เอกสารประกอบการสอน ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557 ฉบับนักเรียน

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ

กลุมสาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร
ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 4 ปการศึกษา 2557

ชอื่ ...................................................................ชน้ั ม.4/......

ครคู รรชติ แซโ ฮ
โรงเรียนคณะราษฎรบาํ รงุ จังหวัดยะลา
สาํ นกั งานเขตพ้ืนทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศกึ ษาธิการ

คาํ นํา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู ณติ ศาสตรเพ่ิมเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ปการศึกษา 2557 เลมน้ีจัดทําข้ึนเพ่ือนําไปใชประกอบการเรียนการสอนใน
รายวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ซ่ึงตรงตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ัน
พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551 โดยเอกสารประกอบการจดั การเรียนรูดังกลาวประกอบดวย เนื้อหาและ
แบบฝกหัด ในเรื่องตอไปนี้ ตรรกศาสตรเบื้องตน ประพจน การเช่ือมประพจน การหาคาความ
จริงของประพจน การสรางตารางคาความจริง รูปแบบของประพจนท่ีสมมูลกัน ขอความท่ีมีตัว
บงปริมาณและคาความจริงของประโยคท่ีมีตัวบงปริมาณ สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบง
ปริมาณ การอางเหตุผล ระบบจาํ นวนจรงิ จาํ นวนจริง การเทากัน การบวก การลบ การคูณและ
การหารในระบบจํานวนจริง สมบัติของระบบจํานวนจริง การแกสมการพหุนามตัวแปรเดียว
สมบัติการไมเทากัน ชวงและการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกสมการและอสมการในรูปคา
สมั บรู ณ และทฤษฎีจาํ นวนเบ้อื งตน สมบตั ิของจาํ นวนเต็ม

ผูจัดทําขอขอบพระคุณผูอํานวยการโรงเรียน ผูบริหาร หัวหนากลุมสาระการเรียนรู
คณิตศาสตร คณะครูและบุคลากรกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรโรงเรียนคณะราษฎรบํารุง
จังหวดั ยะลา ท่ใี หข อเสนอแนะ คําแนะนาํ ตา ง ๆ สาํ หรับการทําเอกสารฉบับนี้

ผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา เอกสารฉบับนี้จะมีคุณคาและเปนประโยชนตอการจัดเรียนรู
และเปนสวนสําคัญในการพัฒนาการเรียนรูดานตาง ๆ ของกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร เพ่ือ
เปนพ้ืนฐานที่ดีในการศึกษาคณิตศาสตรเพ่ิมเติมหรือนําไปประยุกตใชตอไป หากมีขอผิดพลาด
ประการใดในเอกสารฉบับน้ี ผูจ ดั ทาํ ตอ งขออภัยไว ณ โอกาสน้ี

ดวยความปรารถนาดี

ครูครรชิต แซโ ฮ
วท.บ. วท.ม.(คณติ ศาสตร)
โรงเรียนคณะราษฎรบํารงุ จงั หวดั ยะลา

สารบัญ หนา

เรื่อง 1
2
คาํ อธบิ ายรายวชิ า 3
หนว ยการเรียนรู 4
โครงสรา งรายวชิ า 5
บทที่ 1 ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน 14
20
ประพจนและการเชื่อมประพจน 29
การหาคา ความจริงของประพจน 34
รูปแบบของประพจนท ีส่ มมลู กนั 43
สจั นริ ันดร 45
การอางเหตผุ ล 47
ประโยคเปด 52
ตัวบงปริมาณ 57
คา ความจรงิ ของประโยคท่ีมีตัวบงปริมาณตวั เดยี ว 60
คา ความจรงิ ของประโยคที่มตี ัวบงปริมาณสองเดียว 61
การสมมลู ของประโยคทีม่ ีตัวบง ปริมาณ 62
นิเสธของประโยคท่มี ตี วั บง ปริมาณ 66
บทท่ี 2 ระบบจํานวนจรงิ 80
จาํ นวนจรงิ 84
การแกส มการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว 94
ชว ง 99
อสมการ 104
คา สมั บูรณ 105
การแกอสมการคา สมั บรู ณ 109
บทท่ี 3 ทฤษฎีจํานวนเบ้ืองตน 112
การหารลงตวั 120
จาํ นวนเฉพาะ 131
ข้นั ตอนวธิ ีการหาร 133
ตวั หารรว มมาก
จาํ นวนเฉพาะสัมพัทธ
ตัวคณู รว มนอย

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 0

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 1
รหัสวิชา ค 31201

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 1

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 1 คาอธิบายรายวิชา รหสั วิชา ค31201
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกิต

ศึกษาและฝึก ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเช่ือมโยง
คณติ ศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมคี วามคดิ ริเรม่ิ สรา้ งสรรค์ ในสาระตอ่ ไปน้ี

ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น ประพจน์ การเช่ือมประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ การสร้างตารางค่า
ความจริง รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูลกัน ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่ง
ปรมิ าณ สมมูลและนเิ สธของประโยคท่มี ีตวั บ่งปรมิ าณ การอ้างเหตุผล

ระบบจานวนจริง จานวนจริง การเท่ากัน การบวก การลบ การคูณและการหารในระบบจานวนจริง
สมบัติของระบบจานวนจริง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว สมบัติการไม่เท่ากัน ช่วงและการแก้อสมการ ค่า
สัมบูรณ์ การแก้สมการและอสมการในรปู คา่ สัมบรู ณ์

ทฤษฎีจานวนเบอ้ื งต้น สมบัติของจานวนเต็ม
การจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพอ่ื ให้มคี วามรคู้ วามเข้าใจในเน้อื หา มที กั ษะการแก้ปญั หา การให้เหตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกจิ พอเพยี ง รวมท้งั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซื่อสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งมั่น
ในการทางาน รักความเปน็ ไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใชว้ ธิ ีการหลากหลายตามสภาพเปน็ จรงิ ตามมาตรฐานและตัวชีว้ ัดท่ีกาหนด

ผลการเรียนรู้
1. หาค่าความจริงของประพจนไ์ ด้
2. หารูปแบบของประพจนท์ ่สี มมลู กนั ได้
3. บอกไดว้ ่าการอ้างเหตุผลที่กาหนดให้สมเหตุสมผลหรือไม่
4. มคี วามคิดรวบยอดเกยี่ วกบั ระบบจานวนจริง
5. นาสมบตั ติ ่าง ๆ เกีย่ วกับจานวนจรงิ และการดาเนินการไปใช้ได้
6. แกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี วดกี รไี ม่เกนิ สไ่ี ด้
7. แกส้ มการและอสมการในรปู คา่ สมั บูรณ์ได้
8. เข้าใจสมบตั ิของจานวนเต็ม
9. นาสมบัติของจานวนเต็มไปใช้ในการให้เหตผุ ลเกยี่ วกับการหารลงตัวได้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 2

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 1 หนว่ ยการเรยี นรู้ รหัสวิชา ค31201
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรียนท่ี 1 4 ช่ัวโมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกิต

ชน้ั เรยี น/ภาคเรียน หน่วยการเรยี นร/ู้ สาระการเรยี นรู้ จานวนช่วั โมง
ม. 4 1. ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งตน้ 28

ภาคเรียนที่ 1 - ประพจน์ 38
- การหาค่าความจริงของประพจน์
- การสรา้ งตารางคา่ ความจริง 14
- รปู แบบของประพจน์ทส่ี มมูลกัน 80
- การอา้ งเหตผุ ล
- ขอ้ ความที่มตี ัวบ่งปริมาณ และค่าความจรงิ ของ

ประโยคทม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ
- สมมลู และนเิ สธของประโยคที่มีตวั บง่ ปรมิ าณ
2. ระบบจานวนจรงิ
- จานวนจรงิ
- การเทา่ กัน การบวก การลบ การคูณ และ

การหารในระบบจานวนจริง
- สมบตั ิของระบบจานวนจรงิ
- การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
- สมบตั ิการไม่เทา่ กนั
- ชว่ ง และการแกอ้ สมการ
- คา่ สัมบูรณ์
- การแกส้ มการและอสมการในรูปคา่ สมบูรณ์
3. ทฤษฎจี านวนเบื้องตน้
- สมบัติของจานวนเตม็

รวม

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 3

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 โครงสร้างรายวชิ า รหสั วิชา ค31201
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ภาคเรียนท่ี 1 4 ช่วั โมง/สปั ดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกิต

ลาดับ ชื่อ ผลการเรยี นรู้ สาระการเรียนรูแ้ กนกลาง เวลา น้าหนกั
ที่ หน่วยการเรยี นรู้ (ช่ัวโมง) คะแนน

1 ตรรกศาสตร์เบื้องตน้ ข้อ 1-3 ตรรกศาสตร์เบื้องตน้ ประพจน์ การเชอื่ ม 27 20

ประพจน์ การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์

การสร้างตารางค่าความจริง รูปแบบของ

ประพจน์ท่สี มมลู กัน ข้อความที่มีตวั บ่งปรมิ าณ

และคา่ ความจริงของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ

สมมูลและนเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณ

การอ้างเหตผุ ล

สอบระหวา่ งภาค 1 20

2 ระบบจานวนจรงิ ข้อ 4-7 ระบบจานวนจริง จานวนจริง การเท่ากัน 37 20

การบวก การลบ การคณู และการหารในระบบ

จานวนจริง สมบัตขิ องระบบจานวนจริง

การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดียว สมบตั ิการ

ไมเ่ ทา่ กนั ช่วงและการแก้อสมการ ค่าสมั บูรณ์

การแก้สมการและอสมการในรปู คา่ สมั บูรณ์

3 ทฤษฎีจานวนเบอ้ื งต้น ขอ้ 8-9 ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น สมบัติของจานวนเตม็ 14 10

สอบปลายภาค 1 30

รวมตลอดภาคเรียน 80 100

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 4

บทท่ี 1
ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งต้น

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 5

ประพจนแ์ ละการเชอ่ื มประพจน์

ประพจน์ (Propositions หรือ Statement)
ประพจน์

คือ …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตวั อยา่ งประโยคหรือขอ้ ความท่ีเป็นประพจน์

1. ……………………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………………………………………………………………………………
4. ……………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อย่างประโยคหรอื ขอ้ ความที่ไม่เป็นประพจน์
1. ……………………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………………………………………………………………………………
4. ……………………………………………………………………………………………………………………
ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เทจ็ ของแต่ละประพจน์ เรียกวา่ ………………………………………… ของประพจน์

แบบฝึกเสรมิ เพิม่ ความเข้าใจ
1. จงยกตวั อย่างประโยคทีเ่ ป็นประพจน์มาอยา่ งนอ้ ย 5 ประโยค

1) ……………………………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………………………
4 ……………………………………………………………………………………………………………………
5) ……………………………………………………………………………………………………………………
2. จงยกตวั อยา่ งประโยคท่ีไม่เปน็ ประพจนม์ าอย่างน้อย 5 ประโยค
1) ……………………………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………………………
4) ……………………………………………………………………………………………………………………
5) ……………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 6

3. จงพิจารณาประโยคตอ่ ไปนี้ว่าเป็นประพจนห์ รือไม่ เพราะเหตใุ ด

1) เดือนสิงหาคม มี 31 วนั ……………………………………………………………………

2) 7{2, 4, 6, 8, 10} ……………………………………………………………………
3) (8+92)3 หารดว้ ย 102 ไม่ลงตวั ……………………………………………………………………

4) กรณุ ารกั ษาความสะอาด ……………………………………………………………………

5) จงตอบคาถามต่อไปนี้ ……………………………………………………………………

6)  >3.14 ……………………………………………………………………

7) 9 เป็นจานวนเฉพาะ ……………………………………………………………………

8)   {5, 55} ……………………………………………………………………

9) โทร.ไดต้ ามอาเภอใจ ……………………………………………………………………
10) x เป็นตัวประกอบหน่ึงของ x2 – 2x ……………………………………………………………………

4. จงเขียนเคร่ืองหมาย  หน้าขอ้ ความท่ีเป็นประพจน์ และเขยี นเครือ่ งหมาย  หนา้ ขอ้ ความทไ่ี มเ่ ปน็ ประพจน์

การใช้สญั ลักษณ์แทนประพจน์และคา่ ความจรงิ ของประพจน์
โดยทั่วไปเรานิยมใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s, … แทนประพจน์ ค่าความจริงของประพจน์ใช้ T แทนจริง

และ F แทนเท็จ

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 7

การเชือ่ มประพจน์
ตวั เช่ือม (Connectives) คอื สิง่ ทีใ่ ชเ้ ชอื่ มประพจนส์ องประพจน์ ซงึ่ เป็นการสร้างประพจน์ใหม่ ตัวเชื่อม

ทางตรรกศาสตร์ มี 5 ตัวเช่อื ม ดังตารางตอ่ ไปนี้

ตัวเชอื่ ม ชือ่ ภาษาอังกฤษ สญั ลักษณ์

ไม่ , ไมใ่ ช่ , นิเสธ Not

และ And

หรือ Or

ถา้ ... แลว้ If…then…

ก็ต่อเม่ือ …if and only if…, iff

ความสาคัญของตัวเชอ่ื ม

ตัวเช่ือมแตล่ ะตัวมคี วามสาคัญ (ครอบคลุม) ไมเ่ ทา่ กัน ดังน้ี

1. “……………” มีความสาคญั นอ้ ยท่ีสุด

2. “……………” มคี วามสาคัญมากกวา่ “……………”

3. “……………” มีความสาคัญมากกวา่ “……………”

4. “……………” มีความสาคัญมากทสี่ ดุ

เรียก ประพจน์ท่นี ามาเช่ือมกันด้วยตัวเชอ่ื มต่าง ๆ ว่า ……………………………… (atomic statement)

เรียก ประพจน์ที่มตี วั เชอื่ ม วา่ …………………………………………………………..…… (statement pattern)

การเช่ือมประพจน์ด้วย และ “  ”
ให้ p, q เปน็ ประพจน์ เขยี นแทนประพจน์ p และ q ดว้ ย p  q

ประพจน์ p  q มีคา่ ความจรงิ ทเี่ ปน็ ไปได้ ดงั น้ี
p q pq
TT
TF
FT
FF

ประพจน์ p  q เป็นจริงเพยี งกรณีเดยี วคือ ………………………………………………………. ท่เี หลือเปน็ เทจ็ หมด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 8

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปนี้
วธิ ที า
1. 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10

2. 1 + 3  8 และ 7 – 2 > 12

3. 1 > 3 – 2 และ 4 – 3 < 0

1. 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10

3 + 8 = 11 3 + 2 < 10 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10

ดังนน้ั ประพจน์ 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10 มีคา่ ความจรงิ เปน็ ……………………

2. 1 + 3  8 และ 7 – 2 > 12

1 + 38 7 – 2 > 12 1 + 3  8 และ 7 – 2 > 12

ดังนั้น ประพจน์ 1 + 3  8 และ 7 – 2 > 12 มีค่าความจริงเปน็ ……………………

3. 1 > 3 – 2 และ 4 – 3 < 0

1>3–2 4–3<0 1 > 3 – 2 และ 4 – 3 < 0

ดังนน้ั ประพจน์ 1 > 3 – 2 และ 4 – 3 < 0 มคี า่ ความจริงเป็น……………………

การเชอ่ื มประพจนด์ ้วย หรือ “  ”
ให้ p, q เปน็ ประพจน์ เขียนแทนประพจน์ p หรอื q ดว้ ย p  q

ประพจน์ p  q มคี า่ ความจริงทเี่ ป็นไปได้ ดังน้ี
p q pq
TT
TF
FT
FF

ประพจน์ p  q เป็นเทจ็ เพียงกรณีเดยี วคือ ………………………………………………………. ทเี่ หลือเป็นจรงิ หมด

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 9

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปนี้
วธิ ีทา 1. 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอยใู่ นประเทศไทย
2. 3 + 4  2 หรือ 3 + 8 < 7
3. 2 + 3  5 หรอื 1 + 3 > 6 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอยู่ในประเทศไทย
1. 2 + 3 > 3 หรอื สงขลาอย่ใู นประเทศไทย

2 + 3 > 3 สงขลาอยูใ่ นประเทศไทย

ดงั น้ัน ประพจน์ 2 + 3 > 3 หรอื สงขลาอยู่ในประเทศไทย มคี า่ ความจริงเป็น……………………

2. 3 + 4  2 หรือ 3 + 8 < 7

3 + 42 3+8<7 3 + 4  2 หรอื 3 + 8 < 7

ดงั นนั้ ประพจน์ 3 + 4  2 หรือ 3 + 8 < 7 มีค่าความจริงเป็น……………………

3. 2 + 3  5 หรอื 1 + 3 > 6

2 + 35 1+3>6 2 + 3  5 หรือ 1 + 3 > 6

ดังน้ัน ประพจน์ 2 + 3  5 หรือ 1 + 3 > 6 มคี ่าความจริงเป็น……………………

แบบฝกึ เสรมิ เพิม่ ความเข้าใจ

1. จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ที่กาหนดให้เปน็ จริงหรอื เทจ็

1) 3 เปน็ จานวนจริง และ 9 เป็นจานวนนบั ตอบ…………………………..

2) 7 + 11 = 23 และ 3 + 2 = 5 ตอบ…………………………..

3) ดวงอาทติ ย์ข้ึนทางทิศตะวนั ตกหรือทศิ ตะวันออก ตอบ…………………………..

4) ววั มี 4 ขา และ ไกม่ ี 2 ขา ตอบ…………………………..

5) สนุ ทรภเู่ ป็นนักคณิตศาสตร์ และเป็นกวีเอกของโลก ตอบ…………………………..

6) เดอื นกุมภาพนั ธ์มี 28 วนั หรอื 31 วัน ตอบ…………………………..

7) โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลาอยู่ในจงั หวดั ยะลาหรอื ชุมพร ตอบ…………………………..

8) 23 เปน็ จานวนคูแ่ ละ 2 เปน็ จานวนคู่ ตอบ…………………………..

9) (2 + 4) + 12 = 18 หรอื 2 + (4 + 12) = 20 ตอบ…………………………..

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 10

การเชื่อมประพจน์ด้วย ถ้า ...แลว้ “ ”
ให้ p, q เปน็ ประพจน์ เขียนแทนประพจน์ ถ้า p แลว้ q ด้วย p  q

ประพจน์ p  q มคี า่ ความจรงิ ท่เี ป็นไปได้ ดงั น้ี
p q pq
TT
TF
FT
FF

ประพจน์ p  q เป็นเทจ็ เพียงกรณีเดยี วคอื ………………………………………………………. ทีเ่ หลอื เป็นจรงิ หมด

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี
วิธที า
1. ถา้ 2 + 4 > 2 แลว้ 2 – 3 < 4

2. ถ้า 1 + 3 < 10 แลว้ 4 + 1 < 3

3. ถ้า 3 เป็นจานวนจรงิ แลว้ 1 เปน็ จานวนตรรกยะ

3

1. ถ้า 2 + 4 > 2 แลว้ 2 – 3 < 4

2+4>2 2 – 3 < 4 ถ้า 2 + 4 > 2 แล้ว 2 – 3 < 4

ดังนัน้ ประพจน์ ถ้า 2 + 4 > 2 แล้ว 2 – 3 < 4 มคี า่ ความจรงิ เปน็ ……………………

2. ถ้า 1 + 3 < 10 แลว้ 4 + 1 < 3

1 + 3 < 10 4+1<3 ถ้า 1 + 3 < 10 แล้ว 4 + 1 < 3

ดังน้ัน ประพจน์ ถา้ 1 + 3 < 10 แลว้ 4 + 1 < 3 มคี ่าความจรงิ เปน็ ……………………

3. ถ้า 3 เปน็ จานวนจริง แล้ว 1 เปน็ จานวนตรรกยะ
3

3 เป็นจานวนจรงิ 1 เป็นจานวนตรรกยะ ถ้า 3 เปน็ จานวนจรงิ แลว้

3 1 เปน็ จานวนตรรกยะ
3

ดงั นั้น ประพจน์ ถา้ 3 เปน็ จานวนจริง แล้ว 1 เปน็ จานวนตรรกยะ มคี ่าความจรงิ เปน็ ……………

3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 11

การเชื่อมประพจนด์ ้วย กต็ อ่ เม่ือ “ ”
ให้ p, q เปน็ ประพจน์ เขยี นแทนประพจน์ p กต็ อ่ เมื่อ q ดว้ ย p  q

ประพจน์ p  q มคี า่ ความจรงิ ที่เปน็ ไปได้ ดงั น้ี
p q pq
TT
TF
FT
FF

ประพจน์ p  q เป็นจริง 2 กรณคี ือ ………………………………………………………. ทเี่ หลอื เป็นเทจ็ หมด

ตวั อย่างที่ 4 จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้
วิธีทา
1. 4 + 5 = 9 กต็ อ่ เมอ่ื 1 + 3 > 2

2. 6 + 1 > 5 กต็ ่อเมอื่ 4 – 3 < 0

3. 4 เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเมอ่ื 4 หารด้วย 3 ลงตวั

1. 4 + 5 = 9 ก็ตอ่ เมอ่ื 1 + 3 > 2

4+5=9 1 + 3 > 2 4 + 5 = 9 กต็ อ่ เมื่อ 1 + 3 > 2

ดงั นนั้ ประพจน์ 4 + 5 = 9 กต็ ่อเมือ่ 1 + 3 > 2 มคี ่าความจริงเปน็ ……………………

2. 6 + 1 > 5 ก็ต่อเมือ่ 4 – 3 < 0

6+1>5 4–3<0 6 + 1 > 5 ก็ต่อเม่ือ 4 – 3 < 0

ดังนน้ั ประพจน์ 6 + 1 > 5 กต็ ่อเม่อื 4 – 3 < 0 มคี า่ ความจริงเปน็ ……………………

3. 4 เป็นจานวนคี่ กต็ อ่ เม่ือ 4 หารดว้ ย 3 ลงตัว 4 เปน็ จานวนคี่ กต็ ่อเมือ่
4 เป็นจานวนคี่ 4 หารด้วย 3 ลงตัว 4 หารดว้ ย 3 ลงตวั

ดงั น้ัน ประพจน์ 4 เปน็ จานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 4 หารดว้ ย 3 ลงตัวมีคา่ ความจริงเป็น………………

นอกจากตัวเช่ือมประพจน์ทั้ง 4 ชนิดแล้ว ยังมีสัญลักษณ์ท่ีใช้เปล่ียนค่าความจริงของประพจน์ให้มีค่า
ความจริงตรงขา้ มกบั ค่าความจรงิ เดิม เรยี กสัญลักษณท์ ม่ี สี มบัตดิ งั กลา่ วว่า …………………………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 12

นิเสธของประพจน์
ให้ p เป็นประพจน์ เขยี นแทนประพจน์ นิเสธของ p ด้วย ~p

ประพจน์ p มคี า่ ความจรงิ ท่ีเป็นไปได้ ดังนี้
p ~p
T
F

ตวั อย่างท่ี 5 จงหานเิ สธของประพจน์ตอ่ ไปน้ี
วธิ ที า 1. 3 + 8 = 9
2. 6 > 2 + 3
3. เสน้ ตรงสองเสน้ ตั้งฉากกนั
1. นิเสธของ 3 + 8 = 9 คือ …………………………………………………
2. นเิ สธของ 6 > 2 + 3 คือ …………………………………………………
3. นิเสธของ เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกนั คอื …………………………………………………

แบบฝกึ เสริมเพ่มิ ความเข้าใจ ตอบ…………………………..
ตอบ…………………………..
1. จงตรวจสอบวา่ ประพจนท์ ่กี าหนดใหเ้ ป็นจริงหรอื เท็จ
1) ถ้า 3 – 5 = 8 แลว้ 3 + 5 = 2 ตอบ…………………………..
2) ถา้ 5 + 4 = 9 แล้ว 9 – 4 = 5
ตอบ…………………………..
3) ถา้ 8 + 2 = 2 + 8 แล้ว 8  2 ตอบ…………………………..
ตอบ…………………………..
28 ตอบ…………………………..
ตอบ…………………………..
4) 7 – 2 = 4 ก็ต่อเมื่อ 7 + 2 = 8 ตอบ…………………………..
5) 3 + 4 = 7 กต็ อ่ เมอ่ื 3 – 4 = 1 ตอบ…………………………..
6) ดวงอาทิตย์ขนึ้ ทางทศิ ตะวันตกกต็ ่อเมื่อโลกหมนุ รอบตวั เอง ตอบ…………………………..
7) ถ้าวัวมี 4 ขาแล้ว ช้างมี 2 ขา ตอบ…………………………..
8) ไอสไตน์เปน็ นักคณติ ศาสตร์ ก็ต่อเมื่อ เขาเปน็ นักวิทยาศาสตร์ ตอบ…………………………..
9) ถา้ 23 เป็นจานวนคู่ แลว้ 2 เป็นจานวนคู่ ตอบ…………………………..
10) (2 + 4) + 12 = 18 ก็ต่อเมื่อ 2 + (4 + 12) = 20 ตอบ…………………………..

11) ถ้า 3 เป็นจานวนจรงิ แล้ว 9 เปน็ จานวนนับ
12) ถา้ 2 หาร 7 ไมล่ งตวั แล้ว 7 เปน็ จานวนคี่
13) ถา้ 2 < 1 แล้ว 1 > 0
14) 2 เปน็ จานวนเฉพาะ ก็ตอ่ เม่ือ 1 เป็นจานวนเฉพาะ
15) 5  3  2 กต็ อ่ เมื่อ 3  5  2

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 13
2. จงหานเิ สธของประพจน์ต่อไปนี้

3. จงเขยี นประโยคตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ย่ใู นรปู สญั ลักษณ์ โดยให้ p แทนประพจน์แรกและ q แทนประพจน์หลัง

4. จงเขยี น T หน้าประพจนท์ ี่เป็นจริง และเขียน F หนา้ ประพจน์ที่เปน็ เท็จ

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 p ห น้ า | 14
T p
สรปุ ตารางค่าความจรงิ ของตวั เชื่อม (Truth table) F
p q pq pq pq pq
TT
TF
FT
FF

การหาค่าความจริงของประพจน์

การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่างๆ มีไว้เพื่อช่วยในการหาว่าประพจน์ใดมีค่าความ

จริงเป็นจรงิ หรือเป็นเทจ็ ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้

“ถา้ โลกหมุนรอบตวั เองแลว้ พระอาทิตย์ข้นึ ทางทิศตะวนั ตก”

วธิ ีทา ให้ p แทน โลกหมนุ รอบตัวเอง (เปน็ จรงิ )

ให้ q แทน พระอาทติ ย์ข้ึนทางทศิ ตะวันตก (เป็นเทจ็ )

ประโยคทก่ี าหนดใหอ้ ยใู่ นรปู …………………………………..

ฉะนั้น …………………………………..

ดังนน้ั “ถ้าโลกหมุนรอบตัวเองแลว้ พระอาทติ ย์ขึน้ ทางทศิ ตะวนั ตก” มคี ่าความจรงิ เปน็ …………..

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ที่มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ จริงและเท็จ ตามลาดับ
วิธที า จงหาค่าความจริงของ p q r

pq r

ดงั นัน้ ประพจน์ p q r มคี า่ ความจริงเป็น…………..
ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 15

ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ท่ีมคี า่ ความจริงเป็นเท็จ เทจ็ จริงและจรงิ ตามลาดับ
วธิ ที า จงหาค่าความจรงิ ของ p s q r p

p s qr p

ดงั นั้น ประพจน์ p s q r p มีคา่ ความจรงิ เปน็ …………..

ตัวอยา่ งท่ี 4 ถา้ p q q r มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้ว จงหาคา่ ความจริงของ p, q และ r
วิธที า p q q r

ดงั นน้ั p มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ q มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ และ r มีคา่ ความจริงเป็น…………..

แบบฝกึ เสรมิ เพ่ิมความเข้าใจ

1. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ท่ีมคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ จริง และเท็จ ตามลาดบั

จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้

1) p q r p

วิธีทา pq rp

ตอบ ประพจน์ p q r p มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 16

2) p q r q

วิธที า pq r q

ตอบ ประพจน์ p q r q มคี า่ ความจริงเป็น…………..

3) pr rq r q
วธิ ที า pr

ตอบ ประพจน์ p r r q มีคา่ ความจริงเปน็ …………..

4) rq r r
วิธที า r q

ตอบ ประพจน์ r q r มีคา่ ความจริงเป็น…………..

5) p q p r

วิธีทา pq p r

ตอบ ประพจน์ p q p r มีค่าความจริงเปน็ …………..
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 17

6) p r q r r
วิธที า p r q

ตอบ ประพจน์ p r q r มคี ่าความจริงเปน็ …………..

7) pq r r
วิธที า p q

ตอบ ประพจน์ p q r มคี า่ ความจรงิ เปน็ …………..

8) p qr r
วิธีทา pq

ตอบ ประพจน์ p q r มีคา่ ความจริงเป็น…………..

9) p q q r r

วิธที า pq qr r

ตอบ ประพจน์ p q q r r มีค่าความจริงเป็น…………..
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 18

10) p r r q q r p
qr
วิธีทา pr rq p

ตอบ ประพจน์ p r r q q r p มคี ่าความจรงิ เป็น…………..

2. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เปน็ ประพจน์ จงพิจารณาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปนี้

เม่อื กาหนดค่าความจรงิ ของประพจนย์ ่อยเพียงบางประพจน์

1) p  q เม่ือ q มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ ตอบ...........................................

2) p  q เมือ่ q มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ ตอบ...........................................

3) p  (q  r) เมอ่ื p มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ ตอบ...........................................

4) (p  q) s เม่ือ p  q มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ ตอบ...........................................

5) (p  q)  (r  s) เมือ่ q, r มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง ตอบ...........................................

6) (p  q)  (p  q) เมอ่ื p  q มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ ตอบ...........................................

7) p  (q  r) เมื่อ q มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ตอบ...........................................

8) (p  s)  (r  p) เม่ือ p มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ตอบ...........................................

9) p  ( r  s) เม่อื p มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ ตอบ...........................................

10) (p  ~r)  (r  p) เมอ่ื p มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ตอบ...........................................

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 19

6. จงหาค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ยตอ่ ไปนเ้ี ม่ือกาหนดค่าความจริงของประพจน์มาให้

1) q  (p  s) มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ ตอบ...........................................

2) (p  q)  t มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ตอบ...........................................

3) p  (q  r) มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ ตอบ...........................................

4) (r  s)  r มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ตอบ...........................................

5) ~p  ( p  q) มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ ตอบ...........................................

6) (p  q)  (q  r) มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ ตอบ...........................................

7) (r  s)  (~r  ~s) มคี ่าความจริงเป็นจรงิ ตอบ...........................................

8) (p  ~q)  (r  s) มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ตอบ...........................................

9) [(p  q)  r]  q มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ ตอบ...........................................

10) p  [(q  p)  (p  q)] มีคา่ ความจริงเปน็ จริง ตอบ...........................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 20

รปู แบบของประพจนท์ ่สี มมลู กัน

รปู แบบของประพจน์ทีส่ มมลู กนั
ถา้ รูปแบบประพจนส์ องรูปแบบใดที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนาไปใช้แทน

กันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่าเป็น …………………………………………. จะใช้สัญลักษณ์ ………….
แทนขอ้ ความทีส่ มมลู กนั นัน่ คือ

“p สมมูลกับ q ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………….. เขยี นแทนดว้ ย …………………….”

การสรา้ งตารางค่าความจรงิ และประพจนท์ ส่ี มมูลกนั

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงสรา้ งตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ p q กับ p q

วิธที า สร้างตารางค่าความจริงและใสค่ า่ ต่างๆลงในตาราง

pq q pq pq pq

TT

TF

FT

FF

จากตารางค่าความจริงน้ีจะเห็นวา่ คา่ ความจรงิ ของ p q กับ p q

ตรงกนั กรณีต่อกรณี นัน่ คือ ………………………………………………………………

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงสรา้ งตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ p q กับ p q
วธิ ที า
สรา้ งตารางค่าความจริงและใส่ค่าตา่ งๆลงในตาราง

pq q pq p q
q
TT

TF

FT

FF

จากตารางค่าความจริงน้จี ะเห็นว่า คา่ ความจริงของ p q กับ p

ตรงกนั กรณตี อ่ กรณี น่นั คือ ………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 21

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงสรา้ งตารางแสดงคา่ ความจริงของ r p q กับ p q r

วิธีทา สร้างตารางคา่ ความจริงและใสค่ ่าตา่ งๆลงในตาราง

pq r p q pq p q rr pq

TTT

TTF

TFT

TFF

FTT

FTF

FFT

FFF

จากตารางค่าความจริงนจี้ ะเห็นว่า คา่ ความจริงของ r p q กบั p q r
ไมต่ รงกันกรณตี ่อกรณี น่ันคอื ………………………………………………………………

แบบฝกึ เสรมิ เพิ่มความเข้าใจ
จงสร้างตารางหาค่าความจรงิ เพอ่ื ตรวจสอบวา่ ประพจน์ใดสมมลู กัน

1) p q r กับ p r q r
วิธีทา สร้างตารางค่าความจริง

pq r pq pq r p r q r p r q r

TT T

TT F

TF T

TF F

FT T

FT F

FF T

FF F

ดงั นัน้ ………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 22

2) p q r กบั p r q r
วธิ ีทา สรา้ งตารางค่าความจริง

pq r pq pq rpr qr pr qr

TT T

TT F

TF T

TF F

FT T

FT F

FF T

FF F

ดงั นนั้ ………………………………………………………………………………………………………………………………

3) p r q r กบั p q r pq pq pq r
วิธีทา สรา้ งตารางค่าความจรงิ

pq r p r q r p r q r

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ดงั น้นั ………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 23

4) p r q r กับ p q r pq pq r
วธิ ที า สรา้ งตารางคา่ ความจริง

p q r p r q r p r q r pq

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ดงั นั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………

5) p q q r กับ p q q r

วิธีทา สร้างตารางคา่ ความจรงิ 8

123 4 5 6 7 9 10 11

p q r q r pq qr 6 7 8q r 6 10

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 24

6) p q q r กับ p qr

วิธีทา สรา้ งตารางค่าความจริง 8

123 4 5 6 7 9 10 11 12

p q r q r pq qr 6 7 8q r qr 1 11

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ดงั น้นั ………………………………………………………………

7) p q r p กับ p q r

วิธีทา สร้างตารางค่าความจรงิ

123 4 5 6 7 89 10

pq r p rp 2 5 4 6 q pq 93

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ดงั นั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 25

8) p q r p กับ pq r 8 9
วิธีทา สรา้ งตารางคา่ ความจรงิ
67
123 4 5

p q r p rp 2 5 4 6 pq 83

TTT

TTF

TFT

TFF

FTT

FTF

FFT

FFF

ดังน้ัน ………………………………………………………………………………………………………………………………

9) p q p กับ p pq

วิธที า สรา้ งตารางค่าความจริง 5

12 3 4 14 6 7 8

pq q p qp p pq 67

TT
TF
FT
FF

ดังนน้ั ………………………………………………………………………………………………………………………………

10) p q p กบั p p q 6 7 8
วิธที า สรา้ งตารางคา่ ความจริง

12 3 4 5

pq q p q p 14 p pq p pq

TT
TF
FT
FF

ดงั นนั้ ………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 26

ประพจน์ทส่ี มมลู กันท่ีสาคัญ 2. การสลับท่ี p  q 
1. ( p)  pq 
pq 
3. การเปล่ยี นกล่มุ p  (q  r) 
p  (q  r)  4. การกระจาย p  (q  r) 
p  (q  r) 
5. p  p 
pp  6. (p  q) 
(p  q) 
7. p q 
8. p q 
 pq  
9. p (q  r) 
10. (p  q) r 
p (q  r)  (p  q) r 
11. (p q) 
ขอ้ สงั เกตทีน่ ่าสนใจ 12. (p q) 
1. T  T 
3. T F  ทเ่ี หลอื 2. F  F  ทเ่ี หลอื
5. p  p  ท่ีเหลือ
7. p  T  4. ก็ตอ่ เม่อื เหมือนกัน ไม่เหมือนกนั
9. p  T 
11. p T  6. p  p 
13. T p 
8. p  F 

10. p  F 

12. F p 

14. p F 

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 27

แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเข้าใจ
1. จงใชร้ ปู แบบของประพจน์ที่สมมูลกนั อย่แู ล้ว ตรวจสอบว่าประพจนใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปน้สี มมลู กันหรือไม่

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 28
2. จงตรวจดวู ่าประพจน์ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้สมมูลกนั หรือไม่

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 29

สจั นิรนั ดร์

สัจนิรนั ดร์ (Tautology)
รูปแบบของประพจนท์ ี่มีคา่ ความจรงิ เป็น……………………..ทุกกรณี เรียกว่า ………………………………

ตัวอย่างสจั นริ ันดร์
1. …………………………………………………. 2. ………………………………………………….
3. …………………………………………………. 4. ………………………………………………….
5. …………………………………………………. 6. ………………………………………………….

การตรวจสอบสัจนริ ันดร์

วิธีท่ี 1 ใชต้ ารางหาค่าความจริง

ตัวอย่างท่ี 1 จงแสดงวา่ p p q เป็นสัจนิรันดร์

วิธีทา พิจารณาจากตารางค่าความจริง

pq pq p pq

TT

TF

FT

FF

จากตารางจะเห็นวา่ ประพจน์ p p q มคี า่ ความจรงิ เปน็ …………………….ทุกกรณี

ดงั นัน้ p p q ……………………………………………..

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแสดงว่า p q q p เปน็ สจั นิรันดร์
วิธที า พิจารณาจากตารางค่าความจริง

p q pq qp pq q p

TT
TF
FT
FF
จากตารางจะเห็นวา่ ประพจน์ p q q p มคี ่าความจรงิ เปน็ …………………ทกุ กรณี
ดงั น้ัน p q q p ……………………………………………..

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 30

วิธีที่ 2 ใช้วธิ หี าขอ้ ขดั แย้ง โดยสมมตปิ ระพจน์มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ แล้วหาค่าความจรงิ ของประพจน์ย่อย
ถา้ ขดั แย้ง แลว้ ประพจน์……………………………………………….
ถ้า ไม่ขัดแย้ง แลว้ ประพจน์……………………………………………….

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแสดงว่า p p q เปน็ สัจนริ ันดร์
วิธที า วเิ คราะห์หาข้อขดั แย้ง สมมตใิ ห้ p p q เปน็ เทจ็ แล้วพจิ ารณาดูค่าความจริงของ

ประพจน์ p วา่ เหมือนกนั หรือไม่

p pq

จะเห็นว่า p มคี ่าความจริงต่างกัน ดังนน้ั p p q ……………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 4 ประพจน์ p q r q เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่
วิธีทา วเิ คราะห์หาข้อขัดแย้ง สมมติให้ p q r q เปน็ เท็จ

pq rq

จะเหน็ วา่ q มีคา่ ความจริงเหมอื นกนั ดังนน้ั p p q ……………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 5 จงแสดงวา่ p q q p เป็นสัจนริ นั ดร์
วิธที า
วเิ คราะห์หาข้อขดั แย้ง สมมติให้ p q q p เปน็ เทจ็

pq qp

จะเหน็ ว่า q มีคา่ ความจริงต่างกัน ดงั นั้น p p q ……………………………………………….
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 31

วธิ ที ่ี 3 ใช้ความรู้เกยี่ วกับรปู แบบของประพจนท์ ีส่ มมลู กนั

1. p  p  2. p  T 

3. p T  4. F p 

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแสดงวา่ p p q เปน็ สจั นิรนั ดรห์ รือไม่
วิธีทา p p q 

ดังนั้น p p q ……………………………………………….

ตวั อย่างท่ี 7 จงแสดงว่า p q q p เปน็ สัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่

วิธีทา pq q p

ดงั นัน้ p p q ……………………………………………….

แบบฝกึ เสริมเพ่มิ ความเข้าใจ
1. จงตรวจสอบโดยใชต้ ารางคา่ ความจรงิ วา่ ประพจนใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนีเ้ ปน็ สจั นริ ันดรห์ รอื ไม่

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 32
2. จงตรวจสอบโดยใชว้ ธิ หี าขอ้ ขดั แยง้ ว่าประพจนใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้เป็นสัจนริ นั ดรห์ รือไม่

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 33

3. จงตรวจสอบโดยใช้ความรู้เกย่ี วกับรูปแบบของประพจนท์ ่สี มมูลกนั ว่าประพจนใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
เป็นสัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 34

การอา้ งเหตุผล

การอา้ งเหตุผล (Logical Implication)
การอ้างเหตุผล คือการอ้างว่า เมื่อข้อความ P1, P2, …, Pn ชุดหน่ึง แล้วสามารถสรุปข้อความ Q ได้ ซึ่ง

ประกอบด้วยส่วนทส่ี าคัญ 2 สว่ น คือ (1) ………………………………………………………………………………………..
(2) ………………………………………………………………………………………..

การอา้ งเหตผุ ลอาจจะสมเหตุสมผลหรอื ไม่สมเหตสุ มผลก็ได้ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตัวเชื่อม………..
เช่อื มเหตุท้งั หมดเขา้ ดว้ ยกัน และใช้ตัวเชือ่ ม………………..เช่ือมสว่ นทเ่ี ปน็ เหตกุ ับผล ดงั นี้

…………………………………….…………………………………….…………………………………….
ถ้ารูปแบบ …………………………………….…… เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่าการอ้างเหตุผลน้ี ………………………..
(Valid) แต่ถ้ารปู แบบดงั กลา่ วไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์ กจ็ ะกล่าวไดว้ ่าการอา้ งเหตุผลน้ี …………………….……….. (Invalid)

การตรวจสอบการอ้างเหตุผล ทาได้ 2 วิธี คอื
1. สรา้ งประพจน์ เพ่อื ตรวจสอบสจั นริ นั ดร์

ขน้ั ที่ 1 เช่ือมเหตทุ กุ ตวั “……………….” จะได้ ……………………………………………………………….
เชอื่ ม “…………” กบั “……………” ดว้ ย “………” จะได้ …………………………………………………………

ขั้นท่ี 2 ถา้ ประพจนใ์ นขนั้ ท่ี 1 เป็นสจั นริ ันดร์ แสดงว่า การอา้ งเหตุผล “……………….………………..”
ถา้ ประพจนใ์ นขน้ั ท่ี 1 ไมเ่ ป็นสัจนริ ันดร์ แสดงวา่ การอ้างเหตุผล “……………….………………..”

ตัวอยา่ งที่ 1 จงพิจารณาว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
วิธีทา เหตุ 1. ถ้า 3 เป็นจานวนคแ่ี ล้ว 3 + 6 = 9

2. 3 + 6  9
ผล 3 เป็นจานวนคู่
ให้ p แทน 3 เปน็ จานวนค่ี และ q แทน 3 + 6 = 9
เขียนข้อความขา้ งต้นในรูปสญั ลักษณ์คอื เหตุ 1. …………………………………….

2. …………………………………….
ผล …………………………………….
ขั้นท่ี 1 ใช้…..…..เชอ่ื มเหตเุ ขา้ ดว้ ยกันและใช้………..เชื่อมสว่ นที่เปน็ เหตกุ บั ผล
จะได้รูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….
ขัน้ ที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ ่าเปน็ สจั นริ ันดร์หรือไม่

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 35

pq q p

แสดงว่ารปู แบบของประพจน์ p q q p …………………………………….
ดังนัน้ การอา้ งเหตผุ ลน้ี…………………………………….

ตัวอยา่ งที่ 2 จงพจิ ารณาว่าการอ้างเหตผุ ลต่อไปนส้ี มเหตสุ มผลหรอื ไม่
วิธที า เหตุ 1. p q

2. p
ผล q
ข้นั ที่ 1 ใช้…..…..เช่ือมเหตเุ ข้าด้วยกันและใช้………..เชอ่ื มส่วนที่เป็นเหตุกับผล

จะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….
ขน้ั ท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ว่าเป็นสจั นิรนั ดร์หรือไม่

pq p q

แสดงว่ารปู แบบของประพจน์ p q p q …………………………………….
ดงั นั้น การอ้างเหตุผลนี้…………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 36

ตัวอยา่ งที่ 3 จงพจิ ารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนีส้ มเหตุสมผลหรอื ไม่
วธิ ีทา เหตุ 1. p q

2. p r
3. p s
ผล r s
ขน้ั ที่ 1 ใช้…..…..เชอื่ มเหตุเข้าดว้ ยกันและใช้………..เชือ่ มส่วนทเ่ี ป็นเหตุกบั ผล
จะได้รปู แบบของประพจน์ คอื …………………………………………………………………….
ขั้นท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์วา่ เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

pq pr ps rs

แสดงวา่ รปู แบบของประพจน์ p q p r p s r s ……………………
ดังน้ัน การอ้างเหตุผลนี้…………………………………….

2. ใชร้ ูปแบบประพจน์ทีส่ มเหตสุ มผล

รูปแบบการอ้างเหตผุ ลท่สี มเหตสุ มผลบางรูปแบบท่ีควรจา ไดแ้ ก่

1) เหตุ 1. 2) เหตุ 1.
2.
2.
ผล
ผล เหตุ 1.

3) เหตุ 1. 4) 2.
ผล
2. เหตุ 1.
ผล
ผล

5) เหตุ 1. 6)

ผล

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 37

ตวั อย่างท่ี 4 จงพิจารณาวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
วธิ ีทา เหตุ 1. p q

2. q r
3. r s
ผล s
ก) ………………………………………………………………… (ใชร้ ูปแบบประพจน์ท่ีสมเหตุสมผลข้อ……..)
ข) ………………………………………………………………… (ใชร้ ปู แบบประพจน์ที่สมเหตุสมผลขอ้ ……..)
ค) ………………………………………………………………… (ใช้รปู แบบประพจน์ที่สมเหตุสมผลข้อ……..)
ดงั น้ัน การอา้ งเหตุผลน้ี…………………………………

ตัวอย่างที่ 5 จงพจิ ารณาวา่ การอ้างเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตสุ มผลหรอื ไม่
วธิ ีทา เหตุ 1. p q

2. p
3. q r
ผล p
ก) ………………………………………………………………… (ใช้รูปแบบประพจนท์ ส่ี มเหตุสมผลขอ้ ……..)
ข) ………………………………………………………………… (ใชร้ ูปแบบประพจน์ที่สมเหตุสมผลขอ้ ……..)
ดังนั้น การอา้ งเหตุผลน้ี…………………………………

แบบฝึกเสริมเพิ่มความเข้าใจ

จงพิจารณาการอ้างเหตผุ ลต่อไปนวี้ า่ สมเหตสุ มผลหรือไม่

1. เหตุ 1. p q

2. p q r

ผล r

วิธีทา ขัน้ ที่ 1 ใช้…..…..เช่ือมเหตุเข้าดว้ ยกันและใช้………..เชอื่ มสว่ นทเ่ี ปน็ เหตกุ ับผล

จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขน้ั ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสจั นิรนั ดร์หรือไม่

pq p qr r

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 38

p q p q r r …………………………………
ดงั นนั้ การอ้างเหตุผลนี้…………………………………

2. เหตุ 1. p q

2. p r

3. r

ผล p

วิธีทา ขัน้ ท่ี 1 ใช้…..…..เชอ่ื มเหตเุ ข้าด้วยกันและใช้………..เชื่อมส่วนทีเ่ ป็นเหตุกับผล

จะได้รปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขน้ั ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ า่ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

pq pr rp

p q p r r p …………………………………
ดังน้ัน การอ้างเหตผุ ลนี้…………………………………

3. เหตุ 1. p q r s

2. r s

ผล q

วธิ ีทา ข้ันที่ 1 ใช้…..…..เช่ือมเหตเุ ขา้ ดว้ ยกนั และใช้………..เชือ่ มส่วนที่เป็นเหตกุ ับผล

จะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขน้ั ที่ 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์วา่ เปน็ สจั นริ นั ดร์หรอื ไม่

pq rs rs q

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 39

p q r s r s q …………………………………
ดงั นัน้ การอา้ งเหตผุ ลน้ี…………………………………

4. เหตุ 1. p q

2. p r

3. p s

ผล r s

วธิ ีทา ข้ันท่ี 1 ใช้…..…..เชอื่ มเหตุเขา้ ด้วยกนั และใช้………..เชอื่ มส่วนทเ่ี ปน็ เหตุกับผล

จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขั้นท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนว์ า่ เป็นสจั นิรันดร์หรอื ไม่

pq pr ps rs

p q p r p s r s …………………………………
ดงั นั้น การอ้างเหตุผลนี้…………………………………

5. เหตุ 1. p q r

2. q r

ผล p

วธิ ที า ขัน้ ท่ี 1 ใช้…..…..เชือ่ มเหตุเข้าดว้ ยกันและใช้………..เชื่อมสว่ นทีเ่ ปน็ เหตกุ ับผล

จะได้รปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขน้ั ที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ ่าเป็นสจั นริ ันดร์หรอื ไม่

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 40

p qr qr p

p qr qr p …………………………………

ดงั นนั้ การอ้างเหตผุ ลน้ี…………………………………

6. เหตุ 1. p q s

2. p s

ผล p

วิธที า ขัน้ ท่ี 1 ใช้…..…..เชื่อมเหตเุ ข้าดว้ ยกันและใช้………..เช่ือมสว่ นทเี่ ป็นเหตุกบั ผล

จะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

pq s ps p

p q s p s p …………………………………
ดงั นั้น การอา้ งเหตุผลน้ี…………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 41

7. เหตุ 1. p q

2. q r

3. r

ผล p

วิธีทา ขน้ั ที่ 1 ใช้…..…..เชื่อมเหตเุ ขา้ ดว้ ยกนั และใช้………..เช่อื มส่วนทเ่ี ป็นเหตุกับผล

จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขนั้ ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ า่ เปน็ สจั นริ ันดร์หรอื ไม่

pq qr rp

p q q r r p …………………………………
ดงั นั้น การอา้ งเหตุผลน้ี…………………………………

8. เหตุ 1. p q

2. q r

3. r s

ผล s

วิธีทา ขน้ั ท่ี 1 ใช้…..…..เช่อื มเหตเุ ข้าด้วยกนั และใช้………..เชอ่ื มสว่ นทีเ่ ปน็ เหตกุ บั ผล

จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขัน้ ที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์วา่ เป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่

pq qr rs s

p q q r r s s …………………………ดังนั้น การอา้ งเหตผุ ลนี้………………………
ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 42

9. เหตุ 1. p q

2. q s

3. s

ผล p s

วธิ ที า ขนั้ ที่ 1 ใช้…..…..เชือ่ มเหตุเขา้ ดว้ ยกันและใช้………..เช่อื มส่วนทเ่ี ปน็ เหตุกับผล

จะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขน้ั ท่ี 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนว์ ่าเปน็ สจั นิรันดร์หรือไม่

pq qs s ps

pq qs s p s …………………………………

ดังนั้น การอา้ งเหตผุ ลน้ี…………………………………

10. เหตุ 1. p r s

ผล p r s

วิธีทา ขั้นที่ 1 ใช้…..…..เชือ่ มเหตเุ ข้าดว้ ยกันและใช้………..เชอ่ื มสว่ นท่ีเปน็ เหตุกบั ผล

จะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ …………………………………………………………………….

ขัน้ ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเปน็ สจั นิรันดร์หรอื ไม่

p rs p rs

p rs p r s …………………………………

ดังน้ัน การอา้ งเหตุผลนี้…………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 43

ประโยคเปิด

ประโยคเปิด (Open sentence)
ประโยคเปิด

คือ ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ตัวอย่างประโยคเปิด

1. ……………………………………………………………………………………………………………….
2. ……………………………………………………………………………………………………………….
3. ……………………………………………………………………………………………………………….
4. ……………………………………………………………………………………………………………….
5. ……………………………………………………………………………………………………………….
ตัวอยา่ งท่ีไม่ใชป่ ระโยคเปดิ
1. ……………………………………………………………………………………………………………….
2. ……………………………………………………………………………………………………………….
3. ……………………………………………………………………………………………………………….
4. ……………………………………………………………………………………………………………….
5. ……………………………………………………………………………………………………………….

สัญลกั ษณ์แทนประโยคเปดิ ใด ๆ ที่มี x เป็นตวั แปร เขียนแทนดว้ ย ………………………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 44

แบบฝกึ เสรมิ เพิม่ ความเข้าใจ
ประโยคตอ่ ไปน้เี ป็นประพจน์หรอื ประโยคเปดิ หรอื ไม่ใชท่ ั้งประโยคเปดิ และประพจน์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 45

ตวั บ่งปรมิ าณ

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier)

เรียก “สาหรับ...ทุกตัว (For All…)” และ “สาหรับ...บางตัว (For Some…)” ว่า ตัวบ่งปริมาณ และ

เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์  และ  ตามลาดับ เชน่

 x ใชแ้ ทน ………………………………… x ใชแ้ ทน …………………………………

………………………………… …………………………………

………………………………… …………………………………

………………………………… …………………………………

………………………………… …………………………………

ขอ้ ควรรู้

1. ข้อความที่มีตัวบง่ ปรมิ าณจะมคี วามหมายกต็ ่อเม่ือมีส่วนประกอบ………ส่วน คอื

…………………………………………………………………………………………………………………………….………………. เช่น
- สาหรับ x ทกุ ตวั x2 > 0, U = {–2,0,1} เขียนแทนดว้ ย…………………………………………………
- สาหรับ x บางตวั x + x = x2, U = R เขียนแทนดว้ ย…………………………………………………

2. ข้อความท่ีมีตัวบ่งปริมาณที่เก่ียวข้องกับเร่ืองจานวน ถ้าไม่ได้กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพ

สัมพัทธค์ อื เซตของ…………………………………………..

3. เอกภพสัมพัทธท์ เ่ี กยี่ วขอ้ งกับตวั บง่ ปรมิ าณต้องไมเ่ ปน็ เซต………………

ตวั อย่างที่ 1 จงเขียนข้อความต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรูปสญั ลกั ษณ์ เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์เปน็ เซตของจานวนจรงิ
1) สาหรบั x ทุกตัว x2  x  x3
2) สาหรบั x ทกุ ตวั x2  4  x  2x  2
3) สาหรบั x บางตวั x2  x  0
4) จานวนตรรกยะทุกจานวนเป็นจานวนจรงิ
5) จานวนนับบางจานวนยกกาลังสองแล้วเทา่ กับ 2

วธิ ที า
1) ……………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………
4) ……………………………………………………………………………………………………
5) ……………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 46

ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขียนข้อความต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรูปสัญลกั ษณ์ เม่ือเอกภพสัมพทั ธ์เปน็ เซตของจานวนจรงิ
1) สาหรับ x ทกุ ตวั มี y บางตวั ที่ xy 1
2) สาหรับ x บางตัว มี y ทกุ ตวั ท่ี x2  x  0
3) สาหรบั x และ y ทกุ ตัว x  y  z  x  y  z
4) มี x และ y บางตวั ที่ x  y  0

วธิ ีทา
1) ……………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………
4) ……………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างที่ 3 จงเขยี นข้อความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ต่อไปนี้
1) xx  0  x  0
2) x x  0  x2  x
3) xy x  y2  3

วิธที า
1) ……………………………………………………………………………………………………
2) ……………………………………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกเสริมเพมิ่ ความเขา้ ใจ

1. จงเขียนขอ้ ความตอ่ ไปนี้ใหอ้ ยูใ่ นรปู สัญลกั ษณ์ เม่อื เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจานวนจริง

1) สาหรับ x ทุกตัว x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) ...............................................................................

2) สาหรบั x บางตวั x > x2 ...............................................................................

3) สาหรบั x ทกุ ตัว x2 > 0 ...............................................................................

4) สาหรบั x บางตัว ถา้ x  0 แล้ว x2 > 0 ...............................................................................

5) สาหรบั x ทุกตวั |x| = –x ก็ต่อเม่อื x < 0 ...............................................................................

6) มี x และ y ซง่ึ x2 = y2 ...............................................................................

7) จานวนจริงทุกตวั เปน็ จานวนเต็ม ...............................................................................

8) จานวนเตม็ ทุกตวั เปน็ จานวนจริง ...............................................................................

9) สาหรบั x และ y ทุกตัว ถา้ x < 0 และ y < 0 แลว้ xy < 0.……........................……..........................

10) สาหรับ x ทกุ ตัวจะมี y บางตวั จะมี y ซง่ึ xy = y ...........................................................................

11) มี x และ y บางตวั ซ่งึ x + y = xy ...............................................................................

12) มี x บางตวั สาหรบั y ทุกตัว ถ้า x > y แลว้ x2 > y2 ........................................................................

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา