เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 147

………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
4. ข้อมูลชุดหน่ึงมีผลรวมของค่าทุกค่าในข้อมูล เท่ากับ 120 และผลรวมของกาลังสองของค่ามาตรฐานทุกค่าใน
ขอ้ มูลเท่ากับ 5 จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูลชุดน้ี
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
5. ถ้าคา่ เฉลย่ี เลขคณติ และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่งซ่ึงมี 30 จานวนเท่ากับ 12 และ 2 ตามลาดับ
เม่อื หาผลรวมของค่ามาตรฐานของขอ้ มลู 29 จานวนจะได้ 1 จงหาขอ้ มูลที่ 30
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 148

6. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนช้ัน ม.5 ของโรงเรียนแห่งหน่ึงในจังหวัดยะลา พบว่า นายพิศาลและ
วัชรินทร์เข้าสอบในครั้งนี้ด้วยและสอบได้คะแนน 88 และ 64 ตามลาดับ และ คิดเป็นค่ามาตรฐาน 0.8 และ -
0.4 ตามลาดบั จงหาคะแนนเฉล่ยี และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานในการสอบครง้ั น้ี
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

7. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ครั้งหน่ึง ปรากฏว่ามีคะแนนเฉล่ียเท่ากับ 45 คะแนน มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20
คะแนน ถ้านายนนท์ นายพร และนายกร เข้าสอบคร้ังนี้ด้วยและคะแนนสอบของนายนนท์เป็น 2 เท่าของ
คะแนนสอบของนายพร ถ้าคะแนนสอบของนายกรเท่ากับ 40 คะแนน และคะแนนมาตรฐานของนายกรเป็น
คร่ึงหนึ่งของคะแนนมาตรฐานของนายพร จงหาค่ามาตรฐานของนายนนท์
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 149

กจิ กรรม : การแจกแจงปกติและเสน้ โค้งปกติ
ตอนท่ี 1

มมุ ความรู้ เสน้ โคง้ ความถ่ที ่ีมีลักษณะเปน็ รูประฆงั ซง่ึ เรียกว่า................................(Normal curve) การ
แจกแจงความถ่ีของข้อมูลซ่ึงเส้นโค้งท่ีได้ท่ีมีลักษณะเป็นรูประฆัง เรียกว่า..................................
(Normal distribution)

รปู ที่ 1 รปู ท่ี 2

จากรูปที่ 1 จะพบว่า ลักษณะของเส้นโค้งปกติเป็นรูประฆัง ซ่ึงเป็นสมมาตรโดยมีเส้นเป็นแกนสมมาตร จึง
เรยี กว่า การแจกแจงปกติ เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งมากหรือน้อยข้ึนอยู่กับ.............................................................ถ้า
ขอ้ มูลมี................................เส้นโค้งปกติจะมีความโด่ง.........หรือค่อนข้าง......... แต่ถ้าข้อมูลมี................................เส้น
โคง้ ปกติจะมีความโด่ง.........หรือค่อนข้าง......... ดังรปู ที่ 2

ลักษณะเส้นโค้งปกติของขอ้ มูลสองชุด
1. ลักษณะเส้นโคง้ ปกติของข้อมูลสองชุดท่ีมคี ่าเฉลี่ยเลขคณิต........... แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน........... จะมี
ลกั ษณะเหมอื นกันแต่ตงั้ อยู่บนตาแหน่งท่ีต่างกัน ดงั รปู

2. ลกั ษณะเสน้ โค้งปกตขิ องขอ้ มูลสองชุดทมี่ ีค่าเฉล่ียเลขคณิต........... แต่ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน........... จะมี
จุดทีแ่ สดงคา่ เฉลย่ี เลขคณิตอยทู่ ่ตี าแหนง่ เดยี วกันบนแกนนอน แต่เส้นโค้งที่มีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานมากกวา่ จะเต้ยี กวา่

3. ลักษณะเส้นโค้งปกติของสองข้อมูลท่ีมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต...........และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน........... มี
ลักษณะ ดังรปู

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 150

มุมความรู้ สมบัตขิ องเสน้ โคง้ ปกติ
1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนยิ ม จะมีคา่ ........... และจะอยู่ ณ จุดทเี่ สน้ ตรงที่ลากผ่าน

จุดโด่งสดุ ของเสน้ โค้งนัน้ ต้ังฉากกับแกนนอน
2. เส้นโค้งจะมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนท่ีลากผ่านค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น.............................และ

แกนสมมาตรจะแบง่ พ้นื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกตอิ อกเป็น 2 สว่ นเทา่ ๆ กัน
3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกน........... เม่ือต่อปลายเส้นโค้งท้ังสองข้างให้ห่างจากค่าเฉล่ียเลขคณิต

ออกไป แต่จะไมต่ ดั แกนนอน
4. พ้ืนทใ่ี ต้โคง้ ปกติแทนจานวนความหนาแนน่ ของขอ้ มูล มคี า่ เทา่ กบั ...........เสมอ
5. พืน้ ทที่ อ่ี ยเู่ หนอื คา่ ใดค่าหนึง่ ของ X จะเป็น...........เสมอ จะไดว้ ่าพ้ืนที่ใต้โค้งปกติซ่ึงอยู่ระหว่างค่า

ของ X ในชว่ งปดิ [x1, x2] จะ...........พืน้ ทใ่ี ต้โค้งปกติซง่ึ อย่รู ะหว่างคา่ ของ X ในชว่ งเปดิ (x1, x2)

พืน้ ท่ใี ต้โค้งปกติซึ่งอยู่ระหวา่ งคา่ ของ X ในชว่ งปิด [x1, x2] พื้นที่ใตโ้ ค้งปกติซึง่ อยู่ระหวา่ งค่าของ X ในช่วงเปดิ (x1, x2)

พน้ื ท่ีใตโ้ คง้ ปกติ

พนื้ ท่ีใตโ้ ค้งปกติระหว่างคา่ จากการสังเกต x1 และ x2 จะเท่ากบั พ้ืนท่ีใต้โค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z1 และ z2 เม่ือ

z1  x1  X และ z2  x2  X
S.D. S.D.

เส้นโค้งปกติซ่ึงได้จากชุดข้อมูลท่ีมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น 0 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 1 เรียกว่า เส้นโค้งปกติ
มาตรฐาน (Standard normal curve) ในการหาพน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐานระหวา่ งคา่ มาตรฐาน z = 0 ถึง z ใด ๆ เราจะ
ใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ซ่ึงแสดงพ้ืนที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่ามาตรฐาน z = 0 และ z = 0.01, 0.02, ...,
3.88, 3.89 เชน่

1) พนื้ ท่ใี ต้โค้งปกตริ ะหวา่ งค่ามาตรฐาน z = 0 และ z = 1.00 ท่ีอา่ นไดจ้ ากตารางเท่ากับ.............................ดงั รปู

2) พน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกตริ ะหว่างค่ามาตรฐาน z = -1 และ z = 0 ทีอ่ ่านได้จากตารางเท่ากับ...........................ดงั รปู

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 151
มมุ : ชวนรู้

ในตารางพื้นทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติมาตรฐานไม่มีคา่ z ท่ีเปน็ จานวนลบ แต่สามารถหาพนื้ ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติมาตรฐาน
ระหว่าง z ท่ีเป็นจานวนลบและ z = 0 ได้ เน่ืองจากเส้นโค้งมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่ามาตรฐาน 0
เป็นแกนสมมาตรของเส้นโค้งปกติ ดังน้ันพื้นท่ีใต้โค้งปกติระหว่าง z = -1 และ z = 0 จึงเท่ากับพ้ืนท่ีใต้โค้งปกติ
ระหวา่ ง z = 0 และ z = 1

เนื่องจากพื้นท่ีใต้โค้งปกติมาตรฐานเท่ากับ 1 ดังนั้นพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งทางขวามือของค่ามาตรฐาน z = 0 และ
พน้ื ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติทางซา้ ยมือของคา่ มาตรฐาน z = 0 เท่ากันคือ 0.5 อาศัยความรู้ดังกล่าวจะหาพ้ืนท่ีใต้เส้นโค้งปกติ
ทางขวามือหรอื ซ้ายมอื ของค่ามาตรฐาน z ใด ๆ และพน้ื ทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่างค่ามาตรฐาน z สองคา่ ใด ๆ

แบบฝกึ เสริมเพม่ิ ความเขา้ ใจ
1. ใหน้ ักเรยี นเติมคาตอบทถี่ ูกตอ้ งลงในช่องวา่ งในตารางต่อไปนี้ ใหส้ มบูรณ์คาชีแ้ จง โดยใช้ตารางแสดงพ้นื ท่ใี ต้เสน้ โคง้

ปกตใิ นหนังสือเรยี น หนา้ 138 – 139

1) พ้ืนทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = 0 และ z = 1.35 เทา่ กบั …………..………………..………………………

2) พ้นื ที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติระหว่าง z = 0 และ z = -1.45 เทา่ กบั …………..………………..………………………

3) พื้นทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติระหว่าง z = 0 และ z = 2.45 เท่ากับ …………..………………..………………………

4) พน้ื ที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติระหว่าง z = 0.65 และ z = 1.25 เท่ากบั …………..………………..………………………

5) พนื้ ท่ใี ตเ้ ส้นโค้งปกตริ ะหว่าง z = -1.25 และ z = 1.39 เทา่ กบั …………..………………..………………………

6) พน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติระหว่าง z = -1.65 และ z = 2.15 เทา่ กบั …………..………………..………………………

7) พื้นทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกตทิ างซ้ายมอื ของ z = 1.25 เท่ากบั …………..………………..………………………

8) พ้นื ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกตทิ างซ้ายมอื ของ z = -2.45 เทา่ กบั …………..………………..………………………

9) พนื้ ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกติทางขวามอื ของ z = -1.75 เทา่ กบั …………..………………..………………………
10) พืน้ ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติทางขวามือของ z = 2.65 เทา่ กบั …………..………………..………………………

2. จงหาพ้ืนท่ใี ต้โคง้ ปกตใิ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ โดยใช้ตารางแสดงพืน้ ท่ีใต้โค้งปกติ

จากตาราง พ้นื ทีใ่ ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = 1.29 เทา่ กับ..................
ดงั น้นั 0 < z < 1.29 พ้นื ทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เท่ากับ..................

จากตาราง พ้นื ที่ใต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = -1.29 ถึง z = 0 เท่ากับ..................
ดงั น้นั -1.29 < z < 0 พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกติ เท่ากับ..................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 152

จากตาราง พื้นทใ่ี ตโ้ คง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = 2.5 เท่ากับ....................
พ้ืนท่ใี ตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = -1.5 ถึง z = 0 เทา่ กับ...................

ดังนั้น -1.5 < z < 2.5 พืน้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ เทา่ กับ.....................................

จากตาราง พื้นทใ่ี ตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.7 เทา่ กับ...................
พ้ืนทใี่ ต้โคง้ ปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = 2.2 เท่ากับ....................

ดงั นนั้ 1.7 < z < 2.2 พ้ืนท่ีใต้เสน้ โค้งปกติ เทา่ กับ.....................................

จากตาราง พ้ืนท่ใี ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถึง z = -1.2 เทา่ กบั ...................
พน้ื ทีใ่ ตโ้ ค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = -1.5 เท่ากับ...................

ดงั น้นั -1.5 < z < -1.2 พืน้ ที่ใต้เส้นโค้งปกติ เท่ากบั ...................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 153

3. ถ้าขอ้ มลู ชดุ หนึง่ มีการแจกแจงปกติโดยมีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเป็น 400 หน่วยและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 100

หน่วย อยากทราบวา่ มีกเ่ี ปอรเ์ ซ็นของขอ้ มูลซง่ึ มีค่า

1) มากกวา่ 538 2) มากกว่า 179 3) นอ้ ยกว่า 356 4) นอ้ ยกวา่ 621

5) ระหว่าง 318 และ 671 6) ระหว่าง 484 และ 565 7) ระหว่าง 249 และ 297

วธิ ีทา 1) แปลงคะแนน 538 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พน้ื ทีใ่ ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = ............. เทา่ กบั ……………………………
ดังน้นั เมอื่ z > .............. พน้ื ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกติ เท่ากบั .........................................................
นั่นคือ มขี ้อมลู ............................ของข้อมูลทั้งหมด มีค่ามากกว่า 538

2) แปลงคะแนน 179 เป็นค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พน้ื ทใ่ี ตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = ............. ถึง z = 0 เท่ากบั ……………………………
ดังนั้น เมือ่ z > .............. พืน้ ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติ เทา่ กบั .........................................................
น่นั คอื มขี ้อมลู ............................ของข้อมลู ท้ังหมด มีคา่ มากกว่า 179

3) แปลงคะแนน 356 เปน็ คา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ . .........................................................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 154

จากตาราง พืน้ ทใี่ ตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = ............. ถงึ z = 0 เท่ากับ……………………………
ดังนั้น เมอื่ z > .............. พน้ื ท่ีใต้เส้นโค้งปกติ เทา่ กบั .........................................................
น่ันคือ มขี ้อมลู ............................ของข้อมูลทง้ั หมด มีคา่ มากกวา่ 356

4) แปลงคะแนน 621 เปน็ ค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .........................................................................

จากตาราง พื้นทใ่ี ต้โค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = ............. เทา่ กบั ……………………………
ดังนน้ั เม่อื z < .............. พ้นื ทีใ่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ เทา่ กบั .........................................................
นั่นคอื มขี อ้ มลู ............................ของขอ้ มูลท้งั หมด มคี ่ามากกว่า 621

5) แปลงคะแนน 318 และ 671 เป็นคา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

จากตาราง พน้ื ทใี่ ตโ้ คง้ ปกติ ระหวา่ ง z = ............. ถึง z = 0 เท่ากบั ……………………………
และพืน้ ทใี่ ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถึง z = ............. เท่ากับ……………………………

ดังนั้น .............< z < .............พน้ื ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกติ เทา่ กับ .........................................................
นนั่ คอื มขี ้อมลู ............................ของขอ้ มลู ทั้งหมด ซง่ึ มีค่าระหวา่ ง 318 และ 671

6) แปลงคะแนน 484 และ 565 เปน็ คา่ มาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

จากตาราง พ้นื ท่ใี ต้โค้งปกติ ระหวา่ ง z = 0 ถงึ z = ............. เท่ากบั ……………………………
และพืน้ ที่ใตโ้ ค้งปกติ ระหว่าง z = 0 ถงึ z = ............. เทา่ กบั ……………………………

ดังน้ัน .............< z < .............พ้ืนทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติ เทา่ กับ .........................................................
นั่นคอื มขี อ้ มลู ............................ของขอ้ มูลทง้ั หมด ซ่งึ มีคา่ ระหวา่ ง 484 และ 565

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 155

7) แปลงคะแนน 249 และ 297 เปน็ ค่ามาตรฐาน จาก z  xX
S.D.

จะได้ .....................................................................

.....................................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จงหาคา่ มาตรฐานท่ที าใหพ้ น้ื ท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกตทิ างขวามือของ z มคี า่ เทา่ กบั 0.9641

วิธีทา พนื้ ทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกตมิ ากกวา่ 0.5 แสดงว่า z เปน็ จานวนลบ ดังรปู

พน้ื ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติ เท่ากบั 0.9641 = ……………………………

จากตารางพืน้ ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติ

พบวา่ z = ...........ตรงกบั พน้ื ที่ ..........................

0.9641 = ………………. ดังนัน้ z = ...........ทาให้พ้ืนทใี่ ต้เสน้ โค้งปกตทิ างขวามือของ z

มคี ่าเทา่ กับ.......................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 156

กิจกรรม : การแจกแจงปกติและเสน้ โค้งปกติ
ตอนที่ 2

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นายขยันสอบได้ 54.4 คะแนน โดยที่ผลการสอบครั้งนี้มีค่าเฉล่ียเลขคณิตและ
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 45 และ 5 คะแนน ตามลาดับ ถ้าคะแนนการสอบมีลักษณะ
การแจกแจงแบบปกติ จงหา นาย ก. สอบได้เปอรเ์ ซน็ ไทล์ทเ่ี ทา่ ใด
วิธีทา ให.้ ...................แทนคะแนนท่นี ายขยนั สอบได้
จากโจทย์ จะได้.....................................................................................................................
เนื่องจากข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ดังนน้ั เราจะเปลีย่ นค่า........ใหเ้ ปน็ คา่ มาตรฐาน z โดยใชส้ ตู ร
จากสตู ร z = ………………………………… จะได้ z = ……………………………………………………..
นาค่า z = ………… ไปหาพน้ื ทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติจากตาราง จะได้พน้ื ท่ีเทา่ กบั ........................

จากรูป จะพบว่าพื้นที่ใตเ้ ส้นปกตซิ ึ่ง z < ……………..เทา่ กับ..........................................................
แสดงว่า มีจานวนขอ้ มลู อยปู่ ระมาณ..................% ท่มี ีคะแนนนอ้ ยกว่า 54.4 คะแนน
หรือ มีค่ามาตรฐานนอ้ ยกว่า.................. นั่นคือ ถ้ามีผู้เข้าสอบ 100 คน จะมีคนท่ีได้คะแนนน้อย
กว่าคะแนนของ นาย ก. อยู่……….ส่วนจาก 100 คน
ดังนั้น นายขยนั สอบได้เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี.................
2. ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนเข้าสอบ 150 คน ปรากฏว่า คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ และการ
ตัดสินผลการสอบจะตัดสินจากค่ามาตรฐาน ถา้ นกั เรียนคนใดสอบได้คา่ มาตรฐานต่ากว่า -2 ถือว่าสอบตก จาหา
ว่าในการสอบครั้งนม้ี ีผู้สอบไดท้ ้ังหมดกี่คน
วธิ ีทา เนื่องจากนักเรยี นทีส่ อบได้ จะตอ้ งได้คา่ มาตรฐานมากกว่า...............
ฉะนัน้ พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถงึ z = ………. เทา่ กับ .....................

ดังนั้น พื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกตทิ ่นี กั เรยี นสอบได้ เท่ากบั ………………………………………………………………
ฉะนนั้ จานวนนักเรยี นทสี่ อบได้ เท่ากบั ………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..
ดงั นัน้ ในการสอบครั้งน้ี มผี ู้สอบไดป้ ระมาณ.......................คน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 157

3. กาหนดตารางพน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติ ดังน้ี
z 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
พน้ื ที่ 0.33849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452

ในการสอบคร้ังนี้ ถ้าคะแนนสอบแจกแจงปกติมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 15 คะแนน และผู้ที่ได้คะแนนมากกว่า 18
คะแนน มี 6.68 % จงหาความแปรปรวนของการสอบคร้งั น้ี
วธิ ีทา เนื่องจากมผี ูท้ ่ไี ดค้ ะแนนมากกว่า 18 คะแนน มี 6.68 % = ……………………….

จากรูป จะได.้ .................................................................................................................

จากสูตร z = …………………………………

แทนค่าจะได้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดงั นนั้ ในการสอบครัง้ นีม้ ีความแปรปรวนเท่ากับ…………………

4. ค่าจ้างรายวันของบริษัทแห่งหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 70 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 บาท

และมีการแจกแจงปกติ นายวิมลได้รับค่าจ้างตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จงหาว่านายวิมลได้รับค่าจ้างวันละ

เทา่ ไร

วิธีทา เน่ืองจากนายวิมลไดร้ ับค่าจ้างตรงกับเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 80

หมายความวา่ ……………………………………………………………………………………………………………………

จากรูป P80 อยู่ทางขวามอื ของ...........ดงั น้นั พ้นื ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกตริ ะหว่าง.........ถงึ P80 เทา่ กบั .......
จากตาราง พื้นท่ใี ต้เส้นโคง้ ปกติ..............อยู่ระหวา่ ง z = ……….. และ z = ………..

พืน้ ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = ……….. ถึง z = ……….. เทา่ กับ ...................
พน้ื ท่ีใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = ……….. ถึง z = ……….. เท่ากบั ...................
ฉะนัน้ พน้ื ท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติต่างกัน..................................................คา่ มาตรฐานต่างกนั ...........
พนื้ ท่ีใต้เส้นโค้งปกตติ า่ งกัน.................................................ค่ามาตรฐานต่างกัน

………………………………………….
ดังน้นั คา่ มาตรฐานท่ีตรงกับ P80 เท่ากับ............................................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 158

จากสูตร z = …………………………………

แทนค่าจะได้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดงั นน้ั นายวมิ ลไดร้ บั ค่าจา้ งวนั ละ……………………..บาท

5. นักเรียนห้องหน่ึงมีความสูงเฉล่ียเท่ากับ 160 เซนติเมตร และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 15 จงหาว่ามี
นักเรียนที่สูงระหว่าง 145 และ 175 เซนตเิ มตร คดิ เปน็ ก่ีเปอร์เซน็ ต์ของนกั เรยี นท้ังห้อง
วธิ ที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

6. ในการผลติ แผน่ พลาสตกิ ของบรษิ ทั แห่งหน่ึงปรากฏว่าความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติ โดย
มีความหนาเฉลย่ี 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 (เซนติเมตร)2 จงหาว่าแผ่นพลาสติกท่ี
ได้มีความหนาอยูร่ ะหวา่ ง 0.0595 เซนตเิ มตร และ 0.0659 เซนติเมตร มกี เี่ ปอร์เซ็นต์
วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 159

7. ในการคดั เลอื กนกั เรียนเพ่อื เขา้ ศึกษาหลักสตู รนกั เรยี นเตรียมทหาร มีผู้สมัคร 5,000 คน โดยถือเอาน้าหนักเป็น
เกณฑ์ ปรากฏว่าน้าหนักของนักเรียนแจกแจงเป็นโค้งปกติ การคัดเลือกถือว่านักเรียนที่มีน้าหนักคิดเป็นค่า
มาตรฐานต่ากว่า -1.0 ต้องถูกคัดออก จงหาจานวนนักเรียนท่ีได้รับคัดเลือกเข้าศึกษาหลักสูตรนักเรียนเตรียม
ทหาร
วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

8. คะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยใช้เกณฑ์ตัดสินผลการสอบว่า ถ้านักเรียนได้
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาน้ีมากกว่า -1.96 จะถือว่าสอบได้ ทั้งนี้พ้ืนท่ีใต้โค้งปกติมาตรฐานน้อยกว่า -
1.96 เท่ากบั 0.025 ถา้ มนี กั เรียนเข้าสอบวชิ าน้ี 120 คน จะมนี กั เรียนสอบไดท้ ง้ั หมดกี่คน
วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

9. ในการทดสอบความคงทนของยางล้อรถยนต์ ปรากฏว่าการทดสอบเมื่อแจกแจงแล้วเป็นเส้นโค้งปกติ ถ้า
กาหนดใหค้ ่ามาตรฐานตงั้ แต่ 1.3 ขึ้นไปเป็นยางรถยนต์ที่อยู่ในสภาพดี อยากทราบว่าในการทดสอบคร้ังน้ีมียาง
ลอ้ รถยนตท์ ี่อย่ใู นสภาพดีกีเ่ ปอร์เซ็นต์
วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

10. บริษทั ผลิตอปุ กรณ์กีฬาแหง่ หนึง่ มีการจัดคุณภาพของสินค้าคือ ยังต้องปรับปรุง สินค้าคุณภาพต่า และสินค้ามี
มาตรฐาน ถา้ สนิ ค้าคุณภาพต่า มีคา่ มาตรฐานอยรู่ ะหวา่ ง -1.5 และ 0.34 จงหา
1) สนิ คา้ ท่ยี ังตอ้ งปรบั ปรงุ คดิ เป็นก่เี ปอรเ์ ซน็ ต์ของสนิ คา้ ทัง้ หมด
วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
2) สินคา้ ท่มี คี ุณภาพต่า คดิ เป็นกีเ่ ปอร์เซ็นต์ของสินคา้ ท้งั หมด
วิธที า …………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 160

บทท่ี 3
ความสัมพันธเ์ ชิงฟังก์ชันระหวา่ งข้อมูล

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 161

กจิ กรรม : การวิเคราะห์ความสัมพนั ธ์
เชิงฟงั ก์ชันระหว่างขอ้ มลู

มมุ ความรู้ การวเิ คราะห์ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชนั ระหวา่ งข้อมลู เป็นการศึกษา………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………..เชน่

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การศึกษาความสัมพันธ์ของตัวแปรที่มีความเก่ียวข้องกันตัวแปรที่ต้องการศึกษา

เรียกว่า ……………………………………… (Independent variables) ตัวแปรที่ต้องการประมาณค่า

แตต่ ้องอาศัยตวั แปรอสิ ระ เรียกว่า ……………………………………… (Dependent variables)

การศึกษาความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหว่างขอ้ มูลของสองตัวแปรใด ๆ น้นั เพ่ือ………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตัวอยา่ งเสริมเพม่ิ ความเข้าใจ

สมมติว่า ข้อมูลต่อไปนแ้ี สดงคะแนนวิชาคณติ ศาสตร์ และวชิ าวิทยาศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

จานวน 10 คน ดงั น้ี

นกั เรียนคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนวชิ าคณติ ศาสตร์ 18 12 25 21 16 15 27 17 20 16

คะแนนวชิ าวทิ ยาศาสตร์ 19 12 24 20 15 16 28 14 20 20

ถ้าให้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์เป็น………………………………แทนด้วย………และคะแนนวิชาวิทยาศาสตร์

เป็น………………………………แทนด้วย………เมื่อใช้คู่อันดับ………………โดย………เป็นคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ และ………

เปน็ คะแนนวิชาวิทยาศาสตรข์ องนกั เรยี นแต่ละคน ซง่ึ คือค่อู ันดบั ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………….…………..เปน็ พกิ ัดของจุด จะได้จุดดงั รปู ต่อไปน้ี

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 162

จะเหน็ ว่าการกระจายของจดุ …………..ซ่ึงใชแ้ สดงค่าต่าง ๆ ของตวั แปรท้ังสองอยู่ในลักษณะที่พอจะประมาณ
หรือแทนด้วย………………………………ได้ และสามารถสร้าง…………………………………………………………………………………
จุดประสงค์สาคัญของการสรา้ งความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชันระหว่างข้อมูลสองชุด เพ่อื ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เช่น
ถ้าทราบคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ (x) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 คนหนึ่ง ก็สามารถพยากรณ์คะแนนวิชา
วทิ ยาศาสตร์ (y) ของนักเรยี นคนน้นั ได้ โดยแทน x ลงในสมการเพือ่ คานวณหา y น่ันเอง

ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล ข้อมูลท่ีจะนามาสร้างความสัมพันธ์จะต้อง
ประกอบดว้ ยคา่ จากการสังเกตเป็นจานวนมากพอสมควร ถ้าค่าจากการสงั เกตมจี านวนนอ้ ยแลว้ ………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โดยทั่ว ๆ ไป ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลท่ีประกอบด้วยตัวแปรสองตัวแปร อาจแบ่งออกเป็น.....
ชนิดดังน้ี

1. ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังกช์ ันที่กราฟเปน็ ……………………… มีสมการท่วั ไปของความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั เป็น

เมื่อ ……… เปน็ ตวั แปรตาม และ ……… เปน็ ตวั แปรอิสระ
……… และ ……… เป็นคา่ คงตัวทต่ี อ้ งการหา ซ่งึ
……… เปน็ ระยะตัดแกน Y
……… เป็นความชันของเส้นตรง

เมือ่ ทราบค่า a และ b กราฟของความสมั พันธเ์ ชงิ เสน้ ตรงบางกรณีจะมลี กั ษณะตามรูปข้างล่าง

2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็น
พาราโบลา และความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ซ่ึงสมการของความสัมพันธ์ท่ีมีกราฟเป็นพาราโบลา
เป็นดังน้ี

เมื่อ ……… เป็นตัวแปรตาม และ ……… เป็นตวั แปรอิสระ
……… และ ……… เป็นคา่ คงตัวท่ตี อ้ งการหา

เม่อื ทราบคา่ a, b และ c กราฟของความสัมพนั ธ์เชงิ พาราโบลาบางกรณีจะมีลักษณะตามรปู ขา้ งลา่ ง

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 163

สมการของความสมั พันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นดังนี้

เม่ือ ……… เป็นตวั แปรตาม และ ……… เป็นตวั แปรอสิ ระ
……… และ ……… เป็นคา่ คงตัวท่ตี อ้ งการหา

เมื่อทราบค่า a, b และ c กราฟของความสัมพันธ์ในรูปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบางกรณีจะมีลักษณะตามรูป
ขา้ งลา่ ง

แบบฝึกเสรมิ เพ่ิมความเข้าใจ
ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ข้อใดเปน็ จริง () และขอ้ ใดเปน็ เทจ็ ()ถา้ เป็นเทจ็ เพราะเหตใุ ด อธิบาย
.................. 1. ถ้าขอ้ มูลประกอบดว้ ยตวั แปรสองตวั แล้ว ตวั แปรทง้ั สองนน้ั จะตอ้ งมคี วามสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันเสมอ

(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)
.................. 2. ในการสรา้ งความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังกช์ ันของขอ้ มลู ทีป่ ระกอบดว้ ยตัวแปร 2 ตัว ถา้ ตัวแปรใดตวั หน่ึงเป็น

ตัวแปรเชิงคุณภาพแลว้ จะไมส่ ามารถสรา้ งความสัมพันธ์ ระหว่างตัวแปรท้ังสองได้
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)
.................. 3. ในการสร้างความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ของขอ้ มลู ไมว่ ่าข้อมูลจะมีจานวนน้อยเพยี งใดก็สามารถสร้าง
ความสมั พันธ์ได้เสมอ
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)
.................. 4. สมการของความสัมพันธท์ ่ีสร้างขึน้ ทสี่ ามารถใช้แทนความสัมพนั ธ์ทเ่ี กิดขึ้นจรงิ ไดด้ ีแล้ว ผลรวมของ
ความแตกตา่ งระหวา่ งค่าที่ได้จากความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันที่สร้างข้นึ กับค่าทเ่ี กิดขน้ึ จริง ๆ ทุกค่า
ควรจะนอ้ ยท่ีสุด
(เพราะ……………………………………………………………………………………………………………………………………)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 164

มมุ ความรู้ รูปแบบความสัมพันธ์ท่ีพิจารณาได้จากกราฟท่ีสร้างจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดหรือจาก

ขอ้ มลู ตัวอย่างทเ่ี ลอื กมาเปน็ ตัวแทนของ เรียกว่า ………………………………………………….………. ซึ่ง

แผนภาพการกระจายจะแสดงแนวโน้ม (trend) ของความสมั พันธ์เชงิ ฟังก์ชนั ระหว่าง

………………………………………และ………………………………………ดังน้ี

1. แบบ…………………………ซง่ึ พจิ ารณาได้ 2 กรณี คือ

1.1 กรณที แ่ี นวโน้ม……………… (positive trend) หมายความว่า……………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.2 กรณที แ่ี นวโน้ม……………… (negative trend) หมายความวา่ …………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. แบบ………………………… ซึง่ พจิ ารณาเป็น 2 กรณี เชน่ เดยี วกับแบบเส้นตรง

แบบฝกึ เสริมเพิม่ ความเขา้ ใจ

1. จากแผนภาพการกระจายต่อไปนี้ ใหน้ ักเรียนบอกแนวโน้มของกราฟวา่ เป็นกราฟชนดิ ใดและมลี ักษณะอยา่ งไร

Y
X

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 165
YY X
X

2. ถ้ารายรับและรายจ่ายของเด็กกลมุ่ หน่งึ มจี านวน 10 คน เป็นดังนี้
รายรับ (บาท) 12 15 16 17 18 20 21 24 25 26
รายจ่าย (บาท) 10 16 15 18 19 20 20 22 19 28

ถ้าให้ รายรับเป็นตัวแปรอิสระ แทนตัวแปร X และรายจ่ายเป็นตัวแปรตาม แทนตัวแปร Y จงเขียนแผนภาพ
การกระจาย แล้วพิจารณาวา่ ความสมั พนั ธ์ของรายรับกับรายจ่ายของเด็กกลมุ่ นี้มีกราฟเป็นรูปอะไร

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
3. ทขา้องมวูลทิ ขย้าุในงล1่างเนดี้เือปน็นกแลาระโฆYษเปณ็นายสอินดคข้าาทย่ีมสีผินลคต้า่อขยอองดเดขอื านยนส้นัินคห้านนว่้ันยเใปห็น้ Xห………ม………เน่ื ป………บ็น………าจท………า.……น..ว……น……ค……รั้……งข……อ……งก……า……ร……โฆษณาสินค้า
X 23456789
Y 18 15 11 12 14 16 25 30
จงเขียนแผนภาพการกระจาย แล้วพจิ ารณาดคู วามสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันเป็นแบบใด

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรง…เร…ยี …น…ค…ณ.ะ..ราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 166

4. ข้อมูลข้างล่างน้ีเปน็ กาไรสุทธใิ นเดอื นแรกของบรษิ ัทรม่ เยน็ จากดั
เดอื นที่ 1 2 3 4 5 6 7 8

กาไรสุทธิ (หมน่ื บาท) 12 14 24 38 53 68 88 121
จงเขยี นแผนภาพการกระจาย แลว้ พิจารณาดคู วามสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั เป็นแบบใด

………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……...………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
……………...

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 167

กจิ กรรม : การประมาณค่าของคา่ คงตวั
โดยใช้วธิ กี าลังสองนอ้ ยสุด
ตอนท่ี 1

มมุ ความรู้ จากการสร้างแผนภาพการกระจายของค่า Xi และ Yi เม่ือเราลากเส้นข้ึนเป็นตัวแทน
ของกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ซ่ึงลากเส้นได้มากกว่า 1 เส้น จึงเกิดปัญหาเส้นใดเป็นเส้นที่
น่าเช่ือถือได้ เป็นตัวแทนท่ีดีที่สุด ปัญหานี้แก้ได้โดย………………………………………

(Method of least squares)จากรูป เป็นจุดการกระจายของข้อมูล (X1, Y1), (X2,

Y2), (X3, Y3), …, (XN, YN) และเมอ่ื เราลากเสน้ L เป็นตัวแทนของกลุ่มของจดุ (Xi, Yi)
ค่าของ Yi บนเสน้ L เรยี กว่า ค่า Yi ประมาณ (ˆYi :

อ่านวา่ “………………………” ตัวท่ี i)

ส่วนค่า Yi จริง ๆ นั้นอาจจะอยู่บนเส้นตรง L หรือ

อยู่นอกเส้น L เรยี กวา่ คา่ Yi จริง ๆ (Yi)

จากรูป ให้ d1, d2, d3, …, dN เป็นค่าของความแตกต่างระหว่างค่า Y จริง กับค่า Y ประมาณหรือ
di = Yi - ˆYi

เส้นท่ีเป็นตัวแทนกลุ่มของจุด (Xi, Yi) ท่ีดีที่สุดคือ เส้นที่ทาให้ d12, d22, d32, . . ., dN2 มีค่าน้อยสุด หรือ

N (Yi - ˆYi)2 มคี า่ นอ้ ยสดุ วิธดี งั กลา่ วนเี้ รยี กว่า “………………………………………………..”



i=1

วิธีท่ีจะทาให้ N (Yi - ˆYi)2 มีค่าน้อยท่ีสุดจะไม่แสดงไว้ในท่ีนี้ เนื่องจากต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์



i=1
ชั้นสูง แต่จากการใช้วิธีกาลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการที่เรียกว่า………………………(normal equations)

โดยมีจานวนสมการเทา่ กบั จานวนคา่ คงตวั ทต่ี ้องการหากลา่ วคือ

1. สมการเสน้ ตรง

มีรปู สมการทว่ั ไปคือ

สมการปกติ คือ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 168

ตัวอยา่ ง จากตารางสอบถามคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษของเดก็ ห้องหน่งึ จานวน 6 คน เป็น

ดงั นี้

คะแนนภาษาไทย 3 4 5 8 10 12

คะแนนภาษาองั กฤษ 1 3 4 12 14 18

1) จงเขียนแผนภาพการกระจาย และกราฟที่ใช้แทนความสัมพันธ์ระหว่างคะแนนวิชาภาษาไทยและคะแนน

วิชาภาษาองั กฤษ

2) ถา้ เดก็ คนหนึ่งในห้องน้ีสอบวิชาภาษาไทยได้ 20 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของเด็ก

คนนี้

3) ถ้าเด็กอีกคนหน่ึงในห้องนี้สอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 33 คะแนน จงพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของ

เดก็ คนน้ี

วิธที า 1) ให้………….แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาไทย และ………….แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษ

จะไดแ้ ผนภาพการกระจายและกราฟดังนี้

2) ต้องการพยากรณ์คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษ
แสดงวา่ ………….ทแี่ ทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเป็นตวั แปร………….และ
………….ทแี่ ทนคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษเป็นตวั แปร………….
สมการท่ีใช้พยากรณ์ คือ………….………….………….หาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 169

นาข้อมูลจากตารางท่ีโจทย์กาหนดใหม้ าสรา้ งตารางใหม่ดังน้ี

Xi Yi X2i XiYi

31
43
54
8 12
10 14
12 18

6 6 6 6

 Xi  ..........  Yi  ..........  X2i  ..........  XiYi  ..........

i1 i1 i1 i 1

นาค่าตา่ ง ๆ จากตารางมาแทนค่าในสมการปกติ
จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดงั นน้ั สมการที่ใชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….
แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….
แสดงวา่ คะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษของเด็กคนนี้เทา่ กบั …………………….คะแนน
3) ตอ้ งการพยากรณค์ ะแนนสอบวิชาภาษาไทย สามารถเลือกทาได้ 2 วิธี
วิธีท่ี 1 สมมติตวั แปรท่ีโจทยท์ ่โี จทยต์ อ้ งการพยากรณใ์ หมเ่ ปน็ ดังนี้

ให้ …………. ทแ่ี ทนคะแนนสอบวิชาภาษาองั กฤษเป็นตวั แปรอิสระ
…………. ทแ่ี ทนคะแนนสอบวิชาภาษาไทยเป็นตวั แปรตาม

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 170

นาขอ้ มลู จากตารางที่โจทย์กาหนดให้ มาสร้างตารางใหมเ่ ป็นดงั นี้

Xi Yi X2i XiYi

13
34
45
12 8
14 10
18 12

6 66 X2i  .......... 6

  Xi  ..........  XiYi  ..........
Yi  ..........
i1 i1 i1 i 1

นาค่าต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นั้น สมการท่ใี ชใ้ นการพยากรณ์คือ……………………………………………….

แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….

แสดงวา่ คะแนนสอบวชิ าภาษาอังกฤษของเด็กคนนเ้ี ท่ากับ………………..คะแนน

วธิ ที ี่ 2 ให้ตัวแปร………….และ………….แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยและวชิ าภาษาอังกฤษตามลาดับ

แต่ …………. คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยเปลีย่ นเป็นตัวแปรตาม

และ …………. คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเปลี่ยนเปน็ ตัวแปรอสิ ระ

ดงั นั้น สมการทีใ่ ช้พยากรณ์เปลย่ี นเป็น………….………….………….หาค่า a และ b ได้จากสมการ

ปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

นาข้อมลู จากตารางทีโ่ จทย์กาหนดให้ มาสรา้ งตารางใหม่เปน็ ดงั นี้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 171

Xi Yi Yi2 XiYi

311 3

4 3 9 12

5 4 16 20

8 12 144 96

10 14 196 140

12 18 324 216

6 66 Yi2  .......... 6

  Xi  ..........  XiYi  ..........
Yi  ..........
i1 i1 i1 i 1

นาคา่ ตา่ ง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

จะเห็นว่าไดเ้ หมือนกับระบบสมการสมการปกตทิ ้ังสองในวิธีท่ี 1

ดังนั้น ไม่ว่าจะทาดว้ ยวธิ ีที่ 1 หรือวิธที ี่ 2 กจ็ ะไดค้ าตอบเท่ากัน

แบบฝกึ เสรมิ เพิ่มความเข้าใจ 5
0
1. กาหนดให้ความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชนั ระหว่างข้อมลู ทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ีเปน็ ตรง
Xi 0 1 2 3 4
Yi 5 4 3 2 1

1) จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2) จงหาสมการท่วั ไปของความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั ทม่ี ี Y เป็นตัวแปรตาม
3) ถ้าค่า X = 4 แล้ว คา่ Y มคี ่าเท่าใด
4) จงหาสมการทัว่ ไปของความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันที่มี X เปน็ ตวั แปรตาม
5) ถ้าค่า Y = 2 แลว้ คา่ X มคี า่ ใด
วธิ ีทา 1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 172

2) จงหาสมการทว่ั ไปของความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันที่มี Y เป็นตวั แปรตาม

Xi Yi XiYi X2i Yi2

05
14
23
32
41
50

6 66 66 Yi2  ..........
X2i  ..........
    Xi  ..........
Yi  .......... XiYi  ..........
i1 i1 i1 i1 i1

สมการทัว่ ไปคือ………….………….………….และหาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a =……………….., b =………………..
ดังนนั้ สมการทว่ั ไป คือ ………………..………………..……………………..

3) ถ้าค่า X = 4 แล้ว ค่า Y มคี ่าเทา่ ใด
จาก สมการทั่วไป คือ ………………..………………..………………………..
แทนคา่ X = 4 ลงใน สมการทว่ั ไป จะได้………………..………………..

4) จงหาสมการท่ัวไปของความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ทีม่ ี X เป็นตวั แปรตาม
สมการทั่วไปคอื ………….………….………….และหาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได้ a =……………….., b =………………..
ดังนน้ั สมการทวั่ ไป คอื ………………..………………..……………………..

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 173

5) ถ้าค่า Y = 2 แล้วค่า X มคี ่าใด
จากสมการทั่วไป คอื ………………..………………..………………………..
แทนค่า Y = 2 ลงในสมการทว่ั ไป จะได้………………..………………..

2. ให้ตัวแปร X แทนรายจ่ายของบริษัทร่ารวยจากัด มีหน่วยเป็นหม่ืนบาท และตัวแปร Y แทนรายรับของบริษัท
รา่ รวยจากดั มหี น่วยเป็นแสนบาท ถ้ารายรับและรายจ่ายของบรษิ ัทนม้ี ีความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั แบบเสน้ ตรง
จงพยากรณ์รายจา่ ย เม่ือบริษัทมีรายรับ 12 แสนบาท และ

10 10 10 10 10

    Xi  15, Yi  30, X2i  55, Yi2  210, XiYi  207

i1 i1 i1 i1 i1

วธิ ที า ตอ้ งการพยากรณ์รายจา่ ย แสดงวา่ ………..เป็นตวั แปรตาม สว่ นรายรบั ………..เป็นตัวแปรอสิ ระ
และความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชันระหวา่ งสองตัวแปรเปน็ แบบเสน้ ตรง
ดังนั้นสมการทใ่ี ช้พยากรณ์คือ คอื ………..………..………..และหาคา่ a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ
สมการท่วั ไปคอื ………….………….………….และหาค่า a และ b ได้จากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนค่าตา่ ง ๆ ทโ่ี จทยก์ าหนดให้ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดงั น้นั สมการท่ีใช้ในการพยากรณ์คือ……………………………………………….
แทน Y = ………………..จะได้ X = ………………………………………….
ดงั นน้ั บริษัทจะมีรายจ่าย เทา่ กับ………………….หม่ืนบาท เทา่ กับ………………….บาท

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 174

3. จากตารางขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
ปรมิ าณปุย๋ (กิโลกรมั ต่อไร่) ผลผลติ (กิโลกรมั ต่อไร)่
18
29
3 10
4 12
5 15

ถา้ ปริมาณปุ๋ยเปน็ 3.5 กโิ ลกรัมตอ่ ไร่ แลว้ ผลผลติ เปน็ เทา่ ไร
วธิ ที า ให้…………..แทนปริมาณป๋ยุ และ…………..แทนผลผลิต

นาคา่ …………..และ…………..จากขอ้ มลู ไปกาหนดเป็นจุดเพื่อดลู ักษณะของกราฟ ได้ดังนี้

Y

16

14

12

10

8

6 5 6
01234
X
จะได้ว่า แนวโนม้ ของความสมั พนั ธ์มีลักษณะเปน็ ……………………..

เน่อื งจากความสมั พนั ธด์ ังกล่าวเป็นความสัมพันธเ์ ชิงเสน้

ดงั น้นั สมการท่ัวไปคือ………….………….………….และหาค่า a และ b ไดจ้ ากสมการปกติ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

Xi Yi XiYi X2i

18 5 5
29
3 10  XiYi  ..........  X2i  ..........
4 12
5 15 i 1 i1

55

 Xi  .......... Yi  ..........
i1 i1

แทนค่าต่าง ๆ ที่โจทย์กาหนดให้ จะได้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 175

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดังนัน้ สมการท่ีใช้ในการพยากรณ์คือ……………………………………………….
แทน X = ………………..จะได้ Y = ………………………………………….
นัน่ คือ เมอ่ื ใชป้ ๋ยุ 3.5 กิโลกรัมตอ่ ไร่ จะได้ผลผลิตเท่ากบั ……………………กโิ ลกรมั ต่อไร่

4. ขอ้ มูลแสดงสถติ เิ ก่ียวกบั คา่ ใช้จา่ ยในการโฆษณากับรายรับที่ไดจ้ าการขายสนิ ค้าของบรษิ ทั แหง่ หน่ึง
ค่าโฆษณา (รอ้ ยบาท) รายไดจ้ ากการขายสินค้า (ร้อยบาท)
6 50
4 40
8 70
2 30
5 60

1) จงสร้างแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2) จงหาสมการท่แี สดงความสัมพนั ธ์ของการโฆษณากับรายรบั ที่ไดจ้ าการขายสนิ ค้า
3) ถา้ ค่าใชจ้ า่ ยในการโฆษณาเทา่ กบั 500 บาท จงประมาณรายได้จากการขายสินคา้
วธิ ที า 1) กาหนดให้ X แทนค่าโฆษณา และ Y แทนรายไดจ้ ากการขายสนิ คา้

นาคา่ X และ Y จากข้อมูลไปกาหนดเป็นจดุ เพอ่ื ดูลักษณะของกราฟ ไดด้ ังน้ี

Y

80

70

60

50

40

30
20

123456789

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณXะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 176

จะได้วา่ แนวโนม้ ของความสมั พันธ์มีลักษณะเป็น……………………….
2) เน่อื งจากความสมั พนั ธ์ดงั กล่าวเปน็ ความสัมพนั ธ์เชิงเส้น ดงั น้ัน สมการแสดงความสมั พนั ธ์เชิงเสน้ อยู่

ในรปู ……………………….……………………….โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คอื

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

Xi Yi XiYi X2i

6 50
4 40
8 70
2 30
5 60

55 5 5

 Xi  .......... Yi  ..........  XiYi  ..........  X2i  ..........
i1 i1
i 1 i1

แทนคา่ ต่าง ๆ ทีโ่ จทยก์ าหนดให้ จะได้

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่า………….……….ใน…………จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดังน้ัน สมการที่ใช้ในการพยากรณ์คือ……………………………………………….

3) ค่าใชจ้ า่ ยในการโฆษณาเทา่ กบั 500 บาท

แสดงวา่ X =………….. (มีหนว่ ยเป็นร้อยบาท) ดงั นนั้ Y = …………………………………

แต่ Y เป็นค่าโดยประมาณทใี่ กลเ้ คยี งมากที่สุดซ่ึง Y มหี น่วยเปน็ ร้อยบาท
แสดงว่าถา้ โฆษณาไป……………บาทจะมีรายได้จากการขายสนิ คา้ โดยประมาณ……………บาท

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 177

5. ตารางท่กี าหนดใหเ้ ป็นการแสดงรายได้ – รายจา่ ยของข้าราชการจานวน 5 คน จากข้าราชการแผนกหน่ึง

คนที่ รายได้ (พันบาท) รายจ่าย (พันบาท)

12 2

23 2

34 3

46 5

55 3

ถ้าข้าราชการคนหนึ่งในแผนกดังกล่าวมรี ายได้ 8,000 บาท จงประมาณรายจา่ ยของข้าราชการคนน้ี

วิธที า กาหนดให้ X แทนรายได้ และ Y แทนรายจา่ ย

นาคา่ X และ Y จากข้อมูลไปกาหนดเปน็ จุดเพ่อื ดลู ักษณะของกราฟ ได้ดงั นี้

Y

5.5

5.0

4.5
4.0

3.5

3.0

2.5

2.0
1.5

1234567

จากกราฟแนวโน้มของความสัมพันธ์มีลักษณะเปน็ ………………..ดงั นั้น สมการแสดงความสัมพนั ธเ์ ชงิ เสน้
จะอยู่ X

ในรปู ………………………………….โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติ คือ

………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….

Xi Yi XiYi X2i

22 4 4
32 6 9
43 12 16
65 30 36
53 15 25

55 5 5

 Xi  .......... Yi  ..........  XiYi  ..........  X2i  ..........
i1 i1
i 1 i1

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ทโ่ี จทย์กาหนดให้ จะได้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 178

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ ………….……….ใน…………จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดงั นน้ั สมการที่ใชใ้ นการพยากรณ์คอื ……………………………………………….
ถ้าข้าราชการคนหนงึ่ ในแผนกดงั กล่าวมรี ายได้ 8,000 บาท แสดงว่า X = ……………(มีหนว่ ยเป็นพนั
บาท)
ดังนั้น ………….………….………….………….………….………….………….………….
แต่ Y เป็นคา่ โดยประมาณท่ใี กลเ้ คยี งมากท่ีสุดของ ซึ่ง Y มีหน่วยเป็นพนั บาท
แสดงวา่ ข้าราชการคนหนง่ึ ในแผนกดงั กลา่ วมีรายได้ 8,000 บาท จะมรี ายจ่ายโดยประมาณ…………..บาท

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 179

กจิ กรรม : การประมาณคา่ ของค่าคงตวั
โดยใชว้ ธิ กี าลังสองนอ้ ยสุด
ตอนท่ี 2

จากการใช้วิธีกาลังสองน้อยสุดดังกล่าวจะได้สมการท่ีเรียกว่า ………………………………(normal
equations) โดยมีจานวนสมการเท่ากับจานวนคา่ คงตวั ที่ตอ้ งการหากลา่ วคือ

1. สมการพาราโบลา
มรี ปู สมการทัว่ ไปคือ

สมการปกติ คอื

ตัวอย่าง กาหนดข้อมลู ดังต่อไปนี้
วิธที า X -2 -1 0 1 2
Y 21359

1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู
2) จงประมาณค่า Y เมอ่ื กาหนดให้ X = 3
1) แผนภาพการกระจายของข้อมลู ไดด้ งั น้ี

Y

10

8

6

4

2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษXฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 180

2) จากแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู ความสัมพนั ธร์ ะหว่าง x และ y เป็นสมการพาราโบลา
ดงั น้ัน สมการแสดงความสัมพนั ธ์พาราโบลาจะอยู่ในรูป……………………………………………...
โดยท่ี a, b และ c สามารถหาได้จากสมการปกตคิ ือ
………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (3)

ค่าต่าง ๆ ท่ีจะนาไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาไดจ้ ากตารางต่อไปน้ี
Xi Yi XiYi Xi2 X2i Yi Xi3 Xi4
2 2
1 1
03
15
29

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(5)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(6)

แกส้ มการหาคา่ a, b และ c จากระบบสมการข้างตน้ จะได้
จากสมการ (5); ………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
นา 2(4); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(7)
นา (6)–(7); ………….………….………….………….………….………….………….………….

………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนคา่ a = …………… ในสมการ (4) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
ดังนัน้ สมการแสดงความสมั พันธ์ระหว่าง X กับ Y คอื ………….………….………….………….………….
ถา้ X = 3 จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….………….……..

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 181

แบบฝึกเสรมิ เพ่ิมความเข้าใจ X2i Yi

1. จงหาสมการพาลาโบลาทเ่ี หมาะสมสาหรับขอ้ มลู ทีก่ าหนดใหต้ อ่ ไปนี้
X 01234
Y 1 5 10 22 38

วิธที า สมการแสดงความสัมพันธพ์ าราโบลาจะอยู่ในรูป……………………………………………...
โดยท่ี a, b และ c สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติคือ
………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)
………….………….………….………….………….………….………….…………. (3)
คา่ ตา่ ง ๆ ทจี่ ะนาไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาได้จากตารางต่อไปนี้

Xi Yi Xi2 X3i X4i XiYi
01
15
2 10
3 22
4 38

จากตาราง แทนค่าในสมการ (1), (2) และ (3) จะได้ …………..(4)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(5)
………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(6)
………….………….………….………….………….………….………….………….

แก้สมการหาค่า a, b และ c จากระบบสมการขา้ งต้น จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….
………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั นน้ั สมการแสดงความสมั พันธร์ ะหว่าง X กบั Y คอื ………….………….………….…..

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 182

2. ถา้ ตวั แปร x และ y คือ
x 1 0 1 2 3
y 1 0 1 3 10

และสมการทใ่ี ชป้ ระมาณความสัมพนั ธร์ ะหว่างสองตวั แปรนค้ี อื y = kx2 แลว้ k มีค่าเทา่ กับเท่าไร
วธิ ีทา จากโจทย์ สมการที่ใช้ประมาณความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรนี้เปน็ สมการพาราโบลา y = kx2

จึงมสี มการปกติ ดงั นี้
………….………….………….………….………….………….………….………….

เราสามารถสร้างตารางหาคา่ ตา่ ง ๆ ได้ดังน้ี
xi yi
1 1
00
11
23
3 10

จากตาราง แทนคา่ ในสมการ (1) จะได้
………….………….………….………….………….………….………….………….

นนั่ คอื ………….………….………….………….………….………….………….………….

3. จากการศกึ ษาพบว่าความสัมพันธ์ระหวา่ งอายุ (x) และปรมิ าณอาหารเสรมิ ที่ใช้เล่ยี งทารก (y) มีสมการเปน็
y = 1.2x2 + 5x + 3 ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่งมีเด็กทารกจานวน 5 คน ซ่ึงมีอายุ 4, 6, 8, 9, 10 เดือน

ตามลาดับ ปริมาณอาหารเสริมเฉลย่ี ทใ่ี ช้เลีย้ งทารกจานวนน้เี ป็นเทา่ ใด
วธิ ีทา จากโจทย์ สมการท่ีใช้ประมาณความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสองตัวแปรน้ีเป็น y = 1.2x2 + 5x + 3

จงึ มสี มการปกติ ดงั นี้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั น้ัน ………….………….………….………….………….………….………….………….

นา n หารตลอด; ………….………….………….………….………….………….………….………….

ฉะนัน้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

จากโจทย์ ………….………….………….………….………….………….………….………….

และ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นา (2) และ (3) แทนในสมการ (1) จะได้

………….………….………….………….………….………….………….………….

ดงั น้นั ปริมาณอาหารเสริมเฉลีย่ ทใ่ี ช้เลี้ยงทารกจานวนเทา่ กบั ………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 183

กจิ กรรม : การประมาณคา่ ของคา่ คงตวั
โดยใชว้ ิธีกาลงั สองนอ้ ยสดุ
ตอนจบ

ความสมั พันธ์เชิงฟังกช์ นั ของข้อมลู ทอี่ ยู่ในรูปอนกุ รมเวลา
ข้อมลู ทอี่ ยใู่ นรูปอนกุ รมเวลา (Time series) คอื ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
เช่น…………………………………………………………………………………………………………………………………………………เป็นตน้
ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลท่ีอยู่ในรูปอนุกรมเวลา ใช้วิธีเดียวกันกับท่ีใช้ในการสร้าง
ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั ก์ชนั ของตวั แปรโดยท่วั ๆ ไป คือ

เมื่อ…………….เปน็ ตัวแปรตาม และ…………….เปน็ ตัวแปรอสิ ระ

เทคนคิ การสมมตติ ัวเลขแทนช่วงเวลาที่เท่า ๆ กัน
การสร้างสมการของความสัมพันธ์ของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา และวิธีคิดคานวณดาเนินการ
เช่นเดยี วกบั ความสัมพนั ธ์ของข้อมูลทว่ั ๆ ไป เพียงแต่เปลย่ี นตวั แปร X เป็นตัวเลขตามหลกั เกณฑ์ตอ่ ไปนี้
1. ถ้าจานวนช่วงเวลาทนี่ ามาสร้างความสัมพันธ์เปน็ จานวนคี่ แล้ว
1.1 มักจะกาหนดใหช้ ่วงเวลาท่ีอยตู่ รงกลางเป็น…………….
1.2 ช่วงเวลาท่ีอยู่ถัดข้ึนไปก่อนหน้าช่วงท่ีกาหนดเป็น…………….…………….…………….……………….
ตามลาดบั
1.3 ช่วงเวลาที่อยู่ถัดลงมาซ่ึงเป็นช่วงเวลาที่เกิดข้ึนภายหลัง จะกาหนดเป็น…………….…………….
ตามลาดับ
2. ถา้ จานวนชว่ งเวลาที่นามาสร้างความสมั พนั ธ์เป็นจานวนคู่
2.1 มักจะกาหนดใหช้ ่วงเวลาทอี่ ยูต่ รงกลางเปน็ …………….และ…………….
2.2 ช่วงเวลาที่อยู่ถัดขึ้นไปก่อนหน้าช่วงเวลาที่กาหนดให้เป็น…………….น้ีเป็น…………….……………
ตามลาดับ
2.3 ช่วงเวลาที่อยู่ถัดลงมาหลังช่วงเวลาที่กาหนดให้เป็น…………….น้ีเป็น…………….……………………
ตามลาดับ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 184

ตัวอย่างเสรมิ เพิ่มความเขา้ ใจ

จานวนช่วงเวลาทเี่ ป็นจานวนค่ี จานวนช่วงเวลาทีเ่ ปน็ จานวนคู่

พ.ศ. Xi พ.ศ.
2550 2551

2551 2552

2552 2553

2553 2554

2554 2555

2555 2556 n Xi =
2556

ตวั อย่างที่ 1 ใหใ้ ชค้ วามสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชนั ทเ่ี ปน็ เส้นตรงกบั ขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี
i=1

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

จานวนเครอ่ื งจกั รท่ขี าย (พันเครื่อง) 1 2 4 5 7

ในปี พ.ศ. 2557 จานวนเครือ่ งจกั รท่ีขายได้ควรจะเป็นเท่าใด

วิธีทา กาหนดให้……….แทนเวลา (พ.ศ.) และ……….แทนจานวนเครอ่ื งจกั รทีข่ ายได้

ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั ทีเ่ ปน็ เส้นตรง……….…….โดยท่ี a และ b สามารถหาไดจ้ ากสมการปกติคือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

ค่าตา่ ง ๆ ทจี่ ะนาไปแทนในแตล่ ะสมการสามารถหาได้จากตารางต่อไปนี้

พ.ศ. Xi Yi XiYi Xi2
2550

2551

2552

2553

2554

6666
Xi   Yi   XiYi   Xi2 

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนคา่ ใน (1); ………….………….……………….………….………….………….…………..….. (3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนคา่ ใน (2); ………….………….………….…….………….………….………….………….…… (4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

น่นั คือ สมการที่แสดงความสัมพันธ์ทต่ี ้องการ คอื ……….………….………….……………..

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 185

ตวั อยา่ งท่ี 2 ในปี พ.ศ. 2557 แสดงวา่ X =…………. (X มีหน่วยเปน็ พันบาท)
วิธที า
ดังนน้ั ………….………….………….………….………….………….………….………….

แสดงวา่ จานวนเครอื่ งจกั รท่ีขายไดป้ ระมาณ………………………………เคร่ือง

ถ้าระยะเวลากับจานวนสินค้าท่ีขายได้ของบริษัทแห่งหน่ึงในรอบ 6 ปี ท่ีผ่านมาเป็นข้อมูลอยู่ใน
รปู อนุกรมเวลาดงั น้ี

พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555 2556
จานวนสนิ ค้า (หม่นื ชนิ้ ) 5 6 9 12 16 24
1) จงเขยี นแผนภาพการกระจาย
2) จงพยากรณว์ า่ ในปี พ.ศ. 2559 บรษิ ัทแห่งน้จี ะมจี านวนสนิ ค้าทขี่ ายไดเ้ ทา่ ไร
3) จงพยากรณ์จานวนสินค้าเฉลยี่ ท่ีขายไดต้ อ่ ปตี ัง้ แต่ พ.ศ. 2557 ถึง พ.ศ. 2559
กาหนดให้ X แทนเวลา (พ.ศ.) และ Y แทนจานวนสินค้า (หมื่นชนิ้ )
1) แผนภาพการกระจาย เป็นดงั นี้

2) เนื่องจากข้อมูลมีความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง ดั ง นั้ น ส ม ก า ร พ ย า ก ร ณ์

คือ……….……….……….……….

โดยที่ a และ b หาได้จากสมการปกติ คือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นาขอ้ มลู จากตารางทก่ี าหนดให้ มาสรา้ งตารางใหม่ดงั น้ี

พ.ศ. Xi Yi X2i XiYi

2551

2552

2553

2554

2555

2556

666 6
 X2i 
 Xi   Yi   Xi Yi 
i1 i1 i1
i 1

นาคา่ ต่าง ๆ จากตารางมาแทนคา่ ในสมการปกติ จะได้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 186

………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(1)
………….………….………….………….………….………….………….…………. ..........(2)
จาก (1);………….………….………….………….………….………….………….………….
จาก (2); ………….………….………….………….………….………….………….………….
ดังนนั้ สมการพยากรณ์คือ………….………….………….………….………….………….………….………….
ตอ้ งการพยากรณ์ปี พ.ศ. 2559 ซึ่งแทน X = ………….จะได้.………….………….………….………..
แสดงว่าในปี พ.ศ. 2559 จานวนสนิ คา้ ทีข่ ายได้เทา่ กบั .………….หมืน่ ชิ้น หรอื เทา่ กบั ……………ชิน้
3) ตอ้ งการพยากรณจ์ านวนสินคา้ เฉลีย่ ทีข่ ายได้ตอ่ ปีตง้ั แต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559

พ.ศ. X Y = 1.83X + 12
2557
2558
2559

3

 Yi 

i1

ดงั น้ันจานวนสินคา้ เฉล่ยี ทข่ี ายไดต้ อ่ ปตี ง้ั แต่ พ.ศ. 2557 ถงึ พ.ศ. 2559
เทา่ กับ……………………………………. หมื่นชน้ิ หรือ เทา่ กบั …………………………….ช้ิน
แบบฝกึ เสรมิ เพมิ่ ความเข้าใจ

1. มลู ค่าอุตสาหกรรมสิง่ ทอทีป่ ระเทศไทยส่งออกไปขายยงั ตา่ งประเทศระหว่างปี พ.ศ. 2550 – 2554 เปน็ ดงั น้ี
พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554

มูลคา่ (ลา้ นบาท) 1 3 4 5 9
1) จงเขยี นแผนภาพการกระจายของข้อมูล
2) มลู ค่าการสง่ ออกโดยเฉลี่ยใน 6 เดอื นแรกของปี พ.ศ. 2555 จะมคี า่ เทา่ กบั เท่าใด
วิธีทา 1) เขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูลไดด้ ังนี้

2) ตอ้ งการมลู ค่าการสง่ ออก ซ่งึ แทนด้วย……………
จากแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง X และ Y เปน็ แบบเสน้ ตรง
ดงั นน้ั สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูป…….……….…โดยที่ a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ
คือ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 187

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นาขอ้ มลู จากตารางทกี่ าหนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดงั นี้

พ.ศ. Xi Yi XiYi Xi2
2550

2551

2552

2553

2554

5555
xi   yi   xiyi  x
2 
i

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนค่าใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่าใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นน่ั คอื สมการทีแ่ สดงความสมั พันธท์ ต่ี ้องการ คือ……….………….………….……………..

ต้องการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2555 ได้ X = ……… จะได้……….………….………….………….

ดงั นั้น ตลอดทัง้ ปีมลู คา่ การส่งออก………………ล้านบาท และมลู ค่าการส่งออกโดยเฉล่ยี 6 เดือนแรก

เท่ากับ……….………….………….………….……….………….………….………….ลา้ นบาท

2. จากข้อมลู อนุกรมเวลา (Y) มคี ่าแสดงในตารางขา้ งล่างน้ี
พ.ศ. 2556 2557 2558 2559 2560
Y 20 30 20 40 60

ถา้ Y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันกับเวลา (X) ในลักษณะเส้นตรง แล้วสามารถทานายค่า Y ในปี พ.ศ. 2565 ได้
เทา่ กับเทา่ ใด
วธิ ที า ตอ้ งการทานายค่า Y เนื่องจากความสมั พนั ธ์ระหว่าง X และ Y เปน็ แบบเส้นตรง

ดงั นั้น สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูป…….……….…โดยที่ a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ
คือ

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นาขอ้ มลู จากตารางทก่ี าหนดให้ มาสร้างตารางใหม่ดังน้ี

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 188

พ.ศ. Xi Yi XiYi X2i
2556

2557

2558

2559

2560

55 5 5
 xi   yi   xiyi  x
2 
i

i=1 i=1 i=1 i=1

แทนค่าใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

แทนค่าใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)

จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….

นนั่ คือ สมการทแ่ี สดงความสัมพนั ธ์ทตี่ อ้ งการ คอื ……….………….………….……………..

ตอ้ งการพยากรณป์ ี พ.ศ. 2565 ได้ X = ……… จะได้……….………….………….………….

3. ขอ้ มลู ต่อไปน้ีเปน็ รายไดข้ องบรษิ ัทแห่งหนึง่ มีหน่วยเปน็ ล้านบาท จาแนกตามรายเดือนในปี พ.ศ. 2556 ดังนี้

เดอื น ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ิ ย.

รายได้ 1.2 1.5 2 3 3.5 4.5

ถา้ แนวโน้มของความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับข้อมูลเป็นเส้นตรง จงประมาณรายได้ของบริษัทดังกล่าว ในเดือน

สงิ หาคมของปีเดยี วกนั

วิธที า ให้ Y แทนรายได้ เน่ืองจากแนวโนม้ ของความสมั พนั ธร์ ะหว่างเวลากับข้อมลู เปน็ เส้นตรง

ดงั นน้ั สมการแสดงความสัมพนั ธ์เชิงเสน้ อยู่ในรปู ……….…โดยท่ี a และ b สามารถหาได้จากสมการปกติ คอื

………….………….………….………….………….………….………….…………. (1)

………….………….………….………….………….………….………….…………. (2)

นาข้อมลู จากตารางทก่ี าหนดให้ มาสรา้ งตารางใหม่ดังน้ี

เดอื น Xi รายได้ (Yi) XiYi X2i
ม.ค.

ก.พ.

ม.ี ค.

เม.ย.

พ.ค.

มิ.ย.

6 6 6 6

xi   yi   xiyi   xi2 

i=1 i=1 i=1 i=1

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 189

แทนคา่ ใน (1); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(3)
จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….
แทนค่าใน (2); ………….………….………….………….………….………….………….…………. …………..(4)
จะได้ ………….………….………….………….………….………….………….………….
นัน่ คือ สมการท่ีแสดงความสมั พนั ธ์ทีต่ อ้ งการ คอื ……….………….………….……………..
ตอ้ งการพยากรณป์ ี เดอื นสิงหาคม ได้ X =………จะได้……….………….………….…………
ดังนนั้ รายได้ของบรษิ ทั ดงั กล่าว ในเดอื นสงิ หาคมของปีเดยี วกัน ประมาณ……………ลา้ นบาท

4. ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างระยะ (พ.ศ.) X กับปริมาณเนื้อหมูโดยเฉลี่ย (กิโลกรัม) ที่คนในอาเภอหนึ่งบริโภคต่อปี
Y1 ระหวา่ งปี พ.ศ. 2551 – 2555 แสดงด้วยสมการ Y1 = 0.05X2 + 0.25X + 10.5 และความสัมพันธ์ระหว่าง

เวลา (พ.ศ.) X กับปริมาณเนื้อวัวโดยเฉล่ีย (กิโลกรัม) ที่แต่ละคนในอาเภอเดียวกันบริโภคต่อปี Y2 ระหว่างปี
พ.ศ. 2551 – 2555 แสดงได้ด้วยสมการ Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4 (เมื่อ X = 0 แทนพ.ศ. 2553 และ X มี

หน่วยเปน็ ป)ี

การทานายปรมิ าณเนอ้ื หมูโดยเฉลีย่ และปริมาณเนื้อวัว โดยเฉลี่ยท่ีแต่ละคนในอาเภอน้ีบริโภคต่อปีในช่วง พ.ศ.

2556 – 2558 ในข้อใดต่อไปน้ีถกู

1. ปริมาณเน้ือหมูมากกวา่ ปรมิ าณเน้ือววั ทกุ ปี 2. ปรมิ าณเนื้อหมนู อ้ ยกว่าปรมิ าณเน้อื วัวทุกปี

3. ปริมาณเนื้อหมูเท่ากบั ปริมาณเน้ือววั ทกุ ปี 4. ปรมิ าณเน้อื หมมู ากกว่าปริมาณเนอื้ วัวบางปี

วิธที า จากโจทย์ X = 0 แทน พ.ศ. 2553 จะได้

พ.ศ. Xi Y1 = 0.05X2 + 0.25X + 10.5 Y2 = 0.04X2 + 0.6X + 9.4

2556

2557

2558

ดงั นน้ั ………….………….………….………….………….………….………….………….
น่นั คอื ………….………….………….………….………….………….………….………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา