1 А қтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK
2 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Сәлем, жас түлек! Менің аты – жөнім – Ақтолқын Қойшыбекова. 2017 жылы Ұлттық бірыңғай тестті тапсырып, одан 130 балл алып шықтым. Қазіргі таңда Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің 4 курс студентімін. Бұл кітапты алған болсаң, сені ҚҰТТЫҚТАЙМЫН! Сені алда ГРАНТ күтіп тұрғанына сенімдімін. Бүгіннен бастап, мен саған математикалық сауаттылықты оңай тілде түсіндіріп беремін. Барлық есептің тез шығару жолдарын көрсетемін. Бірақ, бәрін мұқият оқып, дәптеріңе жазып отыруды ұмытпа! Бұл кітап сенің ГРАНТ-қа түсуіңе үлкен септігін тигізетініне сенімдімін. Ал, кеттік, олай болса ... СӘТТІЛІК! Кітапты қалай оқу керек? - Кітапта математикалық сауаттылықтың 23 тақырыбы бар. - Әр тақырыпта өзінің теориясы және практикасы болады. - Ең алдымен, тоериясын жақсылап түсініп ал. - Кейіннен есептерін шығарасың. - Егер шығара алмасаң, әр есептін астында шығару жолдары бар. Соны мұқият қарап, дәптеріңе жазып ал.
3 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK МАЗМҰНЫ МОДА...................................................................................................................5 МЕДИАНА ..........................................................................................................9 ӨЗГЕРІС АУҚЫМЫ .......................................................................................13 АРИФМЕТИКАЛЫҚ ОРТА...........................................................................18 ЗАҢДЫЛЫҚ.....................................................................................................23 ЖАҢА ЛОГИКАЛЫҚ АМАЛ........................................................................31 КӨП САНДАРДЫ КӨБЕЙТУ........................................................................35 ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР...............................................................................38 ЕКІ – ЕКІДЕН ӨЛШЕГЕНДЕ .......................................................................42 ПРОЦЕНТ .........................................................................................................48 ҚОСПА ..............................................................................................................58 АДАМНЫҢ ЖАСЫ.........................................................................................63 КЕСТЕ................................................................................................................68 ЫҚТИМАЛДЫЛЫҚ .......................................................................................76 ШЕҢБЕР ...........................................................................................................87 ПЕРИМЕТР.......................................................................................................94 ФАКТОРИАЛ ................................................................................................. 100 ТЕРУ ФОРМУЛАСЫ.................................................................................... 103 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.................................................................................... 107 ЦИФР ............................................................................................................... 111
4 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK МОДА
5 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK МОДА Мода – ең көп кездесетін сан. Қазір қыздардың қолынан «Louis Vuitton», «Prada», «Michael Kors» сияқты сумкаларды көп көздестіруге болады. Неліктен? Себебі, олар модные сумки. Математикада да дәл солай. Егер сан көп кездессе, ол сол сандық қатардың модасы болып табылады. Сандардың модасын табыңыз: 2,2; 3,6; 5,6; 3,6; 4,2. А) 3,6 В) 4,2 С) 5,2 D) 5,6 Е) 2,2 Шығарылу жолы: 3,6 саны – 2 рет кездеседі. Ал қалған сандар тек бір рет кездеседі. Жауабы: A) 3,6 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,6; 2,0; 2,6; 3,2; 3,8 сандарының модасын табыңыз. A) 2,4 B) 1,6 C) 2,2 D) 2,3 E) 2.0 Шығарылу жолы: 1,6 саны – 2 рет кездеседі. Ал қалған сандар тек бір рет кездеседі. Жауабы: B) 1,6 Нұрбектің екі ай ішінде апта сайын (8 рет) тапсырған байқау сынағында математикадан алған ұпайлары: «21», «24», «22», «23», «24», «24», «23», «25». Нұрбектің екі ай ішінде алған ұпайларының модасы. A) 21 B) 22 C) 25 D) 23 E) 24
6 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: 24 саны – 3 рет кездеседі. Ал қалған сандар тек бір рет кездеседі. Жауабы: E) 24 Шағын маркетте бірнеше сатып алушылардың сатып алған тауарларының саны тіркелді, яғни 11; 11; 18; 13; 17; 13; 14; 14; 13; 18; 17; 18; 13. Тіркелген мәліметтердегі сандардың модасын табыңыз. А) 11 В) 17 С) 14 D) 18 Е) 13 Шығарылу жолы: 13 саны – 4 рет кездеседі. 18 саны – 3 рет кездеседі. 11 саны – 2 рет кездеседі. 14 саны – 2 рет кездеседі. 17 саны – 2 рет кездеседі. Ал қалған сандар тек бір рет кездеседі. Сонда ең көп кездесетін сан – 13 саны. Жауабы: E) 13 Кестеде 10 «А» сынып оқушыларының 10 күндегі сабаққа қатыспағандығы туралы мәлімет берілген. Күндер 2 5 7 12 13 15 17 19 23 29 Сабаққа келмегендер саны 3 2 0 1 2 1 0 2 4 3 Мәлімет бойынша сабаққа келмеген оқушылар санының сәйкесінше модасын табыңыз. А) 0 В) 1 С) 3 D) 4 Е) 2
7 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: Күндер 2 5 7 12 13 15 17 19 23 29 Сабаққа келмегендер саны 3 2 0 1 2 1 0 2 4 3 2 деген сан үш рет кездесті. Яғни, модасы – 2. Жауабы: Е) 2 Дүкеншінің бір күнде сатқан тауарлары кестеде көрсетілген. Ертегілер кітабы Әдеби кітаптар Оқулықтар Географиялық карталар Пән бойынша тест жинақтары 35 12 100 10 25 Сатып алушылар үшін тауарлардың қайсысы мода екенін анықтаңыз. А) әдеби кітаптар В) ертегілер кітабы С) географиялық карталар D) тест жинақтары Е) оқулықтар Шығарылу жолы: Ертегілер кітабы – 35 кітап сатылған. Әдеби кітаптар – 12 кітап сатылған. Оқулықтар – 100 кітап сатылған. Географиялық карталар – 10 кітап сатылған. Пән бойынша тест жинақтары - 25 кітап сатылған. Сонда ең көп кездесетін сатылған кітап – оқулықтар (100 кітап). Жауабы: Е) оқулықтар
8 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK МЕДИАНА
9 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK МЕДИАНА Медиана – тура ортасындағы сан. Медиананы табу үшін: №1. Бүкіл санды өсу ретімен жазу; №2. Тура ортасындағы санды табу. Ескерту. Егер ортасында екі сан тұрса, онда екеуін қосып, екіге бөлесіңдер. Сәуір айының алғашқы аптасында орташа ауа температурасы 15°С, 16°С, 17°С, 18°С, 18°С, 19°С, 20°С -ты көрсеткен. Апта бойынша температураның медианасын табыңыз. A) 20°С B) 17°С C) 18°С D) 16°С E) 19°С Шығарылу жолы: №1. Бүкіл сан өсу ретімен жазылып тұр. 15°С, 16°С, 17°С, 18°С, 18°С, 19°С, 20°С №2. Тура ортасындағы сан - 18°С Яғни, медианасы – 18°С. Жауабы: C) 18°С 1,3; 1,5; 1,7; 0,5; 0,9; 3,2; 2,7; 1,8 сан қатарының медианасын табыңыз: A) 1,8 B) 1,9 C) 1,7 D) 1,6 E) 1,5 Шығарылу жолы: №1. Бүкіл санды өсу ретімен жазамыз. 0,5; 0,9; 1,3; 1,5; 1,7; 1,8; 2,7; 3,2. №2. Тура ортасындағы санды табамыз. Тура ортасында екі сан тұр: 1,5 пен 1,7. Егер ортасында екі сан тұрса, онда екеуін қосып, екіге бөлесіңдер. 1,5+1,7 2 = 1,6 Яғни, медианасы – 1,6. Жауабы: D) 1,6
10 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Кестеде оқушылардың байқау тестінде математикадан жинаған ұпайлары көрсетілген. Оқушылардың алған ұпайларының медианасын анықтаңыз. А) 30 В) 26 С) 34 D) 27 Е) 28 Шығарылу жолы: №1. Бүкіл санды өсу ретімен жазамыз. 20; 24; 25; 26; 28; 30; 30; 34. №2. Тура ортасындағы санды табамыз. Тура ортасында екі сан тұр: 26 мен 28. Егер ортасында екі сан тұрса, онда екеуін қосып, екіге бөлесіңдер. 26 + 28 2 = 27 Яғни, медианасы –27. Жауабы: D) 27 Кестеде бастауыш сынып оқушыларының бір минутта оқыған сөздерінің санына қатысты мәлімет берілген. Қай оқушының оқыған сөздерінің санын барлық оқушылардың 1 минутта оқыған сөздері сандарының медианасы ретінде қабылдауға болатынын табыңыз. А) Әлішер, Толғанай В) Ерлан С) Ұлан D) Сәуле, Арай Е) Нұрлан Шығарылу жолы: №1. Бүкіл санды өсу ретімен жазамыз. 60; 70; 70; 80; 90; 100; 100. №2. Тура ортасындағы санды табамыз. Ол – 80 саны. Яғни, 80 сөзді ҰЛАН оқыған. Жауабы: С) Ұлан
11 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Кестеде 7 ақпан күнгі Астана қаласының ауа райы болжамы көрсетілген. Осы күнгі ауа райы температурасының медианасын анықтаңыз. A) -20°С B) -23°С C) -22°C D) -21°С E) -19°С Шығарылу жолы: №1. Бүкіл санды өсу ретімен жазамыз. -16°С; -16°С; -18°С; -20°С; -22°С; -24°С; -25°С; -27°С; №2. Тура ортасындағы санды табамыз. Тура ортасында екі сан тұр: -20°С пен -22°С; Егер ортасында екі сан тұрса, онда екеуін қосып, екіге бөлесіңдер. 20 + 22 2 = −°С Жауабы: D) -21°С Натурал саннан құралған сандық қатар алты саннан тұрады. Сандық қатардың үшінші мүшесі 10-ға, ал төртінші мүшесі 62-ге тең. Осы сандық қатардың медианасын табыңыз. A) 36 B) 38 C) 50 D) 52 E) 42 Шығарылу жолы: №1. Бізге тек үшінші және төртінші сан берілген. Сондықтан қалған сандарды х деп белгілейміз. х; х; 10; 62; х; х. №2. Тура ортасында екі сан тұр: 10 мен 62. Егер ортасында екі сан тұрса, онда екеуін қосып, екіге бөлесіңдер. 10+62 2 = 36 Жауабы: A) 36
12 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ӨЗГЕРІС АУҚЫМЫ
13 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ӨЗГЕРІС АУҚЫМЫ Өзгеріс ауқымы – ең үлкен саннан ең кіші санды азайту. ӨЗГЕРІС АУҚЫМЫ = ЕҢ ҮЛКЕН САН – ЕҢ КІШІ САН. Оқушының ІІ тоқсанда химия пәнінен алған бағалары 3; 4; 5; 4; 3; 5; 4; 5; 5; 5 берілген. Бағалардың өзгеріс ауқымын табыңыз. A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 1 Шығарылу жолы: №1. Ең үлкен сан - 5. №2. Ең кіші сан – 3. №3. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. − = Яғни, өзгеріс ауқымы – 2. Жауабы: D) 2 Кестеде байқау тест нәтижелерінде алған ұпайлары берілген. Осы оқушылардың ұпайларының өзгеріс ауқымын табыңыз. А) 36 В) 120 С) 54 Д) 42 Е) 128 Шығарылу жолы: №1. Ең үлкен сан - 132. №2. Ең кіші сан – 96. №3. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. − = Яғни, өзгеріс ауқымы – 36. Жауабы: А) 36
14 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Кестеде хауыздағы судың температурасының тәулік барысындағы өзгерісі берілген. Таңертеңнен кешке дейінгі судың температурасының өзгеріс ауқымын табыңыз. A) 250С B) 260С C) 6 0С D) 120С E) 220С Шығарылу жолы: №1. Ең үлкен сан - 28. №2. Ең кіші сан – 22. №3. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. − = Яғни, өзгеріс ауқымы – 6. Жауабы: С) 6 0С Төмендегі графикте жүргізушінің Астана қаласынан Көкшетау қаласына көлікпен жүріп өткен жылдамдығы берілген. Графикке қарап жылдамдықтың өзгеріс ауқымын табыңыз.
15 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK A) 65 B) 80 C) 45 D) 70 E) 50 Шығарылу жолы: Ең үлкен сан – 120. Ең кіші сан – 40. Өзгеріс ауқымын табу үшін екеуін бір-бірінен азайтамыз. 120 – 40 = 80 Жауабы:B) 80 Төмендегі фигурада берілген сандардың өзгеріс ауқымының цифрларының қосындысын табыңыз. A) 13 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16
16 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: №1. Ең үлкен сан - 94. №2. Ең кіші сан – 9. №3. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. − = Яғни, өзгеріс ауқымы – 85. Цифрлары: 8 және 5 Цифрларының қосындысы: + = Жауабы: A) 13 Дене шынықтыру сабағында бір топ оқушылардың 100 м қашықтықты жүгірген уақыт кестесі берілген. Оқушылардың жүгірген уақыттарының өзгеріс ауқымын табыңыз. A) 4,7 с B) 4,3 с C) 4,6 с D) 4,5 с E) 4,4 с Шығарылу жолы: №1. Ең үлкен сан – 18,4. №2. Ең кіші сан – 14,1. №3. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. , − , = , Яғни, өзгеріс ауқымы – 4,3 с. Жауабы: В) 4,3 с
17 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK АРИФМЕТИКАЛЫҚ ОРТА
18 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK АРИФМЕТИКАЛЫҚ ОРТА Арифметикалық орта, орташа ұпай, сандардың орташасы деген – барлығы БІР НӘРСЕ. Арифметикалық ортаны табу үшін: №1. Берілген сандардың барлығын қосамыз. №2. Неше санды қостық, сонша санға бөлеміз. Төмендегі графикте Асанның бір аптада шығарған есептерінің саны көрсетілген. Графикке қарай Асанның осы апта ішінде күніне шығарған есебінің арифметикалық ортасын табыңыз. A) 50 B) 70 C) 60 D) 40 E) 30 Шығарылу жолы: Барлық есептердің санын қосамыз да, 6 күнге бөлеміз. 10+40+20+70+90+70 6 = 50 Жауабы: А) 50
19 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK 10 «А» сыныбының 11 оқушысының бойларын өлшеген кезде мына нәтижелерді алдық: 151; 152; 160; 163; 167; 172; 172; 173; 174; 175; 176 (см). Олардың бойларының арифметикалық ортасын табыңыз. А) 165,9 В) 167,8 С) 165,7 D) 166,8 Е) 165,5 Шығарылу жолы: Барлық оқушылардың бойларын қосамыз да, 11-ге бөлеміз. Себебі, 11 санды қосып жатырмыз. 151+152+160+163+167+172+172+173+174+175+176 11 = 1835 11 = 166,8 Жауабы: D) 166,8 Кестеде 11-сынып оқушысы Рахаттың қыркүйек айынан бастап тапсырған байқау тест нәтижелері берілген. Рахаттың орташа ұпайын табыңыз. А) 114 В) 120 С) 120 D) 120 Е) 118 Шығарылу жолы: Барлық тест нәтижелерін қосамыз да, 7-ге бөлеміз. Себебі, жеті санды қосып жатырмыз. 125+96+115+130+128+132+114 7 = 840 7 = 120 Жауабы: D) 120
20 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Кестеде оқушылардың байқау тестінде математикадан жинаған ұпайлары көрсетілген. Оқушының аты Әлия Гаухар Әсия Ажар Жинаған ұпайы ? 24 30 28 Оқушылардың жинаған ұпайларының арифметикалық ортасы 26 ұпай болса, Әлияның алған ұпайын анықтаңыз. А) 20 В) 22 С) 24 D) 26 Е) 21 Шығарылу жолы: Төрт қыздың баллдарын қосып, 4-ке бөлеміз. Сонда, 26 шығу керек. (Әлияның ұпайын х деп аламыз) х+24+30+28 4 = 26 х + 24 + 30 + 28 = 4×26 х + 82 = 104 х = 104 – 82 х = 22 Жауабы: В) 22 Футбол ойыншыларының футбол алаңында бір ойын уақытында жүгірген қашықтықтары берілген: Роналдо – 14,2 км, Месси – 12,5 км, Рамос – 10,7 км, Пике – 13,6 км, Бензема – 8,3 км. Ойыншылар жүгірген қашықтықтарының арифметикалық ортасы мен өзгеріс ауқымының айырмасын табыңыз. А) 5,88 В) 5,96 С) 5,84 D) 6,36 Е) 6,18
21 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: №1. Арифметикалық ортасын табайық. Барлық ойыншының қашықтықтарын қосып, 5 ойыншыға бөлеміз. 14,2 + 12,5 + 10,7+13,6+8,3 км 5 = 11,86 км №2. Өзгеріс ауқымын табайық. Ең үлкен сан – 14,2 км. Ең кіші сан – 8,3 км. Өзгеріс ауқымын табу үшін бір-бірінен азайтамыз. , − , = , км №3. Арифметикалық ортасы мен өзгеріс ауқымының айырмасын табайық. 11,86 – 5,9 = 5,96 км Жауабы: В) 5,96 Футбол командасындағы 11 ойыншының орта жасы 22-де. Ойын кезінде 1 ойыншы ойыннан шығып қалғаннан кейін, қалған ойыншылардың орта жасы 21 болды. Ойыннан шыққан ойыншының жасы нешеде екендігін анықтаңыз A) 34 B) 30 C) 26 D) 28 E) 32 Шығарылу жолы: №1. Арифметикалық ортасы 22-ге тең. 11 ойыншының жастарының қосындысы 11 = 22 Осы теңдеуден көретініміз: 11 ойыншының жастарының қосындысы = 22×11=242 №2. Ойыннан шығып қалған ойыншының жасын «х» деп белгілейік. 1 ойыншы кетсе, 10 ойыншы қалады. 11 ойыншының жастарының қосындысы − х 10 = 21 242−х 10 = 21 242 – х = 210 х = 242 – 210 х = 32 Жауабы: E) 32
22 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЗАҢДЫЛЫҚ
23 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЗАҢДЫЛЫҚ 1, 4, 9, 16, ... тізбегінің жетінші мүшесін табыңыз. A) 25 B) 64 C) 49 D) 81 E) 36 Шығарылу жолы: №1. Бізге тізбектің жетінші мүшесін табу керек. 1 2 = 1 - бірінші мүшесі 2 2 = 4 - екінші мүшесі 3 2 = 9 - үшінші мүшесі 4 2 = 16 - төртінші мүшесі 5 2 = 25 - бесінші мүшесі 6 2 = 36 - алтыншы мүшесі 7 2 = 49 - жетінші мүшесі Жауабы:C) 49 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... сан тізбегінің келесі санын анықтаңыз. A) 28 B) 34 C) 42 D) 35 E) 37 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: санға алдыңғы санды қосып отырасың. 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 +1 +2 +3 +5 +8 +13 Жауабы:B) 34 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, ... сан тізбегінің келесі мүшесін анықтаңыз A) 6 B) 9 C) 7 D) 10 E) 8
24 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: №1. Мұндағы заңдылық: қызылдарға +2 қосасың; көктерден -1 азайтасың. 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9 +2 -1 №2. Келесі сан қызыл, яғни 2-ні қосасың: 7+2=9 Жауабы:B) 9 32, 37, 47, 58, 71, 79, 95, ... сан тізбегінің келесі санын анықтаңыз. A) 117 B) 111 C) 109 D) 112 E) 115 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: алдыңғы санның цифрларының қосындысын қосасын. 32, 37, 47, 58, 71, 79, 95, 109 (3+2) (3+7) (4+7) (5+8) (7+1) (7+9) (9+5) +5 +10 +11 +13 +8 +16 +14 Жауабы:C) 109 Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 3; 4; 5; 7; 9; 12; 15; ? А) 20 В) 22 С) 19 Д) 18 Е) 21 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: +1, +1, +2, +2, +3, +3, +4 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15 , 19 +1 +1 +2 +2 +3 +3 +4 Жауабы: С) 19
25 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK 3; 6; 4; 8; 6; 12; ... сан тізбегінің заңдылығын анықтап, келесі санын табыңыз A) 14 B) 16 C) 12 D) 11 E) 10 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: 2-ге көбейтесің, 2-ні азайтасың. 3, 6, 4, 8, 6, 12, 10 ×2 -2 ×2 -2 ×2 -2 Жауабы: E) 10 Заңдылықты бұзып тұрған санды табыңыз: 2; 4; 6; 8; 10; 13; 14. А) 10 В) 8 С) 14 D) 2 Е) 13 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: 2-ні қосасың. 2, 4, 6, 8, 10, 13, 14 +2 +2 +2 +2 +2 +2 10-ға 2-ні қосқанда 13 емес, 12 шығады. Сондықтан, 13 саны заңдылықты бұзып тұр. Жауабы: Е) 13 Тізбек 1; 5; 9; х; у; 21 белгілі бір заңдылық бойынша құрастырылған. (х·у) және (х+у) мәнін табыңыз. А) 234; 38 В) 221; 38 С) 234; 30 D) 221; 30 Е) 230; 48
26 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: 4-ті қосу. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 23 +4 +4 +4 +4 +4 +4 Яғни, бізде х = 13, y=17. х·у = 13·17=221 х+у=13+17=30 Жауабы: D) 221; 30 Кестенің құрылу заңдылығын анықтап, сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 11 17 14 15 19 17 13 29 ? A) 20 B) 18 C) 22 D) 19 E) 21 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: алғашқы екі санды қосасың және екіге бөлесің. 11 17 14 15 19 17 13 29 21 (11+17):2=14 (15+19):2=17 (13+29):2=21 Жауабы: E) 21
27 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Кестеде сандар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 20 18 76 43 2 90 50 4 ? А) 102 В) 108 С) 104 Д) 106 Е) 110 Шығарылу жолы: №1. Бұл жердегі заңдылық: алғашқы екі санды қосасың және екіге көбейтесің. 20 18 76 43 2 90 50 4 108 (20+18) · 2= 76 (43+2) · 2=90 (50+4) · 2=108 Жауабы: В) 108 Кестеде сандар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Кестені пайдаланып, А-В айырмасын табыңыз. А) 4 В) 18 С) 6 Д) 10 Е) 8
28 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Заңдылықты анықтап, сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз. А) 22 В) 31 С) 32 Д) 14 Е) 19 Заңдылықты анықтап, сұрақ белгісіне сәйкес келетін жауапты көрсетіңіз. А) 6,6,4 В) 6,5,1 С) 6,3,1 Д) 6,4,1 Е) 6,6,1
29 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Суреттегі ұяшықтар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Бос ұяшықтағы санды табыңыз. A) 5 B) 9 C) 3 D) 11 E) 4 Сандар қандай да бір заңдылық негізінде берілген. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз. A) 304 B) 125 C) 266 D) 186 E) 120 Сандар мен фигуралар белгілі бір заңдылықпен орналасса, онда сұрақ белгісінің орнында қандай сан тұрады? A) 343 B) 512 C) 256 D) 289 E) 484
30 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЖАҢА ЛОГИКАЛЫҚ АМАЛ
31 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЖАҢА ЛОГИКАЛЫҚ АМАЛ Бұл тақырып өте оңай. Бізге бір өрнек беріледі. Соған сандарды қойып, өрнекті шығара саламыз. Мысалы: ∗ = (a−b)+11 b түрінде жаңа логикалық амал берілген болса, 5∗2 өрнегінің мәнін табыңыз. Шешуі: а-ның орнына 5-ті, ал b-ның орнына 2-ні қойып, шығарамыз. ∗ = (a − b) + 11 b 5 ∗ 2 = (5 − 2) + 11 2 = 7 Жаңа логикалық амал ♣ келесі түрде анықталған a♣b=2(5 + 2) болса, онда 5♣2 өрнегінің мәнін есептеңіз. А) 62 В) 60 С) 46 D) 58 E) 38 Шығарылу жолы: №1.Формулаға a-ның орнына 5-ті, b-ның орнына 2-ні қоямыз. a♣b=2(5 + 2) 5♣2=2(5·5 + 2·2) = 58 Жауабы: D) 58 Жаңа логикалық амал Ω келесі өрнекпен анықталған aΩb=3− 2− болса, онда 3Ω1 өрнегінің мәнін табыңыз. А) 1 В) -8 С) 4 D) -1 E) 5 Шығарылу жолы: №1.Формулаға а-ның орнына 3-ті, b-ның орнына 1-ді қоямыз. aΩb = 3− 2− 3Ω1= 3∗3−1 2∗1−3 = 8 −1 = −8 Жауабы:B) -8
32 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Жаңа логикалық амал ◙ келесі өрнекпен анықталған a◙b= 2+ 2 − болса, онда 4◙2=? өрнегінің мәнін табыңыз. А) 10 В) 12 С) 11 D) 8 E) 9 Шығарылу жолы: №1.Формулаға а-ның орнына 4-ті, b-ның орнына 2-ні қоямыз. a◙b= 2+ 2 − 4◙2=4 2+2 2 4−2 = 20 2 = 10 Жауабы:А) 10 Жаңа логикалық амал = 4+4 42+8+4 2 түрінде берілген болса, онда 85 мәнін есептеңіз. А) 12 В) 1 13 С) 1 10 Д) 5 Е) 11 Шығарылу жолы: №1.Формулаға а-ның орнына 8-ді, b-ның орнына 5-ті қоямыз. = 4 + 4 4 2 + 8 + 4 2 85 = 4 ∗ 8 + 4 ∗ 5 4 ∗ 8 2 + 8 ∗ 8 ∗ 5 + 4 ∗ 5 2 = 32 + 20 256 + 320 + 100 = 52 676 = 1 13 Жауабы:B)
33 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Жаңа логикалық амал ۩ келесі өрнекпен анықталған c۩d=(2 + 3): 4 болса, онда 2۩8 өрнегінің мәнін табыңыз. А) 6 В) 7 С) 24 D) 8 E) 9 Шығарылу жолы: №1.Формулаға c-ның орнына 2-ні, d-ның орнына 8-ді қоямыз. c۩d=(2 + 3): 4 2۩8=(2·2 + 3·8): 4 = 7 Жауабы: В) 7 Жаңа логикалық амал ☼ келесі өрнекпен анықталған m☼n= 2+3 3−2 болса, онда 6☼3 өрнегінің мәнін табыңыз. А) 1 2 7 В) 2,4 С) 1 5 11 D) 1,75 E) 2 1 9 Шығарылу жолы: №1.Формулаға m-ның орнына 6-ны, n-ның орнына 3-ті қоямыз. m☼n= 2+3 3−2 6☼3= 2·6+3·3 3·6−2·3 = 21 12 = 1,75 Жауабы: D) 1,75
34 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK КӨП САНДАРДЫ КӨБЕЙТУ
35 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK КӨП САНДАРДЫ КӨБЕЙТУ Егер тек қана тақ сандарды көбейтетін болсаңдар, онда 5-пен аяқталынады. Егер тақ сандарды да, жұп сандарды да көбейтетін болсаңдар, онда 0-мен аяқталынады. P.S. Тақ сан – 2-ге бөлінбейтін сандар Жұп сан – 2-ге бөлінетін сандар. Мысалы: 1∙3∙5∙7∙9∙11∙13 = .... 5 осы сандардың көбейтіндісі 5 цифрымен аяқталынады. Себебі, мұнда тек тақ сандар. Ал, 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = .... 0 осы сандардың көбейтіндісі 0 цифрымен аяқталынады. Себебі, мұнда тақ сандар да, жұп сандар да бар. 91 ∙ 92 ∙ … 98 ∙ 99 көбейтіндісі қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңыз A) 7 B) 4 C) 0 D) 1 E) 5 Шығарылу жолы: №1. Егер тақ сандарды да, жұп сандарды да көбейтетін болсаңдар, онда 0- мен аяқталынады. 91 ∙ 92 ∙ … 98 ∙ 99 = .... 0 Жауабы: C) 0 81∙ 82∙ 83∙ 84∙ ...∙ 89 көбейтінді қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңыз. A) 0 B) 6 C) 5 D) 2 E) 8 Шығарылу жолы: №1. Егер тақ сандарды да, жұп сандарды да көбейтетін болсаңдар, онда 0- мен аяқталынады. 81∙ 82∙ 83∙ 84∙ ...∙ 89 = .... 0 Жауабы: A) 0
36 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK 53∙ 55∙ 57∙ 59∙ ...∙ 123 көбейтінді қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңыз. A) 0 B) 6 C) 5 D) 2 E) 8 Шығарылу жолы: №1. Егер тек қана тақ сандарды көбейтетін болсаңдар, онда 5-пен аяқталынады. 53∙ 55∙ 57∙ 59∙ ...∙ 123 = .... 5 Жауабы: C) 5 1-ден 2010-ға дейінгі барлық тақ сандардың көбейтіндісі қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз: A) 1 B) 8 C) 0 D) 5 E) 6 Шығарылу жолы: №1. Бізге барлық тақ сандардың көбейтіндісі керек. Ал тақ сандарды көбейтетін болсаңдар, онда 5-пен аяқталынады. 1∙ 3∙ 5∙ 7∙ ...∙ 2009 = .... 5 Жауабы: D) 5 1-ден 2019-ға дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісін 5-ке бөлгендегі қалдық A) 4 B) 3 C) 0 D) 2 E) 1 Шығарылу жолы: №1. Бізге барлық натурал сандардың көбейтіндісі керек. Натурал сандарға тақ сандар да, жұп сандар да жатады. Егер тақ сандарды да, жұп сандарды да көбейтетін болсаңдар, онда 0- мен аяқталынады. 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ ...∙ 2019 = .... 0 0-мен аяқталатын сандарды 5-ке бөлгенде 0 қалдық (қалдықсыз) шығады. Мысалы: 800:5=160 Жауабы: C) 0
37 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
38 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР Берілген сандар ішінен өзгеше санды табыңыз. А) 1817 В) 9697 С) 1213 Д) 4142 Е) 2728 Шығарылу жолы: 18→17 (17 емес, 19 деген сан болу керек) осы вариант өзгеше болып тұр. 96→97 12→13 41→42 27→28 Жауабы: А) 1817 Қандай да бір санға 10·11·12 көбейтіндісін қосқанда 2000 шықты. Осы санды табыңыз. А) 2680 В) 680 С) 1680 Д) 780 Е) 880 Шығарылу жолы: Қандай да бір санды х деп алайық. х + 10·11·12 = 2000 х + 1320 = 2000 х = 2000 – 1320 х = 680 Сонда, 680-ге 1320-ны қосқанда 2000 шығады. Жауабы: В) 680 6; 3; 4; 5; 7 сандарынан төменде көрсетілген әр торға бір саннан жазып құрастырғанда бір сан артық қалды. Сол санды табыңыз. А) 4 В) 3 С) 6 Д) 5 Е) 7
39 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: Бос торларға дұрыс теңдік шығатындай сандарды қойып шығу керек. 3 4 5 7 6 деген санды қолданбадық, сол үшін ол артық қалады. Жауабы: С) 6 5...4+6...3 өрнегінде көп нүктенің орнына «қосу» немесе «көбейту» таңбаларын қоюға болады. Берілген өрнектің нәтижесі бола алмайтын санды көрсетіңіз. А) 29 В) 18 С) 27 D) 25 Е) 38 Шығарылу жолы: Көп нүктелердің орнына · немесе + қою керек. 1-жағдай: 5·4+6·3 = 38 2-жағдай: 5·4+6+3 = 29 3-жағдай: 5+4+6·3 = 27 4-жағдай: 5+4+6+3 = 18 25 деген сан өрнектің нәтижесі бола алмайды. Ал басқа сандар өрнектің мәніне сәйкес келіп тұр. Жауабы: D) 25 Мұғалім оқушыға 20 санына дейінгі жай сандардың қосындысын табуды тапсырды. Қосындының мәнін табыңыз. А) 78 В) 77 С) 87 D) 86 Е) 100 Шығарылу жолы: Жай сан – тек қана өзіне және 1-ге ғана бөлінетін сандар. №1. 20-ға дейінгі жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 №2. Осы сандардың қосындысын табу керек: 2+3+5+7+11+13+17+19=77 Жауабы: В) 77
40 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Сейсенбі күні сағат 07:00-де үйінен шығып Рақым осы аптаның жұма күні сағат 18:00-де үйіне оралды. Рақым үйіне неше сағаттан соң оралғанын анықтаңыз. А) 82 В) 84 С) 83 Д) 80 Е) 81 Шығарылу жолы: Сейсенбі 07:00-ден бастап сәрсенбі 07:00-ге дейін 24 сағат өтеді. сейсенбі 07:00 – сәрсенбі 07:00 → 24 сағат өтеді сәрсенбі 07:00 – бейсенбі 07:00 → 24 сағат өтеді бейсенбі 07:00 – жұма 07:00 → 24 сағат өтеді жұма 07:00 – сәрсенбі 18:00→ 11 сағат өтеді Енді бүкіл сағаттарды қосамыз: 24+24+24+11 = 83 сағат Жауабы: С) 83 Төмендегі суретке қарап АВ кесіндінің ұзындығын табыңыз. А) 33 В) 25 С) 30 Д) 32 Е) 35 Шығарылу жолы: №1. Бізде бұл кесінді 8 бөлікке бөлінген. Сонда әр бөлік 3-ке тең. 3 3 3 3 3 3 3 3 №2. АВ кесіндісі сонда 6 см-ге артық: 24+6=30 Жауабы: С) 30
41 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЕКІ – ЕКІДЕН ӨЛШЕГЕНДЕ ...
42 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ЕКІ – ЕКІДЕН ӨЛШЕГЕНДЕ ... Төрт мысықты барлық мүмкін әдістермен екі-екіден өлшегенде салмақтары 7 кг, 9 кг, 11 кг, 6 кг, 8 кг және 10 кг болды. Төрт мысықтың салмақтарының қосындысын табыңыз. A) 20 кг B) 17 кг C) 16 кг D) 18 кг E) 19 кг Шығарылу жолы: x y z t №1. Бізге 4 мысық берілген. Олардың аттары: x, y, z, t. №2. Енді оларды екі-екіден өлшейміз: x + y=7 кг x + z=9 кг x + t=11 кг y + z=6 кг y + t=8 кг z + t=10 кг №3. Жоғарыдағы 6 теңдеуді бір-біріне қосамыз: x + y=7 кг x + z=9 кг x + t=11 кг y + z=6 кг y + t=8 кг z + t=10 кг --------------------------------------------- 3х + 3у + 3z +3t = 51 кг 3 (x + y + z +t) =51 x + y + z +t =17 Төрт мысықтың салмақтарының қосындысы 17-ге тең. Жауабы: B) 17 кг
43 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Төрт балықты екі-екіден өлшегенде массалары 4 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг, 9 кг және 11 кг болды. Барлық балықтың массасы неше килограмм? A) 9 B) 20 C) 12 D) 15 E) 16 Шығарылу жолы: x y z t №1. Бізге 4 балық берілген. Олардың аттары: x, y, z, t. №2. Енді оларды екі-екіден өлшейміз: x + y=4 кг x + z=6 кг x + t=7 кг y + z=8 кг y + t=9 кг z + t=11 кг №3. Жоғарыдағы 6 теңдеуді бір-біріне қосамыз: x + y=4 кг x + z=6 кг x + t=7 кг y + z=8 кг y + t=9 кг z + t=11 кг --------------------------------------------- 3х + 3у + 3z +3t = 45 кг 3 (x + y + z +t) =45 x + y + z +t = 15 Төрт балықтың салмақтарының қосындысы 15-ге тең. Жауабы: D) 15
44 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Төрт қауынды екі-екіден өлшегенде массалары 11 кг, 9 кг, 13 кг, 14 кг, 18 кг және 16 кг болды. Барлық қауындардың массасын табыңыз. A) 28 кг B) 18 кг C) 27 кг D) 26 кг E) 22 кг Шығарылу жолы: №1. Бізге 4 қауын берілген. Олардың аттары: x, y, z, t. №2. Енді оларды екі-екіден өлшейміз: x + y=11 кг x + z=9 кг x + t=13 кг y + z=14 кг y + t=18 кг z + t=16 кг №3. Жоғарыдағы 6 теңдеуді бір-біріне қосамыз: x + y=11 кг x + z=9 кг x + t=13 кг y + z=14 кг y + t=18 кг z + t=16 кг --------------------------------------------- 3х + 3у + 3z +3t = 81 кг 3 (x + y + z +t) =81 x + y + z +t = 27 Төрт қауынның салмақтарының қосындысы 27-ге тең. Жауабы: C) 27 кг
45 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Әке төрт елдің маркасын сатып алды: француз, неміс, болгар және польша. Француз маркасын қоспағанда басқа маркалардың жалпы құны 40 теңге, неміс маркасынсыз – 45 теңге, болгар маркасынсыз – 44 теңге және польша маркасынсыз – 27 теңге. Польша маркасының құны: A) 25 тг B) 30 тг C) 8 тг D) 7 тг E) 12 тг Шығарылу жолы: №1. Француз маркасын қоспағанда басқа маркалардың жалпы құны 40 теңге. Сонда, французды қоспаса, қалған үшеуін (Н-неміс, Б-болгар, П-польша) қосамыз. Сол – 40 теңге: Н + Б + П = 40 №2. Неміс маркасын қоспаса, қалған үшеуінің қосындысы – 45 теңге: Ф + Б + П = 45 №3. Болгар маркасын қоспаса, қалған үшеуінің қосындысы – 44 теңге: Ф + Н + П = 44 №4. Польша маркасын қоспаса, қалған үшеуінің қосындысы – 27 теңге: Ф + Н + Б = 27 №5. Жоғарыдағы 4 теңдеуді бір-біріне қосамыз: Н + Б + П = 40 Ф + Б + П = 45 Ф + Н + П = 44 Ф + Н + Б = 27 --------------------------------------------- 3Ф + 3Н + 3Б +3П = 156 кг 3 (Ф + Н + Б +П) =156 Ф + Н + Б +П = 52 Төрт марканың қосындысы 52-ге тең. №6. Польша маркасын табу керек. 27 теңгені ні соңғы теңдеуге қоямыз. Ф + Н + Б = 27 Яғни, Ф + Н + Б +П = 52 П = 52 – 27 П = 25 теңге. Жауабы: A) 25 тг
46 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Марат пен Санаттың салмағын қосқанда 150 кг, Санат пен Қанаттың салмағын қосқанда 165 кг, Марат пен Қанаттың салмағын қосқанда 155 кг болатыны белгілі. Санаттың салмағы қанша килограмм? A) 65 кг B) 70 кг C) 90 кг D) 85 кг E) 80 кг Шығарылу жолы: №1. Аттарын қысқартып алайық: Марат – М; Санат – С; Қанат – Қ. М + С = 150 кг С + Қ = 165 кг М + Қ= 155 кг №2. Жоғарыдағы 4 теңдеуді бір-біріне қосамыз: 2М + 2С + 2Қ = 470 кг 2 (М + С + Қ) =470 кг М + С + Қ = 235 Марат, Санат және Қанат үшеуінің салмақтарының қосындысы – 235 кг. №3. Санаттың салмағын табу керек. Ол үшін 235 кг-нан (үшеуінің салмағы) 155 кг-ды (М+Қ) азайтып тастаймыз. М + Қ= 155 кг Яғни, М + Қ + С = 235 С = 80 кг Санаттың салмағы 80 килограмм. Жауабы: E) 80 кг
47 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ПРОЦЕНТ
48 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK ПРОЦЕНТ Процентті санға айналдыру. Процентті санға айналдыру үшін оны 100-ге бөлу керек. Мысалы, 100% = 1 50% =0,5 75% =0,75 200% =2 25% =0,25 Санның процентін табу. Санның процентін табу үшін 2 әдіс бар: №1 әдіс. Кез-келген санның процентін табу үшін оны сандық мәніне көбейте саласыңдар. Мысалы, 20 кг картошканың 75%-ін табу керек. 75% = 0,75 20×0,75= 15 кг №2 әдіс. Пропорция арқылы шығару. Алдыңғы есепті пропорциямен шығарайық: 20 кг картошканың 75%-ін табу. 20 кг ол барлық картошка, сондықтан оны 100% деп аламыз. Ал 75%-ін х деп аламыз. Пропорция құрайық. 20 - 100% х - 75% х-ті табу үшін: х = ×% % = кг Ескерту. Пропорцияда проценттің астына процентті жазу керек. Орнын ауыстыруға болмайды. Қосымша ақпарат. Бастапқыда кез-келген зат 100% болады. Егер ол 40%-ға артса, онда 140% болады (100%+40%=140%) Егер ол 75%-ға артса, онда 175% болады (100%+75%=175%) Егер ол 30%-ға кемісе, онда 70% болады (100%-30%=70%) Егер артса, қосасыңдар. Егер кемісе, азайтасыңдар.
49 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Мектепте барлығы 1280 оқушы бар, олардың 15%-ы үздік оқиды. Мектепте неше оқушы үздік оқитындығын анықтаңыз. A) 180 B) 204 C) 178 D) 196 E) 192 Шығарылу жолы: №1.15% -ды сан түрінде жазып аламыз. 15% = 0,15 №2. 1280 оқушыны 0,15-ке көбейтеміз. 1280 × 0,15 = 192 Жауабы:Е) 192 A және B сандары қосындысының 20%-ы 60-қа тең болса, A + B сандарының қосындысын табыңыз. A) 300 B) 360 C) 250 D) 400 E) 200 Шығарылу жолы: №1. Пропорция құрамыз. 60 - 20% А+В – 100% А+В = 60× 100% 20 = 300 Жауабы: A) 300 Пойыздың билетінің бағасы 2080 тг. Оқушыларға арналған билетке 50% жеңілдік жасалса, 3 ересек адам мен 10 оқушы билетке қанша теңгетөледі? A) 18040 тг B) 20620 тг C) 25140 тг D) 16640 тг E) 27040 тг
50 Ақтолқын Қойшыбекова | AQ BOOK Шығарылу жолы: №1.3 ересек адамға кететін ақша: 2080 × 3 = 6240 №2. Оқушыларға 50% жеңілдік жасалса, әр оқушыға кететін билеттің құны: 2080 × 0,5 = 1040 №3.10 оқушыға кететін ақша: 1040 × 10 = 10400 №4. Сонда жалпы кететін ақша: 6240 + 10400 = 16640 Жауабы:D) 16640 Ерлан банкке депозитке 160000 теңгені жылдық 12% үстемемен салды. Бір жылдан кейін депозитте Ерланның қанша ақшасы болатындығын табыңыз. A) 163400 теңге B) 179200 теңге C) 156700 теңге D) 147500 теңге E) 182600 теңге Шығарылу жолы: №1. Депозитке ақша салғанда ол саған +12% қосып береді. Сонда 100%+12%=112%. №2. Енді 160000 тг-нің 112%-ін пропорциямен табамыз. 160 - 100% х – 112% А+В = 160× 112% 100 = 179200 тг Жауабы: B) 179200 теңге 1 литр бензиннің бағасы 140 тг. 20%-ке қымбаттағаннан кейінгі 1 литр бензиннің бағасы қанша болғанын анықтаңыз. А) 154 тг В) 160 тг С) 172 тг D) 168 тг Е) 164 тг