เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 48

(3) หา Q3 ซง่ึ อยู่ในตําแหน่ง............................................อยู่ระหวา่ งคา่ ....................และ....................
ตําแหน่งตา่ งกัน........................................คา่ ของข้อมูลตา่ งกัน........................................

ตาํ แหน่งตา่ งกัน........................................คา่ ของข้อมลู เพิ่มข้ึน........................................

ดงั น้นั Q3 ................................................................................

(4) หา D4 ซง่ึ อย่ใู นตําแหน่ง............................................อยู่ระหว่างคา่ ....................และ....................
ตําแหน่งต่างกัน........................................ค่าของข้อมลู ตา่ งกัน........................................

ตาํ แหน่งต่างกนั ........................................ค่าของข้อมลู เพ่ิมข้ึน........................................

ดังนนั้ D4  ...............................................................................
นัน่ คอื P89  Q3  D4 ...............................................................................

3. ความสงู ของนักเรยี นหอ้ งหนง่ึ จํานวน 30 คน หน่วยเปน็ เซนติเมตร มดี ังน้ี

176 164 168 161 165 182 174 170 169 168

164 154 177 132 185 166 135 149 157 155

165 174 181 176 146 156 159 168 172 179

นักเรยี นท่มี คี วามสูงเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 80 จะมคี วามสูงเทา่ ไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

4. กาํ หนดข้อมลู ดังตารางจงหาควอรไ์ ทลท์ ี่ 3

คะแนน 10 12 16 20 23

จํานวนคะแนน 2 3 4 4 2

วธิ ีทา นําขอ้ มูลมาเรียงจากน้อยไปหามาก

คะแนน ความถ่ี ความถี่สะสม ชว่ งคะแนน

10 2 ………. 1 – 2

12 3 ………. 3 – 5

16 4 ………. 6 – 9

20 4 ………. 10 – 13

23 2 ………. 14 – 15

N = ……….
หาตาํ แหน่ง Q3 คือ ตาํ แหน่งที่…………………………………………………………………………………………………….

เพราะฉะน้ัน ตําแหนง่ Q3 คือ ตําแหนง่ ท่ี………….และเนอื่ งจากคา่ ท่ีอยู่ในตําแหนง่ ท่ี……….เทา่ กบั ..........

ดังนัน้ ควอร์ไทล์ที่ 3 มคี ่าเทา่ กบั .................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 49

5. ความสงู ของนักเรยี นหอ้ งหน่ึงจาํ นวน 30 คน หนว่ ยเปน็ เซนตเิ มตร มดี ังน้ี

176, 164, 168, 161, 165, 182, 174, 170, 169, 168,

164, 154, 177, 132, 185, 166, 135, 149, 157, 155,

165, 174, 181, 176, 146, 156, 159, 168, 172, 179
Q3 Q1
1) จงหาคา่ ของ 

2
2) นักเรียนทมี่ ีความสูงเปน็ เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 80 จะมคี วามสงู เทา่ ไร

3) นกั เรยี นทม่ี ีความสงู เปน็ เดไซล์ท่ี 8 สูงกวา่ นกั เรียนทม่ี ีความสูงเปน็ เดไซล์ท่ี 4 เทา่ กับก่เี ซนติเมตร

วธิ ีทา 1) เรียงความสูงจากน้อยไปมากดงั น้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………......

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
หา Q1 ซง่ึ อยู่ในตําแหน่ง………………………………………………อยู่ระหวา่ งความสงู ............และ.........เซนตเิ มตร
ตําแหนง่ ตา่ งกนั …………………………………ความสูงตา่ งกนั …………………………………เซนติเมตร

ตําแหนง่ ตา่ งกัน…………………………………ความสงู ต่างกัน…………………………………เซนตเิ มตร
ดังนั้น Q1  ……………………………………………………………………เซนตเิ มตร
หา Q3 ซง่ึ อยใู่ นตาํ แหน่ง………………………………………………อยู่ระหวา่ งความสงู ............และ.........เซนตเิ มตร

ตําแหน่งต่างกัน…………………………………ความสงู ตา่ งกนั …………………………………เซนติเมตร

ตําแหนง่ ต่างกนั …………………………………ความสูงต่างกัน…………………………………เซนตเิ มตร
QQ3 3
จะได้ ……………………………………………………………………เซนตเิ มตร
ดงั น้ัน 2 Q1  ………………………………………………………………………………………………

2) นักเรียนที่มีความสงู เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จะมคี วามสงู เท่าไร
หา P80 ซง่ึ อยใู่ นตาํ แหน่ง……………………………………………อยูร่ ะหวา่ งความสูง............และ.........เซนติเมตร

ดังนั้น P80  ………………………………………เซนติเมตร

3) นกั เรยี นท่ีมีความสูงเปน็ เดไซลท์ ี่ 8 สูงกว่านักเรียนท่ีมีความสูงเป็นเดไซลท์ ี่ 4 เท่ากับก่เี ซนตเิ มตร

เน่ืองจากนักเรยี นท่ีมีความสงู เป็นเดไซลท์ ่ี 8 เท่ากบั นักเรียนทมี่ ีความสูงเป็นเปอร์เซ็นไทล์ท่ี..............

เทา่ กับ…………………………เซนติเมตร
หา D4 ซง่ึ อย่ใู นตาํ แหน่ง……………………………………………อย่รู ะหว่างความสูง............และ.........เซนติเมตร
ตําแหนง่ ต่างกนั …………………………………ความสูงตา่ งกนั …………………………………เซนติเมตร

ตําแหนง่ ต่างกัน…………………………………ความสงู ตา่ งกัน…………………………………เซนตเิ มตร
ดงั นัน้ D4  ……………………………………………………………………เซนติเมตร
เพราะฉะนั้น D8  D4 ……………………………………………………………………เซนติเมตร

ดังน้นั นกั เรยี นทมี่ คี วามสูงเป็นเดไซล์ท่ี 8 สูงกว่านักเรียนที่มคี วามสูงเปน็ เดไซล์ที่ 4 เท่ากับ......เซนตเิ มตร

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 50

กจิ กรรม : คา่ เฉลี่ยเลขคณติ

มุมความรู้ การหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของขอ้ มูลที่ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่
X ………………………………………………………………….

1. จากการสอบถามอายุของนสิ ติ กลุ่มหน่ึงจาํ นวน 10 คน ปรากฏว่ามีอายุดังนี้ 20, 20, 19, 21, 19, 19, 22,

21, 19, 20 ปตี ามลาํ ดับ ให้นักเรยี นหาอายุเฉลีย่ ของนสิ ติ

วธิ ีทา ผลรวมของอายุนสิ ติ ท้งั หมดในกลมุ่ นี้ เทา่ กบั

……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..………..…

จะได้วา่ 10  ……………………………………….. และจาํ นวนนิสิตทงั้ หมดในกลุม่ นี้ คอื ………………………

 xi
i1

จากสูตร จะได้ว่า x  …………………………………………….………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นน้ั อายุเฉลย่ี ของนิสติ กลุม่ นี้ เทา่ กับ ………………………………..

2. ใหน้ ักเรยี นสอบถามสว่ นสงู ของเพ่ือนๆ จํานวน 5 คน และหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของส่วนสงู
ชื่อ

สว่ นสูง

วธิ ีทา ผลรวมของส่วนสงู ของเพือ่ นทั้งหมดในกลมุ่ น้ี เท่ากับ

……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

….....…………………………………………………………………………………………………………………………………………....

จาํ นวนเพื่อนทัง้ หมดในกลมุ่ น้ี คือ …………………………

จากสูตร จะได้ว่า x  ………………………………………….…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นัน้ ส่วนสงู เฉลี่ยของเพอื่ นกลมุ่ นี้ เท่ากบั …………………………………..

3. ถ้านํ้าหนักของนักเรียนกลุ่มหน่ึงมี 5 คน คือ 45, 55, 40, 50, และ 42 กิโลกรัม ถ้านักเรียนกลุ่มน้ีมี

สมาชกิ เพิ่มข้ึนอีก 1 คน ค่าเฉล่ียเลขคณิตของนํ้าหนักของนักเรียนทั้ง 6 คนเป็น 50 กิโลกรัม ให้นักเรียน

หานาํ้ หนกั ของนกั เรียนคนทีห่ ก

วิธีทา ผลรวมของนา้ํ หนักของนักเรยี นท้ังหกคน เท่ากบั

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะไดว้ ่า 6  ……………………………………………..

 xi
i1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 51

จํานวนนกั เรยี นทั้งหมดn คอื .................................

ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของนํ้าหนักของนกั เรยี นทั้งหกคน x  คือ …………………………

n

 xi

จากสูตร x  i1 จะได้ว่า ………………………….…………………………………………………………

n

………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดังน้ัน นาํ้ หนกั ของนักเรียนคนท่ีหก คือ ………………………………..

4. ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของนํ้าหนักของนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหนึ่งคนในกลุ่มนี้หนัก
46 กโิ ลกรัม สว่ นอีกสองคนที่เหลอื หนักเท่ากนั อยากทราบว่านกั เรียนสองคนทเี่ หลือหนักคนละกี่กโิ ลกรัม

วธิ ีทา ผลรวมของน้ําหนักของนกั เรยี นทง้ั สามคน เท่ากบั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

จะไดว้ ่า 3  ……………………………………………..

 xi
i1

จํานวนนักเรยี นท้ังหมดn คือ.................................

คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของนา้ํ หนกั ของนกั เรียนทง้ั สามคน  x  คอื …………………………

n

 xi

จากสตู ร x  i1 จะได้วา่ ………………………….…………………………………………………………

n

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดังนั้น นํา้ หนกั ของนกั เรยี นสองคนท่เี หลือ หนกั คนละ………………………………..

กิจกรรม : ค่าเฉลีย่ เลขคณิตถ่วงน้าหนกั

มมุ ความรู้ การหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มูลทไ่ี ม่ไดแ้ จกแจงความถี่คดิ แบบถ่วงน้าหนัก

X …………………………………………………………………..
........ คือข้อมูลตวั ท่ี i, .......คือนํ้าหนักของข้อมูลตวั ที่ i

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 52

1. ผลการสอบของนกั เรียนคนหน่ึงเปน็ ดังน้ี

วิชา คะแนนทีส่ อบได้  x นา้ หนักทใี่ ห้ w wixi 

คณติ ศาสตร์ 60 4

ฟสิ ิกส์ 55 3

เคมี 64 3

ภาษาอังกฤษ 70 1

4 4

 wi   wi xi 

i1 i1

ใหน้ กั เรียนหาคะแนนเฉล่ยี ของนักเรียนคนน้ี

วิธที า จากสูตร จะได้ว่า …………………………………………………………………………………………………………………………..

ดงั นนั้ คะแนนเฉลย่ี ของนักเรยี นคนน้ี คือ …………………………………
2. นักเรียนคนหนึ่งลงทะเบียนเรียน 5 วิชา ได้เกรด A, A, B, B, C โดย A = 4, B = 3 และ C = 2 ให้

นกั เรียนหาคา่ เกรดเฉลย่ี ของนักเรยี นคนนี้ สมมตวิ า่ หนว่ ยกติ และเกรดรายวิชาเป็นดงั นี้
วชิ าที่ 1 2 3 4 5
หน่วยกติ 3 2 3 3 1
เกรด A A B B C

วิธที า
วิชาท่ี xi wi wi xi
1
2
3
4
5

5 5

 wi   wi xi 
i1 i1

จากสูตร จะไดว้ ่า………………….………………………………………………………………………………………………………

ดังนนั้ เกรดเฉลีย่ ของนกั เรียนคนนี้ คือ …………………………………

3. สไปรท์ซอ้ื เงาะ 5 กโิ ลกรัม ราคากิโลกรัมละ 15 บาท มงั คดุ 6 กโิ ลกรัม ราคากิโลกรัมละ 20 บาท ทุเรียน
9 กโิ ลกรัม ราคากโิ ลกรัมละ 25 บาท สไปรท์ซือ้ ผลไม้โดยเฉลี่ยกโิ ลกรัมละเท่าใด

วธิ ีทา

ผลไม้ xi wi wi xi

เงาะ

มังคดุ

ทเุ รยี น

3 3

 wi   wi xi 
i1 i1

จากสตู รจะได้วา่ …………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนน้ั สไปรท์ซื้อผลไม้โดยเฉลีย่ กโิ ลกรมั ละ …………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 53

กิจกรรม : คา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวม

มุมความรู้ การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ รวม

X ……………………………………………………………………..
........... คือคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลชดุ ที่ i,
........... คือจาํ นวนข้อมูลชดุ ท่ี i จากทั้งหมด k ชุด

1. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนโรงเรยี นหนึง่ ปรากฏวา่

นักเรยี นชั้น ม.5/1 จํานวน 40 คน ได้คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั 50 คะแนน

นกั เรียนชั้น ม.5/2 จาํ นวน 30 คน ไดค้ ่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 30 คะแนน

นกั เรียนช้ัน ม.5/3 จํานวน 30 คน ไดค้ า่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากบั 40 คะแนน

ใหน้ กั เรียนหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบของนักเรียนท้ัง 3 ห้องรวมกัน
วิธที า

ชัน้ คะแนนสอบเฉลีย่  xi  จานวนนักเรยี น ni  ni xi
ม. 5/1

ม. 5/2

ม. 5/3

33
 ni 
 ni xi 
i1 i1

จากสูตร จะไดว้ ่า……………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้ัน คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรยี นทั้ง 3 หอ้ งรวมกนั คอื ............................. คะแนน

2. ถ้าความสงู เฉลี่ยของนักเรยี นห้องหนึ่ง ซง่ึ มีจาํ นวน 60 คน มีค่าเท่ากับ 158 เซนติเมตร และความสูงเฉล่ีย

ของนักเรียนชายทั้งหมด ซง่ึ มีจาํ นวน 40 คน มคี า่ เท่ากับ 162 เซนตเิ มตร จงหาความสูงเฉล่ียของนักเรียน

หญิงในหอ้ งน้ี

วธิ ที า

นกั เรยี น xi ni ni xi
ชาย

หญิง

2 2

 ni   ni xi 

i1 i1

คาํ นวณหาความสงู เฉลย่ี ของนักเรียนหญงิ จากสูตร xรวม  .................................. จะได้ว่า
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดังน้ัน ความสูงเฉล่ียของนกั เรียนหญิงในหอ้ งนี้ คือ ............................. เซนตเิ มตร

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 54

3. ผลการสอบย่อยของนักเรียน 3 กล่มุ เปน็ ดงั นี้

กลุม่ ท่ี 1 กลมุ่ ที่ 2 กลมุ่ ที่ 3

คะแนนเฉลย่ี 15 12 13

จํานวนนักเรยี น 10 8 x

ถา้ คะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรเ์ ทา่ กบั 13.4 จาํ นวนนักเรียนกลุ่มที่ 3 มกี ี่คน

วิธที า คาํ นวณหาจํานวนนักเรยี นกลุ่มท่ี 3 n3  จากสตู ร xรวม  .........................................................................

จะไดว้ ่า ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้ัน จํานวนนกั เรียนกลุ่มท่ี 3 เท่ากับ ............................. คน

กิจกรรม : คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ท่ี
แจกแจงความถีแ่ ล้ว

มุมความรู้ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลท่แี จกแจงความถ่ีแลว้
X ………………………………………………………………….

......... คือข้อมลู ตัวท่ี i, ........... คอื ความถ่ีของข้อมูลตวั ที่ i

1. ตารางบันทึกการลาของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่ง ในหน่ึงเดือนที่ผ่านมา ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ของจาํ นวนวันลาของพนกั งานบรษิ ัทแหง่ นี้

จานวนวันลา (วัน) ความถี่

07

1 11

29

32

48

55

รวม

วธิ ีทา จาํ นวนพนกั งานทง้ั หมด n เทา่ กับ ...................................... คน

จากสูตร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้นั คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของจํานวนวนั ลาของพนักงานบรษิ ัทแหง่ น้ี คอื ........................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 55

2. ให้นกั เรยี นหาคา่ เฉลี่ยของขอ้ มลู ต่อไปนี้

ชว่ งคะแนน ความถี่  fi  จุดกึ่งกลางของอนั ตรภาคช้ัน xi  fi xi

0–4 3

5–9 4

10 – 14 10

15 – 19 2

20 – 24 1

5

 fi xi 

i1

วธิ ที า จาํ นวนความถท่ี ั้งหมด n เทา่ กบั ...................................... คน

จากสูตร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้นั ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ี คอื ........................................

3. ตารางแจกแจงความถี่ของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟา้ จํานวน 15 หลอด ดังต่อไปน้ี

อายุ (ช่วั โมง) จาํ นวนหลอดไฟฟ้า  fi  จุดกง่ึ กลางของอันตรภาคชนั้ xi  fi xi

9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

4

 fi xi 

i1

ให้นักเรยี นหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟา้
วธิ ที า จากสูตร จะได้วา่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดังนัน้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้า เท่ากบั ........................................

4. จากโจทย์ข้อ 3)

อายุ (ชว่ั โมง) จํานวนหลอดไฟฟา้

9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

ใหน้ กั เรยี นหาคา่ เฉลย่ี ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟ้า โดยใชว้ ิธกี ารลดทอนคา่ ของข้อมูล

วธิ ีทา เทคนิคคดิ ลดั เพอื่ ลดทอนคา่ ของข้อมลู

หลักการคิด 1. เลือกจดุ กึ่งกลางทีอ่ ยูใ่ นอันตรภาคชนั้ ทีม่ ีความถี่มากทส่ี ุด โดยกําหนดให้เป็น A

อนั ตรภาคชัน้ ทม่ี คี วามถมี่ ากท่สี ดุ คือชว่ งอาย.ุ .........................................

ซ่งึ ไดจ้ ดุ กึง่ กลางของอนั ตรภาคชัน้ เท่ากับ..............................................,

ดังน้นั A  ......................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 56

2. หาคา่ แตกต่าง d  ระหวา่ งจดุ กง่ึ กลางของแต่ละอนั ตรภาคช้ัน xi  กบั คา่ A

โดยท่ี di  ....................................
3. จํานวนหลอดไฟทั้งหมด n เทา่ กบั ............................ หลอด

4. หาค่า k fidi เมอื่ k เป็นจาํ นวนอนั ตรภาคชน้ั


i1

5. แทนค่าลงในสตู ร x  ............................................

6. สรา้ งตารางเพื่อความสะดวกในการหาคา่ x ได้ดงั นี้

อายุ (ชั่วโมง) จํานวนหลอดไฟฟ้า  fi  จดุ กงึ่ กลางของอันตรภาคชนั้ xi  di  xi  A fidi

9 - 11 4
12 - 14
15 - 17 4
18 - 20
5

2

4

 fidi 
i1

จากสตู ร จะได้วา่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดังนั้น ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้า เทา่ กับ ........................................

5. ตารางแจกแจงความถ่ขี องอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้าจาํ นวน 40 หลอด ดังตอ่ ไปนี้

อายุ (ช่วั โมง) จาํ นวนหลอดไฟฟ้า

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

ใหน้ กั เรยี นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้า

1. วธิ ีตรง

อายุ (ช่ัวโมง) จํานวนหลอดไฟฟ้า fi  จุดกึ่งกลางของอนั ตรภาคช้นั  xi  fi xi

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

6

 fi xi 

i1

จากสูตร จะได้ว่า ………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดังนัน้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้า เท่ากบั ........................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 57

2. วธิ ีลดั เลือกจุดกง่ึ กลางทอ่ี ยใู่ นอนั ตรภาคชนั้ ท่ีมคี วามถ่ีมากทสี่ ุด กําหนดให้เปน็ A ดังน้นั A  ................
สรา้ งตารางเพื่อความสะดวกในการหาคา่ x ได้ดังน้ี

อายุ (ช่ัวโมง) จาํ นวนหลอดไฟฟา้  fi  จุดกง่ึ กลางของอนั ตรภาคชน้ั  xi  di  xi  A fidi

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

6

 fidi 

i1

จากสูตร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดงั นน้ั คา่ เฉล่ียเลขคณิตของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟา้ เท่ากบั ........................................

กจิ กรรม : มัธยฐานและฐานนิยม

1. กําหนดใหข้ อ้ มลู ชุดหนงึ่ ประกอบดว้ ย 4, 18, 15, 10, 8, 4, 10, 4, 7
ให้นักเรียนหามธั ยฐานของข้อมลู นี้
1) จากขอ้ มูลขา้ งต้น ข้อมลู ทงั้ หมด มจี ํานวน …………………………………………………………….…
2) เรียงข้อมลู จากค่าน้อยไปหาคา่ มาก ไดด้ ังน้ี……………………………………………………………….
3) ตําแหนง่ ของมัธยฐาน คือ ตําแหนง่ กงึ่ กลางของขอ้ มูลทเี่ รยี งแลว้

ฉะนั้น ตาํ แหนง่ ของมัธยฐาน = n 1 เม่อื n คือจาํ นวนขอ้ มลู ทงั้ หมด

2

จากข้อมูลขา้ งตน้ ตาํ แหนง่ ของมัธยฐาน คอื ………………………………………………………..……
4) มธั ยฐาน คือ คา่ ท่ีอยู่ตาํ แหน่งก่ึงกลางของข้อมลู ท่ีเรียงแล้ว

ดงั นน้ั มัธยฐานของขอ้ มลู ชุดนี้คอื ……………………………………………
ใหน้ กั เรยี นหาฐานนิยมของขอ้ มูลน้ี
1) ค่าของข้อมลู ที่มคี วามถสี่ ูงสุดคอื ............................................มคี วามถ.่ี .............................
2) ฐานนยิ ม คอื คา่ ของขอ้ มลู ท่มี คี วามถีส่ งู สุด

ดังน้นั ฐานนิยมของขอ้ มูลชุดน้คี ือ……………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 58

2. ให้นักเรียนหามัธยฐานและฐานนยิ มของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ ตาแหนง่ ของมัธยฐาน มธั ยฐาน ฐานนยิ ม
ข้อมูล เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก

1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 2
5, 3, 1, 7 11, 9
16, 11, 16, 20, 14, 16
11, 12, 13, 18, 12, 14, 11
29, 18, 19, 21, 18, 29, 19
25, 21, 34, 25, 47, 74, 21,
47, 34, 75
35, 76, 52, 76, 52, 35
76, 45, 69, 28, 32, 45, 76,
32, 69, 28

3. จากแผนภาพต้น – ใบ แทนความสงู ของนกั เรยี นกลุ่มหนงึ่ มีหนว่ ยเป็นเซนตเิ มตร

14 2 4 5 6

15 1 1 2 3 5 8

16 0 0 0 1 3 7

17 0 1 1 2

1) นักเรยี นกลมุ่ น้ี มจี ํานวน............................................คน
2) ความสงู ของนกั เรียนท่ีสงู ทีส่ ดุ คือ.....................ความสูงของนักเรียนทีน่ ้อยทส่ี ดุ คอื ....................

3) ใหน้ ักเรยี นหามธั ยฐานของความสงู ของนักเรยี นกลุ่มนี้
ตําแหน่งของมธั ยฐาน คือ……………………………………………..

ดงั นน้ั มัธยฐานของความสูงของนักเรยี นกลมุ่ น้ี คอื ……………………………………………
4) ใหน้ กั เรยี นฐานนิยมของความสูงของนกั เรยี นกลุ่มนี้

นกั เรยี นส่วนใหญม่ สี ่วนสูง......................เซนตเิ มตร มีนกั เรยี นจํานวน...............คน
ดังนนั้ ฐานนยิ มของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ คอื ……………………………………………

4. จากแผนภาพต้น – ใบ ของขอ้ มลู ทีแ่ สดงจาํ นวนเวลา (นาที) ท่ีนักเรียนใช้ทําแบบทดสอบจํานวน 100 ข้อ
ตอ่ ไปนี้

4 158

5 23345

6 23345

7 11114

8 1389

9 000

1) นกั เรียนกลุม่ นี้ มีจาํ นวน............................................คน
2) เวลามากทส่ี ดุ คอื ................................นาที เวลาน้อยทส่ี ุดคือ................................นาที
3) ให้นกั เรียนหามธั ยฐานของขอ้ มลู ชดุ นี้

ตําแหน่งของมธั ยฐาน คือ……………………………………………..
ดงั นนั้ มัธยฐานของข้อมูลชดุ น้ี คือ……………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 59

4) ใหน้ กั เรียนฐานนิยมของความสงู ของนักเรยี นกลุ่มนี้
เวลาท่นี กั เรียนสว่ นใหญท่ าํ แบบทดสอบคือ.........................นาที
มีนักเรยี นจาํ นวน.......................คน

ดังนัน้ ฐานนิยมของข้อมลู ชดุ น้ี คือ……………………………………………

กจิ กรรม : ขอ้ สงั เกตและหลกั เกณฑ์ในการ
ใชค้ า่ กลางชนิดต่างๆ

มุมความรู้ ข้อสังเกตและหลักเกณฑท์ ส่ี าคัญในการใชค้ ่ากลางชนดิ ตา่ งๆ
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณติ เป็นค่ากลางทีไ่ ด้จากการนําทุกๆ คา่ ของข้อมูลมาเฉล่ยี มธั ยฐาน

เป็นค่ากลางท่ใี ช้ ตําแหนง่ ที่ของข้อมลู
และฐานนยิ มเป็นค่ากลางทไี่ ด้จากข้อมูลที่มีความถ่ีมากทส่ี ดุ
2. ถ้าในจาํ นวนข้อมลู ทัง้ หมด มีข้อมลู บางคา่ ท่ีมคี า่ สูงหรือตํา่ กวา่ ขอ้ มลู อื่นๆ มาก
จะมผี ลกระทบต่อคา่ เฉลยี่ เลขคณติ แต่จะไม่มีผลกระทบต่อมัธยฐานหรอื ฐาน
นยิ ม
3. มธั ยฐานและฐานนิยมใชเ้ ม่ือต้องการทราบค่ากลางของขอ้ มูลทง้ั หมด
โดยประมาณและรวดเร็ว
4. ค่าเฉลีย่ เลขคณิตไม่สามารถหาไดใ้ นกรณีการแจกแจงความถข่ี องข้อมลู มี อันตร
ภาคช้นั ชัน้ ใดชั้นหนงึ่ เปน็ อนั ตรภาคชน้ั ทมี่ ชี ว่ งเปิด แตส่ ามารถหามัธยฐานและ
ฐานนยิ มได้
5. การแจกแจงความถ่ที ม่ี ีความกว้างแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันไม่เทา่ กนั จะทําให้ ค่าเฉลย่ี
เลขคณติ หรือฐานนยิ มคลาดเคลอื่ น แตจ่ ะไม่กระทบต่อมัธยฐาน
6. ขอ้ มลู ประเภทคุณภาพจะหาฐานนิยมได้ แตไ่ ม่สามารถหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ หรือ
มธั ยฐานได้

1. ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาว่าข้อมูลท่ีกําหนดให้เหมาะกับค่ากลางชนิดใด แล้วเติมคําตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อ

ตอ่ ไปนีใ้ หถ้ ูกตอ้ ง

ข้อ ขอ้ มูลที่กาหนด คา่ กลางทีเ่ หมาะสม เหตผุ ล

1 34, 1, 23, 80, 9

2 คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์

3 อาชีพของผู้ปกครองนักเรยี น

4 รายได้ของผู้ปกครองนักเรยี น

5 71, 83, 85, 86, 90, 88, 88, 78

6 2, 19, 70 8, 35,

7 ข้อมูลเกี่ยวกบั เบอร์รองเท้า

8 นํ้าหนกั ของนกั เรียนชน้ั ม.4/2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 60

2. ให้นกั เรยี นบอกข้อดี ขอ้ เสยี ของ ค่าเฉลีย่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยม

ชนดิ ของค่ากลาง ขอ้ ดี ขอ้ เสยี

1. ………………………………................. 1. ……………………………….…………….
……………………………………………….…. ………………………………………..…………
ค่าเฉลยี่ เลขคณิต 2. ………………………………….…………. 2. ……………………………….…………….
 x  ………………………………………………….. ………………………………………..…………
3. ………………………………………….…. 3. ……………………………….…………….
……………………………………………….… ………………………………………..…………

มธั ยฐาน 1. ………………………………................. 1. ……………………………….................
 Me  ……………………………………………….…. ……………………………………………….….
2. ………………………………….…………. 2. ………………………………….………….
………………………………………………….. …………………………………………………..

3. ………………………………………….….
………………………………………………..…

ฐานนยิ ม 1. ………………………………................. 1. ……………………………….................
Mod  ……………………………………………….…. ……………………………………………….….
2. ………………………………….…………. 2. ………………………………….………….
………………………………………………….. …………………………………………………..
3. ………………………………………….…. 3. ………………………………………….….
……………………………………………….… ……………………………………………….…

With MATH, The Possibilities Are Infinite.

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 61

แบบฝกึ เสรมิ : การวัดคา่ กลางของขอ้ มูล

มมุ ความรู้ 1. การหาค่าเฉลยี่ เลขคณิต

ลักษณะข้อมูล สตู ร
ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่
X  ……………………………………………………………………………..…

ไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี X  ……………………………………………………………………………..…
คดิ แบบถ่วงนํา้ หนัก

คา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวม ......... คือขอ้ มลู ตัวที่ i, ....... คอื น้าํ หนกั ของข้อมูลตัวท่ี i

X  ……………………………………………………………………………..…

แจกแจงความถ่ี .......... คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมลู ชุดท่ี i,
.......... คือจาํ นวนข้อมูลชดุ ที่ i จากทั้งหมด k ชดุ

X  ……………………………………………………………………………..…

........ คือข้อมลู ตัวท่ี i, ......... คอื ความถีข่ องขอ้ มูลตัวที่ i

2. มัธยฐาน คือ ..............................................................
3. ฐานนิยม คือ .............................................................

1. ใหน้ กั เรยี นหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ มธั ยฐาน ฐานนิยม ของข้อมูลต่อไปนน้ี ี้
1) 1, 3, 3, 3, 5
ค่าเฉลี่ยคือ........................... มัธยฐานคอื ........................... ฐานนิยมคือ...........................
2) 1, 1, 2, 5, 6
ค่าเฉลี่ยคือ........................... มธั ยฐานคือ........................... ฐานนยิ มคือ...........................
3) 1, 1, 1, 2, 5
คา่ เฉลย่ี คือ........................... มัธยฐานคือ........................... ฐานนิยมคือ...........................
4) 1, 1, 3, 5, 10
ค่าเฉลี่ยคือ........................... มธั ยฐานคอื ........................... ฐานนิยมคือ...........................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 62

2. ใหน้ กั เรยี นหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรต์ ่อไปน้ี

1) 10, 20, 30, 40, 50, … , 100

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … , 97

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลชุดหน่ึงซ่ึงประกอบด้วยข้อมูล 7 ข้อมูล มีค่า 81 ถ้าตัดข้อมูลออกไป 1 ข้อมูล

ทําใหค้ า่ เฉล่ยี ของขอ้ มลู ชดุ นีเ้ หลือ 78 ข้อมูลทถ่ี ูกตดั ออกไปมีคา่ เท่าใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จากการสอบและความสําคัญของระยะเวลาการเรียนทั้งหมด 5 วิชา ของนักเรียนคนหน่ึงดังข้อมูลใน

ตาราง ให้นกั เรยี นหาคะแนนเฉลีย่ ของการสอบท้ัง 5 วชิ า ของนักเรียนคนนี้

วชิ าท่ีสอบ คะแนนทีส่ อบได้ เวลาเรยี นใน 1 สปั ดาห์/
หน่วยเปน็ ชว่ั โมง

คณิตศาสตร์ 60 6

วิทยาศาสตร์ 75 4

ภาษาอังกฤษ 60 10

ภาษาไทย 82 5

สงั คมศึกษา 68 5

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 63

5. บริษทั แห่งหนึ่งจาํ แนกลกู จา้ งเป็น 2 กลมุ่ คอื คนงานและพนกั งาน โดยท่คี นงานมีค่าจ้างรายวันเฉล่ีย 120
บาทต่อคน พนักงานมีค่าจ้างรายวันเฉลี่ย 440 บาทต่อคน ถ้าจํานวนคนงานเป็น 3 เท่าของจํานวน
พนักงาน แล้วลกู จา้ งของบริษัทแห่งนม้ี คี า่ จา้ งรายวนั เฉลยี่ กี่บาทตอ่ คน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จากแผนภาพต้น – ใบ แสดงนา้ํ หนักสัมภาระ (กิโลกรัม) ของผโู้ ดยสารเครือ่ งบินกลุ่มหน่ึง จํานวน 25 คน

0 67

1 93466

2 00122247

3 3581321

4 112

จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยมของน้าํ หนักสมั ภาระของผูโ้ ดยสารกลุ่มนี้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7.

0 336999

1 2267

2 0225789

3 15

4

5 46

6

7

8

99

10 0

1) จากข้อมูลท่ีนําเสนอโดยแผนผังต้น – ใบ ข้างต้น อยากทราบว่า ควรใช้ค่ากลางชนิดใดเพ่ือเป็นตัว
แทนท่ีดขี องขอ้ มูลชดุ นี้ พรอ้ มท้ังให้เหตุผลประกอบคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของ มธั ยฐานและฐานนยิ มของข้อมลู ชุดน้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 64

กิจกรรม : พสิ ัย

มมุ ความรู้ พิสัย คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายที่ได้จากผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุด
และขอ้ มูลท่ีมีค่าต่าสุด น่ันคือ

พสิ ยั =

1. ให้นกั เรยี นหาพิสัยของขอ้ มลู ต่อไปน้ี
1) 5, 15, 11, 17, 13, 7, 9
ข้อมลู ท่มี ีคา่ สูงสุด คือ........................ ขอ้ มูลท่ีมีคา่ ตํา่ สดุ คอื ........................
ดงั นั้น พสิ ยั ของขอ้ มูลชดุ น้ี เทา่ กับ...............................................................
2) 5, 17, 11, 5, 17, 5, 17
ข้อมลู ทม่ี คี ่าสูงสุด คอื ........................ ขอ้ มลู ที่มีคา่ ต่ําสดุ คอื ........................
ดังน้ัน พิสยั ของข้อมูลชุดน้ี เทา่ กบั ...............................................................
3) 60, 64, 56, 70, 52, 63
ขอ้ มลู ที่มีคา่ สูงสุด คอื ........................ ข้อมลู ทีม่ ีค่าตํา่ สดุ คอื ........................
ดังนน้ั พสิ ัยของขอ้ มลู ชดุ นี้ เทา่ กับ...............................................................

2. จากตารางแสดงคะแนน 5 วิชาจากการสอบ 2 ครั้ง ของนักเรียนคนหนึง่ ดงั น้ี

วชิ าที่ 1 2 3 4 5

ครงั้ ท่ี 1 20 30 25 35 28
ครั้งที่ 2 40 45 39 50 49

จงหาพสิ ยั และเปรียบเทยี บการกระจายของการสอบ 2 คร้ัง
วิธีทา สอบครัง้ ท่ี 1 มคี ะแนนสูงสุด คอื .................................... คะแนนต่ําสุด คอื …………………………………

ดงั นน้ั พสิ ยั ของการสอบคร้ังที่ 1 เทา่ กบั …………………………………………………………….คะแนน
สอบครง้ั ท่ี 2 มคี ะแนนสงู สดุ คือ.................................... คะแนนต่ําสุด คอื …………………………………
ดงั นนั้ พิสยั ของการสอบคร้ังที่ 2 เทา่ กับ…………………………………………………………….คะแนน
สรุปไดว้ า่ ...............................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ขอ้ มูลชดุ หน่ึงเรยี งจากนอ้ ยไปหามากเป็นดังนี้ 98, 100, 101, 104, a, 109, 110, 111, b
ถ้าพสิ ัยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชดุ น้ีเท่ากับ 14 และ 106 ตามลาํ ดบั
แลว้ a และ b มีค่าเท่ากับเทา่ ใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 65

กิจกรรม : ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานและ
ความแปรปรวน

มมุ ความรู้ การหาคา่ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร แทนดว้ ย 

  ........................................................................................

.......... คอื ข้อมูลตัวที่ i, ......... คอื คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของประชากร
การหาค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง แทนด้วย s

s  …………………………………………………………………………...

xi คือข้อมลู ตวั ที่ i, x คือค่าเฉล่ียเลขคณติ ของตัวอย่าง

การหาค่าความแปรปรวน
ความแปรปรวน = ............................................
ความแปรปรวนของข้อมลู ประชากร เขยี นแทนดว้ ย ..........
ความแปรปรวนของข้อมูลตวั อย่าง เขยี นแทนด้วย ..........

สมบัติทสี่ าคญั ของส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมคี า่ เป็นบวกเสมอ

 การคํานวณหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ถา้ เปล่ียนคา่ เฉลยี่ เลขคณิต เป็นค่ากลาง

แบบอนื่ ๆ จะได้สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานที่มากกวา่ เดิม

 ถ้ามีข้อมูล 2 ชุด ประกอบดว้ ยข้อมูล N1 และ N2 จาํ นวน มคี ่าเฉลยี่ เลขคณติ

เท่ากนั แต่มีความแปรปรวนเป็น 12 และ  2 สาํ หรับข้อมูลชุดท่ี 1 และ 2
2

ตามลําดับ ความแปรปรวนของข้อมลู ท้งั สองชุดเทา่ กับ N112  N2 2
2

N1  N2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 66

1. ให้นักเรยี นหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน   และความแปรปรวน 2  ของข้อมูล 6, 12, 9, 10, 6, 8

วธิ ที า จากสตู ร ...........................................

หาคา่ เฉลี่ยของขอ้ มลู  .................................................................………………………………..

.................................................................…………………………………………………………….………………

หาคา่ 6  และ 6   2 ไดด้ งั นี้

 xi  xi
i1 i1

xi xi    xi   2

รวม

จะได้ 6   2 = …………………………………

 xi
i1

ทาํ ให้ไดว้ ่า  …………………………………………………………………………………………………………………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดังน้นั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน   ของข้อมูลชุดน้ีคอื .....................................................

ความแปรปรวน 2  ของข้อมูลชุดนค้ี ือ................................................................

2. ให้นักเรียนหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของบุตรในครอบครัวหน่ึง ดังน้ี 7, 9,

11, 15, 18

วธิ ที า จากสูตร ..........................................

หาค่าเฉลี่ยของข้อมลู  x  .................................................................………………………………..

.................................................................…………………………………………………………….………………

หาค่า 5 x และ 5  x 2 ไดด้ งั น้ี

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

รวม

จะได้ 5  x 2 = …………………………………

 xi
i1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 67

ทําใหไ้ ด้ว่า s ………………………………………………………………………………………………………….
.................................................................…………………………………………………………….……………………….
.................................................................…………………………………………………………….……………………….
.................................................................…………………………………………………………….……………………….
.................................................................…………………………………………………………….……………………….
ดงั นั้น ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้คือ............................................................

ความแปรปรวนของขอ้ มูลชุดนค้ี ือ......................................................................

3. ให้นักเรียนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของ
นักเรียนกลุ่มหนงึ่ จํานวน 10 คน ดังน้ี 87, 61, 75, 77, 85, 92, 83, 73, 65, 58
วิธที า จากสตู ร ..........................................
หาค่าเฉล่ียของข้อมูล  x 

.................................................................…………………………………………………………….……………………….
.................................................................…………………………………………………………….……………………….
ดงั นัน้ ค่าเฉลี่ยของข้อมูล  x  เท่ากบั .......................................................................

หาค่า 10 x และ 10  x 2 ได้ดังน้ี

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

รวม

จะได้ 5  x 2 = …………………………………

 xi
i1

ทาํ ให้ได้วา่ s ………………………………………………………………………………………………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดังนนั้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้ีคือ............................................................

ความแปรปรวนของขอ้ มลู ชดุ น้ีคอื ......................................................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 68

กิจกรรม : ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู

1. ให้นักเรียนสบื ค้นข้อมลู เกีย่ วกบั “ลกั ษณะการกระจายของข้อมูล” พรอ้ มวาดภาพประกอบ
1.

การกระจายแบบ.................................
ลกั ษณะของการกระจาย คือ .......................................................................................................................
.............................................................................................................................. .......................................
....................................................................................................... ..............................................................
............................................................................................................................. ........................................

2.

การกระจายแบบ.................................
ลกั ษณะของการกระจาย คือ ......................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
............................................................................................................................. ........................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 69
3.

การกระจายแบบ.................................
ลักษณะของการกระจาย คือ ........................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ........................................
............................................................................................................................. ........................................

มุมความรู้ The 95% rule
กล่าววา่ โดยทวั่ ไป ไมว่ ่าข้อมูลจะมกี ารกระจายในลกั ษณะใด จะมขี ้อมลู

อยู่ในชว่ ง x  2s, x  2s ประมาณ 95% ของข้อมูลทั้งหมด

จาก “The 95% rule” จะไดว้ ่า พิสัยมคี า่ ประมาณ 4 เทา่ ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นน่ั คอื ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  ค่าพิสยั
4
2. ให้นกั เรยี นประมาณสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานจากพิสัย ของข้อมูลตอ่ ไปนี้

ข้อ ข้อมูล พสิ ัย ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานโดยประมาณ

1 2, 5, 3, 7, 3

2 15, 13, 11, 9, 7, 5

3 80, 89, 95, 86, 88, 76, 74

4 8, 21, 9, 15, 6, 7, 3, 14, 17, 10

5 101, 115, 114, 99, 106, 112, 116

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 70

แบบฝึกเสรมิ : การวดั การกระจายของขอ้ มลู

1. ข้อมูลชุดหน่ึง มีค่าก่ึงกลางพิสัยเท่ากับ 40 และค่าพิสัยเท่ากับ 20 ดังน้ันค่าตํ่าสุดและค่าสูงสุดของข้อมูล
ชุดนีเ้ ทา่ กบั เทา่ ใด
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ในการสอบครงั้ หนึ่ง มีผ้เู ข้าสอบ 3 คน ปรากฏว่า ค่าเฉลยี่ เลขคณิตเท่ากับ 67
มธั ยฐานเทา่ กบั 65 และฐานนยิ มเทา่ กบั 16 คะแนนสอบสูงสุดของผเู้ ข้าสอบเท่ากับเทา่ ใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ให้นักเรียนประมาณสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานจากพิสัย และหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการคํานวณจาก
สตู ร ของขอ้ มูลต่อไปนี้
1. 20, 35, 27, 31, 37
2. 1, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 5, 4, 3, 2
3. 42, 45, 48, 48, 54, 60, 64, 70, 74, 75
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 71

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ถา้ คะแนนสอบของนกั เรยี น 10 คน ทม่ี คี ะแนนเต็ม 25 คะแนน เป็นดงั นี้

20 20 19 21 21 18 20 22 23 17
1. ใหน้ ักเรยี นหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชดุ นี้
2. ถา้ ข้อมลู ชดุ นีม้ คี า่ เฉลี่ยเลขคณิตและมธั ยฐานเท่ากนั ข้อมูลชดุ นีค้ วรจะมกี ารกระจายในลักษณะใด
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

With MATH, The Possibilities Are Infinite
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 72

แผนผงั ความคดิ เร่อื ง “การวเิ คราะหข์ ้อมลู เบ้อื งตน้ ”

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 73

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 5
รหัสวิชา ค 33201

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 74

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 5 คาอธิบายรายวชิ า รหัสวชิ า ค33201
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชว่ั โมง/สัปดาห์
80 ชั่วโมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกิต

ศึกษาและฝึก ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร
การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนําเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเช่ือมโยง
คณติ ศาสตร์กบั ศาสตรอ์ นื่ ๆ และมคี วามคดิ รเิ ริม่ สร้างสรรค์ ในสาระตอ่ ไปน้ี

การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น การวัดค่ากลางของข้อมูล ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม
ค่าเฉลย่ี เรขาคณติ และคา่ เฉลย่ี ฮารโ์ มนกิ การวดั ตาํ แหนง่ ทห่ี รอื ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล การวัดการกระจายของ
ข้อมูล ไดแ้ ก่ การวัดการกระจายสมั บูรณ์ การวัดการกระจายสมั พัทธ์ ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถ่ี ค่า
กลาง และการกระจายของข้อมลู

การแจกแจงปกติ คา่ มาตรฐาน การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ
ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั ระหว่างขอ้ มลู การวิเคราะหค์ วามสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล แผนภาพ
การกระจาย การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้วิธีกําลังสองน้อยท่ีสุด ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลท่ีอยู่ใน
รปู อนกุ รมเวลา
การจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพอ่ื ใหม้ ีความรคู้ วามเขา้ ใจในเนื้อหา มีทกั ษะการแก้ปญั หา การใหเ้ หตุผลและนําประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้ในชีวิตประจําวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพียง รวมท้ังให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง
มุ่งม่ันในการทํางาน รกั ความเป็นไทยและมีจิตสาธารณะ

การวดั และประเมนิ ผล ใช้วิธีการหลากหลายตามสภาพเปน็ จริง ตามมาตรฐานและตัวชีว้ ัดที่กาํ หนด

ผลการเรยี นรู้
1. เลอื กวิธวี เิ คราะห์ข้อมูลเบ้ืองต้นและอธิบายผลการวิเคราะห์ของขอ้ มูลไดถ้ ูกต้อง
2. นําความรู้เรอ่ื งการวิเคราะห์ข้อมลู ไปใชไ้ ด้
3. นําความรูเ้ รอ่ื งค่ามาตรฐานไปใช้ในการเปรยี บเทยี บขอ้ มลู ได้
4. หาพื้นท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติและนําความร้เู กย่ี วกับพื้นท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกตไิ ปใช้ได้
5. เข้าใจความหมายของการสรา้ งความสมั พนั ธ์เชิงฟังกช์ ันของข้อมูลที่ประกอบดว้ ยสองตัวแปร
6. สรา้ งความสมั พันธ์เชิงฟงั กช์ ันของข้อมูลทปี่ ระกอบดว้ ยสองตัวแปรที่อย่ใู นรปู อนกุ รมเวลา โดยใช้
เคร่ืองคาํ นวณ
7. ใช้ความสัมพนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ของข้อมูลพยากรณค์ า่ ตวั แปรตามเมื่อกาํ หนดตวั แปรอิสระให้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 75

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ รหัสวิชา ค33201
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 4 ช่วั โมง/สัปดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น ภาคเรยี นท่ี 1
2.0 หน่วยกิต

ช้ันเรยี น/ภาคเรียน หน่วยการเรียนรู้/สาระการเรยี นรู้ จานวนชัว่ โมง
ม.6 1. การวเิ คราะห์ข้อมูลเบื้องต้น 40
ภาคเรียนท่ี 1 1.1 การวัดค่ากลางของขอ้ มูล
- ค่าเฉลยี่ เลขคณิต 8
- มัธยฐาน 32
- ฐานนยิ ม 80
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- คา่ เฉล่ยี ฮาร์โมนกิ
1.2 การวัดตําแหน่งทห่ี รือตาํ แหน่งสมั พัทธ์ของขอ้ มลู
1.3 การวดั การกระจายของข้อมลู
- การวัดการกระจายสัมบูรณ์
- การวดั การกระจายสัมพัทธ์
- ความสัมพนั ธร์ ะหว่างการแจกแจงความถี่ คา่ กลาง และ
การกระจายของข้อมูล
2. การแจกแจงปกติ
2.1 คา่ มาตรฐาน
2.2 การแจกแจงปกติ และเส้นโคง้ ปกติ
3 ความสมั พันธ์เชิงฟงั ก์ชนั ระหวา่ งขอ้ มูล
3.1 การวิเคราะหค์ วามสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหว่างข้อมูล
3.2 แผนภาพการกระจาย
3.3 การประมาณคา่ ของค่าคงตัวโดยใช้วธิ กี าํ ลังสองน้อยที่สุด
3.4 ความสัมพันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรปู อนุกรมเวลา
รวม

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 76

รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 5 โครงสร้างรายวชิ า รหสั วิชา ค33201
ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 4 ชว่ั โมง/สปั ดาห์
80 ชว่ั โมง/ภาคเรยี น ภาคเรยี นท่ี 1
2.0 หน่วยกติ

ลาดับ ชื่อ ผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นร้แู กนกลาง เวลา นา้ หนัก
ท่ี หนว่ ยการเรียนรู้ (ชั่วโมง) คะแนน
การวดั ค่ากลางของข้อมูล ได้แก่
1 การวเิ คราะหข์ ้อมูล 1. เลือกวธิ ีวเิ คราะหข์ อ้ มลู คา่ เฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน 40 50
ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ และ
เบื้องต้น เบื้องตน้ และอธิบายผลการ คา่ เฉลยี่ ฮารโ์ มนกิ การวัดตําแหนง่ ท่ี 8 10
หรือตาํ แหนง่ สมั พทั ธ์ของขอ้ มลู การ 40
วิเคราะหข์ องข้อมูลได้ วัดการกระจายของขอ้ มลู ไดแ้ ก่ การ
วดั การกระจายสมั บูรณ์ การวัดการ 100
ถกู ต้อง กระจายสมั พัทธ์ ความสัมพนั ธ์
ระหว่างการแจกแจงความถี่ คา่ กลาง
2. นําความรู้เรื่องการ และการกระจายของขอ้ มลู
การแจกแจงปกติ คา่ มาตรฐาน การ
วิเคราะหข์ ้อมลู ไปใชไ้ ด้ แจกแจงปกติและเสน้ โคง้ ปกติ

2 การแจกแจงปกติ 3. นาํ ความรู้เร่อื งคา่ มาตรฐาน ความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั ระหว่าง 32
ไปใชใ้ นการเปรยี บเทียบ ขอ้ มลู การวิเคราะหค์ วามสมั พันธเ์ ชงิ
ข้อมลู ได้ ฟงั ก์ชนั ระหว่างข้อมูล แผนภาพการ
กระจาย การประมาณค่าของค่าคงตวั
4. หาพน้ื ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติ โดยใชว้ ิธีกาํ ลังสองนอ้ ยทสี่ ดุ
และนําความรเู้ กีย่ วกับ ความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั ของขอ้ มูลท่ี
พ้ืนท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกติไปใช้ได้ อย่ใู นรูปอนกุ รมเวลา

3 ความสัมพนั ธ์เชงิ 5. เข้าใจความหมายของการ 80
ฟงั ก์ชันระหว่าง สร้างความสัมพนั ธเ์ ชงิ
ข้อมลู ฟงั กช์ ันของขอ้ มูลท่ี
ประกอบดว้ ยสองตวั แปร
6. สร้างความสัมพันธ์เชงิ
ฟงั ก์ชนั ของข้อมูลท่ี
ประกอบดว้ ยสองตวั แปรท่ี
อยใู่ นรปู อนุกรมเวลา โดย
ใช้เครื่องคาํ นวณ
7. ใช้ความสมั พนั ธเ์ ชิง
ฟังกช์ ันของขอ้ มลู
พยากรณ์คา่ ตวั แปรตาม
เม่อื กาํ หนดตวั แปรอิสระให้

รวมตลอดภาคเรียน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 77

บทที่ 1
การวเิ คราะห์ข้อมลู เบื้องตน้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 78

กิจกรรม : มัธยฐานหาอย่างไร
กรณแี จกแจงความถี่

คาช้แี จง 1. ตารางแสดงคะแนนจากการสอบยอ่ ยวชิ าสถติ ิของนักเรยี น 40 คน เป็นดงั นี้

คะแนน ความถ่ี (f) ความถส่ี ะสม (cf)

38 - 40 2

35 - 37 5

32 - 34 10

29 - 31 12

26 - 28 6

23 - 25 4

20 - 22 1

รวม 40

คาถาม : ชวนคดิ จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ

วิธีทา 1) หาตําแหนง่ มธั ยฐาน คือ ตําแหนง่ ท่ี N  .............................................

2

2) หาอนั ตรภาคชั้นที่มมี ัธยฐานอยู่
ถ้านําคะแนนสอบมาเรยี งจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมาก คะแนนท่ีอยู่ในตําแหน่งท่ี 20 จะอยู่

ในอันตรภาคช้ัน 29 – 31 แสดงว่ามัธยฐานจะต้องอยู่ในอันตรภาคช้ัน 29 – 31 (จากตารางแจกแจงความถ่ีท่ี
กําหนดให้ ถ้าจะนําความถี่สะสมมาช่วยในการหาว่ามัธยฐานอยู่ในอันตรภาคชั้นใด ต้องเรียงคะแนนจากคะแนน
น้อยไปหาคะแนนมากก่อนแล้วหาความถสี่ ะสม) ดงั นน้ั หาความถสี่ ะสมไดด้ ังตารางขา้ งบน

3) หามัธยฐานโดยใช้สูตร Med  N  fL 
 fM 
 L   2 I




จากข้อมลู ในตาราง จะได้ L  28.5, fL  11, fM  12 และ I  3

แทนคา่ ในสตู ร..............................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

นน่ั คอื มธั ยฐานของคะแนนสอบยอ่ ยวิชาสถติ เิ ทา่ กบั .......................คะแนน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 79

2. นาํ้ หนักของนกั เรียน 40 คน เป็นไปตามตารางแจกแจงความถี่ดงั นี้

นา้ หนกั (ปอนด์) ความถี่

118 - 126 3

127 - 135 5

136 - 144 9

145 - 153 12

154 - 162 5

163 - 171 4

172 - 180 2

รวม 40

คาถาม : ชวนคดิ จงหามัธยฐานของนํ้าหนักของนกั เรยี น

วธิ ที า 1) หาตําแหนง่ มัธยฐาน

ตําแหนง่ มธั ยฐาน คอื ตาํ แหนง่ ท่ี N  .............................................

2

2) หาอันตรภาคชนั้ ท่ีมมี ัธยฐานอยู่

น้าหนัก (ปอนด์) ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf)

118 - 126 3

127 - 135 5

136 - 144 9

145 - 153 12

154 - 162 5

163 - 171 4

172 - 180 2

รวม 40

3) หามธั ยฐานโดยใช้สูตร Med LN  fL 
 fM 
  2 I




จากขอ้ มลู ในตาราง จะได้ L =………………, ∑fL ………………, fM = ………………, และ I = ………………
แทนคา่ ในสตู ร

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

นั่นคือ มธั ยฐานของนํ้าหนกั ของนักเรียน เท่ากบั .......................คะแนน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 80

แบบฝึกเสริม เพม่ิ ความเข้าใจ
มัธยฐาน

คาช้แี จง 1. จงหามัธยฐานคะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ซึง่ ได้คะแนนดงั น้ี 84, 91, 72, 68, 87, 78

วธิ ที า เรยี งลําดับคะแนน จากคะแนนนอ้ ยไปหาคะแนนมากไดด้ งั นี้……………………………………………………………
N+1
ฉะนัน้ มธั ยฐานอยใู่ นตาํ แหน่งที่ 2 =…………………………………………………………………………………………

ดงั นัน้ มธั ยฐานของคะแนนสอบของนักเรยี นเท่ากบั ………………………………………………….คะแนน

2. ตารางแจกแจงความถี่ตอ่ ไปน้ี เปน็ คะแนนสอบของนักเรยี น 50 บาท จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ

คะแนน ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf)

30 - 39 4

40 - 49 6

50 - 59 8

60 - 69 12

70 - 79 9

80 - 89 7

90 - 99 4

รวม 50

วธิ ีทา จากข้อมลู หาความถสี่ ะสมไดด้ งั ตาราง

จากสูตร Med  N  fL  มัธยฐานอยู่ในตําแหนง่ ท่ี N =…………………
 fM  2
 L   2 I




อยู่ในชว่ ง...............คะแนน เพราะฉะนั้น L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

นนั่ คือ มัธยฐานของคะแนนสอบของนกั เรยี น 50 คนคอื ...........................................คะแนน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 81

3. กําหนดให้ขอ้ มลู ดังตอ่ ไปน้ีเปน็ อายขุ องตน้ ไม้จาํ นวน 125 ตน้ ดังนี้

อายุ (ป)ี ความถสี่ ะสม

10 - 15 10
16 - 18 25
19 - 20 42
21 - 30 67
31 - 35 95
36 - 40 125

รวม

จงหามธั ยฐานของอายุของต้นไม้
วธิ ที า จากขอ้ มลู หาความถไี่ ดด้ งั ตารางขา้ งบน

จากสูตร Med  N  fL  มัธยฐานอยู่ในตําแหน่งที่ N =…………………
 fM  2
 L   2 I




อยู่ในชว่ ง...............คะแนน เพราะฉะนน้ั L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ดงั น้ัน …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

นน่ั คอื มธั ยฐานของอายขุ องตน้ ไมค้ อื ………………………ปี

4. ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนวิชาแคลคูลัสของนักศึกษา 10 คน คือ 72 ถ้าคะแนนของนักศึกษา 8 คน

เป็นดังนี้ 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 ส่วนคะแนนของ 2 คนน้ันมีคะแนนต่างกัน 4 คะแนน จงหามัธย

ฐานของคะแนนของนกั ศกึ ษาท้ัง 10 คน

วิธที า ให้ X แทนคะแนนสอบวชิ าแคลคูลัสและให้ x1 และ x2 เปน็ คะแนนของนักศึกษา 2 คนที่ยงั ไมท่ ราบ
โดยท่ี x1  x2 จากที่กําหนดให้ N 10 และ X  72
ดงั น้นั X  ……………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….. (1)

เนอื่ งจาก x1  x2  4 (2)

นํา (1)  (2) ; …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………..

นําคะแนนสอบวชิ าแคลคูลัสของนกั ศึกษา 10 คน มาเรียงจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดงั น้ี

......................................................................................................

ตาํ แหน่งมธั ยฐานคือ ................................................................................................

นน่ั คอื มัธยฐานของคะแนนสอบเท่ากับ.......................................คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 82

5. ตารางแสดงรายจา่ ยต่อวนั ของครอบครวั ในตําบลแห่งหน่ึง

จานวนเงิน (บาท) จานวนครอบครัว ความถี่สะสม

50 - 59.99 8

60 - 69.99 10

70 - 79.99 16

80 - 89.99 14

90 - 99.99 10

100 - 109.99 5

110 - 119.99 2

รวม 65

จงหามธั ยฐานของรายจ่ายต่อวนั ของครอบครัวในตําบลแหง่ น้ี

วิธที า จากข้อมลู หาความถ่ีสะสมได้ดงั ตาราง

สตู ร L  N  fL  มธั ยฐานอยู่ในตําแหนง่ ที่ N =………………………
 fM  2
Med    2 I




อยใู่ นช่วง.....................บาท เพราะฉะนัน้ L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

นั่นคือ มธั ยฐานของรายจา่ ยตอ่ วันของครอบครัวในตาํ บลแห่งหนง่ึ เทา่ กบั ……………………………….บาท

6. กําหนดให้ขอ้ มูลชดุ หนงึ่ คือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชุดนี้มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แล้ว
x มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด
วธิ ที า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชุดนีม้ ีค่าเทา่ กบั ……………………………………………………………………………………..

หามัธยฐาน โดยการเรยี งข้อมูลจากนอ้ ยไปหามาก จะได้
x, 3, 6, 6, 10
3, x, 6, 6, 10
3, 6, x, 6, 10
3, 6, 6, x, 10
3, 6, 6, 10, x

ฉะน้ัน มัธยฐานของข้อมลู ชดุ น้มี คี า่ เทา่ กบั ………………………………………………..
เนือ่ งจาก คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลชดุ นีม้ คี ่าเท่ากบั มัธยฐาน ดังนัน้

................................................................................
...............................................................................
น่นั คอื ...............................................................................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 83

กจิ กรรม : ฐานนิยมหาอย่างไร
กรณแี จกแจงความถี่

คาชแี้ จง 1. ข้อมูลอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟา้ ท่ีมีการแจกแจงความถีด่ งั นี้

อายุ (ชั่งโมง) ความถี่ (f)

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

รวม 40

คาถาม : ชวนคิด จงหาฐานนิยมของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้า

วธิ ีทา 1) เนือ่ งจากความกว้างแตล่ ะอนั ตรภาคชั้นมคี ่าเท่ากัน

ดังนนั้ ฐานนยิ มจะอยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั ที่มคี วามถ่ีสูงสดุ นน่ั คือ อนั ตรภาคชั้น.........................

2) จากตารางแจกแจงความถี่ จะพบว่า อันตรภาคชั้น.........................มีความถี่สงู สดุ เท่ากบั .................

ดังนน้ั ถา้ หาฐานนิยมอย่างครา่ ว ๆ จะได้เท่ากบั 128 132  …1…30…………………..

2

3) หาฐานนยิ มอย่างละเอียด โดยใชส้ ูตร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบว่า

d1 เปน็ ผลตา่ งระหวา่ งความถขี่ องอนั ตรภาคชั้น 123 - 127 กับ 128 - 132 คอื ..................

d2 เปน็ ผลตา่ งระหว่างความถ่ขี องอันตรภาคชั้น 128 - 132 กับ 133 - 137 คือ ..................

L ขอบลา่ งของอันตรภาคชน้ั 128 - 132 เทา่ กับ .............................................
I ความกว้างของอนั ตรภาคชัน้ 128 - 132 เท่ากบั .............................................
ดังนั้น Mod  ……………………………

 ……………………………

 ……………………………

น่นั คอื ฐานนิยมของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้าเท่ากับ……………………………ชั่วโมง

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 84

2. จากการสอบถามเกยี่ วกับรายไดต้ อ่ วนั ของคนงานในบริษัทก่อสร้างแห่งหนง่ึ ได้ผลดงั ตารางต่อไปนี้

รายได้ (บาท) จานวน (คน)

51 - 80 6

81 - 100 15

101 - 120 10

121 - 150 9

รวม 40

คาถาม : ชวนคิด จงหาฐานนยิ มของรายได้ของคนงาน

วิธีทา 1) จากตารางแจกแจงความถี่ท่ีกําหนดใหค้ วามกว้างของแตล่ ะอนั ตรภาคชั้นไม่เท่ากัน

ดังน้ัน การท่ีจะพิจารณาว่า ฐานนิยมอยู่ที่อันตรภาคช้ันใดต้องดูจากอัตราส่วนระหว่างความถี่กับ

ความกวา้ งของอันตรภาคช้ันในแตล่ ะช้นั ซึ่งสามารถหาได้ดงั ตารางตอ่ ไปนี้ f
I
รายได้ (บาท) จานวนคน (f) ความกวา้ งของอันตรภาคช้นั (I) อตั ราสว่ น

51 - 80 6

81 - 100 15

101 - 120 10

121 - 150 9

2) จากตารางแจกแจงความถี่ จะพบวา่ อันตรภาคชั้น.........................มคี วามถี่สงู สดุ เทา่ กบั .................

ดังนั้น ถ้าหาฐานนิยมอยา่ งคร่าว ๆ จะได้เท่ากับ 81100  …9…0.…5………………..

2

3) หาฐานนยิ มอย่างละเอียด โดยใชส้ ตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบวา่

d1 เป็นผลต่างระหวา่ งอัตราสว่ นของอันตรภาคชนั้ 51 - 80 กบั 81 - 100 คอื ........................
d2 เปน็ ผลต่างระหวา่ งอตั ราส่วนของอนั ตรภาคช้นั 81 - 100 กบั 101 - 120 คือ...................
L ขอบล่างของอันตรภาคชนั้ 81 - 100 เทา่ กับ .............................................

I ความกว้างของอนั ตรภาคช้ัน 81 - 100 เทา่ กบั .............................................

ดังน้นั Mod  12…7.…5…… …7…7…4……5 ……

 ……………………………
 ……………………………
นั่นคือ ฐานนยิ มของรายได้ของคนงาน เทา่ กบั ……………………………บาท

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 85

แบบฝกึ เสรมิ เพิม่ ความเขา้ ใจ
ฐานนิยม

คาชแ้ี จง 1. จงหาฐานนยิ มของขอ้ มลู ต่อไปน้ี

1) 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 ตอบ ……………………………………

2) 2, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9 ตอบ ……………………………………

3) 2, 4, 5, 7, 9, 10 ตอบ ……………………………………

4) 2, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 12 ตอบ ……………………………………

2. จงหาฐานนยิ มจากตารางแจกแจงความถี่ดงั ตอ่ ไปน้ี

คะแนน ความถี่

38 - 40 2

35 - 37 5

32 - 34 10

29 - 31 12

26 - 28 6

23 - 25 4

20 - 22 1

วธิ ีทา อันตรภาคชนั้ ทมี่ ฐี านนยิ มอยู่ คอื ………………………………………………………………………….

อนั ตรภาคชน้ั ท่มี ีความถส่ี งู สดุ คอื ………………………………………………………………………….

จดุ กึ่งกลางของอันตรภาคชนั้ คือ ………………………………………………………………………….

นน่ั คอื ฐานนยิ มของคะแนนสอบของนักเรยี น…………….คน คือ……………………….คะแนน

ถา้ ตอ้ งการหาฐานนิยมอยา่ งละเอียดโดยใชส้ ตู ร……………………………………………….

d1 มีคา่ เทา่ กับ………………………………………………………………………….
d2 มคี า่ เท่ากับ………………………………………………………………………….
L มคี ่าเทา่ กบั ………………………………………………………………………….

I มคี า่ เท่ากับ………………………………………………………………………….

ดงั นั้น Mod  …………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………..

น่ันคอื ฐานนยิ มของคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน คอื 30.75 คะแนน

3. จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถ่ีของเบอร์รองเทา้ ชนิดต่าง ๆ ท่ีนักเรยี นใช้ ดังตอ่ ไปน้ี

เบอรร์ องเท้า 4 1 5 5 1 6 6 1
2 2 2
จานวนนักเรยี น 20 25 18 28 40

วธิ ีทา ฐานนิยมจากตารางแสดงความถข่ี องเบอร์รองเทา้ ชนิดต่าง ๆ ทีน่ กั เรยี นใช้ คือ……………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 86

4. ต่อไปนี้เปน็ ตารางแจกแจงสีผมของวัยรนุ่ ในสมาคมแห่งหนึ่ง

สขี องผม ดาํ แดง ทอง น้าํ ตาล

จาํ นวนคน 11 6 18 24

จงหาฐานนยิ มเกยี่ วกับสีของผม

วธิ ีทา ฐานนิยมเก่ยี วกบั สีของผมของที่วยั รนุ่ ในสมาคมแห่งหนึ่ง คือ…………………………………………………………….

5. ขอ้ มลู เก่ียวกับคะแนนสอบวิชาสถิติดังตอ่ ไปน้ี

19 15 14 11 20 13 17 24 12 20

13 19 25 15 19 20 15 12 13 16

18 16 15 26 21 11 19 20 11 24

16 16 17 18 16 11 10 27 18 13

1) จงหาฐานนิยมของคะแนน

2) จัดข้อมลู ให้อยู่ในรปู อันตรภาคช้ัน 10 - 14.9, 15 - 19.9 เปน็ ตน้ และหาฐานนยิ มของคะแนน

3) หาฐานนิยมของคะแนนจากอนั ตรภาคช้นั โดยประมาณ

4) เปรยี บเทียบฐานนิยมของคะแนนทง้ั 3 ข้อข้างต้น

วธิ ีทา 1) ฐานนิยมของคะแนนคือ………………………………………………………………………………………………………

2) จดั คะแนนให้อยู่ในรปู อันตรภาคชั้นได้ดังน้ี

คะแนน ความถ่ี

เนอ่ื งจากความกวา้ งของอันตรภาคชัน้ เท่ากันทุกอันตรภาคชน้ั ดังนั้นอนั ตรภาคช้นั ทม่ี ฐี านนิยมอยู่ คือ
อันตรภาคชัน้ ที่มีความถส่ี งู สดุ นั่นคอื ………………………………………………………………………………………..
หาฐานนิยมอยา่ งละเอียดโดยใชส้ ูตร…………………………………………………………………………………………

d1 มคี ่าเทา่ กับ…………………………………………………………………………………………………….
d2 มคี ่าเทา่ กับ……………………………………………………………………………………………………
L มีค่าเทา่ กับ……………………………………………………………………………………………………
I มคี ่าเท่ากับ……………………………………………………………………………………………………
ดงั น้ัน Mod  ……………………………………………………………………………………………..

 ……………………………………………………………………………………………..
 …………………………………………………………………………………………….
น่นั คอื ฐานนยิ มของคะแนนคือ………………………………………………………..คะแนน
3) ฐานนยิ มจากอันตรภาคช้ันโดยประมาณคือ……………………………………………..
นนั่ คือ ฐานนิยมของคะแนนคือ……………………….คะแนน
4) เปรยี บเทียบฐานนยิ มของคะแนนท้งั 3 ข้อขา้ งต้น
…………………………………..…………………………………..………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 87

6. สายเคเบิลจากบรษิ ทั แห่งหนึง่ 60 เสน้ รับนํา้ หนกั สูงสดุ ได้ดังนี้

น้าหนักสงู สดุ (ตัน) จานวน (เสน้ )

9.3 - 9.7 2

9.8 - 10.2 5

10.3 - 10.7 12

10.8 - 11.2 17

11.3 - 11.7 14

11.8 - 12.2 6

12.3 - 12.7 3

12.8 - 13.2 1

จงหาฐานนยิ มของน้ําหนกั ของสายเคเบิล

วธิ ที า เน่อื งจากความกวา้ งของอนั ตรภาคชั้นเท่ากนั ทุกอันตรภาคช้ัน ดังนัน้ อนั ตรภาคชั้นท่มี ีฐานนิยมอยู่ คอื

อันตรภาคช้นั ที่มีความถสี่ งู สดุ น่ันคอื …………………………………………………………………………………………….

จากสตู ร…………………………………………………………………………………………….

d1 มีคา่ เทา่ กบั …………………………………………………………………………………………………….
d2 มคี า่ เท่ากบั ……………………………………………………………………………………………………
L มคี า่ เทา่ กบั ……………………………………………………………………………………………………

I มคี า่ เทา่ กบั ……………………………………………………………………………………………………

ดังนั้น Mod  ……………………………………………………………………………………………..

 ……………………………………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………………………………….

น่ันคอื ฐานนิยมของนํ้าหนักของสายเคเบิลทรี่ บั นํา้ หนกั สงู สุดคอื ……………………….ตนั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 88

กิจกรรม : คา่ เฉล่ียเรขาคณิต คิดหาอยา่ งไร

มุมความรู้ ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เปน็ ขอ้ มูล N จาํ นวน ซงึ่ เปน็ จาํ นวนบวกทุกจํานวน นิยม
ใช้ G.M. เป็นสญั ลกั ษณแ์ ทนค่าเฉล่ียเรขาคณิต

G.M.  N x1x2x3...xN

ในกรณที ่ี xi มีความถี่ fi และ k  N

 fi

i=1

G.M.  N x xf1 f2 x f3 ...x fk
12 3 k

เน่ืองจากการหาค่า G.M. ต้องมีการคํานวณหากรณฑ์ที่ N ของจํานวน ซ่ึงทําให้

การใช้สูตรดังกล่าวข้างตน้ ไม่สะดวกในกรณีท่ีข้อมูลมีค่ามาก และต้องใช้เครื่องคิดเลขในการ

คาํ นวณดังนั้นเพอ่ื ความสะดวกจึงใช้ลอการิทมึ ช่วย โดยใชส้ ูตรในการหาค่า G.M. ดงั นี้

สําหรบั ขอ้ มลู ท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี log G.M.  1 N log xi
N =1
i

สาํ หรับขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ี 1k
N i = 1 filog xi
log G.M. 

เม่อื xi แทนจดุ ก่ึงกลางของอันตรภาคชัน้ ที่ i โดยท่ี i คอื 1, 2, 3, …, k
fi แทนความถข่ี องข้อมลู ของอนั ตรภาคชัน้ ท่ี i
k แทนจํานวนอนั ตรภาคช้ัน

คาชีแ้ จง 1. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหนึ่งจํานวน 4 ครั้ง มีความดันต่าง ๆ กัน มีหน่วยเป็น

ลกู บาศกเ์ มตรไดด้ งั น้ี 1.2, 2.4, 4.8, 4.8 จงหาค่าเฉลยี่ เรขาคณิตของปริมาตรของกา๊ ซ

วิธที า จากสตู ร 1N
N i = 1 log xi
log G.M. 

เนื่องจาก N  4 นําไปแทนค่าในสูตรจะได้

1log G.M. 4 log xi  .......................................................
4 =
i 1

จากตารางค่าลอการิทึม (หนา้ 133) จะได้

log 1.2  0.0792 , log 2.4  ................., log 4.8  ..................

ดังน้นั log G.M.  1 0.0792  ...................  ...................  ...................

4

 1 .......................

4

= ………………………….

G.M.  .............................

นนั่ คอื ค่าเฉลี่ยเรขาคณติ ของปริมาตรของกา๊ ซประมาณ………………………..ลกู บาศก์เมตร

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 89

2. จากตารางแจกแจงความถ่ีจาํ นวนนักเรยี นที่สอบวิชาสถิตทิ ง้ั หมด 30 คนนี้ จงหาค่าเฉลยี่ เรขาคณติ ของ

คะแนนสอบวิชาสถิติ ดงั ต่อไปนี้

คะแนน ความถี่

52

63

75

88

97

10 5

วธิ ีทา จากสูตร 1k
N i = 1 filog xi
log G.M. 

เน่ืองจาก N  6 นําไปแทนค่าในสูตรจะได้

log G.M.  1 6 filog xi  ............................................................................................
30 =
i 1

จากตารางค่าลอการทิ ึม (หน้า 133) จะได้

log 5  0.6990 log 6  .................... log 7  ....................

log 8  .................... log 9  .................... log 10  1

ดังน้ัน

log G.M.  1 [2 0.6990  3 ...............  5 ...............  8 ...............  7 ...............  5 1]

30

 1 ........................
30

 ……………………………

G.M.  ..............................

น่นั คอื คา่ เฉล่ยี เรขาคณติ ของของคะแนนสอบวชิ าสถิติ ประมาณ………………………….คะแนน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 90

กิจกรรม : ค่าเฉลย่ี ฮาร์มอนกิ หาอย่างไร

มุมความรู้ ค่าเฉล่ียฮาร์มอนิกจะใช้ในการหาคา่ เฉลีย่ ของข้อมลู ที่เปน็ อัตราส่วน

ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เป็นข้อมูล N จํานวน ซ่ึงเป็นจํานวนบวกทุกจํานวน
นยิ มใช้ H.M. เป็นสัญลกั ษณแ์ ทนค่าเฉลีย่ ฮารม์ อนกิ

H.M.  1 N
1 1  N 1
 1 1  ...  1 
N  x1 x2 x3  i = 1 xi
xN

ในกรณที ่ี xi มคี วามถี่ fi และ k  N

 fi

i=1

H.M.  1 N
  k fi
1 f1 1  f2 1  f3 1  ...  fk 1 
  i = 1 xi
N x1 x2 x3 xk

เมือ่ xi แทนจดุ กึง่ กลางของอันตรภาคชัน้ ที่ i โดยที่ i คือ 1, 2, 3, …, k

fi แทนความถี่ของข้อมูลของอันตรภาคช้ันท่ี i

k แทนจาํ นวนอันตรภาคช้ัน

ค่าเฉล่ยี ฮาร์มอนิกจะใช้ในการหาค่าเฉลีย่ ของข้อมลู ที่เป็นอัตราสว่ น เช่น ระยะทาง

ต่อชว่ั โมง จาํ นวนหน่วยตอ่ 1 บาท ราคาสนิ คา้ ต่อ 1 โหล ฯลฯ

คาชแ้ี จง 1. ใน 2 ชั่วโมงแรก นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง 2 ชั่วโมงถัดมา นาย ก

ขับรถด้วยความเร็ว 70 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง 2 ชว่ั โมงสดุ ท้าย นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง จง

หาว่า นาย ก ขับรถดว้ ยความเร็วเทา่ ใดโดยใชค้ ่าเฉล่ยี ฮาร์มอนกิ

วธิ ีทา จากข้อมูลเกีย่ วกบั ความเรว็ ที่กาํ หนดมาใหข้ ้อมลู ประกอบดว้ ยจาํ นวนต่อไปน้ี 60, 70, 80 นั่นคือ N  3

จากสูตร H.M.  N =……………………………………………………

N1

i = 1 xi

ดงั นัน้ H.M. 





นน่ั คือ คา่ เฉลีย่ ท่ี นาย ก. ขับรถดว้ ยความเร็วประมาณ......................กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 91

2. ท่านเดินทางโดยเครอื่ งบนิ โบองิ้ ของสายการบินแห่งหน่ึงจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยตรงด้วยความเร็ว 500 ไมล์

ต่อชัว่ โมง และเดนิ ทางกลบั โดยสายการบนิ เดิมด้วย ความเร็ว 160 ไมล์ต่อช่ัวโมง จงหาความเร็วโดยเฉลี่ยใน

การเดินทางไปและกลบั ในคร้งั น้ี

วิธที า ให้ xi แทนความเรว็ 500 และ160 ไมลต์ ่อชว่ั โมง ของการเดนิ ทางไปและกลบั ตามลาํ ดับ

จากสูตร H.M.  N = ……………………………………………………

N 1

i = 1 xi

จะได้วา่ H.M. 







ดงั นัน้ ความเรว็ โดยเฉลี่ยในการเดนิ ทางไปและกลับในครงั้ น้โี ดยประมาณ.........................ไมลต์ อ่ ชั่วโมง

3. ในโรงงานแห่งหน่ึง นาย ก. ทํางานหนึ่งหน่วยแล้วเสรจ็ ในเวลา 4 นาที นาย ข. นาย ค นาย ง .และนาย จ.

ทํางานหนว่ ยเดียวกนั นเี้ สร็จในเวลา 5, 6, 10 และ12 นาที ตามลาํ ดบั จงหาค่าเฉลยี่ ของอัตราการทํางานของ

คนทัง้ 5 น้ี และจงหาว่าใน 6 ชัว่ โมง ทัง้ 5 คนนี้จะทาํ งานไดร้ วมท้งั สน้ิ กี่หนว่ ย

วิธีทา ข้อมูลชุดน้กี ําหนดใหใ้ นรปู เวลาท่ใี ช้ต่องานหนึ่งหน่วยคอื …………………………………….

ถ้าเราต้องการพิจารณาผลงานตอ่ หนง่ึ หนว่ ยเวลา คา่ เฉลยี่ ทีเ่ หมาะสม คอื ค่าเฉล่ียฮารโ์ มนคิ

นน่ั คอื H.M.  N = ……………………………………………………

N 1

i = 1 xi

จะได้ว่า H.M. 







ดงั นัน้ คา่ เฉลี่ยของอัตราการทาํ งานของท้งั 5 คือ...................................นาทีตอ่ งานหน่ึงหน่วย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 92

แบบฝึกเสริม เพ่มิ ความเข้าใจ
ค่าเฉล่ยี เรขาคณิต คา่ เฉลย่ี ฮารม์ อนกิ

คาชแี้ จง 1. จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและคา่ เฉลยี่ ฮาร์โมนิคของ

1) 2, 3, 6, 8, 27
2) 2, 4, 6, 8, 10
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. มีนักเรียนคนหนึ่งว่ิงรอบสนามส่ีเหล่ียมจัตุรัส โดย ด้านแรกว่ิงด้วยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที ด้านที่
สองว่ิงด้วยอัตราเร็ว 7 เมตร/วินาที ด้านท่ีสามวิ่งด้วยอัตราเร็ว 8 เมตร/วินาที ด้านท่ีสี่ว่ิงด้วยอัตราเร็ว 5 เมตร/
วินาที จงหา อัตราเรว็ ในการวง่ิ ของนักเรียนคนน้ี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. เจ้าของรถยนตค์ ันหน่งึ ใชน้ ้ํามันเครือ่ งยีห่ ้อหน่ึง ซ่งึ มีราคาเพิ่มขน้ึ ทกุ ปี โดยท่ีปีแรกราคาลิตรละ 8 บาท
ปีทีส่ องราคาลิตรละ 12 บาท ปีทีส่ ามราคาลิตรละ 18 บาท ปีที่สี่ราคาลิตรละ 28 บาท จงหาราคาเฉล่ียของนํ้ามัน
เครื่องทง้ั 4 ปีดงั กล่าว ถ้า
1) เจ้าของรถยนตใ์ ชเ้ งินไป 1,000 บาท สําหรบั คา่ น้าํ มนั เครอื่ งในแต่ละปี
2) แตล่ ะปเี ขาใชน้ ํา้ มนั เคร่ือง 10 ลิตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 93

4. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหนึ่งท่ีความดันต่าง ๆ กัน ได้ผลมีหน่วยเป็นลูกบาศก์ดังนี้ 3, 2.4, 4,
4.8 จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณติ ของปรมิ าตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. คนงาน 8 คน มรี ายได้ต่อวันจากการทํางานดังน้ี

คนงาน A B C D E F G H

รายได้ (บาท) 70 10 500 75 8 250 8 42

จงหาค่าเฉล่ียเรขาคณิตของรายไดต้ ่อวันของคนงานทั้ง 8 คน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จากข้อมูล 3, 5, 8, 7, 2 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และ
เปรียบเทียบค่าทงั้ สาม
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 94

กจิ กรรม : เปอรเ์ ซ็นไทล์ ควอร์ไทล์ เดไซล์
หาอยา่ งไร กรณแี จกแจงความถ่ี

มมุ ความรู้ การหาเปอรเ์ ซ็นไทล์ ควอร์ไทล์ และเดไซลข์ องข้อมูลท่แี จกแจงความถ่ี มีข้นั ตอนดังน้ี
1) หาตําแหน่งของค่าที่ต้องการ โดยใช้สูตรในการหาตําแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ ควอร์

ไทล์ และเดไซล์ ถ้า N เปน็ จาํ นวนข้อมลู ท้งั หมด สรุปไดด้ งั น้ี

ตําแหน่งของ Pr คือ ตําแหน่งท่ี Nr เม่ือ r  1, 2, 3

100

ตาํ แหนง่ ของ Qr คือ ตาํ แหนง่ ที่ Nr เมอ่ื r  1, 2, 3, ..., 99
4

ตําแหน่งของ Dr คอื ตาํ แหน่งที่ Nr เมอื่ r  1, 2, 3, ..., 9
10

2) เม่ือหาตําแหนง่ ของคา่ ทตี่ อ้ งการได้แลว้ ให้ตรวจดูวา่ คา่ ดังกลา่ วอยู่ในอนั ตรภาคช้ันใด

3) คํานวณหาคา่ ดังกลา่ วโดยใชว้ ิธกี ารเช่นเดียวกับการหามัธยฐานหรอื จะหาจากสูตรก็ได้
และสตู รทจี่ ะใชห้ านีก้ ค็ ล้ายกบั สูตรการหามัธยฐาน จะตา่ งกนั ตรงท่ีตําแหน่งและอันตรภาคช้ันท่ีใช้
หาเท่าน้ัน ถา้ N เปน็ จาํ นวนขอ้ มลู ท้ังหมดในประชากร หรือถ้าเป็นข้อมูลตัวอย่างให้ใช้ n แทน
N ซ่ึงสามารถสรุปเป็นสตู รไดด้ งั น้ี

Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




Qr  Nr  fL 
 f 
 L   4 I




Dr  Nr  fL 
 f 
 L   10 I




เม่อื L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชนั้ ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

I คอื ความกวา้ งของอันตรภาคชน้ั ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

fL คือ ผลบวกของความถี่ของทุกอันตรภาคชน้ั ที่มคี ่าตํ่ากวา่

อันตรภาคช้นั ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

f คอื ความถี่ของอันตรภาคชนั้ ที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 95

1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนจํานวน 50 คน แจกแจงได้ดังตาราง จงคํานวณหาค่าของ

,P25 D8 และ Q2

คะแนน จํานวน (คน)

91 - 100 2

81 - 90 8

71 - 80 14

61 - 70 12

51 - 60 6

41 - 50 5
31 - 40 3

วิธที า จากตารางข้างตน้ หาความถี่สะสมจะได้

จากตาราง N  50 และขอ้ มูลดังกลา่ วมีการแจกแจงความถี่

ตาํ แหนง่ ของ P25 คือ ตาํ แหน่งท่ี Nr = …………………………………………………………………

100

จะไดว้ ่าค่าของ P25 อยใู่ นอันตรภาคชัน้ ………………………………………

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




และเนอ่ื งจาก L  50.5, I  10, fL  8 และ fPr  6

ดงั นัน้ P25  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ P25  …………………………..คะแนน

ตําแหน่งของ D8 คือ ตําแหน่งที่ Nr = …………………………………………………………………

10

จะไดว้ ่าค่าของ D8 อยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั ………………………………………

จากสตู ร Dr  Nr  fL 
 f 
และเน่อื งจาก  L   10 I
ดงั น้ัน 



 และL  ................., I  ................., fL  ................. f  .................

D8  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนั้น D8  …………………………..คะแนน

ตาํ แหนง่ ของ Q2 คอื ตาํ แหน่งท่ี Nr = …………………………………………………………………

4

จะได้วา่ ค่าของ Q2 อยใู่ นอันตรภาคชนั้ ………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 96

จากสูตร Qr  Nr  fL 
 f 
และเน่อื งจาก  L  4 I
ดังนน้ั 



 และL  ................., I  ................., fL  ................. f  .................

Q2  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั Q2  …………………………..คะแนน
2. คะแนนสอบของนักเรยี น 60 คน มกี ารแจกแจงได้ดงั นี้

คะแนน จํานวนนกั เรียน

21 - 30 2

31 - 40 5

41 - 50 8

51 - 60 24

61 - 70 6

71 - 80 9

81 - 90 6

เสาวภาและจารุณีเป็นนักเรียนในกลุ่มน้ี จารุณีได้คะแนนในตําแหน่งควอร์ไทล์ท่ี 3 และเสาวภาได้

คะแนนในตําแหนง่ เดไซล์ที่ 9 ถา้ คะแนนเต็ม 100 คะแนน เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารุณีกเี่ ปอร์เซ็นต์

วธิ ีทา จะหาว่าเสาวภาได้คะแนนมากกว่าจารุณีกี่เปอร์เซ็นต์ ซ่ึงจะต้องหาคะแนนของเสาวภาและจารุณีให้ได้

เสียก่อน นัน่ คือ ตอ้ งหา Q3 และ D9

จากตารางจะพบว่า จาํ นวนนกั เรยี นทัง้ หมดคือ N  .....................
1) หาตาํ แหนง่ ของ Q3 และ D9 เนื่องจาก N  60 และขอ้ มลู ดังกล่าวมกี ารแจกแจงความถ่ี

ดงั นัน้ ตําแหนง่ ของ Q3 คือ ตําแหน่งที่ Nr  ..........................................................
4

ตาํ แหนง่ ของ D9 คือ ตําแหนง่ ท่ี Nr  ..........................................................
10

2) หาอนั ตรภาคช้นั ท่ี Q3 และ D9 อยู่

อันตรภาคชั้นที่ Q3 อยทู่ ี่ตาํ แหนง่ ท.ี่ ..........เมื่อนับนกั เรียนท่ไี ด้คะแนนน้อยท่ีสดุ ไปหานักเรียนท่ี

ได้คะแนนมากทส่ี ดุ ตามลําดบั นกั เรยี นคนท่ี 45 จะอยใู่ นอันตรภาคช้ัน 61 - 70 และจะมีคะแนนมาก

ทสี่ ดุ ในจํานวนนกั เรยี นท้งั หมดทีอ่ ย่ใู นอันตรภาคชัน้ ดังกล่าว

จะได้ว่า Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

นน่ั คือ Q3  ......... คะแนน จากตารางแสดงวา่ คนท่ี 45 จะมีคะแนนอยู่ทขี่ อบบนของอนั ตรภาคชั้น
ซง่ึ เทา่ กับ....................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 97

อนั ตรภาคช้ันท่ี D9 อยู่ท่ตี าํ แหนง่ ท.ี่ ..........เม่อื นับนกั เรยี นที่ได้คะแนนน้อยทีส่ ดุ ไปหานกั เรียนท่ี
ได้คะแนนมากที่สุด ตามลําดับ จะพบว่านักเรียนคนท่ี 54 จะเป็นคนที่อยู่ในอันตรภาคชั้น 71 - 80

และจะมีคะแนนมากที่สุดในจาํ นวนนกั เรยี นท้งั หมดทอ่ี ยู่ในอันตรภาคชนั้ ดังกล่าว

จะได้ว่า D9  ……………………………………………..
= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

นน่ั คือ D9  ......... คะแนน จากตารางแสดงว่า คนที่ 54 จะมคี ะแนนอยู่ที่ขอบบนของอันตรภาคชนั้
ซึ่งเทา่ กบั ....................

เพราะฉะนัน้ เสาวภาได้คะแนน……………….คะแนน

จารณุ ีไดค้ ะแนน………………....คะแนน

น่ันคอื เสาวภาไดค้ ะแนนมากกว่าจารณุ ี........................................................คะแนน

เนอ่ื งจาก การสอบครั้งน้ีมคี ะแนนเตม็ 100 คะแนน

ดังนนั้ เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารุณี……………....เปอรเ์ ซ็นต์

3. จากผลการสอบของนักเรียน 120 คน ปรากฏผลดังตารางตอ่ ไปน้ี

คะแนน จํานวนนกั เรียน

30 - 39 1

40 - 49 3
50 - 59 11

60 - 69 21

70 - 79 43
80 - 89 32

90 - 99 9

จงหา Q2, D5 และ P50 แล้วเปรยี บเทียบคา่ ที่ได้
วิธที า จากตารางหาความถีส่ ะสมไดด้ งั นี้

1) หา Q2, D5 และ P50 แลว้ เปรียบเทยี บค่าท่ีได้
(1) หา Q2

ตําแหน่งของ Q2 คือ ตําแหนง่ ท่ี Nr  ……………………………………………………………….
4

จะไดว้ ่าค่าของ Q2 อยูใ่ นอันตรภาคช้นั ………………………………….

จากสูตร Qr  Nr  fL 
 f 
 L  4 I




และเน่ืองจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดงั นน้ั Q2  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะน้ัน Q2  ........................ คะแนน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา