แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201

แบบฝึกทกั ษะ รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5
รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคลู สั เบอ้ื งต้น

ชอ่ื ………………………………………..……….ช้ัน ม.6/………เลขท่ี………

ครผู ูส้ อน.......................................
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพน้ื ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คานา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น จัดทาข้ึนเพ่ือใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ช้ัน
มัธยมศึกษาปีที่ 6 ซ่ึงสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพ่ือมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผดิ ชอบ ตระหนกั ในคณุ ค่า และมเี จตคตทิ ดี่ ีต่อวชิ าคณิตศาสตร์ รวมท้ังตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรียนรู้และตวั ช้ีวดั ในรายวิชาคณติ ศาสตร์

สาหรบั แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง แคลคลู สั เบื้องต้น เลม่ น้ี มที งั้ หมด 4 เรอื่ ง ดงั นี้
เรอ่ื งที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรมอนนั ต์
เรอื่ งท่ี 2 เร่ือง ลมิ ติ และความต่อเนอื่ งของฟังกช์ ัน
เรื่องท่ี 3 เรอื่ ง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน
เรอ่ื งท่ี 4 เรอื่ ง ปรพิ นั ธ์

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น เล่มน้ี คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ที่มีความสนใจ
ตอ่ ไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกี่ยวข้องทุกท่าน ทไ่ี ด้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ทุกคนที่ให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรเ์ ลม่ นสี้ าเร็จลลุ ่วงดว้ ยดี ขอขอบคุณเปน็ อย่างสูง ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมสั่งสอนประสิทธิ์ประสาทความรู้ท้ังปวง
แก่ผ้จู ดั ทา

(...................................................)
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ

สารบญั ข

เรอื่ ง หน้า
คานา ก
สารบญั ข
คาอธิบายรายวิชา ค
หน่วยการเรียนรู้ ง
โครงสรา้ งรายวชิ า จ
แบบฝกึ ทักษะ แคลคูลัสเบอื้ งต้น เรื่องที่ 1 ลาดับและอนกุ รมอนันต์
แบบฝึกทกั ษะ แคลคูลัสเบอื้ งตน้ เรื่องที่ 2 ลิมิตและความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั 1-34
แบบฝกึ ทักษะ แคลคูลสั เบอ้ื งตน้ เรอ่ื งท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2-20
แบบฝึกทกั ษะ แคลคูลสั เบื้องต้น เรอ่ื งที่ 4 ปริพนั ธ์ 3-51
4-22

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5 คาอธบิ ายรายวชิ า ค
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรยี นท่ี 1
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน รหสั วิชา ค33201
4 ชวั่ โมง/สัปดาห์

2.0 หนว่ ยกติ

ศึกษา พร้อมท้ังฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้
เหตุผล การสื่อสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ
ทางคณิตศาสตร์ และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ในเน้ือหา
สาระ ดงั น้ี

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและ
อนุกรมอนันต์ อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และ
การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม

แคลคูลัสเบ้ืองต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหา
อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การ
ประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์ ได้แก่ การเคล่ือนทแ่ี นวตรง ค่าสูงสุดและค่าต่าสุด และโจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุด
และคา่ ต่าสดุ ปฏิยานุพันธ์และปรพิ ันธไ์ ม่จากดั เขต ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต พืน้ ที่ที่ปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง
ทดลอง สรุป รายงาน เพ่ือให้มีความรู้ความเข้าใจในเน้ือหา มีทักษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผลและ
นาประสบการณด์ ้านความรู้ ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้
ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง รวมท้ังให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์
ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งมั่นในการทางาน รักความเป็นไทยและมีจิต
สาธารณะ

การวดั และประเมนิ ผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเน้ือหาและ
ทกั ษะท่ีต้องการวดั

ผลการเรยี นรู้
1. ระบุไดว้ า่ ลาดับท่ีกาหนดให้เป็นลาดับลู่เข้าหรอื ลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตได้
3. หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ได้
4. เข้าใจและนาความรู้เกยี่ วกบั ลาดับและอนุกรมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชันทกี่ าหนดให้ได้
6. หาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั พีชคณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หาได้
7. หาปริพันธ์ไม่จากดั เขตและจากัดเขตของฟังกช์ นั พชี คณิตท่ีกาหนดให้ และนาไปใช้
แกป้ ัญหาได้

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ ง
ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนท่ี 1
80 ชว่ั โมง/ภาคเรยี น รหัสวิชา ค33201
4 ช่วั โมง/สปั ดาห์
ช้ันเรียน/ภาคเรยี น สาระการเรยี นรู้
2.0 หนว่ ยกิต
ม.6 1. ลาดบั และอนุกรม
ภาคเรยี นที่ 1 1.1 ลาดบั จานวนชว่ั โมง
- ความหมายของลาดับ 30
- ลาดับเลขคณติ
- ลาดบั เรขาคณติ 50
- ลาดบั ฮาร์มอนิก
1.2 ลมิ ิตของลาดบั อนนั ต์ 80
1.3 อนุกรม
- อนุกรมเลขคณติ
- อนุกรมเรขาคณิต
- อนุกรมอนนั ต์
1.4 สญั ลกั ษณแ์ สดงการบวก
1.5 การประยุกตข์ องลาดบั และอนุกรม

2. แคลคูลัสเบื้องต้น
2.1 ลิมิตของฟังกช์ ัน
2.2 ความต่อเนื่องของฟงั กช์ ัน
2.3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันพชี คณิต
2.4 การหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ ันพชี คณติ โดยใช้สตู ร
2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั ประกอบ
2.6 เส้นสัมผัสเสน้ โค้ง
2.7 อนุพนั ธ์อันดบั สงู
2.8 การประยกุ ต์อนุพนั ธ์
2.9 ปฏิบานุพนั ธแ์ ละปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขต
2.10 ปริพันธ์จากัดเขต
2.11 พนื้ ท่ีที่ปิดลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง

รวม

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 โครงสรา้ งรายวชิ า จ
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นที่ 1
80 ชว่ั โมง/ภาคเรยี น รหัสวิชา ค33201
4 ชั่วโมง/สัปดาห์

2.0 หน่วยกติ

ลาดับ ช่ือ ผลการเรยี นรู้ สาระการเรียนรู้แกนกลาง เวลา นา้ หนกั
ท่ี หนว่ ยการเรียนรู้ (ชว่ั โมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบไุ ดว้ ่าลาดบั ท่ี ลาดบั และอนุกรม ลาดับ ได้แก่ 30 45

อนันต์ กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั ลเู่ ข้า ความหมายของลาดับ ลาดับจากดั

หรือลอู่ อก และลาดบั อนันต์ ลาดับ

2. หาผลบวก n พจนแ์ รก เลขคณิต ลาดับเรขาคณติ และ

ของอนกุ รมเลขคณิตและ ลาดบั ฮารม์ อนิก ลมิ ิตของลาดับ

อนกุ รมเรขาคณิตได้ อนุกรม ได้แก่ อนกุ รมจากดั และ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนันต์ อนกุ รมเลขคณิต

อนันต์ได้ และอนุกรมเรขาคณิต อนุกรม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนันต์ สญั ลักษณ์แสดงการบวก

เกีย่ วกับลาดับและ และการประยกุ ต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคลู สั เบอื้ งต้น 5. ตรวจสอบความต่อเนอื่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น ลิมิตของ 50 55

ของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ ฟังกช์ ัน ความต่อเนื่องของฟังกช์ ัน

ได้ อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั การหา

6. หาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันโดยใชส้ ตู ร

พชี คณติ ท่ีกาหนดใหแ้ ละ อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบ เส้น

นาไปใช้แกป้ ัญหาได้ สมั ผัสเสน้ โคง้ อนุพนั ธ์อนั ดับสงู

7. หาปรพิ นั ธไ์ มจ่ ากัดเขต และการประยุกต์ของอนุพันธ์

และจากัดเขตของ ไดแ้ ก่ การเคล่ือนทีแ่ นวตรง

ฟงั ก์ชันพชี คณติ ที่ คา่ สูงสดุ และค่าตา่ สุด และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปัญหาเกย่ี วกับค่าสูงสุดและค่า

แก้ปญั หาได้ ตา่ สดุ ปฏยิ านพุ ันธ์และปริพันธ์ไม่

จากัดเขต ปริพันธ์จากัดเขต พน้ื ที่

ที่ปิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้

รวมตลอดภาคเรยี น 80 100

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 1-1

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 5
รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคูลสั เบอ้ื งต้น

เรอ่ื งที่

1

ลาดับและอนุกรนอนันต์

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-2

ลาดับและอนุกรมอนันต์

Mathematics (Infinite Sequence and Infinite Series)

KANARAS

1. ลิมิตของลาดบั

บทนาลิมติ ของลาดบั
พิจารณาจากการทากจิ กรรมต่อไปน้ี

กิจกรรม
การหาลมิ ติ ของลาดับโดยการใชก้ ราฟ

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนตอบคาถามตอ่ ไปนใ้ี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

1. ใหน้ กั เรยี นพิจารณากราฟของลาดับ an 1 เมอ่ื n มคี า่ มากขน้ึ โดยไม่มีทีส่ ้นิ สุด ดงั ตอ่ ไปน้ี
n

n 1 2345 6 7 8 …

an …

an

1

1
2

n

0 12 3 4 5 67 8

จากกราฟจะพบว่า ถ้า n มากขึ้นโดยไมม่ ที ส่ี ิน้ สดุ แล้ว an จะลดลงและเขา้ ใกล.้ ...................

2. พจิ ารณากราฟของลาดบั an 1 เม่ือ n มคี า่ มากขึน้ โดยไม่มีทส่ี ิ้นสุด ดงั ตอ่ ไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

2

1

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มที ีส่ น้ิ สุด แล้ว an จะมีคา่ เป็น....................เสมอ

กล่มุ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-3

3. พิจารณากราฟของลาดับ an  n เมอื่ n มีค่ามากข้นึ โดยไม่มที ี่สิ้นสดุ ดังต่อไปนี้
2n 1

n 1 2345 6 7 8 …
…
an

an

2

1

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากขึ้นโดยไม่มีท่ีส้ินสดุ แล้ว an จะมีเขา้ ใกล.้ ...................

4. พิจารณากราฟของลาดบั an  2n 1 เมอื่ n มีคา่ มากข้นึ โดยไม่มีทส่ี ิ้นสดุ ดังต่อไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

20

10

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากข้ึนโดยไมม่ ที ีส่ ิน้ สุด แลว้ an จะมีคา่ ............................................................

5. พิจารณากราฟของลาดบั an  (1)n เม่ือ n มคี า่ มากข้ึนโดยไม่มีทส่ี ิ้นสุด ดังต่อไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

1

n

01 2 3 4 5 67 8

-1

จากกราฟจะพบวา่ เมื่อ n เป็นจานวนคี่ an จะมเี ทา่ กับ........เมอื่ n เป็นจานวนคู่ an จะมีเท่ากบั ........
ดงั นั้น เม่ือ n มากข้นึ โดยไมม่ ีที่สนิ้ สุด แล้ว an จะ.....................................................................................

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-4

บทนยิ าม ลิมิตของลาดบั (Limit of Sequence)

ให้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดับอนันต์ ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มีท่ีสิ้นสุดแล้ว an เข้าใกล้หรือเท่ากับ

จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่าน้ัน จะเขียนแทนด้วย lim an L (อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เม่ือ n มาก

n

ขึ้นโดยไม่มีทสี่ ิ้นสุด เทา่ กับ L) และจะเรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (Limit of a sequence) และกล่าวว่าลาดับน้ี

มีลมิ ติ เท่กบั L

เรยี กลาดับอนันต์ทีม่ ลี ิมติ วา่ ลาดับลู่เขา้ หรอื ลาดบั คอนเวอร์เจนต์ (Convergent sequence)

และเรียกลาดับอนนั ต์ท่ีไม่ใช่ลาดับลเู่ ข้าว่า ลาดบั ลอู่ อก หรือ ลาดบั ไดเวอร์เจนต์ (Divergent sequence)

การหาลิมติ ของลาดับต่างๆ สามารถทาได้ 2 วธิ ี คอื
1. โดยพิจารณากราฟของลาดบั หรอื ตาแหนง่ ของพจน์ที่ n ของลาดับบนเสน้ จานวน
2. โดยใช้ทฤษฎีเกยี่ วกับลมิ ติ

ทฤษฎบี ทเก่ียวกบั ลมิ ติ ของลาดบั

ทฤษฎีบท 1 ให้ k เป็นจานวนจริงบวก จะไดว้ ่า lim 1  .............. และ lim nk  .....................

n nk n

ตัวอยา่ งที่ 1 (1) lim 1 = ………………… (2) lim 1 = …………………
= ………………… n2 = …………………
n n = ………………… n = …………………

(3) lim 1 (4) lim 1

n n n 3

n2

(5) lim n (6) lim n2
n n

ทฤษฎีบท 2 ให้ r เปน็ จานวนจรงิ จะได้วา่
ถา้ r  1 แล้ว lim r2 = …………………

n

ถา้ r  1 แลว้ lim r2 = …………………
n

ตัวอย่างที่ 2 (1) lim  1 n = ………………… (2) lim 3n1 = …………………
 2  n
n

(3) lim   1 n = ………………… (4) lim   5 n = …………………
 3   4 
n n

(5) lim (2)n = ………………… (6) lim 4n = …………………
n n

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งที่ 1 เร่อื ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 1-5

ทฤษฎีบท 3 ลิมติ ของพชี คณิตของลาดับ

ให้ an, bn เป็นลาดับของจานวนจริง A, B เป็นจานวนจริง m เป็นจานวนเต็มท่ีมากกว่าหรือ

เทา่ กับสอง และ c เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ โดยท่ี lim an  A และ lim bn  B จะได้วา่

n n

1. lim c = ………………………………………………………………….
x

2. lim can = ………………………………………………………………….

n

3. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

4. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

5. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

6. lim  an  = ………………………………………………………………….
 bn  = ………………………………………………………………….
n

7. lim m an
n

กจิ กรรม
การหาลิมิตของลาดับ
โดยทฤษฎบี ทเก่ยี วกับลิมติ

1. ให้นักเรียนหาลิมิตของลาดับ เม่ือกาหนดลาดับ an  4  1 และ bn  1 1 1 
n 3 n 

1) lim an 2) lim bn

n n

....................................................................................................................................... .............................................

...................................................................................... ..............................................................................................

3) lim (an  bn ) 4) lim (an  bn )

n n

................................................................................................ ....................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

5) lim (an  bn ) 6) lim  an 
 bn 
n n

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................... .....................................................

7) lim an 8) lim bn
n n

................................................................................................................................ ....................................................

....................................................................................... .............................................................................................

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 1 เรือ่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-6

2. จงหา lim an เม่ือกาหนดพจน์ท่ี an ดังต่อไปนี้

n

1) an  2 2) 2n 1, 1  n  10
an  55, n  10

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

3) an  n 4) an  n3  n

...................................................................................... ..............................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

5)  2 n 6)  2 2 n
 5   3 
an  an  

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an   5 n 8) an  ln 2n
 4 

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

9) an  2 10) an  3(5n )
n2 1

.................................................................................... ................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

3. จงหา lim an เม่ือกาหนดพจนท์ ่ี an ดงั ตอ่ ไปน้ี

n

1) an  1  3n2 2) an  3n  5
n2 6

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

3) an  5  4n 4) an  n2 1
n 4n

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

5) an  3n1 6) an  2n1  3
5n2 3n2

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  4  3n  n2 8) an  n2  n3
2n3  3n2  5 n 1 n2  3

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................................................... .........

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 1-7

ทฤษฎบี ท 4 (ลมิ ิตของลาดับเศษสว่ นพหุนาม)

กาหนดลาดบั an  A1n p  A2n p1  A3n p2  ... An พิจารณาดังน้ี
B1n p  B2n p1  B3n p2  ... Bn

(1) ถา้ pq จะไดว้ า่ ลาดบั an จะเป็นลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an = ………………..

n

(2) ถ้า pq จะไดว้ า่ ลาดบั an จะเป็นลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an = ………………..

n

(3) ถ้า pq จะไดว้ า่ ลาดับ an จะเปน็ ลาดบั ลอู่ อก และ lim an ………………..

n

ตัวอยา่ งท่ี 3 (1) ลาดับ an  6n  4 เปน็ ลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
6n  4
n

(2) ลาดับ an  2n2  3n เปน็ ลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
5n  3n2
n

(3) ลาดับ an  4  5n เปน็ ลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
5n2  3
n

(4) ลาดบั an  4n3 1 เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
3n2  2n
n

1. ให้นกั เรยี นพจิ ารณาลาดับท่ีกาหนดให้เปน็ ลาดับลเู่ ข้าหรือล่อู อก และหาลมิ ติ ของลาดับน้ัน

1) an  n 1 2) an  4n3  2
n2 5n3  4n  5

............................................................................................................................. .......................................................

..................................................................................................................................... ...............................................

3) an  n2 n 1 4) an  n3  n  7
 2n  5 n 1

............................................................................................................................................... .....................................

.............................................................................................. ......................................................................................

5) an   1n 6) an  3n2 1
10n  5n2
n

....................................................................................................... .............................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  4n2 1 8) an  1  1
2n  3 n3  2 n n 1

............................................................................................................................. .......................................................

...................................................................................................................................... ..............................................

9) an  2n  5n  2 10) an  4 32n
3n  4n  3 2n 1
4

................................................................................................................................................ ....................................

............................................................................................... .....................................................................................

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 1-8

ทฤษฎบี ท 4 (ลิมติ ของลาดับในรูปเลขยกกาลัง)

กาหนดลาดับ an  A1x1n  A2x2n  A3 x3n  ... Ak xk n เชน่ an  3 2n  53n1
B1 y1n  B2 y2n  B3 y3n  ... Bh yhn 6  3n1  7  2n2  4

พจิ ารณาดงั น้ี

(1) ถ้า ฐานสูงสดุ ของตัวเศษ ฐานสงู สุดของตวั ส่วน

จะได้ว่า ลาดบั an จะเป็นลาดับลู่เขา้ และ lim an = ………………..

n

(2) ถ้า ฐานสงู สุดของตัวเศษ  ฐานสูงสดุ ของตัวสว่ น

จะได้ว่า ลาดบั an จะเปน็ ลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an = ………………..

n

(3) ถา้ ฐานสงู สุดของตัวเศษ ฐานสงู สุดของตวั สว่ น

จะได้ว่า ลาดับ an จะเปน็ ลาดบั ล่อู อก และ lim an ………………..

n

ตวั อย่างท่ี 4 (1) ลาดับ an  2n 1 เปน็ ลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
2n
n

(2) ลาดับ an  2n  3n เปน็ ลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
4n
n

(3) ลาดบั an  2n  5 3n1 เป็นลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
3n1  4
n

(4) ลาดับ an  5n 1 เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
4 3n  2
n

1. ให้นกั เรียนพจิ ารณาลาดบั ท่กี าหนดให้เป็นลาดับล่เู ขา้ หรือลอู่ อก และหาลมิ ิตของลาดับน้ัน

1) an  2n2 1 2) an  2n  5  3n1
2n  5 3n1  4

............................................................................................................................. .......................................................

...................................................................................................................................... ..............................................

3) an  1  3 5n  2n1 4) an  5n  33
7n1  5n 5  2n1

................................................................................................................................................. ...................................

................................................................................................ ....................................................................................

5) an  4  5n  3n2 6) an  55  3n
5n1  6n 3n1  5

.......................................................................................................... ..........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  9n 1  2n 8) an  3n 2 16n 1
3n 1 4n 4

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 1 เรื่อง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1-9

ตัวอยา่ งท่ี 5 (ลิมิตของลาดบั ในรูปแบบไม่กาหนด ได้แก่   ,  หรือ 0 )

0

ใหน้ กั เรียนพิจารณาลาดับท่ีกาหนดให้เป็นลาดับลู่เขา้ หรือลอู่ อก และหาลิมิตของลาดบั นั้น

1) an  n n3 2) an  n3  n2
2 2n2  n n2  2 n  3

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

................................................................................................................................................................... .................

.................................................................................................................. ..................................................................

3) an  4n 1  6n 4) an  n 1  n
2n  3n 1

............................................................................................................................ ........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

................................................................................................................................................ ....................................

............................................................................................... .....................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

5) an  n2  2n  4  n2 1 6) an  2 n4  n
n4  2n2 

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................................. .......

........................................................................................................................... .........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................................... .....................................

.............................................................................................. ......................................................................................

7) an  n 2  n1 8) an  n2 n 1
n  n 1 3n  2  3n 1

......................................................................................................... ...........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................................................... .........

.......................................................................................................................... ..........................................................

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1-10

แบบฝึกทักษะที่ 1
ลิมติ ของลาดับ

1. ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาลาดับท่กี าหนดให้เป็นลาดับลู่เขา้ หรือลู่ออก และหาลิมิตของลาดับนนั้

1) an 5 6 2) an  3n2  2
3n 1 2  2n2

........................................................................................................... .........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

3) an  n2 3n 4) an  1 7n2
 2n3 1 2n  n3

............................................................................................................................. .......................................................

.......................................................................................................................................... ..........................................

5) an  1  3n  n5 6) an  n3 1
n3 1 3n5 1 n2  n  2

..................................................................................................................................................... ...............................

.................................................................................................... ................................................................................

7) an  4n2  2 8) an  5n3  4n  4
4  4n  4n2 4n  2n3

.............................................................................................................. ......................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

9) an  (n2 1)(n2  n) 10) an  n(3n 1)2
4  2n4 1 2n3

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................. .......................................

11) an  (3n 1)(1 n2 ) 12) an  3n4  6n2 2
(n 1)(2n2  n) (5n  4n2 )n2

...................................................................................................................................................... ..............................

..................................................................................................... ...............................................................................

13) an  (n  2n2 )(n2 1) 14) an  n  53 n  2
9  5n3 n 33 n 1
2

.............................................................................................................. ......................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

15) an  n  4n2  n  2 16) an  2n 1  2n 1
n 1 4n 1 1

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................ ........................................

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 1 เรือ่ ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 1-11

17) an  1 n2 1 18) an  2n2  2n  3  2n2  n 1
n2  2n 

.................................................................................................................................................. ..................................

................................................................................................. ...................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

................................................................................................................................................................... .................

19) an  n 1 n 1 20) an  n(n  n2  2)
2n  3  2n  3

............................................................................................................................................................................ ........

........................................................................................................................... .........................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................... .....................................

............................................................................................. .......................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

21) an  1 1  1  ...  1 22) an  1 2  4  8  ...  2n1 )
3 32 3n1 3(1 2  4  8  ...  (2)n1

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................................................... ...........

....................................................................................................................... .............................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................... .........................................

....................................................................................................................................................................................

23) an  2n  6n  3n 24) an  2  22n  4n 1
2n1 1 3n1 3n

.................................................................................................. ..................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่องที่ 1 เร่ือง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-12

2. สัญลกั ษณแ์ สดงการบวก

เนื่องจากในเร่ืองของอนุกรมน้นั เก่ียวข้องกับการบวก ดังน้ันเพ่ือความสะดวกในการเขียนอนุกรม จึงมีการ

กาหนดสัญลักษณ์แสดงการบวก โดยการใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่  อ่านว่า……………….. เป็นสัญลักษณ์

แสดงการบวก กล่าวคอื

1) อนกุ รมจากดั a1  a2  a3 ... an เขยี นแทนด้วย………………อา่ นว่า…………………………………………..
2) อนกุ รมอนนั ต์ a1  a2  a3 ... an ... เขียนแทนด้วย………………อา่ นว่า……………………………………

การใช้สัญลักษณ์แทนการบวกเขียนแทนอนุกรม จะเห็นว่ามีอักษรอยู่ใต้เครื่องหมาย  เช่น 10

 an
n1

เรยี กตัวแปร n ว่า………………ซ่ึงเราอาจใช้ตัวแปรอ่ืนแทน n ได้ เช่น 10 ai หรือ 10 ak ดัชนีท่ีอยู่ใต้เคร่ืองหมาย

 
i1 k 1

 ไมจ่ าเปน็ ต้องเริ่มจาก 1 เสมอไป อาจเร่มิ จากจานวนเตม็ อ่นื กไ็ ด้ เช่น 10 n2 =…………………………………………


n0

อนกุ รมอนนั ต์ 1 1  1  ...  1  ... อาจเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณแ์ ทนการบวกได้หลายแบบ เชน่
2 4 2n1

……………………………………………………………………………………….…………….

ตัวอยา่ งที่ 1

1) 10 = ……………………………………………………………………………….

 (2n 1)
n1

2) 20 = ……………………………………………………………………………….

 n2
n1

3)  = ……………………………………………………………………………….
= ……………………………………………………………………………….
n
n1

4)  1


n1 n

สมบัตขิ องสญั ลกั ษณ์แสดงการบวก

ทฤษฎีบท 1 ถา้ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ แล้ว n = …………………………

c
i1

ตัวอยา่ งที่ 2 (1) 25 =……………………………………………………………………………….
=……………………………………………………………………………….
2
k 1

(2) 30

 (3)
k 1

ทฤษฎีบท 2 ถ้า an เปน็ พจนท์ ว่ั ไปของลาดับ และ c เปน็ คา่ คงตัว แล้ว

n = …………………………

 cai
i1

ตวั อยา่ งท่ี 3 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
 5an
n1

(2) 20 (2)an =
n1

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 1-13

ทฤษฎีบท 3 ถ้า an และ bn เปน็ พจน์ทว่ั ไปของลาดับ แลว้

n  bi ) = ……………………………………………………

 (ai
i1

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ 10  20, 10  30 และ 10  50
วิธีทา
 an  bn  cn
n1 n1 n1

จงหา 10

(5an  3bn  2cn  20)
n1

10 = …………………………………………………………………

(5an  3bn  2cn  20)
n1

= …………………………………………………………………

= …………………………………………………………………

ทฤษฎีบท 4 ถา้ n เป็นจานวนเต็มบวก แลว้

n  1 2  3  ...  n  …………………………………

i
i1

ตวั อย่างที่ 5 (1) 20 = ……………………………………………………………………………….

i
i1

(2) 199 = ……………………………………………………………………………….

i
i1

(3) 100 = ……………………………………………………………………………….

i
i11

= ……………………………………………………………………………….

ทฤษฎีบท 5 ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว

n  12  22  32  ...  n2  …………………………………

i2
i1

ตัวอย่างที่ 6 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
i2
i1

(2) 10  i) =

 (i2
i1

ทฤษฎีบท 6 ถ้า n เปน็ จานวนเต็มบวก แล้ว

n  13  23  33  ...  n3  …………………………………

i3
i1

ตัวอยา่ งที่ 7 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….

i3
i1

(2) 20 = ……………………………………………………………………………….

 i3
i11

= ……………………………………………………………………………….

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งที่ 1 เร่ือง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 1-14

กจิ กรรม
สญั ลกั ษณ์แสดงการบวก

1. จงเขยี นอนกุ รมจากัดและอนุกรมอนนั ต์ตอ่ ไปน้ีในรูปของสญั ลักษณแ์ ทนการบวก

(1) 1 2 3...15 = …………………………………………………………………………………………………………

(2) 1  3  5  7 ... 15 = ……………………………………………………………………………………………..

4 9 16 25 81

(3) 2  4  8  16 ... 256 = …………………………………………………………………………………………….
357 9 17

(4)  1  1  1  1 ... 1 = ………………………………………………………………………………………..

2 6 12 20 110

(5) 13 24  35 46 ... n(n  2) ... = …………………………………………………………………………..
(6) 1111... (1)n1 ... = ……………………………………………………………………………………………..

(7) 2 2  2  2  ... 2  ... = ………………………………………………………………………………………..
3 9 27 3n1

(8) 1  1  1  1 ... 1 ... = ………………………………………………………………...

1 2 23 3 4 45 n(n 1)

2. จงเขียนแทนสัญลักษณ์ต่อไปน้ีในรูปการบวก

(1) 10 = ………………………………………………………………………………………………

 (3i 1)
i1

(2) 5 = ………………………………………………………………………………………………

 (1 2k)
k 1

(3) 10 = ………………………………………………………………………………………………

 (i2  2)
i1

(4) 100 k 1 = ………………………………………………………………………………………………
k1 k
8
(5) 8 i(i  2) i1 i( i  2) = ………………………………………………………………………………………………



i1

3. จงหาผลบวกในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) 1 2  3...150
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(2) 12  22  32 ...1502
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 1 เรื่อง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1-15

(3) 1 3 5 ...111
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(4) 2  4  6 ...1000
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(5) 12  23 3 4 ... 3031
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(6) 20

 3k
k 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(7) 30 k 2

k 1 5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(8) 10

 (k  2)2
k 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่องท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 1-16

แบบฝึกทกั ษะที่ 2
ลิมิตของลาดับ

1. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาลาดับท่ีกาหนดให้เปน็ ลาดับลเู่ ข้าหรือลู่ออก และหาลมิ ติ ของลาดับนัน้

1) an  2  4  6  ...  2n 2) an  3 (12  22  32  ...  n2 )
n2 n3

............................................................................................................ ........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
................................................................................................................................ ....................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

3) an  2n4 4) an  n(1 2  3  ...  n)
1 8  27  ...  n3 12  22  32  ...  n2

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................................... .........................

.......................................................................................................... ..........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

5) an  n2 6) an  n(13  23  33  ...  n3)
1 2  3  ...  (n 1) (1 2  3  ...  n)2

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

....................................................................................... .............................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  2  4  6  ...  2n 8) an  3n 12n  27n  ...  3n3
1 3  5  ...  (2n 1) 1 8  27  ...  n3

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................................... ................

................................................................................................................... .................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................... .............................................

....................................................................................................................................................................................

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 1 เรอื่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-17

2. กาหนดผลบวกของอนุกรมเลขคณติ n พจน์แรกคือ n2 3n แล้ว lim an มคี าเทา่ ใด

n n 1

...................................................................................................................... ..............................................................
.............................................................................................................................. ......................................................
......................................................................................................................................... ...........................................
....................................................................................... .............................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................
....................................................................................................................................................................................

3. กาหนดให้ an  kn 1 เมื่อ k เปน็ ค่าคงตัวทที่ าให้ lim an  3 แลว้ k มคี ่าเท่าใด
3n 1 kn 1
n

............................................................................................................................. .......................................................

................................................................................................................................................................... .................

................................................................................................................. ...................................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................... ................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

4. กาหนดให้ an  3n  k n เม่ือ k เปน็ จานวนจริงทที่ าให้ lim an  7 แลว้ lim k n1  4n มีค่าเทา่ ใด
k n1  2n 5n1  k n
n n

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................. .......................
........................................................................................................... .........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

5. กาหนดให้ an  1 (1 (2  2)  (3  3  3)  ...  (n  n  n  ...  n)) โดย k เปน็ ค่าคงตวั ท่ที าให้
nk

lim an L เมื่อ L0 แลว้ 6(k  L) มีค่าเทา่ ใด

n

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................................... ...........................

....................................................................................................... .............................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 1-18

6. กาหนดให้ an เป็นลาดับเลขคณิตท่สี อดคล้องกับเงือ่ นไข lim  an  a1   5
 n 
n

ถ้า a5  a9 100 แล้ว a50  a51  a52 ... a150 มีคา่ เท่าใด

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

........................................................................................................................................................................ ............

...................................................................................................................... ..............................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

7. กาหนดให้ an  n k เมือ่ n 1, 2,3,... จงหาค่าของ lim 2n (6  3an)
k 1 2k n2  5n 1
n

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................................. .......

........................................................................................................................... .........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................................. ......................................

............................................................................................ ........................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

8. กาหนดให้ an  (3  2n)13(5  n)2 เม่อื n 1, 2,3,... จงหาคา่ ของ lim an
(1 2n)15
n

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................................... ................

.................................................................................................................. ..................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

k (n5  n)  3n4
(n  2)5
 9. ให้  2
k เป็นคา่ คงตวั และถ้า lim  lim n2  3n 1  n

n n

แลว้ k มีค่าเท่ากับเทา่ ใด

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ....................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่องท่ี 1 เร่ือง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 1-19

3. อนกุ รมอนนั ตแ์ ละผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดบั อนันต์ จะเรียกการเขยี นแสดงการบวกในรปู

a1  a2  a3  ...  an  ... ว่า อนกุ รมอนนั ต์ (Infinite series) ซ่งึ เขยี นแทนด้วย 

 an
n1

กิจกรรม
ผลบวกอนุกรมอนันต์

พจิ ารณาอนุกรม 1  1  1  1  ...  1  ... โดยที่
2 4 8 16 2n

S1  a1  1  ...................................................................................................
2

S2  a1  a2  1  1  .....................................................................................
2 4

S3  a1  a2  a3  1  1  1  ........................................................................
2 4 8

S4  a1  a2  a3  a4  1  1  1  1  .........................................................
2 4 8 16

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1 1 1 1  ...  1  ......................................
2 4 8 16 2n

ดังนั้น เม่อื n มากขึน้ โดยไมม่ ีท่ีสน้ิ สุด ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมนี้ จะเข้าใกล้………….

พจิ ารณาอนกุ รม 1 2  4 8... 2n ... โดยท่ี

S1  a1  1  ...................................................................................................
S2  a1  a2  1 2  ......................................................................................
S3  a1  a2  a3  1 2  4  ..........................................................................
S4  a1  a2  a3  a4  1 2  4 16  ...........................................................

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1 2  4 16  ...  2n  .......................................

ดังนั้น เมื่อ n มากขน้ึ โดยไม่มีท่ีสน้ิ สดุ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม จะเขา้ ใกล้………….

3.1 ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม (Sequence of partial sums)

ถา้ กาหนดอนกุ รมอนนั ต์ n  a1  a2  a3  ...  an  ... …(1)

 an
n1

และให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม (1) นน่ั คอื

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งท่ี 1 เร่อื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 1-20

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3
S4  a1  a2  a3  a4

Sn  a1  a2  a3  ...  an

บทนยิ าม กาหนดอนกุ รมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ...
ตัวอย่างท่ี 1
 an
n1

เรียก S1, S2, S3,..., Sn,... แต่ละจานวนว่า ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรก

ของอนกุ รม เมอ่ื n เปน็ จานวนเตม็ บวก

และเรียกลาดับอนันต์ S1, S2, S3,..., Sn,... วา่ ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม

กาหนดอนกุ รม 1  1  1  ...  1  ... จะได้
10 100 1000 10n

S1  1  ...................................................................................................
10

S2  1  1  ........................................................................................
10 100

S3  1  1  1  ............................................................................
10 100 1000
เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ซ่ึง

Sn  .1ล.1.0า..ด..ับ.1.ผ.0.1.ล0..บ..ว..ก1..ย0.1.อ่ 0..ย0..ข..อ..ง...อ...น...ุก1..ร01.ม.n..น..ี้ .ค....อื.....................................................................................ใa..ช.1..=.้ส...…ูต....ร.…....S.....n..แ...=.ล.ะa1r(r=rn …1…1…)



ดังนั้น

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

เราพบข้อสงั เกตบางประการ ดังตอ่ ไปนี้

1) Sn =………………………………………แสดงว่า Sn  ........ สาหรบั จานวนเตม็ บวก n ทกุ จานวน
2) เมือ่ หาลิมติ ของลาดับน้ี จะได้วา่ …………………………………………………………………….

จากตวั อย่างท่ี 1 จะเหน็ ว่า …………. เป็นลมิ ิตของลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม

1 1 1  ...  1  ... เรยี ก …………… วา่ เปน็ ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์
10 100 1000 10n

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่องท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-21
ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดอนกุ รม 1111... (1)n1 ... จะได้

S1  ...................................................................................................
S2  ...................................................................................................
S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ฉะน้ัน ลาดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมน้คี ือ ……………………………………………..
จะเห็นวา่ ลาดับนีไ้ ม่มลี มิ ิต จงึ ถอื ว่าหาผลบวกของอนุกรมนี้ไมไ่ ด้

ดังนน้ั จึงอาจให้นยิ ามผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ได้ดงั นี้

บทนิยาม ผลบวกของอนกุ รมอนันตใ์ ด คือลมิ ิตของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนั้น
เมือ่ ลาดบั นน้ั มีลมิ ิต

จากบทนยิ ามและความเขา้ ใจ จะเหน็ ไดว้ ่า
การหาลมิ ติ ของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม ก็คือ …………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 3 จงพิจารณาวา่ อนกุ รมอนนั ตต์ อ่ ไปนเี้ ปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรือไม่ ถา้ เปน็ จงหาผลบวก
วิธที า
1 1  1  1 1  ... 1  ...
2 4 8 16 2n

ผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ

S1  ...................................................................................................
S2  ...................................................................................................
S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ดงั นน้ั ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนี้ คอื

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

นัน่ คอื

lim Sn  lim 1  1  1  1 1  ...  1 
2 4 8 16 2n 
n n

 .....................................................

 .....................................................

ดังน้นั ผลบวกของอนกุ รมอนนั ตน์ ี้เท่ากบั ……………….
แสดงวา่ อนกุ รมทีก่ าหนดใหน้ ี้เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกเป็น……………….

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 1-22

ตัวอยา่ งท่ี 4 กาหนดอนุกรมเลขคณติ 1 4  7 10 ... (3n  2) ...
วิธที า จงพจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมนี้
ให้ Sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม จะได้ว่า

S1  ...................................................................................................

S2  ...................................................................................................

S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ดังนนั้ ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรมนี้ คือ

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

นนั่ คอื

lim Sn  lim 1 4 7 10  ...  (3n  2)

n n

 .....................................................

 .....................................................

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์น้เี ทา่ กบั ……………….
แสดงวา่ อนกุ รมทีก่ าหนดให้นี้เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกเป็น……………….

บทนิยาม 3 กาหนดอนุกรมอนนั ต์  an  a1  a2  a3  ... an  ... และ S1, S2, S3,..., Sn เป็น
n1
ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรมนี้

(1) ถา้ lim Sn  S หาคา่ ได้ เราจะกลา่ วว่า อนุกรมอนันต์  เป็นอนกุ รมลู่เข้า

n  an

n1

(Convergent series) หรือ เป็นอนกุ รมท่ีสามารถหาผลบวกอนนั ต์ได้

และจานวนจริง S คือผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ นน่ั คือ  S

 an
n1

(2) ถ้า lim Sn ไมม่ ีค่า เราจะกลา่ ววา่  เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

n  an

n1

หรือ เป็นอนกุ รมท่ีไม่สามารถหาผลบวกอนันต์ได้

หมายเหตุ : สัญลกั ษณ์แสดงผลบวกของอนุกรมอนันต์

จากบทนยิ าม ถ้าอนุกรม  เป็นอนกุ รมลู่เขา้ โดยมีผลบวกเทา่ กับ S จะได้ว่า

 an
n1

S      n 
 lim Sn  lim a1 a2  a3  ... an lim  
n  ak 
n n
k 1

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-23

สมบตั ขิ องอนุกรมลูเ่ ข้า

กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้ โดยมีผลบวกเทา่ กับ S

 an
n1

นัน่ คอื lim Sn  S โดยสมบัติของลาดับลู่เข้า จะไดว้ ่า lim Sn1  S

n n

ดงั นนั้ lim  Sn  Sn1   0 แต่เนอ่ื งจาก Sn  Sn1  an

n

แสดงวา่ lim an 0

n

ถา้ อนุกรม  เป็นอนุกรมลู่เขา้ แลว้ lim an 0

 an n

n1

และทาให้ได้อีกว่า

ถา้ lim an  0 แล้ว lim Sn หาค่าไมไ่ ด้ หรืออนุกรม  เป็นอนุกรมลู่ออก

n n  an

n1

ขน้ั ตอนในการหาผลบวกของอนกุ รมอนันต์

กาหนดอนุกรมอนนั ต์   a1  a2  a3  ...  an  ... มีขั้นตอนในการหาผลบวกดังนี้

 an
n1

หา lim an 0

n

lim an  0 lim an  0

n n

n  an จะเป็นอนุกรมลู่ออกและ

หา Sn   ai 
i1 n1

หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ไมไ่ ด้

น่นั คือ  ไมม่ คี ่า

 an
n1
หา
lim Sn

n

ถ้า lim Sn S ถ้า lim Sn หาค่าไม่ได้

n n

 an จะเปน็ อนุกรมลู่เขา้ และ  an จะเปน็ อนุกรมลู่ออกและ

 
n1
n1

หาผลบวกของอนุกรมอนันตเ์ ทา่ กบั S หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ไม่ได้

นั่นคือ   S นั่นคือ  ไมม่ คี ่า

 an  an
n1
n1

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-24

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนด Sn แทนผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรม  จงตรวจสอบว่าอนุกรมนเ้ี ปน็

 an
n1

อนกุ รมลเู่ ข้าหรอื ลู่ออก และถ้าเปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ จะมีผลบวกของอนุกรมเทา่ กบั เท่าใด

1) Sn  n2  3 2) Sn  n2  3n
2n2 1 2n 1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) Sn  n  1  1 4) Sn  5   4 n1
n n2  3 

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ตวั อย่างท่ี 6 กาหนดอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ จงตรวจสอบว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก

ถา้ เปน็ อนกุ รมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1 3  5  ...  2n 1  ... 2) 1 2  22  23 ... 2n1 ...
23 n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 16 14 12 10 ... (18  2n) ... 4)  1 3n

n1 3n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5) log 1  log 2  log 3 ...  log n ... 6) 1 1  1  1  ... 1  ...
234 n 1 2 22 23 2n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 1-25

3.2 ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต และอนกุ รมเรขาคณติ

1) อนุกรมเลขคณิตอนันต์

เราไดศ้ กึ ษาการหา Sn ของอนุกรมเลขคณิตไปแล้ว ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าอนุกรมเลขคณิต
ใดเปน็ อนุกรมลูเ่ ข้า และอนุกรมเลขคณิตใดเปน็ อนกุ รมลอู่ อก ดงั นี้

กาหนด  เป็นอนุกรมเลขคณิตอนนั ต์ กลา่ วคือ a1  (a1  d)  (a1  2d) ... (a1  (n 1)d) ...

 an
n1

จากสูตรการหา Sn จะได้วา่

Sn = Sn =
จะไดว้ ่า หรือ

.....................................................................................................

lim Sn  
.....................................................................................................
n

สรปุ อนกุ รมเลขคณิตอนันต์  เป็นอนกุ รมลู่ออกเสมอ ยกเว้น เมื่อ a1=…….. และ d =…….. ซ่ึงเป็น

 an
n1

อนุกรมคงตวั ทกุ พจน์ เทา่ กับ ………….. ดงั น้ัน ผลบวกของอนกุ รมเท่ากับ …………..

ตวั อย่างที่ 1 1) 

5  7  9  ...  (2n  3)  ...  .................
n1

เปน็ อนุกรมเลขคณิตทีเ่ ป็นอนุกรมลู่...................เพราะ................................................

2) 

0  (1)  (2)  ...  (1 n)  ...  .................
n1

เป็นอนกุ รมเลขคณิตที่เปน็ อนุกรมลู่...................เพราะ................................................

2) ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิตอนันต์
เราได้ศึกษาการหา Sn ของอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว ดังน้ันเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่า อนุกรม

เรขาคณติ ใดเป็นอนุกรมลู่เข้า และอนกุ รมเรขาคณิตใดเปน็ อนกุ รมลู่ออก ดงั น้ี

กาหนด  เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนนั ต์ กล่าวคือ a1  (a1r)  ( a1r2) ...  (a1rn1) ...

 an
n1

จะได้วา่ 1) ถ้า r 1 แล้ว lim Sn = …………………………………………..

n

ดังนนั้  = …………………………………………..

 an
n1

2) ถ้า r  1 แล้ว lim Sn = …………………………………………..

n

ดงั นน้ั  = …………………………………………..

 an
n1

จากสูตรการหา Sn จะไดว้ ่า

Sn = Sn =
หรอื

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-26

3) ถ้า |r| 1 แล้ว lim Sn = …………………………………………..

n

ดังนน้ั  = …………………………………………..

 an
n1

4) ถา้ |r| 1 แล้ว lim Sn = …………………………………………..

n

ดังน้นั  = …………………………………………..

 an
n1

สรุปได้ดงั ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท กาหนดอนุกรมเรขาคณิตมี a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอตั ราส่วนร่วม
ถา้ | r | 1 แล้ว อนุกรมนี้เปน็ อนกุ รมลู่เข้าและผลบวกของอนุกรมเทา่ กับ.....................................
ถา้ | r | 1 แลว้ อนุกรมนี้เปน็ อนกุ รมลู่ออก

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงตรวจสอบอนุกรมเรขาคณิตอนนั ตต์ ่อไปนีเ้ ป็นอนุกรมลเู่ ขา้ หรืออนกุ รมลู่ออก
ถา้ เป็นอนกุ รมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1  1  1  ...

3 9 27

พบว่า r  ……………….. และ | r |………………..

แสดงว่าอนุกรมนี้เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

2) 4 1.6  0.64  0.256 ... และ | r | ………………..
พบวา่ r  ………………..

แสดงว่าอนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรมลเู่ ข้า โดยมผี ลบวกของอนุกรมคือ…………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

3) 1 1 1 1  ...
1.04 1.042 1.043

พบว่า r  ……………….. และ | r | ………………..

แสดงวา่ อนุกรมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เขา้ โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

4) 2  1  1  1 ... และ | r | ………………..

2 8 32

พบว่า r  ………………..

แสดงวา่ อนุกรมนีเ้ ป็นอนุกรมลูเ่ ข้า โดยมผี ลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งที่ 1 เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 1-27

ตวั อย่างท่ี 3 จงตรวจสอบอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ต่อไปนเี้ ปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลู่ออก
ถ้าเป็นอนุกรมลูเ่ ข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1 2  4  8  ... 2) 4 1 1  1  1  ...

3 9 27 4 16 64

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 16 12  9  ... 16 3 n1  ... 4) 2  8  32  ...  22n1  ...
4  3 9 27 3n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5)  1 2n 6)  2n1  3n1

n1 3n n1 4n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ตวั อย่างที่ 4 จงใช้ความรู้เรื่องอนกุ รม เขยี นจานวนในแต่ละขอ้ ให้อยใู่ นรปู เศษส่วนของจานวนเต็ม

1) 0.3 2) 0.9

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 4.24 4) 1.052

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1-28

ตัวอย่างท่ี 5 ถ้าปล่อยลูกบอลลูกหน่ึงให้ตกลงมาจากจุดๆ หนึ่งซึ่งจะอยู่สูงจากพื้นดิน 24 2เมตร พบว่าในแต่
วธิ ีทา ละคร้ังที่ลูกบอลกระทบพื้นดิน ลูกบอลจะลอยขึ้นไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 3
ของระยะทางที่

ลกู บอลตกลงมา จะหาผลบวกของระยะที่ลกู บอลเคล่ือนทที่ ง้ั หมด

24 เมตร

2 ( 24 ) เมตร
3

2 [ 2 ( 24 )] เมตร
3 3

จากรูป ผลบวกของระยะทางทลี่ กู บอลเคลื่อนที่ได้ เท่ากับ

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

1. จงตรวจสอบอนุกรมอนนั ต์ต่อไปนี้เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรืออนุกรมลอู่ อก

ถา้ เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 3 1 1  ... 2) 16  4 1...
3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 2  4  8 16 ... 4) 4  6  9 ...

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 1-29

5) 2  1  1  ... 6) 60  6  0.6 ...

28

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) 4  4  4  ...  4  ... 8) 0.2  0.025  0.00025  0.0000025 ...
7 49 7n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) 24 16  32  64  ...  24   2 n1  ... 10) 12  6  3  3  ... 12   1 n1  ...
3 9  3  2  2 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11) 4 1  8 1  16 1   2n1 1 
3n1
9 27 81

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 1 1 1 เม่อื x เปน็ จานวนจรงิ
2  x2 2  x2 2  x2 2  x2
     12) 2 3  n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่องที่ 1 เรอื่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-30

2. จงเขียนจานวนทศนยิ มไมร่ ู้จบในขอ้ ต่อไปนใ้ี ห้อยู่ในรปู เศษส่วน

1) 0.6 2) 2.9

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 0.81 4) 1.234

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ลูกปิงปองตกลงมาจากโต๊ะสูงจากพื้น 4 เมตร พบว่าในแต่ละคร้ังท่ีลูกปิงปองกระทบพื้น ลูกปิงปองจะลอยข้ึน
3
ไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 4 ของระยะทางที่ลูกปิงปองตกลงมา จงหาระยะทางท่ีลูกปิงปองเคล่ือนท่ีทั้งหมด

ในแนวดิ่ง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 1-31

4. กาหนดอนุกรม a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 และ a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 จงหา 
2 4
 a1r2n

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถ้า x เป็นจานวนจรงิ ทีท่ าให้  2 xx2 x3x4 ...  2 2 จงหา lim n   x k
k 1  3 
n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถ้า lim n2a 1  1 จงหา   ab n 
2n2b 1  2 b2 
n n1 2(a  )

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1-32

3.3 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)

กาหนดให้ F :  จะไดว้ ่า

n

F(k)  F(k 1)  F(1)  F(2)  F(2)  F(3)  F(3)  F(4) ...  F(n)  F(n 1)

k 1

 F(1)  F(n 1)

และ

n

F(k 1)  F(k)  F(2)  F(1)  F(3)  F(2)  F(4)  F(3) ...  F(n 1)  F(n)

k 1

 F(n 1)  F(1)

ถ้า lim F(n)  0 จะไดว้ ่า
n0



F(k)  F(k 1)  F(1)
k 1

และ 

F(k 1)  F(k)  F(1)
k 1

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดอนุกรมอนันต์ในแต่ละข้อต่อไปน้ี จงพิจารณาว่าเปน็ อนุกรมล่เู ขา้ หรอื อนุกรมลอู่ อก

ถ้าเป็นอนุกรมลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1  1  1  ... 2) 1  1  1  ...

12 23 34 13 35 57

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 3  3  3  ... 4) 2  2  2  ...
1 4 4 7 7 10 58 811 1114

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5)  1 6)  2n 1
n2 n2 1 n2 n2 (n 1)2

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 1-33

3.4 อนกุ รมอนันต์แบบผสม

ถ้า a1  a2  a3 ... an ... เป็นอนุกรมเลขคณติ และ b1  b2  b3 ... bn ... เปน็ อนกุ รม

เรขาคณิต ทเ่ี ปน็ อนุกรมท่ีลู่เข้า แลว้ อนกุ รมแบบผสม
a1b1  a2b2  a3b3 ... anbn ... จะเปน็ อนุกรมท่ีล่เู ข้าดว้ ย

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลบวกของอนุกรมแบบผสม (ถา้ ม)ี ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1) 1 3 5 7  ...  2n 1  ...
5 52 53 54 5n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

2) 5  10  15  20  ...  5n  ...
3 32 33 3n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3)  n2  n

n1 2n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งที่ 1 เรอื่ ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 1-34

แบบฝึกทกั ษะที่ 4
อนุกรมอนันต์ที่น่าสนใจ

1. สาหรับจานวนนับ n กาหนดให้ an  2    1 n ค่าของ  เท่ากบั เทา่ ใด
4n2 1  3 
 an

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กาหนด a1  a2  a3  ...  an  ... มผี ลบวก n พจน์แรกเป็น n จงหาคา่ ของ lim n  kak 
2(n 1) k 1  k 3 
n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาจานวนจรงิ x ทีท่ าให้ 1  3  5  ...  2n 1  ...  3
x x2 x3 xn 8

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 1-35

4. กาหนดให้ an  n  23n เมือ่ n 1, 2,3,... ผลบวกของอนุกรม  เท่ากับเท่าใด
32n1
 an

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถ้า a เปน็ จานวนจรงิ ทส่ี อดคลอ้ งกับ  n2  a  21 แลว้ ค่าของ a เท่ากับเทา่ ใด
2
n1 3n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาจานวนจรงิ บวก x ทที่ าให้ 1  1 6 x  (1 15  (1 28  ...  27
  x)2  x)3 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ ัน 2-1

แบบฝึกทกั ษะ รายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5
รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคลู สั เบ้ืองต้น

เรอ่ื งท่ี

2

ลิมิตและความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ ัน

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ ัน 2-2

ลิมิตและความตอ่ เนือ่ งของฟงั ก์ชนั

Mathematics

KANARAS

1. ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน

บทนาความหมายของลมิ ิตของฟังก์ชนั
พิจารณาจากการทากิจกรรมตอ่ ไปนี้

กจิ กรรม
ลิมิตของฟังกช์ นั

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดฟังกช์ นั f (x)  x 1 จงหาค่าของฟังกช์ นั f เม่ือกาหนดคา่ x ดังตาราง

x  0 f (x) x  0 f (x)

-1 1
-0.5 0.5
-0.1 0.1
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001

จากตาราง พบว่า x  0 และมีคา่ เข้าใกล้ 0 มากขนึ้ เร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
จากตาราง พบวา่ x  0 และมคี ่าเข้าใกล้ 0 มากข้นึ เรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดฟังก์ชนั f (x)   x 2 1, x 1 จงหาคา่ ของฟังก์ชนั f เมือ่ กาหนดคา่ x ดังตาราง

 3  x, x  1

x 1 f (x) x 1 f (x)

02

0.5 1.8

0.8 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

จากตาราง พบว่า x 1 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 1 มากข้นึ เรือ่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้......................
จากตาราง พบว่า x 1 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 1 มากขน้ึ เรือ่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 2 ลมิ ติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน 2-3

ตัวอยา่ งที่ 3 กาหนดฟังกช์ นั f ( x)   x 1, x2 จงหาค่าของฟงั ก์ชัน f เม่ือกาหนดค่า x ดังตาราง
3  x, x2

x  2 f (x) x  2 f (x)

13

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.9999 2.0001

1.99999 2.00001

1.99999 2.000001

จากตาราง พบว่า x  2 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 2 มากขึน้ เรื่อย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................
จากตาราง พบว่า x  2 และมีค่าเขา้ ใกล้ 2 มากขึน้ เรือ่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้......................

ตัวอยา่ งท่ี 4 กาหนดฟังกช์ ัน f มีกราฟดงั รูป

จากรูป พบว่า
ขณะ x  6 และมคี า่ เข้าใกล้ 6 มากขน้ึ เรือ่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
ขณะ x  6 และมีค่าเข้าใกล้ 6 มากขน้ึ เร่อื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................
ขณะ x  3 และมคี ่าเข้าใกล้ 3 มากข้นึ เรอื่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้......................
ขณะ x  3 และมีคา่ เข้าใกล้ 3 มากข้นึ เรื่อย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
ขณะ x  0 และมีคา่ เขา้ ใกล้ 0 มากขึน้ เรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
ขณะ x  0 และมีคา่ เขา้ ใกล้ 0 มากขน้ึ เรื่อย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
ขณะ x  5 และมีค่าเข้าใกล้ 5 มากข้นึ เรือ่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้......................
ขณะ x  5 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 5 มากขนึ้ เรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
ขณะ x  9 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 9 มากขน้ึ เรอื่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
ขณะ x  9 และมีค่าเขา้ ใกล้ 9 มากขึ้นเร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................

จากกิจกรรมข้างตน้ ทาให้เราเขา้ ใจความหมายของลิมติ ของฟงั กช์ ันได้ดังน้ี

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 2-4

บทนยิ าม

กาหนดให้ฟังก์ชัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงและ a เป็น

จานวนจรงิ

1) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L เม่ือ x เข้าใกล้ a ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ a

แล้วจะเรียก L ว่า ลิมิตของ f ที่ a ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L และ
xa

กลา่ วว่า lim f (x) มีคา่ เท่ากบั L
xa

2) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L1 เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย จะเรียก L1 ว่า ลิมิต

ซ้ายของ f (x) เมอื่ x เขา้ ใกล้ a ทางด้านซา้ ย ซ่ึงเขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L1

xa

3) ถา้ ค่าของ f (x) เขา้ ใกล้จานวนจริง L2 เมอ่ื x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา จะเรียก L2 ว่า ลิมิต

ขวาของ f (x) เมือ่ x เขา้ ใกล้ a ทางด้านขวา ซึง่ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f (x)  L2

xa

หมายเหตุ

1) ถ้าไม่มจี านวนจริง L ซ่ึง f (x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่า “ f ไม่มีลิมิตที่ a ”

หรือกล่าวว่า “ lim f (x) ไม่มีค่า”
xa

2) สาหรับฟงั ก์ชนั f ใด ๆ ถ้า f (x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แลว้ L อาจไม่เท่ากบั f (a) กไ็ ด้

3) อาจแทนสัญลักษณ์ lim f (x)  L ด้วย “ f (x)  L เมื่อ x  a ” ซ่ึงอ่านว่า “ f (x) เข้าใกล้
xa
L เมือ่ x เข้าใกล้ a ”

4) สัญลกั ษณ์ x  a แสดงถงึ การพจิ ารณาคา่ ของ x ทน่ี ้อยกว่า a เท่านน้ั

5) สญั ลักษณ์ x  a แสดงถึงการพิจารณาคา่ ของ x ทีม่ ากกว่า a เทา่ นนั้

6) ในกรณีท่ี lim f (x) และ lim f (x) มคี า่
xa xa

จะไดว้ า่ lim f (x)  L ก็ตอ่ เม่ือ lim f (x)  L  lim f (x)
xa xa xa

ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชัน ซึ่งมีกราฟดังรปู

y  f (x)

วิธีทา 1) lim f (x) = …………. 2) lim f (x) = …………. 3) lim f (x) = ………….
x2 x2 x2

4) lim f (x) = …………. 5) lim f (x) = …………. 6) lim f (x) = ………….
x4 x4 x4

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 2 ลมิ ิตและความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 2-5

ตัวอยา่ งท่ี 6 กาหนดให้ f (x)  1, x3 จงหา lim f (x)
วธิ ที า 2, x3
x3

เขียนกราฟของ f ได้ดังนี้



จากกราฟพบวา่ lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x3 x3

น่ันคือ ………………………………………………….

ดังนัน้ ………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 7 กาหนดให้ f (x)   2x, x  2 จงหา lim f (x)
วธิ ีทา 4, x2 x2

เขียนกราฟของ f ได้ดงั น้ี

จากกราฟพบว่า lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x2 x2

นัน่ คือ ………………………………………………….

ดงั นั้น ………………………………………………….

ตัวอยา่ งที่ 8 กาหนดให้ f ( x)   x2 1, x0 จงหา lim f (x)
วธิ ีทา  1 x 1, x0
 2 x0


เขียนกราฟของ f ได้ดงั น้ี

จากกราฟพบวา่ lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x0 x0

นัน่ คือ ………………………………………………….

ดังนนั้ ………………………………………………….

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องท่ี 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2-6

แบบฝกึ หดั ที่ 1
ลมิ ิตของฟงั กช์ ันจากกราฟ

1. จากกราฟของฟังก์ชนั f ที่กาหนดให้ จงหา




1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

2. จากกราฟของฟงั ก์ชัน g ทก่ี าหนดให้ จงหา
Y

1 X

1 3) lim g(x) = …………
x0
0
6) lim g(x) = …………
-1 x1

1) lim g(x) = ………… 2) lim g(x) = …………
x0 x0

4) lim g(x) = ………… 5) lim g(x) = …………
x1 x1

3. กาหนดกราฟของฟังก์ชนั y  f (x) ดังแสดงในรปู

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x5 x5 x5

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 2 ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน 2-7
4. กาหนดกราฟของฟังก์ชัน y  f (x) ดงั แสดงในรูป

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x0 x0 x0

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x3 x3 x3

5. กาหนดกราฟของฟังกช์ ัน y  g(t) ดังแสดงในรูป

1) lim g(t) = ………… 2) lim g(t) = ………… 3) lim g(t) = …………
t 0 t 0 t 0

4) lim g(t) = ………… 5) lim g(t) = ………… 6) lim g(t) = …………
t 2 t 2 t2

6. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั y  f (x) ดังแสดงในรูป X

Y 3) lim f (x) = …………
x2
2
–2 2 6) lim f (x) = …………
x2
–2

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = …………
x2 x2

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = …………
x2 x2

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งท่ี 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 2-8

ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับลิมติ ของฟงั กช์ ัน
การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน นอกจากจะหาโดยใช้บทนิยามข้างต้นแล้ว ยังมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตท่ีจะ

ชว่ ยทาให้หาคา่ ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั ไดร้ วดเรว็ ยิง่ ขึ้น ดงั ต่อไปนี้

กาหนดให้ a,c, A, B เป็นจานวนจริง และ n เปน็ จานวนนบั ถา้ f , g เปน็ ฟังกช์ นั ที่มโี ดเมน

และเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจรงิ โดยท่ี lim f (x)  A และ lim g(x)  B แลว้
xa xa

1. lim c =……………………………………………………………………………………………………………
xa

2. lim cf (x) =……………………………………………………………………………………………………
xa

3. lim  f (x)  g(x)=……………………………………………………………………………………….
xa

4. lim  f (x) g(x)=………………………………………………………………………………………….
xa

5. lim  f (x)  =…………………………………………………………………………………………………
 g(x) 
xa  

6. lim  f (x)n =…………………………………………………………………………………………………
xa

7. lim n f (x) =………………………………………………………………………………………………….
xa

การหาลิมติ ของฟงั กช์ ันพหนุ าม

8. lim x =………………………………………………………………………………………………………………..
xa

9. lim xn =………………………………………………………………………………………………………………
xa

10. xlima(cnxn  cn1xn1 ... c1x  c0) =……………………………………………………………….

หมายเหตุ ทฤษฎีบทข้างต้น ยังคงเป็นจรงิ สาหรบั คา่ ของลมิ ิตดา้ นเดียว ( lim f (x), lim f (x) )
ตวั อยา่ งที่ 9 xa xa

จงหาลมิ ิตของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้

1) lim(5)=………………………………………….. 2) lim x =…………………………………………….
x1 x3

3) lim 5x3=…………………………………………… 4) lim x4 =………………………………………...
x2 x 2

5) lim (3x4  7x) =………………………………. 6) lim(3x2  5x  6) =………………………...
x1 x2

7) lim(x3  5)(x2  x) =………………………… 8) lim x2  2x  3 =……………………….......
x1
x2 2x 1

9) lim x(x 1)3 x  2 =………………………… 10) 3 4x  x2 =……………………….....
lim
x3 x3 x 1

11) lim x  8 =………………………………. 12) lim 3 3x2  4x 5 =……………………..
x4 x2
25  x2

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งที่ 2 ลมิ ติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 2-9

แบบฝกึ หดั ท่ี 2
ลิมิตของฟงั กช์ ัน
โดยใช้ทฤษฎีบท

1. จงหาลิมติ ตอ่ ไปน้ี ถ้าลิมิตมีค่า

1) lim(3x4  7x) 2) lim(4x3  6x2  9x)
x2 x1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) lim(x3  2x  5)(x2  3x) 4) lim(3x2  4x  9)(5x2  2x 1)
x2 x5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) 5x2  2x 1 6) lim a0  a1x  a 2 x2  . . .  a10 x10
lim x0 b0  b1x  b2 x2  . . .  b10 x10
x3 6x  7

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) lim (3x  4)(3x4  7x) 8) lim(3x2  7x  2)3
x0
x2 5x2  2x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) lim (4x2  4x  9)3 10) lim x3  3x2  2
x 1
x1 3x2  2

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11) lim x  3 2x 12) x2 1
lim
x8 4  16 x3 x  3

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13) lim x3 1 14) lim1023x
x2 x1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15) lim x3 16) lim sin  2 x+  
 4 
x2 x2  9 x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา