เอกสาร “คลังข้อสอบ ENT ตรง’มอ. คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับปรับปรุง” ประจำปี พ.ศ.2549-2559

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 11–55

วนั เสาร์ท่ี 17 พฤศจิกายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

9. ในการจัดเวทีประชุมผู้นาประเทศกลุ่มอาเซียน 10 ประเทศ ผู้จัดต้องการปักธงของประเทศท้ัง 10 ธงและธง
อาเซยี 1 ธงในแนวเส้นตรง โดยที่ธงอาเซยี นตอ้ งอยตู่ รงกลางดงั รปู

ธงอาเซียน
จงหาความน่าจะเป็นท่ธี งของประเทศไทย มาเลเซยี และสิงคโปรจ์ ะอยตู่ ิดกัน (0.05)

10. ถ้า z1, z2, z3, z4, z5 เป็นคาตอบของสมการ 1 z  z2  z3  z4  z5  0 แลว้ ค่าสงู สุดของ
| z1  z2 |  | z3  z4 |  | z5 1| เท่ากับเท่าใด (6)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 12–55

วันเสาร์ท่ี 17 พฤศจกิ ายน 2555 เวลา 10.30 – 12.00 น.

เฉลย : ข้อสอบ ENT ตรง มอ.’55

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ
ตอนที่ 1

1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 5. 2
6. 5 7. 4 8. 4 9. 1 10. 2
11. 2 12. 4 13. 5 14. 3 15. 1
16. 3 17. 5 18. 1 19. 5 20. 3
ตอนท่ี 2
1. 2,961 2. 84.5 3. 12 4. 1.5 5. 1.75
6. 20 7. 4 8. 3 9. 0.05 10. 6

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 1–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนที่ 1 ขอ้ สอบแบบเลอื กตอบ 5 ตัวเลือก ข้อ 1 – 20 ข้อละ 3 คะแนน

1. ข้อความในขอ้ ใดสมมูลกบั นิเสธของ yx[| x 1| y | 3x  4 |1]
1. yx[| x 1| y | 3x  4 |1]
2. yx[| x 1| y | 3x  4 |1]
3. yx[| x 1| y | 3x  4 |1]
4. yx[| x 1| y | 3x  4 |1]
5. xy[| x 1| y | 3x  4 |1]

2. ถา้ a เป็นจานวนจริงที่นอ้ ยท่ีสดุ ซ่งึ สอดคลอ้ งกับอสมการ x5 | x| 6 แลว้ a มีค่าอยู่ในช่วงใด
6

1. [2, 1)

2. [1,0)

3. [0,1)

4. [1, 2)

5. [2,3)

3. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกท่ีมากที่สุดซ่ึงหาร 2013 และ 2556 แล้วเหลือเศษเท่ากัน เศษเหลือท่ีได้
จากการหาร 2013 ด้วย n เท่ากบั ขอ้ ใด
1. 0
2. 22
3. 384
4. 543
5. 927

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 2–56

วนั เสาร์ที่ 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

4. ให้ A   an an1  โดยที่ an เป็นลาดับเลขคณิตท่ีมีผลต่างร่วม d ค่าของ det(5A2 ) เท่ากับข้อ
 an2 an3 
 

ใด

1. 100d 4

2. 20d 4

3. 20d 2

4. 100an4
5. 20an2

5. ฟังก์ชัน f ในข้อใดสอดคล้องกับเง่อื นไข Df  Df f
1. f (x)  ln x

2. f (x)  x  1
x

3. f (x)  x  1
x

4. f (x)  1 x
1

5. f (x)  x 1

6. ฟังก์ชัน f :  ในขอ้ ใดเป็นฟังกช์ ันทว่ั ถงึ
1. f (x)  6(x1)(x2)(x3)
2. f (x)  sin[(x 1)(x  2)(x  3)]
3. f (x)  arctan[(x 1)(x  2)(x  3)]
4. f (x)  | (x 1)(x  2)(x  3) |
5. f (x)  3 (x 1)(x  2)(x  3)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 3–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. ถา้ x(1 log5)  log(4x  6) แล้ว 4x มคี ่าเท่ากบั ข้อใด
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9

8. กาหนดจดุ A(2,1), B(6,1) และ C(4,4) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้คี ือกราฟของจุด P(x, y) ซง่ึ

AP CP  CB  AP

Y C Y C

1. 2.

AB A B
X X
Y
Y C C
4.
3.

AB AB
X X

Y

5.

C

AB
X

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 4–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

9. กาหนดจดุ A,B,Cad บนวงกลมหนงึ่ หนว่ ย ดังรูป Y

ถา้ ส่วนโคง้ AB ยาว  หนว่ ย และส่วนโค้ง BC ยาว  หนว่ ย C(c, d)
24 6
แล้ว ad มีคา่ เทา่ กับข้อใด B(a, b)
X
1. 2 1
A (1, 0)
4

2. 2 1

4

3. 3 1

4

4. 3 1

4

5. 2  3

4

10. ถ้า arctan(sin x)  arctan(cos x)  arctan(sec x)   แล้ว cos2 x มีค่าเทา่ กบั ข้อใด
3

1. 2

3

2. 1

2

3. 1

3

4. 1

4

5. 3

4

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 5–56

วนั เสาร์ท่ี 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

11. ให้ u,v, w เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในสามมิติ และให้  คือมุมระหว่าง u และ v ,  คือมุมระหว่าง

v และ w , คอื มุมระหวา่ ง u และ w ถ้า  1 v  (v w)u  (u v)w  (wu)v แลว้ ขอ้ ใดถูกต้อง

2

1.   30 ,60    120 ,  30

2.   30 ,30    150 ,  30

3.   90 ,60    120 ,  30

4.   90 ,30    150 ,  60

5.   90 ,60    120 ,  60

12. ผลบวกของคา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ นท้งั หมดซง่ึ สอดคลอ้ งกบั สมการ z  z  z2 เท่ากับขอ้ ใด
1. 0
2. 1

2

3. 2

2

4. 3

2

5. 4

2

13. ถ้า x, y  0 สอดคล้องกบั อสมการ | x 1| 5 y แลว้ คา่ ต่าสดุ ของ 4x  3y เท่ากบั ขอ้ ใด

1. 0
2. 6
3. 11
4. 12
5. 18

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 6–56

วันเสาร์ที่ 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

14. ถ้าให้คน 7 คนน่ังรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 7 ที่นั่ง โดยใน 7 คนน้ีมีชายหญิงเพียง 2 คู่เท่าน้ันซ่ึงเป็นสามี
ภรรยากนั จงหาความน่าจะเป็นทีไ่ มม่ สี ามีคนใดน่งั ติดกบั ภรรยาของตนเอง

1. 4

15

2. 5

15

3. 6

15

4. 7

15

5. 8

15

15. ถา้ an เปน็ ลาดบั เรขาคณติ โดยท่ี  a2n1  7 และ  a2n   2 แลว้  มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใด
15 15
n1 n1  an2

n1

1. 1

3

2. 1

5

3. 1

7

4. 1

9

5. 1

11

16. กาหนดให้ x2  3x  2, x 1 ขอ้ ใดต่อไปนี้ไม่ถกู ตอ้ ง
1 x 1
f (x)   x ,

1. f (0)  3

2. f (1)  1

3. f (2)   1
4

4. f (0)  2

5. f (1)  0

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 7–56

วนั เสาร์ท่ี 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

17. กาหนดให้ d (ln x)  1 Y X
dx x 0

พ้ืนท่ีของบริเวณท่แี รเงาเทา่ กบั ข้อใด y  1
2x 1
1. ln 2 ตารางหน่วย

2. ln 1 ตารางหนว่ ย

2

3. ln 3 ตารางหนว่ ย

4. ln 1 ตารางหนว่ ย

3

5. ln 5 ตารางหน่วย

18. กาหนดข้อมลู ของจานวนเต็มบวกชุดหนึ่งดังนี้ 11,3,6,3,5,3, x ถาค่าเฉล่ยี เลขคณติ มัธยฐาน และ
ฐานนยิ มของข้อมลู เรียงกันเป็นลาดับเลขคณติ แลว้ ผลบวกของค่า x ทั้งหมดท่เี ป็นไปได้มีค่าเทา่ ใด
1. 20
2. 21
3. 22
4. 23
5. 24

19. ให้ x1, x2,..., x5 เป็นข้อมูลของประชากรกลุ่มหนึ่ง ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 12 และความแปรปรวน
เทา่ กบั 20 และให้ y1, y2,..., y15 เป็นข้อมลู ของประชากรอีกกลุ่มหนึ่ง ซึ่งมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 8
และความแปรปรวนเท่ากับ 12 ถ้านาข้อมูลท้ังสองชุดนี้มารวมเป็นประชากรกลุ่มเดียวกัน แล้วความ
แปรปรวนจะเท่ากบั ข้อใด
1. 13
2. 14
3. 15
4. 16
5. 17

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 8–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

20. แจ็ค สแปร์โรว์ บนั ทึกอุณหภูมิของน้าอมฤต ณ เวลาต่าง ๆ ดงั ตาราง

เวลา (นาฬกิ า) 1 2 3 4 5
อณุ หภมู ิ (๐C)
4.8 7.2 12 X 16.3

แจ็คใช้วิธีกาลังสองน้อยสุดเพื่อหาสมการเส้นตรง สาหรับพยากรณ์อุณหภูมิของน้าอมฤต ณ เวลาใด

จากสมการเส้นตรงดังกล่าว แจ็คสามารถพยากรณไ์ ด้ว่า น้าอมฤตจะมีอุณหภูมิ 19.9 C และ 25.9 C

ณ เวลา 6 นาฬกิ า และ 8 นาฬกิ า ตามลาดบั ค่าของ x เทา่ กบั ข้อใด

1. 13.3

2. 13.6

3. 13.9

4. 14.2

5. 14.5

ตอนท่ี 2 ข้อสอบแบบอัตนยั (เติมคาตอบ) ขอ้ 1 – 10 ข้อละ 4 คะแนน

1. ให้ a  22 33 55 และ b  25 33 52 จงหาตัวหารร่วมของ a และ b ที่มากที่สุดซ่ึงน้อยกว่าตัวหาร
รว่ มมากของ a และ b

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 9–56

วันเสาร์ที่ 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

2. ให้ L เป็นเส้นสัมผสั เสน้ กราฟของ y  f (x) ท่ีจดุ (2,2) ดังรปู
ถ้า g(x)  f ( f (x)) แล้ว g(2) มคี า่ เท่าใด

Y
y = f(x)
L

(2, 2)

(0, 1)

X

3. ถา้ log y x  logx y  10 และ xy  256 แลว้ x y มีคา่ เทา่ ใด (12)
3

 7 0 a2  x  0
     
4. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของค่า a ท้ังหมดท่ีทาให้  3 1 a   y    0  มผี ลเฉลยมากมายนับไม่ถว้ น

 a 14 5   z   0 

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 10–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

5. จากการสงั เกตดาว A ดาว B และดาว C พบว่าดาว A อยู่ห่างจากดาว C เป็นระยะทาง 25 ปีแสง

ถา้ ABC  N และ ACB  2N โดยท่ี sin N  3 แล้วดาว B อยู่ห่างจากดาว C เป็นระยะทาง
5

กป่ี ีแสง

6. ให้ z เป็นจานวนเชงิ ซ้อน ซ่ึงตาแหน่งของ z3, z7, z11 และ z15 บนระนาบเชงิ ซ้อนเป็นดังรปู
จงหาคา่ ของ arg(z) เม่ือ 0  arg(z)  360

Y
z15

15๐ z3

21๐ X
17๐

19๐

z11
z7

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 11–56

วนั เสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. ให้ F1 และ F2 เปน็ โฟกัสของไฮเพอร์โบลา x2  y2 1 ถ้า P(a, b) เป็นจุดบนไฮเพอร์โบลาที่อยู่ใน
16 9

จตุภาคที่ 1 ซง่ึ ทาให้ PF1 ต้ังฉากกบั PF2 แลว้ b มคี ่าเทา่ ใด

8. จานวนเตม็ บวก 8 หลกั ซงึ่ ผลคูณของเลขโดดในท้ัง 8 หลักเทา่ กับ 8 มที ัง้ หมดกี่จานวน
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 12–56

วันเสาร์ที่ 21 ธนั วาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

9. ให้ f (x)  ax3  a2x2  x โดยที่กราฟของ y  f (x) เปน็ ดงั รูป
ถา้ x 1 หาร f (x) เหลอื เศษ 91 แลว้ (b  c)2 มคี า่ เท่าใด

Y
y = f(x)

b 0 cX

10. สมมติว่ามีนักเรียน 20,000 คน เข้าสอบวิชาคณิตศาสตร์ กข โดยคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ

ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 18 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 และนักเรียนท่ีได้คะแนนต้ังแต่ 6 ถึง
18 คะแนน มี 9,544 คน แลว้ นกั เรียนทไ่ี ดค้ ะแนนมากกว่าหรือเท่ากบั 30 คะแนนมีกี่คน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 13–56

วันเสาร์ท่ี 21 ธันวาคม 2556 เวลา 10.30 – 12.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ ENT ตรง มอ.’56

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 1 2. 1 3. 3 4. 1 5. 3
6. 5 7. 2 8. 5 9. 2 10. 1
11. 4 12. 5 13. 4 14. 4 15. 2
16. 2 17. 3 18. 3 19. 5 20. 4
ตอนที่ 2
1. 2,700 2. 0.25 3. 68 4. 14 5. 39
6. 247 7. 1.8 8. 120 9. 100.4 10. 456

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 1–57

วันเสาร์ที่ 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบเลือกตอบ 5 ตัวเลอื ก ขอ้ 1 – 20 ข้อละ 3 คะแนน

1. ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวกที่น้อยทส่ี ุดท่ีมากกว่า 2 ซึง่ หารด้วยจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 3 ถึง 9 เหลือเศษ
2 แล้วผลบวกของเลขโดดทง้ั หมดของ n มคี า่ เทา่ ใด
1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11

2. รูปแบบของประพจน์ p  (q  r) สมมลู กับรปู แบบของประพจน์ในขอ้ ใด
1. ( p  q)  r
2. ( p  q)  r
3. ( p  q)  r
4. r  ( q  p)
5. ( r  q)  p

3. ถ้า a และ b เป็นจานวนจริงซ่ึงสอดคล้องกับอสมการ x4  6x2 1 0 แล้วค่ามากที่สุดของ | a b |

เท่ากับขอ้ ใด
1. 2  2 2
2. 3 2 2
3. 2  3 2
4. 3 3 2
5. 4  2 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 2–57

วันเสาร์ที่ 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

4. ฟังก์ชนั f :  ข้อใดตอ่ ไปนี้ไม่ถูกตอ้ ง
1. ถ้า f เป็นฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนึ่ง แลว้ f f เปน็ ฟงั ก์ชันหนึง่ ต่อหนึ่ง
2. ถ้า f เป็นฟังกช์ ันทัว่ ถึง แลว้ f f เปน็ ฟังก์ชันทัว่ ถงึ
3. ถ้า f เป็นฟงั ก์ชันคงตัว แลว้ f f เป็นฟังกช์ นั คงตัว
4. ถ้า f เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ แลว้ f f เป็นฟังก์ชันเพม่ิ
5. ถ้า f เป็นฟังกช์ นั ลด แล้ว f f เป็นฟงั ก์ชนั ลด

5. ให้ f :  โดยท่ี f ( x)  mx 1, x2 ค่าของ m ทั้งหมดซึ่งทาให้ f มีฟังก์ชันผกผัน
 x2
 x2  4x  11,

สอดคลอ้ งกบั ขอ้ ใด

1. 0  m  2

2. 1 m  2

3. 0  m  3

4. 1 m  3

5. 2  m  3

6. ให้ A เป็นเมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั ขนาด 1010 และ B เปน็ เมทริกซ์ที่ไดจ้ ากการดาเนนิ การตามแถวกบั
เมทริกซ์ A ดังนี้ ขนั้ ท่ี 1 สลบั แถวที่ 2 และแถวท่ี 3
ขั้นท่ี 2 คูณแถวที่ 5 ด้วย 2
ถา้ det(A)  5 แล้ว det(B1) มคี ่าเทา่ ใด
1. 0.1
2. 0.2
3. 0.3
4. 0.4
5. 0.5

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 3–57

วนั เสาร์ที่ 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. กาหนดขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. (0.25)1.5  23
ข. log9 5  log3 10  log3 2
ค. log0.2 2014  log0.2 2557
ง. (0.57)2014  (0.57)2557

ขอ้ ความขา้ งตน้ ถกู ต้องทั้งหมดกีข่ ้อความ
1. 1 ขอ้
2. 2 ขอ้
3. 3 ข้อ
4. 4 ข้อ
5. ไมม่ ีขอ้ ถูก

8. ให้ C เป็นวงกลมใด ๆ ซ่ึงผ่านจุด (1,2) และสัมผัสแกน X และแกน Y ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บน

วงกลม C แล้ว P จะอยู่หา่ งจากจดุ กาเนิดได้มากท่สี ุดเป็นระยะทางเท่าใด
1. 1 2 หนว่ ย
2. 1 2 2 หน่วย
3. 5  2 2 หนว่ ย
4. 5  5 2 หนว่ ย
5. 10  5 2 หน่วย

1  1 
u  1  
9. กาหนดให้ และ v   1  ถ้า w เป็นเวกเตอร์ท่ีต้ังฉากกับ u และ uw  uv แล้ว

0  6 
 

v w มีค่าเทา่ กบั ข้อใด

1. 2 3

2. 4

3. 3 2

4. 6

5. 4 3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 4–57

วันเสาร์ท่ี 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

10. สะพานแขวนยาว 30 เมตร โดยสายเคเบิลทั้งสองเส้นท่ีขึงสะพานมีความยาวเท่ากัน และทามุมกับ
สะพาน 33 ดงั รูป ความสงู ของเสาทีใ่ ช้ขงึ สะพาน ใกล้เคียงกับค่าในข้อใดมากท่ีสดุ
(กาหนดให้ tan12  0.2)

1. 8 เมตร
2. 9 เมตร
3. 10 เมตร
4. 11 เมตร 5.
12 เมตร

11. กาหนดกราฟของ y  arcsin(x) และ y  arctan(2x) เม่ือ x[0,1] ดังรูป พื้นที่ของบริเวณรูป
สีเ่ หล่ยี มผืนผา้ ท่ีแรเงาเทา่ กบั กต่ี ารางหน่วย

1. 

23

2. 

22

3. 

43

4. 

42

5. 

63

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 5–57

วันเสาร์ที่ 13 ธนั วาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

12. บรษิ ัทแหง่ หน่งึ ผลติ สินคา้ A และสนิ คา้ B โดยมีกราฟของอสมการข้อจากดั ในแตล่ ะเดือน ดังรูป
ในเดือนท่ีผา่ นมา บรษิ ทั กาหนดราคาขายของสินค้า A และ B ช้ินละ 200 และ 300 บาท ตามลาดับ
ถ้าในเดือนน้ี ราคาขายสินค้า A ลดลง 20% ในขณะท่ีราคาขายสินค้า B เพ่ิมข้ึน 20% แล้วรายได้
สงู สุดจากการขายสนิ คา้ ทัง้ สองชนดิ เปลยี่ นแปลงไปอย่างไร เม่ือเทียบกับเดือนท่ผี า่ นมา

1. ลดลง 2.5%
2. เพิม่ ขึน้ 2.5%
3. ลดลง 5%
4. เพิ่มขน้ึ 5%
5. ไม่เปลี่ยนแปลง

13. ถ้าทอดลูกเตา๋ ลูกหน่งึ จานวน 3 ครัง้ แลว้ ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของแต้มท่ไี ด้ท้ัง 3 คร้ัง เป็นจานวนคู่
เทา่ กับข้อใด
1. 1

