เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 47

กิจกรรม : ควอร์ไทล์ เปน็ อยา่ งไร

มุมความรู้ ควอร์ไทล์ (Quartiles) คือ ตาแหน่งที่ในจานวนข้อมูลทั้งหมด 4 ส่วน เขียนแทน

ด้วย Qr ฉะน้ัน Qr คือ ตาแหน่งควอร์ไทล์ท่ี r หมายถึง ณ ตาแหน่งท่ี r มีข้อมูลซ่ึงมีค่าน้อย
กว่าอยปู่ ระมาณ r ส่วน ในจานวนข้อมูลทั้งหมด 4 ส่วน เช่น

Q25 คอื ตาแหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 25 มีจานวนข้อมลู ท่ีมีคา่ น้อยกวา่ อยูป่ ระมาณ 25 ส่วน
ในจานวนขอ้ มูลท้งั หมด 4 สว่ น

การหาควอรไ์ ทลข์ องข้อมูลที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถีข่ องข้อมูล มขี ัน้ ตอนดังน้ี

1) เรยี งลาดบั ข้อมลู จากคา่ น้อยท่ีสดุ ไปหาคา่ ทม่ี ากที่สุด

2) หาตาแหนง่ ของ Qr ท่ีตอ้ งการ โดยใชส้ ูตร ถา้ N เป็นจานวนขอ้ มลู ท้งั หมด ดังน้ี

ตาแหน่งของ Qr คอื ตาแหนง่ ที่ r  N 1 เมอ่ื r  1, 2, 3

4

ตาแหน่งของ Q1 คือ ตาแหนง่ ท่ี N 1
4

ตาแหน่งของ Q2 คอื ตาแหน่งที่ 2 N 1

4

ตาแหน่งของ Q3 คอื ตาแหน่งที่ 3 N 1

4

3) เมอื่ หาตาแหนง่ ทแี่ ล้ว หาคา่ ของขอ้ มลู ทตี่ รงกบั ตาแหน่งท่ตี ้องการ

คาช้ีแจง 1. ผลการชงั่ น้าหนักของเด็กนักเรียนประถม 7 คน ได้ดังน้ี 27, 29, 25, 30, 37, 24, 22

(หน่วยเป็นกิโลกรัม) จงหาน้าหนักของนักเรยี นท่อี ยู่ ณ ตาแหนง่ ควอรไ์ ทล์ที่ 1 และควอรไ์ ทล์ท่ี 3
วิธที า 1) เรียงลาดับขอ้ มูล : 22 24 25 27 29 30 37

2) ตาแหนง่ ในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7
3) ตาแหน่งของ Q1 คือ ตาแหนง่ ท่ี ………………………………………………………………….

เพราะฉะนัน้ Q1 =……………………. กโิ ลกรัม
4) ตาแหน่งของ Q3 คือ ตาแหน่งท่ี ………………………………………………………………….

เพราะฉะนั้น Q3 =……………………. กิโลกรมั
ดงั นั้น น้าหนกั ของนักเรียนท่อี ยู่ ณ ตาแหนง่ ควอร์ไทล์ที่ 1 เทา่ กับ.......................กโิ ลกรมั

นา้ หนกั ของนกั เรียนท่อี ยู่ ณ ตาแหน่งควอรไ์ ทล์ท่ี 3 เทา่ กับ.......................กิโลกรัม

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 48

2. จากข้อที่ 1 ผลการชั่งน้าหนักของเด็กนักเรียนประถม 7 คน ได้ดังนี้ 27, 29, 25, 30, 37, 24,

22 (หน่วยเป็นกโิ ลกรัม) ถ้านา้ หนักของนกั เรยี นคนหนึ่งเป็น 30 กิโลกรมั จะอยู่ ณ ตาแหนง่ ใดของควอร์ไทล์

วิธที า 1) เรียงลาดับข้อมูล : 22 24 25 27 29 30 37

2) ตาแหนง่ ในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6 7

ดงั น้นั 30 ตาแหน่งในข้อมลู ที่ 6 น่นั คือ Qr  30

แต่ ตาแหน่งของ Qr คอื ตาแหนง่ ที่ r N 1 = r 7 1 = ……………………………………………

44

เพราะฉะนน้ั ………………………………..

………………………………..

นั่นคอื ถ้าน้าหนกั ของนักเรยี นคนนเี้ ป็น 30 กโิ ลกรัม อยู่ ณ ตาแหนง่ ควอร์ไทล์ท.ี่ ................

3. กาหนดข้อมูล 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8 จงหาค่าของ
Q2 เทา่ กบั เท่าไร
วิธีทา 1) เรยี งลาดับข้อมลู : 18.3 18.8 18.8 19.3 19.6 19.7 20.0 20.2 20.6 22.4

2) ตาแหน่งในข้อมลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ดงั นั้น Q2 อยใู่ นตาแหนง่ ที่……………………………………………………..ซ่ึงอยู่ระหว่างคา่ …………….กบั
..............

ตาแหน่งต่างกนั ………………………………………… คา่ ของข้อมลู ตา่ งกนั …………………………………………
ตาแหนง่ ต่างกัน………………………………………… ค่าของข้อมูลเพิ่มขึน้ …………………………………………
ดังนน้ั Q2  …………………………………………

4. ผลการสอบวิชาสถิตขิ องนักเรียน 9 คน เป็นดงั น้ี (หนว่ ยเปน็ คะแนน) 35, 37, 32, 34, 38, 40, 46, 41,

49 จงหาคะแนนสอบของนักเรยี นที่อยู่ตาแหน่งควอร์ไทล์ที่ 3

วธิ ที า 1) เรยี งลาดับข้อมูล : 32 34 35 37 38 40 41 46 49

2) ตาแหน่งในข้อมลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3) ตาแหน่ง Q3 คอื ตาแหน่งที่ 3  N  1  ………………………………………………………………….
4

ซง่ึ อยรู่ ะหว่างคา่ ท่ีอยู่ท่ตี าแหน่งท.่ี ...........คือ............และคา่ ทีอ่ ยูท่ ่ตี าแหน่งท.่ี ...........คอื ............

และค่าท่ีอยู่ก่งึ กลางระหว่าง............กับ............จะมคี า่ เท่ากับ ..........................................

ดงั น้นั นา้ หนกั ของนักเรียนทอ่ี ยู่ในตาแหนง่ Q3 มคี า่ เทา่ กบั ............กโิ ลกรัม

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 49

กิจกรรม : เดไซล์ เปน็ อย่างไร

มุมความรู้ เดไซล์ (Deciles) คอื ตาแหนง่ ท่ใี นจานวนขอ้ มูลท้ังหมด 10 ส่วน เขียนแทนด้วย Dr

ฉะนั้น Dr คือ ตาแหน่งเดไซล์ท่ี r หมายถึง ณ ตาแหน่งที่ r มีข้อมูลซ่ึงมีค่าน้อยกว่าอยู่

ประมาณ r ส่วน ในจานวนข้อมูลทัง้ หมด 10 สว่ น เชน่

D8 คือ ตาแหน่งเดไซล์ท่ี 8 มีจานวนข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่าอยู่ประมาณ 8 ส่วน ใน

จานวนข้อมลู ท้ังหมด 10 สว่ น

การหาเดไซล์ของข้อมูลทีไ่ มไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ีของข้อมูล มขี ั้นตอนดงั นี้

1) เรยี งลาดบั ข้อมลู จากคา่ น้อยที่สุดไปหาค่าทม่ี ากทีส่ ดุ

2) หาตาแหนง่ ของ Dr ท่ีต้องการ โดยใช้สูตร ถ้า N เป็นจานวนขอ้ มลู ท้งั หมด ดงั นี้

ตาแหนง่ ของ Dr คือ ตาแหนง่ ท่ี r  N 1 เมือ่ r  1, 2, 3,...,9

10

ตาแหนง่ ของ D1 คอื ตาแหนง่ ท่ี N 1
10

ตาแหนง่ ของ D2 คอื ตาแหน่งท่ี 2 N 1

10

ตาแหนง่ ของ D3 คือ ตาแหนง่ ที่ 3 N 1

10

.

.

.

ตาแหนง่ ของ D9 คือ ตาแหนง่ ท่ี 9 N 1

10

3) เมือ่ หาตาแหนง่ ที่แลว้ หาคา่ ของขอ้ มลู ที่ตรงกับตาแหน่งที่ต้องการ

คาชีแ้ จง 1. ผลการช่ังน้าหนักของเด็กนักเรียน 9 คน ได้ดังน้ี 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44,

18 (หน่วยเป็นกโิ ลกรมั ) จงหานา้ หนกั ของนกั เรยี นท่ีอยู่ ณ ตาแหน่งเดไซลท์ ่ี 5
วธิ ที า 1) เรยี งลาดบั ขอ้ มูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตาแหน่งในข้อมลู : 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3) ตาแหน่งของ D5 คือ ตาแหน่งท่ี ………………………………………………………………….

เพราะฉะนนั้ D5 =……………………. กโิ ลกรัม
ดังนน้ั น้าหนักของนกั เรยี นท่ีอยู่ ณ ตาแหน่งเดไซล์ท่ี 5 เท่ากับ.......................กิโลกรัม

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 50

2. จากขอ้ ท่ี 1 ผลการชั่งน้าหนักของเดก็ นักเรยี น 9 คน ผลปรากฏดังน้ี (หน่วยเป็นกิโลกรัม) 30, 42,

25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 ถ้าน้าหนักของนกั เรยี นคนหนึง่ เป็น 42 กโิ ลกรมั จะอยู่ ณ ตาแหนง่ ใดของเดไซล์

วธิ ีทา 1) เรียงลาดับข้อมูล : 18 25 28 30 33 34 36 42 44

2) ตาแหน่งในขอ้ มูล : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ดังนั้น 42 ตาแหน่งในข้อมลู ที่ 8 นัน่ คือ Dr  42

แต่ ตาแหน่งของ Dr คอื ตาแหนง่ ท่ี r N 1 = ………………………………………………………………

10

เพราะฉะน้นั ………………………………..

………………………………..

น่นั คือ ถา้ นา้ หนักของนักเรียนคนนี้เป็น 42 กิโลกรมั อยู่ ณ ตาแหน่งเดไซล์ท.่ี ................
3. จงหา D7 , D8 ของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี 10, 17, 13, 25, 26, 27
วธิ ีทา 1) เรียงลาดับข้อมลู : 10 13 17 25 26 27

2) ตาแหนง่ ในข้อมูล : 1 2 3 4 5 6

ดังนน้ั D7 อยู่ในตาแหน่งที่……………………………………………..ซง่ึ อยู่ระหวา่ งค่า…………….กบั ..............
ตาแหน่งต่างกนั ………………………………………… ค่าของข้อมูลตา่ งกัน…………………………………………

ตาแหน่งตา่ งกัน………………………………………… ค่าของข้อมลู เพมิ่ ขนึ้ …………………………………………

ดังน้ัน D7  …………………………………………
และ D8 อย่ใู นตาแหนง่ ท่ี……………………………………………..ซง่ึ อยรู่ ะหว่างคา่ …………….กับ..............

ตาแหนง่ ต่างกัน………………………………………… คา่ ของข้อมูลต่างกนั …………………………………………

ตาแหนง่ ต่างกัน………………………………………… คา่ ของข้อมลู เพิ่มข้นึ …………………………………………

ดงั นน้ั D8  …………………………………………
4. กาหนดข้อมลู ดงั ตารางจงหาเดไซลท์ ่ี 3

คะแนน 10 12 16 20 23

จานวนนักเรยี น 2 3 4 4 2

วิธีทา นาขอ้ มูลมาเรียงจากนอ้ ยไปหามากอย่างมรี ะเบยี บ

คะแนน ความถี่ ความถ่สี ะสม ชว่ งตาแหน่ง ตาแหน่งของ D3 คอื ตาแหน่งท่ี
10 2 ............. 1 – 2
12 3 ............. 3 – 5 ………………………………………………………
16 4 ............. 6 – 9 เน่ืองจากว่าตาแหน่งท.่ี ...........เป็นตาแหน่งทอี่ ยู่
20 4 ............. 10 – 13 ในช่วงตาแหน่ง....................................
23 2 ............. 14 – 15 นนั่ คอื ตาแหน่งท.่ี ................................
N = ……….. จะมีคา่ เท่ากบั ......................................คะแนน
ดังนั้น เดไซลท์ ี่ 3 เท่ากับ....................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 51

แบบฝกึ เสรมิ เพมิ่ ความเข้าใจ
เปอร์เซ็นไทล์ ควอรไ์ ทล์ เดไซล์

คาช้แี จง 1. ให้ขอ้ มูลต่อไปน้ีเปน็ คะแนนสอบของนักเรยี น 10 คน

58, 70, 62, 48, 56, 68, 76, 80, 90, 92

จงหา Q3, D7 และ P68
วธิ ีทา (1) เรียงลาดับขอ้ มลู ได้ดงั น้ี…………………………………………………………………………………………………………….

(2) หา Q3

ตาแหนง่ ของ Q3 คือ ตาแหนง่ ท่ี r N 1  ………………………………………………………………

4

ดังนน้ั Q3 อย่รู ะหวา่ งค่า....................และ....................

ตาแหนง่ ต่างกนั ........................................คะแนนสอบเพ่ิมขึ้น........................................

ตาแหน่งตา่ งกัน........................................คะแนนสอบเพิ่มขึ้น........................................

น่ันคือ Q3 = ..........................................คะแนน

(3) หา D7

ตาแหนง่ ของ D7 คือ ตาแหน่งท่ี r N 1  ………………………………………………………………

10

ดังนน้ั D7 อยรู่ ะหวา่ งคา่ ....................และ....................

ตาแหนง่ ตา่ งกนั ........................................คะแนนสอบเพ่ิมข้ึน........................................

ตาแหนง่ ตา่ งกนั ........................................คะแนนสอบเพ่ิมขึ้น........................................

น่นั คือ D7 = ..........................................คะแนน

(4) หา P68

ตาแหนง่ ของ P68 คือ ตาแหน่งท่ี r N 1  ………………………………………………………………

100

ดังน้ัน P68 อยู่ระหวา่ งค่า....................และ....................

ตาแหนง่ ตา่ งกัน........................................คะแนนสอบเพิ่มขึ้น........................................

ตาแหนง่ ต่างกัน........................................คะแนนสอบเพ่ิมข้ึน........................................

นั่นคือ P68 =............................................คะแนน

2. กาหนดข้อมูล 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0, 19.6, 18.8 จงหาคา่ ของ P89  Q3  D4
วธิ ที า (1) เรียงลาดับขอ้ มูลไดด้ งั น้ี…………………………………………………………………………………………………………….

(2) หา P89 ซง่ึ อยูใ่ นตาแหน่ง............................................อยู่ระหว่างค่า....................และ....................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 52

ตาแหนง่ ต่างกนั ........................................ค่าของข้อมูลตา่ งกัน........................................
ตาแหน่งตา่ งกัน........................................คา่ ของข้อมลู เพ่ิมข้ึน........................................
ดงั น้นั P89 ................................................................................
(3) หา Q3 ซง่ึ อยใู่ นตาแหนง่ ............................................อยรู่ ะหวา่ งค่า....................และ....................
ตาแหนง่ ตา่ งกัน........................................คา่ ของข้อมูลตา่ งกัน........................................
ตาแหนง่ ตา่ งกัน........................................ค่าของข้อมลู เพ่ิมข้ึน........................................
ดงั นน้ั Q3 ................................................................................
(4) หา D4 ซง่ึ อยู่ในตาแหนง่ ............................................อยูร่ ะหว่างค่า....................และ....................
ตาแหน่งต่างกัน........................................ค่าของข้อมลู ตา่ งกัน........................................
ตาแหนง่ ต่างกนั ........................................คา่ ของข้อมูลเพ่ิมข้ึน........................................
ดงั นน้ั D4  ...............................................................................
นัน่ คอื P89  Q3  D4 ...............................................................................
3. ความสูงของนักเรยี นหอ้ งหนงึ่ จานวน 30 คน หนว่ ยเปน็ เซนติเมตร มีดงั นี้
176 164 168 161 165 182 174 170 169 168
164 154 177 132 185 166 135 149 157 155
165 174 181 176 146 156 159 168 172 179
นกั เรยี นท่มี ีความสงู เปอร์เซน็ ไทล์ที่ 80 จะมีความสูงเท่าไร
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 53

4. กาหนดข้อมลู ดังตารางจงหาควอร์ไทล์ท่ี 3

คะแนน 10 12 16 20 23

จานวนคะแนน 2 3 4 4 2

วธิ ีทา นาข้อมูลมาเรียงจากนอ้ ยไปหามาก

คะแนน ความถ่ี ความถี่สะสม ชว่ งคะแนน

10 2 ………. 1 – 2

12 3 ………. 3 – 5

16 4 ………. 6 – 9

20 4 ………. 10 – 13

23 2 ………. 14 – 15

N = ……….

หาตาแหนง่ Q3 คอื ตาแหน่งที่…………………………………………………………………………………………………….

เพราะฉะนั้น ตาแหน่ง Q3 คอื ตาแหน่งที่………….และเนอ่ื งจากคา่ ท่อี ยใู่ นตาแหนง่ ท่ี……….เทา่ กบั ..........
ดังนน้ั ควอรไ์ ทลท์ ี่ 3 มคี า่ เท่ากับ.................

5. ความสงู ของนกั เรยี นหอ้ งหนึง่ จานวน 30 คน หน่วยเป็นเซนตเิ มตร มดี งั น้ี

176, 164, 168, 161, 165, 182, 174, 170, 169, 168,

164, 154, 177, 132, 185, 166, 135, 149, 157, 155,

165, 174, 181, 176, 146, 156, 159, 168, 172, 179
Q3 Q1
1) จงหาคา่ ของ 

2
2) นกั เรยี นทมี่ ีความสงู เป็นเปอร์เซน็ ไทล์ที่ 80 จะมคี วามสงู เทา่ ไร

3) นกั เรยี นทีม่ คี วามสูงเปน็ เดไซล์ท่ี 8 สงู กว่านักเรียนทมี่ ีความสูงเปน็ เดไซลท์ ่ี 4 เท่ากับกีเ่ ซนติเมตร

วธิ ที า 1) เรยี งความสูงจากนอ้ ยไปมากดงั น้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………......

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

หา Q1 ซง่ึ อยู่ในตาแหน่ง………………………………………………อยู่ระหว่างความสูง............และ.........เซนติเมตร
ตาแหนง่ ต่างกนั …………………………………ความสงู ต่างกนั …………………………………เซนติเมตร

ตาแหนง่ ตา่ งกัน…………………………………ความสูงตา่ งกัน…………………………………เซนติเมตร

ดงั น้ัน Q1  ……………………………………………………………………เซนตเิ มตร
หา Q3 ซง่ึ อยู่ในตาแหน่ง………………………………………………อยู่ระหว่างความสงู ............และ.........เซนตเิ มตร
ตาแหน่งต่างกัน…………………………………ความสูงต่างกัน…………………………………เซนตเิ มตร

ตาแหนง่ ต่างกนั …………………………………ความสูงตา่ งกัน…………………………………เซนตเิ มตร

จะได้ QQ3 3 2…Q…1…………………………………………………………………………………………………………………………เ…ซ…น…ตเิ…ม…ตร………………………
ดงั น้นั

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 54

2) นกั เรียนท่มี ีความสงู เปน็ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 80 จะมคี วามสงู เทา่ ไร
หา P80 ซง่ึ อยูใ่ นตาแหน่ง……………………………………………อยรู่ ะหว่างความสูง............และ.........เซนติเมตร
ดงั น้ัน P80  ………………………………………เซนติเมตร

3) นักเรยี นที่มีความสงู เปน็ เดไซล์ที่ 8 สูงกว่านักเรียนทม่ี ีความสงู เปน็ เดไซลท์ ี่ 4 เทา่ กับก่เี ซนตเิ มตร

เน่ืองจากนักเรียนที่มคี วามสงู เปน็ เดไซล์ท่ี 8 เท่ากบั นักเรียนที่มคี วามสงู เป็นเปอรเ์ ซ็นไทล์ที่..............

