เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 148

ตัวอยา่ ง จากตารางสอบถามคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยและวชิ าภาษาองั กฤษของเด็กห้องหนงึ่ จาํ นวน 6 คน เป็น

ดังน้ี

คะแนนภาษาไทย 3 4 5 8 10 12

คะแนนภาษาอังกฤษ 1 3 4 12 14 18

1) จงเขียนแผนภาพการกระจาย และกราฟที่ใช้แทนความสัมพันธ์ระหว่างคะแนนวิชาภาษาไทยและคะแนน

วชิ าภาษาอังกฤษ

2) ถ้าเด็กคนหนึ่งในห้องนี้สอบวิชาภาษาไทยได้ 20 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของเด็ก

คนน้ี

3) ถ้าเด็กอีกคนหน่ึงในห้องน้ีสอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 33 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของ

เด็กคนนี้

วิธที า 1) ให้………….แทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย และ………….แทนคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ

จะได้แผนภาพการกระจายและกราฟดังนี้

2) ตอ้ งการพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ

แสดงวา่ ………….ทแี่ ทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเปน็ ตัวแปร………….และ
………….ทแ่ี ทนคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษเป็นตวั แปร………….

สมการทใ่ี ช้พยากรณ์ คือ………….………….………….หาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

นาํ ข้อมูลจากตารางท่ีโจทย์กําหนดให้มาสร้างตารางใหม่ดงั น้ี

Xi Yi X2i XiYi

31
43

54

8 12
10 14
12 18

6 6 6 6

 Xi  ..........  Yi  ..........  X2i  ..........  XiYi  ..........

i1 i1 i1 i 1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 149

นําค่าต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่า………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดังน้ัน สมการท่ใี ช้ในการพยากรณ์คือ……………………………………………….

แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….

แสดงว่า คะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษของเด็กคนนีเ้ ทา่ กับ…………………….คะแนน

3) ตอ้ งการพยากรณค์ ะแนนสอบวชิ าภาษาไทย สามารถเลอื กทําได้ 2 วิธี

วิธที ี่ 1 สมมติตวั แปรท่ีโจทยท์ โ่ี จทย์ตอ้ งการพยากรณใ์ หมเ่ ป็นดังน้ี

ให้ …………. ที่แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษเป็นตวั แปรอิสระ

…………. ทีแ่ ทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเป็นตวั แปรตาม

นาํ ขอ้ มูลจากตารางท่ีโจทย์กําหนดให้ มาสรา้ งตารางใหมเ่ ปน็ ดงั นี้

Xi Yi X2i XiYi

13

34

45

12 8

14 10

18 12

6 66 X2i  .......... 6

  Xi  ..........  XiYi  ..........
Yi  ..........
i1 i1 i1 i 1

นําค่าต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่า………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั น้นั สมการที่ใชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….

แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….

แสดงว่าคะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของเด็กคนนี้เท่ากับ………………..คะแนน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 150

วิธีท่ี 2 ใหต้ ัวแปร………….และ………….แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษตามลาํ ดบั
แต่ …………. คะแนนสอบวิชาภาษาไทยเปล่ยี นเป็นตวั แปรตาม
และ …………. คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเปลย่ี นเป็นตัวแปรอิสระ
ดงั นั้น สมการทใ่ี ช้พยากรณเ์ ปลี่ยนเปน็ ……….………….………….หาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

นาํ ข้อมูลจากตารางท่โี จทย์กําหนดให้ มาสร้างตารางใหม่เปน็ ดังน้ี

Xi Yi Yi2 XiYi

311 3

4 3 9 12

5 4 16 20

8 12 144 96

10 14 196 140

12 18 324 216

6 66 Yi2  .......... 6

  Xi  ..........  XiYi  ..........
Yi  ..........
i1 i1 i1 i 1

นําคา่ ต่าง ๆ จากตารางมาแทนค่าในสมการปกติ

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

จะเหน็ ว่าได้เหมือนกับระบบสมการสมการปกตทิ ั้งสองในวธิ ีท่ี 1

ดงั นน้ั ไมว่ า่ จะทําดว้ ยวธิ ที ่ี 1 หรือวธิ ที ่ี 2 กจ็ ะได้คําตอบเทา่ กัน

แบบฝึกเสริมเพ่มิ ความเข้าใจ 5
0
1. กําหนดให้ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชันระหวา่ งขอ้ มูลทกี่ าํ หนดใหต้ ่อไปนีเ้ ป็นตรง
Xi 0 1 2 3 4
Yi 5 4 3 2 1

1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูล
2) จงหาสมการทัว่ ไปของความสัมพันธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ท่ีมี Y เป็นตัวแปรตาม
3) ถ้าคา่ X = 4 แล้ว ค่า Y มคี า่ เทา่ ใด
4) จงหาสมการทัว่ ไปของความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชันท่ีมี X เป็นตัวแปรตาม
5) ถา้ ค่า Y = 2 แลว้ คา่ X มคี า่ ใด
วิธีทา 1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของข้อมูล

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 151

2) จงหาสมการท่วั ไปของความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชนั ทม่ี ี Y เป็นตวั แปรตาม

Xi Yi XiYi X2i Yi2

05 6

14  Yi2  ..........

23 i1

32

41

50

6 66 6 X2i  ..........

   Xi  ..........
Yi  .......... XiYi  ..........
i1 i1 i1 i1

สมการทว่ั ไปคอื ………….………….………….และหาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
..........(2)
จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a =……………….., b =………………..
ดังนั้น สมการท่ัวไป คือ ………………..………………..……………………..

3) ถา้ คา่ X = 4 แลว้ คา่ Y มคี ่าเท่าใด
จาก สมการทั่วไป คือ ………………..………………..………………………..
แทนคา่ X = 4 ลงใน สมการทว่ั ไป จะได้………………..………………..

4) จงหาสมการท่วั ไปของความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ท่มี ี X เปน็ ตวั แปรตาม
สมการทัว่ ไปคอื ………….………….………….และหาค่า a และ b ได้จากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….
จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a =……………….., b =………………..
ดังนน้ั สมการท่วั ไป คอื ………………..………………..……………………..

5) ถ้าคา่ Y = 2 แล้วคา่ X มคี า่ ใด
จากสมการทว่ั ไป คือ ………………..………………..………………………..
แทนค่า Y = 2 ลงในสมการทวั่ ไป จะได้………………..………………..

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 152

2. ให้ตัวแปร X แทนรายจ่ายของบริษัทร่ํารวยจํากัด มีหน่วยเป็นหม่ืนบาท และตัวแปร Y แทนรายรับของบริษัท
ราํ่ รวยจาํ กัด มหี นว่ ยเป็นแสนบาท ถา้ รายรบั และรายจา่ ยของบริษทั นม้ี คี วามสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันแบบเส้นตรง
จงพยากรณร์ ายจา่ ย เม่อื บริษัทมีรายรับ 12 แสนบาท และ

10 10 10 10 10

    Xi  15, Yi  30, X2i  55, Yi2  210, XiYi  207

i1 i1 i1 i1 i1

วธิ ที า ตอ้ งการพยากรณร์ ายจา่ ย แสดงว่า………..เปน็ ตวั แปรตาม สว่ นรายรับ………..เป็นตัวแปรอสิ ระ
และความสมั พันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างสองตัวแปรเป็นแบบเสน้ ตรง
ดงั นน้ั สมการทใี่ ชพ้ ยากรณ์คือ คอื ………..………..………..และหาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
สมการท่ัวไปคอื ………….………….………….และหาคา่ a และ b ได้จากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ตา่ ง ๆ ที่โจทย์กาํ หนดให้ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนค่า………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดังนน้ั สมการทใ่ี ชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….
แทน Y = ………………..จะได้ X = ………………………………………….
ดังนั้น บรษิ ทั จะมีรายจ่าย เทา่ กบั ………………….หมนื่ บาท เทา่ กบั ………………….บาท

3. จากตารางขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี

ปรมิ าณปยุ๋ (กโิ ลกรัมต่อไร)่ ผลผลติ (กิโลกรมั ต่อไร)่

18
29
3 10
4 12
5 15

ถ้าปรมิ าณปยุ๋ เป็น 3.5 กโิ ลกรัมตอ่ ไร่ แลว้ ผลผลิตเป็นเท่าไร
วธิ ที า ให้…………..แทนปรมิ าณปุ๋ย และ…………..แทนผลผลิต

นาํ ค่า…………..และ…………..จากขอ้ มลู ไปกาํ หนดเปน็ จุดเพือ่ ดูลกั ษณะของกราฟ ไดด้ ังนี้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 153

Y

16

14

12

10

8

6

0123456

จะได้ว่า แนวโนม้ ของความสัมพันธ์มลี กั ษณะเป็น…………………….. X
เนือ่ งจากความสมั พนั ธ์ดงั กล่าวเปน็ ความสัมพนั ธเ์ ชิงเสน้

ดังนน้ั สมการทว่ั ไปคือ………….………….………….และหาค่า a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

Xi Yi XiYi X2i

18

29

3 10

4 12

5 15

55 5 5

 Xi  .......... Yi  ..........  XiYi  ..........  X2i  ..........
i1 i1
i 1 i1

แทนค่าต่าง ๆ ท่โี จทยก์ าํ หนดให้ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่า………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดังน้ัน สมการท่ใี ชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….

แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….

นั่นคอื เม่ือใช้ป๋ยุ 3.5 กิโลกรัมตอ่ ไร่ จะได้ผลผลติ เทา่ กับ……………………กิโลกรัมต่อไร่

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 154

4. ขอ้ มลู แสดงสถติ ิเก่ียวกับคา่ ใช้จ่ายในการโฆษณากับรายรบั ที่ไดจ้ าการขายสนิ ค้าของบริษัทแหง่ หน่งึ
คา่ โฆษณา (ร้อยบาท) รายไดจ้ ากการขายสนิ คา้ (ร้อยบาท)
6 50
4 40
8 70
2 30
5 60

1) จงสรา้ งแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2) จงหาสมการท่ีแสดงความสมั พันธข์ องการโฆษณากบั รายรบั ท่ีไดจ้ าการขายสนิ ค้า
3) ถา้ ค่าใชจ้ ่ายในการโฆษณาเทา่ กับ 500 บาท จงประมาณรายไดจ้ ากการขายสนิ คา้
วิธีทา 1) กําหนดให้ X แทนค่าโฆษณา และ Y แทนรายไดจ้ ากการขายสินคา้

นาํ คา่ X และ Y จากข้อมลู ไปกําหนดเป็นจุดเพื่อดลู ักษณะของกราฟ ได้ดงั นี้

Y

80

70

60

50

40

30
20

123456789

จะไดว้ า่ แนวโน้มของความสมั พนั ธ์มีลกั ษณะเป็น……………………….
2) เน่อื งจากความสัมพนั ธ์ดงั กลา่ วเป็นความสมั พันธเ์ ชิงเส้น ดงั นน้ั สมการแสXดงความสมั พนั ธ์เชงิ เสน้ อยู่

ในรูป……………………….……………………….โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คอื

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

Xi Yi XiYi X2i

6 50 5 5
4 40
8 70  XiYi  ..........  X2i  ..........
2 30
5 60 i 1 i1

5 5

 Xi  ..........  Yi  ..........

i1 i1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 155

แทนคา่ ต่าง ๆ ทโ่ี จทยก์ ําหนดให้ จะได้
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นัน้ สมการท่ใี ชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….
3) คา่ ใช้จา่ ยในการโฆษณาเท่ากับ 500 บาท

แสดงว่า X =………….. (มหี น่วยเปน็ รอ้ ยบาท) ดังนั้น Y = …………………………………
แต่ Y เป็นค่าโดยประมาณที่ใกล้เคียงมากทสี่ ดุ ซง่ึ Y มหี น่วยเป็นร้อยบาท
แสดงว่าถ้าโฆษณาไป……………บาทจะมีรายได้จากการขายสนิ คา้ โดยประมาณ……………บาท

5. ตารางทีก่ ําหนดใหเ้ ป็นการแสดงรายได้ – รายจ่ายของข้าราชการจํานวน 5 คน จากข้าราชการแผนกหนึ่ง

คนท่ี รายได้ (พนั บาท) รายจ่าย (พนั บาท)

12 2

23 2

34 3

46 5

55 3

ถ้าข้าราชการคนหนง่ึ ในแผนกดังกล่าวมีรายได้ 8,000 บาท จงประมาณรายจา่ ยของข้าราชการคนน้ี

วิธที า กําหนดให้ X แทนรายได้ และ Y แทนรายจา่ ย

นาํ ค่า X และ Y จากข้อมลู ไปกําหนดเป็นจุดเพ่ือดูลักษณะของกราฟ ได้ดังนี้

Y
5.5

5.0

4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0
1.5

1234567

จากกราฟแนวโนม้ ของความสัมพนั ธ์มลี กั ษณะเป็น…………..ดังนั้น สมการแสดงความสัมพันธ์เชงิ เสน้ จะอยู่
ในรปู ………………………………….โดยท่ี a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ Xคือ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 156

Xi Yi XiYi X2i

22 4 4

32 6 9

4 3 12 16

6 5 30 36
5 3 15 25

55 5 5

 Xi  .......... Yi  ..........  XiYi  ..........  X2i  ..........
i1 i1
i 1 i1

แทนค่าต่าง ๆ ที่โจทยก์ ําหนดให้ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นน้ั สมการที่ใชใ้ นการพยากรณค์ อื ……………………………………………….

ถา้ ขา้ ราชการคนหนงึ่ ในแผนกดงั กลา่ วมรี ายได้ 8,000 บาท แสดงวา่ X = ……………(มีหนว่ ยเป็นพัน
บาท)

ดงั นั้น ………….………….………….………….………….………….………….………….

แต่ Y เป็นคา่ โดยประมาณที่ใกล้เคยี งมากทีส่ ดุ ของ ซ่ึง Y มีหนว่ ยเปน็ พันบาท

แสดงว่า ขา้ ราชการคนหนึ่งในแผนกดังกล่าวมีรายได้ 8,000 บาท จะมรี ายจ่ายโดยประมาณ…………..บาท

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 157

กิจกรรม : การประมาณค่าของคา่ คงตัว
โดยใชว้ ธิ ีกาลังสองนอ้ ยสดุ
ตอนท่ี 2

จากการใช้วิธีกําลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการที่เรียกว่า ………………………………(normal
equations) โดยมีจาํ นวนสมการเท่ากบั จาํ นวนคา่ คงตวั ท่ตี อ้ งการหากล่าวคือ

1. สมการพาราโบลา
มรี ปู สมการทว่ั ไปคือ

สมการปกติ คอื

ตวั อย่าง กําหนดข้อมลู ดงั ต่อไปนี้
วิธที า X -2 -1 0 1 2
Y 21359

1) จงเขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู
2) จงประมาณค่า Y เมอ่ื กําหนดให้ X = 3
1) แผนภาพการกระจายของข้อมูลไดด้ ังน้ี

Y

10

8

6

4

2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3

2) จากแผนภาพการกระจายของขอ้ มูลความสัมพนั ธร์ ะหว่าง x และ y เปน็ สมการพาราโบลา

X

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 158

ดังน้ัน สมการแสดงความสัมพันธ์พาราโบลาจะอยู่ในรูป……………………………………………...
โดยท่ี a, b และ c สามารถหาไดจ้ ากสมการปกตคิ ือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (3)
ค่าตา่ ง ๆ ทจี่ ะนาํ ไปแทนในแต่ละสมการสามารถหาไดจ้ ากตารางต่อไปน้ี
Xi Yi XiYi X2i X2i Yi Xi3 Xi4
2 2
1 1
03
15
29

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(5)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(6)

แก้สมการหาคา่ a, b และ c จากระบบสมการข้างต้น จะได้
จากสมการ (5); ………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
นํา 2(4); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(7)
นํา (6)–(7); ………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ a = …………… ในสมการ (4) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดังนั้น สมการแสดงความสมั พันธ์ระหว่าง X กับ Y คอื ………….………….………….………….………….
ถา้ X = 3 จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….………….……..

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 159

แบบฝกึ เสรมิ เพม่ิ ความเข้าใจ X2i Yi

1. จงหาสมการพาลาโบลาทเ่ี หมาะสมสาํ หรับขอ้ มูลทีก่ าํ หนดให้ต่อไปน้ี

X 01234

Y 1 5 10 22 38

วิธีทา สมการแสดงความสมั พันธพ์ าราโบลาจะอย่ใู นรูป……………………………………………...
โดยท่ี a, b และ c สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติคอื
………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (3)
ค่าต่าง ๆ ทีจ่ ะนาํ ไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาไดจ้ ากตารางต่อไปน้ี

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi
01
15
2 10
3 22
4 38

จากตาราง แทนคา่ ในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(5)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(6)

แก้สมการหาค่า a, b และ c จากระบบสมการขา้ งต้น จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

ดังนั้น สมการแสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ ง X กับ Y คือ ………….………….………….…..
2. ถ้าตัวแปร x และ y คอื

x 1 0 1 2 3
y 1 0 1 3 10
และสมการท่ีใชป้ ระมาณความสมั พันธ์ระหว่างสองตวั แปรนค้ี อื y = kx2 แล้ว k มีค่าเทา่ กบั เทา่ ไร
วิธีทา จากโจทย์ สมการที่ใช้ประมาณความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งสองตัวแปรนี้เปน็ สมการพาราโบลา y = kx2
จงึ มสี มการปกติ ดงั น้ี
………….………….………….………….………….………….………….………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 160

เราสามารถสร้างตารางหาคา่ ต่าง ๆ ไดด้ ังน้ี
xi yi
1 1
00
11
23
3 10

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….

น่นั คอื ………….………….………….………….………….………….………….………….

3. จากการศกึ ษาพบวา่ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งอายุ (x) และปรมิ าณอาหารเสรมิ ท่ใี ชเ้ ลี่ยงทารก (y) มีสมการเป็น
y = 1.2x2 + 5x + 3 ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่งมีเด็กทารกจํานวน 5 คน ซึ่งมีอายุ 4, 6, 8, 9, 10 เดือน

ตามลําดับ ปรมิ าณอาหารเสริมเฉล่ยี ท่ีใช้เลีย้ งทารกจํานวนนเี้ ปน็ เท่าใด
วธิ ที า จากโจทย์ สมการท่ีใช้ประมาณความสัมพันธร์ ะหว่างสองตัวแปรน้ีเป็น y = 1.2x2 + 5x + 3

จึงมีสมการปกติ ดงั น้ี ………….………….………….………….………….………….………….………….

ดังน้นั ………….………….………….………….………….………….………….………….

นํา n หารตลอด; ………….………….………….………….………….………….………….………….

ฉะนั้น ………….………….………….………….………….………….………….………….

จากโจทย์ ………….………….………….………….………….………….………….………….

และ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นาํ (2) และ (3) แทนในสมการ (1) จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นั้น ปริมาณอาหารเสริมเฉล่ียทีใ่ ชเ้ ลยี้ งทารกจาํ นวนเท่ากบั ………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 161

กจิ กรรม : การประมาณค่าของค่าคงตัว
โดยใช้วิธีกาลงั สองนอ้ ยสดุ
ตอนจบ

ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ของข้อมลู ทอ่ี ยู่ในรปู อนุกรมเวลา
ขอ้ มลู ทีอ่ ยู่ในรูปอนุกรมเวลา (Time series) คือ ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
เช่น…………………………………………………………………………………………………………………………………………………เปน็ ต้น
ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา ใช้วิธีเดียวกันกับท่ีใช้ในการสร้าง
ความสัมพันธ์เชงิ ฟังกช์ นั ของตัวแปรโดยทวั่ ๆ ไป คอื

