แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 2 ลมิ ติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน 2-10
ในการใชท้ ฤษฎีบทขา้ งตน้ เม่ือหาลิมิตแล้วจะอยู่ในรูป 0 , , 0, , 00, 0 เราไม่อาจจะตอบ
0
ได้เลยว่าค่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่มีค่า เรียกรูปแบบลิมิตนี้ว่า รูปแบบยังไม่กาหนด (Indeterminate Form : IF)
ซึ่งมขี ้นั ตอนการหาลมิ ิตของฟังกช์ ัน ไดด้ ังนี้
กรณที ่ี 1 ใชว้ ธิ ีแยกตัวประกอบ
เช่นพิจารณา lim x2 3x ถา้ หาลมิ ติ โดยใชท้ ฤษฎบี ท จะได้ว่า lim x2 3x 0
x2 2x 15 x2 2x 15 0
x3 x3
ในกรณีแบบน้ียังสรุปค่าลิมิตแน่ชัดอะไรไม่ได้ ให้ใช้วิธีแยกตัวประกอบของตัวเศษหรือตัวส่วนเสียก่อน
จากนั้นลดทอนพจน์ทีห่ ารกันไดแ้ ล้วจึงแทนหาลิมิตอกี คร้ัง
ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหา lim x2 3x
วธิ ที า
x3 x2 2x 15
lim x2 3x =……………………………………………………………..
x3 x2 2x 15
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
ตวั อย่างที่ 2 จงหา lim 2x2 9x 5
วิธีทา
x5 x2 10x 25
lim 2x2 9x 5 =……………………………………………………………..
x5 x2 10x 25
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
ตัวอย่างท่ี 3 จงหา lim x2 4
วิธที า x3 8
x2
lim x2 4 =……………………………………………………………..
x2 x3 8 =……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
ตัวอยา่ งที่ 4 จงหา lim 9x 8 3x 9
วธิ ที า 3x1 27
x2
lim 9x 83x 9 =……………………………………………………………..
x2 3x1 27
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องท่ี 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน 2-11
กรณที ่ี 2 ใช้วธิ ีสงั ยุคหรือคอนจเู กต (conjugate)
เชน่ พิจารณา lim 2 4 x เม่ือหาค่าลิมิตโดยใช้ทฤษฎบี ท จะไดว้ ่า lim 2 4 x 0
x0 x x0 x 0
ซึ่งเป็นรูปแบบยังไม่กาหนด โจทย์ลักษณะนี้ไม่สะดวกที่จะแยกตัวประกอบควรใช้วิธีทาเศษและส่วนให้มี
เทอมทีห่ ารกันได้ โดยการนาสงั ยุคหรอื คอนจเู กตของตวั เศษหรอื ตัวส่วนที่มีพจน์ท่ีติดรากท่ีสอง(หรือรากที่สาม)คูณ
ทั้งเศษและสว่ น หลังจากนั้นจะมีพจน์ทหี่ ารกันได้ เมื่อหารกันแล้วจงึ แทนคา่ หาลมิ ิตอกี ครัง้
ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหา lim 2 4 x
x0 x
วิธีทา lim 2 4 x =……………………………………………………………..
x0 x
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหา lim x2 3x
วิธที า
x3 4 x2 7
lim x2 3x =……………………………………………………………..
x3 4 x2 7 =……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
ตวั อย่างท่ี 7 จงหา lim 3 x 1 =……………………………………………………………..
วธิ ที า
x1 x 1 =……………………………………………………………..
lim 3 x 1 =……………………………………………………………..
x1 x 1 =……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 2 ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั 2-12
แบบฝึกหดั ที่ 3
ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน
1. จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถา้ ลิมิตมีค่า
1) lim x2 x2 1 2 2) lim x2 4 6
3x x2 x
x1 x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) lim x6 1 4) lim x3 6x2 12x 8
x1 x4 1 x2 x3 2x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) lim x 4 6) lim x2 81
x4 x 2 x9 x 3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7) lim x 16 4 8) lim x 4 2
x0 x x8 x 8
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9) lim 2 3x 2 10) lim 2x x2
x0 2x x0 3x 5 5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ืองที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน 2-13
2. ความตอ่ เนื่องของฟงั ก์ชัน
พจิ ารณาจากการทากจิ กรรมต่อไปนี้
กิจกรรม
ความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั
ถ้า y f (x) เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถลากเส้นกราฟได้ต่อเน่ืองทุกค่า x ในโดเมนของ f หรือสามารถ
เขยี นกราฟไดต้ อ่ เนื่องตลอดเส้นโดยไมต่ ้องยกปลายปากกา แสดงวา่ y f (x) เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ ง ตวั อยา่ งเช่น
ฟังกช์ ัน y f (x) x2 เม่อื เขยี นกราฟจะได้ ดงั น้ี
จะเห็นว่า สามารถลากเส้นกราฟต่อเนื่องเป็นเส้นเดียวได้ตลอด น่ันคือ y f (x) x2 เป็นฟังก์ชัน
ตอ่ เน่อื งทุกค่า x ในโดเมนของ f
ฟังกช์ นั f (x) 1, x 0 เมือ่ เขียนกราฟจะได้ ดังนี้
x,
x0
จะเห็นว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟต่อเนื่องเป็นเส้นเดียวได้ตลอด โดยเฉพาะท่ีจุด x 0 นั่นคือ f (x)
เปน็ ฟงั กช์ นั ที่ไม่ตอ่ เน่ืองที่จุด x 0
โดยทว่ั ไป จะนิยามฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองไดด้ งั น้ี
บทนยิ าม ให้ f เปน็ ฟังกช์ ันซึ่งนิยามบนชว่ งเปิด (a,b) และ c(a,b)
จะกลา่ ววา่ f เป็น ฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ ง (continuous function) ท่ี x c กต็ ่อเมอื่
lim f (x) f (c)
xc
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่องท่ี 2 ลมิ ติ และความต่อเนื่องของฟังก์ชนั 2-14
จากบทนยิ าม ถา้ f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งที่ x c ต้องมีสมบตั คิ รบท้ังสามข้อดงั ต่อไปน้ี
1. ……………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………
และ 3. ……………………………………………………………………
ถา้ ฟังก์ชนั f ขาดสมบัติขอ้ ใดข้อหนงึ่ แล้ว เราจะกล่าวว่า f เปน็ ฟังก์ชันไม่ตอ่ เนือ่ งท่ี x c
ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดให้ f ( x) x2 4 , x2
วิธที า x 2
2, x 2
จงพจิ ารณาว่าฟงั กช์ นั f เป็นฟงั กช์ ันต่อเนื่องที่ x 2 หรือไม่
จากฟังก์ชัน f ทก่ี าหนด จะได้ f (2) =…………………………………..
และ lim f (x) =………………………………………………….
x2
เนื่องจาก ……………………………………………………………………
ดังน้ัน ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังก์ชนั ………………………………………………….
ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ f ( x) x2 4 , x2
วธิ ีทา x2
4, x 2
จงพิจารณาว่าฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งท่ี x 2 หรอื ไม่
จากฟังก์ชัน f ท่ีกาหนด จะได้ f (2) =…………………………………..
และ lim f (x) =………………………………………………….
x2
เน่ืองจาก ……………………………………………………………………
ดงั นั้น ฟังกช์ ัน f เป็นฟงั กช์ นั ………………………………………………….
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ f (x) | x 1|
วิธที า
จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องท่ี x 1 หรอื ไม่
จากฟังก์ชนั f ท่กี าหนด จะได้ f (1) =…………………………………..
จาก f (x) | x 1|
จะได้ f ( x) ..................., x 1
..................., x 1
เน่อื งจาก
และ lim f (x) =…………………………………..
จะไดว้ า่
ดงั นั้น x1
เนือ่ งจาก
lim f (x) =…………………………………..
x1
lim f (x) ………. lim f (x)
x1 x1
lim f (x) =…………………………………..
x1
……………………………………………………………………
ดงั นั้น ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ ัน………………………………………………….
กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 2 ลมิ ติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน 2-15
ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ g(x) 6 x , x2
วิธที า 2
k 1, x 2
จงหาคา่ k ทที่ าให้ฟังกช์ นั g เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งที่ x 2
เนือ่ งจากฟังก์ชนั g เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งที่ x 2 จะได้ว่า …………………………………………………
และจากฟังกช์ นั g ทกี่ าหนด จะได้ g(2) =……………………………………
และ lim g(x) =………………………………………………………..
x2
ดังนน้ั …………………………………………………………………………..
นน่ั คอื …………………………………………………………………………..
แบบฝกึ หัด
ความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ัน
1. จงพิจารณาวา่ ฟังกช์ ันต่อไปนี้เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ ง ณ จุดที่กาหนดหรือไม่
1) f (x) 3x 1 ท่ี x 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) f (x) x 1, x 1 ท่ี x 1
3 x, x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) x2 16 , x4 ที่ x 4
x 4
f ( x)
1
4 , x4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งท่ี 2 ลมิ ิตและความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั 2-16
4) x2 1 , x 1 ที่ x 1
x3 1
f ( x)
2
3 , x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) f (x) | x 1| , x 1 ที่ x 1
x 1
1, x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาคา่ k ท่ที าใหฟ้ งั ก์ชนั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปนเ้ี ปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เน่ือง ณ จดุ ทีก่ าหนดให้
1) กาหนดให้ f ( x) kx2 , x 1 ท่ี x 1
7 x 2, x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) กาหนดให้ f ( x) 2x k , x 2 ท่ี x2
kx2 ,
x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื งท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 2-17
3) กาหนดให้ 2 x 3 , x 1 ที่
x 1
g ( x) x 1
kx 1, x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ax b, x 1
3. กาหนดให้ g ( x) x2 6x 6 , 1 x 6 โดยท่ี g เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองท่ี x 1และ x 6 จงหา9a 44b
x2 5x
bx a, x 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
x3 , x3
4. กาหนดให้ 2x 10 x 13 โดยท่ี เป็นจานวนจริง
f (x) a
a, x 3
ถา้ f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งท่ี x 3 แล้ว a มีค่าเท่ากับเท่าใด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งท่ี 2 ลิมติ และความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 2-18
การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน นอกจากพิจารณาโดยใช้บทนิยามที่ผ่านมา เรายังสามารถใช้
ทฤษฎีบทความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชัน จะทาใหส้ ะดวกรวดเรว็ ขึ้น ดังน้ี
ทฤษฎบี ท 1 ถา้ f และ g เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอื่ งท่ี x a แล้ว
1. f g เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องท่ี x a
2. f g เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เน่ืองที่ x a
3. f g เป็นฟงั กช์ ันต่อเน่อื งที่ x a
4. f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่ืองที่ x a เมอื่ g(a) 0
g
ทฤษฎีบท 2 1. ถ้า f เป็นฟังก์ชันพหนุ าม ท่ี f (x) anxn an1xn1 ... a1x a0 แลว้
ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนือ่ งท่ี x a เมอ่ื a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ
2. ถ้า f เป็นฟังกช์ นั ตรรกยะ ที่ f (x) p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เปน็ ฟังกช์ ัน
q(x)
พหนุ าม แลว้ ฟังก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนือ่ งที่ x a เมอื่ a เป็นจานวนจริงใด ๆ ซึง่ q(a) 0
ตวั อยา่ งที่ 5 จากทฤษฎีบท 1, 2 จะไดว้ ่า
1) f (x) 3x4 3x3 5x 8 เป็นฟงั ก์ชันพหุนาม
ดังนัน้ f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งทที่ กุ คา่ x
2) f (x) x2 3x 5 เปน็ ฟงั ก์ชันตรรกยะ
x2
ดงั น้นั f เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องทที่ ุกค่า x {2}
3) เน่ืองจาก f (x) | x | เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองที่ x 1 และ g(x) 2x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ทจี่ ดุ x 1 ดังน้นั
f (x) g(x) | x | 2x เป็นฟังกช์ ันต่อเน่อื งที่ x 1
f (x) g(x) | x | 2x เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องที่ x 1
f (x) g(x) | x | 2x เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่ืองที่ x 1
f (x) | x | เป็นฟงั กช์ ันต่อเนอื่ งที่ x 1
g(x) 2x
ความต่อเนอื่ งบนช่วง
ที่กล่าวมาแล้วเป็นการพิจารณาความต่อเน่ืองของฟังก์ชันที่จุด ๆ หน่ึง โดยทั่วไปเราสามารถนิยามความ
ตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ นั บนชว่ งเปดิ และชว่ งปดิ ดงั น้ี
บทนิยาม
1. ฟงั ก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งบนชว่ ง (a,b) ก็ตอ่ เมื่อ f เป็นฟงั กช์ ันต่อเนือ่ งที่ทุกจุดในชว่ ง (a,b)
2. ฟังก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง [a,b] ก็ตอ่ เมอื่
1) ฟังก์ชนั f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งที่ทกุ จุดในชว่ ง (a,b) และ
2) lim f (x) f (a) และ lim f (x) f (b)
xa xb
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 2 ลมิ ติ และความต่อเนื่องของฟังกช์ ัน 2-19
บทนิยาม (ต่อ)
3. ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนือ่ งบนช่วง (a,b] กต็ อ่ เมอ่ื
1) ฟังก์ชนั f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ งทีท่ ุกจดุ ในช่วง (a,b) และ
2) lim f (x) f (b)
xb
4. ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองบนชว่ ง [a,b) ก็ต่อเม่อื
1) ฟังกช์ นั f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองที่ทกุ จุดในชว่ ง (a,b) และ
2) lim f (x) f (a)
xa
ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ f (x) 1 x2 จงแสดงวา่ ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่ืองบนชว่ ง [1,1]
วิธีทา
จะแสดงวา่ ฟงั กช์ นั f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องทที่ กุ จดุ ในชว่ ง (1,1)
ตัวอยา่ งที่ 7
วิธีทา ให้ c (1,1)
เน่ืองจาก 1 c 1 จะไดว้ ่า c2 1 หรือ 1 c2 0 ดงั นัน้ 1 c2 0
จะไดว้ า่ f นยิ ามท่ี c และ f (c) 1 c2
และจะได้ lim f (x) lim 1 x2 lim(1 x2) 1 c2
xc xc xc
ดงั นั้น lim f (x) f (c)
xc
สรปุ ไดว้ ่า f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนช่วง (1,1)
ต่อไปจะแสดงวา่ lim f (x) f (1) และ lim f (x) f (1)
x1 x1
เนื่องจาก lim f (x) lim 1 x2 lim (1 x2) 0
x1 x1 x1
และ f (1) 0
จะได้ lim f (x) f (1)
x1
และ lim f (x) lim 1 x2 lim(1 x2) 0
x1 x1 x1
และ f (1) 0
จะได้ lim f (x) f (1)
x1
ดังน้ัน ฟังก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ืองบนช่วง [1,1]
กาหนดให้ f (x) 1 จงพิจารณาวา่ f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ งต่อไปนห้ี รือไม่
x2 4
1) (, 2) 2) (2,3]
1) ให้ c (, 2)
เนอ่ื งจาก c 2 จะได้ว่า c2 4 หรือ c2 4 0 ดงั นั้น c2 4 0
จะไดว้ ่า f นิยามท่ี c และ f (c) 1
c2 4
และจะได้ lim f (x) lim 1 1 1
xc xc x2 4 lim(x2 4) c2 4
xc
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 2 ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 2-20
ดังน้ัน lim f (x) f (c)
xc
สรปุ ไดว้ า่ f เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เน่ืองบนชว่ ง (,2)
2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
แบบฝึกหดั
ความต่อเน่อื งบนชว่ ง
ของฟงั กช์ ัน
กาหนดให้ f (x) 2 จงพจิ ารณาวา่ f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่อื งบนชว่ งต่อไปนีห้ รอื ไม่
x4
1) (, 4) 2) (4,6] 3) (4,)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน 3-1
แบบฝึกทกั ษะ รายวชิ า คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 5
รหัสวิชา ค33201
คณิตศาสตร์ ม.6
แคลคลู สั เบื้องตน้
เรือ่ งท่ี
3
อนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน 3-2
Mathematics อนุพันธ์ของฟงั กช์ นั
KANARAS
1. อัตราการเปลย่ี นแปลง
พิจารณาจากการทากิจกรรมตอ่ ไปนี้
กจิ กรรม
อัตราการเปลยี่ นแปลง
ในช่วงวันหยุดสุดสัปดาห์ ลิซ่าขับรถพาครอบครัวไปเที่ยวชายทะเล โดยท่ีเขาไม่ได้ขับด้วยอัตราเร็วคงที่
ตลอดเวลา ขับช้าบ้างเร็วบ้างข้ึนอยู่กับปัจจัยต่าง ๆ เช่น ปริมาณรถบนถนน สภาพถนน สภาพอากาศ เป็นต้น
ดังนั้นการบอกอัตราเร็ว จึงนิยมบอกเป็นอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางทั้งหมดหรือบอกเป็นอัตราเร็วเฉล่ียใน
ช่วงเวลาท่ีสนใจ โดยอัตราเร็วเฉลี่ยคืออัตราส่วนระหว่างระยะทางท่ีรถยนต์เคลื่อนที่ได้ต่อช่วงเวลาท่ีใช้ในการ
เคลอ่ื นท่ี
ตวั อยา่ งที่ 1 ถ้าระยะทางที่รถยนต์เคล่ือนที่ได้ (หน่วยเป็นกิโลเมตร) เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง หาได้จาก
d(t) 20t2 เม่ือ t [0,2] จะสามารถหาอตั ราเรว็ เฉลย่ี ในช่วงเวลาที่สนใจได้ดังนี้
จากสมการทกี่ าหนด จะสามารถหาระยะทางทีร่ ถยนตเ์ คล่อื นท่ีได้ เมอื่ เวลาผา่ นไป 0, 0.5, 1, 1.5 ช่วั โมง
ไดด้ งั ตาราง
เวลาทีผ่ า่ นไป (ชวั่ โมง) 0 0.5 1 1.5
ระยะทางที่รถยนตเ์ คล่อื นทไ่ี ด้ (กิโลเมตร)
จะได้ระยะทางท่รี ถยนต์เคลอ่ื นท่ีได้ในช่วงเวลาต่าง ๆ ไดด้ งั ตาราง
ชว่ งเวลา (ชั่วโมง) ระยะทางทรี่ ถยนต์เคล่อื นทไี่ ด้ (กโิ ลเมตร)
t 0 ถึง t 0.5
t 0.5 ถงึ t 1 50 5
t 1 ถงึ t 1.5
และสามารถหาอตั ราเร็วเฉล่ยี ในชว่ งเวลาตา่ ง ๆ ไดด้ งั ตาราง
ช่วงเวลา (ช่วั โมง) อตั ราเร็วเฉลย่ี (กิโลเมตรต่อช่วั โมง)
t 0 ถึง t 0.5
5 10
t 0.5 ถงึ t 1 0.5 0
t 1 ถึง t 1.5
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 3-3
อัตราเร็วเฉล่ียทหี่ าไดข้ ้างต้นสามารถใช้ในการพิจารณาวา่ ในแตล่ ะช่วงเวลาที่สนใจ รถยนต์เคลื่อนที่ไดช้ ้า
หรอื เร็วเพยี งใด
พิจารณาอตั ราเรว็ เฉลยี่ ในชว่ งเวลาสั้น ๆ ที่ใกล้ t 1 ดงั ตารางต่อไปน้ี
ช่วงเวลา (ชัว่ โมง) อัตราเร็วเฉล่ยี (กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง)
t 1 ถงึ t 1.1
d (1.1) d (1)
t 1 ถงึ t 1.01 1.11
t 1 ถงึ t 1.001
ถ้า h เป็นจานวนจรงิ ทไ่ี มเ่ ทา่ กับศนู ย์ จะไดว้ ่าอัตราเร็วเฉลีย่ ในช่วงเวลา t 1 ถึง t 1 h คอื
d (1 h) d (1) 20(1 h)2 20(1)2
hh
=…………………………………………………..
=…………………………………………………..
น่นั คือ อัตราเร็วเฉลี่ยในชว่ งเวลา t 1 ถึง t 1 h เมื่อ h 0 คอื ……………………………………กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง
จะเห็นได้ว่ายิ่งชว่ งเวลาส้นั ลง อัตราเร็วเฉลี่ยขณะท่ี t 1 จะยิ่งเข้าใกล้…………………………………กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง
ดงั นัน้ เมือ่ นอ้ ยลงจนเขา้ ใกล้ 0 ( h 0 ) จะได้วา่ อตั ราเรว็ เฉล่ยี ในช่วงเวลา t 1 ถึง t 1 h คือ
lim d(1 h) d(1) …………………………………………………………… กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง
h0 h
เรียกคา่ นว้ี ่า อัตราเรว็ ของรถยนต์ ณ ขณะเวลา t 1 ซ่ึงในทางปฏิบัติ ผู้ขัยรถยนต์สามารถทราบได้จากมาตรวัด
อตั ราเร็วบนหนา้ ปัดรถยนต์ ณ ขณะน้ัน
ตัวอย่างข้างต้นแสดงการหาอัตราเร็วเฉล่ีย ซึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของระยะทางเทียบกับเวลา
ในชว่ งเวลาทสี่ นใจ และการหาอัตราเรว็ ขณะเวลาหนึง่
ในกรณีทว่ั ไป สามารถนยิ ามอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ และอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนง่ึ ได้ดงั น้ี
บทนิยาม ให้ f เป็นฟงั กช์ ัน และ a อยู่ในโดเมนของ f แลว้
1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ีย (Average rate of change) ของ f เทียบกับ x เมื่อค่า
ของ x เปลี่ยนจาก a เป็น a h คอื f (a h) f (a)
h
2) อัตราการเปล่ียนแปลง (Instantaneous rate of change) ของ f เทียบกับ x ขณะที่
x a คือ lim f (a h) f (a)
h0 h
กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน 3-4
ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนดฟังก์ชัน y f (x) x2 3x จงหา
วธิ ีทา 1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมื่อคา่ ของ x เปลีย่ นจาก 3 เป็น 3.2
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของ y เทียบกับ x เม่อื คา่ ของ x เปลีย่ นจาก 3 เป็น 3.1
3) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x เมือ่ ค่าของ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 3.01
4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะท่ี x 3
จาก y f (x) x2 3x จะได้อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x
เปลย่ี นจาก a เป็น a h คอื f (a h) f (a) = …………………………………………………………..
h
= …………………………………………………………..
= …………………………………………………………..
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ ของ y เทียบกบั x เม่ือค่าของ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 3.2
เท่ากับ ………………………………………………………………
2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมอ่ื คา่ ของ x เปลย่ี นจาก 3 เปน็ 3.1
เทา่ กับ ………………………………………………………………
3) อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกับ x เมอ่ื ค่าของ x เปล่ียนจาก 3 เปน็ 3.01
เทา่ กบั ………………………………………………………………
4) อตั ราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x 3
เทา่ กับ ………………………………………………………………
ตัวอยา่ งที่ 2 ในการสูบลมเข้าลูกบอลลูกหน่ึง ถ้า V เป็นปริมาตรของลมในลูกบอล (มีหน่วยเป็นลูกบาศก์
วิธที า เซนติเมตร) และ r เป็นความยาวของรัศมีของลูกบอล (มีหน่วยเป็นเซนติเมตร) โดยที่
V 4 r3 แลว้ จงหา
3
1) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลยี่ ของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เมือ่ ความยาวของรศั มเี ปลี่ยนจาก 6 เซนตเิ มตร เป็น 9 เซนตเิ มตร
2) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เม่อื ความยาวของรศั มีเปลย่ี นจาก r เซนติเมตร เป็น r h เซนติเมตร
3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล
ขณะรัศมยี าว 9 เซนตเิ มตร
จาก V 4 r3 จะไดว้ า่
3
1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เมอื่ ความยาวของรัศมเี ปลี่ยนจาก 6 เซนติเมตร เปน็ 9 เซนติเมตร คือ
V (9) V (6) = ……………………………………………………………………………………………
96
= ……………………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั 3-5
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เมือ่ ความยาวของรศั มีเปลีย่ นจาก r เซนติเมตร เป็น r h เซนตเิ มตร คือ
V (r h) V (r) = ……………………………………………………………………………………………
h
= ……………………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………………………
3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล
ขณะรัศมียาว r เซนตเิ มตร คอื
limV (r h) V (r) = ………………………………………………………………………………………
h0 h
= ………………………………………………………………………………………
ดังน้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปรมิ าตรของลมในลกู บอลเทยี บกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล ขณะรศั มยี าว 9 เซนตเิ มตร คอื ……………………………...ลูกบาศก์เซนติเมตรตอ่ เซนติเมตร
ขอ้ สังเกต ในตัวอย่างน้ี อัตราการเปล่ียนแปลงเป็นจานวนบวกแสดงว่าเมื่อความยาวของรัศมีของลูก
บอลเพิม่ ขึ้น ปริมาตรของลมในลูกบอลจะเพม่ิ ขน้ึ
ตวั อยา่ งท่ี 3 ในการสูบน้าออกจากสระ หลักจากสูบน้าไป t นาที มีน้าเหลืออยู่ในสระ Q(t) ลูกบาศก์เมตร
วธิ ีทา โดยท่ี Q(t) 6 t2 เมอื่ t [0, 2.4] จงหา
1) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของปรมิ าตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เม่ือเวลาเปลี่ยนจาก 0
เปน็ 2 นาที
2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เม่ือเวลาเปลี่ยนจาก t
เซนติเมตร เป็น t h นาที
3) อตั ราการเปลีย่ นแปลงของปรมิ าตรของน้าในสระเทยี บกับเวลา ขณะเวลา 2 นาที
จาก Q(t) 6 t2 จะได้วา่
1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เม่ือเวลาเปล่ียนจาก 0
เปน็ 2 นาที คอื
Q(2) Q(0) = ……………………………………………………………………………………………
20
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เม่ือเวลาเปลี่ยนจาก t
เซนติเมตร เปน็ t h นาที คอื
Q(t h) Q(t) = ……………………………………………………………………………………………
h
= ……………………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………………………
3) อัตราการเปลยี่ นแปลงของปริมาตรของน้าในสระเทยี บกับเวลา ขณะเวลา t นาที คอื
lim Q(t h) Q(t) = ………………………………………………………………………………………
h0 h
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา 2 นาที
คือ……………………………...ลกู บาศกเ์ มตรตอ่ นาที
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 3-6
ขอ้ สังเกต ในตัวอย่างนี้ อัตราการเปล่ียนแปลงเป็นจานวนลบแสดงว่าเม่ือเวลาเพ่ิมขึ้น ปริมาตรของน้า
ในสระจะลดลง
หมายเหตุ สาหรบั ฟงั ก์ชนั f
ถา้ อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ f เทียบกับ x เปน็ จานวนจริงบวก แสดงว่า เม่ือ
x เพิม่ ข้ึน ค่าของ f (x) จะเพิ่มขึ้น
แต่ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทียบกับ x เป็นจานวนจริงลบ แสดงว่า
เมอ่ื x เพ่มิ ขึน้ คา่ ของ f (x) จะลดลง
แบบฝกึ หดั
อตั ราการเปล่ียนแปลง
1. กาหนดฟังกช์ นั y f (x) 2x2 3 จงหา
1) อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.2
2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x เมื่อค่าของ x เปลย่ี นจาก 2 เปน็ 2.1
3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปล่ยี นจาก 2 เป็น 2.01
4) อัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งท่ี 3 อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน 3-7
2. กาหนดฟงั กช์ ัน y f (x) 1 จงหา
x
1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกับ x เมื่อคา่ ของ x เปล่ยี นจาก 4 เป็น 5
2) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของ y เทียบกับ x เมือ่ ค่าของ x เปลยี่ นจาก 4 เปน็ 4.1
3) อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลยี่ ของ y เทยี บกับ x เม่อื คา่ ของ x เปลีย่ นจาก 4 เปน็ 4.01
4) อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหา
1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้าน
ของรปู สเ่ี หล่ียมจัตุรสั เปล่ยี นจาก 10 เปน็ 12 เซนติเมตร
2) อัตราการเปลีย่ นแปลงของพ้นื ท่รี ปู สี่เหลยี่ มจัตุรสั เทยี บกบั ความยาวของดา้ น ขณะด้านยาว 10 เซนติเมตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 3 อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน 3-8
4. จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นท่ีรูปสามเหล่ียมด้านเท่าเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของ
ดา้ นของรปู สามเหลีย่ มด้านเทา่ เปลย่ี นจาก 10 เปน็ 9 เซนตเิ มตร
2) อัตราการเปล่ียนแปลงของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 10
เซนตเิ มตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ใส่สารหน่ึงลงในน้ายา หลักจากเวลาผ่านไป t นาที สามารถหาปริมาตรของสาร (มีหน่วยเป็นกรัม) ได้จาก
N 8 จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ N เทยี บกับ t ขณะท่ี t 3
t 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน 3-9
2. อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน
จากบทนิยามอัตราการเปล่ียนแปลงขณะหน่ึง ถ้าให้ f เป็นฟังก์ชันใด ๆ และ a อยู่ในโดเมนของ f
แล้วอัตราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกับ x ขณะที่ x a คือ lim f (a h) f (a) ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะ
h0 h
เรียกค่าของลมิ ิตนี้ว่า อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั f ท่ี a ดงั บทนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม ให้ f เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ (Derivative) ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย f (x)
คือ f (x) lim f (x h) f (x)
h0 h
ถ้า f (x) มคี ่า จะกลา่ ววา่ ฟังก์ชัน f มอี นุพนั ธ์ท่ี x หรือฟังกช์ ัน f หาอนุพนั ธ์ไดท้ ่ี x
ถา้ f (x) ไมม่ คี ่า จะกลา่ ววา่ ฟงั กช์ นั f ไมม่ อี นุพันธท์ ่ี x หรือฟงั กช์ ัน f หาอนุพันธ์ไมไ่ ด้ที่ x
นอกจากสัญลักษณ์ f (x) แล้ว ยังมีสัญลักษณ์อื่น ๆ ท่ีใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เช่นเม่ือ
กาหนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันทน่ี ิยามโดยสมการ y f (x) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x สามารถเขียนแทนได้ด้วย
สัญลกั ษณด์ งั นี้ dy (อา่ นวา่ ……………………………………………) หรือ d f (x) หรอื y ดงั นั้น
dx dx
f (x) =………………………………………………………….………………………………………………………….
หมายเหตุ dy ไม่ไดห้ มายถึง เศษส่วนท่ีมตี วั เศษคือ d คูณ y และตวั สว่ น คือ d คณู x
dx
dy ไม่ได้หมายถึง dy หารด้วย dx
dx
กจิ กรรม
อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั
ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ f (x) 5x 1 จงหา f (x)
วิธที า
f (x) lim f (x h) f (x)
h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
ดังนนั้ f (x) = ………………………
จากตวั อยา่ งที่ 1 อาจเขยี นโดยใช้สัญลกั ษณ์ของอนพุ ันธแ์ บบอนื่ ได้ เชน่
dy =…………………………หรือ d f (x) =…………………………หรอื y=…………………………
dx dx
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-10
ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ y(t) t2 2t 4 จงหา dy
วิธที า
dt
dy lim y(t h) y(t)
dt h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
ดงั นัน้ dy =………………………
dt
ตวั อย่างที่ 3 กาหนดให้ f (x) 1 จงหา d f (x)
วธิ ีทา
x dx
d f (x) lim f (x h) f (x)
dx h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
ดังนน้ั d f (x) =………………………
dx
จาก f (x) lim f (x h) f (x) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ใด ๆ ดังนั้น สาหรับ a ใด ๆ ที่
h0 h
อย่ใู นโดเมนของ f อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั f ท่ี x a กค็ ือ
f (a) lim f (a h) f (a)
h0 h
lim f (x) f (a) ( h x a)
xa x a
อาจใชส้ ัญลักษณ์ d f (x) หรอื dy แทน f (a)
dx xa dx xa
ตวั อยา่ งท่ี 4 กาหนดให้ f (x) x 1 จงหา f (3)
วิธที า
f (3) lim f (3 h) f (3)
h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
ดังนนั้ f (3)=………………………
กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 3-11
ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดให้ f (x) | x | จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั f ท่ี x 0
วิธที า
f (0) lim f (0 h) f (0)
h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
เน่ืองจาก lim | h | ………………………………………………………………
hh0
และ lim | h | ………………………………………………………………
hh0
จะไดว้ า่ lim | h | …………… lim | h |
hh0 hh0
ดังน้นั lim | h | ………………………
h0 h
นั่นคือ f (0) ……………………………
เราอาจหาค่า f (a) ไดโ้ ดยการหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ัน f ที่ x ใด ๆ หลังจากน้ันแทนคา่ x ด้วย a
ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้
ตวั อย่างท่ี 6 กาหนดให้ f (x) 3x2 1 จงหา
1) อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั f ท่ี x
2) อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน f ท่ี x 3
วธิ ที า 1) f (x) lim f (x h) f (x)
h0 h
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
ดังนัน้ อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน f ที่ x เทา่ กับ………………………
2) จาก f (x) ………………………
จะได้ f (3) ………………………
ดังนั้น อนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั f ที่ x 3 เทา่ กับ………………………
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั 3-12
แบบฝึกหดั
อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน
1. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้
1) f (x) 4x 7 2) f (x) 2x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) f (x) x3 4) f (x) 2
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) f (x) x 1 6) f (x) 1
x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้ ณ จดุ ทก่ี าหนดให้
1) f (x) x2 x ท่ี x 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งท่ี 3 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน 3-13
2) f (x) 2x3 1 ที่ x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) f (x) 1 ที่ x 1
x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. การหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชันพีชคณิตโดยใช้สตู ร
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยามในรูปของลิมิตน้ันค่อนข้างยุ่งยาก ดังน้ันเพ่ือให้การหาอนุพันธ์
สามารถทาได้สะดวกและรวดเร็ว ในหัวข้อนี้จะแสดงวิธีการหาสูตรท่ีใช้สาหรับหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ บาง
ฟังก์ชัน ซึ่งสามารถพิสูจน์สูตรเหล่านี้ได้โดยใช้บทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันท่ีได้กล่าวไปแล้ว
และสรุปเป็นสตู รดงั น้ี
สูตรท่ี 1 ถ้า f (x) c เม่อื c เป็นคา่ คงตวั แล้ว f (x) =……….
พสิ ูจน์ f (x) lim f (x h) f (x)
h0 h
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
จากสูตรท่ี 1 จะไดว้ า่ อนพุ ันธ์ของคา่ คงตวั เท่ากบั ศนู ย์
ตวั อย่างที่ 1 1) กาหนดให้ y 5 จะไดว้ ่า dy = ……….
2) กาหนดให้ f (x) 20
dx
จะได้ว่า f (x) = ……….
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน 3-14
สูตรที่ 2 ถา้ f (x) x เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั แล้ว f (x)=……….
พิสจู น์ f (x) lim f (x h) f (x)
h0 h
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
สูตรที่ 3 ถ้า f (x) xn เมื่อ n เป็นจานวนจรงิ แล้ว f (x) =……….
พิสูจน์ จะแสดงเฉพาะกรณีท่ี n เป็นจานวนเตม็ บวก เท่านนั้ จะได้ว่า
หมายเหตุ f (x) lim f (x h) f (x)
ตวั อยา่ งที่ 2 h0 h
วธิ ีทา
ตัวอยา่ งที่ 3 lim (x h)n xn
วิธีทา h0 h
ตวั อยา่ งท่ี 4
วธิ ีทา n xn n xn1h n xn2h2 ... n hn xn
0 1 2 n
lim
h0 h
nxn1h n xn2h2 ... hn
2
lim
h0 h
lim nx n1 n xn 2h ... h n1
2
h0
nxn1
ในกรณีที่ n เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ต้องใช้แคลคลู ัสระดบั สงู ในการพสิ จู นส์ ูตรท่ี 3
กาหนดให้ f (x) x3 จงหา f (x)
เนือ่ งจาก f (x) x3
จะได้ f (x)=……….……….……….………………………
กาหนดให้ y 1 จงหา dy
x5 dx
เนอ่ื งจาก y 1 =……….……….…………………………
x5
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
กาหนดให้ y x จงหา dy
dx
เน่อื งจาก y x =……….……….……………………………
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่องท่ี 3 อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน 3-15
สูตรท่ี 4 ถ้าฟังก์ชัน f และ g หาอนุพนั ธ์ได้ท่ี x แล้ว ( f g)(x) =………………………………………
พสิ จู น์ ให้ F(x) f (x) g(x) จะไดว้ า่
F(x) lim F(x h) F(x)
h0 h
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
จากสตู รท่ี 4 จะไดว้ า่ อนพุ ันธ์ของผลบวกของฟังก์ชันเท่ากับผลบวกของอนพุ นั ธ์
ตัวอยา่ งที่ 5 กาหนดให้ y x5 x3 จงหา dy
วธิ ีทา
dx
จาก y x5 x3
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
สูตรท่ี 5 ถ้าฟังกช์ ัน f และ g หาอนุพันธ์ได้ท่ี x แลว้ ( f g)(x)=………………………………………
พสิ ูจน์ ทานองเดยี วกบั การพิสจู น์สตู รที่ 4
จากสตู รที่ 5 จะไดว้ า่ อนพุ ันธข์ องผลตา่ งของฟังกช์ ันเท่ากับผลต่างของอนพุ ันธ์
ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ y x4 x2 จงหา dy
dx
วิธที า จาก y x4 x2
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
ขอ้ สังเกต จากสูตรที่ 4 และสูตรที่ 5 จะได้ว่า ถ้า y f (x) g(x) h(x) และสามารถหา f (x), g(x)
และ h(x) ได้ แลว้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
น่นั คือ จะขยายจานวนฟังก์ชันท่บี วกและลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันกไ็ ด้
ตวั อย่างท่ี 7 กาหนดให้ y x6 x3 x2 4 จงหา dy
วิธีทา
dx
จาก y x6 x3 x2 4
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-16
สูตรที่ 6 ถา้ c เป็นค่าคงตวั และฟังกช์ นั f หาอนุพนั ธไ์ ด้ท่ี x แลว้ cf (x) =……………………
พสิ จู น์ ให้ F(x) cf (x) จะไดว้ า่
F(x) lim F(x h) F(x)
h0 h
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
= ………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 8 กาหนดให้ y 3x2 2x จงหา dy
วิธีทา
dx
จาก y 3x2 2x
ดงั น้นั dy =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
ตวั อย่างที่ 9 กาหนดให้ f (x) 8x3 2x2 5x 7 จงหา f (1)
วิธีทา จาก y 8x3 2x2 5x 7
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดงั นน้ั f (1) =……….……….……….……….……….……….
ตวั อย่างที่ 10 กาหนดให้ f (x) 2x3 4x2 จงหาค่าของ x ที่ทาให้ f (x) 0
วธิ ีทา จาก f (x) 2x3 4x2
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ให้ f (x) 0
จะได้ ……….……….……….……….……….……….
……….……….……….……….……….……….
……….……….……….……….……….……….
น่นั คือ ……….……….……….……….……….……….
ดังนน้ั f (x) 0 เมอื่ .……….……….……….……….…………
กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 3 อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั 3-17
สูตรที่ 7 ถ้าฟังก์ชนั f และ g หาอนุพันธ์ไดท้ ่ี x แลว้ ( fg)(x) =………………………………………
พิสจู น์ เนือ่ งจาก ( fg)(x) f (x)g(x) จะไดว้ า่
( fg)(x) lim f (x h)g(x h) f (x)g(x)
h0 h
lim f (x h)g(x h) f (x h)g(x) f (x h)g(x) f (x)g(x)
h0 h
lim f (x h) g(x h) g(x) g ( x) f (x h) f (x)
h h
h0
lim f (x h) lim g(x h) g(x) lim g(x) lim f (x h) f (x)
h hh0
h0 h0 h0
= ………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 11 กาหนดให้ y (x2 5)(7x 4) จงหา dy
วิธที า
dx
จาก y (x2 5)(7x 4)
จะได้ dy =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
สตู รท่ี 8 ถ้าฟังก์ชนั f และ g หาอนุพนั ธ์ได้ที่ x แลว้ f (x) =………………………………………
g
พสิ จู น์ เนื่องจาก f f (x) จะได้ว่า
g ( x) g(x)
f lim f (x h) f (x)
g (x) h0 g(x h) g(x)
h
lim f (x h) g(x) f (x) g(x h)
h0 h g(x) g(x h)
lim f (x h) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x h) f (x) g(x)
h0 h g(x) g(x h)
g ( x) f (x h) f (x) f (x) g(x h) g(x)
h h
lim
h0 g(x) g(x h)
g(x) lim f (x h) f (x) f (x) lim g(x h) g(x)
h0 h h0 h
g(x) g(x h)
= ………………………………………………………………
กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 3-18
ตวั อย่างที่ 12 กาหนดให้ f (x) 2x 3 จงหา f (x)
วธิ ที า
2x 3
จาก f (x) 2x 3
2x 3
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
แบบฝกึ หดั
การหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน
พีชคณิตโดยใชส้ ูตร
1. จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั ตอ่ ไปนี้
1) y 4 2) y x3 x
3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) y x3 3x 8 4) y 3x2 x 2 x 1
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) s 4t5 3t2 t 8 6) s (4t2 t 1)(t 2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7) y x(x 1)(x 2) 8) y (4x x2)(x2 3)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9) y x(x2 1) 10) y x3 2
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั 3-19
11) y 3 12) y 1 3x
3x2 1
1 3x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13) s t(12 1 ) 14) y x5 3x2 5x 4
t2 x2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
15) s 5t6 t 3 16) y 1 1 (3x3 27)
x x2
t
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
17) y 4x 1 18) y 3x 2 ( x 5 1)
x2 5 x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
19) y 3 20) y (2x7 x2 ) x 1
x 1
x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันตอ่ ไปนี้ ณ จุดที่กาหนดให้
1) f (x) 2x3 1 ทีจ่ ุดซึ่ง x 1 2) f (x) 1 x5 1 x3 1 x2 4x 5 ทีจ่ ุดซ่งึ x 1
x 532
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน 3-20
3) f (x) (2x2 3x 1)(x x2) ทจี่ ดุ ซ่ึง x 1 4) y 2x 1 ที่จดุ ซ่งึ x 2
x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. กาหนดให้ f (4) 3 และ f (4) 5 จงหา g(4) เม่อื
1) g(x) x f (x) 2) g(x) f (x)
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. กาหนดให้ f (2) 1, f (2) 1, g(2) 2 และ g(2) 0 จงหา F(2) เมอ่ื
1) F(x) 2 f (x) 4g(x) 2) F(x) f (x) 3g(x)
g(x)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. จงหาพหุนามดีกรสี อง P(x) ax2 bx c ที่ P(1) 1, P(1) 1 และ P(0) 3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งท่ี 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั 3-21
4. อนุพนั ธอ์ นั ดบั สูง
จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผ่านมา จะพบว่า ถ้าให้ y f (x) เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้
แล้วจะได้ y f (x) เปน็ ฟังก์ชนั เช่นกัน ซึง่ จะสามารถนาฟงั กช์ ัน f ไปหาอนพุ ันธ์ตอ่ ไดอ้ กี ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดฟงั ก์ชัน f (x) 4x3 5x2 3x 2
วธิ ีทา
1) จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั f ท่ี x ใด ๆ
2) จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน f ท่ี x ใด ๆ
1) จาก f (x) 4x3 5x2 3x 2
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดังนนั้ อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน f ที่ x ใด ๆ คอื ……….……….……….……….……….……….
2) จาก f (x)=……….……….……….……….……….……….
จะได้ d f (x) =……….……….……….……….……….……….
dx
=……….……….……….……….……….……….
ดงั นั้น อนุพันธข์ องฟังก์ชัน f ที่ x ใด ๆ คือ……….……….……….……….……….……….
จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f สามารถนาไปหาอนุพันธ์ต่อไปได้อีก ซ่ึงจะเรียก
ผลลัพธ์นี้วา่ อนพุ ันธอ์ ันดบั ที่ 2 ดงั นยิ ามตอ่ ไปน้ี
บทนยิ าม ให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันที่สามารถหาอนพุ ันธไ์ ด้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เป็นฟังก์ชันที่
หาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ว่า อนุพันธ์อันดับท่ี 2 (Second
derivative) ของฟังกช์ นั f ที่ x และเขียนแทนด้วย f
จากบทนยิ าม ถ้าเขยี นอนพุ ันธ์อนั ดบั ที่ 2 ของ f ท่ี x ตามความหมายในรปู ของลิมิต จะไดด้ ังน้ี
f (x) =……….……….……….……….……….……….
นอกจากสัญลกั ษณ์ f (x) แลว้ ยังมีสัญลักษณ์อื่น ๆ ทีใ่ ช้แทนอนพุ นั ธอ์ ันดับที่ 2 ของ f ท่ี x เช่น
d2y d2 f (x) หรือ y
dx2 , dx2
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดฟังกช์ นั f (x) 2x2 3 2 จงหา f (x)
วิธที า
x
จาก f (x) 2x2 3 2
x
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
และ f (x) =……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดงั น้นั f (x) =……….……….……….……….……….……….
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั 3-22
ตวั อย่างที่ 3 กาหนดฟังกช์ นั f (x) x3 7x 8 จงหา f (x)
วิธที า จาก f (x) x3 7x 8
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
และ f (x) =……….……….……….……….……….……….
ดังน้ัน f (x) =……….……….……….……….……….……….
ในทานองเดยี วกัน เราสามารถกลา่ วถึงอนุพนั ธอ์ นั ดับอ่นื ไดด้ ังน้ี
อนพุ นั ธอ์ ันดับที่ 3 ของ f เป็นอนพุ นั ธข์ องอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ของ f
อนพุ ันธอ์ นั ดบั ที่ 4 ของ f เปน็ อนุพันธ์ของอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 3 ของ f
อนุพนั ธ์อันดับที่ n ของ f เปน็ อนพุ นั ธ์ของอนุพนั ธอ์ ันดับที่ n 1 ของ f
และเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ดงั น้ี
อนุพนั ธอ์ ันดับท่ี 3 ของ f ท่ี x เขยี นแทนดว้ ย....................................................................................
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 4 ของ f ที่ x เขยี นแทนดว้ ย....................................................................................
อนพุ ันธ์อนั ดบั ท่ี n ของ f ที่ x เขียนแทนดว้ ย....................................................................................
ตัวอย่างท่ี 4 จงหาอนุพนั ธ์อันดับท่ี 3 ของ f (x) 6x4 7x3 2x2 8
วธิ ีทา จาก f (x) 6x4 7x3 2x2 8
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
ตวั อย่างท่ี 5
วิธที า f (x) =……….……….……….……….……….……….
ดังน้ัน f (x)=……….……….……….……….……….……….
จงหาอนพุ ันธอ์ ันดับท่ี 4 ของ f (x) 4x3 3x2 5x 9
จาก f (x) 4x3 3x2 5x 9
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
f (x) =……….……….……….……….……….……….
f (x)=……….……….……….……….……….……….
ดงั นน้ั f (4)(x)=……….……….……….……….……….……….
ตัวอยา่ งที่ 6 จงหา f (1) ของ f (x) 1
วธิ ีทา
x
จาก f (x) 1
x
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
f (x) =……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดังนน้ั f (1) =……….……….……….……….……….……
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ืองที่ 3 อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั 3-23
แบบฝกึ หัด
อนุพนั ธอ์ นั ดบั สูง
1. จงหาอนุพันธ์อนั ดับท่ี 2 ของฟังก์ชันตอ่ ไปนี้
1) f (x) 5x2 4x 2 2) f (x) 5 2x 4x3 3x5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) f (x) 3x4 2x x 6 4) f (x) 3 x 2 4x2
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) f (x) (5x2 3)(7x3 x) 6) f (x) x 1
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาอนุพันธ์อันดบั ที่ 3 ของฟงั ก์ชันต่อไปน้ี 2) f (x) 5x2 4x 7
1) f (x) x5 x5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) f (x) 3x3 4x1 x 4) f (x) x
x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 3 อนุพันธข์ องฟังก์ชัน 3-24
5. อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ
ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Composite function) ซึ่งเรียกกฎในการหา
อนพุ ันธ์น้ีกว่า “กฎลกู โซ่ (Chain rule)”
สูตรที่ 9 ถ้า f หาอนพุ นั ธไ์ ด้ท่ี x และ g หาอนุพันธ์ได้ท่ี f (x) แลว้
(g f )(x) =……….……….……….……….……….……….
จากสูตรท่ี 9 สามารถเขยี นไดอ้ ีกรูปแบบหนงึ่ ดังน้ี
ถ้าให้ u f (x) และให้ y (g f )(x) จะได้ y g( f (x)) g(u)
ดังน้นั dy (g f )(x) =……….……….……….……….……….……….
dx
g(u) f (x)
d g(u) du
du dx
dy du
du dx
นนั่ คือ ถ้า y เปน็ ฟงั กช์ นั ของ u และ u เป็นฟังกช์ ันของ x และหา dy และ du ได้ แลว้
du dx
dy dy du
dx du dx
ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ f (x) (3x 2)4 จงหา f (x)
วธิ ีทา
ให้ u 3x 2
ดงั นั้น y f (x) (3x 2)4 =……….……….……….……….……….……….
โดยกฎลกู โซ่ จะได้ dy dy du
dx du dx
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดงั นน้ั f (x)=……….……….……….……….……….……….
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ y 1 x2 จงหา dy
วธิ ีทา
dx
ให้ u 1 x2
ดังน้ัน y 1 x2 =……….……….……….……….……….……….
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ dy dy du
dx du dx
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดงั นน้ั dy =……….……….……….……….……….……….
dx
กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่องท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั 3-25
ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนดให้ y 1 จงหา dy
วิธีทา (2x 1)2 dx x1
ให้ u 2x 1
ดงั นนั้ y 1 =……….……….……….……….……….……….
(2x 1)2
โดยกฎลกู โซ่ จะได้ dy dy du
dx du dx
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดังนน้ั dy =……….……….……….……….……….……….
dx x1
ตัวอยา่ งท่ี 4 ให้ F(x) f (g(x)) และ f (x) x g(x)
วธิ ีทา
จงหา F(3) เมือ่ g(1) 3, g(3) 1, g(1) 4 และ g(3) 5
เนอ่ื งจาก f (x) x g(x)
จะได้ f (x)=……….……….……….……….……….……….
เน่อื งจาก F(x) f (g(x))
โดยกฎลกู โซ่ จะได้ F(x) =……….……….……….……….……….……….
และ F(3) =……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
=……….……….……….……….……….……….
ดงั นัน้ F(3) =……….……….……
แบบฝกึ หดั
อนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั ประกอบ
1. จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้
1) y (2x 3)3 2) y (1 3x)4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนุพันธข์ องฟังกช์ นั 3-26
3) y (3 4x2)4 4) y (4x2 3x 2)3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) y (x3 3x)4 6) y 1 2x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7) y 3x2 4 8) y 3 x2 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9) y 1 10) y 1
(x2 3x 2)2 x2 2x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. กาหนดให้ F(x) f (g(x)) จงหา F(2) เม่อื g(2) 4, g(2) 5, f (2) 6 และ f (4) 9
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน 3-27
3. กาหนดให้ F(x) f (g(x)) และ f (x) g(x) จงหา F(2) เม่อื g(2) 3, g(3) 2, g(2) 9
x
และ g(3) 9
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. เสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง
บทนิยาม
กาหนดเสน้ โค้งซ่งึ เปน็ กราฟของฟงั ก์ชนั y f (x) และจดุ P(a, f (a)) เป็นจดุ บนเส้นโค้ง
เสน้ สัมผสั เส้นโคง้ ที่จุด P(a, f (a)) คอื เสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด P และมคี วามชนั เท่ากับ f (a)
จะเรยี กความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ทจี่ ดุ P ว่า ความชนั ของเสน้ โค้งทจ่ี ดุ P
จากความรู้เรื่องสมการของเส้นตรง ถ้า L เป็นเส้นตรงท่ีผ่านจุด P(x1, y1) และมีความชันเท่ากับ m
แล้ว สมการของเสน้ ตรง L คอื ……….……….……….……….……….……………………………………………………………………….
เสน้ ตรงสองเสน้ ต้ังฉากกนั กต็ ่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงท้ังสองเท่ากบั ………………………………..
เส้นตรงสองเสน้ ขนานกัน ก็ตอ่ เม่ือ ความชันของเส้นตรงทง้ั สอง…………………………………………………………..
ดังน้ัน ถ้ากาหนดสมการเส้นโค้ง y f (x) โดยมีจุด P(x1, y1) อยู่บนเส้นโค้ง ซ่ึงทาให้หาค่า f (x1)
ไดแ้ ล้ว เราสามารถหาสมการของเสน้ สัมผสั ท่ีสมั ผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด P ได้ด้วยวิธีการตอ่ ไปนี้
Y y = f(x)
เส้นสัมผัสท่จี ุด P
P(x1, y1)
X
1) หาความชันของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งท่จี ดุ P ซ่ึงเทา่ กับ …………………
2) หาสมการเสน้ สัมผสั ท่จี ุด P โดยใชส้ ตู ร
……….……….……….……….……….…………………….
กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน 3-28
ตัวอย่างท่ี 1 จงหาความชันของเสน้ โคง้ y x3 2 ทีจ่ ุด (1,1)
วธิ ที า จาก y f (x) x3 2
จะได้ ความชันของเสน้ โคง้ ท่ีจุด (x, y) ใด ๆ เทา่ กับ f (x) = …………………………
เม่อื แทนค่า x 1 จะได้ f (1) = …………………………
ดงั น้นั ความชนั ของเสน้ โคง้ ที่จุด (1,1) เทา่ กับ …………………………
ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดฟังก์ชนั y x 2x2 เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหา
วิธีทา 1) ความชันของเส้นโคง้ ทีจ่ ุด (1,1)
2) สมการของเส้นสมั ผสั เส้นโค้งทีจ่ ุด (1,1)
1) จาก y f (x) x 2x2
จะได้ ความชนั ของเสน้ โค้งทจี่ ดุ (x, y) ใด ๆ เทา่ กบั f (x) = …………………………
เม่ือแทนคา่ x 1 จะได้ f (1) = …………………………
ดงั นน้ั ความชันของเสน้ โค้งทจ่ี ุด (1,1) เทา่ กบั …………………………
2) สมการของเส้นตรงที่ผา่ นจุด (x1, y1) และมีความชนั เท่ากบั m คือ ………………………………
เน่ืองจาก เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1,1) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (1,1) และมีความชัน
เท่ากับ..................ดงั นนั้ สมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทีจ่ ดุ (1,1) คือ
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเส้นโค้ง y 1 x3 x2 3x 4 ที่ x 3
วธิ ที า
3
จาก y f (x) 1 x3 x2 3x 4
3
จะได้ ความชันของเส้นโค้งทีจ่ ุด (x, y) ใด ๆ เทา่ กบั f (x) = ……………………………….
เม่ือแทนค่า x 3 จะได้ f (3) = ……………………………….
ดงั นัน้ ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้งที่จดุ x 3 เทา่ กับ ……………………………….
และเม่ือแทนคา่ x 3 ใน y 1 x3 x2 3x 4 จะได้ y f (3) = ……………………………..
3
นนั่ คือ เส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ที่ x 3 เปน็ เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด.....................และมคี วามชนั เป็น..............
ดงั นัน้ สมการของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งท่ี x 3 คือ
……………………………….……………………………….……………………………….
……………………………….……………………………….……………………………….
……………………………….……………………………….……………………………….
กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ งท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังกช์ ัน 3-29
แบบฝึกหดั
เส้นสัมผสั เส้นโคง้
1. จงหาความชนั ของเสน้ โค้งต่อไปนี้ ณ จุดทก่ี าหนดให้ และหาสมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง ณ จุดนน้ั
1) y x2 3x ทจ่ี ดุ (3,0)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) y x x2 ที่จุดซงึ่ x 1
2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) y x2 2 ทจี่ ดุ ซึ่ง x 1
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) y 3 3x2 4 ที่จุด (2, 2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน 3-30
2. ถ้าเสน้ ตรง y ax ขนานกบั เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y 3x2 8 ทจ่ี ุด (1,11) แลว้ จงหา a
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ถ้าเส้นตรงเส้นหน่งึ มีความชันเป็น 3 และสมั ผัสเส้นโคง้ y x2 x ทีจ่ ดุ (a,b) แลว้ จงหา a b
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. จงหาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (2,3) และขนานกับเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง y x3 ทจ่ี ุด (1,1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. จงหาจดุ บนเสน้ โคง้ y x3 3x ทง้ั หมดท่ีทาใหเ้ สน้ สัมผัสเส้นโค้งทีจ่ ดุ น้ขี นานกบั แกน X
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่องที่ 3 อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน 3-31
7. การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์
7.1 การเคลอ่ื นที่แนวตรง
ในการเคล่ือนท่ีของวัตถุในแนวเส้นตรง มีปริมาณ 3 ชนิดที่เกี่ยวข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหน่งของวัตถุ
ความเร็วของวัตถุ และความเรง่ ของวตั ถุ
การเคล่ือนที่ของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน y s(t) โดยท่ี s(t) คือตาแหน่งของวัตถุ ณ ขณะ
เวลา t ใด ๆ
ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ณ
ขณะเวลา t นน่ั คือ ความเร็ว v เป็นอนุพันธ์ของ s เทียบกับ t ดังน้ัน v เป็นฟังก์ชันของเวลา t
กาหนดโดย
v(t) s(t) lim s(t h) s(t)
h0 h
จะเหน็ วา่ ความเร็ว v เป็นฟังก์ชนั ของเวลา t
ในทานองเดียวกัน
ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว v เทียบกับ
t ณ ขณะเวลา t นั่นคอื ความเร่ง a เป็นอนพุ นั ธ์ของ v เทยี บกับ t นัน่ คอื
a(t) v(t) s(t)
ดงั น้นั ความเร่งคืออนพุ นั ธ์อันดับท่ี 1 ของฟังก์ชนั ความเรว็ v และเปน็ อนพุ นั ธ์อันดบั ท่ี 2 ของฟงั กช์ นั ตาแหนง่ s
ความสมั พันธ์ระหวา่ งสมการการเคลอ่ื นท่ี ความเรว็ และความเรง่
สมการการเคลือ่ นท่ี y s(t) ความเร่ง a(t) v(t) s(t)
อนุพนั ธ์ ความเร็ว v(t) s(t) อนพุ ันธ์
ข้อควรรู้ 1. เน่อื งจาก ความเรว็ คือ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของระยะทางเมื่อเทียบกบั เวลา ดังน้ัน
ความเร็วตอ้ งมหี น่วยเป็น …………………………………………………
2. เนอื่ งจาก ความเร่ง คอื อตั ราการเปลีย่ นแปลงของความเร็วเม่ือเทียบกับเวลา ดังนั้น ความเร่ง
ตอ้ งมีหน่วยเป็น ความเร็ว/เวลา หรือ (ระยะทาง/เวลา)/เวลา ซึ่งกค็ อื …………………………………………………
3. ความเร็วและความเร่ง ต่างก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ ท่ีมีทั้งขนาดและทิศทางเข้ามาเกี่ยวข้องซึ่ง
แสดงได้ดว้ ยเครอ่ื งหมาย
4. อัตราเรว็ เป็นปริมาณสเกลาร์ มีค่าเทา่ กบั ขนาดของความเรว็
5. อตั ราเรง่ เป็นปริมาณสเกลาร์ มคี ่าเท่ากับขนาดของความเร่ง
กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ งที่ 3 อนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั 3-32
ตัวอยา่ งท่ี 1 ถา้ วตั ถชุ น้ิ หนึง่ เคลอ่ื นท่ีในแนวราบไดร้ ะยะทาง s(t) t2 t เมตร ขณะเวลา t วินาที จงหา
วิธีทา
1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหน่งเรม่ิ ต้น ขณะเวลา 10 วินาที
2) ความเรว็ ของวตั ถขุ ณะเวลา 10 วนิ าที
3) ความเร่งของวตั ถขุ ณะเวลา 10 วินาที
จาก s(t) t2 t
จะไดว้ า่ v(t) s(t) ……………………………………………………
และ a(t) v(t) ……………………………………………………
1) ระยะหา่ งของอนภุ าคจากตาแหน่งเรมิ่ ตน้ ขณะเวลา 10 วนิ าที
คอื | s(10) s(0) |………………………………………………………….…………………เมตร
2) ความเรว็ ของอนุภาคขณะเวลา 10 วนิ าที คือ v(10) …………………………….เมตรตอ่ วินาที
3) ความเร่งของอนภุ าคขณะเวลา 10 วินาที คือ a(10) …………………………….เมตรตอ่ วินาที2
จากตัวอย่างข้างต้น ขณะเวลา 10 วินาที ความเร็วและความเร่งของวัตถุเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า
วตั ถกุ าลังเคลอ่ื นท่ีไปทางขวาและมีความเร็วเพ่ิมขน้ึ
ตัวอย่างที่ 2 ซาร่าโยนวัตถุข้ึนในแนวด่ิง ถ้าตาแหน่งของวัตถุหลังจากโยนวัตถุไปแล้ว t วินาที หาได้จาก
วิธีทา s(t) 30t 5t2 เมตร จงหา
1) ระยะหา่ งของวตั ถุจากตาแหน่งเร่มิ ต้น หลังจากโยนวตั ถุไปแลว้ 5 วนิ าที
2) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 2 วินาที
3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 2 วินาที
จาก s(t) 30t 5t2
จะได้ว่า v(t) s(t) ……………………………………………………
และ a(t) v(t) ……………………………………………………
1) ระยะหา่ งของวัตถุจากตาแหนง่ เริม่ ตน้ หลังจากโยนวัตถไุ ปแล้ว 5 วินาที
คอื | s(10) s(0) |………………………………………………………….………………..เมตร
2) ความเรว็ ของอนภุ าคขณะเวลา 2 วินาที คอื v(10) …………………………….เมตรตอ่ วินาที
3) ความเร่งของอนภุ าคขณะเวลา 2 วินาที คือ a(10) …………………………….เมตรตอ่ วินาที2
จากตัวอย่างข้างต้น ขณะเวลา 2 วินาที ความเร็วของวัตถุเป็นจานวนจริงบวก แต่ความเร่งของวัตถุเป็น
จานวนจริงลบ แสดงวา่ วัตถกุ าลงั เคลอ่ื นทข่ี ึ้น แตม่ ีความเรว็ ลดลง
กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ งที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน 3-33
แบบฝกึ หัด
การเคร่ืองทีแ่ นวตรง
1. ให้ s(t) 2t3 t 5 เป็นฟังก์ชนั แสดงตาแหน่งของวตั ถุที่เคล่ือนที่ไดใ้ นแนวตรง (มหี น่วยเปน็ เมตร) ขณะ
เวลา t วนิ าที จงหา
1) ระยะหา่ งของวัตถุจากตาแหนง่ เริ่มต้น ขณะเวลา 1 วนิ าที
2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. กาหนดให้ของวัตถุท่ีเคล่ือนที่ได้ในแนวตรง ถ้าตาแหน่งของวัตถุ (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา t วินาที หาได้
จาก s(t) t3 3t2 t 5 จงหา
1) ระยะห่างของวัตถจุ ากตาแหน่งเรม่ิ ต้น ขณะเวลา 1 วินาที
2) ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 1 วนิ าที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วนิ าที
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั 3-34
3. ไบร์ทปล่อยวัตถุจากท่ีสูงลงสู่พื้นดิน ถ้าตาแหน่งของวัตถุ (มีหน่วยเป็นเมตร) หลังจากปล่อยวัตถุไปแล้ว t
วินาที หาได้จาก s(t) 5t2 50 จงหา
1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เร่มิ ต้น หลังจากปล่อยวัตถไุ ปแลว้ ขณะเวลา 3 วินาที
2) ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 3 วนิ าที
3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 5 วินาที
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. บาสโยนก้อนหินไปในแนวด่ิง ถ้าตาแหน่งของก้อนหิน (มีหน่วยเป็นเมตร) หาได้จาก s(t) 10t 5t2 เมื่อ t
แทนระยะเวลาตง้ั แตเ่ รมิ่ ต้นโยนกอ้ นหิน (มีหน่วยเป็นวนิ าที๗ จงหา
1) ความเร็วของกอ้ นหิน ขณะเวลา t ใด ๆ
2) ความเร่งของก้อนหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ
3) เมื่อเวลาผา่ นไปนานเท่าใด กอ้ นกนิ จงึ จะอยู่ในตาแหน่งทสี่ ูงท่สี ุดจากตาแหน่งเร่ิมตน้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพันธ์ของฟังกช์ ัน 3-35
7.2 ค่าสงู สดุ และค่าต่าสุดของฟังกช์ ัน
ในหวั ข้อน้จี ะกลา่ วถึงการใช้ความรู้เร่อื งอนุพันธใ์ นการหาค่าสงู สุดและคา่ ต่าสุดของฟังกช์ ัน กล่าวคือ เมื่อ
กาหนดฟังก์ชนั ในรปู y f (x) แลว้ ตอ้ งกาหาคา่ ของ x ทที่ าให้ y มคี ่าสงู สดุ หรอื คา่ ต่าสุด
สาหรับฟังก์ชันกาลังสอง การหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดอาจทาได้โดยใช้วิธีกาลังสองสมบูรณ์ดังท่ีได้ศึกษา
มาแลว้ เชน่
กาหนด y x2 12x จะได้
y (x2 12x 36) 36 (x 6)2 36
เมอ่ื แทน x 6 ทาให้ (x 6)2 0 ดังนัน้ y จึงมีคา่ ต่าสุดเท่ากบั 36 เมือ่ x 6
สาหรับฟังก์ชันท่ัวไป การหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดสามารถทาได้โดยใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และใช้ความรู้เร่ืองฟงั ก์ชนั เพิ่มและฟงั กช์ นั ลดทีไ่ ด้ศกึ ษามาแลว้ ในเร่ืองฟังก์ชนั ดังน้ี
กาหนดให้ f เป็นฟงั กช์ ันซ่ึงมีโดเมนแลเรนจเ์ ปน็ สับเซตของเซตของจานวนจริง และ A เป็นสับเซตของ
โดเมน
f เปน็ ฟังกช์ นั เพ่ิม (Increasing function) บนเซต A กต็ อ่ เมอื่ สาหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A
ถา้ x1 x2 แลว้ f (x1) f (x2)
f เป็นฟังกช์ ันลด (Decreasing function) บนเซต A กต็ อ่ เมือ่ สาหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A
ถา้ x1 x2 แลว้ f (x1) f (x2)
พิจารณากราฟของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้ y f (x)
นลด
ฟงั กช์ ันลด
ฟังกช์ นั เพม่ิ ฟังก์ชันเพิม่
จากรูป จะพบว่า ในบางช่วง f ฟังกช์ นั ลด และในบางช่วง f ฟังกช์ นั เพิ่ม
พิจารณาความชนั ของเส้นสัมผสั เส้นโค้งซึง่ เป็นกราฟของฟังก์ชนั เพิม่ หรือฟังกช์ นั ลด ดังต่อไปนี้
YY
y f (x) y f (x)
f (x) 0 f (x) 0
0X 0X
รูปท่ี 1 ฟังก์ชันเพ่มิ
จากรูปที่ 1 แสดงกราฟของฟังก์ชันเพ่ิม เนื่องจากเมื่อ x เพิ่มข้ึน ค่าของ f (x) จะเพ่ิมขึ้นด้วย และจะ
เห็นวา่ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จุดใด ๆ บนเสน้ โค้งเปน็ จานวนบวก น่นั คือ……………………………………..
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื งที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3-36
YY
f (x) 0 f (x) 0
0 y f (xX) 0 y f (x) X
รปู ที่ 2 ฟังกช์ ันลด
จากรูปที่ 2 แสดงกราฟของฟังก์ชันลด เน่ืองจากเม่ือ x มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของ f (x) จะลดลง และจะเห็น
วา่ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ณ จุดใด ๆ บนเส้นโคง้ เป็นจานวนลบ นั่นคือ……………………………………..
จากความรู้ข้างต้นนี้ เม่ือพิจารณากรณีท่ัว ๆ ไป การพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ
ฟงั ก์ชนั ลดบนชว่ งใดบา้ ง อาจทาไดโ้ ดยพิจารณาจากค่าของความชนั ของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง ดงั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี
ทฤษฎีบท ให้ f เปน็ ฟังก์ชันทหี่ าอนพุ นั ธ์ไดบ้ นชว่ ง A ซง่ึ เป็นสับเซตของโดเมนของฟังก์ชนั f
1) ถา้ f (x) 0 สาหรับทกุ x ในช่วง A แล้ว f จะเปน็ ฟังกช์ ัน...............บนช่วง A
2) ถา้ f (x) 0 สาหรบั ทกุ x ในช่วง A แลว้ f จะเปน็ ฟังกช์ ัน...............บนชว่ ง A
ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ f (x) 2x3 3x2 12x 4
วธิ ที า 1) จงหาชว่ งท่ีทาให้ f เปน็ ฟังกช์ ันเพมิ่
2) จงหาชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟังก์ชนั ลด
จาก f (x) 2x3 3x2 12x 4
จะได้ f (x) ..................................................
..................................................
ดงั นน้ั f (x) 0 เมื่อ x =................ หรือ x =................
พจิ ารณาคา่ ของ f (x) โดยเขยี นเส้นจานวนและจดุ แบ่งชว่ ง ดงั น้ี
f (x) 0 f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
-1 2
จะได้ว่า f (x) 0 บน..................................................
และ f (x) 0 บน..................................................
ดงั นัน้ f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนชว่ ง................................................................
และ f เปน็ ฟังกช์ ันเพ่ิมลดชว่ ง................................................................
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ งท่ี 3 อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั 3-37
แบบฝึกหดั
ฟังก์ชนั เพิม่ และฟงั ก์ชันลด
จากฟังกช์ ันท่กี าหนดให้ จงระบุช่วงทฟ่ี งั ก์ชนั เปน็ ฟงั กช์ นั เพ่ิมและช่วงทฟี่ ังกช์ นั เป็นฟงั ก์ชันลด
1) f (x) 3 2x x2 2) f (x) 2x2 x 3
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
3) f (x) x3 x2 8x 4) f (x) 2x3 3x2 36x 5
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
ต่อไปจะนาความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากทฤษฎีบทข้างต้นไปใช้ในการพิจารณาค่าสูงสุดและค่า
ต่าสุดของฟังก์ชัน แต่ก่อนท่ีจะพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชัน ควรรู้จักค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุด
สัมพทั ธ์ ดังนี้
บทนยิ าม
ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x c ถ้ามีช่วง (a,b) ซึ่ง c(a,b) และ f (c) f (x)
สาหรับทุก x ในโดเมนของฟังก์ชัน f ท่ีอยู่ช่วง (a,b) เรียก f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative
maximum) ของฟังกช์ นั f และเรียกจุด (c, f (c)) วา่ จดุ สูงสดุ สมั พทั ธ์ฟงั ก์ชนั f
ฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x c ถ้ามีช่วง (a,b) ซ่ึง c(a,b) และ f (c) f (x)
สาหรับทุก x ในโดเมนของฟังก์ชัน f ที่อยู่ช่วง (a,b) เรียก f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ (Relative
minimum) ของฟงั ก์ชนั f และเรียกจดุ (c, f (c)) วา่ จุดต่าสุดสัมพัทธฟ์ ังกช์ นั f
กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื งท่ี 3 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั 3-38
พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้
รูปที่ 3
จากรปู ท่ี 3 จะเหน็ ว่า จดุ B และ D เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ สว่ นจดุ A,C และ E เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์
กลา่ วคอื A(a, f (a)) จดุ ตา่ สุดสัมพทั ธ์ B(b, f (b)) จดุ สูงสุดสมั พทั ธ์
C(c, f (c)) จดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ D(d, f (d)) จดุ สูงดสมั พทั ธ์
E(e, f (e)) จุดตา่ สดุ สัมพัทธ์
ตอ่ ไปพจิ ารณากราฟของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้
Y f (c) 0
f (x) 0 f (x) 0
0a c b X
รูปที่ 4
จากรูปท่ี 4 จะเห็นว่าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x c เน่ืองจากมีช่วง (a,b) ซ่ึง c(a,b) และ
f (c) f (x) สาหรับทุก x ในโดเมนของฟงั กช์ ัน f ที่อยู่ช่วง (a,b)
สังเกตว่า f เปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ บนช่วง (a,c) และฟังกช์ นั f เปน็ ฟังก์ชันลดบนชว่ ง (c,b) ซึ่งกล่าวได้ว่า
ถ้า f (x) 0 เม่ือ x น้อยกว่า c เล็กน้อย และ f (x) 0 เม่ือ x มากกว่า c เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน f มี
ค่าสูงสดุ สัมพทั ธท์ ี่ x c และสังเกตว่า f (c) 0
ในทานองเดยี วกัน เมอื่ พจิ ารณากราฟของฟังกช์ นั f ซึง่ มีค่าตา่ สดุ สัมพทั ธท์ ี่ x c ดงั รูปที่ 5
Y
f (x) 0 f (x) 0
f (c) 0 X
0a c b
รูปที่ 5
จากรปู ที่ 5 จะเห็นว่าฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี x c เนื่องจากมีช่วง (a,b) ซึ่ง c(a,b) และ
f (c) f (x) สาหรับทุก x ในโดเมนของฟังกช์ นั f ทีอ่ ยู่ช่วง (a,b)
สังเกตว่า f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (a,c) และฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (c,b) น่ันคือ ถ้า
f (x) 0 เม่ือ x น้อยกว่า c เล็กน้อย และ f (x) 0 เม่ือ x มากกว่า c เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน f มีค่า
ตา่ สุดสัมพทั ธ์ท่ี x c และสังเกตว่า f (c) 0
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ืองท่ี 3 อนุพันธข์ องฟังก์ชนั 3-39
ดังน้ัน ถ้า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของ f และ f (c) มีค่า แล้ว f (c) 0
ซ่ึงสรปุ เป็นทฤษฎีบทไดด้ งั น้ี
ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันท่ีนิยามบนช่วง (a,b) และ c(a,b) ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุด
สัมพทั ธ์หรอื ค่าตา่ สุดสัมพัทธ์ที่ x c และ f (c) มีค่า แล้ว f (c) 0
บทนิยาม
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง (a,b) เรียกจานวนจริง c(a,b) ซ่ึงทาให้ f (c) 0 หรือ
f (c) ไมม่ คี า่ วา่ ค่าวกิ ฤต (Critical value) ของฟังก์ชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) ว่าเป็น จุดวิกฤต
(Critical point) ของฟังกช์ ัน f
หมายเหตุ ในที่น้จี ะกลา่ วถึงเฉพาะฟังกช์ นั ท่ีมเี พยี งคา่ วิกฤต c ซง่ึ f (c) 0 เทา่ นัน้
โดยจะไม่พิจารณาฟังกช์ ันทมี่ ีเพียงคา่ วิกฤต c ซง่ึ f (c) ไม่มีคา่
ในการหาค่าสูงสุดสมั พัทธ์หรอื คา่ ตา่ สุดสมั พทั ธ์ของฟังก์ชัน เราสามารถใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการหาได้
ซึง่ วิธีหามี 2 วิธดี ังตอ่ ไปนี้
1. โดยใช้อนพุ นั ธ์อันดบั ท่ี 1
2. โดยใช้อนุพนั ธ์อันดบั ที่ 2
1. การหาค่าสงู สดุ สัมพทั ธ์หรอื คา่ ตา่ สดุ สมั พัทธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้อนุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ี 1
จากทฤษฎบี ทข้างต้น ถา้ f (c) 0 แล้ว f (c) จะไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ดังน้ันใน
การหาคา่ สูงสดุ สัมพทั ธ์หรอื ค่าต่าสดุ สมั พทั ธ์ของฟังกช์ ัน y f (x) มขี ้ันตอนดงั น้ี
1) หาคา่ วิกฤต c ซง่ึ f (c) 0 ก่อน
2) จากน้ันจึงพิจารณาว่า เม่ือ x เปลี่ยนจาก x c เป็น x c แล้วค่าของ f (x) เปลี่ยน
จากจานวนจรงิ บวกเปน็ จานวนจรงิ ลบ หรือเปลยี่ นจากจานวนจริงลบเปน็ จานวนจริงบวก หรือไม่
2.1) ถ้าคา่ ของ f (x) เปลีย่ นจากจานวนจรงิ บวกเป็นจานวนจรงิ ลบ แสดงวา่ c เปน็ ค่าวิกฤตที่ทาให้
ฟังกช์ ันมี……………………………………………………………………………………………………………………………ดังรูปที่ 6
Y f (c) 0
f (x) 0 f (x) 0
0 รcปู ท่ี 6 X
2.2) ถ้าคา่ ของ f (x) เปลีย่ นจากจานวนจรงิ ลบเปน็ จานวนจรงิ บวก แสดงวา่ c เป็นคา่ วกิ ฤตที่ทาให้
ฟงั ก์ชนั มี……………………………………………………………………………………………………………………………ดงั รูปที่ 7
Y
f (x) 0 f (x) 0
f (c) 0
0c X
รปู ท่ี 7
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Home
Explore
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201
View in Fullscreen
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search