แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งที่ 3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 3-40

2.3) แต่ถา้ คา่ ของ f (x) ไม่มกี ารเปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบหรือไม่มีการเปล่ียนจาก

จานวนจรงิ ลบเปน็ จานวนจริงบวก แสดงว่า c เป็นค่าวิกฤตที่………………………………………………………………………...

ดงั รปู ที่ 8 และรูปท่ี 9

Y Y f (x)  0

f (x)  0

f (c)  0 f (c)  0
f (x)  0
f (x)  0 X
0c
0c X
รปู ท่ี 9
รูปท่ี 8

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชนั ทหี่ าอนพุ ันธไ์ ด้บนชว่ ง (a,b) และ c(a,b) เป็นค่าวิกฤตของ f
1) ถ้า f (x) เปลี่ยนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมข้ึนรอบ ๆ c

แลว้ f (c) เป็นคา่ สูงสดุ สัมพัทธ์ของ f
2) ถ้า f (x) เปลี่ยนจากจานวนจริงลบเป็นจานวนจริงบวก เมื่อ x เพิ่มข้ึนรอบ ๆ c

แลว้ f (c) เป็นคา่ ตา่ สุดสัมพทั ธ์ของ f

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่าสงู สุดสัมพัทธ์และค่าต่าสดุ สัมพทั ธข์ องฟงั กช์ ัน f (x)  2x3  3x2 12x  7
วิธที า จาก f (x)  2x3  3x2 12x  7
จะได้ f (x)  ……………………………………………………

 ……………………………………………………
ดังนั้น f (x)  0 เม่ือ x =................ หรือ x =................
จะได้ ค่าวิกฤตของฟงั ก์ชัน f ม.ี ..........คา่ คือ................................................
พจิ ารณาคา่ ของ f (x) เม่ือ x เป็นค่าวิกฤตและจานวนจริงในชว่ งตา่ ง ๆ โดยใช้เสน้ จานวน
ดังน้ี

f (x)  0 f (x)  0

f (x)  0 f (x)  0 f (x)  0

-2 1

จะเห็นว่า x ............. เป็นจดุ แบ่งทีท่ าให้ f (x) เปล่ียนจากจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจรงิ ลบ
ดังนน้ั f (....)  ..........................................................................................................................
และ x ............. เปน็ จดุ แบง่ ทท่ี าให้ f (x) เปล่ียนจากจานวนจรงิ ลบเปน็ จานวนจรงิ บวก
ดังนนั้ f (....)  ..........................................................................................................................

2. การหาค่าสูงสุดสัมพทั ธ์หรอื ค่าตา่ สดุ สัมพัทธข์ องฟงั กช์ นั โดยใช้อนพุ นั ธอ์ นั ดับท่ี 2
ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นวิธีพิจารณาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ
ฟังกช์ ันช่วยในการพิจารณาหาค่าวกิ ฤตแลว้ พจิ ารณาว่าค่าวิกฤตแต่ละค่าน้ันทาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่า
ต่าสุดสัมพัทธ์ โดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงค่าของอนุพันธ์อันดับท่ี 1 ของฟังก์ชันท่ีจุดบริเวณใกล้เคียงจุด
วกิ ฤตน้นั

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน 3-41

นอกจากนี้ยังสามารถใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 มาในช่วยในการพิจารณาว่า ณ ค่าวิกฤตนั้น ๆ ฟังก์ชันมี
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือไม่ สาหรับในกรณีที่อนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของฟังก์ชันหาค่าไม่ได้หรือ
เท่ากับศูนย์ ณ ค่าวิกฤต เราจะพิจารณาโดยวิธีเดิมคือ พิจารณาจากการเปล่ียนแปลงค่าของอนุพันธ์อันดับที่ 1
ของฟังก์ชนั ทจ่ี ดุ บรเิ วณใกล้เคยี งจุดวิกฤตนั้น

ทฤษฎีบท กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง (a,b) และ c(a,b) เป็นค่าวกิ ฤตของ f
ซง่ึ f (c)  0 และ f (c) มคี า่
1) ถา้ f (c)  0 แลว้ f (c) เป็น.....................................................................ของ f
2) ถ้า f (c)  0 แล้ว f (c) เป็น.....................................................................ของ f

จากทฤษฎีบท จะพบวา่
1) การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 2 จะใช้เฉพาะค่า
วกิ ฤต c ซง่ึ f (c)  0 เทา่ นัน้

2) ถ้าทราบวา่ f (c) เปน็ จานวนจรงิ บวกหรอื จานวนจริงลบ จะสามารถบอกได้ว่า f (c) เป็นค่าสูงสุด

สมั พัทธห์ รอื คา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์
3) แต่ถ้า f (c)  0 แล้วเราจะไม่สามารถสรุปได้ว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์

เพราะ f (c) อาจจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ หรืออาจจะไม่เป็นทั้งค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่า

ตา่ สดุ สมั พัทธ์เลยกไ็ ด้ ดังน้ันในกรณีน้จี ะตรวจสอบค่าสูงสุดสมั พทั ธห์ รอื คา่ ต่าสุดสัมพทั ธ์โดยใชอ้ นุพนั ธอ์ นั ดับท่ี 1

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่าสูงสุดสมั พัทธ์และค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ของฟังกช์ นั f (x)  2x3  3x2 12x  7
วิธที า จาก f (x)  2x3  3x2 12x  7
จะได้ f (x)  ……………………………………………………

 ……………………………………………………
ดงั นน้ั f (x)  0 เม่อื x =................ หรอื x =................
จะได้ ค่าวกิ ฤตของฟังกช์ นั f ม.ี ..........ค่า คอื ................................................
ต่อไปหาอนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของ f จะได้

f (x) ……………………………………………………
เน่อื งจาก f (....)  ...................................... ซง่ึ ................ 0
และ f (....)  ...................................... ซง่ึ ................ 0
ดงั นั้น f มคี า่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ที่ x =................ และคา่ สงู สุดสัมพัทธ์คือ f (....)  ...................
และ f มคี ่าต่าสดุ สัมพทั ธ์ที่ x =................ และค่าตา่ สุดสมั พทั ธ์คือ f (....)  ...................

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าสงู สุดสัมพัทธ์และค่าตา่ สุดสัมพทั ธ์ของฟังก์ชัน f (x)  x3  3x2  24x  20
วธิ ีทา จาก f (x)  x3  3x2  24x  20
จะได้ f (x)  ……………………………………………………

 ……………………………………………………
ดังนน้ั f (x)  0 เมอ่ื x =................ หรือ x =................
จะได้ ค่าวกิ ฤตของฟงั กช์ นั f มี...........คา่ คอื ................................................

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั 3-42

ตอ่ ไปหาอนุพันธอ์ ันดับที่ 2 ของ f จะได้
f (x) ……………………………………………………

เน่ืองจาก f (....)  ...................................... ซง่ึ ................ 0
และ f (....)  ...................................... ซง่ึ ................ 0
ดงั นน้ั f มีค่าสูงสุดสัมพทั ธ์ท่ี x =................ และค่าสงู สดุ สัมพัทธ์คอื f (....)  ...................
และ f มคี า่ ตา่ สุดสัมพทั ธ์ท่ี x =................ และคา่ ตา่ สุดสมั พัทธ์คือ f (....)  ...................

แบบฝกึ หัด
ค่าสูงสดุ สัมพัทธ์และ

คา่ สงู สดุ สัมพัทธ์

จงหาค่าสูงสุดสมั พทั ธ์และค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี

1) f (x)  x2 8x  7 2) f (x)  x3  3x  6

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

3) f (x)  x3  3x2  24x  4 4) f (x)  x4 8x2 12

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน 3-43

ฟังก์ชัน f อาจมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันได้หลายค่า และในบรรดาค่าสูงสุด
สมั พัทธ์หรือค่าตา่ สุดสัมพัทธ์ของฟงั กช์ ันเหล่านน้ั บางค่าอาจจะเป็นค่ามากที่สุดหรือน้อยท่ีสุดของค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นด้วย แต่ค่าเหล่านั้นอาจจะไม่เป็นค่าท่ีมากท่ีสุดหรือเป็นค่าที่น้อยที่สุดใน
บรรดาคา่ ของฟงั กช์ ัน f แตถ่ า้ มคี า่ สงู สดุ สัมบรู ณ์หรือคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์จะมีเพยี งค่าเดียว จะเรียกค่าของ f (x) ที่
มากทีส่ ดุ สาหรับทกุ x Df ว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และเรียกค่าของ f (x) ที่น้อยท่ีสุด สาหรับทุก x Df ว่าค่า

ตา่ สุดสมั บูรณ์ ดงั บทนิยามต่อไปน้ี

บทนิยาม
ฟงั ก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum) ที่ x  c เม่ือ f (c)  f (x) สาหรับ

ทุก x  Df

ฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ (Absolute minimum) ท่ี x  c เมื่อ f (c)  f (x) สาหรับ
ทกุ x  Df

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y  f (x) โดยที่ Df [a,b] ดงั รปู

Y

y = f(x)

ac รปู ที่ 10 db X

จากรูปที่ 10 จะเห็นวา่ f (c) และ f (d) เป็นคา่ สงู สดุ สมั พัทธ์ โดยท่ี f (c) เป็นคา่ สงู สุดสมั บรู ณ์ดว้ ย

Y

y = f(x)

ac d bX

รูปท่ี 11

จากรปู ที่ 11 จะเห็นวา่ f (a), f (c) และ f (d) เปน็ คา่ สูงสดุ สมั พัทธ์ โดยท่ี f (a) เปน็ ค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ดว้ ย

Y y = f(x)

ac db X

รูปท่ี 12

จากรูปที่ 12 จะเหน็ วา่ f (c) และ f (d) เป็นค่าตา่ สุดสัมพัทธ์ โดยท่ี f (c) เปน็ ค่าตา่ สดุ สมั บูรณ์ดว้ ย

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั 3-44

Y

y = f(x)

ac d bX

รูปที่ 13

จากรูปท่ี 13 จะเห็นวา่ f (c), f (d) และ f (b)เปน็ ค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ โดยท่ี f (b)เปน็ คา่ ตา่ สดุ สัมบรู ณด์ ว้ ย

ฟังก์ชันต่อเน่ืองท่ีนิยามบนช่วงเปิดอาจจะมีหรือไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุดสัมบูรณ์ก็ได้ เช่น

f (x)  1 ไมม่ คี ่าสูงสุดสมั บูรณ์และคา่ ต่าสุดสมั บรู ณ์บนช่วงเปิด (0,1)

x

แตฟ่ งั ก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งทน่ี ยิ ามบนช่วงปิดจะมีค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์และค่าตา่ สดุ สมั บรู ณ์เสมอ ดังทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎีบท ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] แล้ว f จะมีทั้งค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่า
ตา่ สดุ สัมบรู ณ์บนช่วงปิด [a,b]

จากทฤษฎีบท พบว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [a,b] แล้วค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่าสุด
สัมบูรณ์ของ f อาจเปน็ ค่าสูงสดุ สัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ภายในบนช่วงเปิด (a,b) หรือเป็นค่าของฟังก์ชันท่ี
จดุ ปลายของปิด [a,b]

การหาคา่ สูงสุดสัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สัมบรู ณ์ มขี น้ั ตอนดงั ตอ่ ไปน้ี
ถ้าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b) แล้วสามารถ

หาค่าสูงสุดสัมบูรณแ์ ละค่าตา่ สุดสัมบรู ณ์ของฟงั ก์ชนั f บนช่วงปิด [a,b] ได้ดงั นี้

1) หาคา่ วกิ ฤตท้งั หมดในช่วงเปดิ (a,b)

2) หาคา่ ของฟังกช์ นั ณ ค่าวิกฤตท่ไี ดจ้ ากข้อ 1
3) หาค่าของฟงั กช์ นั ที่จดุ ปลายของช่วงปิด [a,b] น่นั คือหา f (a) และ f (b)

4) เปรียบเทียบค่าทไ่ี ด้ทง้ั หมดจากข้อ 2 และ 3 ซ่งึ จะทาใหไ้ ด้ขอ้ สรปุ ว่า
4.1 คา่ มากท่ีสดุ เปน็ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟงั กช์ ัน f

4.2 คา่ ท่ีน้อยทสี่ ดุ เป็นคา่ ต่าสดุ สัมบูรณ์ของฟงั ก์ชัน f

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ สงู สดุ สัมบรู ณ์และคา่ ต่าสุดสัมบรู ณ์ของฟังกช์ นั f (x)  x3 3x  2 บนชว่ งปดิ [0,2]
วิธีทา
จาก f (x)  x3  3x  2

จะได้ f (x)  ……………………………………………………
 ……………………………………………………

ดังน้ัน f (x)  0 เมื่อ x =................ หรือ x =................

แต.่ ............ (0,2) จะไดว้ ่า คา่ วิกฤตของฟังก์ชนั f ในช่วงเปดิ (0,2) คือ.............................
ตอ่ ไปคานวณหา..................................จะได้
........................................................................................................................................................
สรุปไดว้ า่ f มีคา่ สูงสดุ สัมบูรณ์ท่ี x =..........และคา่ สูงสุดสัมบูรณ์ คอื ……………………………………

และ f มคี า่ ตา่ สดุ สัมบรู ณ์ที่ x =..........และค่าตา่ สุดสมั บรู ณ์ คือ…………………………………………..

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังกช์ ัน 3-45

ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าสงู สดุ สัมบูรณ์และค่าตา่ สดุ สมั บรู ณ์ของฟังก์ชัน f (x)  2x3 3x2 36x  42 บนช่วง
วธิ ที า
ปิด [5,5]

จาก f (x)  2x3  3x2  36x  42

จะได้ f (x)  ……………………………………………………

 ……………………………………………………
ดงั น้ัน f (x)  0 เม่อื x =................ หรอื x =................

จะไดว้ า่ คา่ วิกฤตของฟงั ก์ชัน f ในชว่ งเปิด (5,5) คือ.............................

ต่อไปคานวณหา....................................................................จะได้
...................................................................................................................... ..................................
............................................................................................................................. ...........................
สรุปได้วา่ f มีคา่ สูงสุดสัมบรู ณ์ท่ี x =..........และคา่ สูงสดุ สัมบูรณ์ คอื ……………………………………

และ f มคี า่ ตา่ สุดสัมบรู ณ์ที่ x =..........และคา่ ตา่ สุดสัมบูรณ์ คือ…………………………………………..

แบบฝกึ หัด
ค่าสงู สุดสัมบรู ณ์และ

ค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์

จงหาคา่ สูงสุดสมั บรู ณ์และค่าต่าสุดสัมบูรณข์ องฟงั กช์ นั ต่อไปนี้

1) f (x)  x2  4x  3 บนช่วง [0,5] 2) f (x)  x3  2x2  4x  8 บนชว่ ง [2,3]

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 3-46

3) f (x)  x4  2x3  9x2  27 บนช่วง [2, 4] 4) f (x)  x3  5x  4 บนชว่ ง [3, 1]

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

7.3 โจทย์ปญั หาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือคา่ ตา่ สดุ

ในชีวติ จริงหรอื ในทางธุรกิจ มักจะพบปัญหาทเี่ กย่ี วข้องกบั การหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดเสมอเช่น ต้องการ
ให้รายรับหรือผลตอบแทนสูงสุด โดยที่รายจ่ายหรือต้นทุนต่าสุด ในการแก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุดหรือค่า
ต่าสุดจะต้องสร้างสมการท่ีแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณท่ีเก่ียวข้องกัน แล้วเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันที่มีตัว
แปรต้นและตัวแปรตาม จากน้ันจึงพิจารณาเงื่อนไขของโจทย์ว่าฟังก์ชันน้ันมีโดเมนเป็นเซตใด และต้องการหา
ค่าสูงสุดหรอื ค่าตา่ สดุ บนโดเมนทกี่ าหนด

ขั้นตอนในการแก้โจทย์ประยุกตเ์ ก่ยี วกับการหาค่าสูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ
1. ทาความเขา้ ใจปญั หาอย่างละเอียด พิจารณาโจทย์ปญั หาว่าตอ้ งการใหห้ าค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด ให้

กาหนดส่ิงน้นั เปน็ ตัวแปร เชน่ y หรอื ตัวแปรอ่นื ตามความเหมาะสม

2. พิจารณาค่า y ข้ึนอยู่กับค่าอะไร สมมติให้ x เป็นตัวแปรสาหรับค่าเหล่านี้ โดยท่ีค่าของ y จะ
ขึน้ อยู่กับคา่ ของ x

3. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร y กับตัวแปร x โดยเขียนค่า y ในรูปของ x

จะได้ y  f (x)

4. หาค่า y  f (x)

5. ให้ f (x)  0 แลว้ แกส้ มการหาค่า x

6. นาค่าวกิ ฤตในขอ้ 5 มาทาการตรวจสอบว่าทาให้ y มีคา่ สูงสดุ หรอื ต่าสุดหรอื ไม่

7. นาค่า y ที่ไดจ้ ากข้อ 6 ไปแทนคา่ เพือ่ หาคา่ y ซึง่ เปน็ ค่าสงู สุดหรือต่าสดุ ตามต้องการ

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งท่ี 3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน 3-47

ตวั อยา่ งท่ี 1 ณเดชน์ต้องการทากล่องจากกระดาษแข็งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 10 เซนติเมตร โดย
วิธที า
กระดาษเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว x เซนติเมตร ออกจากมุมท้ังสี่ แล้วพับด้าน

ข้างข้ึนเพ่ือทาเป็นกล่องไม่มีฝาปิด จงหาว่ากล่องจะมีความจุมากที่สุด เมื่อ x เป็นเท่าใด และ

กลอ่ งจะมคี วามจุมากทีส่ ุดเท่าใด

ให้ V (x) แทนความจุของกล่อง เม่ือ x เป็นความยาวของด้านของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีถูกตัด

ออก ดงั รปู จะได้ x(0,5) x 10 – 2x
ดังนั้น V (x)=………….………….………………………………

=………….………….………………………………

=………….………….………………………………

จะได้ V(x) =………….………….……………………………..

ถ้า V(x)  0 จะได้

………….………….………………………………

………….………….………………………………

………….………….………………………………

นั่นคอื x =………….…หรอื x =………….…

แต่ x(0,5) จะไดว้ ่า คา่ วกิ ฤตของฟังกช์ ันในชว่ งเปิด (0,5) คือ ………….………….………….

ต่อไปหาอนพุ ันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟงั กช์ ัน V จะได้ V(x) =………….………….…………………….

เน่ืองจาก V   =………….………….………….ซ่งึ ............... 0


ดงั นนั้ V มีค่าสูงสดุ สัมพัทธ์ท่ี x =………….…เพยี งค่าเดียวบนช่วง (0,5)

สรุปได้ว่า V มคี า่ สูงสุดสมั บรู ณ์ท่ี x =………….…บนชว่ ง (0,5) และค่าสงู สดุ สัมบูรณ์คือ

V   = ………….………….………….
 

ดงั นัน้ กล่องจะมีความจมุ ากท่ีสดุ เมื่อ x =………….…เซนตเิ มตร

และกล่องจะมีความจุมากท่ีสุด....................................ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอย่างท่ี 2 ชายคนหนึ่งมีลวดหนามยาว 1,000 เมตร เขาต้องการนาลวดหนามน้ีมาก้ันเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุม
วธิ ีทา ฉากสาหรับเป็นคอกวัว โดยที่พ้ืนท่ีด้านหน่ึงอยู่ติดริมร้ัวบ้านจึงไม่ต้องขึงลวดหนาม จงหาขนาด
ของรูปสีเ่ หลย่ี มดังกล่าวท่ที าให้พน้ื ทีค่ อกวัวมากท่สี ดุ และจะไดพ้ นื้ ท่ีท่ีมากทสี่ ุดเปน็ เท่าใด
ให้ x แทนความกว้างของรปู สเี่ หลีย่ มมมุ ฉาก

รั้วบา้ น

xx

1000 – 2x

ดังนั้น ความยาวของรูปสเี่ หล่ียมมมุ ฉาก คอื ………….………….………….เมตร
และ พ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก คือ…………..……….…………………….ตารางเมตร
เน่ืองจากความกว้างและความยาวของรูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากเป็นจานวนจริงบวก
นนั่ คือ x (0,500)

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน 3-48

ให้ A(x) แทนฟังกช์ ันแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างพื้นทแ่ี ละความกว้างของรปู สี่เหล่ียมมมุ ฉาก
จะไดว้ ่า

A(x) =………….………….……………………………… เมือ่ x(0,500)
=………….………….………………………………

ดังนัน้ A(x) =………….………….……………………………..
ถา้ A(x)  0 แล้วจะได้………….………….………………………………
ดงั นน้ั ค่าวกิ ฤตของฟงั กช์ นั ในชว่ งเปิด (0,500) คือ ………….………….………….
ตอ่ ไปหาอนุพนั ธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟงั ก์ชนั A จะได้ A(x) =………….………….…………………….
เน่อื งจาก A( ) =………….………….………….ซึ่ง............... 0

ดังน้ัน A มีคา่ สูงสดุ สัมพทั ธท์ ี่ x =………….…เพยี งค่าเดยี วบนช่วง (0,500)
สรุปไดว้ า่ A มคี ่าสงู สุดสมั บูรณ์ที่ x =………….…บนชว่ ง (0,500)
และค่าสงู สดุ สัมบรู ณ์คือ A( ) = ………….………….………….
ดังน้ัน ต้องก้นั พน้ื ทเี่ ปน็ รปู ส่เี หลี่ยมมมุ ฉากทมี่ ีความกวา้ ง………….…เมตร และความยาว………….…
เมตร จึงจะทาให้ได้พ้นื ท่ีมากท่ีสุด และพื้นที่ทมี่ ากทส่ี ุดเปน็ .................................ตารางเมตร

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาจานวนจรงิ สองจานวน ซึ่งมีผลคณู เป็น 9 และผลบวกของกาลังสองของแต่ละจานวนมีค่า
วธิ ที า นอ้ ยทีส่ ดุ
ให้ x และ y เป็นจานวนจริงสองจานวนท่คี ูณกนั ได้ 9 โดยท่ี x  0 และ y  0

ดังนั้น y   9

x

ให้ f (x)  x2  y2 จะได้ f (x)  x2    9 2  ………….………….………….เมื่อ x (0,)
 x 

ดังนั้น f (x)=………….………….………………………………………………………………………………………

ถา้ f (x)  0 แลว้ จะได้ ………….………….………….………….………….………………………………………

นั่นคอื x =………….…หรอื x =………….…
แต่ x(0,) จะได้ว่า คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ันในช่วงเปดิ (0,) คอื ………….………….……………

เน่ืองจาก f (x)  0 เมื่อ..................................และ f (x)  0 เมื่อ.........................................

จะได้ f เป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง…….……….……และ f เปน็ ฟงั ก์ชันเพ่มิ บนชว่ ง…….…………………

ดงั นั้น f มคี า่ ตา่ สดุ สัมพัทธ์ท่ี x =………….…เพียงค่าเดียวบนช่วง (0,)
สรปุ ได้ว่า f มคี ่าตา่ สดุ สัมบูรณ์ที่ x =………….…
จะได้วา่ จานวนจรงิ สองจานวน ซึ่งมผี ลคูณเปน็ 9 และผลบวกของกาลังสองของแตล่ ะจานวนมี

คา่ นอ้ ยท่สี ุด คือ x =………….… และ y   9 =………….…

x

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองที่ 3 อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน 3-49

ตัวอยา่ งที่ 4 โรงแรมแห่งหนึ่งมหี อ้ งพกั 40 ห้อง เจ้าของโรงแรมพบว่าในช่วงเวลาปกติถ้าเขาคิดค่าห้อง 500
วธิ ีทา บาทตอ่ วนั จะมผี ้เู ข้าพักเตม็ ทกุ ห้อง แต่ถ้าเขาข้ึนราคาค่าห้องต่อวัน พบว่าทุก 50 บาทที่เพิ่มข้ึน
จะมีหอ้ งว่างเพิ่มข้ึน 2 ห้อง จงหาว่าเจ้าของโรงแรมควรต้ังราคาค่าห้องวันละเท่าใด จึงจะทาให้
มีรายได้มากทีส่ ุด โดยโรงแรมจะมผี ู้เข้าพักท้ังหมดกี่ห้อง และเจ้าของโรงแรมจะมีรายได้มากที่สุด
เทา่ ใด
ให้ f (x) แทนรายได้ต่อวันของเจ้าของโรงแรม เม่ือ x แทนจานวนครั้งที่เจ้าของโรงแรมข้ึน

ราคาค่าห้องครัง้ ละ 50 บาท
เนือ่ งจากโรงแรมแหง่ นมี้ ีหอ้ งพัก 40 ห้อง และในแต่ละคร้ังท่ีเจ้าของโรงแรมข้ึนราคาค่าห้อง จะ
มีห้องว่างเพ่ิมขึ้น 2 หอ้ ง ดังนนั้ x[0,20] และจะได้

f (x) =.....................................................................

=.....................................................................
ดงั น้นั f (x)=.....................................................................

ถา้ f (x)  0 แล้วจะได้ ………….………….………….………….………….………………………………………

น่นั คือ x =………….…
จะไดว้ ่า ค่าวิกฤตของฟงั กช์ ันในชว่ งเปิด (0,20) คือ ………….………….……………

ต่อไปคานวณหา f (0), f (5) และ f (20) จะได้

.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
สรุปไดว้ า่ f มีค่าสูงสดุ สัมบรู ณ์ที่ x =………….…และค่าสงู สดุ สัมบูรณ์คอื f (5) =………….………

ดงั น้นั เจา้ ของโรงแรมควรตัง้ ราคาคา่ หอ้ งวนั ละ………….….........................บาท จึงจะทาให้รายได้
มากทส่ี ดุ โดยโรงแรมจะมีผู้เข้าพักทั้งหมด………….…………………………….ห้อง และเจ้าของโรงแรม
จะมีรายไดม้ ากท่สี ุด.................................บาท

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งที่ 3 อนุพันธข์ องฟังกช์ นั 3-50

แบบฝึกหดั
โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกับค่าสูงสุด

หรอื ค่าตา่ สุด

1. ต้องการนาลวดหนามยาว 200 เมตร มาลอ้ มท่ดี ินรูปสเี่ หลีย่ มมุมฉากทม่ี ีขนาดเทา่ กนั 3 ดังรูป จงหาว่าจะล้อม
พื้นทไ่ี ดม้ ากทีส่ ดุ เทา่ ใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาจานวนจรงิ ทเ่ี มอื่ นาจานวนดังกล่าวมาลบดว้ ยกาลงั สองของจานวนจรงิ น้ัน แลว้ ได้ผลลบมีค่ามากทสี่ ดุ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั 3-51

3. จงหาจานวนจริงสองจานวนซ่งึ มีผลบวกเป็น 10 และผลคูณของสองจานวนนีม้ คี า่ มากทส่ี ุด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ถา้ ราคาต่อชิ้นและจานวนสนิ ค้าท่ีแม่คา้ คนหน่ึงขายได้ใน 1สัปดาห์ มีความสัมพันธ์ดังสมการ p 100 0.04x

เม่ือ p แทนราคาสินค้าต่อช้ิน (มีหน่วยเป็นบาท) และ x แทนจานวนสินค้าท่ีขายได้ใน 1 (มีหน่วยเป็นชิ้น)

และต้นทนุ ในการผลติ สนิ คา้ x ช้ิน เป็น 600  22x บาท จงหาว่าแม่ค้าจะต้องผลิตสินค้าออกขายสัปดาห์ละ
กช่ี นิ้ จึงจะไดก้ าไรมากที่สุด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-1

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 5
รหัสวชิ า ค33201

คณติ ศาสตร์ ม.6

แคลคูลสั เบ้ืองต้น

เรอ่ื งท่ี

4

ปริพนั ธ์

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-2

ปรพิ นั ธ์

Mathematics

KANARAS

1. ปฏยิ านุพนั ธ์และปรพิ ันธไ์ มจ่ ากดั เขต

1.1 ปฏิยานุพนั ธ์
ในหัวขอ้ ที่ผ่านมาเราศกึ ษาการหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ไปแลว้ ต่อไปจะกลา่ วถึงกระบวนการกลับกัน น่ันคือ
การหาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน กล่าวคอื
เมอ่ื กาหนดฟังกช์ นั f ให้ จะหาฟงั กช์ ัน F ซง่ึ F(x)  f (x) และจะเรียกฟังก์ชัน F ว่าปฏิยานุพันธ์
ของฟังก์ชัน f เชน่
F(x)  x3  2x2 เป็นปฏยิ านุพนั ธ์ของ f (x)  3x2  4x เพราะ F(x)  f (x)
สังเกตว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f มิได้มีเพียงฟังก์ชันเดียว ฟังก์ชันต่อไปนี้ล้วนเป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน
f (x)  3x2  4x เชน่

F1(x)  x3  2x2 1

F2 (x)  ...............................

F3(x)  ...............................

นอกจากน้ี ถ้าให้ F(x)  x3  2x2  c เม่อื c เปน็ ค่าคงตัวใด ๆ จะวา่ F(x)  f (x)

ถา้ f และ F เป็นฟงั กช์ ันสองฟังกช์ ันซ่ึง F  f จะได้ว่า f เป็นอนุพันธ์ของ F ในทางกลับกัน จะ
เรียกฟงั ก์ชนั F วา่ เป็นปฏยิ านพุ ันธ์ของฟังก์ชนั f ดังบทนยิ ามตอ่ ไปนี้

บทนยิ าม
ให้ f เป็นฟังก์ชัน ถ้า F เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ F(x)  f (x) สาหรับทกุ x ท่ีอยู่ในโดเมนของ f

แล้วจะเรียกฟังกช์ นั F ว่าเปน็ ปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) หนง่ึ ของฟังกช์ นั f

จากตัวอยา่ งข้างต้น จะเห็นว่า
1. ฟงั ก์ชนั ใด ๆ ที่อยู่ในรปู F(x)  x3  2x2  c เม่อื c เป็นค่าคงตัวใด ๆ ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์

ของฟงั ก์ชัน f (x)  3x2  4x
2. ปฏิยานพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน f ถงึ แม้จะมไี ด้มากมายหลายฟงั กช์ ัน แตฟ่ ังก์ชันเหล่านี้จะต่างกันเพียง

พจนค์ งตัวเท่านน้ั

41

ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงวา่ F(x)  6x3  3x  4 เป็นปฏยิ านุพันธ์หนึง่ ของฟังกช์ ัน f (x)  8x3  3

4

วธิ ที า จาก F(x)  6x3  3x  4
จะได้ F(x) …………………………………………….
น่ันคือ F(x)............... f (x)

41

ดงั นน้ั F(x)  6x3  3x  4 เป็นปฏิยานพุ นั ธ์หน่งึ ของฟังกช์ ัน f (x)  8x3  3

ตวั อย่างที่ 2 กาหนดให้ f (x)  4x3  2x จงหาปฏิยานุพนั ธข์ อง f

วธิ ที า ถ้าให้ F(x)  x4  x จะได้ F(x) ……………………………… ซง่ึ ไมเ่ ท่ากบั ฟังก์ชนั f

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปรพิ นั ธ์ 4-3

ถ้าให้ F(x)  x4  x2 จะได้ F(x) ……………………………… ซึ่งคือฟังกช์ นั f
ถา้ ให้ F(x)  ………………จะได้ F(x) ……………………………… ซงึ่ คือฟังกช์ นั f
ดังนั้น ปฏยิ านุพันธ์ของฟงั ก์ชนั f (x)  4x3  2x คอื ฟงั ก์ชันท่ีอยู่ในรูป......................................
เม่อื c เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

1.2 ปรพิ ันธไ์ ม่จากดั เขต
จากตัวอยา่ งที่ 2 จะเหน็ วา่ ปฏิยานพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั f มไี ด้หลายฟังก์ชันและจะต่างกันที่ค่าคงตัวเท่าน้ัน
เนือ่ งจากการหาปฏิยานุพันธข์ องฟังก์ชัน f คือการหาฟงั กช์ นั F ซง่ึ F(x)  f (x) สาหรับทุก x Df ดังน้ัน

รูปทัว่ ไปของปฏิยานพุ ันธข์ องฟังก์ชัน f คอื ฟังกช์ ัน F(x)  c เมอื่ c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ

จะเขียนรูปท่ัวไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f ด้วยสัญลักษณ์  f (x)dx ซึ่งเรียกว่าปริพันธ์ไม่จากัด

เขต (Indefinite integral) ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x หรือเรียกสั้น ๆ ว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน f
เทยี บกบั ตัวแปร x

ดังน้นั ถา้ F(x)  f (x)

แลว้  f (x)dx  F(x)  c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ

กล่าวคือ ปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขตของ f คือรปู ทั่วไปของปฏยิ านุพันธข์ องฟังก์ชัน f นั่นเอง

เรยี กการหา  f (x)dx วา่ “...............................................................................(Integration)”

เรยี กเครอ่ื งหมาย “  ” เรียกว่าเคร่ืองหมาย “......................................................(Integral sign)”
และเรียก f (x) วา่ “.........................................................................(Integrand)” หรอื ตัวถกู อนิ ทิเกรต

โดยสัญลกั ษณ์ dx คือ การบอกวา่ หาปรพิ ันธน์ เ้ี ทียบกับตัวแปร x

 f (x)dx  F(x)  c

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรเก่ียวกับการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ซึ่งจะไม่แสดงการพิสูจน์
สูตรดังกลา่ ว แตจ่ ะยกตวั อยา่ งแสดงการนาสตู รดงั กล่าวไปใช้

สูตรท่ี 1 ถ้า k เปน็ ค่าคงตวั แลว้  kdx  ...............................เม่อื c เป็นค่าคงตวั

ตวั อย่างที่ 3 จงหา  7dx เมอื่ c เป็นค่าคงตวั
วิธที า  7dx  ............................

สตู รที่ 2 ถา้ n เป็นจานวนจรงิ และ n  1 แลว้  xndx ...........................เมือ่ c เปน็ คา่ คงตวั

ตัวอย่างที่ 4 จงหา  x2dx เม่ือ c เปน็ ค่าคงตวั
วธิ ีทา  x2dx ........................................................

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-4

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหา  1 dx
วิธีทา x4

เนือ่ งจาก 1  x4

x4

จะได้  1 dx  ........................................................ เมอื่ c เป็นคา่ คงตวั
x4

สูตรที่ 3 ถ้า k เป็นคา่ คงตวั แลว้  kf (x)dx  ...............................

ตัวอย่างที่ 6 จงหา  3x2dx
วธิ ที า 3x2dx =........................................................

=........................................................

ตวั อยา่ งที่ 7 สูตรที่ 4  f (x)  g(x)dx  ..................................................
วธิ ที า
จงหา  (3x2  2x)dx
 (3x2  2x)dx =........................................................

= ........................................................

= ........................................................

สูตรท่ี 5  f (x)  g(x)dx  ..................................................

หมายเหตุ โดยทั่วไป ในการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน แทนท่ีจะบวกค่าคงตัว
เมื่อหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของแต่ละฟังก์ชัน เพื่อความสะดวกจะบวกค่าคงตัวเพียงตัวเดียวเท่าน้ัน
ดังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหา  (2x  1
วิธที า x2 )dx

 (2x  1 =........................................................
x2 )dx

=........................................................

=........................................................

=........................................................

จากสูตรที่ 3 สูตรที่ 4 และสูตรที่ 5 จะได้ว่า ตัวถูกอินทิเกรตอาจจะอยู่ในรูปการบวกหรือลบของพจน์ที่มากกว่า
สองพจนไ์ ด้ กล่าวคอื

ถา้ k1, k2, k3, ..., kn เป็นค่าคงตวั แลว้

k1 f1(x)  k2 f2(x) ... kn fn(x)dx  .....................................................................................

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-5

ตวั อย่างที่ 9 จงหา  (7x6  3x2  2x  9)dx
วิธที า (7x6  3x2  2x 9)dx =...........................................................................................

=...........................................................................................

การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f เมื่อกาหนด dy  f (x) มาให้ เราสามารถใช้ความรู้เรื่องการหา

dx

ปรพิ นั ธเ์ ข้าชว่ ย ทาใหก้ ารหาปฏยิ านพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันดังกล่าวสะดวกขน้ึ ดงั น้ี

จาก dy  f (x)

dx

ดังนน้ั  dy dx   f (x)dx
dx

หรอื y   f (x)dx

ตวั อยา่ งท่ี 10 ถา้ dy  5x4  3x2  4 จงหา y

dx

วิธที า จาก dy  5x4  3x2  4
ดังนั้น dx

y =........................................................

=........................................................
=........................................................

ตัวอย่างท่ี 11 ถา้ f (x)  x3  4x2  x  6 จงหา f (x) ทีท่ าให้ f (0)  3
วธิ ที า เน่อื งจาก f (x)  x3  4x2  x  6

ดังน้ัน f (x) =.............................................................
=.............................................................

=.............................................................
และ f (0)  3 จะได้ ...............................................

...............................................

ดังนัน้ f (x) =.............................................................

แบบฝึกหดั
ปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขต

1. จงแสดงวา่ F(x)  x2 1 เป็นปฏยิ านุพันธ์หนึง่ ของฟังกช์ นั f (x)  x

x2 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 ปริพนั ธ์ 4-6

2. จงหาปริพันธ์ไมจ่ ากดั เขตในข้อต่อไปน้ี

1)  (x4  3x2  5x)dx 2) (2x3  3x2  6  2x2)dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3)  x10  1  dx 4)  1  2  dx
 x3  x2 x4 


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5)  xdx 6)  3 2
 x2  x3  dx


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7)   1  1  8)  x2(x  3)dx
 x2 2x  dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9)  x(x 1)dx 10)   x 2  dx
 x3 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11)  (x2  5x 1)dx 12)  (6 x 15)dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13)  (x3  5x2  6)dx 14)   6 8 x  dx
 x 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-7

3. ถ้า f (x)  x และ f (2)  2 แลว้ จงหา f (x)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. กาหนดให้ f (x)  2 สาหรบั ทกุ x และ f มคี ่าสูงสุดสัมพัทธ์เป็น 2 เมื่อ x 1 จงหา f (x)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปริพันธ์จากดั เขต

บทนิยามของอนุพันธ์ท่ีนักเรียนได้ศึกษาไปแล้วนั้น มีแนวคิดมาจากการหาอัตราการเปล่ียนแปลง
ขณะหนึ่ง ส่วนบาทนิยามของปริพันธ์จากัดเขตที่กาลังจะศึกษาต่อไปนี้ มีแนวคิดมาจากการหาพื้นท่ี ดังนั้นเพื่อให้
งา่ ยตอ่ การทาความเข้าใจเรือ่ งปริพนั ธจ์ ากัดเขต จะเริ่มต้นด้วยตัวอย่างเกย่ี วกับการหาพน้ื ท่ี ดงั นี้

พิจารณาพ้ืนทบ่ี รเิ วณซึ่งปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y  x2 แกน X และเส้นตรง x 1 จะได้ว่าบริเวณที่
ต้องการหาพืน้ ที่คือบรเิ วณทแ่ี รเงา ดงั รูป

Y
y = x2

1

0 1X

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 ปรพิ ันธ์ 4-8
จากกระบวนการทใ่ี ช้ในการหาพ้นื ทดี่ งั ตัวอย่างขา้ งต้น สามารถสรุปเปน็ ข้ันตอนได้ดังน้ี

ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องบนชว่ งปิด [a,b]
ข้นั ที่ 1 แบ่งช่วงปิด [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน จะได้ว่าแต่ละช่วงย่อยกว้าง

x ba และให้จุดปลายของแตล่ ะชว่ งยอ่ ยอยู่ที่ a  x0  x1  x2  ...  xn  b
n

ข้ันที่ 2 เลือกคา่ xi* ในแตล่ ะชว่ งปดิ [xi1, xi ] เมอ่ื i {1, 2,3,..., n} และหา Sn n f (xi*) x


i 1

ขัน้ ท่ี 3 หาลิมิต lim Sn

x

ถ้า lim Sn มีค่า จะเรียก lim Sn ว่า ปริพันธ์จากัดเขต (Definite integral) ของฟังก์ชัน f

x x

b

บนช่วงปิด [a,b] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  f (x)dx เรียก a ว่า ลิมิตล่าง (Lower limit) ของ

a

ปริพนั ธ์ และเรยี ก b วา่ ลิมติ บน (Upper limit) ของปรพิ นั ธ์
เขียนสรปุ ในรปู สญั ลักษณไ์ ด้ดังนี้

bn
 a
f (x)dx  lim f (xi*) x
x
i 1

ดงั นัน้ ถา้ f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนชว่ งปดิ [a,b] และ f (x)  0 สาหรบั ทุก x[a,b] แล้ว

b

 f (x)dx จะเปน็ พ้นื ที่ทีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b

a

จะเหน็ วา่ การหาปริพนั ธ์จากัดเขตโดยใช้ขั้นตอนขา้ งตน้ มคี วามยงุ่ ยาก โดยเฉพาะอยา่ งย่ิง ถ้าฟังก์ชัน f มี
ความซบั ซ้อนมาก การหา Sn จะทาได้ยากขน้ึ

ต่อไปจะแสดงการใช้ความรู้เร่ืองปฏิยานุพันธ์ในการหาค่าของปริพันธ์จากัดเขตโดยไม่ต้องหาลิมิตของ
ลาดับ Sn ซ่ึงจะช่วยให้การคานวณหาพื้นที่ของบริเวณท่ีกาหนดสามารถทาได้สะดวกรวดเร็วมากขึ้น สรุปเป็น

ทฤษฎีบทไดด้ งั น้ี

ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส (Fundamental Theorem of Calculus)
กาหนด f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง ถ้า F เป็นปฏิยานพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั f แล้ว

b

 f (x)dx  F(b)  F(a)

a

จากทฤษฎบี ทหลักมลู ของแคลคูลัส เราจะเขยี นแทน F(b)  F(a) ด้วยสัญลักษณ์ F(x) b
a

จะไดว้ า่ ถา้ แล้ว b

F(x)  f (x)  f (x)dx  F(x) b  F(b)  F(a)
a

a

b

การหาปริพนั ธ์จากดั เขต  f (x)dx โดยใช้ทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคูลัส ทาได้ดงั น้ี

a

1) หาปฏยิ านพุ นั ธ์ F ของฟังกช์ ัน f น่นั คอื หา  f (x)dx

b

2) หา F(b)  F(a) ซง่ึ จะเปน็ คา่ ของปริพนั ธ์จากดั เขต  f (x)dx

a

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-9

ตัวอยา่ งที่ 1 1
วธิ ที า
จงหาค่า  x2dx

0

สังเกตว่า f (x)  x2 เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนช่วง 0,1

และเนอ่ื งจากปฏิยานุพันธ์ของ f (x)  x2 คือ F(x) =…………………………..เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั

1

จะได้  x2dx =……………………………………………………………………………

0

=……………………………………………………………………………

คาตอบท่ีได้จากตัวอย่างที่ 1 คือพื้นท่ีที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  f (x)  x2 กับแกน X จาก 0 ถึง 1
เน่อื งจาก x2  0 สาหรับทุก x[0,1]

ในการหาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชัน f โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสนั้นจะต้องแทน x ใน
F(x) ด้วย a และ b เพ่ือหา F(b)  F(a) ซง่ึ จะทาให้คา่ คงตัว c ลบกนั หมดไป

ตวั อยา่ งท่ี 2 2
วิธีทา
จงหาค่า  (4  x2)dx

0

เน่ืองจาก  (4  x2)dx =……………………………………………………………………เมื่อ c เป็นค่าคงตวั

2

ดังนน้ั  (4  x2)dx =……………………………………………………………………………

0

=……………………………………………………………………………

คาตอบที่ได้จากตัวอย่างท่ี 2 คือพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  4  x2 กับแกน X จาก 0 ถึง 2
เนื่องจาก 4  x2  0 สาหรับทุก x[0,2]

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาค่า 1 1 dx
วธิ ีทา x3


2

เน่อื งจาก  1 dx =……………………………………………………………………เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั
x3

ดังนน้ั 1 1 dx =……………………………………………………………………………
x3


2

=……………………………………………………………………………

เนอ่ื งจาก 1 0 สาหรับทุก x [2, 1] ดังน้ัน ค่าของ 1 1 จึงไม่ใช่พื้นที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
x3
2 x3 dx

y 1 กับแกน X จาก 2 ถึง 1
x3

กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-10

ตัวอยา่ งท่ี 4 2
วิธีทา
จงหาค่า  x3dx
1

เน่ืองจาก  x3dx =……………………………………………………………………เม่อื c เป็นค่าคงตวั

2

ดงั นน้ั  x3dx =……………………………………………………………………………
1
=……………………………………………………………………………

2

เน่ืองจาก x3  0 สาหรับทุก x[1,0] ดังนั้น ค่าของ  x3dx จึงไม่ใช่พื้นที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
1

y  x3 กบั แกน X จาก 1 ถงึ 2

แบบฝกึ หัด
ปรพิ ันธ์จากัดเขต

จงหาปริพนั ธ์จากัดเขตต่อไปน้ี โดยใชท้ ฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส

4 4

1)  (x3  3)dx 2)  (x2  2x  3)dx

31

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 4) 1 1

3)  (4x3  2x)dx 3 x2 dx
1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5)4  x2  3  dx 1
2  x3 
6)  (x4  x2 1)dx
1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปริพนั ธ์ 4-11

1 1

7)  x(x2 1)dx 8) x2 (x2 1)2 dx

00

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9)4  2x  x3  dx 2
1  3 
  10)  x(x2 1)2 dx

0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. พืน้ ทที่ ่ีปิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง

ในหวั ข้อทผ่ี า่ นมาได้กลา่ วถึงปริพันธ์จากัดเขตโดยพิจารณาจากตัวอย่างการคานวณหาพ้ืนท่ีที่ปิดล้อมด้วย
เส้นโค้ง y  f (x) จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับทุก x[a,b] และพบว่าพื้นท่ีดังกล่าวสามารถเขียน

b

ไดใ้ นรปู ปรพิ นั ธ์จากดั เขต  f (x)dx ซงึ่ สามารถคานวณคา่ ไดง้ า่ ย โดยใชท้ ฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคูลัส

a

ในหัวข้อนี้จะศึกษาวิธีการหาพ้ืนที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  f (x) กับแกน X โดยพิจารณาบนช่วงที่
f (x)  0 และบนช่วงที่ f (x)  0 ดงั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท ให้ f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งบนช่วง [a,b] และ A เป็นพนื้ ที่ทปี่ ิดล้อมดว้ ยเสน้ โค้ง
y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b
1. ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[a,b] แลว้ A =………………………………………….

2. ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทุก x[a,b] แล้ว A =………………………………………….

รูปต่อไปนเี้ ปน็ ตัวอย่างของพืน้ ทีท่ ่ีปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้งของ y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b

a 0b
AA

a 0b รปู ข

รปู ก

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-12

รูป ก แสดงพ้ืนท่ีที่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โค้งของ y  f (x) กับแกน X จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับ
ทกุ x[a,b] จะไดว้ ่า พนื้ ทแี่ รเงา เทา่ กบั ..................................

รปู ข แสดงพ้นื ที่ท่ีปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้งของ y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับ
ทกุ x[a,b] จะไดว้ า่ พ้ืนทแ่ี รเงา เทา่ กับ..................................

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาพื้นทีท่ ่ีปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ y  1 x2 กบั แกน X จาก 1 ถึง 2
วธิ ที า
2

กราฟของ y  1 x2 เปน็ พาราโบลาที่เส้นโคง้ หงายขน้ึ และ f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[1,2]

2

ดงั รูป

A

ให้ A แทน พนื้ ทท่ี ่ปี ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ y  1 x2 กับแกน X จาก 1 ถึง 2

2

เนอ่ื งจาก f (x)  0 สาหรับทุก x[1,2] จะได้

A =………………………………………………………………………………….

ดังนน้ั พืน้ ทที่ ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y  1 x2 กับแกน X จาก 1 ถงึ 2

2

เท่ากับ……........................ตารางหน่วย

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพ้นื ที่ทปี่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง f (x)  x2  25 กบั แกน X จาก 2 ถึง 4
วธิ ีทา กราฟของ f (x)  x2  25 เปน็ พาราโบลาที่เสน้ โคง้ หงายขนึ้ และ f (x)  0
สาหรบั ทกุ x[1,2] ดงั รปู

A

ให้ A แทน พน้ื ทที่ ป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง f (x)  x2  25 กับแกน X จาก 2 ถึง 4
เนอ่ื งจาก f (x)  0 สาหรับทุก x[1,2] จะได้

A =………………………………………………………………………………….

ดงั น้ัน พืน้ ทท่ี ีป่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ f (x)  x2  25 กับแกน X จาก 2 ถงึ 4
เทา่ กบั ……........................ตารางหนว่ ย

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 ปรพิ ันธ์ 4-13

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดพื้นท่ีทปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง y  f (x) ดังรูป ถ้า F(x)  f (x) และ F(0) 10 แล้ว
จงหา F(2) และ F(5)

วิธที า เนื่องจาก 2

 f (x)dx  F(2)  F(0)

0

ดงั นัน้ ……………………………………………………………….

นั่นคือ ……………………………………………………………….

เนือ่ งจาก 5
ดงั นัน้
 f (x)dx  F(5)  F(2)

2

……………………………………………………………….

นน่ั คอื ……………………………………………………………….

แบบฝึกหดั
พนื้ ทท่ี ปี่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้

1. จงหาพ้นื ทที่ ี่ปดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง f กบั แกน X จาก x  a ถึง x  b
1) f (x)  x2; a  3, b  0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) f (x)  x 1; a  1, b 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-14

3) f (x)  6  x  x2; a  1, b 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) f (x)  9  x2; a  3, b  3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) f (x)  x2  25;a  1, b  3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) f (x)  3x2  2x 1; a 1, b  3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 ปรพิ ันธ์ 4-15

2. กาหนดพน้ื ท่ีที่ปิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ y  f (x) ดงั รปู ถา้ F(x)  f (x) และ F(0) 10 แลว้
จงหา F(1) และ F(3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กาหนดพน้ื ที่ทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง y  F(x) ดงั รปู ถา้ F(0)  3 แล้ว จงหา F(2), F(5) และ F(6)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-16
4. กาหนดกราฟของฟังกช์ นั f ดงั รูป

ถา้ F(x)  f (x) และ F(0)  0 แลว้ จงหา F(b) เมอ่ื b{1, 2,3, 4,5}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การประยุกต์ปริพันธ์

ในการนาปริพันธ์ไม่จากัดเขตไปประยุกต์ใช้นั้น ส่วนใหญ่แล้วจะนาไปใช้หาฟังก์ชันหรือผลลัพธ์ต่าง ๆ ท่ีได้
จากฟังก์ชันเมื่อทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นในการนาไปประยุกต์ใช้ เราจะต้องทราบว่าส่ิงท่ีโจทย์
กาหนดให้มาเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างไร ข้อความใดบ่งบอกถึงลักษณะของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ
จากท่ีไดศ้ กึ ษาเก่ียวกับอนุพันธข์ องฟังกช์ ันมาแลว้ จงึ สามารถสรุปข้อความท่บี ่งบอกวา่ เปน็ อนุพันธ์ของฟังกช์ ัน ดังน้ี

ขอ้ ความทบ่ี ่งบอกว่าเปน็ อนุพันธอ์ นั ดบั ทหี่ นึง่ มีดังนี้
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทยี บกับ x ขณะที่ x มคี า่ ใด ๆ เทา่ กับ ………………………

2. ความชันของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ของ f ท่ีจดุ P(a, f (a)) ใด ๆ เท่ากบั ………………………

3. ความชนั ของเส้นโค้งของ f ท่ีจุด P(a, f (a)) ใด ๆ เทา่ กับ ………………………

4. ความเร็วของวตั ถุ ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั ………………………

ข้อความทีบ่ ง่ บอกวา่ เป็นอนุพนั ธ์อนั ดับท่ีสอง มดี ังน้ี

1. อตั ราการเปล่ยี นแปลงของความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ณ จุด (x, y) ใด ๆ เทา่ กับ ……………………

2. ความเร่งของวตั ถุ ขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กบั ………………………

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปริพนั ธ์ 4-17

ในทนี่ ้จี ะกล่าวถงึ การประยุกตข์ องปริพันธ์ไมจ่ ากัดเขตใน 2 ลักษณะ ดงั น้ี

1. การประยกุ ต์ในเรอ่ื งเรขาคณิต
ถา้ กาหนดสมการเสน้ โคง้ y  f (x) และ f (x) หาคา่ ได้ แล้ว

f (x) เทา่ กบั ความชันของเส้นโค้งของ f ทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ
เท่ากับ ความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ของ f ทจี่ ดุ (x, y) ใด ๆ

สมการเสน้ โคง้ y  f (x)

อนุพันธ์ ปรพิ นั ธ์

ความชนั ของเสน้ โค้งของ f ทจี่ ุด (x, y) คือ

dy  f (x)
dx

เน่ืองจากการหาปริพันธ์เป็นการดาเนินการที่ตรงกันข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังน้ัน ถ้ากาหนด f (x) มา

ให้ เราสามารถหาฟงั ก์ชัน y  f (x) ได้ โดยใช้การหาปรพิ ันธ์

การหาสมการของเสน้ โค้งเมอ่ื กาหนดความชนั dy  f (x) สามารถทาได้ดังน้ี

dx

เน่ืองจาก dy  f (x)
จะได้ dx
dy  f (x)dx

และ  dy   f (x)dx

ดังนนั้ จะได้ y  f (x)  c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตวั

ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการของเสน้ โคง้ ท่ีผา่ นจุด (1,2) และมีความชนั ของเส้นโค้งทจี่ ดุ (x, y) ใดๆ เปน็ 2x
วธิ ที า
เน่อื งจาก ความชันของเสน้ โค้งทจี่ ุด (x, y) ใดๆ เปน็ dy

dx

ดังนนั้ dy  ………………………………………………………

dx

จะได้ y  ………………………………………………………

ดงั นน้ั สมการของเสน้ โคง้ คือ ……………………………………………… เม่อื c เปน็ ค่าคงตวั

เน่อื งจากเสน้ โค้งนี้ท่ผี า่ นจดุ (1,2) ดงั น้ัน เมือ่ แทนค่า x 1 และ y  2 ในสมการของเส้นโค้ง

จะได้วา่ ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

ดังน้ัน สมการของเส้นโค้งทต่ี อ้ งการ คอื …………………………………………………………………

กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 ปรพิ ันธ์ 4-18

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาสมการของเสน้ โค้งท่ผี ่านจุด (2,1) และมีความชันของเส้นโค้งทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เปน็

x2  3x  2

วธิ ีทา เน่ืองจาก ความชันของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (x, y) ใดๆ เปน็ dy

dx

ดงั น้ัน dy  ………………………………………………………

dx

จะได้ y  ………………………………………………………

ดังนน้ั สมการของเสน้ โค้ง คือ ……………………………………………… เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั

เน่อื งจากเสน้ โค้งนี้ทีผ่ ่านจดุ (2,1) ดงั นนั้ เม่อื แทนคา่ x  2 และ y 1 ในสมการของเส้นโค้ง

จะไดว้ ่า ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

ดังนัน้ สมการของเสน้ โคง้ ท่ตี อ้ งการ คือ …………………………………………………………………

2. การประยุกตใ์ นเรอ่ื งการเคลือ่ นที่แนวตรง
เราได้พูดถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวตรง โดยกล่าวถึง การหาความเร็ว ความเร่ง จากการหาอนุพันธ์
ของสมการการเคล่ือนท่ีของวัตถุ และเนื่องจากการหาปริพันธ์เป็นการดาเนินการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังน้ัน
ถ้ากาหนดความเร่ง เราสามารถหาความเร็วได้ และถ้ากาหนดความเร็ว เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ได้ ดัง
ความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี

ความสมั พนั ธร์ ะหว่างสมการการเคลือ่ นที่ ความเรว็ และความเรง่

ปริพันธ์ ความเรว็ v(t)  ds ปรพิ ันธ์
dt

สมการการเคลอื่ นที่ s  f (t) ความเร่ง a(t)  dv  d 2s
dt dt 2

อนุพนั ธ์ ความเรว็ v(t)  ds อนุพนั ธ์

dt

ตัวอยา่ งท่ี 3 ณ เวลา t ใด ๆ วตั ถเุ คลือ่ นท่ีในแนวราบด้วยความเร่ง 3t เมตรต่อวินาที2 ถ้าขณะท่ีเร่ิมต้นจับ
วธิ ที า
เวลา ตาแหน่งของวัตถอุ ยู่ท่ี 3 เมตร และวตั ถเุ คลื่อนท่ดี ว้ ยความเรว็ 1 เมตรตอ่ วนิ าที จงหา

1) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

2) ตาแหน่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ

3) ระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหน่งเริม่ ตน้ ขณะเวลา 2 และ 4 วินาที

1) ให้ v(t) แทนความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

เนื่องจาก v(t)  a(t)  …………………………………………………

จะได้ ……………………………………………………………………… เมอ่ื c1 เป็นค่าคงตวั
เนือ่ งจากขณะท่เี ร่มิ ต้นจบั เวลา วตั ถเุ คล่อื นท่ีด้วยความเรว็ 1 เมตรตอ่ วนิ าที

นั่นคือ เม่ือแทน t  0 และ v(0) 1 ใน.....................................

จะได้ ………………………………………………………………………

ดังน้นั ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื ………………………………………เมตรตอ่ วินาที

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปรพิ นั ธ์ 4-19

2) ให้ s(t) แทนตาแหน่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ

เนอ่ื งจาก s(t)  v(t)  …………………………………………………

จะได้ ……………………………………………………………………… เม่ือ c2 เปน็ ค่าคงตวั

เน่อื งจากขณะทีเ่ รมิ่ ต้นจับเวลา ตาแหนง่ ของวตั ถุอยทู่ ี่ 3 เมตร
น่นั คอื เมือ่ แทน t  0 และ s(0)  3 ใน.....................................

จะได้ ………………………………………………………………………
ดังนน้ั ตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื ………………………………………เมตร
3) จากข้อ 2) จะได้ ระยะห่างของวัตถจุ ากตาแหน่งเรม่ิ ต้น ขณะเวลา 2 วินาที คอื
| s(2)  s(0) |  …………………………………………………………………………………เมตร

และ ระยะหา่ งของวัตถจุ ากตาแหนง่ เรม่ิ ตน้ ขณะเวลา 4 วนิ าที คอื
| s(4)  s(0) |  …………………………………………………………………………………เมตร

ตัวอย่างท่ี 4 เมือ่ ปล่อยวตั ถตุ กจากทีส่ ูงแบบเสรี วัตถจุ ะเคลือ่ นทดี่ ว้ ยความเร่งโน้มถ่วงของโลก ( g ) ถ้ากาหนด
วธิ ีทา g  9.8 เมตรต่อวินาที2 และขณะท่ีเร่ิมต้นจับเวลา ตาแหน่งของวัตถุอยู่ที่ 10 เมตร และมี

ความเรว็ เป็นศูนย์ จงหา
1) ความเรว็ ของวตั ถุ ขณะเวลา t ใด ๆ
2) ตาแหนง่ ของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ
1) ให้ v(t) แทนความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ

เนื่องจาก v(t)  a(t)  …………………………………………………

จะได้ ……………………………………………………………………… เมอื่ c1 เป็นค่าคงตวั

เนือ่ งจากขณะทเ่ี รม่ิ ตน้ จับเวลา วตั ถมุ ีความเรว็ เปน็ ศูนย์
น่นั คอื เมื่อแทน t  0 และ v(0)  0 ใน.....................................

จะได้ ………………………………………………………………………
ดงั นั้น ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คือ ………………………………………เมตรตอ่ วินาที
2) ให้ s(t) แทนตาแหน่งของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ

เน่ืองจาก s(t)  v(t)  …………………………………………………

จะได้ ……………………………………………………………………… เมื่อ c2 เป็นค่าคงตวั

เนอื่ งจากขณะทีเ่ รมิ่ ตน้ จบั เวลา ตาแหนง่ ของวตั ถุอยู่ที่ 3 เมตร
นั่นคือ เมือ่ แทน t  0 และ s(0) 10 ใน.....................................

จะได้ ………………………………………………………………………
ดังนั้น ตาแหนง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คือ ………………………………………เมตร

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 ปริพนั ธ์ 4-20

แบบฝกึ หัด
การประยกุ ตป์ รพิ นั ธ์

1. จงหาสมการของเสน้ โคง้ เมื่อกาหนดความชนั ของเส้นโคง้ ทจี่ ดุ (x, y) ใด ๆ และจุดทเ่ี ส้นโคง้ ผ่าน ดังน้ี
1) ความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ คอื 2x3  4x และผา่ นจุด (0,5)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) ความชนั ของเสน้ โค้งทจี่ ดุ (x, y) ใด ๆ คือ 6  3x2  2x4 และผา่ นจดุ (1,0)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ความชนั ของเส้นโค้งทจี่ ดุ (x, y) ใด ๆ คอื 53 x  x3 และผา่ นจดุ (4,2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 ปรพิ ันธ์ 4-21

2. จงหาความเร็วของวัตถุ v(t) และตาแหน่งของวัตถุ s(t) ขณะเวลา t ใด ๆ เมื่อกาหนดความเร่งของวัตถุ

a(t) ความเร็วและตาแหน่งของวตั ถุขณะเวลา t  0 ดงั น้ี

1) a(t)  6  2t, 0  t  3, v(0)  5, s(0)  0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) a(t) 120t 12t2, 0  t 10, v(0)  0, s(0)  4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) a(t)  t2  5t  4, 0  t 15, v(0)  2, s(0)  3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 ปริพันธ์ 4-22

3. โยนวัตถุชิ้นหนึ่งข้ึนจากพื้นดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตรต่อวินาที ถ้ากาหนดความเร่งโน้มถ่วงของ
โลก g  9.8 เมตรตอ่ วนิ าที2 และขณะท่เี ริ่มตน้ จับเวลา ตาแหนง่ ของวตั ถอุ ยู่ท่ศี นู ย์ จงหา

1) ตาแหนง่ ของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ
2) เวลาที่วตั ถขุ ้ึนไปถงึ ตาแหน่งสงู สดุ และตาแหนง่ สงู สดุ ของวตั ถุ
3) เวลาที่วตั ถอุ ย่ใู นตาแหนง่ ทีส่ ูงจากพนื้ ดิน 249.9 เมตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา