คลังข้อสอบ การประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (TME) ประจำปี 2553-2556

4

ขอ้ 10. ตอบ 17
จากตารางแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์
กบั คะแนนวชิ าภาษาองั กฤษของนกั เรียน 30 คน

ภาษาองั กฤษ 0 1 2 3 4 5 รวม
คณิตศาสตร์

5 213

4 32 5

3 232 7

2 154 10

1 12 3

0 11 2

รวม 1 3 9 10 6 1 30

จะเห็นวา่ มีนกั เรียนท่ีไดค้ ะแนนวชิ าคณิตศาสตร์และวชิ าภาษาองั กฤษรวมกนั ไมเ่ กิน
5 คะแนนมีท้งั หมด 1+1+1+1+2+5+2+4 = 17 คน

ขอ้ 11. ตอบ 4
เน่ืองจาก x2 2x 1 0

มีคาตอบเป็ น x 2 22 4 1 1
12

21

ดงั น้นั ผลบวกของคาตอบของ x2 2x 1 0 เทา่ กบั 1 2 1 2 2

จากที่โจทยก์ าหนดให้ ผลบวกของคาตอบของ x2 2x 1 0
เป็ นคาตอบของ x2 4x k 0 นน่ั คือเมื่อแทน x 2 ลงใน x2 4x k 0
จะได้ 22 4 2 k 0
ดงั น้นั k 4

5

ขอ้ 12. ตอบ 5

จากโจทย์ x 5 2 และ y 3 5 2 52
จะได้ xy 3 และ x y 2 2 52 5 2

ดงั น้นั x2 3xy y2 x y 2 xy 8 3 5

ขอ้ 13. ตอบ 23 10 5 8 10 12
3 12 15 3 5
8
15 8 10 12
15 3 5
8 10 12
15 3 5
8 15
15

จะได้ m 8 และ n 15
ดงั น้นั m n 23

ขอ้ 14. ตอบ 8
โจทยก์ าหนดใหก้ ราฟพาราโบลา y ax2 bx c ผา่ นจุดสามจุดไดแ้ ก่ 1, 0 , 3, 0

และ 0, 6

ดงั น้นั เม่ือแทนคา่ x และ y จากคู่อนั ดบั ท้งั สามลงในสมการพาราโบลาเราจะได้ ระบบ
สมการดงั น้ี
(1) 0 a b c
(2) 0 9a 3b c
(3) 6 c
จะได้ a 2, b 4 , และ c 6
ดงั น้นั a b c 8

6

ขอ้ 15. ตอบ 2 2 -------- (1)
จากโจทยก์ าหนดให้ x2 3x 2x2 5x
จะได้

x 2 3x 2x 2 5x

x 2 2x 0

xx 2 0

x 0, 2

ซ่ึงเม่ือแทน x 0 ลงในสมการ (1) จะได้ 0 0 2 ซ่ึงเป็ นไปไมไ่ ด้
แต่เมื่อแทน x 2 ลงในสมการ (1) จะได้ 2 2 2
ดงั น้นั x2 3x 2x2 5x 2 จะเป็ นจริงเม่ือ x 2 เท่าน้นั

ขอ้ 16. ตอบ 18
เน่ืองจากในขอ้ น้ีเป็นแปลงแบบเล่ือนขนาน จึงพิจารณาเพยี งจุดที่สมนยั กนั เพยี งคู่เดียว
เพื่อหาเวกเตอร์ของการเล่ือนขนาน
พาราโบลาตน้ แบบ

y 2x 2 4x 3 => y 2 x 12 1

มีจุดยอดคือ 1,1
พาราโบลาปลายทาง

y 2x2 12x 3 => y 2 x 3 2 15

มีจุดยอดคือ 3, 15
นน่ั คือ เวกเตอร์ที่ใชเ้ ล่ือนจุด 1,1 ไปยงั จุด 3, 15 คือ

3, 15 1,1 2
16

จะได้ p 2 และ q 16
ดงั น้นั p q 18

7

ขอ้ 17. ตอบ 40

(0, 8)

(4, 0)

AB OA2 OB2

42 82 4 5

พ้นื ที่ของ OAB คือ

1 OA OB 1 AB OH
2 2

148 1 4 5 OH
2 2

OH 8 8 5
55

ดงั น้นั m 8 และ n 5

นนั่ คือ mn 40

ขอ้ 18. ตอบ 80 a x 2 3x 2 ax 1 x 2
จาก y

จะไดจ้ ุดตดั แกน x คือ (1, 0)และ (2, 0)
จากโจทย์ ABC มีพ้นื ที่ 10 ตารางหน่วย

จะได้ 10 1 AB CD
2
10
CD 1 1 CD
2

20

จะไดจ้ ุดยอดของพาราโบลาน้ีคือ (1.5, 20)
เม่ือแทนค่าลงในสมการพาราโบลาที่กาหนดใหจ้ ะได้

20 a 1.5 2 3 1.5 2

a 80

8

ขอ้ 19. ตอบ 8

เน่ืองจาก 1 1 3 22
3 22 3 22
3 22 3 22

พจิ ารณา 2 98
3 22

83

2 22 3

5 3 22 6

จะได้ a 3 22 5 22 2

ดงั น้นั a2 4a 4 a 22

22 2 2

2 2

22
8

ขอ้ 20. ตอบ 18
เน่ืองจาก จุด P, Q, R เป็ นจุดก่ึงกลางของ AB, AD, CD ตามลาดบั

พจิ ารณา ABD จะได้ PQ // BD และ PQ 1 BD= 6
2
พิจารณา ACD จะได้ QR // AC และ QR 1 AC = 6
แต่ AC BD ดงั น้นั QR PQ 2

ดงั น้นั พ้ืนท่ีของสามเหล่ียม PQR คือ 1 6 6 = 18 ตารางหน่วย

2

หมายเหตุ

ใหจ้ ุด M เป็ นจุดก่ึงกลางของ BC

AM BC

DM BC

นน่ั คือ BC ต้งั ฉากกบั ระนาบท่ีผา่ นจุด A, M, D
เนื่องจาก AD อยบู่ นระนาบท่ีผา่ นจุด A, M, D
ดงั น้นั BC AD

9

ขอ้ 21. ตอบ 26 -------- (1)
ให้ BQ y, PB x
พจิ ารณา AP QC 15 x 15 y 30 x y
จากโจทย์ จะได้ xy 40
จากรูป PBQR เป็ นส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ จะได้

x 2 y2 122 224
x 2 y2 2xy 122 2xy

x y 2 122 2 40

xy 4 14 30 4 4
xy
ดงั น้นั AP QC 30 4

นน่ั คือ a 30 และ b
จะได้ a b 26

ขอ้ 22. ตอบ 65
3x2 a 2 x 7b เป็ นกาลงั สองสมบรู ณ์ ก็ต่อเม่ือ (a 2)2 4 3 7b

นนั่ คือ a 2 2 22 3 7 b
จึงตอ้ งมีจานวนนบั k ซ่ึง b 3 7 k2 และจะได้ a 2 2 3 7k
a b จะมีค่านอ้ ยท่ีสุด เมื่อเลือกจานวนนบั k ที่มีคา่ นอ้ ยที่สุด นน่ั คือ k 1
จึงได้ a 42 และ b 21
ดงั น้นั a b 21 44 65

ขอ้ 23. ตอบ 7

เนื่องจาก OA1 1

จะได้ OA2 OA1 2 OC 2 12 12 2,
21 3,
OA3 OA2 2 OC 2 31 4,…

OA4 OA3 2 OC 2

OAn OAn 1 2 OC 2 n1 1 n

พิจารณา Pn 1
OAn 1 OAn

1

n1 n

10

1 n 1 n
n1 n1 n
n1 n
1 n n1
n1

n1 n
1

n n1

ดงั น้นั

P2 P3 P4 P64 2 1 3 2 43 64 63

64 1 8 1 7

ขอ้ 24. ตอบ 5
พจิ ารณา y ax2 2ax b

y a x 2 2x b

y a x 2 2x 1 a b

y a x 12 a b 5 -------- (1)

เนื่องจาก กราฟมีค่าต่าสุดเท่ากบั 5 ดงั น้นั a b
และสมการพาราโบลา จะอยใู่ นรูป y a(x 1)2 5
โจทยก์ าหนดให้ กราฟพาราโบลาน้ีผา่ นจุด (3, 3)
ดงั น้นั 3 a(3 1)2 5 ซ่ึงจะได้ a 2
เมื่อแทน a 2 ลงใน (1) จะได้ b 3
ดงั น้นั a b 5

ขอ้ 25. ตอบ 8

จากรูป ABC เป็ นสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมี BAˆC 30 จึงได้

CD 3x x 3 1
BC x

และหาอตั ราส่วนพ้นื ท่ีไดด้ งั น้ี

11

S2 2 Area of ACD 2 1 CD AB 2CD 23 2
2

S1 Area of ABC 1 BC AB AB

2

จะได้ a 2 และ b 2

ดงั น้นั a2 b2 8

ขอ้ 26. ตอบ 250 512 2 1
พิจารณา 524 1

512 1 512 1

512 1 56 1 56 1

512 1 56 1 53 1 53 1

จะไดว้ า่ 53 1 126 และ 53 1 124 เป็ นจานวนคู่บวกที่มีสามหลกั และมีคา่ เรียงต่อ
กนั ซ่ึงเป็ นตวั ประกอบของ 524 1
และหากพิจารณาจานวนคูบ่ วกสามหลกั ตวั อื่น ๆ ที่นอ้ ยวา่ 124
122 120 118 116 114 112 110 108 106 104 102 100
กไ็ มม่ ีคูใ่ ดที่หาร 524 1 ไดล้ งตวั
ดงั น้นั ผลรวมของจานวนนบั ที่มีสามหลกั ที่มีผลบวกท่ีนอ้ ยท่ีสุดคือ 124 + 126 = 250

ขอ้ 27. ตอบ 40

ABCD มีความยาวดา้ นแตล่ ะดา้ นเป็ นจานวนเตม็ 32
และ AB 2, AD 6, B D 90
ให้ BC a CD b ดงั รูป
เน่ืองจาก ABC และ ACD เป็ นสามเหล่ียมมุมฉาก
จะได้ AC 2 22 a2 62 =>b2 a2 b2 32 => a b a b
เนื่องจาก a, b เป็นจานวนนบั และ a + b > a – b

12

ดงั น้นั ab 32 หรือ a b 16 หรือ a b 8
ab 1 a b 2 a b 4

ถา้ แกส้ มการดา้ นบนจะไดเ้ ป็ น

a 33 a 9 a6
b b 7 b2
2 หรือ หรือ
31

2

เนื่องจาก a, b เป็นจานวนนบั จึงเป็น a 9 หรือ a 6
b 7 b 2

เนื่องจากคา่ ของ a + b + 8 ท่ีเป็นความยาวรอบรูปคือ 9 7 8 24 หรือ

6 2 8 16

ดงั น้นั M = 24, m =16

นนั่ คือ M + m = 24 + 16 = 40

ขอ้ 28. ตอบ 13

รูปที่ 1
รูปที่ 2

เมื่อพิจารณาภาพตดั ตามขวางตรงรอยเจาะจะไดภ้ าพตามแสดงในรูปท่ี 2 เนื่องจากรูที่เจาะ
เป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมท่ีสมั ผสั กบั รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า
สอดคลอ้ งกบั จุดก่ึงกลางของรูปสามเหลี่ยม

ABH เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีมีอตั ราส่วนของดา้ นส้งั สามเป็น

AB : BH : AH 2 : 1 : 3

ดงั น้นั AH 36
เน่ืองจาก จุดก่ึงกลางของรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่าจะแบง่ เส้นมธั ยฐานหรือความสูงของ
สามเหลี่ยมเป็น 1 : 3 ตามที่แสดงในรูปที่ 2

ดงั น้นั a 1 36 12

3

สมมติใหร้ ัศมีของวงกลมยาว x หน่วย 13
ถา้ พิจารณาภาพตดั ตามแนวต้งั ของทรงกลม
ผา่ นจุดศูนยก์ ลางทรงกลมจะไดภ้ าพดงั แสดง รูปท่ี 3
ในรูปท่ี 3

ซ่ึงจะได้ x2 122 18 x 2 => x 13
ดงั น้นั ความยาวของรัศมีของวตั ถุรูปทรงกลมคือ 13

ขอ้ 29. ตอบ 11

สมการพาราโบลา y a(x h)2 k -------- (1)
แทน h b, k 4 ลงใน (1)

จะได้ y a(x b)2 4 -------- (2)
พาราโบลาผา่ นจุด Q(4, 3) นนั่ คือ แทน x 4, y 3 ลงใน (2)

จะได้ 3 a(4 b)2 4 -------- (3)
พาราโบลาผา่ นจุด O(0, 0) นน่ั คือ แทน x 0, y 0 ลงใน (2)

จะได้ 0 a(0 b)2 4 -------- (4)

จาก (4) จะได้ ab2 4 0 นนั่ คือ a 4

b2

แทน a 4 ลงใน (3)

b2

จะได้ 3 4 (4 b)2 4
b2

1 4 (16 8b b2)
b2

b2 64 32b 4b2

14

3b2 32b 64 0

(3b 8)(b 8) 0

b 8 หรือ b 8

3 8
3
จากรูป b ไมเ่ กิน 4 ดงั น้นั b
จะได้ n 8, m 3

ดงั น้นั n m 8 3 11

ขอ้ 30. ตอบ 12
ให้ x2 a2 ,m y2 b2 n
นนั่ คือ x2 a2 ,m2 y2 b2 n2
กาหนดให้ x, a, m เป็ นความยาวดา้ นของรูปสามเหล่ียม ACE

และ y, b, n เป็ นความยาวดา้ นของรูปสามเหลี่ยม BDE ดงั รูป

mn AB
AB AB 2 B B2
AC+BD 2 CD2

AC+B D 2 +CD2

(x y)2 (a b)2

2(a b)

2 62

12

และจะได้ m n 12 เม่ือจุด E อยบู่ น AB
ดงั น้นั ค่าที่นอ้ ยที่สุดของ x2 a2 y2 b2 คือ 12

TME มัธยมศึกษาปที ี่ 1 1

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2555 (TME)

ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 1

ชือ่ – นามสกุล โรงเรียน
Name – Surname
School

คาส่งั ขอ้ สอบมที ้ังหมด 6 หนา้ จานวน 30 ข้อ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ให้เขียนตวั เลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down
AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. ท่อนไม้ท่อนหน่ึงยาว 28.4 เมตร หนัก 397.6 กิโลกรมั และมีความหนาแนน่ 1. A uniform stick of length 28.4 m has a mass of 397.6 kg.
สม่าเสมอ น้า่ หนักของท่อนไมท้ ่ยี าว 1 เมตร จะเทา่ กับกก่ี โิ ลกรมั Calculate the mass of a 1-meter long stick in kg.

2. ใชเ้ ชือกยาว 75.36 เซนติเมตร ลอ้ มเปน็ วงกลม จงหาว่าวงกลมน้ีมีรศั มยี าว 2. A circle was made with thread of 75.36 cm in length.
กี่เซนตเิ มตร (กา่ หนดใหใ้ ช้ π เท่ากับ 3.14) What is the radius of this circle? (Use 3.14 for π.)

3. รถไฟขบวนหน่งึ วง่ิ ระหว่างกรงุ เทพกับหาดใหญ่ และจอดระหว่างทางท่ี 3. A train operates between Bangkok and Hatyai. The train will
สถานีหัวหิน สถานีชุมพร และสถานีพทั ลุง จะเดนิ ทางจากสถานหี นีง่ ไป stop at Huahin, Chumporn and Pattalung stations. How many
สถานหี นึ่งได้ทั้งหมดกแ่ี บบ different ways can one travel from station to station?

4. เม่ือ A : B = : 3, B : C = 5 : , และ A : B : C = 60 : 45 : 72. 4. If A : B = : 3, B : C = 5 : , and A : B : C = 60 : 45 : 72.
จงหาผลบวกของจา่ นวนสองจ่านวนทตี่ ้องเตมิ ลงใน What is the sum of all the values for the blanks?

5. จงหาจ่านวนนับN ทม่ี คี า่ นอ้ ยทีส่ ดุ ท่ีทา่ ใหไ้ มม่ ตี วั ประกอบของ 18 5. Find the smallest natural numberN such that there exists
ทม่ี คี า่ มากกวา่ N no divisor of 18 which is greater thanN .

6. ถ้าจา่ นวนนับท่ีหาร 24 ลงตัว มีทั้งหมด m ตวั และจา่ นวนนับทห่ี าร 24×5n 6. 24 can be divided by m natural numbers, and 24×5n
ลงตัว มีทง้ั หมด 20 ตวั จงหาคา่ ของ m + n (เมอื่ m และ n เป็นจา่ นวนนับ) can be divided by 20 natural numbers. Calculate m + n.

7. ในระบบเลขฐานสอง ถ้าจ่านวนนับ A และ B มีคา่ เท่ากบั 10002 และ 7. In binary system, two natural numbers A and B are
1011012 ตามลา่ ดบั จ่านวนท่ีเป็นพหคุ ณู ของ 4 ท่อี ยู่ระหวา่ ง A กับ B
มีทง้ั หมดกีจ่ ่านวน 10002 and 1011012, respectively. How many multiples
of 4 are there between A and B?
สนับสนุนโดย

TME มัธยมศึกษาปีที่ 1 2

8. เมื่อแทนกลมุ่ ของจ่านวนนบั จ่านวนเตม็ และจ่านวนตรรกยะ ด้วย N, Z และ 8. If N, Z and Q represent the sets of natural numbers, integers
Q ตามลา่ ดบั (จำนวนตรรกยะคอื จำนวนทสี่ ำมำรถเขียนอยู่ในรูปเศษสว่ นได้ and rational numbers, respectively. (A rational number can
โดยท่ีตวั เศษและตวั ส่วนเปน็ จำนวนเตม็ และตวั ส่วนไม่เทำ่ กับ 0) be expressed as a fraction of integers with a non-zero
denominator.)

2 3.14 21 0 10 2 3.14 21 0 10
4 24
7 7
8
15 0.7 17  4 24 15 0.7  17
4
5 48 5

จากจา่ นวนทก่ี า่ หนดให้ มีกจ่ี ่านวนทอี่ ย่ใู นบรเิ วณท่แี รเงาในรูปขา้ งตน้ How many numbers in the box belong to the shaded area in
the diagram?

9. ลกู บอลลกู หนง่ึ จะกระเดง้ กลบั ข้นึ ไปสูง 3 เท่าของความสงู ที่ตกลงมาเสมอ 9. A ball always bounces back 3 of the height it falls. If the

5 5

เมื่อปล่อยลกู บอลน้ลี งมาจากความสูงระดับหน่งึ ถ้าลกู บอลกระเด้งในครงั้ ท่ี height of the second bounce is 129.6 cm, what is the initial

สองสงู 129.6 เซนตเิ มตร จงหาวา่ ตา่ แหน่งท่ปี ลอ่ ยลกู บอลลงมาครงั้ แรกสงู dropping height of this ball?

ก่ีเซนตเิ มตร

10.กา่ หนดจา่ นวนเตม็ a และ b มคี ่าดังตอ่ ไปน้ี จงหาคา่ ของ b a 10. Integers a and b are given below. Evaluate b  a

11. ก่าหนดสัญลกั ษณ์ “ ” แทนการคา่ นวณดังแบบรปู ตอ่ ไปน้ี 11. The symbol “ ” represents the calculation

pattern given below.

ถา้ หากคา่ นวณค่าในตารางต่อไปน้ีตามสัญลักษณแ์ ละแบบรปู ทกี่ ่าหนด If the numbers are calculated in the same pattern, find the
ขา้ งต้น แล้ว ⓐ จะมีค่าเท่ากบั เทา่ ใด valid number for ⓐ.

a a

สนับสนุนโดย

TME มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 3

12.กา่ หนด P เปน็ รปู เรขาคณิตบนระนาบ เม่ือหมุน P รอบแกนท่เี ปน็ ดา้ นหน่ึง 12. A solid figure is formed by rotating a planar figure P
ของ P จะได้รูปเรขาคณติ สามมติ ิดังรูป จงหาวา่ P มีพน้ื ท่กี ่ตี ารางเซนตเิ มตร about an axis along a side of P . What is the area of P

in cm2?

13.แอนซ้อื ขนมปัง ขนมเค้ก และคุกกี้ รวมกัน 80 ชนิ้ เปน็ เงินทง้ั สน้ิ 13. Ann paid 75,000 won for the total of 80 pieces of
75,000 วอน ถ้าอัตราสว่ นของจ่านวน ขนมปัง : ขนมเคก้ : คุกก้ี เท่ากับ bread, cake and cookie. The ratio of the number of pieces of
8 : 5 : 3 และอัตราสว่ นของราคา ขนมปัง : ขนมเคก้ : คุกก้ี เทา่ กบั bread : cake : cookie is 8 : 5 : 3, and ratio of the price of
4 : 5 : 6 จงหาวา่ ขนมปงั มรี าคาชน้ิ ละกวี่ อน bread : cake : cookie is 4 : 5 : 6.
What is the price of one piece of bread in won?

14.ในการทาสฝี าผนังรปู สเี่ หล่ียมจัตุรัสท่ีมีความยาวแต่ละด้านเป็น 0.5 เมตร 14. To paint a square wall with 0.5m length requires 2 liters of
ตอ้ งใชส้ ี 2 ลิตร จงหาวา่ ถา้ ต้องการทาสงี านประติมากรรมรูปทรงกระบอก paint. How much paint is needed to pain all exterior
ทม่ี รี ศั มยี าว 2 เมตร และสงู 3 เมตร จะต้องใช้สีกีล่ ติ ร surfaces of a cylindrical shaped sculpture with 2m radius
(พืน้ ผิวของฝาผนังและของงานประตมิ ากรรมมลี ักษณะเหมือนกัน and 3m height? (The surface of the wall and the surface of
the surface of the sculpture are of the same type. Use 3 for
และเพอื่ สะดวกในการคา่ นวณก่าหนดใหใ้ ช้ π เท่ากบั 3)
π in the calculation.)

15.โรงงานผลติ ของเลน่ แห่งหนึง่ มพี นักงานชายหญิงรวม 20 คน โดยพนักงาน 15. A toy factory has the total of 20 male and female workers.
ชายแต่ละคนผลิตของเลน่ ได้วันละ 30 ช้นิ และพนักงานหญิงแตล่ ะคนผลติ Each male worker makes 30 toys per day, while each
ไดว้ นั ละ 10 ช้ิน ถ้าในวันหนึง่ พนักงานชายไม่มาท่างาน 4 คน พนักงานชาย female worker makes 10 toys per day. One day 4 male
ที่เหลือจะตอ้ งผลติ ของเล่นเพ่มิ อีกคนละ 12 ชิ้น จึงจะได้จ่านวนของเลน่ workers were absent, so each remaining male worker had to
เท่ากบั ท่ผี ลิตได้ตามปกติ จงหาว่าโรงงานนี้มพี นกั งานหญงิ ก่คี น make 12 additional toys to fulfill the required yield. How
many female workers are there?

16.วยั รุน่ กลุ่มหน่งึ มี 35 คน มี 18 คน ที่สายตาไมส่ น้ั และมี 6 คน ทสี่ ายตาสนั้ 16. There are 35 teenagers. 18 of them are not near-sighted,
แตไ่ ม่สวมแวน่ ตา จงหาวา่ มีกค่ี นท่ีสายตาส้ันและสวมแวน่ ตา and 6 of them are near-sighted but do not wear glasses.
How many of them are near-sighted and wear glasses?

17.แผนภาพต่อไปนแี้ สดงการแยกตัวประกอบของจ่านวนนบั A 17. The diagram of the prime factorization of a natural number A
ถา้ E = B + D แลว้ ค่า A ที่เปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดจะมีผลบวกเท่ากบั เทา่ ใด is given below.
(B, D และ E เปน็ จำนวนเฉพำะที่นอ้ ยกว่ำ 10) If E  B  D , what is the sum of all possible values of A ?
(B,D andE are prime numbers smaller than 10).

สนบั สนนุ โดย

TME มัธยมศกึ ษาปที ี่ 1 4

18.เมื่อหารจา่ นวนนบั N ดว้ ย 2, 3, 4 และ 6 จะเหลือเศษ 1 เสมอ จ่านวนนับN 18. When a natural number N is divided by 2, 3, 4 and 6,
ทม่ี คี า่ ใกลเ้ คยี ง 500 มากท่ีสดุ จะมคี า่ เท่ากับเทา่ ใด all the remainders are 1.
Find the value of N which is closest to 500?

19.พิจารณาจุดบนเส้นจ่านวน 19.Consider the number line.
จากจุดสองจดุ ทแี่ ทนจ่านวนสองจ่านวนทมี่ ีคา่ สัมบูรณ์เทา่ กับ 8 เมือ่ แบ่ง The distance between two numbers with the absolute value
ระยะระหวา่ งจดุ ทัง้ สองออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั ด้วยจดุ แบ่งบนเสน้ จา่ นวน of 8 is divided into 4 equal parts, and A represents the
แลว้ ในบรรดาจุดแบ่งเหลา่ น้ี กา่ หนดให้ A เปน็ จดุ แบ่งทมี่ คี ่าน้อยสดุ smallest value among these dividing points.
ในท่านองคล้าย ๆ กนั จากจดุ สองจุดทแ่ี ทนจา่ นวนสองจ่านวนท่ีมคี ่า
สัมบรู ณ์เท่ากับ 5 เม่ือแบง่ ระยะระหวา่ งจุดทง้ั สองออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน Similarly, the distance between two numbers with absolute
ด้วยจดุ แบง่ บนเส้นจา่ นวน ในบรรดาจุดแบ่งเหลา่ น้ี กา่ หนดให้ B เป็นจุด value of 5 is divided into 5 equal parts, and B represents
แบง่ ที่มคี ่ามากสดุ เป็นลา่ ดับทีส่ อง the second largest value among the dividing points.
จงหาว่าจดุ A และจุด B หา่ งกนั กห่ี นว่ ย
What is the distance between A and B ?

20.แผนภาพด้านลา่ งแสดงลา่ ดับของจา่ นวน โดยทแ่ี ตล่ ะจา่ นวนไดจ้ ากการหาร 20. The box below shows a sequence of numbers, which each
ผลคูณของสองจ่านวนกอ่ นหนา้ ด้วยผลบวกของสองจา่ นวนนนั้ ถา้ จ่านวน term is obtained by dividing the product of two former
numbers by the sum of those two numbers.
ทสี่ ิบมคี า่ เทา่ กบั 1 แลว้ n จะมคี ่าเท่ากับเทา่ ใด
If the 10th term is 1 , what is the value of n ?
n
n

21.รปู ทก่ี า่ หนดให้เปน็ ทรงกระบอกสามอนั วางเรยี งต่อกนั โดยทรงกระบอก 21. Three cylinders with radius of 3cm are placed side by side
แต่ละอนั มีรัศมขี องฐานยาว 3 เซนติเมตร และมีจุดศนู ย์กลางของฐานอยู่บน so that the centers of the bases are aligned on a straight line.
เส้นตรงเดยี วกนั เม่อื ตัดทรงกระบอกท้ังสามดงั รูป จะไดจ้ ุด C สูงจาก The figure is then cut along the points C and D, where the
จุด A 14 เซนติเมตร และไดจ้ ุด D สูงจากจดุ B 6 เซนติเมตร จงหาว่า height of C is 14cm from A and the height of D is 6cm
ทรงกระบอกทงั้ สามมีปรมิ าตรรวมกนั เทา่ กบั ก่ลี ูกบาศก์เซนตเิ มตร from B .
What is the volume of this solid figure in cm3?
(เพอ่ื สะดวกในการคา่ นวณ ก่าหนดใหใ้ ช้ π เทา่ กับ 3)
(Use 3 for π in your calculation.)

สนบั สนุนโดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 1 5

22.ใชร้ ูปสเ่ี หลีย่ มมุมฉากทมี่ ีขนาดเทา่ กนั 8 รูป สรา้ งรปู สีเ่ หลยี่ มมุมฉากรูปใหญ่ 22. Eight rectangles of the same shape are used to make two
ดงั รูป 1 และรูป 2 ถ้ารปู 1 มีพน้ื ที่เทา่ กับ 216 ตารางเซนตเิ มตร แล้วจงหาว่า different types of large rectangles as shown in Fig. 1 and
ความยาวรอบรปู (ท้งั ดา้ นในและด้านนอก) ของส่วนท่แี รเงาในรูป 2 เทา่ กับ Fig.2. If the area of Fig.1 is 216 cm2, then what is the
กี่เซนติเมตร perimeter of shaded part of Fig.2 in cm?

23.มีแผน่ ป้าย 7 แผน่ ที่เขียนจ่านวนตัง้ แต่ 1 ถึง 7 เม่ือหยบิ แผ่นปา้ ยครั้งละ 23. 7 plates are written with numbers from 1 to 7. Considering
5 แผน่ มาครบทุกแบบ จงหาผลรวมของผลบวกของจ่านวนบนแผ่นป้าย all possible sets of 5 plates, find the grand sum of the sum
5 แผ่น ที่หยิบแตล่ ะคร้ัง of the numbers written on all 5 plates in each set.

24.ถ้า 192 และ 84 A ตา่ งเขยี นในรปู ของก่าลังสองของจ่านวนนบั ได้ 24. If each of 192 and 84  A can be written as a square of
A
และ A เปน็ จ่านวนนบั ที่มสี องหลัก จงหาค่าของ A A

a natural number, and A has two digits. Find the value of A

25.พจิ ารณาจ่านวนนบั ในระบบเลขฐานสองทเ่ี ขยี นตามแบบรปู ท่แี สดงขา้ งลา่ ง 25. In the binary system, natural numbers containing two 1’s
โดยท่ีแตล่ ะจา่ นวนมี 1 สองตัว are listed with a pattern.

112 112
1012, 1102 1012, 1102
10012, 10102, 11002 10012, 10102, 11002
10012, 100102, 101002, 110002 10012, 100102, 101002, 110002

ในแถวท่ี 8 จ่านวนในตา่ แหนง่ ที่ 5 นับจากซ้ายมือ เมือ่ เขยี นในระบบ If the 5th number from the left in the 8th row from the top
เลขฐานสบิ ไดเ้ ป็น a × 24 จงหาคา่ ของ a
can be expressed in the decimal system asa × 24 What is

the value of a ?

26.เมอื่ หารจ่านวนนบั แตล่ ะตัวตง้ั แต่ 1 ถงึ 100 ดว้ ย 3 1 และทา่ ผลหารใหอ้ ยู่ 26. Each natural numbers from 1 to 100 is divided by 3 1
3
ในรปู เศษสว่ นอย่างตา่ จงหาผลบวกของตัวส่วนของผลหารท่ีไมเ่ ปน็ 3

จ่านวนนบั ท้งั หมดนัน้ and simplified to irreducible fractions. Find the sum of

denominators of all irreducible fractions which are not

natural numbers.

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 1 6

27. นา่ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากที่มฐี านและส่วนสูงยาว 8 เซนติเมตร จา่ นวน 10 รูป 27. Ten right triangles with the base and the height of 8cm
มาวางเรยี งซอ้ นตอ่ กนั ดงั รปู ด้านลา่ ง โดยท่าให้รูปสี่เหลย่ี มดา้ นขนาน ⓐ each are placed together so that the area of parallelogram ⓐ,
มพี ืน้ ทเี่ ป็น 2 เท่าของรปู สามเหลยี่ ม ⓑ is double of the area of triangle ⓑ.

8 cm a 8 cm a
b b

8 cm 8 cm
จากนนั้ หมนุ รปู สามเหลี่ยมทง้ั สบิ รปู ทว่ี างซอ้ นกันรอบเส้นตรง l ทเ่ี ป็น
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของรปู สามเหลี่ยมรูปสดุ ทา้ ย แล้วใชร้ ะนาบตดั รูปทรง If all these triangles are rotated about the line l which is
ท่ไี ด้ตามแนวแกนหมนุ จงหาว่าหน้าตดั ทไี่ ดม้ พี ื้นท่ีก่ีตารางเซนติเมตร the hypotenuse of the last triangle, then the solid figure is
cut along the rotation axis. What is the area of the cross
section in cm2?

28. มีลกู บอลอยูใ่ นกล่อง A และ B โดยอัตราส่วนของจา่ นวนลกู บอลเป็น 2 : 9 28. The ratio of the numbers of balls in boxes A and B is 2 : 9.

ความนา่ จะเป็นที่หยบิ ลกู บอลหนง่ึ ลกู จากกลอ่ ง A แลว้ ไดล้ ูกบอลสฟี ้าเทา่ กบั The probability of getting a blue ball from box A is 1 ,
4

1 ความน่าจะเป็นที่หยบิ ลูกบอลหน่ึงลกู จากกลอ่ ง B แลว้ ไดล้ ูกบอลสฟี า้ and that of getting a blue ball from box B is 2 .
4 9

เท่ากับ 2 เมอ่ื น่าลกู บอลจากกลอ่ งทงั้ สองมารวมเปน็ กล่องเดยี ว แลว้ When the balls in the two boxes are mixed, the probability
9
n of getting a blue ball is n .
ความนา่ จะเป็นทีจ่ ะหยิบไดล้ ูกบอลสีฟา้ เท่ากบั m จงหาค่าของ m  n m
n
(เมื่อ n เป็นเศษสว่ นอยา่ งตา่ ) Find the value of m n (when m is irreducible).
m

29.จากแบบรปู การคา่ นวณตอ่ ไปนี้ 29. Based on the pattern below, what is the value of 10th term?

ครง้ั ท่ีหนึง่ : 215  215  4 …ⓐ 1st term: 215  215  4 …ⓐ
7 7

ครัง้ ที่สอง : ลบ 4 ของ ⓐ ออกจาก ⓐ …ⓑ 2nd term: 4 of ⓐ is subtracted from ⓐ …ⓑ
11 11

ครง้ั ท่สี าม : ลบ 4 ของ ⓑ ออกจาก ⓑ …ⓒ 3rd term: 4 of ⓑ is subtracted from ⓑ. …ⓒ
15 15

ผลลพั ธข์ องการค่านวณครงั้ ท่ีสบิ เปน็ เทา่ ใด What is the result in the 10th round?

30. ถ้าจ่านวนนบั สองจา่ นวนมคี า่ สอดคลอ้ งเง่อื นไขสามขอ้ ต่อไปนี้ 30.Two natural numbers satisfy the following three conditions.

(ก) ผลบวกของสองจ่านวนน้ีคอื 323 (a) The sum of the two numbers is 323.
(ข) ถา้ หารตวั คูณร่วมน้อยของสองจา่ นวนน้ดี ้วย ตวั หารรว่ มมากจะได้ 60 (b) When the least common multiple of these two number
(ค) ท้ังสองจ่านวนมีคา่ มากกว่า 70
is divided by their greatestcommon divisor, the result
จา่ นวนท่มี ีค่ามากกว่าจะมคี า่ เท่ากับเท่าใด is 60.
(c) Both of them are greater than 70.

Find the value of the greater number.

สนบั สนนุ โดย

TME มัธยมศึกษาปีท่ี 2 1

การประเมนิ ความสามารถในการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2555 (TME)

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

ชือ่ – นามสกลุ โรงเรยี น
Name – Surname
School

คาสัง่ ขอ้ สอบมที ั้งหมด 6 หน้า จานวน 30 ข้อ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ให้เขียนตัวเลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down

AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. ถา้ a เป็นจานวนนับทมี่ ีหน่ึงหลัก และเม่ือเขียน 12 ในรูปทศนิยม 1. If a is a one-digit natural number and the fraction 12

52 a 52 a

แลว้ จะไดท้ ศนิยมซา (ท่ีไมใ่ ชซ่ าศูนย)์ จงหาผลบวกของคา่ a ทุกคา่ ท่ี can be expressed in an infinite decimal form

เปน็ ไปได้ (with non-zero repeating digit), what is the sum of all possible

values of a ?

2. จากจานวนเตม็ a และ b ในสมการข้างล่าง จงหาคา่ ของ a b 2. For two integers a and b in the equation given below,

find the value of a b .

3. จากจานวนเต็ม a,b และ c ในสมการขา้ งลา่ ง จงหาค่าของ a b c 3. From the integers a,b and c in the equation given below,

find the value of a b c .

4. เมอื่ กระจาย (3x y)(x 2y 4) ถา้ สัมประสิทธ์ิของ x 2 คอื a 4. When (3x y)(x 2y 4) is expanded, let a be
และสมั ประสทิ ธิข์ อง xy คือ b จงหาคา่ ของ a b
the coefficient of x 2 and let b be the coefficient of xy .
5. ถ้า x2 27 และ y2 8 แล้วจงหาคา่ ของ Find the value of a b .

5. If x2 27 and y2 8 , then evaluate the expression

given below.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 2

6. ถ้าระบบสมการ 5x y 12 มคี าตอบเปน็ ( 3,b) จงหาคา่ ของ 6. If ( 3,b) is the solution of the system of
4x y 3a
equations 5x y 12 find the value of a
a b เม่อื a และ b เป็นคา่ คงตัว 4x y 3a b.

7. ถา้ ระบบสมการ 2x 3y b มคี าตอบมากมายไมจ่ ากดั จงหาค่า 7. If the system of equations 2x 3y b has an infinite
6x ay 6 6x ay 6

ของ a b เม่ือ a และ b เปน็ คา่ คงตัว numbers of solutions, find the value of a b .

8. ตารางตอ่ ไปนีแสดงผลการสารวจจานวนหนงั สือทนี่ กั เรียน 50 คน 8. The chart below shows a survey on the numbers of books
อ่านในช่วงปิดภาคฤดูร้อน จงหาว่านกั เรยี นทีอ่ า่ นหนังสอื ตงั แต่
6 เลม่ แตน่ อ้ ยกว่า 9 เลม่ คดิ เปน็ กเี่ ปอรเ์ ซน็ ตข์ องนักเรยี นทงั หมด read by 50 students during a summer vacation. What is the
percentage of students that has read more than 6 books but
less than 9 books?

จานวนหนังสอื (เล่ม) จานวนนกั เรียน (คน) No. of Books No. of Students
0–2 14 0–2 14
3–5 15 3–5 15
6–8 6–8
9 – 11 7 9 – 11 7
12 – 14 5 12 – 14 5
50 Total 50
รวม

9. จากรปู กาหนดใหเ้ ส้นตรง ขนานกับเสน้ ตรง m จงหาวา่ x 9. In the figure below, the line is parallel to the line m .
เท่ากับก่อี งศา
Find the measure of x in degrees.

mm

10. AB เปน็ เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม O และจดุ M เป็นจดุ กง่ึ กลาง 10. AB is the diameter of the circle O, and M is the midpoint

ของ AC ถา้ AC มคี วามยาวเปน็ 1 ของความยาวเส้นรอบวงของ of AC . If the length of AC is 1 of the circumference,
3 3

วงกลม จงหาว่า BDC มีขนาดกอ่ี งศา find the measure of BDC in degrees.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 3

11. กาหนดให้ 2.83 a b2 โดย a และ b เป็นจานวนนับ 11. If 2.83 a b2 holds for natural numbers a and b ,
จงหาวา่ a b มีค่านอ้ ยทสี่ ดุ เทา่ กบั เทา่ ใด
what is the minimum possible value of a b ?

12. ใหเ้ ลือกขอ้ ความทถ่ี กู ตอ้ งท่กี ลา่ วถงึ คา่ 3.70 103 ซึ่งเปน็ ค่าท่ไี ดจ้ าก 12. Choose all correct statements for 3.70 103 , then
การประมาณ แลว้ หาผลบวกของจานวนทีอ่ ย่ทู างขวามอื ของขอ้ ความ
ทเี่ ลือก calculate the sum of all the numbers corresponding to
(ก) ปดั เศษจากทศนยิ มตาแหนง่ ท่ีสาม...................1 statements.
(ข) ปดั เศษจากหลักสบิ ..........................................2
(ค) ขอบเขตความคลาดเคล่ือนคือ 0.005...............4 (a) Rounded to nearest hundredths. ...................... 1
(ง) ขอบเขตความคลาดเคลื่อนคือ 5......................8 (b) Rounded to the nearest hundreds. ................... 2
(จ) เลขนยั สาคัญมี 3 ตัว คอื 3, 7, 0 .....................16 (c) Approximation error is 0.005. .........................4
(d) Approximation error is 5. ................................8
(e) All 3 significant figures are 3, 7, 0. .................16

13. กาหนดจานวนนบั a และ b ตามข้อความตอ่ ไปนี จงหาค่าของ a b 13. For the natural numbers a and b given below,

(ก) 43 43 43 43 2a calculate a b .
(ข) 93 93 93 3b
(a) 43 43 43 43 2a
(b) 93 93 93 3b

14. ต้องการลบ 2x2 3x 1 ออกจากพหุนามตวั หนึง่ แตท่ าผิดไป โดย 14. 2x2 3x 1 was added, instead of subtracted, from
ทาการบวกแทนการลบทาให้ได้ผลลพั ธ์เปน็ 6x2 x 3 แต่หาก
ทาการคานวณถกู ต้อง ผลลัพธจ์ ะเป็น ax2 bx c จงหาค่าของ a polynomial, and the result became 6x2 x 3 .
a b c เม่ือ a,b,c เป็นคา่ คงตวั If the calculation was done correctly, the result would
have been ax2 bx c , calculate a b c ,
where a,b,c are constants.

15. ถา้ (3x 2y) : (x 2y) 5 : 3 จงหาคา่ ของ 3x y 15. If (3x 2y) : (x 2y) 5 : 3 ,then evaluate 3x y.
x 3y x
3y

16. จานวนนับทีม่ สี องหลกั จานวนหนงึ่ มผี ลบวกของเลขโดดในแต่ละ 16. The sum of digits of a 2-digit number is 12. If the digits
หลกั เท่ากับ 12 ถ้าสลบั เลขโดดในหลักสบิ กบั หลกั หนว่ ย จะได้
จานวนที่น้อยกว่า 2 เทา่ ของจานวนเดิมอยู่ 12 จงหาวา่ จานวนเดมิ นัน of the number were switched, the result is 12 less than twice
คอื จานวนใด of the initial number. Find the initial number.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 4

17. จากตารางแสดงผลการสารวจเวลาทีน่ กั เรียนใช้ในการเดนิ ทางไป 17. The table below shows a survey of the amount of time for
โรงเรยี น จงหาค่าของ 100x y
students to commute from home to school. Calculate
เวลาท่ใี ช้ ความถส่ี ัมพัทธ์ ความถ่สี ะสม 100x y .
(นาท)ี (คน)
0 – 10 0.34 52 Time Relative Cumulative
10 – 20 188 (min) Frequency Frequency
20 – 30 x
30 – 40 340 0 – 10 0.34 52
40 – 50 0.16 10 – 20 x 188
50 – 60 0.11 y 20 – 30 0.16
30 – 40 0.11 340
รวม 40 – 50 y
50 – 60

1 Sum 1

18. เมอื่ x2 4x 1 0 จงหาคา่ ของ x2 x 1 1 18. If x2 4x 1 0 , evaluate x2 x 1 1 .

x x2 x x2

19. จุดจดุ หน่ึงเปน็ จดุ ภายในรปู หลายเหลย่ี มรูปหนึ่ง เมื่อลากเส้นเช่ือมจุด 19. 13 triangles were made by drawing lines connecting
ภายในนีกับจดุ ยอดแต่ละจดุ ของรูปหลายเหลี่ยม จะเกิดรูปสามเหล่ียม
ทงั สนิ 13 รปู จงหาจานวนเสน้ ทแยงมมุ ของรปู หลายเหล่ยี มนี an internal point of a polygon to every vertex of the polygon.
How many diagonal lines are there for this polygon?

20. จากรูปทก่ี าหนดให้  A +  B +  C +  D +  E +  F +  G 20. From the figure below, find the measure of G
เท่ากบั กอี่ งศา
ABCDEF

in degrees.

21. กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนนับทีม่ ีสองหลกั ถ้า x เขยี นได้ใน 21. Let x and y be 2-digit natural numbers. The fraction x
308 308
y
รูปทศนยิ มซาศูนย์ และ y เขียนไดใ้ นรปู ทศนยิ มซาที่ซาในทศนิยม can be expressed as a finite decimal, and the fraction 450

450 is a repeating decimal with the repeating digit at the

ตาแหน่งทสี่ อง จงหาวา่ มีคอู่ ันดบั (x,y) ท่ีเป็นไปได้ทงั หมดกค่ี ู่ hundredths place, how many possible ordered pairs (x,y)

are there?

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศึกษาปที ่ี 2 5

22. ให้เลือกเงอ่ื นไขท่ที าใหเ้ กดิ รปู ABC ได้แลว้ หาผลบวกของจานวน 22. Choose all the conditions determining only one possible
ที่อยูท่ างขวามอื ของเงอ่ื นไขทเี่ ลอื ก
ABC , then find the sum of the numbers corresponding
(ก) AB = 5 cm, BC = 6 cm, CA = 11 cm…………. 1 to the conditions.
(ข) AB = 6 cm, BC = 7 cm,  A = 30o…………… 2
(ค) AB = 7 cm, AC = 6 cm,  A = 100o………….. 4 (a) AB = 5 cm, BC = 6 cm, CA = 11 cm………….. 1
(ง) BC = 8 cm,  B = 85o,  C = 95o…..…………8 (b) AB = 6 cm, BC = 7 cm,  A = 30o……………. 2
(จ)  A = 100o,  B = 40o,  C = 40o………… 16 (c) AB = 7 cm, AC = 6 cm,  A = 100o………….. 4
(d) BC = 8 cm,  B = 85o,  C = 95o…..……….. 8
(e)  A = 100o,  B = 40o,  C = 40o………..… 16

23. เมอ่ื ปีทแ่ี ล้ว โรงเรียนแหง่ หนง่ึ มนี กั เรยี น 400 คน ในปีนี นกั เรยี นชาย 23. A school had 400 students last year. This year, the number
ลดลง 5 % และนักเรยี นหญงิ เพม่ิ ขึน 5 % จากปที ่แี ลว้ ถา้ ปนี มี นี กั เรยี น
ลดลงทงั หมด 2 คน จงหาว่าปีนีมนี กั เรยี นหญงิ กคี่ น of male students decreased by 5%, and the number of female
students increased by 5%. If the total number of students
this year is 2 less than that of last year? How many female
students are there in this year?

24. จากจุดยอดจุดหนึ่งของรปู หลายเหลี่ยมรูปหนง่ึ เมอ่ื ลากเส้นทแยงมุม 24. Three diagonals were drawn from one vertex of a polygon,
3 เสน้ จากจุดยอดนนั แลว้ จะแบ่งรปู หลายเหลย่ี มนนั ออกเป็นรปู
สามเหลย่ี ม รปู ห้าเหลยี่ ม รปู เจด็ เหลยี่ ม และรูปเกา้ เหลยี่ ม จงหาจานวน forming a triangle, a pentagon, a heptagon and a nonagon.
เสน้ ทแยงมมุ ของรูปหลายเหลย่ี มนี What is the total number of diagonals for this polygon?

25. รปู ทรงหลายหน้ารปู หน่ึงมจี ดุ ยอด v จดุ มีเส้นขอบ e เส้น และมหี น้า 25. A polyhedron has v vertices, e edges, and f faces.
f หนา้ โดย 3f 2e และ 4v 2e จงหาคา่ ของ v e 2f
If 3f 2e and 4v 2e , then evaluate v e 2f .

26. จานวนนบั x ทส่ี อดคลอ้ งเงอื่ นไขสองขอ้ ต่อไปนีมีทังหมดกจ่ี านวน 26. There are how many values for x that satisfy the following

(ก) 63 เขยี นไดใ้ นรปู ทศนยิ มซาศูนย์ two conditions?

150 x (a) 63 can be expressed as a finite decimal.

(ข) x นอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ 100 150 x

(b) x is less than or equal to 100.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 6

27. เขียนจานวนนับตงั แต่ 1 ถงึ 44 บนแผน่ ไม้ 22 แผน่ ซ่ึงมีขนาดเท่ากัน 27. Each number from 1 to 44 is written on each side of
โดยผลบวกของจานวนท่ีเขยี นบนดา้ นหนา้ กับดา้ นหลงั ของแต่ละแผน่
จะมคี า่ เท่ากนั หมด จากนันนาแผน่ ทีเ่ ขยี น 42 มาวางไวเ้ ป็นแผ่นแรก 22 wooden blocks of the same shape. The sum of numbers
ดงั รปู แล้ววางแผน่ อน่ื ต่อ โดยมีเง่อื นไขว่าผลบวกของจานวนบนหน้า written on both sides is equal for all wooden blocks.
ท่ีแนบตดิ กันจะมีค่าเทา่ กนั เสมอ หลังจากวางแผ่นไม้ไปแลว้ พบวา่ From the figure below, the wooden blocks will be lined up
ไม่สามารถวางแผน่ ไมแ้ ผน่ ที่ 8 ใหส้ อดคล้องเงอ่ื นไขตามทต่ี อ้ งการได้ starting from the one with 42 written on the front, and the
sum of numbers facing each other is always equal.
By doing so, the 8th wooden block cannot be placed

จากแผน่ ไม้ทงั 7 แผ่น จงหาผลบวกของจานวนทกุ จานวนท่อี ยูบ่ น Find the sum of all possible numbers that can be written
หน้าท่ีหันเขา้ หาลูกศร on the side facing the pointed arrow of the 7th wooden block.

28. มุมภายในแต่ละมมุ ของรปู n เหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เท่า มีขนาดเท่ากับ 28. The measure of each interior angle of a regular n -gons
x องศา จงหาผลบวกของคา่ n ทังหมดที่ x เปน็ จานวนคี่
is x . Find the sum of all values of n for which x is
29. จากรปู ทรงสิบสองหนา้ เมือ่ แบ่งเสน้ ขอบแตล่ ะเสน้ ออกเปน็ 3 สว่ น an odd number.
เท่าๆ กัน แลว้ ตดั ส่วนยอดทแ่ี ต่ละจุดยอดออก ดงั รปู จะไดร้ ูปทรงท่ีมี
จดุ ยอด v จดุ มีเสน้ ขอบ e เส้น และมหี น้า f หนา้ จงหาคา่ ของ 29. Each edge of a dodecahedron is trisected, then each corner

ve f is cut as shown in the figure below. If the new solid figure
hasv vertices, e edges and f faces, what is the value of
v e f?

30. หมุนรูปสีเ่ หลี่ยมดา้ นขนานโดยมีเสน้ ทแยงมุมเสน้ ทีส่ นั กว่าเปน็ แกน 30. From the figure below, a parallelogram is rotated about
หมนุ ดงั รูป ทาให้ได้รปู ทรงทม่ี ปี รมิ าตร a ลูกบาศก์เซนติเมตร
และมีพนื ทผี่ วิ b ตารางเซนตเิ มตร its shorter diagonal producing a solid figure of volume
a cm3 and of surface area b cm2.

จงหาค่าของ a b เมอื่ a และ b เป็นคา่ คงตวั Calculate the value of a b .

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศึกษาปีที่ 3 1

การประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ประจาปี 2555 (TME)

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3

ชอ่ื – นามสกุล โรงเรยี น
Name – Surname
School

คาสัง่ ขอ้ สอบมีทั้งหมด 6 หนา้ จานวน 30 ข้อ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ใหเ้ ขียนตวั เลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down
AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. กาหนดให้ A เปน็ รากท่ีสองทีเ่ ป็นลบของ 16 และ B เปน็ รากทสี่ อง 1. A is the negative square root of 16 and B is the positive
ทีเ่ ปน็ บวกของ (7)2 จงหาคา่ ของ A  B square root of (7)2 . Calculate A  B .

2. ถา้ x2  x  30  (x a)(x b)จงหาค่าของ a b โดย a และ b 2. If x2  x  30  (x a)(x b) , calculate the value of
เป็นคา่ คงตวั ซง่ึ a  b a b , where a and b are constants with a  b .

3. ถ้ารปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC คล้ายกบั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก DEF 3. If the right triangle ABC is similar to the right triangle
จงหาวา่ พื้นที่ของ DEF เป็นก่ตี ารางเซนตเิ มตร DEF . Find the area of DEF in cm2?

4. 81  (7)2  49  ( 6 )2 มคี ่าเท่ากับเท่าใด 4. Calculate 81  (7)2  49  ( 6 )2 .
16 16

5. ถ้ารากท้งั สองตวั ของสมการกาลงั สอง x2  7x 18  0 คอื x  a 5. If the roots of the quadratic equation x2  7x 18  0 are
และ x  b จงหาคา่ ของ a b (เม่ือ a  b ) and , calculate the value of a b

6. บนเสน้ จานวน มีรูปส่เี หลย่ี มจัตรุ สั ABCD ทม่ี ีด้านยาวด้านละ 1 หน่วย (where a  b ).
ดงั รปู วาดครง่ึ วงกลมทมี่ ีจุด A เป็นจดุ ศูนยก์ ลางและมีเส้นทแยงมุม AC
เปน็ รัศมี ครง่ึ วงกลมตัดกบั เส้นจานวนทจ่ี ุด P และ Q ถ้า P และ Q 6. A square ABCD of unit sides lies on the number line.
เป็นจุดที่แทนจานวน a และ b ตามลาดบั จงหาคา่ ของ a  b A semicircle centered at the point A and having the diagonal
AC as a radius intersects the number line at points P and
Q . If a and b are the numbers corresponding to P and
Q . calculate a  b .

สนับสนุนโดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 2

7. ถา้ x  4 เปน็ ตวั ประกอบรว่ มของพหุนาม x2 ax  40 และ 7. If x  4 is a common factor of the polynomials x2  ax  40
3x2 10x  b จงหาค่าของ ab (เมื่อ a และ b เป็นคา่ คงตัว) and 3x2 10x  b , calculate ab (a and b are constants).

8. จากรูปสี่เหล่ียมขนมเปียกปูน ABCD ดงั รูป เมื่อ AB  (5y  3) 8. For the rhombus ABCD if AB  (5y  3)cm ,
เซนตเิ มตร, BC  12 เซนติเมตร, ACD  70 , DAC  x BC  12 cm , ACD  70 and DAC  x ,
จงหาคา่ ของ x y calculate x y .

9. จากรูป ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จั่วที่ AB  AC จุด O เปน็ 9. ABC is an isosceles triangle with AB  AC. The
จดุ ศนู ย์กลางวงกลมท่ลี อ้ ม ABC และจุด I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม points O and I are the circumcenter and the incenter of
แนบในของ ABC ถา้ OAB  23 จงหาว่า BIC  BOC ABC , respectively. If OAB  23, calculate the
เท่ากับก่อี งศา measure of BIC  BOC in degrees.

10. จาก x  32  y เม่อื กาหนดให้ A เป็นค่าที่น้อยทส่ี ดุ ของ x 10. For x  32  y , let A be the minimum value of a natural
ที่ทาให้ y เป็นจานวนนับ และถ้า y มีคา่ เทา่ กบั B จงหาค่าของ number x for which y is a natural number and is equal to B.
Calculate 2A  B .
2A  B

11. ในการโยนเหรียญหน่งึ เหรยี ญ ถา้ เหรียญออกหวั จะได้ 1 คะแนน 11. When a coin is flipped, a score of 1 is given to heads, and a

แตถ่ า้ ออกก้อยจะได้ 1 คะแนน เมื่อโยนเหรียญน้สี ามครง้ั score of 1 is given to tails. If the probability of getting the total

ถ้าความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะได้คะแนนรวม 1 คะแนนเท่ากับ b score of 1 by flipping the coin 3 times is b , calculate a  b
a
a
(where b is irreducible).
จงหาคา่ ของ a  b (เม่ือ b เปน็ เศษสว่ นอยา่ งตา่ ) a

a

12. กาหนดให้ G เปน็ จดุ เซนทรอยดข์ อง ABC เส้นตรงทผี่ า่ น จดุ G 12. Point G is the centroid of ABC . A line passing through
และขนานกบั BC ตัดดา้ น AB และ AC ท่จี ุด D และ E ตามลาดบั
ถา้ ABC มีพ้นื ท่ี 81 ตารางเซนตเิ มตร จงหาวา่ GME มพี ืน้ ที่ G and parallel to BC intersects AB and AC at the points
กี่ตารางเซนตเิ มตร D and E , respectively. If the area of ABC is 81 cm2,
find the area of GME in cm2.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 3

13. ตอกตะปูลงบนแผน่ ไม้โดยเวน้ ระยะหา่ ง 3 หน่วยในแนวตงั้ และ 13. Nails are driven into a cardboard at a regular interval of 3
แนวนอนเท่า ๆ กนั จากน้ัน นายางยืดมาคลอ้ งตะปู 4 ตวั ดงั รปู units in both the horizontal and the vertical directions. A rubber
จงหาวา่ รปู สีเ่ หล่ียมทไ่ี ด้นม้ี ีพ้นื ท่กี ี่ตารางหนว่ ย band is hung to four nails making a quadrilateral as show in the
figure below. Calculate the area of this quadrilateral in square
units.

14. กาหนดใหจ้ ุด G เปน็ จุดเซนทรอยด์ ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่วั ABC 14. Point G is the centroid of the isosceles triangle with
ท่ี AB  ACและ BE // DF ดงั รปู เมอื่ BE  20 เซนตเิ มตร, AB  AC and BE // DF .If BE  20 cm
EF  7 เซนติเมตร จงหาว่า AB  DF เทา่ กับก่เี ซนตเิ มตร and EF  7 cm , calculate AB  DF in cm.

15. ถ้า 10  m  x เมื่อ m เปน็ จานวนเตม็ และ 0  x 1 15. If 10  m  x , where m is an integer and 0  x  1 .
จงหาคา่ ของ (x 1)2  8(x 1)  7 Evaluate (x 1)2  8(x 1)  7 .

16. เมือ่ โยนลกู เต๋าพรอ้ มกนั สามลูก จงหาจานวนเหตุการณ์ทไ่ี ด้แต้ม 16. When 3 dice are tossed, find the number of events which the
ของลูกเตา๋ เป็น a,b และ c ซ่ึงทาให้สมการกาลงั สอง numbers shown on the faces of the dice are a,b,c and the
ax2  bx  c  0 มคี าตอบซ้ากนั quadric equation ax2  bx  c  0 has only one root.

17. จงหาคา่ คงตัว a ทท่ี าให้ (x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  a 17. If (x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  a is a perfect square,
เปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ find the value of the constant a .

18. จากรูป พน้ื ท่ขี องส่วนท่ีแรเงาคอื Ax x  By จงหาค่าของ 10AB 18. If the area of shaded part is Ax x  By, calculate the
(เมื่อ A และ B เป็นจานวนตรรกยะ)
value of 10AB (A and B are rational numbers).

สนับสนุนโดย

TME มธั ยมศึกษาปที ี่ 3 4

19. ถา้ x2 y2  7(x y) และ x2 y2  2x 1  80 19. If x2 y2  7(x y) and x2 y2  2x  1  80 ,
จงหาคา่ ของ x y (เมือ่ x  y ) find the value of x y (x  y ).

20. วงกลม 3 วง มจี ุดศนู ย์กลางร่วมกันและมี AB  BC ดังรปู 20. Three circles are concentric and AB  BC as shown in
the figure below.

วงกลมวงที่สองมเี สน้ รอบวงยาว 20 เซนติเมตรถา้ สว่ นทีแ่ รเงา The circumference of the second circle is 20 cm. If the
มพี ืน้ ที่ 280 ตารางเซนตเิ มตรและ BC  x เซนติเมตร area of the shaded part is 280 cm2 and BC  x cm .
จงหาค่าของ x Find the value of x.

21. ตัดเชอื กยาว (18 18 2 ) เซนตเิ มตร ออกเปน็ สองสว่ น แล้วนา 21. A string of length (18  18 2 ) cm is cut into two parts
แตล่ ะส่วนมาสรา้ งเปน็ รปู สามเหล่ียมดา้ นเท่าสองรปู ถ้าอัตราสว่ น to make two equilateral triangles. If the ratio of the areas of
ของพ้นื ทข่ี องรปู ทงั้ สองเทา่ กบั 1 : 2 จงหาวา่ รปู สามเหลีย่ มรูปที่ these triangles is 1 : 2 , what is the length in cm of each side
เลก็ กว่าจะมดี า้ นยาวกเ่ี ซนติเมตร of the smaller triangle?

22. หอ้ งสามหอ้ ง A,B,C มปี ระตูท่สี ามารถเปดิ ถงึ กนั ได้ ดงั รปู 22. All three rooms are connected with doors A, B,C as shown
in the figure.

The probability for a robot to pass through each door is 1 .
2

กาหนดให้ความน่าจะเป็นท่ีห่นุ ยนต์จะเดนิ ผ่านประตูแตล่ ะบานเทา่ กับ Consider a situation where the robot start its journey from

1 เม่อื พจิ ารณาสถานการณท์ ่ีหนุ่ ยนตเ์ ดนิ จากห้อง A และตอ้ งผา่ น room A and have to pass doors 3 times. If the sum of the
2
probability of coming back to room A and the probability of

ประตู 3 ครงั้ ถา้ ผลบวกของความนา่ จะเป็นท่หี ุ่นยนต์เดนิ กลับมาสน้ิ สดุ ending at room B is b . Calculate the value of a  b .
a
ท่หี อ้ ง A กับความนา่ จะเป็นที่หนุ่ ยนต์เดินไปสิ้นสดุ ที่ห้อง B เทา่ กับ
(The robot may pass the same door several times and b
a

b จงหาคา่ ของ a  b (หุ่นยนต์สามารถเดนิ ผ่านประตเู ดียวกนั ได้ is irreducible).
a

มากกว่าหน่งึ ครงั้ และกาหนดให้ b เปน็ เศษสว่ นอยา่ งตา่ )

a

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 5

23. ABCD เป็นรปู สีเ่ หลีย่ มมุมฉากท่ี AB  4 ถา้ AB  BE , 23. The quadrilateral ABCD has AB  4 . If AB  BE
AFD=90 และ AD  p  q จงหาคา่ ของ p q
(เมอื่ p และq เปน็ จานวนตรรกยะ) and AFD  90 , and AD  p  q . Calculate the
value of p q . (p and q are rational numbers)

24. ชุมนมุ ดนตรมี สี มาชิกชายและหญงิ รวมกัน 16 คน ต้องการเลอื ก 24. A music club with the total of 16 male and female members
หัวหนา้ ชมุ นุมหนึง่ คนและเลอื กรองหวั หน้าอีกหน่งึ คน
ถ้าความนา่ จะเป็นทีจ่ ะได้หัวหนา้ และรองหัวหน้าเป็นผหู้ ญงิ เทา่ กบั holds an election for two administrative positions. If the

3 จงหาว่าชุมนมุ นม้ี ีสมาชิกหญิงกคี่ น probability of getting females elected for both positions is

8 3 . How many female members are there in this club?
8

25. ความนา่ จะเปน็ ที่ฝนจะตกเม่ือวันกอ่ นหน้านนั้ ฝนตกด้วยเทา่ กับ 3 25. The probability of raining in the day after a raining day is 3 ,
8 8

ความนา่ จะเปน็ ทฝ่ี นจะตกเมอ่ื วนั ก่อนหน้านั้นฝนไม่ตกเทา่ กบั 1 and the probability of raining in the day after a non-raining
6
day is 1 . If Monday is a raining day and the probability of
ถา้ ทราบวา่ วนั จนั ทรฝ์ นตก และความนา่ จะเปน็ ท่ี ฝนจะตกในวนั พธุ 6

Wednesday of the same week being a raining day is b ,
a
ในสปั ดาหเ์ ดยี วกันเทา่ กับ b จงหาคา่ ของ a  b
calculate the value of a  b (where b is irreducible).
a a

(เมื่อ b เป็นเศษสว่ นอย่างตา่ )

a

26. จากรูปทรงสี่หนา้ ปรกติ O-ABC ดังรปู 26. A regular tetrahedron O-ABC is shown below.

เมื่อ OA : AA  1 : 2 , OB : BB  2 : 1 และ OC : CC  1 : 1 If OA : AA  1 : 2 , OB : BB  2 : 1 and
อัตราสว่ นของปริมาตรของรูปทรงสี่หนา้ O-ABC ตอ่ รปู ทรงสหี่ น้า OC : CC  1 : 1, the ratio of the volume of the
O-ABC เท่ากบั m : n จงหาคา่ ของ m  n (เมอื่ ห.ร.ม. ของ m tetrahedron O-ABC to the volume of the tetrahedron
และ n เทา่ กับ 1) O-ABC is m : n , calculate the value of m  n
(the greatest common divisor of m and n is 1).

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 6

27. จากรูปสี่เหล่ียมคางหมู ABCD ดงั รูป 27. For the trapezoid ABCD below.

AG,CE และ DF เปน็ ส่วนของเส้นตรงท่ีแบง่ ABCD ออกเปน็ AG, CE and DF are line segments bisecting the area

สองสว่ นที่มีพืน้ ท่ีเทา่ กัน และ BF  5 เซนตเิ มตร, BG  15 of ABCD , BF  5 cm , BG  15 cm and

เซนติเมตร ถา้ พื้นทขี่ อง ABCD เท่ากบั 150 ตารางเซนตเิ มตร the area of ABCD is 150 cm2. If the length of AE

และ AE ยาว b เซนตเิ มตร จงหาค่าของ a  b is b cm, calculate the value of a  b ( b is irreducible).
a a a

(เมอื่ b เปน็ เศษสว่ นอย่างต่า)

a

28. ปลกู ต้นไม้สามต้นเรียงในแนวเสน้ ตรงเดียวกันโดยเวน้ ระยะห่าง 28. Three trees planted with spacing of 3 m and 4 m are growing
ระหว่างตน้ 3 เมตร และ 4 เมตร ดังรปู และในแตล่ ะปีตน้ ไมแ้ ต่ละต้น regularly at the rate of 50 cm per year.
จะสงู ข้ึนต้นละ 50 เซนติเมตร

ถา้ ณ เวลาปจั จุบัน เงาของยอดต้นไมท้ ้ังสามต้นตกที่ตาแหน่งเดยี วกัน If the shadow of the top of all trees cast at a common point,
หลังจากผา่ นไป 4 ปี ในวนั และเวลาเดยี วกันนตี้ น้ ไมท้ ่ีเตี้ยทสี่ ุดจะมีเงา what is the length of the shadow of the smallest tree on the
ยาวกเี่ มตร same date and the same time after 4 years?
(สมมตวิ า่ พ้นื ดนิ ทป่ี ลกู ต้นไม้เรยี บเสมอกันและลาต้นยดื ตรงและ (Assume that the surface of ground is flat and trees are growing
ตงั้ ฉากกับพ้ืนดินเสมอ ดงั นนั้ เมือ่ ผา่ นไป 4 ปี ความยาวของเงาของ upward perpendicular to the ground. Therefore, the relation
วัตถกุ บั ความยาวของวัตถุจะยังคงมคี วามสัมพนั ธก์ ันเชน่ เดิม) between the shadow of an object and the object would be the
same after 4 years.)
29. กาหนดให้ตัวคณู ร่วมนอ้ ยของจานวนนบั x และ y เท่ากับ 45
ถา้ 3x 2y  27 จงหาคา่ ของ x y 29. The least common multiple of natural numbers x and y
is 45. If 3x  2y  27 , find the value of x y .
30. รปู ส่ีเหลี่ยมมุมฉาก ABCD มี AB  120 เซนตเิ มตร, BC  150
เซนติเมตร พบั รูปสเี่ หลยี่ มตามแนว BP ทาใหจ้ ดุ C ไปเป็นจุด C 30. A rectangle ABCD has AB  120 cm and
บน AD และ AC : CD  3 : 2 ถ้า DH ต้ังฉากกับ CP ท่จี ดุ H BC  150 cm . Fold the rectangle along BP so that
จงหาวา่ PH ยาวกเี่ ซนตเิ มตร the point C coincide with the point C on AD and
AC : CD  3 : 2 . If DH is perpendicular to CP
at H , find the length of PH in cm.

สนบั สนุนโดย

เฉลยแบบทดสอบ
การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2555

ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 1

ขอ้ คำตอบ ข้อ คำตอบ
1 14 16 11
2 12 17 100
3 20 18 505
4 12 19 5
5 18 20 199
6 11 21 810
79 22 120
83 23 420
9 360 24 48
10 65 25 17
11 8 26 620
12 96 27 496
13 800 28 27
14 480 29 15
15 6 30 228

เฉลยแบบทดสอบ
การประเมินความสามารถในการแกป้ ญั หาทางคณติ ศาสตร์ ประจาปี 2555

ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2

ข้อ คำตอบ ข้อ คำตอบ
1 16 16 48
2 6 17 406
3 13 18 18
4 8 19 65
5 30 20 540
6 40 21 15
7 11 22 6
8 18 23 189
9 55 24 135
10 60 25 34
11 119 26 34
12 24 27 60
13 15 28 624
14 4 29 182
15 11 30 330

เฉลยแบบทดสอบ
การประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ประจาปี 2555

ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 3

ขอ้ คำตอบ ข้อ คำตอบ

1 5 16 5

2 11 17 16

3 3 18 5

4 7 19 9

5 11 20 7

6 8 21 6

7 112 22 13

8 73 23 22

9 21 24 10

10 14 25 239

11 11 26 10

12 9 27 7

13 18 28 21

14 38 29 6

15 1 30 27

TME มธั ยมศึกษาปีท่ี 1 1

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ ประจาปี 2556 (TME)

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 1

ชอ่ื – นามสกุล โรงเรยี น
Name – Surname
School

คาสัง่ ข้อสอบมที ้ังหมด 6 หนา้ จานวน 30 ขอ้ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ให้เขยี นตัวเลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down

AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. ให้ A เปน็ จานวนตวั อกั ษรภาษาอังกฤษที่แตกตา่ งกันในคาวา่ “happy” 1. Let A be the number of different letters in the word
ให้ B เป็นจานวนของจานวนเตม็ บวกทห่ี าร 9 ลงตวั และ “happy”, let B be a positive integer divisible by 9, and
ให้ C เปน็ จานวนของจานวนนับทนี่ อ้ ยกว่า 1 let C be the number of natural numbers that are less
จงหาค่าของ A + B + C than 1. Find the result for A+B+C.

2. นาย ก นกึ จานวนไว้ 3 จานวน คอื 3, 7, x + 2 และนาย ข นึกจานวนไว้ 2. Mr. A was thinking of 3 numbers, which are 3, 7, and
3 จานวนด้วยเชน่ กัน คือ 3, y – 2, 9 ถ้าทกุ จานวนทนี่ าย ก นึก ล้วนเปน็ x + 2; and Mr. B was also thinking of 3 numbers, which
จานวนที่นาย ข นกึ ด้วย และทกุ จานวนทีน่ าย ข นึก ล้วนเปน็ จานวนท่ี are 3, y – 2, and 9. If every number Mr. A thought of is
นาย ก นึกดว้ ย จงหาคา่ ของ x + y the number that Mr. B also thought of, and every number
Mr. B thought of is the number that was also thought of
3. รถยนต์คันหนง่ึ แล่นได้ระยะทาง 264 km ในเวลา 2 ชวั่ โมง 45 นาที by Mr. A, then find the result of x + y.
ถา้ รถยนต์คนั นี้แลน่ ด้วยอัตราเรว็ เดิม ในเวลา 40 นาที จะแลน่ ได้ก่ี km
3. A car travels 264 km within 2 hours and 45 minutes.
4. กระดาษรูปสี่เหล่ียมมุมฉากรูปหนงึ่ มีความยาวรอบรปู เปน็ 1.36 เมตร If the car runs at this same speed, how many kilometers
เมื่อพบั กระดาษแผ่นน้ีเปน็ 3 สว่ น เท่า ๆ กัน จะไดแ้ ต่ละสว่ นเป็น can it travel within 40 minutes?
รปู ส่เี หล่ียมจตั ุรัส จงหาว่ากระดาษรปู สี่เหล่ียมมมุ ฉากรปู เดมิ มีพ้ืนที่
กี่ตารางเซนติเมตร 4. A rectangular paper has its perimeter of 1.36 meters.
When the paper is folded to make three equal sections,
each section forms a square. Find the area in cm2of
the original rectangular paper.

5. สร้างรปู สามเหลี่ยมมุมฉากดังรูปโดยใชเ้ ชือกทีย่ าว 150 เซนติเมตร 5. A right triangle is constructed as shown by using a rope
ถา้ ความยาวด้าน AB, BC และ CA เป็น 5 สว่ น 12 ส่วน และ 13 สว่ น of 150 cm in length. If the lengths of sides AB, BC, and
ตามลาดับ จงหาว่ารปู สามเหล่ียมมุมฉากนีม้ ีพน้ื ท่ีก่ตี ารางเซนติเมตร CA are 5 units, 12 units, and 13 units, respectively.
Find the area of the right triangle in cm2.

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศึกษาปีที่ 1 2

6. ถ้า A = 4 x 104 + 7 x 102 แล้ว A x 1 เทา่ กับเท่าไร 6. If A = 4 x 104 + 7 x 102, then what is the result of A x 1 ?
100 100

7. เฟือง 2 อนั ทม่ี ีฟนั 36 ซ่ี และ 20 ซ่ี ขบกนั และหมนุ เคล่ือนท่ีไปพร้อมกัน 7. Two gears, one with 36 teeth and the other with 20 teeth,
ก่อนหมนุ ถ้าฟันซี่ A ของเฟืองหน่งึ แตะกบั ฟันซี่ B ของอีกเฟอื งหนง่ึ are coupled and rotating together. Before rotating, suppose
หลังจากที่เฟอื งแรกหมนุ ไปได้ m รอบ และเฟืองทส่ี องหมุนไป tooth A on one gear was in contact with tooth B on the
ได้ n รอบ แล้วฟนั ซ่ี A และฟนั ซี่ B จะแตะกนั อีกเป็นคร้ังแรก other gear. Then, after the first gear rotated m round(s),
จงหาคา่ ของ m + n and the second gear rotated n round(s), tooth A and tooth B
meet again for the first time. Find the result of m+n.

8. ให้จุด a และจดุ b อยู่บนเส้นจานวน ถ้าจุด a อยูห่ า่ งจากจุด – 4 กบั 8. Let point a and point b be points on a number line.
จดุ 10 เปน็ ระยะเทา่ กัน และจุด b อยหู่ า่ งจากจุด – 6 กบั จุด 9 เปน็ ระยะ If point a is far away from point – 4 and point 10
เทา่ กัน จงหาคา่ ของ a + 2b by the same distance, and point b is far away from
point – 6 and point 9 by the same distance, then find
9. จงหาค่าของ a ท่สี อดคล้องกับเง่อื นไขสองข้อท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี the result of a+2b.
(ก) a/b = – 3 (ข) a – b = 16
9. Find the value of a that satisfies the following two relations;
(A) a/b = – 3 (B) a – b = 16

10. จงหาคา่ ของ 10. Find the result for
(–24)/{( –14) + (–3)2 x 2}/(– 2 ) (–24)/{(–14) + (–3)2 x 2}/(– 2 )

7 7

11. ในวนั หนง่ึ ของเดอื นพฤษภาคมในกรุงโซล ช่วงเวลากลางคนื เปน็ 11. On one day in May in the city of Seoul, the duration

9 ของช่วงเวลากลางวัน จงหาวา่ ชว่ งเวลากลางวนั ของวันดังกล่าว of night time is 9 of the duration of day time.
11 11
Find out how many minutes the day time duration
นานก่นี าที
on that day is?

12. กลอ่ งใบหนงึ่ ใสบ่ ัตร 5 ใบ ทมี่ หี มายเลข 1, 2, 4, 8 และ 16 12. A box contains 5 cards, which are numbered as 1, 2, 4, 8,
นาย A หยิบบัตรหมายเลข 1 และ 2 แลว้ ใสค่ ืน นาย B หยบิ บัตรขน้ึ มา and 16. Mr. A picked card number 1, and card number 2
จานวนหนงึ่ แลว้ ใส่คนื ถ้านาย A และ นาย B หยิบบัตรตรงกัน and put them back in the box. Then, Mr. B picked a certain
1 ใบเท่าน้ัน จงหาวา่ นาย B จะหยบิ บัตรได้ท้งั หมดก่แี บบ number of cards and put them back in the box. If Mr. A
and Mr. B had picked only one card that is the same, then
how many patterns could Mr. B’s picking be?

สนบั สนนุ โดย

TME มัธยมศกึ ษาปที ี่ 1 3

13. นกั เรียนห้องหน่งึ มจี านวนนักเรยี นชายตอ่ จานวนนกั เรยี นหญงิ 13. Within the students of a classroom, the ratio of boys
เป็น 7 ต่อ 9 หลังจากทม่ี ีนักเรียนหญิงจานวนหนึ่งยา้ ยมาใหม่ to girls was 7 to 9. Later, there was a number of new
ทาใหน้ กั เรยี นห้องนมี้ ี 35 คน และจานวนนักเรียนชายต่อจานวน girl students moving in to the classroom. This makes
นกั เรียนหญิงเป็น 2 ตอ่ 3 จงหาวา่ นกั เรียนหญงิ ท่ยี า้ ยมาใหมม่ ีก่คี น the total number of students be 35 and the ratio of boys
to girls be 2 to 3. Find out how many new girl students
have moved in to the classroom.

14. จงหาผลบวกของจานวนนับ x ทง้ั หมดทท่ี าให้ 36 x เปน็ จานวนนับ 14. Find the sum of all natural numbers x that make 36
10 
10  x

be natural number.

15. ลูกบอลลูกหน่ึงเม่อื ตกจากท่ีสงู แล้วจะกระดอนพ้นื กลับขึน้ ไป 15. After falling from a height, a ball always bounces
0.6 เท่าของความสูงที่ตกลงมาเสมอ ถ้าลูกบอลลูกนี้ตกลงมาแล้ว back to 0.6 time of the height from which it fell.
หลงั จากกระทบพนื้ สามคร้งั จะกระดอนกลบั ขึ้นไปสูง If the ball has fallen, and after bouncing on a floor
43.2 เซนตเิ มตร เดมิ ลูกบอลตกลงมาจากจุดทส่ี งู กเี่ ซนติเมตร for three times, it reaches to the height of 43.2 cm.
What was the original height from which the ball falls?

16. ต้องการสรา้ งจานวนในระบบตัวเลขฐานสองในรปู 16. A number in the base-two numeral system is to be
constructed in the pattern as shown below by tossing
 สอง a die three times.

โดยการโยนลูกเตา๋ หนึง่ ลูก 3 ครง้ั ในแตล่ ะคร้งั ถา้ แต้มทไ่ี ด้เปน็  two
จานวนค่ี หลักนัน้ จะเทา่ กบั 1 แตถ่ ้าแตม้ ทไ่ี ด้เปน็ จานวนคู่
หลกั น้ันจะเทา่ กบั 0 ผลบวกของจานวนทั้งหมดท่สี รา้ งได้จะมีคา่ In each toss, if the face of the die shows an odd number,
เทา่ กับเทา่ ใดในระบบตัวเลขฐานสบิ then the corresponding digit is assigned as 1. However,
(ให้ 000สอง = 0สอง, 001สอง = 1สอง, 010สอง = 10สอง) if the face is an even number, then the digit is assigned as 0.
What would be the sum result in base-ten numeral system
for all numbers that could be constructed by this rule?
(Given 000two = 0two, 001two = 1two, 010two = 10two)

17. เมอ่ื โยนลูกเต๋าสองลูกทมี่ ีขนาดตา่ งกันพรอ้ มกนั จงหาว่ามีกกี่ รณีที่ 17. If two dice with different sizes are tossed at the same time,
ผลบวกของแต้มท่ไี ด้เปน็ จานวนเฉพาะ find out how many cases that the sum of the numbers on
the dices is a prime number.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 1 4

18. มีครึง่ วงกลม 2 วง วางซ้อนกนั ดังรูป และ OA เปน็ รศั มขี องวงกลม 18. There are two overlapping semicircles as shown. OA is
วงใหญ่ ถ้าสว่ นทีแ่ รเงา (ก) และสว่ นทแี่ รเงา (ข) มพี น้ื ทเ่ี ท่ากัน จงหา the radius of the larger circle. If the shaded region (A) and
วา่ x มขี นาดกีอ่ งศา (จดุ O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมวงใหญ่ และ the shaded region (B) are of the same area, then how large
ให้ใชอ้ ัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงต่อความยาว is angle x? ( point O is the center of the larger circle, and
เส้นผา่ นศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 3.14) the ratio between the circumference and the diameter of
a circle must be used as 3.14)

(ข) (A) (B)
(ก)
31

19. แท่งไม้ทรงกระบอกตันมีรศั มขี องฐานยาว 10 cm และมพี ้ืนที่ผิว 19. A solid wooden cylinder has the radius of its base equal
2,826 cm2 ดงั รูป จงหาว่าแท่งไมน้ ้ียาวก่ี cm (ให้ใชอ้ ัตราส่วนของ to 10 cm and the surface area of 2,826 cm2, as shown.
ความยาวของเสน้ รอบวงต่อความยาวเส้นผ่านศูนยก์ ลางของ What is the height of this wooden cylinder in cm?
วงกลมเทา่ กับ 3.14) (the ratio between the circumference and the diameter
of a circle must be used as 3.14)

20. จงหาจานวนนบั x ทสี่ อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขสามข้อทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี 20. Find the natural number x that satisfies the following
three conditions;
(ก) x หาร 735 ลงตวั (a) 735 is divisible by x.
(ข) จานวนนบั ท่ีหาร x ลงตวั มที ัง้ หมด 6 ตวั (b) x is divisible by 6 different natural numbers.
(ค) x เปน็ ผลบวกของจานวนนับสองจานวนทีม่ ี (c) x is the sum of two natural numbers, of which
the ratio is 2 to 3.
อตั ราสว่ นเป็น 2 ต่อ 3

21. มีจานวนนับ x ทั้งหมดกจี่ านวนท่ีเป็นกาลังสองสมบรู ณ์ และ 21. How many natural numbers x that are perfect square and
x หาร 720 ลงตวั (จานวนกาลงั สองสมบรู ณ์ คือ จานวนที่สามารถ 720 is divisible by x? (a perfect square number is a number
เขียนอยูใ่ นรปู กาลังสองของจานวนเต็มค่าหนึ่ง) that can be written as a square of an integer)

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 1 5

22. สงั เกตว่าวนั ท่ี 17 พฤษภาคม คือวันที่ 17 เดือนท่ี 5 ทั้งวันที่และเดอื นท่ี 22. Notice that 17th May means the 17th day of the 5th month;
ตา่ งกเ็ ปน็ จานวนเฉพาะ จงหาวา่ ในปี ค.ศ. 2008 มกี ี่วันซ่งึ ทัง้ เดอื นท่ี the date and the month are both prime numbers. Find
และวันทเ่ี ปน็ จานวนเฉพาะ out how many days in year 2008 that have both date and
month as prime numbers.
23. ยองจูมีเหรยี ญ 100 วอน 50 วอน และ 10 วอน อยา่ งละ 10 เหรยี ญ
และตอ้ งการซอื้ อุปกรณก์ ารเรียนราคา 650 วอน เขาจะจา่ ยเงินให้ 23. Yongju has 10 coins for each of the 100-won coin,
พอดี 650 วอน ไดท้ ง้ั หมดกแ่ี บบ 50-won coin, and 10-won coin. He wants to buy some
stationery of 650 wons in value. How many ways can
24. จงหาผลบวกของจานวนนบั สองจานวนท่สี อดคล้องกบั เง่อื นไข he make the exact payment of 650 wons?
สามขอ้ ท่กี าหนดให้ตอ่ ไปนี้
(ก) ผลคูณของจานวนทั้งสองเท่ากับ 3,402 24. Find the sum of two natural numbers that satisfy the
(ข) ตวั หารรว่ มมากของจานวนทงั้ สองเทา่ กับ 9 following three conditions;
(ค) เมื่อหารจานวนที่มากกวา่ ด้วยจานวนท่ีน้อยกวา่
จะเหลอื เศษ 18 (a) The product of the two numbers is 3,402.
(b) The greatest common divisor of the two numbers is 9.
25. ลกู บาศกล์ ูกหน่งึ มีเส้นขอบยาว 5 cm เม่อื เจาะกลางบรเิ วณ (c) When the larger number is divided by the smaller
ตรงกลางของแต่ละหน้าของลูกบาศก์ให้เป็นช่องส่เี หล่ยี มจตั ุรัส
ทมี่ ีด้านยาว 1 cm ทะลุถึงหน้าตรงข้าม ดงั รูป จงหาวา่ พ้นื ท่ีผวิ number, the remainder is 18.
ของรปู ทรงสามมติ ิเท่ากบั กี่ cm2
25. A cube having a side of 5 cm in length was drilled at
the center of each face to make a square hole of side
1 cm piercing through the opposite face, as shown.
Find the surface area, in cm2, of this three dimensional
shape.

26. นาย A เขียนตัวเลขไว้ 6 ตวั แตกต่างกัน นาย B เขยี นตัวเลขไว้ 4 ตวั 26. Mr. A wrote a set of numbers that contains 6 different
ซ่ึงแตกต่างกนั หลงั จากน้ัน นาย C จงึ เขยี นตวั เลขที่แตกต่างกนั numbers, and Mr. B wrote a set of numbers that contains
ไว้จานวนหนง่ึ ถา้ พบว่าตัวเลขที่นาย C เขียนไว้สอดคล้องกบั 4 different numbers. Later, Mr. C was asked to think of
เง่อื นไขสองข้อต่อไปน้ี a set of numbers that is consistent with the following two
(1) ตัวเลขทีน่ าย A เขียนไว้ ล้วนเป็นตัวเลขที่ นาย B หรอื นาย C conditions;
เขยี นไว้ (1) All numbers that Mr. A wrote are the numbers that
(2) ตัวเลขทน่ี าย B เขียนไว้ หรอื นาย C เขียนไว้ ลว้ นเปน็ จานวนที่ Mr. B wrote, or Mr. C thought of.
นาย A ได้เขยี นไว้ แล้ว (2) All numbers that Mr. B wrote, or Mr. C thought of are
จงหาวา่ ตวั เลขทน่ี าย C เขียนไว้ มีได้ทั้งหมดกี่แบบ (นาย C ทราบถงึ the numbers that Mr. A wrote.
ตวั เลขทีน่ าย A และนาย B ได้เขียนไว้) How many possible sets of numbers could Mr. C think of?
(Mr. C is aware of the numbers written by Mr. A and Mr. B.)

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 1 6

27. จงหาว่ามี n ซ่งึ เป็นจานวนนบั สามหลกั ทงั้ หมดก่ีจานวน ทีท่ าให้ 27. How many three-digit natural numbers n that make
2nn 2n 17 be a fraction in the simplest form?
 17 อยู่ในรูปเศษสว่ นอยา่ งต่า
 5 n5

28. สาหรับแต่ละจานวนนับ n กาหนดให้ผลคณู เลขโดดของ n คือ 28. For each natural number n, the digit product of n is defined
ผลคูณเลขโดดในแตล่ ะหลักของ n เช่น ผลคูณเลขโดดของ 15 as the product of each individual digit of n; for example,
เท่ากับ 1 x 5 = 5 ถา้ a, b และ c เปน็ จานวนนบั สองหลกั the digit product of 15 is 1 x 5 = 5. If a, b, and c are
ทีส่ อดคลอ้ งกบั เงื่อนไข “(ผลคณู เลขโดดของ a) x (ผลคูณเลขโดด two-digit natural numbers that satisfy the condition;
ของ b) x (ผลคณู เลขโดดของ c) = 12” จงหาว่า a + b + c “(the digit product of a) x (the digit product of b) x
จะมีค่าที่มากทส่ี ดุ เท่าใด (the digit product of c) = 12” What would be the largest
value for a + b + c?

29. ให้ เป็นจานวนนบั สห่ี ลัก โดยท่ี A, B, C และ D 29. Let be a four-digit natural number,
เป็นเลขโดดท่แี ตกตา่ งกนั และมีความสมั พนั ธต์ ามเงื่อนไขต่อไปนี้
in which A, B, C, and D are four different values of

(ก) B = A x B (ข) C = D x D (ค) D = A + B those digits and are related by the following relations;

(a) B = A x B (b) C = D x D (c) D = A + B

เมื่อแสดงจานวน ในระบบตวั เลขฐานสอง จะมี 0 If is to be represented in the base-two
ทง้ั หมดกี่ตวั numeral system, then how many zeros will there be?

30. ให้จดุ A และจุด B อยหู่ า่ งกนั เปน็ ระยะทาง 1 km จดุ P เป็น 30. Let the distance between point A and point B be 1 km,
จดุ กง่ึ กลางระหวา่ ง A กบั B แทอแู ละทูวนั เร่มิ ออกเดินจากจดุ P and let point P be the midpoint between point A and
พร้อมกัน โดยแทอูม่งุ หน้าไปยังจดุ A ดว้ ยอตั ราเรว็ 40 เมตร point B. Taeo and Toowan started walking from point P
ตอ่ นาที และทูวันมงุ่ หน้าไปยังจดุ B ด้วยอัตราเรว็ 60 เมตรต่อนาที at the same time. Taeo was heading to point A at the speed
ทั้งสองคนจะเดินทางไปกลบั ระหว่างจุด A กับจดุ B อยา่ งต่อเนือ่ ง of 40 meters per minute while Toowan was heading to
จงหาวา่ ต้องใช้เวลากน่ี าที นับจากทั้งสองคนเริ่มออกเดินจนมี point B at the speed of 60 meters per minute. If they both
ระยะห่างระหว่างกนั 200 เมตร เป็นครงั้ ที่ 10 (กาหนดให้อัตราเร็วของ are to keep walking back and forth between point A and
แตล่ ะคนคงเดิม โดยไม่ขน้ึ กับทิศทางการเดิน) point B continuously, how many minutes does it take from
the start until the distance between them is 200 meters
again for the tenth time? (given that the speeds at which
they walk remain the same at all time and are independent
of the directions they walk)

สนบั สนนุ โดย

เฉลย TME 2556 Grade 7

 

เฉลยแบบทดสอบ
การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ประจาํ ปี 2556 (TME)

ชัน้ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1

ข้อ คาํ ตอบ ข้อ คาํ ตอบ
1 7 2 16
3 64 4 867
5 750 6 407
7 14 8 6
9 12 10 14
11 792 12 16
13 3 14 35
15 200 16 28
17 15 18 80
19 35 20 245
21 6 22 53
23 16 24 153
25 192 26 16
27 771 28 93
29 6 30 118

สงวนลขิ สิทธ์ิฉบบั ภาษาไทยของแบบทดสอบนี ้โดยบริษัท เอดู พาร์ค จํากดั ซง่ึ ได้รับลขิ สิทธ์ิการแปลฉบบั ภาษาเกาหลจี าก WOONGJIN THINKBIG CO.,LTD.

TME มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 1

การประเมินความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ประจาปี 2556 (TME)

ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2

ชอื่ – นามสกุล โรงเรยี น
Name – Surname
School

คาสง่ั ข้อสอบมที ั้งหมด 6 หนา้ จานวน 30 ขอ้ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ให้เขียนตวั เลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down

AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. จงหาคา่ ของ x ที่ทาให้ 515/253/1252 = 5x 1. Find the value of x that makes 515/253/1252 = 5x.

2. จากรปู ทก่ี าหนดให้ รูป (ก) เป็นรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั และรูป (ข), (ค), 2. On the figure given below, (a) is a square, and (b), (c), (d),
(ง), (จ) เปน็ รปู สามเหลย่ี มด้านเท่า จงหาวา่ x เท่ากับกี่องศา and (e) are equilateral triangles. Find the measure of a
angle x in degrees.
(ข) (จ)
(b) (e)
(ก)
(ค) (ง) (a)
(c) (d)

3. ต่อไปน้คี ือขั้นตอนการแปลงทศนยิ มซ้า 0.362 เปน็ เศษส่วน 3. The followings are the procedures for converting the

ถา้ x = 0.362 จะได้ x = 0.362626262… repeating decimal 0.362 to its fraction form.

a x x = 362.62626262… ……. (1) If x = 0.362 , then x = 0.362626262…

b x x = 3.62626262… ……. (2) a x x = 362.62626262… ……. (1)

ถ้า (1) – (2) จะได้เปน็ c x x = 359  x = d b x x = 3.62626262… ……. (2)

จงหาคา่ ของ a + b – c Take (1) – (2) to get c x x = 359  x=d

Find the result of a + b – c.

4. กาหนดให้ A = 3x – 2y, B = y + 3z, C = x + 2z จงหาคา่ ของ 4. Let A = 3x – 2y, B = y + 3z, C = x + 2z. Find the result of
2Ax 3yBz C
 โดยท่ี x–y–z0 2A  3B  C , given that x – y – z  0.
 
x yz

5. จากรูป กาหนดให้ ∥m จงหาว่า x เท่ากับกอ่ี งศา 5. From the figure, given that ∥ m , find the measure ofa
angle x in degrees.

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 2

6. กราฟในรูปเป็นกราฟของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว 3x + ay – 3 = 0 6. The graph shown is the plot of the single-variable linear
ถ้าพิกดั ของจุด A คอื (3, b) จงหาค่าของ b equation 3x + ay – 3 = 0. If the coordinate of point A is
(3,b), then find the value of b.

7. จากรปู กาหนดให้ ∥m และ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ 7. From the figure below, given that ∥ m , and ABC isa
จงหาวา่ x เทา่ กบั กี่องศา an equilateral triangle, find the measure of angle x in degrees.

8. จากรูป กาหนดให้ AB∥ CD และ ∠BPQ = 23°, ∠QRD = 67°, 8. From the figure below, given that AB ∥ CD ,  BPQ = 23°,
∠PQS :∠SQR = 2 : 1 จงหาวา่ ขนาดของ ∠SQR เป็นก่อี งศา  QRD = 67°, and  PQS :  SQR = 2 : 1, find the
measure of  SQR in degrees.

9. ถา้ x เทา่ กับ 3 และ y เท่ากบั k เปน็ คาตอบของระบบสมการ 9. If x equals to 3, and y equals to k is the answer of a
y = ax – 2 the following system of equations
y = ax – 2
3x– 2y = 1 3x – 2y = 1
จงหาคา่ ของ a + k Find the result of a+k.

10. ให้ x = 0.23 เมื่อแสดง 1 + 1 ให้อยใู่ นรูปเศษส่วนอยา่ งตา่ 10. Let x = 0.23 , then 1 + 1 can be represented in a
1
1  x1 1  x

จะได้ a จงหาค่าของ a + b (ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1) a fraction in the simplest form as a . What is the result of
b b

a+b? (the greatest common divisor of a and b is 1)

สนับสนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 3

11. จากรูป ADB และ ACE เปน็ รูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่า 11. From the figure below, ADB and ACE are equilateral
จงหาวา่ ∠DFB มขี นาดก่ีองศา
triangles. Find the measure of  DFB in degrees.

12. จากรูป ปริมาตรของทรงกระบอกเป็นกี่เทา่ ของปริมาตรของกรวย 12. From the figure below, find the ratio of the volume of
the cylinder to the volume of the cone.

13. เขียนจานวนตั้งแต่ 0 ถึง 12 บนด้านของรูปคลี่ของทรงสบิ สองหนา้ 13. The numbers from 0 to 12 were written on faces of a
ปรกติดงั รปู เม่ือประกอบรูปคลน่ี เี้ ปน็ รปู ทรงสบิ สองหน้าปรกติ an unfold regular dodecahedron, as shown. When the net is
ถา้ จานวนทีเ่ ขยี นบนหนา้ ตรงข้ามกบั 1 คอื a จานวนท่เี ขยี นบนหนา้ folded up into a regular dodecahedron ; if the number on
ตรงข้ามกับ 2 คือ b และจานวนท่เี ขยี นบนหนา้ ตรงข้ามกับ 3 คือ c the face that is opposite to 1 is a, the number on the face
จงหาค่าของ a + b + c that is opposite to 2 is b, and the number on the face that
is opposite to 3 is c, then find the result of a+b+c.

14. เม่อื คูณ a กบั ทศนยิ มซา้ 3.12 แล้วลบออกด้วย a ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ 14. When multiplying a to the repeating decimal 3.12 ,
6.36 จงหาค่าของ a and then subtracting by a, the result is 6.36 . Find a.

15. รปู ที่กาหนดให้เป็นใบเสรจ็ ที่ชอลซูได้จากการซ้อื ของที่ร้านขาย 15. The given figure is the receipt that Cheol-Soo got from buying
เคร่ืองเขยี น แตม่ บี างสว่ นฉีกขาดหายไป จงหาวา่ ชอลซูซอ้ื สมดุ กเี่ ล่ม at a stationary store, but a part of it is torn and missing.
Find out how many notebooks Cheol-Soo have bought.

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศึกษาปที ่ี 2 4

16. จากรูป เมื่อแบง่ ครง่ึ ดา้ นแต่ละดา้ นของรูปส่เี หลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่ง จะได้ 16. From the figure, each side of a square is bisected to give
รูปส่เี หลีย่ มจัตุรสั ย่อย 4 รปู ดังรปู ต่อไปน้ี จากน้นั แบง่ รปู ส่ีเหลยี่ ม 4 smaller squares. If the sides of one smaller square are
หนง่ึ รูป โดยใชว้ ิธีการเดมิ อีก 1 ครั้ง ทาใหไ้ ด้รูปสเ่ี หล่ยี มจัตรุ ัสท้ังหมด bisected again, there will now be 7 squares in total.
7 รูป ถ้าทาซา้ ดว้ ยวธิ เี ดยี วกนั น้ี n คร้ัง แล้วรปู ส่ีเหลีย่ มจตั ุรัส Repeating the bisection for n times, the total number of
ท่ีสามารถสรา้ งไดจ้ ะเป็น an + b จงหาคา่ ของผลคณู ab squares becomes an + b. Find the product ab.
(a, b เปน็ จานวนนบั ) (a, b are natural numbers)

ครั้งที่ 1 คร้งั ท่ี 2 คร้ังที่ 3

17. กาหนดให้ n เป็นจานวนคบ่ี วก จงหาคา่ ของ 17. Given a positive odd number n, find the result for
(–1)n – (–1) n +1 – (–1)2n–1 + (–1) 2n – (–1) 2n+1 (–1)n – (–1)n + 1– (–1)2n – 1+ (–1)2n – (–1)2n + 1

18. ถ้า a, b และ c เปน็ จานวนตรรกยะ ทท่ี าให้ 18. If a, b, and c are the rational numbers that satisfies
1 x2 – y2 – 1 x(y – x) – 2 y2 = ax2+ bxy + cy2
1 x2 – y2 – 1 x(y –x) – 2 y2 = ax2 + bxy + cy 2
32 3
323
โดยท่ี x และ y เปน็ จานวนจริงใด ๆ จงหาค่าของ a + 3b + c
where x and y are any real numbers. Find the result of
a + 3b + c.

19. โรงเรียนแหง่ หนึ่งมีนักเรียนท้งั หมด 200 คน ในการอบรม 19. A school has a total of 200 students. In a workshop,

เชงิ ปฏิบตั กิ ารครัง้ หนง่ึ มีนกั เรยี นเขา้ ร่วมอบรม 1 ของนกั เรียนท้ังหมด there were 1 of the total students in the school participating,
5 5

โดยมนี กั เรยี นชายเปน็ 1 ของนักเรยี นชายทัง้ หมด และมนี กั เรียนหญิง and within the group the number of boy students was
4
1 of the total number of boy students in the school,
เปน็ 1 ของนกั เรียนหญงิ ทงั้ หมด จงหาว่าโรงเรยี นน้มี ีนักเรียนชาย
8 4

ท้ังหมดกี่คน and the number of girl students was 1 of the total number of
8

girl students in the school. What is the total number of
boy students in this school?

20. รูปสามเหล่ียมด้านเท่า ABC และรปู หา้ เหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เท่า ADEFG 20. An equilateral triangle ABC and an equilateral and
แนบในวงกลม O ดังรปู จงหาว่าเสน้ รอบวงของวงกลม O ยาวเป็น equiangular pentagon ADEFG are inscribed in a circle O,
กเ่ี ทา่ ของส่วนโค้งน้อย BE as shown. Find the ratio of the circumference of the
circle O to the minor arc BE.

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศึกษาปที ี่ 2 5

21. ถในา้ ร1Aปู 6ทแศลนะิย1มB8จะไเมป่เ็นป็นทศจานนยิ วมนซเา้ตศ็มูนยแ์ลจะากเมค่อื า่ แขสอดงงAจBานจงวหนาทว้ังา่ สคอา่ ทง่ี 21. If 16 and B are not integers but, when represented in
มากทีส่ ุดเป็นก่เี ท่าของค่าที่น้อยท่สี ดุ (เมื่อ A และ B เปน็
จานวนนบั ที่นอ้ ยกว่า 30) A 18

22. จงหาว่ามีเศษส่วนอย่างต่าทงั้ หมดกีจ่ านวนทมี่ ีตัวสว่ นเป็น 35 a decimal form, are repeating decimals of recurring zeros.
และเศษสว่ นเหลา่ นัน้ มคี า่ อยูร่ ะหว่าง 3 กบั 5
Among all possible values for B , find the ratio of
A
the maximum value to the minimum value.

( A and B are natural numbers, which are less than 30)

22. How many fractions in the simplest form that have 35
as the denominator and have their values between 3 and 5?

23. รปู ที่กาหนดให้เปน็ คร่ึงวงกลมทีม่ รี ศั มียาว 4 cm เมอ่ื ∠ACB = 15° 23. The given figure is a semicircle with a radius of 4 cm.
จงหาวา่ พน้ื ทข่ี อง ABC เป็นก่ี cm2 If  ACB = 15°, find the area, in cm2, of ABC.

24. จากรูป ABCD เป็นรูปสีเ่ หลีย่ ม จุด E 24. From the quadrilateral ABCD
เป็นจดุ ตดั ของดา้ น AB และดา้ น DC in the figure, sides AB and DC
ท่ตี ่อออกไปจุด F เปน็ จุดตัดของดา้ น AD are extended to meet at point E,
และ BC ทีต่ อ่ ออกไป จดุ P เปน็ จุดตัด and sides AD and BC are
ของเสน้ ท่ีแบ่งคร่ึง ∠E และ∠F extended to meet at point F.
จงหาว่า ∠BCD มีขนาดก่อี งศา Point P is the intersection point of the angle bisectors of
 E and  F. Find the measure of  BCD in degrees.

25. ม้วนเทปกาวซ่งึ ม้วน 300 ชั้น เปน็ รปู ทรงกระบอก ท่ีมีรัศมภี ายใน 1 cm 25. There is a roll of 300-turn adhesive tape with an inner
และมคี วามหนา 2 cm ดงั รปู จงประมาณวา่ เทปกาวน้ยี าวก่ีเมตร radius of 1 cm and a thickness of 2 cm, as shown.
(ใหต้ อบเป็นจานวนเตม็ และใช้  เทา่ กับ 3.14) Approximate how long, in meters, is this adhesive tape.

(Give your answer as an integer and use  as 3.14)

สนับสนนุ โดย

TME มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 6

26. จากรูป เส้นตรง ℓทข่ี นานกบั 26. From the figure, line ℓ
แกน y ตัดกับแกน x ที่จุดซง่ึ มี parallel to y axis crosses x
พกิ ัด x เป็นจานวนนบั และตดั กับ axis at the point of which
เส้นตรง y = ax (เมื่อ a > 0), the coordinate x is a natural
y = bx (เม่อื b < 0) ท่ีจุด A, B number. If line ℓintersects
ตามลาดับ ถา้ รูปสามเหลี่ยม AOB the lines y = ax (a > 0),
มีพื้นท่ี 56 ตารางหน่วย แล้วจงหาผลบวกของคา่ ทมี่ ากทีส่ ุด y = bx (b < 0) at point A and B, respectively, and the
กบั ค่าทน่ี ้อยทสี่ ุดของ a – b (เมอ่ื a – b ≥ 5) triangle AOB has an area of 56 square units, find the sum of
the maximum value and the minimum values of a – b
(given that a – b ≥ 5).

27. นากระดาษรปู สี่เหลย่ี มผืนผา้ ท่ียาว 200 cm และกวา้ ง 27 cm มาตัด 27. A rectangular paper, 200 cm in length and 27 cm in width,
เป็นรปู ส่ีเหลีย่ มจัตุรสั จานวนหลายรปู จนไม่มีกระดาษเหลอื โดย will be cut into several square pieces until no paper is left,
ทกุ คร้งั ทต่ี ดั จะตดั เป็นรปู สี่เหล่ียมจัตุรัสหน่งึ รปู ให้มขี นาดใหญท่ ีส่ ุด and each cut produces a largest possible square piece.
เท่าทีส่ ามารถตดั ได้ หลังจากท่ีตดั เสร็จแลว้ จะได้รปู ส่ีเหล่ียมจัตรุ สั When the cut is finished, a total of n squares are obtained,
ท้งั หมด n รูป และมรี ูปสีเ่ หล่ียมจัตรุ สั ตา่ งกัน m แบบ จงหาค่าของ and there are m different patterns of squares. Find the value
m+n of m + n.

28. กาหนดรปู แปดเหล่ียมด้านเทา่ มมุ เท่า 28. Given a regular octagon
เสน้ ทแยงมมุ AB และ CD ทามมุ กนั (with equal sides and equal
x° ดงั รปู จงหาค่าของ 2x interior angles) for which the
diagonals AB and CD make
an angle of x°, as shown.
Find the value of 2x.

29. รูป n เหลีย่ มดา้ นเทา่ มุมเทา่ มีขนาดของมุมภายในแต่ละมมุ เท่ากบั x° 29. A regular n–gon (with equal sides and equal interior angles)
ถา้ x เปน็ พหุคณู ของ 3 แลว้ จงหาวา่ n ทเ่ี ป็นไปไดม้ ที ้ังหมดกจ่ี านวน has an interior angle of x. If x is a multiple of 3, then
how many values of n are possible.

30. กาหนดรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ABC 30. Given a right triangle ABC
ที่ ∠A = 90°, AB = 1 หน่วย, with  A = 90°, AB = 1 unit,
BC = 2 หนว่ ย ดงั รปู เม่อื หมุน and BC = 2 units, as shown;
รปู สามเหลี่ยม ABC ไป 180° โดยให้ When the triangle ABC is
จดุ B เป็นจุดศนู ย์กลางของการหมนุ rotated by 180°with point B
บรเิ วณที่เป็นรอยของสว่ นของเส้นตรง AC จะมพี นื้ ท่ี a ตารางหน่วย as the center of rotation, the trace of the line segment
จงหาค่าของ 2a
AC will form an area of a square units. Find the value
สนับสนนุ โดย of 2a.

เฉลย TME 2556 Grade 8

 

เฉลยแบบทดสอบ
การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประจาํ ปี 2556 (TME)

ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 2

ข้อ คาํ ตอบ ข้อ คาํ ตอบ
1 3 2 15
3 20 4 7
5 15 6 6
7 45 8 30
9 6 10 267
11 60 12 160
13 26 14 3
15 3 16 3
17 1 18 1
19 120 20 15
21 15 22 48
23 4 24 150
25 38 26 119
27 20 28 225
29 14 30 3

สงวนลิขสิทธ์ิฉบบั ภาษาไทยของแบบทดสอบนี ้โดยบริษัท เอดู พาร์ค จํากดั ซงึ่ ได้รับลขิ สิทธิ์การแปลฉบบั ภาษาเกาหลจี าก WOONGJIN THINKBIG CO.,LTD.

TME มัธยมศึกษาปที ี่ 3 1

การประเมนิ ความสามารถในการแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ ประจาปี 2556 (TME)

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3

ชอื่ – นามสกลุ โรงเรียน
Name – Surname
School

คาส่ัง ขอ้ สอบมีท้ังหมด 6 หนา้ จานวน 30 ข้อ Instruction : The exam contains 6 pages with 30 questions.
ใหเ้ ขียนตัวเลขและระบายคาตอบลงในกระดาษคาตอบ For each answer, write the correct number down

AND fill in the bubble(s) on the answer sheet.

1. ถา้ 98 – 50 + 32 = a 2 จงหาค่า a 1. If 98 – 50 + 32 = a 2 , then what should a be?

2. จงหาคา่ ของ a ทท่ี าใหพ้ หุนาม 2. What value of a would make the polynomial
2x2 + (3a – 23)x – 15 2x2 + (3a – 23)x – 15

มี 2x – 3 เป็นตัวประกอบ having 2x – 3 as its factor?

3. เม่ือกระจาย (3x + ay + 4) (2x – 4y – 9) สัมประสทิ ธ์ขิ อง xy คือ 4 3. When (3x + ay + 4) (2x – 4y – 9) is expanded, the coefficient
จงหาคา่ ของ a of xy is 4. Find the value of a.

4. จากรปู AD เปน็ เส้นมธั ยฐานของ ABC จุด G และจดุ G 4. From the figure, AD is the median of ABC, and points G
เป็นจุดเซนทรอยดข์ อง ABC และ GBC ตามลาดับ and G´are the centroids of ABC and GBC, respectively.
เมอ่ื AD = 18 cm จงหาว่า GG มคี วามยาวกี่ cm If AD = 18 cm, find the length of GG in cm.

5. จดุ L, M, N เป็นจุดกง่ึ กลางของแตล่ ะด้านของ ABC และ AB = 14, 5. Points L, M, and N are the midpoints of each side of ABC
BC = 10, CA = 8 ดังรปู and AB = 14, BC = 10, CA = 8, as shown.

จงหาความยาวรอบรปู ของ LMN Find the perimeter of LMN.

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 2

6. รูปสีเ่ หล่ยี มจตั ุรัส ABCD มีด้านแตล่ ะด้านยาว 8 และอยูบ่ น 6. A square ABCD has the length of each side equal to 8
เสน้ จานวน ดังรูป ถ้า AC = AP และจดุ P เป็นจุดท่แี ทน 10 บน and lies on a number line, as shown. If AC = AP , and
เสน้ จานวน แลว้ จดุ A จะเป็นจดุ ท่ีแทนจานวนใดบนเสน้ จานวน point P is the point representing 10 on the number line, then
which number on the number line does point A represent?

7. ทรงส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก F คล้ายกบั ทรงสีเ่ หล่ียมมมุ ฉาก F´โดยมอี ัตราส่วน 7. A rectangular prism F is similar to a rectangular prism F´with
ของความยาวแต่ละด้านท่สี มนยั กันเป็น 3 : 4 ถา้ ทรงสเ่ี หล่ียมมุมฉาก F
มีปรมิ าตร 81 cm3 จงหาวา่ ทรงสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก F´มีปรมิ าตรกี่ cm3 the ratio of the lengths of each pair of corresponding sides
equal 3 : 4. If the rectangular prism F has the volume of 81 cm3,
8. ถา้ พหุนามทั้งสามต่อไปนี้ มตี ัวประกอบร่วมเป็นพหุนามดกี รหี น่งึ
จงหาคา่ คงตวั a what would be the volume in cm3of the rectangular prism F´?
4x2 + 4x – 3, 8x2 + 2x – 3, 2x2 + ax – 11
8. If the following three polynomials have a polynomial of
degree one as their common factor, find the constant a.
4x2 + 4x – 3, 8x2 + 2x – 3, 2x2 + ax – 11

9. กาหนดให้ x = 6 + 2 และ y = 6 – 2 จงหาคา่ ของ 9. Given that x = 6 + 2 and y = 6 – 2 , find the value of
x2 – xy + y2.
x2 – xy + y2

10. จากรปู กาหนดให้ ∥m∥n จงหาคา่ xy 10. From the figure below, given that ∥ m∥ n ,
find the value of xy.

11. จากรูป จุด O เปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมทม่ี ี ABC แนบใน 11. From the figure, point O is the circumcenter of ABC,
และจดุ I เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมทีแ่ นบในของ ABC whereas point I is the incenter of ABC. If ∠BOC = 100°,
เม่อื ∠BOC = 100° จงหาว่าผลต่างของขนาดของ ∠BIC กบั what is the difference, in degrees, between the measures of
∠BAC เปน็ ก่อี งศา  BIC and  BAC?

สนับสนุนโดย

TME มัธยมศึกษาปีที่ 3 3

12. ให้ a และ b เป็นจานวนนับ ซ่งึ แต่ละตัว หารดว้ ย 9 แล้วเหลือเศษ 5 12. Given that a and b are counting numbers that leave a
จงหาวา่ เมื่อหาร ab ด้วย 9 จะเหลอื เศษเท่าใด remainder of 5 when divided by 9; then, what would be
the remainder when ab is divided by 9?
13. มเี สน้ ทางเดินรถระหว่างเมืองเจ็ดเมือง คอื A, B, C, D, E, F และ G
ดงั รปู 13. There are bus routes between seven cities, which are A, B, C,
D, E, F, and G, as shown.

จงหาวา่ มีวธิ กี ารเดนิ รถจาก A ไป F ทัง้ หมดก่ีวิธี โดยต้องไม่ผ่าน How many ways to run a bus from A to F without having
เมอื งท่ีเคยผา่ นแลว้ to pass any cities twice?

14. กาหนดให้ 5 + 3 = a + c และ 6 = d + b เมอื่ a, d เป็น 14. Given that 5 + 3 = a + c and 6 = d + b; if a and d are
จานวนเตม็ , 0 ≤ b < 1 และ 0 ≤ c < 1 จงหาคา่ ของ k ทีส่ อดคลอ้ งกับ integers, 0 ≤ b < 1, and 0 ≤ c < 1; find the value of k
that satisfies
a 3 – 3b 2 = k 2
a 3 – 3b 2 = k 2

15. กาหนดให้ A และ B เปน็ พหุนาม ซ่ึง 15. Given that A and B are the polynomials where
2A + 3B = 8x2 + 7xy – 8y2 2A + 3B = 8x2 + 7xy – 8y2
A – B = – x2 – 4xy + 6y2 A – B = –x2 – 4xy + 6y2

ถา้ A + B = ax2 + bxy – cy2 จงหาค่าของ a + b + c if A + B = ax2 + bxy – cy2, find the value of a + b + c.

16. ตารางตอ่ ไปนี้แสดงผลสารวจหมู่เลอื ดของนักเรียนโรงเรยี นหนงึ่ 16. The following table shows the result from the survey on
จานวน 500 คน the blood types of 500 students in a school.

หมู่เลือด A B AB O รวม Blood Type A B AB O Total

จานวน a 125 b 90 500 Number of a 125 b 90 500
นักเรียน (คน) students

จากนักเรียน 500 คน เมื่อสุ่มนกั เรียนมา 1 คน พบวา่ ความนา่ จะเปน็ From 500 students, if a student is to be picked randomly,
ท่จี ะไดน้ ักเรยี นท่ีมีหมูเ่ ลือด A เปน็ 2 เท่าของความนา่ จะเปน็ ที่จะได้ then the probability of picking a student of A-type blood
นกั เรียนท่มี ีหมู่เลือด AB จงหาวา่ นักเรยี นทีม่ ีหมู่เลอื ด AB มที งั้ หมด is twice of the probability of picking a student of AB-type
กี่คน blood. What is the total number of students having AB type
blood?

สนบั สนนุ โดย

TME มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 4

17. ถ้า 10  3.16 และ 45 2 20  k จงหาคา่ ของ 100 k 17. If 10  3.16 and 45  20  k, find the value
2
18. จากรปู AB= AD, BD= BC , AD∥ BC , ∠DBC = 40° of 100 k.
จดุ I และ จุด I´เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของ ABD
และ DBC ตามลาดับ จุด O เป็นจุดตัดของส่วนของเส้นตรง AI 18. From the figure, AB = AD , BD = BC , AD ∥ BC ,
และส่วนของเส้นตรง DI´ท่ีต่อออกไป จงหาวา่ ∠AOD มขี นาด and  DBC = 40°. Point I and point I´are the incenters of
กี่องศา ABD and DBC, respectively, and point O is the
intersection point between extended line segment AI and
extended line segment DI´. Find the measure of  AOD
in degrees.

19. กาหนดให้ x = 1 – 3 และ y = 1 + 3 ถ้า y = ax2 + bx 19. Given that x = 1 – 3 and y = 1 + 3 , if y = ax2 + bx,
จงหาคา่ ของ a2 + b2 (เม่ือ a และ b เป็นจานวนตรรกยะ) find the value of a2 + b2 (a and b are rational numbers).

20. รปู ต่อไปนี้เป็นรูปคลี่ของทรงสีเ่ หลี่ยมมุมฉากรูปหนง่ึ 20. The following figure is the net of a rectangular prism.

(ก) (ข) (a) (b)

(ค) (c)

ถ้าพื้นทขี่ องรูปส่ีเหล่ียม (ก), (ข), (ค) เท่ากับ 24, 12, 18 ตารางหนว่ ย If the areas of the rectangles (a), (b), and (c) are 24, 12,
ตามลาดับ จงหาว่าทรงสเ่ี หลี่ยมมุมฉากท่เี กดิ จากการประกอบ and 18 square units, respectively. Find the volume,
รปู คล่ีนม้ี ีปริมาตรก่ลี กู บาศกห์ น่วย in cubic units, of the rectangular prism that is folded up
from this net.

21. ตัดเชือกท่ีมคี วามยาว 12 cm ออกเป็น 2 สว่ น แล้วนาแตล่ ะส่วน 21. A rope of 12 cm in length is cut into 2 pieces. Each piece
มาสร้างเปน็ รูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ ถ้ารูปสามเหล่ียมทง้ั สองรูป is then used to construct an equilateral triangle. If the ratio
มอี ตั ราสว่ นของพื้นทเี่ ปน็ 1 : 3 และรูปสามเหลีย่ มรปู ใหญ่มดี า้ น of the areas of these two triangles is equal to 1 : 3 and
แตล่ ะด้านยาว (a + b 3 ) cm จงหาค่าของ a2 + b2 the larger triangle has each side of length (a + b 3 ) cm,
(เม่อื a และ b เปน็ จำนวนตรรกยะ) then find the value of a2 + b2. (a and b are rational numbers)

สนบั สนุนโดย