Fiches pédagogiques 2ème

Chapitre 11: Translations Séance n° : 4 Durée : 1 h

Aptitudes à - Résoudre des exercices intégratifs
développer

Supports -…
pédagogiques
Démarche Durée Commentaire
Paragraphes
.

VII) Exercices Correction des exercices de la série La correction de ces

(travail demandé) exercices sera une

intégratifs occasion pour

consolider certains

acquis et remédier à

certaines carences

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 151

Annexe: Série d’exercices

Exercice n°1 :

On considère deux cercles C et C’ de même rayon et de centres respectifs I et J, sécants en deux

points A et B.
La droite Δ parallèle à (IJ) passant par A recoupe le cercle C’en A’.

1/ a) Déterminer t   et t  (C).
IJ
IJ

b) En déduire que t  (A).

IJ

2/La parallèle à (AB) passant par A’ et la parallèle à (IB) passant par J se coupent en B’.

Montrer que B’ est un point du cercle C’.

Exercice n°2 :

On considère un triangle EFG.

On désigne par I le barycentre des points pondérés (E,-3) et (F,4)

et par A le barycentre des points pondérés (E,-3) et (F,4) et (G,2).

1/ a) Montrer que A, I et G sont alignés.

b) Construire I et A. 

2/ Soit t la translation de vecteur EA .

a) Placer B et C les images respectives par la translation t des points F et G.

b) La parallèle à (IG) passant par C coupe (AB) en J.

Déterminer les images par la translation t de chacune des droites (EF) et (AG).

c) Montrer alors que J est le barycentre des points pondérés (A,-3) et (B,4).

Exercice n°3 :

ABC est un triangle.  

Construire un point M sur (AB) et un point N sur (AC) tels que MN  2 BC .

3

Exercice n°4 :

ABCD est un parallélogramme tel que les points A et B sont fixes
et C est un point variable sur le cercle de diamètre [AB].
1/Sur quel ensemble varie D lorsque C décrit le cercle de diamètre [AB].
2/Soit E le milieu de [CD]

Sur quel ensemble varie E lorsque C décrit le cercle de diamètre [AB].

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 152

Lycée Ibnou Al-Haythem Ghannouch

Niveau: Deuxième année Sciences et Sciences de l’informatique

Chapitre: 12
Homothéties

HAJJAJ Saber Conçu par: ROMDHANE Fadhel

GHAIEB Adel

Contrôle, rectification et support Tice

M. Mohamed Hédi Abderrahim

Dirigé par:
M. l’inspecteur AMOR JERIDI

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 153

Chapitre 12: Homothéties Séance n° : 1 Durée : 1 h

Aptitudes à - Définir une homothétie
développer

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire
6)
 Annexe 1: Fiche enseignant .
Annexe1

I) Définition  Annexe 2 : Fiche élève Activité
d’une Annexe2
homothétie 55
 Fichier GeoGebra : minut
1) Activité Ch12-Fig\Homothétie es
d’approche
d'approche.ggb

 Article sur MathémaTICE n° 39:
http://revue.sesamath.net/spip.php?article61
5

2) Enoncé de a) Enoncé
la définition
Etant donnés un réel non nul k et un point O  Il est souhaitable
du plan, l’application définie du plan dans que la définition
émane des élèves
lui-même et qui à tout point M associe
 Habituer les
l’unique point M’ tel que: OM '  k.OM est élèves à essayer de
déterminer l’ajout
appelée homothétie de centre O et de acquis suite à chaque
activité
rapport k. Elle est notée: hO,k

et on écrit: hO,k : P  P

M  M'  
hO,k M   M ' signifie OM '  k.OM

Travail à la - Activités 3 et 4 p 131
maison - Activité 6 p 132

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 154

Chapitre 12: Homothéties Séance n° : 2 Durée : 2 h

Aptitudes à - Reconnaître si une application définie dans le plan est une homothétie
développer
- construire l’image d’un point par une homothétie

- construire et reconnaître l’image d’une droite, d’un segment d’une demi-

droite par une homothétie

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

I) Définition Correction du travail à la maison 10  Les élèves
(l’activité 6 p 132 sera corrigée au cours de minut participent à la
(suite) la séance) es correction

 Valoriser des
exemples cités par
les élèves lors de la
correction

b) Application de la définition

Recopier la figure ci-dessous sur votre

cahier puis construire les images des

points A, B, C et D par l’homothétie h , 5 
 2 
 I 

5
minut
es

II) Conséquences c) Conséquence 1

Toute homothétie de rapport k=1 est  Induire les
élèves à dégager ces
l’identité dans le plan conséquences

d) Conséquence 2
L’homothétie de rapport k=-1 et de centre O

(un point quelconque du plan) est la

symétrie centrale de centre O

e) Conséquence 3 10
Un point, son image par une homothétie et minut
le centre de cette homothétie sont toujours
alignés

f) Conséquence 4

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 155

Toute homothétie de rapport k  1 ne fixe es  Accorder un
temps de recherche
que son centre aux élèves

II) Propriété a) Activité
caractéristique Activité 6 p 132

b) Théorème: Enoncé de la propriété 5  Il est souhaitable
minut que ce théorème soit
caractéristique es formulé par les
élèves
Une application f définie dans le plan est 10
une homothétie distincte de l’identité dans le minut  Favoriser les
plan si et seulement si il existe un réel k es bons essais des
différent de 0 et de 1 tel que: pour tout point élèves lors de la
M et tout point N du plan d’images formulation de ces
conséquences
respectives M’ et N’, on a: M ' N '  k.MN

c) Conséquences
pour tout point M et tout point N du plan
d’images respectives M’ et N’ par une
homothétie de rapport k, on a:

C1: M ' N '  k MN

(une une homothétie ne conserve pas la
distance)

C2: Si de plus M et N sont distincts, les 15
droites (MN) et (M’N’) sont parallèles minut
es
C3: Les images par une homothétie de
trois points alignés sont trois points alignés

(une translation conserve l’alignement)

d) Activité d’application 10  Accorder un
Soit trois points distincts A, B et G d’images minu temps de recherche
tes aux élèves
respectives A’, B’ et G’ par hO,k et deux
 Favoriser les
réels non opposés  et . Montrer que si G bons essais des
élèves lors de la
est le barycentre des points pondérés (A, ) correction
et (B, ) signifie G’ est le barycentre des
points pondérés (A’, ) et (B’, )

e) Théorème

Etant donnés une homothétie hO,k et 5  Habituer les
minu élèves à essayer de
trois points distincts A, B et G d’images tes déterminer l’ajout
acquis suite à chaque
respectives A’, B’ et G’ par hO,k et deux activité

réels non opposés  et : Page 156

G est le barycentre des points pondérés (A,
) et (B, ) signifie G’ est le barycentre des
points pondérés (A’, ) et (B’, )

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In

(On dit que l’ homothétie conserve le
barycentre)

Remarque:
Cette propriété reste valable dans le cas du
barycentre de trois points pondérés.

f) Conséquence 5  Accorder un
Toute homothétie conserve le milieu: minu temps de recherche
tes aux élèves
I = A*B signifie I’ = A’*B’
10  Accorder un
( I '  hO,k I  , A'  hO,k  A minu temps de recherche
et B '  hO,k B) tes aux élèves

(On dit que l’ homothétie conserve le 10  Favoriser les
milieu) minu bons essais des
tes élèves
g) Activité d’application
Exercice 9 p 141 10  Accorder un
minu temps de recherche
III) Images de a) Activité tes aux élèves
Activité 10 p 133
certaines 10  Favoriser les
b) Théorème minu bons essais des
parties du plan tes élèves
Etant donnés une homothétie hO,k et
1) Image:
- d’une droite deux points distincts A et B d’images
- d’un segment
- d’une demi- respectives A’ et B’ par hO,k alors
- l’image par hO,k de la droite (AB) est la
droite

droite (A’B’) et on a (AB) parallèle à (A’B’)

- l’image par hO,k du segment [AB] est le

segment [A’B’] et on a: A' B '  k AB

- l’image par hO,k de la demi-droite [AB)

est la demi-droite [A’B’)

c) Activité d’application
Activités 12 p 133

Travail à la maison - Activité 17 p 134

- Activités 18 et 20 page 135

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 157

Chapitre: Homothéties Séance n° : 3 Durée : 2 h

Aptitudes à - Reconnaître et déterminer les images de certains ensembles de points
développer
par une homothétie

- Reconnaître et utiliser les propriétés d’une homothétie pour résoudre

des problèmes d’alignement, de parallélisme, d’orthogonalité, de
contact et de mesure des distances et d’angles

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

Correction du travail à la maison 15 Les élèves participent
minut à la correction
es

III) Images de a) Activité 15  Accorder un
Activité 25 p 136 minut temps de recherche
certaines es aux élèves
b) Théorème
parties du plan 5  Inciter les
Etant donnés une homothétie hO,k , un minut
(suite) es élèves à déduire ce
2) Image d’un réel strictement positif R et un point O théorème de l’activité

cercle d’image O’ par hO,k alors l’image par a) de ce paragraphe.

hO,k du cercle  de centre O et de rayon

R est le cercle ’ de centre O’ et de rayon

R '  k .R

c) Activité d’application 10  Accorder un
minut temps de recherche
Exercice 10 p 141 es aux élèves

IV) Autres a) Activité 5  Accorder un
Activité 24 p 136 minut temps de recherche
propriétés es aux élèves
b) Théorème
1) Conservation et  Inciter les
du parallélisme et Etant données une homothétie hO,k élèves à déduire ce
de l’orthogonalité théorème de l’activité
a) de ce paragraphe.
deux droites D et 

Si hO,k  : D  D'

   '  alors D '/ /'

et on a : D / / 


Les images de deux droites parallèles par

une homothétie sont deux droites

parallèles

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 158

(On dit que l’homothétie conserve le 10
parallélisme) minut
es

Si hO,k  : D  D '
  
  '  alors D'  '

et on a: D 


Les images de deux droites

perpendiculaires par une homothétie sont

deux droites perpendiculaires
(On dit que l’homothétie conserve
l’orthogonalité)

c) Activité d’application 15  Accorder un
ABC est un triangle d’image le triangle minut temps de recherche
es aux élèves
A’B’C’ par une homothétie hO,k (A’, B’ et  Valoriser les

C’ sont les images respectives de A, B et bonnes idées citées
C). Montrer que l’orthocentre H’ de A’B’C’ par les élèves lors
est l’image de l’orthocentre H de ABC par de la correction

hO,k 

2)Conservation a) Activité 10  Accorder un
des angles Activité 23 p 136 minut temps de recherche
es aux élèves
d) Théorème
et un
Etant donnés une homothétie hO,k

secteur [Ox, Oy]

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 159

 Si 5  Inciter les
 et élèves à déduire ce
hO,k Ox  O ' x ' alors x 'O' y '  xOy minut théorème de l’activité
hO,k Oy  O ' y ' a) de ce paragraphe
es
 Accorder un
L’mage d’un angle par une homothétie est temps de recherche
aux élèves
un angle qui lui est égal
(On dit que l’homothétie conserve les

angles)

3) Conservation a) Activité 10
du contact Activité 26 p 137 minut
es

b) Théorème

Etant donnés une homothétie hO,k , un  Inciter les

cercle  et une droite D tangente à  en un 5 élèves à déduire ce
minut théorème de l’activité
point A es
a) de ce paragraphe
Si hO,k      '


et hO,k  D  D '

et hO,k   A  A' 

alors D’ est tangente à ’ en en A’
(On dit que la l’homothétie conserve le

contact ou la tangence)

Ch12-Fig\CvContact.ggb

4) Effet d’une Ch12-Fig\Effet d'une homothétie.ggb 10
homothétie sur minut
une figure es

Travail à la - Activités 27, 29 et 30 p 137
maison - Activité 33 p 138
- Activité 36 p 139

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 160

Chapitre 12: Homothéties Séance n° : 4 Durée : 2 h

Aptitudes à Utiliser les propriétés d’une homothétie pour résoudre des problèmes:
développer - d’alignement

- de parallélisme
- d’orthogonalité

- de contact
- de mesure des distances et d’angles

- de recherche de lieu et de construction

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

V) Exemples a) Tangentes communes à  Pour cette
de problèmes cercles
d’application deux séance, la répartition
des propriétés Correction de :
d’une horaire dépendra
homothétie Activité 27 p 137 (travail demandé)
surtout du degré
d’’assimilation et de

maîtrise par les

apprenants des

techniques et

démarches

proposées

1) Exemple  La recherche
d’exercices de
construction: des exercices de

Ch12-Fig\TgtesCommuCercles.ggb construction et de

lieu ne doit pas être

une occasionnelle et

doit se faire chaque
fois que l’occasion
s’offre durant toute
l’année

b) Cercles tangents à deux cercles et  Pour les
à une droite donnée
exercices de
Correction de :
construction, il vaut
Activité 29 p 137 (travail demandé)
mieux habituer les

élèves à dresser un

algorithme où ils

fixent les différentes

2) Exemple étapes
d’exercices de

mesure de Correction de:  L’utilisation

grandeurs - Activité 30 p 137 (travail demandé) d’un logiciel de
géométrie dynamique
géométriques - Activité 31 p 137 lors de recherche des

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 161

3) Exemple problèmes de lieu

d’exercices de offre une bonne

recherche de lieu Correction de: occasion pour

- Activité 36 p 139 (travail demandé) apprécier le rôle des

TICE pour fournir

une conjecture

4) Droite et Correction de:  Le choix des
cercle d’Euler
- Activité 33 p 138 (travail demandé) activités est à titre

Ch12-Fig\Drte& cer Euler.ggb indicatif on peut

remplacer certaines
d’elles par d’autres
qu’on juge plus

fructueuses

 On essaiera

lors de la correction

de ces activités de

faire acquérir une

méthode de

recherche aux

élèves: ce n’est pas

uniquement le

résultat qui compte,

les élèves doivent

être initiés à

s’approprier des

moyens de recherche

Travail à la maison - Exercices 11 et 15 p 14

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 162

Chapitre 12: Homothéties Séance n° : 5 Durée : 1 h

Aptitudes à - Résoudre des exercices intégratifs
développer

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

I) .

VI) Exercices Correction des exercices 11 et 15 p 146 La correction de ces

(travail demandé) exercices sera une

intégratifs occasion pour

consolider certains

acquis et remédier à

certaines carences

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 163

Lycée:………… Annexe 1 Prof : …………………
Niveau : 2ème Sc
Thème : Approche Fiche TICE
Fiche enseignant
d’une homothétie

Public ciblé : 2ème année sciences

Séance n° 1 du chapitre : Homothétie

Conditions matérielles :
Suivant les conditions :

Labo d’informatique

Salle normale, équipée d’un ordinateur et d’un vidéoprojecteur

Durée : 1 heure

Objectifs

1. TICE :
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer.

2. Mathématiques :
Enoncer la définition mathématique d’une homothétie
S’apercevoir de l’effet d’une homothétie sur un point et sur quelques ensembles des
points selon la valeur de son rapport et l’emplacement de son centre.

Pré-requis cognitifs : points alignés
Notion d’application dans le plan

Le va et vient : vecteurs colinéaires

Pré-requis techniques
L’enseignant doit envisager une séance d’initiation au logiciel utilisé (Cabri II ou Geogebra) ou

préparer un tutorial bien élaboré

Difficultés et remèdes

Déroulement de la séance :
Demander aux apprenants d’exécuter la partie fichier qui leur était fournie

DébutChapitre

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 164

Lycée: ……….. Annexe 2 Prof : …………….
Niveau : 2ème Sc
Thème : Approche Fiche TICE
Fiche élève
d’une homothétie

Exécuter les tâches suivantes:

Ouvrir le fichier : « Homothétie Acti d'approche » qui se trouve sur le bureau de votre ordinateur.
Ch12-Fig\Homothétie Activité d'approche.ggb

Enoncé: Dans la figure ci-dessous, A’, B’ et C’ sont les images respectives de A, B et C par une
certaine application f

B

A'

C'

C

A

B'

II) Utiliser le logiciel CABRI (ou Geogebra) pour:

1) Vérifier que :
les droites (AA’) et (BB’) sont sécantes. ( On désignera par O leur point d’intersection)
O appartient à (CC’).

2) Quepeut – onalors conclure concernant les vecteurs :
 OA et O A' ?
 OB et OB'?
 OC et OC' ?
Appeler le professeur, lui montrer les différentes propositions

3) Compléter le tableau ci – dessous :
OA’ OA OA' OB’ OB OB' OC’ OC OC'
OA OB OC

Appeler le professeur, lui montrer les différentes propositions

4) Exprimer alors : 

 OA' en fonction de OA

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 165

 
 OB' en fonction de OB
 OC' en fonction de OC

Appeler le professeur, lui montrer les différentes vérifications


5) Si M désigne l’un quelconque des points A, B ou Cet M’ son image par f, exprimer alors OM' en
fonction de OM .

Appeler le professeur, lui montrer votre proposition.

Commentaire : l’application f qui à A, B et C a associé respectivement A’, B’ et C’ est
 
appelée homothétie de centre O et de rapport OA' si OM' et OM ont le même sens et

OA

 OA' sinon

OA

6) Enoncer la définition d’une homothétie de centre ω et de rapport k (k  IR*)
Appeler le professeur, lui montrer votre proposition.

DébutChapitre

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 166

Lycée Métouia

Niveau: Deuxième année Sciences et Sciences de l’informatique

Chapitre: 13
Rotations

ABDESSLEM Tarek Conçu par: JOUABER Aouicha

GAIDI Hatem

Contrôle, rectification et support Tice

M. Mohamed Hédi Abderrahim

Commission de la D.R.E de GABES Dirigé par: Page 167
M. l’inspecteur AMOR JERIDI

Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In

Chapitre 13: Rotations Séance n° : 1 Durée : 2 h

Aptitudes à - Reconnaître le radian
développer
- Convertir une mesure du degré en radian (et vice versa)

- Reconnaître une rotation
- construire l’image d’un point par une rotation

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

I) Le radian a) Approche intuitive 20
A et B sont deux points d’un demi - cercle minut
1) Définition () de centre O et de rayon r. es

On entoure () d’un fil rouge en partant de
A et en s’orientant vers B comme l’indique la
figure ci - dessous. Soit:

A1 le point de () diamétralement

opposé à A
A’ le 1er bout de fil qu’on place sur A
A’’ le 2ème bout de fil qui vient coïncider

avec A1
B’ le point du fil qui vient coïncider

avec B alors la longueur du cercle () est:

P = 2.A’A’’ = .2r

b) Activité 15  Accorder un
Activité 1 p 149 minut temps de recherche
es aux élèves
c) Définitions
 La distance A’B’ notée L est 10  Il est souhaitable
minut que la définition
appelée la longueur de l’arc [AB] du cercle es émane des élèves
()

 le rapport L est appelé une mesure
r

en radians de l’angle au centre AÔB.

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 168

Remarque: 5
minut
Le rapport L ne dépend que de l’angle au es
r

centre AÔB : il est indépendant du rayon du
cercle considéré.
En effet, Soit deux demi - cercles
concentriques () et (’) de rayons
respectifs r et r’.

Tant que: AÔB = A’ÔB’ alors L  L ' et
r r'

la valeur de chacun de ces deux quotients

est la mesure de AO B en radians.

2) Formule de a) Activité 10  Accorder un
conversion du Activité 2 p 149 minut temps de recherche
degré en radian es aux élèves
(et vice versa) b) A retenir
Si  et  désignent les mesures d’un 5  Favoriser les
II) Définition même angle respectivement en degrés et minu bons essais des
d’une rotation en radians alors on a:    tes élèves lors de la
correction
1) Définition 180  5
(la proportionnalité est conservée.) minut  Accorder un
es temps de recherche
a) Activités préliminaires 5 aux élèves
Activité 4 et 3 p 148 minut
es  Habituer les
b) Activité d’approche élèves à essayer de
Activité 4 p 150 10 déterminer l’ajout
minu acquis suite à chaque
c) Définition tes activité

Soit O un point donné du plan et  un réel

donné de l’intervalle [0,].

On appelle rotation de centre O et d’angle ,

et on note: rO,  toute application r définie


par : rO, M   M ' signifie OM  OM '
MOM '  

De plus:

Dans ce cas de figure, Dans ce cas de figure,

la rotation est dite la rotation est dite

directe et vice versa indirecte et vice versa

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 169

d) Activités d’application

- Activité 5 p 151

- Dans la figure ci-dessous:

a) construire les points A’, B’ et C’ images

respectives des points A, B et C par la

rotation directe r  O, 
 3 
 Accorder un
b) construire les points A’’, B’’ et C’’ images 10 temps de recherche
minu aux élèves
respectives des points A, B et C par la tes
 Favoriser les
rrotation indirecte O, 2  bons essais des
3  élèves lors de la
correction
c) Définir la rotation qui à A’ associe A’’, à

B’ associe B’’ et à C’ associe C’’

e) Remarques

R1: la rotation directe ou indirecte rO, 


est la symétrie centrale de centre O

R2: la rotation directe ou indirecte d’angle  Habituer les
nul est l’application identique dans le plan élèves à essayer de
déterminer l’ajout
R3: Si r est une rotation directe ou indirecte 10 acquis suite à chaque
alors tout point M’ du plan n’a qu’un seul minu activité
antécédent M par r tes
 Accorder un
R4: un point, son image par une rotation et temps de recherche
le centre de cette rotation sont toujours les aux élèves
sommets d’un triangle isocèle (dont le
sommet principal est le centre de cette  Favoriser les
rotation) bons essais des
élèves lors de la
2) Conservation a) Activité correction
des angles et Activité 8 p 152
des distances
b) Théorème 5
minu
Pour tout point M, tout point N et tout point tes
O du plan d’images respectives M’, N’ et O’

par une rotation r I ,  on a:
 

 M’N’ = MN

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 170

(une translation conserve la distance) 5
minut
 M 'O ' N '  MON es

(une translation conserve les angles)

c) Activité d’application
Exercice 8 p 158 (A faire à la maison)

Travail à la maison - Exercice 8 p 158
- Activités 9 page 152 et 15 p 154

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 171

Chapitre 13: Rotations Séance n° : 2 Durée : 2 h

Aptitudes à - construire et reconnaître l’image d’une droite, d’un segment et d’une
développer
demi-droite par une rotation

- Reconnaître et déterminer les images de certains ensembles de points

par une rotation

- Reconnaître et mettre en œuvre les propriétés d’une rotation pour

résoudre des problèmes d’alignement, de parallélisme, d’orthogonalité
et de mesure des distances et d’angles

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

Correction de l’exercice 8 p 158 5  Les élèves
(travail à la maison) minut participent à la
es correction
(Les activités 9 page 152 et 15 p 154

seront corrigées au cours de la séance)

III) Images de a) Activité 10  Accorder un
Activité 9 p 152 (travail à la maison) minut temps de recherche
certaines es aux élèves
b) Théorème
parties du plan 10  Inciter les
Etant donnés une rotation r I ,  et deux minut élèves à déduire ce
1) Image:   es théorème de l’activité
- d’une droite a) de ce paragraphe.
- d’un segment points distincts A et B d’images 10
- d’une demi- minut  Accorder un
respectives A’ et B’ par r I ,  alors es temps de recherche
droite   aux élèves

- l’image par r I ,  de la droite (AB) est
 

la droite (A’B’)

- l’image par r I ,  du segment [AB] est
 

le segment [A’B’] et on a [AB] isométrique

à [A’B’]

- l’image par r I ,  de la demi-droite [AB)
 

est la demi-droite [A’B’)

c) Activité d’application
Activité 10 p 152

2) Image d’un a) Activité 5  Accorder un
cercle Activité 15 p 154 (travail à la maison) minut temps de recherche
es aux élèves
b) Théorème
 Inciter les
Etant donnés une rotation r I ,  , un réel
 

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 172

strictement positif R et un point O d’image 5 élèves à déduire ce
minut théorème de l’activité
O’ par r alors l’image par r du   es
 I ,   I ,  a) de ce paragraphe.

cercle  de centre O et de rayon R est le

cercle ’ de centre O’ et de même rayon R

Lien vers une animation illustrative:
Ch13-Fig\ImagesSegCerc.ggb

c) Activité d’application (Problème 10  Accorder un
de lieu) minut temps de recherche
es aux élèves
Activité 16 p 154
 La recherche
Conjecture de la solution avec un logiciel des exercices de
de géométrie dynamique: construction et de
lieu ne doit pas être
Ch13-Fig\Activité16p154.ggb occasionnelle et doit
se faire chaque fois
que l’occasion s’offre
durant toute l’année

IV) Autres a) Activité d’approche 10  Accorder un
Propriétés minut temps de recherche
Activité 13 p 153 es aux élèves
1) Conservation
du barycentre b) Théorème  Inciter les
élèves à déduire ce
Etant donnés une rotation r  I ,  et trois théorème de l’activité
  a) de ce paragraphe

points distincts A, B et G d’images

respectives A’, B’ et G’ par r et deux   10
 I ,  minut
es
réels non opposés  et :

G est le barycentre des points pondérés

(A,) et (B, ) signifie G’ est le barycentre
des points pondérés (A’, ) et (B’, )

(On dit que la rotation conserve le

barycentre)

Remarque:

Cette propriété reste valable dans le cas

du barycentre de trois points pondérés.

c) Conséquences 10  Initier les élèves
minut à exploiter les
C1: la rotation conserve le milieu: es résultats acquis
I = A*B signifie I’ = A’*B’

( I '  rI,  I  , A'  rI,  A et A'  rI,  A )

(On dit que la rotation conserve le

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 173

milieu

C2: Les images par une rotation de trois 10  Accorder un
points alignés sont trois points alignés minut temps de recherche
es aux élèves
(une translation conserve l’alignement)

d) Activité d’application
Activité 11 p 153

2) Conservation a) Activité 10  Accorder un
Montrer que les images par une rotation: minut temps de recherche
du parallélisme et es aux élèves
de l’orthogonalité a) de deux droites perpendiculaires
sont deux droites perpendiculaires

b) de deux droites parallèles sont deux
droites parallèles

b) Théorème r I ,  et deux
Etant données une rotation  

droites D et 

Si rI ,  : D  D '



   '  alors D'  '

et on a : D 


Les images de deux droites

perpendiculaires par une rotation sont

deux droites perpendiculaires

(On dit que la rotation conserve  Inciter les
l’orthogonalité)
élèves à déduire ce
10 théorème de l’activité
minut
es a) de ce paragraphe

Lien vers une animation:
Ch13-Fig\ImagesDrPerp.ggb

Si rI ,  : D  D '



   '  alors D '/ / '

et on a : D / / 


Les images de deux droites parallèles par

une rotation sont deux droites parallèles

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 174

(On dit que la rotation conserve le
parallélisme)

Lien vers une animation:
Ch13-Fig\ImagesDrParal.ggb

Travail à la - Activités 17 et 18 p 154
maison - Activités 21 p 155 et 22 p 156

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 175

Chapitre 13: Rotations Séance n° : 3 Durée : 1 h

Aptitudes à - Maître en œuvre les propriétés d’une rotation pour résoudre des
développer problèmes d’orthogonalité de calcul d’aire et de reconnaissance
d’élément de symétrie d’une figure

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

IV) Autres 10 .
propriétés minut
a) Activité es
(suite) Activité 17 p 154
3) Conservation
du contact b)Théorème

Etant donnés une rotation r I ,  , un cercle   L’utilisation
 
d’un logiciel de

et une droite D tangente à  en un point A géométrie dynamique

Si rI,     ' lors de recherche des
et rI, D   D '
problèmes de lieu

offre une bonne

et r  A  A '  occasion pour

I ,  apprécier le rôle des

alors D’ est tangente à ’ en en A’ TICE pour fournir

(On dit que la rotation conserve le une conjecture

contact ou la tangence)

4) Conservation a) Activité 5
des aires minut
Activité 18 p 154 (travail demandé) es

b) Théorème

On admet que:

 Une figure et son image par une

rotation sont superposables

 En particulier un polygone et son

image par une rotation sont

superposables: alors ils ont le même

périmètre, la même aire et leurs angles

homologues sont égaux

5) Effet d’une
translation sur Ch13-Fig\Effet d'une rotation.ggb
une figure

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 176

V) Figures a) Activité d’approche
globalement
invariantes Activité 21 p 155 (travail demandé)

Eléments de b) Définitions
symétrie d’une
figure  Une figure est dite globalement

invariante par une application du plan si elle
est l’image d’elle-même par cette application

 Un point I est un centre de symétrie
d’une figure si cette figure est globalement
invariante par la symétrie centrale de centre
I

 Une droite D est un axe de symétrie
d’une figure si cette figure est globalement
invariante par la symétrie axiale d’axe D

c) Activité d’application
Activité 22 p 156

Travail à la - Exercices 7 et 10 p 163
maison

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 177

Chapitre 13: Rotations Séance n° : 4 Durée : 1 h

Aptitudes à - Résoudre des exercices intégratifs
développer

Supports -…
pédagogiques
Démarche Durée Commentaire
Paragraphes
.
6)

VI) Exercices Correction des exercices 7 et 10 p 163 La correction de ces

(travail demandé) exercices sera une

intégratifs occasion pour

consolider certains

acquis et remédier à

certaines carences

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 178

Lycée Secondaire IBN KHALDOUN Métouia

Niveau: Deuxième année Sciences et Sciences de l’informatique

Chapitre: 14
Géométrie analytique

Conçu par:

Farhat Ltaief Lotfi Brahim

Contrôle, rectification et support Tice

M. Mohamed Hédi Abderrahim

Commission de la D.R.E de GABES Dirigé par: Page 179
M. l’inspecteur AMOR JERIDI

Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In

Chapitre 14: Géométrie analytique Séance n° : 1 Durée : 2 h

Aptitudes à - Calculer les coordonnées du barycentre de 2 ou 3 points pondérés
développer - Reconnaître et déterminer une équation cartésienne d’une droite
- Déterminer les composantes d’un vecteur directeur d’une droite
Supports - Etudier les positions relatives de deux droites à partir de leurs équations
pédagogiques
-…

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

I) Se rafraîchir a) Activité 10  Accorder aux
la mémoire Activité 1 p 93 minut élèves un temps de
es recherche
1) Coordonnées b) A retenir
d’un point  Vecteurs colinéaires  Favoriser les
Composantes  Deux vecteurs u et v sont colinéaires bons essais des
d’un vecteur élèves
si et seulement si
il existe un réel  tel que: u  .v


 Deux vecteursu et v de représentants
respectifs AB et CD sont colinéaires

si et seulement si
les droites (AB) et (CD) sont parallèles

 Repère cartésien du plan

 On appelle repère cartésien (ou repère) du

plan tout triplet O,u, v où O est un point


quelconque du plan et u et v sont deux
vecteurs non colinéaires

 Base de l’ensemble des vecteurs 15  Il est souhaitable
minut que la formulation de
 On appelle base de l’ensem ble  de es ces rappels et le
vocabulaire émanent
vecteurs du plan tout couple u, v où u et des élèves

v sont deux vecteurs non colinéaires.

 Coordonnées d’un point du plan
selon un repère

 Dans un plan, on considère un repère

cartésien O,u, v et un point quelconque M.

 on appelle coordonnées de M selon le

repère O,u, v les termes de l’unique
  

couple de réels (x,y) tels que: OM  x.u  y.v

On note: M  x, y

x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 180

de M
 Coordonnées du milieu d’un
segment

 Dans un plan rapporté à un repère

cartésien O,u, v , on considère les points

A(xA, yA ) et B(xB , yB ) . Le point I est le
milieu de [AB] si et seulement si
I ( xA  xB , yA  yB )

22

 Composantes d’un vecteur selon
une base

 Dans l’ensemble de vecteurs du plan, on

considère une base i, j et un vecteur

 quelconque u . On a ppelle composante s

(ou coordonnées) de u selon la base i, j

les réels uniques x et y tels que: u  x.i  y. j

On note: x
u  
 y 

x est l’abscisse de u et y est l’ordonnée
de u

 Composantes d’un vecteur défini

par deux points

 Dans un plan rapporté à un repère

cartésien O,i, j , si les points A(xA, yA ) et

B(xB , yB ) alors   xB  xA 
AB  yB  yA 
 

 Condition analytique de colinéarité
de deux vecteurs

 Dans l’ensemble de vecteurs du plan,

rapporté à une base i, j deux vecteurs

x et x' sont colinéaires si et
u   u  ' 
 y   y

seulement si:

  x x '  xy ' x ' y  0

u,v
 dét  y y'

c) Activité d’application 10

Les questions a), b), c) et d) de l’exercice 1 minut  Accorder
de la page 92 un temps de
es recherche aux
élèves

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 181

2) Coordonnées a) Activité  Donner un
du barycentre temps de recherche
activité 2 p 93 aux élèves

b) Théorème

On considère:
- trois réels α, β et γ

- et trois points A(xA, yA) , B(xB , yB ) et

d’un plan
 
 C(xC , yC ) rapporté à un repère

cartésien O,i, j 10
minut
 Si α + β ≠ 0, G est le barycentre es  Inciter les élèves
des points pondérés (A, α) et (B, β) à exprimer l’ajout
acquis de l’activité
si et seulement si

G   xA   xB , yA   yB 
       
 

 Si α + β+γ ≠ 0, G est le barycentre
des points pondérés (A, α), (B, β) et (C,γ)

si et seulement si:

G   xA   xB   xC , yA   yB   yC 
       


II) Equation a) Activité d’approche 5  Donner un
Activité 3 p 93 minut temps de recherche
cartésienne es aux élèves
d’une droite

1) Exemple

b) Condition nécessaire  Donner un
temps de recherche
2) Généralisation Activité 4 p 94 aux élèves

 A retenir (Formulation de la 10  Il est souhaitable
solution de b)) minut que la formulation
Soit A(xA, yA) et B(xB , yB ) deux points es de la solution de b)
émane des élèves
distincts du plan.
Les coordonnées x et y de tout point M de la  Inciter les élèves
droite (AB) vérifient une équation du type: à exprimer a, b et c
ax + by + c = 0 (a, b et c des réels donnés en fonction des
avec a et b non nuls au même temps) coordonnées de A et
Si M(x,y)  (AB) alors ax+by+c=0 B

c) Problème de la réciproque 10  Donner un
Activité 5 p 94 minut temps de recherche
es aux élèves
 A retenir
 Sensibiliser les
Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In
Page 182

Si les coordonnées x et y de tout point M élèves à la nécessité
d’un ensemble vérifient une équation du de la réciproque

type: ax + by + c = 0 où a, b et c sont des
réels donnés tels que (a,b) ≠ (0,0) alors

cet ensemble est une droite.

d) Théorème (Résumé) 10  Illustrer la
Le plan est muni d’un repère cartésien et minut différence entre les
a, b et c sont des réels donnés tels que es deux résultats partiels
(dans un seul sens)
(a,b) ≠ (0,0) et le théorème
résumé
Un ensemble de points admet une
équation de la forme: ax+by + c = 0  Habituer les
élèves à essayer de
signifie déterminer l’ajout
cet ensemble est une droite acquis suite à chaque
activité
Vocabulaire :
l’équation: ax +by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0)
est appelée équation cartésienne de la
droite D. On écrit D: ax + by + c = 0

Remarque:  Inciter les
(a,b)≠(0,0) signifie au plus l’un parmi les élèves à énoncer ces
déductions.
réels a et b est nul)

e) Activité d’application 10  Donner un
minut temps de recherche
- Activité 6 p 94 es aux élèves
- Activité 7 p 95 (Proposer deux
 Inciter les élèves
méthodes pour chaque cas) à exprimer l’ajout
acquis de l’activité
 A retenir
Toute droite est parfaitement définie à l’aide
de son équation cartésienne

III) Vecteur a) Définition 15
directeur d’une Soit A et B deux points distincts d’une droite minut
D. On appelle vecteur directeur deDtout es
droite
vecteur unon nul et colinéaire à AB (y
Droites parallè- compris AB )

les b) Autre définition d’une droite
Activité 9 p 95
1) Vecteur
directeur d’une c) Enoncé de la définition
droite


Soit A un point du plan et u un vecteur non
nul. L’ensemble des points M du plan tels

 
que les vecteurs AM et u soient
colinéaires est une droite appelée la droite



passant par A et de vecteur directeur u

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 183

d) Détermination d’un vecteur  Donner un
temps de recherche
directeur à partir de son équation de la aux élèves
définition
 Inciter les élèves
 Activité à exprimer l’ajout
Activité 11 p 96 : acquis de l’activité

 A retenir 10
minut
Si une droite D: ax + by + c =0 alors le es

 b 
vecteur u   est un vecteur directeur de D
a 


e) Activité d’application  Donner un
temps de recherche
Exercice 7 p 106 aux élèves

Travail à la maison Exercices: 2 p 115 et 10 p 107

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 184

Chapitre 14: Géométrie analytique Séance n° : 2 Durée : 2 h

Aptitudes à - Déterminer les composantes d’un vecteur normal à une droite
développer
- Montrer que deux droites sont perpendiculaires sachant à partir de leurs

équations
- Connaître et déterminer l’équation réduite d’une droite
- Calculer la distance d’un point à une droite

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

Correction du travail à la maison 15  Les élèves
minu
- Exercice 10 p 107: on se contentera tes participent à la

des exemples les plus délicats correction

- Exercice 2 p 115  on profitera
de l’exercice 10 pour

parler des cas

particuliers: a, b ou c

est nul

 on profitera
de l’exercice 2 pour

exposer de

différentes méthodes
pour établir l’équation
d’une droite selon les

données

III) Vecteur a) Activité d’approche  Valoriser des
directeur d’une Activité 13 p 97 exemples cités par
les élèves lors de la
droite b) Théorème 15 correction
minu
Droites parallè- Soient deux droites D : ax + by + c = 0 et tes
D’: a’x + b’y + c’ = 0. D et D’ sont
Les (suite)

parallèles ab’ – a’b = 0
si et seulement si

2) Condition c) Activité d’application  Accorder aux
analytique de Activité 14 p 97 élèves un temps de
parallélisme de recherche
deux droites

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 185

d) Positions relatives de 2 droites
d’après leurs équations

 Initier les
élèves à élaborer des
moyens de synthèse
(schémas, tableaux..)

IV) Vecteur a) Activité:  Accorder de
normal à une Activité 18 p 98 un temps
droite - Droites recherche aux
perpendiculaires b) Définition élèves
On appelle vecteur normal à une droite
1) Vecteur normal tout vecteur non nul orthogonal à un  Inciter les
à une droite vecteur directeur de cette droite
15 élèves à déduire la
c) Activité d’application minu
Activité 19 p 99 tes définition de l’activité

d’approche ci-

dessus.

 A retenir

 Le plan étant rapporté à un repère

orthonormé O,i, j , la droite D

d’équation: ax + by + c = 0 admet le

a
vecteur n   pour vecteur normal
 b   Accorder
un temps de
recherche aux
2) Droites a) Activité: élèves
perpendiculaires Activité 21 p 99

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 186

 A retenir 15
minu
 Le plan est rapporté à un repère tes

orthonormé O,i, j .Les droites  Accorder de
un temps
D: ax + by + c = 0 et D’: a’x + b’y + c’=0 recherche aux
sont perpendiculaires si et seulement si élèves

aa’ + bb’ = 0

b) Activité d’application
Activité 13 p 107

V) Equation a) Activité
réduite d’une Activité 23 p 100
droite
b) Définitions  Inciter les
Coefficient
 Le plan est rapporté à un repère cartésien
directeur
O,i, j .Soit une droite D: ax + by + c = 0
1) Définitions
où b≠ 0. Cette équation cartésienne de D élèves à déduire la
définition de l’activité
est équivalente à une équation de la

forme : y = mx + p. d’approche ci-

 L’équation y = mx + p est appelée dessus.
l’équation réduite de la droite D

 Le réel m est appelé le coefficient

directeur

Remarque: Si le repère est orthonormé, le

coefficient directeur est aussi appelé la

pente de la droite D
 p est appelé l’ordonné à l’origine

(c’est l’ordonnée du point de D d’abscisse
0, c’est alors l’ordonnée du point où D
coupe l’axe des ordonnées)

c) Commentaires 20
Soit D la droite d’équation réduite minu
tes
 1 
y = mx + p Le vecteur   est un
u  m 

vecteur directeur de la droite D et Le  Accorder aux
élèves un temps de
m  recherche
vecteur n  1 est un vecteur normal à
  Accorder aux
élèves un temps de
la droite D recherche

d) Activité d’application
Activité 24 p 100

2) Droites a) Activité  Accorder aux
parallèles Activités 25 p 101 élèves un temps de
recherche
b) A retenir
Page 187
Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In

3) Droites  Soient dans un plan rapporté à un 10  Initier les
perpendiculaires minu élèves à exprimer
repère cartésien O,i, j , les droites tes l’ajout acquis suite à
une activité
D: y = mx + p et D’: y = m’x + p’
D et D’ sont parallèles si et seulement si  Accorder aux
élèves un temps de
m = m’ recherche

a) Activité
Activités 27 p 101

b) A retenir  Initier les

 Soient dans un plan rapporté à un élèves à exprimer
l’ajout acquis suite à
repère orthonormé O,i, j , les droites
une activité
D: y = m.x + p et D’: y = m’x + p’

D et D’ sont perpendiculaires si et 10
minu
seulement si m.m’ = -1 tes

VI) Distance a) Activité d’approche  Accorder de
d’un point à une Soit D une droite du plan et M un point un temps
extérieur à D recherche aux
droite élèves
a) Construire le point H projeté
1) Définition orthogonal de M sur D

b) Montrer que pour tout point N
de D distinct de H, on a: MH < MN
Commentaire: MH est appelée la
distance de M à D

Liens d’illustration :
Sur internet (Vidéo):

http://youtu.be/eL6Sw3faXkE
Avec cabri 3D (dans ce dossier):

Ch14 -Fig\DistPointDroite.ggb

b) Définition 15
Soit une droite D et un point A du plan, on minu
appelle distance du point A à la droite D et tes
on note d(A,D) la distance AH où H est le
projeté orthogonal de A sur D.  Accorder de
un temps
c) Activité d’approche recherche aux
Exercice 18 p 108 élèves

Travail à la - Exercices : 12 et 14 p 107
maison - Activité 32 p 103

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 188

Chapitre 14: Géométrie analytique Séance n° : 3 Durée : 2 h

Aptitudes à - Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle
développer
- Déterminer l’ensemble de points M(x,y) tels que x² + y² + ax + by + c = 0
- Déterminer la position d’un cercle et d’une droite

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

d) Correction du travail à la maison 15  Les élèves
minu participent à la
VI) Distance - Exercices 12 et 14 p 107 tes correction
d’un point à - Activité 32 p 103
une droite(Suite) 15  . Accorder
a) Activité minu un temps de
2) Expression Activité 31 p 103 tes recherche aux
de la distance élèves
d’un point à une b) A retenir
droite Dans un plan muni d’un repère orthonormé,  Initier les
si une droite D : ax + by + c = 0 et un point élèves à exprimer
A(xA,yA) l’ajout acquis suite à
une activité
alors on a : d(A,D)  axA  byA  c
a²  b²

c) Activité d’application  Accorder
Exercice 18 p 108 un temps de
recherche aux
VII) Equation a) Activité élèves et se
d’un cercle Activité 34 p 104 contenter de deux
exemples
1) Définition b) Définition
Soit I(a,b) un point d’un plan muni d’un
repère orthonormé et R un réel strictement 30  Initier les
positif. minu
L’équation: (x – a)² + (y – b)² = R² est tes élèves à formuler
appelée équation cartésienne du cercle de l’ajout acquis suite à
centre I et de rayon R
une activité

c) Activité d’application  Accorder de
Exercice 19 p 108 un temps
recherche aux
élèves

2) Ensemble a) Activité
d’équation: Activité 35 p 104

x²+y²+ax+by+c=0 b) A Retenir
Soient a, b et c des réels donnés et E

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 189

l’ensemble de points M(x,y) selon un repère

orthonormé tels que

x² + y² + ax + by + c = 0.  Initier les

On pose h = a²  b²  4c 25 élèves à formuler
4 minu l’ajout acquis suite à
tes
 Si h < 0 alors l’ensemble E est vide une activité et à se

 Si h = 0 alors E = I( a , b ) procurer des moyens
 2 2 
de synthèse:
 Si h  0 alors E est le cercle de tableaux, schémas…

centre I( a , b) et de rayon R = h
22

c) Activité d’application 10  Accorder
Activité 36 p 105 minu un temps
tes recherche aux
élèves de

3) Positions a) Activité d’approche  Accorder de
relatives d’un Activité 39 p 105 un temps
recherche aux
cercle et une b) A Retenir élèves
Soit un cercle (C) de centre I et de rayon
droite R et D une droite du plan.

 Si d(I,D)  R alors (C)  D =  20

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 190

 Si d(I,D) = R alors D et (C) sont minu
tangentes tes

 Si d(I,D) < R alors D coupe (C) en
deux points distincts

 Initier les

élèves à formuler
l’ajout acquis suite à

une activité et à se

procurer des moyens

de synthèse:
tableaux, schémas…

Travail à la - Exercices : 8 p 115
maison - Exercices 12, 13 et 14 p 116

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 191

Chapitre 14: Géométrie analytique Séance n° : 4 Durée : 2 h

Aptitudes à - Résoudre des exercices intégratifs
développer

Supports -…
pédagogiques
Démarche Durée Commentaire
Paragraphes
.
3)

IIX) Exercices Correction des exercices

intégratifs 8 p 115 et 12, 13 et 14 p 116
(travail demandé)

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 192

Lycée Mohammed Ali El-Hamma

Niveau: Deuxième année Sciences et Sciences de l’informatique

Chapitre: 15
Trigonométrie et mesures des

grandeurs

Conçu par:

Abdelaziz Neji

Contrôle, rectification et support Tice

M. Mohamed Hédi Abderrahim

Dirigé par:
M. l’inspecteur AMOR JERIDI

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 193

Chapitre 15: Trigonométrie et mesures des Séance n° : 1 Durée : 2 h
grandeurs

Aptitudes à - Convertir la mesure d’un angle du rad en degré et vice-versa
développer - Placer sur le demi-cercle trigonométrique un point associé à un angle

donné
- Reconnaître le sin et le cos d’un an angle

- Mobiliser les propriétés du cos et sin dans les calculs

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

I) Des mises au a) Rappels
point  On mesure un angle à l’aide d’un

rapporteur.

1) Le degré  Le degré est une unité de mesure
d’angle telle que: 180° soit la mesure de
l’angle plat (l’angle dont les côtés sont l’un
dans le prolongement de l’autre).

 Les sous-multiples du degré sont la 10
minute (’) et la seconde (’’): 1 =60’ et 1’=60’’ minut
es
on parle alors de degrés sexagésimaux

(DMS).

 Parfois on utilise aussi les degrés
décimaux. Il s’agit d’une écriture dans laquelle la

partie non entière est écrite sous forme décimale.

b) Exemple:

Convertir en degrés sexagésimaux la
mesure 3.25° exprimée en degrés

décimaux a
60’
on a 0.25°
 Accorder
1°
a = 0.25 x 60°= 15’’
Donc 3.25° = 3°15’

Aux élèves un

c) Application: temps de

Exprimer en degrés sexagésimaux la recherche
mesure 57.29°
 Favoriser
Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In les bons essais
des élèves

Page 194

2) Le radian a) Définition1:

Le radian est la mesure d’un angle au

centre d’un cercle qui intercepte un arc de

longueur égal au rayon de ce cercle.

b) Définition 2: 15
Soit un cercle  de centre O et de rayon minut
es

[OI] avec OI=1 et soit M  , On appelle

mesure en radians de l’angle le réel

 égal à la longueur de l’arc IM .

c) Remarques
Remarque1:

La définition du radian est indépendante
du rayon du cercle et de l’angle au centre
choisis.

