วิชาคณิตศาสตร์ พค11001 ประถมศึกษา

44 การนําจํานวนใด ๆ ไปคูณกับผลบวกของจํานวนอีกสองจํานวน จะมีผลคูณเทากับการนํา จํานวนนั้นไปคูณทีละจํานวน แลวบวกกัน เราเรียกสมบัติขอนี้วา “สมบัติการแจกแจงของการคูณ” สมบัติการแจกแจงของการคูณนี้ นิยมนําไปใชในการคูณจํานวน 2 จํานวน ที่เปนตัวเลข ตั้งแต 2 หลักขึ้นไป โดยวิธีกระจายจํานวนตามคําประจําหลักตามแนวนอน แตสําหรับในชั้นนี้ นิยมใชกับตัว คูณที่เปนเลขไมเกินสองหลัก ซึ่งผูเรียนไดเรียนมาบางแลวในการคูณที่มีตัวคูณเปนเลขหลักเดียวนั่นเอง แบบฝกหัดที่ 19 จงเติมจํานวนเลขลงใน เพื่อใหประโยคเปนจริง 1. ÷7 = 0 2. × 1 = 4 3. 10 ÷ =10 4. 46 + = 46 5. + 0 = 0 + 8 6. 0× 9= 9 × 7. 716 + = 210 + 716 8. 50 ×70 = 70 × 9. (9 +7) + 26 = 9 + ( + 26) 10. (40 ×17) ×69 = 40 × (17 × ) 11. (5,040 + 1,460) × 445 = + (1,460 × 445)

45 1.4 การหาร ความหมายของการหาร การหารเปนการแบงของออกเปนกลุมยอยเทา ๆกัน หรือเปนการนับลดลงครั้งละเทา ๆ กัน และ สามารถแสดงไดโดยการหารของจํานวนเพียง 2 จํานวน จํานวนที่ไดจากการหารกันของ 2 จํานวน เรียกวา “ผลหาร”และใชเครื่องหมาย ÷เปนสัญลักษณแสดงการหาร เชน 8 ÷2 การลบออกครั้งละเทา ๆ กัน จนครั้งสุดทายไดผลลบเปน 0 ดังตัวอยางที่ 1 เรียกวา “การหารลงตัว” แตถาลบออกจนครั้งสุดทายไมเปนศูนย ดังตัวอยางที่ 2 เรียกวา “การหารไมลงตัว”และ จํานวนที่เหลือจากการลบออกครั้งสุดทาย เรียกวา “เศษ” ตัวอยางที่ 1 15 ถาลบออก ครั้งละ 3 จะตองลบกี่ครั้ง จึงจะหมด ครั้งที่ 1 15 – 3 เหลือ 12 ครั้งที่ 2 12 – 3 เหลือ 9 ครั้งที่ 3 9 – 3 เหลือ 6 ครั้งที่ 4 6 – 3 เหลือ 3 ครั้งที่ 5 3 – 3 เหลือ 0 จะเห็นวา 15 ลบออกครั้งละ 3 ได 5 ครั้ง จึงจะหมด นั่นคือ 15 ÷3 = 5 ตัวอยางที่ 2 มีขนม 10 ชิ้น แบงใสจาน จานละ 4 ชิ้น จะไดกี่จาน มีขนม 10 ชิ้น แบงใสจานแรก 4 ชิ้น เหลือ 6 ชิ้น แบงใสจานที่สอง 4 ชิ้น เหลือ 2 ชิ้น ดังนั้นแบงขนมใสจานได 2 จาน และเหลือเศษอีก 2 ชิ้น นั่นคือ 10 ÷4 = 2 เศษ 2 – –

46 จากตัวอยางการลบขางตน จะเห็นวา การหารเปนวิธีลัดของการลบ และประโยคที่แสดง การหาร เชน 15 ÷3 = 5 เรียกวา ประโยคสัญลักษณแสดงการหาร อานวา 15 หารดวย 3 เทากับ 5 15 เรียกวา ตัวตั้ง 3 เรียกวา ตัวหาร 5 เรียกวา ผลหาร ดังนั้น ความสัมพันธระหวางการคูณและการหาร ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลหาร มีมะนาว 3 กอง กองละ 4 ผล รวมมีมะนาวทั้งหมด 12 ผล ประโยคสัญลักษณ คือ 3×4 = 12 มีมะนาวทั้งหมด 12 ผล มีมะนาวทั้งหมด 12 ผล แบงเปน 3 กอง แบงกองละ 4 ผล ไดมะนาวกองละ 4 ผล ไดมะนาว 3 กอง ประโยคสัญลักษณคือ 12 ÷ 3 = 4 ประโยคสัญลักษณ คือ 12 ÷4= 3 ตัวตั้ง ตัวคูณ ผลคูณ ตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร 3 × 4 = 12 12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 4 = 3 ตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร

47 จากตัวอยางขางตน จะเห็นวาการคูณและการหารมีความสัมพันธกัน กลาวคือ 1. การคูณเปลี่ยนเปนการหาร ไดดังนี้ 1.1 การคูณเปลี่ยนเปนการหาร เมื่อ - ตัวตั้งของการคูณ จะเปลี่ยนเปนตัวหารหรือผลหาร - ตัวคูณของการคูณ จะเปลี่ยนเปนผลหารหรือตัวหาร - ผลคูณของการคูณจะเปลี่ยนเปนตัวตั้ง 1.2 ประโยคสัญลักษณแสดงการคูณ เปลี่ยนเปนประโยคสัญลักษณแสดงการหารได 2. การหารเปลี่ยนกลับเปนการคูณได ดังนี้ ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลหาร ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง ประโยคความสัมพันธของการคูณและหาร 1. ใชตรวจสอบผลหารวาถูกตองหรือไม โดยใช ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง 2. ใหหาผลหารไดสะดวกและรวดเร็วขึ้น โดยใชตารางการคูณ หรือการทองสูตรคูณ วิธีคิด ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง จากตารางการคูณ 5 ×3 =15 ดังนั้น 5 ไปหาร 15 ไดผลหารเปน 3 วิธีใชตารางการคูณในการหาผลหาร ในตารางการคูณแถวนอนบนสุดซึ่งเปนตัวตั้งใหเปลี่ยนเปนตัวหาร ในตารางการคูณแถวซายสุด ซึ่งเปนตัวคูณใหเปลี่ยนเปนตัวหาร ในตารางการคูณตัวเลขในตาราง ซึ่งเปนผลคูณใหเปลี่ยนเปนตัวตั้ง ดังนี้ ตัวอยาง 10 ÷ 2 = วิธีทํา 10 ÷ 2 = ตอบ 5 ตรวจคําตอบ 5 × 2 = 10 ดังนั้นคําตอบถูกตอง 5 ตัวอยาง 15 ÷ 5 = วิธีทํา 15 ÷ 5 = ตอบ 3 ตรวจคําตอบ 5 × 3 = 15 ดังนั้นคําตอบถูกตอง 3

48 ตัวตั้งของการคูณ ผลหาร × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 ตัวคูณ ตัวหาร ตัวอยาง 15 ÷ 3 = วิธีดู ขั้นที่ 1 ดูจากตารางแถวตั้ง ซึ่งอยูซายสุด ตรงเลข 3 ขั้นที่ 2 จากเลข 3 มองตามแนวนอนในบรรทัดเดียวกันจากซายไปขวา จนถึงเลข 15 ขั้นที่ 3 จาก 15 มองตามแนวตั้งไลขึ้นจนถึงบรรทัดบนสุดจะพบเลข 5 ดังนั้น ผลหารของ 15 ÷ 3 = 5 ตัวอยาง 42 ÷ 7 = วิธีดู ขั้นที่ 1 ดูจากตารางแถวตั้ง ซึ่งอยูซายสุด ตรงเลข 7 ขั้นที่ 2 จากเลข 7 มองตามแนวนอนในบรรทัดเดียวกันจากซายไปขวา จนถึงเลข 42 ขั้นที่ 3 จาก 42 มองตามแนวตั้งไลขึ้นจนถึงบรรทัดบนสุดจะพบเลข 6 ดังนั้น ผลหารของ 42 ÷ 7 = 6

49 ในทํานองเดียวกัน ถาจะหาผลหารของจํานวนอื่น ๆ 2 จํานวน ก็ใหใชวิธีดูเชนเดียวกับตัวอยาง ขางบน รูปแบบของการหาร การหารตามแนวนอน การหารตามแนวตั้ง 1. 96 ÷ 4 = 24 3. 4 ) 96 24 2. 96 4 = 24 4. 24 4 ) 96 80 16 4 × 20 16 00 4 × 4 การหารเมื่อตัวหารเปนจํานวนที่ไมเกินสามหลักและผลหารไมมีเศษ เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขหลักเดียว ตัวอยาง 184 ÷ 8 มีคาเทาไร วิธีที่ 1 โดยวิธีหารยาว (เครื่องหมายหารยาว คือ “ ) ” ) ประโยคสัญลักษณ คือ 184 ÷ 8 = วิธีทํา 2 3 8 ) 1 8 4 1 6 0 2 4 8 × 20 2 4 0 0 8× 3 ตอบ 23 วิธีคิด 1. 20 เปนจํานวนมากที่สุดที่คูณกับ 8 แลวได ไมเกิน 184 2. นําผลคูณ 8 ×20 คือ 160 ไปลบออกจาก 184 เหลือ 24 3. 3 เปนจํานวนที่คูณกับ 8 แลวได 24 พอดี นํา 24 ไปลบออกจาก 24 ซึ่งเปนตัวตั้งได 0 ดังนั้น ผลหารทั้งหมด คือ 23 ตรวจคําตอบ 8 ×23 =184 แสดงวาคําตอบถูกตอง

50 วิธีที่ 2 โดยวิธีการหารยาว (วิธีลัด) ประโยคสัญลักษณ คือ 184 ÷ 8 = วิธีทํา 0 2 3 8 ) 1 8 4 2 4 1 6 0 0 2 4 ตอบ 23 วิธีคิด วิธีนี้ใชตัวหารหารตัวตั้งทีละหลัก 1. นํา 8 ไปหาร 1 ซึ่งเปนเลขหลักสูงสุด กอน จะเห็นวา 8 มากกวา 1 ฉะนั้น ใหพิจารณา ไปรวมกับหลักถัดไป เปน 18 2. นํา 8 ไปหาร 18 จากตารางการคูณ 8 ×2 =16 ซึ่งเปนคาที่ใกลเคียง 18 มากที่สุด และไมเกิน 18 ดังนั้น ผลหาร คือ 2 ใสไวเหนือ 8 ซึ่งเปนหลักสิบของตัวตั้ง นํา 16 ไปลบออกจาก 18 เหลือเศษ 2 ชัก 4 ลงมาใหตรงหลัก เปน 24 3. นํา 8 ไปหาร 24 จากตารางการคูณ 8 ×3 =24 ดังนั้นผลหารคือ 3 ใสไวเหนือ 4 ซึ่งเปนตัวตั้ง แลวนํา 24 ที่ไดไปลบกับ 24 ได 0 ดังนั้น ผลหารทั้งหมด คือ 23 ตรวจคําตอบ 8 ×23 =184 แสดงวาคําตอบถูกตอง วิธีที่3 โดยวิธีหารสั้น (เครื่องหมายหารสั้น คือ “ ) ” ) ประโยคสัญลักษณ คือ 184 ÷ 8 = วิธีทํา 8 ) 1 8 4 0 2 3 ตอบ 23 วิธีคิด มีวิธีคิดเหมือนวิธีหารยาว ซึ่งจะคิดตามวิธีที่ 1 หรือ 2 ก็ไดแลวแตถนัด และถาผูเรียนทองสูตร คูณแมน และเขาใจวิธีการหารยาวดี ก็สามารถ คิดในใจ ไดและจะหาผลหารไดรวดเร็วขึ้น ตรวจคําตอบ 8 ×23 =184 แสดงวาคําตอบถูกตอง เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขสองหลัก วิธีที่เหมาะสมมีดังนี้ – –

51 – – – ตัวอยาง ใหหาคาของ 7,936 ÷31 วิธีที่ 1 โดยวิธีหารยาว วิธีที่ 2 โดยวิธีหารยาว (วิธีลัด) ประโยคสัญลักษณ คือ 7,936 ÷31 = วิธีทํา 2 5 6 31 ) 7 9 3 6 6 2 0 0 1 7 3 6 31 × 200 1 5 5 0 1 8 6 31 × 50 1 8 6 0 0 0 31 × 6 ตอบ 256 ประโยคสัญลักษณคือ 7,936 ÷ 31 = วิธีทํา 2 5 6 31) 7 9 3 6 1 7 3 6 2 1 8 6 1 5 5 0 0 0 1 8 6 ตอบ 23 ตรวจคําตอบ 31 ×256 =7,936 แสดงวาคําตอบถูกตอง ตรวจคําตอบ 31 ×256 =7,936 แสดงวาคําตอบถูกตอง วิธีที่ 3 โดยวิธีหารสั้น (แยกตัวหารใหเปนตัวประกอบ) วิธีนี้ใชเมื่อสามารถแยกตัวหารใหเปนตัวประกอบหลักเดียวได แลวนําตัวประกอบไปหารตัวตั้ง ทีละตัว จะชวยใหหารเลขไดงายและประหยัดเวลา ตัวอยาง 1,218 ÷ 21 = วิธีทํา 21 = 3 × 7 3 ) 1 2 1 8 7 )4 0 6 5 8 ตอบ 58 วิธีคิด 1. นํา 3 ไปหาร 1,218 ได 406 2. นํา 7 ไปหาร 406 ได 58 ลงตัวพอดี ดังนั้น ผลหาร คือ 58 ตรวจคําตอบ 58 ×7 ×3 =1,218 แสดงวาคําตอบถูกตอง – – –

52 – – – – เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขสามหลัก ตัวอยาง ใหหาร 34,932 ดวย 246 วิธีที่ 1 โดยวิธีหารยาว วิธีที่ 2 โดยวิธีหารยาว (วิธีลัด) ประโยคสัญลักษณ คือ 34,932 ÷246 = วิธีทํา 1 4 2 246) 3 4 9 3 2 2 4 6 0 0 1 0 3 3 2 246 × 100 9 8 4 0 4 9 2 246 × 40 4 9 2 0 0 0 246 × 2 ตอบ 142 ประโยคสัญลักษณ คือ 34,932 ÷ 246 = วิธีทํา 1 4 2 246) 3 4 9 3 2 1 0 3 3 2 4 6 9 8 4 9 2 4 0 0 0 4 9 2 ตอบ 142 ตรวจคําตอบ 246 ×142 = 34,932 แสดงวาคําตอบถูกตอง ตรวจคําตอบ 2460 ×142 =34,932 แสดงวาคําตอบถูกตอง ที่ยกตัวอยางมาทั้งหมดนี้ จะเห็นวาเปนการหารตามแนวตั้งทั้งหมด สวนการหารตามแนวนอนนั้นมี ใชอยูบางในเรื่องของโจทยปญหา ซึ่งนิยมใชวิธีหารในรูปของประโยคสัญลักษณเทานั้น แบบฝกหัดที่ 20 ก. ใหหาคําตอบตอไปนี้ (1) เริ่มจาก 20 นับลดครั้งละ 4 กี่ครั้ง จึงจะหมดพอดี (2) เริ่มจาก 24 นับลดครั้งละ 6 กี่ครั้ง จึงจะหมดพอดี (3) เริ่มจาก35 นับลดครั้งละ 7 กี่ครั้ง จึงจะหมดพอดี (4) มีฟุตบอล 24 ลูก ใสตะกราใบละ 8 ลูก จะไดกี่ตะกรา (5) มีเชือกยาว 54 เมตร ถาตัดเปนทอน ๆ ยาวทอนละ 6 เมตร จะตัดไดกี่ทอน ข. ใหเติมประโยคตอไปนี้ใหถูกตอง (1) 6 ÷ 2 = (2) 15 ÷ 5 = (3) 48 ÷ 8 = (4) 7 ÷= 1 – –

53 – – (5) 25 ÷= 5 (6) 54 ÷= 6 (7) ÷2 = 4 (8) ÷7 = 7 (9) ÷8 = 10 ค. ใหหาผลหารตอไปนี้ โดยวิธีหารยาว (1) 84 ÷4 (2) 784 ÷ 7 (3) 2,600 ÷ 13 (4) 27,600 ÷ 24 (5) 985,472 ÷ 32 ง. ใหหาผลหารตอไปนี้ โดยวิธีหารสั้น (1) 96 ÷ 6 (2) 99 ÷ 9 (3) 726 ÷ 6 (4) 968 ÷ 8 (5) 200 ÷ 25 เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขหลักเดียว ตัวอยาง ใหหาคาของ 137 ÷ 5 วิธีที่ 1 โดยวิธีหารยาว วิธีที่ 2 โดยวิธีหารสั้น วิธีทํา 2 7 5) 1 3 7 1 0 0 3 7 5 × 20 3 5 2 5 × 7 ผลหาร คือ 27 เศษ 2 ตอบ 27 เศษ 2 วิธีทํา 5 )1 3 7 2 7 เศษ 2 ตอบ 27 เศษ 2 ตรวจคําตอบ (5×27) + 2 = 135 + 2 = 137 แสดงวาคําตอบถูกตอง ตรวจคําตอบ (5 ×27) + 2 =135 + 2 = 137 แสดงวาคําตอบถูกตอง

54 – เมื่อตัวหารเปนจํานวนเลขสองหลัก วิธีที่ 1 โดยวิธีหารยาว(วิธีลัด) วิธีที่ 2 โดยวิธีหารสั้น วิธีทํา 2 1 32) 6 9 2 5 2 6 4 2 0 3 2 ผลหาร คือ 21 เศษ 20 ตอบ 21 เศษ 20 วิธีทํา 32= 4 × 8 4 )6 9 2 8 )1 7 3 2 1 เศษ 5 เศษที่แทจริงคือ 5 ×4 = 20 ผลหารคือ 21 เศษ 20 ตอบ 21 เศษ 20 ตรวจคําตอบ (32×21) + 20 = 672 + 20 = 692 แสดงวาคําตอบถูกตอง ตรวจคําตอบ (21×8 + 5) ×4 = 173 × 4 = 692 แสดงวาคําตอบถูกตอง ว ิธีคิดหาเศษที่แทจริงของการหารสั้น 5 ไมใชเศษที่แทจริง เพราะกอนที่จะนํา 8 มาหารนั้น มี 4 เปนตัวหารกอนจึงทําใหคาของ จํานวนเลขที่เหลืออยูนอยลงไป 4 เทา ดังนั้น ถาตองการหาเศษที่แทจริง ตองนํา 4 มาคูณกับ 5 เปน 20 จึงจะ เปนเศษที่แทจริง แตถาเปนการหารที่มีเศษทั้ง 2 ครั้ง ใหนําเศษครั้งแรกบวกดวย – ตัวอยาง 1,526 ÷28 = วิธีทํา 28= 4 × 7 วิธีคิดหาเศษที่แทจริง 4 ) 1 5 2 6 1. ตองหาเศษของตัวสุดทายกอน คือ 4 ×3 = 12 7) 3 8 1 เศษ 2 2. นํา 2 ซึ่งเปนเศษตัวแรกไปบวกคือ 12 + 2 5 4 เศษ 3 ได 14 จึงเปนเศษที่แทจริง เศษที่แทจริง (3 ×4) + 2 = 14 ตอบ 54 เศษ 14 ตรวจคําตอบ ขั้นที่ 1 ได (54 ×7) + 3 = 381 ขั้นที่ 2 ได (381 ×4) + 2 =1,526 แสดงวาคําตอบถูกตอง

55 เมื่อตัวหารเปนเลขสามหลัก วิธีที่งายคือการหารยาว แบบฝกหัดที่ 21 ก. จงหาคําตอบตอไปนี้ (1) 9 ÷2 = เศษ (2) 25 ÷5 = เศษ (3) 75 ÷7 = เศษ (4) 100 ÷9 = เศษ (5) มีเงาะอยู 50 กิโลกรัม แบงใสชะลอมละ 8 กิโลกรัม ที่เหลือใหลูกรับประทาน ลูกจะไดรับประทานเงาะกี่กิโลกรัม (6) เลี้ยงเปด 495 ตัว แบงขาย 7ครั้ง ครั้งละเทา ๆ กัน ขายเปดไดครั้งละกี่ตัว และจะเหลือเปดกี่ตัว ข. จงหาผลหารแลวตรวจคําตอบ (1) 20 ÷3 (2) 35 ÷4 (3) 82 ÷2 (4) 150 ÷12 (5) 1,031 ÷51 (6) 28,023 ÷145 ตัวอยาง 52,148 ÷462 = วิธีทํา 1 1 2 462 ) 5 2 1 4 8 4 6 2 5 9 4 4 6 2 1 3 2 8 9 2 4 4 0 4 ผลหาร คือ 112 เศษ 404 ตอบ 112 เศษ 404 ตรวจคําตอบ (462 ×112) + 404 = 51,744 + 404 = 52,148 แสดงวา คําตอบถูกตอง – – –

56 โจทยปญหาการหาร โจทยปญหานี้เปนปญหาที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน ซึ่งอาจมีวิธีทําทั้งการบวก ลบ คูณ หาร ปนกันอยูในขอเดียว หรืออาจมีบางวิธีก็ได โจทยปญหาการบวก ลบ คูณและหาร ตัวอยาง คนงาน 7 คน รับจางขุดบอแหงหนึ่งไดคาจางทั้งหมด 12,460 บาท ถาแบงเงินคาจาง เทา ๆ กัน จะไดคนละเทาไร ประโยคสัญลักษณ คือ 12,460 ÷7 = วิธีทํา คนงานไดคาจางขุดบอทั้งหมด 12,460 บาท แบงเงินคาจางเทา ๆ กัน 7 คน ดังนั้น จะไดคนละ 7 ) 12,460 บาท 1,780 บาท ตอบ 1,780 บาท ตัวอยาง มีปากกา 8,460 ดาม นํามาใสกลอง กลองละ 250 ดาม จะใสไดกี่กลอง ประโยคสัญลักษณ คือ 8,460 ÷250 = วิธีทํา มีปากกา 8,460 ดาม นํามาใสกลอง กลองละ 250 ดาม ดังนั้น จะใสได 33 กลอง 250) 8460 750 960 750 210 ดังนั้น จะใสได 33 กลอง และเหลือเศษ 210 ดาม ตอบ 33 กลอง เหลือ 210 ดาม ตัวอยาง สัปดาหแรกขายของได 1,789 บาท สัปดาหที่สองขายได 1,826 บาท สัปดาหที่สาม ขายได 2,310 บาท เฉลี่ยแลวขายของไดเงินสัปดาหละเทาไร ประโยคสัญลักษณ คือ (1,789 + 1,826 + 2,310) ÷3 = วิธีทํา สัปดาหแรกขายของได 1,789 บาท สัปดาหที่สองขายได 1,826 บาท สัปดาหที่สามขายได 2,310 บาท รวมสามสัปดาหขายของไดเงิน 5,925 บาท ดังนั้นเฉลี่ยแลวขายของไดเงินสัปดาหละ 5,925 ÷3 =1,975 บาท ตอบ 1,975 บาท – – +

57 โจทยปญหาซึ่งเปนเรื่องราวที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันนั้น อาจมีการแกปญหาโดยวิธีการบวก ลบ คูณ และหารปนกันอยู ดังตัวอยางตอไปนี้ แบบฝกหัดที่ 22 ใหเขียนประโยคสัญลักษณและแกปญหาโจทยตอไปนี้ โดยแสดงวิธีทํา 1. นายสินชัยรับจางแกรถจักรยานยนต มีรายไดเฉลี่ยวันละ 3,670 บาท สิ้นเดือนหักคาอุปกรณ และคาใชจายอื่น ๆ 45,298 บาท จะเหลือเงินเทาไร 2. ศูนยอพยพแหงหนึ่ง มีผูลี้ภัยอาศัยอยู 3,144 คน ตองเสียคาใชจายในการเลี้ยงดูผูอพยพวันละ 141,480 บาท อยากทราบวาศูนยตองเสียคาใชจายในการเลี้ยงดูผูอพยพคิดเปนรายหัวละเทาไร 3. ประชาชนในจังหวัดแหงหนึ่ง มีผูที่ไดรับความเดือดรอนจากภัยแลงถึงขั้นวิกฤตรุนแรง 428 หมูบาน รุนแรงปานกลาง จํานวน 82 หมูบาน รัฐบาลไดใหความชวยเหลือในดานอาหารและ เมล็ดพันธุพืช สําหรับหมูบานที่เดือนรอนขั้นรุนแรงเฉลี่ยหมูบานละ 50,000 บาท สวนหมูบาน ที่เดือดรอนปานกลางเฉลี่ยหมูบานละ 37,000 บาท อยากทราบวา รัฐบาลตองเสียคาใชจายใน การชวยเหลือครั้งนี้เทาไร ตัวอยาง นายมิ่งขายโคเนื้อ 2 ตัว หนักตัวละ 186 กิโลกรัม และ 174 กิโลกรัมตามลําดับ โดยขาย กิโลกรัมละ 38 บาท แลวซื้อตนกลามะมวงพันธุดีมา 100 ตน ราคาตนละ 25 บาท จะเหลือเงินเทาไร ประโยคสัญลักษณ คือ (186 + 174) ÷ 38 – (100 ×25) = วิธีทํา โคเนื้อตัวแรกมีน้ําหนัก 1 8 6 กิโลกรัม โคเนื้อตัวที่สองมีน้ําหนัก 1 7 4 กิโลกรัม โคเนื้อ 2 ตัว มีน้ําหนักรวม 3 6 0 กิโลกรัม ขายกิโลกรัมละ 3 8 บาท 2 8 8 0 บาท 1 0 8 0 บาท รวมเปนเงินที่ขายโคได 1 3 6 8 0 บาท ตนกลามะมวงพันธดีราคาตนละ 2 5 บาท ซื้อตนกลามะมวง 1 0 0 ตน คิดเปนเงินที่ซื้อตนกลามะมวง 2 5 0 0 บาท เงินที่ขายโคได 1 3 6 8 0 บาท จายเงินคาตนกลามะมวง 2 5 0 0 บาท ดังนั้นจะเหลือเงิน 1 1 1 8 0 บาท ตอบ 11,180 บาท × × + + –

58 4. สมใจจับปลาในบอแรกไปขายสงที่ตลาดไดเงิน 79,600 บาท บอที่สองไดเงิน 83,400 บาท แลว ซื้อเครื่องสูบน้ํา 1 เครื่อง ราคา 37,500 บาท และซื้อลูกพันธุปลามาเลี้ยงใหมอีก 5,000 ตัว ๆ ละ 7 บาท จะเหลือเงินอีกเทาไร 5. สหกรณเพื่อการเกษตรแหงหนึ่งมีสมาชิกรวมหุนทั้งหมด 3,796 หุน ถึงสิ้นปมีกําไรสุทธิ 318,864 บาท อยากทราบวา สมาชิกจะไดเงินปนผลหุนละกี่บาท เรื่องที่ 8 ตัวประกอบของจํานวนนับและการหาตัวประกอบ ความหมายของตัวประกอบ พิจารณาขอความตอไปนี้ 30 หารดวย 5 ลงตัว เรากลาววา 5 เปนตัวประกอบของ 30 24 หารดวย 8 ลงตัว เรากลาววา 8 เปนตัวประกอบของ 24 19 หารดวย 6 ไมลงตัว เรากลาววา 6 ไมเปนตัวประกอบของ19 แบบฝกหัดที่ 23 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) 4 เปนตัวประกอบของ 20 หรือไม เพราะเหตุใด (2) 3 เปนตัวประกอบของ 18 หรือไม เพราะเหตุใด (3) 7 เปนตัวประกอบของ 37 หรือไม เพราะเหตุใด (4) 9 เปนตัวประกอบของ 45 หรือไม เพราะเหตุใด (5) จํานวนนับใดมี 2 เปนตัวประกอบ 2, 5, 8, 9, 12, 14 (6) จํานวนนับใดมี 3 เปนตัวประกอบ 2, 3, 6, 15, 20, 24 (7) จงยกตัวอยางจํานวนนับระหวาง 21และ 39 ที่มี 5 เปนตัวประกอบ (8) จงยกตัวอยางจํานวนนับระหวาง 15 และ 40 ที่มี 6 เปนตัวประกอบ ตัวประกอบของจํานวนนับใดก็ตาม ก็คือ จํานวนนับที่หารจํานวนนั้นไดลงตัว

59 แบบฝกหัดที่ 24 ก. ตอบคําถามตอไปนี้ (1) มีจํานวนนับใดบางที่หาร 12 ลงตัว (2) มีจํานวนนับใดบางที่เปนตัวประกอบของ 12 (3) มีจํานวนนับใดบางที่หาร 18 ลงตัว (4) ตัวประกอบของ 18 มีจํานวนใดบาง พิจารณาจํานวนนับที่เปนตัวประกอบของ 8 นํา 1 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดังนั้น 1 เปนตัวประกอบของ 8 นํา 2 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดังนั้น 2 เปนตัวประกอบของ 8 นํา 4 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดังนั้น 4 เปนตัวประกอบของ 8 นํา 8 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดังนั้น 8 เปนตัวประกอบของ 8 ไมมีจํานวนนับอื่นที่นําไปหาร 8 ไดลงตัวอีก ดังนั้น 8 มีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2, 4 และ8 พิจารณาจํานวนนับที่เปนตัวประกอบของ 5 นํา 1 ไปหาร 5 ไดลงตัว ดังนั้น 1 เปนตัวประกอบของ 5 นํา 5 ไปหาร 5 ไดลงตัว ดังนั้น 5เปนตัวประกอบของ 5 ไมมีจํานวนนับอื่นที่นําไปหาร 5 ไดลงตัวอีก ดังนั้น 5 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 5

60 ดอกไมประกอบ

61 เรื่องที่ 9 จํานวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ 9.1 จํานวนเฉพาะ พิจารณาตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ 2 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 2 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 3 5 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 5 11 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 11 จํานวนนับขางตนแตละจํานวนมีตัวประกอบที่ตางกันเพียงสองตัว คือ 1 และตัวของมันเอง 2 เปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 2 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 2 7 เปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 7 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ1 และ 7 8 ไมเปนจํานวนเฉพาะ เพราะ 8 มีตัวประกอบมากกวา 2 ตัว คือ 1, 2, 4 และ 8 แบบฝกหัดที่ 25 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) 13 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด (2) 15 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด (3) จํานวนตั้งแต 20 ถึง 30 มีจํานวนใดบางเปนจํานวนเฉพาะ (4) จํานวนตั้งแต 50 ถึง 60 มีจํานวนใดบางเปนจํานวนเฉพาะ (5) จํานวนตั้งแต 90 ถึง 100 มีจํานวนใดบางเปนจํานวนเฉพาะ 9.2 ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของ 12 มี 6 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แต 2 และ 3 เทานั้นที่เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 และ 3 เปนตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะของ 12 ตัวประกอบของ 8 มี 1, 2, 4 และ 8 ตัวประกอบเฉพาะของ 8 คือ 2 ตัวประกอบของ 30 มี 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตัวประกอบเฉพาะของ 30 คือ 2, 3 และ 5 จํานวนนับที่มีตัวประกอบที่ตางกันเพียงสองตัว คือ 1 กับจํานวนนับนั้น เรียกวา จํานวนเฉพาะ ตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะ เรียกวา ตัวประกอบเฉพาะ

62 แบบฝกหัดที่ 26 จงตอบคําถามตอไปนี้ ตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้มีจํานวนใดบางและตัวประกอบเฉพาะคือ จํานวนใด (1) ตัวประกอบของ 9 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คือ_____________________________________________ (2) ตัวประกอบของ 22 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 22 คือ_____________________________________________ (3) ตัวประกอบของ 36 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คือ_____________________________________________ (4) ตัวประกอบของ 50 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 50คือ______________________________________________ (5) ตัวประกอบเฉพาะของ 37 มีจํานวนใดบาง __________________________________ 4. การแยกตัวประกอบ การเขียนจํานวนในรูปผลคูณของตัวประกอบ แบบฝกหัดที่ 27 ก. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ไมมีตัวใดเปน 1 (1) 21 (2) 24 (3) 28 (4) 36 (5) 49 (6) 51 (7) 63 (8) 81 (9) 72 (10) 90 ข. เราสามารถเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ไมมีตัวใดเปน 1 ไดหรือไม เพราะเหตุใด 11, 13, 17, 23, 29 ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 12 เราสามารถเขียนจํานวนในรูปผลคูณของตัว ประกอบของแตละจํานวนนั้นได เชน 12 = 1 × 12 หรือ 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 ×4

63 เรื่องที่ 10 การแยกตัวประกอบ เขียนจํานวนในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะเรียกวา การแยกตัวประกอบ พิจารณาการเขียน 12 ในรูปผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ไมมีตัวใดเปน 1 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 เนื่องจาก 6 และ 4 ไมเปนตัวประกอบเฉพาะ ดังนั้น เราสามารถเขียน 6 และ 4 ในรูปผลคูณของตัวประกอบ ตอไปไดอีก ดังนี้ 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 = 2 × 2 × 3 = 3 × 2 × 2 เมื่อเราเขียน 12 = 2 × 2 × 3 หรือ 12 = 3 × 2 × 2 จะเปนการเขียน 12 ในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 20 วิธีทํา 20 = 4 × 5 = 2 × 2 × 5 แยกตัวประกอบของ 20 ไดเปน 2 × 2 × 5 ตอบ 20 = 2 × 2 × 5 ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 48 วิธีทํา 48 = 3 × 16 = 3 × 2 × 8 = 3 × 2× 2 × 2 × 2 แยกตัวประกอบของ 48 ได 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ 3 ×2 4 ตอบ 48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ 3 ×2 4 จํานวนที่คูณกับตัวเองหลาย ๆ ครั้ง เชน 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขียนในรูปเลขยกกําลัง ไดเปน 2 4 อานวา สองยกกําลังสี่

64 แบบฝกหัดที่ 28 จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ (1) 6 (2) 14 (3) 28 (4) 35 (5) 36 (6) 52 (7) 45 (8) 60 (9) 72 (10) 100 การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร แบบฝกหัดที่ 30 จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ แบบฝกหัดที่ 29 จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ (1) 27 (2) 39 (3) 42 (4) 56 (6) 68 (6) 96 (7) 250 (8) 216 การหาผลคูณโดยใชตัวประกอบ การหาผลคูณระหวางจํานวนสองจํานวนอาจทําไดโดยเขียนจํานวนใดจํานวนหนึ่ง ในรูปผลคูณของ ตัวประกอบ แลวใชคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุมของการคูณ ในการแยกตัวประกอบของ 20 เราอาจทําไดโดยนําจํานวนเฉพาะที่หาร 20 ไดลงตัวมาหาร 20 แลวพิจารณาผลหารไดลงตัวมาหารผลหารนั้น ทําเชนนี้เรื่อยไปจนกระทั่งผลหารที่ไดเปนจํานวนเฉพาะ เราสามารถเขียน 20 ในรูปผลคูณของตัวหารทุกตัวกับผลหารสุดทาย ซึ่งทุกตัวเปนจํานวนเฉพาะ ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 20 วิธีทํา 2 ) 20 2 ) 10 5 แยกตัวประกอบของ 20 ได 2 × 2 × 5 ตัวอยาง จงหาผลคูณ 97 ×35 วิธีทํา 97 ×35 = 97 × (5 × 7) ตรวจคําตอบโดยใชคูณในแนวตั้ง = (97 × 5) × 7 97 = 485 × 7 35 = 3,395 485 ตอบ 3,395 2,910 3,395 ตอบ 3,395 × +

65 แบบฝกหัดที่ 30 จงหาผลคูณโดยใชตัวประกอบและตรวจคําตอบดวยวิธีอื่น (1) 46 × 36 (2) 92 × 48 (3) 126 × 45 (4) 218 × 28 (5) 118 × 25 (6) 256 × 32 เรื่องที่ 11 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 11.1 การหา ห.ร.ม. ตัวหารรวม เราทราบมาแลววาตัวประกอบของจํานวนใด ๆ สามารถนําไปหารจํานวนนั้นไดลงตัว เชน ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ทุกตัวสามารถนําไปหาร 12 ไดลงตัว ดังนั้นเราอาจเรียกตัว ประกอบของ 12 แตละตัวนี้วา เปนตัวหารของ 12 ลองพิจารณาตัวหารของ 8 และ 12 ตัวหารของ 8 คือ 1, 2, 4, 8 ตัวหารของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารของ 8 และ 12 ที่เหมือนกันคือ 1, 2 และ 4 เราเรียก 1, 2 และ 4 วา เปนตัวหารรวมหรือ ตัวประกอบรวม ของ 8 และ 12 จํานวนนับที่หารจํานวนตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปลงตัว เรียกวา ตัวหารรวมของจํานวนเหลานั้น ตัวอยาง จงหาตัวหารรวมของ 9, 15 และ 21 วิธีทํา ตัวหารของ 9 คือ 1, 3, 9 ตัวหารของ 15 คือ 1, 3, 5, 15 ตัวหารของ 21 คือ 1, 3, 7, 21 ตัวหารรวมของ 9, 15 และ 21 คือ 1, 3 ตอบ 1 และ 3

66 แบบฝกหัดที่ 31 จงหาตัวหารรวมของจํานวนตอไปนี้ (1) 12, 18 (2) 16, 24 (3) 27, 36 (4) 10, 21 (5) 8, 14, 18 (6) 10, 20, 30 ตัวหารรวมมากที่สุด (ห.ร.ม.) ตัวหารของ 16 คือ 1, 2, 4, 8, 16 ตัวหารของ 20 คือ 1, 2, 4, 5, 10, 20 ตัวหารรวมของ 16 และ 20 คือ 1, 2, 4 ตัวหารรวมที่มีคามากที่สุดของ 16 และ 20 คือ 4 ดังนั้น ตัวหารรวมมากที่มากที่สุด หรือ ห.ร.ม. ของ 16 และ 20 คือ 4 แบบฝกหัดที่ 32 จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้ (1) 10, 14 (2) 9, 12 (3) 14, 28 (4) 8, 27 (5) 16, 28 (6) 18, 24 (7) 6, 4, 22 (8) 10, 20, 30 (9) 18, 27, 63 เราเรียกตัวหารรวมที่มีคามากที่สุดวา ตัวหารรวมมากที่สุด ใชตัวยอวา ห.ร.ม. ตัวอยางจงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 วิธีทํา ตัวหารของ 18 คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18 ตัวหารของ 27 คือ 1, 3, 9, 27 ตัวหารรวมมากที่สุด หรือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 9 ตอบ 9

67 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจํานวนตาง ๆ เราอาจใชการแยกตัวประกอบชวยหาได โดยนําตัวประกอบที่ เหมือนกันมาคูณกัน ตัวอยางเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 เมื่อแยกตัวประกอบของ 18 และ 27 จะไดดังนี้ 18 = 2 × 3 × 3 27 = 3 × 3 × 3 จํานวนที่มีคามากที่สุดที่หาร 18 และ 27 ลงตัว คือจํานวนที่อยูในรูป 3 ×3 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 3 ×3 =9 ลองดูตัวอยางใหม เราจะหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 40 = 2 × 2 × 2 × 5 30 = 2 × 3 × 5 จํานวนที่มีคามากที่สุดที่หาร 40 และ 30 ลงตัว คือ จํานวนที่อยูในรูป 2 ×5 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 คือ 2 ×5 = 10 แบบฝกหัดที่ 33 จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้ (1) 16, 36 (2) 15, 25 (3) 26,34 (4) 12, 27 (5) 35, 21 (6) 42, 64 (7) 49, 56, 63 (8) 15, 30, 45 (9) 18, 27, 54 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 วิธีทํา 16 = 2 × 2 × 2 × 2 24 = 2 × 2 × 2 × 3 28 = 7× 2 × 2 ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 คือ 2 × 2= 4 ตอบ 4

68 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร ในการหา ห.ร.ม. ของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เราอาจใชวิธีตั้งหารทํานองเดียวกับการแยก ตัวประกอบ โดยวิธีตั้งหารได ตัวอยางเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 เราสามารถทําไดดังนี้ (1) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 12, 18 และ 24 เชน นํา 2 ไปหาร 12, 18 และ 24 6, 9, 12 ไดผลหารเปน 6, 9 และ 12 ตามลําดับ (2) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 6, 9 และ12 ซึ่งเปนผลหารที่ได คือ นํา 3 ไปหาร 3) 6, 9, 12 6, 9 และ 12 ไดผลหารเปน 2, 3, 4 ตามลําดับ 2, 3, 4 (3) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24 2, 3 และ 4 ซึ่งเปนผลหารที่ได แตไมมีจํานวนเฉพาะ ดังนั้น ตัวหารรวมมากที่สุด หรือ ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 3) 6, 9, 12 ดังกลาว 2, 3, 4 ของ 12, 18 และ 24 คือ ผลคูณของตัวหารรวมทุกตัว คือ 2 ×3= 6 ซึ่งเทากับ 2 ×3 = 6 ตอบ 6 แบบฝกหัดที่ 35 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 วิธีทํา 5 ) 15, 25, 35 3, 5, 7 ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 คือ 5 ตอบ 5 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 60, 36 วิธีทํา 2 ) 24, 60, 36 2 ) 12, 30, 18 3 ) 6, 15, 9 2, 5, 3 ห.ร.ม. ของ 24, 60 และ 36 คือ 2 ×2 ×3 =12 ตอบ 12

69 จงฝกทักษะตอไปนี้ ก. จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนที่กําหนดให (1) 21, 35, 42 (2) 27, 63, 81 (3) 10, 25, 30 (4) 24, 32, 64 (5) 16, 20, 36 (6) 20, 15, 45 และ40 (7) 24, 12, 60 และ48 (8) 28, 14, 70 และ 84 ข. ดอกไม ตัวประกอบ

70 ตัวอยาง จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 4 วิธีทํา จํานวนที่มี 3 เปนตัวประกอบ คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 36, ...... จํานวนที่มี 4 เปนตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ....... ตัวคูณรวมของ 3 และ 4 คือ 12, 24, 36, ........ ตอบ 12, 24, 36 การหา ค.ร.น. ตัวคูณรวม จํานวนที่มี 4 เปนตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...... จํานวนที่มี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ....... จํานวนที่มีทั้ง 4 และ 6 เปนตัวประกอบ คือ 12, 24, 36,... เราเรียกจํานวนที่มีทั้ง 4 และ 6 เปนตัวประกอบวา ตัวคูณรวม ของ 4 และ 6 แบบฝกหัดที่ 34 จงหาตัวคูณรวมของจํานวนตอไปนี้ (1) 2, 3 (2) 4, 8 (3) 6, 9 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 (6) 10, 15, 20 ตัวคูณรวมนอยที่สุด (ค.ร.น.) จํานวนที่มี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, .... จํานวนที่มี 8 เปนตัวประกอบ คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, .... ตัวคูณรวมของ 6 และ 8 คือ 24, 48, ..... ตัวคูณรวมที่มีคานอยที่สุดของ 6 และ 8 คือ 24 ตัวคูณรวมของจํานวนตั้งแตสองจํานวนขึ้นไป หมายถึง จํานวนนับที่มีจํานวนเหลานั้น เปนตัวประกอบ เราเรียกตัวคูณรวมที่มีคานอยที่สุดวา ตัวคูณรวมนอยที่สุด ใชตัวยอวา ค.ร.น.

71 ตัวอยาง จงหาค.ร.น. ของ 4 และ 6 วิธีทํา จํานวนที่มี 4 เปนตัวประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...... จํานวนที่มี 6 เปนตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,....... ตัวคูณรวมของ 4 และ 6 คือ 12, 24, 36, ........ ตัวคูณรวมนอยที่สุดหรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12 ตอบ 12 ดังนั้น ตัวคูณรวมนอยที่สุด หรือ ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คือ 24 แบบฝกหัดที่ 35 จงหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้ (1) 5, 6 (2) 2, 4 (3) 6, 9 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 (6) 8, 10, 20 การหา ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ ในการหา ค.ร.น. ของจํานวนตาง ๆ เราอาจใชการแยกตัวประกอบชวยหาได เชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เมื่อแยกตัวประกอบของ 4 และ 6 ไดดังนี้ 4 = 2 × 2 6 = 2 × 3 จะเห็นวา จํานวนที่นอยที่สุดที่มี 4 และ 6 เปนตัวประกอบ คือ 12 ซึ่ง 12 = 2 × 2 × 3 เราได 2 × 2 × 3จากวิธีการดังนี้ 4 = 2 × 2 6 = 2 × 3 2 × 2 × 3 = 12 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12

72 แบบฝกหัดที่ 36 จงหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้ (1) 6, 10 (2) 30, 50 (3) 6, 9, 15 (4) 15, 20, 30 (5) 12, 20 (6) 15, 45 (7) 8, 14, 16 (8) 12, 48, 60 การหา ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหาร ในการหา ค.ร.น. ของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เราอาจใชวิธีตั้งหาร ตัวอยางเชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 8, 10, และ 12 เราสามารถทําไดดังนี้ ตัวอยาง จงหา ค.ร.น ของ 15 และ 21 วิธีทํา 15 = × 5 21 = × 7 ค.ร.น. ของ 15 และ 21 คือ 3 × 5 × 7 = 105 ตอบ 105 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น . ของ 18, 24 วิธีทํา 18 = × 3 × 3 24 = × 2 × 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 72 ตอบ 72 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 วิธีทํา 8 = 2 × 2 × 2 10 = 2 × 5 12 = 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 คือ 2 × 2 × 2 × 5 × 3 =120 ตอบ 120 3 3 2 2

73 (1) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 8, 10, 12 8, 10, และ 12 หรืออยางนอย 2 จํานวน เชนนํา 2 ไปหาร 4, 5, 6 8, 10 และ 12 ผลหาร เปน 4, 5 และ 6 ตามลําดับ (2) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 8, 10, 12 4, 5 และ6 หรืออยางนอย 2 จํานวน เชน 2 เพราะนําไปหาร 3) 4, 5, 6 4 และ 6 ไดลงตัว แตนําไปหาร 5 ไมลงตัว เขียน 5 ไวดังเดิม 2, 5, 3 (3) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 2 ) 8, 10, 12 2, 5 และ 3 หรืออยางนอย 2 จํานวน แตจํานวนเฉพาะนั้นไมมี 2) 4, 5, 6 2, 5, 3 ดังนั้น จํานวนที่นอยที่สุดมี 8, 10 และ 12 ค.ร.น. ของ 8, 10 และ 12 เปนตัวประกอบคือ 2 ×2 ×2 ×5 ×3 =120 คือ 2 ×2 ×2 ×5 ×3 = 120 ตอบ 120 แบบฝกหัดที่ 37 จงหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้ (1) 16, 24 (2) 15, 45 (3) 9, 36, 24 (4) 4, 12, 24, 32 (5) 20, 28 (6) 16, 30, 48 (7) 14, 28, 49 (8) 44, 66, 99 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16, 18 วิธีทํา 2 ) 12, 16, 18 2 ) 6, 8, 9 3 ) 3, 4, 9 1, 4, 3 ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 18 คือ 2 ×2 ×3 ×1 ×4 ×3 = 144 ตอบ 144 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 18, 24 วิธีทํา 2 ) 18, 24 3 ) 9, 12 3, 4 ค.ร.น. ของ 18, 24 คือ 2 ×3 ×3 ×4 = 72 ตอบ 72

บทที่ 2 เศษสวน สาระสําคัญ การอานและเขียนเศษสวน การเปรียบเทียบเศษสวน การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวน และ การแกโจทยปญหาตามสถานการณ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมาย ลักษณะและอานเศษสวนได 2. เขียนเศษสวนใหอยูในรูปเศษสวนอยางต่ํา จํานวนคละและเศษสวนเกินได 3. เปรียบเทียบและเรียงลําดับเศษสวน ได 4. บวก ลบ เศษสวนและนําความรูเกี่ยวกับเศษสวนไปใชแกโจทยปญหาได 5. คูณเศษสวนและนําความรูเกี่ยวกับการคูณเศษสวนไปใชแกโจทยปญหาได 6. หารเศษสวนและนําความรูเกี่ยวกับการหารเศษสวนไปใชแกโจทยปญหาได 7. บวก ลบ คูณ หารเศษสวนและนําความรูไปใชแกโจทยปญหาได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอานเศษสวน เรื่องที่ 2 เขียนเศษสวนใหอยูในรูปเศษสวนอยางต่ํา จํานวนคละและเศษเกิน เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวน เรื่องที่ 4 การบวก ลบ เศษสวนและโจทยปญหา เรื่องที่ 5 การคูณเศษสวนและโจทยปญหา เรื่องที่ 6 การหารเศษสวนและโจทยปญหา เรื่องที่ 7 การบวก ลบ คูณ หารเศษสวนระคนและโจทยปญหา

75 เรื่องที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอานเศษสวน (1) เศษสวน หมายถึง สวนตาง ๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทา ๆ กัน เชน รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน สวนที่แรเงาเปน 1 สวน ใน 4 สวน เขียนแทนดวย อานวา “เศษหนึ่งสวนสี่” รูปสี่เหลี่ยม 1 รูป แบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน สวนที่แรเงาเปน 2 สวนใน 5 สวน เขียนแทนดวย อานวา “เศษสองสวนหา”

76 ลักษณะของเศษสวน มี 3 ชนิดคือ 1. เศษสวนแท เปนเศษสวนที่มีตัวเศษนอยกวาตัวสวน เชน 4 1 , 5 3 , 7 2 , 15 11 2. เศษเกินเปนเศษสวนที่มีตัวเศษมากกวาตัวสวน เชน 3 7 , 5 12 , 3. จํานวนคละ เปนจํานวนที่มีจํานวนเต็มและเศษสวนแท เชน 3 2 1 , 5 7 4 , 11 12 5 แบบฝกหัดที่ 1 ก. จงเขียนเศษสวนแสดงสวนที่แรเงาตอไปนี้ (1) (2) (3) (4) (5) ข. จงเขียนคําอานของเศษสวน ตัวอยาง อานวา เศษสองสวนสาม (1) 6 5 (2) 8 4 (3) 9 7 (4) 7 1 (5) 7 6 ค. จงเขียนใหอยูในรูปของเศษสวน (1) เศษหาสวนแปด = __________________________________ (2) เศษสองสวนสาม = __________________________________ (3) เศษเจ็ดสวนเกา = __________________________________ (4) เศษหกสวนเจ็ด = __________________________________ (5) เศษสามสวนหา = __________________________________ (2) เศษสวน หมายถึง สวนตาง ๆ ของกลุมที่ถูกแบงออกเปนกลุมยอย ซึ่งมีสมาชิกเทากัน เชน มีไขไก 6 ฟอง ตองการแบงเปน 3 กองเทา ๆ กัน แตละกอง เปน ของไขไกทั้งหมด ไขไกแตละกองเปน 1 ใน 3 ของไขไกทั้งหมด เขียนแทนดวย ของไขไกทั้งหมด เทากับ ของไขไก 6 ฟอง หรือเทากับกองละ2 ฟอง มีสม 6 ผล ตองการแบงเปน 2กองเทา ๆ กัน แตละกองเปน 2 1 ของสมทั้งหมด จะไดสมทั้งหมด 2กอง เขียนแทนดวย 2 1 ของสมทั้งหมด 6 ผล หรือเทากับกองละ 3 ผล

77 การอานเศษสวน ภาพ เศษสวนจํานวนคละ เศษเกิน เขียนเปน จํานวนคละ อานวา เขียนเปน เศษสวน อานวา 1. หนึ่งเศษหนึ่ง สวนสี่ เศษหา สวนสี่ 2. สองเศษหนึ่ง สวนแปด เศษสิบเจ็ด สวนแปด 3. หนึ่งเศษหา สวนหก เศษสิบเอ็ด สวนหก

78 เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนใหอยูในรูปเศษสวนอยางต่ําจํานวนคละ และเศษเกิน 2.1การเขียนเศษสวนใหอยูในรูปเศษสวนอยางต่ําใหผูเรียนศึกษาจากภาพตอไปนี้ 4 2 = 2 1 8 4 = 4 2 6 2 = 3 1 2.2 จํานวนคละ ใหผูเรียนศึกษาจากเศษสวนตอไปนี้ 3 2 1 , 5 7 3 , 4 13 10 , 7 35 21 , 135 101 10 2.3 เศษเกินใหผูเรียนศึกษาจากจํานวนคละใน ขอ 2.2 และเขียนใหเปนเศษเกิน 2 1 3 = …………………… , 7 3 5 =…………………, 13 10 4 = ……………………. 35 21 7 = …………………… , 10 135 101 = ……………………

79 เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวน การเปรียบเทียบเศษสวน คือ การนําเอาเศษสวนมาเปรียบเทียบกัน โดยใชเครื่องหมายตาง ๆ ดังนี้ ถาเศษสวนมีคาเทากันใชเครื่องหมาย = ถาเศษสวนมีคาไมเทากันใชเครื่องหมายนอยกวา (<) หรือมากกวา (>) 3.1 การเปรียบเทียบเศษสวนที่มีตัวสวนเทากัน แตมีคาไมเทากันใชเครื่องหมาย < หรือ> < 4 1 4 3 3.2 เศษสวนที่มีคาเทากัน = 2 1 4 2

80 แบบฝกหัดที่ 2 ใหผูเรียนใชเครื่องหมาย<(นอยกวา), > (มากกวา) หรือ = (เทากับ) ลงใน ที่กําหนดใหถูกตอง (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

81 เรื่องที่ 4 การบวก ลบ เศษสวนและโจทยปญหา การบวกและการลบเศษสวน การบวกและการลบเศษสวนที่มีตัวสวนเทากัน การบวกและการลบเศษสวนที่มีตัวสวนเทากันใหทําดังนี้ (1) นําเศษมาบวกลบกัน (2) ตัวที่เปนสวนใชเลขจํานวนเดิม แบบฝกหัดที่ 3 ใหผูเรียนหาผลบวกและผลลบลงใน ที่กําหนดไว (1) 7 2 + 7 3 = (2) 5 4 + 5 5 = (3) 8 4 + 8 3 = (4) 7 7 - 7 2 = (5) 10 6 - 10 5 = (6) 9 8 - 7 2 = (7) 9 2 9 3 9 2 + + = (8)       − + 4 2 4 2 1 = (9)       + 7 4 7 2 - 7 3 = (10) 1 5 2 5 3  −      + = (11)       + 7 2 7 2 + 7 3 = (12)       − + 5 2 5 2 5 4 = ตัวอยาง การบวก การลบ 4 2 4 3 วิธีทํา 4 1 4 1 + = 4 1+1 = 4 2 วิธีทํา 4 3 4 4 − = 4 4 − 3 = 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1

82 การทําเศษสวนใหมีคาเทากัน 1) การขยายสวน โดยหาจํานวนที่เทากันมาคูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เชน = = = = 2) การทอนเศษสวน โดยหาจํานวนที่เทากันมาหารทั้งตัวเศษและตัวสวน เชน = = = = การบวกและการลบเศษสวนที่มีตัวสวนไมเทากัน การบวกและการลบเศษสวนที่ไมเทากันโดยวิธีขยายเศษสวน การบวกและลบเศษสวนที่มีตัวสวนไมเทากัน ใชวิธีขยายเศษสวนใหเปนเศษสวนชนิดเดียวกัน โดยทําตัว สวนใหเทากันแลวจึงนําเศษมาบวกลบกัน การขยายเศษสวน คือ การทําตัวเลขทั้งเศษและสวนใหมากขึ้น โดยที่คาของเศษสวนไมเปลี่ยนแปลง เชน ตัวอยาง จงหาผลลัพธของ 5 1 + 3 2 วิธีทํา 5 1 + 3 2 = 5 3 1 3 × × + 3 5 2 5 × × = 15 3 + 15 10 = 15 3 +10 = 15 13 ตอบ 15 13 จะทํา 5 1 , 3 2 ใหมีสวนเทากันไดอยางไร แนวคิด ตัวสวนของเศษสวน คือ 5, 3 ซึ่งหารกันไม ลงตัว ดังนั้น จึงนํา 3 ไปคูณ 5 1 ทั้งเศษและสวน และนํา 5 ไปคูณ 3 2 ทั้งเศษและสวน จะได 15 3 , 15 10 ซึ่งมีสวนเทากัน

83 ตัวอยาง จงหาผลลัพธของ 7 5 - 3 1 วิธีทํา 7 5 - 3 1 = 7 3 5 3 × × - 3 7 1 7 × × = 21 15 - 21 7 = 21 15 − 7 = 21 8 ตอบ 21 8 จะทํา 7 5 , 3 1 ใหมีสวนเทากันไดอยางไร แนวคิด ตัวสวนของเศษสวน คือ 7, 3 ซึ่งหารกันไม ลงตัว ดังนั้น จึงนํา 3 ไปคูณ 7 5 ทั้งเศษและสวน และนํา 7 ไปคูณ 3 1 ทั้งเศษและสวน จะได 21 15 , 21 7 ซึ่งมีสวนเทากัน แบบฝกหัดที่ 7 จงหาผลลัพธ (1) 2 1 + 5 2 (2) 6 2 + 4 2 (3) 5 1 + 8 3 (4) 3 1 + 7 3 (5) 4 1 + 5 2 (6) 12 11 - 13 8

84 สมบัติการสลับที่ของการบวกเศษสวน ตัวอยาง จงเปรียบเทียบวา 5 2 + 5 1 และ 5 1 + 5 2 เทากันหรือไม วิธีทํา 5 2 + 5 1 = 5 2 +1 = 5 3 5 1 + 5 2 = 5 1+ 2 = 5 3 ดังนั้น 5 2 + 5 1 = 5 1 + 5 2 ตัวอยาง จงเปรียบเทียบวา 2 1 + 7 3 และ 7 3 + 2 1 เทากันหรือไม วิธีทํา 2 1 + 7 3 = 2 7 1 7 × × + 7 2 3 2 × × = 14 7 + 14 6 = 14 7 + 6 = 14 13 7 3 + 2 1 = 7 2 3 2 × × + 2 7 1 7 × × = 14 6 + 14 7 = 14 6 + 7 = 14 13 ดังนั้น 2 1 + 7 3 = 7 3 + 2 1 แนวคิด เศษสวน 2 จํานวนที่นํามาบวกกัน สามารถสลับที่กันได โดยที่ผลบวกยังคงเดิม แสดงวา การบวกเศษสวนมีสมบัติการสลับที่ แบบฝกหัดที่ 5 จงเขียนเศษสวนลงใน ใหถูกตอง (1) 9 5 + 13 7 = 13 7 + (2) 25 12 + 27 19 = + 25 12 (3) 5 2 + 27 8 = 27 8 + (4) 25 13 + = 29 25 + 25 13 (5) + 12 5 = 12 5 + 23 11 (6) 91 21 + = 87 19 + 91 21

85 สมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวกเศษสวน แบบฝกหัดที่ 6 จงเขียนเศษสวนลงใน ใหถูกตอง (1)       + 9 7 5 2 + 9 1 = +       + 9 1 9 7 (2)       + 7 2 3 1 + 7 3 = 3 1 +       + 7 2 (3)       + 9 2 4 3 + 9 3 = 4 3 +       + 9 3 (4)       + 8 1 + 8 3 = 4 3 +       + 8 3 8 1 ตัวอยางจงเปรียบเทียบวา       + 7 2 5 1 + 7 3 และ 5 1 +       + 7 3 7 2 เทากันหรือไม วิธีทํา       + 7 2 5 1 + 7 3 =       × × + × × 7 5 2 5 5 7 1 7 + 7 3 5 1 +       + 7 3 7 2 = 5 1 + 7 5 =       + 35 10 35 7 + 7 3 = 5 7 1 7 × × + 7 5 5 5 × × = 35 17 + 7 3 = 35 7 + 35 25 = 35 17 + 7 5 3 5 × × = 35 32 = 35 17 + 35 15 = 35 32       + 7 2 5 1 + 7 3 และ 5 1 +       + 7 3 7 2 แนวคิด จงพิจารณาวาการหาคําตอบของทั้ง 2 วิธีนั้น วิธีใดงายกวากัน จะเห็นไดวาการคิด แบบ 5 1 +       + 7 3 7 2 งายกวา เพราะเราทราบวา 7 5 7 3 7 2 + = ซึ่งเปนการบวกเศษสวนที่มีตัว สวนเทากัน แลวนํา 7 5 ไปบวกกับ 5 1 ทีหลัง เปนการบวกเศษสวนที่ตัวสวนไมเทากัน จะเห็นไดวาเราสามารถนําสมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวกเศษสวนชวยใหหา คําตอบไดเร็วขึ้น และสรุปไดดังนี้ เศษสวนสามจํานวนนํามาบวกกัน จะบวกสองจํานวนแรกกอน หรือสองจํานวน หลังกอน แลวจึงนําไปบวกกับจํานวนที่เหลือ ผลลัพธจะเทากัน แสดงวา การบวกเศษสวนมี สมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวก

86 โจทยปญหาการบวก การลบเศษสวน การบวกเศษสวน แบบฝกหัดที่ 7 จงเขียนเปนประโยคสัญลักษณแลวแสดงวิธีทํา (1) อุทัยมีปุย 9 4 ถุง วินัยมีปุย 9 3 ถุง สุภรณมีปุย 9 1 ถุง ทั้งสามคนมีปุยรวมกันเปนเศษสวนเทาใดของถุง (2) ปรีชามีเมล็ดถั่วเขียว 7 2 ลิตร อนันตมีเมล็ดถั่วเขียว 7 3 ลิตร ทั้งสองคนมีเมล็ดถั่วเขียวรวมกันเทาไร (3) ตวงแปงทําขนมถวยฟู 6 3 ถวยตวง น้ําตาล 6 2 ถวยตวง รวมตวงแปงและน้ําตาลเทาไร (4) กัลยาปลูกผักบุง 5 2 ของแปลง ผักกาดขาว 5 1 ของแปลง ผักกาดหอม 5 1 ของแปลง กัลยาปลูกผักรวมกันเทาใด (5) มานะปลูกกุหลาบโดยเอาดินใสกระถาง 5 3 ของกระถาง ใสปุย 5 1 ของกระถาง รวมดินและปุยที่ใสกระถาง คิดเปนเศษสวนเทาไร ตัวอยาง มาลัยปลูกผักได 8 5 ของแปลง มาลีปลูกผักได 8 2 ของแปลง สองคนปลูกผักรวมกันไดเทาใด แนวคิด โจทยกําหนดวา มาลัยปลูกผัก 8 5 ของแปลง มาลีปลูกผักได 8 2 ของแปลง จะเห็นวา ตัวสวนของ สองจํานวนมีคาเทากัน ดังนั้นเมื่อเรานําเศษสวนของสองจํานวนมารวมกัน ใหนําตัวเศษของสอง จํานวนมาบวกกันแลวหารดวยตัวสวนคงเดิม วิธีทํา เขียนเปนประโยคสัญลักษณ 8 5 + 8 2 = มาลัยปลูกผัก 8 5 ของแปลง มาลีปลูกผัก 8 2 ของแปลง สองคนปลูกผักรวมกัน 8 5 + 8 2 = 8 5 + 2 ของแปลง = 8 7 ของแปลง ตอบ 8 7 ของแปลง

87 การลบเศษสวน แบบฝกหัดที่ 8 จงเขียนเปนประโยคสัญลักษณ แลวแสดงวิธีทํา (1) อรทัยมีปุย 13 9 กระสอบ นําไปใสแปลงผัก 13 1 กระสอบ ใสโคนตนมะมวง 13 2 กระสอบ เหลือปุยอีกเทาไร (2) สายใจปลูกผักได 11 6 ของแปลง สุดาปลูกผักได 11 9 ของแปลง ใครปลูกผักไดมากกวากันและมากกวากัน เทาไร (3) วินัยมีเมล็ดพืช 12 11 ของกลอง เมื่อนําไปปลูกเหลือเมล็ดพืช 12 5 ของกลอง วินัยใชเมล็ดพืชไปเทาไร (4) ซอมถนนสายหนึ่งเปนระยะทาง 15 8 กิโลเมตร ซอมไปแลวเปนระยะทาง 15 7 กิโลเมตร คงเหลือระยะทาง เทาไรที่จะตองซอม (5) วิรัชเดินทางไปโรงเรียน 7 4 กิโลเมตร วีณาเดินไปโรงเรียน 7 2 กิโลเมตร วิรัชเดินทางมากกวาวีณากี่ กิโลเมตร ตัวอยาง มานะมีเชือกยาว 9 4 เมตร ตัดไปผูกกลอง 9 3 เมตร เหลือเชือกอีกกี่เมตร แนวคิด การลบเศษสวนที่มีตัวสวนเทากันใหนําเศษของแตละจํานวนมาลบกัน ตัวสวนใชเลขจํานวนเดิม วิธีทํา เขียนเปนประโยคสัญลักษณ 9 4 − 9 3 = มานะมีเชือกยาว 9 4 เมตร ตัดไปผูกกลอง 9 3 เมตร เหลือเชือก 9 4 − 9 3 = 9 4 − 3 เมตร = 9 1 เมตร ตอบ 9 1 เมตร

88 การบวก การลบเศษสวนชนิดตาง ๆ การบวกลบเศษสวนที่ไดศึกษาจากที่เรียนไปแลวนั้น เปนการบวกลบเศษสวนในกรณีที่เปนเศษสวนแท ตอไปนี้จะไดศึกษาการบวกลบเศษสวนที่เปนเศษสวนจํานวนคละและเศษสวนเกินดังตัวอยางขางลาง ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 8 7 2 + 8 1 3 วิธีทํา 8 7 2 + 8 1 3 = 2 + 3 + 8 7 + 8 1 = 5 + 8 8 = 5 + 1 = 6 ตอบ 6 แนวคิด 1. ใหนําจํานวนเต็มของแตละจํานวนมา บวกกัน ในที่นี้คือ 2 และ 3 แลวจึงบวก ดวยเศษสวนของแตละจํานวน 2. 8 8 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา 8 8 ÷ 8 8 = 1 ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 5 12 + 10 11 วิธีทํา 5 12 + 10 11 =       + + 5 2 5 5 5 5 + 10 10 + 10 1 = 1 + 1 + 5 2 + 1 + 10 1 = 3 + 2 2 5 2 × + 10 1 = 3 + 10 4 + 10 1 = 3 + 10 5 = 3 + 2 1 = 2 1 3 ตอบ 2 1 3 แนวคิด 1. 5 12 มาจาก 5 2 5 5 5 5 + + 10 11 มาจาก 10 10 + 10 1 2. 10 5 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา 5 5 10 5 ÷ = 2 1

89 ตัวอยางจงหาผลตางของ 7 3 8 และ 21 2 5 วิธีทํา 21 2 5 7 3 8 − = 8 – 5 + 7 3 − 21 2 = 3 + 7 3 − 21 2 = 3 +       × 3 3 7 3 − 21 2 = 3 + 21 9 − 21 2 = 3 + 21 7 = 3 + 3 1 = 3 1 3 ตอบ 3 1 3 แนวคิด 1. นําจํานวนเต็มของแตละจํานวนมาลบ กัน เศษสวนที่เหลือนํามาบวกลบกัน ตามโจทยกําหนด 2. 21 7 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา 21 7 7 7 ÷ = 3 1 แบบฝกหัดที่ 9 จงหาคําตอบ (1) 5 3 7 3 2 3 + = (2) 8 5 6 8 3 9 + = (3) 6 37 + 12 45 = (4) 14 1 5 7 3 12 − = (5) 10 1 30 5 3 48 + = (6) 18 1 4 9 8 12 − =

90 เรื่องที่ 5 การคูณเศษสวนและโจทยปญหา การหาผลคูณระหวางเศษสวนกับเศษสวน การหาผลคูณระหวางเศษสวนกับเศษสวน ใหนําเศษคูณกับเศษ และสวนคูณกับสวนแลวทําให เปนเศษสวนอยางต่ํา ตัวอยาง 2 1 ของ 5 1 = วิธีทํา 2 1 ของ 5 1 = 2 1 × 5 1 = 2 5 1 1 × × = 10 1 ตอบ 10 1 ตัวอยาง 5 4 × 6 5 = วิธีทํา 5 4 × 6 5 = 5 6 4 5 × × = 30 20 = 30 10 20 10 ÷ ÷ = 3 2 ตอบ 3 2 แนวคิด เมื่อนําเศษคูณกับเศษ และสวนคูณกับ สวนได 30 20 แลวทําใหเปนเศษสวนอยางต่ํา โดย นํา 10 ไปหารทั้งเศษและสวน จะไดผลลัพธ 3 2 แบบฝกหัดที่ 10 จงหาผลคูณแลวทําเปนเศษสวนอยางต่ํา (1) 9 8 7 6 × = (2) 20 26 13 12 × = (3) 15 9 27 14 × = (4) 15 7 14 11 × = (5) 27 18 18 15 × =

91 การคูณระหวางเศษสวนกับจํานวนเต็ม การคูณระหวางเศษสวนและจํานวนเต็ม คือ การนําเศษสวนที่มีคาเทากันบวกกันหลาย ๆ ครั้ง ตามจํานวน เต็มที่นํามาคูณ เชน แบบฝกหัดที่ 11 จงหาผลลัพธตอไปนี้ (1) 6 8 7 × = (2) 5 11 9 × = (3) 3 7 6 × = (4) 7 6 5 × = (5) 4 13 12 × = (6) 3 15 11 × = (7) 4 12 13 × = (8) 8 17 10 × = เศษสวนของจํานวนเต็ม เศษสวนของจํานวนเต็ม มีความหมาย และวิธีการเชนเดียวกับการคูณเศษสวนดวยจํานวนเต็ม ดังตัวอยาง แบบฝกหัดที่ 12 จงหาผลลัพธตอไปนี้ (1) ปลูกสับปะรด 8 5 ของที่ดิน 400 ตารางวา ที่ดินที่ปลูกสับปะรด คิดเปนกี่ตารางวา (2) โรงเรียนมัธยมศึกษาแหงหนึ่ง มีนักเรียนทั้งหมด 1,200 คน เปนนักเรียนชาย 4 3 ของนักเรียนทั้งหมด โรงเรียนมัธยมศึกษาแหงนี้มีนักเรียนชายทั้งหมดกี่คน (3) เชือกยาว 500 เมตร ตัดไปขาย 25 2 ของเชือกทั้งหมด ขายเชือกไดกี่เมตร (4) เลี้ยงไก 200 ตัว เปนโรคระบาดตาย 20 1 ของไกทั้งหมด ไกตายกี่ตัว (5) ปลูกมะมวง 75 ตน เปนมะมวงแกว 3 1 ของตนมะมวงทั้งหมด คิดเปนมะมวงแกวกี่ตน ตัวอยาง 5 3 ของเงิน 50 บาท คิดเปนเงินเทาไร วิธีทํา 5 3 ของเงิน 50 บาท = 5 3 × 50 บาท = 5 3×50 บาท = 5 150 บาท = 30 บาท ตอบ 30 บาท

92 เรื่องที่ 6 การหารเศษสวนและโจทยปญหา การหารจํานวนนับดวยเศษสวน มีที่ดิน 2ไร แบงออกเปนสวนละ 2 1 ไรเทา ๆ กัน ดังนั้น จะแบงไดทั้งหมด 4 สวน 2 1 2 ÷ =       × 1 2 2 ÷       × 1 2 2 1 =       × 1 2 2 ÷ 1 = 1 2 2 × ดังนั้น 2 1 2 ÷ = 1 2 2 × = 4 การหารเศษสวนดวยจํานวนนับ มีที่ดิน 3 1 ไร แบงเปน 2 สวนเทา ๆ กัน ดังนั้น จะไดสวนละ 6 1 ไร 2 3 1 ÷ =       × 2 1 3 1 ÷       × 2 1 2 =       × 2 1 3 1 ÷ 1 = 2 1 3 1 × ดังนั้น 2 3 1 ÷ = 2 1 3 1 × = 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 6 1 6 1

93 การหารเศษสวนดวยเศษสวน 5 4 5 2 5 2 มีที่ดิน 5 4 ไร แบงออกเปนสวนละ 5 2 ไรเทา ๆ กัน ดังนั้นจะแบงไดทั้งหมด 2 สวน 5 2 5 4 ÷ =       × 2 5 5 4 ÷       × 2 5 5 2 =       × 2 5 5 4 ÷ 1 = 2 5 5 4 × ดังนั้น 5 2 5 4 ÷ = 2 5 5 4 × = 2 “การหารเศษสวน หมายถึง การแบงเศษสวนออกเปนสวนยอยเทา ๆ กัน”การหารเศษสวนมี 3 แบบคือ การหารจํานวนนับดวยเศษสวน การหารเศษสวนดวยจํานวนนับ และการหารเศษสวนดวยเศษสวน ซึ่งมีหลักการ ดังนี้ การหารจํานวนนับดวยเศษสวน การหารจํานวนนับดวยเศษสวน ทําไดโดยการคูณจํานวนนับกับสวนกลับของเศษสวนนั้น อธิบาย (1) สวนกลับของ 3 2 คือ 2 3 (2) นํา 2 3 มาคูณกับ 6 โดยนําเศษคูณกับเศษ คือ 3× 6 ได 18 เพราะ 6 เปนจํานวนเต็ม ถือวา 6 เปนตัวเศษ มีสวนเปน 1 แลวใสสวนเปน 2 เทาเดิม เพราะ 2 ×1 ได 2 เทาเดิม (3) 2 18 เปนเศษเกิน จึงให 2 หาร 18 ได 9 ตัวอยาง 3 2 6 ÷ = วิธีทํา 3 2 6 ÷ = 2 3 1 6 × = 2 6 × 3 = 2 18 = 9 ตอบ 9