คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (พค31001)

51

ตัวอยางท่ี 4 กาํ หนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยที่ U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
ถา n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A ∪ B) /

วิธที ํา
จาก n ( U ) = 10 , n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6
n (A ∪ B′) = n (A ∪ B/) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5
n (A) = 10 – 3 = 7
n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B)
n(A ∪ B) = 7+6–5 = 8

∴ n ( A ∪ B) / = 10 - 8 = 2

• ถา เซต A เซต B และเซต C มีสมาชิกบางตัวรวมกัน

n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

ตัวอยา งท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซต

จะได = 60
1) n (U) = 26
2) n (A)
=7
3) n (B ∩ C)
=8
4) n (A ∩ C)
=3
5) n (A ∩ B ∩ C )

52
3.2 การนําเซตไปใชใ นการแกป ญ หา
การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรเู รอ่ื งเซต ส่งิ ท่นี ํามาใชป ระโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน
ภาพเวนน - ออยเลอร และนาํ ความรูเร่ืองสมาชกิ ของเซตจํากดั ดงั ท่ีจะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 บรษิ ัทแหง หนึ่งมพี นักงาน 80 คน พบวา พนกั งาน 18 คนมีรถยนต พนักงาน 23 คน
มีบานเปนของตวั เอง และพนักงาน 9 คน มีบานของตัวเองและรถยนต
จงหา
1) จาํ นวนพนกั งานทง้ั หมดทม่ี ีรถยนตห รือมบี า นเปนของตวั เอง
2) จํานวนพนักงานท่ีไมม ีรถยนตห รือบานของตัวเอง

วิธีทํา ให A แทนเซตของพนักงานที่มีรถยนต
B แทนเซตของพนักงานที่มีบานเปนของตัวเอง

เขยี นจาํ นวนพนกั งานที่สอดคลองกบั ขอมูลลงในแผนภาพไดด งั น้ี

1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9
พจิ ารณา n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32
ดงั นัน้ จาํ วนพนักงานท่มี ีรถยนตห รือมบี า นของตัวเองเปน 32 คน

2) เน่ืองจากพนักงานทั้งหมด 80 คน
นนั่ คอื พนักงานท่ไี มม ีรถยนตหรือบานของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน
ดงั นั้น พนกั งานท่ไี มมีรถยนตหรือบา นของตวั เองเปน 48 คน

53

ตัวอยา งที่ 2 ในการสํารวจเกี่ยวกับความชอบของนักศึกษา 100 คน พบวา นักศึกษาท่ชี อบเรียน
คณิตศาสตร 52 คน นักศกึ ษาทชี่ อบเรยี นภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น
คณิตศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศึกษาท่ชี อบเรียนคณติ ศาสตร
และภาษาไทย

วิธีทาํ แนวคิดที่ 1 ให A แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร
B แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย

จาก n (A) = 52 , n(B) = 60
n ( A/ ∩ B/ ) = 14 = n ( A ∪ B )/ [∴A/ ∩ B/ = ( A ∪ B ) / ]
∴ n ( A ∪ B ) = 100

n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B)
100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B)
86 = 52 + 60 - n (A ∩ B)

n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26
ดังนนั้ จํานวนนกั ศกึ ษาที่ชอบเรียนคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน
แนวคดิ ท่ี 2

ให x แทนจํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย
จากแผนภาพเขยี นสมการไดดงั น้ี
( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14

112 - x = 86
x = 112 - 86 = 26

ดงั นน้ั จาํ นวนนักศกึ ษาท่ีชอบเรียนคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

54

ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนึ่งมี 1,000 คน มีนกั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น
คอมพิวเตอร 400 คน และเลอื กเรยี นท้งั สองวิชา 280 คน อยากทราบวา

1) มีนักศกึ ษากี่คนท่เี รยี นภาษาอังกฤษเพียงวชิ าเดยี ว
2) มีนักศึกษาก่คี นทเี่ รียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดียว
3) มีนกั ศกึ ษากค่ี นทีไ่ มไดเ รยี นวิชาใดวชิ าหน่งึ เลย
4) มนี กั ศึกษากคี่ นท่ไี มไ ดเรยี นทัง้ สองวิชาพรอมกัน
วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนักศึกษาทั้งหมด

A แทน เซตของนักศึกษาทีเ่ รียนวชิ าภาษาองั กฤษ
B แทน เซตของนักศกึ ษาทีเ่ รียนวชิ าคอมพิวเตอร

A ∩ B แทน เซตของนักศกึ ษาท่เี รียนทั้งสองวิชา

n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280
เขยี นแผนภาพไดด งั น้ี

1) นักศึกษาท่เี รียนภาษาองั กฤษเพียงวชิ าเดยี วมีจาํ นวน 800 - 280 = 520 คน
2) นกั ศึกษาท่เี รียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดยี วมจี าํ นวน 400 - 280 = 120 คน
3) นกั ศกึ ษาทไ่ี มไ ดเรียนวชิ าใดวชิ าหนง่ึ เลย คือสวนที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจาํ นวน

เทากบั 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

55

4) นกั ศึกษาทีไ่ มเรยี นทั้งสองวชิ าพรอ มกัน คือ นกั ศึกษาทเ่ี รยี นวิชาใดวิชาหน่งึ เพยี งวชิ า
เดยี ว รวมกับนักศึกษาที่ไมเรยี นวชิ าใดเลย คอื สว นท่แี รเงาในแผนภาพ ซึ่งมจี าํ นวน
เทา กับ 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน

ตัวอยางท่ี 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนิด คอื ก , ข , ค พบวา มีผใู ชช นดิ ก. 113 คน,
ชนิด ข. 180 คน, ชนดิ ค. 190 คน, ใชชนดิ ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก.

และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนดิ 15 คน, ไมใ ชทั้ง 3

วิธีทาํ ชนดิ 72 คน จงหาจํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด

แนวคดิ ที่ 1 ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก.

B แทนผใู ชส บชู นิด ข.

C แทนผูใชสบูช นิด ค.

จาก n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C)

- n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C)

โดยที่ n (A) = 113

n (B) = 180

n (C) = 190

n (A ∩ B) = 45

n (A ∩ C) = 25

n (B ∩ C) = 20

n (A ∩ B ∩ C) = 15

n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) -

n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

56

จาํ นวนผูท ี่ใชส บู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 408 คน

จาํ นวนผูท่ไี มใชทง้ั 3 ชนิด = 72 คน

ดงั น้นั จํานวนของผูเขารบั การสํารวจทัง้ หมด 408 + 72 = 480 คน
แนวคดิ ที่ 2
ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก.

B แทนผูใ ชสบูชนิด ข.

C แทนผูใ ชสบูชนิด ค.

จาํ นวนผูท่ใี ชส บู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130

= 408 คน

จาํ นวนผทู ีไ่ มใชทั้ง 3 ชนิด = 72 คน

ดงั นั้น จาํ นวนของผูเขารบั การสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

57

แบบฝกหดั ท่ี 3

1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พ่ือแสดงเซตตอไปน้ี

1) B′
2) A ∩ B′
3) A′
4) A′ ∪ B
5) A′ ∪ B′
2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให

จงหาคา
1) A′
2) (A ∩ B)′
3) A′U B
4) A′ ∩ B

58

3. จากแผนภาพ

กาํ หนดให U , A, B และ A∩B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั จง
เติมจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปนี้

เซต A-B B-A A∩B A′ B′ ( A ∪ B
จํานวนสมาชิก

4. จากการสอบถามผูเรียนชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน

34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบทั้งฟุตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทัง้ ฟุตบอลและ
แบตมินตัน 12 คน ชอบทั้งปงปองและแบดมินตัน 10 คน ชอบทั้งสามประเภท 7 คน
จงหาวานักศึกษาที่ชอบเลนกีฬาประเภทเดียวมีกี่คน

59

บทที่ 4
การใหเ หตผุ ล

สาระสําคัญ
1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคนพบความจริงที่ไดจากการสังเกต
หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้งจากทกุ ๆ กรณยี อยแลวนําบทสรปุ มาเปนความรูแบบทั่วไปเรา

เรยี กขอ สรุปแบบนว้ี า “ ขอความคาดการณ”
2. การใหเหตุผลแบบนิรนัยไมไดคํานึงถึงความจริงหรือความเท็จแตจะคํานึงเฉพาะขอสรุปที่

ตองสรุปออกมาไดเทานั้น

ผลการเรียนรูท ีค่ าดหวัง
1. อธบิ ายและใชก ารใหเ หตผุ ลแบบอปุ นยั และนริ นยั ได
2. บอกไดวาการอางเหตุผลสมเหตสุ มผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรไ ด

ขอบขา ยเน้ือหา
เร่ืองที่ 1 การใหเ หตุผล
เร่ืองที่ 2 การอา งเหตุผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

60

เรือ่ งท่ี 1 การใหเ หตผุ ล

การใหเหตุผลมคี วามสําคญั เพราะการดาํ เนนิ ชวี ิตของคนเราตองขึน้ อยกู ับเหตผุ ลไมว า จะเปน
ความเชอ่ื การโตแยง และการตัดสนิ ใจ เราจําเปนตองใชเหตผุ ลประกอบทงั้ สิ้น อกี ท้ังยงั เปน พนื้ ฐานท่ี
สาํ คัญในการหาความรขู องศาสตรตา ง ๆ อกี ดว ย การใหเ หตุผล แบง เปน 2 ประเภท ไดแก การให
เหตผุ ลแบบอปุ นัย และการใหเ หตุผลแบบนริ นยั

1.1 การใหเ หตผุ ลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning )
การใหเหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การสรุปผลภายหลังจากการคนพบความจริงที่ไดจาก

การใชสังเกต หรือการทดลองมาแลวหลายๆครั้ง จากทุกๆกรณียอยๆ แลวนําบทสรุปมาเปนความรู
แบบทั่วไป หรืออกี นยั หนึ่ง การใหเ หตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การใหเ หตผุ ลโดยยดึ ความจรงิ
สว นยอ ยทีพ่ บเหน็ ไปสูความจริงสวนใหญ

ตวั อยา งการใหเ หตุผลแบบอุปนัย
1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทุก ๆวันดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวนั ตก
จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตกเสมอ
2. สนุ ทรี พบวา ทกุ ครง้ั ที่คุณแมไ ปซอ้ื กวยเตีย๋ วผัดไทยจะมีตน กยุ ชา ยมาดว ยทกุ คร้ัง
จงึ สรุปวา กว ยเต๋ียวผัดไทยตอ งมตี นกุยชาย
3. ชาวสวนมะมวงสังเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมีหมอกมาก ปนั้นจะไดผลผลิตนอย
เขาจึงสรุปวาหมอกเปนสาเหตุที่ทําใหผลผลิตนอย ตอมามีชาวสวนหลายคนทดลอง
ฉีดน้าํ ลา งชอ มะมวง เม่ือมหี มอกมากๆ พบวาจะไดผลผลิตมากขึ้น
จึงสรุปวา การลางชอมะมวงตอนมีหมอกมากๆ จะทําใหไดผลผลิตมากขึ้น

61

4. นายสมบัติ พบวา ทุกครั้งที่ทําความดีจะมีความสบายใจ
จึงสรุปผลวา การทําความดีจะทําใหเกิดความสบายใจ

ตัวอยา งการใหเหตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร
1. จงใชก ารใหเหตผุ ลแบบอปุ นัยสรปุ ผลเกย่ี วกบั ผลบวกของจํานวนคูส องจาํ นวน
0+2 = 2 (จาํ นวนค)ู
2+4 = 6 (จาํ นวนคู)
4+6 = 10 (จาํ นวนค)ู
6+8 = 14 (จาํ นวนคู)
8+10 = 18 (จาํ นวนค)ู
สรุปผลวา ผลบวกของจํานวนคูสองจํานวนเปนจํานวนคู
2. 11×11 = 121
11×111 = 12321
1111×1111 = 1234321
11111×11111 = 123454321
3. (1 × 9) + 2 = 11
(12 × 9) + 3 = 111
(123 × 9) + 4 = 1111
(1234 × 9) + 5 = 11111

ขอ สงั เกต
1) ขอ สรปุ ของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไมจริงเสมอไป
2) การสรุปผลของการใหเ หตุผลแบบอุปนัยอาจข้ึนอยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ
3) ขอ สรุปทไี่ ดจากการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นยั ไมจําเปน ตอ งเหมอื นกัน

ตวั อยาง 1. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 8

2. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a
จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10

3. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 22
เพราะวา 6 = (2 × 4)-2 และ 22 = (4 × 6)-2

62

4) ขอสรุปของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจ ผดิ พลาดได
ตวั อยา ง ให F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนคา จาํ นวนนบั n ใน F(n)
n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ
n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จาํ นวนเฉพาะ
n = 3 ได F(3) = 1373 เปนจาํ นวนเฉพาะ
∴ F(n) = n2 - 79n + 1601
แทนคา n ไปเรอ่ื ยๆ จนกระทั่งแทน n = 79 ได F(79) เปนจํานวนเฉพาะ
จากการทดลองดังกลาว อาจสรุปไดว า n2 - 79n + 1601 เปนจํานวนเฉพาะ สําหรับทุกจํานวนนับ
แต F(n) = n2 - 79n + 1601
F(80) = 802 - (79)(80) + 1601

= 1681
= (41)(41)
∴ F(80) ไมเปนจํานวนเฉพาะ

63

แบบฝกหัดที่ 1

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้
1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  , 

2) 2,7,17,  ,52 ,  , 

3) 5,10,30,120,  , 

4) ถา 12345679 × 9 = 111111111

12345679 × 18 = 222222222

12345679 × 27 = 333333333
12345679 ×  =
12345679 ×  = 999999999

5) ถา 2=2

2+4 = 6
2+4+6 = 12

2+4+6+8 = 20

2+4+6+8+ = 30

2+4+ +8+ + 12 = 

2+ + +8+ 12+14 = 
2+ + +8+ +12+14+ = 

64

1.2. การใหเ หตุผลแบบนริ นัย (Deductive reasoning)

เปน การนําความรูพื้นฐานที่อาจเปนความเชื่อ ขอตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซ่งึ เปน สิง่ ท่รี ู
มากอ นและยอมรบั วาเปนจริง เพื่อหาเหตผุ ลนาํ ไปสขู อสรุป

การใหเหตุผลแบบนิรนัย ไมไดคํานึงถึง ความจริงหรือความเท็จ แตจะคํานึงถึง เฉพาะ
ขอสรุปที่ตองออกมาไดเ ทาน้ัน

พจิ ารณากระบวนการการใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั จากแผนภาพดงั น้ี

ตวั อยางการใหเหตุผลแบบนิรนยั
1. เหตุ 1) จาํ นวนคหู มายถงึ จํานวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตวั
2) 10 หารดว ย2 ลงตวั
ผล 10 เปน จาํ นวนคู
2. เหตุ 1) คนท่ีไมมหี น้ีสนิ และมีเงินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปนเศรษฐี
2) คุณมานะไมมีหนี้สินและมีเงินฝากในธนาคาร 11 ลานบาท
ผล คุณมานะเปนเศรษฐี

65

3. เหตุ 1) นักกีฬาการแจงทุกคนจะตองมีสุขภาพดี
2) เกียรตศิ ักดิเ์ ปน นกั ฟุตบอลทมี ชาติไทย

ผล เกยี รตศิ ักดม์ิ สี ขุ ภาพดี
จากตัวอยางจะเห็นวาการยอมรับความรูพื้นฐานหรือความจริงบางอยางกอน แลวจึงหาขอสรุป
จากส่งิ ทยี่ อมรับแลว น้นั ซง่ึ เรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถูกตองกต็ อเมื่อเปน การสรุปผลไดอ ยา ง
สมเหตุสมผล(valid) เชน

เหตุ 1) เรือทุกลาํ ลอยนํา้
2) ถังน้ําพลาสตกิ ลอยน้าํ ได

ผล ถังนํา้ พลาสติกเปนเรือ
การสรุปผลจากขางตนไมสมเหตุสมผล แมวาขออางหรือเหตุทั้งสองขอจะเปนจริง แตการที่เรา
ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยน้ําไดก็ไมไดห มายความวา สิง่ อน่ื ๆ ทล่ี อยนาํ้ ไดจ ะตองเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน
ตัวอยางขางตนจึงเปนการสรุปที่ไมสมเหตุสมผล

ขอ สังเกต
1. เหตุเปน จรงิ และ ผลเปน จรงิ
เหตุ แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา
และสัตวท ีม่ ี 6 ขา ทกุ ตัวมปี ก
ผล ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปก
2. เหตุเปน เท็จ และ ผลเปน เท็จ
เหตุ ถานายดําถูกลอ ตเตอรี่รางวัลท่ีหนึง่
นายดําจะมีเงินมากมาย
แตนายดาํ ไมถูกลอ ตเตอรี่รางวลั ท่ีหนึง่
ผล ดังนั้นนายดํามีเงินไมมาก
3. เหตุอาจเปน จรงิ และผลอาจเปน เท็จ
4. ผลสรปุ สมเหตสุ มผลไมไ ดประกนั วาขอ สรปุ จะตองเปนจรงิ เสมอไป

66

แบบฝก หัดที่ 2

จงตรวจสอบผลที่ไดว าสมเหตุสมผลหรือไม

1) เหตุ 1. คนทุกคนที่เปนไขหวัดตองไอ

ผล 2. คนชอ่ื มนุ ีไอ
2) เหตุ มนุ เี ปน ไขห วัด
1. ชาวนาทุกคนเปนคนอดทน
ผล 2. นายมีเปนชาวนา
3) เหตุ นายมีเปนคนอดทน
1. สัตวมปี ก จะบนิ ได
ผล 2. นกกระจอกเทศเปน สัตวมีปก
นกกระจอกเทศบินได

4) เหตุ 1. จาํ นวนเต็มทหี่ ารดวย 9 ลงตวั จะหารดวย 3 ลงตวั

2. 15 หารดว ย 3 ลงตัว

ผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว

5) เหตุ 1. สัตวเลยี้ งลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา

2. งูไมมีขา

ผล งูเปนสัตวเลย้ี งลูกดวยนม

67

เรื่องท่ี 2 การอา งเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร

ออยเลอร เปนนกั คณิตศาสตรช าวสวสิ เซอรแลนด มชี ีวิตอยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได
คนพบวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชรูปปด เชน วงกลม ซง่ึ เปน วิธีการทีง่ าย และรวดเรว็ โดย
มหี ลกั การดังนี้

1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตล ะเซต
2. ถามี 2 เซตสัมพันธกนั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเก่ียวกัน

3. ถา เซต 2 เซตไมส ัมพันธกันกเ็ ขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนั

แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

68

ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

69

ตวั อยา ง การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใหเหตุผลโดยใชแผนภาพ

1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสิ่งที่มีสองขา

2 : ตํารวจทุกคนเปนคน

ผลสรุป ตํารวจทุกคนเปนสิ่งท่ีมีสองขา

จากเหตุ 1 จากเหตุ 2

แผนภาพรวม

จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ " ตาํ รวจ " อยใู นวงของ " สิ่งมี 2 ขา " แสดงวา " ตํารวจทุกคนเปน
คนมีสองขา " ซ่งึ สอดคลองกบั ผลสรุปทีก่ ําหนดให ดังนั้น การใหเ หตุผลนี้สมเหตสุ มผล

2. เหตุ 1 : สุนัขบางตัวมีขนยาว
2 : มอมเปนสุนัขของฉัน

ผลสรุป มอมเปน สุนขั ทีม่ ีขนยาว

ดงั น้นั ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนขั ท่ีมขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

70

แบบฝก หดั ที่ 3
จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น

2. ฝนตก

ผล แคทลียาไมออกนอกบาน

2) เหตุ 1. ถาสมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขาเกษตรได

2. สมชายสอบเขาเกษตรไมได

ผล สมชายไมขยันเรียน

3) เหตุ 1. ถา อากาศชืน้ แลว อณุ หภูมิจะลด

ผล 2. ถาอุณหภมู ิลด แลวเกิดหมอก
4) เหตุ 3. อากาศชื้น
จะเกดิ หมอก
1. a เปน จาํ นวนบวก หรอื เปนจาํ นวนลบ
2. a ไมเ ปน จาํ นวนบวก

ผล a เปน จาํ นวนลบ

5) เหตุ 1. แมวบางตัวมีสองขา

2. นกยูงทุกตัวมีสองขา

ผล นกบางตัวเปนแมว

71

บทท่ี 5
อตั ราสว นตรโี กณมิตแิ ละการนาํ ไปใช

สาระสําคญั

1. ถารูปสามเหลี่ยมคูใดคลายกัน อัตราสวนของดานที่อยูตรงขามมุมที่เทากันจะเทากัน
2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป อัตราสวนความยาวดาน 2 ดา น จะถกู กําหนดคาตางๆไวดงั น้ี

2.1 คาไซนของมุมใด (sine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมุม
นั้น กับความยาวของดานตรงขามมุมฉาก

2.2 คาโคไซนของมุมใด (cosine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวดานประชิตมุม
กับความยาวดานตรงขามมุมฉาก

2.3 คาแทนเจนตของมุมใด (tangent) จะเทากับ อัตราสวนระหวางความยาวของดานตรง
ขามมุมกับความยาวของดานประชิตมุมนั้นๆ

3. นอกจากอัตราสว นตรีโกณมติ ิหลัก 3 คานี้แลว สวนกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา
cosecant , secant และ cotangent ตามลําดับ

4. อัตราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30,45 และ 60 องศา มีคาเฉพาะของแตละอัตราสวน สามารถ
พสิ จู นได

5. การแกป ญหาโจทยท ่ีเกยี่ วของ จะทําโดยการเปล่ียนปญหาโจทยใหเปนประโยคสัญลักษณ และ
ใชอัตราสวนตรีโกณมิติในการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกปญหาเกี่ยวกับการวัดระยะทาง
และความสูง

ผลการเรียนรทู ่คี าดหวงั

1. อธิบายการหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติได
2. หาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 300 , 450 และ 600 ได
3. นาํ อัตราสวนตรีโกณมิติไปใชแ กป ญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัดได

ขอบขา ยเนอ้ื หา

เร่ืองท่ี 1 อัตราสว นตรีโกณมติ ิ
เรื่องท่ี 2 อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศา
เร่ืองท่ี 3 การนาํ อัตราสว นตรีโกณมิติ ไปใชแกปญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัด

72

เรือ่ งที่ 1 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิ

เปนแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร วาดวยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสัมพันธ
ระหวางดาน มมุ และพ้ืนทข่ี องรปู สามเหลี่ยม มีความสําคัญตอวิชาดาราศาสตร การเดินเรือ และงาน
สํารวจใชในการคํานวณสงสูงของภูเขา และหาความกวางของแมน้ํา มีประโยชนมากสําหรับวิชา
วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศึกษาเก่ยี วกบั วัตถุ ซงึ่ มีสภาพเปนคลื่น เชน แสง เสยี ง
แมเ หลก็ ไฟฟา และวิทยุ

ความรเู ดิมที่ตองนาํ มาใชในบทเรียนนี้

1. สมบัติสามเหลี่ยมคลาย
พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากัน 3 คู ดงั น้ี
ถา รูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมเทากันมุมตอมุมทั้ง 3 คู แลว สามเหลี่ยม 2 รปู นจี้ ะคลา ยกัน ดงั รปู

B

ca Y
z

x

A bC Xy Z

รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2

จากรูป

Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ

ดงั นัน้ รปู สามเหลี่ยม ABC คลายกับรูปสามเหลี่ยม XYZ และจากสมบัติการคลายกันของ รูป

สามเหลี่ยมจะไดผลตามมาคือ

AB = BC = AC หรอื a = b = c
XY YZ XZ
xyz

เมอ่ื a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหลี่ยม ABC
x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดับในสามเหลย่ี ม XYZ

73

จาก a = b จะไดว า a=x
จะไดวา by
xy จะไดวา b= y
b=c cz
yz a=x
a=c cz
xz

นน่ั คือ ถา มีรปู สามเหลย่ี มสองรูปคลายกนั อัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูป
สามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง โดย
ที่ดานของรูปสามเหลี่ยมที่หาความยาวนั้นจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยูตรงขามกับมุมที่เทากัน

ในทํานองเดียวกัน ถารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไมเปนมุมฉาก
เทากันสมมติวาเปนมุม A เทากับมุม X ดังรูป

B zY
c

ax

A b CX yZ

พบวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คลายกัน ( มีมุมเทากันมุมตอมุม ทั้ง 3 คู )

ดงั นน้ั จะไดว า ax ax cz
=, =, =

czbyby

สรปุ ไมวารูปสามเหลี่ยมดังกลาวจะมีขนาดใหญหรือเล็กก็ตาม ถารูปสามเหลี่ยม
ทั้งสองรูปคลายกันแลว อัตราสวนความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนยั
กนั เสมอ ( ดานที่กลาวถึงนี้ตองเปน ดา นทีอ่ ยูตรงขา มกับมุมท่ีเทา กนั )

74

2. สมบัติสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ

c
a

b

ดา น AB เปนดานที่อยูตรงขามมุมฉากยาว c หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุมฉาก
ดา น BC เปนดานท่ีอยตู รงขา มมมุ A ยาว a หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุม A
ดา น AC เปนดานที่อยูตรงขามมุม B ยาว b หนว ย เรียกวา ดานประชิดมุม A

ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุม เปนมุมฉาก

c แทนความยาวดานตรงขามมุมฉาก

a และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก

จะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังตอไปนี้

c2 = a2 + b2

เมอ่ื a แทนความยาวของดานตรงขามมุม A
b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B
c แทนความยาวของดานตรงขามมุม C

75

ขอควรรูเก่ยี วกบั ทฤษฎบี ทปทาโกรัส
ปทาโกรัสไดศึกษาคนควาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางดานตรงขามมุมฉากและดานประกอบมุม

ฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเปนทฤษฎีบททีเ่ กาแกและมชี อ่ื เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกทฤษฎบี ทปท า
โกรสั ซึ่งมีใจความวา

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พนื้ ที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก
จะเทากับผลบวกของพนื้ ทีส่ ่เี หล่ียมจัตุรสั บนดา นประกอบมุมฉาก

ตัวอยา ง จงเขียนความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตอไปนี้ ตามทฤษฎีบท
ของปทาโกรัส
1).

a

3 5
2).
a
12
13

76

วิธีทํา พิจารณาความสัมพันธระหวางความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทปทาโกรัส

52 = a2 + 32
a 2 + 92 = 25

a 2 = 16

ดงั น้นั a = 4

2).

a2 +122 = 13
a2 +144 = 169

b2 = 25

ดังนน้ั b = 5

อตั ราสวนตรีโกณมิติ
ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ

B

ca

A b C
A

อัตราสวนตรีโกณมิติ คือ อัตราสวนที่เกิดจากความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

77

a

1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c
เรยี กวา ไซน (sine) ของมุม A

b

2. อัตราสวนของความยาวของดานประชิด มุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c
เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A

a

3. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานประชิด มุม A หรอื b

เรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A

เรยี กอัตราสวนทั้งสามนี้วา อัตราสวนตรีโกณมติ ิของ A เมอ่ื A เปนมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยม

มุมฉากหรืออาจสรุปไดวา

sin A = ความยาวของดานตรงขามมุม A
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก

cos A = ความยาวของดา นประชดิ มมุ A
ความยาวของดา นตรงขามมุมฉาก

tan A = ความยาวของดานตรงขามมุม A
ความยาวของดา นประชิดมุมA

ตัวอยาง กําหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
มีมุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดานทั้งสาม ดังรูป จงหาคาตอไปนี้
6

1. sin A, cos A และ tan A 8

2. sin B, cos B และ tan B

วธิ ีทาํ กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได
วา AB2 = AC 2 + BC 2
แทนคา AC = 8 , BC = 6
ดงั นั้น AB2 = 82 + 62

AB2 = 64 + 36

AB 2 = 100

AB2 = 10 ×10หรือ102

นนั่ คือ AB = 10

78

(1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพิจารณาที่มุม A

sin A = ความยาวของดานตรงขามมมุ A = BC = 6 = 3
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5

cos A = ความยาวของดา นประชดิ มมุ A = AC = 8 = 4
ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5

tan A = ความยาวของดานตรงขามมมุ A = BC = 6 = 3
ความยาวของดา นประชิตมุมA AC 8 4

(2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มุม B

sin B = ความยาวของดานตรงขา มมมุ B = AC = 8 = 4
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5

cos B = ความยาวของดา นประชิดมุมB = BC = 6 = 3
ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5

tan B = ความยาวของดา นตรงขามมุมB = AC = 8 = 4
ความยาวของดานประชติ มุมB BC 6 3

ขอ สังเกต ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เปน มมุ ฉากแลว จะไดว า

1. Aˆ + Bˆ = 1800 − Cˆ = 1800 − 900 = 900
2. sin A = cos B
3. cos A = sin B

79

แบบฝก หดั ที่ 1

1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนความสัมพันธของความยาวของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส และหาความยาวของดานที่เหลือ

(1)

(2)

2. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี Cˆ = 900 และความยาวของดานทั้งสาม ดังรูป
จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

2) sin B , cos B และ tan B

B

80
3. จงหาวาอัตราสวนตรีโกณมติ ิทก่ี ําหนดใหตอ ไปน้ี เปน คาไซน(sin) หรือโคไซน(cos) หรือแทนเจนต
(tan) ของมุมที่กําหนดให

4. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน AB = 10 และ AC = 8
จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

2) sin A , cos A และ tan A
3) sin B , cos B และ tan B

5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม
B และมุม C ตามลําดับ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c
(2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A

5

81

เรอื่ งที่ 2 การหาคา อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30 ,45 , 60 องศา

การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 60 องศา
พิจารณารูปสามเหล่ียมดานเทา ABD มดี า นยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั น้ี

A 2 B

300 300 300

2 2

60° 60° 60° C
B D A

1 C1 1

จากรูปสามเหลี่ยมดานเทา ABD ลาก AC แบง ครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมุม A จะตั้งฉากกับ BD ที่
จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนว ย ดงั รปู และ
จาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ใชคุณสมบตั ิของปทาโกรสั ไดดังน้ี

B

300 AB 2 = AC 2 + BC 2

2 22 = 12 + BC 2
4 = 1 + BC 2
60° C BC 2 = 4 −1
A BC 2 = 3
BC = 3
1

จะไดว า ดา น BC = 3

ดงั นน้ั Sin 600 = 3

2

Cos 600 = 1

2

82

Tan 600 = 3 = 3

1

ในทาํ นองเดยี วกนั
การหาคาอัตราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา
ดังน้นั Sin 300 = 1

2

Cos 300 = 3

2

Tan 300 = 1

3

83

สรปุ อัตราสว นของตรีโกณมิติทสี่ าํ คญั ดงั นี้

นน่ั คือ sin 300 = 1 cos 300 = 3 tan 300 = 1

2 2 3
sin 45 0 = 1 cos 45 0 = 1 tan 450 = 1 = 1

2 2 1

sin 600 = 3 cos 600 = 1 tan 600 = 3 = 3

2 2 1

84

เกร็ดความรู การใชนิ้วมอื ชว ยในการจาํ คา ตรีโกณมิตขิ องมุมพื้นฐาน

การจําคาตรีโกณมิติพน้ื ฐานโดยใชน้วิ มือ ตองใชมือซา ย มขี นั้ ตอนดงั ตอ ไปน้ี
วิธีการนี้ใชจ าํ คา ตรโี กณมิติของมุมพื้นฐานกลาวคือ

1. แบมือซายออกมา มองเลขมุมจับคูกับนิ้วเรียงจากซายไปขวา เปนมุม
องศา

2. เมื่อตองการหาคาตรโี กณมิติของมุมใดใหงอนิ้วนั้น สมมติวาหา cos กจ็ ะตรงกับน้ิวช้ี ก็งอนิ้วชี้
เกบ็ ไว

3. ถอื กฎวา "sin-ซา ย(ออกเสียงคลายกัน) cos-ขวา(ออกเสยี ง /k/ เหมอื นกัน)" เมื่อหาคาของฟงกชันใด
ใหสนใจจาํ นวนน้วิ มือฝง ทีส่ อดคลองกบั ฟงกชนั นั้น
o เพอ่ื จะหาคา นาํ จาํ นวนนว้ิ มือดา นทส่ี นใจติดรากทส่ี องแลวหารดวยสอง (หรอื อาจจําวา มี
เลขสองตัวใหญๆ อยูบนฝา มือ เม่ืออานก็จะเปน รากท่ีสองของจํานวนน้ิวมือดานทสี่ นใจ
หารฝามือ) สาํ หรับ cos 30 กจ็ ะไดว ามีนิว้ มือเหลอื อยูท างดานขวาอกี สามนว้ิ (กลาง นาง

กอ ย) กจ็ ะได cos30= สาํ หรับฟงกช ันตรีโกณมิติอ่ืนก็ใชสมบัตขิ องฟงกช นั นั้นกับ sin
และ cos เชน tan=sin/cos

85

คาโดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนิยมตําแหนง ที่ 3 ) หาไดจากตาราง
ตอไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมท่มี ีคา อยรู ะหวาง 00 และ900 จะมีคาอยู
ระหวา ง 0 และ 1

86

ตัวอยา ง จงหาคาของ a, b จากรูปสามเหลย่ี มท่กี าํ หนดใหตอไปนี้

วิธีทํา sin 320 = BC

AB

แทนคา sin 320 = 0.530 และ BC = a , AB = 10
ดงั นั้น 0.530 = a นน่ั คอื

10

a = 10 × 0.530

a = 5.3

จงหาคาตอไปนี้

sin 450 − tan 450
1.
cos 450

2.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600

( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 2

4. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 300
5.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300

3

วิธีทํา

1

sin 450 − tan 450 = 2 −1 = 1 × 2 =1-1 =0
1. −1
cos 450
1 21

2

2.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600 =  1   3  +  3   1  = 3 32 3= 3
2  2   2  2 + =

44 42

( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 2 =  3  2 +  1 2 = 3 + 1 = 4 =1
2  2 44 4

=   2 2  3 +   2

4. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 300 1 + 3 + 1 − 3
3 2 2

= 1 + 3 +1− 3 + 3
34

= 25
12

5.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300 = 1 − (1)2 + 4  1  2 +  3  2 − 1
3 2 3 3 2 2

= 1 −1+ 4 + 3 − 1
2 942

=7

36

87

อัตราสวนตรีโกณมิตอิ ่ืนๆ
อัตราสวนของความยาวของดานของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากท่เี รียกวา ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เรยี กวาอัตราสวนตรีโกณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซ่ึงเปน หลักเบ้ืองตน ในคณิตศาสตรแขนง
หนงึ่ ท่เี รยี กวา ตรีโกณมติ ิ (Trigonometry) หมายถึงการวดั เก่ยี วกบั รูปสามเหลย่ี ม

มอี ตั ราสว นตรโี กณมิติอีก 3 อตั ราสว น ซง่ึ กําหนดดว ยบทนยิ าม ดงั น้ี
1. ซีแคนตของมุม A เขยี นแทนดว ย secant A หรือ sec A คือสวนกลับของ cos A เม่อื
cos A ≠ 0 นัน่ คือ sec A = 1 เมอ่ื cos A ≠ 0

cos A

2. โคซีแคนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cosecant A หรือ cosec A คือสวนกลับของ sin A เมือ่
sin A ≠ 0 นนั่ คือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A ≠ 0

sin A

3. โคแทนเจนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรือ cot A คอื สว นกลบั ของ tan A เมอ่ื
tan A ≠ 0 นั่นคือ cotangent A = 1 เมอ่ื tan A ≠ 0

tan A

88

89

แบบฝก หัดที่ 2
1. จงหาคาตอไปนี้

1) sin 300 sin 600 − cos 300 cos 600

( ) ( )2) sin 600 2 + cos 600 2

3) 1 − tan 450
2. จงหาคา อัตราสว นตรโี กณมิตติ อไปนจ้ี ากตาราง

1) sin 200
2) sin 380
3) cos 500
4) cos 520
5) tan 770
6) tan 890
3. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก ดังรูป

จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B

4. จงหาคา a, b หรอื c จากรูปสามเหลี่ยมตอไปนี้

(1)

90

(2)

(3)

5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม
B และมุม C ตามลําดับ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c
(2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A

5

91

เรอื่ งที่ 3 การนาํ อตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปใชแ กป ญ หาเกี่ยวกบั หาระยะทางและความสูงและ
การวัด

อัตราสวนตรีโกณมิติมีประโยชนมากในการหาความยาว ระยะทางหรือสวนสูงโดยที่ทราบคามุมใด
มุมหน่ึง และความยาวของดา นใดดา นหน่ึงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลว จะสามารถหาดา นทเ่ี หลือได

เสนระดับสายตา คอื เสน ทีข่ นานกบั แนวพ้ืนราบ
มุมกม คอื มมุ ทแ่ี ขนขา งหนง่ึ ของมมุ อยตู ํ่ากวา ระดบั สายตา

มมุ เงย คือ มมุ ทแี่ ขนขา งหนง่ึ อยูสงู กวา เสนระดับสายตา

92
ตัวอยา งที่ 1 สมพรยนื อยูหางจากบานหลังหนึ่งเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเห็นเครื่องบิน เครื่องหนึ่ง
บนิ อยูเหนือหลงั คาบา นพอดี และแนวที่เขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเครื่องบิน อยูสูงจาก
พื้นดนิ กเี่ มตร

นั่นคือ ความยาวของดานตรงขามมุม 600 = 100 3
จะเหน็ ไดว า ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพนื้ ดิน 100 3
ตวั อยางที่ 2 บนั ไดยาว 50 ฟุต พาดอยูกับกําแพง ปลายบันไดถึงขอบกําแพงพอดี ถาบันไดทํามุม 600
กับกําแพง จงหาวาบันไดอยูหางจากกําแพงเทาไร

93

วิธที ํา cos 600 = ความยาวของดานประชิดมุม 60 0
ความยาวของดนตรงขา มมมุ ฉาก

1 = ความยาวของดา นประชิดมมุ 600
2 50

จะได ความยาวของดานประชิตมุม 600 = 50

2

ดังนั้น ระยะระหวา งบันไดกับกําแพงเทา กับ 25 ฟุต

ตัวอยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนึง่ ซ่งึ สงู จากระดบั ผนา้ํ ทะเล 50 เมตร เมอ่ื เขาทอดสายตา
ไปยังเรือลําหนึ่งกลางทะเล มุมที่แนวสายตาทํากับเสนระดับมีขนาด 30 องศา เรือลาํ น้อี ยูหา งจากฝง
โดยประมาณกเี่ มตร

วิธที าํ

ให A เปนตาํ แหนงที่สมพรยืนอยู
AC แทนระยะความสูงจากน้ําทะเลของหนาผา คือ 50 เมตร
BC เปนระยะท่เี รอื อยูหา งจากฝง

จาก AD // BC จะได CBˆA = DAˆB = 300
ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังน้นั tan 300 = AC

BC
1 = 50
3 BC

BC = 50 3 ≈ 50 ×1.732

BC ≈ 86.6

94

แบบฝกหัดท่ี 3

1. ตน ไมต นหน่งึ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงที่ลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทํา
มุม 30 องศา กับเงาของตนไม จงหาความสูงของตนไม

2. วินัยตองการหาความสูงของเสาธงโรงเรียน จึงทํามุมขนาด 45 องศา เพื่อใชในการเล็งไปที่ยอดเสาธง

ถาในขณะที่เล็งนั้นเขามองไปที่ยอดเสาธงไดพอดี เมอื่ กา วไปอยูท จ่ี ดุ ซึ่งอยูห างโคนเสาธง 16 เมตร วินยั มี
ความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวาเสาธงสูงประมาณกี่เมตร

3. จดุ พลขุ น้ึ ไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สังเกตการณบนพื้นดนิ หางจากตาํ แหนง ท่ีจดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร
ในขณะที่มองเห็นพลุทํามุม 60 องศา กับพืน้ ดนิ พลุขึ้นไปสงู เทาใด และอยูหา งจากจุดสังเกตการณเปน
ระยะทางเทาใด

95

บทที่ 6

การใชเ ครื่องมอื และการออกแบบผลติ ภัณฑ

สาระสําคัญ
1. การเลอื กใชเ คร่ืองมือตา ง ๆ ในการสรางรปู เรขาคณิต
2. ในชีวติ ประจาํ วนั การออกแบบวัสดุหรือครุภัณฑ อาคารที่พักอาศยั หรอื อาคารสาํ นักงานตา ง ๆ
จะเก่ียวขอ งกบั รูปแบบ การเล่อื นขนาน การหมนุ และการสะทอ น
3. การมบี รรจภุ ณั ฑของสินคาที่ดี สวยงาม นา สนใจ จะมสี วนชวยในการการเพิ่มมลู คา ของสินคานน้ั
ๆ ได

ผลการเรียนรูท ี่คาดหวงั
1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือได
2. วิเคราะหและอธิบายความสัมพันธระหวางรปู ตน แบบ และรูปท่ีไดจากการเลื่อนขนาน การ
สะทอ นและการหมนุ ได

3. นําสมบัติเกยี่ วกับการเลื่อนขนาน การหมุน และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร
และทางเรขาคณิต ไปใชในการออกแบบ งานศิลปะได

ขอบขา ยเน้ือหา
เร่ืองที่ 1 การสรางรูปทางเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือ
เร่ืองท่ี 2 การแปลงทางเรขาคณิต
เร่ืองท่ี 3 การออกแบบเพื่อการสรางสรรคงานศิลปะโดยใชการแปลงทางคณิตศาสตร และ
ทางเรขาคณิต

96

เรอ่ื งที่ 1 การสรางรูปเรขาคณิตโดยใชเ ครื่องมอื
1.1 รูปเรขาคณิตสองมิติ สามารถสรางไดโดยใชสนั ตรง เชน ไมบรรทดั ฟุตเหลก็ ไมฉาก ไม

ที เพอ่ื วัดความยาว ใชไมโ ปรแทรกเตอร เพอ่ื วัดมมุ หรือขนาดของมุม ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการ
สรางเสนโคงที่แทนความยาวรอบวงกลม หรือชวยในการสรางมุมที่มีขนาดที่ตองการ
สมบัติตา ง ๆ ของรปู เรขาคณิตและความสัมพันธร ะหวางรูปเรขาคณิต

เพอื่ ใหน ักศึกษามคี วามเขาใจในการสรา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิ ผเู รียนควรทบทวนสมบัติตา ง ๆ
ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติดังนี้

1. รปู ส่เี หลยี่ มผืนผา

1. มีมุมทั้งสี่เปนมุมฉาก
2. ดานที่อยูตรงขามกันยาวเทากันสองคูและขนานกัน
3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งกันและกัน
4. พืน้ ทข่ี องส่เี หล่ียมผนื ผา = ความยาวของดานกวา ง x ความยาวของดานยาว
5. ความยาวรอบรูปของสเ่ี หลีย่ มผนื ผา
= ( 2 x ความยาวของดานกวา ง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว )

2. รปู สเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั

1. มมุ ทั้งสี่เปนมุมฉาก
2. ดานท้งั สยี่ าวเทากนั
3. เสน ทแยงมมุ แบงครึ่งซ่ึงกันและกัน และต้ังฉากกัน
4. พื้นท่ขี องรูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัส = ความยาวดา น x ความยาวดา น หรือ 1 × ผลคูณของ

2

ความยาวเสน ทแยงมุม

97

3. รูปสเี่ หล่ยี มดา นขนาน

1. มีดานตรงกันยาวเทากันและขนานกันสองคู
2. เสนทแยงมมุ แบงครึ่งกันและกัน แตย าวไมเทา กัน
3. พ้ืนที่ของรูปสี่เหลีย่ มดานขนาน = ความยาวฐาน X สว นสงู
4. รปู สเ่ี หล่ยี มขนมเปยกปูน

1. มีดานตรงขามกันขนานกันสองคู
2. ดานทั้งสยี่ าวเทากัน
3. เสนทแยงมมุ แบง ครึ่งซงึ่ กันและกนั และต้ังฉากกนั
4. พืน้ ท่รี ปู สามเหลย่ี มขนมเปย กปูน = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1 × ผลคูณของความยาว

2

ของเสนทแยงมุม

98

5. รปู ส่ีเหล่ียมรปู วา ว

1. มีดานประชิดกันยาวเทากัน 2 คู
2. เสนทแยงมุมสองเสน ต้ังฉากกนั
3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งซง่ึ กันและกัน แตย าวไมเทากนั
4. พ้ืนทีข่ องรปู สี่เหลยี่ มรูปวาว = 1 × ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมมุ

2

6. รปู สีเ่ หลีย่ มคางหมู

1. มดี า นขนานกัน 1 คู
2. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของความยาวของดานคูขนาน X สว นสูง

2

7. รปู วงกลม

1. ระยะทางจุดศูนยกลางไปยังเสนรอบวงเปนระยะที่เทากันเสมอ เรยี กวา รัศมีของวงกลม
2. เสน ผานศูนยกลางยาวเปน 2 เทาของรัศมี
3. พื้นทีว่ งกลม = πr 2
4. ความยาวเสนรอบของวงกลม 2πr

99

1.2 รูปเรขาคณิตสามมติ ิ
รปู เรขาคณิต สามมิติสามารถแสดงรูปรางซึ่งมีทั้งความกวาง ความยาว ความสูง หรอื ความ

หนา ตัวอยา งรูปทรงเรขาคณิตสามมติ ิ เชน
ปริซึม เปน รปู สามมติ ิทีม่ หี นาตัดหัวทายเทากนั และขนานกนั และผิวดานขางเปนรปู สเี่ หลี่ยม เชน

ปรซิ มึ สามเหล่ยี ม ปริซึมสเ่ี หล่ยี ม ปริซึมหาเหล่ยี ม

พรี ะมดิ เปน รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ่ีมยี อดแหลม ผิวดานขางเปนรูปสามเหลยี่ ม

สูงเอยี ง

พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลี่ยม

ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมติ ิทพ่ี บเห็นในชวี ิตประจําวนั เชน ตเู ย็น เปนรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
หรือปรซิ มึ สเ่ี หลี่ยม ปลากระปอง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปนตน

รูปเรขาคณิตที่พบในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะรูปเรขาคณิตสามมิติและสองมิติ มีความสัมพันธ
กันอยา งมาก ซึ่งตองใชการสังเกตหาความสัมพันธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพที่มองเห็นจะ
สามารถอธิบายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิ่งที่กําหนดให เมื่อมีการเปลี่ยน

ตําแหนงหรือมุมมองในดานตาง ๆ

100
1.3 การคลีร่ ูปเรขาคณิตสามมติ ิ ภาพที่ไดจ ะเปน ภาพของรูปเรขาคณติ สองมิติ เชน การคลรี่ ูปปริซึม
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

การคลรี่ ปู พีระมดิ ฐานสีเ่ หล่ียม

1.4 การตดั ขวางรปู เรขาคณิตสามมิติ
เม่ือนาํ รูปเรขาคณิตสองมิตมิ าตดั ขวางรูปเรขาคณิตสามมติ ิในแนวตาง ๆ กนั ภาพทเ่ี กิดขึน้ จะ

มลี กั ษณะตาง ๆ กัน เชน
กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวขนานกบั ฐานกรวย จะไดภ าพสองมติ เิ ปนรปู วงกลม

กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวตง้ั ฉากกบั ฐานกรวย จะไดภาพเปนรูปพาลาโบลา

กรวยกลม เมื่อตัดดวยระนาบที่ไมขนานกับฐานและไมตั้งฉากกับฐาน จะไดภาพเปนวงรี