เทา่ กบั …………………………เซนติเมตร
หา D4 ซง่ึ อยใู่ นตาแหน่ง……………………………………………อยรู่ ะหว่างความสูง............และ.........เซนติเมตร
ตาแหนง่ ต่างกนั …………………………………ความสงู ตา่ งกนั …………………………………เซนติเมตร

ตาแหน่งตา่ งกัน…………………………………ความสงู ต่างกนั …………………………………เซนตเิ มตร
ดงั นน้ั D4  ……………………………………………………………………เซนตเิ มตร
เพราะฉะน้นั D8  D4 ……………………………………………………………………เซนติเมตร
ดงั น้นั นกั เรียนทีม่ คี วามสงู เป็นเดไซล์ท่ี 8 สงู กวา่ นักเรียนท่ีมคี วามสงู เป็นเดไซล์ที่ 4 เท่ากบั ......เซนตเิ มตร

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 55

กจิ กรรม : ค่าเฉลี่ยเลขคณติ

มมุ ความรู้ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลทไี่ ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี
X ………………………………………………………………….

1. จากการสอบถามอายขุ องนสิ ติ กลมุ่ หนึ่งจานวน 10 คน ปรากฏว่ามีอายุดังนี้ 20, 20, 19, 21, 19, 19, 22,

21, 19, 20 ปีตามลาดับ ใหน้ กั เรียนหาอายเุ ฉล่ยี ของนิสิต

วธิ ที า ผลรวมของอายนุ ิสติ ทง้ั หมดในกลมุ่ น้ี เทา่ กบั

……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..………..…

จะไดว้ า่ 10  ……………………………………….. และจานวนนิสติ ทง้ั หมดในกลมุ่ น้ี คือ ………………………

 xi
i1

จากสูตร จะไดว้ า่ x  …………………………………………….………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั น้ัน อายเุ ฉลยี่ ของนิสติ กลุ่มนี้ เทา่ กบั ………………………………..

2. ใหน้ กั เรยี นสอบถามสว่ นสูงของเพื่อนๆ จานวน 5 คน และหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของสว่ นสูง
ช่ือ

สว่ นสูง

วิธีทา ผลรวมของส่วนสูงของเพอื่ นทัง้ หมดในกล่มุ นี้ เท่ากบั
……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
….....…………………………………………………………………………………………………………………………………………....
.……………………………………………………………………………………………
จานวนเพ่ือนท้ังหมดในกลุ่มน้ี คือ …………………………
จากสตู ร จะไดว้ า่ x  ………………………………………….…………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
ดังน้ัน ส่วนสงู เฉลี่ยของเพ่อื นกลุ่มน้ี เท่ากบั …………………………………..

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 56

3. ถ้าน้าหนักของนักเรียนกลุ่มหน่ึงมี 5 คน คือ 45, 55, 40, 50, และ 42 กิโลกรัม ถ้านักเรียนกลุ่มนี้มี
สมาชิกเพิ่มขึ้นอีก 1 คน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนท้ัง 6 คนเป็น 50 กิโลกรัม ให้นักเรียน
หาน้าหนักของนกั เรียนคนท่หี ก

วิธีทา ผลรวมของนา้ หนกั ของนักเรียนท้ังหกคน เทา่ กบั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะไดว้ ่า 6  ……………………………………………..

 xi
i1

จานวนนกั เรียนทง้ั หมดn คอื .................................

ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของน้าหนกั ของนักเรียนทง้ั สามคน  x  คอื …………………………

n

 xi

จากสูตร x  i1 จะไดว้ ่า ………………………….…………………………………………………………

n

………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดงั นนั้ นา้ หนกั ของนักเรียนคนที่หก คอื ………………………………..

4. ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม และนักเรียนหน่ึงคนในกลุ่มน้ีหนัก
46 กิโลกรัม ส่วนอีกสองคนทเ่ี หลอื หนกั เท่ากนั อยากทราบว่านักเรียนสองคนที่เหลือหนกั คนละก่ีกิโลกรมั

วธิ ีทา ผลรวมของนา้ หนกั ของนกั เรียนทั้งสามคน เท่ากบั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

จะไดว้ ่า 6  ……………………………………………..

 xi
i1

จานวนนกั เรียนท้งั หมดn คอื .................................

คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของน้าหนกั ของนกั เรียนทงั้ หกคน x  คือ …………………………

n

 xi

จากสตู ร x  i1 จะไดว้ า่ ………………………….…………………………………………………………

n

………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดงั นน้ั นา้ หนักของนกั เรยี นสองคนท่ีเหลอื หนักคนละ………………………………..

With MATH, The Possibilities Are Infinite.
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 57

กิจกรรม : คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงนา้ หนกั

การหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ีคิดแบบถว่ งนา้ หนัก

มมุ ความรู้

X …………………………………………………………………..
........ คอื ข้อมลู ตวั ที่ i, .......คือน้าหนักของขอ้ มลู ตวั ท่ี i

1. ผลการสอบของนักเรียนคนหนึ่งเปน็ ดังน้ี

วิชา คะแนนทส่ี อบได้  x น้าหนักที่ให้ w
คณิตศาสตร์ 60 4

ฟสิ ิกส์ 55 3

เคมี 64 3

ภาษาอังกฤษ 70 1

ใหน้ กั เรยี นหาคะแนนเฉล่ียของนักเรยี นคนน้ี

วธิ ีทา

วิชา คะแนนที่สอบได้  xi  น้าหนกั ท่ีให้ wi  wi xi 

คณติ ศาสตร์ 60 4

ฟิสกิ ส์ 55 3

เคมี 64 3

ภาษาอังกฤษ 70 1

4 4

 wi   wi xi 

i1 i1

จากสูตร จะได้วา่

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………..……………………………………………………………………………………………….

ดังน้นั คะแนนเฉลยี่ ของนักเรยี นคนน้ี คือ …………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 58

2. นักเรียนคนหน่ึงลงทะเบียนเรียน 5 วิชา ได้เกรด A, A, B, B, C โดย A = 4, B = 3 และ C = 2 ให้
นักเรียนหาคา่ เกรดเฉลย่ี ของนกั เรยี นคนน้ี สมมตวิ ่าหน่วยกติ และเกรดรายวิชาเป็นดังน้ี
วชิ าที่ 1 2 3 4 5
หน่วยกติ 3 2 3 3 1
เกรด A A B B C

วธิ ที า
วิชาท่ี xi wi wi xi
1
2
3
4
5

5 5

 wi   wi xi 

i1 i1

จากสูตร จะได้วา่

x  …………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

ดังนน้ั เกรดเฉลีย่ ของนักเรยี นคนนี้ คอื …………………………………

3. สไปรทซ์ อ้ื เงาะ 5 กิโลกรมั ราคากโิ ลกรมั ละ 15 บาท มงั คุด 6 กโิ ลกรมั ราคากิโลกรัมละ 20 บาท ทุเรียน
9 กโิ ลกรมั ราคากิโลกรมั ละ 25 บาท สไปรท์ซ้อื ผลไมโ้ ดยเฉลยี่ กโิ ลกรมั ละเท่าใด

วิธีทา
ผลไม้ xi wi wi xi
เงาะ
มงั คุด
ทเุ รียน

3 3

 wi   wi xi 

i1 i1

จากสูตรจะไดว้ า่

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนั้น สไปรทซ์ ้อื ผลไมโ้ ดยเฉลย่ี กโิ ลกรมั ละ …………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 59

กิจกรรม : ค่าเฉลีย่ เลขคณิตรวม

มุมความรู้ การหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ รวม

X ……………………………………………………………………..
........... คือค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มูลชุดท่ี i,
........... คอื จานวนขอ้ มลู ชดุ ที่ i จากทั้งหมด k ชุด

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรยี นโรงเรยี นหนึ่ง ปรากฏว่า
นักเรียนชั้น ม.5/1 จานวน 40 คน ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากบั 50 คะแนน
นกั เรียนช้ัน ม.5/2 จานวน 30 คน ไดค้ ่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กับ 30 คะแนน
นักเรยี นช้นั ม.5/3 จานวน 30 คน ไดค้ ่าเฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนสอบเทา่ กบั 40 คะแนน
ให้นกั เรียนหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนกั เรียนทั้ง 3 ห้องรวมกนั

วิธีทา

ช้ัน คะแนนสอบเฉลีย่  xi  จานวนนกั เรยี น ni  ni xi
ม. 5/1

ม. 5/2

ม. 5/3

3 3

 ni   ni xi 

i1 i1

จากสูตร จะไดว้ ่า

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้นั คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรยี นทง้ั 3 ห้องรวมกนั คือ ............................. คะแนน

2. ถ้าความสูงเฉลี่ยของนกั เรยี นหอ้ งหน่ึง ซง่ึ มจี านวน 60 คน มีค่าเท่ากับ 158 เซนติเมตร และความสูงเฉลี่ย

ของนักเรยี นชายทง้ั หมด ซ่งึ มจี านวน 40 คน มคี า่ เทา่ กบั 162 เซนตเิ มตร จงหาความสูงเฉล่ียของนักเรียน

หญงิ ในห้องน้ี

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 60

วธิ ีทา

นกั เรียน xi ni ni xi
ชาย

หญงิ

2 2

 ni   ni xi 

i1 i1

คานวณหาความสูงเฉลย่ี ของนกั เรยี นหญงิ จากสูตร xรวม  .................................. จะได้ว่า
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
ดงั นั้น ความสูงเฉล่ียของนักเรียนหญงิ ในห้องน้ี คือ ............................. เซนตเิ มตร

3. ผลการสอบยอ่ ยของนกั เรียน 3 กลุ่มเปน็ ดังนี้

กลุ่มท่ี 1 กลุ่มที่ 2 กลุ่มท่ี 3

คะแนนเฉลย่ี 15 12 13

จานวนนกั เรียน 10 8 x

ถา้ คะแนนเฉลี่ยวชิ าคณิตศาสตรเ์ ท่ากับ 13.4 จานวนนกั เรียนกล่มุ ท่ี 3 มกี คี่ น

วธิ ที า

คานวณหาจานวนนักเรยี นกลมุ่ ท่ี 3 n3  จากสตู ร xรวม  .............................................
จะได้ว่า …………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดงั น้ัน จานวนนกั เรียนกลุ่มท่ี 3 เท่ากับ ............................. คน

With MATH, The Possibilities Are Infinite

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 61

กิจกรรม : ค่าเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ที่
แจกแจงความถีแ่ ลว้

มุมความรู้ การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลท่ีแจกแจงความถี่แลว้
X ………………………………………………………………….

......... คือขอ้ มลู ตวั ที่ i, ........... คอื ความถีข่ องข้อมูลตวั ท่ี i

1. ตารางบันทึกการลาของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่ง ในหนึ่งเดือนที่ผ่านมา ให้นักเรียนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ของจานวนวันลาของพนกั งานบริษัทแหง่ น้ี

จานวนวันลา (วนั ) ความถี่

07

1 11

29

32

48

55

วิธีทา

จานวนวนั ลา (วนั )  xi  ความถ่ี  fi  fi xi
07

1 11

29

32

48

55

รวม

จานวนพนกั งานทงั้ หมด n เท่ากบั ...................................... คน

จากสูตร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้ัน คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของจานวนวนั ลาของพนกั งานบริษัทแหง่ นี้ คอื ........................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 62

2. ให้นักเรยี นหาค่าเฉล่ียของข้อมลู ตอ่ ไปน้ี

ชว่ งคะแนน ความถ่ี
0–4 3
5–9 4
10 – 14 10
15 – 19 2
20 – 24 1

วธิ ที า

ชว่ งคะแนน ความถี่  fi  จดุ ก่ึงกลางของอนั ตรภาคชน้ั  xi  fi xi

0–4 3
5–9 4
10 – 14 10
15 – 19 2
20 – 24 1

5

 fi xi 

i1

จานวนความถี่ทง้ั หมด n เท่ากบั ...................................... คน

จากสูตร จะได้ว่า ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นั้น คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดน้ี คอื ........................................

3. ตารางแจกแจงความถี่ของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟา้ จานวน 15 หลอด ดงั ต่อไปน้ี

อายุ (ชว่ั โมง) จานวนหลอดไฟฟา้

9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้า

วิธีทา

อายุ (ชั่วโมง) จานวนหลอดไฟฟา้  fi  จดุ ก่ึงกลางของอันตรภาคช้นั xi  fi xi
9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

4

 fi xi 

i1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 63

จากสตู ร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดงั นัน้ ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟา้ เทา่ กบั ........................................

4. จากโจทย์ข้อ 3)

อายุ (ชว่ั โมง) จานวนหลอดไฟฟา้

9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉลยี่ ของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้า โดยใชว้ ธิ กี ารลดทอนค่าของขอ้ มูล

วธิ ีทา เทคนิคคดิ ลดั เพ่อื ลดทอนคา่ ของขอ้ มลู

หลกั การคดิ 1. เลอื กจดุ ก่งึ กลางทีอ่ ยใู่ นอันตรภาคช้นั ท่ีมีความถี่มากท่ีสุด โดยกาหนดใหเ้ ป็น A

อันตรภาคช้นั ท่มี ีความถ่มี ากทีส่ ดุ คอื ช่วงอาย.ุ .........................................

ซ่ึงได้จดุ ก่งึ กลางของอนั ตรภาคชั้น เทา่ กับ..............................................,

ดงั น้นั A  ......................................

2. หาคา่ แตกต่าง d  ระหว่างจุดก่งึ กลางของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน xi  กบั ค่า A
โดยที่ di  ....................................

3. จานวนหลอดไฟท้ังหมด n เทา่ กบั ............................ หลอด

4. หาค่า k fidi เมอื่ k เปน็ จานวนอนั ตรภาคชน้ั


i1

5. แทนคา่ ลงในสตู ร x  ............................................

6. สร้างตารางเพื่อความสะดวกในการหาค่า x ได้ดงั นี้

อายุ (ช่ัวโมง) จานวนหลอดไฟฟ้า  fi  จดุ ก่งึ กลางของอันตรภาคชั้น xi  di  xi  A fidi
9 - 11 4

12 - 14 4

15 - 17 5

18 - 20 2

4

 fidi 

i1

จากสตู ร จะไดว้ า่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดังน้นั คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้า เท่ากบั ........................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 64

5. ตารางแจกแจงความถ่ขี องอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟฟา้ จานวน 40 หลอด ดังต่อไปน้ี

อายุ (ชวั่ โมง) จานวนหลอดไฟฟ้า

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

ใหน้ กั เรียนหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้า

1. วธิ ีตรง

อายุ (ชั่วโมง) จานวนหลอดไฟฟ้า  fi  จดุ กึง่ กลางของอันตรภาคชัน้  xi  fi xi
118 - 122
2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

6

 fi xi 

i1

จากสูตร จะไดว้ ่า ………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ดังนัน้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้า เทา่ กบั ........................................

2. วธิ ีลดั เลอื กจุดก่งึ กลางท่ีอยู่ในอนั ตรภาคชน้ั ท่มี คี วามถม่ี ากท่ีสุด กาหนดให้เป็น A ดงั น้นั A  ................
สร้างตารางเพ่ือความสะดวกในการหาคา่ x ไดด้ ังน้ี

อายุ (ชัว่ โมง) จานวนหลอดไฟฟา้  fi  จดุ ก่งึ กลางของอันตรภาคชั้น xi  di  xi  A fidi

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

6

 fidi 

i1

จากสูตร จะได้วา่ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนัน้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของอายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้า เท่ากับ ........................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 65

กจิ กรรม : มัธยฐานและฐานนยิ ม

1. กาหนดให้ขอ้ มูลชดุ หน่งึ ประกอบด้วย 4, 18, 15, 10, 8, 4, 10, 4, 7
ใหน้ ักเรยี นหามัธยฐานของขอ้ มูลนี้
1) จากข้อมูลขา้ งต้น ขอ้ มูลทั้งหมด มีจานวน …………………………………………………………….…
2) เรยี งข้อมลู จากค่านอ้ ยไปหาค่ามาก ได้ดงั นี้……………………………………………………………….
3) ตาแหนง่ ของมธั ยฐาน คือ ตาแหนง่ กง่ึ กลางของข้อมูลที่เรยี งแล้ว

ฉะนนั้ ตาแหน่งของมธั ยฐาน = n 1 เมือ่ n คอื จานวนขอ้ มูลทงั้ หมด

2

จากข้อมูลข้างตน้ ตาแหน่งของมัธยฐาน คือ………………………………………………………..……
4) มัธยฐาน คอื คา่ ทีอ่ ยู่ตาแหนง่ ก่ึงกลางของข้อมูลท่ีเรยี งแลว้

ดงั นน้ั มธั ยฐานของขอ้ มูลชดุ น้ีคอื ……………………………………………
ให้นกั เรียนหาฐานนิยมของข้อมลู นี้
1) ค่าของขอ้ มลู ที่มีความถี่สงู สุดคือ............................................มีความถี่..............................
2) ฐานนิยม คอื คา่ ของขอ้ มูลท่ีมีความถสี่ งู สุด

ดังนน้ั ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้คอื ……………………………………………

2. ให้นักเรียนหามัธยฐานและฐานนิยมของข้อมลู ต่อไปนี้ ตาแหนง่ ของมธั ยฐาน มัธยฐาน ฐานนิยม
ขอ้ มูล เรยี งข้อมูลจากน้อยไปหามาก

1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 2
5, 3, 1, 7 11, 9
16, 11, 16, 20, 14, 16
11, 12, 13, 18, 12, 14, 11
29, 18, 19, 21, 18, 29, 19
25, 21, 34, 25, 47, 74, 21,
47, 34, 75
35, 76, 52, 76, 52, 35
76, 45, 69, 28, 32, 45, 76,
32, 69, 28

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 66

3. จากแผนภาพตน้ – ใบ แทนความสงู ของนกั เรียนกลุ่มหนงึ่ มหี น่วยเป็นเซนตเิ มตร

14 2 4 5 6

15 1 1 2 3 5 8

16 0 0 0 1 3 7

17 0 1 1 2

1) นักเรยี นกลุ่มน้ี มีจานวน............................................คน
2) ความสูงของนกั เรียนทีส่ ูงท่สี ุดคอื ....................................

ความสงู ของนกั เรยี นท่ีนอ้ ยทสี่ ุดคอื .................................
3) ใหน้ กั เรียนหามัธยฐานของความสงู ของนักเรียนกลมุ่ นี้

ตาแหน่งของมธั ยฐาน คือ……………………………………………..
ดังนนั้ มธั ยฐานของความสูงของนกั เรยี นกลุ่มนี้ คอื ……………………………………………
4) ใหน้ ักเรยี นฐานนิยมของความสูงของนักเรียนกลุ่มน้ี

นักเรยี นสว่ นใหญม่ สี ่วนสงู ......................เซนตเิ มตร มนี ักเรยี นจานวน...............คน
ดงั นั้น ฐานนิยมของความสูงของนักเรียนกล่มุ นี้ คือ……………………………………………

4. จากแผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูลท่ีแสดงจานวนเวลา (นาที) ท่ีนักเรียนใช้ทาแบบทดสอบจานวน 100 ข้อ
ต่อไปน้ี

4 158

5 23345

6 23345

7 11114

8 1389

9 000

1) นักเรยี นกล่มุ น้ี มีจานวน............................................คน
2) เวลามากท่ีสดุ คอื ................................นาที เวลานอ้ ยทีส่ ุดคือ................................นาที
3) ใหน้ กั เรยี นหามัธยฐานของข้อมลู ชุดน้ี

ตาแหน่งของมัธยฐาน คือ……………………………………………..
ดังนน้ั มัธยฐานของข้อมลู ชดุ น้ี คือ……………………………………………
4) ให้นกั เรยี นฐานนิยมของความสงู ของนกั เรยี นกลมุ่ นี้

เวลาท่ีนกั เรยี นส่วนใหญท่ าแบบทดสอบคือ.........................นาที
มนี ักเรียนจานวน.......................คน
ดังนนั้ ฐานนยิ มของข้อมลู ชุดนี้ คือ……………………………………………

With MATH, The Possibilities Are Infinite.
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 67

กจิ กรรม : ข้อสงั เกตและหลักเกณฑ์ในการ
ใช้คา่ กลางชนิดต่างๆ

ขอ้ สังเกตและหลักเกณฑ์ทีส่ าคัญในการใชค้ า่ กลางชนิดต่างๆ

มุมความรู้ 1. คา่ เฉลี่ยเลขคณิตเปน็ ค่ากลางที่ได้จากการนาทกุ ๆ ค่าของข้อมูลมาเฉลย่ี มัธยฐาน

เป็นค่ากลางที่ใช้ ตาแหนง่ ท่ีของข้อมูล

และฐานนยิ มเป็นค่ากลางที่ได้จากข้อมูลทม่ี ีความถี่มากทีส่ ดุ

2. ถา้ ในจานวนข้อมลู ท้งั หมด มีขอ้ มูลบางค่าที่มคี า่ สงู หรือต่ากว่าขอ้ มลู อ่ืนๆ มาก

จะมีผลกระทบต่อค่าเฉล่ยี เลขคณิต แตจ่ ะไม่มีผลกระทบต่อมัธยฐานหรอื ฐาน

นิยม

3. มธั ยฐานและฐานนิยมใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางของขอ้ มูลท้งั หมด

โดยประมาณและรวดเร็ว

4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่สามารถหาไดใ้ นกรณกี ารแจกแจงความถี่ของข้อมูลมี อนั ตร

ภาคชน้ั ชั้นใดชนั้ หนึง่ เป็นอันตรภาคชน้ั ทีม่ ชี ่วงเปิด แตส่ ามารถหามัธยฐานและ

ฐานนยิ มได้

5. การแจกแจงความถ่ที ีม่ ีความกว้างแต่ละอนั ตรภาคชั้นไมเ่ ทา่ กันจะทาให้ ค่าเฉลยี่

เลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคล่อื น แตจ่ ะไม่กระทบต่อมัธยฐาน

1. ให้นักเรยี นพจิ ารณ6.าว่าขขอ้ ้อมมูลูลปทร่ีกะเาภหทนคดุณใหภ้เาหพมจาะะหกาับฐคา่านกนลยิ ามงไชดน้ ิดแตใดไ่ มแ่สลา้วมเาตริมถคหาาตคอ่าบเฉลลงย่ีในเลชข่อคงณว่าิตงแหตร่ลอื ะข้อ
ต่อไปน้ีใหถ้ ูกต้อง มธั ยฐานได้

ขอ้ ข้อมูลท่กี าหนด ค่ากลางท่ีเหมาะสม เหตุผล

1 34, 1, 23, 80, 9

2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์

3 อาชีพของผู้ปกครองนกั เรียน

4 รายไดข้ องผู้ปกครองนักเรยี น

5 71, 83, 85, 86, 90, 88, 88, 78

6 2, 19, 70 8, 35,

7 ขอ้ มลู เก่ยี วกับเบอรร์ องเท้า

8 น้าหนักของนักเรยี นช้นั ม.4/2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 68

2. ใหน้ ักเรยี นบอกขอ้ ดี ขอ้ เสียของ ค่าเฉล่ียเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยม

ชนดิ ของคา่ กลาง ขอ้ ดี ขอ้ เสยี

1. ………………………………................. 1. ……………………………….…………….
……………………………………………….…. ………………………………………..…………
ค่าเฉลย่ี เลขคณติ 2. ………………………………….…………. 2. ……………………………….…………….
 x  ………………………………………………….. ………………………………………..…………
3. ………………………………………….…. 3. ……………………………….…………….
……………………………………………….… ………………………………………..…………

มธั ยฐาน 1. ………………………………................. 1. ……………………………….................
 Me  ……………………………………………….…. ……………………………………………….….
2. ………………………………….…………. 2. ………………………………….………….
………………………………………………….. …………………………………………………..

3. ………………………………………….….
………………………………………………..…

ฐานนิยม 1. ………………………………................. 1. ……………………………….................
Mod  ……………………………………………….…. ……………………………………………….….
2. ………………………………….…………. 2. ………………………………….………….
………………………………………………….. …………………………………………………..
3. ………………………………………….…. 3. ………………………………………….….
……………………………………………….… ……………………………………………….…

With MATH, The Possibilities Are Infinite.
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 69

แบบฝกึ เสริม : การวดั ค่ากลางของข้อมลู

1. การหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ

มุมความรู้ ลักษณะข้อมูล สตู ร
ไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี
X  ……………………………………………………………………………..…

ไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี X  ……………………………………………………………………………..…
คดิ แบบถ่วงนา้ หนัก

คา่ เฉล่ียเลขคณิตรวม ......... คอื ขอ้ มลู ตัวท่ี i, ....... คอื นา้ หนกั ของขอ้ มลู ตัวท่ี i

X  ……………………………………………………………………………..…

แจกแจงความถี่ .......... คือคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดท่ี i,
.......... คอื จานวนข้อมูลชดุ ที่ i จากทัง้ หมด k ชุด

X  ……………………………………………………………………………..…

........ คอื ข้อมลู ตวั ที่ i, ......... คือความถี่ของข้อมูลตัวท่ี i
2. มัธยฐาน คือ ..............................................................
3. ฐานนยิ ม คือ .............................................................

1. ใหน้ กั เรยี นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ของข้อมลู ตอ่ ไปน้นี ี้
1) 1, 3, 3, 3, 5
คา่ เฉล่ยี คอื ........................... มัธยฐานคือ........................... ฐานนิยมคือ...........................
2) 1, 1, 2, 5, 6
คา่ เฉลี่ยคอื ........................... มธั ยฐานคอื ........................... ฐานนยิ มคอื ...........................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 70

3) 1, 1, 1, 2, 5
ค่าเฉล่ียคอื ........................... มัธยฐานคอื ........................... ฐานนยิ มคอื ...........................

4) 1, 1, 3, 5, 10
คา่ เฉลย่ี คอื ........................... มธั ยฐานคือ........................... ฐานนิยมคอื ...........................

2. ให้นกั เรยี นหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรต์ ่อไปนี้
1) 10, 20, 30, 40, 50, … , 100
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … , 97
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดหน่ึงซ่ึงประกอบด้วยข้อมูล 7 ข้อมูล มีค่า 81 ถ้าตัดข้อมูลออกไป 1 ข้อมูล
ทาให้ค่าเฉลีย่ ของข้อมลู ชดุ นเ้ี หลอื 78 ข้อมูลท่ถี กู ตัดออกไปมีคา่ เท่าใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 71

4. จากการสอบและความสาคัญของระยะเวลาการเรียนทั้งหมด 5 วิชา ของนักเรียนคนหน่ึงดังข้อมูลใน

ตาราง ใหน้ กั เรยี นหาคะแนนเฉลี่ยของการสอบท้งั 5 วิชา ของนักเรยี นคนนี้

วิชาที่สอบ คะแนนที่สอบได้ เวลาเรียนใน 1 สัปดาห์/หนว่ ยเปน็ ชวั่ โมง

คณติ ศาสตร์ 60 6

วิทยาศาสตร์ 75 4

ภาษาองั กฤษ 60 10

ภาษาไทย 82 5

สังคมศึกษา 68 5

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. บรษิ ัทแหง่ หนึง่ จาแนกลูกจ้างเปน็ 2 กลุ่ม คอื คนงานและพนกั งาน โดยทคี่ นงานมีค่าจ้างรายวันเฉล่ีย 120

บาทต่อคน พนักงานมีค่าจ้างรายวันเฉลี่ย 440 บาทต่อคน ถ้าจานวนคนงานเป็น 3 เท่าของจานวน

พนักงาน แลว้ ลูกจา้ งของบริษทั แห่งนี้มคี า่ จา้ งรายวันเฉลีย่ กบ่ี าทต่อคน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 72

6. จากแผนภาพตน้ – ใบ แสดงนา้ หนกั สมั ภาระ (กโิ ลกรัม) ของผโู้ ดยสารเครอื่ งบินกล่มุ หน่งึ จานวน 25 คน

0 67

1 93466

2 00122247

3 3581321

4 112

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ มของนา้ หนกั สมั ภาระของผโู้ ดยสารกลุ่มน้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7.

0 336999

1 2267

2 0225789

3 15

4

5 46

6

7

8

99

10 0

1) จากข้อมูลท่ีนาเสนอโดยแผนผังต้น – ใบ ข้างต้น อยากทราบว่า ควรใช้ค่ากลางชนิดใดเพื่อเป็นตัว
แทนทีด่ ีของขอ้ มลู ชดุ นี้ พรอ้ มทั้งใหเ้ หตุผลประกอบคาตอบ

2) ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของ มธั ยฐานและฐานนยิ มของขอ้ มลู ชดุ น้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 73

กจิ กรรม : พิสัย

มุมความรู้ พิสัย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายท่ีได้จากผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุด
และข้อมูลท่ีมคี ่าตา่ สดุ น่นั คอื

พิสยั =

1. ให้นกั เรยี นหาพสิ ยั ของขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี
1) 5, 15, 11, 17, 13, 7, 9
ขอ้ มลู ที่มีคา่ สงู สุด คือ........................ ขอ้ มูลท่ีมีค่าตา่ สดุ คือ........................
ดงั นัน้ พสิ ยั ของข้อมูลชดุ นี้ เทา่ กบั ...............................................................
2) 5, 17, 11, 5, 17, 5, 17
ข้อมูลท่มี ีค่าสงู สดุ คอื ........................ ข้อมูลท่มี ีค่าตา่ สดุ คือ........................
ดังน้นั พิสัยของขอ้ มูลชดุ นี้ เทา่ กบั ...............................................................
3) 60, 64, 56, 70, 52, 63
ขอ้ มูลทมี่ ีค่าสงู สดุ คือ........................ ข้อมลู ที่มีคา่ ตา่ สุด คอื ........................
ดงั น้ัน พสิ ยั ของข้อมูลชุดนี้ เท่ากบั ...............................................................

2. จากตารางแสดงคะแนน 5 วชิ าจากการสอบ 2 คร้งั ของนักเรียนคนหนึ่งดังนี้
วชิ าที่ 1 2 3 4 5
ครั้งท่ี 1 20 30 25 35 28
ครัง้ ที่ 2 40 45 39 50 49

จงหาพสิ ยั และเปรียบเทยี บการกระจายของการสอบ 2 คร้ัง
วิธีทา สอบครัง้ ท่ี 1 มคี ะแนนสูงสุด คอื ....................................

คะแนนต่าสดุ คอื …………………………………
ดังน้ัน พสิ ยั ของการสอบคร้ังที่ 1 เทา่ กบั …………………………………………………………….คะแนน
สอบคร้ังที่ 2 มีคะแนนสงู สดุ คือ....................................

คะแนนต่าสดุ คอื …………………………………
ดังนน้ั พิสยั ของการสอบคร้ังท่ี 1 เทา่ กับ…………………………………………………………….คะแนน
สรุปไดว้ า่ .................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ข้อมูลชดุ หน่งึ เรียงจากน้อยไปหามากเปน็ ดังนี้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 74

98, 100, 101, 104, a, 109, 110, 111, b
ถา้ พิสัยและคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมลู ชดุ นเ้ี ทา่ กับ 14 และ 106 ตามลาดบั
แล้ว a และ b มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

With MATH, The Possibilities Are Infinite.
ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 75

กจิ กรรม : ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานและ
ความแปรปรวน

มมุ ความรู้ การหาค่าส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย 

  ........................................................................................

.......... คอื ข้อมูลตวั ที่ i, ......... คือค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของประชากร
การหาค่าสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตัวอย่าง แทนด้วย s

s  …………………………………………………………………………...

xi คอื ขอ้ มลู ตัวท่ี i, x คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตวั อย่าง

การหาค่าความแปรปรวน
ความแปรปรวน = ............................................
ความแปรปรวนของข้อมูลประชากร เขียนแทนด้วย ..........
ความแปรปรวนของข้อมูลตัวอยา่ ง เขยี นแทนดว้ ย ..........

สมบัติท่สี าคญั ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

 สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานมคี ่าเป็นบวกเสมอ

 การคานวณหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน ถา้ เปล่ยี นคา่ เฉลย่ี เลขคณิต เป็นค่ากลาง

แบบอืน่ ๆ จะได้สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานที่มากกวา่ เดิม

 ถา้ มีข้อมูล 2 ชุด ประกอบด้วยข้อมลู N1 และ N2 จานวน มคี า่ เฉล่ยี เลขคณิต

เท่ากนั แต่มคี วามแปรปรวนเปน็ 12 และ  2 สาหรบั ข้อมลู ชุดท่ี 1 และ 2
2

ตามลาดบั ความแปรปรวนของข้อมลู ทั้งสองชุดเท่ากบั N112  N2 2
2

N1  N2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 76

1. ให้นกั เรยี นหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน   และความแปรปรวน 2  ของข้อมูล 6, 12, 9, 10, 6, 8

วธิ ที า จากสูตร ...........................................

หาคา่ เฉล่ียของขอ้ มลู 

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดงั นน้ั ค่าเฉล่ียของข้อมลู  เท่ากับ.......................................................................

หาค่า 6  และ 6   2 ไดด้ งั นี้

 xi  xi
i1 i1

xi xi    xi   2

รวม

จะได้ 6   2 = …………………………………

 xi
i1

ทาใหไ้ ดว้ ่า  …………………………………………………………………………………………………………………………

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดงั นั้น ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน   ของขอ้ มลู ชุดน้คี อื .....................................................

ความแปรปรวน 2  ของขอ้ มลู ชดุ นค้ี อื ................................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 77

2. ให้นักเรียนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของบุตรในครอบครัวหน่ึง ดังนี้ 7, 9,

11, 15, 18

วิธที า จากสตู ร ..........................................

หาคา่ เฉลีย่ ของขอ้ มูล  x 

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดงั นน้ั คา่ เฉลี่ยของข้อมลู  x  เท่ากบั .......................................................................

หาคา่ 5 x และ 5  x 2 ไดด้ ังนี้

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

รวม

จะได้ 5  x 2 = …………………………………

 xi
i1

ทาใหไ้ ดว้ ่า s ………………………………………………………………………………………………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดงั นน้ั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนีค้ อื ............................................................

ความแปรปรวนของขอ้ มูลชุดน้คี อื ......................................................................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 78

3. ให้นักเรียนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของ

นักเรียนกลุ่มหน่งึ จานวน 10 คน ดงั น้ี 87, 61, 75, 77, 85, 92, 83, 73, 65, 58

วิธที า จากสตู ร ..........................................

หาคา่ เฉล่ียของขอ้ มูล  x 

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดังนั้น ค่าเฉล่ยี ของข้อมลู  x  เทา่ กับ.......................................................................

หาค่า 10 x และ 10  x 2 ได้ดงั นี้

 xi  xi
i1 i1

xi xi  x  xi  x 2

รวม

จะได้ 5  x 2 = …………………………………

 xi
i1

ทาให้ได้วา่ s ………………………………………………………………………………………………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

.................................................................…………………………………………………………….……………………….

ดงั นน้ั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดนี้คอื ............................................................

ความแปรปรวนของขอ้ มูลชดุ นค้ี ือ......................................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 79

กิจกรรม : ลักษณะการกระจายของขอ้ มูล

1. ให้นักเรียนสบื ค้นข้อมูลเกยี่ วกับ “ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู ” พร้อมวาดภาพประกอบ
1.

การกระจายแบบ.................................
ลักษณะของการกระจาย คอื .......................................................................................................................
.............................................................................................................................. .......................................
................................................................................................................... ..................................................
............................................................................................................................. ........................................

2.

การกระจายแบบ.................................
ลักษณะของการกระจาย คือ ......................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
............................................................................................................................. ........................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 80
3.

การกระจายแบบ.................................
ลักษณะของการกระจาย คอื ........................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ........................................
............................................................................................................................. ........................................

มุมความรู้ The 95% rule
กล่าวว่า โดยทั่วไป ไมว่ า่ ข้อมูลจะมีการกระจายในลักษณะใด จะมีข้อมูล

อย่ใู นชว่ ง x  2s, x  2s ประมาณ 95% ของข้อมลู ท้ังหมด

จาก “The 95% rule” จะได้ว่า พิสัยมีคา่ ประมาณ 4 เท่าของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน

น่ันคอื ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน  ค่าพสิ ัย
4
2. ใหน้ ักเรยี นประมาณส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานจากพิสัย ของข้อมลู ตอ่ ไปน้ี

ข้อ ขอ้ มูล พิสยั สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยประมาณ

1 2, 5, 3, 7, 3

2 15, 13, 11, 9, 7, 5

3 80, 89, 95, 86, 88, 76, 74

4 8, 21, 9, 15, 6, 7, 3, 14, 17, 10

5 101, 115, 114, 99, 106, 112, 116

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 81

แบบฝึกเสรมิ : การวดั การกระจายของข้อมลู

1. ข้อมูลชุดหนึ่ง มีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ 40 และค่าพิสัยเท่ากับ 20 ดังนั้นค่าต่าสุดและค่าสูงสุดของข้อมูล
ชดุ นเ้ี ท่ากบั เทา่ ใด
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ในการสอบคร้ังหนงึ่ มผี เู้ ขา้ สอบ 3 คน ปรากฏว่า คา่ เฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 67
มธั ยฐานเทา่ กับ 65 และฐานนิยมเท่ากบั 16 คะแนนสอบสงู สดุ ของผู้เขา้ สอบเท่ากบั เท่าใด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 82

3. ให้นักเรียนประมาณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากพิสัย และหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการคานวณจาก
สูตร ของขอ้ มลู ต่อไปน้ี
1. 20, 35, 27, 31, 37
2. 1, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 5, 4, 3, 2
3. 42, 45, 48, 48, 54, 60, 64, 70, 74, 75
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 83

4. ถ้าคะแนนสอบของนกั เรียน 10 คน ทม่ี ีคะแนนเต็ม 25 คะแนน เปน็ ดงั น้ี
20 20 19 21 21 18 20 22 23 17

1. ใหน้ ักเรียนหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดน้ี
2. ถ้าข้อมูลชุดนม้ี ีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมธั ยฐานเท่ากัน ข้อมูลชดุ นี้ควรจะมกี ารกระจายในลกั ษณะใด
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
……….....…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

With MATH, The Possibilities Are Infinite
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 84

แผนผงั ความคดิ เร่อื ง “การวิเคราะหข์ ้อมูลเบือ้ งต้น”

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 85

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 5
รหสั วชิ า ค 33201

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 86

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 5 คาอธิบายรายวชิ า รหัสวชิ า ค33201
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชั่วโมง/สปั ดาห์
80 ช่ัวโมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกิต

ศึกษาและฝึก ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อืน่ ๆ และมีความคดิ ริเริม่ สร้างสรรค์ ในสาระต่อไปน้ี

การวิเคราะห์ข้อมูลเบ้ืองต้น การวัดค่ากลางของข้อมูล ได้แก่ ค่าเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม
ค่าเฉลีย่ เรขาคณิต และคา่ เฉลี่ยฮารโ์ มนิก การวัดตาแหน่งทหี่ รือตาแหนง่ สมั พทั ธ์ของขอ้ มูล การวัดการกระจายของ
ข้อมูล ไดแ้ ก่ การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถ่ี ค่า
กลาง และการกระจายของข้อมลู

การแจกแจงปกติ คา่ มาตรฐาน การแจกแจงปกติและเส้นโค้งปกติ
ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหว่างขอ้ มูล การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล แผนภาพ
การกระจาย การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้วิธีกาลังสองน้อยที่สุด ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลท่ีอยู่ใน
รปู อนุกรมเวลา
การจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพื่อให้มคี วามรคู้ วามเขา้ ใจในเน้ือหา มที กั ษะการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพียง รวมทั้งให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซื่อสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง
มุ่งมน่ั ในการทางาน รักความเป็นไทยและมีจิตสาธารณะ

การวดั และประเมนิ ผล ใช้วธิ ีการหลากหลายตามสภาพเปน็ จริง ตามมาตรฐานและตัวช้ีวัดที่กาหนด

ผลการเรยี นรู้
1. เลอื กวิธวี ิเคราะหข์ ้อมลู เบ้ืองต้นและอธบิ ายผลการวิเคราะห์ของขอ้ มูลไดถ้ ูกต้อง
2. นาความรเู้ รอ่ื งการวิเคราะห์ข้อมูลไปใชไ้ ด้
3. นาความรูเ้ รอื่ งคา่ มาตรฐานไปใชใ้ นการเปรยี บเทียบขอ้ มลู ได้
4. หาพื้นทใี่ ต้เส้นโค้งปกติและนาความรู้เก่ยี วกับพ้ืนทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกตไิ ปใชไ้ ด้
5. เขา้ ใจความหมายของการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชันของขอ้ มลู ที่ประกอบด้วยสองตวั แปร
6. สร้างความสมั พันธ์เชิงฟงั กช์ ันของขอ้ มลู ท่ีประกอบด้วยสองตัวแปรทอ่ี ยู่ในรูปอนกุ รมเวลา โดยใช้
เครอ่ื งคานวณ
7. ใชค้ วามสมั พันธเ์ ชิงฟังก์ชันของขอ้ มูลพยากรณค์ ่าตวั แปรตามเมือ่ กาหนดตัวแปรอิสระให้

หนว่ ยการเรยี นรู้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 87

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 5 ภาคเรียนท่ี 1 รหสั วิชา ค33201
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ชัน้ เรยี น/ภาคเรยี น หน่วยการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรู้ จานวนช่ัวโมง
40
ม.6 1. การวเิ คราะหข์ ้อมูลเบือ้ งตน้
8
ภาคเรยี นที่ 1 1.1 การวดั ค่ากลางของขอ้ มูล 32
80
- คา่ เฉลย่ี เลขคณิต

- มธั ยฐาน

- ฐานนยิ ม

- ค่าเฉลีย่ เรขาคณิต

- คา่ เฉล่ียฮารโ์ มนิก

1.2 การวัดตาแหนง่ ทห่ี รือตาแหนง่ สัมพัทธ์ของขอ้ มูล

1.3 การวดั การกระจายของข้อมูล

- การวดั การกระจายสัมบูรณ์

- การวัดการกระจายสัมพัทธ์

- ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถ่ี ค่ากลาง และ

การกระจายของข้อมลู

2. การแจกแจงปกติ

2.1 คา่ มาตรฐาน

2.2 การแจกแจงปกติ และเสน้ โค้งปกติ

3 ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหว่างข้อมูล

3.1 การวเิ คราะหค์ วามสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างข้อมลู

3.2 แผนภาพการกระจาย

3.3 การประมาณคา่ ของค่าคงตัวโดยใชว้ ิธกี าลังสองนอ้ ยท่ีสุด

3.4 ความสมั พันธ์เชงิ ฟังก์ชันของขอ้ มลู ท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา

รวม

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 88

โครงสร้างรายวชิ า

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 5 ภาคเรยี นท่ี 1 รหัสวิชา ค33201
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 4 ชั่วโมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรยี น
2.0 หนว่ ยกิต

ลาดับ ช่อื ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรแู้ กนกลาง เวลา น้าหนัก
ท่ี หน่วยการเรยี นรู้ (ชว่ั โมง) คะแนน
การวัดคา่ กลางของข้อมลู ไดแ้ ก่
1 การวิเคราะหข์ ้อมูล 1. เลือกวธิ วี เิ คราะหข์ ้อมลู ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน 40 50
ฐานนยิ ม คา่ เฉลี่ยเรขาคณิต และ
เบื้องตน้ เบอื้ งตน้ และอธิบายผลการ ค่าเฉลี่ยฮารโ์ มนกิ การวดั ตาแหนง่ ท่ี 8 10
หรอื ตาแหนง่ สมั พัทธ์ของขอ้ มลู การ 40
วเิ คราะหข์ องข้อมลู ได้ วดั การกระจายของขอ้ มูล ได้แก่ การ
วดั การกระจายสมั บรู ณ์ การวัดการ 100
ถูกตอ้ ง กระจายสัมพัทธ์ ความสมั พนั ธ์
ระหวา่ งการแจกแจงความถ่ี ค่ากลาง
2. นาความรู้เร่อื งการ และการกระจายของขอ้ มลู
การแจกแจงปกติ ค่ามาตรฐาน การ
วิเคราะหข์ ้อมูลไปใชไ้ ด้ แจกแจงปกตแิ ละเส้นโคง้ ปกติ

2 การแจกแจงปกติ 3. นาความรู้เรื่องค่ามาตรฐาน ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ นั ระหวา่ ง 32
ไปใชใ้ นการเปรยี บเทียบ ข้อมูล การวเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธ์เชงิ
ข้อมูลได้ ฟังกช์ ันระหวา่ งข้อมูล แผนภาพการ
กระจาย การประมาณคา่ ของคา่ คงตวั
4. หาพ้นื ทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกติ โดยใช้วิธกี าลังสองน้อยท่สี ดุ
และนาความรู้เกยี่ วกับ ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั กช์ ันของขอ้ มลู ท่ี
พื้นทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตไิ ปใชไ้ ด้ อยู่ในรูปอนุกรมเวลา

3 ความสัมพันธเ์ ชงิ 5. เข้าใจความหมายของการ 80
ฟังกช์ นั ระหวา่ ง สรา้ งความสัมพันธเ์ ชงิ
ขอ้ มลู ฟงั กช์ นั ของขอ้ มูลที่
ประกอบด้วยสองตวั แปร
6. สรา้ งความสัมพนั ธเ์ ชงิ
ฟังก์ชันของข้อมลู ที่
ประกอบดว้ ยสองตวั แปรท่ี
อยใู่ นรปู อนุกรมเวลา โดย
ใชเ้ ครอ่ื งคานวณ
7. ใชค้ วามสมั พนั ธ์เชิง
ฟงั ก์ชันของข้อมลู
พยากรณ์ค่าตวั แปรตาม
เมอ่ื กาหนดตัวแปรอสิ ระให้
รวมตลอดภาคเรียน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 89

บทท่ี 1
การวเิ คราะหข์ อ้ มูลเบื้องตน้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 90

กจิ กรรม : มธั ยฐานหาอยา่ งไร
กรณแี จกแจงความถี่

คาชี้แจง 1. ตารางแสดงคะแนนจากการสอบย่อยวชิ าสถติ ขิ องนกั เรยี น 40 คน เป็นดงั น้ี

คะแนน ความถี่ (f)

38 - 40 2

35 - 37 5

32 - 34 10

29 - 31 12

26 - 28 6

23 - 25 4

20 - 22 1

รวม 40

คาถาม : ชวนคดิ จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ

วิธที า 1) หาตาแหน่งมธั ยฐาน

ตาแหนง่ มธั ยฐาน คือ ตาแหน่งท่ี N  .............................................

2

2) หาอันตรภาคชนั้ ที่มมี ัธยฐานอยู่

ถา้ นาคะแนนสอบมาเรยี งจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมาก คะแนนท่ีอยู่ในตาแหน่งท่ี 20 จะอยู่

ในอันตรภาคช้ัน 29 – 31 แสดงว่ามัธยฐานจะต้องอยู่ในอันตรภาคชั้น 29 – 31 (จากตารางแจกแจงความถี่ที่

กาหนดให้ ถ้าจะนาความถี่สะสมมาช่วยในการหาว่ามัธยฐานอยู่ในอันตรภาคช้ันใด ต้องเรียงคะแนนจากคะแนน

นอ้ ยไปหาคะแนนมากก่อนแล้วหาความถส่ี ะสม) ดังน้นั หาความถี่สะสมได้ดงั ตารางขา้ งลา่ งนี้

คะแนน ความถี่ (f) ความถี่สะสม (cf)

20 - 22 1

23 - 25 4

26 - 28 6

29 - 31 12

32 - 34 10

35 - 37 5

38 - 40 2

รวม 40

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 91

3) หามัธยฐานโดยใชส้ ูตร Med  N  fL 
 fM 
 L   2 I




จากขอ้ มูลในตาราง จะได้ L  28.5, fL  11, fM  12 และ I  3

แทนค่าในสตู ร..............................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

น่นั คอื มัธยฐานของคะแนนสอบย่อยวชิ าสถิติเท่ากบั .......................คะแนน

2. นา้ หนักของนักเรียน 40 คน เปน็ ไปตามตารางแจกแจงความถ่ีดงั นี้

นา้ หนกั (ปอนด)์ ความถ่ี

118 - 126 3

127 - 135 5

136 - 144 9

145 - 153 12

154 - 162 5

163 - 171 4

172 - 180 2

รวม 40

คาถาม : ชวนคิด จงหามัธยฐานของนา้ หนักของนักเรยี น

วธิ ที า 1) หาตาแหน่งมัธยฐาน

ตาแหน่งมธั ยฐาน คอื ตาแหน่งท่ี N  .............................................

2

2) หาอนั ตรภาคช้นั ทม่ี มี ัธยฐานอยู่

นา้ หนัก (ปอนด)์ ความถ่ี (f) ความถีส่ ะสม (cf)

118 - 126 3

127 - 135 5

136 - 144 9

145 - 153 12

154 - 162 5

163 - 171 4

172 - 180 2

รวม 40

3) หามธั ยฐานโดยใช้สตู ร Med LN  fL 
 fM 
  2 I




จากข้อมูลในตาราง จะได้ L =………………, ∑fL ………………, fM = ………………, และ I = ………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 92

แทนคา่ ในสตู ร
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
นน่ั คือ มธั ยฐานของน้าหนักของนกั เรียน เท่ากับ.......................คะแนน

แบบฝึกเสรมิ เพ่มิ ความเขา้ ใจ
มัธยฐาน

คาชแ้ี จง 1. จงหามธั ยฐานคะแนนสอบของนกั เรยี น 6 คน ซ่งึ ได้คะแนนดงั นี้ 84, 91, 72, 68, 87, 78

วิธีทา เรียงลาดับคะแนน จากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดงั นี้……………………………………………………………

ฉะน้ัน มัธยฐานอยู่ในตาแหนง่ ท่ี N+1 =…………………………………………………………………………………………
2
ดังน้ัน มัธยฐานของคะแนนสอบของนกั เรียนเท่ากบั ………………………………………………….คะแนน

2. ตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้ เป็นคะแนนสอบของนกั เรยี น 50 บาท จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ

คะแนน ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf)

30 - 39 4

40 - 49 6

50 - 59 8

60 - 69 12

70 - 79 9

80 - 89 7

90 - 99 4

รวม 50

วิธีทา จากข้อมูลหาความถี่สะสมไดด้ ังตาราง

จากสูตร Med  N  fL  มัธยฐานอยูใ่ นตาแหนง่ ที่ N =…………………
 fM  2
 L  2 I




อยใู่ นชว่ ง...............คะแนน เพราะฉะน้ัน L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 93

ดังน้นั …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

นนั่ คือ มัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรยี น 50 คนคอื ...........................................คะแนน
3. กาหนดให้ข้อมูลดงั ตอ่ ไปนี้เป็นอายุของต้นไมจ้ านวน 125 ตน้ ดังนี้

อายุ (ป)ี ความถ่ีสะสม
10 - 15 10
16 - 18 25
19 - 20 42
21 - 30 67
31 - 35 95
36 - 40 125

จงหามัธยฐานของอายุของต้นไม้ ความถ่ี ความถ่สี ะสม
วิธีทา จากขอ้ มูลหาความถ่ีได้ดังนี้ 10 10

อายุ (ป)ี
10 - 15

16 - 18 15 25
19 - 20 17 42

21 - 30 25 67
31 - 35 28 95

36 - 40 30 125
รวม 125

จากสตู ร Med  N  fL  มัธยฐานอยู่ในตาแหน่งท่ี N =…………………
 fM  2
 L   2 I




อยใู่ นชว่ ง...............คะแนน เพราะฉะน้ัน L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

น่นั คอื มัธยฐานของอายุของตน้ ไมค้ อื ………………………ปี

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 94

4. คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนวิชาแคลคูลัสของนักศึกษา 10 คน คือ 72 ถ้าคะแนนของนักศึกษา 8 คน

เป็นดังน้ี 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 ส่วนคะแนนของ 2 คนนั้นมีคะแนนต่างกัน 4 คะแนน จงหามัธย

ฐานของคะแนนของนกั ศกึ ษาท้ัง 10 คน

วิธีทา ให้ X แทนคะแนนสอบวชิ าแคลคูลัสและให้ x1 และ x2 เปน็ คะแนนของนักศกึ ษา 2 คนทีย่ งั ไมท่ ราบ
โดยท่ี x1  x2 จากทก่ี าหนดให้ N 10 และ X  72
ดังนนั้ X  ……………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….. (1)

เนอื่ งจาก x1  x2  4 (2)

นา (1)  (2) ; …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

ดงั นนั้ …………………………………………………………………………………………..

นาคะแนนสอบวชิ าแคลคลู ัสของนักศึกษา 10 คน มาเรียงจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมากได้ดงั นี้

......................................................................................................

ตาแหนง่ มธั ยฐานคือ ................................................................................................

น่ันคือ มธั ยฐานของคะแนนสอบเทา่ กบั .......................................คะแนน

5. ตารางแสดงรายจ่ายตอ่ วันของครอบครัวในตาบลแหง่ หน่งึ

จานวนเงิน (บาท) จานวนครอบครัว ความถสี่ ะสม

50 - 59.99 8 …………………………..

60 - 69.99 10 …………………………..

70 - 79.99 16 …………………………..

80 - 89.99 14 …………………………..

90 - 99.99 10 …………………………..

100 - 109.99 5 …………………………..

110 - 119.99 2 …………………………..

รวม 65

จงหามธั ยฐานของรายจ่ายต่อวนั ของครอบครัวในตาบลแห่งน้ี

วธิ ที า จากข้อมูลหาความถส่ี ะสมได้ดงั ตาราง

สตู ร Med  N  fL  มัธยฐานอยใู่ นตาแหนง่ ที่
 fM 
 L  2 I




N =……………………… อยใู่ นชว่ ง...........................บาท เพราะฉะนน้ั
2

L  ........, fL  ........., fM  ........ และ I  ......

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 95

ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

น่ันคอื มัธยฐานของรายจา่ ยตอ่ วันของครอบครวั ในตาบลแห่งหนึ่งเทา่ กบั ……………………………….บาท

6. กาหนดให้ข้อมูลชดุ หนง่ึ คอื 10, 3, x, 6, 6 ถา้ ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนี้มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แล้ว
x มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด
วิธที า ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมูลชดุ นี้มคี า่ เท่ากบั ……………………………………………………………………………………..

หามัธยฐาน โดยการเรยี งข้อมูลจากน้อยไปหามาก จะได้
x, 3, 6, 6, 10
3, x, 6, 6, 10
3, 6, x, 6, 10
3, 6, 6, x, 10
3, 6, 6, 10, x

ฉะนัน้ มธั ยฐานของข้อมลู ชุดน้มี คี า่ เท่ากับ………………………………………………..
เนอ่ื งจาก คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของข้อมลู ชดุ นี้มคี ่าเท่ากบั มัธยฐาน ดังนัน้

................................................................................
...............................................................................
นั่นคอื ...............................................................................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 96

กจิ กรรม : ฐานนยิ มหาอย่างไร
กรณแี จกแจงความถ่ี

คาช้ีแจง 1. ข้อมูลอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟ้าทีม่ ีการแจกแจงความถี่ดังน้ี

อายุ (ช่ังโมง) ความถ่ี (f)

118 - 122 2

123 - 127 8

128 - 132 15

133 - 137 11

138 - 142 3

143 - 147 1

รวม 40

คาถาม : ชวนคดิ จงหาฐานนยิ มของอายุการใช้งานของหลอดไฟฟา้

วธิ ที า 1) เนอื่ งจากความกว้างแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันมีคา่ เทา่ กนั

ดังนน้ั ฐานนิยมจะอยใู่ นอันตรภาคชั้นท่มี คี วามถี่สูงสุด น่ันคอื อนั ตรภาคช้นั .........................

2) จากตารางแจกแจงความถี่ จะพบวา่ อนั ตรภาคชน้ั .........................มีความถี่สงู สุดเท่ากบั .................

ดงั นน้ั ถ้าหาฐานนิยมอย่างคร่าว ๆ จะไดเ้ ทา่ กบั 128 132  …1…30…………………..

2

3) หาฐานนยิ มอย่างละเอียด โดยใช้สตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบวา่

d1 เป็นผลต่างระหวา่ งความถข่ี องอนั ตรภาคชนั้ 123 - 127 กบั 128 - 132 คอื ..................
d2 เป็นผลตา่ งระหว่างความถ่ีของอนั ตรภาคชั้น 128 - 132 กบั 133 - 137 คือ ..................
L ขอบลา่ งของอันตรภาคช้ัน 128 - 132 เท่ากับ .............................................
I ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั 128 - 132 เทา่ กบั .............................................
ดงั นนั้ Mod  ……………………………

 ……………………………

 ……………………………

นั่นคอื ฐานนิยมของอายุการใชง้ านของหลอดไฟฟา้ เท่ากบั ……………………………ชั่วโมง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา