การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ นักเรียนได้ศึกษาการเคลื่อนที่แนวตรงหรือการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติมาแล้ว ความรู้ดังกล่าวเป็น ความรู้พื้นฐานในการอธิบายการเคลื่อนที่แนวโค้ง หรือการเคลื่อนที่ในสองมิติ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ใน ระนาบใดระนาบหนึ่ง การเคลื่อนที่สองมิติมีหลายแบบ หากนักเรียนพิจารณาเส้นทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลที่ถูกเตะออกไป ดังรูป 1 จะพบว่า เส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง ถ้าไม่มีแรงต้านของอากาศหรือแรงต้านของอากาศน้อยมากจนไม่ต้อง นำมาคิด จะเรียกการเคลื่อนที่แบบนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile motion) รูป 1 การเคลื่อนที่ของลูกบอลเป็นการเคลื่อนที่แนวโค้ง จากการศึกษาลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโพรเจกไทล์ พบว่าวัตถุจะมีการ เคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งไปพร้อม ๆ กัน ทำให้เกิดการกระจัดในแนวระดับและการกระจัดใน แนวดิ่ง ความเร็วในแนวระดับและความเร็วในแนวดิ่ง เช่นการดีดเหรียญ A และเหรียญ B ให้ตกจาก ระดับความสูงจากพื้นเท่ากัน ดังรูป 2

2 รูป 2 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์และการเคลื่อนที่แนวดิ่งของเหรียญ จากการทดลองพบว่าเหรียญ 2 อันเริ่มต้นเคลื่อนที่พร้อมกันจากระดับความสูงเท่ากัน เหรียญ A จะเคลื่อนที่อย่างอิสระในแนวดิ่ง ส่วนเหรียญ B จะเคลื่อนที่อย่างอิสระแบบโพรเจกไทล์ เพราะ เหรียญ B ได้รับแรงในแนวระดับจากการปัดไม้บรรทัด ทำให้มีความเร็วในแนวระดับ และเมื่อพ้นขอบ โต๊ะเหรียญ B จะถูกแรงดึงดูดของโลกกระทำในแนวดิ่ง ในขณะที่ความเร่งในแนวระดับเป็นศูนย์ ทำให้เหรียญทั้งสองตกถึงพื้นพร้อมกัน การเคลื่อนที่แนวโค้งพาราโบลาภายใต้สนามโน้มถ่วงโดยไม่คิดแรงต้านอากาศเป็นการเคลื่อนที่ แบบโพรเจกไทล์ ในการเคลื่อนที่ดังกล่าว วัตถุมีการกระจัดทั้งในแนวระดับ (แกน x) และในแนวดิ่ง (แกน y) ณ เวลาเดียวกัน สำหรับการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ที่มีแรงโน้มถ่วงกระทำต่อวัตถุ จึงมีความเร่งเท่ากับความเร่งโน้มถ่วงของโลก g⃑ ซึ่งเป็นความเร่งคงตัว ทำให้ความเร็วในแนวดิ่งไม่คงตัว และมีค่าเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีแรงกระทำ ความเร่งในแนว ระดับจึงเท่ากับศูนย์ ทำให้ความเร็วในแนวระดับคงตัว รูป 3 วัตถุเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง u⃑ v⃑ v⃑ = 0 u⃑ = 0 v⃑ v⃑

3 พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุดังรูป 3 เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u⃑ วัตถุ จะเคลื่อนที่ขึ้นไปโดยความเร็วลดลงอย่างสม่ำเสมอ จนเป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด แล้วจึงเคลื่อนที่กลับลงมา โดยความเร็วเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ และตกมายังจุดเดิม รูป 4 วัตถุมีความเร็วต้นทำมุม θ กับแนวระดับ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในรูป 4 ซึ่งวัตถุมีความเร็วต้นทำมุม θ กับแนวระดับ เมื่อพิจารณา องค์ประกอบของความเร็วต้นเป็นความเร็วในแนวระดับและความเร็วในแนวดิ่ง ซึ่งความเร็วในแนว ระดับมีค่าเท่าเดิมตลอดการเคลื่อนที่ (u⃑ x= v⃑ x ) ส่วนความเร็วในแนวดิ่งจะมีการเปลี่ยนแปลงตามการ เคลื่อนที่แบบตกเสรี ทั้งการเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งเป็นเวลาเดียวกัน เท่ากับเวลาที่ใช้ในการ เคลื่อนที่บนเส้นโค้งขณะนั้น เพราะเป็นเวลาของวัตถุเดียวกันในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เมื่อไม่คิด แรงต้านของอากาศ 1. การเคลื่อนที่ในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ขณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมีแรงโน้มถ่วง mg⃑ กระทำเพียงแรงเดียว โดยในแนวระดับแรงที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ ∑ Fx= 0 ทำให้ความเร่งของ วัตถุในแนวระดับมีค่าเท่ากับศูนย์ ax= 0 นั่นคือวัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวระดับความความเร็วคงที่ u⃑ x= v⃑ x ดังนั้นจากสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวระดับ คือ sx = ux t (1) เมื่อ sx คือ การกระจัดในแนวระดับ (เมตร) ux คือ ความเร็วในแนวระดับ (เมตร/วินาที) t คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ (วินาที) θ u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ y v⃑ y v⃑ y = 0 v⃑ y v⃑ y u⃑

4 2. การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ขณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมีแรงโน้มถ่วง mg⃑ กระทำเพียงแรงเดียว ทำให้ความเร่งของวัตถุในแนวดิ่งมีค่าเท่ากับ g⃑ ดังนั้น ay= g นั่นคือวัตถุจะ เคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร็วไม่คงที่ ดังนั้นสมการที่ใช้ในการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่ง คือ sy = uy t + 1 2 gt 2 (2.1) vy = uy + gt (2.2) vy 2 = uy 2 + 2gsy (2.3) sy = ( uy + vy 2 ) t (2.4) เมื่อ sy คือ การกระจัดในแนวดิ่ง (เมตร) uy คือ ความเร็วต้นในแนวดิ่ง (เมตร/วินาที) vy คือ ความเร็วในแนวดิ่ง (เมตร/วินาที) g คือ ความเร่งโน้มถ่วง (เมตร/วินาที2 ) t คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ (วินาที) 3. ลักษณะการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 3.1 การเคลื่อนที่โพรเจกไทล์จากแนวดิ่งสู่แนวระดับ 1) วัตถุเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็วในแนวระดับ รูป 5 วัตถุเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็วในแนวระดับ u⃑ x u⃑ y = 0 sy sx g⃑

5 2) วัตถุเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็วต้นทำมุม θ ใด ๆ กับแนวระดับ รูป 6 วัตถุเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็วต้นทำมุม θ ใด ๆ กับแนวระดับ 3.2 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จากแนวระดับสู่แนวดิ่ง รูป 7 วัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จากแนวระดับสู่แนวดิ่ง u⃑ x u⃑ y sy sx u⃑ θ g⃑ sx sy u⃑ x u⃑ y u⃑ g θ

6 4. การคำนวณหาความเร็วขณะใด ๆ และการกระจัดของวัตถุเมื่อเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ความเร็วขณะใด ๆ สัมผัสกับเส้นโค้งการเคลื่อนที่ และประกอบด้วยความเร็วสองแนว คือ แนว ระดับและแนวดิ่ง รูป 8 เวกเตอร์ของความเร็วและการกระจัด จากรูป 8 ความเร็วในแนวระดับและความเร็วในดิ่งตั้งฉากกัน ดังนั้นความเร็วขณะใด ๆ ของ วัตถุเมื่อเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์สามารถคำนวณหาได้ดังสมการ (3) เมื่อกำหนดให้ vx = ux v = √vx 2 + vy 2 (3) เมื่อ v คือ ความเร็วขณะใด ๆของวัตถุ (เมตร/วินาที) vx คือ ความเร็วในแนวระดับ (เมตร/วินาที) vy คือ ความเร็วในแนวดิ่ง (เมตร/วินาที) ทิศทางของ v⃑ สามารถหาได้จาก tan α = vy vx (4) เมื่อ α คือ มุมที่ v⃑ ทำกับแนวระดับ u⃑ x v⃑ y sy sx u⃑ θ s u⃑ x v⃑ u⃑ y u⃑ x v⃑ y v⃑ u⃑ x v⃑ y v⃑ A B α g

7 เช่นเดียวกันการกระจัดจากจุด A ไปยังจุด B สามารถหาได้จาก s = √sx 2 + sy 2 (5) เมื่อ s คือ การกระจัดจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย (เมตร) sx คือ การกระจัดในแนวระดับ (เมตร) sy คือ การกระจัดในแนวดิ่ง (เมตร) ทิศทางของ s สามารถหาได้จาก tan α = sy sx (6) เมื่อ α คือ มุมที่ s ทำกับแนวระดับ ตัวอย่างที่ 1 ขว้างลูกบอลออกจากที่สูง 5 เมตร ออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) ก. นานเท่าใดลูกบอลจะตกถึงพื้น ข. ลูกบอลตกถึงพื้นห่างจากตำแหน่งข้างล่างกี่เมตร จากโจทย์ sy = 5 เมตร, ux = 10 เมตร/วินาที uy = 0 เมตร/วินาที ก. ต้องการหา t จากโจทย์ จาก sy = uy t + 1 2 gt 2 5 = 0 + 1 2 (10)t 2 t 2 = 5 5 t = 1 วินาที ข. ต้องการหา sx พิจารณาแนวระดับ เมื่อ t = 1 วินาที sx = ux t sx = (10)(1) sx = 10 เมตร

8 ตัวอย่างที่ 2 เมื่อปาวัตถุออกไปในแนวระดับจากที่สูง 80 เมตร ปรากฏว่าวัตถุตกห่างจากจุดที่ปาใน แนวระดับ 20 เมตร จงหาความเร็วของวัตถุที่ปาออกไป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) จากโจทย์ sy = 80 เมตร, sx = 20 เมตร, uy = 0 เมตร/วินาที, ux = ? 1) หาเวลา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 80 = 0 + 1 2 (10)t 2 t 2 = 80 5 t 2 = 4 t = 2 วินาที 2) หาความเร็วในแนวระดับ ux จาก sx = ux t 20 = ux (4) ux = 20 4 ux = 5 เมตร/วินาที ตัวอย่างที่ 3 เครื่องบินทิ้งระเบิด บินในแนวระดับด้วยความเร็ว 200 เมตร/วินาที และอยู่สูงจากพื้นดิน 2,000 เมตร เมื่อทิ้งระเบิดที่ปีกออกมา จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) ก. ระเบิดตกไกลจากตำแหน่งที่ทิ้งตามแนวระดับเท่าใด ข. ระเบิดจะกระทบพื้นด้วยขนาดของความเร็วเท่าใด จากโจทย์ sy = 2,000 เมตร, ux = 200 เมตร/วินาที uy = 0 เมตร/วินาที ก. ระเบิดตกไกลจากตำแหน่งที่ทิ้งตามแนวระดับเท่าใด (sx = ?) 1) หาเวลา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 2,000 = 0 + 1 2 (10)t 2 t 2 = 2,000 5

9 t 2 = 400 t = 20 วินาที 2) หา sx = ? จาก sx = ux t sx = 200(20) sx = 4,000 เมตร ข. ระเบิดจะกระทบพื้นด้วยขนาดของความเร็วเท่าใด (v) จากสมการ v = √vx 2 + vy 2 จากสมการหาค่า v หา vy ก่อน vy 2 = uy 2 + 2gsy vy 2 = 0 + 2(10)(2,000) vy 2 = 0 + 2(10)(2,000) vy 2 = 40,000 v = 200 เมตร/วินาที หาค่า v จาก v = √vx 2 + vy 2 v = √2002 + 2002 v = √(2)2002 v = 200√2 เมตร/วินาที

10 ตัวอย่างที่ 4 ขว้างวัตถุจากหน้าผาสูง 40 เมตร ทำมุมเงย 53 องศา กับแนวระดับด้วยความเร็ว 12.5 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) ก. นานเท่าไรวัตถุตกถึงพื้นดิน ข. วัตถุตกห่างจากตีนผากี่เมตร ค. วัตถุขึ้นไปสูงสุดจากพื้นกี่เมตร จากโจทย์กำหนดให้ sy = 40 เมตร, u = 12.5 เมตร/วินาที, g = 10 เมตร/วินาที2 วาดรูปประกอบ 1) จัดองค์ประกอบของเวกเตอร์ u ให้อยู่ในแนวแกน x และแกน y จะได้ ux = u cos 53° ux = 12.5 ( 3 5 ) ux = 7.5 เมตร/วินาที uy = u sin 53° uy = 12.5 ( 4 5 ) uy = 10 เมตร/วินาที sy = 40 m ux uy u 53° sx

11 ก. นานเท่าไรวัตถุตกถึงพื้นดิน หาเวลา t จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง −40 = (10)t + 1 2 (−10)t 2 −40 = 10t − 5t 2 −40 5 = 10t 5 − 5t 2 5 −8 = 2t − t 2 t 2 − 2t − 8 = 0 (t − 4)(t + 2) = 0 t = 4, − 2 วินาที ข. วัตถุตกห่างจากตีนผากี่เมตร โจทย์ต้องการหา sx จากสมการ sx = ux t sx = 7.5(4) sx = 30 เมตร ค. วัตถุขึ้นไปสูงสุดจากพื้นกี่เมตร วัตถุขึ้นไปถึงจุดสูงสุด vy = 0 เมตร/วินาทีต้องการหา sy จากสมการ vy 2 = uy 2 + 2gsy 0 = 102 + 2(−10)sy sy = 100 20 sy = 5 เมตร วัตถุขึ้นไปสูงจากจุดโยน 5 เมตร ดังนั้นวัตถุสูงจากพื้นดินเท่ากับ 45 เมตร

12 แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์แบบพื้นฐาน 1. คูน้ำกว้าง 10 เมตรมีลักษณะดังรูป นักขี่จักรยานคนหนึ่งต้องการจะขี่ข้ามคูน้ำ (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. ความเร็วที่น้อยที่สุดของจักรยานที่จะข้ามคูน้ำได้พอดี ข. ความเร็วที่ถึงฝั่งตรงข้ามพอดี 2. นักขับมอเตอร์ไซด์ผาดโผนคนหนึ่งต้องการขับมอเตอร์ไซค์ข้ามแม่น้ำกว้าง 5.1 เมตร จากที่สูง 2.0 เมตร ดังรูป นักขับมอเตอร์ไซค์จะต้องขับด้วยความเร็วที่น้อยที่สุดกี่เมตร/วินาที จึงจะข้ามแม่น้ำได้พอดี (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) 5 m 10 m

13 3. ดีดยางลบจากขอบโต๊ะสูง 1.0 เมตร พบว่ายางลบกระเด็นตกไปไกล 2.0 เมตร เมื่อวัดในแนวระดับ ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. เวลาที่ยางลบใช้ในการเคลื่อนที่ในอากาศ ข. อัตราเร็วที่ยางลบถูกดีดออกจากขอบโต๊ะ 4. ยิงลูกปืนมวล 40 กรัม ด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ทำมุม 53 องศา กับแนวระดับห่างจากตึก หลังหนึ่ง 120 เมตร จงหาลูกปืนตกกระทบตึกที่ตำแหน่งสูงจากพื้นระดับที่ยิงกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 )

14 5. นักเรียนคนหนึ่งต้องการโยนลูกบาสเกตบอลจากความสูง 2.0 เมตร ให้ลงห่วงสูง 3.0 เมตร จาก ระยะห่าง 3.0 เมตร โดยโยนทำมุม 60 องศากับแนวระดับดังรูป นักเรียนคนนี้จะต้องโยนลูก บาสเกตบอลด้วยอัตราเร็วเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) 6. นักบาสเกตบอลคนหนึ่งโยนลูกบาสเกตบอลออกไปด้วยความเร็ว 6.5 เมตร/วินาที ทำมุม 50 องศา กับแนวระดับ โดยลูกบาสเกตบอลถูกโยนจากจุดที่สูงจากพื้น 2.3 เมตร ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 sin 50° = 0.766, cos 50° = 0.643 ) จงหา ก. เวลาที่ลูกบาสเกตบอลเคลื่อนที่ในอากาศก่อนจะลงห่วง ข. ลูกบาสเกตบอลลงห่วงสูงจากพื้นดินกี่เมตร

15 7. ชายคนหนึ่งยิงเหรียญจากเครื่องยิงด้วยความเร็ว 7.0 เมตร/วินาทีทำมุมกับแนวระดับ 60 องศา ไป ยังจานรับเหรียญซึ่งห่างจากจุดยิงในแนวระดับ 2.8 เมตร ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. เวลาที่เหรียญเคลื่อนที่ในอากาศ ข. จานรับเหรียญสูงจากตำแหน่งที่ยิงเหรียญกี่เมตร 8. ยิงกระสุนปืนมวล 50 กรัม ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทำมุม 60 องศากับแนวระดับ หลังจากนั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเป้าบนหน้าผา เป้านั้นสูงจากพื้นระดับที่ยิงเท่าใด 9. ตำรวจดับเพลิงต้องการฉีดน้ำดับเพลิงซึ่งไหม้อาคารสูง 10 เมตร ถ้าความเร็วต้นของน้ำที่ออกจาก เครื่องฉีดน้ำเท่ากับ 20 เมตร/วินาทีทำมุม 60 องศากับแนวระดับ เขาต้องยืนห่างจากตัวอาคารอย่าง น้อยกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 1. 10(3 − √3) เมตร 2. 10(√3 − 1) เมตร 3. 10(√15 − 3) เมตร 4. 10(√5 − √3) เมตร

16 10. ท่อนไม้ไถลลงมาจากหลังคาบ้านที่มีมุมลาดเอียง 30 องศา เมื่อวัดเทียบกับแนวระดับ ปลายหลังคา อยู่สูงจากพื้น 8.0 เมตร ดังรูป เมื่อท่อนไม้หลุดจากปลายหลังคาท่อนไม้มีอัตราเร็ว 6.0 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. ท่อนไม้ใช้เวลาในการเคลื่อนที่ในอากาศนานเท่าใด ข. ท่อนไม้ตกห่างจากหลังคาบ้านเมื่อวัดในแนวระดับที่พื้นเท่ากับเท่าใด 11. นักขี่จักยานผาดโผน ต้องการขี่ข้ามคลองซึ่งกว้าง 5.0 เมตร ไปยังฝั่งตรงข้าม ถ้าเขาขับรถด้วย ความเร็ว 10 เมตร/วินาที ก่อนพ้นฝั่งแรกเขาจะต้องข้ามได้โดยไม่ชนฝั่งตรงข้าม h จะมีค่าได้มากที่สุด กี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 45° h 5 m

17 12. ขว้างลูกบอลทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ปรากฏว่าลูกบอลลอยข้ามกำแพงสูง 10 เมตร ซึ่งอยู่ ห่างจากจุดขว้างในแนวระดับเท่ากับ 60 เมตร ได้พอดี อยากทราบว่า ณ จุดสูงสุดของแนวการเคลื่อนที่ นั้น ลูกบอลอยู่สูงจากแนวระดับกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 13. รถคันหนึ่งวิ่งในแนวตรงด้วยอัตราเร็วคงตัว 20.0 เมตร/วินาที เมื่อถึงตำแหน่ง ก คนในรถโยนก้อน หินขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็ว 19.6 เมตร/วินาที ดังรูป ขณะก้อนหินตกกลับมาถึงมือคนโยน รถอยู่ ห่างจากตำแหน่ง ก เป็นระยะทางเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 )

18 14. เฮลิคอปเตอร์ลำหนึ่งบินในแนวระดับด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที และบินที่ความสูงจากผิวน้ำ ทะเล 120 เมตร เมื่อนักบินเห็นเรือบรรทุกสัมภาระที่แล่นสวนทางมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จึง ตัดสินใจปล่อยสัมภาระลงไป ดังรูป เมื่อสัมภาระจากเฮลิคอปเตอร์ลงเรือพอดี ต้องปล่อยสัมภาระเมื่อเฮลิคอปเตอร์ห่างจากเรือใน แนวระดับเป็นระยะทางเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) 15. ทหารยิงปืนในแนวระดับสูงจากพื้น 1.5 เมตร ลูกปืนออกจากลำกล้องมีอัตราเร็ว 500 เมตร/วินาที ถูกต้นไม้ที่อยู่ห่างออกไป 100 เมตร เมื่อไม่คิดแรงต้านอากาศ ลูกปืนเจาะต้นไม้ที่ความสูงจากพื้นเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 )

19 5. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เมื่อจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายอยู่ในระดับเดียวกัน มีลักษณะการเคลื่อนที่เป็นรูปพาราโบลาเต็มรูป ดังรูป 9 รูป 9 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์พาราโบลาเต็มรูป เมื่อปาวัตถุจากจุด A ด้วยความเร็วต้น u⃑ ทำมุม θ กับแนวระดับดังรูป โจทย์กำหนดค่ามุมที่ปา θ และความเร็วต้น u⃑ ให้ 1. เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด จัดเวกเตอร์ u⃑ ให้อยู่ในองค์ประกอบแกน x และแกน y จะได้ ux = u cos θ uy = u sin θ จาก sy = uy t + 1 2 gt 2 0 = ( u sin θ)t + 1 2 (−g)t 2 1 2 gt 2 = ( u sin θ)t t = 2u sin θ g (7) เมื่อ t คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด (วินาที) u คือ ความเร็วต้นของวัตถุ (เมตร/วินาที) θ u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ x u⃑ y v⃑ y v⃑ y = 0 v⃑ y v⃑ y u⃑

20 2. การกระจัดสูงสุดที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ พิจารณาแนวดิ่ง vy 2 = uy 2 + 2gsy 0 = (u sin θ) 2 + 2(−g)sy 2gsy = (u sin θ) 2 sy = (u sin θ) 2 2g sy = u 2 sin2θ 2g (8) 3. หาการกระจัดในแนวแกน x พิจารณาวัตถุเคลื่อนที่ในแนวระดับ sx = ux t sx = (u cos θ) ( 2u sin θ g ) sx = u 2(2 sin θ cos θ) g จากสมบัติของตรีโกณมิติsin 2θ = 2 sin θ cos θ ดังนั้น sx = u 2 sin 2θ g (9) จากสมการที่ (8) และสมการที่ (9) ความสัมพันธ์ระหว่าง sy กับ sx ได้ว่า sy sx = u 2sin2θ 2g u 2 sin 2θ g sy sx = ( u 2 sin2θ 2g ) ( g (2 sin θ cos θ) ) sy sx = 1 4 tan θ (10)

21 4. การหามุมปาโพรเจกไทล์ ที่ทำให้วัตถุตกไกลที่สุด ในการปาวัตถุออกไปด้วยความเร็วต้น u เท่ากัน วัตถุจะตกไกลที่สุดเมื่อ ค่า sin 2θ มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1 โดยที่ u และ g มีค่าคงที่ sin 90° = 1 2θ = 90° θ = 45° ดังนั้นระยะไกลสุดที่วัตถุเคลื่อนที่ได้เท่ากับ sx = u 2 g (11) แสดงว่าเมื่อมุม θ = 45° วัตถจะเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้ไกลที่สุด ดังรูป 10 รูป 10 ปาวัตถุออกไปทำมุมกับแนวระดับ ตัวอย่างที่ 5 ลูกบอลหนึ่งถูกตีด้วยความเร็วต้น 30 เมตร/วินาที จงคำนวณหาว่าลูกบอลนี้จะตกไกลสุด เป็นระยะทางเท่าไร จากโจทย์ u = 30 เมตร/วินาที, θ = 45° (วัตถุตกไกลที่สุด), sx = ? จากสมการ sx = u 2 sin 2θ g sx = 302 sin 2(45° ) 10 sx = 90 เมตร 20° 30° 45° 60° 70° แนวระดับ แนวดิ่ง

22 ตัวอย่างที่ 6 ปืนกระบอกหนึ่งสามารถยิงกระสุนได้ไกลที่สุด 250 เมตร จงหาว่าถ้าต้องการยิงทำมุม 37° จะยิง ให้กระสุนไปได้ไกลกี่เมตร จากโจทย์พบว่ามี 2 เหตุการณ์ 1) ยิงวัตถุไกลที่สุด sx = 250 เมตร, θ = 45° หา u จาก sx = u 2 sin 2θ g 250 = u 2(1) 10 u 2 = 2,500 u = 50 เมตร/วินาที 2) ยิงวัตถุด้วยความเร็วต้น u = 50 เมตร/วินาที θ = 37° หา sx จาก sx = u 2 sin 2θ g sx = 502(2sin θ cos θ) 10 sx = 2,500(2sin 37° cos 37° ) 10 sx = 2,500(2× 3 5 × 4 5 ) 10 sx = 240 เมตร

23 แบบฝึกทักษะที่ 2 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์พาราโบลาเต็มรูป 1. ขว้างก้อนหินออกไปทำมุม 45 องศากับแนวระดับด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. นานเท่าใดก้อนหินถึงจะตกถึงพื้น ข. ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ค. ก้อนหินตกไกลจากจุดที่ขว้างเท่าใด 2. ยิงปืนทำมุม 53 องศากับแนวระดับ ถ้าลูกปืนมีอัตราเร็ว 300 เมตร/วินาที อยากทราบว่าลูกปืนตก ไกลจากจุดยิงเท่าไร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 3. วัตถุก้อนหนึ่งถูกยิงในแนวทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ปรากฏว่า ณ จุดสูงสุดวัตถุมีความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) ก. วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ข. วัตถุตกไกลจากจุดยิงเท่าใด

24 4. ชายคนหนึ่งขว้างลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่งได้สูงสุด 30 เมตร ถ้าเขาขว้างลูกบอลนี้ด้วยความเร็วต้นเท่า เดิม แต่ให้ทำมุมกับแนวระดับ เขาจะขวางลูกบอลนี้ได้ระยะไกลที่สุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 5. ชายคนหนึ่งขว้างก้อนหินขึ้นไปในอากาศตามแนวโค้ง ก้อนหินเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ไปตกห่างจาก ตำแหน่งที่ยืนในแนวระดับเท่ากับ 10 เมตร เขาจะต้องขว้างก้อนหินนี้ออกไปด้วยความเร็วอย่างน้อย ที่สุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 6. นักฟุตบอลเตะลูกฟุตบอลได้ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับพื้นสนาม ไปยังประตู ซึ่งห่างจากจุดเตะ 50 เมตร ถ้าในเวลาเดียวกับนักฟุตบอลเตะลูกฟุตบอล ผู้รักษาประตูซึ่งยืนที่ประตูได้ วิ่งออกมาทันทีด้วยความเร่งคงที่ และปรากฏว่าผู้รักษาประตูรับลูกบอลได้พอดีที่ลูกบอลตกถึงพื้น จงหา ว่าผู้รักษาประตูต้องวิ่งออกมาด้วยความเร่งคงที่เท่ากับเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 )

25 7. ยิงปืนใหญ่ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ไปยังรถถังข้าศึกที่กำลัง แล่นตรงเข้ามาด้วยความเร็วคงที่ และขณะนั้นอยู่ห่างออกไป 1,200 เมตร ถ้ากระสุนกระทบเป้าหมาย พอดี จงหาว่ารถถังข้าศึกกำลังแล่นด้วยความเร็วเท่าใด ก่อนจะถูกทำลาย (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 8. รถมีความเร็วคงที่ 10√2 เมตร/วินาที วิ่งในแนวเส้นตรง กำลังวิ่งหนีตำรวจ ถ้าตำรวจยิงปืนออกไป ด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับแนวราบ จงหาว่าถ้าจะให้กระสุนปืนโดนรถคันนี้ พอดีตำรวจต้องเริ่มยิงเมื่อรถวิ่งห่างออกไปแล้วกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 )

26 9. เล็งปากกระบอกปืนจากพื้นไปที่เป้า ซึ่งอยู่สูงจากพื้น 4 เมตร ต่อกลไกปล่อยเป้าเข้ากับเครื่องลั่นไก เพื่อให้เป้าหล่นพร้อม ๆ กับที่ลูกปืนออกจากปากกระบอกปืน ถ้าจุดยิงปืนห่างจากเป้าในแนวระดับ 3 เมตร และลูกปืนมีความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที กระสุนปืนกระทบเป้าที่ความสูงเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 10. นักเตะรักบี้เตะลูกบอลขึ้นด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เป็นมุม 60 องศากับแนวระดับ เขาจะต้อง วิ่งด้วยความเร็วอย่างน้อยที่สุดเท่าใด จึงจะไปรับลูกบอลที่เขาเตะออกไปเองได้พอดีก่อนตกถึงพื้นดิน (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 )

27 11. ขว้างก้อนหินออกไปในแนวระดับด้วยอัตราเร็ว 5.0 เมตร/วินาที จากตึกสูงแห่งหนึ่ง เมื่อก้อนหินตก กระทบพื้นความเร็วของก้อนหินขณะนั้นทำมุม 60 องศากับแนวระดับ ก้อนหินตกห่างจากตึกในแนว ระดับเท่าใด กำหนดให้ tan 60° = √3 (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) 12. จากรูป ถ้ายิงมวล m1 ให้เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีความเร็วเริ่มต้น v1 = 24 เมตร/วินาที ทำ มุม 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกันมวล m2 ถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น v2 ถ้ามวลทั้ง สองเคลื่อนที่ในระนาบเดียวกันและชนกันกลางอากาศได้ ค่า v2 จะต้องมีค่าเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 30° v1 v2 m2 m1

28 13. ยิงวัตถุ A ให้เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ด้วยความเร็วเริ่มต้น u1 ขนาดเท่ากับ 40 เมตร/วินาที ทำ มุม 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกันวัตถุ B ถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u2 ดังรูป วัตถุ B จะต้องถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u2 ขนาดเท่าใดจึงจะทำให้วัตถุ A และ B ชนกันกลางอากาศ (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) 14. ชายคนหนึ่งต้องการโยนกล่องพัสดุข้ามตึกไปให้เพื่อนที่อยู่ตึกข้าง ๆ ที่ห่างกัน 12.0 เมตร และจุดที่ รับอยู่ต่ำกว่าจุดโยน 2.0 เมตร เขาโยนกล่องพัสดุมุม 45 องศากับแนวระดับ ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) ก. กล่องพัสดุใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่าใด ข. เขาจะต้องโยนกล่องพัสดุด้วยอัตราเร็วเท่าใด ค. กล่องพัสดุตกถึงผู้รับด้วยความเร็วเท่าใด

29 6. การหาระยะไกลสุดบนพื้นเอียงของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ กำหนดให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นเอียงซึ่งทำมุม θ กับแนวระดับด้วยความเร็วต้น u และ ทำมุม α กับแนวระดับ วัตถุตกถึงพื้นเอียงที่จุดห่างจากจุดเริ่มต้น R รูป 10 ระยะไกลสุดบนพื้นเอียงของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ พิจารณาแนวระดับ จาก sx = ux t R cos θ = (u cos α)t t = Rcos θ u cos α (1) พิจารณาแนวดิ่ง จาก sy = uy t + 1 2 gt 2 R sin θ = (usin α)t + 1 2 (−g)t 2 (2) แทน (1) ลงใน (2) R sin θ = (usin α) ( Rcos θ u cos α ) − 1 2 (g) ( R cos θ u cos α ) 2 หารด้วย R ตลอด sin θ = (usin α) ( cosθ u cos α ) − 1 2 g R cos2 θ u2 cos2 α 1 2 gR cos2 θ u2 cos2 α = (sin α) ( cos θ cos α ) − sin θ 1 2 gR cos2 θ u2 cos2 α = (sin α) cos θ−sin θ cos α cos α θ α u R R cos θ u cos α R sin θ u sin α A B

30 1 2 gR cos2 θ u2 cos2 α = sin(α− θ) cos α R = (2u2 cos2 α)sin(α− θ) cos α(g cos2 θ) R = 2u2 cos α sin(α− θ) g cos2 θ (3) จากสมการ (3) 2u2 g cos2 θ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น R จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ cos α sin(α − θ) มีค่ามากที่สุด การหาค่ามากที่สุดของ cos α sin(α − θ) cos α sin(α − θ) = 1 2 [sin(α + α − θ) + sin(α − α + θ)] cos α sin(α − θ) = 1 2 [sin(2α − θ) + sin θ] แต่ sin θ มีค่าคงที่ ดังนั้น cos α sin(α − θ) มีค่ามากที่สุดเมื่อ sin(2α − θ) มีค่า มากที่สุด ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ sin 90° จาก sin(2α − θ) = sin 90° 2α − θ = 90° 2α = 90° + θ α = 45° + θ 2 แสดงว่าการขว้างวัตถุให้ตกในระยะไกลสุดบนพื้นเอียง จะต้องขว้างด้วยความเร็วต้น ทำมุม 45° + θ 2 เมื่อ θ คือมุมของพื้นเอียง ในทำนองเดียวกัน ถ้าขว้างวัตถุจากจุดบนพื้นเอียงลงมาช้างล่างให้ได้ระยะไกลสุดบนพื้นเอียง เราจะต้องขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้นทำมุม 45° − θ 2

31 ตัวอย่างที่ 7 ขว้างวัตถุจากปลายล่างพื้นเอียงซึ่งทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ด้วยความเร็ว 30 เมตร/ วินาที ทำมุม 30 องศากับพื้นเอียง จงหาระยะตกไกลบนพื้นเอียง วาดรูปประกอบโจทย์ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t R cos 30° = (u cos 60° )t t = √3R u (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 R sin 30° = (u sin 60° )t + 1 2 gt 2 (2) แทนค่า t = √3R u ลงใน (2) จะได้ R ( 1 2 ) = (u ( √3 2 )) ( √3R u ) + 1 2 (−10) ( √3R u ) 2 R 2 = 3R 2 − 5 ( 3R 2 u2 ) 30° 30° u R R cos 30° u cos 60° u sin 60 R sin 30° 0 A B

32 นำ R มาหารตลอด 12 = 32 − 5 ( 3Ru2 ) 15Ru2 = 32 − 12 R = u 2 15 R = 30 2 15 R = 900 15 R = 60 เมตร

33 แบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์บนพื้นเอียง 1. ชายผู้หนึ่งยืนบนเนินซึ่งเอียงทำมุม 30 องศากับแนวราบ ขว้างก้อนหินขึ้นไปด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ในทิศทำมุม 60 องศากับแนวระดับ ก้อนหินตกบนเนินห่างจากจุดขว้างกี่เมตร 2. ภูเขาลูกหนึ่งแนวเขาลาดเอียงทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ที่ยอดเขามีปืนใหญ่ตั้งอยู่ทำมุม 60 องศากับแนวภูเขา ถ้ายิงกระสุนปืนออกมาด้วยความเร็วต้น 15 เมตร/วินาที จงหาว่ากระสุนตกที่เชิงเขา ห่างจากตัวปืนเป็นระยะเท่าใด 3. ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลจากยอดพื้นเอียงด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เอียงทำมุม 30 องศากับแนว ระดับ ถ้าพื้นเอียงนั้นเอียงลง 30 องศาจากแนวระดับเช่นกัน จะใช้เวลาเท่าใดลูกบอลจึงจะตกกระทบ พื้นเอียงนับจากโยน 30° 60°

34 4. นักเรียนคนหนึ่งยืนบนยอดเขาซึ่งทำมุม 37 องศากับแนวระดับ ขว้างก้อนหินลงไปยังเชิงเขาด้วย ความเร็ว 25 เมตร/วินาที ในแนวราบ นานกี่วินาทีก้อนหินจึงจะตกกระทบพื้น (ไม่คิดความสูงของ นักเรียน) 5. โยนลูกบอลออกจากตำแหน่ง ก. ด้วยความเร็ว v0 เมตร/วินาที ในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง ลูกบอล จะตกถึงตำแหน่ง ข. เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด 30° v0 ก ข

35 ข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 1. ยิงโพรเจกไทล์ในระนาบดิ่งเดียวกันพร้อมกัน ลูกหนึ่งออกจากจุด A อีกลูกหนึ่งออกจาจุด B ด้วย ความเร็วต้นที่มีขนาดเท่ากัน และทำมุมตั้งต้นเท่ากันเท่ากับ ระยะห่าง AB มีค่าไม่เกินเท่าไร โพรเจกไทล์ ถึงจะชนกันก่อนถึงพื้น (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 62) 1. u 2 2g sin θ 2. u 2 g sin θ 3. u 2 2g sin 2θ 4. u 2 g sin 2θ 5. 2u 2 g sin 2θ θ θ u u A B พื้นระดับ

36 2. ต้องยิงโพรเจกไทล์ด้วยมุมตั้งต้น θ เท่าไรจึงจะขึ้นไปได้สูง AC เท่ากันกับที่ไปได้ไกล OB บนพื้น ระดับ (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 61) 1. arctan( 1 4 ) 2. arctan( 1 2 ) 3. 45° 4. arctan2 5. arctan4 y A O C B g θ พื้นระดับ

37 3. เด็กคนหนึ่งอยู่บนรถซึ่งเคลื่อนที่บนถนนตรงด้วยความเร็วคงที่ v เขาปาก้อนหินออกไปด้วยความเร็ว u เทียบกับรถทิศทำมุม θ กับทิศที่รถเคลื่อนที่ ก้อนหินจะตกกระทบพื้นห่างจากรถเป็นระยะเท่าไร (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 60) 1. ตำแหน่งเดียวกันกับรถ 2. นำหน้ารถอยู่ 2u 2 sin θ cos θ g 3. นำหน้ารถอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ g 4. ตามหลังอยู่ 2u 2 sin θ cos θ g 5. ตามหลังอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ g u θ v g

38 4. จะต้องดีดโพรเจกไทล์มวล m ด้วยความเร็วต้น (ในแนวระดับ) เท่าไรจึงจะลงหลุมพอดี (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 59) 1. ( 2g h ) 1 2 L 2. ( g h ) 1 2 L 3. ( g 2h) 1 2 L 4. ( g 2(h+L) ) 1 2 L 5. ( g 2L) 1 2 h ยอดตึก g L h m หลุม พื้นระดับ

39 5. ABC เป็นรางผิวลื่นโค้งเป็นส่วนของวงกลมรัศมี R ในระนาบดิ่ง A อยู่ในระดับเดียวกับศูนย์กลาง O เส้น OC ทำมุม 60 องศากับแนวดิ่ง มวล m ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งจากจุด A เมื่อมวล m พ้นจุด C แล้วก็ จะเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จุดยอดอยู่ใต้ระดับ AO เป็นระยะทางเท่าใด (ข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี 57) 60° A B C O m g จุดยอด

40 6. ล้อรัศมี R กำลังหมุนอยู่กับที่รอบแกน C ด้วยอัตราเร็ว f รอบต่อวินาที หยดน้ำที่ถูกสลัดออกไปจาก จุด A ในแนวระดับจะตกกระทบพื้นห่างจากจุด O เป็นระยทางเท่าไร (ข้อสอบโครงการขยาย ผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย)

41 7. ยิงกระสุนออกไปในแนวราบบนผิวดวงจันทร์ กระสุนกระทบเป้าที่ระยะห่าง 25 เมตร ที่ตำแหน่ง 5 มิลลิเมตรใต้แนวการยิง แต่ถ้าเลื่อนเป้าให้ห่างจากจุดที่ยิงเป็น 50 เมตร ลูกปืนจะกระทบเป้าใต้แนวการ ยิงกี่มิลลิเมตร (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ ไทย)

42 8. ถ้าต้องการยิงปืนใหญ่ให้ได้ระยะทางในแนวดิ่งเป็น 1 2 เท่าของระยะทางในแนวระดับ จะต้องปรับปาก กระบอกปืนใหญ่ให้ทำมุมเท่าไรกับแนวระดับ (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย) 9. พิจารณาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของวัตถุ ดังรูป (ข้อสอบ Pat 2 ปี 2560) ข้อใดกล่าวถูกต้องเกี่ยวกับวัตถุที่ตำแหน่ง A (ไม่คิดแรงต้านอากาศ) 1. ความเร็วและความเร่งเท่ากับศูนย์ 2. มีความเร็วและความเร่งในแนวดิ่ง 3. ความเร็วเท่ากับศูนย์ แต่ความเร่งไม่เท่ากับศูนย์ 4. มีความเร็วในแนวระดับ แต่ความเร่งเท่ากับศูนย์ 5. มีความเร็วในแนวระดับ แต่ความเร่งมีทิศชี้ลงในแนวดิ่ง 1 2 sx θ sx A

43 10. การยิงวัตถุแบบโพรเจกไทล์ด้วยอัตราเร็วต้นและมุมยิงเดียวกัน บนดวงจันทร์ที่มีแรงโน้มถ่วงต่ำกว่า บนโลก เมื่อเปรียบเทียบกับบนโลกจะเป็นตามข้อใด (ข้อสอบ Pat 2 ปี 2552) กำหนดให้ เส้นประ --------- แทนการเคลื่อนที่บนโลก เส้นทึบ แทนแนวการเคลื่อนที่บนดวงจันทร์ 1. 2. 3. 4. 11. ระเบิดลูกหนึ่งเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์(projectile motion) เมื่อเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดระเบิด ออกเป็นมวล 3 ก้อนที่เท่ากัน ถ้าทันทีที่ระเบิดมีมวลสองก้อนเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ข้อใดต่อไปนี้สรุปได้ถูกต้องเกี่ยวกับมวลก้อนที่สาม (ทันทีที่ระเบิด) (ข้อสอบ Pat 2 ปี 2553) 1. มีขนาดความเร็วเป็น 3 เท่าของขนาดความเร็วของลูกระเบิด ณ จุดสูงสุดก่อนการระเบิด 2. มีพลังงานจลน์เป็น 3 เท่าของพลังงานจลน์ของลูกระเบิด ณ จุดสูงสุดก่อนการระเบิด 3. มีขนาดโมเมนตัมเป็น 3 เท่าของขนาดโมเมนตัมของลูกระเบิด ณ จุดสูงสุดก่อนการระเบิด 4. มีคำตอบถูกมากกว่า 1 ข้อ ระยะแนวดิ่ง ระยะแนวระดับ ระยะแนวดิ่ง ระยะแนวระดับ ระยะแนวดิ่ง ระยะแนวระดับ ระยะแนวดิ่ง ระยะแนวระดับ

44 12. ทดสอบการเคลื่อนที่ของลูกบอลลูกหนึ่งจากความสูงเริ่มต้นเท่ากัน โดยครั้งที่ 1 ปล่อยให้ลูกบอลตก สู่พื้นแบบเสรี ส่วนครั้งที่ 2 ขว้างลูกบอลในแนวระดับ ดังภาพ กำหนดให้ ขนาดของความเร็วในแนวดิ่งของลูกบอลขณะกระทบพื้น และเวลาที่ลูกบอลใช้ใน การเคลื่อนที่จนกระทั่งตกถึงพื้นเป็นดังตาราง (ข้อสอบ O – net ปี 2561) การทดสอบ ขนาดของความเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบพื้น (m/s) เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ (s) ครั้งที่ 1 v1 t 1 ครั้งที่ 2 v2 t 2 จากข้อมูล เปรียบเทียบขนาดของความเร็ว v1 กับ v2 และ เวลา t1 กับ t2 ได้เป็นอย่างไร เปรียบเทียบ กับ เปรียบเทียบ กับ 1. v1 < v2 t1 < t2 2. v1 < v2 t1 = t2 3. v1 = v2 t1 = t2 4. v1 > v2 t1 = t2 5. v1 > v2 t1 < t2

45 13. ยิงวัตถุ A, B และ C ขึ้นจากพื้นที่ตำแหน่งเดียวกัน ทำมุมกับพื้น 20 องศา 45 องศา และ 70 องศา ตามลำดับ พบว่าวัตถุทั้งสามชิ้นมีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นดังภาพ และตกถึงพื้นที่ตำแหน่งเดียวกัน กำหนดให้ไม่ต้องพิจารณาแรงต้านของอากาศ (ข้อสอบ O – net ปี 2562) 1. วัตถุ C เคลื่อนที่ด้วยความเร่งมากที่สุด 2. วัตถุ A และ C มีขนาดความเร็วต้นเท่ากัน 3. วัตถุ A มีขนาดความเร็วต้นน้อยกว่าวัตถุ B 4. วัตถุทั้งสามชิ้นมีความเร็วในแนวระดับไม่คงตัวตลอดการเคลื่อนที่ 5. ที่จุดสูงสุดของวัตถุแต่ละชิ้น วัตถุ C มีความเร็วในแนวดิ่งมากที่สุด วัตถุ C วัตถุ B วัตถุ A

46 บรรณานุกรม กฤตนัย(สมชาย) จันทรจตุรงค์. (2553). ABSOLUTE PHYSICS TESTS BOOK II. กรุงเทพฯ: ธรรมบัณฑิต. กีรติ ลีวัจนกุล. (2552). ตะลุยโจทย์ใหม่ ฟิสิกส์ ม.4. กรุงเทพฯ: เอ.พี.กราฟิค ดีไซน์และ การพิมพ์ จำกัด. ณัฐภัสสร เหล่าเนตร์ และคณะ. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน กลุ่มสาระการเรียนรู้ วิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. กรุงเทพฯ: แม็ค. นิรันดร์ สุวรัตน์. (2554). ฟิสิกส์กลศาสตร์ 1 ม.4. กรุงเทพฯ: พ.ศ. พัฒนา. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2561). หนังสือเรียน รายวิชาเพิ่มเติม ฟิสิกส์ เล่ม 2. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว.

47 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์แบบพื้นฐาน 1. คูน้ำกว้าง 10 เมตรมีลักษณะดังรูป นักขี่จักรยานคนหนึ่งต้องการจะขี่ข้ามคูน้ำ (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. ความเร็วที่น้อยที่สุดของจักรยานที่จะข้ามคูน้ำได้พอดี ข. ความเร็วที่ถึงฝั่งตรงข้ามพอดี จากโจทย์กำหนดให้ sx = 10 เมตร sy = 5 เมตร uy = 0 เมตร/วินาที ก. โจทย์ต้องการหา ux 1) หา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 5 = 0 + 1 2 (10)t 2 5 5 = t 2 t = 1 วินาที 2) หาความเร็วในแนวระดับ sx = ux t 10 = ux (1) ux = 10 เมตร/วินาที 5 m 10 m

48 ข. ต้องการหาค่า v จากสมการ v = √vx 2 + vy 2 ดังนั้นต้องหา vy ก่อน จาก vy = uy + gt vy = 0 + 10(1) vy = 10 เมตร/วินาที หาค่า v จาก v = √vx 2 + vy 2 v = √102 + 102 v = √100 + 100 v = √200 v = 10√2 เมตร/วินาที 2. นักขับมอเตอร์ไซด์ผาดโผนคนหนึ่งต้องการขับมอเตอร์ไซค์ข้ามแม่น้ำกว้าง 5.1 เมตร จากที่สูง 2.0 เมตร ดังรูป นักขับมอเตอร์ไซค์จะต้องขับด้วยความเร็วที่น้อยที่สุดกี่เมตร/วินาที จึงจะข้ามแม่น้ำได้พอดี (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จากโจทย์กำหนดให้ sx = 5.1 เมตร, sy = 2.0 เมตร, uy = 0 เมตร/วินาที, ux = ? 1) หา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 2 = 0 + 1 2 (9.8)t 2

49 t 2 = 4 9.8 t 2 = 0.408 t = 0.64 วินาที 2) หา ux จากแนวระดับ sx = ux t 5.1 = ux (0.64) ux = 5.1 0.64 ux = 7.97 เมตร/วินาที 3. ดีดยางลบจากขอบโต๊ะสูง 1.0 เมตร พบว่ายางลบกระเด็นตกไปไกล 2.0 เมตร เมื่อวัดในแนวระดับ ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. เวลาที่ยางลบใช้ในการเคลื่อนที่ในอากาศ ข. อัตราเร็วที่ยางลบถูกดีดออกจากขอบโต๊ะ จากโจทย์กำหนดให้ sy = 1.0 เมตร, sx = 2.0 เมตร, uy = 0 เมตร/วินาที ก. หา tจากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 1 = 0 + 1 2 (9.8)t 2 t 2 = 2 9.8 t = 0.45 วินาที ข. หา ux จากแนวระดับ sx = ux t 2 = ux (0.45) ux = 2 0.45 ux = 4.44 เมตร/วินาที