เอกสาร “คลังข้อสอบ ENT ตรง’มอ. คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับปรับปรุง” ประจำปี พ.ศ.2549-2559

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 5–52

วันอาทิตย์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

13. สมกำรเส้นตรงทผ่ี ำ่ นโฟกสั ของพำรำโบลำ y2 10y  20x 35  0 และตั้งฉำกกับเส้นตรง
2y  x 1  0 คือข้อใด
1. y  2x  9  0
2. y  2x 11  0
3. y  2x 1  0
4. y  2x 1  0

14. ใหว้ งกลม A เป็นวงกลมทอ่ี ยูใ่ นระนำบ xy ซึ่งมจี ดุ ศูนยก์ ลำงอยู่ที่ 0,0 และมรี ัศมเี ทำ่ กับ 1
ถ้ำเขียนวงกลม A ในระนำบ uv ซง่ึ u  2x  2 และ v  3y  6 แล้วจะได้กรำฟในขอ้ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 6–52

วนั อาทติ ย์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

15. ถ้ำ log8 2  log8 4  log8 8  log816   log8 2n  210 แลว้ ค่ำของ n อยู่ในช่วงใด
1. 22, 27
2. 27,32
3. 32,37
4. 37, 42

16. เซตคำตอบของอสมกำร log1 2x 1  log1 2x 1 คือชว่ งใดตอ่ ไปนี้

24

1. 1,0

2.   1 , 0 
 2 

3.   1 ,1
 2

4. 1,1

17. กำหนดให้เสน้ โคง้ y  4x ตัดกับเส้นโค้ง y  2x1 3 ที่จุด P ถ้ำจุด P อยู่บนเส้นตรง y  mx  8
แล้ว m มคี ่ำเทำ่ กบั ข้อใด
1. log2 3
2. log2 5
3. log3 2

4. log5 2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 7–52

วนั อาทิตย์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

18. ให้ A และ B เป็นมุมแหลมโดยท่ี tan A  1 , cos B  3 และ A  B  arcsin 1
k 10 5

คำ่ ของ k เทำ่ กับขอ้ ใด

1. -7

2. -1

3. 1

4. 7

19. ถ้ำ 3sin 2x  4sin x 12cos x 8 แลว้ cos 2x มีคำ่ เทำ่ กบั ขอ้ ใด
1. 7
2. 1

3.  1

7

4.  1

9

20. ค่ำของ sin  1 arcsin   24   เทำ่ กับขอ้ ใด
 2  25  

1.  3 2

5

2.  3

5

3. 3

5

4. 3 2

5

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 8–52

วนั อาทิตย์ท่ี 22 พฤศจกิ ายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

21. ถ้ำ u  2 และ v  3 แล้ว u v   v 2 มีค่ำมำกที่สดุ เท่ำกบั ข้อใด

1. 36
2. 45
3. 72
4. 81

22. ถำ้ แทนจำนวนเชงิ ซ้อน z  a bi ดว้ ยเวกเตอร์ท่ีมีจุด 0,0 เป็นจดุ เร่ิมตน้ และจุด a,b เป็น
จุดส้ินสดุ ขอ้ ใดต่อไปนี้ทำให้ z1z2 เปน็ จำนวนจรงิ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 9–52

วันอาทติ ย์ท่ี 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

23. ถ้ำ z1 และ z2 เป็นคำตอบที่ไม่เป็นจำนวนจริงของสมกำร z 13 8  0 แล้ว z1  z2 เท่ำกับ

ข้อใด
1. 2 3
2. 4 3
3. 4
4. 4i

24. ถำ้ f x  x3  Ax2  Bx  C มีรำกต่ำงกัน 3 รำก โดยที่กรำฟของ f ตัดแกน Y ที่ y 1 และ
ตัดแกน X ที่ x  1 เท่ำนั้นแลว้ ค่ำของ A ทัง้ หมดอยู่ในช่วงใด
1. 2, 2
2. 1,3

3. 0, 4

4. 1,5

25. กำหนดฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์ C  30x  20y และมีอสมกำรข้อจำกดั คือ
x  y  1, 2x  y  5 , x  2y 10 , x, y  0

คำ่ ของ x และ y ท่ีทำให้ C มีคำ่ น้อยสุด สอดคล้องกบั อสมกำรในขอ้ ใด
1. x  y  4
2. 3x  y  6
3. 2x  y  4
4. 3x  2y  5

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 10–52

วนั อาทติ ย์ท่ี 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

26. นำเลขโดด 1,2,3, ,9 มำสรำ้ งจำนวนเต็มบวกที่มีสำมหลัก โดยแต่ละหลักใช้เลขโดดท่ีไม่ซ้ำกัน และ

ผลคูณของเลขโดดทัง้ สำมตัวน้หี ำรด้วย 2 ลงตวั จะสรำ้ งได้ท้ังหมดเป็นจำนวนเท่ำกบั ขอ้ ใด
1. 204
2. 264
3. 420
4. 444

27. ส่มุ หยิบลกู บอล 3 ลูกจำกกลอ่ งใบหนึ่ง ซงึ่ มลี ูกบอกท่ีแตกต่ำงกัน 7 ลูก ประกอบด้วยลูกบอลสีขำว 1
ลูก สีเขียว 2 ลูก และสีฟ้ำ 4 ลูก ควำมน่ำจะเป็นท่ีจะหยิบได้ลูกบอลสีขำว 1 ลูก หรือสีฟ้ำ 1 ลูก
เทำ่ กับข้อใด
1. 18

35

2. 19

35

3. 25

35

4. 27

35

28. ถ้ำนำผู้ชำย 3 คน ผู้หญิง 2 คน และเด็ก 1 คน มำจัดนั่งรอบโต๊ะกลม แล้วควำมน่ำจะเป็นที่เด็กน่ัง
ระหว่ำงผชู้ ำย 2 คน เท่ำกบั ข้อใด
1. 0.15
2. 0.20
3. 0.30
4. 0.40

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 11–52

วันอาทติ ย์ท่ี 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

29. นำเลขโดด 1,2,3 มำสร้ำงจำนวนเต็มบวกค่ีท่ีมี n หลัก โดยแต่ละหลักเป็นเลขโดดที่ซ้ำกันได้ จำนวน

เตม็ บวกคีท่ ี่มี 1 ปรำกฏอย่ำงมำก 1 ครง้ั และ 2 ปรำกฏอยำ่ งมำก 1 ครัง้ มเี ปน็ จำนวนเท่ำใด
1. n2 1
2. n2  n  3
3. n2  n  4
4. n2  n  5

30. ให้ 399 1 แลว้ 3A มีคำ่ กับข้อใด

A 1  n2
n1 n 1  n n A

1. 70,105

2. 71,340

3. 72,575

4. 73,810

31. อนกุ รมอนนั ต์หนงึ่ เป็นอนุกรมเรขำคณติ ที่มีผลบวกของอนุกรมเท่ำกับ 3 ถ้ำ a,b,c เป็นสำมพจน์แรก
ของอนุกรมข้ำงต้น และ 2a,3b,4c เป็นลำดับเรขำคณิต แล้วผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เท่ำกับ
ข้อใด
1.  3

4

2.  1

4

3. 1

4

4. 3

4

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 12–52

วนั อาทติ ย์ที่ 22 พฤศจกิ ายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

32. ถ้ำ f  x  x x แลว้ f  x เทำ่ กบั ข้อใด
1. x  x
2. 2 x
3. 2x
4. 0

33. กำหนดให้ h  f g และ y  f  x เป็นเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง y  g  x ทจี่ ุด 2,0 ดงั รปู

คำ่ ของ h2 เท่ำกับขอ้ ใด

1. 2
2. -2
3. 4
4. -4

34. ฟังก์ชนั f  x ในข้อใดทำให้ lim f  x  3 และ lim f  x  1
x1 x1

1. 2 1 x2

1 x

2. 2  1 x2 
 1 x 

3. 1 1 x2

1 x

4. 1 x2
3
1 x

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 13–52

วันอาทิตย์ที่ 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

35. ค่ำของ 4limn  1  i   1  i 3  เท่ำกบั ขอ้ ใด
n i1 4 n  n  
n  

1. 1

2. 3

3. 6

4. 9

36. ให้ f  x เปน็ พหุนำมดีกรสี ำม มีจุดสูงสุดสมั พัทธท์ ่ี 1,5 และมีจดุ ต่ำสุดสัมพทั ธ์ท่ี x  2

ถ้ำ f 0  0 แล้ว f 2 เทำ่ กับข้อใด
1. 4
2. 2

3. 3

2

4. 2

3

37. กำหนดให้ข้อมูลของตวั แปร x คอื 2,3,4,6,10 และตวั แปร y สมั พันธ์กบั ตวั แปร x โดย

y  Ax  B เม่ือ A, B เป็นคำ่ คงตัวใด ๆ และ A  0 ถำ้ คำ่ เฉลย่ี ของ y เท่ำกบั 0 และ

ควำมแปรปรวนของ y เปน็ 4 เท่ำของควำมแปรปรวนของ x แลว้ 9A B เทำ่ กบั ข้อใด

1. 8
2. 13
3. 16
4. 17

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 14–52

วันอาทติ ย์ที่ 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

38. ขอ้ มลู ตัวอย่างชดุ หนึ่งประกอบดว้ ย 4,11,13,16,a,b มีค่ำเฉลยี่ และค่ำมัธยฐำนเท่ำกนั และเท่ำกับ 10

ควำมแปรปรวนของตัวอยำ่ งนี้เท่ำกบั ข้อใด
1. 17.6
2. 18.0
3. 18.4
4. 19.6

39. ในชัน้ เรียนหนึ่ง คะแนนสอบของนักเรียน 50 คน มีกำรแจกแจงปกติ และมีควำมแปรปรวนเท่ำกับ 25
ถำ้ นักเรยี น 45 คน สอบไดค้ ะแนนน้อยกว่ำ 80 คะแนน แลว้ คะแนนมำตรฐำนของ 70 คะแนนเท่ำกับ
ขอ้ ใด (กำหนดให้คะแนนมำตรฐำนที่เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 5 เท่ำกับ 1.64 และคะแนนมำตรฐำนท่ีเป็น
เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 10 เท่ำกบั 1.28)
1. -0.72
2. -0.36
3. 0.36
4. 0.72

40. ให้  xi, yi  เปน็ ค่ำสงั เกตของตัวแปรอิสระ x และตวั แปรตำม y คู่ท่ี i เมือ่ i 1,2,3,4,5 โดยท่ี

55 5 5
xi2  20, xi3  56, xi4  164,
   xi  8,
i1 i1 i1 i1

55 5 xi2 yi  167

  yi  25,
xi yi  59,

i1 i1 i1

ถ้ำสมกำรของควำมสัมพนั ธใ์ นเชิงฟงั ก์ชนั คือ y  A Bx2 เม่อื A และ B เป็นค่ำคงตวั แล้ว

ค่ำประมำณของ y โดยวธิ ีกำลงั สองน้อยสุด เมื่อ x  5 เท่ำกบั ข้อใด (ใช้ทศนิยม 1 ตำแหนง่ )

1. 19.7

2. 21.8

3. 28.1

4. 30.2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 15–52

วนั อาทิตย์ที่ 22 พฤศจิกายน 2552 เวลา 08.30 – 10.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ ENT ตรง มอ.’52

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
1. 2 2. 4 3. 3 4. 1 5. 1
6. 2 7. 2 8. 4 9. 2 10. 4
11. 3 12. 4 13. 1 14. 3 15. 3
16. 2 17. 3 18. 4 19. 4 20. 2
21. 2 22. 4 23. 1 24. 2 25. 2
26. 4 27. 2 28. 3 29. 1 30. 2
31. 1 32. 2 33. 3 34. 3 35. 4
36. 1 37. 1 38. 3 39. 1 40. 2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 1–53

วนั เสาร์ท่ี 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

ตอนที่ 1 ขอ้ สอบแบบเลอื กตอบ 5 ตวั เลอื ก ข้อ 1 – 22 ข้อละ 3.125 คะแนน

1. ถ้าการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ีสมเหตสุ มผล
เหตุ p

q 4. เหตุ r
p
ผล r ผล q
แล้วการอา้ งเหตผุ ลในข้อใดต่อไปน้ีสมเหตสุ มผล 5. เหตุ r
1. เหตุ r p
ผล q
ผล p
2. เหตุ q

r

ผล p
3. เหตุ q

r

p

ผล q *

2. กาหนดให้เอกภพสัมพทั ธ์เปน็ เซตของจานวนเตม็ ข้อใดต่อไปน้ถี กู ต้อง
1. yx ( y หาร x ลงตวั )*
2. xy ( y หาร x ลงตัว)
3. yx ( y หาร x ลงตวั )
4. xy ( y หาร x ลงตัว)
5. yx ( y หาร x ลงตัว)

3. กาหนดให้เอกภพสัมพทั ธเ์ ป็นเซตของจานวนจริง ถ้า A {x | || x | 4 | 3} และ B  {x2 | x  A}
แลว้ B  A เท่ากับข้อใด
1. [1, 49)
2. (7, 49]
3. (1, 49)
4. (7, 49)
5. [7, 49) *

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 2–53

วนั เสาร์ท่ี 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

4. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 3 ถ้า a2 b2  504 และ
a3  b3 หารด้วย 4 ลงตัว แล้ว a b เทา่ กับข้อใด
1. 0
2. 12 *
3. 24
4. 36
5. 48

a 2 0 b
 1 4 ถ้าระบบสมการนี้มจี านวนคาตอบ
5. เมทรกิ ซแ์ ต่งเตมิ ของระบบสมการหนงึ่ อยู่ในรูป  0 1

0 0 2 4

มากมายนบั ไม่ถ้วน แลว้ a b มคี ่าเทา่ กบั ข้อใด

1. 4

2. 2

3. 0

4. 2

5. 4 *

6. ให้ f เป็นฟังก์ชันซง่ึ f 1  g o h โดยที่ g(x)  x2 และ h(x)  3 x เรนจ์ของ f เป็นสับเซต
x 1

ของขอ้ ใด

1. (, 3)

2. (3, 2)

3. (2, 1)

4. (1, 2) *

5. (2,)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 3–53

วนั เสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

7. พิจารณา f (x)  sin x เมอื่   x  
2

g(x)  2x เมอื่ x  0

และ h(x) 1 x เมื่อ 1 x 1

ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1. h(x2) เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ f ( x ) เปน็ ฟังกช์ ันลด และ g(x) เป็นฟังกช์ ันหน่ึงต่อหนงึ่
2

2. g(x) เป็นฟังกช์ นั เพิ่ม f ( x) เป็นฟังกช์ ันลด และ h(x2) เปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนงึ่

2

3. f ( x ) เป็นฟงั ก์ชนั เพิม่ g(x) เปน็ ฟงั กช์ ันลด และ h(x2 ) เปน็ ฟังกช์ ันหน่งึ ต่อหนึง่
2

4. h(x2) เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ g(x) เป็นฟังกช์ ันลด และ f (2x) เปน็ ฟงั ก์ชนั หน่ึงต่อหนง่ึ

5. g(x) เป็นฟังกช์ ันเพม่ิ h(x2) เป็นฟังกช์ นั ลด และ f (2x) เป็นฟงั ก์ชันหนึ่งต่อหนง่ึ

8. ให้เส้นตรง l1,l2,l3 และ l4 ตัดกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดย l1 ตัดกับ l2 และ l3 ท่ีจุด (1,2) และ (4,6)
ตามลาดับ และ l4 อยู่เหนอื l1 ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ป็นสมการของ l4
1. 4x  3y  23  0
2. 4x  3y  3  0
3. 4x  3y  2  0
4. 4x  3y  7  0
5. 4x  3y  27  0 *

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 4–53

วนั เสาร์ท่ี 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

9. กราฟท่ีแสดงเซตคาตอบของ 2log(y  x)  log(2y)  log(y  x 1) คือขอ้ ใด
1. 2.

3. 4.

5.

10. ขอ้ ใดตอ่ ไปนม้ี ีค่ามากทสี่ ดุ

1. 
sin 10

2. 
sin 5

3. cos  *
10

4. 
cos 5

5. tan 
10

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 5–53

วันเสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

11. ให้ P(a,b) และQ(c,d) เปน็ จดุ บนวงกลมทม่ี ีรศั มี 1 หน่วย และให้ θ1 และ θ2 เป็นมุมท่ีจุดศูนย์กลาง
ของวงกลม ซง่ึ รองรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ AP และ AQ ตามลาดบั ดังรปู

คา่ ของ arctan  ad  bc  เท่ากับขอ้ ใด
 ac  bd 

1. θ1  θ2

2. θ1  θ2   *

3. θ1  θ2

4. θ1  θ2  

5. θ2  θ1

12. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ซ่ึง u 1 และ v  1 ให้ θ เปน็ มุมระหวา่ งเวกเตอรท์ ้ังสอง โดยที่
2

0  θ   จานวนของมมุ θ ทีท่ าให้ u v  u  v เท่ากับข้อใด

1. 0 *

2. 1

3. 2

4. 3

5. 4

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 6–53

วันเสาร์ท่ี 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

13. กาหนด z เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นทไ่ี ม่เทา่ กบั ศนู ย์ซึ่ง Re(z)  Im(z)  0 และ z9  z ค่าของ
z222 1 เท่ากับข้อใด

1. 1
2. 2 *
3. 2
4. 5
5. 10

14. ให้ P  Ax  By เป็นฟังกช์ ันจดุ ประสงค์ และบรเิ วณที่สอดคลอ้ งกบั อสมการข้อจากดั เปน็ ดงั รปู

จุดในขอ้ ใดทาให้ P มีคา่ มากท่สี ุด
1. (3,3)
2. (5,5)
3. (4, 2)
4. (7,3) *
5. (6, 2)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 7–53

วนั เสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

15. ให้ A  a b a,b, c, d {1,3,5, 7} ถา้ สมุ่ หยบิ เมทรกิ ซ์ในเซต A มาหนึง่ เมทริกซ์
  
 c d 

ความน่าจะเปน็ ที่จะไดเ้ มทริกซเ์ อกฐานเทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 1

256

2. 7

256

3. 1

64

4. 7 *

64

5. 1

16

16. จานวนของฟังกช์ นั f :{1,2,3} {1,2,3,...,10} ซ่ึงเป็นฟงั กช์ นั หน่งึ ต่อหนึง่ และ

f (1)  f (2)  f (3) เปน็ จานวนคเู่ ท่ากบั ขอ้ ใด

1. 200
2. 1
3. 300
4. 360*
5. 400

17. เมื่อนาความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมาเรียงลาดับจากมากไปหาน้อย
พบวา่ ได้ลาดบั เรขาคณติ ที่มีอตั ราส่วนร่วมเทา่ กบั r ค่าของ 1 r2  r4  r6 ... เทา่ กับข้อใด
1. 5  3

2

2. 5 1

2

3. 5 1

2

4. 5  2

2

5. 5  3 *

2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 8–53

วันเสาร์ท่ี 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

18. ให้ g(x)  f (x) 1 ถ้า g(0)  f (0)  3 และ g(0)  1 แล้ว f (0) เท่ากบั ขอ้ ใด
3
1. 2

3

2. 4 *

3

3. 2
4. 8

3

5. 10

3

 1

19. คา่ ของ  1 1 (1 x2) dx เท่ากับข้อใด
0

1. 

4

2. 1

3. 1  
4

4.  1

4

5.  1
4

20. ในการสอบซ่อมวิชาเลขคณิตของนักเรียน 6 คน พบว่ามีเพียง 1 คนท่ีได้คะแนนเต็ม 60 คะแนน
คะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 6 คนนี้ มีมัธยฐานเท่ากับ 28.5 ฐานนิยมเท่ากับ 30 พิสับเท่ากับ 40
และค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเท่ากับ 30 ถ้าเรียงลาดับคะแนนจากมากไปหาน้อย แล้วคะแนนสอบท่ีอยู่ใน
ลาดบั ท่หี า้ มี่คาเทา่ กับขอ้ ใด
1. 20
2. 22
3. 24
4. 25 *
5. 27

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 9–53

วนั เสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

21. กาหนดข้อมลู ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง x และ y เป็นดังนี้ 6
5
x1 2 3 4

y2 3 4 4

โดยหลกั การกาลงั สองน้อยสดุ ถา้ แทนความสมั พนั ธด์ ้วยกราฟต่อไปน้ี
ขอ้ ใดมคี วามคลาดเคลือ่ นมากทีส่ ุด
1. 2.

3. 4.

5.

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 10–53

วนั เสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

22. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนนและมี
นักเรียน 1.50% ที่ได้คะแนนน้อยกว่า 30 คะแนนหรือมากกว่า 90 คะแนน ถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึ่ง
คน แลว้ ความนา่ จะเป็นที่นกั เรยี นคนน้ันจะไดค้ ะแนนมากกวา่ 50 คะแนน เท่ากบั ขอ้ ใด
กาหนดพ้ืนที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง 0 ถงึ z ดังน้ี

z 0.72 0.81 2.43 2.96
0.2642 0.2910 0.4925 0.4985
พน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โค้ง

1. 0.2642
2. 0.2910
3. 0.7642
4. 0.7910 *
5. 0.8159

ตอนที่ 2 ข้อสอบแบบอัตนยั (เติมคาตอบ) ข้อ 1 – 10 ข้อละ 3.125 คะแนน

1. จานวนจริง a ท่ีมีค่ามากที่สุดซึ่งทาให้ (1,) เป็นเซตคาตอบของอสมการ x x  ax  1 มีค่า
1

เท่ากับเท่าใด (4)

2. ให้ a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก โดยที่ a หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 และ b หารด้วย 6 เหลือเศษ 4
ถา้ a 1 b  2 แล้ว a  b หารดว้ ย 12 เหลือเศษเทา่ ใด (9)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 11–53

วันเสาร์ท่ี 20 พฤศจกิ ายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

3. ให้ A เป็นเมทรกิ ซไ์ มเ่ อกฐานขนาด 22 ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ A2554 1 1  A2553 0 1
0 1 1 0

ค่าของ det  1 1  1 0  เท่ากบั เท่าใด (30)
 A  0 5 0 1 
  1 

4. วงกลมท่ีมรี ัศมี 5 หน่วยสัมผัสกับพาราโบลา y  x2 โดยมจี ดุ (0,a) เป็นจดุ ต่าสุดของวงกลมดังรูป
4

ค่าของ a เทา่ กบั เท่าใด ( 9 )
4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 12–53

วันเสาร์ที่ 20 พฤศจกิ ายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

5. คา่ ของ ที่มากทส่ี ุดซึง่ ทาให้  2  2 2 x 10   3  3 x2 2 x7  เท่ากับเท่าใด (11 )
 3  3    2  2  
x      0 2

6. ถา้ 2 cos 2x 1 แล้วคา่ ของ 1 cos 2x เท่ากับเท่าใด (2 )
2sin2 x  sin 2x  2
5

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 13–53

วันเสาร์ที่ 20 พฤศจกิ ายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

7. ให้ f (x)  x4  ax3  bx2  cx  d โดยที่ a,b,c และ d เปน็ จานวนจรงิ มีกราฟดงั รปู
ถา้ z1, z2, z3 และ z4 เป็นรากของ f (x) แลว้ z1  z2  z3  z4 มีค่าเท่ากับเท่าใด (10 )

8. ถา้ นาตวั เลขจากสามเหลี่ยมปาสคาลมาเขียนเรียงลาดับใหม่ให้เป็นส่ีเหลี่ยมโดยที่แต่ละแถวของสี่เหล่ียม
รูปใหมม่ ีตัวเลขหกตัว ดงั รปู

1 1111 21

11 1 3311 4

1 21 641

1 33 1

1 4 6 41

ผลบวกของตวั เลขทง้ั หมดในแถวท่ี 12 ของสเี่ หลยี่ มรูปใหม่เท่ากับเท่าใด (1024)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 14–53

วันเสาร์ที่ 20 พฤศจิกายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

9. ให้ f เป็นฟังกช์ นั ทีม่ กี ราฟผ่านจุดกาเนดิ โดยที่ f (0)  1 และ g เปน็ ฟงั ก์ชนั ทน่ี ยิ ามโดย
4

 f (x) , x0
a,x x0
g( x) 

 b , x0

 x  4

ถา้ g เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งที่ x  0 แล้ว a  b มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด

10. ข้อมูลตัวอย่างสองชุดประกอบด้วย 2,2,4,4 และ 2,2,4,4,a,b โดยที่ a และ b เป็นจานวนเต็ม

บวก ถ้าขอ้ มูลตัวอยา่ งทง้ั สองชุดน้มี คี า่ เฉลย่ี เลขคณติ เท่ากัน แต่พิสัยต่างกัน ความแปรปรวนของข้อมูล
ตัวอยา่ งชดุ ทีส่ องเทา่ กบั เท่าใด ( 2 )

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 15–53

วันเสาร์ที่ 20 พฤศจกิ ายน 2553 เวลา 08.30 – 10.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ ENT ตรง มอ.’53

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนที่ 1

1. 3 2. 1 3. 5 4. 2 5. 5
6. 4 7. 2 8. 5 9. 3 10. 3
11. 2 12. 1 13. 2 14. 4 15. 4
16. 4 17. 5 18. 2 19. 3 20. 4
21. 4 22. 4
ตอนท่ี 2
1. 4 2. 9 3. 30 4. 2.25 5. 5.5
6. 0.4 7. 10 8. 1,024 9. 0.75 10. 2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 1–54

วนั เสาร์ที่ 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

ตอนที่ 1 ขอ้ สอบแบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลอื ก ข้อ 1 – 22 ข้อละ 3.125 คะแนน

1. ถ้า a และ b เป็นผลเฉลยของอสมการ || 2x | 1|  x  5 แลว้ a b มคี า่ สูงสุดเท่ากบั ข้อใด

1. 1
2. 2
3. 5
4. 6
5. 8*

2. จานวนเต็มบวกสองหลัก ซง่ึ หารลงตวั ดว้ ยเลขโดดหลักหนว่ ยและเลขโดดหลักสบิ ของจานวนนั้นมีท้ังหมด
กจี่ านวน
1. 9
2. 10
3. 13
4. 14
5. 15

3. ตอ้ งการจดั เรยี งตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10 ในแนวเสน้ ตรงโดยมีเง่ือนไขดังนี้
ก. เลขคู่ตอ้ งอยหู่ ลังตวั เลขทม่ี ีค่าเปน็ ครึ่งหนึ่งของตัวเลขน้ันเสมอ
ข. 10 ต้องอยหู่ นา้ ตัวเลขที่เป็นตวั ประกอบของ 10 เสมอ
ค. ตวั เลขในตาแหน่งท่ี 1 และตาแหน่งท่ี 10 จะต้องเปน็ จานวนเฉพาะเท่านน้ั
ง. 9 จะตอ้ งอยใู่ นตาแหนง่ ที่ 2 หรือตาแหนง่ ที่ 7 เทา่ น้นั

ตัวเลขในตาแหน่งท่ี 8 คอื ขอ้ ใด
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 8

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 2–54

วนั เสาร์ท่ี 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

4. พจิ ารณาการอ้างเหตุผลที่ประกอบด้วยเหตุดงั นี้

pr

qr s

ขอ้ ใดเป็นข้อสรุปทไี่ ม่สมเหตุสมผล
1. ( p  q)  (r  s) *
2. ( p  q)  (r  s)
3. ( p  q)  (r  s)
4. p  (q  s)
5. s  (q  p)

5. กาหนดให้ r1  {(x, y) | | x || y |}และ r2 {(x, y) | y  x2  2}
ถ้า r  r1  r2 แลว้ ข้อใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง
1. Dr  [2, 2], Rr  [2, 2]
2. Dr  [2, 2], Rr  [1, 2]*
3. Dr  [2, 2], Rr  [2, ]
4. Dr  [2, 1] [1, 2], Rr  [2, 2]
5. Dr  [2, 1][1, 2], Rr  [1, 2]

1 3 1
6. ถ้า A  0 
2 1  เม่ือ a เปน็ จานวนเตม็ และ det(adj At )  2555

1 0 a

แล้วจานวนเต็ม a ทีเ่ ปน็ ไปได้มีทงั หมดกี่จานวน

1. 50*

2. 51

3. 100

4. 101

5. มากมายนบั ไมถ่ ้วน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 3–54

วันเสาร์ท่ี 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

7. สาหรบั วงรี x2  y2 1 หรอื x2  y2 1 เมอื่ ab0 ความเยอ้ื งศนู ย์กลางของวงรคี ือ
a2 b2 b2 a2

e  a2  b2 วงรีในขอ้ ใดมคี วามเย้ืองศูนย์กลางน้อยทีส่ ุด

a

1. วงรี A
2. วงรี B
3. วงรี C
4. วงรี D *
5. วงรี E

8. กาหนดให้ f (x)  4x  4, 0 x 1 ค่าของ f ( f 1(7)  f 1(2)) เท่ากับเท่าใด
  5)2,1  x  5
16  (x

1. 15

4

2. 5

3. 7

4. 31

4

5. 39 *

4

x

9. ถา้ x และ y เปน็ จานวนจรงิ โดยที่ x2 +2xy = log xx +2log xy แล้ว 2 y มคี ่าเท่ากบั ข้อใด
1. 4

2. 1 *

4

3. 2

4. 1

2

5. 1

2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 4–54

วนั เสาร์ที่ 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

10. พับกระดาษรปู ส่ีเหลยี่ มผืนผา้ ทมี่ ีความกว้าง 2 หนว่ ย ใหม้ มุ หนึง่ ไปจรดกับขอบดา้ นหนึ่ง ดงั รูป

ความยาวของดา้ น AB เท่ากบั ข้อใด
1. secθ

2. sec2θ *
3. cosecθ
4. cosec2θ
5. secθcosecθ

11. ขอ้ ใดตอ่ ไปนม้ี ีค่ามากทสี่ ุด

1. 1
arcsin 5

2. 1
arccos 5
1
3. arctan 5

4. arc cot 1 *
5

5. 5

12. ถา้ ทอดลูกเตา๋ ทแี่ ตกต่างกัน 3 ลูกพร้อมกัน แล้วข้อใดเท่ากับจานวนวิธีท่ีลูกเต๋าทั้ง 3 ลูกข้ึนหน้าต่างกัน
ทั้งหมด และผลรวมของแตม้ บนหน้าท่ขี ึ้นของลกู เต๋าท้งั 3 ลูกมคี า่ มากกวา่ 6
1. 104
2. 109
3. 114*
4. 119
5. 124

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 5–54

วันเสาร์ท่ี 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

13. ในห้องเรียนห้องหน่ึง นักเรียนชาย 5 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ต้องการจัดนักเรียน 5 คน นั่งรอบ
โต๊ะกลมซึ่งมี 5 ที่น่ัง โดยมีนักเรียนเพศละอย่างน้อย 2 คน และนักเรียนเพศเดียวกันต้องน่ังติดกัน จะ
จดั ไดท้ ้ังหมดก่ีวิธี
1. 1800
2. 2400
3. 3600
4. 4200*
5. 4800

14. ผลบวกของพจน์ที่ 100 และพจน์ท่ี 101 ตามลาดบั 0,1,10,101,1010,10101,... เทา่ กับขอ้ ใด
1098 1
1. 9

2. 10049 1
99
10100 1
3. 9 *

4. 10050 1
99
10102 1
5. 9

15. ให้ u, v และ w เปน็ เวกเตอร์ที่ไมใ่ ช่เวกเตอรศ์ นู ยใ์ นปรภิ มู สิ ามมติ ิ และ i 1
= 0
0

ข้อใดเปน็ เงื่อนไขที่ทาใหส้ รปุ ไดว้ า่ u ตั้งฉาก v

1. u ต้ังฉากกบั i และ v ตง้ั ฉากกับ i *

2. u× v = 0 และ v = w×i

3. u×w= v×w

4. u - v ตงั้ ฉากกบั u +v

5. u×v = v×u

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 6–54

วันเสาร์ที่ 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

16. ถ้า z1, z2, z3,..., z4 เป็นผลเฉลยของสมการ (z 1)14 1 แล้ว | z1 |2  | z2 |2  | z3 |2 ,...,| z14 |2

มีค่าเทา่ กับขอ้ ใด
1. 14
2. 16
3. 26
4. 28*
5. 36

17. ให้ P  Ax  By เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยที่กราฟของ Ax  By  2555 มีความชันเท่ากับ 1
4

และบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการข้อจากัดดังรูป ถ้า A เป็นจุดท่ีทาให้ P มีค่าน้อยท่ีสุด และ B

เปน็ จดุ ที่ทาให้ P มีค่ามากท่สี ุด แลว้ ความชนั ของเสน้ ตรงทีผ่ า่ นจุด A และ B เทา่ กับข้อใด

1.  6
3

2.  6 *

5

3.  5
4

4.  5
6

5.  2

6

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 7–54

วันเสาร์ท่ี 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

18. กราฟของ 32 บริเวณจุด (1,1) มลี กั ษณะตรงกับขอ้ ใด

y  4x2 9x3  6

19. ให้ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชนั ซึง่ f (0)  f (1)  0 และ g(0)  g(1) 1 ถา้ lim f (x) 1 และ
x 1
x1

lim g(x)  2 แลว้ lim f (g(x)) มคี ่าเทา่ กับเท่าใด
x0 x x0 x

1. 0

2. 1

3. 2 *

4. 3

5. 4

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 8–54

วันเสาร์ท่ี 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

20. คะแนนสอบของนักเรียนห้องหน่ึงมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความ
แปรปรวนเท่ากับ 25 ถ้ามีนักเรียนอยู่ 68 คน ท่ีสอบได้คะแนนอยู่ระหว่าง 55 ถึง 60 แล้วจานวน
นักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง 65 ถึง 70 เท่ากับข้อใด (กาหนดให้พื้นท่ีของบริเวณใต้เส้นโค้งปกติ
มาตรฐานระหว่าง -1 ถึง 1 และระหว่าง -2 ถึง 2 มีค่าประมาณ 68% และ 95% ของพ้ืนที่ท้ังหมด
ตามลาดับ)
1. 27 คน*
2. 34 คน
3. 54 คน
4. 115 คน
5. 163 คน

21. กาหนดข้อมลู ของ xi และ yi จานวน 5 คู่ ดังน้ี
xi 0 1 2 3 4

yi y1 y2 y3 y4 y5

โดยท่ี 5  49 ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง xi และ yi เป็นแบบเส้นตรง จากการประมาณค่าของ y

 xi yi
i 1

ด้วยวธิ กี าลงั สองนอ้ ยสดุ พบวา่ เมอ่ื x  2 ค่าประมาณของ y เท่ากับ 4 ถ้า x  4 แล้วค่าประมาณ

ของ y เท่ากับข้อใด

1. 5.0

2. 5.4

3. 5.8*

4. 6.2

5. 8.0

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 9–54

วนั เสาร์ท่ี 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

22. ข้อมูลตัวอย่างชุดหน่ึงมี 7 จานวน มีผลต่างระหว่างข้อมูลกับค่าเฉล่ียเลขคณิต ดังน้ี
1,2,5,1,4,3,a ถ้าค่ามัธยฐานของข้อมูลชุดน้ีเท่ากับ 7 แล้วสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของ
ตัวอย่างกล่มุ นีเ้ ทา่ กับข้อใด
1. 2

3

2. 3

2

3. 2 3

11

4. 4

3

5. 3 *

4

ตอนที่ 2 ขอ้ สอบแบบอตั นัย (เติมคาตอบ) ข้อ 1 – 10 ข้อละ 3.125 คะแนน

1. ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในปริภูมิตัวอย่าง ถ้า P(A)  0.30 และ P(B)  0.45 แล้วค่าท่ี
นอ้ ยท่สี ุดของ P(A B) เทา่ กบั เท่าใด (0.45)

2. ให้ f (x) เป็นพหุนามดีกรีสามซ่ึง f (1)  f (2) 12 และ f (3)  f (4)  0 ถ้าหาร f (x) ด้วย
x 5 จะเหลือเศษเท่าใด (36)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 10–54

วนั เสาร์ที่ 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

3. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวกซึ่ง a  b  24 7 และ ค.ร.น. ของ a และ b เท่ากับ 32 72
แล้ว | a b | มคี ่าเทา่ ใด (14)

0 a1 a2 a3   x1  0
ให้ A  0    0
4. b1 b2 b3  , X   x2  และ B  2 ถ้า det( A)  8,C41(A)  2 และ

1 c1 c2 c3   x3  1
2 d1 d2 d3   x4 
  

AX  B แลว้ x1 มีค่าเทา่ ใด (1.25)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 11–54

วนั เสาร์ท่ี 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

5. พาราโบลารูปหน่ึงมีจุดยอดที่จุด (3,1) และมีโฟกัสท่ีจุด (3,6) ถ้าเส้นตรงท่ีสัมผัสพาราโบลาน้ีท่ีจุด
(a,6) ในจตภุ าคท่หี นึง่ ตดั แกน X ท่ีจุด (b,0) แล้ว b มีค่าเท่าใด (7)

a1

6. จงหาคา่ ของ a ทท่ี าให้  (2011x  x2)dx มคี ่ามากท่ีสุด (1005)

a

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 12–54

วนั เสาร์ท่ี 12 พฤศจกิ ายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

7. ถ้า x เป็นจานวนจรงิ ซงึ่ 256x  (2x  6)4 แลว้ 8x เทา่ กับเท่าใด (27)

8. สมการ sin x 10sin10x เม่ือ   x   มีผลเฉลยทัง้ หมดก่ผี ลเฉลย (21)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 13–54

วันเสาร์ที่ 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

9. กาหนด i  1 และ k เป็นค่าคงตัว จงหาค่า k ท่ีน้อยท่ีสุดท่ีทาให้ | z i |  | z  2 3 i | k มี
ผลเฉลยเปน็ จานวนจริง (4)

10. อายขุ องเดก็ กลมุ่ หน่งึ มขี ้อมูลดังตาราง

อายุ (ป)ี ความถ่สี ัมพัทธ์

3 – 5 0.12

6–8 a

9 – 11 0.48

12 – 14 b

ถา้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิต (โดยประมาณ) ของอายุเด็กกลุ่มน้ีเท่ากับ 9.28 แล้วจานวนเด็กท่ีมีอายุน้อยกว่า 9

ปี มีอยูร่ อ้ ยละเทา่ ใด (32)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 14–54

วันเสาร์ท่ี 12 พฤศจิกายน 2554 เวลา 08.30 – 10.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ ENT ตรง มอ.’54

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ

ตอนท่ี 1

1. 5 2. 3 3. ไม่มคี าตอบ 4. 1 5. 2

6. 1 7. 4 8. 5 9. 2 10. 2

11. 4 12. 3 13. 4 14. 3 15. 1

16. 4 17. 2 18. 5 19. 3 20. 1

21. 3 22. 5

ตอนที่ 2

1. 0.45 2. 36 3. 14 4. 1.25 5. 7

6. 1005 7. 27 8. 9. 4 10. 32

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 1–55

วันเสาร์ท่ี 17 พฤศจกิ ายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลือก ขอ้ 1 – 20 ข้อละ 3 คะแนน

1. อสมการคู่ใดมเี ซตคาตอบเปน็ เซตเดียวกัน

1. x 1 1  0 และ x 1 0


2. x 1  0 และ x 1 1  0
x2 1 

3. x 1 0 และ x 1 0
(x 1)2

4. (x 1)2 0 และ x 1 1  0 *
x 1 

5. (x 1)2  0 และ x 1 0

2. ให้ N เป็นตัวเลข 4 หลักซึ่งอยู่ในรูป ABAB เมื่อ A และ B เป็นเลขโดด โดยมีจานวนเต็มบวกท้ังหมด 6
จานวนทีห่ าร N ลงตัว ถา้ N เป็นจานวนเฉพาะสมั พัทธ์กับ 55 แล้ว A B มคี ่าเท่าใด
1. 9
2. 11
3. 13*
4. 15
5. 17

3. ข้อความในขอ้ ใดไม่สมมลู กับข้อความ “ถา้ นกั เรยี นเขา้ ใจเนือ้ หาและมีความพยายาม แล้วนกั เรียนจะสอบผ่าน”
1. ถ้านกั เรียนสอบไมผ่ ่าน แล้วนกั เรียนไม่เข้าใจเน้ือหาหรไิ ม่มีความพยายาม
2. ถ้านกั เรยี นไมเ่ ขา้ ใจเนื้อหาหรือไมม่ ีความพยายาม แล้วนกั เรียนจะสอบไมผ่ ่าน*
3. ถา้ นกั เรียนเขา้ ใจเนอ้ื หาแต่สอบไม่ผ่าน แล้วแสดงวา่ นักเรียนไมม่ คี วามพยายาม
4. ถา้ นักเรียนมคี วามพยายามแตส่ อบไมผ่ า่ น แล้วแสดงว่านกั เรยี นไม่เขา้ ใจเน้อื หา
5. ถ้านักเรยี นสอบผา่ น หรือนักเรียนไมเ่ ขา้ ใจเนอ้ื หาหรือไม่มีความพยายาม

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 2–55

วันเสาร์ที่ 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

4. กาหนดให้ r1  {(x, y) | | x  2 |1} และ r2  {(x, y) | 0  y  x2  2x} บริเวณของ r1  r2 บน
ระนาบ xy มีพน้ื ทเี่ ทา่ ใด

1.  ตารางหน่วย*

4

2.  ตารางหน่วย

2

3.  ตารางหน่วย

4

4.  ตารางหนว่ ย
5.  ตารางหนว่ ย

0 a1 a2 a3 
0 
5. ให้ A  1 b1 b2 b3  ถา้ C13( A)  2,C14 ( A)  1,C31( A)  0,C41( A)  1 แล้ว det(adj( A)) มี
c1 c2
2 d1 d2 c3 
d3 


ค่าเทา่ ใด

1. 64

2. 8*

3. 0

4. 8

5. 64

6. ถา้ F เป็นโฟกัสในจตภุ าคท่ี 4 ของไฮเพอร์โบลา y2  (x 1)2 1 แลว้ F หา่ งจากเส้นตรงในข้อใดเปน็

45

ระยะทางนอ้ ยทสี่ ดุ
1. 4x  3y  12

2. 4x  3y 12

3. 3x  4y  12

4. 3x  4y 12

5. 3x  4y  12 *

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 3–55

วนั เสาร์ที่ 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. ถา้ เซตคาตอบของอสมการ (log(x 1))(log(x  2))2(log(x  3))3  0 คอื ชว่ ง (a,b) แลว้ a  b มีค่า

เทา่ ใด
1. 4
2. 5
3. 6
4. 7 *
5. 8

8. ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป ให้ g เป็นฟังก์ชันผกผันของ f ถ้ากราฟของฟังก์ชัน h เกิดจากการเล่ือน
กราฟของ g ไปทางขวา 1 หนว่ ยและเลอื่ นข้นึ ไปข้างบนอีก 1 หนว่ ย แล้ว h(2)  h1(2) มีค่าเท่าใด

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6 *
5. 7

9. ให้ u และ v เป็นเวกเตอรห์ นึ่งหน่วยในปริภูมสิ ามมติ ิ โดยท่ี 1 แลว้ |u v | มคี ่าเทา่ ใด
|u +v | 2

1. 15 *

8

2. 15

16

3. 7

8

4. 7

8

5. 3

8

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 4–55

วนั เสาร์ที่ 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

10. ถา้ cos 2x  1 และ cot y   3 โดยท่ี    x   และ   y  2 แล้ว cos x  cos y มีค่า
8 4 2 2

เท่าใด

1.  27
20

2.  3 *

20

3. 1

20

4. 3

20

5. 27

20

11. ถ้า sin 2  2cos  cot  0 โดยที่    แลว้ จานวนจรงิ  ที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดมีก่จี านวน
2

1. 2

2. 3 *

3. 4

4. 5

5. 6

12. สมมติว่า แจ็ค สแปร์โรว์ พบเหรียญเงินและเหรียญทองจานวนมากในถ้าบนเกาะหลีเป๊ะ โดยท่ีเหรียญเงินแต่
ละเหรยี ญหนกั 4 กรมั และมคี า่ เหรยี ญละ 6,000 บาท เหรียญทองแต่ละเหรียญหนัก 8 กรัม และมีค่าเหรียญ
ละ 10,000 บาท ถ้า แจ็คสามารถหยิบเหรียญไปได้ไม่เกิน 100 เหรียญ และน้าหนักรวมของเหรียญไม่เกิน
500 กรมั แล้วมูลค่ารวมทม่ี ากท่สี ดุ ของเหรียญทเ่ี ขาจะหยิบไปได้มีคา่ เท่าใด
1. 1,000,000 บาท
2. 900,000 บาท
3. 800,000 บาท
4. 700,000 บาท*
5. 600,000 บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 5–55

วนั เสาร์ท่ี 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

13. กาหนดตาแหน่งของจานวนเชงิ ซอ้ น z1 และ z2 บนระนาบเชงิ ซอ้ นดังรูป

จงหาว่า z1z2  z1 มตี าแหน่งใกลเ้ คยี งกับจุดใดในรูปมากทีส่ ดุ
z2

1. A

2. B

3. C

4. D

5. E

14. ถ้า s เป็นผลบวกของอนุกรม  2 i3 แลว้ s มคี ่าเท่าใด

3i i2

i 1 i 1

1. 1492

2. 1494

3. 1496 *

4. 1498

5. 1500

15. กาหนดให้ d (ln x)  1 ถ้า f (x)  ln x2 1 แล้ว f (3) มีคา่ เทา่ ใด
dx x

1. 0.3*

2. 0.4

3. 0.5

4. 0.6

5. 0.7

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 6–55

วนั เสาร์ท่ี 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

16. ให้ f (x)  ax2  3, x  2 โดยท่ี a เป็นค่าคงตัว ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง (,) แล้ว
 x  2
 x3 1,

f (1) มีค่าเทา่ ใด

1. 0

2. 1

3. 2 *

4. 3

5. 4

17. อาทิจและดรุณีเป็นคนงานในสวนผลไม้ของคุณย่าแดง โดยสวนแห่งนี้มีคนงานท้ังหมด 8 คน ถ้าต้องการแบ่ง
คนงานทั้ง 8 คนให้ทางานในสวนส้ม 4 คน สวนลิ้นจี่ 2 คน และสวนลาไย 2 คน จงหาจานวนวิธีการแบ่ง
คนงานที่ทาใหอ้ าทิจและดรณุ ไี ด้ทางานในสวนเดียวกัน
1. 15 วิธี
2. 30 วธิ ี
3. 90 วธิ ี
4. 115 วิธี
5. 120 วธิ ี*

18. ให้ x1, x2 ,..., x111 เป็นข้อมลู ซง่ึ xn  xn1  xn1 เมอ่ื n  2,3,...,110 ถา้ x1  11 และ x101  1011
2

แล้วคา่ เฉล่ียของขอ้ มลู ชดุ น้ีมีคา่ เท่าใด

1. 561*

2. 562

3. 563

4. 564

5. 565

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 7–55

วนั เสาร์ท่ี 17 พฤศจกิ ายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

19. กาหนดขอ้ มูลประชากรกลุ่มหนึ่งดงั นี้ 3,2,1,4,4,4,5,7,9 ข้อใดกล่าวไม่ถกู ตอ้ ง

1. คา่ เฉลีย่ เลขคณติ นอ้ ยกว่าฐานนิยม
2. คา่ เฉล่ยี เลขคณิตนอ้ ยกว่ามัธยฐาน
3. คา่ ก่ึงกลางพสิ ัยนอ้ ยกวา่ มัธยฐาน
4. ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานน้อยกว่าพิสยั
5. สัมประสิทธข์ิ องพสิ ยั นอ้ ยกว่าสมั ประสิทธ์ขิ องการแปรผัน*

20. ให้ (xi, yi ) เป็นค่าสังเกตของตัวแปรอิสระ x และตัวแปรตาม y คู่ท่ี i เมื่อ i 1,2,3,4 โดยที่ค่าเฉลี่ย

เลขคณิตของ y1, y2 , y3, y4 เท่ากับ 1.5 และ 4  15 จากการประมาณค่าของ y ด้วยวิธีกาลังสอง

 xi yi
i 1

น้อยสุด พบว่า x และ y สัมพันธ์กันแบบเส้นตรงตามสมการ yˆ  2xˆ 1 จงหาความแปรปรวนของกลุ่ม

ตัวอย่าง x1, x2, x3, x4

1. 0.75

2. 1.00

3. 1.25*

4. 1.5

5. 1.75

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 8–55

วันเสาร์ท่ี 17 พฤศจกิ ายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนที่ 2 ขอ้ สอบแบบอัตนัย (เติมคาตอบ) ข้อ 1 – 10 ข้อละ 4 คะแนน

1. สมมติว่าจานบินดาวดวงหน่ึงจะมาเยือนโลกทุก ๆ 65 ปี โดยมาครั้งล่าสุดเม่ือปี ค.ศ.1986 ซ่ึงตรงกับปีท่ีดาว
หางฮัลเลย์มาปรากฏตัวพอดี ถ้าดาวหางฮัลเลย์จะมาปรากฏตัวทกุ ๆ 75 ปี แลว้ ปีถดั ไปที่จานบินจากดาวดวงนี้
จะมาเยอื นโลกในปีเดยี วกนั กบั ทด่ี าวหางฮลั เลยม์ าปรากฏตวั คือปี ค.ศ.ใด (2961)

2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 71.7 คะแนน
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน อาจารย์ผู้สอนต้องการให้เกรด 4 กับนักเรียนที่ทาคะแนนได้สูงสุด
10% ของห้อง จงหาคะแนนต่าสุดของนักเรียนที่ได้เกรด 4 (กาหนดให้พ้ืนที่ของบริเวณใต้เส้นโค้งปกติ
มาตรฐานระหว่าง z  0 ถึง z  0.25 และระหว่าง z  0 ถึง z 1.28 เท่ากับ 10% และ 40% ของ
พื้นทท่ี งั้ หมด ตามลาดบั ) (84.5)

3. ถ้า n เปน็ จานวนเต็มบวกซ่ึงทาให้สมการ x100 10x10  nx 1 0 มีคาตอบเป็นจานวนตรรกยะ แล้ว n มี
คา่ เท่าใด (12)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 9–55

วันเสาร์ท่ี 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

4. ถ้า x, y, z เป็นจานวนจริง โดยที่ 1 1 1 แล้ว x y มีค่าเท่าใด (1.5)

8x  27 y  36z z

5. ถ้า  f (x)dx  1 C เมอ่ื C เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ แล้ว 2 f (x)dx มคี ่าเท่าใด (1.75)
x2


1

6. กาหนดเส้นโค้งรูปพาราโบลาที่มีสมการเป็น y  ax2  x เม่ือ a เป็นค่าคงตัว ดังรูป ถ้าระยะห่างระหว่าง
จุดยอดของพาราโบลากบั แกน X เท่ากบั 5 หนว่ ย และพาราโบลาตดั แกน X ที่จุด (0,0) และ (b,0) โดย
ที่ b  0 แล้ว b มคี ่าเท่าใด (10)

Y
5

0 bX

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 10–55

วนั เสาร์ที่ 17 พฤศจกิ ายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. จงหาคา่ ของ 5sin(6arcsin 0.6  5arccos0.6) (4)

1 2 3   x 4
8. กาหนดให้ A  2 4   y   
6  , X   และ B   8  โดยท่ี a เป็นค่าคงตัว จงหาค่า a ที่ทาให้

1 2 a2 12  z  a  7

AX  B ไมม่ คี าตอบ (3)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)