เอกสารประกอบการสอน ม.6 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 97

2. จากการสอบถามเกยี่ วกับรายไดต้ อ่ วันของคนงานในบริษทั ก่อสรา้ งแห่งหนง่ึ ไดผ้ ลดังตารางตอ่ ไปนี้

รายได้ (บาท) จานวน (คน)

51 - 80 6

81 - 100 15

101 - 120 10

121 - 150 9

รวม 40

คาถาม : ชวนคดิ จงหาฐานนยิ มของรายได้ของคนงาน

วิธีทา 1) จากตารางแจกแจงความถีท่ ่ีกาหนดให้ความกวา้ งของแตล่ ะอนั ตรภาคชั้นไม่เทา่ กัน

ดังน้ัน การที่จะพิจารณาว่า ฐานนิยมอยู่ที่อันตรภาคช้ันใดต้องดูจากอัตราส่วนระหว่างความถี่กับ

ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ ในแต่ละช้นั ซึ่งสามารถหาไดด้ งั ตารางต่อไปนี้

รายได้ (บาท) จานวนคน (f) ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั (I) อตั ราส่วน f
51 - 80 6 ………………….. I
…………………..

81 - 100 15 ………………….. …………………..

101 - 120 10 ………………….. …………………..

121 - 150 9 ………………….. …………………..

2) จากตารางแจกแจงความถ่ี จะพบว่า อนั ตรภาคชัน้ .........................มีความถส่ี ูงสดุ เทา่ กับ.................

ดังนน้ั ถ้าหาฐานนิยมอย่างคร่าว ๆ จะได้เทา่ กบั 81100  …9…0.…5………………..

2

3) หาฐานนิยมอยา่ งละเอยี ด โดยใชส้ ตู ร Mod  L   d1 d1  I
  d2 
 

จากตารางจะพบวา่

d1 เปน็ ผลต่างระหวา่ งความถ่ีของอนั ตรภาคชั้น 51 - 80 กบั 81 - 100 คอื .........................
d2 เปน็ ผลต่างระหว่างความถ่ขี องอนั ตรภาคชน้ั 81 - 100 กบั 101 - 120 คือ .....................
L ขอบล่างของอนั ตรภาคชัน้ 81 - 100 เท่ากับ .............................................

I ความกวา้ งของอันตรภาคช้ัน 81 - 100 เทา่ กบั .............................................

ดังนนั้ Mod  12…7.…5…… …7…7…4……5 ……
 ……………………………

 ……………………………

นัน่ คือ ฐานนยิ มของรายไดข้ องคนงาน เท่ากับ……………………………บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 98

แบบฝกึ เสริม เพิ่มความเขา้ ใจ
ฐานนยิ ม

คาช้แี จง 1. จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้

1) 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 ตอบ ……………………………………

2) 2, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9 ตอบ ……………………………………

3) 2, 4, 5, 7, 9, 10 ตอบ ……………………………………

4) 2, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 12 ตอบ ……………………………………

2. จงหาฐานนยิ มจากตารางแจกแจงความถ่ดี งั ต่อไปน้ี

คะแนน ความถี่

38 - 40 2

35 - 37 5

32 - 34 10

29 - 31 12

26 - 28 6

23 - 25 4

20 - 22 1

วธิ ที า อนั ตรภาคชั้นท่ีมฐี านนยิ มอยู่ คือ ………………………………………………………………………….

อนั ตรภาคชั้นทมี่ ีความถ่สี ูงสดุ คือ ………………………………………………………………………….

จดุ กง่ึ กลางของอันตรภาคชน้ั คอื ………………………………………………………………………….

นั่นคอื ฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรยี น…………….คน คอื ……………………….คะแนน

ถ้าตอ้ งการหาฐานนยิ มอย่างละเอยี ดโดยใช้สตู ร……………………………………………….

d1 มีค่าเทา่ กบั ………………………………………………………………………….
d2 มีค่าเทา่ กับ………………………………………………………………………….
L มคี ่าเทา่ กบั ………………………………………………………………………….

I มีคา่ เท่ากบั ………………………………………………………………………….

ดงั นั้น Mod  …………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………..

นน่ั คอื ฐานนยิ มของคะแนนสอบของนกั เรียน 40 คน คอื 30.75 คะแนน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พ้นื ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 99

3. จงหาฐานนิยมจากตารางแจกแจงความถี่ของเบอร์รองเทา้ ชนิดต่าง ๆ ทน่ี กั เรียนใช้ ดังต่อไปนี้

เบอร์รองเทา้ 4 1 5 5 1 6 6 1
2 2 2
จานวนนักเรยี น 20 25 18 28 40

วธิ ีทา ฐานนยิ มจากตารางแสดงความถ่ีของเบอรร์ องเทา้ ชนดิ ตา่ ง ๆ ท่นี ักเรยี นใช้ คือ……………………………………

4. ต่อไปนเี้ ป็นตารางแจกแจงสีผมของวัยรุ่นในสมาคมแห่งหนึ่ง

สีของผม ดา แดง ทอง นา้ ตาล

จานวนคน 11 6 18 24

จงหาฐานนิยมเกย่ี วกบั สขี องผม

วธิ ีทา ฐานนิยมเกยี่ วกบั สขี องผมของที่วยั รุ่นในสมาคมแหง่ หนงึ่ คอื …………………………………………………………….

5. ขอ้ มลู เกีย่ วกบั คะแนนสอบวชิ าสถติ ดิ ังตอ่ ไปน้ี

19 15 14 11 20 13 17 24 12 20

13 19 25 15 19 20 15 12 13 16

18 16 15 26 21 11 19 20 11 24

16 16 17 18 16 11 10 27 18 13

1) จงหาฐานนยิ มของคะแนน

2) จัดขอ้ มูลใหอ้ ยู่ในรปู อันตรภาคชั้น 10 - 14.9, 15 - 19.9 เป็นตน้ และหาฐานนิยมของคะแนน

3) หาฐานนยิ มของคะแนนจากอันตรภาคช้นั โดยประมาณ

4) เปรยี บเทยี บฐานนิยมของคะแนนทงั้ 3 ข้อข้างตน้

วธิ ีทา 1) ฐานนิยมของคะแนนคือ………………………………………………………………………………………………………

2) จดั คะแนนใหอ้ ยู่ในรปู อันตรภาคชัน้ ไดด้ งั นี้

คะแนน ความถ่ี

เนอื่ งจากความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ันเท่ากันทุกอตั รภาคช้นั ดังน้ันอนั ตรภาคช้นั ที่มีฐานนยิ มอยู่ คือ
อันตรภาคชั้นท่มี ีความถสี่ งู สดุ นน่ั คอื ………………………………………………………………………………………..
หาฐานนยิ มอย่างละเอียดโดยใช้สตู ร…………………………………………………………………………………………

d1 มคี า่ เทา่ กบั …………………………………………………………………………………………………….
d2 มคี า่ เทา่ กบั ……………………………………………………………………………………………………
L มคี ่าเทา่ กบั ……………………………………………………………………………………………………
I มีค่าเท่ากบั ……………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 100

ดงั นน้ั Mod  ……………………………………………………………………………………………..
 ……………………………………………………………………………………………..
 …………………………………………………………………………………………….

น่นั คอื ฐานนยิ มของคะแนนคือ………………………………………………………..คะแนน
3) ฐานนยิ มจากอนั ตรภาคช้ันโดยประมาณคอื ……………………………………………..

นนั่ คือ ฐานนยิ มของคะแนนคอื ……………………….คะแนน
4) เปรียบเทยี บฐานนยิ มของคะแนนทงั้ 3 ข้อข้างตน้

ตอบ…………………………………..…………………………………..……………………………

6. สายเคเบลิ จากบริษทั แห่งหนึ่ง 60 เส้น รบั นา้ หนกั สงู สุดไดด้ ังนี้

น้าหนักสงู สดุ (ตนั ) จานวน (เส้น)

9.3 - 9.7 2

9.8 - 10.2 5

10.3 - 10.7 12

10.8 - 11.2 17

11.3 - 11.7 14

11.8 - 12.2 6

12.3 - 12.7 3

12.8 - 13.2 1

จงหาฐานนิยมของนา้ หนกั ของสายเคเบิล

วธิ ีทา เนอ่ื งจากความกวา้ งของอันตรภาคชัน้ เท่ากนั ทุกอัตรภาคชั้น ดงั นน้ั อันตรภาคช้นั ทีม่ ีฐานนิยมอยู่ คือ

อันตรภาคช้นั ที่มคี วามถ่สี งู สดุ นนั่ คือ…………………………………………………………………………………………….

จากสูตร…………………………………………………………………………………………….

d1 มคี า่ เทา่ กับ…………………………………………………………………………………………………….
d2 มีค่าเทา่ กบั ……………………………………………………………………………………………………
L มคี ่าเทา่ กับ……………………………………………………………………………………………………

I มคี ่าเท่ากับ……………………………………………………………………………………………………

ดงั นัน้ Mod  ……………………………………………………………………………………………..

 ……………………………………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………………………………….

นน่ั คือ ฐานนยิ มของนา้ หนักของสายเคเบิลทรี่ ับนา้ หนกั สูงสุดคอื ……………………….ตนั

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 101

กิจกรรม : คา่ เฉลี่ยเรขาคณติ คิดหาอยา่ งไร

มุมความรู้ ถา้ x1, x2, x3, ..., xN เปน็ ขอ้ มูล N จานวน ซง่ึ เปน็ จานวนบวกทุกจานวน นิยม
ใช้ G.M. เป็นสัญลกั ษณแ์ ทนคา่ เฉล่ยี เรขาคณติ

G.M.  N x1x2x3...xN

ในกรณีที่ xi มคี วามถี่ fi และ k  N

 fi

i=1

G.M.  N x xf1 f2 x f3 ...x fk
12 3 k

เน่ืองจากการหาค่า G.M. ต้องมีการคานวณหากรณฑ์ท่ี N ของจานวน ซ่ึงทาให้

การใช้สตู รดังกลา่ วข้างต้นไม่สะดวกในกรณีท่ีข้อมูลมีค่ามาก และต้องใช้เครื่องคิดเลขในการ

คานวณดังน้นั เพอ่ื ความสะดวกจงึ ใช้ลอการทิ ึมช่วย โดยใช้สูตรในการหาคา่ G.M. ดงั น้ี

สาหรับขอ้ มูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี log G.M.  1 N log xi
N =1
i

สาหรบั ข้อมูลที่แจกแจงความถ่ี log G.M.  1 k filog xi
N =
i 1

เม่อื xi แทนจุดก่ึงกลางของอันตรภาคชัน้ ที่ i โดยที่ i คอื 1, 2, 3, …, k

fi แทนความถ่ีของข้อมลู ของอนั ตรภาคช้ันที่ i

k แทนจานวนอันตรภาคชนั้

คาชี้แจง 1. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหน่ึงจานวน 4 ครั้ง มีความดันต่าง ๆ กัน มีหน่วยเป็น

ลกู บาศกเ์ มตรได้ดังนี้ 1.2, 2.4, 4.8, 4.8 จงหาคา่ เฉล่ียเรขาคณติ ของปรมิ าตรของก๊าซ

วิธที า จากสูตร 1N
N i = 1 log xi
log G.M. 

เนอื่ งจาก N  4 นาไปแทนค่าในสูตรจะได้

1log G.M. 4 log xi  .......................................................
4 =
i 1

จากตารางค่าลอการทิ ึม (หน้า 133) จะได้

log 1.2  0.0792 , log 2.4  ................., log 4.8  ..................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 102

ดังนน้ั log G.M.  1 0.0792  ...................  ...................  ...................

4

 1 .......................

4

= ………………………….

G.M.  .............................

น่นั คือ ค่าเฉลยี่ เรขาคณติ ของปรมิ าตรของก๊าซประมาณ………………………..ลูกบาศก์เมตร

2. จากตารางแจกแจงความถี่จานวนนกั เรียนทีส่ อบวิชาสถิตทิ ั้งหมด 30 คนนี้ จงหาค่าเฉลย่ี เรขาคณิตของ

คะแนนสอบวิชาสถติ ิ ดังต่อไปนี้

คะแนน ความถี่

52

63

75

88

97

10 5

วิธที า จากสูตร log G.M.  1 k filog xi
N =
i 1

เนือ่ งจาก N  6 นาไปแทนค่าในสูตรจะได้

log G.M.  1 6 filog xi  ............................................................................................
30 =
i 1

จากตารางค่าลอการิทมึ (หน้า 133) จะได้

log 5  0.6990 log 6  .................... log 7  ....................

log 8  .................... log 9  .................... log 10  1

ดงั นนั้

log G.M.  1 [2 0.6990  3 ...............  5 ...............  8 ...............  7 ...............  5 1]

30

 1 ........................
30

 ……………………………

G.M.  ..............................

นน่ั คือ คา่ เฉล่ยี เรขาคณติ ของของคะแนนสอบวิชาสถติ ิ ประมาณ………………………….คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 103

กจิ กรรม : คา่ เฉล่ยี ฮารม์ อนิกหาอยา่ งไร

มุมความรู้ คา่ เฉลยี่ ฮาร์มอนิกจะใชใ้ นการหาค่าเฉลยี่ ของข้อมลู ทเ่ี ปน็ อัตราสว่ น
ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เป็นข้อมูล N จานวน ซ่ึงเป็นจานวนบวกทุกจานวน
นิยมใช้ H.M. เป็นสญั ลกั ษณแ์ ทนคา่ เฉล่ียฮารม์ อนกิ

H.M.  1 1 1   N

N  x1 1 1  ...  1  N1
 x2 x3
xN i = 1 xi

ในกรณที ่ี xi มคี วามถ่ี fi และ k  N

 fi

i=1

H.M.  1 N
  k fi
1 f1 1  f2 1  f3 1  ...  fk 1 
  i = 1 xi
N x1 x2 x3 xk

เมื่อ xi แทนจุดกง่ึ กลางของอันตรภาคชน้ั ท่ี i โดยท่ี i คือ 1, 2, 3, …, k

fi แทนความถ่ีของข้อมูลของอนั ตรภาคชัน้ ท่ี i

k แทนจานวนอนั ตรภาคช้นั

ค่าเฉลีย่ ฮาร์มอนิกจะใช้ในการหาค่าเฉลย่ี ของข้อมูลทเี่ ป็นอัตราสว่ น เชน่ ระยะทาง

ตอ่ ชว่ั โมง จานวนหนว่ ยต่อ 1 บาท ราคาสนิ ค้าตอ่ 1 โหล ฯลฯ

คาชแ้ี จง 1. ใน 2 ชั่วโมงแรก นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง 2 ช่ัวโมงถัดมา นาย ก

ขับรถด้วยความเรว็ 70 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง 2 ชวั่ โมงสดุ ท้าย นาย ก ขับรถด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จง
หาว่า นาย ก ขับรถด้วยความเร็วเท่าใดโดยใชค้ ่าเฉลยี่ ฮารม์ อนิก
วธิ ีทา จากข้อมูลเกีย่ วกับความเรว็ ทก่ี าหนดมาให้ขอ้ มลู ประกอบดว้ ยจานวนต่อไปนี้ 60, 70, 80 นนั่ คอื N  3

จากสูตร H.M. N =……………………………………………………
ดงั นัน้
N 1

i = 1 xi

H.M. 





นน่ั คือ คา่ เฉล่ยี ที่ นาย ก. ขับรถดว้ ยความเรว็ ประมาณ......................กิโลเมตรต่อช่วั โมง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 104

2. ท่านเดินทางโดยเครอ่ื งบนิ โบอง้ิ ของสายการบินแห่งหน่ึงจากเมือง ก ไปเมือง ข โดยตรงด้วยความเร็ว 500 ไมล์

ตอ่ ช่ัวโมง และเดนิ ทางกลับโดยสายการบนิ เดิมด้วย ความเร็ว 160 ไมล์ต่อชั่วโมง จงหาความเร็วโดยเฉล่ียใน

การเดินทางไปและกลบั ในคร้งั น้ี

วธิ ีทา ให้ xi แทนความเร็ว 500 และ160 ไมลต์ ่อชั่วโมง ของการเดนิ ทางไปและกลบั ตามลาดบั

จากสูตร H.M.  N = ……………………………………………………

N 1

i = 1 xi

จะไดว้ ่า H.M. 







ดงั นนั้ ความเร็วโดยเฉลย่ี ในการเดนิ ทางไปและกลับในครงั้ นี้โดยประมาณ.........................ไมลต์ อ่ ชวั่ โมง

3. ในโรงงานแหง่ หนึ่ง นาย ก. ทางานหนงึ่ หน่วยแล้วเสรจ็ ในเวลา 4 นาที นาย ข. นาย ค นาย ง .และนาย จ.

ทางานหนว่ ยเดยี วกนั นีเ้ สร็จในเวลา 5, 6, 10 และ12 นาที ตามลาดบั จงหาคา่ เฉล่ยี ของอัตราการทางานของ
คนทง้ั 5 นี้ และจงหาว่าใน 6 ช่วั โมง ท้งั 5 คนนจ้ี ะทางานไดร้ วมทั้งส้นิ กีห่ นว่ ย
วธิ ีทา ข้อมูลชดุ นีก้ าหนดใหใ้ นรปู เวลาท่ีใชต้ ่องานหนง่ึ หนว่ ยคือ …………………………………….

ถา้ เราต้องการพิจารณาผลงานตอ่ หน่งึ หน่วยเวลา คา่ เฉลี่ยทเี่ หมาะสม คือ ค่าเฉลยี่ ฮารโ์ มนิค

น่ันคอื H.M.  N = ……………………………………………………
จะไดว้ ่า
N 1
i = 1 xi

H.M. 







ดงั น้นั คา่ เฉลย่ี ของอัตราการทางานของทัง้ 5 คอื ...................................นาทีต่องานหน่ึงหนว่ ย

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 105

แบบฝกึ เสริม เพ่มิ ความเข้าใจ
ค่าเฉลีย่ เรขาคณิต คา่ เฉล่ยี ฮาร์มอนิก

คาชแ้ี จง 1. จงหาค่าเฉล่ยี เรขาคณิตและค่าเฉลย่ี ฮารโ์ มนคิ ของ

1) 2, 3, 6, 8, 27
2) 2, 4, 6, 8, 10
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. มีนักเรียนคนหนึ่งว่ิงรอบสนามสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดย ด้านแรกวิ่งด้วยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที ด้านท่ี
สองว่ิงด้วยอัตราเร็ว 7 เมตร/วินาที ด้านท่ีสามวิ่งด้วยอัตราเร็ว 8 เมตร/วินาที ด้านที่ส่ีวิ่งด้วยอัตราเร็ว 5 เมตร/
วินาที จงหา อัตราเร็วในการวิ่งของนักเรยี นคนน้ี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 106

3. เจา้ ของรถยนตค์ นั หน่ึงใช้น้ามนั เครื่องย่ีหอ้ หนึง่ ซง่ึ มีราคาเพิ่มข้ึนทุกปี โดยที่ปีแรกราคาลิตรละ 8 บาท
ปีทีส่ องราคาลิตรละ 12 บาท ปที สี่ ามราคาลติ รละ 18 บาท ปีท่ีส่ีราคาลิตรละ 28 บาท จงหาราคาเฉลี่ยของน้ามัน
เคร่อื งทัง้ 4 ปีดังกลา่ ว ถ้า

1) เจา้ ของรถยนต์ใชเ้ งินไป 1,000 บาท สาหรบั ค่านา้ มนั เคร่ืองในแต่ละปี
2) แต่ละปเี ขาใช้นา้ มันเครอ่ื ง 10 ลติ ร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. จากการวัดปริมาตรของก๊าซชนิดหน่ึงที่ความดันต่าง ๆ กัน ได้ผลมีหน่วยเป็นลูกบาศก์ดังน้ี 3, 2.4, 4,
4.8 จงหาคา่ เฉล่ยี เรขาคณิตของปรมิ าตร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 107

5. คนงาน 8 คน มรี ายได้ตอ่ วันจากการทางานดังน้ี
คนงาน A B C D E F G H
รายได้ (บาท) 70 10 500 75 8 250 8 42

จงหาคา่ เฉลีย่ เรขาคณิตของรายได้ต่อวันของคนงานท้งั 8 คน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จากข้อมูล 3, 5, 8, 7, 2 จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต ค่าเฉล่ียฮาร์มอนิก ค่าเฉล่ียเรขาคณิต และ
เปรียบเทยี บค่าทัง้ สาม
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 108

กจิ กรรม : เปอร์เซน็ ไทล์ ควอรไ์ ทล์ เดไซล์
หาอยา่ งไร กรณีแจกแจงความถ่ี

มมุ ความรู้ การหาเปอร์เซน็ ไทล์ ควอร์ไทล์ และเดไซลข์ องขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี มีขั้นตอนดังน้ี
1) หาตาแหน่งของค่าที่ต้องการ โดยใช้สูตรในการหาตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ ควอร์

ไทล์ และเดไซล์ ถ้า N เป็นจานวนข้อมลู ทัง้ หมด สรปุ ไดด้ ังน้ี

ตาแหน่งของ Pr คอื ตาแหน่งที่ Nr เมอ่ื r  1, 2, 3

100

ตาแหนง่ ของ Qr คือ ตาแหนง่ ที่ Nr เม่อื r  1, 2, 3, ..., 99
4

ตาแหน่งของ Dr คือ ตาแหน่งที่ Nr เมื่อ r  1, 2, 3, ..., 9
10

2) เมื่อหาตาแหน่งของคา่ ท่ีตอ้ งการไดแ้ ล้ว ให้ตรวจดูว่าค่าดังกล่าวอยู่ในอนั ตรภาคชัน้ ใด

3) คานวณหาค่าดังกลา่ วโดยใชว้ ิธกี ารเช่นเดยี วกับการหามธั ยฐานหรือจะหาจากสูตรก็ได้

และสูตรที่จะใช้หานกี้ ็คล้ายกับสตู รการหามัธยฐาน จะตา่ งกันตรงที่ตาแหน่งและอันตรภาคช้ันท่ีใช้

หาเทา่ นน้ั ถา้ N เป็นจานวนขอ้ มลู ทัง้ หมดในประชากร หรือถ้าเป็นข้อมูลตัวอย่างให้ใช้ n แทน

N ซงึ่ สามารถสรุปเปน็ สูตรได้ดงั นี้

Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




Qr  Nr  fL 
 f 
 L  4 I




Dr  Nr  fL 
 f 
 L  10 I




เมอ่ื L คอื ขอบลา่ งของอันตรภาคชั้นที่ Pr , Qr หรือ Dr อยู่

I คือ ความกวา้ งของอันตรภาคชนั้ ท่ี Pr , Qr หรอื Dr อยู่

fL คือ ผลบวกของความถข่ี องทุกอันตรภาคช้ันที่มีค่าต่ากว่า

อนั ตรภาคช้ันท่ี Pr , Qr หรือ Dr อยู่

f คือ ความถีข่ องอนั ตรภาคชั้นที่ Pr , Qr หรอื Dr อยู่

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 109

1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนจานวน 50 คน แจกแจงได้ดังตาราง จงคานวณหาค่าของ

,P25 D8 และ Q2

คะแนน จานวน (คน)

91 - 100 2
81 - 90 8
71 - 80 14
61 - 70 12
51 - 60 6
41 - 50 5
31 - 40 3

วิธที า จากตารางข้างตน้ หาความถี่สะสมจะได้
จากตาราง N  50 และข้อมลู ดงั กลา่ วมีการแจกแจงความถ่ี

ตาแหนง่ ของ P25 คือ ตาแหน่งท่ี Nr = …………………………………………………………………

100

จะไดว้ ่าค่าของ P25 อยใู่ นอนั ตรภาคชัน้ ………………………………………

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




และเนอื่ งจาก L  50.5, I  10, fL  8 และ fPr  6

ดงั นน้ั P25  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ P25  …………………………..คะแนน

ตาแหน่งของ D8 คอื ตาแหนง่ ที่ Nr = …………………………………………………………………

10

จะได้ว่าค่าของ D8 อยูใ่ นอนั ตรภาคชัน้ ………………………………………

จากสตู ร Dr  Nr  fL 
 f 
และเน่อื งจาก  L   10 I
ดังนัน้ 



 และL  ................., I  ................., fL  ................. f  .................

D8  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 110

เพราะฉะนัน้ D8  …………………………..คะแนน

ตาแหน่งของ Q2 คอื ตาแหนง่ ที่ Nr = …………………………………………………………………

4

จะได้ว่าค่าของ Q2 อยใู่ นอันตรภาคช้นั ………………………………………

จากสตู ร Qr  Nr  fL 
 f 
และเนอ่ื งจาก  L  4 I
ดงั นั้น 



 และL  ................., I  ................., fL  ................. f  .................

Q2  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนั้น Q2  …………………………..คะแนน
2. คะแนนสอบของนกั เรยี น 60 คน มีการแจกแจงไดด้ งั น้ี

คะแนน จานวนนักเรียน

21 - 30 2

31 - 40 5
41 - 50 8
51 - 60 24
61 - 70 6
71 - 80 9
81 - 90 6

เสาวภาและจารุณีเป็นนักเรียนในกลุ่มน้ี จารุณีได้คะแนนในตาแหน่งควอร์ไทล์ท่ี 3 และเสาวภาได้

คะแนนในตาแหน่งเดไซล์ท่ี 9 ถ้าคะแนนเต็ม 100 คะแนน เสาวภาได้คะแนนมากกวา่ จารณุ ีก่ีเปอร์เซน็ ต์

วิธีทา จะหาว่าเสาวภาได้คะแนนมากกว่าจารุณีก่ีเปอร์เซ็นต์ ซ่ึงจะต้องหาคะแนนของเสาวภาและจารุณีให้ได้

เสยี ก่อน นนั่ คือ ต้องหา Q3 และ D9
จากตารางจะพบว่า จานวนนักเรยี นท้งั หมดคือ N  .....................

1) หาตาแหนง่ ของ Q3 และ D9 เน่ืองจาก N  60 และข้อมลู ดังกล่าวมีการแจกแจงความถี่

ดังน้นั ตาแหนง่ ของ Q3 คือ ตาแหน่งที่ Nr  ..........................................................
4

ตาแหนง่ ของ D9 คือ ตาแหนง่ ท่ี Nr  ..........................................................
10

2) หาอันตรภาคช้นั ท่ี Q3 และ D9 อยู่

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 111

อันตรภาคช้ันที่ Q3 อยู่ทตี่ าแหนง่ ท.่ี ..........เม่อื นับนกั เรียนท่ไี ดค้ ะแนนนอ้ ยทีส่ ดุ ไปหานกั เรียนที่
ไดค้ ะแนนมากทส่ี ุด ตามลาดบั นักเรียนคนที่ 45 จะอยู่ในอันตรภาคช้ัน 61 - 70 และจะมีคะแนนมาก

ที่สุดในจานวนนักเรียนท้ังหมดทอ่ี ยู่ในอันตรภาคชนั้ ดังกลา่ ว

จะไดว้ ่า Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

น่นั คือ Q3  ......... คะแนน จากตารางแสดงวา่ คนท่ี 45 จะมคี ะแนนอย่ทู ่ีขอบบนของอันตรภาคช้ัน
ซง่ึ เทา่ กับ....................

อนั ตรภาคชัน้ ที่ D9 อยทู่ ี่ตาแหน่งท.ี่ ..........เมือ่ นบั นักเรยี นทีไ่ ดค้ ะแนนนอ้ ยทสี่ ุดไปหานักเรียนท่ี
ได้คะแนนมากท่ีสุด ตามลาดับ จะพบว่านักเรียนคนที่ 54 จะเป็นคนที่อยู่ในอันตรภาคช้ัน 71 - 80

และจะมีคะแนนมากทีส่ ดุ ในจานวนนกั เรยี นท้งั หมดท่ีอยู่ในอันตรภาคชั้นดังกลา่ ว

จะไดว้ า่ D9  ……………………………………………..
= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

น่นั คือ D9  ......... คะแนน จากตารางแสดงวา่ คนที่ 54 จะมคี ะแนนอยู่ท่ีขอบบนของอันตรภาคช้ัน
ซึ่งเท่ากับ....................

เพราะฉะน้ัน เสาวภาได้คะแนน……………….คะแนน
จารุณีได้คะแนน………………....คะแนน

น่ันคือ เสาวภาได้คะแนนมากกว่าจารุณี........................................................คะแนน
เนื่องจาก การสอบคร้ังนี้มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน
ดังน้ัน เสาวภาไดค้ ะแนนมากกวา่ จารณุ ี……………....เปอร์เซ็นต์

3. จากผลการสอบของนักเรียน 120 คน ปรากฏผลดังตารางตอ่ ไปนี้

คะแนน จานวนนักเรียน

30 - 39 1
40 - 49 3
50 - 59 11
60 - 69 21
70 - 79 43

80 - 89 32

90 - 99 9

จงหา Q2, D5 และ P50 แล้วเปรียบเทียบคา่ ท่ีได้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 112

วธิ ีทา จากตารางหาความถ่ีสะสมได้ดงั น้ี

1) หา Q2, D5 และ P50 แลว้ เปรียบเทยี บค่าท่ีได้
(1) หา Q2

ตาแหนง่ ของ Q2 คือ ตาแหนง่ ที่ Nr  ……………………………………………………………….
4

จะไดว้ า่ ค่าของ Q2 อยู่ในอนั ตรภาคช้นั ………………………………….

จากสูตร Qr  Nr  fL 
 f 
 L   4 I




และเนื่องจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดังน้นั Q2  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนนั้ Q2  ........................ คะแนน
(2) D5

ตาแหน่งของ D5 คือ ตาแหนง่ ท่ี Nr  ……………………………………………………………….
10

จะไดว้ า่ ค่าของ D5 อยู่ในอนั ตรภาคชั้น………………………………….

จากสูตร Dr  Nr  fL 
 f 
 L  10 I




และเนื่องจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดังนน้ั D5  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ D5  ........................ คะแนน
(3) P50

ตาแหน่งของ P50 คอื ตาแหนง่ ท่ี Nr  ……………………………………………………………….

100

จะได้วา่ ค่าของ P50 อยใู่ นอนั ตรภาคชัน้ ………………………………….

จากสตู ร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 113

และเน่อื งจาก L  ................., I  ................., และfL  ................. f  .................

ดงั น้ัน P50  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนั้น P50  ........................ คะแนน
จาก (1), (2) และ (3) จะไดว้ ่า……………………………………………..……………………………………………..

คาถาม : ชวนคิด

นักเรียนคิดวา่ เมื่อหา Q1 และ P25 แลว้ เปรยี บเทยี บค่าท่ีไดจ้ ะเปน็ อย่างไร เพราะเหตใุ ด
.......................................................................................................................................
.......................................................................................... .............................................
.......................................................................................................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 114

แบบฝกึ เสริม เพ่ิมความเข้าใจ
เปอรเ์ ซ็นไทล์ ควอร์ไทล์ เดไซล์

คาช้ีแจง 1. จงใช้ขอ้ มลู ในตารางแจกแจงความถ่ตี อบคาถาม ดังนี้

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–99

ความถี่ 2 3 6 9 21 15 4
Q3 Q1
1) จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

2) จงหาคา่ ของ D8 – D4

3) ถ้านกั เรียนคนหนง่ึ สอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเปน็ เปอร์เซ็นไทล์ท่ีเทา่ ไร

วิธที า หาความถีส่ ะสมของข้อมูลจากตารางดังนี้

คะแนน 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 99 - 90

ความถ่ี 2 3 6 9 21 15 4

ความถี่สะสม Q3 Q1

1) หาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์   
 
 2 

ตาแหนง่ ของ Q1 คือ ตาแหนง่ ที่ Nr = ……………………..............จะได้วา่ ค่าของ Q1 อยใู่ นอนั ตรภาคชัน้ …………….
4

 Nr  fL  fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสตู ร
Qr และเน่ืองจาก L  .........., I  ..........,



ดงั นนั้ Q1  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนั้น Q1  …………………………..คะแนน

ตาแหนง่ ของ Q3 คอื ตาแหน่งที่ Nr = ………………….............จะได้ว่าคา่ ของ Q3 อยู่ในอันตรภาคชั้น……………
4

 Nr  fL  และเนื่องจาก fL  .......... และ f  ..........
 
= L 4 f I
 
จากสูตร
Qr L  .........., I  ..........,



ดังนน้ั Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ Q3  …………………………..คะแนน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 115

ดงั น้ัน สว่ นเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์  Q3 - Q1  .........................................

2

 .........................................
2) หา D8 – D4

ตาแหน่งของ D8 คอื ตาแหน่งท่ี Nr = …………………..............จะได้ว่าคา่ ของ D8 อยูใ่ นอันตรภาคชนั้ …………
10

 จากสูตร  Nr  fL 
 f  และเน่ืองจาก fL  .......... และ f  ..........
Dr  L 10 I L  .........., I  ..........,




ดงั นน้ั D8  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนนั้ D8  …………………………..คะแนน

ตาแหนง่ ของ D4 คอื ตาแหน่งท่ี Nr = …………………..............จะได้ว่าค่าของ D4 อยใู่ นอนั ตรภาคช้ัน…………
10

 Nr  fL  และเน่ืองจาก fL  .......... และ f  ..........
 
 L 10 f I
 
จากสตู ร
Dr L  .........., I  ..........,



ดงั นัน้ D4  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนนั้ D4  …………………………..คะแนน
ดงั นน้ั D8  D4  ………………………………………………….. คะแนน

3) ถ้านักเรียนคนหนึ่งสอบได้คะแนน 84 คะแนน คะแนนของเขาเป็นเปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ีเทา่ ไร

สมมติให้คะแนน 84 คะแนนเปน็ คะแนนในตาแหน่ง Pr
Nr
น่นั คอื Pr อยใู่ นตาแหน่งของขอ้ มลู ท่ี 100  ………………………………และ 84 อยู่ในอนั ตรภาคช้ัน……………….

จากสูตร Pr  Nr  fL 
 f 
 L   100 I




แทนค่าในสูตร ; ………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังน้นั นักเรยี นท่ีสอบได้ 84 คะแนน สอบได้ตาแหนง่ เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี.......................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 116

2. คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนักศึกษากลุ่มหนง่ึ เป็นดังน้ี

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
จานวนนักศึกษา 2 5 6 11 11 4 1
ในการสอบครัง้ นกี้ ญั ญาได้ 50 คะแนน ปราณไี ด้ 55 คะแนน และวิชยั ได้ 60 คะแนน
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ วา่ ข้อใดถูกหรอื ผดิ เพราะเหตใุ ด
ก. กัญญาได้คะแนนตา่ งจากตาแหนง่ ควอร์ไทลท์ ี่ 1 นอ้ ยกวา่ ปราณไี ด้คะแนนตา่ งจากตาแหน่งเดไซลท์ ี่ 5
ข. กญั ญาไดค้ ะแนนต่างจากตาแหน่งควอรไ์ ทลท์ ่ี 1 มากกวา่ วชิ ยั ได้คะแนนต่างจากตาแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 80
ค. กัญญาได้คะแนนต่างจากตาแหน่งควอรไ์ ทล์ที่ 1 มากกวา่ ปราณไี ดค้ ะแนนตา่ งจากตาแหน่งเดไซล์ท่ี 5
ง. ปราณีได้คะแนนต่างจากตาแหน่งเดไซล์ที่ 5 มากกวา่ วชิ ัยไดค้ ะแนนตา่ งจากตาแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 80
วิธที า สรา้ งตารางแจกแจงความถดี่ งั น้ี

คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
จานวนนกั ศึกษา 2 5 6 11 11 4 1
ความถ่ีสะสม
ควอรไ์ ทล์ท่ี 1 อยใู่ นตาแหน่งความถี่สะสม………………………………ซึ่งอยู่ระหวา่ งความถ่ีสะสม.......และ........

จากสูตร Qr  Nr  fL  ดงั น้นั Q1  …………………………………………………………
 f  = …………………………………………………………
= L 4 I




กัญญาได้ 50 คะแนน ตา่ งจาก Q1 เทา่ กับ................................................คะแนน

เดไซล์ท่ี 5 อยใู่ นตาแหน่งความถสี่ ะสม……………………………………ซึ่งอยู่ระหว่างความถี่สะสม.......และ........

จากสตู ร Dr  Nr  fL  ดังนนั้ D5  …………………………………………………………..
 f  = …………………………………………………………..
 L 10 I




ปราณีได้ 55 คะแนน ตา่ งจาก D5 เทา่ กบั ................................................คะแนน
เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 80 อยู่ในตาแหนง่ ความถส่ี ะสม…………………………ซง่ึ อย่รู ะหว่างความถี่สะสม......และ.......

จากสตู ร L  Nr  fL  ดังนัน้ P80  ………………………………………………………..
 f  = ………………………………………………………..
Pr    100 I




วชิ ยั ได้ 60 คะแนน ตา่ งจาก P80 เทา่ กบั ................................................คะแนน

ดังน้นั ข้อ ก ……………………………………………..……………………………………………..

ข้อ ข ……………………………………………..……………………………………………..

ข้อ ค ……………………………………………..……………………………………………..

ข้อ ง ……………………………………………..……………………………………………..

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 117

3. กาหนดให้คา่ จ้างรายวันของคนงานกลุม่ หน่งึ มกี ารแจกแจงดังน้ี

ค่าจา้ ง (บาท) จานวนคนงาน

81 - 85 1

86 - 90 3

91 - 95 x

96 - 100 5

101 - 105 8

106 - 110 y

111 - 115 10

116 - 120 4

ข้อมลู ชุดน้ีมี P25 100.5, Q3 110.5 แล้วจานวนคนงานทไี่ ด้ค่าจา้ งรายวันต่ากว่า 105.5 บาท เท่ากับเท่าใด
วธิ ีทา

จะได้ N  ………………….

เนื่องจากตาแหนง่ ของ Pr คอื ตาแหน่งที่ Nr   50  ………………………………………
100
100

ตาแหน่งของ Q3 คอื ตาแหนง่ ที่ Nr   3  …………………………………………………
4
4

เพราะว่า P25  100.5 อย่ใู นช่วง……………………..เพราะฉะนั้น P25 มี fL  ………………………

ดังนน้ั 1 31 x  y  9  x

4

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..…………………………………………….. (1)

เพราะว่า Q3  110.5 อยู่ในช่วง………………………..เพราะฉะน้ัน Q3 มี fL  ……………………

ดงั น้ัน 3 31 x  y  17  x  y

4

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..…………………………………………….. (2)

(1) + (2) ; ……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

……………………………………………..……………………………………………..

น่นั คอื จานวนคนงานท่ีได้คา่ จ้างรายวนั ตา่ กว่า 105.5 บาท เท่ากบั …………………………………………คน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 118

กจิ กรรม : พิสัย
ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์

ส่วนเบยี่ งเบนเฉล่ีย

มมุ ความรู้ พสิ ยั (range)
พิสัย คือ ค่าท่ีใช้วัดการกระจายท่ีได้จากผลแตกต่างระหว่างข้อมูลท่ีมีค่าสูงสุดและ

ขอ้ มูลท่มี คี า่ ต่าสดุ
ถ้า x1, x2, x3, ..., xn เป็นคา่ ของข้อมูลชุดหนง่ึ
พิสัย  xMax  xMin
เมือ่ xMax และ xMin เป็นค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของขอ้ มูลชดุ น้ีตามลาดบั
ในกรณที ขี่ ้อมลู แจกแจงความถโ่ี ดยแบง่ เป็นอันตรภาคชั้น
พิสัย คือ ผลต่างของขอบบนของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงที่สุดกับขอบล่าง

ของอันตรภาคชนั้ ของขอ้ มลู ท่ีมคี า่ ต่าที่สุด

1. จากตารางราคาสนิ คา้ ท่ีจาหน่ายในหา้ งสรรพสินคา้ 5 แห่งดงั นี้
ห้างสรรพสนิ ค้า A B C D E
ราคาสนิ คา้ (บาท) 2,000 1,990 2,025 1,995 2,000

จงหาพสิ ัยของราคาสินค้าที่จาหน่าย
วิธีทา จากกตารางพบว่า คา่ สงู สุดของข้อมูล คือ ....................................

คา่ ตา่ สดุ ของข้อมลู คือ ....................................
ดังน้ัน พสิ ัยของราคาสินค้าที่จาหน่าย คอื ........................................................................ บาท

2. ตารางแจกแจงผลผลิตโดยเฉลยี่ ต่อไรข่ องถว่ั เหลืองจาก 47 จังหวดั ของประเทศไทยในปีเพาะปลูก 2555-2556

ผลผลติ ต่อไร่ (กโิ ลกรัม) ความถ่ี

120 - 138 3

138 - 157 1

158 - 176 6

177 - 195 8

196 - 214 19

215 - 233 2

234 - 252 7

253 - 271 1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 119

จงหาพสิ ัยของขอ้ มลู จากตารางแจกแจงความถี่
วิธีทา จากกตาราง อันตรภาคชั้นของข้อมลู ท่ีมคี ่าสูงสดุ คือ ....................................

ขอบบนของอันตรภาคชั้น 253 - 271 คือ ....................................
อนั ตรภาคชัน้ ของข้อมลู ท่ีมตี ่าสูงสดุ คือ ....................................
ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชนั้ 120 - 138 คอื ....................................
ดงั นั้น พิสยั คอื ........................................................................กโิ ลกรมั

มมุ ความรู้ ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ หรือกึ่งช่วงควอรไ์ ทล์ (quartile deviation หรือ semi -
interquartile range)

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายท่ีหาได้จากคร่ึงหน่ึงของผลต่าง
ระหว่างควอรไ์ ทลท์ ่ีสาม ( Q3 ) และควอรไ์ ทล์ที่หนึ่ง ( Q1 ) ให้ Q.D. เป็นสัญลักษณ์แทนส่วน
เบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ จะไดว้ ่า

Q.D.  Q3  Q1
2

3. จากขอ้ มลู ทกี่ าหนดให้ 1, 3, 3, 5, 5, 8, 10, 12, 14 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์

วิธที า นาข้อมูลมาเรียงลาดับจากค่าน้อยไปหาคา่ มาก จะได้

......................................................................................................................................................................

หาตาแหนง่ ของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาแหนง่ ของ Q1 คอื ตาแหนง่ ท่ี N 1  ...........................................................................
4

ตาแหน่งของ Q3 คือ ตาแหน่งที่ 3 N 1  .....................................................................

4

จะได้วา่ Q1  ....................... และ Q3  .......................

ดังนนั้ Q.D.  Q3  Q1 ........................................................................

2

นั่นคือ ส่วนเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ เท่ากบั ……………………….

4. กาหนดให้ข้อมลู ตอ่ ไปน้เี ป็นผลการสอบวิชาสถิติของนักเรียนจานวน 120 คน

คะแนน จานวนนักเรยี น

30 - 39 1

40 - 49 3

50 - 59 11

60 - 69 21

70 - 79 43

80 - 89 32

90 - 100 9

รวม 120

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 120

จงหาสว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์

วิธีทา หาตาแหนง่ ของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาแหน่งของ Q1 คือ ตาแหนง่ ที่ N  ..............................................................................
4

ตาแหน่งของ Q3 คอื ตาแหนง่ ท่ี 3N  ..............................................................................
4

หาอันตรภาคชั้นท่ี Q1 และ Q3 อยู่ พร้อมท้ังหาคา่ Q1 และ Q3

จากข้อมลู ทก่ี าหนดใหห้ าความถส่ี ะสมได้ดังนี้

คะแนน จานวนนกั เรยี น ความถ่ีสะสม

30 - 39 1 …………………

40 - 49 3 …………………

50 - 59 11 …………………

60 - 69 21 …………………

70 - 79 43 …………………

80 - 89 32 …………………

90 - 100 9 …………………

รวม …………………

เพราะฉะนั้น Q1 อยู่ในอันตรภาคช้นั …………………และ Q3 อยู่ในอันตรภาคชนั้ …………………

หา Q1 ในอนั ตรภาคช้ันโดยใช้สูตรดังน้ี Q1  N  fL 
 f 
 L   4 I




เม่ือ L  ................., I  ................., N  ................., และfL  ................. f  .................
4

ดงั นัน้ Q1  .....................................................................................

หา Q3 ในอนั ตรภาคชัน้ โดยใชส้ ตู รดงั นี้   3N  fL 
 f 
Q3 L   4 I




เม่อื L  ................., I  ................., 3N  ................., และfL  ................. f  .................
4

ดงั น้นั Q3  .....................................................................................

เพราะฉะน้ัน Q.D.  Q3  Q1  …………………………………………………………….

2

นัน่ คือ สว่ นเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ของการสอบวชิ าสถิตคิ รงั้ น้ีเท่ากบั …………………คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 121

มมุ ความรู้ ส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ีย (mean deviation หรอื average deviation)

สว่ นเบ่ียงเบนเฉลี่ย คอื คา่ ท่ีใชว้ ัดการกระจายของข้อมูลท่ีได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์

ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางท่ีใช้

อาจเป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่นิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ให้ M.D. เป็น

สัญลกั ษณแ์ ทนส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่

การหาส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ียของขอ้ มูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี

ถ้า x1, x2, x3, ..., xn เปน็ ข้อมูลตวั อย่าง n จานวน และมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น

X แล้ว M.D.  x1  X  x2  X  ...  xn  X  n
n
 xi  X

i=1

n

5. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนกลุ่มหน่ึงเป็น 33, 39, 39, 48, 51, 60 จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย
คะแนนสอบวชิ าฟสิ กิ ส์ของนักเรยี นกลุ่มนี้

วธิ ที า จากสตู ร X n เพราะฉะน้ัน X  ...................................................

 xi

i=1

n

จากสูตร M.D.  n

 xi  X

i=1

n

ดงั น้นั M.D.  33  ........  39 ........  39 ........  48 ........  51 ........  60  ........

6

 ......................................................................................................................

 ......................................................................................................................

นน่ั คอื สว่ นเบ่ียงเบนเฉลีย่ คะแนนสอบวิชาฟสิ กิ สข์ องนักเรยี นกลุ่มนเี้ ทา่ กบั .................คะแนน

มมุ ความรู้ การหาส่วนเบยี่ งเบนเฉลย่ี ของข้อมูลท่แี จกแจงความถ่ีแล้ว

ถ้า x1, x2, x3, ..., xk เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคช้ันต่าง ๆ k ช้ัน ซ่ึงมีความถี่
เป็น f1, f2, f3, ...., fk ตามลาดับ n เป็นจานวนข้อมูลตัวอย่างท้ังหมด และถ้าข้อมูลชุดนี้มี
คา่ เฉล่ียเลขคณติ เป็น X แลว้ สามารถคานวณสว่ นเบีย่ งเบนเฉลี่ย (โดยประมาณ) ไดจ้ ากสูตร

k k

fi xi  X fi xi  X

M.D.  i=1  i=1
k n

 fi

i=1

เมอ่ื fi แทนความถ่ีของอันตรภาคช้นั ที่ i

xi แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i

k แทนจานวนอนั ตรภาคชน้ั

n แทนจานวนข้อมูลตวั อยา่ งทั้งหมด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 122

6. ตารางแสดงจานวนเงนิ ทีล่ กู ค้าจานวน 25 คน นามาฝากในวันหน่ึงดังน้ี

จานวนเงนิ (พันบาท) จานวนลกู คา้

48 - 50 2

51 - 53 4

54 - 56 3

57 - 59 8

60 - 62 7

63 - 65 1

รวม 25

จงหาสว่ นเบยี่ งเบนเฉล่ียของจานวนเงินทีล่ กู คา้ นามาฝาก

วิธที า จากข้อมูลทกี่ าหนดให้หาค่าต่าง ๆ ได้ดงั น้ี

จานวนเงนิ (พันบาท) จานวนลูกคา้ fi  xi fixi xi  X fi xi  X
2
48 - 50 4 …………… …………… …………… ……………
51 - 53 3 …………… …………… …………… ……………
54 - 56 8 …………… …………… …………… ……………
57 - 59 7 …………… …………… …………… ……………
60 - 62 1 …………… …………… …………… ……………
63 - 65 …………… …………… …………… ……………
…………… …………… ……………
รวม

จากสูตร k
เพราะฉะนน้ั
 fi xi

X  i=1
n

X  ............................................................................................................................

จากสตู ร k
ดงั น้นั
fi xi  X

M.D.  i=1
k

 fi

i=1

M.D.  ..........................................................

นน่ั คอื ส่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ ของจานวนเงนิ ท่ีลกู ค้านามาฝากเท่ากบั .................บาท

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 123

แบบฝึกเสริม เพ่ิมความเข้าใจ
พสิ ยั สว่ นเบีย่ งเบนควอรไ์ ทล์
ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย

คาชีแ้ จง 1. ในการสอบคร้งั หน่งึ มีผู้เขา้ สอบ 3 คน ปรากฏวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 67 มธั ยฐาน เทา่ กับ 65

และพสิ ัยเท่ากบั 16 จงหาว่าผทู้ ี่สอบได้คะแนนสงู สุดมีคา่ เท่าใด
วิธีทา สมมติให้ คะแนนของผู้เข้าสอบท้งั 3 คนเรยี งจากมากไปหาน้อย คือ x3 , x2 , x1

จากโจทย์ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ เท่ากบั 67 จะได้

......................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................(1)

มัธยฐานเทา่ กับ 65 จะได้

.............................................................................................................................................. ...................(2)

และ พสิ ัยเทา่ กบั 16 จะได้

......................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................(3)

นา (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดังนัน้ ผูท้ ส่ี อบได้คะแนนสงู สดุ เท่ากับ....................................คะแนน

2. คะแนนสอบของนกั เรียน 100 คน หาค่าเฉล่ียเลขคณิตได้เท่ากับ 18 และคานวณค่าส่วนเบีย่ งเบนเฉลย่ี จากสตู ร

ไดเ้ ท่ากบั 10 ต่อมาทราบว่าได้อ่านคะแนนผิดไป 1 จานวน นั่นคอื อา่ น 4 เป็น 44 แลว้ จงหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยท่ี

ถูกต้อง

วธิ ที า เน่อื งจาก M.D. ที่อา่ นผดิ เท่ากบั 10 และอ่าน 4 เป็น 44

n
 xi  X
1. แยกคะแนนทีอ่ ่านผิดออกมาก่อน จากสตู ร M.D. 
i=1

99 n

 xi 18  44 18

จะได้ 10  i1 100

................................................................................................................................................ ......................

แสดงว่า............................................................................................................... ...........................................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 124

2. นาคะแนนท่ีถกู ต้องมาคิดรวมกลับคนื

100 99 xi 18  4 18

 xi  X 
 i1 100
M.D.  i=1

100
...............................................................................................

ดังน้ัน ส่วนเบีย่ งเบนเฉลย่ี ทถี่ ูกตอ้ งเท่ากบั …………………………….
3. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 4 จานวน มีมัธยฐานเท่ากับฐานนิยม ซึ่งมีค่าคือ 5 ค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 6 และพิสัยเท่ากับ
9.2 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี ของขอ้ มลู ชุดนี้

วิธีทา ให้ข้อมลู ชุดนีเ้ ป็น x1, 5, 5, x 4 โดยท่ี x1  5 และ x4  5
คา่ เฉลย่ี เลขคณติ เท่ากบั 6 จะไดว้ า่
......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

n
 xi  X
จากสตู รส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย
M.D.  i = 1
n
......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดังนน้ั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี เทา่ กับ………………………

4. จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ จากตารางแสดงจานวนเงนิ ท่ีเด็กนักเรยี นไดร้ ับมาโรงเรยี นภายใน 1 วนั

จานวนเงิน (บาท) จานวนเดก็ นักเรยี น

5 - 7 14

8 - 10 11

11 - 13 36

14 - 16 27

17 - 19 10

รวม 100

วธิ ีทา ตาแหนง่ ของ Q3 คือ ตาแหนง่ ที่ Nr  ………………………………..ซง่ึ อย่ใู นอนั ตรภาคช้ัน.......................
4

จะได้วา่  และL  .........., I  .........., fL  .......... f  ..........

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 125

เพราะฉะนน้ั Q3  ……………………………………..
 ……………………………………..

ตาแหนง่ ของ Q1 คือ ตาแหนง่ ที่ Nr  ………………………………..ซง่ึ อยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั .......................
4

จะได้วา่  และL  .........., I  .........., fL  .......... f  ..........

เพราะฉะนัน้ Q1  ……………………………………..

 ……………………………………..

ดงั น้นั Q.D.  Q3  Q1  ……………………………………..……………………………..………………………

2

น่นั คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเ์ ท่ากับ……………………บาท

5. จากข้อมูลทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้

คะแนน ความถ่ี

36 - 38 2

33 - 35 5

30 - 32 17

27 - 29 10

24 - 26 8

21 - 23 2

จงหาพสิ ัย ส่วนเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ และส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี ของข้อมลู ขา้ งต้น

วิธที า 1) พสิ ัยจากกตารางพบว่า อนั ตรภาคชนั้ ของข้อมูลท่ีมีค่าสงู สดุ คือ……………………………………..

ขอบบนของอนั ตรภาคชัน้ ………………………คือ………………………………

อนั ตรภาคชัน้ ของขอ้ มลู ทีม่ ีต่าสูงสดุ คอื ……………………………………..

ขอบล่างของอันตรภาคชั้น………………………คือ………………………………

ดงั น้นั พิสยั  ………………………………………………………………คะแนน

2) ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์

หาตาแหน่งของ Q1 และ Q3 จะได้

ตาแหนง่ ของ Q1 คอื ตาแหน่งท่ี N  ………………………………………………………………
4

ตาแหนง่ ของ Q3 คือ ตาแหนง่ ท่ี 3N  ………………………………………………………………
4

หาอนั ตรภาคชั้นที่ Q1 และ Q3 อยู่ พร้อมท้ังหาค่า Q1 และ Q3

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 126

คะแนน ความถ่ี ความถสี่ ะสม

21 - 23 2

24 - 26 8

27 - 29 10

30 - 32 17

33 - 35 5

36 - 38 2

รวม 44

Q1 อยู่ในอันตรภาคชัน้ ………………………และ Q3 อย่ใู นอันตรภาคชน้ั ………………………

หา Q1 และ Q3 ในอันตรภาคชัน้ โดยใชส้ ูตรการหาควอร์ไทล์ได้ดังนี้

 N  fL 
 
= L 4 f I
 
จากสูตร
Q1 และเนอ่ื งจาก L  .........., I  .........., fL  .......... และ f  ..........



ดังนั้น Q1  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนัน้ Q1  …………………………..คะแนน

 3N  fL 
 
= L 4 f I
 
จากสตู ร fL  .......... และ f  ..........
Q3 และเนอื่ งจาก L  .........., I  ..........,



ดงั นน้ั Q3  ……………………………………………..

= ……………………………………………..

= ……………………………………………..

เพราะฉะนน้ั Q3  …………………………..คะแนน

ดงั นั้น Q.D.  Q3  Q1  ……………………………………………..……………………………………………..

2

นั่นคอื ส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทลเ์ ท่ากบั ……………………………………………..คะแนน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 127

3) จากข้อมูลท่ีกาหนดให้หาคา่ ตา่ ง ๆ ไดด้ ังนี้ fi xi xi  X fi xi  X
คะแนน ความถ่ี ( fi ) จดุ กึง่ กลาง ( xi )
21 - 23 2
24 - 26 8
27 - 29 10
30 - 32 17
33 - 35 5
36 - 38 2
รวม 44

k
 fi xi
จะได้วา่ X  = ………………………………………….……………………………………………..
จาก i=1
ดังนั้น
n

k

fi xi  X

M.D.  i=1
k

 fi

i=1

M.D.  ……………………………………………..……………………………………………..

นั่นคอื ส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี ของคะแนนประมาณ………………………….คะแนน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 128

กิจกรรม : สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
ฉันเข้าใจ

มุมความรู้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)
การหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี
ถ้า x1, x2, x3, ..., xN เปน็ ข้อมลู ของประชากร N จานวน และมีค่าเฉล่ียเลขคณิต

เป็น μ แล้ว ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร หรือ σ (อ่านว่า ซิกมา “sigma”)
สามารถคานวณได้ดงั น้ี

N N
x
xi  μ2 2
i

σ i=1  i = 1  μ2

NN

โดยที่ μ แทนคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของประชากร

และ N แทนจานวนข้อมูลทั้งหมดของประชากร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation หรือ s ) ซึ่งใช้

เป็นตวั ประมาณของ σ คานวณไดด้ ังน้ี

n  X2 n
x
 xi  2  nX2
i

s i=1  i=1
n 1
n 1

โดยท่ี X แทนคา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของตัวอยา่ ง

และ n แทนจานวนขอ้ มูลทั้งหมดของตัวอย่าง

1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่านมา
ตัง้ แต่ พ.ศ. 2546 ถึง พ.ศ. 2555 ซง่ึ มีจานวนเงินฝากในแต่ละปีดังตาราง (ทีม่ า : ธนาคารแหง่ ประเทศไทย)

พ.ศ. จานวนเงินฝาก (ล้านล้านบาท)
2546 2.43
2547 2.76
2548 3.25
2549 3.68
2550 4.31
2551 4.69
2552 4.67
2553 4.91
2554 5.11
2555 5.22

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศ์พันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตรพ์ ื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 129

วิธที า จากตารางของจานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชยใ์ นประเทศ ไทย นาไปหา x 2 จะได้ดังตาราง
i

N
 xi
จากจานวนเงนิ ฝากข้างต้นหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตจากสูตร μ  จะได้
i=1

N
......................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................ ......................

......................................................................................................................................................................

N
x
จากสตู รส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากร 2
i

σ i = 1 μ2
N

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

นัน่ คอื สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของจานวนเงินฝากของธนาคารพาณชิ ยใ์ นประเทศ ไทยในรอบ 10 ปีท่ีผ่าน

มา ตง้ั แต่ พ.ศ. 2546 ถงึ พ.ศ. 2555 ประมาณ...............................................................ล้านบาท

มมุ ความรู้ การหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถ่ี
การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรของข้อมูลท่ีแจกแจงความถี่แลว้

σ k k

fi xi  μ2  fixi2

i=1  i = 1  μ2
N
N

เม่ือ fi แทนความถขี่ องอนั ตรภาคชั้นที่ i

xi แทนจดุ กึง่ กลางของอันตรภาคช้ันที่ i

N แทนจานวนขอ้ มูลทงั้ หมดในประชากร

k แทนจานวนอันตรภาคชน้ั

μ แทนค่าเฉลีย่ เลขคณิตของประชากร

2. ตารางแสดงความสงู ของนกั เรยี นทั้งหมด 100 คน ซ่ึงปรากฏดังตารางต่อไปนี้

ความสงู (นว้ิ ) จานวนนักเรียน xi fixi
60 - 62 5

63 - 65 18

66 - 68 42

69 - 71 27

72 - 74 8

รวม 100

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 130

จงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานความสูงของนกั เรยี น
วิธที า จากตารางหาคา่ เฉลย่ี ไดด้ งั น้ี

k
 fi xi
จะไดว้ ่า μ  = ……………………………………………………..
i=1

N

ความสงู (นิ้ว) จานวนนกั เรียน f  xi xi  μ xi  μ2 fi xi  μ2
60 - 62 5 61 -6.45 41.6025 208.0125
63 - 65 18 ……… …………. …………. ………….
66 - 68 42 ……… …………. …………. ………….
69 - 71 27 ……… …………. …………. ………….
72 - 74 8 ……… …………. …………. ………….

รวม 100 ………….

จากตาราง n ………………… และ N  ……………..
จากสูตร
fi xi  μ2 

i=1

σ k

fi xi  μ2

i=1

N

ดงั น้ัน ................................................................................

................................................................................

..............................................................................

นั่นคือ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของความสงู ของนักเรยี นประมาณ.................นว้ิ

มุมความรู้ การหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่
การหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวอย่างของข้อมลู ที่แจกแจงความถแี่ ลว้

  k fi xi  X 2 k

 fixi2  nX2

s i=1  i=1
n 1
n 1

เม่อื fi แทนความถ่ขี องอันตรภาคชน้ั ท่ี i

xi แทนจดุ กึง่ กลางของอนั ตรภาคช้ันท่ี i

n แทนจานวนตัวอย่างทงั้ หมด

k แทนจานวนอันตรภาคชั้น

X แทนค่าเฉล่ยี เลขคณิตของตัวอย่าง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 131

3. จงหาส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยประมาณจากจานวนวันลาของนักเรยี น 50 คน ซง่ึ ปรากฏดงั ตารางต่อไปนี้

จานวนวันลา จานวนนักเรยี น
0–2 15
3–5 20
6–8 12
9 – 11 2
12 – 14 1

วธิ ีทา จากขอ้ มลู ข้างตน้ นามาสร้างตารางใหม่ ไดด้ งั นี้

จานวนวนั ลา ความถี่ fi  จุดก่ึงกลาง xi  x 2 fixi fi x 2
i i
0–2 15 1 15
3–5 20 ………………. 1 ………………. 15
6–8 12 ………………. ……………….
9 – 11 2 ………………. ………………. ………………. ……………….
12 – 14 1 ………………. ……………….
รวม ………………. ………………. ………………. ……………….

………………. ……………….

………………. ……………….

……………….

k
 fi xi
จะได้ว่า X  = ………………………………………………………………………………..
i=1

n

n
 fi
ดงั นัน้ x 2  nX2 = …………………………………………………………………………
i

s i=1

n 1

= …………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………

นัน่ คือ จานวนวนั ลาของนกั เรยี นแต่ละคนจะตา่ งจากจานวนวนั ลาโดยเฉล่ียของนกั เรียน 50 คน
อยู่ประมาณ……………….วนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พืน้ ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 132

มุมความรู้ ความแปรปรวนของประชากร (population variance)
ความแปรปรวน คอื ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานยกกาลังสอง ความแปรปรวนของข้อมูล

ประชากรทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถ่ี หาไดโ้ ดยใชส้ ูตร

N N

xi  μ2  xi2
σ2  i = 1  i = 1  μ2
NN
และความแปรปรวนของข้อมูลประชากรที่แจกแจงความถี่ หาไดโ้ ดยใช้สูตร

k k

fi xi  μ2  fixi2
σ2  i = 1  μ2
 i=1
NN
เม่ือ xi แทนจดุ กึ่งกลางของอนั ตรภาคชนั้ ท่ี i

k แทนจานวนอันตรภาคชั้น

fi แทนความถ่ีของอนั ตรภาคชน้ั ที่ i
N แทนจานวนข้อมูลท้ังหมดในประชากร

ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง (sample variance)

ความแปรปรวนของข้อมลู ตัวอย่างท่ีไม่ได้แจกแจงความถ่ี หาไดโ้ ดยใช้สตู ร

n  xi  X 2 n

  xi2  nX2
s2  i = 1
 i=1
n 1 n 1
ความแปรปรวนของข้อมูลตัวอย่างที่แจกแจงความถี่ หาได้โดยใชส้ ตู ร

  k fi xi  X 2 k
fi
x 2  nX2
i

s2  i = 1  i=1
n 1 n 1
เมอ่ื fi แทนความถขี่ องอนั ตรภาคช้ันท่ี i

xi แทนจุดกึง่ กลางของอนั ตรภาคชัน้ ท่ี i

n แทนจานวนข้อมลู ทั้งหมดในตัวอยา่ ง

k แทนจานวนอันตรภาคชน้ั

4. ครอบครัวหน่ึงมีบุตร 3 คน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของบุตรทั้งสามเท่ากับ 5 ปี ถ้าบุตรคนโตและคนกลางมีอายุ 8 ปี
และ 5 ปี ตามลาดับ ความแปรปรวนของอายขุ องบตุ รท้ังสามคนนจ้ี ะเทา่ กับเทา่ ใด

วธิ ีทา สมมตใิ หบ้ ุตรคนเลก็ อายุ..............ปี
เน่อื งจากคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของอายุบตุ รท้ัง 3 คนเท่ากบั 5 ปี
นนั่ คือ …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
แสดงว่า อายขุ องบุตรทง้ั 3 คน คือ 8, 5 และ 2 ปตี ามลาดบั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 133

N
x
หาความแปรปรวนของอายโุ ดยใชส้ ตู ร 2
i

σ2  i = 1 μ2
N
จะได้ …………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

นั่นคือ ความแปรปรวนของอายุของบุตรทั้งสามคนนจ้ี ะเท่ากับ.................(ป)ี 2
5. ในการสอบสมั ภาษณน์ กั เรยี น 3 คน ปรากฏสา่ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และ

พสิ ยั เทา่ กับ 21 จงหาความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณค์ รัง้ น้ี
วธิ ที า ให้ x1, x2, x3 เปน็ คะแนนของนกั เรยี นทั้ง 3 คน ซงึ่ เรียงจากคา่ น้อยไปหาค่ามาก

ดงั นั้น …………………………………………………………………………………………………
และเพราะวา่ ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนเทา่ กับ 53

ดงั น้ัน …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
และเนอื่ งจากพิสัยมีคา่ เท่ากบั 21
นน่ั คอื …………………………………………………………………………………………………
แก้สมการจะได้
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
เพราะฉะน้ัน …………………………………………………………………………………………………

ดังนั้น คะแนนของนักเรยี นทั้ง 3 คน คือ 44, 50, 65 และมีค่าเฉล่ียเท่ากบั 53

N
x
ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณค์ ร้งั นี้ หาได้จากสตู ร σ2  2
i

i = 1 μ2
N
จะได้ …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………
นั่นคอื ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบสมั ภาษณค์ รง้ั นเี้ ท่ากบั ………………………..คะแนน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 134

แบบฝึกเสริม เพ่มิ ความเข้าใจ
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน

คาชี้แจง 1. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 50 จานวน แต่ละจานวนมีค่าเป็นบวก กาหนด  50 xi  X 2  450 และ

i=1

50 เม่ือ เป็นค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ จงหาค่า และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
x
2  1, 250 X X
i

i=1

ขอ้ มูลชุดนี้

วธิ ที า จากสตู ร n  xi  X 2
จะได้


 i=1

N

.......................................................................................................................................

N
x
และจากสตู ร 2
จะได้ i

σ  i =1 μ2
N

............................................................................................................................ ...........

............................................................................................................................. ..........

............................................................................................................ ...........................
............................................................................................................................. ..........
............................................................................................ ...........................................
นั่นคอื X  ……………………และค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ................

2. กาหนด 10 60 และ 10  52  370 จงหาคา่ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร

xi  xi

i=1 i=1

N
x
วธิ ที า การหาค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากรจากสตู ร σ  2 จะต้องหา 10 และ μ
i

i = 1  μ2 x 2
N i

i=1

1) หา 10 พจิ ารณา 10
x
2 xi  52  370
i

i=1 i=1

10 10
  จะได้
xi  52  x 2 10xi  25
i

i=1 i=1

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 135

2) หา μ พิจารณา 10

 xi  60

i=1

จะได้ .............................................................................................................

ดังน้นั N

 xi2

σ  i =1 μ2
N

............................................................................................................

....................................................................................................... .....

นัน่ คือ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากรเท่ากับ……………………………..

3. ในการศึกษาเก่ียวกับน้าหนักของคนท้ังหมด ซึ่งทดลองน้าหนักด้วยวิธีการอย่างหน่ึงเป็นระยะเวลา 3 เดือน
พบว่าผลบวกของน้าหนักที่ลดลงของแต่ละคนเป็น 49 กิโลกรัม และผลรวมกาลังสองของน้าหนักท่ีลดลงของ
แตล่ ะคนเปน็ 455 (กิโลกรัม) 2 ถ้าคานวณค่าสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของนา้ หนักทีล่ ดลงของของคนท้ังหมดเป็น
4 กิโลกรมั มคี นทัง้ หมดก่คี น

วิธที า ให้คนกลุ่มน้ีมที ัง้ หมด...........คน และให.้ ............................................เปน็ น้าหนักทล่ี ดลงของคนที่ 1 ถงึ คน
ท่ี N
จากโจทย์ พบวา่ ...............................................................................................................................

ฉะน้ัน μ  …………………………………………………………..

N
 xi2
จากสตู ร จะได้
 σ2  i = 1  μ 2
N
......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ดงั นน้ั มีคนท้ังหมด....................คน

4. ในงานก่อสร้างตึกใหญ่แห่งหนึ่งมีคนงานท้ังหมดจานวน 100 คน โดยเฉลี่ยแล้วได้ค่าจ้างรายวันคนละ 75 บาท

ถ้าผลรวมกาลังสองของค่าจ้างรายวันของคนแต่ละคนเท่ากับ 575,000 (บาท) 2 ความแปรปรวนของค่าจ้าง

รายวนั ของคนกลุ่มนเ้ี ป็นเท่าไร

วธิ ีทา จากโจทย์ พบวา่ ...............................................................................................................................

จากสตู ร n จะได้

 xi2

 σ2  i = 1  μ 2

N

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 136

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

น่ันคอื ความแปรปรวนของค่าจา้ งรายวนั ของคนงานเท่ากบั ...........................(บาท) 2

5. ค่าเฉลี่ยเลขคณติ และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ หนง่ึ มี 10 จานวน เท่ากับ 15 และ 33 ตามลาดับ

ปรากฏว่าลืมรวมจานวนหนึ่งซ่ึงมีค่าเท่ากับ 26 เข้าไป ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานท่ีถูกต้อง

เป็นเทา่ ไร

วธิ ที า จากทโี่ จทย์กาหนดจะได้........................................................................................................................ ........

จากสตู รคา่ เฉล่ยี เลขคณติ จะได้ x  x
N
ฉะน้นั x  N x  …………………………………………………………

และ x ท่ถี กู ต้องเท่ากับ.................................................……

และเนอ่ื งจาก N  11 ฉะน้ัน x ท่ีถกู ต้อง เทา่ กับ……………………………………………………..

จากสตู รส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน S.D.2 X2  x 2

N

จะได้ x2  S.D.2   x 2
N
……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

ดังนน้ั x 2 ทถี่ ูกต้อง เท่ากบั ………………………………………………………………………………

แทนค่าในสูตรส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานจะได้ S.D2  .......................................................

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

เพราะฉะน้นั S.D. = …………………………………

ดังนั้น ค่าเฉล่ียเลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องเท่ากับ……คะแนน และ..........คะแนน

ตามลาดับ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์พน้ื ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 137

กิจกรรม : การวดั การกระจายสมั พัทธ์

มมุ ความรู้ ในการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของข้อมูลหลาย ๆ กลุ่ม ในบางคร้ังเราต้องการ

เปรียบเทียบว่าข้อมูลในกลุ่มใดมีการกระจายมากกว่ากลุ่มใด ซ่ึงในการเปรียบเทียบการ

กระจายดังกล่าวเราจะนาคา่ ที่ได้จากการวดั การกระจายสัมบูรณ์ของแต่ละกลุ่มมาเปรียบเทียบ

กนั ไมไ่ ด้

ตัวเลขท่ีนามาเปรียบเทียบว่ากลุ่มใดมกี ารกระจายมากกว่ากลุ่มใดน้ัน ก็คือ อัตราส่วน

ระหว่างค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลน้ัน ๆ (ถ้าการวัดการ

กระจายวัดจากค่ากลาง) แล้วจึงนาอัตราส่วนท่ีหาได้มาเปรียบเทียบ เราเรียกอัตราส่วน

ดังกลา่ ววา่ สัมประสทิ ธ์ิของ.... เม่ือได้สัมประสิทธิ์ของการกระจายในแต่ละกลุ่มแล้ว ก็นาไป

เปรียบเทียบกัน ถา้ กลุ่มใดมสี มั ประสทิ ธ์ิของการกระจายมากกวา่ อีกกลุ่มหนึ่ง เราถือว่ากลุ่มน้ัน

มกี ารกระจายของข้อมลู มากกว่าอีกกลมุ่ หน่ึง

การกระจายสัมพทั ธท์ ่นี ิยมใชม้ อี ยู่ 4 ชนดิ ดงั นี้

ชอ่ื การกระจายสัมพัทธ์ สูตร

1. สัมประสิทธิ์ของพสิ ยั

(Coefficient of Rang)

2. สมั ประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

(Coefficient of Quartile Deviation)

3. สมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบยี่ งเบนเฉล่ยี

(Coefficient of Average Deviation)

4. สัมประสทิ ธข์ิ องความแปรผนั

(Coefficient of Variation)

ข้อควรทราบ

1. สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน เป็นวิธีวัดการกระจายสัมพัทธ์ท่ีนิยมกันมากที่สุด

และมักเขียนในรปู ของเปอร์เซ็นตโ์ ดยการคูณด้วย 100

2. การเปรียบเทยี บการวดั การกระจายสัมพทั ธ์ของข้อมลู วา่ ชดุ ใดดีกว่ากันให้ยึดหลัก

การกระจายสัมพัทธ์ชดุ ใดมีค่านอ้ ยกวา่ จะดีกว่า การกระจายสมั พัทธช์ ุดที่มคี ่ามากกว่า

3. คา่ ทใี่ ชว้ ัดการกระจายสัมพัทธไ์ มม่ ีหน่วย

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศพ์ นั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 138

1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหน่ึง สัมประสิทธ์ิของส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนมีค่าร้อยละ 20
ถา้ คะแนนควอรไ์ ทลท์ ่ี 1 มีค่าเทา่ กับ 35.8 คะแนนควอรไ์ ทลท์ ี่ 3 มีค่าเทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้านักเรียน 2 คน มีคะแนนเฉลี่ยจากการสอบครั้งหน่ึงเป็น 60 และมีสัมประสิทธ์ิของพิสัยเป็น 0.2 นักเรียน 2
คนไดค้ ะแนนเทา่ กับเท่าไร โดยทค่ี นท่ี 1 ได้คะแนนมากกวา่ คนที่ 2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี น 200 คน ปรากฏว่านายปรีชาสอบได้คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 25 นาย
สมบัติสอบได้คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 75 ถ้าในการสอบคร้ังนี้มีส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 12
คะแนน และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนเท่ากับ 0.12 คะแนนสอบของนายปรีชาและ
นายสมบตั ิเทา่ กับเท่าไร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 139

4. ตารางแสดงจานวนเงนิ ทีล่ ูกคา้ จานวน 25 คน นามาฝากในวันหน่ึง ดังน้ี

จานวนเงิน (พันบาท) จานวนลกู คา้

48 – 50 2

51 – 53 4

54 – 56 3

57 – 59 8

60 – 62 7

63 – 65 1

รวม 25

จงหาสัมประสทิ ธิข์ องสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลย่ี ของจานวนเงนิ ทลี่ ูกค้านามาฝาก

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. บริษัทผลติ เหล็กเสน้ ทาการผลิตเหลก็ เส้นออกมา 2 ชนดิ หลังจากการทดลองความทนทาน ผลปรากฏว่าชนิดที่

หนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความทนทาน 138.61 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 13.50 ชนิดท่ีสองมีค่าเฉลี่ย

เลขคณิตของความทนทาน 86.40 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 12.12 จงตัดสินว่าเหล็กเส้นชนิดใดมีความ

ทนทานกระจายมากกว่าชนดิ ใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภัทรพงศพ์ ันธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พืน้ ฐานและเพ่มิ เติม ม.6 ห น้ า | 140

บทท่ี 2
การแจกแจงปกติ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพม่ิ เติม ม.6 ห น้ า | 141

กิจกรรม : ค่ามาตรฐาน
(Standard score)

มมุ ความรู้ ในการเปรียบเทียบข้อมูล 2 ข้อมูล บางคร้ังจะทาได้ยากเนื่องจากข้อมูลท้ังสองข้อมูลมา

จากข้อมูลต่างชุดกัน หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุดไม่เท่ากัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ต่างกัน แตถ่ ้าตอ้ งการนาข้อมูลมาเปรยี บเทยี บกันและให้มีความถูกต้องมากท่ีสุด เราจะต้องเปลี่ยน

ข้อมลู ทง้ั สองข้อมลู ท่เี ปรียบเทียบกันใหเ้ ปน็ ค่ามาตรฐานเสยี ก่อน

ใชส้ ัญลักษณ์ Z แทนค่ามาตรฐาน และโดยท่ัวไปการแปลงค่าของข้อมูลของตัวแปรแต่ละ

ตัวให้เป็นค่ามาตรฐาน คือ การแปลงข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานท่ีมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0 และ

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 1

ถ้า xi เป็นค่าที่ i ของตวั แปร x แลว้ คา่ มาตรฐานของ xi คือ

ค่ามาตรฐาน สูตร

1. ขอ้ มูลประชากร

2. ข้อมลู ตัวอยา่ ง

เมอื่ i คือ 1, 2, 3, . . ., N (n) โดยที่ xi แทนคา่ ท่ี i ของตัวแปร x

 แทนค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของประชากร  แทนสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

N แทนจานวนของประชากร X แทนค่าเฉลยี่ เลขคณิตของตัวอยา่ ง

S แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง n แทนจานวนของตวั อย่าง

สมบัตขิ องคา่ มาตรฐาน

1) คะแนนมาตรฐานเปน็ จานวนลบ เมือ่ ………………………………………………………

คะแนนมาตรฐานเป็นจานวนบวก เมอ่ื ………………………………………………………

คะแนนมาตรฐานเปน็ ศูนย์ เมอ่ื ………………………………………………………

2) ผลรวมของคะแนนมาตรฐานของทุกขอ้ มูลเทา่ กับ…………..น่นั คอื ..............................

3) คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของคะแนนมาตรฐานเทา่ กับ…………..นนั่ คอื ....................................

4) สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานเทา่ กบั …………..น่นั คอื ..........................

5) ผลบวกกาลงั สองของคา่ มาตรฐานของขอ้ มูลชดุ เดยี วกันเท่ากับ…………น่ันคอื .....................

6) คะแนนมาตรฐานของขอ้ มลู ท่ีมีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงการแจกแจงปกติ โดยท่ัวไป

มีคา่ ต้งั แต่………….ถงึ ………….

7) ในการเปรียบเทียบข้อมลู วา่ ข้อมลู ใดดีกวา่ กนั เมื่อนาข้อมลู มาเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐานแล้ว

ขอ้ มูลชุดใดมคี ่ามาตรฐานมาก ใหส้ รปุ วา่ ข้อมลู นน้ั ดีกว่า

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐานและเพ่ิมเติม ม.6 ห น้ า | 142
คา่ มาตรฐาน (Z)
1. จงเปลย่ี นค่าขอ้ มลู (x) ในแต่ละข้อใหเ้ ปน็ คา่ มาตรฐาน (Z)

ขอ้ ที่ ค่าขอ้ มูล คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน

12 4 10

24 3 5

36 6 8

4 10 8 25

5 35 15 10

6 40 35 5

7 65 20 15

8 75 65 10

2. จงเปลย่ี นค่าขอ้ มลู (x) ในแต่ละข้อใหเ้ ป็นค่ามาตรฐาน (Z)
(1) x = 60,  = 50,  = 5
วธิ ที า จากสตู ร คา่ มาตรฐานของ x คือ z  x  



แทนคา่ ..................................
ดงั นัน้ คา่ มาตรฐานของ x = 60 เทา่ กบั .............................
(2) x = 40,  = 60,  = 4
วิธีทา จากสูตร ค่ามาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนค่า ..................................
ดังนนั้ ค่ามาตรฐานของ…………..เทา่ กบั .............................
(3) x = 55,  = 55,  = 5
วิธที า จากสตู ร คา่ มาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนคา่ ..................................
ดงั นน้ั ค่ามาตรฐานของ…………..เท่ากับ.............................
(4) x = 80,  = 10,  = 35
วิธีทา จากสตู ร คา่ มาตรฐานของ x คอื ..................................
แทนค่า ..................................
ดังนั้นค่ามาตรฐานของ…………..เท่ากบั .............................
(5) x = 12,  = 15,  2 = 9
วิธีทา จากสตู ร ค่ามาตรฐานของ x คือ ..................................
แทนค่า ..................................
ดังนั้นคา่ มาตรฐานของ…………..เทา่ กบั .............................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภทั รพงศ์พันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 143

(6) x = 27,  = 15,  2 = 16
วธิ ีทา จากสูตร คา่ มาตรฐานของ x คือ ..................................
แทนคา่ ..................................
ดงั นนั้ ค่ามาตรฐานของ…………..เทา่ กบั .............................

3. จงใชต้ ารางที่กาหนดใหข้ า้ งลา่ ง เพอ่ื พจิ ารณาวา่ เจมส์ จิรายุ เรยี นวชิ าใดได้ดีทส่ี ุด

ตารางผลสอบทัง้ 3 วชิ าของเจมส์ จิรายุ

วชิ า คะแนน  s
ภาษาไทย 75 12
80 15
8
ภาษาอังกฤษ 70 75

วิทยาศาสตร์ 72 65

วิธีทา จากสูตรค่ามาตรฐานของ xi คือ ...................................................

จะได้ว่า zภาษาไทย =………………………………………….

zภาษาองั กฤษ =………………………………………….

zวิทยาศาสตร์ =………………………………………….

เนื่องจากค่ามาตรฐานของวิชา.............................................ของเจมส์ จิรายุ สูงกว่าค่ามาตรฐานของวิชา
อื่น ๆ

ดังนัน้ เจมส์ จริ ายุ เรยี นวชิ า...............................................ไดด้ ีท่สี ุด

4. ในการสอบคัดเลือกเพื่อบรรจุเข้าทางานในบริษัทแห่งหนึ่ง ผู้สมัครจะต้องสอบ 2 วิชา โดยมีผู้สมัครเข้าสอบ

สอบได้คะแนนสูงเพียง 3 คน ถ้าต้องการพนักงานบรรจุ 1 คน และสารองไว้ 1 คน ใครจะสอบได้และใครได้

สารอง

ข้อมูล วชิ า A วชิ า B

มารโิ อ้ 80 75

ณเดชย์ 75 82

บอย ปกรณ์ 88 65

ค่าเฉล่ียเลขคณติ 75 70

ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 10 5

วิธีทา จากสูตร คา่ มาตรฐานของ xi คอื ...................................................

มารโิ อ้ zA =………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพิม่ เติม ม.6 ห น้ า | 144

zB =………………………………………….

zรวม =………………………………………….

ณเดชย์ zA =………………………………………….

zB =………………………………………….

zรวม =………………………………………….

บอย ปกรณ์ zA =………………………………………….

zB =………………………………………….

zรวม =………………………………………….

ดังนั้น…………………………………………………………………………………………………………….

5. นกั เรยี นช้นั ม.5 ของโรงเรียนแหง่ หนึ่งสอบวิชาภาษาไทยได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 54 คะแนน นายสัณและนายศักดิ์
เปน็ นักเรยี นชนั้ นี้สอบภาษาไทยในคร้ังน้ีได้ 60 และ 63 คะแนน ตามลาดับ ถ้าคะแนนสอบของนายสัณคิดเป็น
ค่ามาตรฐานได้เทา่ กับ 1.5 จงหาคา่ มาตรฐานของคะแนนสอบของนายศักด์ิ
วธิ ที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ และนางสาวภศู ิริ ภทั รพงศ์พนั ธ์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพิ่มเติม ม.6 ห น้ า | 145

6. ในการคัดเลือกเขา้ เป็นนกั เรียนพยาบาลแหง่ หนึง่ โดยการชนั้ น้าหนัก ปรากฏว่าน้าหนักเฉล่ียจากผู้สมัครท้ังหมด
เท่ากับ 45 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4 กิโลกรัม ถ้ากาหนดการคัดเลือกผู้จะได้รับคัดเลือก
ต้องได้ค่ามาตรฐาน 2 จงหาวา่ ผ้จู ะไดร้ ับคัดเลือกจะต้องมีน้าหนกั อยา่ งน้อยทส่ี ดุ เทา่ ใด
วธิ ีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

7. ในข้อมลู ชุดหนึ่งเมอ่ื นาคะแนน 350 คะแนนและ 200 คะแนนมาเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 1 และ -0.5
ตามลาดบั จงหาค่าเฉลี่ยและสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ หนึ่ง
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภศู ริ ิ ภัทรพงศพ์ นั ธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์พื้นฐานและเพมิ่ เติม ม.6 ห น้ า | 146

แบบฝกึ เสริม : คา่ มาตรฐาน
(Standard score)

1. ในการสอบถามการนาเงินมาโรงเรียนของนักเรียนห้องหน่ึง ปรากฏว่าคิดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 30 บาท
ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 5 บาท ถา้ นายดานาเงนิ มาโรงเรยี นคดิ เป็นค่ามาตรฐานแตกต่างจากนางสาวขาว
อยู่ 2 บาท แลว้ นายดาและนางสาวขาวมีเงินต่างกนั เทา่ ไร
วิธีทา ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

2. ในการสอบครั้งหนึ่งปรากฏว่าคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 50 คะแนน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนเท่ากับ 10
ถา้ ผลรวมคา่ มาตรฐานของจุ๋มกบั จมิ๋ เท่ากบั 0.3 แล้วผลรวมคะแนนสอบของจมุ๋ กบั จ๋มิ เปน็ เทา่ ไร
วิธที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

3. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างของนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่าอัมพรสอบได้ 39 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐานไดเ้ ท่ากบั 1.5 ถ้าสมั ประสทิ ธ์ิการแปรผันของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 20% จง
หาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของคะแนนสอบวชิ าสถิติของนกั เรยี นห้องน้ี
วิธที า ………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….
………………………………………….………………………………………….………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ และนางสาวภูศริ ิ ภทั รพงศพ์ ันธ์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา