การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

50 4. ยิงลูกปืนมวล 40 กรัม ด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ทำมุม 53 องศา กับแนวระดับห่างจากตึก หลังหนึ่ง 120 เมตร จงหาลูกปืนตกกระทบตึกที่ตำแหน่งสูงจากพื้นระดับที่ยิงกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ ux = 100 cos 53° uy = 100 sin 53° sx = 120 เมตร 1) หา t จากแนวระดับ sx = ux t 120 = (100 cos 53° )t 120 = (100 ( 3 5 )) t 120 = (60)t t = 120 60 t = 2 วินาที 2) หา sy จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = (100 sin 53° )2 + 1 2 (−10)2 2 sy = (100 ( 4 5 )) 2 + 1 2 (−10)2 2 sy = 160 − 20 sy = 140 เมตร 53° 100 m/s 100 cos 53° 100 sin 53° sy 120 m

51 5. นักเรียนคนหนึ่งต้องการโยนลูกบาสเกตบอลจากความสูง 2.0 เมตร ให้ลงห่วงสูง 3.0 เมตร จาก ระยะห่าง 3.0 เมตร โดยโยนทำมุม 60 องศากับแนวระดับดังรูป นักเรียนคนนี้จะต้องโยนลูก บาสเกตบอลด้วยอัตราเร็วเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ sx = 3.0 เมตร, sy = 1.0 เมตร ux = u cos 60° uy = u sin 60° u = ? 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t 3 = (u cos 60° )t 3 = (u × 1 2 ) t ut = 6 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 1 = (u sin 60° )t + 1 2 (−9.8)t 2 1 = (u × √3 2 ) t + 1 2 (−9.8)t 2 1 = ut√3 2 − 4.9t 2 (2) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ 1 = 6√3 2 − 4.9t 2 1 = 3√3 − 4.9t 2 sy = 1 m u cos 60° u sin 60° u

52 4.9t 2 = 3√3 − 1 4.9t 2 = 3(1.732) − 1 4.9t 2 = 4.20 t 2 = 4.20 4.9 t 2 = 0.86 t = 0.93 วินาที 3) แทนค่า t = 0.93 วินาที ลงใน (1) เพื่อหาค่า u ut = 6 u(0.93) = 6 u = 6 0.93 u = 6.45 เมตร/วินาที 6. นักบาสเกตบอลคนหนึ่งโยนลูกบาสเกตบอลออกไปด้วยความเร็ว 6.5 เมตร/วินาที ทำมุม 50 องศา กับแนวระดับ โดยลูกบาสเกตบอลถูกโยนจากจุดที่สูงจากพื้น 2.3 เมตร ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 sin 50° = 0.766, cos 50° = 0.643 ) จงหา ก. เวลาที่ลูกบาสเกตบอลเคลื่อนที่ในอากาศก่อนจะลงห่วง ข. ลูกบาสเกตบอลลงห่วงสูงจากพื้นดินกี่เมตร วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ ux = 6.5 cos 50° , uy = 6.5 sin 50° sx = 2.9 เมตร h = ? sy 6.5 cos 50° 6.5 sin 50°

53 1) หา t จากแนวระดับ sx = ux t 2.9 = (6.5 cos 50° )t 2.9 = (6.5 × 0.643)t t = 2.9 4.18 t = 0.69 วินาที 2) หา sy จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = (6.5 sin 50° )t + 1 2 (−9.8)t 2 sy = (6.5 × 0.766)0.69 + 1 2 (−9.8)0.692 sy = 3.44 − 2.33 sy = 1.11 เมตร 3) หาค่า h เมื่อพิจารณาจากรูปจะได้ว่า h = 2.3 + sy h = 2.3 + 1.11 h = 3.41 เมตร

54 7. ชายคนหนึ่งยิงเหรียญจากเครื่องยิงด้วยความเร็ว 7.0 เมตร/วินาทีทำมุมกับแนวระดับ 60 องศา ไป ยังจานรับเหรียญซึ่งห่างจากจุดยิงในแนวระดับ 2.8 เมตร ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. เวลาที่เหรียญเคลื่อนที่ในอากาศ ข. จานรับเหรียญสูงจากตำแหน่งที่ยิงเหรียญกี่เมตร วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ ux = 7.0 cos 60° uy = 7.0 sin 60° sx = 2.8 เมตร h = ? ก. หา t จากแนวระดับ sx = ux t 2.8 = (7.0 cos 60° )t 2.8 = (7.0 × 1 2 ) t t = 2.8 3.5 t = 0.8 วินาที ข. หา h จากแนวดิ่งโดยที่ h = sy sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = (7.0 sin 60° )(0.8) + 1 2 (−9.8)(0.8 2 ) sy = (7.0 × √3 2 ) (0.8) + 1 2 (−9.8)(0.8 2 ) sy = 4.85 − 3.14 sy = 1.71 เมตร ดังนั้น h = 1.71 เมตร 7.0 cos 60° 7.0 sin 60°

55 8. ยิงกระสุนปืนมวล 50 กรัม ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทำมุม 60 องศากับแนวระดับ หลังจากนั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเป้าบนหน้าผา เป้านั้นสูงจากพื้นระดับที่ยิงเท่าใด (กำหนดให้ใช้ ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 100 เมตร/วินาที, θ = 60° , t = 5 วินาที, sy = ? หา sy จาก sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = (100 sin 60° )5 + 1 2 (−10)5 2 sy = (100 × √3 2 ) 5 − 125 sy = 250(1.732) − 125 sy = 308 เมตร 60° 100 cos 60° 100 sin 60° 100 m/s sy

56 9. ตำรวจดับเพลิงต้องการฉีดน้ำดับเพลิงซึ่งไหม้อาคารสูง 10 เมตร ถ้าความเร็วต้นของน้ำที่ออกจาก เครื่องฉีดน้ำเท่ากับ 20 เมตร/วินาทีทำมุม 60 องศากับแนวระดับ เขาต้องยืนห่างจากตัวอาคารอย่าง น้อยกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 1. 10(3 − √3) เมตร 2. 10(√3 − 1) เมตร 3. 10(√15 − 3) เมตร 4. 10(√5 − √3) เมตร วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ sy = 20 เมตร, u = 20 เมตร/วินาที, sx = ? 1) หา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 10 = (20 sin 60° )t + 1 2 (−10)t 2 10 = (20 × √3 2 ) t − 5t 2 10 = 10√3t − 5t 2 หารด้วย 5 ตลอด จะได้ 2 = 2√3t − t 2 t 2 − 2√3t + 2 = 0 ดังนั้น t = −b ±√b2−4ac 2a t = −(−2√3) ± √(−2√3) 2 −4(1)(2) 2(1) t = 2√3 ±√12−8 2 t = 2√3 ±2 2 60° 20 cos 60° 20 sin 60° 20 m/s 10 m sx

57 t = √3 ± 1 ดังนั้น t = √3 + 1 วินาที t = √3 − 1 วินาที โจทย์ต้องการหาระยะที่น้อยที่สุด ดังนั้น t = √3 − 1 วินาที 2) หา sx จากแนวระดับ sx = ux t sx = (20 cos 60° )(√3 − 1) sx = (20 × 1 2 ) (√3 − 1) sx = 10(√3 − 1) เมตร 10. ท่อนไม้ไถลลงมาจากหลังคาบ้านที่มีมุมลาดเอียง 30 องศา เมื่อวัดเทียบกับแนวระดับ ปลายหลังคา อยู่สูงจากพื้น 8.0 เมตร ดังรูป เมื่อท่อนไม้หลุดจากปลายหลังคาท่อนไม้มีอัตราเร็ว 6.0 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จงหา วาดรูปจัดรูปเวกเตอร์ u ให้อยู่ในแนวแกน x แกน y จากโจทย์กำหนดให้ ux = 6 cos 30° uy = 6sin 30° sy = 8 เมตร ก. หา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 8 = (6 sin 30° )t + 1 2 (9.8)t 2 8 = (6 × 1 2 ) t + 4.9t 2 8 = 3t + 4.9t 2 30° 6 cos 30° 6 sin 30°

58 จัดรูปสมการจะได้ 4.9t 2 + 3t − 8 = 0 t = −b ±√b2−4ac 2a t = −3± √3 2−4(4.9)(−8) 2(4.9) t = −3± √9+156.8 9.8 t = −3± √165.8 9.8 t = −3± 12.88 9.8 ดังนั้น t = −3 + 12.88 9.8 t = 1.01 วินาที ข. หา sx จากแนวระดับ sx = ux t sx = (6 cos 30° )1.01 sx = (6 × √3 2 ) 1.01 sx = 3(1.732)(1.01) sx = 5.23 เมตร

59 11. นักขี่จักยานผาดโผน ต้องการขี่ข้ามคลองซึ่งกว้าง 5.0 เมตร ไปยังฝั่งตรงข้าม ถ้าเขาขี่รถจักรยาน ด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที ก่อนพ้นฝั่งแรกเขาจะต้องข้ามได้โดยไม่ชนฝั่งตรงข้าม h จะมีค่าได้มาก ที่สุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปจัดรูปเวกเตอร์ u ให้อยู่ในแนวแกน x แกน y จากโจทย์กำหนดให้ ux = 10 cos 45° uy = 10 sin 45° sx = 5 เมตร sy = ? 1) หา t จากแนวระดับ sx = ux t 5 = (10 sin 45° )t 5 = (10 × √2 2 ) t t = 5 5√2 t = 1 √2 วินาที 2) หา sy จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = (10 cos 45° ) 1 √2 + 1 2 (−10) ( 1 √2 ) 2 sy = (10 × √2 2 ) 1 √2 + 1 2 (−10) ( 1 √2 ) 2 sy = 5 − 2.5 sy = 2.5 เมตร 45° h 5 m 45° 10 sin 45° 10 cos45° 100 m/s

60 12. ขว้างลูกบอลทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ปรากฏว่าลูกบอลลอยข้ามกำแพงสูง 10 เมตร ซึ่งอยู่ ห่างจากจุดขว้างในแนวระดับเท่ากับ 60 เมตร ได้พอดี อยากทราบว่า ณ จุดสูงสุดของแนวการเคลื่อนที่ นั้น ลูกบอลอยู่สูงจากแนวระดับกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปจัดองค์ประกอบเวกเตอร์ u ให้อยู่ในแนวแกน x และแกน y จากโจทย์กำหนดให้ sx = 60 เมตร, sy = 10 เมตร, symax = ? 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t 60 = (u cos 45° )t 60 = (u × √2 2 ) t ut = 120 √2 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 10 = (u sin 45° )t + 1 2 (−10)t 2 10 = (u × √2 2 ) t − 5t 2 10 = √2 2 ut − 5t 2 (2) แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2) 10 = √2 2 ( 120 √2 ) − 5t 2 10 = 60 − 5 2 5t 2 = 50 t 2 = 10 t = √10 วินาที 10 m 60 m u cos 45° u sin 45° u 45°

61 3) แทนค่า tลงในสมการ (1) จะได้ u√10 = 120 √2 u = 120 2√5 u = 60 √5 เมตร/วินาที 4) หาระยะที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด vy 2 = uy 2 + 2gsymax 0 = (u sin 45° ) 2 + 2(−10)symax 0 = ( 60 √5 × √2 2 ) 2 − 20symax 20symax = ( 60 √5 × √2 2 ) 2 symax = 360 20 symax = 18 เมตร

62 13. รถคันหนึ่งวิ่งในแนวตรงด้วยอัตราเร็วคงตัว 20.0 เมตร/วินาที เมื่อถึงตำแหน่ง ก คนในรถโยนก้อน หินขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็ว 19.6 เมตร/วินาที ดังรูป ขณะก้อนหินตกกลับมาถึงมือคนโยน รถอยู่ ห่างจากตำแหน่ง ก เป็นระยะทางเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จากโจทย์กำหนดให้ ux = 20 เมตร/วินาที, uy = 19.6 เมตร/วินาที, sy = 0 (วัตถุตกมายังจุดเดิม), sx = ? 1) หา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 0 = (19.6)t + 1 2 (−9.8)t 2 0 = (19.6)t − 4.9t 2 4.9t 2 = (19.6)t t = (19.6) 4.9 t = 4 วินาที 2) หา sx จาก sx = ux t sx = 20(4) sx = 80 เมตร sx

63 14. เฮลิคอปเตอร์ลำหนึ่งบินในแนวระดับด้วยความเร็ว 50 เมตร/วินาที และบินที่ความสูงจากผิวน้ำ ทะเล 120 เมตร เมื่อนักบินเห็นเรือบรรทุกสัมภาระที่แล่นสวนทางมาด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จึงตัดสินใจปล่อยสัมภาระลงไป ดังรูป เมื่อสัมภาระจากเฮลิคอปเตอร์ลงเรือพอดี ต้องปล่อยสัมภาระเมื่อเฮลิคอปเตอร์ห่างจากเรือใน แนวระดับเป็นระยะทางเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จากโจทย์กำหนดให้ sy = 120 เมตร, ux = 50 เมตร/วินาที, uy = 0 เมตร/วินาที 1) หา tจากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 120 = 0 + 1 2 (−9.8)t 2 4.9t 2 = 120 t 2 = 120 4.9 t 2 = 24.49 t = 4.95 วินาที 2) หา sx จากแนวระดับ sx = ux t sx = 50(4.95) sx = 247.5 เมตร sx sเรือ

64 3) หา sเรือ จาก sเรือ = vt sเรือ = 10(4.95) sเรือ = 49.5 เมตร ดังนั้น เฮลิคอปเตอร์ก่อนปล่อยสัมภาระห่างจากเรือ s = 247.5 + 49.5 s = 297 เมตร 15. ทหารยิงปืนในแนวระดับสูงจากพื้น 1.5 เมตร ลูกปืนออกจากลำกล้องมีอัตราเร็ว 500 เมตร/วินาที ถูกต้นไม้ที่อยู่ห่างออกไป 100 เมตร เมื่อไม่คิดแรงต้านอากาศ ลูกปืนเจาะต้นไม้ที่ความสูงจากพื้นเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) จากโจทย์ sx = 100 เมตร, ux = 500 เมตร/วินาที, uy = 0 เมตร/วินาที, h = ? 1) หา tจากแนวระดับ sx = ux t 100 = (500)t t = 100 500 t = 0.2 วินาที 2) หา sy จากแนวระดับ sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = 0 + 1 2 (−9.8)0.2 2 sy = 0.196 เมตร ดังนั้น h = 1.5 − 0.196 h = 1.304 เมตร

65 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์พาราโบลาเต็มรูป 1. ขว้างก้อนหินออกไปทำมุม 45 องศากับแนวระดับด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) จงหา ก. นานเท่าใดก้อนหินถึงจะตกถึงพื้น ข. ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ค. ก้อนหินตกไกลจากจุดที่ขว้างเท่าใด วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 10 เมตร/วินาที, θ = 45° ก. หา t จาก t = 2u sin θ g t = 2(10) sin 45° 10 t = 2(10)( √2 2 ) 10 t = √2 วินาที ข. หา sy จาก sy = u 2 sin2θ 2g sy = 102 sin245° 2(10) sy = 100( √2 2 ) 2 20 sy = 2.5 เมตร 45° 10 m/s

66 ค. หา sx จาก sx = u 2 sin 2θ g sx = 102 sin 2(45° ) 10 sx = 10 เมตร 2. ยิงปืนทำมุม 53 องศากับแนวระดับ ถ้าลูกปืนมีอัตราเร็ว 300 เมตร/วินาที อยากทราบว่าลูกปืนตก ไกลจากจุดยิงเท่าไร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 300 เมตร/วินาที, θ = 53° , sx = ? sx = u 2 sin 2θ g sx = 3002 (2 sin 53° cos 53° ) 10 sx = 90,000(2× 4 5 × 3 5 ) 10 sx = 8,640 เมตร 53° 300 m/s

67 3. วัตถุก้อนหนึ่งถูกยิงในแนวทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ปรากฏว่า ณ จุดสูงสุดวัตถุมีความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหา (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) ก. วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเท่าใด ข. วัตถุตกไกลจากจุดยิงเท่าใด วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ ux = 10 เมตร/วินาที, θ = 45° ก. หา sy จากแนวดิ่ง หา u จาก ux = u cos 45° 10 = u × √2 2 u = 20 √2 u = 10√2 เมตร/วินาที หา sy จาก sy = u 2 sin2θ g sy = (10√2) 2 sin245° 10 sy = 200( √2 2 ) 2 10 sy = 10 เมตร ข. หา sx จากแนวระดับ sx = u 2 sin 2θ g sx = (10√2) 2 10 sx = 20 เมตร 45° u ux = 10 m/s sx sy

68 4. ชายคนหนึ่งขว้างลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่งได้สูงสุด 30 เมตร ถ้าเขาขว้างลูกบอลนี้ด้วยความเร็วต้นเท่า เดิม แต่ให้ทำมุมกับแนวระดับ เขาจะขวางลูกบอลนี้ได้ระยะไกลที่สุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) 1) พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวดิ่งแบบตกเสรี หาค่า u จาก v 2 = u 2 + 2gs 0 = u 2 + 2(−10)(30) u 2 = 600 u = 10√6 เมตร/วินที 2) พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโพรเจกไทล์ sx = u 2 sin 2θ g sx = (10√6) 2 10 sx = 60 เมตร 45° u = 10√6 m/s sx sy

69 5. ชายคนหนึ่งขว้างก้อนหินขึ้นไปในอากาศตามแนวโค้ง ก้อนหินเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ไปตกห่างจาก ตำแหน่งที่ยืนในแนวระดับเท่ากับ 10 เมตร เขาจะต้องขว้างก้อนหินนี้ออกไปด้วยความเร็วอย่างน้อย ที่สุดกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ sx = 10 เมตร, θ = 45° , u = ? sx = u 2 sin 2θ g 10 = u 2 10 u 2 = 100 u = 10 เมตร/วินาที 6. นักฟุตบอลเตะลูกฟุตบอลได้ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับพื้นสนาม ไปยังประตู ซึ่งห่างจากจุดเตะ 50 เมตร ถ้าในเวลาเดียวกับนักฟุตบอลเตะลูกฟุตบอล ผู้รักษาประตูซึ่งยืนที่ประตูได้ วิ่งออกมาทันทีด้วยความเร่งคงที่ และปรากฏว่าผู้รักษาประตูรับลูกบอลได้พอดีที่ลูกบอลตกถึงพื้น จงหา ว่าผู้รักษาประตูต้องวิ่งออกมาด้วยความเร่งคงที่เท่ากับเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 20 เมตร/วินาที, θ = 45° 45° u 10 m sy sx s a 45° u = 20 m/s

70 1) หา sx ของลูกฟุตบอล sx = u 2 sin 2θ g sx = 202 10 sx = 40 เมตร ดังนั้น ระยะทางของผู้รักษาประตูที่วิ่งมาถึงจุดลูกฟุตบอลตก s = 50 − 40 s = 10 เมตร 2) หา t ของลูกฟุตบอลใช้ในการเคลื่อนที่ t = 2u sin θ g t = 2(20) sin 45° 10 t = 2(20)× √2 2 10 t = 2√2 วินาที 3) พิจารณาผู้รักษาประตู t = 2√2 วินาที, s = 10 เมตร, u = 0 เมตร/วินาที, a = ? s = ut + 1 2 at 2 10 = 0 + 1 2 a(2√2) 2 a = 10 4 a = 2.5 เมตร/วินาที2

71 7. ยิงปืนใหญ่ด้วยความเร็วต้น 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับแนวระดับ ไปยังรถถังข้าศึกที่กำลัง แล่นตรงเข้ามาด้วยความเร็วคงที่ และขณะนั้นอยู่ห่างออกไป 1,200 เมตร ถ้ากระสุนกระทบเป้าหมาย พอดี จงหาว่ารถถังข้าศึกกำลังแล่นด้วยความเร็วเท่าใด ก่อนจะถูกทำลาย (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 100 เมตร/วินาที, θ = 45° 1) หา sx ของกระสุนปืนใหญ่ sx = u 2 sin 2θ g sx = 1002 10 sx = 1,000 เมตร ดังนั้นระยะทางของรถถัง (s) มีค่าเท่ากับ s = 1,200 − 1,000 s = 200 เมตร 2) หาเวลาของกระสุนปืนใหญ่ที่ใช้ในการเคลื่อนที่ t = 2u sin θ g t = 2(100)( √2 2 ) 10 t = 10√2 วินาที v s sx 45° u = 100 m/s

72 3) พิจารณารถถัง s = 200 เมตร, t = 10√2 วินาที, v = ? v = s t v = 200 10√2 v = 20 √2 × √2 √2 v = 10√2 เมตร/วินาที 8. รถมีความเร็วคงที่ 10√2 เมตร/วินาที วิ่งในแนวเส้นตรง กำลังวิ่งหนีตำรวจ ถ้าตำรวจยิงปืนออกไป ด้วยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ทำมุม 45 องศากับแนวราบ จงหาว่าถ้าจะให้กระสุนปืนโดนรถคันนี้ พอดีตำรวจต้องเริ่มยิงเมื่อรถวิ่งห่างออกไปแล้วกี่เมตร (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ 1) หา sx ของกระสุนปืนตำรวจ sx = u 2 sin 2θ g sx = 1002 10 sx = 1,000 เมตร 2) หา t ของกระสุนปืนตำรวจ t = 2u sin θ g t = 2(100)( √2 2 ) 10 t = 10√2 วินาที sx 45° u = 100 m/s v = 10√2 m/s x s

73 3) หา s ของรถยนต์ผู้ร้าย s = vt s = 10√2(10√2) s = 200 เมตร 4) หาระยะห่างระหว่างรถยนต์กับรถตำรวจก่อนยิงปืน (x) x = 1,000 − 200 x = 800 เมตร 9. เล็งปากกระบอกปืนจากพื้นไปที่เป้า ซึ่งอยู่สูงจากพื้น 3 เมตร ต่อกลไกปล่อยเป้าเข้ากับเครื่องลั่นไก เพื่อให้เป้าหล่นพร้อม ๆ กับที่ลูกปืนออกจากปากกระบอกปืน ถ้าจุดยิงปืนห่างจากเป้าในแนวระดับ 4 เมตร และลูกปืนมีความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที กระสุนปืนกระทบเป้าที่ความสูงเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ u = 10 เมตร/วินาที, sx = 4 เมตร พิจารณาจากรูปสามารถเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังรูป sin θ = 3 5 , cos θ = 4 5 θ 4 m 3 m u = 10 m/s h s 10 cos θ 10 sin θ 5 m 3 m 4 m θ

74 1) พิจารณาการเคลื่อนที่ของลูกปืนในแนวระดับ sx = ux t 4 = (10 cos θ)t 4 = (10 × 4 5 ) t t = 1 2 วินาที 2) พิจารณาเป้าเคลื่อนที่ในแนวดิ่งแบบตกเสรี s = ut + 1 2 gt 2 s = 0 + 1 2 (10) ( 1 2 ) 2 s = 5 4 s = 1.25 เมตร 3) หาค่า h จาก h = 3 − s h = 3 − 1.25 h = 1.75 เมตร

75 10. นักเตะรักบี้เตะลูกบอลขึ้นด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เป็นมุม 60 องศากับแนวระดับ เขาจะต้อง วิ่งด้วยความเร็วอย่างน้อยที่สุดเท่าใด จึงจะไปรับลูกบอลที่เขาเตะออกไปเองได้พอดีก่อนตกถึงพื้นดิน (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ 1. หา sx จาก sx = u 2 sin 2θ g sx = 202 (2 sin 60° cos 60° ) 10 sx = 202 (2× √3 2 × 1 2 ) 10 sx = 20√3 เมตร 2) หา t จาก t = 2u sin θ g t = 2(20) sin 60° 10 t = 2(20)( √3 2 ) 10 t = 2√3 วินาที 3) หา v ของนักรักบี้ v = s t v = 20√3 2√3 v = 10 เมตร/วินาที 60° 20 cos 60° 20 sin 60° u = 20 m/s

76 11. ขว้างก้อนหินออกไปในแนวระดับด้วยอัตราเร็ว 5.0 เมตร/วินาที จากตึกสูงแห่งหนึ่ง เมื่อก้อนหินตก กระทบพื้นความเร็วของก้อนหินขณะนั้นทำมุม 60 องศากับแนวระดับ ก้อนหินตกห่างจากตึกในแนว ระดับเท่าใด กำหนดให้ tan 60° = √3 (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) พิจารณาจากรูป จากโจทย์กำหนดให้ ux = 5 เมตร/วินาที, จากรูป α = 60° 1) หาค่า vy จาก tan α = vy vx tan 60° = vy 5 √3 = vy 5 vy = 5√3 เมตร/วินาที 2) หา t จาก vy = uy + gt 5√3 = 0 + (9.8)t t = 0.88 วินาที 3) หา sx จาก sx = ux t sx = 5 × 0.88 sx = 4.40 เมตร

77 12. จากรูป ถ้ายิงมวล m1 ให้เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีความเร็วเริ่มต้น v1 = 24 เมตร/วินาที ทำ มุม 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกันมวล m2 ถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น v2 ถ้ามวลทั้ง สองเคลื่อนที่ในระนาบเดียวกันและชนกันกลางอากาศได้ ค่า v2 จะต้องมีค่าเท่าใด (กำหนดให้ใช้ค่า g = 10 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบจัดรูปเวกเตอร์ v1 ให้อยู่ในแนวแกน x และแกน y จากโจทย์กำหนดให้ ux = v1 cos 30° , ux = v1 sin 30° t1 = t2 = t , sy = s, v2 = ? 1) พิจารณาวัตถุก้อนที่ 1 sy = uy t + 1 2 gt 2 s = (24 sin 30° )t + 1 2 (−10)t 2 s = (24 × 1 2 ) t − 5t 2 s = 12t − 5t 2 (1) 2) พิจารณาวัตถุก้อนที่ 2 เคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่งแบบตกเสรี s = ut + 1 2 gt 2 s = v2t + 1 2 (−10)t 2 s = v2t − 5t 2 (2) 3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ 12t − 5t 2 = v2t − 5t 2 v2 = 12 เมตร/วินาที 30° v1 v2 m2 m1 จุดที่ชน 1 sin 30° 1 cos 30°

78 13. ยิงวัตถุ A ให้เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ด้วยความเร็วเริ่มต้น u1 ขนาดเท่ากับ 40 เมตร/วินาที ทำ มุม 30 องศากับแนวระดับ ขณะเดียวกันวัตถุ B ถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u2 ดังรูป วัตถุ B จะต้องถูกยิงขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น u2 ขนาดเท่าใดจึงจะทำให้วัตถุ A และ B ชนกัน กลางอากาศ (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้ ux = u1 cos 30° , uy = u1 sin 30° , u2 = ? เวลาการเคลื่อนที่วัตถุ A กับวัตถุ B เท่ากัน = t ระยะในแนวดิ่งของวัตถุ A กับวัตถุ B เท่ากัน = s 1) พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุ A เป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ sy = uy t + 1 2 gt 2 s = (u1 sin 30° )t + 1 2 (−9.8)t 2 s = (40 × 1 2 ) t − 4.9t 2 s = 20t − 4.9t 2 (1) 2) พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุ B เป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งแบบตกเสรี s = ut + 1 2 gt 2 s = u2t + 1 2 (−9.8)t 2 s = u2t − 4.9t 2 (2) 3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ 20t − 4.9t 2 = u2t − 4.9t 2 u2 = 20 เมตร/วินาที

79 14. ชายคนหนึ่งต้องการโยนกล่องพัสดุข้ามตึกไปให้เพื่อนที่อยู่ตึกข้าง ๆ ที่ห่างกัน 12.0 เมตร และจุดที่ รับอยู่ต่ำกว่าจุดโยน 2.0 เมตร เขาโยนกล่องพัสดุมุม 45 องศากับแนวระดับ ดังรูป (กำหนดให้ใช้ค่า g = 9.8 เมตร/วินาที2 ) ก. กล่องพัสดุใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่าใด ข. เขาจะต้องโยนกล่องพัสดุด้วยอัตราเร็วเท่าใด ค. กล่องพัสดุตกถึงผู้รับด้วยความเร็วเท่าใด จากรูป ux = u cos 45° , uy = u sin 45° , sy = 2.0 เมตร, sx = 12.0 เมตร ก. หา t ที่กล่องใช้ในการเคลื่อนที่ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t 12 = (u cos 45° )t 12 = (u × √2 2 ) t ut = 24 √2 ut = 12√2 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 −2 = (u sin 45° )t + 1 2 (−9.8)t 2 −2 = (u × √2 2 ) t − 4.9t 2

80 −2 = √2 2 ut − 4.9t 2 (2) 3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ −2 = √2 2 (12√2) − 4.9t 2 −2 = 12 − 4.9t 2 4.9t 2 = 12 + 2 t 2 = 14 4.9 t = √ 14 4.9 t = 1.69, −1.69 วินาที t = 1.69 วินาที ข. หาค่า u แทนค่า t = 1.69 วินาที ลงในสมการ (1) u(1.69) = 12√2 u = 12(1.414) 1.69 u = 10.04 วินาที ค. หาค่า v เมื่อวัตถุตกถึงผู้รับ 1) หาค่า vx vx = u cos 45° vx = 10.04 × √2 2 vx = 7.10 เมตร/วินาที 2) หาค่า vy vy = uy + gt vy = u sin 45° + (−9.8)(1.69)

81 vy = 10.04 × √2 2 − 98.39 vy = 7.10 − 16.56 vy = −9.46 เมตร/วินาที เครื่องหมายลบ (−) คือความเร็วมีทิศทางตรงข้ามกับความเร็วเริ่มต้น u 3) หา v จาก v = √vx 2 + vy 2 v = √7.102 + 9.462 v = 11.83 เมตร/วินาที

82 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3 เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์บนพื้นเอียง 1. ชายผู้หนึ่งยืนบนเนินซึ่งเอียงทำมุม 30 องศากับแนวราบ ขว้างก้อนหินขึ้นไปด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ในทิศทำมุม 60 องศากับแนวระดับ ก้อนหินตกบนเนินห่างจากจุดขว้างกี่เมตร วาดรูปประกอบ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t R cos 30° = u cos 60° t R ( √3 2 ) = (10) ( 1 2 ) (t) t = √3R 10 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 R sin 30° = (u sin 60° )t + 1 2 (−10)t 2 R ( 1 2 ) = (10 × √3 2 ) t − 5t 2 R 2 = 5√3t − 5t 2 (2) แทนค่าสมการ (1) ลงสมการ (2) จะได้ R 2 = 5√3 ( √3R 10 ) − 5 ( √3R 10 ) 2 R 2 = 3R 2 − 3R 2 20 R 30° 30° u cos 60° u sin 60° u R cos 30° R sin 60°

83 1 2 = 5 2 − 3R 20 3R 20 = 3 2 − 1 2 R = 20 3 R = 6.67 เมตร 2. ภูเขาลูกหนึ่งแนวเขาลาดเอียงทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ที่ยอดเขามีปืนใหญ่ตั้งอยู่ทำมุม 60 องศากับแนวภูเขา ถ้ายิงกระสุนปืนออกมาด้วยความเร็วต้น 15 เมตร/วินาที จงหาว่ากระสุนตกที่เชิงเขา ห่างจากตัวปืนเป็นระยะเท่าใด วาดรูปประกอบ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t R cos 30° = (u cos 30° )t t = R u t = R 15 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 −R sin 30° = (u sin 30° )t + 1 2 (−10)t 2 30° 30° R u cos 30° u sin 30° u R cos 30° R sin 30°

84 −R × 1 2 = (15 × 1 2 ) t − 5t 2 − R 2 = 15t 2 − 5t 2 (2) แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2) − R 2 = 15 2 × R 15 − 5 ( R 15) 2 − R 2 = R 2 − R 2 45 R 45 = 1 2 + 1 2 R = 45 เมตร

85 3. ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลจากยอดพื้นเอียงด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เอียงทำมุม 30 องศากับแนว ระดับ ถ้าพื้นเอียงนั้นเอียงลง 30 องศาจากแนวระดับเช่นกัน จะใช้เวลาเท่าใดลูกบอลจึงจะตกกระทบ พื้นเอียงนับจากโยน วาดรูปประกอบ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t R cos 30° = u cos 30° t t = R u t = R 20 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 −R sin 30° = u sin 30° t + 1 2 (−10)t 2 −R × 1 2 = (20 × 1 2 ) t − 5t 2 − R 2 = 10t − 5t 2 (2) 30° 30° R u cos 30° u sin 30° u R cos 30° R sin 30°

86 แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ − R 2 = 10 ( R 20) − 5 ( R 20) 2 − R 2 = R 2 − R 2 80 R 80 = 1 2 + 1 2 R = 80 เมตร ดังนั้นแทนค่า R ลงในสมการ (1) เพื่อหาค่า t จะได้ t = 80 20 t = 4 วินาที 4. นักเรียนคนหนึ่งยืนบนยอดเขาซึ่งทำมุม 37 องศากับแนวระดับ ขว้างก้อนหินลงไปยังเชิงเขาด้วย ความเร็ว 25 เมตร/วินาที ในแนวราบ นานกี่วินาทีก้อนหินจึงจะตกกระทบพื้น (ไม่คิดความสูงของ นักเรียน) วาดรูปประกอบ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t R cos 37° = 25t R × 4 5 = 25t R = 125t 4 (1) 37° R ux = 25 m/s R cos 37° R sin 37°

87 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 R sin 37° = 0 + 1 2 (10)t 2 R × 3 5 = 5t 2 3R 5 = 5t 2 (2) แทนสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ ( 3 5 ) ( 125t 4 ) = 5t 2 75t 4 = 5t 2 t = 75 20 t = 3.5 วินาที

88 5. โยนลูกบอลออกจากตำแหน่ง ก. ด้วยความเร็ว v0 เมตร/วินาที ในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง ลูกบอล จะตกถึงตำแหน่ง ข. เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด วาดรูปประกอบ 1) พิจารณาแนวระดับ sx = ux t 10 cos 30° = (v0 cos 60° )t 10 × √3 2 = (v0 × 1 2 ) t v0t = 10√3 (1) 2) พิจารณาแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 −10 sin 30° = (v0 sin 60° )t + 1 2 (−10)t 2 −10 × 1 2 = (v0 × √3 2 ) t − 5t 2 −5 = √3 2 v0t − 5t 2 (2) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ −5 = √3 2 (10√3) − 5t 2 5t 2 = 15 + 5 t 2 = 20 5 t = 2 วินาที 30° v0 ก ข 60° v0 sin 60° v0 cos 60° 10 m 10 cos 30° 10 sin 30°

89 เฉลยข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย เรื่อง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ 1. ยิงโพรเจกไทล์ในระนาบดิ่งเดียวกันพร้อมกัน ลูกหนึ่งออกจากจุด A อีกลูกหนึ่งออกจาจุด B ด้วย ความเร็วต้นที่มีขนาดเท่ากัน และทำมุมตั้งต้นเท่ากันเท่ากับ ระยะห่าง AB มีค่าไม่เกินเท่าไร โพรเจกไทล์ ถึงจะชนกันก่อนถึงพื้น (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 62) 1. u 2 2g sin θ 2. u 2 g sin θ 3. u 2 2g sin 2θ 4. u 2 g sin 2θ 5. 2u 2 g sin 2θ วาดรูปประกอบ เมื่อพิจารณาจากรูป s = 2sx หา sx จาก sx = u 2 sin 2θ g ดังนั้น s = 2u2 sin 2θ g s = 2u2 g sin 2θ θ θ u u A B พื้นระดับ sx sx s θ θ u u

90 2. ต้องยิงโพรเจกไทล์ด้วยมุมตั้งต้น θ เท่าไรจึงจะขึ้นไปได้สูง AC เท่ากันกับที่ไปได้ไกล OB บนพื้น ระดับ (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 61) 1. arctan( 1 4 ) 2. arctan( 1 2 ) 3. 45° 4. arctan2 5. arctan4 จากโจทย์กำหนดให้ sx = sy = s, θ = ? จาก 1 4 tan θ = sy sx 1 4 tan θ = s s tan θ = 4 θ = tan−14 θ = arctan 4 y A O C B g θ พื้นระดับ

91 3. เด็กคนหนึ่งอยู่บนรถซึ่งเคลื่อนที่บนถนนตรงด้วยความเร็วคงที่ v เขาปาก้อนหินออกไปด้วยความเร็ว u เทียบกับรถทิศทำมุม θ กับทิศที่รถเคลื่อนที่ ก้อนหินจะตกกระทบพื้นห่างจากรถเป็นระยะเท่าไร (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 60) 1. ตำแหน่งเดียวกันกับรถ 2. นำหน้ารถอยู่ 2u 2 sin θ cos θ g 3. นำหน้ารถอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ g 4. ตามหลังอยู่ 2u 2 sin θ cos θ g 5. ตามหลังอยู่ (v + u cos θ) 2u sin θ g วาดรูปประกอบ จากโจทย์กำหนดให้อัตราเร็วของก้อนหินเทียบกับรถซึ่งเป็นค่าความเร็วสัมพัทธ์ มีค่าเท่ากับ u จากความเร็วสัมพัทธ์ของวัตถุสองก้อน จะได้ vหินเทียบกับรถ = vหิน − vรถ u cos θ = vหิน − v vหิน = u cos θ + v u v θ g u θ v g

92 1) พิจารณาการเคลื่อนที่ของก้อนหินเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ดังนั้น sx = ux t sหิน = (u cos θ + v)t 2) พิจารณาการเคลื่อนที่ของรถเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ดังนั้น s = vt sรถ = vt 3) เวลาที่ก้อนหินและรถใช้ในการเคลื่อนที่เท่ากัน คือ t = 2u sin θ g 4) เมื่อพิจารณาความเร็วของก้อนหินและรถ จะพบความเร็วของก้อนหินจะมีค่ามากกว่า ความเร็วของรถ ดังนั้นก้อนหินจะตกนำหน้ารถ sหิน − sรถ = (u cos θ + v)t − vt sหิน − sรถ = ut cos θ แทนค่า t จะได้ sหิน − sรถ = (u cos θ) 2u sin θ g sหิน − sรถ = 2u 2 sin θ cos θ g

93 4. จะต้องดีดโพรเจกไทล์มวล m ด้วยความเร็วต้น (ในแนวระดับ) เท่าไรจึงจะลงหลุมพอดี (ข้อสอบ 9 วิชาสามัญ ปี 59) 1. ( 2g h ) 1 2 L 2. ( g h ) 1 2 L 3. ( g 2h) 1 2 L 4. ( g 2(h+L) ) 1 2 L 5. ( g 2L) 1 2 h จากโจทย์กำหนดให้ sx = L, sy = h, uy = 0, ux = ? 1) หาเวลา t จากแนวดิ่ง sy = uy t + 1 2 gt 2 h = 0 + 1 2 gt 2 t 2 = 2h g t = √ 2h g (1) 2) หาความเร็วในแนวระดับ sx = ux t L = ux t (2) 3) แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ L = ux (√ 2h g ) ux = (√ 2h g ) L ดังนั้น ux = ( 2h g ) 1 2 L ยอดตึก g L h m หลุม พื้นระดับ

94 5. ABC เป็นรางผิวลื่นโค้งเป็นส่วนของวงกลมรัศมี R ในระนาบดิ่ง A อยู่ในระดับเดียวกับศูนย์กลาง O เส้น OC ทำมุม 60 องศากับแนวดิ่ง มวล m ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งจากจุด A เมื่อมวล m พ้นจุด C แล้วก็ จะเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จุดยอดอยู่ใต้ระดับ AO เป็นระยะทางเท่าใด (ข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี 57) 1. 0 2. 1 8 R 3. 1 4 R 4. √3 8 R 5. 3 8 R 1) จากรูปหาค่า h จากรูปสามเหลี่ยม จาก cos 60° = H R 1 2 = H R H = R 2 เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวล m จากจุด A มายังจุด C สามารถหาอัตราเร็วของมวล m ณ จุด C ได้จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน ∑ EA = ∑ EC mghA = 1 2 mvC 2 g ( R 2 ) = 1 2 vC 2 vc = √gR R 60° H 60° A B C O m g R H R จุดยอด ∆y h

95 เมื่อวัตถุหลุดจากจุด C วัตถุจะเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ สามารถหาระยะสูงสุดของแนวการ เคลื่อนที่ (H) จาก sy = u 2 sin2θ 2g sy = u 2 sin2θ 2g h = (√gR) 2 sin260° 2g h = (√gR) 2 ( √3 2 ) 2 2g h = gR× 3 4 2g h = 3R 8 จากรูปจุดยอดอยู่ต่ำกว่าจุด AO เป็นระยะ ∆y ดังนั้น ∆y = H − h ∆y = R 2 − 3R 8 ∆y = R 8

96 6. ล้อรัศมี R กำลังหมุนอยู่กับที่รอบแกน C ด้วยอัตราเร็ว f รอบต่อวินาที หยดน้ำที่ถูกสลัดออกไปจาก จุด A ในแนวระดับจะตกกระทบพื้นห่างจากจุด O เป็นระยะทางเท่าไร (ข้อสอบโครงการขยาย ผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย) 1) พิจารณาการเคลื่อนที่ของล้อเคลื่อนที่เป็นวงกลมอัตราเร็ว v หาได้จาก v = s t v = 2πR T v = 2πRf 2) เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของหยดน้ำจะถูกสลัดออกไปด้วยอัตราเร็ว v เช่นเดียวกับการ เคลื่อนที่ของล้อ และเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ พิจารณาแนวดิ่ง เพื่อหาค่า t sy = uy t + 1 2 gt 2 2R = 0 + 1 2 gt 2 t 2 = 4R g t = √ 4R g พิจารณาแนวระดับ sx = ux t sx = (2πRf) (√ 4R g ) sx = 4πf√ R3 g

97 7. ยิงกระสุนออกไปในแนวราบบนผิวดวงจันทร์ กระสุนกระทบเป้าที่ระยะห่าง 25 เมตร ที่ตำแหน่ง 5 มิลลิเมตรใต้แนวการยิง แต่ถ้าเลื่อนเป้าให้ห่างจากจุดที่ยิงเป็น 50 เมตร ลูกปืนจะกระทบเป้าใต้แนวการ ยิงกี่มิลลิเมตร (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ ไทย) วาดรูปประกอบ ตอนที่ 1 จุดยิงห่างจากเป้า 25 เมตร ตอนที่ 2 จุดยิงห่างจากเป้า 50 เมตร ตอนที่ 1 พิจารณาแนวดิ่งเพื่อหาค่า t sy = uy t + 1 2 gt 2 5 × 10−3 = 0 + 1 2 gt 2 t = √ 10−2 g แนวระดับหาค่า ux sx = ux t 25 = ux × √ 10−2 g ux = 25√ g 10−2 s 50 m 5 mm 25 m

98 ตอนที่ 2 พิจารณาแนวระดับเพื่อหาค่า t sx = ux t 50 = (25√ g 10−2 ) t t = 2√ 10−2 g พิจารณาแนวดิ่งเพื่อหาค่า y sy = uy t + 1 2 gt 2 sy = 0 + 1 2 g (2√ 10−2 g ) 2 sy = 1 2 g (4 × 10−2 g ) sy = 20 × 10−3 เมตร sy = 20 มิลลิเมตร

99 8. ถ้าต้องการยิงปืนใหญ่ให้ได้ระยะทางในแนวดิ่งเป็น 1 2 เท่าของระยะทางในแนวระดับ จะต้องปรับปาก กระบอกปืนใหญ่ให้ทำมุมเท่าไรกับแนวระดับ (ข้อสอบโครงการขยายผลการวิจัยและองค์ความรู้ฟิสิกส์สู่ ครูและเยาวชน สมาคมฟิสิกส์ไทย) จากโจทย์ sy = 1 2 sx , θ = ? จาก 1 4 tan θ = sy sx 1 4 tan θ = 1 2 sx sx tan θ = 2 θ = tan−12 1 2 sx θ sx