Remarque2:
On symbolise le mot radian par: ‘’ rad ‘’.

Remarque3:
Si la mesure d’un angle est une fraction ou

un multiple de alors elle sera exprimée

sans unité (on omettra l’abréviation ‘’ rad ‘’).

Exemples: AOB  2 ; CID  
3

3) Conversion a) Règle En (°) Règle
degrés - radians 180
Angle En rad 
Plat π x   x
180
Autre 

Les mesures  et x d’un angle 10
minut
respectivement en radians et en degrés es

sont proportionnelles à  et 180 d’où:

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 195

  x
 180

b) Exemple:
 Si la mesure d’un angle en (°) est 1

alors sa mesure  en rad est:

    0.0174553292
180

 Si la mesure d’un angle en (rad) est 1

alors sa mesure x en (°) est:

x  180  57.29  5717’24’’


c) Conséquences.

* Un arc d’un cercle de rayon R a pour 10
minut
longueur L=R. ; où  est la mesure en rad es
de l’angle au centre qui intercepte cet arc.

* Un secteur circulaire d’un cercle de rayon

R2. où  est la mesure en

R a pour aire
2

rad de l’angle au centre qui intercepte l’arc

du secteur.

d) Activité d’application
1) Convertir en radian ou en degré selon le
cas, les angles suivants :

X° 0 30 90 18


4

2) Un angle a pour mesure 25°.Quelle est sa  Accorder
mesure en rad.
aux élèves un
10
temps de

recherche

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 196

e) Remarques. minut
 Deux angles sont dits complémentaires es
si et seulement si leur somme est un angle
droit.
 Deux angles sont dits supplémentaires si et
seulement si leur somme est un angle plat.

II) Demi -cercle a) Définition
trigonométrique
 Soit unplan muni d’un repère orthonormé

O,OA,OB

on appelle demi – cercle trigonométrique le
demi cercle de centre O, passant par B et
sous-tendu par le diamètre [AA’] (A’ étant
le symétrique de A par rapport à O) .

b) Illustration graphique

5
minut
es

III) Lignes a) Activité d’approche
Activité 2 p 73
trigonométriques
b) Résultat 1
1) Angle dans le
demi – cercle A tout réel  de l’intervalle 0,
trigonométrique
correspond un point unique M du demi-
 Donner un
cercle trigonométrique tel que:

AOM   rad où A(1,0).

c) Activité d’application temps de

Construire sur un demi-cercle recherche aux

trigonométrique les points E, F, G et H qui élèves

correspondant respectivement aux

 2 , 3 et 5 10
réels: , minut
33 4 6 es

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 197

2) Cosinus –Sinus a) Définition

Soit un angle de 0,  et M le point du

 demi- cercle

AOM  
trigonométrique tel que  Donner un
( O,OA,OB est un repère
temps de

recherche aux

orthonormé). élèves
On appelle :
le
 Cosinus du réel

réel noté cos  et défini par: cos = OH
où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe

des abscisses: par suite cos est
l’abscisse de M

 sinus du réel le réel noté

sin  et défini par: sin = OK où K est le  Il est
projeté orthogonal de M sur l’axe des
ordonnées: par suite cos est l’ordonnée Souhaitable que
de M
Résumé: la définition

b) Lecture du cos et du sin d’un émane des
angle
Ouvrir ce lien 10 élèves
minut
Ch15 -Fig\cos et sin angle.ggb es

10  Habituer les
minut élèves à essayer
es
de déterminer
l’ajout acquis
suite à chaque

activité

c) Conséquences 1
 H  AA'  où A(1,0) et A’(-1,0)

donc pour tout de 0,  ; -1

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 198

 K OB où B(0,1) donc

pour tout 0,  , on a: 0 1

 Le triangle OMH est rectangle en H 15  Inciter les
D’après le théorème de Pythagore minut élèves à énoncer
OH2 + HM2 = OM2 or HM=OK et OM=1 es ces déductions.
alors OH2 +OK2 = 1

et puisque OH = cos , OK = sin , on aura

pour tout 0,  , (cos )2 + (sin )2= 1

Notation (cos )2 sera noté cos2

et (sin )2 sera noté sin2

Pour tout  de 0,  , cos2 + sin2 = 1

d) Remarque
En première année, on a vu les rapports
trigonométriques dans un triangle rectangle
donc les angles étaient aigus; par contre
cette année, on peut considérer des angles
obtus d’où la nécessité d’un demi-cercle

3) Cosinus – a) Activité d’approche
Sinus de deux Activité 7 page 74
angles
supplémentaires b) A retenir 10
minut
Pour tout de 0,  , on a: es

cos ( ) = -cos

sin ( ) = sin

c) Activité d’application
Activité 8 page 75

- Exercice 1 p 89

Travail à la maison - Activité 9 page 75

 - Activité 12 p 76



Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 199

Chapitre 15: Trigonométrie et mesures des

grandeurs Séance n° : 2 Durée : 2 h

Aptitudes à - Reconnaître, la tangente et la cotangente d’un angle (lorsque c’est défini)
développer
- Déterminer le sinus, la tangente et la cotangente du complémentaire et du
supplémentaire d’un angle
- Construire un angle à partir de l’un de ses rapports trigonométriques

- Etablir et savoir appliquer la loi des sinus

Supports -…
pédagogiques

Paragraphes Démarche Durée Commentaire

Correction du travail à la maison: 10 Les élèves participent
Exercice 1 p 89 minu à la correction
tes
(les activités 9 p 75 et 12 p 76 seront
corrigés au cours de la séance)

4) Cosinus –Sinus a) Activité d’approche
de deux angles Questions 1 et 2 de l’activité 9 page 75
complémentaires
b) A retenir
10  Valoriser des
Pour tout de 0,  , on a: minut exemples cités par
es les élèves lors de la
cos (    ) = sin correction
2

sin (    ) = cos
2

c) Activité d’application
Question 3 de l’activité 9 page 75

5) Tangente – a) Définitions de 0,  et   
cotangente  Soit un angle
2

On appelle tangente du réel le réel 20  Inciter les
minu
  sin  tes élèves à déduire ces
cos 
noté tan  et défini par: tan définitions de

 Soit un angle de 0,  l’activité1 de ce

paragraphe.

On appelle cotangente du réel le réel

noté cot  et défini par: cot   cos 
sin 

Commission de la D.R.E de GABES Fiches pédagogiques 2ème Sc & Sc In Page 200