เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2560

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 98

(2) D5

ตาํ แหนง่ ของ D5 คอื ตาํ แหนง่ ท่ี Nr  ……………………………………………………………….
10

จะได้ว่าค่าของ D5 อยูใ่ นอนั ตรภาคชัน้ ………………………………….

จากสตู ร Dr  Nr  fL 
 f 
 L  10 I




และเนอื่ งจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดงั น้นั D5  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั D5  ........................ คะแนน
(3) P50

ตาํ แหนง่ ของ P50 คือ ตําแหน่งที่ Nr  ……………………………………………………………….

100

จะไดว้ า่ ค่าของ P50 อยใู่ นอันตรภาคชนั้ ………………………………….

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




และเนือ่ งจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดงั นนั้ P50  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั P50  ........................ คะแนน
จาก (1), (2) และ (3) จะได้ว่า……………………………………………..……………………………………………..

คาถาม : ชวนคดิ

นักเรียนคิดวา่ เม่ือหา Q1 และ P25 แล้วเปรยี บเทยี บคา่ ที่ได้จะเป็นอยา่ งไร เพราะเหตใุ ด

.......................................................................................... .............................................
.......................................................................................... .............................................
.......................................................................................... .............................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 99

แบบฝึกเสริม เพ่มิ ความเข้าใจ
เปอร์เซน็ ไทล์ ควอรไ์ ทล์ เดไซล์

คาชแี้ จง 1. จงใช้ข้อมลู ในตารางแจกแจงความถต่ี อบคําถาม ดังน้ี

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–99

ความถี่ 2 3 6 9 21 15 4
Q3 Q1
1) จงหาส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

2) จงหาคา่ ของ D8 – D4
3) ถ้านกั เรยี นคนหนงึ่ สอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเปน็ เปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไร

วธิ ีทา หาความถี่สะสมของขอ้ มูลจากตารางดังนี้

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 99 - 90

ความถ่ี 2 3 6 9 21 15 4

ความถี่สะสม Q3 Q1

1) หาสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คอื ตาํ แหนง่ ท่ี Nr = ……………………..............จะได้ว่าค่าของ Q1 อยู่ในอันตรภาคชนั้ …………….
4

 Nr  fL  และเนอื่ งจาก fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสูตร
Qr L  .........., I  ..........,



ดงั นนั้ Q1  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั Q1  …………………………..คะแนน

ตําแหนง่ ของ Q3 คอื ตําแหน่งท่ี Nr = ………………….............จะได้วา่ คา่ ของ Q3 อยู่ในอันตรภาคชั้น……………
4

 Nr  fL  และเนอ่ื งจาก fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสตู ร
Qr L  .........., I  ..........,



ดงั นน้ั Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ Q3  …………………………..คะแนน

ดงั นัน้ ส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์  Q3 - Q1  .........................................

2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 100

2) หา D8 – D4

ตําแหน่งของ D8 คือ ตําแหนง่ ที่ Nr = …………………..............จะไดว้ ่าค่าของ D8 อยใู่ นอันตรภาคชัน้ …………
10

 จากสตู ร  Nr  fL 
 f  และเน่อื งจาก fL  .......... และ f  ..........
Dr  L 10 I L  .........., I  ..........,




ดงั นน้ั D8  ……………………………………………..

เพราะฉะน้นั D8  …………………………..คะแนน

ตําแหนง่ ของ D4 คอื ตําแหนง่ ท่ี Nr = …………………..............จะได้ว่าค่าของ D4 อยู่ในอันตรภาคชัน้ …………
10

 จากสตู ร  Nr  fL 
 f  และเนอ่ื งจาก fL  .......... และ f  ..........
Dr  L 10 I L  .........., I  ..........,




ดังนน้ั D4  ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั D4  …………………………..คะแนน
ดังน้นั D8  D4  ………………………………………………….. คะแนน

3) ถ้านักเรียนคนหนงึ่ สอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเป็นเปอรเ์ ซ็นไทล์ทเ่ี ท่าไร
สมมตใิ หค้ ะแนน 84 คะแนนเปน็ คะแนนในตาํ แหนง่ Pr
Nr
น่นั คอื Pr อยู่ในตําแหนง่ ของข้อมลู ท่ี 100  ………………………………และ 84 อยใู่ นอนั ตรภาคช้ัน……………….

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




แทนค่าในสูตร ; ………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนั้น นกั เรียนท่ีสอบได้ 84 คะแนน สอบได้ตาํ แหนง่ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่.......................

2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักศึกษากลมุ่ หนง่ึ เป็นดังน้ี

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

จํานวนนกั ศึกษา 2 5 6 11 11 4 1

ในการสอบครัง้ น้กี ัญญาได้ 50 คะแนน ปราณไี ด้ 55 คะแนน และวิชยั ได้ 60 คะแนน

จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ว่าขอ้ ใดถกู หรือผดิ เพราะเหตุใด

ก. กัญญาได้คะแนนตา่ งจากตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 น้อยกวา่ ปราณีไดค้ ะแนนตา่ งจากตําแหน่งเดไซลท์ ี่ 5

ข. กัญญาไดค้ ะแนนตา่ งจากตาํ แหน่งควอร์ไทลท์ ่ี 1 มากกว่าวชิ ยั ได้คะแนนต่างจากตาํ แหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 80

ค. กญั ญาได้คะแนนต่างจากตาํ แหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 มากกวา่ ปราณีได้คะแนนตา่ งจากตาํ แหน่งเดไซล์ท่ี 5

ง. ปราณไี ด้คะแนนต่างจากตาํ แหนง่ เดไซลท์ ่ี 5 มากกวา่ วชิ ยั ไดค้ ะแนนตา่ งจากตําแหนง่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 80

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 101

วิธที า สรา้ งตารางแจกแจงความถดี่ งั น้ี
คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

จํานวนนักศึกษา 2 5 6 11 11 4 1
ความถีส่ ะสม
ควอร์ไทล์ที่ 1 อย่ใู นตําแหนง่ ความถี่สะสม………………………………ซึง่ อย่รู ะหว่างความถ่ีสะสม.......และ........

จากสตู ร Qr  Nr  fL  ดังน้นั Q1  …………………………………………………………
 f 
= L 4 I




= …………………………………………………………

กญั ญาได้ 50 คะแนน ต่างจาก Q1 เทา่ กับ................................................คะแนน
เดไซลท์ ี่ 5 อยู่ในตาํ แหนง่ ความถีส่ ะสม……………………………………ซ่ึงอย่รู ะหวา่ งความถี่สะสม.......และ........

จากสูตร Dr  Nr  fL  ดงั นนั้ D5  …………………………………………………………..
 f 
 L 10 I




= …………………………………………………………..

ปราณไี ด้ 55 คะแนน ตา่ งจาก D5 เทา่ กบั ................................................คะแนน

เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 อยู่ในตาํ แหน่งความถสี่ ะสม…………………………ซงึ่ อยูร่ ะหวา่ งความถ่สี ะสม......และ.......

จากสตู ร L  Nr  fL  ดังนนั้ P80  ………………………………………………………..
 f 
Pr    100 I




= ………………………………………………………..

วิชยั ได้ 60 คะแนน ตา่ งจาก P80 เท่ากับ................................................คะแนน

ดงั นนั้ ขอ้ ก ……………………………………………..……………………………………………..

ข้อ ข ……………………………………………..……………………………………………..

ขอ้ ค ……………………………………………..……………………………………………..

ขอ้ ง ……………………………………………..……………………………………………..

3. กําหนดให้คา่ จา้ งรายวนั ของคนงานกล่มุ หนึ่งมีการแจกแจงดงั น้ี

ค่าจ้าง (บาท) จํานวนคนงาน

81 - 85 1

86 - 90 3

91 - 95 x

96 - 100 5

101 - 105 8

106 - 110 y

111 - 115 10

116 - 120 4

ขอ้ มูลชุดนี้มี P25 100.5, Q3 110.5 แลว้ จาํ นวนคนงานที่ได้ค่าจา้ งรายวนั ตาํ่ กว่า 105.5 บาท เทา่ กบั เทา่ ใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 102

วิธีทา

จะได้ N  ………………….

เนือ่ งจากตาํ แหน่งของ Pr คือตําแหนง่ ท่ี Nr   50  ………………………………………
100
100

ตาํ แหนง่ ของ Q3 คือ ตาํ แหนง่ ที่ Nr   3  …………………………………………………
4
4

เพราะวา่ P25  100.5 อย่ใู นชว่ ง……………………..เพราะฉะนนั้ P25 มี fL  ………………………

ดงั นน้ั 1 31 x  y  9  x

4

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..…………………………………………….. (1)

เพราะว่า Q3  110.5 อยู่ในชว่ ง………………………..เพราะฉะนน้ั Q3 มี fL  ……………………

ดงั นัน้ 3 31 x  y  17  x  y

4

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..…………………………………………….. (2)

(1) + (2) ; ……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

น่นั คือ จํานวนคนงานท่ีได้ค่าจ้างรายวันตํ่ากว่า 105.5 บาท เทา่ กบั …………………………………………คน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 103

กิจกรรม : พิสยั
ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์

ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี

มุมความรู้ พิสยั (range)
พิสัย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายท่ีได้จากผลแตกต่างระหว่างข้อมูลท่ีมีค่าสูงสุดและ

ข้อมลู ทีม่ คี ่าตาํ่ สุด
ถา้ x1, x2, x3, ..., xn เป็นคา่ ของขอ้ มลู ชดุ หน่งึ

พิสยั  xMax  xMin

เม่อื xMax และ xMin เป็นคา่ สงู สดุ และคา่ ตาํ่ สุดของขอ้ มูลชุดนีต้ ามลาํ ดับ

ในกรณีทขี่ อ้ มูลแจกแจงความถ่โี ดยแบ่งเป็นอนั ตรภาคช้นั
พิสัย คือ ผลต่างของขอบบนของอันตรภาคช้ันของข้อมูลท่ีมีค่าสูงท่ีสุดกับขอบล่าง
ของอันตรภาคชั้นของข้อมลู ท่ีมีคา่ ตํ่าที่สดุ

1. จากตารางราคาสินค้าทีจ่ าํ หนา่ ยในห้างสรรพสินค้า 5 แห่งดังนี้

หา้ งสรรพสินค้า A B C D E

ราคาสนิ คา้ (บาท) 2,000 1,990 2,025 1,995 2,000

จงหาพิสัยของราคาสนิ ค้าทีจ่ ําหนา่ ย

วธิ ที า จากกตารางพบวา่ คา่ สงู สดุ ของข้อมูล คือ ....................................

คา่ ต่ําสดุ ของข้อมลู คือ ....................................

ดงั นน้ั พสิ ยั ของราคาสนิ ค้าทจ่ี ําหนา่ ย คือ........................................................................บาท

2. ตารางแจกแจงผลผลิตโดยเฉลี่ยตอ่ ไรข่ องถ่วั เหลอื งจาก 47 จงั หวดั ของประเทศไทยในปีเพาะปลูก 2555-2556

ผลผลติ ต่อไร่ (กโิ ลกรมั ) ความถี่

120 - 138 3

138 - 157 1

158 - 176 6

177 - 195 8

196 - 214 19

215 - 233 2

234 - 252 7

253 - 271 1

จงหาพสิ ยั ของข้อมลู จากตารางแจกแจงความถ่ี

วธิ ที า จากกตาราง อนั ตรภาคช้ันของข้อมลู ที่มีคา่ สงู สุด คอื ....................................

ขอบบนของอนั ตรภาคช้ัน 253 - 271 คือ ....................................

อนั ตรภาคช้นั ของข้อมูลที่มีตํา่ สูงสดุ คอื ....................................

ขอบล่างของอนั ตรภาคช้ัน 120 - 138 คอื ....................................

ดังนน้ั พิสัย คือ........................................................................กิโลกรมั

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 104

มุมความรู้ สว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ หรือกึ่งช่วงควอร์ไทล์ (quartile deviation หรือ semi -
interquartile range)

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายท่ีหาได้จากคร่ึงหนึ่งของผลต่าง
ระหว่างควอร์ไทลท์ ่ีสาม ( Q3 ) และควอร์ไทล์ท่ีหน่ึง ( Q1 ) ให้ Q.D. เป็นสัญลักษณ์แทนส่วน

เบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ จะไดว้ า่

Q.D.  Q3  Q1
2

3. จากข้อมูลท่กี าํ หนดให้ 1, 3, 3, 5, 5, 8, 10, 12, 14 จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์

วิธีทา นาํ ขอ้ มลู มาเรยี งลําดบั จากค่าน้อยไปหาค่ามาก จะได้

......................................................................................................................................................................

หาตาํ แหนง่ ของ Q1 และ Q3 จะได้

ตําแหนง่ ของ Q1 คือ ตําแหนง่ ที่ N 1  ...........................................................................
4

ตําแหน่งของ Q3 คือ ตําแหน่งท่ี 3 N 1  .....................................................................

4

จะไดว้ ่า Q1  ....................... และ Q3  .......................

ดงั นนั้ Q.D.  Q3  Q1 ........................................................................

2

นั่นคอื ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์ เท่ากบั ……………………….

4. กําหนดใหข้ อ้ มูลตอ่ ไปนเ้ี ป็นผลการสอบวชิ าสถติ ิของนกั เรียนจํานวน 120 คน

คะแนน จานวนนักเรยี น

30 - 39 1

40 - 49 3

50 - 59 11

60 - 69 21

70 - 79 43

80 - 89 32

90 - 100 9

รวม 120

จงหาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์

วธิ ที า หาตําแหน่งของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คอื ตาํ แหนง่ ที่ N  ..............................................................................
4

ตําแหน่งของ Q3 คอื ตาํ แหน่งที่ 3N  ..............................................................................
4

หาอนั ตรภาคชัน้ ที่ Q1 และ Q3 อยู่ พรอ้ มทั้งหาค่า Q1 และ Q3

จากขอ้ มลู ทีก่ าํ หนดใหห้ าความถีส่ ะสมได้ดังนี้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 105

คะแนน จาํ นวนนกั เรียน ความถี่สะสม

30 - 39 1 …………………

40 - 49 3 …………………

50 - 59 11 …………………

60 - 69 21 …………………

70 - 79 43 …………………

80 - 89 32 …………………

90 - 100 9 …………………

รวม …………………

เพราะฉะนน้ั Q1 อย่ใู นอนั ตรภาคช้ัน…………………และ Q3 อยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั …………………

หา Q1 ในอนั ตรภาคช้ันโดยใชส้ ตู รดังนี้ Q1  N  fL 
 f 
 L   4 I




เมอื่ L  ................., I  ................., N  ................., และfL  ................. f  .................
4

ดังนั้น Q1  .....................................................................................

หา Q3 ในอนั ตรภาคชน้ั โดยใช้สูตรดงั นี้   3N  fL 
 f 
Q3 L   4 I




เม่ือ L  ................., I  ................., 3N  ................., และfL  ................. f  .................
4

ดังน้นั Q3  .....................................................................................

เพราะฉะนน้ั Q.D.  Q3  Q1  …………………………………………………………….

2

น่ันคือ ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทลข์ องการสอบวิชาสถิตคิ รง้ั นเ้ี ท่ากับ…………………คะแนน

มมุ ความรู้ สว่ นเบีย่ งเบนเฉล่ีย (mean deviation หรือ average deviation)

สว่ นเบ่ียงเบนเฉลี่ย คอื ค่าท่ใี ช้วดั การกระจายของข้อมูลที่ได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์

ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดน้ัน ค่ากลางท่ีใช้

อาจเป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่นิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ให้ M.D. เป็น

สัญลกั ษณ์แทนส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย

การหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ทไ่ี มไ่ ด้แจกแจงความถี่

ถา้ x1, x2, x3, ..., xn เปน็ ข้อมูลตวั อย่าง n จาํ นวน และมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น

X แลว้ M.D.  x1  X  x2  X  ...  xn  X  n
n
 xi  X

i=1

n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 106

5. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็น 33, 39, 39, 48, 51, 60 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

คะแนนสอบวิชาฟิสิกสข์ องนักเรียนกลุม่ น้ี

วธิ ีทา จากสูตร X n เพราะฉะนั้น X  ...................................................

 xi

i=1

n

จากสตู ร M.D.  n

 xi  X

i=1

n

ดังนั้น M.D.  33  ........  39 ........  39 ........  48 ........  51 ........  60  ........

6

 ......................................................................................................................

 ......................................................................................................................

นน่ั คือ สว่ นเบ่ียงเบนเฉลย่ี คะแนนสอบวชิ าฟิสกิ ส์ของนักเรียนกลุม่ น้เี ทา่ กบั .................คะแนน

มมุ ความรู้ การหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลท่ีแจกแจงความถแ่ี ล้ว

ถ้า x1, x2, x3, ..., xk เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นต่าง ๆ k ช้ัน ซ่ึงมีความถ่ี
เป็น f1, f2, f3, ...., fk ตามลําดับ n เป็นจํานวนข้อมูลตัวอย่างทั้งหมด และถ้าข้อมูลชุดน้ีมี
ค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น X แล้ว สามารถคาํ นวณสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ (โดยประมาณ) ได้จากสูตร

kk
fi xi  X fi xi  X

M.D.  i=1  i=1
k n

 fi

i=1

เม่อื fi แทนความถ่ีของอนั ตรภาคชัน้ ท่ี i

xi แทนจดุ กึ่งกลางของอันตรภาคชน้ั ที่ i

k แทนจาํ นวนอันตรภาคชั้น

n แทนจํานวนขอ้ มูลตัวอยา่ งทั้งหมด

6. ตารางแสดงจํานวนเงนิ ท่ีลูกค้าจํานวน 25 คน นํามาฝากในวันหนึ่งดังน้ี

จํานวนเงนิ (พนั บาท) จํานวนลกู คา้

48 - 50 2

51 - 53 4

54 - 56 3

57 - 59 8

60 - 62 7

63 - 65 1

รวม 25

จงหาสว่ นเบีย่ งเบนเฉล่ยี ของจํานวนเงนิ ทลี่ ูกคา้ นาํ มาฝาก

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 107

วธิ ที า จากข้อมูลท่ีกําหนดให้หาค่าต่าง ๆ ได้ดงั นี้

จาํ นวนเงนิ (พันบาท) จํานวนลูกคา้ fi  xi fixi xi  X fi xi  X

48 - 50 2 …………… …………… …………… ……………
51 - 53 4 …………… …………… …………… ……………

54 - 56 3 …………… …………… …………… ……………
57 - 59 8 …………… …………… …………… ……………
60 - 62 7 …………… …………… …………… ……………
63 - 65 1 …………… …………… …………… ……………

รวม …………… …………… ……………

จากสตู ร k
เพราะฉะนัน้
 fi xi

X  i=1
n

X  ............................................................................................................................

จากสูตร k
ดงั นน้ั
fi xi  X

M.D.  i=1
k

 fi

i=1

M.D.  ..........................................................

นั่นคอื สว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของจาํ นวนเงนิ ทลี่ ูกค้านํามาฝากเท่ากับ.................บาท

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 108

แบบฝกึ เสรมิ เพิ่มความเข้าใจ
พิสยั ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลีย่

คาช้แี จง 1. ในการสอบครั้งหนงึ่ มผี ู้เข้าสอบ 3 คน ปรากฏว่า ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 67 มัธยฐาน เทา่ กับ 65

และพสิ ยั เท่ากับ 16 จงหาวา่ ผทู้ ีส่ อบได้คะแนนสูงสุดมีคา่ เท่าใด
วิธที า สมมติให้ คะแนนของผู้เข้าสอบท้งั 3 คนเรียงจากมากไปหาน้อย คือ x3 , x2 , x1

จากโจทย์ ค่าเฉล่ียเลขคณติ เท่ากับ 67 จะได้

.................................................................................................................................................................(1)

มัธยฐานเท่ากบั 65 จะได้

.............................................................................................................................................. ...................(2)

และ พิสัยเทา่ กับ 16 จะได้

.............................................................................................................................................. ...................(3)

นาํ (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดงั น้ัน ผู้ทส่ี อบได้คะแนนสงู สุดเท่ากับ....................................คะแนน

2. คะแนนสอบของนกั เรียน 100 คน หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตไดเ้ ท่ากับ 18 และคาํ นวณค่าสว่ นเบี่ยงเบนเฉลยี่ จากสตู ร

ได้เท่ากับ 10 ต่อมาทราบวา่ ไดอ้ ่านคะแนนผดิ ไป 1 จาํ นวน นนั่ คือ อ่าน 4 เปน็ 44 แลว้ จงหาสว่ นเบยี่ งเบนเฉลี่ยที่

ถกู ต้อง

วิธที า เนื่องจาก M.D. ท่ีอา่ นผิดเท่ากับ 10 และอ่าน 4 เปน็ 44

1. แยกคะแนนทีอ่ ่านผิดออกมาก่อน จากสตู ร M.D.  n

99  xi  X

 i=1

n

xi 18  44 18

จะได้ 10  i1 100

......................................................................................................................................................................

แสดงว่า.................................................................................................................................................... ......

2. นําคะแนนท่ีถูกต้องมาคิดรวมกลบั คนื 99

100  xi 18  4 18

M.D.   xi  X  i1 100

i=1

100

 ...............................................................................................

ดังน้นั สว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี ท่ถี ูกตอ้ งเทา่ กบั …………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 109

3. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 4 จํานวน มีมัธยฐานเท่ากับฐานนิยม ซึ่งมีค่าคือ 5 ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 6 และพิสัยเท่ากับ

9.2 จงหาส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ยของขอ้ มูลชุดน้ี

วิธที า ใหข้ ้อมูลชดุ น้ีเปน็ x1, 5, 5, x4 โดยท่ี x1  5 และ x4  5
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ เทา่ กับ 6 จะไดว้ า่
......................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
..................................................................................... .................................................................................

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

จากสูตรสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลีย่ M.D.  n

 xi  X

i=1

n

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดังน้นั ส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ยเท่ากับ………………………

4. จงหาส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ จากตารางแสดงจาํ นวนเงินที่เด็กนกั เรยี นไดร้ บั มาโรงเรียนภายใน 1 วนั

จํานวนเงิน (บาท) จาํ นวนเด็กนกั เรยี น

5-7 14
8 - 10 11
11 - 13 36
14 - 16 27
17 - 19 10

รวม 100

วธิ ีทา ตําแหนง่ ของ Q3 คอื ตําแหน่งที่ Nr  ………………………………..ซง่ึ อยู่ในอันตรภาคช้นั .......................
4

จะไดว้ ่า  และL  .........., I  .........., fL  .......... f  ..........

เพราะฉะนั้น Q3  ……………………………………..

 ……………………………………..

ตําแหน่งของ Q1 คือ ตําแหน่งท่ี Nr  ………………………………..ซง่ึ อยูใ่ นอนั ตรภาคช้ัน.......................
4

จะได้ว่า  และL  .........., I  .........., fL  .......... f  ..........

เพราะฉะนัน้ Q1  ……………………………………..

ดังน้ัน Q.D.  Q3  Q1  ……………………………………..……………………………..………………………

2

นนั่ คอื สว่ นเบีย่ งเบนควอรไ์ ทลเ์ ทา่ กับ……………………บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 110

5. จากข้อมูลทกี่ ําหนดใหต้ ่อไปนี้

คะแนน ความถ่ี

36 - 38 2

33 - 35 5

30 - 32 17

27 - 29 10

24 - 26 8

21 - 23 2

จงหาพิสัย สว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ และสว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี ของข้อมูลขา้ งตน้

วธิ ที า 1) พสิ ัยจากกตารางพบว่า อันตรภาคชนั้ ของข้อมูลที่มคี ่าสูงสดุ คือ……………………………………..

ขอบบนของอันตรภาคชน้ั ………………………คือ………………………………

อันตรภาคช้นั ของขอ้ มูลทมี่ ตี าํ่ สงู สุด คือ……………………………………..

ขอบล่างของอันตรภาคชนั้ ………………………คือ………………………………

ดังนั้น พิสยั  ………………………………………………………………คะแนน

2) สว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์

หาตําแหน่งของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาํ แหนง่ ของ Q1 คอื ตาํ แหน่งท่ี N  ………………………………………………………………
4

ตาํ แหน่งของ Q3 คอื ตําแหนง่ ที่ 3N  ………………………………………………………………
4

หาอนั ตรภาคช้นั ที่ Q1 และ Q3 อยู่ พรอ้ มทง้ั หาคา่ Q1 และ Q3

คะแนน ความถ่ี ความถสี่ ะสม

21 - 23 2

24 - 26 8

27 - 29 10

30 - 32 17

33 - 35 5

36 - 38 2

รวม 44

Q1 อยใู่ นอนั ตรภาคชั้น………………………และ Q3 อยใู่ นอันตรภาคชน้ั ………………………

หา Q1 และ Q3 ในอนั ตรภาคชัน้ โดยใช้สตู รการหาควอรไ์ ทล์ไดด้ ังนี้

 N  fL  fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสตู ร
Q1 และเนอื่ งจาก L  .........., I  ..........,



ดังนน้ั Q1  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 111

เพราะฉะน้นั Q1  …………………………..คะแนน

 3N  fL  และเน่อื งจาก fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสตู ร
Q3 L  .........., I  ..........,



ดงั นั้น Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะน้ัน Q3  …………………………..คะแนน

ดังนัน้ Q.D.  Q3  Q1  ……………………………………………..……………………………………………..

2

นน่ั คอื ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์เทา่ กับ……………………………………………..คะแนน
3) จากข้อมลู ท่ีกาํ หนดใหห้ าคา่ ต่าง ๆ ได้ดังนี้

คะแนน ความถ่ี ( fi ) จุดก่ึงกลาง ( xi ) fi xi xi  X fi xi  X

21 - 23 2
24 - 26 8
27 - 29 10
30 - 32 17

33 - 35 5

36 - 38 2

รวม 44

k
 fi xi
จะได้วา่ X  = ………………………………………….……………………………………………..
i=1

n

k
จาก
M.D.  fi xi  X

i=1
k
 fi

i=1

ดังนัน้ M.D.  ……………………………………………..……………………………………………..

นน่ั คือ ส่วนเบยี่ งเบนเฉลีย่ ของคะแนนประมาณ………………………….คะแนน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 112

กิจกรรม : สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
ฉนั เข้าใจ

มุมความรู้ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน (standard deviation)
การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู ทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถี่
ถา้ x1, x2, x3, ..., xN เปน็ ข้อมูลของประชากร N จํานวน และมีค่าเฉล่ียเลขคณิต

เป็น μ แล้ว ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร หรือ σ (อ่านว่า ซิกมา “sigma”)

สามารถคาํ นวณไดด้ ังนี้

N N
x
xi  μ2 2
i
i=1
σ  i = 1  μ2
N N

โดยท่ี μ แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของประชากร

และ N แทนจํานวนข้อมูลท้งั หมดของประชากร

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation หรือ s ) ซึ่งใช้

เป็นตวั ประมาณของ σ คาํ นวณได้ดงั นี้

n  X2 n
x
 xi  2  nX2
i

s i=1  i=1
n 1
n 1

โดยท่ี X แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของตัวอยา่ ง

และ n แทนจํานวนขอ้ มลู ทงั้ หมดของตัวอยา่ ง

1. จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่านมา

ตงั้ แต่ พ.ศ. 2546 ถงึ พ.ศ. 2555 ซ่งึ มจี ํานวนเงินฝากในแต่ละปีดังตาราง (ทมี่ า : ธนาคารแห่งประเทศไทย)

พ.ศ. จานวนเงนิ ฝาก (ล้านลา้ นบาท)

2546 2.43

2547 2.76

2548 3.25

2549 3.68

2550 4.31

2551 4.69

2552 4.67

2553 4.91

2554 5.11

2555 5.22

วธิ ที า จากตารางของจํานวนเงนิ ฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศ ไทย นาํ ไปหา x 2 จะได้ดังตาราง
i

N
 xi
จากจาํ นวนเงินฝากขา้ งต้นหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตจากสูตร μ  จะได้
i=1

N

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 113

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................ ......................

N
x
จากสตู รส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร 2
i

σ i = 1 μ2
N

................................................................................................................................................ ......................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

นั่นคือ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณชิ ย์ในประเทศ ไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่าน

มา ต้ังแต่ พ.ศ. 2546 ถึง พ.ศ. 2555 ประมาณ...............................................................ล้านบาท

มุมความรู้ การหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถี่
การหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากรของขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถแี่ ล้ว

σ k  k

fi xi  μ2 f x2
ii
i=1
i = 1  μ2
N N

เม่ือ fi แทนความถข่ี องอันตรภาคช้ันท่ี i

xi แทนจดุ กึ่งกลางของอันตรภาคชนั้ ที่ i

N แทนจํานวนขอ้ มลู ทง้ั หมดในประชากร

k แทนจํานวนอันตรภาคชนั้

μ แทนค่าเฉลีย่ เลขคณิตของประชากร

2. ตารางแสดงความสูงของนักเรียนท้งั หมด 100 คน ซ่งึ ปรากฏดงั ตารางต่อไปน้ี

ความสูง (นิว้ ) จํานวนนกั เรียน xi fixi

60 - 62 5
63 - 65 18
66 - 68 42
69 - 71 27
72 - 74 8
100
รวม

จงหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานความสูงของนกั เรียน

วิธที า จากตารางหาค่าเฉลยี่ ได้ดงั นี้

k
 fi xi
จะไดว้ า่ μ  = ……………………………………………………..
i=1

N

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 114

ความสงู (นิ้ว) จาํ นวนนักเรียน f  xi xi μ xi  μ2 fi xi  μ2
41.6025 208.0125
60 - 62 5 61 -6.45 …………. ………….
63 - 65 18 ……… …………. …………. ………….
66 - 68 42 ……… …………. …………. ………….
69 - 71 27 ……… …………. …………. ………….
72 - 74 8 ……… …………. ………….

รวม 100

จากตาราง n ………………… และ N  ……………..
จากสูตร
fi xi  μ2 

i=1

σ k

fi xi  μ2

i=1

N

ดังนนั้ ................................................................................

................................................................................

..............................................................................

น่ันคือ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของความสงู ของนกั เรียนประมาณ.................น้วิ

มุมความรู้ การหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
การหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวอย่างของขอ้ มูลทแี่ จกแจงความถแ่ี ลว้

  k fi xi  X 2 k
fi
x 2  nX2
i

s i=1  i=1
n 1
n 1

เมอื่ fi แทนความถขี่ องอันตรภาคชัน้ ท่ี i

xi แทนจุดก่ึงกลางของอนั ตรภาคชั้นที่ i

n แทนจาํ นวนตัวอยา่ งท้ังหมด

k แทนจาํ นวนอนั ตรภาคชน้ั

X แทนค่าเฉลย่ี เลขคณิตของตัวอย่าง

3. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณจากจํานวนวันลาของนกั เรยี น 50 คน ซ่ึงปรากฏดงั ตารางตอ่ ไปนี้

จาํ นวนวันลา จาํ นวนนักเรยี น

0 – 2 15

3 – 5 20

6 – 8 12

9 – 11 2

12 – 14 1

วิธีทา จากขอ้ มลู ข้างตน้ นาํ มาสร้างตารางใหม่ ไดด้ งั นี้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 115

จาํ นวนวนั ลา ความถี่ fi  จดุ ก่งึ กลาง xi  x 2 fixi fi x 2
0–2 i i
3–5 15 1 15
6–8 20 ………………. 1 ………………. 15
9 – 11 12 ………………. ……………….
12 – 14 2 ………………. ………………. ………………. ……………….
รวม 1 ………………. ……………….
………………. ………………. ………………. ……………….
จะไดว้ า่
………………. ……………….

………………. ……………….

……………….

k
 fi xi
X  = ………………………………………………………………………………..
i=1

n

n
 fi
ดงั นัน้ x 2  nX2 = …………………………………………………………………………
i

s i=1

n 1

= …………………………………………………………………………

นั่นคอื จาํ นวนวนั ลาของนักเรยี นแตล่ ะคนจะต่างจากจํานวนวันลาโดยเฉล่ยี ของนกั เรียน 50 คน

อยู่ประมาณ……………….วัน

มุมความรู้ ความแปรปรวนของประชากร (population variance)

ความแปรปรวน คือ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานยกกําลังสอง ความแปรปรวนของข้อมูล

ประชากรท่ีไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยใชส้ ตู ร

N N

xi  μ2  xi2
σ2  i = 1  i = 1  μ2
NN

และความแปรปรวนของข้อมูลประชากรท่แี จกแจงความถ่ี หาไดโ้ ดยใชส้ ูตร

k k

fi xi  μ2  fixi2
σ2  i = 1
N  i = 1  μ2
N

ความแปรปรวนของตวั อย่าง (sample variance)

ความแปรปรวนของข้อมลู ตัวอย่างท่ีไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ หาไดโ้ ดยใช้สตู ร

n  xi  X 2 n

  xi2  nX2
s2  i = 1
 i=1
n 1 n 1

ความแปรปรวนของข้อมลู ตวั อยา่ งที่แจกแจงความถ่ี หาได้โดยใชส้ ูตร

  k fi xi  X 2 k
fi
x 2  nX2
i

s2  i = 1  i=1
n 1 n 1

เม่ือ fi แทนความถี่ของอนั ตรภาคช้ันที่ i

xi แทนจุดกึ่งกลางของอนั ตรภาคชน้ั ท่ี i

n แทนจาํ นวนข้อมูลทง้ั หมดในตัวอยา่ ง

N แทนจํานวนข้อมลู ท้งั หมดในประชากร

k แทนจํานวนอนั ตรภาคช้นั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 116

4. ครอบครัวหน่ึงมีบุตร 3 คน ค่าเฉล่ียเลขคณิตของบุตรทั้งสามเท่ากับ 5 ปี ถ้าบุตรคนโตและคนกลางมีอายุ 8 ปี

และ 5 ปี ตามลาํ ดับ ความแปรปรวนของอายุของบุตรทง้ั สามคนนีจ้ ะเท่ากับเทา่ ใด

วธิ ที า สมมติใหบ้ ุตรคนเล็กอายุ..............ปี

เนือ่ งจากคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของอายุบตุ รท้ัง 3 คนเทา่ กบั 5 ปี

น่ันคือ …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

แสดงวา่ อายขุ องบตุ รทัง้ 3 คน คอื 8, 5 และ 2 ปตี ามลาํ ดบั

N
x
หาความแปรปรวนของอายุโดยใชส้ ตู ร 2
i

σ2  i = 1 μ2
N

จะได้ …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

นั่นคอื ความแปรปรวนของอายุของบุตรทั้งสามคนนจ้ี ะเท่ากับ.................(ป)ี 2

5. ในการสอบสมั ภาษณน์ ักเรยี น 3 คน ปรากฏสา่ คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนเทา่ กับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และ

พสิ ัยเทา่ กบั 21 จงหาความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณ์ครั้งนี้

วธิ ที า ให้ x1, x2, x3 เป็นคะแนนของนกั เรียนท้งั 3 คน ซึง่ เรียงจากคา่ นอ้ ยไปหาคา่ มาก
ดงั น้ัน …………………………………………………………………………………………………

และเพราะว่าคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนเทา่ กับ 53

ดงั น้นั …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

และเนื่องจากพิสัยมีค่าเท่ากบั 21

นัน่ คอื …………………………………………………………………………………………………

แก้สมการจะได้

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

เพราะฉะน้นั …………………………………………………………………………………………………

ดังนน้ั คะแนนของนักเรียนท้ัง 3 คน คอื 44, 50, 65 และมีค่าเฉลี่ยเทา่ กบั 53

N
x
ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณ์คร้งั นี้ หาได้จากสตู ร σ2  2
i

i = 1 μ2
N

จะได้ …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

น่ันคือ ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสัมภาษณค์ รงั้ น้ีเท่ากบั ………………………..คะแนน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 117

แบบฝกึ เสริม เพ่ิมความเข้าใจ
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน

คาช้ีแจง 1. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 50 จํานวน แต่ละจํานวนมีค่าเป็นบวก กําหนด  50 xi  X 2  450 และ

i=1

50 เม่ือ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดน้ี จงหาค่า และค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ
x
2  1, 250 X X
i

i=1

ขอ้ มลู ชดุ น้ี

วิธที า จากสูตร n  xi  X 2
จะได้


 i=1

N

............................................................................................................................. ..........

และจากสตู ร N
จะได้
 xi2

σ  i =1 μ2
N

.......................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........

.......................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........

.......................................................................................................................................

นน่ั คอื X  ……………………และค่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ................

2. กาํ หนด 10 60 และ 10  52  370 จงหาคา่ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากร

xi  xi

i=1 i=1

N
x
วิธที า การหาค่าสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากรจากสตู ร σ  2 จะตอ้ งหา 10 และ μ
i

i = 1  μ2 x 2
N i

i=1

1) หา 10 พิจารณา 10
x
2 xi  52  370
i

i=1 i=1

10 10
  จะได้
xi  52  x 2 10xi  25
i

i=1 i=1

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

2) หา μ พจิ ารณา 10

 xi  60

i=1

จะได้ .............................................................................................................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 118

ดงั น้นั N

 xi2

σ  i =1 μ2
N

............................................................................................................

............................................................................................................

นน่ั คือ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากบั ……………………………..

3. ในการศึกษาเกี่ยวกับนํ้าหนักของคนท้ังหมด ซ่ึงทดลองนํ้าหนักด้วยวิธีการอย่างหน่ึงเป็นระยะเวลา 3 เดือน

พบว่าผลบวกของนํ้าหนักที่ลดลงของแต่ละคนเป็น 49 กิโลกรัม และผลรวมกําลังสองของนํ้าหนักท่ีลดลงของ

แต่ละคนเปน็ 455 (กิโลกรมั ) 2 ถา้ คํานวณค่าส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของนํ้าหนักท่ีลดลงของของคนทั้งหมดเป็น

4 กิโลกรัม มคี นทง้ั หมดก่ีคน

วิธีทา ใหค้ นกลมุ่ นี้มที งั้ หมด...........คน และให้.............................................เปน็ น้าํ หนักท่ีลดลงของคนท่ี 1 ถงึ คน

ที่ N

จากโจทย์ พบว่า ...............................................................................................................................

ฉะน้ัน μ  …………………………………………………………..

N
 xi2
จากสตู ร จะได้
 σ2  i = 1  μ 2
N

......................................................................................................................................................................

..................................................................................... .................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดังนน้ั มคี นทงั้ หมด....................คน

4. ในงานก่อสร้างตึกใหญ่แห่งหน่ึงมีคนงานท้ังหมดจํานวน 100 คน โดยเฉล่ียแล้วได้ค่าจ้างรายวันคนละ 75 บาท

ถ้าผลรวมกําลังสองของค่าจ้างรายวันของคนแต่ละคนเท่ากับ 575,000 (บาท) 2 ความแปรปรวนของค่าจ้าง

รายวันของคนกลมุ่ นเี้ ปน็ เท่าไร

วิธที า จากโจทย์ พบว่า ...............................................................................................................................

จากสตู ร n จะได้

 xi2

 σ2  i = 1  μ 2

N

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
น่ันคือความแปรปรวนของค่าจ้างรายวนั ของคนงานเท่ากับ...........................(บาท) 2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 119

5. ค่าเฉลี่ยเลขคณติ และสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชดุ หนึง่ มี 10 จาํ นวน เท่ากับ 15 และ 33 ตามลําดับ

ปรากฏว่าลืมรวมจํานวนหน่ึงซ่ึงมีค่าเท่ากับ 26 เข้าไป ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง

เปน็ เท่าไร

วิธที า จากที่โจทย์กาํ หนดจะได.้ ....................................................................................................................... ........
x
จากสตู รคา่ เฉลยี่ เลขคณิต จะได้ x  N

ฉะนนั้ x  N x  …………………………………………………………
และ x ทถี่ กู ต้องเทา่ กบั .................................................……
และเนอ่ื งจาก N  11 ฉะนัน้ x ท่ถี ูกต้อง เท่ากบั ……………………………………………………..

จากสตู รสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน S.D.2 X2  x 2

N

จะได้ x2  S.D.2   x 2
N
……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

ดังนัน้ x2 ที่ถกู ต้อง เทา่ กับ ………………………………………………………………………………
S.D2  .......................................................
แทนค่าในสตู รส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..
เพราะฉะนน้ั S.D. = …………………………………

ดังนั้น ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องเท่ากับ……คะแนน และ..........คะแนน

ตามลาํ ดับ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 120

กจิ กรรม : การวดั การกระจายสมั พทั ธ์

มมุ ความรู้ ในการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของข้อมูลหลาย ๆ กลุ่ม ในบางครั้งเราต้องการ

เปรียบเทียบว่าข้อมูลในกลุ่มใดมีการกระจายมากกว่ากลุ่มใด ซ่ึงในการเปรียบเทียบการ

กระจายดังกลา่ วเราจะนาํ ค่าท่ไี ด้จากการวดั การกระจายสัมบูรณ์ของแต่ละกลุ่มมาเปรียบเทียบ

กนั ไม่ได้

ตัวเลขทน่ี าํ มาเปรียบเทยี บว่ากล่มุ ใดมีการกระจายมากกว่ากลุ่มใดน้ัน ก็คือ อัตราส่วน

ระหว่างค่าท่ีได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลน้ัน ๆ (ถ้าการวัดการ

กระจายวัดจากค่ากลาง) แล้วจึงนําอัตราส่วนท่ีหาได้มาเปรียบเทียบ เราเรียกอัตราส่วน

ดงั กล่าวว่า สมั ประสิทธิข์ อง.... เม่ือได้สัมประสิทธ์ิของการกระจายในแต่ละกลุ่มแล้ว ก็นําไป

เปรยี บเทียบกนั ถา้ กลมุ่ ใดมีสมั ประสทิ ธข์ิ องการกระจายมากกวา่ อกี กลุ่มหนึ่ง เราถือว่ากลุ่มนั้น

มกี ารกระจายของขอ้ มลู มากกว่าอีกกลมุ่ หน่ึง

การกระจายสมั พทั ธ์ท่ีนยิ มใช้มีอยู่ 4 ชนดิ ดงั น้ี

ช่อื การกระจายสมั พัทธ์ สตู ร

1. สัมประสิทธข์ิ องพิสัย

(Coefficient of Rang)

2. สมั ประสิทธ์ขิ องสว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์

(Coefficient of Quartile Deviation)

3. สมั ประสทิ ธิ์ของสว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี

(Coefficient of Average Deviation)

4. สัมประสทิ ธิข์ องความแปรผนั

(Coefficient of Variation)

ข้อควรทราบ

1. สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน เป็นวิธีวัดการกระจายสัมพัทธ์ท่ีนิยมกันมากที่สุด

และมักเขยี นในรปู ของเปอร์เซน็ ต์โดยการคูณด้วย 100

2. การเปรยี บเทยี บการวัดการกระจายสมั พทั ธ์ของขอ้ มลู วา่ ชดุ ใดดกี ว่ากันให้ยึดหลกั

การกระจายสมั พัทธช์ ดุ ใดมีคา่ นอ้ ยกว่า จะดีกว่า การกระจายสัมพัทธช์ ุดท่มี คี า่ มากกว่า

3. ค่าทใี่ ชว้ ดั การกระจายสมั พทั ธ์ไมม่ ีหนว่ ย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 121

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหน่ึง สัมประสิทธ์ิของส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนมีค่าร้อยละ 20
ถา้ คะแนนควอรไ์ ทล์ที่ 1 มีคา่ เทา่ กับ 35.8 คะแนนควอร์ไทล์ที่ 3 มีค่าเทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้านักเรียน 2 คน มีคะแนนเฉลี่ยจากการสอบครั้งหน่ึงเป็น 60 และมีสัมประสิทธ์ิของพิสัยเป็น 0.2 นักเรียน 2
คนไดค้ ะแนนเท่ากบั เท่าไร โดยทค่ี นที่ 1 ได้คะแนนมากกวา่ คนท่ี 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรียน 200 คน ปรากฏว่านายปรีชาสอบได้คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 นาย
สมบตั ิสอบได้คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 ถ้าในการสอบครั้งน้ีมีส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 12
คะแนน และสัมประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 0.12 คะแนนสอบของนายปรีชาและ
นายสมบัติเทา่ กบั เท่าไร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 122

4. ตารางแสดงจาํ นวนเงินท่ีลกู ค้าจํานวน 25 คน นาํ มาฝากในวนั หน่งึ ดังน้ี

จานวนเงิน (พันบาท) จานวนลูกค้า

48 – 50 2

51 – 53 4

54 – 56 3

57 – 59 8

60 – 62 7

63 – 65 1

รวม 25

จงหาสมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบย่ี งเบนเฉล่ียของจํานวนเงนิ ท่ีลูกคา้ นํามาฝาก

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. บรษิ ัทผลติ เหลก็ เสน้ ทําการผลิตเหล็กเสน้ ออกมา 2 ชนดิ หลังจากการทดลองความทนทาน ผลปรากฏว่าชนิดท่ี

หนึ่งมีค่าเฉล่ียเลขคณิตของความทนทาน 138.61 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 13.50 ชนิดที่สองมีค่าเฉลี่ย

เลขคณิตของความทนทาน 86.40 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12.12 จงตัดสินว่าเหล็กเส้นชนิดใดมีความ

ทนทานกระจายมากกว่าชนิดใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 123

บทท่ี 2
การแจกแจงปกติ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 124

กจิ กรรม : คา่ มาตรฐาน
(Standard score)

มมุ ความรู้ ในการเปรียบเทียบข้อมูล 2 ข้อมูล บางคร้ังจะทําได้ยากเน่ืองจากข้อมูลท้ังสองข้อมูลมา

จากข้อมูลต่างชุดกัน หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดไม่เท่ากัน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ตา่ งกัน แต่ถ้าตอ้ งการนําขอ้ มลู มาเปรียบเทียบกนั และให้มีความถูกต้องมากท่ีสุด เราจะต้องเปล่ียน

ข้อมูลทงั้ สองข้อมลู ทเ่ี ปรียบเทียบกันให้เปน็ ค่ามาตรฐานเสยี ก่อน

ใชส้ ญั ลักษณ์ Z แทนค่ามาตรฐาน และโดยทั่วไปการแปลงค่าของข้อมูลของตัวแปรแต่ละ

ตัวให้เป็นค่ามาตรฐาน คือ การแปลงข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานท่ีมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 0 และ

ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 1

ถา้ xi เป็นค่าท่ี i ของตวั แปร x แลว้ คา่ มาตรฐานของ xi คือ

ค่ามาตรฐาน สูตร

1. ขอ้ มลู ประชากร

2. ข้อมลู ตวั อยา่ ง

เมอ่ื i คือ 1, 2, 3, . . ., N (n) โดยที่ xi แทนค่าท่ี i ของตวั แปร x
 แทนคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของประชากร  แทนสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

N แทนจาํ นวนของประชากร X แทนค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของตัวอย่าง

S แทนสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อย่าง n แทนจาํ นวนของตัวอย่าง

สมบตั ขิ องค่ามาตรฐาน

1) คะแนนมาตรฐานเปน็ จํานวนลบ เม่ือ………………………………………………………

คะแนนมาตรฐานเปน็ จาํ นวนบวก เมอ่ื ………………………………………………………

คะแนนมาตรฐานเป็นศนู ย์ เมื่อ………………………………………………………

2) ผลรวมของคะแนนมาตรฐานของทกุ ขอ้ มลู เทา่ กบั …………..นน่ั คอื ..............................

3) คา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนมาตรฐานเท่ากบั …………..นน่ั คือ....................................

4) ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานเท่ากับ…………..นน่ั คือ..........................

5) ผลบวกกําลงั สองของค่ามาตรฐานของข้อมลู ชดุ เดียวกนั เทา่ กบั …………น่ันคือ.....................

6) คะแนนมาตรฐานของขอ้ มูลท่มี ีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงการแจกแจงปกติ โดยทั่วไป

มคี า่ ตั้งแต่………….ถงึ ………….

7) ในการเปรยี บเทยี บข้อมูลว่าขอ้ มลู ใดดกี ว่ากนั เม่อื นําขอ้ มูลมาเปล่ียนเป็นค่ามาตรฐานแล้ว

ข้อมลู ชดุ ใดมคี ่ามาตรฐานมาก ใหส้ รปุ วา่ ข้อมลู นนั้ ดกี วา่

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 125

1. จงเปลีย่ นคา่ ข้อมลู (x) ในแตล่ ะขอ้ ใหเ้ ป็นคา่ มาตรฐาน (Z)

ขอ้ ที่ คา่ ข้อมูล ค่าเฉล่ยี เลขคณิต สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน คา่ มาตรฐาน (Z)

12 4 10

24 3 5

36 6 8

4 10 8 25

5 35 15 10

6 40 35 5

7 65 20 15

8 75 65 10

2. จงเปลี่ยนค่าข้อมลู (x) ในแตล่ ะข้อให้เป็นค่ามาตรฐาน (Z)
(1) x = 60,  = 50,  = 5
วธิ ที า จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คือ z  x  



แทนค่า ..................................
ดังนั้นค่ามาตรฐานของ x = 60 เทา่ กบั .............................
(2) x = 40,  = 60,  = 4

วิธีทา จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนค่า ..................................
ดังน้นั คา่ มาตรฐานของ…………..เท่ากับ.............................

(3) x = 55,  = 55,  = 5

วธิ ีทา จากสูตร คา่ มาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนค่า ..................................
ดงั น้ันคา่ มาตรฐานของ…………..เท่ากับ.............................

(4) x = 80,  = 10,  = 35

วิธีทา จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนคา่ ..................................
ดังนั้นคา่ มาตรฐานของ…………..เทา่ กบั .............................

(5) x = 12,  = 15,  2 = 9

วิธที า จากสูตร คา่ มาตรฐานของ x คือ ..................................
แทนคา่ ..................................
ดังนน้ั คา่ มาตรฐานของ…………..เท่ากับ.............................

(6) x = 27,  = 15,  2 = 16

วธิ ที า จากสตู ร คา่ มาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนคา่ ..................................
ดังนั้นคา่ มาตรฐานของ…………..เทา่ กบั .............................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 126

3. จงใช้ตารางที่กาํ หนดใหข้ ้างลา่ ง เพอ่ื พจิ ารณาว่า เจมส์ จริ ายุ เรียนวชิ าใดไดด้ ีท่ีสดุ

ตารางผลสอบทั้ง 3 วิชาของเจมส์ จริ ายุ

วิชา คะแนน  s
12
ภาษาไทย 75 80 15
8
ภาษาอังกฤษ 70 75

วทิ ยาศาสตร์ 72 65

วิธีทา จากสูตรค่ามาตรฐานของ xi คือ ...................................................

จะได้ว่า zภาษาไทย =………………………………………….

zภาษาองั กฤษ =………………………………………….

zวิทยาศาสตร์ =………………………………………….

เน่อื งจากค่ามาตรฐานของวชิ า........................................ของเจมส์ จริ ายุ สูงกว่าคา่ มาตรฐานของวิชาอ่นื ๆ
ดังนนั้ เจมส์ จิรายุ เรียนวิชา...............................................ได้ดที ี่สุด

4. ในการสอบคัดเลือกเพ่ือบรรจุเข้าทํางานในบริษัทแห่งหนึ่ง ผู้สมัครจะต้องสอบ 2 วิชา โดยมีผู้สมัครเข้าสอบ

สอบได้คะแนนสูงเพียง 3 คน ถ้าต้องการพนักงานบรรจุ 1 คน และสํารองไว้ 1 คน ใครจะสอบได้และใครได้

สํารอง

ข้อมูล วิชา A วชิ า B

มารโิ อ้ 80 75

ณเดชย์ 75 82

บอย ปกรณ์ 88 65

คา่ เฉลย่ี เลขคณิต 75 70

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 5

วิธีทา จากสูตร คา่ มาตรฐานของ xi คือ ...................................................
มารโิ อ้ zA =………………………………………….

zB =………………………………………….

zรวม =………………………………………….
ณเดชย์ zA =………………………………………….

zB =………………………………………….

zรวม =………………………………………….
บอย ปกรณ์ zA =………………………………………….

zB =………………………………………….
zรวม =………………………………………….
ดังน้นั …………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 127

5. นักเรียนชน้ั ม.5 ของโรงเรียนแหง่ หน่งึ สอบวชิ าภาษาไทยได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 54 คะแนน นายสัณและนายศักดิ์
เป็นนกั เรยี นชัน้ น้สี อบภาษาไทยในคร้ังนี้ได้ 60 และ 63 คะแนน ตามลําดับ ถ้าคะแนนสอบของนายสัณคิดเป็น
ค่ามาตรฐานไดเ้ ทา่ กับ 1.5 จงหาคา่ มาตรฐานของคะแนนสอบของนายศักดิ์
วธิ ที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

6. ในการคดั เลือกเข้าเปน็ นกั เรยี นพยาบาลแหง่ หนง่ึ โดยการชัน้ น้าํ หนัก ปรากฏว่านํ้าหนักเฉลี่ยจากผู้สมัครทั้งหมด
เท่ากับ 45 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 กิโลกรัม ถ้ากําหนดการคัดเลือกผู้จะได้รับคัดเลือก
ต้องได้คา่ มาตรฐาน 2 จงหาวา่ ผู้จะไดร้ ับคดั เลือกจะต้องมีน้ําหนักอย่างน้อยทสี่ ุดเทา่ ใด
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

7. ในข้อมลู ชดุ หน่งึ เมอื่ นาํ คะแนน 350 คะแนนและ 200 คะแนนมาเปล่ียนเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 1 และ -0.5
ตามลาํ ดบั จงหาค่าเฉลี่ยและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ หน่ึง
วธิ ที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 128

แบบฝกึ เสริม : ค่ามาตรฐาน
(Standard score)

1. ในการสอบถามการนําเงินมาโรงเรียนของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าคิดเป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 30 บาท
สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 5 บาท ถ้านายดํานาํ เงินมาโรงเรยี นคดิ เป็นค่ามาตรฐานแตกต่างจากนางสาวขาว
อยู่ 2 บาท แลว้ นายดําและนางสาวขาวมเี งนิ ต่างกนั เทา่ ไร
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

2. ในการสอบครั้งหน่ึงปรากฏว่าคะแนนเฉล่ียเท่ากับ 50 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 10
ถ้าผลรวมคา่ มาตรฐานของจ๋มุ กบั จ๋ิม เทา่ กบั 0.3 แลว้ ผลรวมคะแนนสอบของจมุ๋ กบั จม๋ิ เป็นเทา่ ไร
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

3. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างของนักเรียนห้องหน่ึง พบว่าอัมพรสอบได้ 39 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐานไดเ้ ท่ากบั 1.5 ถ้าสมั ประสทิ ธิก์ ารแปรผันของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 20% จง
หาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของคะแนนสอบวชิ าสถิติของนักเรียนห้องนี้
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 129

4. ข้อมูลชุดหน่ึงมีผลรวมของค่าทุกค่าในข้อมูล เท่ากับ 120 และผลรวมของกําลังสองของค่ามาตรฐานทุกค่าใน
ขอ้ มูลเท่ากบั 5 จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

5. ถ้าคา่ เฉลี่ยเลขคณิตและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหน่ึงซ่ึงมี 30 จํานวนเท่ากับ 12 และ 2 ตามลําดับ
เมอื่ หาผลรวมของคา่ มาตรฐานของขอ้ มลู 29 จาํ นวนจะได้ 1 จงหาขอ้ มูลที่ 30
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

6. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้น ม.5 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งในจังหวัดยะลา พบว่า นายพิศาลและ
วัชรินทร์เข้าสอบในคร้ังน้ีด้วยและสอบได้คะแนน 88 และ 64 ตามลําดับ และ คิดเป็นค่ามาตรฐาน 0.8 และ -
0.4 ตามลําดับ จงหาคะแนนเฉล่ียและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานในการสอบคร้งั น้ี
วธิ ที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

7. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์คร้ังหน่ึง ปรากฏว่ามีคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 45 คะแนน มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 20
คะแนน ถ้านายนนท์ นายพร และนายกร เข้าสอบครั้งน้ีด้วยและคะแนนสอบของนายนนท์เป็น 2 เท่าของ
คะแนนสอบของนายพร ถ้าคะแนนสอบของนายกรเท่ากับ 40 คะแนน และคะแนนมาตรฐานของนายกรเป็น
คร่ึงหน่งึ ของคะแนนมาตรฐานของนายพร จงหาคา่ มาตรฐานของนายนนท์
วธิ ที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 130

กจิ กรรม : การแจกแจงปกติและเสน้ โคง้ ปกติ
ตอนที่ 1

มมุ ความรู้ เสน้ โค้งความถ่ีที่มีลกั ษณะเป็นรูประฆัง ซง่ึ เรียกว่า................................(Normal curve) การ
แจกแจงความถ่ีของข้อมูลซึ่งเส้นโค้งท่ีได้ท่ีมีลักษณะเป็นรูประฆัง เรียกว่า..................................
(Normal distribution)

รูปที่ 1 รปู ท่ี 2

จากรูปที่ 1 จะพบว่า ลักษณะของเส้นโค้งปกติเป็นรูประฆัง ซึ่งเป็นสมมาตรโดยมีเส้นเป็นแกนสมมาตร จึง
เรยี กว่า การแจกแจงปกติ เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับ.............................................................ถ้า
ขอ้ มูลมี................................เส้นโค้งปกติจะมีความโด่ง.........หรือค่อนข้าง......... แต่ถ้าข้อมูลมี................................เส้น
โคง้ ปกติจะมีความโดง่ .........หรอื คอ่ นขา้ ง......... ดังรปู ที่ 2

ลักษณะเส้นโค้งปกตขิ องข้อมลู สองชุด
1. ลักษณะเส้นโคง้ ปกติของข้อมูลสองชุดทม่ี คี ่าเฉลี่ยเลขคณิต........... แต่ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน........... จะมี
ลกั ษณะเหมอื นกนั แต่ตงั้ อยบู่ นตําแหน่งท่ีตา่ งกนั ดังรปู

2. ลกั ษณะเสน้ โคง้ ปกตขิ องขอ้ มูลสองชุดที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต........... แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน........... จะมี
จุดทีแ่ สดงคา่ เฉลย่ี เลขคณิตอยทู่ ต่ี ําแหนง่ เดยี วกนั บนแกนนอน แตเ่ ส้นโคง้ ท่มี ีส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานมากกว่าจะเตยี้ กวา่

3. ลักษณะเส้นโค้งปกติของสองข้อมูลที่มีค่าเฉล่ียเลขคณิต...........และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน........... มี
ลักษณะ ดังรปู

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 131

มมุ ความรู้ สมบัตขิ องเส้นโค้งปกติ
1. ค่าเฉลย่ี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ ม จะมคี ่า........... และจะอยู่ ณ จุดทเ่ี ส้นตรงท่ีลากผ่าน

จดุ โด่งสุดของเส้นโคง้ น้นั ต้งั ฉากกบั แกนนอน

2. เส้นโค้งจะมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนท่ีลากผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น.............................และ
แกนสมมาตรจะแบง่ พน้ื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน

3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกน........... เมื่อต่อปลายเส้นโค้งทั้งสองข้างให้ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ออกไป แต่จะไม่ตัดแกนนอน

4. พ้นื ที่ใตโ้ ค้งปกตแิ ทนจาํ นวนความหนาแน่นของข้อมูล มคี า่ เท่ากับ...........เสมอ
5. พืน้ ทที่ ี่อยู่เหนือคา่ ใดค่าหน่งึ ของ X จะเปน็ ...........เสมอ จะได้ว่าพ้ืนท่ใี ตโ้ ค้งปกติซ่ึงอยู่ระหว่างค่า

ของ X ในช่วงปดิ [x1, x2] จะ...........พ้ืนท่ใี ต้โคง้ ปกติซ่งึ อย่รู ะหว่างคา่ ของ X ในช่วงเปดิ (x1, x2)

พื้นท่ใี ตโ้ คง้ ปกติซ่ึงอยู่ระหวา่ งคา่ ของ X ในชว่ งปิด [x1, x2] พ้ืนทใี่ ตโ้ ค้งปกติซึง่ อยู่ระหวา่ งค่าของ X ในชว่ งเปดิ (x1, x2)

พืน้ ทใี่ ตโ้ คง้ ปกติ

พน้ื ที่ใต้โค้งปกตริ ะหว่างค่าจากการสงั เกต x1 และ x2 จะเทา่ กับพื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z1 และ z2 เมื่อ

z1  x1  X และ z2  x2  X
S.D. S.D.

เส้นโค้งปกติซ่ึงได้จากชุดข้อมูลที่มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เรียกว่า เส้นโค้งปกติ
มาตรฐาน (Standard normal curve) ในการหาพืน้ ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติมาตรฐานระหวา่ งคา่ มาตรฐาน z = 0 ถึง z ใด ๆ เราจะ
ใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ซ่ึงแสดงพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z = 0 และ z = 0.01, 0.02, ...,
3.88, 3.89 เชน่

1) พนื้ ที่ใต้โคง้ ปกตริ ะหว่างค่ามาตรฐาน z = 0 และ z = 1.00 ที่อ่านได้จากตารางเท่ากับ.............................ดังรูป

2) พนื้ ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกติระหว่างคา่ มาตรฐาน z = -1 และ z = 0 ทอ่ี ่านได้จากตารางเทา่ กับ...........................ดงั รปู

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 132

มมุ : ชวนรู้

ในตารางพ้นื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานไมม่ ีค่า z ท่ีเปน็ จาํ นวนลบ แต่สามารถหาพื้นท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐาน
ระหว่าง z ที่เป็นจํานวนลบและ z = 0 ได้ เนื่องจากเส้นโค้งมีเส้นต้ังฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่ามาตรฐาน 0
เป็นแกนสมมาตรของเส้นโค้งปกติ ดังน้ันพ้ืนที่ใต้โค้งปกติระหว่าง z = -1 และ z = 0 จึงเท่ากับพ้ืนท่ีใต้โค้งปกติ
ระหวา่ ง z = 0 และ z = 1

เนื่องจากพื้นท่ีใต้โค้งปกติมาตรฐานเท่ากับ 1 ดังนั้นพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งทางขวามือของค่ามาตรฐาน z = 0 และ
พ้นื ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติทางซ้ายมือของค่ามาตรฐาน z = 0 เท่ากันคือ 0.5 อาศัยความรู้ดังกล่าวจะหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ

ทางขวามอื หรือซา้ ยมอื ของค่ามาตรฐาน z ใด ๆ และพืน้ ทใี่ ตเ้ ส้นโค้งปกตมิ าตรฐานระหว่างค่ามาตรฐาน z สองค่าใด ๆ

แบบฝึกเสริมเพิ่มความเข้าใจ

1. ให้นกั เรียนเตมิ คาํ ตอบท่ถี กู ต้องลงในช่องว่างในตารางต่อไปนี้ ใหส้ มบรู ณค์ าํ ช้แี จง โดยใช้ตารางแสดงพน้ื ทใี่ ต้เส้นโค้ง
ปกติในหนังสอื เรยี น หนา้ 138 – 139

1) พน้ื ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 และ z = 1.35 เทา่ กบั …………..………………..………………………

2) พื้นที่ใต้เสน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 และ z = -1.45 เทา่ กับ …………..………………..………………………

3) พน้ื ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติระหว่าง z = 0 และ z = 2.45 เท่ากับ …………..………………..………………………

4) พ้ืนทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติระหว่าง z = 0.65 และ z = 1.25 เทา่ กบั …………..………………..………………………

5) พน้ื ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกตริ ะหว่าง z = -1.25 และ z = 1.39 เท่ากบั …………..………………..………………………

6) พื้นทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = -1.65 และ z = 2.15 เทา่ กบั …………..………………..………………………

7) พ้นื ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกติทางซ้ายมอื ของ z = 1.25 เท่ากับ …………..………………..………………………

8) พน้ื ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติทางซ้ายมอื ของ z = -2.45 เทา่ กบั …………..………………..………………………

9) พ้นื ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตทิ างขวามือของ z = -1.75 เท่ากบั …………..………………..………………………

10) พื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกตทิ างขวามอื ของ z = 2.65 เท่ากับ …………..………………..………………………

2. จงหาพ้นื ทใี่ ตโ้ ค้งปกติในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี โดยใช้ตารางแสดงพ้นื ท่ใี ตโ้ ค้งปกติ

จากตาราง พืน้ ที่ใตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.29 เท่ากับ..................
ดังนัน้ 0 < z < 1.29 พ้ืนทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติ เท่ากบั ..................

จากตาราง พนื้ ทใี่ ต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = -1.29 ถึง z = 0 เท่ากบั ..................
ดังนน้ั -1.29 < z < 0 พ้นื ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ..................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 133

จากตาราง พื้นทใ่ี ต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 2.5 เทา่ กับ....................
พ้ืนท่ใี ต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = -1.5 ถึง z = 0 เทา่ กบั ...................

ดังนั้น -1.5 < z < 2.5 พื้นท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติ เท่ากบั .....................................

จากตาราง พืน้ ท่ใี ตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 1.7 เทา่ กับ...................
พน้ื ท่ีใตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = 2.2 เท่ากับ....................

ดงั นัน้ 1.7 < z < 2.2 พ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ.....................................

จากตาราง พน้ื ทใี่ ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = -1.2 เทา่ กบั ...................
พ้นื ที่ใต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = -1.5 เทา่ กับ...................

ดังนน้ั -1.5 < z < -1.2 พืน้ ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เทา่ กับ...................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 134

3. ถ้าขอ้ มูลชุดหน่งึ มกี ารแจกแจงปกติโดยมคี ่าเฉล่ยี เลขคณิตเป็น 400 หนว่ ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 100

หนว่ ย อยากทราบวา่ มกี ี่เปอร์เซน็ ของขอ้ มลู ซึง่ มคี ่า

1) มากกวา่ 538 2) มากกว่า 179 3) น้อยกวา่ 356 4) น้อยกว่า 621

5) ระหว่าง 318 และ 671 6) ระหว่าง 484 และ 565 7) ระหวา่ ง 249 และ 297

วิธีทา 1) แปลงคะแนน 538 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พืน้ ท่ีใต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = ............. เท่ากับ……………………………
ดังนน้ั เมอื่ z > .............. พน้ื ทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกติ เท่ากบั .........................................................
น่ันคือ มขี อ้ มลู ............................ของข้อมูลทั้งหมด มคี า่ มากกวา่ 538

2) แปลงคะแนน 179 เปน็ คา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พน้ื ท่ีใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = ............. ถึง z = 0 เทา่ กับ……………………………

ดังนั้น เมอ่ื z > .............. พ้ืนทใี่ ต้เส้นโค้งปกติ เทา่ กบั .........................................................

นน่ั คอื มขี ้อมูล............................ของข้อมูลทง้ั หมด มีคา่ มากกว่า 179

3) แปลงคะแนน 356 เปน็ ค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ . .........................................................................

จากตาราง พ้นื ท่ีใตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = ............. ถงึ z = 0 เท่ากบั ……………………………
ดังน้ัน เมือ่ z > .............. พ้นื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติ เท่ากับ .........................................................
นั่นคือ มขี อ้ มลู ............................ของข้อมูลทั้งหมด มีค่ามากกวา่ 356

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 135

4) แปลงคะแนน 621 เปน็ คา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พื้นทใ่ี ต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = ............. เทา่ กับ……………………………

ดังนน้ั เม่ือ z < .............. พน้ื ทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติ เทา่ กบั .........................................................

น่ันคือ มขี อ้ มูล............................ของขอ้ มูลทัง้ หมด มคี ่ามากกวา่ 621

5) แปลงคะแนน 318 และ 671 เปน็ คา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

จากตาราง พน้ื ทใ่ี ต้โคง้ ปกติ ระหวา่ ง z = ............. ถึง z = 0 เท่ากับ……………………………

และพ้ืนทใ่ี ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = ............. เท่ากบั ……………………………

ดงั นั้น .............< z < .............พืน้ ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ เท่ากบั .........................................................

นน่ั คือ มขี อ้ มูล............................ของข้อมลู ทงั้ หมด ซึ่งมีคา่ ระหว่าง 318 และ 671

6) แปลงคะแนน 484 และ 565 เป็นคา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

จากตาราง พ้ืนทใ่ี ตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = ............. เท่ากบั ……………………………

และพื้นที่ใตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = ............. เทา่ กบั ……………………………

ดงั นั้น .............< z < .............พ้ืนทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติ เทา่ กับ .........................................................

นั่นคือ มขี อ้ มลู ............................ของข้อมูลทัง้ หมด ซง่ึ มคี ่าระหวา่ ง 484 และ 565

7) แปลงคะแนน 249 และ 297 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 136

4. จงหาคา่ มาตรฐานทที่ ําใหพ้ ้ืนที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติทางขวามือของ z มีคา่ เท่ากบั 0.9641

วิธที า พ้นื ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติมากกวา่ 0.5 แสดงว่า z เปน็ จํานวนลบ ดงั รปู

พน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกติ เท่ากบั 0.9641 = ……………………………

จากตารางพ้นื ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติ

พบว่า z = ...........ตรงกับพื้นท่ี ..........................

0.9641 = ………………. ดงั น้นั z = ...........ทําใหพ้ ้ืนทีใ่ ต้เส้นโค้งปกตทิ างขวามอื ของ z

มีค่าเท่ากบั .......................

กจิ กรรม : การแจกแจงปกติและเสน้ โคง้ ปกติ
ตอนท่ี 2

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นายขยันสอบได้ 54.4 คะแนน โดยที่ผลการสอบครั้งนี้มีค่าเฉล่ียเลขคณิตและ
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 45 และ 5 คะแนน ตามลําดับ ถ้าคะแนนการสอบมีลักษณะ
การแจกแจงแบบปกติ จงหา นาย ก. สอบได้เปอร์เซน็ ไทล์ทีเ่ ทา่ ใด
วิธที า ให้....................แทนคะแนนทีน่ ายขยนั สอบได้
จากโจทย์ จะได้.....................................................................................................................
เน่ืองจากข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ดงั นัน้ เราจะเปล่ยี นคา่ ........ใหเ้ ปน็ คา่ มาตรฐาน z โดยใชส้ ูตร
จากสตู ร z = ………………………………… จะได้ z = ……………………………………………………..
นําคา่ z = ………… ไปหาพน้ื ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติจากตาราง จะไดพ้ น้ื ทเ่ี ทา่ กับ........................

จากรปู จะพบวา่ พื้นทใี่ ต้เสน้ ปกติซึง่ z < ……………..เทา่ กบั ..........................................................
แสดงว่า มีจํานวนข้อมูลอยู่ประมาณ..................% ทีม่ คี ะแนนน้อยกวา่ 54.4 คะแนน
หรอื มีคา่ มาตรฐานนอ้ ยกวา่ .................. น่ันคือ ถ้ามีผู้เข้าสอบ 100 คน จะมีคนท่ีได้คะแนนน้อย
กว่าคะแนนของ นาย ก. อยู่……….ส่วนจาก 100 คน
ดงั น้นั นายขยันสอบไดเ้ ปอร์เซ็นไทลท์ ่ี.................
2. ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนเข้าสอบ 150 คน ปรากฏว่า คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ และการ
ตัดสนิ ผลการสอบจะตัดสนิ จากคา่ มาตรฐาน ถา้ นกั เรยี นคนใดสอบได้คา่ มาตรฐานตํ่ากว่า -2 ถือว่าสอบตก จาหา
วา่ ในการสอบครั้งนี้มผี สู้ อบไดท้ ้ังหมดก่คี น
วธิ ีทา เนอ่ื งจากนักเรียนท่ีสอบได้ จะตอ้ งได้ค่ามาตรฐานมากกว่า...............
ฉะนั้น พืน้ ท่ใี ตเ้ สน้ โค้งปกตริ ะหว่าง z = 0 ถึง z = ………. เทา่ กบั .....................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 137

ดังนัน้ พืน้ ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกติท่นี ักเรียนสอบได้ เท่ากบั ………………………………………………………………
ฉะน้ัน จํานวนนักเรียนที่สอบได้ เทา่ กบั ………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..
ดังนนั้ ในการสอบคร้งั น้ี มผี สู้ อบไดป้ ระมาณ.......................คน
3. กาํ หนดตารางพน้ื ทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติ ดงั น้ี

z 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

พ้ืนที่ 0.33849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452

ในการสอบคร้ังน้ี ถ้าคะแนนสอบแจกแจงปกติมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 15 คะแนน และผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า 18
คะแนน มี 6.68 % จงหาความแปรปรวนของการสอบคร้ังนี้
วธิ ีทา เน่อื งจากมีผูท้ ่ีไดค้ ะแนนมากกว่า 18 คะแนน มี 6.68 % = ……………………….

จากรปู จะได้..................................................................................................................

จากสตู ร z = …………………………………

แทนค่าจะได้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดังนน้ั ในการสอบครั้งน้ีมีความแปรปรวนเท่ากับ…………………

4. ค่าจ้างรายวันของบริษัทแห่งหน่ึง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 70 บาท ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 บาท

และมีการแจกแจงปกติ นายวิมลได้รับค่าจ้างตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จงหาว่านายวิมลได้รับค่าจ้างวันละ

เทา่ ไร

วธิ ีทา เนื่องจากนายวิมลไดร้ ับค่าจ้างตรงกับเปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ 80

หมายความว่า……………………………………………………………………………………………………………………

จากรปู P80 อยู่ทางขวามือของ...........ดังน้นั พืน้ ที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง.........ถึง P80 เท่ากับ.......
จากตาราง พน้ื ทใี่ ต้เส้นโค้งปกติ..............อยรู่ ะหว่าง z = ……….. และ z = ………..

พื้นท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติระหว่าง z = ……….. ถึง z = ……….. เท่ากับ ...................

พ้ืนท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = ……….. ถึง z = ……….. เทา่ กบั ...................

ฉะนั้น พน้ื ที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติตา่ งกัน..................................................ค่ามาตรฐานตา่ งกนั ...........

พน้ื ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกตติ า่ งกัน.................................................คา่ มาตรฐานตา่ งกัน

………………………………………….

ดงั น้นั ค่ามาตรฐานท่ีตรงกับ P80 เท่ากับ............................................................................

จากสูตร z = …………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 138

แทนคา่ จะได้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดังนนั้ นายวมิ ลไดร้ บั ค่าจ้างวันละ……………………..บาท

5. นักเรียนห้องหนึ่งมีความสูงเฉลี่ยเท่ากับ 160 เซนติเมตร และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 15 จงหาว่ามี

นักเรยี นที่สงู ระหว่าง 145 และ 175 เซนติเมตร คดิ เป็นก่ีเปอร์เซ็นตข์ องนกั เรียนทัง้ หอ้ ง

วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

6. ในการผลติ แผน่ พลาสติกของบริษัทแห่งหนึ่งปรากฏว่าความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติ โดย
มคี วามหนาเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 (เซนติเมตร)2 จงหาว่าแผ่นพลาสติกท่ี

ได้มีความหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 เซนตเิ มตร และ 0.0659 เซนตเิ มตร มีก่เี ปอรเ์ ซน็ ต์

วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

7. ในการคดั เลอื กนักเรยี นเพ่ือเข้าศกึ ษาหลกั สตู รนักเรยี นเตรียมทหาร มีผู้สมัคร 5,000 คน โดยถือเอานํ้าหนักเป็น

เกณฑ์ ปรากฏว่าน้ําหนักของนักเรียนแจกแจงเป็นโค้งปกติ การคัดเลือกถือว่านักเรียนที่มีนํ้าหนักคิดเป็นค่า

มาตรฐานต่ํากว่า -1.0 ต้องถูกคัดออก จงหาจํานวนนักเรียนที่ได้รับคัดเลือกเข้าศึกษาหลักสูตรนักเรียนเตรียม

ทหาร

วธิ ที า …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

8. คะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยใช้เกณฑ์ตัดสินผลการสอบว่า ถ้านักเรียนได้

ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาน้ีมากกว่า -1.96 จะถือว่าสอบได้ ทั้งนี้พ้ืนท่ีใต้โค้งปกติมาตรฐานน้อยกว่า -

1.96 เทา่ กับ 0.025 ถา้ มนี ักเรยี นเข้าสอบวิชานี้ 120 คน จะมนี กั เรยี นสอบได้ทงั้ หมดกค่ี น

วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 139

9. ในการทดสอบความคงทนของยางล้อรถยนต์ ปรากฏว่าการทดสอบเม่ือแจกแจงแล้วเป็นเส้นโค้งปกติ ถ้า
กาํ หนดให้คา่ มาตรฐานตงั้ แต่ 1.3 ข้ึนไปเป็นยางรถยนต์ที่อยู่ในสภาพดี อยากทราบว่าในการทดสอบคร้ังนี้มียาง
ลอ้ รถยนตท์ อี่ ยูใ่ นสภาพดีกี่เปอร์เซ็นต์
วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

10. บรษิ ทั ผลิตอุปกรณ์กีฬาแห่งหน่ึงมีการจัดคุณภาพของสินค้าคือ ยังต้องปรับปรุง สินค้าคุณภาพต่ํา และสินค้ามี
มาตรฐาน ถา้ สนิ ค้าคุณภาพต่าํ มีคา่ มาตรฐานอยรู่ ะหว่าง -1.5 และ 0.34 จงหา
1) สินค้าทย่ี งั ตอ้ งปรบั ปรงุ คิดเปน็ กเ่ี ปอรเ์ ซน็ ต์ของสินค้าทั้งหมด
วธิ ที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
2) สนิ คา้ ทม่ี คี ุณภาพตา่ํ คดิ เปน็ กี่เปอร์เซ็นต์ของสนิ คา้ ท้ังหมด
วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 140

บทท่ี 3
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชนั ระหว่างข้อมลู

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 141

กจิ กรรม : การวเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธ์
เชิงฟังก์ชนั ระหว่างขอ้ มลู

มุมความรู้ การวเิ คราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชันระหว่างข้อมลู เปน็ การศกึ ษา………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………..เช่น

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การศึกษาความสัมพันธ์ของตัวแปรที่มีความเก่ียวข้องกันตัวแปรท่ีต้องการศึกษา

เรียกว่า ……………………………………… (Independent variables) ตัวแปรที่ต้องการประมาณค่า

แตต่ อ้ งอาศัยตวั แปรอิสระ เรยี กวา่ ……………………………………… (Dependent variables)

การศึกษาความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังกช์ ันระหวา่ งขอ้ มลู ของสองตวั แปรใด ๆ นน้ั เพ่ือ………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งเสรมิ เพม่ิ ความเข้าใจ

สมมตวิ า่ ข้อมูลต่อไปน้ีแสดงคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ และวชิ าวทิ ยาศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6

จาํ นวน 10 คน ดังนี้

นักเรยี นคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 18 12 25 21 16 15 27 17 20 16

คะแนนวชิ าวิทยาศาสตร์ 19 12 24 20 15 16 28 14 20 20

ถ้าให้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์เป็น………………………………แทนด้วย………และคะแนนวิชาวิทยาศาสตร์

เป็น………………………………แทนด้วย………เม่ือใช้คู่อันดับ………………โดย………เป็นคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ และ………

เป็นคะแนนวิชาวิทยาศาสตรข์ องนกั เรยี นแต่ละคน ซึ่งคอื คูอ่ ันดบั ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………….…………..เป็นพิกดั ของจุด จะได้จดุ ดังรูปต่อไปนี้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 142

จะเห็นวา่ การกระจายของจุด…………..ซึ่งใชแ้ สดงค่าต่าง ๆ ของตวั แปรท้งั สองอยูใ่ นลักษณะท่ีพอจะประมาณ
หรือแทนด้วย………………………………ได้ และสามารถสร้าง…………………………………………………………………………………
จุดประสงคส์ าํ คัญของการสรา้ งความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันระหว่างข้อมลู สองชุด เพ่ือ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เชน่
ถ้าทราบคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ (x) ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 คนหนึ่ง ก็สามารถพยากรณ์คะแนนวิชา
วิทยาศาสตร์ (y) ของนักเรยี นคนนั้นได้ โดยแทน x ลงในสมการเพอ่ื คํานวณหา y นัน่ เอง

ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล ข้อมูลที่จะนํามาสร้างความสัมพันธ์จะต้อง
ประกอบด้วยค่าจากการสงั เกตเป็นจาํ นวนมากพอสมควร ถา้ ค่าจากการสงั เกตมีจานวนนอ้ ยแลว้ ………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โดยทั่ว ๆ ไป ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแปรสองตัวแปร อาจแบ่งออกเป็น.....
ชนดิ ดงั นี้

1. ความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ทีก่ ราฟเป็น……………………… มีสมการท่ัวไปของความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั เป็น

เมอื่ ……… เปน็ ตวั แปรตาม และ ……… เป็นตวั แปรอิสระ
……… และ ……… เป็นค่าคงตวั ที่ตอ้ งการหา ซ่ึง
……… เปน็ ระยะตัดแกน Y
……… เป็นความชันของเสน้ ตรง

เมอ่ื ทราบคา่ a และ b กราฟของความสัมพนั ธเ์ ชิงเสน้ ตรงบางกรณีจะมลี กั ษณะตามรูปข้างล่าง

2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันท่ีกราฟไม่เป็นเส้นตรง ในท่ีนี้จะกล่าวเฉพาะความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟเป็น
พาราโบลา และความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ซ่ึงสมการของความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นพาราโบลา
เป็นดงั น้ี

เมอื่ ……… เป็นตวั แปรตาม และ ……… เปน็ ตัวแปรอิสระ
……… และ ……… เป็นค่าคงตัวที่ตอ้ งการหา

เม่ือทราบค่า a, b และ c กราฟของความสัมพนั ธเ์ ชงิ พาราโบลาบางกรณจี ะมีลักษณะตามรูปขา้ งลา่ ง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 143
สมการของความสัมพันธ์ในรปู ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล เป็นดังนี้

เม่อื ……… เปน็ ตวั แปรตาม และ ……… เปน็ ตัวแปรอสิ ระ
……… และ ……… เป็นค่าคงตัวท่ตี อ้ งการหา

เมื่อทราบค่า a, b และ c กราฟของความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบางกรณีจะมีลักษณะตามรูป
ข้างล่าง

แบบฝกึ เสรมิ เพิ่มความเข้าใจ

ข้อความตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดเป็นจริง () และขอ้ ใดเปน็ เท็จ ()ถ้าเปน็ เทจ็ เพราะเหตุใด อธิบาย

.................. 1. ถ้าข้อมูลประกอบด้วยตัวแปรสองตัวแล้ว ตวั แปรท้งั สองนน้ั จะตอ้ งมคี วามสมั พันธ์เชงิ ฟงั กช์ นั เสมอ
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)

.................. 2. ในการสรา้ งความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันของขอ้ มลู ทป่ี ระกอบดว้ ยตวั แปร 2 ตวั ถ้าตวั แปรใดตัวหนง่ึ เป็น
ตัวแปรเชิงคุณภาพแลว้ จะไม่สามารถสรา้ งความสมั พนั ธ์ ระหว่างตวั แปรท้งั สองได้
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)

.................. 3. ในการสรา้ งความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันของข้อมลู ไม่วา่ ขอ้ มูลจะมจี ํานวนน้อยเพยี งใดก็สามารถสร้าง
ความสัมพนั ธ์ไดเ้ สมอ
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)

.................. 4. สมการของความสัมพันธ์ทีส่ ร้างขึ้น ทส่ี ามารถใช้แทนความสมั พนั ธ์ทเี่ กดิ ขึน้ จริงไดด้ ีแล้ว ผลรวมของ
ความแตกต่างระหว่างคา่ ทีไ่ ด้จากความสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ที่สร้างขึ้นกบั คา่ ทเี่ กดิ ขึน้ จริง ๆ ทุกคา่
ควรจะน้อยที่สดุ
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)

มุมความรู้ รูปแบบความสัมพนั ธท์ พี่ ิจารณาไดจ้ ากกราฟท่ีสรา้ งจากข้อมลู ที่มีอยู่ท้งั หมดหรอื จาก

ข้อมูลตวั อยา่ งทเ่ี ลือกมาเปน็ ตัวแทนของ เรียกว่า ………………………………………………….………. ซง่ึ

แผนภาพการกระจายจะแสดงแนวโน้ม (trend) ของความสมั พันธ์เชงิ ฟังกช์ ันระหว่าง

………………………………………และ………………………………………ดังน้ี

1. แบบ…………………………ซึ่งพจิ ารณาได้ 2 กรณี คือ

1.1 กรณที ี่แนวโนม้ ……………… (positive trend) หมายความว่า……………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.2 กรณีทแ่ี นวโนม้ ……………… (negative trend) หมายความว่า…………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. แบบ………………………… ซึง่ พิจารณาเปน็ 2 กรณี เช่นเดยี วกับแบบเสน้ ตรง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 144

แบบฝึกเสรมิ เพม่ิ ความเขา้ ใจ
1. จากแผนภาพการกระจายตอ่ ไปน้ี ใหน้ กั เรยี นบอกแนวโน้มของกราฟว่าเป็นกราฟชนดิ ใดและมลี ักษณะอย่างไร

Y Y
X X

Y
X

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 145

2. ถ้ารายรบั และรายจ่ายของเด็กกลุ่มหน่งึ มีจาํ นวน 10 คน เป็นดงั น้ี
รายรับ (บาท) 12 15 16 17 18 20 21 24 25 26
รายจ่าย (บาท) 10 16 15 18 19 20 20 22 19 28

ถ้าให้ รายรับเป็นตัวแปรอิสระ แทนตัวแปร X และรายจ่ายเป็นตัวแปรตาม แทนตัวแปร Y จงเขียนแผนภาพ
การกระจาย แลว้ พิจารณาว่าความสัมพนั ธข์ องรายรบั กบั รายจา่ ยของเด็กกลมุ่ นี้มกี ราฟเปน็ รปู อะไร

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
3. ข้อมูลข้างล่างน้ีเป็นการโฆษณาสินค้าท่ีมีผลต่อยอดขายสินค้านั้น ให้ X……เป…็น…จ…ํา.น..วนคร้ังของการโฆษณาสินค้า
ทางวทิ ยุใน 1 เดือน และ Y เปน็ ยอดขายสินค้าของเดอื นนนั้ หนว่ ยเป็นหมืน่ บาท
X 23456789
Y 18 15 11 12 14 16 25 30
จงเขียนแผนภาพการกระจาย แลว้ พิจารณาดคู วามสมั พันธ์เชงิ ฟังก์ชนั เปน็ แบบใด

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……………...

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 146

4. ข้อมลู ข้างล่างนี้เป็นกําไรสุทธใิ นเดอื นแรกของบริษัทร่มเยน็ จาํ กัด
เดือนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8

กาไรสุทธิ (หมืน่ บาท) 12 14 24 38 53 68 88 121
จงเขยี นแผนภาพการกระจาย แล้วพิจารณาดูความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชันเป็นแบบใด

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……………...

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 147

กจิ กรรม : การประมาณค่าของค่าคงตัว
โดยใชว้ ธิ ีกาลังสองนอ้ ยสุด
ตอนที่ 1

มมุ ความรู้ จากการสร้างแผนภาพการกระจายของค่า Xi และ Yi เม่ือเราลากเส้นขึ้นเป็นตัวแทน
ของกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ซ่ึงลากเส้นได้มากกว่า 1 เส้น จึงเกิดปัญหาเส้นใดเป็นเส้นท่ี
น่าเชื่อถือได้ เป็นตัวแทนที่ดีที่สุด ปัญหาน้ีแก้ได้โดย………………………………………

(Method of least squares)จากรูป เป็นจุดการกระจายของข้อมูล (X1, Y1), (X2,
Y2), (X3, Y3), …, (XN, YN) และเมอ่ื เราลากเสน้ L เป็นตวั แทนของกล่มุ ของจดุ (Xi, Yi)

คา่ ของ Yi บนเสน้ L เรียกวา่ ค่า Yi ประมาณ (ˆYi :
อ่านวา่ “………………………” ตัวท่ี i)

ส่วนค่า Yi จริง ๆ น้ันอาจจะอยู่บนเส้นตรง L หรือ
อยนู่ อกเส้น L เรียกวา่ คา่ Yi จรงิ ๆ (Yi)
จากรูป ให้ d1, d2, d3, …, dN เป็นค่าของความแตกต่างระหว่างค่า Y จริง กับค่า Y ประมาณหรือ
di = Yi - ˆYi
เส้นท่ีเป็นตัวแทนกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ท่ีดีท่ีสุดคือ เส้นที่ทําให้ d12, d22, d32, . . ., dN2 มีค่าน้อยสุด หรือ

N (Yi - ˆYi)2 มคี า่ น้อยสดุ วธิ ีดงั กล่าวน้เี รยี กว่า “………………………………………………..”



i=1

วิธีท่ีจะทําให้ N (Yi - ˆYi)2 มีค่าน้อยท่ีสุดจะไม่แสดงไว้ในที่น้ี เน่ืองจากต้องใช้ความรู้ทางคณิต ศาสตร์



i=1
ช้ันสูง แต่จากการใช้วิธีกําลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการที่เรียกว่า………………………(normal equations)

โดยมีจาํ นวนสมการเท่ากบั จาํ นวนคา่ คงตวั ทต่ี ้องการหากลา่ วคือ

1. สมการเส้นตรง

มีรปู สมการทัว่ ไปคือ

สมการปกติ คอื

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา