คลังข้อสอบ การประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (TME) ประจำปี 2553-2556

คลงั ข้อสอบ TME ปี 2553-2556

คณิตศาสตร์ ม.ต้น

รวบรวมโดย
ครคู รรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพืน้ ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ





เป็นคา่ ๆ หน่ึง
อกี คร้ัง
นำผลลพั ธใ์ หม่ทีไ่ ดไ้ ปแทนค่าเช่นนต้ี ่อไปเรอ่ื ย ๆ

31 มกราคม
3 21

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2554 (TME)

ชื่อ – นามสกุล โรงเรียน
ช้นั

คาส่ัง ข้อสอบมที ้งั หมด 4 หน้า จานวน 30 ข้อ ขอ้ 5. ถา้ x 2, y 3 แลว้ 2(3x y) 3(x 3y) มคี ่าเท่ากบั
ให้เขยี นตวั เลขและระบายคาตอบ ลงในกระดาษคาตอบ เท่าใด

ขอ้ 1. นาย A นึกจานวนสามจานวนซ่ึงมีค่าเท่ากบั 1, 2 และ a 3 ขอ้ 6. ถา้ สมการ 3x 3 2x 2 และสมการ ax 6 3x 14
ส่วนนาย B นึกจานวนสามจานวนซ่ึงมคี ่าเท่ากบั 2, 3 และ b 4 มีคาตอบเท่ากนั แลว้ ค่าคงตวั a จะมีค่าเท่ากบั เท่าใด
จานวนที่นาย A และนาย B นึกตรงกนั มีสองจานวน คือ 2 และ 3
จานวนที่นาย B นึกแต่นาย A ไม่ไดน้ ึก มีเพียงจานวนเดียว คือ 6
จงหาค่าของ a b

ขอ้ 2. จงแสดงผลลพั ธข์ อง 101112 1012 เป็ นจานวนในระบบ ขอ้ 7. กาหนด y ax 4 เม่ือ a เป็นค่าคงตวั
เลขฐานสิบ ถา้ x 1 จะได้ y 2
ถา้ x 5 จะได้ y m
ถา้ x 1 จะได้ y n
จงหาค่าของ m n

ขอ้ 3. 32 3 3 มีค่าเท่ากบั เท่าใด

2 5

ขอ้ 8. จากตารางต่อไปน้ี แสดงค่าเฉลี่ยของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์
ของนกั เรียน 2 กลุ่ม ซ่ึงมีนกั เรียนรวมกนั 20 คน จงหาวา่ ค่าเฉลี่ย
คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนท้งั หมดมคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 4. ถา้ a คือจานวนท่ีมีค่านอ้ ยกว่า 4 อยู่ 8 กลุ่ม จานวนนกั เรียน ค่าเฉลยี่
กลุ่มท่ี 1
และ b คือจานวนท่ีเป็ นส่วนกลบั ของ 2 2 กลุ่มท่ี 2 8 62
3 12 72
รวม 20 ?
จงหาค่าของ a b

สนบั สนุนโดย

TME มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 1 ขอ้ 13. กาหนด a เป็นคาตอบของสมการ

ขอ้ 9. จากรูปต่อไปน้ี ถา้ เสน้ ตรง l ขนานกบั เสน้ ตรง m แลว้ 3(2x 5) 4( 3x 2) 5(2x 7)
จงหาค่าของ x y
จงหาค่าของ 2a 3

ขอ้ 10. จากรูปทรงส่ีเหล่ยี มมุมฉากต่อไปน้ี ขอ้ 14. กาหนดจานวนนบั สองหลกั จานวนหน่ึง ซ่ึงมีสมบตั ิว่า
a เป็นจานวนของเสน้ ขอบที่ขนานกบั เสน้ ขอบ AB จำนวนนบั สำมหลกั ที่ได้จำกกำรเติม 6 ไว้ทำงขวำสุดของจำนวนนบั
และ b เป็ นจานวนเสน้ ขอบท่ีไม่ขนานและไมพ่ บกบั เสน้ ขอบ AB ท่ีกำหนด จะมคี ่ามากกว่า จำนวนนบั สำมหลักท่ีได้จำกกำรเติม 6 ไว้
จงหาค่าของ a 2b ทำงซ้ำยสุดของจำนวนนับที่กำหนด อยู่ 54
จงหาวา่ จานวนนบั สองหลกั ที่กาหนดให้น้ีคือจานวนใด

ขอ้ 11. นกั เรียนห้องหน่ึงมี 48 คน ขอ้ 15. ตอ้ งการเตรียมน้าเกลอื ท่ีมคี วามเข้มขน้ 15% ปริมาณ 800 g
มี 16 คน ชอบเลน่ ฟตุ บอล โดยผสมน้าเกลอื ที่มคี วามเขม้ ขน้ 9% ปริมาณ 500 g กบั
มี 20 คน ชอบเล่นแบดมินตนั น้าเกลือท่ีมีความเขม้ ขน้ x% ปริมาณหน่ึง
มี 10 คน ชอบเลน่ ฟุตบอล แต่ไม่ชอบเล่นแบดมนิ ตนั จงหาวา่ x มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
จงหาว่ามีนกั เรียนกคี่ นท่ีไม่ชอบเลน่ ฟุตบอล และไมช่ อบเล่น
แบดมินตนั ขอ้ 16. รูปต่อไปน้ีแสดงกราฟเสน้ ตรง y 2x และ y b x

ขอ้ 12. จงหาค่าสมั บูรณ์ของ a b เมื่อ a,b เป็นจานวนท่ีสอดคลอ้ งกบั a
เงื่อนไขท้งั สามขอ้ ต่อไปน้ี
(i) a เป็นจานวนบวก และ b เป็นจานวนลบ โดยที่ b อยใู่ นรูปเศษส่วนอยา่ งต่า
(ii) ค่าสมั บูรณ์ของ a เป็น 3 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของ b
(iii) a มีค่ามากกว่า b อยู่ 20 a

กาหนดให้เสน้ ตรงที่ขนานกบั แกน y และผ่านจุด (6, 0)
ตดั กบั เส้นตรงสองเสน้ แรกที่จุด A และจุด B ตามลาดบั
ถา้ พ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียม AOB เท่ากบั 21 ตารางหน่วย แลว้
จงหาค่าของ a b

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1 ขอ้ 20. ถา้ ความยาวดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมคือ 5 หน่วย,
15 หน่วย, a หน่วย จานวนเตม็ ที่สามารถเป็ นค่าของ a ได้
ขอ้ 17. มีเช้ือเพลิงอยจู่ านวนหน่ึง ถา้ ใช้เช้ือเพลิงน้ีในอตั รา 0.3 ลติ ร ต่อ มีท้งั หมดกจ่ี านวน
1 ชว่ั โมง จะสามารถใชไ้ ด้ 40 ชว่ั โมง ตารางต่อไปน้ีแสดงขอ้ มูลการใช้
เช้ือเพลงิ น้ีในอตั รา x ลิตร ต่อ 1 ชวั่ โมง กบั เวลา y ชว่ั โมงที่สามารถ
ใชเ้ ช้ือเพลิงได้ จงหาค่าของ a b

x (ลติ ร) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 …

y (ชว่ั โมง) a 40 b 20 …

ขอ้ 21. เมื่อหาผลคูณของจานวนนบั ต้งั แต่ 1 ถึง 2004 ดงั น้ี

12 3 2004

จงหาวา่ ผลคูณที่ไดม้ ีเลขโดด 0 ต่อเน่ืองมาต้งั แต่หลกั หน่วยท้งั หมด

กตี่ วั

ขอ้ 18. พิจารณาตารางแจกแจงคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 50 คน ขอ้ 22. ถา้ x,y เป็นจานวนนบั ท่ีสอดคลอ้ งกบั เง่ือนไขต่อไปน้ี
ถา้ a คือค่ากง่ึ กลางของช่วงคะแนนที่มีนกั เรียนมากท่ีสุด (i) ตวั หารร่วมมากของ x และ y คือ 6
และ b คือจานวนนกั เรียนของช่วงคะแนนน้นั (ii) x2 xy 288
จงหาค่าของ a 2b
จงหาค่าสมั บูรณ์ของ x y
ช่วงคะแนน จานวนนกั เรียน
ขอ้ 23. กาหนด M และ N เป็นจานวนเต็มสามหลกั ท่ีไดจ้ ากการเรียง
40 - 50 4 สลบั เลขโดดสามตวั คือ 5,6,7
50 - 60 8 ถา้ M สามารถเขียนไดใ้ นรูปผลคูณของจานวนเต็มสองจานวนที่มี
60 - 70 14 ค่าเรียงถดั กนั
70 - 80 5 และ N สามารถเขียนไดใ้ นรูปจานวนเตม็ ยกกาลงั สอง
80 - 90 15 จงหาค่าสมั บูรณ์ของ M N
90 - 100 4

ขอ้ 19. จุด A,B,C,D อยบู่ นเส้นตรงเสน้ หน่ึงเรียงตามลาดบั ดงั รูป
ถา้ BC 3AB 2CD และ AD = 55 หน่วย
จงหาว่า BC ยาวกห่ี น่วย

ขอ้ 24. ยองฮแี ละชอลซูข้ึนบนั ได โดยยองฮีจะข้ึนบนั ไดกา้ วละสองข้นั
และชอลซูจะข้ึนบนั ไดกา้ วละสามข้ัน ในการข้ึนบนั ไดแต่ละกา้ ว
แต่ละคนจะใชเ้ วลา 2 วนิ าที ถา้ หลงั จากท่ียองฮีข้ึนบนั ไดไปแลว้ 30
วินาที ชอลซูจึงเริ่มข้ึนบนั ได และท้งั สองคนถงึ บนั ไดข้นั สุดทา้ ย
พร้อมกนั จงหาวา่ บนั ไดมีท้งั หมดกขี่ ้นั

TME มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 1 ขอ้ 28. นกั เรียน 100 คน มีเลขประจาตวั ต้งั แต่ 1 ถึง 100 ครูแจกลูกอม
ใหก้ บั นักเรียนทุกคน หลงั จากแจกไปแลว้ พบวา่ นักเรียนแต่ละคน
ขอ้ 25. รูปหกเหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่า ABCDEF และรูปสี่เหลย่ี มจตั ุรัส ไดร้ บั ลกู อมตามเง่ือนไขสองขอ้ ต่อไปน้ี
FGHI สมั ผสั กบั เสน้ ตรง l และเส้นตรง m ท่ีขนานกนั ดงั รูป ถา้
เสน้ ตรง l ทามมุ 55 กบั IF และเส้นตรง m ทามุม 20 กบั CD (i) นกั เรียนท่ีมเี ลขประจาตวั เป็ น 1 จะไดล้ ูกอม 1 เมด็
จงหาว่ามุม EFGมีขนาดเท่ากบั กอี่ งศา (ii) นกั เรียนท่ีมเี ลขประจาตวั เป็ น a b จะได้รับลกู อมเท่ากบั

จานวนลูกอมของนกั เรียนท่ีมเี ลขประจาตวั เป็ น a รวมกบั
จานวนลูกอมของนกั เรียนที่มีเลขประจาตวั เป็ น b
และรวมกบั ผลคูณของ a กบั b

นกั เรียนท่ีมีเลขประจาตวั เป็น 20 จะไดร้ บั ลูกอมกเี่ มด็

ขอ้ 26. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มท่ีมีค่าต้งั แต่ –1 ถึง 2 ขอ้ 29. กาหนดจุดในจตุภาคท่ีหน่ึงซ่ึงมีพิกดั เป็นจานวนเต็มตามลาดบั
กาหนดให้ a *b a b เมื่อ a 0 และ b 0 ดงั แสดงในรูปดา้ นลา่ ง ถา้ พิกดั ของจุดท่ี 100 คือ (a,b)
และ a *b 0 เมื่อ a 0 หรือ b 0 จงหาค่าของ ab
ถา้ a *b มีค่าที่แตกต่างกนั ท้งั หมด n ค่า
จงหาค่าของ 2n

ขอ้ 27. ถา้ ซียองข้ึนบนั ไดเลื่อนท่ีสถานีรถไฟฟ้ าใตด้ ินแห่งหน่ึงจะใชเ้ วลา ขอ้ 30. ตอ้ งการเขียนขีดสามแบบลงบนแท่งไมย้ าวแท่งหน่ึง ไดแ้ ก่
2 นาที 30 วนิ าที แต่ถา้ เขาวิ่งลงบนั ไดเลื่อนน้ีในขณะที่หยดุ ทางานจะใช้ ขีดที่แบ่งแท่งไมเ้ ป็น 10 ส่วนเท่ากนั ขีดท่ีแบ่งแท่งไมเ้ ป็น 15 ส่วน
เวลา 1 นาที 30 วนิ าที จงหาวา่ ถา้ ซียองวิง่ ลงบนั ไดเล่ือนท่ีกาลงั เลื่อนข้ึน เท่ากนั และขีดท่ีแบ่งแท่งไมเ้ ป็น 18 ส่วนเท่ากนั
เขาจะตอ้ งใชเ้ วลากวี่ ินาที เม่ือตดั แท่งไมต้ ามขีดที่เขียนไวน้ ้ี จะไดแ้ ท่งไมท้ ้งั หมดกแี่ ท่ง

เฉลยข้อสอบการประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์
ประจาปี 2554 (TME) ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 1

ขอ้ 1. ตอบ 8 ขอ้ 2. ตอบ 18 ขอ้ 3. ตอบ 10
ขอ้ 4. ตอบ 32 ขอ้ 5. ตอบ 39 ขอ้ 6. ตอบ 7
ขอ้ 7. ตอบ 8 ขอ้ 8. ตอบ 68 ขอ้ 9. ตอบ 170
ขอ้ 10. ตอบ 11 ขอ้ 11. ตอบ 18 ขอ้ 12. ตอบ 10
ขอ้ 13. ตอบ 10 ขอ้ 14. ตอบ 72 ขอ้ 15. ตอบ 25
ขอ้ 16. ตอบ 11 ขอ้ 17. ตอบ 84 ขอ้ 18. ตอบ 115
ขอ้ 19. ตอบ 30 ขอ้ 20. ตอบ 9 ขอ้ 21. ตอบ 499
ขอ้ 22. ตอบ 36 ขอ้ 23. ตอบ 180 ขอ้ 24. ตอบ 90
ขอ้ 25. ตอบ 45 ขอ้ 26. ตอบ 64 ขอ้ 27. ตอบ 225
ขอ้ 28. ตอบ 210 ขอ้ 29. ตอบ 54 ขอ้ 30. ตอบ 34

ขอ้ 1. ตอบ 8
นาย A นึก 1, 2 และ a 3

ส่วนนาย B นึก 2, 3 และ b 4

เน่ืองจากจานวนที่นาย A และนาย B นึกตรงกนั มีสองจานวน คือ 2 และ 3
แสดงวา่ นาย A จะตอ้ งนึก 3 ดว้ ย นน่ั คือ a 3 3 หรือ a 6
เนื่องจากจานวนท่ีนาย B นึกแต่นาย A ไมไ่ ดน้ ึก มีเพียงจานวนเดียว คือ 6
แสดงวา่ นาย B จะตอ้ งนึก 6 ดว้ ย นนั่ คือ b 4 6 หรือ b 2
ดงั น้นั a b 8

ขอ้ 2. ตอบ 18 100102
24 21
101112 1012 18

2

ขอ้ 3. ตอบ 10 3 32 2 5
5 3 3
32 3
2 10

ขอ้ 4. ตอบ 32 12
a คือจานวนท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ 4 อยู่ 8 นนั่ คือ 4 a 8 หรือ a

b คือจานวนท่ีเป็ นส่วนกลบั ของ 2 2 นนั่ คือ b 1 หรือ b 3
3 22 8

3

จะได้ a b 12 3 32

8

ขอ้ 5. ตอบ 39 3 ลงใน 2(3x y) 3(x 3y)
แทน x 2, y
3(2 9) 39
จะได้ 2(6 3)

ขอ้ 6. ตอบ 7 2x 2 นนั่ คือ x 5
5 ลงใน ax 6 3x 14
3x 3
5a 6 15 14
แทน x
จะได้

5a 35
a7

ขอ้ 7. ตอบ 8

จากโจทยก์ าหนดให้ y ax 4 เม่ือ a เป็ นคา่ คงตวั

ถา้ x 1 จะได้ y 2

นน่ั คือ 2 a4

a2 -------- (1)

ถา้ x 5 จะได้ y m

และจาก (1) จะได้

m 25 4
m 14

3

ถา้ x 1 จะได้ y n
และจาก (1) จะได้
นน่ั คือ n 2 4

n6

ดงั น้นั m n 14 6 8

ขอ้ 8. ตอบ 68 ค่าเฉล่ีย คะแนนรวม
สูตร

จานวนนกั เรียนท้งั หมด

ให้ a แทนคะแนนรวมของนกั เรียนกลุ่มท่ี 1

และ b แทนคะแนนรวมของนกั เรียนกลุ่มที่ 2

นน่ั คือ a 62 8 496

b 72 12 864

ดงั น้นั ค่าเฉล่ียคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนท้งั หมดจะได้ 496 864 68
8 12

ขอ้ 9. ตอบ 170

จากรูป x 180 (40 75 ) 65
65 40 105
y y 65 105 170

ดงั น้นั x

4

ขอ้ 10. ตอบ 11

จากรูป a 3 ไดแ้ ก่ DC, HG, EF
4 ไดแ้ ก่ DH, EH, CG, FG
b
2b 3 8 11
ดงั น้นั a

ขอ้ 11. ตอบ 18
นกั เรียนห้องหน่ึงมี 48 คน
มี 16 คน ชอบเล่นฟุตบอล
มี 20 คน ชอบเล่นแบดมินตนั
มี 10 คน ชอบเล่นฟุตบอล แต่ไมช่ อบเล่นแบดมินตนั
นน่ั คือ มีนกั เรียนท่ีชอบเล่นท้งั ฟุตบอลหรือแบดมินตนั (ชอบเล่นประเภทเดียว หรือ ท้งั
สองประเภทก็ได)้ 20 10 30 คน
ดงั น้นั มีนกั เรียนที่ไม่ชอบเล่นฟุตบอล และไม่ชอบเล่นแบดมินตนั 48 30 18 คน

ขอ้ 12. ตอบ 10

(i) a เป็นจานวนบวก และ b เป็นจานวนลบ

แสดงวา่ a a และ b b -------- (1)

(ii) คา่ สมั บรู ณ์ของ a เป็น 3 เทา่ ของคา่ สัมบรู ณ์ของ b

นนั่ คือ a 3 b

จาก (1) จะได้ a 3b -------- (2)

(iii) a มีค่ามากกวา่ b อยู่ 20

นนั่ คือ ab 20

แทนค่า a จาก (2) จะได้

3b b 20 -------- (3)

4b 20
b5

5

แทน b 5 ลงใน (2) จะได้ a 15
ดงั น้นั a b 15 5 10

ขอ้ 13. ตอบ 10

3(2x 5) 4( 3x 2) 5(2x 7)

6x 15 12x 8 10x 35

8x 28

x 7
2

นนั่ คือ a 7

2

ดงั น้นั 2a 3 7 3 10

ขอ้ 14. ตอบ 72

จากโจทย์ กำหนดจำนวนนับสองหลกั จำนวนหนึ่ง

สมมติวา่ เป็ น “ab ” เม่ือ a และ b เป็ นเลขโดด

ซ่ึงจานวนนบั น้ีมีค่าเท่ากบั 10a b -------- (1)

จานวนนบั สามหลกั ท่ีไดจ้ ากการเติม 6 ไวท้ างขวาสุด คือ “ab6”

ซ่ึงมีคา่ เทา่ กบั 100a 10b 6

จานวนนบั สามหลกั ท่ีไดจ้ ากการเติม 6 ไวท้ างซา้ ยสุด คือ “6ab ”

ซ่ึงมีคา่ เทา่ กบั 600 10a b

จากโจทย์ “ab6” มีค่ามากกวา่ “6ab ” อยู่ 54 นน่ั คือ 54
648
(100a 10b 6) (600 10a b) 72

90a 9b

10a b

ดงั น้นั จานวนนบั สองหลกั ท่ีกาหนดให้ คือ 72

6

ขอ้ 15. ตอบ 25

500 g 300 g 800 g

+ =

ตอ้ งการเตรียมน้าเกลือที่มีความเขม้ ขน้ 15% ปริมาณ 800 g

นนั่ คือ มีเกลืออยใู่ นน้าเกลือ 15 800 120 กรัม
100

ส่วนผสมที่ 1 น้าเกลือที่มีความเขม้ ขน้ 9% ปริมาณ 500 กรัม

นนั่ คือ มีเกลืออยใู่ นน้าเกลือ 9 500 45 กรัม
100

ส่วนผสมท่ี 2 น้าเกลือที่มีความเขม้ ขน้ x% ปริมาณ 800 500 300 กรัม

นน่ั คือ มีเกลืออยใู่ นน้าเกลือ x 300 3x กรัม
100

จากขอ้ ความขา้ งตน้ จะได้ 120 45 3x

75 3x

x 25

ขอ้ 16. ตอบ 11

C

เมื่อแทน x 6 ลงใน y 2x จะได้ y 12
เมื่อแทน x 6 ลงใน y b x จะได้ y 6b

aa

7

นนั่ คือ AB 12 6b

a

พจิ ารณารูปสามเหล่ียม AOB โดยใหด้ า้ น AB เป็ นฐาน

จะเห็นวา่ ส่วนสูงของรูปสามเหล่ียมคือ OC ยาว 6 หน่วย

โจทยก์ าหนดใหพ้ ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียม AOB เท่ากบั 21 ตารางหน่วย

ดงั น้นั

21 1 12 6b 6
2a

7 12 6b
a
b
a 5

นน่ั คือ b 5 และ a 6 6

ดงั น้นั a b 5 6 11

ขอ้ 17. ตอบ 84

x (ลิตร) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 …

y (ชวั่ โมง) a 40 b 20 …

ปริมาณเช้ือเพลิงท้งั หมด = อตั ราการใชเ้ ช้ือเพลิง ช่วงเวลาท่ีใชเ้ ช้ือเพลิงได้

ถา้ ใชเ้ ช้ือเพลิงในอตั รา 0.3 ลิตร ตอ่ 1 ชว่ั โมง จะสามารถใชไ้ ด้ 40 ชวั่ โมง
นน่ั คือ มีเช้ือเพลิงท้งั หมด 0.3 40 12 ลิตร
ถา้ ใชเ้ ช้ือเพลิงในอตั รา 0.2 ลิตร ต่อ 1 ชวั่ โมง จะสามารถใชไ้ ด้ a ชว่ั โมง

นนั่ คือ 0.2a 12 จึงได้ a 12 60

0.2

ถา้ ใชเ้ ช้ือเพลิงในอตั รา 0.5 ลิตร ตอ่ 1 ชวั่ โมง จะสามารถใชไ้ ด้ b ชว่ั โมง

นน่ั คือ 0.5b 12 จึงได้ b 12 24 ชว่ั โมง

0.5

ดงั น้นั a b 60 24 84

8

ขอ้ 18. ตอบ 115
ให้ a แทนคา่ ก่ึงกลางของช่วงคะแนนท่ีมีนกั เรียนมากที่สุด
ช่วงคะแนนที่มีนกั เรียนมากท่ีสุด คือ 80 90

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

a

นน่ั คือ a 85
ให้ b แทนจานวนนกั เรียนของช่วงคะแนนน้นั
นนั่ คือ b 15
ดงั น้นั a 2b 85 30 115

ขอ้ 19. ตอบ 30
ให้ BC 3AB 2CD

จากรูป AD = AB+BC+CD

55 = 1 BC+BC+ 1 BC
32

55 = 11 BC
6

BC = 30

ขอ้ 20. ตอบ 9
จะสร้างรูปสามเหล่ียม โดยมีความยาวแตล่ ะดา้ นเป็ น 5 หน่วย 15 หน่วย และ a หน่วย
โดยท่ี a เป็นจานวนเตม็

5 หน่วย a หน่วย 5 หน่วย a หน่วย
15 หน่วย
15 หน่วย

ซ่ึงจะเป็ นไปไดเ้ มื่อ a 15 5 และ a 15 5
นนั่ คือ a 10 และ a 20
ค่าที่เป็ นไปไดข้ อง a ไดแ้ ก่ 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ซ่ึงมีท้งั หมด 9 จานวน

9

ขอ้ 21. ตอบ 499
พิจารณาตวั อยา่ ง 123450000 ซ่ึงสามารถเขียนไดใ้ นรูป

123450000 12345 104

ในอีกนยั หน่ึง การนบั จานวนเลขโดด 0 ที่ตอ่ เน่ืองมาต้งั แต่หลกั หน่วยกค็ ือ
การนบั วา่ มี 10 เป็ นตวั ประกอบท้งั สิ้นกี่จานวนนน่ั เอง
ยง่ิ กวา่ น้ี เน่ืองจาก 10 2 5 เราจึงสามารถนบั ไดจ้ ากจานวน 2 และ 5 ท่ีเป็นตวั ประกอบ

พิจารณา 1 2 3 2004
ผลคูณน้ี จะมีจานวน 2 ท่ีเป็นตวั ประกอบ มากกวา่ จานวน 5 ท่ีเป็นตวั ประกอบอยมู่ าก
จึงเพียงพอที่จะนบั จานวน 5 ที่เป็นตวั ประกอบในผลคูณน้ี ซ่ึงจะมาจากตวั คูณ

5,10,15, , 2000

ซ่ึงมีท้งั หมด 400 จานวน นนั่ คือ

5 10 15 2000 5400 1 2 3 400 (1)

ตอ่ ไปพิจารณาผลคูณ 1 2 3 400 ซ่ึงจะนบั จานวน 5 ท่ีเป็ นตวั ประกอบ

ไดจ้ าก 5,10,15, , 400 รวม 80 จานวน นนั่ คือ

5 10 15 400 580 1 2 3 80 (2)

ตอ่ ไปพิจารณาผลคูณ 1 2 3 80 ซ่ึงจะนบั จานวน 5 ท่ีเป็ นตวั ประกอบ
ไดจ้ าก 5,10,15, , 80 รวม 16 จานวน นนั่ คือ

5 10 15 80 516 1 2 3 16 (3)

และทา้ ยสุด ผลคูณ 1 2 3 16 จะนบั จานวน 5 ท่ีเป็นตวั ประกอบไดจ้ าก
(4)
5 10 53 1 2

จาก (1), (2), (3) และ (4) จึงสรุปไดว้ า่ 1 2 3 2004 จะมี 5 ท้งั หมด
400 80 16 3 499 ตวั

ดงั น้นั 1 2 3 2004 มีเลขโดด 0 ตอ่ เนื่องมาต้งั แต่หลกั หน่วย 499 ตวั

10

ขอ้ 22. ตอบ 36

ให้ x,y เป็ นจานวนนบั

(i) ตวั หารร่วมมากของ x และ y คือ 6

ให้ x 6a , y 6b โดยที่ a,b เป็ นจานวนนบั และห.ร.ม. ของ a,b เป็ น 1

(ii) x2 xy 288 -------- (1)

เมื่อแทน x 6a , y 6b ลงใน (1)

จะได้ 36a2 36ab 288

a(a b) 8

กรณีที่ 1 ถา้ a 1 จะได้ b 7

กรณีท่ี 2 ถา้ a 2 จะได้ b 2 เป็ นไปไมไ่ ดเ้ พราะห.ร.ม. ของ a,b ไมเ่ ป็ น 1

จากกรณีท่ี 1 จะได้ x 6 และ y 42

ดงั น้นั x y 6 42 36

ขอ้ 23. ตอบ 180
จานวนเตม็ สามหลกั ที่ไดจ้ ากการเรียงสลบั เลขโดดสามตวั คือ 5,6,7 ไดแ้ ก่
567, 576, 657, 675, 756, 765 -------- (1)
เนื่องจากผลคูณของจานวนเตม็ สองจานวนท่ีมีค่าเรียงถดั กนั จะได้ จานวนคู่
ดงั น้นั M ตอ้ งเป็ นจานวนคู่ ซ่ึงจาก (1) เป็ นไปไดส้ องจานวน คือ 576 และ 756

576 26 32 (23 3)2 242

756 22 33 7 33 (22 7) 27 28

จะได้ M 756
ยงิ่ กวา่ น้ี นอกจาก 576 แลว้ ไม่มีจานวนใดใน (1) ที่เป็นจานวนเตม็ ยกกาลงั สองอีก
จึงได้ N 576
ดงั น้นั M N 756 576 180

ขอ้ 24. ตอบ 90
ให้ x แทนข้นั บนั ไดท้งั หมด
ยองฮีใชเ้ วลาข้ึนบนั ไดแตล่ ะข้นั 1 วนิ าที

ชอลซูใชเ้ วลาข้ึนบนั ไดแตล่ ะข้นั 2 วนิ าที
3

เนื่องจาก เวลาท่ียองฮีใชข้ ้ึนบนั ไดท้งั หมด เวลาที่ยองฮีใชข้ ้ึนบนั ไดท้งั หมด 30

x 2 x 30
3

11

1 x 30
3

x 90

ขอ้ 25. ตอบ 45
ขนาดของมุมภายในหน่ึงมุมของรูปหกเหล่ียมดา้ นเท่ามุมเทา่ คือ 120
ขนาดของมุมภายในหน่ึงมุมของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัส คือ 90
ลากเส้นตรงท่ีขนานกบั เส้นตรง l, m และผา่ นจุด E, F ทาใหเ้ กิดมุมตา่ ง ๆ ดงั รูป

ดงั น้นั EFˆG 180 (100 35 ) 45
ขอ้ 26. ตอบ 64

หา a *b จากตารางตอ่ ไปน้ี

จากตาราง a *b มีคา่ ท่ีแตกตา่ งกนั ท้งั หมด 6 จานวน ไดแ้ ก่ 2, 0, 1, 2, 3, 4
นนั่ คือ n 6
ดงั น้นั 26 64

ขอ้ 27. ตอบ 225
ใหร้ ะยะทางจากทางข้ึนบนั ได ถึงบนั ไดข้นั สุดทา้ ยข้นั บนั ไดเป็น x เมตร

อตั ราเร็วของบนั ไดเล่ือนที่เลื่อนข้ึนเป็น x เมตร ตอ่ วนิ าที

150

ซียองวงิ่ ลงบนั ไดเลื่อนน้ีในขณะที่หยดุ ทางานดว้ ยอตั ราเร็ว x เมตร ตอ่ วนิ าที

90

ถา้ ซียองวงิ่ ลงบนั ไดเล่ือนที่กาลงั เล่ือนข้ึน เขาลงมาดว้ ยอตั ราความเร็ว

12

x x x เมตร ตอ่ วนิ าที

90 150 225

ดงั น้นั เวลาที่ซียองใชใ้ นการวงิ่ ลงบนั ไดเล่ือนท่ีกาลงั เลื่อนข้ึน คือ 225 วนิ าที

ขอ้ 28. ตอบ 210
จากเง่ือนไข
(i) นกั เรียนท่ีมีเลขประจาตวั เป็น 1 จะไดล้ ูกอม 1 เมด็
(ii) นกั เรียนท่ีมีเลขประจาตวั เป็น a b จะไดร้ ับลูกอมเทา่ กบั
จานวนลูกอมของนกั เรียนท่ีมีเลขประจาตวั เป็น a รวมกบั
จานวนลูกอมของนกั เรียนท่ีมีเลขประจาตวั เป็น b
และรวมกบั ผลคูณของ a กบั b

a b เลขประจาตวั a เลขประจาตวั b ab เลขประจาตวั a b ได้
ไดล้ ูกอม ไดล้ ูกอม ลูกอม

2 11 1 1 1 111 3
4 22 3 3 4 3 3 4 10
8 44 10 10 16 10 10 16 36
16 8 8 36 36 64 36 36 64 136
20 16 4 136 10 64 136 10 64 210

ดงั น้นั นกั เรียนที่มีเลขประจาตวั เป็น 20 จะไดร้ ับลูกอม 210 เมด็

ขอ้ 29. ตอบ 54

R6
R5

RR34
R2
R1

13

จากรูป นาขอ้ มูลมาเขียนตาราง จะได้

แถวในแนวเส้นทแยง จานวนจุดในแถว จานวนจุดสะสม
1
R1 1 3
R2 2 6
R3 3 10
R4 4 15
R5 5 21
R6 6 28
R7 7 36
R8 8 45
R9 9 55
R10 10 66
R11 11 78
R12 12 91
R13 13 105
R14 14
แสดงวา่ จุดที่ 100 จะตอ้ งอยใู่ นแนวเส้น R14 พกิ ดั
พจิ ารณาเส้น R13 จุดที่ 91 จะอยทู่ ี่พิกดั (1, 13)
(1, 14)
พจิ ารณาเส้น R14 จะได้ (2, 13)
(3, 12)
จุดที่ (4, 11)
(5, 10)
105 (6, 9)

104

103

102

101

100

จะได้ a 6 และ b 9
ดงั น้นั ab 54

ขอ้ 30. ตอบ 34 14
ตวั คูณร่วมนอ้ ยของ 10, 15, 18 คือ 90
9
ใหค้ วามยาวของแท่งไมเ้ ทา่ กบั 90 หน่วย 81
แบ่งแท่งไมแ้ บบท่ี 1

การแบ่งแทง่ ไมเ้ ป็ น 10 ส่วนเทา่ กนั จะไดจ้ านวนขีด 9 ขีด โดย
ขีดที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
ตาแหน่งที่ 9 18 27 36 45 54 63 72
(หน่วย)

แบง่ แท่งไมแ้ บบที่ 2
การแบง่ แท่งไมเ้ ป็ น 15 ส่วนเทา่ กนั จะไดจ้ านวนขีด 14 ขีด โดย

ขีดท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ตาแหน่งท่ี 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84
(หน่วย)

แบ่งแท่งไมแ้ บบท่ี 3
การแบ่งแท่งไมเ้ ป็ น 18 ส่วนเทา่ กนั จะไดจ้ านวนขีด 17 ขีด โดยแต่ละขีดจะอยู่
ในตาแหน่งที่ (หน่วย) ดงั น้ี

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90

ข้นั ท่ี 1
จากการแบ่งแท่งไมแ้ บบที่ 1 และแบบท่ี 2 ตาแหน่งของขีดต่าง ๆ ไดแ้ ก่

6, 9, 12, 18, 24, 27, 30, 36, 42, 45, 48, 54, 60, 63, 66, 72, 78, 81, 84

นน่ั คือ จานวนขีดท้งั หมดจากการแบ่งแท่งไมแ้ บบที่ 1 และแบบท่ี 2 คือ 19 ขีด
ข้นั ที่ 2
พิจารณาการแบ่งแท่งไมแ้ บบท่ี 3 และตาแหน่งของขีดต่าง ๆ ในข้นั ท่ี 1
จะมีตาแหน่งของขีดที่ซ้ากนั คือ 30, 45, 60
จะไดจ้ านวนขีดท้งั หมดจากการแบ่งแทง่ ไมท้ ้งั สามแบบ เป็ น 19 17 3 33 ขีด
ดงั น้นั เมื่อตดั แท่งไมต้ ามขีดที่เขียนไว้ จะไดแ้ ท่งไมท้ ้งั หมด 33 1 34 แท่ง

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2554 (TME)

ชื่อ – นามสกุล โรงเรียน
ช้นั

คาสั่ง ข้อสอบมที ้งั หมด 4 หน้า จานวน 30 ข้อ ขอ้ 5. ถา้ a 2b 3 และสามารถเขียน 3a 2b 5 ในรูป
ให้เขยี นตวั เลขและระบายคาตอบ ลงในกระดาษคาตอบ pb q แลว้ จงหาค่าของ p q

ขอ้ 1. กาหนด a เป็นจานวนนบั ท่ีมีสองหลกั จงหาว่ามี a ท้งั หมด ขอ้ 6. มคี ู่อนั ดบั (x, y) กค่ี ู่ ที่ x และ y เป็นจานวนนบั และสอดคลอ้ ง
กบั สมการ 3x + 2y = 20
กจ่ี านวนที่ทาให้ a เป็นจานวนนบั หรือเป็ นทศนิยมซ้าศูนย์

52

ขอ้ 2. ถา้ แสดงทศนิยมซ้า 1.3777 ในรูปเศษส่วนอยา่ งต่า

จะได้ m จงหาวา่ m n มคี ่าเท่ากบั เท่าใด ขอ้ 7. ถา้ เสน้ ตรง x 3y 12 0 ตดั แกน x ที่จุด (a, 0)
n และตดั แกน y ท่ีจุด (0,b) แลว้ ab มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 3. ถา้ a 2, b 5 ขอ้ 8. กาหนดให้เสน้ ตรง x y 4 0 ตดั กบั เสน้ ตรง
แลว้ (6ab2 3a2b 10ab) 1 มีค่าเท่ากบั เท่าใด 2x y 10 0 ท่ีจุด P ดงั รูป
ถา้ พกิ ดั ของจุด P คือ (a,b) แลว้ จงหาคา่ ของ a b
2ab

ขอ้ 4. เมื่อ x a, y b เป็นคาตอบของสมการท้งั สองสมการต่อไปน้ี

4x (x 5y) 2
3(x 2y) x 3y 14

จงหาค่าของ a b

สนบั สนุนโดย

TME มธั ยมศึกษาปี ที่ 2 ขอ้ 14. ให้ a เป็นจานวนจริง เมอื่ ปัดเศษ a ใหเ้ ป็นทศนิยมสาม
ขอ้ 9. จากขอ้ ความต่อไปน้ี จงหาผลบวกของจานวนท่ีอยทู่ างขวามือใน ตาแหน่ง แลว้ ไดผ้ ลลพั ธ์เป็ น 0.034
จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี แลว้ จงหาผลบวกของจานวนที่อยทู่ าง
ขอ้ ท่ีเป็นจริง ขวามือในขอ้ ที่ถูกตอ้ ง
(ก) ถา้ ปัดเศษ2a ใหเ้ ป็นทศนิยมสามตาแหน่งจะได้ 0.068 ....…. 2
(ก) ถา้ x 2 แลว้ จะได้ x 3 5 …………………. 2 (ข) แสดงผลลพั ธ์จากการปัดเศษไดใ้ นรูป 3.4 10 2 ..……….. 4
(ข) พหุคูณของ 2 จะเป็นพหุคูณของ 4 ดว้ ย …………. 4 (ค) ค่าประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งท่ีสามคือ 0.001 ……….. 8
(ค) ถา้ ac bc แลว้ จะสรุปไดว้ า่ a b ……………… 8 (ง) ถา้ ปัดเศษ a ใหเ้ ป็นทศนิยมส่ีตาแหน่งจะได้ 0.0340 ……... 16
(ง) ถา้ ab 0 แลว้ จะสรุปไดว้ ่า a 0 และ b 0 … 16 (จ) 0.0335 a 0.0345 ..…………………………………. 32
(จ) ถา้ a,b เป็นจานวนคี่ แลว้ a b เป็นจานวนคู่ …… 32
ขอ้ 15. ระยะทางระหวา่ งจุด A กบั จุด C เท่ากบั 125 กโิ ลเมตร
ขอ้ 10. จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC ในรูป จุด M เป็นจุดกง่ึ กลาง โดยจุด B อยรู่ ะหวา่ งจุดท้งั สอง ถา้ การเดินทางจากจุด A ไปยงั
ของดา้ น BC และ Bˆ 2Cˆ จงหาวา่ AMˆ C มีขนาดกอ่ี งศา จุด B ดว้ ยอตั ราเร็ว 30 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง และจากจุด B ไปยงั
จุด C ดว้ ยอตั ราเร็ว 40 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง ต้องใช้เวลารวม
3 ชว่ั โมง 45 นาที
จงหาว่าระยะทางระหวา่ งจุด A กบั จุด B เท่ากบั กกี่ โิ ลเมตร

ขอ้ 11. ถา้ a,b เป็นเลขโดดท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการ

จงหาว่าผลคณู ของ a และ b มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 12. ถา้ เขียน 2 x 2y 3 3 xy 3 2 9 3 x 4y5 ขอ้ 16. จงหาค่า a ท่ีมากท่ีสุดที่ทาให้ไม่มจี านวนจริง x ซ่ึงสอดคลอ้ ง
3 4 4 กบั อสมการท้งั สองอสมการต่อไปน้ี

xa 1
5x 4 3(x 4)

ไดใ้ นรูป axbyc จงหาค่าของ a b c ขอ้ 17. เส้นตรง y 2 ตดั กบั เสน้ ตรง y 1 ท่ีจุด P(2,2)

2x 1 x
2

ดงั รูป ถา้ เสน้ ตรง y b x ( b อยใู่ นรูปเศษส่วนอยา่ งต่า) ผา่ นจุด
a a

กาเนิด และแบ่งรูปสามเหลี่ยม PQR ออกเป็นสองส่วนท่ีมีพ้ืนท่ี

ขอ้ 13. กาหนดให้ x y 0 ) และเมื่อแสดงค่าของ เท่ากนั จงหาว่า a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
2 3
(x 0, y

x2 ในรูปเศษส่วนอยา่ งต่าแลว้ ไดเ้ ป็น n จงหาค่าของ m n
x2 y2 m

TME มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 2 ขอ้ 21. ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จวั่ ท่ีมี AB = AC
และให้ D เป็นจุดบนดา้ น BC ดงั รูป
ขอ้ 18. แผนภาพต่อไปน้ีแสดงการจดั การแข่งขนั ปิ งปองของนกั เรียน 8 E เป็นจุดบนดา้ น AC ที่ทาให้ BD = CE
คน คือ A, B, C, D, E, F, G, H และ F เป็ นจุดบนดา้ น AB ที่ทาให้ CD = BF
ถา้ Aˆ 56 แลว้ จงหาขนาดของ DFˆE

เมื่อส้ินสุดการแข่งขนั พบวา่ B ชนะ A แต่แพ้ C ผลการแข่งขนั ของ ขอ้ 22. กาหนดให้ x 2y z 0 , 3x 2y 3z 0 และ xyz 0
D คือชนะ 1 แพ้ 1 และ E เป็นผชู้ นะเลศิ
กาหนดให้นักเรียนท้งั 8 คน คือ A ถงึ H มหี มายเลขประจาตวั ใน ถา้ x z y z y มีค่าเท่ากบั b ( b อย่ใู นรูปเศษส่วน
การแข่งขนั ต้งั แต่ 1 ถึง 8 ตามลาดบั 2y 2z x 2x a a
ถา้ E แข่งขนั คร้ังท่ี 2 กบั นกั เรียนหมายเลข a และแข่งรอบชิง
ชนะเลิศกบั นกั เรียนหมายเลข b จงหาค่าของ a b อยา่ งต่า) แลว้ จงหาวา่ a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 19. รูปต่อไปน้ีแสดงผงั ของห้องสมุดแห่งหน่ึง ตอ้ งการเดินจากหอ้ ง ขอ้ 23. ตอ้ งการสร้างรูปสามเหลย่ี มที่มดี า้ นอยบู่ นเสน้ ตรง 3 เสน้ ท่ีมี
เกบ็ หนงั สือไปหอ้ งอ่านหนงั สือ ผ่านทางเดินในตึก แลว้ ไปยงั สมการเป็ น x 2y 0 , x 3y 5 , 2x ay 5
หอ้ งน้า โดยตอ้ งเดินผ่านประตูท่ีแสดงในรูป จะมีวิธีการเดินท้งั หมด จงหาผลบวกของค่า a ท้งั หมดท่ีทาใหไ้ มส่ ามารถสรา้ งรูป
กวี่ ิธี สามเหลีย่ มดงั กลา่ วได้

ขอ้ 20. กาหนดให้ ABCD เป็นพีระมิดฐานสามเหลย่ี ม ดงั รูป ขอ้ 24. กาหนดจุด A(2, 3), B(8,5) บนระบบพกิ ดั ฉาก และจุด P อยบู่ น
จุด P จะเคลื่อนที่จากจุดยอดจุดหน่ึงไปยงั จุดยอดท่ีอยตู่ ิดกนั ทุก ๆ
1 วินาที สมมติว่าจุด P เริ่มเคลื่อนที่จากจุด A หลงั จากเวลาผ่านไป แกน x ดงั รูป ถา้ พิกดั ของจุด P ท่ีทาให้ AP BP มคี ่านอ้ ยท่ีสุด
3 วินาที จงหาว่ามีท้งั หมดกกี่ รณีท่ีจุด P จะเคลื่อนท่ีไปอยทู่ ี่จุด D
(จุด P สามารถเคล่อื นท่ีผ่านจุดที่เคยเคล่อื นท่ีผา่ นแลว้ ได้) คือ (ab , 0) โดยท่ี b อยูใ่ นรูปเศษส่วนอยา่ งต่า จงหาวา่ a b มีค่า
a

เท่ากบั เท่าใด

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2 ขอ้ 29. เมื่อจดั 4 5n 1 (2n 2 2n 1) (3n 3n 2)
ให้อยใู่ นรูป a bn จงหาว่า a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
ขอ้ 25. P เร่ิมตน้ อยทู่ ี่จุด 0 บนเสน้ จานวน ดงั รูป
ถา้ โยนเหรียญแลว้ ข้ึนหวั P จะเคลื่อนท่ีไปทางขวามอื 2 หน่วย
แต่ถา้ ข้ึนกอ้ ย P จะเคลือ่ นที่ไปทางซา้ ยมอื 3 หน่วย หลงั จากโยน
เหรียญ 5 คร้ัง จงหาว่ามที ้งั หมดกกี่ รณีท่ี P จะเคล่อื นท่ีไปอยทู่ ี่จุด Q

ขอ้ 26. ในบรรดาจานวนนบั 100 , 1012, 1022, 1032, , 9002 ขอ้ 30. ถนนทอดยาวเป็นรูปสี่เหลีย่ มจตั ุรัสวนรอบสระน้า และ
จะมที ้งั หมดกจ่ี านวนท่ีเป็นจานวนกาลงั สามสมบูรณ์ (จานวนที่เขียน มีความยาวท้งั ส้ิน 1.2 กโิ ลเมตร ดงั รูป
ในรูป a3 ได)้ ให้ A, B, C, D เป็นมุมถนน ทงอีและจงั กมึ เริ่มออกเดินทาง
พรอ้ มกนั จากจุด A โดยทงอีเดินในทิศ A  B  C  D
และจงั กมึ เดินในทิศตรงกนั ขา้ ม ถา้ ท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็ นคร้งั
แรกบนดา้ น CD ที่ตาแหน่งซ่ึงห่างจากจุด C เป็นระยะ 105 เมตร
และพบกนั เป็ นคร้งั ที่สองบนดา้ น AB ท่ีตาแหน่งซ่ึงห่างจากจุด B
เป็นระยะ 75 เมตร
นบั ต้งั แต่คนท้งั สองออกเดินทางจากจุด A จนกระทง่ั เดินมาพบกนั
เป็นคร้ังที่สาม ทงอีจะเดินมากกว่าจงั กมึ เป็ นระยะทางกเี่ มตร
(ทงอีและจงั กมึ จะหยดุ พกั ที่จุดยอดแต่ละจุดเป็นเวลา 60 วินาที)

ขอ้ 27. กาหนดให้ a เป็นจานวนเฉพาะ และ b เป็นจานวนนบั ซ่ึง

b 5a 100 และให้ n b ( b อยู่ในรูปเศษส่วนอยา่ งต่า)
a a

เมื่อปัดเศษ n ให้เป็ นจานวนเต็มแลว้ ไดผ้ ลลพั ธ์เท่ากบั 10

จงหาค่าของ a b

ขอ้ 28. จากรูป จุด I เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมแนบใน ABC
เสน้ ตรง BI ตดั ดา้ น AC ที่จุด D เส้นตรง CI ตดั ดา้ น AB ที่จุด E
ถา้ BDˆC BEˆC 159 แลว้ จงหาขนาดของมมุ A

เฉลยข้อสอบการประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์
ประจาปี 2554 (TME) ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 2

ขอ้ 1. ตอบ 7 ขอ้ 2. ตอบ 107 ขอ้ 3. ตอบ 17
ขอ้ 4. ตอบ 2 ขอ้ 5. ตอบ 0 ขอ้ 6. ตอบ 3
ขอ้ 7. ตอบ 48 ขอ้ 8. ตอบ 8 ขอ้ 9. ตอบ 34
ขอ้ 10. ตอบ 120 ขอ้ 11. ตอบ 0 หรือ 2 ขอ้ 12. ตอบ 16
ขอ้ 13. ตอบ 17 ขอ้ 14. ตอบ 44 ขอ้ 15. ตอบ 75
ขอ้ 16. ตอบ 3 ขอ้ 17. ตอบ 5 ขอ้ 18. ตอบ 7
ขอ้ 19. ตอบ 12 ขอ้ 20. ตอบ 7 ขอ้ 21. ตอบ 59
ขอ้ 22. ตอบ 29 ขอ้ 23. ตอบ 15 ขอ้ 24. ตอบ 21
ขอ้ 25. ตอบ 5 ขอ้ 26. ตอบ 5 ขอ้ 27. ตอบ 214
ขอ้ 28. ตอบ 46 ขอ้ 29. ตอบ 36 ขอ้ 30. ตอบ 630

ขอ้ 1. ตอบ 7

เน่ืองจาก 52 2 2 13

จานวนนบั ใด ๆ เมื่อหารดว้ ย 2 จะไดผ้ ลลพั ธ์เป็นจานวนนบั หรือเป็นทศนิยมซ้าศนู ย์
แตจ่ านวนนบั ใด ๆ เมื่อหารดว้ ย 13 ถา้ หารไม่ลงตวั ผลลพั ธ์จะเป็นทศนิยมซ้า
ดงั น้นั จานวนนบั ที่มีสองหลกั ท่ีหารดว้ ย 52 แลว้ ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นจานวนนบั หรือเป็น

ทศนิยมซ้าศนู ย์ จานวนน้นั จะตอ้ งเป็นพหุคูณของ 13 ซ่ึงไดแ้ ก่
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 ซ่ึงมีท้งั หมด 7 จานวน

ขอ้ 2. ตอบ 107 x 1.3777... -------- (1)
ให้ 100x -------- (2)
10x 137.777...
(1) – (2)
90x 13.777...
จะได้ m
x 124
124
x 90
62
62, n 45
45

2

ดงั น้นั m n 62 45 107

ขอ้ 3. ตอบ 17

(6ab2 3a2b 10ab) 1 3b 3 a 5
2ab 2

แทน a 2, b 5 ลงใน 3b 3 a 5

2

จะได้ 3(5) 3 ( 2) 5 15 3 5 17

2

ขอ้ 4. ตอบ 2

4x (x 5y) 2 -------- (1)
-------- (2)
3(x 2y) x 3y 14
2
จาก (1) 4x (x 5y)

3x 5y 2 -------- (3)
y -------- (4)
2 3x
จาก (2) 3(x 2y) x 3y 5 2

14

2x 3y 14
y
2x 14
จาก (3) และ (4) จะได้ 2 3x 3

5 2x 14
3

6 9x 10x 70

19x 76

x4 6
3
แทน x 4 ลงใน (4) จะได้ y 2(4) 14

3

จาก x a, y b จะได้ a 4, b 2

ดงั น้นั a b 4 ( 2) 2

ขอ้ 5. ตอบ 0 4b 4
แทน a 2b 3 ลงใน 3a 2b 5
จะได้ 3(2b 3) 2b 5 6b 9 2b 5
นนั่ คือ p 4, q 4
ดงั น้นั p q 4 4 0

3

ขอ้ 6. ตอบ 3
จาก 3x 2y 20 เมื่อ x เป็ นจานวนนบั จะได้

x 1 2 3 4 5 6 7 ...
y 17 7 11 4 5 1
1 ...

222 2

เนื่องจาก y เป็นจานวนนบั 20 ไดแ้ ก่
ดงั น้นั คูอ่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ 3x 2y

(2, 7),(4, 4),(6, 1) ซ่ึงมีท้งั หมด 3 คูอ่ นั ดบั

ขอ้ 7. ตอบ 48
จากเส้นตรง x 3y 12 0 ตดั แกน x ท่ีจุด (a, 0)
นน่ั คือ เมื่อแทน x a และ y 0 ลงใน x 3y 12 0 จะทาใหส้ มการเป็ นจริง
ซ่ึงจะได้ a 12 0 หรือ a 12
และจากเส้นตรง x 3y 12 0 ตดั แกน y ที่จุด (0,b)
นนั่ คือ เมื่อแทน x 0 และ y b ลงใน x 3y 12 0 จะทาใหส้ มการเป็ นจริง
ซ่ึงจะได้ 3b 12 0 หรือ b 4
ดงั น้นั ab ( 12)( 4) 48

ขอ้ 8. ตอบ 8

xy4 0 -------- (1)

2x y 10 0 -------- (2)

แทน x a และ y b ลงใน (1) และ (2)

จะได้ a b 4 0 -------- (3)

2a b 10 0 -------- (4)

จาก (3) ab 4 0

จาก (4) b a4 -------- (5)
2a b 10 0 -------- (6)

b 10 2a
10 2a
จาก (5) และ (6) จะได้ a 4

3a 6

a2

แทน a 2 ลงใน (5) จะได้ b 2 4 6

4

ดงั น้นั a b 2 6 8

ขอ้ 9. ตอบ 34 34
(ก) เป็นจริง
(ข) ไม่จริง เช่น 2 เป็นพหุคูณของ 2 แต่ 2 ไมเ่ ป็ นพหุคูณของ 4
(ค) ไม่จริง เช่น เมื่อ c 0 นนั่ คือ a ไม่จาเป็ นตอ้ งเทา่ กบั b
(ง) ไมจ่ ริง เช่น เม่ือ a 0 แต่ b ไม่จาเป็ นตอ้ งเท่ากบั 0
(จ) จริง
ดงั น้นั ผลบวกของจานวนท่ีอยทู่ างขวามือในขอ้ ที่เป็ นจริง คือ 2 32

ขอ้ 10. ตอบ 120
จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีจุด M เป็ นจุดก่ึงกลางของดา้ น BC
นน่ั คือ จุด M เป็นจุดศูนยก์ ลางวงลอ้ มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

จะได้ MA=MB=MC และ Bˆ+Cˆ=90
จาก Bˆ 2Cˆ จะได้ 3Cˆ=90 ดงั น้นั Cˆ=30
จาก MA=MC ดงั น้นั รูปสามเหลี่ยม AMC เป็ นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั
และ MAˆC=MCˆA
ดงั น้นั AMˆ C=180 (MAˆC+MCˆA)=120

ขอ้ 11. ตอบ 0 หรือ 2

0.ab 10a b, 0.ba 10b a, 0. 3 3
99 99 9

0.ab 0.ba 0. 3

10a b 10b a 3
99 99 9

10a b 10b a 33
10(a b) (a b) 33

นนั่ คือ a b 3

5

กรณีท่ี 1 a 2 และ b 1 หรือ a 1 และ b 2
กรณีท่ี 2 กรณีน้ีจะได้ ab 2
a 0 และ b 3 หรือ a 3 และ b 0
กรณีน้ีจะได้ ab 0

ขอ้ 12. ตอบ 16 3 xy3 2 9 3 23 x 6y 3 42 93 x 4y5
4 33 32 x 2y6 43
2 x 2y 3 4 x 4y5 6x 8y2
3

จะได้ a 6 , b 8 และ c 2
ดงั น้นั a b c 6 8 2 16

ขอ้ 13. ตอบ 17

จาก x y
3
2

จะได้ y 3
2
x

จะได้ x2 1
1 y2
x2 y2
x2

1

1 32
22

1

13

4

4

13

จะได้ n 4 และ m 13

ดงั น้นั m n 13 4 17

ขอ้ 14. ตอบ 44 0.0688 แตเ่ ม่ือปัดเศษ 2a ใหเ้ ป็ นทศนิยม
(ก) ไม่จริง เช่น a 0.0344 จะได้ 2a
สามตาแหน่ง จะได้ 0.069
(ข) จริง
(ค) จริง

6

(ง) ไม่จริง เช่น a 0.03444 เมื่อปัดเศษ a ใหเ้ ป็ นทศนิยมส่ีตาแหน่ง จะได้ 0.0344
(จ) จริง
ดงั น้นั ผลบวกของจานวนท่ีอยทู่ างขวามือในขอ้ ที่เป็ นจริง คือ 4 8 32 44

ขอ้ 15. ตอบ 75
ใหร้ ะยะทางระหวา่ งจุด A กบั จุด B เป็น x กิโลเมตร
และระยะทางระหวา่ งจุด B กบั จุด C เป็ น 125 x กิโลเมตร

การเดินทางจากจุด A ไปยงั จุด B ใชเ้ วลา x ชวั่ โมง

30

การเดินทางจากจุด B ไปยงั จุด C ใชเ้ วลา 125 x ชว่ั โมง

40

และการเดินทางจากจุด A ไปยงั จุด C ใชเ้ วลา 3 45 หรือ 3 3 ชวั่ โมง

60 4

นน่ั คือ x 125 x 33
30 40 4

4x 375 3x 450

x 75

ดงั น้นั ระยะทางระหวา่ งจุด A กบั จุด B เป็น 75 กิโลเมตร

ขอ้ 16. ตอบ 3

xa 1 -------- (1)

5x 4 3(x 4) -------- (2)

จาก (1) จะได้ a x 1

จาก (2) จะได้ x 4

นนั่ คือ x 1 3

จะได้ a 3 ท่ีทาใหจ้ านวนจริง x สอดคลอ้ งกบั อสมการ (1) และ (2)

ดงั น้นั ค่า a ท่ีมากท่ีสุดที่ทาใหไ้ ม่มีจานวนจริง x ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั อสมการ (1) และ (2)

คือ 3

7

ขอ้ 17. ตอบ 5

2 หน่วย

S

2 หน่วย

y 2x 2 -------- (1)

y 1 x 1 -------- (2)

2

y b x -------- (3)
a

เม่ือแทน y 0 ลงใน (1) จะได้ x 1 ดงั น้นั พกิ ดั ของจุด R คือ (1, 0)

เมื่อแทน y 0 ลงใน (2) จะได้ x 2 ดงั น้นั พกิ ดั ของจุด Q คือ ( 2, 0)

นน่ั คือ ระยะจากจุด Q ถึงจุด R คือ 3

จะไดพ้ ้นื ที่ของรูปส่ีเหลี่ยม PQR 1 2 3 3 ตารางหน่วย

2

กาหนดใหจ้ ุดที่เกิดจากการตดั กนั ของ y 1 x 1 และ y b x คือ จุด S
2 a

จะไดพ้ ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียม SQO 1 ของพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหลี่ยม PQR 3
ระยะจากจุด Q ถึงจุด O คือ 2 2
2

พ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียม SQO 1 ฐาน สูง

2

3 1 2 สูง

22

ดงั น้นั สูง 3

2

แทน y 3 ลงใน (2) จะได้ x 1

2

นน่ั คือ พกิ ดั ของจุด S คือ (1, 3)

2

แทน x 1 และ y 3 ลงใน (3) จะได้ b 3

2 a2

นน่ั คือ b 3 และ a 2

ดงั น้นั a b 2 3 5

8

ขอ้ 18. ตอบ 7
จากโจทย์ B ชนะ A แต่แพ้ C แสดงวา่ B แข่งขนั กบั C ในการแขง่ ขนั รอบ 2
D ชนะ 1 แพ้ 1 แสดงวา่ ผา่ นรอบแรก แต่ตกรอบ 2 จึงตอ้ งเป็นคู่แขง่ ขนั ของ E

C D
C

CD

นกั เรียน A B C D E F G H
หมายเลข 1 2 3 4 5 6 7 8

E แขง่ ขนั คร้ังที่ 2 กบั D ซ่ึงไดห้ มายเลข 4 และแข่งรอบชิงชนะเลิศกบั C ซ่ึงได้
หมายเลข 3
นนั่ คือ a 4 และ b 3
ดงั น้นั คาตอบคือ a b 4 3 7

ขอ้ 19. ตอบ 12 หอ้ งอา่ น ทางเดินในตึก หอ้ งน้า
หนงั สือ ทางเดินในตึก หอ้ งน้า
หอ้ งเก็บ ทางเดินในตึก หอ้ งน้า
หนงั สือ หอ้ งอา่ น หอ้ งน้า
หนงั สือ ทางเดินในตึก หอ้ งน้า
ทางเดินในตึก หอ้ งน้า
ทางเดินในตึก
หอ้ งน้า
หอ้ งน้า
หอ้ งน้า
หอ้ งน้า
หอ้ งน้า
หอ้ งน้า

9

ขอ้ 20. ตอบ 7
ถา้ แสดงกรณีที่หลงั จากผา่ นไป 3 วนิ าที แลว้ จุด P เคล่ือนท่ีไปอยทู่ ี่จุด D จะไดด้ งั รูป
ตอ่ ไปน้ี

ดงั น้นั จะไดท้ ้งั หมด 7 กรณี

ขอ้ 21. ตอบ 59
จากโจทย์ กาหนดให้ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ABC มี AB=AC และ Aˆ=56
นน่ั คือ Bˆ=Cˆ= 1 (180 56 ) 62

2

เนื่องจาก BD=CE , Bˆ=Cˆ และ CD=BF
ดงั น้นั BDF CED
นน่ั คือ DF=ED

พิจารณา BDF BDˆF DFˆB=180 62 118 118 62
เน่ืองจาก DFˆB EDˆ C ดงั น้นั BDˆF EDˆC=118 และ FDˆE=180

จาก DF=ED นนั่ คือ DFˆE=BEˆF= 180 2 62 59

ขอ้ 22. ตอบ 29

x 2y z 0 -------- (1)

3x 2y 3z 0 -------- (2)

xyz 0 -------- (3)

จาก (1) จะได้ 2y x z -------- (4)

จาก (2) จะได้ 2y 3z 3x -------- (5)

จาก (4) และ (5) จะได้ x z 3z 3x นนั่ คือ 4x 2z หรือ z 2x

แทน z 2x ลงใน (1)

10

จะได้ x 2y 2x 0

3x 2y

x 2y
2:3:4 3

ดงั น้นั x : y : z

ถา้ x 2k โดยท่ี k เป็ นจานวนจริง จะได้ y 3k และ z 4k

นน่ั คือ xyz 2k 3k 4k
2y z 2z x 2x y 6k 4k 8k 2k 4k 3k

2k 3k 4k
10k 10k 7k
14 21 40

70
75
70
15
14

นน่ั คือ b 15 และ a 14

ดงั น้นั a b 14 15 29

ขอ้ 23. ตอบ 15

กรณีท่ีไมส่ ามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมไดค้ ือกรณีที่เส้นตรงท้งั สามเส้นตดั กนั ท่ีจุดเพยี งจุด

เดียวหรือมีเส้นตรงสองเส้นขนานกนั

(i) กรณีท่ี x 2y 0 และ 2x ay 5 ขนานกนั

x 2y 0 -------- (1)

2x ay 5 -------- (2)

จาก (1) จะได้ 2x 4y 0

ดงั น้นั a 4

(ii) กรณีท่ี x 3y 5 และ 2x ay 5 ขนานกนั

x 3y 5 -------- (1)

2x ay 5 -------- (2)

จาก (1) จะได้ 2x 6y 10

ดงั น้นั a 6

(iii) กรณีที่เส้นตรงท้งั สามเส้นตดั กนั ท่ีจุดเพียงจุดเดียว

x 2y 0 -------- (1)

x 3y 5 -------- (2)

2x ay 5 -------- (3)

จาก (1) จะได้ x 2y -------- (4)

11

จาก (2) จะได้ x 3y 5 -------- (5)

จาก (4) และ (5) จะได้ 2y 3y 5 นน่ั คือ y 5

แทน y 5 ลงใน (1) จะได้ x 10

ดงั น้นั เส้นตรง x 2y 0 และเส้นตรง x 3y 5 ตดั กนั ท่ีจุด ( 10, 5)

แทน x 10 และ y 5 ลงใน 2x ay 5

จะได้ 2( 10) a(5) 5 นน่ั คือ a 5

ดงั น้นั จากท้งั สามกรณีผลบวกของคา่ a ท้งั หมดที่ทาใหไ้ ม่สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยม

ดงั กล่าวได้ 4 6 5 15

ขอ้ 24. ตอบ 21

N
M

B (8, 5)

ใหจ้ ุด B (8, 5) เป็ นจุดท่ีเกิดจากการสะทอ้ นจุด B(8, 5) ขา้ มแกน x

จะไดว้ า่ PB=PB
นน่ั คือ AP+PB=AP+PB
จากโจทยต์ อ้ งการให้ AP+PB มีค่านอ้ ยที่สุด
นนั่ คือ AP+PB มีคา่ นอ้ ยที่สุด
ดงั น้นั จุด A จุด P และจุด B ตอ้ งอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั
ลากเส้นจากจุด A และ B ไปต้งั ฉากกบั แกน x ท่ีจุด M และ N ตามลาดบั

สังเกตวา่ AMP คลา้ ยกบั B NP จึงไดว้ า่ AM = B N

MP NP

ดงั น้นั

3 5

b 2 8 b
a a

24 3b 5b 10
a a

12

8b 34
a
b 17
a 4
4
นน่ั คือ b 17 และ a
ดงั น้นั a 21
b 17 4

ขอ้ 25. ตอบ 5

ให้ x แทนจานวนคร้ังที่โยนเหรียญแลว้ ออกหวั

และ y แทนจานวนคร้ังท่ีโยนเหรียญแลว้ ออกกอ้ ย

จากโจทยจ์ ะได้ x y 5 -------- (1)

2x 3y 5 -------- (2)

จาก (1) จะได้ 2x 2y 10 -------- (3)

จาก (2) จะได้ 2x 3y 5 -------- (4)

จาก (3) และ (4) จะได้ 2y 10 3y 5 นนั่ คือ y 1

แทน y 1 ลงใน (1) จะได้ x 4

แสดงวา่ หลงั จากโยนเหรียญ 5 คร้ัง ออกหวั 4 คร้ัง และออกกอ้ ย 1 คร้ัง

นนั่ คือ จะมีท้งั หมด 5 กรณีท่ี P จะเคลื่อนท่ีไปอยทู่ ่ีจุด Q

ซ่ึงไดแ้ ก่ (หวั , หวั , หวั , หวั , กอ้ ย), (หวั , หวั , หวั , กอ้ ย, หวั ), (หวั , หวั , กอ้ ย, หวั , หวั ),

(หวั , กอ้ ย, หวั , หวั , หวั ), (กอ้ ย, หวั , หวั , หวั , หวั )

ขอ้ 26. ตอบ 5
ให้ x2 a3
เนื่องจาก 2 และ 3 เป็ นจานวนเฉพาะ ดงั น้นั a จะตอ้ งเขียนอยใู่ นรูป y2
นนั่ คือ x2 (y2)3 (y3)2
ดงั น้นั x y3
นนั่ คือ x เป็นจานวนกาลงั สามสมบรู ณ์
จาก 100, 101, 102, 103, , 900 จานวนท่ีเป็ นจานวนกาลงั สามสมบรู ณ์ ไดแ้ ก่

53, 63, 73, 83, 93 ซ่ึงมีท้งั หมด 5 จานวน

13

ขอ้ 27. ตอบ 214
กาหนดให้ a เป็นจานวนเฉพาะ และ b เป็นจานวนนบั

b 5a 100

b 5a 100

b 5 100
a a

จากโจทย์ n b โดยท่ีเม่ือปัดเศษ n ใหเ้ ป็นจานวนเตม็ จะไดผ้ ลลพั ธ์เป็น 10
a

นน่ั คือ 9.5 5 100 และ 5 100 10.5

aa

4.5 100 และ 100 5.5

aa

a 100 และ 100 a

4.5 5.5

a 1000 และ 1000 a

45 55

a 22.2222... และ 18.1818... a

เนื่องจาก a เป็ นจานวนเฉพาะ ดงั น้นั a 19

และเม่ือแทน a 19 ลงใน b 5a 100 จะได้ b 195

ดงั น้นั a b 19 195 214

ขอ้ 28. ตอบ 46

เนื่องจากจุด I เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมแนบใน ABC

ดงั น้นั ABˆD=CBˆD และ ACˆE=BCˆE

จาก ABD จะได้ ADˆ B=180 (BAˆD+ABˆD)

นน่ั คือ BDˆ C = 180 ADˆ B = BAˆD+ABˆD -------- (1)

จาก ACE จะได้ CEˆA=180 (EAˆC+ACˆE)

นน่ั คือ BEˆC = 180 CEˆA = EAˆC+ACˆE -------- (2)

เนื่องจาก BDˆC BEˆC 159 -------- (3)

14

จาก (1), (2) และ (3) จะได้ BAˆD+ABˆD+EAˆC+ACˆE 159

และ BAˆC BAˆD=EAˆC -------- (4)

นนั่ คือ 2BAˆ C+ABˆ D+ACˆ E 159 -------- (5)

จาก ABC จะได้ BAˆC+ABˆC+ACˆB = 180

หรือ BAˆC+2ABˆD+2ACˆE = 180 -------- (6)

จาก (6) จะได้ 2ABˆ D+2ACˆ E = 180 BAˆC -------- (7)

จาก (5) จะได้ 2ABˆ D+2ACˆ E 318 4BAˆC -------- (8)

จาก (7) และ (8) จะได้ 180 BAˆC 318 4BAˆC

ดงั น้นั 3BAˆ C 138
BAˆ C 46

ขอ้ 29. ตอบ 36 2n 1) (3n 3n 2) 22 5n 1 (2n 2 2n 1) (3n 3n 2)
5n 1 (2n 2n 1) (3n 3n 2)
4 5n 1 (2n 2 5n 1 2n (1 2) 3n (1 32)

5n 1 2n 3 3n 10
5n 1 2n 3 3n 2 5
(2 3) (5 2 3)n

6 30n

จะได้ a 6, b 30
ดงั น้นั a b 6 30 36

ขอ้ 30. ตอบ 630

ใหท้ งอีเดินไดร้ ะยะทาง 1 เมตร ในเวลา x วนิ าที
และจงั กึมเดินไดร้ ะยะทาง 1 เมตร ในเวลา y วนิ าที

15

เนื่องจากความยาวรอบรูปของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสยาว 1.2 กิโลเมตร

นนั่ คือ แตล่ ะดา้ นของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสยาว 300 เมตร

เนื่องจากท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังแรกบนดา้ น CD ที่ตาแหน่งซ่ึงห่างจากจุด C

เป็นระยะ 105 เมตร นน่ั คือ เวลาที่ทงอีใชใ้ นการเดิน เท่ากบั เวลาท่ีจงั กึมใชใ้ นการเดิน

ซ่ึงจะได้ 705x 120 495y 60 -------- (1)

เนื่องจากท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังที่สองบนดา้ น AB ที่ตาแหน่งซ่ึงห่างจากจุด B

เป็นระยะ 75 เมตร นน่ั คือ เมื่อเร่ิมนบั เวลาจากการที่ท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังแรก

จะได้ เวลาท่ีทงอีใชใ้ นการเดิน เท่ากบั เวลาท่ีจงั กึมใชใ้ นการเดิน

720x 120 480y 120 -------- (2)

จาก (1) จะได้ 47x 4 33y -------- (3)

จาก (2) จะได้ 3x 2y -------- (4)

จาก (3) จะได้ 94x 8 66y -------- (5)

จาก (4) จะได้ 99x 66y -------- (6)

จาก (5) และ (6) จะได้ 94x 8 99x

x8
5

แทน x 8 ลงใน (4) จะได้ y 12
5 5

เม่ือเริ่มนบั เวลาจากการที่ท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังสอง

ถา้ ทงอีเดินไปถึงจุด D จะใชเ้ วลา 675 8 120 1200 วนิ าที

5

และถา้ จงั กึมเดินไปถึงจุด D จะใชเ้ วลา 525 12 60 1320 วนิ าที

5

เม่ือพจิ ารณาเวลาเดินทางของทงอีและจงั กึมที่จุด D แลว้ พบวา่ จงั กึมใชเ้ วลาเดินทาง
มากกวา่ แสดงวา่ ท้งั สองน่าจะพบกนั เป็นคร้ังท่ีสามที่จุดหน่ึงบนดา้ น AD
ให้ a แทนระยะทางที่อยหู่ ่างจากจุด D บนดา้ น AD ซ่ึงท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ัง
ท่ีสาม

และเมื่อเร่ิมนบั เวลาจากการที่ท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังสอง
นนั่ คือเวลาท่ีทงอีใชใ้ นการเดิน เทา่ กบั เวลาที่จงั กึมใชใ้ นการเดิน เพ่อื ที่จะพบกนั ในคร้ังที่

สาม

จะได้ (675 a) 8 180 (525 a) 12 60
5 5

16

(675 a) 8 120 (525 a) 12
5 5

(675 a)2 150 (525 a)3

1350 2a 150 1575 3a

5a 75

a 15

ดงั น้นั ท้งั สองคนเดินมาพบกนั เป็นคร้ังที่สามบนดา้ น AD ท่ีตาแหน่งซ่ึงห่างจากจุด D
เป็ นระยะ 15 เมตร

นนั่ คือ ทงอีเดินไดร้ ะยะทางท้งั หมด 7 300 15 2115 เมตร
และจงั กึมเดินไดร้ ะยะทางท้งั หมด 4 300 285 1485 เมตร
ดงั น้นั ทงอีจะเดินมากกวา่ จงั กึมเป็ นระยะทาง 2115 1485 630 เมตร

TME มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 3

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2554 (TME)

ชื่อ – นามสกุล โรงเรียน
ช้นั

คาสั่ง ข้อสอบมที ้งั หมด 4 หน้า จานวน 30 ข้อ ขอ้ 5. กราฟต่อไปน้ีแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งคะแนนวชิ า
ให้เขยี นตวั เลขและระบายคาตอบ ลงในกระดาษคาตอบ คณิตศาสตร์และคะแนนวิชาภาษาเกาหลขี องนกั เรียน 16 คน
จงหาวา่ นกั เรียนที่ไดค้ ะแนนวชิ าคณิตศาสตร์สูงกว่าคะแนนวชิ า
ขอ้ 1. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มซ่ึงสอดคลอ้ งกบั สมการ ภาษาเกาหลีมีจานวนกเ่ีปอร์เซนต์ของนกั เรียนท้งั หมด

4 20 32 5 18 a 5 b 2

จงหาว่า a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 2. ถา้ สมการ 9x2 6x 4 0 มคี าตอบเป็ น a 3 b
จงหาวา่ 2a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 3. เม่ือจดั สมการ (x 1)(x 5) 4 ใหอ้ ยใู่ นรูป (x a)2 b ขอ้ 6. ถา้ พาราโบลา y x2 bx c มีจุด (–3, 2) เป็นจุดต่าสุด
จงหาว่า a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด จงหาวา่ b c มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 4. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหน่ึงมีดา้ นท้งั สามยาว a 7, a, a 1 ขอ้ 7. วงกลม O สมั ผสั ดา้ นของ ABC ท่ีจุด D, E, F ดงั รูป
จงหาวา่ a มคี ่าเท่ากบั เท่าใด ถา้ AB = 11, AC = 10, AD = 4 แลว้ ดา้ น BC ยาวกหี่ น่วย

สนบั สนุนโดย

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ขอ้ 13. จากสมการ
ขอ้ 8. จงหาสมั ประสิทธ์ิของ x เมือ่ กระจายนิพจน์ต่อไปน้ี

(3x 5)(x 4) 2(x 1)(x 5)

เมื่อ n อยู่ในรูปเศษส่วนอยา่ งต่า
m

จงหาว่า m n มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 9. ถา้ เสมอ
แลว้ a มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 14. กราฟพาราโบลา y ax2 bx c ตดั แกน x ท่ีจุด
( 1, 0), (3, 0) และตดั แกน y ที่จุด (0, 6)
จงหาวา่ a b c มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 10. ตารางต่อไปน้ีแสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างคะแนนวิชา
คณิตศาสตร์กบั คะแนนวิชาภาษาองั กฤษของนกั เรียน 30 คน
ตัวอย่างเช่น นักเรียนท่ีได้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 3 คะแนน และ
ได้คะแนนวิชาภาษาองั กฤษ 4 คะแนน มี 2 คน

ภาษาองั กฤษ 0 1 2 3 4 5 รวม

คณิตศาสตร์

5 21 3

4 32 5

3 232 7

2 154 10

1 12 3 ขอ้ 15. ถา้ x2 3x 2x2 5x 2 แลว้
จงหาวา่ x มีค่าเท่ากบั เท่าใด
0 11 2
ขอ้ 16. ถา้ เลื่อนขนานกราฟพาราโบลา y 2x2 4x 3 ไปเป็ น
รวม 1 3 9 10 6 1 30 ระยะ p ในแนวแกน x และเป็นระยะ q ในแนวแกน y แลว้
ไดภ้ าพที่ทบั ซอ้ นกบั กราฟพาราโบลา y 2x2 12x 3 ไดส้ นิท
จงหาวา่ นกั เรียนท่ีไดค้ ะแนนวิชาคณิตศาสตร์และวชิ า จงหาว่า p q มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
(ถา้ p < 0 หมายความว่าเลื่อนกราฟไปทางซา้ ย
ภาษาองั กฤษรวมกนั ไม่เกนิ 5 คะแนนมที ้งั หมดกค่ี น ถา้ q < 0 หมายความวา่ เลื่อนกราฟลงลา่ ง)

ขอ้ 11. ถา้ ผลบวกของคาตอบท้งั สองค่าจากสมการ x2 2x 1 0
เป็นคาตอบของสมการ x2 4x k 0 ดว้ ย
จงหาว่าค่าคงตวั k มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 12. กาหนดให้ x 5 2 และ y 3
x2 3xy y2 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด 52

TME มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 3

ขอ้ 17. ถา้ ระยะห่างจากจุดกาเนิดถึงเสน้ ตรง 2x y 8 0 เท่ากบั ขอ้ 21. รูปส่ีเหล่ยี มผนื ผา้ PBQR มีพ้นื ที่ 40 ตารางหน่วย มีเสน้ ทแยง
มุมยาว 12 หน่วย และอยใู่ นรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัส ABCD ท่ีมีดา้ นหน่ึง
OH = n 5 โดยที่ n อยู่ในรูปเศษส่วนอยา่ งต่า ยาว 15 หน่วย ดงั รูป
m m ถา้ AP QC a b 14 เมื่อ a,b เป็ นจานวนเต็ม
แลว้ จงหาวา่ a b มีค่าเท่ากบั เท่าใด
จงหาวา่ mn มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 18. กราฟพาราโบลา y a(x2 3x 2) ตดั แกน x ที่จุด A และ
B และมีจุด C เป็นจุดยอด ถา้ พ้ืนที่ของ ABC เท่ากบั 10
จงหาค่าของ a (a เป็นค่าคงตวั ซ่ึง a 0 )

ขอ้ 22. กาหนดให้ a,b เป็นจานวนนบั เมื่อจดั 3x2 (a 2)x 7b
ให้อยูใ่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ จงหาวา่ a b จะมีค่านอ้ ยท่ีสุด
เท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 19. ถา้ 3 1 = n a โดยท่ี n เป็นจานวนเต็ม และ 0 a 1
22

จงหาว่า a2 4a 4 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 23. จากรูป OB1 เป็นเส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหลีย่ มจตั ุรัส OA1B1C

ซ่ึงมี OA1 1

ขอ้ 20. ให้ ABCD เป็นพีระมดิ ฐานสามเหลีย่ ม โดยทุกหนา้ เป็นรูป และ OB1 OA2, OB2 OA3, OB3 OA4,
สามเหลี่ยมดา้ นเท่า ที่มีดา้ นยาว 12 หน่วย ดงั รูป
ถา้ P,Q, R เป็นจุดกง่ึ กลางของดา้ น AB, AD, CD ตามลาดบั ถา้ P2 OA1 1 , P3 OA2 1 , P4 OA3 1 ,
จงหาพ้นื ที่ของ PQR OA2 OA3 OA4

จงหาว่า P2 P3 P64 มีค่าเท่ากบั เท่าใด

TME มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 ขอ้ 28. เจาะรูโต๊ะตวั หน่ึงเป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าท่ีมีดา้ นยาว 24 3
หน่วย ดงั รูป เมือ่ วางทรงกลมลูกหน่ึงลงในรูที่เจาะไว้ พบวา่ ส่วนที่
ขอ้ 24. กราฟพาราโบลา y ax2 2ax b ผา่ นจุด (3, 3) และค่า อยเู่ หนือโต๊ะมีความสูงเท่ากบั 18 หน่วย จงหาความยาวรัศมขี องทรง
ต่าสุดของ y เป็น 5 จงหาวา่ a b มคี ่าเท่ากบั เท่าใด กลมน้ี

ขอ้ 25. นาฬกิ าเรือนหน่ึงเป็นรูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั ดงั รูป

ให้ S1 เป็นพ้นื ที่ของส่วนที่แสดงเวลาต้งั แต่ 3 ถึง 4 นาฬิกา

และ S2 เป็นพ้ืนท่ีของส่วนท่ีแสดงเวลาต้งั แต่ 4 ถงึ 5 นาฬิกา

ถา้ S2 a b 3 โดยที่ a และ b เป็นจานวนเต็ม
S1

จงหาวา่ a2 b2 มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 29. รูปต่อไปน้ีแสดงส่วนของพาราโบลาที่อยภู่ ายในรูปสี่เหลี่ยม

จตั ุรสั ABCD ท่ีมดี า้ นยาว 4 หน่วย โดยจุด P เป็นจุดยอดของ

พาราโบลา และ CQ 3 ถา้ AP n โดยที่ n อยูใ่ นรูป
m m

เศษส่วนอยา่ งต่า จงหาวา่ m n มีค่าเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 26. จานวนคู่บวกท่ีมีสามหลกั 2 จานวนท่ีมีค่าเรียงต่อกนั และแต่ละ
จานวนหาร 524– 1 ไดล้ งตวั น้นั จะมีผลบวกที่นอ้ ยที่สุดเท่ากบั เท่าใด

ขอ้ 27. ABCD มคี วามยาวดา้ นแต่ละดา้ นเป็นจานวนเตม็ และ ขอ้ 30. ถา้ a,b,x,y เป็นจานวนจริงบวกซ่ึง x y a b 6 2
AB 2, AD 6, Bˆ Dˆ 90 ถา้ ความยาวรอบรูปของรูป จงหาค่านอ้ ยที่สุดของ x2 a2 y2 b2
สี่เหล่ียมน้ีมคี ่ามากที่สุดเท่ากบั M และมคี ่านอ้ ยที่สุดเท่ากบั m
จงหาว่า M m มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

เฉลยข้อสอบการประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์
ประจาปี 2554 (TME) ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 3

ขอ้ 1. ตอบ 14 ขอ้ 2. ตอบ 7 ขอ้ 3. ตอบ 5
ขอ้ 4. ตอบ 12 ขอ้ 5. ตอบ 25 ขอ้ 6. ตอบ 17
ขอ้ 7. ตอบ 13 ขอ้ 8. ตอบ 9 ขอ้ 9. ตอบ 6
ขอ้ 10. ตอบ 17 ขอ้ 11. ตอบ 4 ขอ้ 12. ตอบ 5
ขอ้ 13. ตอบ 23 ขอ้ 14. ตอบ 8 ขอ้ 15. ตอบ 2
ขอ้ 16. ตอบ 18 ขอ้ 17. ตอบ 40 ขอ้ 18. ตอบ 80
ขอ้ 19. ตอบ 8 ขอ้ 20. ตอบ 18 ขอ้ 21. ตอบ 26
ขอ้ 22. ตอบ 65 ขอ้ 23. ตอบ 7 ขอ้ 24. ตอบ 5
ขอ้ 25. ตอบ 8 ขอ้ 26. ตอบ 250 ขอ้ 27. ตอบ 40
ขอ้ 28. ตอบ 13 ขอ้ 29. ตอบ 11 ขอ้ 30. ตอบ 12

ขอ้ 1. ตอบ 14 4 22 5 42 2 5 32 2
85 42 5 32
4 20 32 5 18 75 72

จะได้ a 7 และ b 7
ดงั น้นั a b 14

ขอ้ 2. ตอบ 7
เนื่องจากคาตอบของสมการ 9x2 6x 4 0 คือ

6 62 4 9 4
x

29

6 61 4
18

15
3

จะได้ a 1 และ b 5
ดงั น้นั 2a b 2 1 5 7

2

ขอ้ 3. ตอบ 5 4
4
x 1x 5 4
(x 3) 2 (x 3) 2 8

x 32 4
x 32

จะได้ a 3 และ b 8
ดงั น้นั a b 5

ขอ้ 4. ตอบ 12
เนื่องจาก a 7 ,a, a 1 เป็ นความยาวดา้ นท้งั สามของสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้ a 1 2 a2 a 7 2

a2 2a 1 a2 a2 14a 49

a2 16a 48 0

a 12 a 4 0

จะได้ a 12 หรือ a 4
แตถ่ า้ a 4 จะได้ a 7 เป็ นจานวนลบ

ดงั น้นั a 12

ขอ้ 5. ตอบ 25
จากกราฟ นกั เรียนที่ไดค้ ะแนนวชิ าคณิตศาสตร์สูงกวา่ คะแนนวชิ าภาษาเกาหลีมีท้งั หมด

4 คน จาก 16 คน ซ่ึงคิดเป็ น 4 100 25% ของนกั เรียนท้งั หมด

16

ขอ้ 6. ตอบ 17
จากที่โจทยก์ าหนดให้ พาราโบลา y x2 bx c มีจุด 3, 2 เป็ นจุดต่าสุด

จะได้ 3, 2 เป็ นจุดยอดของพาราโบลาและสัมประสิทธ์ิของ x2 เทา่ กบั 1

ซ่ึงสามารถเขียนสมการแทนพาราโบลาที่มีจุดยอดเป็ น 3, 2 และมีสมั ประสิทธ์ิของ

x2 เป็ น 1 ไดด้ งั น้ี y x 3 2 2 x2 6x 11

นนั่ คือ x2 bx c x2 6x 11
ซ่ึงไดว้ า่ b 6 และ c 11
ดงั น้นั b c 17

3

ขอ้ 7. ตอบ 13
จากทฤษฎีบทของวงกลม ส่วนของเส้นตรงที่ลากมาจากจุด ๆ หน่ึงภายนอกวงกลมมา
สมั ผสั วงกลมวงเดียวกนั จะยาวเท่ากนั จากรูปขา้ งล่างจึงไดว้ า่ BC ยาว 13 หน่วย

4

76

76
13

ขอ้ 8. ตอบ 9

3x 5 x 4 2x 1 x 5 3x 2 17x 20 2 x 2 4x 5
x 2 9x 30

ดงั น้นั สัมประสิทธ์ิของ x เมื่อกระจายนิพจน์ท่ีกาหนดใหค้ ือ 9

ขอ้ 9. ตอบ 6 2x 3 x 5 2x 2 7x 15
จาก 2x2 3a 11 x 15

จะได้ 3a 11 7
ดงั น้นั a 6