เม่ือ…………….เป็นตวั แปรตาม และ…………….เปน็ ตัวแปรอสิ ระ

เทคนคิ การสมมติตัวเลขแทนชว่ งเวลาท่เี ท่า ๆ กัน
การสร้างสมการของความสัมพันธ์ของข้อมูลท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา และวิธีคิดคํานวณดําเนินการ
เช่นเดยี วกบั ความสมั พันธข์ องข้อมูลท่ัว ๆ ไป เพยี งแต่เปลยี่ นตวั แปร X เปน็ ตัวเลขตามหลกั เกณฑต์ ่อไปนี้
1. ถา้ จํานวนช่วงเวลาทนี่ าํ มาสร้างความสัมพันธเ์ ปน็ จํานวนค่ี แล้ว
1.1 มกั จะกําหนดใหช้ ว่ งเวลาทอ่ี ยตู่ รงกลางเปน็ …………….
1.2 ช่วงเวลาท่ีอยู่ถัดข้ึนไปก่อนหน้าช่วงที่กําหนดเป็น…………….…………….…………….……………….
ตามลาํ ดบั
1.3 ช่วงเวลาท่ีอยู่ถัดลงมาซ่ึงเป็นช่วงเวลาท่ีเกิดข้ึนภายหลัง จะกําหนดเป็น…………….…………….
ตามลําดับ
2. ถ้าจาํ นวนช่วงเวลาทน่ี ํามาสรา้ งความสัมพันธเ์ ป็นจํานวนคู่
2.1 มกั จะกาํ หนดให้ช่วงเวลาที่อยตู่ รงกลางเป็น…………….และ…………….
2.2 ช่วงเวลาท่ีอยู่ถัดขึ้นไปก่อนหน้าช่วงเวลาท่ีกําหนดให้เป็น…………….นี้เป็น…………….……………
ตามลาํ ดบั
2.3 ช่วงเวลาท่ีอยู่ถัดลงมาหลังช่วงเวลาที่กําหนดให้เป็น…………….นี้เป็น…………….……………………
ตามลาํ ดับ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 162

ตัวอยา่ งเสรมิ เพมิ่ ความเขา้ ใจ

จานวนช่วงเวลาที่เป็นจานวนค่ี จานวนช่วงเวลาที่เปน็ จานวนคู่

พ.ศ. Xi พ.ศ.
2550 2551

2551 2552

2552 2553

2553 2554

2554 2555

2555 2556 n Xi =
2556

ตัวอย่างที่ 1 ให้ใชค้ วามสัมพนั ธ์เชิงฟังกช์ ันท่ีเปน็ เสน้ ตรงกบั ข้อมูลตอ่ ไปนี้
i=1

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

จาํ นวนเครอื่ งจกั รทีข่ าย (พนั เครื่อง) 1 2 4 5 7

ในปี พ.ศ. 2557 จาํ นวนเครอ่ื งจกั รท่ขี ายไดค้ วรจะเป็นเทา่ ใด
วิธที า กําหนดให้……….แทนเวลา (พ.ศ.) และ……….แทนจํานวนเคร่ืองจักรทข่ี ายได้

ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ ันที่เปน็ เส้นตรง……….…….โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติคือ
………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

คา่ ต่าง ๆ ท่ีจะนําไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาไดจ้ ากตารางต่อไปน้ี Xi2

พ.ศ. Xi Yi XiYi

2550

2551

2552

2553

2554

6666
Xi   Yi   XiYi   Xi2 

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนคา่ ใน (1); ………….………….……………….………….………….………….…………..….. (3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ใน (2); ………….………….………….…….………….………….………….………….…… (4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นนั่ คือ สมการทแ่ี สดงความสมั พันธท์ ตี่ ้องการ คือ……….………….………….……………..

ในปี พ.ศ. 2557 แสดงว่า X =…………. (X มีหน่วยเปน็ พนั บาท)

ดงั นั้น ………….………….………….………….………….………….………….………….

แสดงวา่ จํานวนเครื่องจกั รทขี่ ายได้ประมาณ………………………………เครื่อง

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 163

ตัวอยา่ งท่ี 2 ถ้าระยะเวลากับจํานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทแห่งหน่ึงในรอบ 6 ปี ท่ีผ่านมาเป็นข้อมูลอยู่ใน
วธิ ที า รปู อนกุ รมเวลาดังนี้

พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555 2556

จานวนสินค้า (หมนื่ ชน้ิ ) 5 6 9 12 16 24

1) จงเขียนแผนภาพการกระจาย
2) จงพยากรณว์ ่าในปี พ.ศ. 2559 บริษัทแห่งนี้จะมีจาํ นวนสนิ คา้ ที่ขายได้เท่าไร
3) จงพยากรณ์จาํ นวนสนิ คา้ เฉลีย่ ทีข่ ายได้ต่อปตี งั้ แต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559
กาํ หนดให้ X แทนเวลา (พ.ศ.) และ Y แทนจาํ นวนสนิ ค้า (หมนื่ ชิ้น)
1) แผนภาพการกระจาย เปน็ ดงั นี้

2) เนื่องจากข้อมูลมีความสัมพั นธ์เป็นเส้นตรง ดั ง นั้ น ส ม ก า ร พ ย า ก ร ณ์

คอื ……….……….……….……….

โดยที่ a และ b หาไดจ้ ากสมการปกติ คือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นําข้อมลู จากตารางทกี่ าํ หนดให้ มาสร้างตารางใหมด่ ังนี้
Xi2
พ.ศ. Xi Yi XiYi

2551

2552

2553

2554

2555

2556

666 6
 X2i 
 Xi   Yi   Xi Yi 
i1 i1 i1
i 1

นําค่าต่าง ๆ จากตารางมาแทนค่าในสมการปกติ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

จาก (1);………….………….………….………….………….………….………….………….

จาก (2); ………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นนั้ สมการพยากรณ์คือ………….………….………….………….………….………….………….………….

ตอ้ งการพยากรณ์ปี พ.ศ. 2559 ซึง่ แทน X = ………….จะได้.………….………….………….………..

แสดงวา่ ในปี พ.ศ. 2559 จํานวนสินค้าท่ขี ายได้เท่ากบั .………….หม่นื ชิน้ หรอื เทา่ กับ……………ชน้ิ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 164

3) ตอ้ งการพยากรณ์จาํ นวนสินค้าเฉลี่ยที่ขายได้ตอ่ ปีตั้งแต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559
พ.ศ. X Y = 1.83X + 12
2557
2558
2559

3

 Yi 

i1

ดงั นัน้ จํานวนสินคา้ เฉลีย่ ทข่ี ายได้ตอ่ ปีตั้งแต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559
เทา่ กับ……………………………………. หมืน่ ช้นิ หรอื เท่ากบั …………………………….ชิน้
แบบฝึกเสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ

1. มลู ค่าอุตสาหกรรมสิ่งทอท่ปี ระเทศไทยสง่ ออกไปขายยงั ตา่ งประเทศระหว่างปี พ.ศ. 2550 – 2554 เป็นดังนี้
พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

มลู ค่า (ล้านบาท) 1 3 4 5 9
1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มูล
2) มูลค่าการสง่ ออกโดยเฉลีย่ ใน 6 เดือนแรกของปี พ.ศ. 2555 จะมคี ่าเทา่ กับเท่าใด
วธิ ีทา 1) เขียนแผนภาพการกระจายของขอ้ มูลไดด้ งั น้ี

2) ต้องการมลู คา่ การสง่ ออก ซึง่ แทนด้วย……………
จากแผนภาพการกระจายของข้อมลู ความสัมพันธร์ ะหวา่ ง X และ Y เปน็ แบบเส้นตรง
ดงั น้ัน สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูป…….……….…โดยที่ a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ
คอื

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นําข้อมูลจากตารางท่กี ําหนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดงั นี้
Yi XiYi Xi2
พ.ศ. Xi

2550

2551

2552

2553

2554

5 5 5 5
x
xi   yi   xiyi  2 
i
i=1 i=1 i=1
i=1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 165

แทนค่าใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นั่นคือ สมการท่แี สดงความสมั พันธท์ ่ีตอ้ งการ คอื ……….………….………….……………..

ตอ้ งการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2555 ได้ X = ……… จะได้……….………….………….………….

ดงั นั้น ตลอดท้งั ปีมลู คา่ การส่งออก………………ลา้ นบาท และมูลค่าการสง่ ออกโดยเฉล่ีย 6 เดอื นแรก

เท่ากับ……….………….………….………….……….………….………….………….ล้านบาท

2. จากขอ้ มลู อนุกรมเวลา (Y) มคี า่ แสดงในตารางขา้ งล่างน้ี
พ.ศ. 2556 2557 2558 2559 2560
Y 20 30 20 40 60

ถา้ Y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันกับเวลา (X) ในลักษณะเส้นตรง แล้วสามารถทํานายค่า Y ในปี พ.ศ. 2565 ได้
เท่ากบั เทา่ ใด
วธิ ที า ตอ้ งการทํานายค่า Y เนื่องจากความสัมพันธร์ ะหวา่ ง X และ Y เปน็ แบบเส้นตรง

ดงั นั้น สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูป…….……….…โดยที่ a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ
คอื

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นําข้อมลู จากตารางท่ีกําหนดให้ มาสรา้ งตารางใหมด่ ังน้ี Xi2

พ.ศ. Xi Yi XiYi

2556

2557

2558

2559

2560

55 5 5
 xi   yi   xiyi  x
2 
i

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนคา่ ใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

น่นั คือ สมการท่แี สดงความสัมพนั ธ์ทต่ี อ้ งการ คือ……….………….………….……………..

ต้องการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2565 ได้ X = ……… จะได้……….………….………….………….

3. ข้อมูลตอ่ ไปนี้เปน็ รายไดข้ องบริษทั แห่งหนึ่งมีหน่วยเป็นล้านบาท จําแนกตามรายเดอื นในปี พ.ศ. 2556 ดังนี้

เดือน ม.ค. ก.พ. ม.ี ค. เม.ย. พ.ค. ม.ิ ย.

รายได้ 1.2 1.5 2 3 3.5 4.5

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 166

ถ้าแนวโน้มของความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับข้อมูลเป็นเส้นตรง จงประมาณรายได้ของบริษัทดังกล่าว ในเดือน

สิงหาคมของปีเดยี วกัน

วธิ ที า ให้ Y แทนรายได้ เนอ่ื งจากแนวโนม้ ของความสมั พันธร์ ะหว่างเวลากบั ขอ้ มลู เป็นเสน้ ตรง

ดังนัน้ สมการแสดงความสัมพันธ์เชงิ เส้นอยู่ในรปู ……….…โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นําขอ้ มลู จากตารางทีก่ าํ หนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดังนี้ XiYi X2i
เดอื น Xi รายได้ (Yi)

ม.ค.

ก.พ.
ม.ี ค.

เม.ย.

พ.ค.

มิ.ย.

66 6 6
 xi   yi   xiyi   xi2 

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนคา่ ใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่าใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

น่นั คอื สมการทีแ่ สดงความสมั พนั ธ์ที่ต้องการ คือ……….………….………….……………..

ต้องการพยากรณป์ ี เดือนสิงหาคม ได้ X =………จะได้……….………….………….…………

ดงั น้นั รายได้ของบรษิ ทั ดังกลา่ ว ในเดอื นสิงหาคมของปีเดียวกัน ประมาณ……………ล้านบาท

4. ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างระยะ (พ.ศ.) X กับปริมาณเน้ือหมูโดยเฉลี่ย (กิโลกรัม) ท่ีคนในอําเภอหนึ่งบริโภคต่อปี
Y1 ระหว่างปี พ.ศ. 2551 – 2555 แสดงด้วยสมการ Y1 = 0.05X2 + 0.25X + 10.5 และความสัมพันธ์ระหว่าง
เวลา (พ.ศ.) X กับปริมาณเน้ือวัวโดยเฉล่ีย (กิโลกรัม) ท่ีแต่ละคนในอําเภอเดียวกันบริโภคต่อปี Y2 ระหว่างปี
พ.ศ. 2551 – 2555 แสดงได้ด้วยสมการ Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4 (เมื่อ X = 0 แทนพ.ศ. 2553 และ X มี

หน่วยเป็นป)ี การทํานายปริมาณเน้ือหมูโดยเฉล่ียและปริมาณเนื้อวัว โดยเฉล่ียที่แต่ละคนในอําเภอน้ีบริโภคต่อ

ปใี นชว่ ง พ.ศ. 2556 – 2558 ในขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู

1. ปรมิ าณเน้อื หมูมากกวา่ ปรมิ าณเนอื้ ววั ทกุ ปี 2. ปริมาณเน้อื หมูน้อยกวา่ ปรมิ าณเน้อื ววั ทกุ ปี

3. ปริมาณเนอ้ื หมเู ท่ากับปริมาณเนือ้ วัวทกุ ปี 4. ปรมิ าณเนื้อหมมู ากกว่าปรมิ าณเน้ือวัวบางปี

วธิ ที า จากโจทย์ X = 0 แทน พ.ศ. 2553 จะได้
Y1 = 0.05X2 + 0.25X + 10.5 Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4
พ.ศ. Xi

2556

2557

2558

ดงั นัน้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นนั่ คอื ………….………….………….………….………….………….………….………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา