendimiento de lo que quiere mostrarse, por lo que se
produce confusión. Es este un ejemplo claro de un recurso 2D no adecuado
para enseñanza de esta situación 3D.

Figura 2. Confusión entre lo teórico y lo visual, en particular la definición del cubo y su re-
presentación

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 3

Artículo de Investigación

La figura anterior es uno de los ejemplos más claros de la utilización errónea de
recursos 2D, para enseñar conceptos 3D, ya que una de las características
fundamentales de un cubo, es que todas sus aristas son iguales. Lo anterior, no
se observa en la imagen, puesto que el ancho y el largo se ven diferentes, aun
así, se utiliza esta representación para enseñar cálculo de volumen de cubos.

A modo de síntesis, estos son los principales puntos que sostiene la
problemática de la investigación.

Marco teórico

Espacio de trabajo geométrico (ETG).

El espacio de trabajo matemático es una teoría de la didáctica de la
matemática, que propicia un ambiente de trabajo facilitador del aprendizaje,
pero no cualquier aprendizaje, sino aquel que produce conocimiento a través de
la resolución de situaciones problema. En particular, se hablará del espacio de
trabajo geométrico ya que es el área donde estará centrado este estudio. Esta
teoría ha sido introducida por Kuzniak y Houdement (Kuzniak, 2006).

El espacio de trabajo geométrico y sus componentes.

Los autores anteriormente mencionados, definen el espacio de trabajo
geométrico (ETG) como el ambiente organizado por y para el geómetra, de tal
forma que articule de manera idónea, los siguientes componentes:

• Un conjunto de objetos: es un constituyente esencial del ETG y los
diferentes puntos de vista sobre su naturaleza exacta depende a la vez del
modelo teórico que los define. Ejemplo, en Geometría III el espacio está
constituido de puntos, rectas y planos y sus relaciones son explicitadas por
el modelo teórico usado. En la Geometría II los objetos 31 son subconjuntos
de los objetos de Geometría III y se hablará de figuras o configuraciones.
En Geometría I se trata de dibujos o maquetas.

• Un conjunto de artefactos: son las herramientas e instrumentos puestos al
servicio del sujeto, específicamente: regla, escuadra, compás, etc. Esta
componente es determinante en el espacio de trabajo, porque constituye la
fase más visible y aprehensible por el alumno. La elección y los usos de los
artefactos e instrumentos están reglamentados por el paradigma en que
ellos se insertan.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 4

Artículo de Investigación

• Un referente teórico: los objetos y los artefactos de la geometría constituye
la parte empírica, la que tomará su sentido cuando ella sea articulada
mediante un conjunto de axiomas, definiciones y propiedades que
constituyen este referencial teórico o modelo teórico.

Figura 3. Componentes que componen el EFG

Montoya, Kuzniak y Houdement han profundizado esta teoría durante los
últimos años y han propuesto un nuevo esquema que la describe. Este modelo,
no es tan diferente a la inicial, ya que mantiene los mismos componentes
iniciales, pero agrega y define componentes nuevos. Según Montoya et al.,
(n.d.), un ETG es un ambiente que se concibe como el fruto de una interacción
entre un individuo y los problemas geométricos, es un ambiente organizado por
y para el geómetra mediante la articulación de dos planos: el plano
epistemológico y el plano cognitivo, los cuales son conectados mediante los
puentes llamados génesis (instrumental, discursiva y semiótica). Esta unión, es
fundamental, puesto que provoca que el conocimiento dialogue con el individuo
y adquiera un propósito.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 5

Artículo de Investigación

Figura 4. Nuevo esquema ETG

Método

Para este estudio se utilizó la ingeniería didáctica como metodología de
investigación, que se caracteriza por:

1. Ser un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en el
aula, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de
secuencias de enseñanza.

2. Ser un registro de los estudios de caso y por la validación que es
esencialmente interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y
a posteriori.

La noción de ingeniería didáctica se introdujo en la didáctica de la matemática
francesa a comienzos de la década de los 80 para describir una manera de
abordar el trabajo didáctico comparable al trabajo del ingeniero. Para realizar un
proyecto el ingeniero se apoya en los conocimientos científicos de su dominio,
acepta someterse a un control científico, pero al mismo tiempo, está obligado a
trabajar sobre objetos mucho más complejos que los de la ciencia, y por tanto
puede abordar problemas que la ciencia no puede tomar a su cargo todavía
(Artigue, 1988, p. 283).

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 6

Artículo de Investigación

El proceso experimental de la ingeniería didáctica consta de cuatro fases:

1. Primera fase: Análisis preliminar.

2. Segunda fase: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas.

3. Tercera fase: Experimentación.

4. Cuarta fase: Análisis a posteriori y evaluación.

En este estudio, la primera fase consistirá en comentar cómo se enseña el
cálculo de volumen según el Ministerio de Educación de Chile, además de la
realización de un análisis epistemológico del volumen de cuerpos geométricos.
La segunda fase consistirá en la creación de situaciones didácticas que activen
las génesis del ETG. La tercera parte consistirá en ir a un establecimiento a
aplicar las situaciones didácticas. Finalmente, en la cuarta fase se analizará si
realmente ocurre lo que se predijo en el análisis a priori, con el objetivo de ver si
debemos realizar modificaciones o mantener las actividades intactas.

Recursos necesarios:

• Elementos tecnológicos (computadores, software GeoGebra 6.0.356.0,
gafas 3D).

• Estudiantes de 8° básico de algún colegio de cualquier estrato social.

• Permiso administrativo para poder trabajar con menores de edad.

Resultados

Ahora bien, antes de indicar los resultados se mostrarán algunas actividades
que trabajaron los estudiantes y algunas imágenes de las respuestas que
propusieron.

Figura 5. Figuras similares

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 7

Artículo de Investigación

Esta actividad consiste, en trabajar la idea de volúmenes iguales, implican
formas diferentes. El objetivo principal, es trabajar la visualización que apunta al
error.

Figura 6. Pirámides Aztecas: Volumen del cono por exceso y por defecto.
Esta actividad, consiste en trabajar el cálculo de volumen del cono, utilizando
aproximaciones desde el interior y desde el exterior.

Figura 7. Respuesta de algunos estudiantes de la actividad “Pirámide”

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 8

Artículo de Investigación

La imagen anterior, muestra los resultados de un estudiante que respondió
correctamente el problema. Los puntos de colores indican donde utilizó las
herramientas teóricas en sus cálculos. El punto rojo indica la utilización de la
propiedad del triángulo isósceles, el punto azul y amarillo la utilización del
teorema de Pitágoras, y el punto verde las propiedades de un polígono regular.

Luego de la fase de aplicación, se observó en los estudiantes que participaron
en la investigación, a manera transversal, los siguientes aspectos:

Aspecto 1: En cuanto a dificultades para resolución se observó:

Observación 1: Calcular el área de polígonos regulares de más de cuatro
lados.

Observación 2: Calcular el área de figuras compuestas.

Observación 3: Enfrentarse a situaciones enfocadas en habilidades
superiores de las taxonomías de Bloom.

Observación 4: Los jóvenes desconocen cómo calcular el volumen de una
esfera y definición de una pirámide truncada.

Aspecto 2: En la mayoría de los problemas la percepción visual predomina
frente a los datos concretos, es decir, existe una falta de contraste entre los
datos empíricos y las representaciones visuales, por lo tanto, hay una falta de
razonamiento crítico en ocasiones, entre los datos que se entregan y los que
realmente son necesarios.

Aspecto 3: Los jóvenes tienen costumbre a trabajar con sólidos simples, por lo
que presentan gran asombro y desconocimiento, cuando se les presentan
sólidos compuestos y con formas poco habituales. Un ejemplo de esto se
percibe en el desarrollo del problema de la Broca.

Aspecto 4: Los jóvenes no utilizan las gafas 3D, por falta de costumbre de la
herramienta, habría sido necesario un proceso de instrumentalización más
extenso.

Aspecto 5: Existe un gran predominio de la visualización icónica.

Conclusiones

La génesis del Espacio de Trabajo Geométrico es el puente que conecta lo
conceptual con lo cognitivo, es decir, es el proceso donde la información

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 9

Artículo de Investigación

estática toma sentido, a través de los diferentes procesos mentales del ser
humano. A modo general, considerando los procedimientos que efectuaron los
estudiantes para resolver los problemas, y descartando los índices de logros, se
puede afirmar que la situación didáctica activa las diferentes génesis, es decir,
estimula la génesis instrumental. semiótica y discursiva, ya sea en un menor o
mayor grado, no obstante, es importante destacar que en todo momento se
encuentra bajo estimulación la génesis instrumental, debido a que todos los
problemas fueron diseñados con el objetivo de fomentar el uso de la geometría
dinámica a través del uso de la herramienta física GeoGebra. A modo de cierre,
las génesis del ETG siempre se encuentran al momento de enseñar algún
concepto, pero no siempre es simple su visualización, ya sea por el tipo de
actividad o por el tipo de conocimiento, en particular, cuando se enseña
geometría tridimensional, enfocada al cálculo de volumen de poliedros y sólidos
generados por rotaciones, es factible sostener que se pueden diseñar
situaciones didácticas que estimulen las génesis del ETG.

Referencias bibliográficas

Artigue, M. (2001). The Genesis of a Reflection about Instrumentation and the
Dialectics between Technical and Conceptual Work. Université Paris 7
Denis Diderot & IREM.

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Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l'apprentissage de la g´eom´etrie:
D´eveloppement de la visualisation, différenciation des raisonnements et
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Gómez-Chacón, I., Escribano, J., Kuzniak, A. y R. Richard, P. (2015). Espacio
de Trabajo Matemático Mathematical Working Space Espace de Travail
Mathématique. In: Cuarto Simposio Internacional ETM. [Archivo PDF]
Madrid: Inés Mª Gómez-Chacón, Jesús Escribano, Alain Kuzniak &
Philippe R. Richard.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 10

Artículo de Investigación

Henríquez-Rivas, C. and Montoya-Delgadillo, E. (2016). El Trabajo Matemático
de Profesores en el Tránsito de la Geometría Sintética a la Analítica en
el Liceo. Montoya Delgadillo, E. (n.d.). Espacio de trabajo Matemático:
identificación y construcción. 1st ed. Valparaíso, pp. http://
www.ciae.uchile.cl/download.php?file=noticias/844-1465933444.pdf.

Houdement, C. y Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et
enseignement de la géométrie. HAL, [Archivo PDF] pág.176-191.
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de l'Université Paris 7, [Archivo PDF].

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Kuzniak, A. and Richard, P. (2014). Espacios de trabajo matemático. Puntos de
vista y perspectivas. Revista Latinoamericana de Investigación en
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Kuzniak, A., Vivier, L., Montoya-Delgadillo, E. and Gutiérrez, T. (2015). El
espacio de trabajo matemático y sus génesis. In: CIAEM. Cicata,
México: Javier Lezama.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 11

Artículo de Investigación

INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA MEDIANTE
RECTAS TANGENTES Y PENDIENTES
Eduardo Rafael Canul Pech
[email protected]
CEDART-Mérida
Mérida, Yucatán, México

Resumen

El siguiente artículo presenta los resultados de una experiencia didáctica en el
aula con estudiantes preuniversitarios. El objetivo fue introducir el concepto de
derivada, mediante el trazo rectas tangentes a curvas y el cálculo de
pendientes. Los resultados muestran que lograron superar dificultades en sus
trazos y cálculos, lo que contribuye a mejorar los significados de la derivada.

Palabras clave: Recta tangente, Pendiente, Derivada

Abstract

The following article presents the results of a didactic experience in the
classroom with pre-university students. The objective was to introduce the
concept of derivative, drawing lines tangent to curves and calculating slopes.
The results show that they managed to overcome difficulties in their plotting and
calculations, which contributes to improving the meanings of the derivative.

Keywords: Tangent line, Slope, Derivative

Problema de investigación

El concepto de derivada involucra varios conceptos matemáticos como el límite,
pendiente, recta tangente, razón de cambio, entre otros. Debido a ello,
diferentes estudios mencionan que la derivada es un concepto que en el
sistema educativo conlleva a dificultades en sus procesos de enseñanza y
aprendizaje (Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008; Robles, Del Castillo
y Font, 2010; Park, 2015; Moya, Rojas, Arzolay y García, 2021). En ese sentido,
es importante proponer actividades didácticas que atiendan dichas dificultades
para que los estudiantes construyan nuevos significados en el concepto de
derivada.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 12

Artículo de Investigación

Tradicionalmente se presenta el concepto de manera analítica con una
interpretación geométrica de una recta secante que se vuelve tangente o con la
pendiente de la recta tangente en un punto dado. Sin embargo, el tránsito del
registro analítico al geométrico no es inmediato, pues varios estudiantes no
tienen la comprensión de algunos conceptos previos como el caso de la recta
tangente a curvas. A partir de ello, se consideró relevante diseñar una
propuesta didáctica en el aula, que pretende relacionar los conceptos de
pendiente y recta tangente en diferentes curvas, previo a abordar la definición
formal de la derivada.

Marco teórico

La investigación se fundamenta en los estudios realizados sobre tres conceptos:
derivada, recta tangente y pendiente.

Sánchez-Matamoros et al. (2008) mencionan que algunos estudiantes son
capaces de resolver los ejercicios con la aplicación correcta de las reglas de
derivación; sin embargo, tienen dificultades cuando necesitan manejar el
significado de la noción de derivada (expresión analítica, límite del cociente
incremental, interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente). En
cuanto a la construcción de significados de la derivada, mencionan que las
concepciones previas de los estudiantes pueden tener aspectos contradictorios,
que se manifiestan según las situaciones y son muy resistentes al cambio.

La forma clásica de introducir el concepto de derivada, con la noción de límite
en el centro de sus acepciones puntual y funcional, conlleva un alto nivel de
complejidad, lo que pudiera explicar el origen de las dificultades que presentan
los estudiantes (Robles et al. 2010). En el aula de matemáticas, los estudiantes
muestran poco o ningún interés hacia los contenidos de cálculo, pues de
acuerdo con Moya et al. (2021), no muestran una actitud positiva para
empoderarse de técnicas que les ayuden a resolver ejercicios de forma
autónoma.

Un concepto esencial para dotar de significados a la derivada es el concepto de
pendiente. Al respecto, Rivera, Salgado y Dolores (2019) mencionan que los
estudiantes suelen tener dificultades cuando se enfrentan a preguntas que
involucran a la pendiente en diferentes representaciones, debido a que no han
entendido este concepto ni trabajado a profundidad antes de ingresar a la
universidad.

La variedad de significados asociados al concepto de pendiente en el proceso
de enseñanza y aprendizaje encierra una gran complejidad que van desde el

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 13

Artículo de Investigación

uso cotidiano o común, pasando por sus aplicaciones, hasta las
conceptualizaciones que se han determinado hacia dicho concepto (Abreu,
Dolores, Sánchez y Sigarreta, 2020). De ahí la importancia de diseñar
actividades previas con el concepto de pendiente para generar nuevos
significados que mejoren la comprensión de la derivada.

Otro concepto fundamental para comprender la derivada es la recta tangente.
De acuerdo con Orts, Llinares y Boigues (2016), en la construcción genética de
la recta tangente intervienen los conceptos de límite, derivada, monotonía o
curvatura de una función, así como los procesos de aproximación a una curva
desde varios sistemas de representación. La relación entre estos conceptos
durante el aprendizaje favorece el que se generen diferentes significados para
la recta tangente a una curva en un punto, mismos que pueden coexistir en la
mente de un matemático, pero resultan difíciles para los alumnos.

De acuerdo con Canul, Dolores y Martínez (2011), el concepto de recta
tangente, en el contexto escolar, presenta obstáculos en la comprensión de los
estudiantes debido a que presentan dificultades al trazar la recta tangente a
cualquier curva, ya que ocupan la definición global de tangente sin percatarse
de que ésta es insuficiente. Para atender dichas dificultades, los autores
elaboraron una propuesta didáctica donde se establecieron algunas condiciones
geométricas para trazar rectas tangentes a curvas: 1) la curva debe ser
continua, 2) la recta solo es tangente en el punto donde toca o corta a la curva,
siguiendo la forma de la curva, 3) la tangente puede cortar en más de un punto
en su prolongación, 4) las rectas tangentes forman a la curva, 5) el punto de
tangencia no debe ser un vértice.

Las condiciones geométricas de tangencia serán fundamentales para introducir
el concepto de derivada en la siguiente investigación, mediante una propuesta
didáctica llevada a cabo en el aula de matemáticas con un grupo estudiantes de
Nivel Medio Superior en México

Método

La investigación realizada fue cualitativa con un alcance descriptivo. El
instrumento de investigación consistió en tres actividades (ver figura 1) donde
los estudiantes tenían que trazar rectas tangentes y calcular pendientes en
diferentes curvas, para lo cual se tomaron como base las curvas presentadas
en Canul et al. (2011) y Orts et al. (2016). Las actividades se aplicaron con un
grupo de 40 alumnos de Educación Media Superior (17 -18 años) en México
que cursaban la asignatura de cálculo diferencial en el Centro de Educación

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 14

Artículo de Investigación

Artística (CEDART-Mérida) en el ciclo escolar 2019-2020.

La aplicación se realizó en tres momentos cuyos objetivos fueron: 1) identificar
los obstáculos al trazar rectas tangentes a curvas, 2) establecer las condiciones
geométricas para trazar las rectas tangentes a curvas, 3) calcular las
pendientes de rectas tangentes a diferentes curvas. El docente titular de la
asignatura aplicó las actividades en dos sesiones de 50 minutos, como parte del
bloque II (derivada de la función) bajo un enfoque por competencias. En cuanto
a las estrategias didácticas, en el primer momento, los estudiantes realizaron el
trazo de rectas tangentes a curvas de manera individual en una hoja de
actividades. El segundo momento inició con una plenaria y con la guía del
docente se establecieron las condiciones geométricas de tangencia a curvas,
luego los estudiantes realizaron, de manera individual, el trazo de rectas
tangentes a curvas. En el tercer momento, los estudiantes trazaron, de manera
individual, las rectas tangentes a curvas y calcularon sus pendientes respectivas

en tres ejercicios diferentes.

Actividad 1 Actividad 2

Actividad 3

Figura 1. Actividades realizadas por los estudiantes.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 15

Artículo de Investigación

Resultados

Después de aplicar las actividades con los estudiantes, a continuación se
presentan algunos resultados obtenidos.

En la actividad 1 los estudiantes presentaron dificultades para trazar rectas
tangentes a diferentes curvas. En la figura 2, se observa que algunos trazaron
tangentes en picos, o en los puntos extremos de las curvas. Algunos no
trazaron tangentes en puntos de inflexión y en algunos casos no prolongaron la
recta tangente. Sólo en las curvas cerradas como la elipse no presentaron
dichas dificultades. Al mencionar las características que debe tener una recta
tangente se observa su concepción global al mencionar que debe ser una recta
que no corte totalmente a la figura o que solo debe tocar en un punto a figura.
De acuerdo con Orts et al. (2016) y Canul et al. (2011), las dificultades
presentadas se deben a la concepción global que utilizan los estudiantes para
trazar rectas tangentes a curvas.

Figura 2: Resultados de los estudiantes en la actividad 1.

La actividad 2, inició con una plenaria guiada por la pregunta, ¿Cuáles son las
características que debe tener una recta tangente? El docente orientó la
actividad analizando los trazos realizados por los estudiantes en las gráficas de
la actividad 1 para establecer las condiciones geométricas para trazar las rectas
tangentes a curvas. Cabe mencionar que la guía del docente fue clave para que
los estudiantes establezcan dichas condiciones y superen las dificultades
presentadas en la actividad 1. Las condiciones se escribieron en la pizarra y
fueron las siguientes: 1) la gráfica debe tener puntos a la derecha y a la
izquierda de P. Es decir, la continuidad local, 2) la gráfica no debe tener un
“pico” en el punto P, 3) la recta trazada a la izquierda de P debe coincidir con la
recta trazada a la derecha de P. Es decir, la tangente es única, 4) la recta debe
tener la forma de la curva en el punto P y puede cortar en más de un punto al
prolongarse.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 16

Artículo de Investigación

Después de la plenaria los estudiantes trazaron rectas tangentes a nuevas
curvas para comprobar si habían superado las dificultades presentadas en la
actividad 1. Los resultados presentados en la figura 3, muestran que algunos
estudiantes trazaron correctamente las rectas tangentes en puntos de inflexión,
en los puntos de “pico” mencionaron que la gráfica no tiene tangente porque
termina en pico en el punto P o que las rectas no coinciden, en los puntos
extremos no trazaron las rectas tangentes mencionando que no tiene puntos a
la derecha del punto P. En algunos casos analizaron la relación (local) entre la
recta y la curva, aspecto muy importante para entender el concepto de
tangencia. Cabe mencionar que algunos alumnos siguieron presentando
dificultades en sus trazos, sin embargo, los fueron superando poco a poco en el
transcurso de la actividad.

Figura 3: Resultados de los estudiantes en la actividad 2.

En la actividad 3, los estudiantes realizaron tres ejercicios donde trazaron
tangentes a curvas y calcularon las pendientes respectivas. En el primer
ejercicio (ver figura 4) tenían que trazar la recta tangente en un punto de
inflexión y calcular su pendiente. Al trazar la recta mostraron que superaron
algunas dificultades presentadas en la actividad 1. Para calcular pendiente
ubicaron dos puntos, el punto de tangencia y el punto de intersección de la recta
con alguno de los ejes coordenados. Los cálculos de la pendiente fueron
realizados con la fórmula

Figura 4: Resultados del primer ejercicio de la actividad 3.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 17

Artículo de Investigación

En el segundo ejercicio, los estudiantes tenían que calcular la pendiente de la
tangente en una gráfica que representa las páginas leídas en un tiempo
determinado. En dicho ejercicio los estudiantes trazaron la recta tangente y
calcularon la pendiente ubicando dos puntos, el de tangencia y un punto de
intersección con el eje x o el eje y. Aplicaron la fórmula mencionada para
calcular la pendiente y al final escribieron los significados de sus resultados
obtenidos. La figura 5 muestra que, para un alumno, la pendiente es el tiempo
que se tarda en leer cada página y para otro alumno, la pendiente indica el
crecimiento de la gráfica. Con ello, se muestra cómo los estudiantes otorgan
significados a la pendiente de la recta tangente en un punto y no sólo se reduce
a un simple cálculo numérico.

Figura 5: Resultados del segundo ejercicio de la actividad 3.
En el tercer ejercicio los alumnos tenían que identificar los puntos máximos y/o
mínimos relativos en una gráfica. Para ello trazaron la recta tangente horizontal
sin importar si corta en más de un punto en su prolongación, superando algunas
dificultades presentadas en la actividad 1. Luego calcularon su pendiente con la
fórmula mencionada. La figura 6 muestra los trazos realizados y el valor
obtenido al calcular su pendiente. Este resultado será significativo en los temas
posteriores de su curso para calcular los valores máximos y mínimos con los
criterios de la primera o segunda derivada de manera analítica, pues tendrán
que igualar su resultado a cero.

Figura 6: Resultados del tercer ejercicio de la actividad 3 18

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021

Artículo de Investigación

Conclusiones

La actividad realizada en el aula de matemáticas permitió introducir el concepto
de derivada mediante el trazo de rectas tangentes y el cálculo de pendientes a
curvas previo a abordar su definición formal, aspecto que muestra una
diferencia con el enfoque de enseñanza donde se analiza la recta tangente solo
hasta que se presenta su definición o en algunos ejemplos aplicativos
posteriores.

La actividad 1 muestra que los estudiantes presentaron dificultades en el trazo
de tangentes a curvas, debido a su concepción global de tangencia reportada
en los estudios previos (Canul et al. 2011; Orts et al. 2016). En la actividad 2,
los estudiantes, con apoyo del docente, empezaron a superar las dificultades en
el trazo de rectas tangentes al establecer las condiciones geométricas para
trazar rectas tangentes a curvas. La labor del docente, como guía para realizar
la actividad fue fundamental superar dichas dificultades.

En la actividad 3, los estudiantes mostraron mejoría en sus trazos al calcular las
pendientes en los puntos indicados de las curvas. También otorgaron
significados a sus resultados, pues mencionaron que la pendiente de la recta
tangente indica el crecimiento de una función o la ubicación de un punto
máximo o mínimo cuando su valor es igual a cero. Aspecto que contribuye a
que otorguen significados a la derivada y a reducir las dificultades que se
reportan en Sánchez-Matamoros et al. (2008).

En las actividades presentadas, algunos estudiantes siguieron presentando
dificultades para trazar rectas tangentes a curvas, lo cual nos invita a realizar
ajustes en su diseño y/o aplicación. Una variante puede ser incorporar la
tecnología para analizar más a detalle la relación entre la curva y la recta
tangente. Una recomendación sería realizar más propuestas didácticas en el
aula para que los estudiantes otorguen significados a la derivada y con ello
mejorar en su compresión.

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VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 20

Artículo de Investigación

MODELOS TÁCITOS Y METÁFORAS
CONCEPTUALES EN EL ESTUDIO DEL INFINITO
MATEMÁTICO
Tamara Díaz Chang; Elizabeth Hernández
Arredondo
[email protected],
[email protected]
Universidad Austral de Chile, Universidad de
Los Lagos

Resumen

En este trabajo abordamos los modelos tácitos o inconscientes que aparecen
en el estudio del infinito matemático en la sala de clases universitarias, mirado
bajo el lente de la metáfora conceptual, precisando obstáculos y dificultades que
se deberían considerar para lograr una comprensión adecuada de este
concepto matemático.

Abstract

In this paper we examine tacit models that appear in the study of mathematical
infinity under the lens of conceptual metaphors, specifying obstacles and
difficulties that must be considered in order to achieve an adequate
understanding of this mathematical concept.

Problema de investigación

El infinito matemático es uno de los conceptos más complejos a los que se
enfrentan estudiantes y profesores universitarios, por lo que ha sido
ampliamente estudiado desde varias perspectivas teóricas en didáctica de las
matemáticas. A pesar de esto, no es posible afirmar que comprendemos los
complicados procesos cognitivos que se desarrollan en relación a su
aprendizaje. Existen numerosos trabajos (e.g. Arrigo y D’Amore, 2004;
Fischbein, 2001; Tall, 1981) que dan cuenta de la dificultad y complejidad que
presenta, en este caso, el obstáculo epistemológico. En particular, Arrigo y
D’Amore (2004) plantean que su concepción se produce lentamente, de modo
contradictorio, tras un largo proceso de maduración cognitiva.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 21

Artículo de Investigación

El clásico debate filosófico sobre el infinito en sentido actual y en sentido
potencial, originado en la antigua Grecia por Aristóteles (trad. 1985), ha
inspirado diferentes investigaciones (e.g. Bagni,1998; Tsamir & Tirosh, 1994).
En algunos trabajos se considera que las intuiciones acerca del infinito
emergen en consideración de procesos recursivos y como una extrapolación
de nuestra experiencia que es finita (Arrigo & D’Amore, 2004). Los niños
conciben al infinito potencial a través del proceso de conteo sin fin de los
números naturales. Luego, cuando se introduce el símbolo ℕ para denotar al
conjunto de los números naturales, los estudiantes asumen que se tiene la
totalidad de estos números. Según Tall (1981), la mayoría de los estudiantes
pierden la concepción del infinito potencial en relación con los naturales a partir
del estudio de la Teoría de Conjuntos, adoptando la noción de infinito actual
introducida por Cantor.

Normalmente, para los estudiantes, hay más números enteros que números
naturales. Una vez que se acepta la demostración de que estos dos conjuntos
tienen la misma cardinalidad, muchos estudiantes entonces creen que han
podido concluir porque ambos conjuntos son infinitos, por lo que infieren que
todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad: infinita. Luego, aquí
surge nuevamente una dificultad al tratar con las distintas cardinalidades de los
conjuntos infinitos introducidas por Cantor y la noción de que existen infinitos
más grandes que otros, es decir, al tratar con la existencia de los cardinales
transfinitos. En este caso el estudiante concluye entonces que los conjuntos de
los números naturales, de los números enteros, de los números racionales y el
de los números reales, deberían tener la misma cardinalidad. Estudios clásicos
realizados en los años 80 y 90 dan evidencia de este suceso (e.g. Fischbein,
1987; Tsamir & Tirosh, 1994) que se denomina aplastamiento de los cardinales
transfinitos (D’Amore, 2011). En uno de sus trabajos, Duval (1983) analiza la
dificultad que tienen los alumnos para aceptar la correspondencia biunívoca
entre los naturales y su subconjunto de los números cuadrados, y explica que
esto se debe a un obstáculo que él llama el deslizamiento, refiriéndose a la
dificultad que en este caso, se tiene al hacer transformaciones entre diversos
sistemas de representación.

Otra convicción intuitiva muy difundida entre los estudiantes es pensar que en
un segmento más largo hay más puntos que en un segmento más corto (e.g.
D’Amore & Martini, 1997; Tall, 1981), lo que D’Amore (2011) denomina
dependencia de los cardinales transfinitos a hechos relativos a la medida. Por
otra parte, algunos estudios (e.g. Dubinsky et al, 2005; Fischbein, 2001)
muestran que muchas de las conocidas paradojas sobre el infinito (como la

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 22

Artículo de Investigación

paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga) (Bolzano, 1991) surgen como
convicciones intuitivas que provocan dificultades en el proceso de emergencia
de los significados de este concepto en los estudiantes.

Fishbein (2001) argumenta que tanto el aplastamiento, como el deslizamiento y
la dependencia, constituyen modelos tácitos, implícitos e inconscientes, que
aparecen cuando se trata con conceptos que son demasiado abstractos o
complejos. En estas circunstancias, tenemos una tendencia natural a pensar en
términos de modelos mentales simplificados, que nos ayudan a representar a
las identidades originales con el fin de facilitar y estimular la tarea de
comprensión o resolución, y que luego se vuelven implícitos o tácitos,
controlando nuestro razonamiento de manera inconsciente para nosotros.

Numerosos trabajos muestran que la construcción del infinito matemático es un
proceso complejo y lleno de obstáculos, y que para que éstos sean superados,
hay que ayudar a los estudiantes a tomar consciencia de estos modelos
inconscientes en sus procesos mentales. Por ejemplo, Arrigo y D’Amore (2004)
recomiendan que para superar el modelo de dependencia, o sea, para rectificar
la creencia de que en un segmento más largo hay más puntos que en un
segmento más corto, se ayude a los estudiantes a separarse del modelo del
segmento como “collar” cuyas “perlas” se hallan ordenadas.

Luego, en este trabajo abordaremos los modelos tácitos, implícitos o
inconscientes que aparecen en el estudio del infinito matemático en la sala de
clases universitarias, precisando obstáculos y dificultades que los estudiantes
deberían superar y los profesores deberían considerar, para lograr una
comprensión adecuada de este concepto.

Marco teórico

Para fundamentar nuestro análisis nos apoyamos en los estudios de la
lingüística cognitiva (Lakoff y Núñez, 2000) basados en la teoría de la
Embodiment Cognition (Rosch, Thompson, y Varela, 1991), que propone que
ciertos procesos constituyentes de la cognición están basados y se derivan de
la interacción del medio con el individuo, y ofrece un conjunto de técnicas para
estudiar estructuras conceptuales inconscientes, implícitas en nuestras
experiencias, jugando un rol fundamental en los procesos de abstracción en
general, así como en la construcción de ideas matemáticas (Lakoff y Núñez,
2000).

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 23

Artículo de Investigación

Desde esta perspectiva teórica, images schemas pueden derivar en
mecanismos cognitivos conocidos como metáforas conceptuales, que forman
enlaces inconscientes entre dominios conceptuales diferentes, en el que la
estructura del dominio de partida infiere una estructura en el dominio de llegada.
El origen de esta metáfora puede ser una experiencia del mundo físico o una
conceptualización ya existente, creando un vínculo que conecta conceptos o
subdominios, fuera o dentro de las matemáticas. En particular, desde esta
perspectiva, Lakoff y Núñez (2000) proponen que la concepción del infinito
actual se basa en la llamada la metáfora básica del infinito (MBI), mediante la
cual, los procesos que continúan indefinidamente se conceptualizan alcanzando
un resultado final, un “completamiento metafórico”

Método

Se implementó una metodología apoyada en la investigación bibliográfica de
carácter cualitativo y argumentativo. Para estudiar con mayor profundidad estos
modelos tácitos que aparecen en el aprendizaje del infinito matemático, es
importante comprender cómo sucedió su proceso de evolución a lo largo de la
historia. Luego, en este trabajo nos apoyamos en el análisis de la evolución
histórica del infinito como concepto matemático, por medio de las metáforas
conceptuales que condujeron a su proceso de axiomatización, expuesto en Díaz
-Chang y Arredondo (2021). A partir de este estudio se realiza la interpretación
y el análisis de la información extraída de la literatura seleccionada, que nos
permitió identificar las dificultades, que en relación a estos modelos tácitos se
tuvieron que superar a lo largo de la historia, mostrándonos a su vez, de esta
manera, los obstáculos que deben superarse durante el aprendizaje de este
concepto matemático.

Para realizar la selección de la literatura, la interpretación y el análisis de la
información extraída, se utilizó el método de la meta-etnografía (Noblit y Hare,
1998) que nos permitió sintetizar de manera sistemática los resultados de
nuestra investigación y dar respuesta focalizada a las preguntas establecidas
por el objetivo de investigación mencionado anteriormente. Este método
proporciona una forma específica de realizar meta-síntesis cuya meta va más
allá del resumen y el análisis de datos, donde los hallazgos de los estudios
originales se convierten en datos que son analizados a través de un proceso
riguroso de interpretación y comparación de ideas, conceptos y perspectivas
relevantes, conduciendo así a la síntesis esperada.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 24

Artículo de Investigación

Resultados

Comencemos recordando que en el siglo IV a.C. en la Grecia antigua existían
concepciones opuestas sobre el espacio y el tiempo, y en consecuencia, se
concebía al infinito de formas diferentes. Las categorías filosóficas definidas por
Aristóteles en su Metafísica, relacionadas con el infinito matemático: el infinito
potencial y el infinito actual, se referían tanto a lo infinitamente grande como a lo
infinitamente pequeño. A pesar de haberlo considerado en sus discusiones
filosóficas, los antiguos griegos no aceptaron la existencia del infinito
matemático de manera abierta, especialmente en su versión actual, al principio
a causa de las paradojas de Zenón, y más tarde debido a la influencia de las
ideas de Aristóteles.

Las paradojas de Zenón producían contradicciones lógicas, tanto si se
consideraba el espacio y el tiempo como continuos, que como discontinuos. En
estas paradojas nuestro análisis reconoce la presencia de varios de estos
modelos tácitos reportados en la literatura. Por ejemplo, tomando la paradoja de
Aquiles y la tortuga (Bolzano, 1991), se tiene la inagotabilidad (Fischbein, 1987)
cuando se considera que “no se puede calcular” la suma infinita, debido a la
indefinición (Belmonte y Sierra, 2011) que supone una cantidad infinita de
términos, además de la divergencia (Belmonte y Sierra, 2011), porque “siempre
se puede seguir sumando”. En estrecha relación con los tres modelos
anteriores, también se tiene el modelo que hemos acuñado en un estudio
anterior como lo inalcanzable, cuando se afirma que “el límite de las sumas
parciales nunca se alcanza”; y la dependencia (Arrigo & D’Amore, 2004),
cuando se asocia el segmento como espacio geométrico con una distancia
numérica. Similarmente, debido a las limitaciones geométricas, aparece el
modelo acotado-finito (Belmonte y Sierra, 2011).

Es notable el hecho de que Aristóteles consideraba que la “totalidad” de los
números no podía estar presente en nuestro razonamiento, puesto que al
generar una lista de éstos, nunca se podía generar la lista completa, por lo que
el infinito solo podía existir como infinito potencial, pues estaba caracterizado
por su inherente incompletitud (modelo tácito considerado por Belmonte y
Sierra, (2011)) y por su existencia solo como potencialidad (Aristóteles, 1985).

Durante los siglos posteriores esto no cambió, durante mucho tiempo los
matemáticos se debatieron en contra o a favor de su existencia. Al igual que sus
colegas griegos, los matemáticos de las siguientes generaciones se opusieron
a aceptar la existencia del infinito matemático, especialmente en su concepción
actual, debido a las numerosas paradojas y dificultades que originaba. Fue

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 25

Artículo de Investigación

Bolzano, a partir de los trabajos de Kant, quien lo abordó de manera formal y
sistemática, explorando conceptualmente las propiedades de los conjuntos
infinitos (Bolzano, 1991). De hecho, su trabajo se basó en las ideas de Galileo
que ya había establecido las dificultades que aparecían cuando se trataba de
hacer razonamientos acerca de este concepto (Galileo, 1954). Un ejemplo
clásico de estas dificultades es precisamente la paradoja de Galileo, donde
aparece el modelo tácito de inclusión (Fishbein, 1987) originado en la noción
común: “el todo es mayor que una de sus partes”.

Fue cuestionando precisamente este modelo tácito, que Dedekind pudo dar su
definición de conjunto infinito. Declaró que siempre que dos conjuntos -finitos o
infinitos- pudiesen ser emparejados por una correspondencia biyectiva,
entonces tendrían el mismo número de elementos. Pero, ¿cómo fue que
Dedekind pudo superar la dificultad planteada por este modelo tácito? Y en
general, ¿cómo fue posible superar todos los obstáculos que estos modelos
tácitos implican, desde Zenón hasta la culminación del proceso de
axiomatización del infinito matemático a finales del siglo XIX con los trabajos de
Cantor?

Comencemos nuestro análisis con el caso de Dedekind y la superación del
modelo tácito conocido como inclusión. Las caracterizaciones de conjuntos
infinitos dadas hasta Galileo, estudiaban las nociones cotidianas de “misma
cantidad que” y “más que”, que se basaban de manera natural en nuestra
experiencia con colecciones finitas. Cuando trabajamos con conjuntos finitos
consideramos que si el conjunto A tiene la “misma cantidad” de elementos que
B, esto significa que si para cada elemento de A, quitamos un elemento
correspondiente de B, entonces no queda ningún elemento de B “sobrante”. Si
extendemos esta idea de “sobrante” a conjuntos infinitos para responder a la
pregunta: ¿hay más números naturales que números impares?, podemos hacer
coincidir los elementos de ambos conjuntos y llegar a la conclusión de que hay
más números naturales que números impares, porque en el conjunto de los
naturales quedan números “sobrantes”. Sin embargo estos dos conjuntos son
“emparejables” porque podemos poner sus elementos en correspondencia
biyectiva. Luego, el “emparejamiento” y la “misma cantidad que” son dos ideas
que tienen la misma extensión para colecciones finitas, pero son cognitivamente
diferentes y no tienen la misma extensión para colecciones infinitas. Dedekind
se dio cuenta de esto y utilizó el concepto de “emparejamiento” en lugar de
nuestro concepto cotidiano de “misma cantidad que”, dándole un significado
metafórico a la comparación del número de elementos de conjuntos infinitos a
través de la metáfora conceptual definida por Lakoff y Núñez (2000) como
“misma cantidad” como “emparejamiento”.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 26

Artículo de Investigación

Luego, para extender la noción de cardinalidad a conjuntos infinitos, hay que
ignorar activamente la cláusula “sobrante” que está implícita de manera
inconsciente en nuestra noción ordinaria de “más que”. A partir de esta
definición de conjuntos infinitos, Cantor pudo crear todo el aparato conceptual
de su Teoría de Conjuntos, y para lograrlo tuvo que superar estos modelos
tácitos ya mencionados, especialmente relacionados con la concepción actual
del infinito, absolutamente rechazada por la comunidad matemática hasta ese
momento.

Notemos que para superar estos modelos tácitos, Cantor tuvo que construir la
llamada MBI (ver Figura 1), cuya riqueza y peculiaridad es su organización y
estructura. La correspondencia entre los dos espacios de partida implica a todos
los elementos con la excepción del último, que distingue esencialmente un
proceso finito de un proceso potencialmente infinito. Luego, aquí hay un
conflicto entre la caracterización de un proceso con fin y estado resultante final,
y la caracterización de un proceso interminable, sin estado final resultante,
mostrando así la presencia de estructuras conceptuales contradictorias.

Figura 1. La metáfora básica del infinito (MBI)

Fuente: Lakoff y Núñez (2000, p.1730) (Traducción propia)

El aplastamiento de los cardinales transfinitos (D’Amore, 2011) es otro modelo
tácito que está presente inconscientemente en los procesos de pensamiento de
los estudiantes, al afirmar que el conjunto de números naturales y el conjunto de
números reales tienen el mismo número de elementos. El ingenioso argumento
de la diagonal de Cantor que demostró lo contrario de esto, es decir, que hay
más números reales que números naturales, también hace uso implícito del MBI

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 27

Artículo de Investigación

(Lakoff y Núñez, 2000). Así, una vez más, la MBI proporciona un mecanismo
para abordar este modelo tácito de manera consciente.

De manera similar, a partir del análisis realizado en Díaz-Chang y Arredondo
(2021) concluimos que tanto los cardinales y los ordinales transfinitos de
Cantor, así como los infinitesimales de Robinson (1966), se “completaron
metafóricamente” a través de esta metáfora. Así, los obstáculos planteados por
los modelos tácitos relevantes en cada uno de estos casos podrían superarse
mediante la construcción consciente de estos mapeos y proyecciones
metafóricas.

Conclusiones o reflexiones finales

Nuestro análisis muestra que la metáfora conceptual es un mecanismo cognitivo
que nos permite construir estructuras que nos ayudan a superar estos modelos
tácitos de manera consciente. Al mismo tiempo, estas metáforas nos permiten
comprender estas estructuras conceptuales inconscientes contradictorias, así
como las razones por las cuales nos parecen contraintuitivas; nos brindan
información sobre las estructuras cognitivas y las dificultades que implica el
aprendizaje de éste y, en general, de otros conceptos matemáticos. A menudo
los estudiantes no resuelven estos conflictos y en consecuencia no se logra el
completamiento metafórico, por lo que es tarea del profesor guiar este proceso
de manera que los estudiantes logren hacerlo.

En particular, este estudio nos permitió concluir que no hay nada incorrecto con
nuestra intuición respecto al infinito matemático, nuestros mecanismos
cognitivos se ven limitados por nuestras sensaciones moto-sensoriales, y se
basan en esquemas de contenedor para colecciones finitas y sus jerarquías, en
experiencias cinestésicas relacionadas con la comparación de tamaños y la
correspondencia de elementos (Lakoff y Núñez, 2000). Luego, también nos
invita a poner atención y a reflexionar sobre la inconsistencia de nuestros
propios pensamientos e intuiciones en relación con este concepto matemático,
al mismo tiempo que nos permite mostrar a los estudiantes la validez de estos
modelos tácitos y estas inconsistencias, enfatizando la relatividad del infinito en
las matemáticas a lo largo de la historia.

Argumentamos que la incorporación de los resultados de este tipo de
investigación, en especial bajo este marco teórico, es de gran relevancia en la
transformación de nuestra práctica docente universitaria en relación con este
concepto matemático. Este tipo de reflexiones nos permite mejorar el diseño de
actividades encaminadas al desarrollo de metáforas conceptuales, que

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 28

Artículo de Investigación

conduzcan a los estudiantes a superar estos modelos, guiándolos hacia una
comprensión adecuada del infinito matemático y haciendo más efectiva nuestra
propuesta didáctica en la sala de clases.

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VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 30

Artículo de Investigación

LA FORMACIÓN Y LA IDENTIDAD DOCENTE.
UN ESTUDIO CON PROFESORES DE
MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
Gabriela Gisell Escobedo Garza; Erika García
Torres
[email protected],
[email protected]
Facultad de Psicología, Universidad Autónoma
de Querétaro
Querétaro, México

Resumen

Se presenta un estudio sobre la caracterización de la identidad docente de los
profesores de matemáticas de secundaria y su relación con la formación
docente. Se muestra la influencia que este elemento tiene en el desarrollo
profesional, a partir de un estudio cualitativo de identidad docente con 10
profesores de matemáticas de secundaria, con diversas formaciones iniciales.
Los resultados muestran un cambio de identidad en los profesores que
provienen de formaciones diferentes a la docencia, relacionado con la
naturaleza situada de que convertirse en profesor de matemáticas, implica un
cambio de identidad como consecuencia de la situación en que se desarrollan.

Abstract

A study is presented on the characterization of the teaching identity of
secondary school mathematics teachers and its relationship with teacher
training. The influence that this element has on professional development is
shown, based on a qualitative study of teacher identity with 10 secondary school
mathematics teachers, with various initial training. The results show a change of
identity in teachers who come from different backgrounds than teaching, related
to the situated nature that becoming a mathematics teacher implies a change of
identity as a consequence of the situation in which they develop.

Problema de investigación

El papel de los docentes ocupa un lugar protagonista dentro de los procesos de
enseñanza, siendo su formación inicial y continua componentes claves en su
desarrollo profesional y en consecuencia en el aprendizaje de las nuevas

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 31

Artículo de Investigación

generaciones, por lo que estos han sido ubicados desde hace algunas décadas
como elementos centrales de las evaluaciones educativas (Vezub, 2007).

Actualmente los profesores de nivel secundaria que laboran en los centros
escolares del país, pueden ser egresados de diferentes carreras relacionadas
con la docencia, provenientes de diversas instituciones educativas (Medrano y
Ramos, 2019), mientras que otros pueden haber realizado estudios formativos
iniciales no relacionados con el ámbito educativo (Rivera y Alfageme-González,
2019). En consecuencia, la formación inicial de los profesores de nivel
secundaria se ha ido diversificando.

Poder alcanzar la cohesión, correspondencia y complementación entre las
diferentes formaciones iniciales y continuas de los docentes es un gran reto
para su desarrollo profesional, ya que se debe tratar de asegurar la correlación
entre los conocimientos y las capacidades de cada profesor para progresar en
el mejoramiento de su práctica y con ello contribuir al aseguramiento de los
niños y adolescentes para el acceso a una educación de calidad (Medrano y
Ramos, 2019).

La formación de los docentes se encuentra relacionada con la construcción de
la identidad profesional. Las características de esta identidad determinan el
estilo de la práctica de cada profesor, por lo que impactan de forma directa con
la enseñanza y formación de los alumnos y en consecuencia en la calidad
educativa (Navarrete, 2013).

Es por esto que este estudio tiene el objetivo de analizar cómo los profesores
de matemáticas de secundaria construyen su identidad docente,
específicamente el papel de la formación inicial y continua, como elemento
constitutivo de la identidad. Este análisis permitirá conocer cómo los docentes
afrontan y superan los desafíos y dificultades en su práctica profesional desde
su perspectiva, considerando la formación como un elemento constitutivo de su
identidad. Con ello, se identifican estrategias, decisiones y momentos que han
influido en la toma de decisiones para su desarrollo profesional y también, los
elementos constitutivos de su identidad como profesores de matemáticas de
secundaria.

Marco teórico

La formación es un concepto que generalmente designa a una o varias
propuestas educativas que pueden estar compuestas por un plan o programa
de estudios, que tienen un principio, un final y un objetivo, y las cuales al
acreditarse otorgarán a los participantes las capacidades necesarias para

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 32

Artículo de Investigación

desarrollar ciertas actividades (Rosas, 2000).

Sin embargo, concebir la formación como un curso, una cátedra o un
diplomado, la sitúa como un aspecto externo, ajeno a cada individuo, por lo que
es necesario enfocar nuestra atención en la formación centrada en el sujeto,
donde esta es concebida como un proceso personal y social, en el cual el
individuo reúne conocimientos y experiencias que le permiten buscar y construir
las condiciones necesarias para enriquecerse, construyéndose de esta forma a
si mismo (Rosas, 2000).

El impacto de la formación en los procesos de enseñanza y aprendizaje, es
diverso, sin embargo Ponte & Chapman (2008) mencionan que la enseñanza no
puede ser únicamente reducida a la técnica o la asistencia a cursos de
formación, ya que proviene tanto de la práctica como de la identidad misma de
cada maestro. A medida que los profesores enseñan, proyectan la condición de
quienes son, pudiendo identificar las dificultades, carencias y oportunidades que
se tienen como consecuencia de su formación, y toman decisiones que afectan
y modifican tanto a su práctica como a su propia identidad docente.

La identidad docente es un concepto que admite múltiples definiciones y ha sido
concebido por diversos autores.

Lutovac & Kaasila (2018) consideran que la identidad docente vincula la
enseñanza y al aprendizaje afectando las decisiones que toman los docentes
respecto de su práctica y su formación, así como las relaciones con sus
alumnos, motiva cambios y la voluntad de desarrollarse profesionalmente.

Para Beijaard, Meijer & Veerlop (2004) la identidad docente es un proceso de
integración entre lo personal y lo profesional, cambia de acuerdo al dominio de
la enseñanza y los conceptos e imágenes que se tienen de uno mismo influyen
en la forma en que se enseña y se desarrolla. En tanto que, para Navarrete
(2013), es un conjunto de características que determinan el estilo de la práctica
profesional y la forma en que los docentes se relacionan con otros, además está
vinculada con la formación de los profesores guardando una conexión directa
con su desarrollo profesional lo que en consecuencia impacta en su práctica y
en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Respecto a la relación entre la formación de los profesores con su identidad
docente y con los procesos de enseñanza aprendizaje, ha sido posible observar
que las formaciones diferentes a la docencia influyen en cómo se identifican los
profesores así mismos, incidiendo en la toma de decisiones y la forma de
enseñar (Aydeniz y Hodge, 2011).

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 33

Artículo de Investigación

Lutovac & Kaasila (2018) encontraron que la identidad docente está vinculada
con el aprendizaje y la enseñanza, afectando las decisiones que los profesores
toman dentro de sus aulas e influyendo en las elecciones que seleccionan
respecto de su formación continua y profesionalización.

Para Beauchamp & Thomas (2011), la identidad docente es un producto y un
proceso personal que resulta de las influencias de una variedad de contextos,
los cuales incluyen la formación, tanto inicial como continua del docente,
mientras que también representa interacciones con los elementos de estos
contextos como lo son los alumnos, la forma de enseñar o cómo conducirse
como profesor. Así la identidad docente sufre cambios entre los periodos de
aprender a ser docente y llegar al final de un periodo de tiempo de aprendizaje
de la práctica profesional.

Bjuland, Cestari y Borguersen (2012), consideran que la naturaleza situada de
convertirse en profesor de matemáticas implica un proceso de cambio de
identidad, lo que implicaría que aquellos profesores con formaciones diferentes
a la docencia tendrían un cambio de identidad entre su primera formación y su
ahora presente profesión.

En este estudio se considera que la identidad docente es un proceso continuo
de construcción del yo profesional que se modifica en el tiempo, influenciado
por los contextos y relaciones con los demás, que determina el reconocerse a sí
mismo y por los otros como profesor de matemáticas, influyendo en las
decisiones que se toman para la práctica.

Metodología

Se recurrió a la investigación narrativa en tanto que se asume que la identidad
puede ser definida como una colección de historias sobre personas, siendo
narrativas sobre individuos, las cuales son reificables, respaldables y
significativas (Sfard & Prusak, 2005). Además, los indicadores de identidad
profesional pueden detectarse a través del texto y el discurso (Bjuland, Cestari y
Borguersen, 2012).

La investigación narrativa es una marco teórico y metodológico que se enfoca
en el estudio de las personas, reuniendo datos a través de la recopilación de
sus historias y experiencias individuales ordenadas cronológicamente
(Cresswell, 2007), lo que permite dar una concepción del desarrollo propio de
cada individuo y puede explicar cómo los acontecimientos y decisiones pasados
inducen y conducen en las acciones actuales (Lutovac & Kaasila, 2018).

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Artículo de Investigación

Se realizó un estudio cualitativo mediante un estudio de caso, a través de
entrevistas a profundidad en la modalidad virtual con 10 profesores de
matemáticas de secundaria de 4 diferentes entidades del país. Con base en los
antecedentes y en definición de identidad asumida, se construyeron 35
preguntas que abordaron aspectos como la identidad como un proceso continuo
que se modifica en el tiempo, influenciada por los contextos y que afecta las
decisiones que toman los docentes para la práctica.

Las preguntas correspondientes a la relación entre la formación inicial, continua
y la identidad de los profesores de matemáticas de secundaria fueron:
¿Cuándo/cómo decidió convertirse en profesor?, ¿Por qué?, ¿Cómo fue su
formación inicial? ¿Cuáles/cómo fueron sus experiencias en sus primeros años
como docente? ¿Tiene una profesión adicional a ser profesor?, ¿cuál es?, ¿la
ejerce actualmente?, ¿cómo se identifica más? ¿Cuáles han sido sus
experiencias de formación continua y/o profesionalización? ¿Qué curso o taller
es el que más le ha ayudado en su práctica dentro de su salón de clases?

Para el análisis de los datos se transcribieron las entrevistas y se recurrió a un
proceso de triangulación apoyado en el software Atlas.ti. A través del método
de comparación constante y el criterio de saturación de información se
elaboraron categorías de identidad profesional.

Resultados

Los docentes que provienen de estudios no relacionados con la docencia
consideran que sus carreras profesionales tienen una carga significativa de
materias asociadas con las matemáticas, que ha sido de gran apoyo, ya que no
necesitan preocuparse por el dominio de los conocimientos necesarios para
impartir clases, sin embargo, reconocieron que al comenzar a dar clases, les
faltaban conocimientos pedagógicos y didácticos. Esto los motivó para que en
sus primeros años de servicio cursarán algún diplomado, especialidad, maestría
o curso formal relacionado con la docencia que les permitiera adquirir estos
conocimientos.

En cambio, los docentes egresados de carreras relacionadas con la docencia
cuentan con conocimientos didácticos y pedagógicos. En el caso particular de
un docente egresado de la Normal Superior, ya contaba también con
experiencia frente a grupo. Con respecto al conocimiento matemático los
profesores cuentan con saberes matemáticos necesarios para impartir sus
clases, aunque en ocasiones es necesario revisar y repasar conceptos y
materiales previamente al dar sus clases o cuando cambian de grado asignado.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 35

Artículo de Investigación

Con respecto a los cambios que experimentan los docentes en su identidad,
relacionados con su formación inicial, el inicio de su servicio y el paso del
tiempo frente al grupo (Beauchamp & Thomas, 2011), se encontró que aquellos
profesores egresados de carreras no relacionadas con la docencia han
modificado su identidad. Consideremos el caso de una profesora quien durante
sus primeros años de servicio se consideraba una profesora seguidora de
libros, que eran su guía para su práctica profesional, ya que pensaba que no
contaba con las capacidades necesarias para hacer frente a la situación. Esto
influía tanto en las decisiones que tomaba dentro del aula como en su propia
autoconcepción. Posteriormente con el tiempo frente a grupo, la experiencia
adquirida y la asistencia a cursos de capacitación, la docente al día de hoy se
identifica como una profesora abierta a experimentar con materiales y
experiencias nuevas que beneficien el aprendizaje de sus alumnos, provengan
o no de libros.

En cuanto a la influencia de la formación de los profesores con su identidad y
las decisiones que toman para su práctica docente mencionada por Aydeniz y
Hodge (2011), se encontró que los profesores que tienen una carrera
relacionada con la docencia, así como aquellos que han tomado algún curso,
diplomado, especialidad o maestría relacionada con la enseñanza y
aprendizaje, utilizan los conocimientos pedagógicos y didácticos adquiridos en
estos, para mejorar sus procesos de enseñanza con sus alumnos. En cuanto a
los profesores que tienen una formación diferente a la docencia, elaboran
problemas y situaciones didácticas en contextos relacionados con sus
conocimientos adquiridos en estas formaciones, ya que al ser especialistas en
estos, tienen facilidad para vincularlos con los objetivos, aprendizajes y
conceptos que se deben abordar en las clases. Esto tiene una incidencia en los
alumnos, ya que aplican los conocimientos matemáticos en situaciones reales
como pueden ser de finanzas, administración, investigación, ciencias o
tecnologías de la información.

Sobre cómo los contextos de formación docente pueden influir en el desarrollo
profesional de los docentes y en la formación de sus identidades de forma
positiva (Lutovac y Kaasila, 2018), aquellos profesores que han asistido a algún
curso, capacitación, diplomado, entre otros, manifestaron que a partir de los
conocimientos adquiridos en estos, su práctica docente se modifica, comparten
que siempre hay algo que aprender y que se pueda aplicar en sus clases, así
como el sentirse más capacitados pero a la vez deseosos de aprender nuevas
cosas para mejorar su práctica, influyendo así de forma positiva tanto en su
desarrollo profesional como en sus identidades.

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Artículo de Investigación

Por último, encontramos que 8 de los profesores participantes, indicaron
identificarse como docentes. Si bien su primer carrera no la olvidan y tienen
presente que fue su formación inicial, se identifican hoy como profesores de
matemáticas de secundaria, lo que apuntaría a un cambio de identidad con
respecto a su formación inicial, relacionada con la naturaleza situada de que
convertirse en profesor de matemáticas implica un proceso de identidad, ya que
esta se modifica de acuerdo a la situación (Bjuland, Cestari y Borguesen, 2012).

Conclusiones y reflexiones finales

La identidad docente es un proceso continuo de construcción del yo profesional,
que se encuentra compuesta por diversos elementos constitutivos como lo es la
formación.

Dentro de este escrito hemos compartido cómo los profesores de matemáticas
de secundaria construyen su identidad docente y cómo esta se ve influenciada
por las formaciones de los docentes que pueden provenir tanto de carreras
relacionadas con la docencia como diferentes a esta área.

En los resultados se mostró cómo la formación de los docentes influye no solo
en la construcción de su identidad sino también en las decisiones que toman
con respecto a su desarrollo y práctica profesional impactando de forma directa
con los procesos de enseñanza y aprendizaje de sus alumnos.

Asimismo, los cambios positivos en las identidades de los profesores de
matemáticas de secundaria son una consecuencia de procesos de formación, lo
que podría ser un indicador que guiara futuras propuestas curriculares para
cubrir las necesidades propias de este segmento docente.

Si bien, dentro de este estudio hemos obtenidos resultados que pueden
constatar ciertas características propias de la identidad docente mencionada en
la literatura existente, también se identificaron aspectos que pueden caracterizar
de forma particular a este segmento particular de profesores con respecto a la
comunidad escolar. De esta forma la caracterización de la identidad docente de
los profesores de matemáticas de secundaria, que se realiza, permitirá aportar
al desarrollo profesional de los docentes y hacer propuestas de innovaciones en
el ámbito curricular, que se basen en las características y necesidades propias
de ellos. Además de contribuir al acervo bibliográfico relacionado con el tema, el
cual al día de hoy es escaso.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 37

Artículo de Investigación

Referencias bibliográficas

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Beijaard, D., Meijeir, P.C., Verloop, N. (2004). Reconsidering research on
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VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 38

Artículo de Investigación

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REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 39

Artículo de Investigación

COMPONENTES DEL MODELO MTSK QUE SE
EMPLEAN PARA ATENDER SITUACIONES
AFECTIVAS EN EL AULA
Verónica Aguilar Mendieta
[email protected]
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
(BUAP)
Puebla, México

Resumen

En este documento se presenta una investigación cuyos resultados nos
permiten formular algunas conclusiones acerca de cómo influye el conocimiento
que tiene el profesor de matemáticas acerca de dominio afectivo sobre el
conocimiento especializado que emplea para atender situaciones afectivas en el
aula.

Abstract

This document presents an investigation whose results allow to formulate some
conclusions about how the knowledge that the mathematics teacher has about
affective dominance influences the specialized knowledge that he uses to attend
situation in the classroom.

Problema de investigación

Gómez-Chacón (2002) señala que existe una relación recíproca entre los
afectos (tales como las emociones, las actitudes y las creencias) y el
aprendizaje, ya que por un lado la experiencia del estudiante al aprender
matemáticas le genera distintas reacciones e influye en la formación de sus
creencias, y por otro lado, sus creencias influyen directamente en su
comportamiento ante situaciones de aprendizaje y en su capacidad para
aprender. De esta manera, el profesor (y todo lo involucrado con su práctica
docente) es uno de los factores que influye en el afecto que se genera hacia las
matemáticas por parte de los estudiantes, sin embargo, él mismo es el
responsable de atender las dificultades que se les presentan a los alumnos
causadas por cuestiones afectivas, las cuales evidentemente pueden repercutir
negativamente en su aprendizaje. A partir de esto y considerando que, para
atender este tipo de situaciones se necesita conocer la problemática y sus

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 40

Artículo de Investigación

causas, pero también se requiere de distintos conocimientos que le permitan al
profesor atender dichas situaciones de manera oportuna, surge el interés de dar
respuesta a las siguientes preguntas de investigación: ¿cómo influye el
conocimiento que tiene el profesor acerca de dominio afectivo sobre el
conocimiento especializado que emplean para atender situaciones afectivas en
el aula? y ¿qué elementos del Conocimiento Especializado del Profesor de
Matemáticas (MTSK) utiliza el docente al diseñar actividades que atiendan
situaciones afectivas en el aula?

Marco teórico

Dado que esta investigación tiene como propósito determinar qué elementos del
MTSK emplea el profesor al diseñar actividades de aprendizaje que atiendan
intencionalmente situaciones de dominio afectivo en el aula, nuestro marco
teórico tiene dos componentes esenciales. Por un lado se definen algunos
conceptos de dominio afectivo que intervienen en este trabajo, y por otro, se
describe el MTSK como modelo del conocimiento especializado del profesor de
matemáticas.

Dominio afectivo

Siguiendo a McLeod (1992) "El dominio afectivo se refiere a una amplia gama
de creencias, sentimientos y estados de ánimo que van más allá del dominio de
la cognición” (p. 576).

Específicamente, los aspectos afectivos que se abordan en este trabajo son:
Percepción de la dificultad de las matemáticas, Desinterés hacia las
matemáticas y Valor subjetivo o utilidad de las matemáticas.

Respecto a la dificultad, se considera que los rasgos distintivos de las
matemáticas (tales como la abstracción, el rigor, etc.) hacen de estas una
disciplina para la que se requiere cierto esfuerzo y el uso de estrategias
cognitivas de orden superior para su asimilación, por lo que la dificultad que
perciben y/o experimentan los estudiantes al aprender matemáticas, tiene que
ver con la dificultad intrínseca que caracteriza a esta disciplina (Alonso et al.,
2005).

Para el desinterés hacia las matemáticas se adopta la definición que ofrece
González (2005), quien lo define como la falta de motivación que manifiestan
los alumnos en forma de aburrimiento o rechazo por la materia, y se destaca la
importancia de este aspecto afectivo en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN Y DIVULGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 41

Artículo de Investigación

Por último, en este trabajo se considera que el valor subjetivo de las
matemáticas se refiere a la idea que se tiene acerca de éstas, la cual se va
formando a partir de los afectos que se generan hacia esta área del
conocimiento y a su vez incluye la percepción de utilidad que los alumnos tienen
de las matemáticas (Sánchez, 2019).

Modelo MTSK

El MTSK es una propuesta teórica que modela el conocimiento especializado
del profesor de matemáticas y, a su vez, es una herramienta metodológica que
permite estudiar y analizar dicho conocimiento a través de sus categorías. Está
conformado por dos grandes grupos de conocimiento llamados dominios. El
primer dominio es el Conocimiento Matemático, el cual considera el
conocimiento que tiene el profesor de las matemáticas en un contexto escolar, y
el otro dominio es el Conocimiento Didáctico del Contenido, el cual se refiere al
conocimiento que tiene el profesor acerca del contenido matemático como
objeto de enseñanza-aprendizaje (Mendieta y Flores-Medrano, 2021).

En la Figura 1 se muestra la estructura del MTSK y se observa que los dominios
de conocimiento, que conforman el modelo, se dividen en tres subdominios
cada uno, los cuales a su vez se componen por las categorías desglosadas en

la imagen, las cuales han sido tomadas del trabajo de Carrillo-Yañez et al.

VOLUMEN 18, NÚMERO 3, DICIEMBRE2021 42

Artículo de Investigación

Figura 1. Dominios, subdominios y categorías que conforman el MTSK

(2018).

Método

Para la realización de este trabajo, se recurrió a una investigación de corte
cualitativo, la cual se llevó a cabo mediante un estudio de caso instrumental. El
caso lo constituyen dos profesoras de matemáticas en el nivel medio superior,
Gisela y Marcela (seudónimos), quienes estudiaron una maestría
profesionalizarte en Educación Matemática y abordaron temas de domino
afectivo en sus trabajos de tesis.

Respecto al proceso de investigación y los métodos de recolección y análisis de
datos. Primero se hizo una selección de algunas tesis, escritas por egresados
de la Maestría en Educación Matemática (MEM) en la Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla (BUAP), relacionadas con aspectos de dominio afectivo en
la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Una vez seleccionadas,
identificamos los elementos afectivos involucrados en las investigaciones y la
postura de las autoras respecto a dichos elementos, para luego establecer
contacto con ellas. Posteriormente se realizó una entrevista semiestructurada, a
cada una de las informantes, para obtener información acerca de sus
perspectivas sobre los elementos afectivos de los que tuvieran conocimiento o
interés, y con la información obtenida en las entrevistas, se hizo un análisis
temático para identificar las ideas esenciales que guiarían esta investigación. A
partir de dicho análisis, se establecieron tres temas con base en los rasgos
comunes del dominio afectivo que mencionaron las informantes durante la

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