8

2. 3

8

3. 4

8

4. 5

8

5. 6

8

14. ถา้ z เปน็ จานวนเชิงซอ้ นซ่ึง | z 1|2  | z 5|218 แล้ว | z  3|2 มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 6–57

วนั เสาร์ท่ี 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

15. จากผลการสอบ 3 วิชาของนักเรียนทุกคนในห้องหนึ่ง พบว่าคะแนนในแต่ละวิชามีการแจกแจงปกติ
โดยเส้นโค้งของความถ่ีของคะแนนท้ัง 3 วชิ าเปน็ ดังรปู

ให้ 1, 2, 3 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนวิชาท่ี 1,2,3 ตามลาดับ และ 1,2,3 เป็นส่วน
เบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาท่ี 1,2,3 ตามลาดบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไมถ่ กู ต้อง
1. 1  2
2. 2  3
3. ในวชิ าที่ 1 จานวนนกั เรียนท่ไี ดค้ ะแนนมากกวา่ 1 1 คะแนน เทา่ กบั จานวนนักเรยี นทไี่ ด้

คะแนนนอ้ ยกว่า 1 1 คะแนน
4. นักเรยี นทไ่ี ดค้ ะแนนวชิ าท่ี 2 เท่ากบั คะแนนวิชาที่ 3 จะไดเ้ ปอรเ์ ซ็นไทล์ของวชิ าที่ 2 มากวา่

เปอร์เซน็ ไทลข์ องวชิ าท่ี 3
5. นกั เรยี นท่ีไดค้ ะแนนวชิ าที่ 1 เทา่ กบั คะแนนวชิ าที่ 2 จะได้เปอร์เซน็ ไทล์ของวชิ าท่ี 1 มากวา่

เปอรเ์ ซน็ ไทล์ของวชิ าที่ 2

16. แจ็ควัดความสงู ของต้นถ่วั เปน็ เวลา 5 วนั แลว้ นาข้อมลู มาหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน โดยวิธีกาลังสอง
น้อยสุด ได้กราฟของความสัมพันธ์ดังรูป ภายหลังพบว่า มีการบันทึกข้อมูลผิดพลาด โดยในวันที่ 4
เดิมบันทึกความสงู เปน็ 5.6 เซนติเมตร แต่ต้นถั่วสูงจริง 5.8 เซนติเมตร ถ้าแจ็คใช้ข้อมูลที่ถูกต้องเพื่อ
หาความสมั พนั ธใ์ หม่ จะได้ความสัมพันธด์ ังข้อใด

1. y 1.80 1.20x
2. y 1.98 1.02x
3. y  2.02 1.02x
4. y  2.02  0.98x
5. y  2.20  0.80x

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 7–57

วันเสาร์ท่ี 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

17. ให้ x1, x2, x3, x4 เป็นขอ้ มูลของประชากรทเี่ ป็นจานวนจริงบวก โดยมีความแปรปรวนเท่ากับ 120 ถ้า

เพิ่ม x5  4 เข้าไป จะได้ประชากรชุดใหม่ท่ีมีความแปรปรวนเท่ากับ 100 สัมประสิทธิ์ของการแปร

ผนั ของประชากรชุดใหม่ มีคา่ เท่ากบั ข้อใด
1. 1.00
2. 1.25
3. 1.50
4. 1.75
5. 2.00

18. ผลบวกของอนุกรม  sin  n  มีค่าเทา่ กับข้อใด
 2 

2n

n1

1. 5

15

2. 6

15

3. 7

15

4. 8

15

5. 9

15

19. ถ้า f (x)  x3  ax2  bx  c ค่าสงู สดุ สมั พัทธ์ท่ี x  2 และคา่ ต่าสดุ สัมพัทธ์ท่ี x  4 แล้ว a  b

มีค่าเทา่ กับขอ้ ใด
1. 19
2. 20
3. 21
4. 22
5. 23

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 8–57

วนั เสาร์ท่ี 13 ธนั วาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

20. กาหนดให้ 4x  a, 3 x0 ถา้ 1  แล้ว มคี ่าเท่ากบั ข้อใด
 3 4
f(x) f (x)dx  a
 1 x2 , 0  x  1

1. 2

2. 3

3. 4

4. 5

5. 6

ตอนท่ี 2 ขอ้ สอบแบบอตั นยั (เติมคาตอบ) ข้อ 1 – 10 ขอ้ ละ 4 คะแนน

1. กาหนดข้อมูล 1,2,4,6,7,8,12,18, x,35 ซ่ึงเรียงลาดับจากน้อยไปหามาก ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 ของ
ข้อมลู ชดุ นีเ้ ทา่ กับ 22 แลว้ ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนีม้ คี ่าเทา่ ใด

2. กบสองตวั อย่หู า่ งกัน 2014 หน่วย จากน้นั กบตัวท่ี 1 จะกระโดดไปทางขวาครั้งละ 3 หน่วย และกบตัว
ท่ี 2 จะกระโดดไปทางซา้ ยครงั้ ละ 4 หน่วย โดยจะกระโดดพรอ้ มกนั ทุกคร้ัง ดงั รปู

กบท้ังสองตวั จะอยใู่ กล้กันมากท่ีสุดในการกระโดครง้ั ท่ีเทา่ ใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 9–57

วนั เสาร์ท่ี 13 ธนั วาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

3. ถ้าเซตคาตอบของอสมการ log3(x2  9)  log1 (3x 1)  0 คือช่วง (a,b) แลว้ a  b มคี า่ เท่าใด

3

4. กาหนดระบบสมการ x  3z  4w  5, 2y  2w  4, 3z 8w  9 คา่ ของ 5x  7y  9z 11w
เทา่ กับเท่าใด

5. พาราโบลารปู หน่ึงผ่านจดุ (3,18) มไี ดเรกตริกซเ์ ป็นเส้นตรงท่มี ีความชัน 6 มีโฟกัสเป็นจุดกาเนิด ถ้า
พาราโบลาน้ีมจี ดุ ยอดอยู่ท่ี (a,b) แล้ว ab มคี ่าเท่าใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 10–57

วันเสาร์ท่ี 13 ธนั วาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

6. ให้ P(x)  x5  ax3  bx2  cx  d เป็นพหนุ ามดีกรี 5 ซึ่งมีรากแตกต่างกนั เพียง 4 ราก ได้แก่
2,3,4,5 ถา้ หาร P(x) ดว้ ย x  5 จะเหลือเศษเทา่ ใด

7. ให้ 1 x  (1 x)7  a0  a1x  a2x2 ... a7x7 ถ้านาสัมประสิทธ์ิ a0, a1, a2,..., a7 ท้ังหมดมาเรียง

สบั เปลย่ี นในแนวเส้นตรง แลว้ จานวนวธิ เี รียงสับเปลีย่ นซงึ่ ไมม่ ีสมั ประสิทธิ์ทมี่ คี า่ เท่ากันอย่ตู ิดกนั เทา่ กับ
เทา่ ใด

8. จานวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดซ่ึงทาให้ cos   i sin  เป็นคาตอบจองสมการ x48  x24 1 0 มี

nn

ค่าเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 11–57

วนั เสาร์ที่ 13 ธนั วาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

9. ให้ A(1,0) และ B( 1 , 1 ) เปน็ จดุ บนวงกลมหน่ึงหน่วยซ่ึงมีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด ถ้า C(x, y)

22

เป็นจุดบนวงกลมในจตภุ าคที่ 2 โดยที่ x  y  1 แล้วมมุ ABˆC มขี นาดกอ่ี งศา

2

10. ค่าของ lim 1  1 9   2 9   3 9  ...   2n 9  เทา่ กบั เท่าใด
n  n   n   n   n  
n 

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 12–57

วันเสาร์ที่ 13 ธันวาคม 2557 เวลา 10.30 – 12.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ ENT ตรง มอ.’57

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 5 2. 2 3. 1 4. 2 5. 3
6. 1 7. 1 8. 4 9. 4 10. 3
11. 3 12. 1 13. 5 14. 4 15. 4
16. 2 17. 2 18. 2 19. 3 20. 5
ตอนท่ี 2
1. 11.6 2. 288 3. 8 4. 21 5. 13.5
6. 480 7. 9,360 8. 36 9. 127.5 10. 102.4

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 1–58

วันเสาร์ท่ี 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบปรนยั (เลือกตอบ) 5 ตัวเลอื ก ขอ้ 1 – 20 ขอ้ ละ 3 คะแนน

1. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ถ้าการอ้างเหตุผลต่อไปน้สี มเหตสุ มผล
เหตุ 1. p
2. q
ผล r

แล้วประพจนใ์ ดต่อไปนเ้ี ป็นสจั นิรนั ดร์
1. ( p  q)  r
2. ( p q)  r
3. ( r  p)  q
4. r  ( p  q)
5. r  ( p  q)

2. เซตคาตอบของอสมการ (x 1)(x  2)  (x 1)(x  2)(x 3)  (x 1)(x  2)(x 3)(x  4)

มีรปู แบบตรงกับข้อใด

1. [a, b] เม่อื a  b

2. [a, b][c, ) เม่ือ a  b  c

3. {a}[b, c] เมื่อ a  b  c

4. {a}[b, ) เมอ่ื a  b

5. {a}{b}[c, ) เมอ่ื a  b  c

3. ให้ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ ขอ้ ใดต่อไปน้เี ป็นจรงิ เสมอ
1. ถ้า 2x  3y 1 แลว้ ห.ร.ม. ของ x และ y เท่ากบั 1
2. ถา้ x หาร y2 ลงตัว แล้ว x หาร y ลงตัว
3. ถา้ x หาร y ลงตัว และ y หาร x ลงตัว แล้ว x  y
4. ห.ร.ม. ของ x และ y น้อยกวา่ ค.ร.น. ของ x และ y
5. ถ้า xy เปน็ จานวนค่ี แลว้ x  y เปน็ จานวนค่ี

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 2–58

วันเสาร์ที่ 12 ธนั วาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

1 2 3

4. ถ้า A  2 2 3 แล้ว det(adj A) มคี า่ เทา่ ใด

3 3 3

1. 1
2. 3
3. 6
4. 9
5. 12

5. กาหนดกราฟของ y  f (x) และ y  g(x) ดังรูป y = f(x)

Y y = g(x)
6 8X

4

2

02 4 6

ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถกู ต้อง

1. ( fg)(3)  0

2. ( f g)(2)  2

3. Rf  Dg

4. โดเมนของ f คอื [1, 3) (3, 7]
g

5. ( f  g)1 ไม่เปน็ ฟังก์ชัน

6. ให้ I เป็นเซตของจานวนเต็ม และ แทนเซตของจานวนจริง

ถ้า r   y)  I  |y 1  แล้วโดเมนของความสมั พนั ธ์ r มีจานวนสมาชกิ เท่ากับขอ้ ใด
(x, 
 400  x2 

1. 20 จานวน

2. 39 จานวน

3. 40 จานวน

4. 41 จานวน

5. มากมายนบั ไมถ่ ้วน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 3–58

วันเสาร์ที่ 12 ธนั วาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.
7. พาราโบลารปู ใดตอ่ ไปนี้ มรี ะยะห่างระหว่างโฟกสั กบั จุดยอดมากทีส่ ดุ

Y
AB C

D

X
E

1. A 2. B 3. C 4. D 5. E

8. สมการในข้อใดมีจานวนคาตอบมากที่สุด
1. 3x  log2 x

2. 3x  log2 x
3. 3x  log2 | x |
4. 3x  log2(x  3)

5. 3x  log2(x  3)

9. ค่าของ 8 cos2  7  เทา่ กบั เทา่ ใด
 24 

1. 2  6  4

2.  2  6  4

3. 2  6  4

4. 2  6  4

5.  2  6  4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 4–58

วันเสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

10. ชว่ งในข้อใดมจี านวนคาตอบของสมการ 1sin x  cos x sin 2x  cos2x  0 มากทีส่ ดุ

1. [0, 2 )
5

2. [ 2 , 4 )
5 5

3. [ 4 , 6 )
5 5

4. [ 6 , 8 )
5 5

5. [85 , 2 )

11. ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ในสามมติ ซิ งึ่ ตัง้ ฉากกนั
ถ้า u  v  i  4 j  k และ u v  6i  3 j  6k แลว้ | u |  | v | มคี ่าเทา่ กับข้อใด

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6

12. ให้ z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8 เปน็ จานวนเชิงซ้อนทแี่ ทนดว้ ยจดุ ยอดมุมของรูปแปดเหลีย่ ม
ด้านเทา่ มุมเท่าในระนาบเชิงซอ้ น ดังรูป

Y z5 z4

z6 z3

z7 z2
z1
z8
X
จานวนเชิงซ้อนในข้อใดมสี ่วนจริงเท่ากับศนู ย์
1. z1  z2

z5  z6

2. z1  z3

z4  z6

3. z1  z4

z3  z6

4. z1  z5

z4  z8

5. z1  z6

z5  z8

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 5–58

วันเสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

13. กาหนดอาณาบริเวณท่ีสอดคล้องกับอสมการข้อจากัดของปัญหากาหนดการเชิงเส้นเป็นรูปสี่เหลี่ยม

จัตรุ สั ทีม่ ีเสน้ ทแยงมมุ ยาว 2015 หนว่ ย ดังรปู

Y

2015

X
2015

ฟังก์ชันจุดประสงค์ในข้อใดมีจุดซ่ึงให้ค่าสูงสุดแตกต่างกับฟังก์ชันจุดประสงค์ในข้ออ่ืน ๆ ภายในอาณา
บรเิ วณท่ีกาหนด
1. P  2x  3y
2. P  3x  2y
3. P  3x  2y
4. P  5x  2y
5. P  5x  3y

14. ให้นกั เรยี น 15 คนสมุ่ เลอื กตัวเลขจากเซต {1, 2, 3, 5} มาคนละ 1 ตัว จานวนวิธีการเลือกซ่ึงผลบวก
ของตวั เลขที่แตล่ ะคนเลอื กมา เปน็ จานวนค่ี เท่ากบั ข้อใด
1. 213  227 วิธี
2. 214  229 วธิ ี
3. 215  231 วิธี
4. 216  233 วธิ ี
5. 217  235 วธิ ี

15. ถ้า a  ar  ar2 ...  2  r และ a  as  as2 ...  2  s โดยที่ r และ s เป็นจานวนจริงที่
แตกต่างกัน แลว้ r  s มีคา่ เทา่ ใด
1. 1
2.  1

2

3. 0
4. 1

2

5. 1

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 6–58

วนั เสาร์ที่ 12 ธนั วาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

16. ถ้า f (x)  x(x 1)(x  2)(x 3)(x 5) แล้วค่าของ lim f ( f (x)) เท่ากบั เท่าใด

x2 f (x)

1. 0
2. 6
3. 10
4. 15
5. 30

17. ถ้า f (x)   3 3x2, x 1 แล้วค่าของ 3 f (x)dx เท่ากบั เท่าใด
 4  (x  3)2 , 1 x5
 

0

1. 

2. 1

3. 1

4. 2 

5. 2 

18. ขอ้ มลู ชุดหนึ่งประกอบด้วยคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ กข ของนักเรียน 24,000 คน ถ้าคะแนนสอบ

ของนักเรียนแต่ละคนในข้อมลู ชุดนเ้ี พิ่มขน้ึ คนละ 10 คะแนน แลว้ ค่าทางสถติ ิในข้อใดของข้อมูลชุดนี้จะ
เปล่ียนไป
1. พิสยั
2. ความแปรปรวน
3. สมั ประสทิ ธิ์การแปรผนั
4. ส่วนเบยี่ งเบนเฉลย่ี
5. สว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 7–58

วันเสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

19. ถา้ ข้อมูลชุดหน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดย  เปน็ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ และ  เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แลว้ ข้อใดต่อไปนเ้ี ปน็ จริงเสมอ

1.   

2. ค่าของข้อมูลทง้ั หมดจะตกอยใู่ นช่วง 1  31 ถึง 1  31
3. ถา้ x มีค่าเทา่ กับฐานนยิ ม แล้วคะแนนมาตรฐานของ x เทา่ กับ 0

4. จานวนข้อมูลที่มคี ะแนนมาตรฐานมากกว่า   จะมากวา่ จานวนขอ้ มลู ทีม่ ีคะแนนมาตรฐาน

น้อยกว่า  

5. พ้ืนที่ใตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง  ถงึ   จะเทา่ กับพืน้ ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐาน

ระหวา่ ง   ถึง   2 จะเท่ากับ

20. กาหนดข้อมลู ของตัวแปรอิสระ X และตัวแปรตาม Y ดังน้ี

X 1 2 3 4 567

Y 2 5 9 11 12 r s

เมื่อหาสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง X และ Y แบบเส้นตรง โดยวิธีกาลังสองน้อยสุด จะได้
สมการซึง่ ไม่มีความคลาดเคลอ่ื นเมอ่ื X  4 ค่าของ r  s เทา่ กบั ข้อใด
1. 27
2. 32
3. 37
4. 38
5. 40

ตอนที่ 2 ข้อสอบแบบอตั นัย (เตมิ คาตอบ) ขอ้ 1 – 10 ขอ้ ละ 4 คะแนน

1. กาหนดข้อมูล 5,11,13,14,23,30,45,49,50,51,60,73 ผลรวมของค่ากึ่งกลางพิสัยกับเดไซล์ท่ี 7
เท่ากับเทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 8–58

วนั เสาร์ท่ี 12 ธนั วาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

2. ถา้ sin 2x  1 แลว้ tan x  cot x มีคา่ เทา่ ใด
5

3. สมมติว่าทุกขณะเวลา ดาวหาง X โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นโฟกัสของวงรี
และมโี ลกเป็นจุดศูนย์กลางของวงรีเสมอ ถ้าโลกอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เป็นระยะทาง 1 หน่วย และดาว
หาง X อยูห่ า่ งจากดวงอาทติ ยเ์ ป็นระยะไกลสุดที่ 2.25 หนว่ ย แลว้ ดาวหาง X จะโคจรเข้ามาใกล้โลก
มากท่ีสดุ เป็นระยะทางก่ีหน่วย

4. ถ้าเรมิ่ ต้นดว้ ยเมทริกซ์ 4 3 1 0 และดาเนนิ การตามแถวจนได้เมทริกซ์ 1 0 a b แล้ว
15 10 0 1 0 1 c d 

a  b  c  d มคี า่ เท่าใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 9–58

วันเสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

5. ถ้า logab(a2b3), logab(a5b7), logab(a11b13) เป็นสามพจน์ของลาดับเลขคณิต แล้วพจน์ที่ 5 ของ
ลาดับนม้ี คี า่ เท่าใด

6. มีจานสขี าว 1 ใบ จานสนี ้าตาล 1 ใบ จานสฟี ้า 2 ใบ จานสีเขียว 3 ใบ และจานสีชมพู 4 ใบ โดยจาน
สีเดียวกันไม่แตกต่างกัน ถ้านาจานทั้งหมดมาจัดเรียงเป็นวงกลมบนโต๊ะกลม ความน่าจะเป็นที่จานสีฟ้า
อยตู่ ดิ กันเทา่ กับเท่าใด

7. กาหนดให้ f (x)  ax2  2, x2 ถา้ f หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ่ี x2 แลว้ ab เทา่ กบั เทา่ ใด
 x2
bx,

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 10–58

วนั เสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

8. ให้ P(x)  x3  ax2  bx  c เปน็ พหุนามที่มรี ากทง้ั หมดเปน็ จานวนเตม็
ถา้ P(0) 1 และ P(1)  0 แลว้ P(3) มคี ่าเท่าใด

cos  2k   2k  2014
 2015   2015 
9. ถ้า zk z2015k
zk  2  i sin cos สาหรับ k 1, 2, 3, ..., 2014 แล้ว มี
k 1

คา่ เท่าใด

10. ให้ A  pq และ B  pr โดยท่ี p, q และ r เป็นจานวนเฉพาะสามจานวนท่ีแตกต่างกัน
ถ้า A B  385 แล้วผลบวกของ ห.ร.ม.ของ A และ B และ ค.ร.น.ของ A และ B มคี า่ เท่าใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หนา้ 11–58

วนั เสาร์ที่ 12 ธันวาคม 2558 เวลา 10.30 – 12.00 น.

เฉลย : ขอ้ สอบ ENT ตรง มอ.’58

ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ
ตอนท่ี 1

1. 3 2. 5 3. 1 4. 4 5. 2
6. 2 7. 5 8. 4 9. 1 10. 2
11. 5 12. 3 13. 1 14. 2 15. 1
16. 5 17. 5 18. 3 19. 3 20. 4
ตอนที่ 2
1. 89.1 2. 10 3. 0.5625 4. 0.8 5. 29
6. 0.1 7. 2.5 8. 16 9. 8056 10. 749

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 1–59

วันเสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบปรนยั (เลอื กตอบ) 5 ตวั เลอื ก ขอ้ 1 – 20 ขอ้ ละ 3 คะแนน

1. กาหนดตารางคา่ ความจริงของ pq ดงั น้ี q pq

p T F
F T
T T F
F T
T

F

F

ประพจน์ใดต่อไปนี้เปน็ สัจนริ นั ดร์
1. ( p  q  r)( p p)
2. ( p  q  r)( p p)
3. (( p  q)  r)( p  p)
4. ( p  (q  r))( p  p)
5. ( p  (q  r))( p)

2. กาหนด f (x)  ax2  bx  c โดยที่ f (6)  0  f (8) และ f (7)  0 เซตคาตอบของอสมการ

x 12  35x1  0 เท่ากับข้อใด

xf (x)

1. (,5) [6,7) [8, )
2. (,5][6,7][8,)
3. (,5) (6,7) (8, )
4. (,0) (0,5](6,7) (8,)
5. (,0) (0,5](6,7](8,)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 2–59

วนั เสาร์ที่ 26 พฤศจิกายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

3. ให้ n เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ n มีตัวหารบวกทั้งหมด คือ 1,a,b ซง่ึ 1 a  b

ถ้า 1 2  345 แล้ว a2  b2 มีค่าเท่าใด
a b2 n2

1. 2016

2. 2045

3. 2450

4. 2540

5. 2559

a b 1

4. พิกดั (x, y) ของจุดใดต่อไปน้ี ทาใหค้ า่ สัมบูรณข์ อง det c d 1 มคี ่ามากทส่ี ดุ

x y 1
y

C B
 (a, b)
A
 (c, d)  E

0 D x

1. จดุ A
2. จุด B
3. จุด C
4. จุด D
5. จุด E

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 3–59

วันเสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

5. กาหนดให้ A {1,2,3,4} และ B {0,2,4,6} และให้ f : A  A และ g : B  A เป็นฟังก์ชัน
หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ถ้า (g f )(x)  x2 สาหรับทุก x ท่ีอยู่ในโดเมนของ g f จงหาค่าสูงสุดที่

เปน็ ไปไดข้ อง g (2)
f

1. 1

4

2. 1

2

3. 1
4. 2
5. 4

6. ให้ f เป็นฟังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึง ซ่ึงเรนจ์ของ f คือ (,0) ถ้ากราฟของ f และ f 1 ตัดกันที่จุด
A แลว้ จดุ ใดต่อไปนอี้ ยู่ห่างจากจุด A มากทส่ี ดุ
1. (1, 1)
2. (0,0)
3. (1,1)
4. (1, 1)
5. (1,1)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 4–59

วันเสาร์ที่ 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

7. ให้ A เป็นจุดบนพาราโบลา x2  4y ถา้ ระยะหา่ งระหวา่ งจุด A และโฟกัสเปน็ 6 เท่าของระยะ

ระหว่างจุดยอดและโฟกัส แล้วระยะหา่ งระหว่างจดุ A และแกนสมมาตรของพาราโบลาเท่ากบั ข้อใด

1. 2

2. 2 2

3. 2 3

4. 4

5. 2 5

8. แบคทเี รียชนิดหนึ่งเพิ่มจานวนขึน้ อย่างต่อเนื่องตลอดเวลาตามสมการ n(t)  n0ert เมอ่ื n(t) แทน

สมการประชากรแบคทเี รีย เมื่อเวลาผา่ นไป t นาที n0 แทนจานวนประชากรแบคทเี รยี ณ จุดเรม่ิ ตน้

และ r แทนอัตราการเติบโตของจานวนประชากรแบคทเี รียต่อเวลา ถา้ แบคทเี รียมีจานวนเป็น 2 เทา่
ของแบคทเี รีย ณ จดุ เริม่ ตน้ เมือ่ เวลาผ่านไป 10 นาที แลว้ เมือ่ เวลาผ่านไป 15 นาที แบคทีเรียมจี านวน
เป็นก่เี ท่าของจานวนแบคทีเรีย ณ จุดเริม่ ตน้

1. 1

22

2. 3

22

3. 5

22

4. 7

22

5. 9

22

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 5–59

วนั เสาร์ท่ี 26 พฤศจิกายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

9. ค่าของ sin  3  เป็นรากของพหนุ ามในขอ้ ใด
 8 

1. x4  x2  1

2

2. x4  x2  1

4

3. x4  x2  1
8

4. x4  x2  1

16

5. x4  x2  1

32

10. จากรูปที่กาหนดให้ sin มีคา่ เท่าใด

1
1 120๐

120๐ 2

1 2

1. 2 3

4

2. 3

4

3. 6

4

4. 7

4

5. 8

4

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 6–59

วนั เสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

11. ให้ u,v และ w เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และไม่มีเวกเตอร์ค่ใู ดขนานกัน

ถ้า u(v w)  0 แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นจรงิ เสมอ

1. u  w  0

2. v  w  0

3. u (v  w)  0

4. u (v  w)  0

5. u (v w)  0

12. สมการในข้อใดตอ่ ไปน้ี มผี ลเฉลยอย่างน้อยหนงึ่ จานวนท่สี อดคล้องกับอสมการ

| z i |  | z i |  | z 1|

1. z  z
2. | z 1 i |  2

3. zz  3i
zz

4. z4  1

5. arg(z5)  

5

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 7–59

วนั เสาร์ที่ 26 พฤศจิกายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

13. กาหนดอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการข้อจากัดของปัญหากาหนดการเชิงเส้น ดงั รปู

y

(-2, 3) (2, 3)
(-3, 2)
( 24 , 85)
5

0 (3, 0) (6, 0) x

ฟังก์ชนั จดุ ประสงคใ์ นขอ้ ใดมจี ุดซึ่งใหค้ า่ สูงสุดเพียงจุดเดยี วเท่านั้นภายในอาณาบรเิ วณท่ีกาหนด
1. P 12y  4x
2. P 12y  6x
3. P 12y 16x
4. P 12y 12x
5. P 12y

14. ถ้าจดั ชายและหญงิ จานวนเท่ากนั ยนื เป็นวงกลม โดยไม่มีหญิงท้ังสองคนใดยืนติดกนั ได้ 10! วธิ ี แล้ว
จานวนของชายและหญิงรวมกันเทา่ กับเทา่ ใด
1. 14
2. 16
3. 18
4. 20
5. 22

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 8–59

วันเสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

15. ผลบวกของอนุกรม 2  5  8  11  ... เทา่ กบั ขอ้ ใด
7 49 343 2041

1. 3

12

2. 5

12

3. 7

12

4. 9

12

5. 11

12

16. ฟังก์ชนั f ในขอ้ ใดมฟี ังก์ชนั g ที่ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง(,) และ g(x)  f (x) สาหรับทุกจานวนจริง

x2

1. f ( x)  x2  2
| x2|

2. f ( x)  x2 4
|x 2|

3. f (x)  x2  4x  4
x 2

4. f (x)  x2  4x  4
| x2|

5. f (x)  | x2| 4
x2  4x 

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณิตศาสตร์ กข หน้า 9–59

วนั เสาร์ที่ 26 พฤศจิกายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

17. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันใด ๆ ทีไ่ มใ่ ช่ฟังก์ชนั ศูนย์ และ f  g ถา้ f (x)  g(x) และ

g(x)  f (x) สาหรบั ทุกจานวนจริง x แล้วฟงั กช์ นั ในข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นฟงั ก์ชันคา่ คงตัวเสมอ

1. fg

2. f

g

3. f  g

4. f 2  g2
5. f 2  g2

18. กาหนดข้อมูลสองชุด เขียนเป็นแผนภาพต้น – ใบ ดังน้ี
ชุดท่ี 1 ชุดท่ี 2

53233
5 210 49 9

8 3512 3 9
86306057

8 6 37 138

โดยท่ีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดท่ี 1 และ 2 เป็น 57 และ 55 ตามลาดับ และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของข้อมูลชดุ ที่ 1 และ 2 เป็น 13.9 และ 14.1 ตามลาดบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ต้อง
1. พิสยั ของข้อมลู ชุดที่ 1 มากกวา่ ของขอ้ มลู ชดุ ที่ 2
2. ส่วนเบ่ียงเบนควอไทลข์ องข้อมูลชุดที่ 1 น้อยกวา่ ของข้อมลู ชุดท่ี 2
3. สมั ประสทิ ธิ์ของการแปรผนั ของข้อมลู ชดุ ท่ี 1 มากกวา่ ของขอ้ มูลชุดท่ี 2
4. สมั ประสิทธิ์ของพสิ ัยของข้อมูลชุดท่ี 1 มากกวา่ ของขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2
5. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบ่ยี งเบนควอไทล์ของข้อมูลชดุ ที่ 1 มากกวา่ ของข้อมูลชดุ ที่ 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

รหสั วิชา 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 10–59

วนั เสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

19. เส้นโค้งปกติมีลักษณะเป็นรูประฆัง และสมการของเส้นโค้งคือ y  1 e 1 ( x  )2 โดยที่ แทน
2 

 2

ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของประชากร และ  แทนส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร

กาหนดพื้นท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง 0 ถงึ z ดังน้ี

z 0.71 1.00 1.41 2.00
0.3413 0.4207 0.4772
พ้ืนท่ี 0.2611

คา่ ของ 1 2 อยูใ่ นชว่ งใด
2
 ex2 dx

0

1. (0.21,0.23]

2. (0.23,0.26]

3. (0.26,0.33]

4. (0.33,0.41]

5. (0.41,0.50]

20. อาจารย์เจียงมีศิษย์ในสานัก 5 คน โดยศิษย์ท้ังห้าได้เข้าสอบวิชาคณิตศาสตร์สองครั้ง ในการสอบคร้ัง

แรก ศิษย์คนท่ี i (สาหรับ i 1,2,3,4,5 ) ทาได้ xi คะแนน ต่อมาเม่ือถูกอาจารย์เจียงเคี่ยวเข็ญให้

ฝึกวิธีคิดคณิตศาสตร์อันเล่ืองลือ ศิษย์คนท่ี i นี้ได้เข้าสอบอีกคร้ังและทาได้ yi คะแนน นอกจากนี้ยัง
พบว่า ความสมั พนั ธ์ระหว่าง xi และ yi เป็นแบบเสน้ ตรง

5 55
  xi 15,
yi  23, xi yi  86

i1 i1 i1

และความแปรปรวนของคะแนนสอบครัง้ แรกเท่ากับ 2 ค่าประมาณคะแนนสอบคร้ังท่ีสองของศิษย์ท่ีมี

คะแนนสอบคร้งั แรก 1 คะแนน (โดยวธิ ีกาลังสองนอ้ ยสดุ ) เทา่ กบั เท่าใด

1. 1.1

2. 1.2

3. 1.3

4. 1.4

5. 1.5

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณติ ศาสตร์ กข หน้า 11–59

วนั เสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

ตอนท่ี 2 ข้อสอบแบบอตั นยั (เติมคาตอบ) ข้อ 1 – 10 ขอ้ ละ 4 คะแนน

1. ให้จุด A และ B เป็นโฟกสั ของวงรี x2  y2  4 และให้ C เป็นจุดบนวงรีน้ี จงหาพื้นท่ีท่ีมากท่ีสุดท่ี

25 9

เป็นไปไดข้ องรูปสามเหลีย่ ม ABC

2. กาหนดให้ P(x)  2x4  ax3  bx2  cx  d ถ้า P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  5 แลว้ P(5) มี
ค่าเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

รหัสวชิ า 87 คณิตศาสตร์ กข หนา้ 12–59

วนั เสาร์ท่ี 26 พฤศจกิ ายน 2559 เวลา 10.30 – 12.00 น.

3. ถ้า a และ b เปน็ จานวนเต็มบวกสองหลกั ท่ีแตกต่างกัน แลว้ คา่ มากสดุ ของ ห.ร.ม. (a,b) เท่ากับ

เท่าใด

4. ผลคณู ของจานวนเต็มทงั้ หมดที่สอดคลอ้ งกับอสมการ log x2 (13)  log x10 ( 1 ) เท่ากบั เท่าใด
9

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์