คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (พค31001)

151

บทท่ี 8

ความนา จะเปน

สาระสําคญั

1. การนับจํานวนผลลัพธทัง้ หมดทีเ่ กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ
นับจึงจะทําใหงายและสะดวก รวดเรว็

2. ความนาจะเปน คือ จํานวนที่แสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดขึน้ มาก
หรือนอยเพียงใด สิ่งที่จําเปนตองทราบทําความเขาใจ คือ
- การทดลองสุม (Random Experiment)
- แซมเปลสเปซ (Sample Space)
- เหตกุ ารณ (Event)

3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณนัน้ ๆ กับ
จํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ ซึ่งเปนคาที่จะชวยในการพยากรณหรือการตัดสินใจได

ผลการเรยี นรูท่ีคาดหวงั
1. หาจํานวนผลลัพธทีอ่ าจเกิดขึ้นของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบือ้ งตนเกีย่ วกับการนับและ
แผนภาพตนไมอยา งงา ยได
2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ
เหตกุ ารณท่ีกาํ หนดใหได
3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจ

ขอบขา ยเน้ือหา
เรื่องที่ 1 กฎเบ้อื งตนเก่ยี วกบั การนับและแผนภาพตน ไม
เร่ืองที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ
เร่ืองท่ี 3 การนําความนาจะเปนไปใช

152

1. กฎเบือ้ งตน เกย่ี วกับการนับและแผนภาพตน ไม

ในชีวิตประจําวันของคนเรามีการกระทําหรือการทดลองหลายอยางที่สามารถมีวิธีการที่จะเกิด
ผลลัพธไ ดห ลายวธิ ี การหาจํานวนรูปแบบหรือจาํ นวนวธิ ีทอี่ าจเกิดขึ้นไดจ ากการนบั ท้ังหมด โดยมกี ฎ
เบื้องตนเกี่ยวกับการนับจากการทํางานดังนี้

1. 1. การทํางานทมี่ ี 2 อยา งหรือสองขน้ั ตอน

ถางานอยางแรกมีวธิ ที าํ ได n1 วิธี และในแตล ะวธิ ีทาํ งานอยา งแรกมีวธิ ีท่จี ะทาํ งานอยางท่สี องได
n2 วิธี แลวจาํ นวนวธิ ที ท่ี าํ งานท้งั สองอยางเทา กบั n1 n2 วธิ ี

สามารถเขียนแผนผังการทํางานไดดังนี้

งานอยางที่ 1 งานอยางที่ 2

นบั ได n1 วธิ ี × n2 วธิ ี

จํานวนวิธีทํางานทั้งสองอยาง = n1 × n2 วธิ ี

เพื่อความเขาใจใหงายขึ้นสามารถแจกแจงผลการนบั แตละวิธีไดโดยใช แผนภาพตนไม ดังตัวอยา ง
ตอ ไปน้ี

ตวั อยางท่ี 1 โยนเหรยี ญ 2 อันพรอ มกัน 1 คร้งั เกิดผลลัพธไ ดท ้ังหมดกวี่ ธิ ี
วิธที ํา โยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกัน 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง

เหรียญท่ี 1 เหรียญท่ี 2

จัดได 2 × 2
งานอยา งแรก การเกดิ ของเหรียญที่ 1 เกดิ ได 2 วิธี คืออาจเกดิ หัว (H ) หรอื อาจเกดิ กอ ย
(T ) กไ็ ด และในแตล ะวิธีท่เี กิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มีวธิ ีเกิดเหรียญที่ 2 ไดอ ีก
งานอยางที่ 2 การเกดิ ของเหรยี ญท่ี 2 เกิดได 2 วธิ ี คอื อาจเกดิ หวั (H) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T
)
ดงั น้นั การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกัน 1 ครัง้ เกดิ ได = 2 ×2 = 4 วิธี

153

การโยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกัน เปนการทํางานที่มี 2 อยา งหรอื 2 ขั้นตอน สามารถแสดง
เหตุการณท ่ีเกดิ โดยใชแ ผนภาพตนไมไ ดด งั นี้

เหรยี ญที่ 1 เหรียญที่ 2 เหตุการณท ่ีเกิดข้นึ

นนั่ คือ โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ได 4 วิธี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ

ตวั อยา งที 2 ชายคนหน่งึ มเี ส้อื เชต้ิ ตา งกนั 5 ตวั

และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตัว

วธิ ที ํา เราสามารถใชแ ผนภาพตนไมชว ยในการหาวิธีทั้งหมดที่เปน ไปไดแ สดงไดด งั แผนภาพ
ขา งลา งน้ี

จากแผนภาพตน ไมจ ะพบวา การแตง กายของชายคนนท้ี แ่ี ตกตา งกนั นบั ไดท ง้ั หมด 15 วธิ ี

154

ตวั อยางที่ 3 โยนลูกเตา 2 ลกู พรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ไดทงั้ หมดกีว่ ธิ ี
วิธีทํา โยนลกู เตา 2 ลูกพรอ มกนั 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง

ลกู ท่ี 1 ลกู ท่ี 2

จดั ได 6 × 6
งานอยา งแรก การเกิดของลกู เตา ลูกท่ี 1 ซึง่ มี 6 หนา เกิดได 6 วธิ ี คอื อาจหงายหนา 1 ,
2, 3 …., หรือ 6 )
∴ โยนลกู เตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครง้ั เกิดได = 6 ×6 = 36 วธิ ี
สามารถแจกแจงผลลัพธ ไดด งั นี้
( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6)
( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6)
( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6)
( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6)
( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6)
( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี

1. 2. การทาํ งานทม่ี ี 3 อยา งหรือสามข้ันตอน
การนบั จะมแี นวคิดในทํานองเดียวกัน แตจํานวนขน้ั ตอนในการเขียนแผนภาพตนไม หรอื
การหาผลคูณคารท ีเซียน จะมี 3 งานหรือ 3 ขัน้ ตอนท่ีตองทาํ ตอ เนื่องกัน ดงั ตวั อยา งตอไปน้ี
ตัวอยางท่ี 4 บรษิ ทั รถยนตแหงหนึง่ ผลติ ตวั ถงั รถยนตออกมา 2 แบบ มเี ครือ่ งยนต 2 ขนาด และสี
ตา ง ๆ กัน 3 สี ถาตอ งการแสดงรถยนตใหค รบทุกแบบ ทกุ ขนาด และทุกสี จะตองใชร ถยนตอ ยา ง
นอยทส่ี ุดก่คี นั

วธิ ที ่ี 1 โดยใชแ ผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดงั น้ี 155
การทํางานมี 3 ขน้ั คือ ผลงาน

ข้ันที่ 1 ขนั้ ที่ 2 ขัน้ ท่ี 3
สี
ตวั ถัง เคร่ือง

ดังนนั้ จะตอ งมีรถยนตแ สดงอยางนอ ย 12 คัน จึงจะครบทุกแบบทุกสีทุกขนาด

วธิ ีท่ี 2 โดยใชผลคูณคารท เี ซียน
ให A เปน เซตของตัวถงั รถยนต A = { ถ1 , ถ2 }
B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 }
C เปนเซตของสตี าง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 }

นําตัวถงั และเคร่ืองยนตมาประกอบกันไดด ังน้ี

A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)}
n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ

นาํ ตัวถึงกบั เครื่องทปี่ ระกอบแลว มาทาสีตา ง ๆ

( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ),
(ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )}

N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C)

= n(A) x n(B) x n(C)

= 2 x 2 x 3 = 12

ดงั น้ัน ตองใชร ถยนตแสดงอยา งนอย 12 คัน

156

เม่อื พิจารณาแผนภาพตนไมแ ละวิธกี ารของผลคณู คารท ีเซียนแลว พบวา สามารถหาจํานวนวธิ ี
หรือจํานวนรูปแบบในการทํางานไดเชนเดียวกัน จากหลักการของทั้งสองวิธี จึงสามารถนํามาสรางเปน
กฎเบื้องตนเกี่ยวกับการหาจํานวนวิธีในการทํางานอยางใดอยางหนึ่งได โดยสรุปเปนกฎไดด งั น้ี

สรปุ ข้นั ตอนในการใชกฎการนับแกโ จทยปญหา
1. พจิ ารณาวางานหรือเหตกุ ารณท่โี จทยก ําหนดมานั้นคอื อะไร จดั แบง ออกเปน กี่ข้ันตอนท่ีตอ เน่ืองกนั

2. พิจารณาเงื่อนไขตาง ๆ ท่กี าํ หนดมาในแตล ะขัน้ ตอน บนั ทึกไว
3. หาจํานวนวิธีที่สามารเลือกทํางานไดในแตละขั้น โดยตองเร่มิ จากขั้นท่ีมเี งื่อนไขมากทส่ี ุดกอนแลว จึง
พิจารณาขนั้ อ่ืน ๆ ทีม่ เี ง่ือนไขรองลงมา ตามความสาํ คญั
4. นําจาํ นวนวิธที ีไ่ ดในแตละข้ันตอนคณู กัน จะไดจาํ นวนรูปแบบหรือจํานวนวธิ ที ี่อาจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมด

ตัวอยางท่ี 4 ในการเลอื กต้ังกรรมการชุดหน่ึงจะประกอบไปดว ย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และ
เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดาํ รงตําแหนงไดเพียงตาํ แหนง เดยี วเทาน้ัน ถามผี สู มคั รทงั้ หมด 6 คน

เปนชาย 2 คน เปนหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชดุ นจี้ ะมีไดท ้งั หมดกี่แบบตางกนั โดยท่ี

1. ไมมีเง่ือนไขเพ่มิ เตมิ

2. กําหนดใหประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง

3. กรรมการตองเปนหญิงลวน ๆ
วธิ ีทํา มผี ูสมัคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเ ลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รอง
ประธาน เหรญั ญิก เลขา

1) ไมม เี ง่ือนไขเพิ่มเตมิ แตละคนเปน ไดต ําแหนงเดยี ว

ตําแหนง ประธาน เลอื กได 6 วธิ ี

ตาํ แหนง รองประธาน เลือกได 5 วธิ ี

ตําแหนง เหรญั ญิก เลอื กได 4 วธิ ี

ตําแหนงเลขา เลือกได 3 วธิ ี

ดังนั้น จํานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี

2) กาํ หนดประธานเปน ชาย และเลขาตอ งเปนหญงิ

ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี

ตาํ แหนง เลขาทีเ่ ปน หญิง เลือกได 4 วธิ ี

ตาํ แหนง เหรญั ญกิ (คนท่ีเหลือ) เลอื กได 4 วธิ ี

ตาํ แหนง รองประธาน เลอื กได 3 วธิ ี (คนท่ีเหลอื สุดทา ย )

ดังนั้น จาํ นวนวธิ ใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

157

3) กรรมการตองเปน ผหู ญงิ ลว น ๆ

ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี

ตาํ แหนง เลขาเปน หญงิ เลือกได 4 วธิ ี

ตําแหนง รองประธาน เลือกได 4 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื )

ตาํ แหนง เหรัญญกิ เลอื กได 3 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื )

ดงั น้ัน จํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี0020

ตัวอยา งที่ 5 จากอกั ษรในคาํ วา “ PHYSIC” นํามาสรางคําใหมประกอบดวย 3 อกั ษร ตางกนั
( ไมสนใจความหมายของคําเหลานั้น) โดยที่

1. ไมมีเงื่อนไขเพ่ิมเติม
2. ตองเปนพยัญชนะทั้งหมด
วธิ ที าํ อกั ษรในคําวา PHYSIC เปน สระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทั้งหมด 6 ตวั อักษร

อักษรตัวที่ 1 2 3

1. สรางคําประกอบดวย 3 ตวั อักษร สรางได = 6 × 5 × 4 = 120 วธิ ี
2. มเี งื่อนไขวาตอ งเปนพยญั ชนะทัง้ หมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ี

ตัวอยางท่ี 6
หองประชุมแหง หนง่ึ มี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหองประชุม โดยมีเงื่อนไขตางกัน

ดงั น้ี
1. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา
2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก
3. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยไมซา้ํ ประตกู ัน
4. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยใชประตูเดมิ

วธิ ที ํา ประตูหองประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3
การเดนิ เขา
ออก

1. จาํ นวนวธิ เี ดนิ เขา หอ งประชุม = 3 วธิ ี

2. จาํ นวนวธิ กี ารเดิน เขา - ออก = 3 × 3 = 9 วธิ ี ( ใชประตซู ้ําได)

3. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยไมซ ํา้ ประตูกัน = 3 × 2 = 6 วธิ ี

158

4. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยใชป ระตูเดมิ = 3 × 1 = 3 วธิ ี
ตัวอยางท่ี 7

ครมู ีหนงั สอื 5 เลม แตกตา งกนั ตองการแจกใหนกั เรียน 4 คน จงหาจาํ นวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี
1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม
2. ไมมใี ครไดห นงั สือเกิน 1 เลม
วิธที ํา การแจกหนงั สือตอ งพจิ ารณาการแจกทลี ะเลม

หนงั สอื เลมท่ี 1 2 3 4

1. ไมมีเงอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดงั นน้ั แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี
2. ไมม ใี ครไดเ กิน 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้ํา ไดแลวจะไมแ จกใหอ กี

ดงั นน้ั จะมีวธิ ีแจกหนังสอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธิ ี

159

แบบฝกหัดที่ 1

1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง จงหาจํานวนที่เหรยี ญจะขน้ึ หนาตางๆ โดยวธิ ีเขียนแผนภูมิตนไม

2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดวย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จาํ นวน 5 ขอ

โจทยแ ตล ะขอ มีคําตอบทถี่ กู ตองเพียงหน่ึงตวั เลอื กเทาน้นั แลวจาํ นวนวิธีการตอบคาํ ถามท่ีเปน ไปได

ทง้ั หมดมีก่วี ธิ ี

3. มนี ักเรียน 5 คน ยืนเขา แถวเพ่ือซอ้ื อาหารกลางวันของรานหน่ึง จงหาวา จาํ นวนวิธที ยี่ ืนเขา แถวท่ี

แตกตา งกนั มที ง้ั หมดกีว่ ิธี

4. มีชาย 6 คน หญิง 5 คน ตองการจดั คแู ขงขนั ระหวางชาย 1 คน หญงิ 1 คนในการแขงขันกีฬา

เทนนสิ มีจาํ นวนทั้งหมดก่วี ิธี

5. เพอ่ื น 3 คน นกั กันไปรับประทานอาหารเย็นทภี่ ัตตาคารและ ซือ้ ของท่หี า งสรรพสินคา โดยเลือกที่

จะไปรับประทานอาหารและซื้อของ ซึ่งมีภัตตาคาร 5 แหง และมหี า งสรรพสนิ คา 4 แหง ทง้ั สาม

คนน้จี ะมวี ิธเี ลอื กกระทําดังกลา วไดท้ังหมดกวี่ ธิ ี

6. บริษัทแหงหนึ่งเปดรับสมัครพนักงานเขาทํางาน โดยพิจารณาจากเงื่อนไขคือ เพศชาย หญิงระดับอายุ

มี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลว บริษทั นจี้ ะมวี ิธีการจําแนกผสู มัครไดท ั้งหมดกีว่ ิธี

7. จากการสัมภาษณรับคนเขาทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ิธจี ะคัดเลือกไดพ นักงานหนึ่งคนจากผูเขา

สัมภาษณท ัง้ หมด

8. จงเขยี นแผนภาพตนไมเ พื่อแสดงผลที่เกดิ ข้ึนจากการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 4 คร้ัง จงหาจํานวนวธิ ที ่ี

แตกตา งกนั ในการโยนเหรยี ญครง้ั น้ี โดยที่

1. ไมม หี นา หวั เลย 2. มหี นาหัวเพยี ง 1 ครง้ั

3. มีหนาท้งั 2 ครง้ั 4. มีหนา หัวเพยี ง 3 คร้ัง

5. มหี นา หวั 4 ครัง้

160

2. ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ

ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพือ่ ใชในการ
ตัดสินใจ โอกาสที่เหตุการณนัน้ จะเกิดไดมีมากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิก
ของเหตกุ ารณน้ัน กับจํานวนครงั้ ของการทํางานผูเรยี นจึงตองทราบ และทําความเขาใจ กับคําเหลานี้
1. การทดลองสุม (Random Experiment) คือ การทดลองทีไ่ มสามารถระบุผลลัพธไดอยางแนนอน แต
บอกไดวา ผลลัพธข องการทดลองนัน้ มีโอกาสเกดิ อะไรขึน้ ไดบาง
ตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมทีจ่ ะเกิดขึน้ ได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6
ซึ่งไมสามารถบอกไดวาจะเปนแตมอะไรใน 6 แตม น้ี

ดังน้ันผลลพั ธท ้งั หมดทีจ่ ะเกิดขึน้ คือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตวั อยา งท่ี 2 การหยิบลูกปงปอง 1 ลกู จากกลอง ซ่งึ มี 5 ลกู 5 สี ลกู ปง ปองที่หยิบไดอ าจจะเปน ลกู ปงปอง
สีขาว ฟา แดง เขยี ว หรอื สม

ดังนน้ั ผลลพั ธทงั้ หมดทจ่ี ะเกิดขน้ึ คือ ลูกปงปองสขี าว ฟา แดง เขยี ว หรอื สม

ตวั อยา งที่ 3 จงเขียนผลท่อี าจจะเกิดข้นึ ไดท ้ังหมดในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และเหรยี ญหาสบิ
สตางค 1 เหรยี ญ
วิธีทาํ

ในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ ผลที่อาจเกิดขึน้ คือหวั หรอื กอย ถาให H แทน หวั และ
ให T แทน กอ ย

ในการหาผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการโยนเหรียญบาทและเหรียญหาสิบสตางคอยางละ 1
เหรยี ญ อาจใชแผนภาพชวยไดด ังนี้

161

ฉะนนั้ ถาเราใชคูอ นั ดับเขียนผลท้งั หมดทีอ่ าจเกดิ ข้ึนไดโดยใหส มาชิกตวั หนง่ึ ของคอู ันดบั แทนผล
ที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญบาท สมาชกิ ตัวท่สี องของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดข้นึ จากเหรียญหาสิบ
สตางค จะได

ผลทง้ั หมดท่อี าจจะเกดิ ขนึ้ ได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตที่มีสมาชิกประกอบดวยสิ่งที่ตองการ ทั้งหมด จากการ
ทดลองอยางใดอยางหนึ่ง ( บางครั้งเรียกวา Universal Set ) เขยี นแทนดว ย S
เชน ตวั อยางที่ 4 ในการโยนลูกเตาถาตอ งการดวู าหนาอะไรจะขนึ้ มาจะได

ผลลพั ธทีอ่ าจจะเกิดข้นึ ไดค ือ ลูกเตาขึ้นแตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรอื 4 หรอื 5 หรือ 6
ดังนัน้ แซมเปล สเปซทไ่ี ด คือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
ตวั อยางท่ี 5 จากการทดลองสุมโดยการทดลองทอดลูกเตา 2 ลูก

1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น
วธิ ที ํา 1. เนื่องจากโจทยสนใจแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น ดังนั้นเราตองเขียนแตมของลูกเตาที่มีโอกาส
ที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด และเพื่อความสะดวกให (a , b) แทนผลลัพธท ีอ่ าจจะเกิดขนึ้ โดยท่ี

a แทนแตม ทหี่ งายข้ึนของลกู เตาลูกแรก
b แทนแตม ท่ีหงายข้นึ ของลูกเตาลกู ท่ีสอง
ดังนั้นแซมเปลสเปซของการทดลองสุมคือ
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

162

3. เหตุการณ (event) คือ เซตทเี่ ปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตกุ ารณที่เราสนใจ จากการทดลองสมุ
ตวั อยางท่ี 7 ในการโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครงั้ ถา ผลลพั ธท ่ีสนใจคอื จาํ นวนแตม ท่ีได จะได
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถา ให E1 เปน เหตกุ ารณท ไี่ ดแ ตม ซงึ่ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6}
E2 เปนเหตุการณทไ่ี ดแตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}
ตัวอยา งท่ี 8 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลกู สแี ดง 2 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลูก จงหา
1. แซมเปลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณท่จี ะไดลกู บอลสขี าว

2. แซมเปลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได และเหตกุ ารณที่จะไดลูกบอลเปนสขี าว 1 ลกู สแี ดง

1 ลูก
วิธีทํา 1. เน่ืองจากเราสนใจเกยี่ วกบั สีของลกู บอล และลูกบอลมอี ยูสองสีคือสีขาวและสีแดง
ดงั นน้ั แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง}

สมมตใิ ห B เปน เหตุการณที่จะไดล กู บอลสขี าว

ดังน้นั B = {ขาว}

2. เนื่องจากเราสนใจแซมเปล สเปซของลูกบอลแตละลูกท่ีถูกหยบิ ขน้ึ มา

ดงั นน้ั แซมเปล สเปซ S คือ

S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2}
ให C เปนเหตกุ ารณท ี่ผลลัพธเปน ลกู บอลสีขาว 1 ลกู และ สแี ดง 1 ลูก

ดงั นั้น เหตกุ ารณ C คอื

C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2}
หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง
ตัวอยา งท่ี 10 โยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ 2 คร้ัง จงหาผลลัพธของเหตุการณที่จะออกหัวอยางนอ ย
1 ครั้ง การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ 2 ครัง้

โดยใชแผนภาพตนไม ดงั นี้

163

ผลลพั ธท ัง้ หมดทอ่ี าจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT
นนั่ คอื ผลลัพธของ เหตุการณท่ีจะออกหวั อยา งนอย 1 ครงั้ มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH
4. ความนาจะเปน ของเหตุการณ

ความนาจะเปน ของเหตุการณ คือ จาํ นวนทแี่ สดงใหท ราบวาเหตกุ ารณใดเหตุการณห นึ่งมีโอกาส
เกดิ ขนึ้ มากหรอื นอยเพยี งใด

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใด ๆ เทา กับอตั ราสวนของจาํ นวนเหตกุ ารณทเี่ ราสนใจ (จะใหเ กดิ ข้นึ
หรือไมเกดิ ขึน้ ก็ได) ตอจํานวนผลลัพธท ้งั หมดทอี่ าจจะเกิดขนึ้ ได ซึง่ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั นี้

จํานวนผลลพั ธข องเหตุการณท ีเ่ ราสนใจ
ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลพั ธท ัง้ หมดท ี่อาจจะเกดิ ข้นึ ได

เม่ือผลทงั้ หมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุมแตละตัวมีโอกาสเกดิ ข้ึนไดเ ทา ๆ กนั
กาํ หนดให E แทน เหตุการณท ี่เราสนใจ
P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตุการณ
n(E) แทน จํานวนสมาชิกของเหตุการณ
n(S) แทน จํานวนสมาชกิ ของผลลพั ธทง้ั หมดท่ีอาจจะเกิดขึน้ ได

ดังน้ัน P( E ) = n(E)

n(S )

ตัวอยา งท่ี 1 มีลูกปงปอง 4 ลูก เขียนหมายเลขกํากับไวดังนี้คือ 0, 1, 2, 3 ถา สมุ หยบิ มา 2 ลกู จงหาความ
นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3
วธิ ที าํ ให S เปน แซมเปล สเปซ
S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }

จะได n(S) = 6

E เปน เหตุการณห รือสงิ่ ทโ่ี จทยอ ยากทราบ

E = {(1, 3),(2, 3)}

จะได n (E) = 2 n(E)
n(S )
นน่ั คอื จากสูตรขางบนคือ p(E ) = แทนคา ได P(E) = 2 = 1

63

ความนาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3 เทา กับ 1

3

164

ขอสงั เกต
1. สมาชกิ ทกุ ตัวในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชิกในอยูในแซมเปลสเปซ S
ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S)

2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปล สเปซ S จะไดว า
2.1 0≤P(E)≤1
2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณนั้นตอ งเกดิ ขึ้นแนนอน
ถา P(E)=0 หมายถึงเหตกุ ารณน้นั ตองไมเ กดิ
2.3 ถา S เปน แซมเปล สเปซ จะไดว า P(S)=1

165

แบบฝกหดั ที่ 2

1. จากการทดลองสุมตอไปนี้ จงเขียนแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนั้นๆ
(1) ไดห วั สองเหรยี ญจากการโยนเหรียญสองอนั หน่งึ ครั้ง
(2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรือ 6 จากการโยนลูกเตา สองลูกหนงึ่
ครงั้
(3) หยบิ ไดส ลากหมายเลข 5 หรอื 6 หรือ 7 หรอื 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถงึ
10 กาํ กบั ไว
(4) ไดนักเรยี นทถ่ี นัดมือซายในหอ งเรียนทท่ี า นเรยี นอยู
(5) ไดสลากที่มีรางวัลจากการจับสลากที่ประกอบดวยสลากที่มีรางวัล 3 ใบ และไมมี
รางวัล 7 ใบ
(6) ไดคําตอบจากครอบครัว 3 ครอบครวั วามีจักรเย็บผาใชทั้งสามครอบครัว

(7) ไดลกู บอลสีขาว 2 ลูก สีดาํ 1 ลกู ในการหยบิ ลูกบอล 3 ลกู จากกลองซึ่งบรรจุลกู บอลสี
ขาว 3 ลกู และสดี าํ 2 ลูก

(8) ไดแ ตม ทเ่ี หมอื นกันหรือไดแ ตม 2 จากลูกเตาลกู ใดลูกหนึ่งในการทอดลกู เตา พรอมกัน
สองลูก

(9) ไดห วั และแตม ทม่ี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนงึ่ เหรียญและทอดลูกเตาหน่ึงลกู
หนง่ึ คร้ัง

(10) ไดสีที่ชอบคือ สีฟาหรือสีชมพูจากการสอบถามนางสาวสุชาดาถึงสีของกระดาษ
เช็ดหนาที่ชอบสองสีจากสีทั้งหมด 5 สี คอื ขาว ฟา ชมพู เขียว และเหลอื ง

1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Ε1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }

Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 }

และ Ε4 = { 1, 6, 7 }

จงหาสมาชิกของ S ทีอ่ ยูในเหตกุ ารณต อไปน้ี

(1) Ε1  Ε3 (2) Ε1  Ε2

(3) Ε′3 (4) (Ε′3  Ε4)  Ε2

(5) (S  Ε3 )′ (6) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3

166

2. จากเหตกุ ารณ Ε1 , Ε2 , Ε3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตุการณตอ ไปน้ี

(1) Ε1  Ε′2 (3) (Ε1 Ε3)  Ε2

(2) (Ε1 Ε2)′ (4) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3

3. ในการสาํ รวจอายุของผูปวยแผนกเด็ก (อายไุ มเ กนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง

ถา Ε1 เปน เหตุการณท ผี่ ูปวยมอี ายตุ ง้ั แต 1 ถงึ 9 ป

Ε2 เปนเหตุการณท ผ่ี ูป วยมีอายุนอยกวา 5 ป

และ Ε3 เปนเหตกุ ารณท ี่ผปู วยมอี ายมุ ากกวา 9 ป

จงหา (1) Ε1  Ε2 (3) (Ε1 Ε3 ) Ε2
(2) Ε1  Ε2 (4) Ε2  Ε3

4 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซึง่ มเี ลข 0 ถงึ 9 กํากับอยู ถาสนใจเลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวใ นสลากใบ

ท่จี บั ได โดยให

Ε1 เปน เหตุการณท ี่เลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเ ปนจํานวนคู

Ε2 เปน เหตุการณท่เี ลขที่เขยี นกํากบั ไวเ ปน จาํ นวนค่ี

Ε3 เปนเหตกุ ารณที่เลขท่ีเขียนกํากับไวเ ปนจํานวนเฉพาะ

Ε4 เปนเหตกุ ารณทเ่ี ลขที่เขียนกาํ กับไวเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั

จงเขยี นเหตกุ ารณตอไปนี้ในรปู Ε1 , Ε2 , Ε3 หรอื Ε4 พรอมทั้งแจกแจงสมาชิกเมื่อ

(1) เลขท่ีเขียนกาํ กับไวเปน จํานวนคหู รือคหี่ รือจํานวนเฉพาะ

(2) เลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเปนจํานวนเฉพาะท่ีหารดวย 3 ลงตวั

(3) เลขท่เี ขยี นกาํ กับไวไมเปน จาํ นวนค่ี และไมเ ปนจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตวั

(4) เลขท่ีเขยี นกาํ กบั ไวเ ปนจาํ นวนคูท ่ีเปน จาํ นวนเฉพาะ

167

4. การนําความนาจะเปนไปใช

การนําความนาจะเปนไปใช ตองการใหผูที่ศึกษาทราบวาเหตุการณตางๆนั้นมีโอกาสจะเกิดขึ้น
มาก หรือนอยเพยี งใด เพ่ือชวยในการประกอบการตดั สนิ ใจ เชน

ตวั อยา งที่ 1 ไพสาํ รบั หนงึ่ มี 52 ใบ แบงเปน 2 สี 4 ชนดิ คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกบั ขา วหลามตดั
สีดํา ไดแ ก โพดํากบั ดอกจิก แตล ะชนดิ มี 13 ใบ จงหาความนาจะเปนที่หยิบมา 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรือสี

แดง
วิธที าํ S = ไพทั้งหมดมี 52 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบจะได 52 วธิ ี
ดงั นัน้ n(S) = 52

E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส แี ดงมี 26 ใบ

ดงั น้ัน n(E) = 13 + 26 = 39
n(E)
จากสตู ร p(E) = n(S ) แทนคา ได P(E) = 39 = 3

52 4

ความนาจะเปนที่หยิบไพ 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรอื สีแดง เทากบั 3

4

สรุปไดว า ไพ 1 ใบ แลวไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกดิ ขึน้ 75 % ถือวามโี อกาสเปน ไปไดสูง

ตัวอยางท่ี 2 ในการหยิบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึง่ มีเลข 0 - 9 กาํ กบั อยู จงหาความนาจะเปนที่จะ
หยบิ ไดเ ปน จาํ นวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7
วิธีทํา S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จงึ หยิบได 10 วธิ ี

S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}

n(S)=10
E = สลากที่เปนจํานวนเฉพาะ
E ={2,3,5,7,}

n(E)=4 n(E)
n(S )
จากสตู ร p(E) = แทนคา ได P(E) = 4 = 2

10 5

ความนาจะเปน ที่จะหยบิ ไดเ ปนจํานวนจําเพาะ เทากบั 2

5

สรุปไดว า ความนาจะเปนที่จะหยิบไดเปนจํานวนจําเพาะ มโี อกาสเกดิ ข้ึน 40 % ถือวามโี อกาส

เกดิ ขน้ึ นอย

168

ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครงั้ จงหาโอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13
วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลูกจะมีผลรวมสงู สุดคือ 6 + 6 = 12

โจทยตองการทราบผลรวมของแตมที่จะเปน 13 จงึ เปนเหตุการณท ี่เปนไปไมได
โอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13 เทากับ 0

สรุปไดวา โอกาสที่จะทอดลูกเตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตมเปน 13 น้ัน ไมม ีโอกาสเกดิ ขนึ้ เลย

169

แบบฝกหดั ที่ 3

1. ในการโยนลกู เตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความนา จะเปนของเหตกุ ารณ และสรุปถึงโอกาสท่ีจะเกิดข้ึนวา
มีมากหรือนอ ยเพียงใด

1) ไดแ ตม 4
2) ไดแ ตม คู
3) ไดแตมมากกวา 4
4) ไดแตม นอยกวา 7
5) ไดแ ตม มากกวา 0
6) ไดแตม มากกวา 6 หรือเปนแตม ค่ี
7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. ทอดลูกเตา 2 ลูกสองครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 ในครง้ั แรกและไดแ ตม รวมเปน 10
ในครั้งที่ 2 เทากับเทาใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. ชา งกอสรา งกลุมหนึง่ มี 10 คน ประกอบดวย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถาตอ งการเลือกชาง
7 คน จากกลุมน้ี ความนา จะเปนทีจ่ ะไดช า งปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทากับเทาใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซง่ึ เปน หลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี าํ้ เงนิ 4 หลอด
ซงึ่ เปน หลอดดี 2 หลอด ในการสมุ หยิบหลอดไฟครั้งละ 1 หลอด 2 ครง้ั แบบไมใสค ืน ความนา จะ
เปน ทีจ่ ะไดห ลอดไฟสเี ดยี วกัน และเปน หลอดดีท้งั สองครั้ง มีคา เทา กับเทา ใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
5. กลองใบหนง่ึ มีลกู บอลสีแดง 3 ลูก และสขี าวจํานวนหนึง่ โดยทจี่ าํ นวนวธิ กี ารหยิบลกู บอล 2 ลกู
เปน ลกู บอลสเี หมอื นกนั เทา กบั 9 ถา สุมหยบิ ลูกบอลพรอ มพัน 2 ลูก แลว ความนาจะเปนท่ีจะไดลูก
บอลสีขาวทั้ง 2 ลูกเทากับเทาใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

170

บทที่ 9
การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชพี

สาระสําคัญ
การประกอบอาชีพในสังคมและในกลมุ ประชาคมอาเซียนนั้น มีหลากหลายสาขาอาชีพทั้งในดาน

อุตสาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคิดสรางสรรค และการบริหารจัดการ อาชีพในวงการ
ดงั กลา วลว นมีการใชทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตรเ ขาไปเกยี่ วขอ งเกือบทกุ กลุม อาชพี ซึ่งผเู รยี น
สามารถนําความรูและทักษะที่ไดเรียนคณิตศาสตรในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายมาประยุกตใช

ผลการเรยี นรูท คี่ าดหวงั
1. สามารถวิเคราะหงานอาชีพในสังคมและกลมุ ประชาคมอาเซียนทใี่ ชทักษะทางคณิตศาสตร
2. มีความสามารถในการเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพได

ขอบขา ยเน้ือหา ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
เรื่องท่ี 1 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพในสังคมและ
เร่ืองที่ 2 ประชาคมอาเซียน

171

เร่อื งท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชพี ที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
1.1 กลมุ อาชพี เกษตรกรรม ไดแ ก อาชีพ การทํานา ทําไร การปลกู ผัก การเลยี้ งสตั ว ประมง ฯลฯ

(1) ลกั ษณะงานเบ้อื งตนที่ใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร
1. การสํารวจของตลาดที่จะปลูกพืชเกษตรกรรม
2. การเตรียมพน้ื ท่ดี ิน ซง่ึ ขึน้ อยูกบั ความกวา ง ความยาวของพื้นท่วี า
ผูประกอบการใชพ ื้นทก่ี ี่ไร กง่ี าน กี่ตารางวา ในการทําแปลง ขุดรอง
เพือ่ ใชเปน พ้ืนทนี่ า 1 สวน พื้นที่ปลกู ผกั 1 สว น บอนาํ้ 1 สว น
การเลยี้ งสัตว 1 สว น พืน้ ท่ีอยอู าศัย 1 สว น เปนตน
3. การเตรยี มเมลด็ พันธุขา ว ผัก และพืชพันธอุ นื่ ๆ
4. การเตรยี มปุย วาใชข นาดก่ีกโิ ลกรัมตอไร
5. การรดนํ้า พรวนดนิ ซึ่งตองกําหนดวา รดนาํ้ วนั ละ 2 ครั้ง ในปริมาณมากนอย
เทาไร
6. การฉีดยาฆาแมลงโดยใชสารกําจัดศัตรูพืชทางชีวภาพ เชน สะเดา และ
สมนุ ไพรอืน่ ๆ เปนตน ใชความรูเร่ืองอตั ราสวน สดั สวน เพือ่ ผสมยากาํ จดั
ศตั รูพชื กบั น้ํากอนฉดี พน
7. การเก็บเกีย่ วผลผลติ ซ่งึ ตองใชทักษะการคํานวณระยะเวลาตง้ั แตก ารปลูก
จนถึงระยะการเก็บเกี่ยวผลผลิต

- การตรวจสอบความช้ืนของวัสดแุ ละสถานทเี่ ก็บผลผลิต
- การคํานวณพื้นทีใ่ นการเก็บรกั ษาผลผลิต

8. การจําหนา ยผลผลติ ซ่งึ ตองใชท กั ษะการจดั ทาํ บญั ชีรับ – จา ย
การจดบนั ทกึ จํานวนผลผลติ ทไี่ ด

9. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

172
(2) เคร่ืองมือและเทคโนโลยที ี่ใช

1. เคร่ืองคดิ เลข
2. สมดุ บันทึกรายรบั รายจา ยหรอื คอมพวิ เตอรโนตบุค
3. สมุดจดบันทึกระยะเวลาการเจริญเตบิ โตตง้ั แตการปลกู จนถงึ

การเกบ็ เกย่ี วผลผลิต
(3) ความรูทางคณติ ศาสตรท ใ่ี ช

1. การวัดความยาว การหาพื้นที่
2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพน้ื ทด่ี ิน
3. การช่งั ผลผลิตท่ไี ด
4. การกําหนดราคาขายตอกิโลกรัม
5. การบวก ลบ คูณ หาร เร่ือง คา จางแรงงานและอน่ื ๆ
6. การทําบัญชีรายรับ รายจายประจําวัน
7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
1.2 กลุมอาชีพอุตสาหกรรม ไดแ ก อาชีพพนกั งานในโรงงานอตุ สาหกรรมตางๆ ไดแ ก อุตสาหกรรม
หองเย็น ถว ยชามอปุ กรณเซรามคิ ผาขนหนู กระดาษและสงิ่ พิมพ สแตนเลส เหล็ก พลาสตกิ ปูนซีเมนต ฯลฯ

(1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ที่ใชท กั ษะคณติ ศาสตร
1. การคํานวณเงินรายไดประจําวัน
2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลา
3. การคาํ นวณเงนิ กแู ละดอกเบย้ี คงท่ีหรือดอกเบี้ยทบตน
4. การทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน
5. การจดั ทําบัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบิกจายพสั ดุ)

173
6. การสํารวจและวิจัยการตลาด
7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
(2) เครอ่ื งมือและเทคโนโลยที ่ใี ช
1. เคร่ืองคดิ เลข
2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร
3. เคร่ืองจกั รอตุ สาหกรรมในแตละสาขาอุตสาหกรรม
4. เครื่องบรรจุภัณฑล งกลองหรอื แพค็ เปน พลาสติกหอหมุ
(3) ความรแู ละทักษะทางคณิตศาสตรทใ่ี ช
1. การคาํ นวณเงนิ รายไดป ระจาํ สปั ดาห ประจาํ เดือนโดยหักวนั ลาหยดุ
2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลาเปนจํานวนชั่วโมงตอคาจางรายชัว่ โมง
3. การคํานวณเงินกแู ละดอกเบี้ย (ดอกเบี้ยคงที่, ดอกเบี้ยทบตน)
4. การทําบัญชีรับ – จา ยประจาํ วนั
5. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
1.3 กลมุ อาชีพพาณชิ ยกรรม ไดแก อาชีพคาขาย ผปู ระกอบการรา นอาหารและเครอื่ งดม่ื
ผูประกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกิจการซื้อขายอสังหาริมทรัพย ธรุ กจิ การซอ้ื ขายหุนในตลาด
หลักทรพั ย อาชีพการทําบญั ชี การตลาด เปนตน

(1) ลักษณะงานเบอ้ื งตนทใี่ ชทักษะคณติ ศาสตร
1. การจดั เตรียมสถานท่ี การคาํ นวณการจัดวางโตะ เกาอ้ี หรอื วัสดุอปุ กรณใ น
การขาย
2. การจัดซอื้ วัตถุดิบในการคาขายปลกี หรือขายสง

174

3. การจาํ หนายสินคา การคาํ นวณราคาสินคาตอหนวย การทอนเงนิ
4. การจัดทาํ บัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบิกจายพสั ด)ุ
5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวนั
6. การฝากเงิน การถอนเงิน การออมเงิน
7. การประชาสัมพันธในงานธุรกิจคาขายหรือพาณิชยกรรม ซึ่งตองใชทักษะใน

การคาํ นวณขนาดของปา ยโฆษณา ขนาดตวั อกั ษร ขนาดและจาํ นวนแผน พบั
หรอื ใบปลิวโฆษณา
8. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
(2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช
1. เคร่ืองคดิ เลข
2. เคร่ืองเกบ็ เงิน – ทอนเงนิ
3. เคร่ืองคอมพวิ เตอร
4. เคร่ืองไมโครเวฟ
5. เครื่องปน นา้ํ ผลไม
(3) ความรูและทักษะทางคณติ ศาสตรที่ใช
1. การคาํ นวณขนาดของพ้ืนที่ใชสอยเพ่อื จดั วาง โตะ เกาอห้ี รอื วสั ดุ อปุ กรณใ นการขาย
2. การคํานวณปริมาณการจดั ซ้อื วัตถุดิบในแตล ะวัน
3. การคาํ นวณในการจดั ซ้ือพัสดุ
4. การจัดทําบัญชีรับ – จา ยประจําวนั
5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสัมพันธหรอื แผนพับ แผน ปลวิ โฆษณา
6. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
1.4 กลมุ อาชีพดานความคิดสรา งสรรค ไดแก ธุรกิจโฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตง ท่อี ยอู าศัย
สาํ นักงานและสวนหยอ ม การจดั ดอกไมแ ละแจกันประดับ ธุรกจิ การทาํ พวงหรดี การจดั กระเชา ของขวญั เปนตน

175

(1) ลกั ษณะงานเบ้ืองตนทใี่ ชท ักษะคณิตศาสตร
1. การจัดเตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพื้นที่หรือชิ้นงานในการจัดทําธรุ กิจ
ซึ่งตองใชการวัดความกวาง ความยาว ความสูงของพื้นที่หรือชิ้นงาน
การออกแบบรูปทรงโดยใชรูปเรขาคณิตสามมิติ
2. การคาํ นวณปริมาณของวัสดอุ ุปกรณใ นการใชป ระดิษฐสรางสรรคชิ้นงาน
หรอื การจดั ตกแตง สวนหยอ ม
3. การคํานวณเพื่อกําหนดราคาขายสินคา
4. การจัดทําบัญชพี ัสดุ (การจัดซ้อื การเบิกจายพสั ด)ุ
5. การจัดทําบัญชีรับ – จา ย ประจาํ วัน
6. การประชาสัมพันธในอาชีพธุรกิจทุกประเภท ซึ่งตองใชทักษะในการคํานวณ
เปน พ้ืนฐานในการจัดทาํ แผนปายประชาสัมพนั ธหรอื แผนพับ แผนปลิว
7. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

(2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยีท่ีใช
1. เคร่ืองคดิ เลข
2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร
3. โปรแกรมสําเร็จรูปในการออกแบบสินคา

(3) ความรูและทักษะทางคณติ ศาสตรท ใ่ี ช
1. การคาํ นวณพ้ืนที่ผิว ปริมาตรของพ้นื ที่หรอื ออกแบบรูปทรงท่ใี ชใน
การทํางานอาชีพ
2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณท ี่ใชประดิษฐ สรา งสรรค ช้นิ งาน
3. การคํานวณตนทุนและกําไร เพื่อกําหนดราคาขายสินคา
4. การจัดทําบัญชีพัสดุ (การจัดซือ้ การเบกิ จายพสั ดุ)
5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวัน
6. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

176

1.5 กลมุ อาชีพบริหารจดั การและการบริการ ไดแก อาชีพกลุมงานบริการและการทองเที่ยว
งานบริการรักษาความปลอดภัย บริการดูแลทารกและเด็ก บริการดูแลผูสูงอายุ บริการสันทนาการและ
การกฬี า เปน ตน

(1) ลักษณะงานเบอื้ งตน ทใี่ ชทักษะคณิตศาสตร
1. การสาํ รวจพ้ืนท่ใี นการใหบรกิ าร การคํานวณระยะทางในการใหบริการ
2. การจัดซื้อวัสดุ อุปกรณในการใหบรกิ าร
3. การรับสมัครและกําหนดเงินเดือนตามตําแหนงงานของเจาหนาที่ใน
การใหบ รกิ าร
4. การจัดทําตารางเวลา การอยูเวร - ยามของเจาหนาที่ประจําสํานักงาน
5. การจัดทํากําหนดการทองเที่ยวและการใหบริการ รวมทั้งกําหนดราคาขาย
บริการในแตละพืน้ ท่ี
6. การคํานวณการใชน้ํามันเชื้อเพลิงของยานพาหนะที่ใหบริการ
7. การจัดทาํ บัญชพี สั ดุ และการเบิกจา ยพสั ดุ
8. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจาํ วนั
9. การจัดทําแผนปายโฆษณา ประชาสัมพันธการใหบริการ
10. การจัดทําสรุปรายงานและการนําเสนอขอมูล
11. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

(2) เครือ่ งมือและเทคโนโลยีที่ใช
1. เคร่ืองคดิ เลข
2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร
3. เครื่องออกกําลังกาย
4. อุปกรณในการเตรียมอาหาร น้าํ ดื่ม นมแกทารกเดก็ และผสู งู อายุ
5. ยานพาหนะในการใหบ รกิ าร
6. แผนทีข่ องสถานทห่ี รอื จดุ ท่ีใหบ รกิ าร

177

(3) ความรแู ละทักษะทางคณติ ศาสตรทใ่ี ช
1. การคาํ นวณพนื้ ท่ีและการวัดระยะทาง
2. การคํานวณปริมาณของวสั ดุ อปุ กรณท ี่จําเปนตองจดั ซื้อ จดั หาเพ่ือใหบ ริการ
3. การคํานวณเงนิ เดอื นและกาํ หนดตาํ แหนง งานของเจา หนา ท่ี
4. การจัดทําตารางการปฏิบัติงาน
5. การคํานวณการใชเชื้อเพลิงรถยนตตอระยะทางที่ใหบริการ
6. การจัดทําบัญชีเบื้องตน
7. การใชสถิติในการจัดทําสรุปรายงานหรือนําเสนอขอมูล
8. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

เรือ่ งที่ 2 การนาํ ความรูทางคณติ ศาสตรไปเช่ือมโยงกับงานอาชีพในสงั คมและประชาคมอาเซียน
ในการนําความรูคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพทั้ง 5 กลุมงานอาชีพทั้งกลุมงานอาชีพ

เกษตรกรรม กลุมงานอาชีพอุตสาหกรรม กลุมงานอาชีพพาณิชยกรรม กลุมงานอาชีพความคิดสรางสรรค
และกลุมงานอาชีพดานบริหารจัดการและบริการที่ตองนําทักษะความรูทางคณิตศาสตรมาใชทุกกลุม
อาชีพ เชน การจดั ทาํ บัญชีรายรบั – รายจา ยประจาํ วัน ประจําเดือน การคํานวณเงินคาจาง การคํานวณ
ภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา เปนตน กลุมอาชีพทุกกลุมอาชีพอาจจะใชทักษะความรูคณิตศาสตรตางกัน
ออกไป ดังนั้น ในบทนี้จะนาํ เสนอตัวอยางท่ีเปนทักษะทางคณิตศาสตรท่ีใชกันมากเทา นนั้

2.1 ทกั ษะการจัดทาํ บัญชีรับ - จายประจาํ วัน

ตวั อยางท่ี 1 การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของเกษตรกรปลูกผัก
วันท่ี 10 ตุลาคม 2554 จายคาเมล็ดพนั ธุแ ละปยุ 2,000 บาท คาน้ํา คาไฟ 480 บาท
จายคาอาหาร 200 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 1,500 บาท
วนั ท่ี 12 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 280 บาท จายคาโทรศัพท 590 บาท
จายคา นํา้ มันรถยนต 1,100 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 3,600 บาท
วันที่ 15 ตุลาคม 2554 จายคาหนังสือ 300 บาท จายคาอาหาร 500 บาท จา ยคาน้ําดม่ื 250 บาท
จายคาเสื้อผา 1,800 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 2,200 บาท
วนั ที่ 16 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 300 บาท จายคาบัตรชมภาพยนตร 400 บาท
จายคาถุงพลาติก 480 บาท ไดรับเงินจากการขายผัก 3,000 บาท

178

วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ป รายการจาย จาํ นวนเงนิ
10 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก บาท สต.
12 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก บาท สต.
15 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก 1,500 - 10 ต.ค. 54 คา เมล็ดพนั ธแุ ละปุย 2,000 -
คา น้ํา คา ไฟฟา 480 -
16 ต.ค. 54 รับเงินจากการขายผัก 200 -
รวม คาอาหาร 280 -
590 -
3,600 - 12 ต.ค. 54 คาอาหาร 1,100 -
คาโทรศัพท 300 -
500 -
คานาํ้ มันรถยนต 250 -
1,800 -
2,200 - 15 ต.ค. 54 คา หนงั สอื 300 -
400 -
คาอาหาร 480 -

คานํา้ ดืม่ 8,680 -

คาเสือ้ ผา 1,620 -

3,000 - 16 ต.ค. 54 คาอาหาร
คาบัตรชมภาพยนตร

คาถุงพลาสติก

10,300 - รวม

ยอดคงเหลือยกไป

2.2 ทักษะการคํานวณเงนิ คาจา ง

ตัวอยางท่ี 2 พเยาวเปนพนักงานทําความสะอาดของบริษัทแหง หนง่ึ ซ่ึงกาํ หนดเวลาทาํ งานวนั จันทร

ถงึ วนั เสารไดรบั คา จางเปนรายวัน ๆ ละ 320 บาท พเยาวมีสทิ ธิไดรบั คาจา งในวันหยุด
ตามประเพณีและวันหยุดพกั ผอ นประจําปโ ดยไมต อ งทาํ งาน ในเดือนตุลาคม พเยาวม า
ทํางานทุกวันในวันทํางานตามเวลาทํางานปกติ และวันที่ 1 ตุลาคมตรงกับวันจนั ทรใ น
เดือนน้มี วี ันหยุดตามประเพณี 1 วัน คอื วันที่ 23 ตุลาคม อยากทราบวาในเดือนนี้พเยาว
ไดรับคาจางเทาไร

179

วิธีทาํ
เดือนตลุ าคม

อาทติ ย จนั ทร องั คาร พุธ พฤหสั ศกุ ร เสาร
123456

7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31

เดือนตุลาคม พเยาวไดรับคาจางในวันทํางาน 26 วัน และมีสทิ ธิไดร ับคาจางในวันหยุดตาม
ประเพณี 1 วนั และไดร บั คา จางวนั ละ 320 บาท

ดงั นนั้ พเยาวไ ดรบั คาจา งในเดอื นตุลาคม = (26 + 1) × 320
= 8,640 บาท

2.3 ทกั ษะการคํานวณเงินคานายหนา และเงินปนผล

ตวั อยางท่ี 3 นายสัญชัยเปนตัวแทนขายเครื่องไฟฟา ซึ่งมีราคา 4,500 บาทใหกบั บริษทั แหง หนึ่ง
วธิ ที ํา
บริษัทคิดคานายหนา 10% อยากทราบวา สัญชัยตองสงเงินใหบริษัทเทาไร

บาํ เหนจ็ ตวั แทนในการขาย = 10 × 4,500 = 450 บาท
100
ดงั นน้ั สัญชยั ตองสงเงินใหบริษัท = 4,500 – 450 = 4,050 บาท

ตวั อยา งท่ี 4 ภทั รามหี ุน ปุรมิ สิทธิของบรษิ ัทจําหนา ยเครือ่ งใชไ ฟฟาแหงหนงึ่ จํานวน 150 หุน มูลคา
วธิ ีทาํ
หนุ ละ 100 บาท อัตราเงินปนผล 10% สิน้ ปเขาจะไดร บั เงินปนผลท้งั ส้ินเทาไร

เงินปนผลตอหนุ ของหุนปุรมิ สิทธิ = อัตราเงินปนผล × มูลคาหนุ ปุริมสิทธิ

= 10% × 100

= 10 × 100
100
= 10 บาท

ภัทรามีหุน ปุรมิ สทิ ธิจํานวน 150 หนุ

ดังนัน้ ภทั ราจะไดรบั เงินปนผลทง้ั ส้ิน = 150 × 10

= 1,500 บาท

180

2.4 ทกั ษะการใชส ถิติในการสรปุ รายงานหรอื นาํ เสนอขอมูล

ตวั อยางที่ 4 การสรุปรายงานการดําเนินงานโครงการอบรมคอมพิวเตอรสําหรับพนักงาน
ผลการดาํ เนินงาน
บรษิ ัทนํา้ มันแหงหนึ่งไดจัดทําโครงการอบรมคอมพิวเตอรสําหรับพนักงาน โดยดําเนินการเปน

3 รนุ ดงั นี้

รนุ ที่ โปรแกรมอบรม วนั ท่ีอบรม จํานวนผูเขา อบรม

1 การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Excel 5 – 9 ก.ย. 54 10

2 การใชโ ปรแกรม PhotoShop 12 – 16 ก.ย. 54 10

3 การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Access 19 – 23 ก.ย. 54 10

เมอ่ื ดาํ เนนิ การอบรมและมกี ารประเมินผลการอบรมโดยผูจดั การอบรมไดดาํ เนินการทดสอบ
ความรู ความเขาใจแกพนักงาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลังการอบรม เพ่ือตรวจสอบความกา วหนา
วา ภายหลงั การอบรมพนักงานไดร ับความรเู พม่ิ ขึ้นจากชวงกอนเขารบั การอบรมมากนอยเพียงใด โดย

พจิ ารณาจากคะแนนเฉล่ียของผเู ขารบั การอบรมในแตละรุน ซงึ่ สรปุ ขั้นตอนการคาํ นวณและผลการ
ดาํ เนนิ การไดด งั น้ี

1. นําแบบทดสอบวัดความรู ความเขาใจในเนื้อหาการอบรมใหผูเขาอบรมทุกคนทั้ง 10 คน
ตรวจใหค ะแนนของผูเขา อบรมแตล ะคนวา ไดค นละก่ีคะแนน ซง่ึ แตล ะรนุ แบบทดสอบจะมคี ะแนนเตม็
20 คะแนน เทา กนั ท้งั 3 รนุ แลว นาํ มากรอกคะแนนเปน รายบคุ คลต้งั แตคนท่ี 1 – 10 ลงในแบบบันทึก
คะแนน เพ่ือคาํ นวณคา เฉลย่ี ของคะแนน ( x ) ในแตล ะรนุ ดงั นี้

คะแนนกอนการอบรม คะแนนหลังการอบรม
(คะแนนเตม็ 20 คะแนน) (คะแนนเตม็ 20 คะแนน)
คนท่ี โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ

ที่ 1 ที่ 2 ท่ี 3 ท่ี 1 ที่ 2 ท่ี 3

1 8 9 7 15 14 14

2 7 6 8 14 13 13

3 9 5 9 17 12 15

4 10 7 8 16 15 12

5 7 5 7 15 11 16

6 8 8 6 14 13 14

7 6 7 10 16 12 13

181

8 11 10 9 18 14 15

9 9 6 8 13 12 13

10 10 5 7 14 13 12

คะแนนรวม 85 68 79 152 129 137
ของทงั้ 10 คน

คาํ นวณคะแนน ( x ) = 85 ÷ 10 ( x ) = 68 ÷ 10 ( x ) = 79 ÷ 10 ( x ) = 152 ÷ 10 ( x ) = 129 ÷ 10 ( x ) = 137 ÷ 10
เฉลีย่ โดยนาํ = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7
คะแนนรวม ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน ∴ คะแนน
หารดว ยจํานวน เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลย่ี =
คนทงั้ หมด คอื 8.5 คะแนน 6.8 คะแนน 7.9 คะแนน 15.2 คะแนน 12.9 คะแนน 13.7 คะแนน
10 คน
8.5×100 6.8×100 7.9×100 15.2×100 12.9×100 13.7×100
คาํ นวณรอ ยละ = 20 = 20 = 20 = 20 = 20 = 20
ของคะแนน
เตม็ 20 คะแนน = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.5 %

2. นาํ คะแนนเฉลย่ี ทค่ี าํ นวณไดแ ละผลการคํานวณวา คะแนนเฉลี่ยนั้นคิดเปนรอยละเทาไรของคะแนนเต็ม

จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรุปรายงาน ดังนี้

คะแนนเฉลย่ี ( x ) คะแนนเฉลย่ี ( x )
จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน
โปรแกรมการอบรม คดิ เปนรอ ยละ คดิ เปนรอ ยละ
ของคะแนนเตม็ ของคะแนนเตม็
กอ นการอบรม หลังการอบรม

รุนที่ 1 การใชโ ปรแกรม 8.50 42.50 15.20 76.00
ไมโครซอฟท Excel

รุนที่ 2 การใชโ ปรแกรม 6.80 34.00 12.90 64.50
PhotoShop

รุนที่ 3 การใชโ ปรแกรม 7.90 39.50 13.70 68.50
ไมโครซอฟท Access

จากตาราง พบวา เมือ่ พจิ ารณาจากคะแนนเฉลีย่ ของผูเ ขา รับการอบรมหลงั การอบรมท้ัง 3 รนุ
จะเหน็ ไดวา มคี ะแนนเฉล่ียเพิ่มขนึ้ จากคะแนนเฉลย่ี กอ นการอบรมทกุ รุน กลา วคอื แสดงวา ผเู ขารบั การ

อบรมสวนใหญไดร ับความรู ความเขา ใจเพ่มิ มากข้ึนในเน้ือหาทีบ่ ริษทั ไดจ ัดอบรมใหพนักงาน และพบวา
รุนที่ 1 ไดคะแนนเฉลี่ยมากท่ีสุด คือ ไดคะแนนเฉล่ยี 15.20 คะแนน คดิ เปน รอ ยละ 76.00 ของคะแนนเตม็

รองลงมา คือ รนุ ท่ี 3 ไดค ะแนนเฉลยี่ 13.70 คะแนน คิดเปนรอ ยละ 68.50 ของคะแนนเตม็ สวนรุนท่ี 2 นน้ั
ไดค ะแนนเฉล่ียนอยทสี่ ุด คอื ไดค ะแนนเฉล่ีย 12.90 คะแนน คดิ เปน รอ ยละ 64.50 ของคะแนนเตม็

182

2.5 ทักษะการคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

ตวั อยา ง นายโชคไดรับเงินเดอื น ๆ ละ 28,000 บาท ส้นิ ปสามารถหกั คาใชจ ายไดร อ ยละ 40 ของเงินได
พงึ ประเมิน แตไ มเกนิ 60,000 บาท หกั คาลดหยอนผมู เี งินได 30,000 บาท หกั คา เบ้ยี ประกันชีวติ
25,000 บาท หกั ดอกเบี้ยเงนิ กยู มื เพอื่ ซือ้ บา น 36,450 บาท สน้ิ ปน ายโชคยน่ื แบบแสดงรายการ
ภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมตองชาํ ระภาษหี รือไม ถา ชาํ ระตอ งชาํ ระภาษีเปน เงินเทาไร
วิธีทํา
เงนิ ไดพ งึ ประเมนิ ของนายโชค = 28,000 × 12 = 336,000 บาท
หัก คา ใชจาย รอยละ 40 ของเงนิ ไดพึงประเมิน แตไ มเกิน 60,000 บาท
40
คา ใชจา ย 100 × 336,000 = 134,400 บาท

แตค า ใชจายของนายโชคคาํ นวณได 134,400 บาท แตส ามารถหกั ไดแ ค 60,000 บาทเทา นน้ั
หกั คา ลดหยอ นผมู ีเงนิ ได 30,000 บาท
คาเบีย้ ประกันชีวติ 25,000 บาท
ดอกเบย้ี เงนิ กูยมื เพือ่ ซอ้ื บา น 36,450 บาท
รวมหกั คา ลดหยอนได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท
เงนิ ไดส ทุ ธขิ องนายโชค = เงนิ ไดพ งึ ประเมนิ – (คา ใชจ า ย + หกั คาลดหยอน)

= 336,000 – (60,000 + 91,450)
= 184,550 บาท
ตามตารางอตั ราการเสยี ภาษีเงินไดบ คุ คลธรรมดา เงนิ ไดสุทธิ 0 – 150,000 บาท ไมต องเสยี ภาษี
สวนทเี่ กนิ 150,000 – 500,000 บาท เสยี ภาษี 10%

นายโชคมีเงนิ ไดส ุทธทิ ่ตี อ งเสยี ภาษี = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท
10
= 34,550 × 100 = 3,455 บาท

∴ นายโชคเสยี ภาษี 3,455 บาท

ตารางอตั ราภาษเี งนิ ไดบ คุ คลธรรมดา
เงินไดสทุ ธิ
ขน้ั เงนิ ไดสุทธิตั้งแต จํานวนสูงสดุ เงนิ ไดสุทธิ อตั ราภาษี ภาษีเงนิ ได ภาษใี นแตล ะ ภาษสี ะสม
แตล ะข้ัน รอ ยละ ข้นั เงนิ ได สงู สดุ ของขน้ั
ของขน้ั
0
0 ถงึ 100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... ยกเวน 0
เกนิ 100,000 ถงึ 150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... ยกเวน 35,000
เกนิ 150,000 ถงึ 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 135,000
เกนิ 500,000 ถงึ 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 1,035,000
เกนิ 1,000,000 ถงึ 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000
เกนิ 4,000,000 บาทขน้ึ ไป
.......... … 37 .............. …
รวม
→

183

2.6 การคํานวณในการจัดทําแผน ปายโฆษณาเพ่ือประชาสมั พันธก ารใหบ รกิ าร

ตวั อยา ง ทาํ แผน โฆษณาเชิญชวนการทองเทยี่ วในจงั หวัด โดยมีขนาดแผนโฆษณาทีท่ าํ ดวยแผนไวนลิ
มขี นาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรานคิดคาออกแบบ 400 บาท คาจัดทําตารางเมตรละ

250 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร
วธิ ที าํ พน้ื ทแ่ี ผนไวนิลทีใ่ ชโฆษณา = กวาง × ยาว
= 1.2 × 1.5 = 1.8 ตารางเมตร

คาจดั ทาํ = 1.8 × 250 = 450 บาท

∴ จะตองจายเงนิ ท้งั หมด = คาจัดทํา + คาออกแบบ

= 450 + 400 = 850 บาท

184

แบบฝกหดั ที่ 1
1. ศุภางคเปนพนักงานของโรงงานเย็บเสื้อผาสําเร็จรูปแหงหนึ่ง ซึ่งกําหนดเวลาทํางานตามปกติวันละ

8 ชั่วโมง ไดรบั เงินเดือน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศุภางคมีรายไดวันละเทาไร และศุภางคมีรายได
ชั่วโมงละเทาไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. สุภาพเปนพนกั งานของโรงงานผลิตเครื่องปรับอากาศแหงหนึง่ ซ่งึ กาํ หนดเวลาทาํ งานวนั จันทรถึง
วนั ศุกรไดรับคา จา งเปน รายวนั ๆ ละ 370 บาท สุภาพมสี ิทธิไดรับคาจางในวันหยุดตามประเพณีและ
วันหยุดพักผอนประจําปโดยไมตองทํางานในเดือนธันวาคม สุภาพมาทํางานทุกวันในวันทํางานตาม
เวลาทํางานปกติและวันที่ 1 ธนั วาคม ตรงกบั วันอาทิตยใ นเดอื นนม้ี วี ันหยดุ ตามประเพณี 3 วัน คือ
วนั ที่ 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดือนธันวาคมนี้ สุภาพไดรับคาจางเทาไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

185

3. ธิดาเปนพนักงานของบริษัทแหงหนึ่ง ซึ่งกําหนดเวลาทํางานวันจันทรถึงวันศุกร เวลาทํางานปกติตั้งแต

เวลา 08.00 – 17.00 น. หยุดพกั ระหวา งเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดิ ามรี ายไดเ ดอื นละ 12,000 บาท

ในเดอื นสงิ หาคม วนั ท่ี 1 ตรงกบั วนั จนั ทรแ ละในเดือนนม้ี วี นั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน คอื วันที่ 12

สิงหาคม ธิดามีสิทธิไดรับคาจางในวันหยุดทุกประเภทโดยไมตองทํางาน ในเดือนนี้ธิดามาทํางาน

ทุกวัน ทํางานตามเวลาทํางานปกติ ถานายจางใหธิดามาทํางานในวันหยุดตามประเพณี 1 วนั ไดรบั

คาจางอีก 1 เทา และทาํ งานในวนั เสารไ ดร บั คา จางเพมิ่ เปน 2 เทาของคาจางปกติอกี 4 วนั ระหวา ง

เวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคา ทาํ งานในวนั หยดุ ทง้ั หมดและรายไดท ง้ั หมดของธดิ าในเดอื นสงิ หาคมน้ี

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

4. จงทําบัญชีรายรับ – จายของตัวเองใน 1 สปั ดาห

บัญชีรายรับ – จายของ ...................................................

วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วนั เดือน ป รายการจาย จาํ นวนเงนิ
บาท สต. บาท สต.

186

5. นางอัญชลีเปนตัวแทนขายเครื่องครัวที่มีราคา 45,000 บาท ใหกับบริษัทแหง หน่ึง บริษัทคิดคานายหนา
30% อยากทราบวานางอัญชลีไดเงินคานายหนาเทาไร

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. พจมานถือหุนปุรมิ สิทธขิ องบริษทั ผลติ กระเบื้องแหงหน่งึ จาํ นวน 1,500 หนุ มูลคา หุนละ 160 บาท

อัตราเงินปนผล 5% เมื่อสิ้นปพจมานจะไดเงินปนผลทั้งหมดเทาไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

187

7. สุภัทราเปนพนักงานบริษัทผลิตแชมพูสระผมแหงหนึ่งไดรับมอบหมายจากบริษัทใหทําการสํารวจ
ความนิยมของสขี วดทใ่ี ชบรรจุแชมพูสาํ หรับกลมุ เปาหมายวยั รุน จํานวน 50 คน สภุ ัทราจะดาํ เนนิ การ
อยางไรต้ังแตการสํารวจจนถงึ การนําเสนอขอมูล

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. ศักดิม์ รี ายไดเ ดือนละ 25,000 บาท สิ้นปสามารถหักคาใชจายไดรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน แต

ไมเ กิน 60,000 บาท สามารถหักคาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท หักคา เบย้ี ประกนั ชวี ิต 50,000 บาท
หักคา เบีย้ ประกนั สุขภาพของมารดาของนายศักดิ์ 20,000 บาท สิ้นปนายศักดิ์ยื่นแบบแสดงรายการ
ภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดาตอ งชาํ ระภาษหี รือไม ถาชําระภาษเี ปน เงนิ เทา ไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

188

9. แผน ไวนิลโฆษณาเชิญชวนการบริจาคชวยเหลือผูประสบภัย มีขนาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร
ทางรานคิดคาออกแบบ 500 บาท คาจัดทําตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

189

เฉลยแบบฝกหัด

190

เฉลย บทท่ี 1
ระบบจํานวนจริง

แบบฝกหัดท่ี 1
1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือจาํ นวนอตรรก

ยะ

ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

1 − 9,− 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9, − 7 , 5 2 ,0 ,1 2
23 3, 12 23 2
3 , 12 -13
2 5,−7 7 ,3,12, 5 − 7 7 ,3 ,12 , 5
34 34

3 2.01,0.666...,-13 , 2.01, 0.666, …,-13

4 2.3030030003..., 2.3030030003...

5 − π ,− 1 , 6 , 2 ,−7.5 6 , -7, 5 −1, 6 , -7.5 −π, 2
33 2 3 33 2
25, -17, 3, 25, -17, −12 ,
6 25,−17,− 12 , 9,3,12, 1 π 25, 3 , 12 1π
52 12, 9 5 2
9 , 3, 12

2. จงพจิ ารณาวา ขอ ความตอไปน้เี ปนจริงหรอื เทจ็

1) จรงิ
2) จรงิ
3) เทจ็
4) จรงิ
5) จรงิ
6) เทจ็

191

แบบฝกหัดที่ 2

1. ใหผเู รยี นเติมชองวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กัน
9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5

10. ถา a = b แลว -3a = -3b

11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b

12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5

13. ถา x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 แลว (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

14. ถา x = 3 y แลว 2x = 3y

2

15. ถา x2 + 1 = 2x แลว (x −1)2 = x2 − 2x + 1

16. ถา ab = a + b แลว 1 (ab) = 1 (a + b)

22

2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตามสมบัติใด

1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบัติการสลับที่ของการบวก

2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก
3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบัติการสลับที่ของการบวก
4) (8 × 9) เปน จาํ นวนจรงิ สมบัติปดของการคูณ
5) 5 × 3 = 15 = 3 × 5 สมบัติการสลับที่ของการคูณ
6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง
7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก
8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบัติการสลับที่ของการบวก

9) 4 × (5 + 6) = (4 × 5) + (4 × 6) การแจกแจง
10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง

3 . เซตทีก่ าํ หนดใหใ นแตล ะขอ ตอไปน้ี มีหรือไมมีสมบัติปดของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ

1) { 1 , 3 , 5 } มีสมบัติปดการบวก, การคูณ

2) { 0 } มีสมบัติปดการบวก

3) เซตของจาํ นวนจรงิ มี

4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี

5) เซตของจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตวั มี

192

4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนในแตล ะขอ
1) อินเวอรสการบวกของ 8 คือ -8
2) อนิ เวอรส การบวกของ - 5 คอื 5
3) อนิ เวอรส การบวกของ - 0.567 คอื 0.567

4) อนิ เวอรส การคณู ของ 3 − 2 คอื 1

3− 2

5) อนิ เวอรส การคูณของ 1 คือ 5 − 3

5− 3

193

แบบฝกหัดที่ 3
1. ใหผ เู รียนบอกสมบตั ิการไมเ ทากัน (เม่ือตวั แปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ)

9. ถา x < 3 แลว 2x <6 สมบัติการคูณดว ยจํานวนเทากับที่ไมเทากับศูนย

10. ถา y>7 แลว -2y -14 สมบัตกิ ารคูณดว ยจํานวนเทากบั ท่ีไมเทากับศูนย

11. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 สมบัตกิ ารบวกดวยจํานวนท่ีเทา กัน

12. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก

13. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y สมบัติการถายทอด

14. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 สมบตั ิการบวกดว ยจํานวนที่เทา กัน

15. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) สมบัติการบวกดว ยจาํ นวนทเี่ ทากัน

16. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) สมบตั ิการคูณดวยจํานวนเทา กนั ทไี่ มเทากับศูนย

2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลกั ษณะของชว งของจาํ นวนจริงตอ ไปน้ี
1) (2,7)

2) [3,6]
3) [-1,5)
4) (-1,4]
5) (2, ∞ )

194

6) (- ∞ ,4)
7) (0,8)
8) [-5,4)

195

แบบฝก หัดท่ี 4
เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | x ≤ -2 หรอื x ≥ 2}

-3 < x < 3

เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | -3 < x <3}

เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x |1< x <7}

− X ≤ −5 หรือ − X ≥ 1
X ≥ 5 หรือ X ≤ −1

เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x ≥ 5 หรอื x ≤ -1}

5 – x < 0 หรอื 5 – x > 0 0 ≤ 5–x ≤ 0
-5 ≤ -x ≤ -5
-x < -5 -x > -5 5≥x≥5
x>5 x<5
-8 < 3x – 4 < 8
-1 ≤ 2x – 9 ≤ 1 - 8 +4 < 3x < 8 +4
-1 + 9 ≤ 2x ≤ 1 + 9 -4 < 3x < 12
8 ≤ 2x ≤ 10 −4 < x<4
3
4 ≤x ≤5
|2 – 4x < 0 หรอื 12 – 4x > 0
0 ≤ 6 – 3x ≤ 0 -4x < -12 หรอื – 4x > -12
-6 ≤ -3x ≤ -6 x > 3 หรอื x < 3
2 ≥x ≥ 0

196

แบบฝกหดั ท่ี 1 เฉลย บทที่ 2
เลขยกกาํ ลัง

1. จงบอกฐานและเลขชก้ี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปน้ี

1) ฐานคือ 6 เลขชีก้ ําลงั คือ 3
2) ฐานคือ 1.2 เลขชีก้ ําลังคือ -5
3) ฐานคือ -5 เลขชี้กาํ ลังคือ 0

4) ฐานคือ 1 เลขชี้กําลังคอื 3

2

2. จงหาคาของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี
1) - 1,024

2) 1
625

3) 1.728

4) 27
3. จงทําใหอ ยูในรปู อยางงายและเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเตม็

1. a8

2. 12 = 56 = 15,625
5

3.  2 20

3

4. (1.1)15

5. x10

197

แบบฝก หัดท่ี 2
1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้

1) 5
2) 8
3) -3
4) -5

5) 2

3

6) 2
7) 5
8) − 64 ≠ 8 ไมเ ปนจาํ นวนจรงิ
9) -2
10) 4 −16 ≠ 2 ไมเ ปน จาํ นวนจรงิ

2. จงเขยี นจํานวนตอไปนใี้ หอยูในรูปอยางา ย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n

1) 52 = 5 2) 3 23 = 2

3) 3 (−2)3 = (-2) 4) 5 (−2)5 = (-2)

5) (−3)2 = (-3) 5) 4 (−2)4 = (-2)

6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3

8) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 5

10) 5 15 = 75 = 5 3 11) 3 81 ⋅ 3 32 = 63 12

12) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35

9 93 3

82

198

แบบฝก หดั ที่ 3 3 50 + (6)(5)
1. จงทําจํานวนตอไปนใ้ี หอ ยูในรูปอยางงา ย
15 2 + 30
1) 2x 2
2) 4
3) 2 y 2
4) (-2)
5) 6 2 − 2 + 4 2 = 9 2

6) (3 5)( 10)+ (3 5)(2 5) =

=

7) 3 8a3 = 2a
8) 33 2 × 3 4 = 33 8 = 6

แบบฝกหดั ท่ี 4
1. จงทําจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย

1) 8x2

วิธีทํา 8x2 = 2×2×2×x×x
= 2x 2

2) 3 = 3

3 − 27 3 (− 3)(− 3)(− 3)

วิธีทํา 3

3 − 27

= 3 = -1

(− 3)

3) ( 2 + 8 + 18 + 32)2

วธิ ีทํา ( 2 + 8 + 18 + 32)2 ( )= 2
2+2 2 +3 2+4
2

= (10 )2

2

= (100)(2) = 200

199

4) 5 −32 + 26
3 27 3

(64) 2

5 −32 26 (− 2) + 64
วิธีทํา 3 27 + ( )= 3
3
3 82 2
(64) 2

= (− 2) + 64

3 (8)3

= (− 2) + 1

38

= −16 + 3 = −13

24 24 24

21 ( )2

5) 8 3 ⋅ 18 2 = 23 3 × 18

4 144 6 4 144 6

21 = 4×3

วธิ ที าํ 83 ⋅ 182 24 9

4 144 6 = 23

49

1

6) 3 −125 + 32
3 (−8)2 −1

(27) 2

1

วธิ ีทํา 3 −125 + 32 = (− 5) − 1
3 (−8)2 −1
49
(27) 2

= − 45 − 4 = − 49 = −113
− 36 36 36

200

เฉลย แบบฝก หดั
บทที่ 3 เซต

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) { สมุทรสาคร,สมุทรสงคราม,สพุ รรณบุรี,สรุ นิ ทร,สุราษฏรธานี,สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว,
สระบรุ ี,สิงหบรุ ี}
2) { a,e,i,o,u }
3) { 100,101,…,999}
4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18}
5) { -121,-122,-123,….}
6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14}
7) { φ }
2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้
1) 1
2) 6
3) 24
4) 8
3. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเง่ือนไข
1) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ คูและ 2 ≤ x ≤ 8 }
2) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก }
3) { x | x = x2 เปน จาํ นวนเตม็ ซงึ่ x = 1,2,3,… }
4. จงพิจารณาเซตตอไปนี้ เปนเซตวา งเรอื เซตจาํ กัดหรือเซตอนันต
1) เซตจาํ กดั
2) เซตจาํ กดั
3) เซตอนนั ต
4) เซตวา ง
5) เซตวา ง
6) เซตวา ง
7) เซตจาํ กดั