The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

เอกสารประกอบการสอน ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557 ฉบับนักเรียน

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by ครรชิต แซ่โฮ่, 2021-10-04 00:44:14

เอกสารประกอบการสอน ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557 ฉบับนักเรียน

เอกสารประกอบการสอน ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557 ฉบับนักเรียน

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 47

2. จงเขยี นข้อความแทนประโยคสัญลกั ษณต์ ่อไปนี้

1)  x[x > 0  x < 0] ..........................................................................................................
..........................................................................................................
2)  x[x-1 = 1  x  0] ..........................................................................................................
x
3)  x[x + x = 2x]

4)  x y[x + y = y + x] ..........................................................................................................

5)  xy[(|x| < y  – y < x < y] ..........................................................................................................

6) x[x > 2  x2 < 10] ..........................................................................................................

7)  x[xI  xQ] ..........................................................................................................

8) x y[x > y  x > 0] ..........................................................................................................
9)  x[x2 = 25  x = 5] ..........................................................................................................
10) x[x3 < 27  x < 3] ..........................................................................................................
11) x y[x2 = y + 5] ..........................................................................................................
12) x[xI  x2 = 3] ..........................................................................................................

13) x y[xy = yx] ..........................................................................................................

14)  x y[x – y = y – x] ..........................................................................................................
15)  x y[ x2 – y = y2 – x] ..........................................................................................................

ค่าความจรงิ ของประโยคทม่ี ี
ตัวบง่ ปรมิ าณตวั เดียว

การหาค่าความจริงของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณตวั เดียว
การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว จะพิจารณาแต่ละส่วนของประโยคที่มีตัว

บ่งปริมาณ ดังน้ี
ส่วนท่ี 1 ตัวบ่งปรมิ าณ
สว่ นท่ี 2 ประโยคเปดิ
สว่ นท่ี 3 เอกภพสมั พัทธ์

ประโยค  x[P(x)] มีค่าความจรงิ เป็นจริง กต็ อ่ เมอื่ ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค  x[P(x)] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ ก็ต่อเม่ือ ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 48

ประโยค x[P(x)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ กต็ อ่ เม่อื ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ กต็ อ่ เมือ่ ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

สรปุ ...ไวใ้ ช้ 1. เทคนคิ การหาค่าความจริงของ  x
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. เทคนคิ การหาคา่ ความจริงของ x
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ความจริงของประโยคทมี่ ีตวั บง่ ปรมิ าณต่อไปน้ี
วธิ ที า 1. xx  5 , U  6,7,8
เมอ่ื ให้ Px แทน x  5
………………………………………………………………….………………………………………………………………….
………………………………………………………………….………………………………………………………………….
………………………………………………………………….………………………………………………………………….
ดังนัน้ xx  5 , U  6,7,8 มคี ่าความจริงเปน็ ………………….

2. xx  7 , U  9,10,11
วิธีทา เมื่อให้ Px แทน x  7

………………………………………………………………….………………………………………………………………….
ดงั นั้น xx  7 , U  9,10,11 มคี า่ ความจรงิ เปน็ ………………

3. xx  5 , U  5,6,7
วิธที า เมือ่ ให้ Px แทน x  5

………………………………………………………………….………………………………………………………………….
ดังน้ัน xx  5 , U  5,6,7 มีค่าความจริงเปน็ ………………

4. xx  5 , U  3, 4,5
วิธีทา เมอ่ื ให้ Px แทน x  5

………………………………………………………………….………………………………………………………………….
………………………………………………………………….………………………………………………………………….
………………………………………………………………….………………………………………………………………….
ดงั นน้ั xx  5 , U  3,4,5 มีค่าความจริงเปน็ ………………

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 49

ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมตี วั บ่งปริมาณต่อไปนี้
วิธที า 1. xx  0xx  0, U  1,0,1
พิจารณาประโยคเปดิ x  0

แทน x ด้วยสมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ์
แทน -1 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 0 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 1 จะได้…………………………………………………………………………
ดงั น้นั xx  0 มีคา่ ความจรงิ เป็น………………………………………..
พิจารณาประโยคเปิด x  0
แทน x ดว้ ยสมาชิกของเอกภพสัมพทั ธ์
แทน -1 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 0 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 1 จะได้…………………………………………………………………………
ดังนั้น xx  0 มคี ่าความจริงเป็น………………………………………..
ดังนั้น xx  0xx  0, U  1,0,1 มคี ่าความจริงเป็น………..

2. xx  0  x  0, U  1,0,1
วธิ ที า พิจารณาประโยคเปดิ x  0  x  0

แทน x ด้วยสมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ์
แทน -1 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 0 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 1 จะได้…………………………………………………………………………
ดังนน้ั xx  0  x  0, U  1,0,1 มคี ่าความจรงิ เป็น……………….

3. x x  0  x2  0 , U  1,0,1
วิธีทา พิจารณาประโยคเปดิ x  0  x2  0

แทน x ดว้ ยสมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ์
แทน -1 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 0 จะได้…………………………………………………………………………
แทน 1 จะได้…………………………………………………………………………

ดังนน้ั x x  0  x2  0, U  1,0,1 มคี า่ ความจริงเปน็ …………..

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 50

4. xx  0 x x2  0 , U  1,0,1
วธิ ีทา พจิ ารณาประโยคเปดิ x  0

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
ดงั นน้ั xx  0 มีค่าความจรงิ เปน็ …………………………….
พจิ ารณาประโยคเปิด x2  0
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
ดังนั้น xx  0 มคี ่าความจรงิ เป็น……………………………..
เพราะฉะนัน้ xx  0 x x2  0, U  1,0,1 มคี า่ ความจริงเปน็ …………….

แบบฝึกเสริมเพมิ่ ความเข้าใจ 2)  x[x + 5 = 5]; U = I …………..
1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ในขอ้ ต่อไปน้ี
1)  x[x + 5 = 5]; U = {0} …………..

3)  x[ x2 = x ]; U = R ………….. 4)  x[x  x + 1]; U = R …………..

5)  x[x2 + 1 = (x+1)2]; U = {0, 1} ………….. 6)  x[2x2 – 5x + 3 = 0]; U = {1/2, 3} …….

7)  x[2x2 – 5x + 3  0]; U = R ………….. 8)  x[x2 + x + 1  0]; U = R …………..

9)  x[x2 + 2x – 1 > 0]; U = I ………….. 10)  x[|x| = x  x2 = x]; U = {0, 1} ……..

11)  x[x2  0  |x| = –x]; U = {0, –1, –2, –3} …………..

12)  x[x เป็นจานวนคู่  x > 0]; U = {–6, –4, –2, 0, 1, 2} …………..

13)  x[x เป็นจานวนคู่]   x[x > 0]; U = {–6, –4, –2, 0, 1, 2} …………..

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 51

2. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนใ์ นขอ้ ต่อไปนี้ 2) x[x – 5 = x]; U = R …………..
1) x[x – 5 = 5 – x]; U = I …………..

3) x[ x2 = -x ]; U = I+ ………….. 4) x[x < x + 1]; U = R …………..
5) x[x2 + 1 = (x+1)2]; U = {–1, 0, 1} ………….. 6) x[x2 – 2x + 2 = 0]; U = R …………..
7) x[x2 – 2x + 2 < 0]; U = R ………….. 8) x[x > x2]; U = N …………..
9) x[x < 0  x – 1 = 0]; U = {–1, 0, 1} ………….. 10) x[x2  x]; U = {–1, 21, 23} …………..

11) x[x < 0]  x[x – 1 = 0]; U = {–1, 0, 1} ………… 12) x[x < 0]; U = N …………..
13) x[x2–4 = 0 x > 0]; U = {–2, –1, 0, 1, 2} …………..

3. จงเขยี น T หนา้ ประพจนท์ ีม่ คี า่ ความจริงเป็นจริง และเขยี น F หน้าประพจนท์ ่มี คี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 52

ค่าความจริงของประโยคทีม่ ี
ตวั บ่งปริมาณสองเดยี ว

การหาค่าความจรงิ ของประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณสองเดยี ว
ประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณสองตวั สามารถเขียนได้ 8 รูปแบบ ซึง่ ค่าความจรงิ ของประโยคเหลา่ นเ้ี ป็นดังน้ี

ประโยค  x y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเป็นจริง ก็ตอ่ เมอ่ื …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค  x y[P(x, y)] มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ ่อเม่ือ …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
วธิ ที า 1. x y x2 y2 x y x y , U 1,2
จาก x y x2 y2 x y x y , U 1,2
ให้ P x, y : x2 y2 x y x y

P 1,1 : 12 12 1 1 1 1 เป็นจริง
P 1,2 : 12 22 1 2 1 2 เปน็ จรงิ
P 2,1 : ………………………………………………………………………..
P 2,2 : ………………………………………………………………………..
ดงั นัน้ x y x2 y2 x y x y , U 1,2 มีคา่ ความจรงิ เปน็ ……………

2. xyx y 1 ,U 1, 2
x y

วิธีทา จาก x y x y 1 , U 1,2

xy

ให้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดังน้ัน x y x y 1 , U 1,2 มีค่าความจรงิ เป็น…………………..

xy

ประโยค xy[P(x, y)] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ก็ต่อเมอ่ื …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค xy[P(x, y)] มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ ก็ตอ่ เม่ือ …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 53

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคตอ่ ไปนี้
วิธีทา 1. x y x y y x , U 1,2
จาก x y x y y x , U 1,2
ให้ P x, y : x y y x

P 1,1 : ………………………………………………………………………..
ดงั นน้ั x y x y y x , U 1,2 มคี ่าความจริงเป็น……………

2. x y x y xy , U 1, 3
วธิ ีทา จาก x y x y xy , U 1, 3

ให้ P x, y : x y xy
P 1,1 : 1 1 1 1 เปน็ เท็จ
P 1,3 : ………………………………………………………………………..
P 3,1 : ………………………………………………………………………..
P 3,3 : ………………………………………………………………………..

ดังนน้ั x y x y xy , U 1,3 มคี า่ ความจริงเปน็ ……………

ประโยค  xy[P(x, y)] มีคา่ ความจริงเปน็ จริง กต็ ่อเมอื่ …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค  xy[P(x, y)] มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมอื่ …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาค่าความจรงิ ของประโยคต่อไปน้ี
วิธที า
1. x y x y 0 , U 1, 0,1

จาก x y x y 0 , U 1, 0,1

เมอื่ x 1, y1y 0 เปน็ จรงิ

x 0, ………………………………………………………………………..

x 1, ………………………………………………………………………..

ดังนั้น x y x y 0 , U 1,0,1 มีคา่ ความจรงิ เปน็ ……………

2. x y x y , U 1, 0,1
วธิ ที า จาก x y x y , U 1, 0,1

เมอ่ื x 1, ………………………………………………………………………..
ดังนั้น x y x y , U 1,0,1 มคี า่ ความจริงเป็น………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 54

ประโยค x y[P(x, y)] มคี ่าความจริงเปน็ จริง กต็ ่อเม่อื …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ประโยค x y[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ ่อเมือ่ …………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาค่าความจรงิ ของประโยคตอ่ ไปน้ี
วิธีทา 1. x y xy y , U
จาก x y xy y , U
เมื่อ x 1, ………………………………………………………………………..
ดงั นน้ั x y xy y , U มีค่าความจริงเปน็ …………………………….

2. x y xy y , U 2, 3
วิธที า จาก x y xy y , U 2, 3

เมื่อ x 2, ………………………………………………………………………..
x 3, ………………………………………………………………………..

ดังนัน้ x y xy y , U 2,3 มคี า่ ความจรงิ เปน็ ……………………..

สรปุ ...ไวใ้ ช้  ………………………………………………………………………..
1.  x y[P(x, y)]  T  ………………………………………………………………………..
 x y[P(x, y)]  F  ………………………………………………………………………..
2. xy[P(x, y)]  T  ………………………………………………………………………..
x y[P(x, y)]  F  ………………………………………………………………………..
3.  xy[P( x, y)]  T  ………………………………………………………………………..
 x y[P(x, y)]  F  ………………………………………………………………………..
4. x y[P(x, y)]  T  ………………………………………………………………………..
x y[P(x, y)]  T

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 55

แบบฝึกเสรมิ เพิม่ ความเขา้ ใจ

1. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนใ์ นข้อต่อไปน้ี เมื่อ U = {-1, 0, 1}

1)  x y[xy < 2] ………….. 2)  x y[x + y < 2] …………..

3) x y[2x + y = 2] ………….. 4) x y[x + y > 2] …………..

5)  x y[x + y = 0] ………….. 6)  x y[x < y] …………..

7) x y[x  y] ………….. 8) x y[x  y] …………..

2. จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ในขอ้ ตอ่ ไปนี้ เม่ือ U = R

1) x y[x + y = y] ………….. 2) x y[x  y] …………..

3)  x y[x + y = 0] ………….. 4) y x[x + y = 0] …………..

5)  x y[y2 = x] ………….. 6) x y[x2y  0] …………..

7) x y[x  0  y  0 x + y  0] ………….. 8)  x y[x < y  x2 < y2] …………..

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 56

3. จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ในข้อตอ่ ไปน้ี 2) y x[x + y = 1]; U = N …………..
1)  x y[x + y = 1]; U = N …………..

3) x y[x + y = y]; U = I ………….. 4)  yx[xy = y]; U = I …………..

5) x y[xy = 1]; U = Q-{0} ………….. 6)  x y[xy = 0]; U = I …………..

7)  y x[x < y]; U = {-1, 0, 1} ………….. 8) x y[x  y]; U = {0,1,2,3,4} …………..

9) x y[y < x]; U = {-2, 0, 2} ………….. 10)  xy[y < y]; U = {x | x > 0} …………..

11) x y[x > y + 1]; U = I ………….. 12)  x y[x<y 1/x<1/y]; U=R-{0} ……

13) x y[xy  0  (x<0  y<0)]; U = I- ………….. 14)  xy[x2–7 y + 3]; U={5, 6} …………

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 57

การสมมลู ของประโยคทมี่ ี
ตัวบง่ ปรมิ าณ

การสมมูลของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ

รูปแบบของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณท่ีสมมูลกันหรือเป็นนิเสธกัน จะเป็นรูปแบบที่มีลักษณะเดียวกันกับ

รูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั หรอื เปน็ นิเสธกนั

รูปแบบของประพจน์ทีส่ มมูลกัน

กาหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เปน็ ประโยคเปดิ

1) p  q  1) P(x)  Q(x) 

2) p  q  2) P(x)  Q(x) 

3) p  q  3) P(x)  Q(x) 

4) p  q  4) P(x)  Q(x) 

5) (p  q)  5) (P(x)  Q(x)) 

6) (p  q)  6) (P(x)  Q(x)) 

7) (p  q)  7) (P(x)  Q(x)) 

จากสมมลู ของประโยคเปิดขา้ งต้น ถา้ เติมตวั บง่ ปริมาณชนิดเดียวกันไวข้ ้างหน้าจะได้ประพจนท์ ส่ี มมลู กัน
รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมลู กัน

1)  x[P(x)  Q(x)] 
2) x[P(x)  Q(x)] 
3)  x[P(x)  Q(x)] 
4) x[P(x)  Q(x)] 
5)  x[ (P(x)  Q(x))] 
6) x[ (P(x)  Q(x))] 
7)  x [ (P(x)  Q(x))] 

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 58

แบบฝึกเสรมิ เพิ่มความเขา้ ใจ

1. กาหนดให้ P(x),Q(x) และ R(x) เปน็ ประโยคเปิด จงตรวจสอบดวู ่าประโยคในข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่

1) ( P(x)) กบั P(x) 2) P(x) Q(x) กับ Q(x) P(x)

3) P(x) Q(x) กบั P(x) Q(x) 4) P(x)(Q(x)R(x)) กบั (P(x)  Q(x))R(x)

5) P(x) (Q(x)  R(x)) กบั (P(x)Q(x))  (P(x)R(x))

2. จงตรวจสอบว่าประโยคแตล่ ะคตู่ อ่ ไปนส้ี มมูลกนั หรอื ไม่

1) x[P(x)] กบั x[ P(x)] 2)  x[ P(x)] กบั  x[ (P(x)  P(x))]

3)  x[P(x) Q(x)] กบั  x[Q(x)P(x)] 4) x[P(x) Q(x)] กบั x[ P(x)  Q(x)]

5)  x[P(x) Q(x)] กบั  x[ P(x)Q(x)]

6) ( x[x  0]  x[x2 = 2x]) กับ  x[x  0]  x[x2 = 2x]

7)  x[x เป็นจานวนอตรรกยะ]  x[x2 เป็นจานวนตรรกยะ] กับ
 x[x เปน็ จานวนอตรรกยะ]  x[x2 เป็นจานวนตรรกยะ]

8) x[x เปน็ จานวนเฉพาะ]   x[x เปน็ จานวนเต็ม] กบั
(x[x เปน็ จานวนเฉพาะ]   x[x เปน็ จานวนเตม็ ])

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 59

9) ไม่จริงทีว่ า่ จานวนคทู่ ุกจานวนเปน็ จานวนเฉพาะ กบั มจี านวนคบู่ างจานวนเปน็ จานวนเฉพาะ

10) ไมจ่ ริงท่ีว่ามจี านวนจริงบางจานวนท่ี 0 หารลงตัว กับ จานวนจริงทุกจานวน 0 หารไมล่ งตวั

3. จงตรวจสอบว่าประโยคต่อไปน้สี มมูลกบั ข้อใด ข.  x[x  0  x2 > 0]

1)  x[x > 0 x2 > 0]
ก.  x[x2 < 0 x > 0]

2) x[(x + 2 = 5)  (xI)] ข. x[(x + 2  5)  (xI)]
ก. x[(xI)  (x + 2 = 5)]

3)  x[x  0] ข. x[x > 0]
ก. x[x < 0]

4) x[ x = 4  x  16] ข.  x[ x = 4 x = 16]
ก.  x[ x  4  x = 16]

5)  x[xR]  x[xI] ข.  x[xI]  x[xR]
ก.   x[xI]  x[xR] ข. [ x(x + 2 > 5)   x(x2  0)]

6) [ x(x + 2 > 5)  x(x2  0)]
ก.  x[x + 2  5   x[x2 > 0]

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 60

นเิ สธของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณ

นเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณ นเิ สธ
ตวั บง่ ปรมิ าณ  x[P(x)] 
 x[P(x)] x[P(x)] 
x[P(x)] ( x y[P(x, y)]) 
 x y[P(x, y)] ( x y[P(x, y)]) 
 x y[P(x, y)] (x y[P(x, y)]) 
x y[P(x, y)] (x y[P(x, y)]) 
x y[P(x, y)]

แบบฝกึ เสรมิ เพ่มิ ความเข้าใจ ............................................................................................
............................................................................................
จงหานเิ สธของประโยคต่อไปนี้ ............................................................................................
1)  x[2x > 0] ............................................................................................
............................................................................................
2) x[x = 2  x เปน็ จานวนคู่] ............................................................................................
3)  x[x > 0  x2 > 0] ............................................................................................
4) x[(x = 1  x = -1)  x2= 4] ............................................................................................
............................................................................................
5) จานวนตรรกยะบางจานวนเปน็ จานวนเต็ม ............................................................................................
............................................................................................
6) จานวนคู่บางจานวนเป็นจานวนเฉพาะ ............................................................................................
............................................................................................
7) จานวนเฉพาะทุกจานวนเปน็ จานวนคี่ ............................................................................................
8)  x[x > 0 ]   x[x2 > 0] ............................................................................................
............................................................................................
9) x[x  0]   x[x  0] ............................................................................................
10)  x[x+1  x]  x[x2 < 0] ............................................................................................

11)  x[P(x)]  x[Q(x)]

12) ( x[P(x)]  x[Q(x)])   x[P(x)]

13) x[ P(x)]  x [P(x)]

14) ฝนตกหนักยอ่ มทาใหบ้ างจังหวดั น้าทว่ ม

15) คนทุกคนทางานหนกั หรอื คนบางคนพดู ไมไ่ ด้

16)  x y[x + y = 2x]

17) x y[x + y = y]

18)  x y[x + y  xy]

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 61

บทท่ี 2
ระบบจานวนจริง

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 62

จานวนจรงิ

จานวนจริง (Real Number)

แผนผงั ระบบจานวนจรงิ แสดงความสัมพันธข์ องจานวนชนดิ ตา่ ง ๆ
จานวนจริง

…………..………………. …………..……………….

…………..……… …………..

………. ……………
………………….. ……..….. …………………….. ….

1) จานวนเต็ม (Integer) : I = ………………………………………..

 จานวนเตม็ บวก (Positive integer) : I = …….……………………. จานวนเต็มบวกเรียกชื่อ

อีกอย่างวา่ ……………………….. (Counting number) หรอื ………………………………. (Natural number : )

 ศูนย์ (Zero) : I0 = …….…………………….

 จานวนเตม็ ลบ (Negative integer) : I = …….…………………….

2) จานวนตรรกยะ (Rational number) : = …….……………………………………………….……. กล่าวคือ

จานวนท่ีสามารถเขยี นได้ในรปู …….…………………….…….…………………….…….……………………. ได้แก่

 จานวนเตม็ ทุกจานวน เช่น …….…………………….…….…………………….…….…………………….

 เศษส่วนทกุ จานวน เช่น …….…………………….…….…………………….…….…………………….

 ทศนยิ มรูจ้ บ เชน่ …….…………………….…….…………………….…….…………………….

 ทศนยิ มไม่ร้จู บ (ซา้ ) เช่น …….…………………….…….…………………….…….…………………….

3) จานวนอตรรกยะ (Irrational number) :  คือ …….…………………….…….…………………….ซ่ึงไม่

สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้าหรือเศษส่วนของจานวนเตม็ ทต่ี ัวสว่ นไม่เปน็ ศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้า และ
สามารถกาหนดคา่ โดยประมาณได้ ไดแ้ ก่

 ทศนยิ มไมร่ ูจ้ บ (ไมซ่ า้ ) เชน่ …….…………………….…….…………………….…….…………………….

 จานวนที่ติดกรณฑ์ (ถอดรากไม่ลงตัว) เชน่ …….…………………….…….…………………….…….……

 ค่าคงตวั ทางคณิตศาสตรบ์ างตวั เช่น  = 3.141…, e = 2.718…
4) จานวนจริง (Real number) : = …….…………………….…….…………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 63

สมบัติเก่ียวกับจานวนตรรกยะและอตรรกยะ

1. ถา้ a เป็นจานวนอตรรกยะ และ b เปน็ จานวนตรรกยะ แลว้
…….…………………….…….…………………….…….……………………. เช่น …….…………………….

2. ถ้า a เปน็ จานวนอตรรกยะ และ b เป็นจานวนตรรกยะ แลว้
…….…………………….…….…………………….…….……………………. เชน่ …….…………………….
แต่ถ้า b  0 เป็นจานวนตรรกยะ แล้ว …….…………………….…….…………………………………..

3. ถา้ a เปน็ จานวนอตรรกยะ แล้ว …….…………………….…….…………………………………………
เช่น …….……………………. ฉะนนั้ …….…………………….…….…………………………………………

4. ถ้า a เปน็ จานวนอตรรกยะ และ b เป็นจานวนอตรรกยะ แล้ว
…….…………………….…….…………………….…….……………………. เช่น …….…………………….

แบบฝกึ เสริมเพมิ่ ความเข้าใจ

1. จานวนที่กาหนดใหต้ อ่ ไปนี้จานวนใดเปน็ จานวนนบั ( ) จานวนเต็ม () จานวนตรรกยะ ( ) หรอื

จานวนอตรรกยะ ( ) โดยทาเคร่ืองหมาย / 

ข้อ จานวน   ข้อ จานวน  เทจ็ (F)
…………….
1 -9 11 -4.63 …………….
…………….
2 -7/2 12 10 …………….
35 …………….
13 -  …………….
…………….
42 14 -1/3 …………….
50 15 6/3

61 16 2 / 2

75 17 -7.5

8 -7 18 25

9 3.12 19 -17

10 5/4 20 -12/5

2. จงพิจารณาว่าขอ้ ความตอ่ ไปนเ้ี ป็นจรงิ หรือเทจ็ จริง (T)

1) 0.001001001001… เปน็ จานวนตรรกยะ …………….

2) 0.110110110110… เปน็ จานวนตรรกยะ …………….

3) 0.767667666766667… เป็นจานวนตรรกยะ …………….

4) 0.59999…. เปน็ จานวนตรรกยะ …………….

5) 0 เปน็ จานวนจริง …………….

6) จานวนท่ีเขียนได้ในรปู ทศนยิ มซา้ ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ …………….

7) จานวนทีเ่ ขยี นไดใ้ นรปู ทศนยิ มไม่ซ้าเปน็ จานวนจริง …………….

8) (a-b)2 = a-b ไมว่ า่ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ …………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 64

สมบตั ขิ องจานวนจรงิ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ

สมบตั กิ ารเท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

สมบตั ิ ตวั อยา่ ง

1. สมบตั ิการสะท้อน a=a

2. สมบตั กิ ารสมมาตร ถา้ a = b แล้ว

3. สมบตั กิ ารถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แล้ว

4. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนเท่ากนั ถา้ a = b แล้ว

5. สมบัตกิ ารคูณด้วยจานวนเทา่ กนั ถา้ a = b แลว้

การบวกและการคณู ในระบบจานวนจริง

ระบบจานวนจริงประกอบด้วยเซตของจานวนจริง กับการบวกและการคูณ ซึ่งมสี มบัติดงั นี้

สมบัติ การบวก ตัวอยา่ ง

1. ปิด (Closure) ถ้า a และ b แลว้

2. การสลบั ท่ี a+b=

(commutative)

3. การเปลยี่ นหมู่ (a + b) + c =

(associative)

4. การมเี อกลกั ษณ์ มีจานวนจรงิ …….ซง่ึ a +…….= a =…….+ a

(Identity) “……….เปน็ เอกลกั ษณก์ ารบวก”

5. การมีอินเวอร์ส สาหรบั จานวนจริง a จะมจี านวนจรงิ …….ท่ี

(Inverse) ……... + a = 0 = a + …..….

“…….เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ a”

สมบตั ิ การคูณ ตัวอยา่ ง

1. ปิด ถ้า a และ b แลว้

2. การสลับที่ ab =

3. การเปลี่ยนหมู่ (a b) c =

4. การมีเอกลกั ษณ์ มจี านวนจริง…………….ซง่ึ

a ………. = a = ………. a

“…….…….เป็นเอกลักษณ์การคูณ”

5. การมอี ินเวอร์ส สาหรบั จานวนจรงิ a ที่ a  0 จะมี……….

โดยที่ ………. a = 1 = a ……….

“…….…….เปน็ อินเวอร์สการคูณของ a”

สมบตั ิการแจกแจง a (b + c) = …….…….…….…….
(Distributive)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 65

แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ

1. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้วี า่ เปน็ จริงตามสมบตั ิของจานวนจรงิ ข้อใด เมอ่ื a, b, c, p, q, x, y

1) q 37 = 37 q …………………………………………………………….

2) (2 + 3) p = 2p + 3p …………………………………………………………….

3) 6 + (5 + y) = (6 + 5) + y …………………………………………………………….

4) (2 + 3)(5 + 6) = (5 + 6)(2 + 3) …………………………………………………………….

5) 3 + (4 + 6) = 3 + (6 + 4) …………………………………………………………….

6) a(b + c) = (b + c)a …………………………………………………………….

7) 5(x + y) = 5x + 5y …………………………………………………………….

8) -5 +  เปน็ จานวนจริง …………………………………………………………….

9) มีจานวนจริงที่บวก -15 แลว้ ได้ 0 …………………………………………………………….

10) 1 x 1 = 1 …………………………………………………………….

2. เซตต่อไปน้ี มีสมบตั ขิ องจานวนจริงข้อใดบา้ ง

ข้อ เซตของ การบวก สมบัตปิ ิด การหาร
การลบ การคณู

1) จานวนนับ

2) จานวนเตม็ ลบ

3) จานวนเตม็

4) ศนู ย์

5) จานวนจรงิ

6) จานวนตรรกยะ

7) จานวนอตรรกยะ

8) จานวนท่หี ารดว้ ย 2 ลงตวั

9) {1, 3, 5}

10) {-1, 0, 1}

3. จงพิจารณาจานวนในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ถา้ เปน็ จริงใหเ้ ขยี นเครื่องหมาย / ถ้าเปน็ เทจ็ ใหเ้ ขยี นเคร่ืองหมาย X

……….1) จานวนตรรกยะมสี มบตั ขิ องการบวกและการหาร

……….2) จานวนตรรกยะมีสมบัตปิ ิดของการหาร

……….3) การบวกและการลบมสี มบตั ิในระบบจานวนนบั

……….4) การคูณและการหารมสี มบัติปิดในระบบจานวนเต็ม

……….5) เซตของจานวนอตรรยะมีสมบตั ิปิดภายใต้การบวก

……….6) เซตของจานวนอตรรยะมีสมบตั ิปดิ ภายใต้การคณู

……….7) เซตของจานวนคู่มีสมบตั ิปดิ สาหรับการหาร

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 66

……….8) {-1, 0, 1} มสี มบตั ิสาหรบั การคูณ
……….9) จานวนตรรกยะมีสมบัตปิ ิดของการหารดว้ ยตวั หารทีไ่ ม่เท่ากบั ศนู ย์
……….10) เซตของจานวนทีห่ ารดว้ ย 5 ลงตวั มสี มบตั ปิ ิดสาหรับการบวกและการหาร
……….11) ถ้า a, b R และ a * b = a + b + 15 แล้ว R มีสมบัติปดิ สาหรบั การดาเนินการ *
……….12) ระบบจานวนเตม็ มีสมบัตสิ ลบั ทภี่ ายใตก้ ารคูณ
……….13) จานวนตรรกยะมีสมบัตกิ ารจดั หม่ภู ายใตก้ ารคูณ

……….14) เซต  – {0} ไมม่ เี อกลักษณ์การบวก

……….15) เซต  – {0} ไม่มีเอกลกั ษณ์การคูณ

……….16) ถ้า a + b = 0 แล้ว b มอี นิ เวอร์สการบวก

……….17) ถา้ ab = 0 แล้ว b คอื อินเวอรส์ การคูณของ a

……….18) ถ้า q เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ p และ 2p – q = 3 แล้ว p = 1

……….19) อนิ เวอร์สการคูณของ 5a2 คอื b เมอ่ื a, b 0
b 5a2

……….20) อินเวอร์สการคณู ของ 3 + 2 คือ 3 2

การแก้สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามท่ีกาหนดให้อยู่ในรูปของการคูณของพหุนามท่ีมี
ดกี รตี ่ากวา่ ตง้ั แตส่ องพหุนามขน้ึ ไป หรอื เขียนพหนุ ามใหอ้ ย่ใู นรูปทงี่ า่ ยกวา่

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เป็นพหุนามท่ีเขียนได้อยู่ในรูป……………………………………เมื่อ a, b, c
เปน็ ค่าคงตวั ที่ a 0 และ x เป็นตัวแปร

1. การแยกตวั ประกอบของ……………………………………เมือ่ b, c เป็นค่าคงตัวท่ี c 0 ทาได้โดย

1) หาจานวน m และ n ท…่ี …………………………………และ……………………………………

2) จะไดว้ ่า x2 + bx + c =………………………………………………………………………………

ตัวอยา่ ง x2 + 8x + 7 =…………………………………… x2 + 5x – 6 =……………………………………

2. การแยกตัวประกอบของ……………………………………เมือ่ a, b, c เปน็ ค่าคงตวั ที่ a, c 0
ตัวอยา่ ง 4x2 + 16x – 9 =…………………………………… 3x2 + 5x – 2 =……………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 67

สตู รสาหรบั การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม

ขอ้ ตกลง น = หน้า ล = หลัง

1. พหุนามในรปู กาลังสองสมบรู ณ์ (Perfect square) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้

(น + ล)2 = (น – ล)2 =

2. พหนุ ามในรูปผลต่างกาลงั สอง (Difference of square) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้
น2 – ล2 =

3. พหนุ ามในรปู ผลบวกกาลงั สาม (Sum of cube) จะแยกตัวประกอบ ดงั น้ี
น3 + ล3 =

4. พหุนามในรปู ผลต่างกาลงั สาม (Difference of cube) จะแยกตวั ประกอบ ดังน้ี
น3 – ล3 =

5. พหนุ ามในรปู กาลังสามสมบรู ณ์ (Perfect cube) จะแยกตวั ประกอบ ดงั นี้

(น + ล)3 = (น – ล)3 =

แบบฝึกเสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ

ข้อท่ี พหนุ าม การแยกตัวประกอบ ข้อที่ พหนุ าม การแยกตวั ประกอบ
1 x2 + 2x + 1 31 x2 + 3x + 2
2 x2 + 4x + 3 32 x2 + 4x + 4
3 x2 + 5x + 4 33 x2 + 5x + 6
4 x2 + 6x + 9 34 x2 + 6x + 8
5 x2 + 7x + 6 35 x2 + 7x + 12
6 x2 + 7x + 10 36 x2 + 8x + 12
7 x2 + 8x + 15 37 x2 + 8x + 16
8 x2 + 9x + 8 38 x2 + 9x + 18
9 x2 + 9x + 20 39 x2 + 10x + 9
10 x2 + 10x + 21 40 x2 + 10x + 24
11 x2 – 2x + 1 41 x2 – 3x + 2
12 x2 – 4x + 3 42 x2 – 4x + 4
13 x2 – 5x + 4 43 x2 – 5x + 6
14 x2 – 6x + 9 44 x2 – 6x + 8
15 x2 – 7x + 6 45 x2 – 7x + 12
16 x2 – 7x + 10 46 x2 – 8x + 12
17 x2 – 8x + 15 47 x2 – 8x + 16

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 68

18 x2 – 9x + 8 48 x2 – 9x + 18
19 x2 – 9x + 20 49 x2 – 10x + 9
20 x2 – 10x + 21 50 x2 – 10x + 24
21 x2 + x – 6 51 x2 – x – 6
22 x2 + x – 12 52 x2 – x – 12
23 x2 + 2x – 8 53 x2 – 2x – 3
24 x2 + 2x – 15 54 x2 – 2x – 8
25 x2 – 3x – 4 55 x2 – 3x – 18
26 x2 + 3x – 18 56 x2 – 4x – 5
27 x2 + 3x – 4 57 x2 – 11x – 12
28 x2 + 2x – 3 58 x2 – x – 2
29 x2 + 11x – 12 59 x2 – x – 20
30 x2 – 21x + 20 60 x2 – 8x – 20

2. จงหาผลคูณ 6) (x – 5)(x – 5) = …………………………………….
7) (5x – 4)(5x – 4) = ………………………………….
1) (x + 1)(x – 1) =……………………………………….
8) (3x – 1)(3x – 1) = ………………………………….
2) (x + 3)(x – 3) =……………………………………….
9) (2x + 1)(3x + 2) = ………………………………….
3) (2x + 3)(2x – 3) = …………………………………. 10) (4x + 2)(x + 4) = …………………………………..

4) (5x + 4)(5x – 4) =…………………………………. 16) x2 – 10x + 25 = …………………………………….
17) x2 – 14x + 49 = …………………………………….
5) (3x + 1)(3x – 1) = …………………………………. 18) x2 + 6x – 16 = ………………………………………
19) x2 + 6x + 8 = ………………………………………..
3. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี 20) x2 + x – 30 = ………………………………………..
1) x2 – 25x =……………………………………………… 21) x2 + 13x + 30 = ……………………………………
2) x3 – 4x2 =………………………………………………. 22) x2 + 8x + 7 = ………………………………………..
3) x4 – 4x = ………………………………………………. 23) x2 + 10x + 21 = …………………………………….
4) 15x2 – 25x =………………………………………….. 24) x2 – 5x – 50 = ……………………………………….
5) 81x2 – x = …………………………………………….. 25) x2 + 9x + 20 = ………………………………………
6) 7x2 + 49x = …………………………………………… 26) x2 – 10x – 11 = ……………………………………..
7) 88x3 + 8x2 = …………………………………………. 27) x2 + 14x + 13 = …………………………………….
8) 13x4 + x2 = …………………………………………… 28) 3x2 + 10x + 3 = …………………………………….
9) 5x3 + 15x2 = …………………………………………
10) 100x4 + 10x3 = ………………………………………
11) x2 + 3x – 4 = …………………………………………
12) x2 + 10x + 25 = …………………………………….
13) x2 + 6x + 9 = …………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 69

14) x2 + 4x + 4 = ………………………………………… 29) 2x2 + x – 6 = …………………………………………
15) x2 + 8x – 20 = ………………………………………. 30) 2x2 – x – 1 = …………………………………………

4. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 9) x2 – 2x + 1 = ……………………………………….
10) x2 – 4x + 4 = ……………………………………….
1) x2 + 2x + 1 = ………………………………………. 11) x2 – 6x + 9 = ……………………………………….
2) x2 + 4x + 4 = ………………………………………. 12) x2 – 10x + 25 = ……………………………………
3) x2 + 6x + 9 = ………………………………………. 13) 4x2 – 4x + 1= ……………………………………….
4) x2 + 10x + 25 = …………………………………… 14) 4x2 – 4xy + y2 = …………………………………..
5) 4x2 + 4x + 1 = ……………………………………… 15) 9y2 – 12y + 4 = ……………………………………
6) 4x2 + 4xy + y2= …………………………………… 16) 25a2 – 10a + 1 = …………………………………
7) 9y2 + 12y + 4 = ……………………………………
8) 25a2 + 10a + 1 = ………………………………… 9) 49x2 – 1 = ……………………………………….
10) 9x2 – 4y2 = ……………………………………….
5. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้ 11) a2x2 – 36y2 = ……………………………………….
12) 64x2 – 25y2 = ……………………………………….
1) x2 – 4 = ………………………………………. 13) 144 – 36y2 = ……………………………………….
2) a2 – 9 = ………………………………………. 14) 4a2x2 – 64y2 = ……………………………………….
3) y2 – 1/16 = ………………………………………. 15) 16a2 – 49 = ……………………………………….
4) 4x2 – 25 = ………………………………………. 16) k6 – k2 = ……………………………………….
5) 16x2 – 81y2 = ……………………………………….
6) 4x2 – 25y2 = ………………………………………. 9) x3 + 8 = ……………………………………….
7) 100 – 81y2 = ………………………………………. 10) x3 – 27 = ……………………………………….
8) 121 – 36a2 = ………………………………………. 11) 8x6 – 125 = ……………………………………….
12) x6 – 64y3 = ……………………………………….
6. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี 13) x3 + 216 = ……………………………………….
14) 8m3 – 27 = ……………………………………….
1) x3 – 8 = ………………………………………. 15) y3 + 8x3 = ……………………………………….
2) x3 + 27 = ………………………………………. 16) 64x6 – 8 = ……………………………………….
3) 8x6 + 125 = ……………………………………….
4) x6 + 64y3 = ……………………………………….
5) x3 – 216 = ……………………………………….
6) 8m3 + 27 = ……………………………………….
7) y3 – 8x3 = ……………………………………….
8) 64x6 + 8 = ……………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 70

การแก้สมการพหนุ ามกาลังสองตัวแปรเดยี ว
การแก้สมการ หรือการหาคาตอบของสมการกาลังสองตัวแปรเดียว หมายถึงการหา…………………………
ของสมการที่เขียนอยูใ่ นรปู …………………………………………………………………เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตัว และ a ≠ 0

หลักการ : การแก้สมการพหุนามกาลังสองตัวแปรเดียว

1. ให้แยกตัวประกอบและใชห้ ลกั การ“ถา้ A และ B เป็นจานวนจรงิ และ AB = 0 แล้ว…………………………..”

2. ใหท้ าสมการใหอ้ ยใู่ นรูป…………………………………………………………..

3. ใช้สตู ร x =

3.1 ถ้า b2 – 4ac > 0 แลว้ คาตอบจะ………………………………………………………………………………..
3.2 ถา้ b2 – 4ac = 0 แล้ว คาตอบจะ………………………………………………………………………………..
3.3 ถา้ b2 – 4ac < 0 แล้ว คาตอบจะ………………………………………………………………………………..

แบบฝกึ เสริมเพิม่ ความเขา้ ใจ

1. จงหาคาตอบของสมการตอ่ ไปน้ี โดยการแยกตัวประกอบ

1) x2 + 7x + 10 = 0 11) 2 + x – x2 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
2) x2 + 8x + 12 = 0 12) 2x2 + 7x + 3 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
3) x2 – 3x – 18 = 0 13) 3x2 + 7x + 2 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
4) x2 – 6x – 16 = 0 14) 5x2 + 13x + 6 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
5) x2 + 5x – 24 = 0 15) 7x2 + 3x – 4 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
6) x2 + x – 30 = 0 16) 9x2 + 12x + 4 = 0

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 71

7) x2 – 14x + 48 = 0 17) 9x2 – 16 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

8) 21 – 10x + x2 = 0 18) 36x2 – 25 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

9) 4x2 + 8x + 3 = 0 19) x2 – 9 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

10) 4x2 + 16x + 15 = 0 20) 25 – x2 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

2. จงหาคาตอบของสมการตอ่ ไปนี้ โดยใช้สูตร 6) x2 – 4x – 2 = 0
1) x2 – 4x – 21 = 0 ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
2) x2 = 4x 7) x2 – 6x + 4 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
3) x2 – 2x = 6
………………………………………………………………. 8) x2 – 10x – 2 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 72

4) 3x2 + 2x – 3 = 0 9) x2 + 5x + 1 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

5) 2x2 + 4x = 1 10) x2 + 3x + 2 = 0
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

การแกส้ มการพหนุ ามตัวแปรเดียว
พหุนามตัวแปร x เขียนในรูป ……………………………………………………………….. เม่ือ n เป็นจานวนเต็มบวก
และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ สมั ประสทิ ธ์ิของพหุนามท่เี ปน็ จานวนจริง โดยที่ ถ้า an ≠ 0 จะเรียกพหุนามน้ีว่า
………………..……………… ดังนั้น สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ …………………………………………………………………..
และสามารถหาคาตอบของสมการได้ ดังน้ี

หลกั การ : การแกส้ มการพหุนามตัวแปรเดียว

1. ใหแ้ ยกตวั ประกอบและใช้หลกั การ “ถา้ A และ B เปน็ จานวนจรงิ และ AB = 0 แล้ว…………………………..”

ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0
วธิ ีคดิ 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = (3x3 + 2x2) – (12x + 8)

= …………………………………………………………..

= …………………………………………………………..

= …………………………………………………………..

ฉะนน้ั (3x + 2)(x – 2)(x + 2) = 0 จะได้ …………………………………………………………..
ดงั นั้น เซตคาตอบของสมการ 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0 คือ ………………………………………

2. ใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือ (Remainder theorem)
“เมื่อ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก an, an-1, an-2,

…, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 ถ้า………………………………………………………………………………………แล้ว

เศษเหลือจะเท่ากบั …………………….”

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 73

ตัวอยา่ ง 1. จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร 9x2 + 4x – 1 ดว้ ย x – 1
ให้ p(x) = 9x2 + 4x – 1 โดยทฤษฎบี ทเศษเหลอื เมื่อหาร p(x) ด้วย x – 1

จะไดเ้ ศษเหลอื คอื ………………………………………………………………………………..
2. จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร 9x2 + 4x – 1 ด้วย x + 2

ให้ p(x) = 9x2 + 4x – 1 โดยทฤษฎีบทเศษเหลอื เมอื่ หาร p(x) ดว้ ย x + 2

จะได้เศษเหลือคอื ………………………………………………………………………………...

รไู้ วไ้ ม่เสียหาย

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor theorem)
“เม่ือ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก an, an-1, an-2,

…, a1, a0 เป็นจานวนจรงิ ซ่งึ an ≠ 0 พหนุ าม p(x) จะมี x – c เป็นตวั ประกอบ ก็ต่อเม่ือ …………….………….”
ตวั อย่าง 1. จงหาเศษเหลอื เม่อื หาร x3 – 5x2 + 2x + 8 ดว้ ย x – 2

ให้ p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8

จะได้ ………………………………………………………………………………...............
ดงั นนั้ …………………………เป็นตวั ประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8
2. จงหาเศษเหลือเมื่อหาร x3 – 5x2 + 2x + 8 ดว้ ย x + 1
ให้ p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8

จะได้ ………………………………………………………………………………...............
ดงั น้ัน …………………………เป็นตัวประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8

การแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เม่อื สมั ประสิทธิน์ าเป็น 1
สาหรับพหุนาม p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก an,

an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนเตม็ ซ่ึง an = 1 สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม p(x) ดว้ ยวิธีดังน้ี

1. หาตัวประกอบ c ของ a0 ทที่ าให้ p(c) = …………

2. นา x – c ไปหาร p(x) ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดกี รตี ่ากวา่ ดีกรีของพหนุ าม p(x) อยู่ 1

3. ถ้าผลหารในข้อ 2 ยังมีดีดรีสูงกว่า 2 และสามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีก ก็แยกตัวประกอบของ

ผลหารน้นั ตามขั้นตอนในขอ้ 1 และขอ้ 2
ตัวอย่าง จงหาแยกตวั ประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8

ให้ p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8

เน่อื งจากจานวนเตม็ ทห่ี าร 8 ลงตวั คอื …………………………………………………………..

พจิ ารณา p(2) = ………………………………………………………………………………
ดังนั้น …………………………เปน็ ตวั ประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8
จากนั้นนา……………………ไปหาร x3 – 5x2 + 2x + 8 ไดผ้ ลการเป็น………………………………
ดงั น้ัน x3 – 5x2 + 2x + 8 = ……………………………………………………

= ……………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 74

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม p(x) เมื่อสมั ประสทิ ธิ์นาไม่เป็น 1
ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
“เมื่อ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก an, an-1, an-2,

…, a1, a0 เป็นจานวนเตม็ ซึ่ง an ≠ 0 ถ้า …………….. เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็น
จานวนเตม็ ซงึ่ m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แล้ว ………………………………..………………………”

1. หา…………ท่ี ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 โดยพิจารณา m และ k จากตัวประกอบของ an และ a0
ตามลาดบั

2. ทดสอบวา่ p(……………) = …….. หรอื ไม่

2.1 ถา้ p(……………) = …….... แลว้ …………………..…….. เป็นตวั ประกอบของ p(x)

2.2 ถ้าไม่มี………ท่ีทาให้ p(…………) = 0 แสดงว่าพหุนาม p(x) ไม่มีตัวประกอบที่เป็นพหุนาม

ดกี รีหน่ึงในรูป……………….

3. นา …………… ซ่ึงเป็นตัวประกอบของ p(x) ไปหารพหุนาม p(x) ผลหารจะเป็นพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

ดกี รขี องพหุนาม p(x) อยู่ 1

4. ถ้าผลหารในข้อ 3 ยังมีดีดรีสูงกว่า 2 และสามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีก ก็แยกตัวประกอบของ
ผลหารนน้ั ตามขัน้ ตอนในขอ้ 1, 2 และข้อ 3

ตวั อย่าง จงหาแยกตัวประกอบของ 12x3 + 6x2 – 5x – 3
ให้ p(x) = 12x3 + 6x2 – 5x – 3

เนื่องจากจานวนเต็มท่หี าร -3 ลงตัวคอื ……………………………………………………

และจานวนเตม็ ที่หาร 12 ลงตวั คอื ……………………………………………………

ดงั น้ัน จานวนตรรกยะ k ที่ทาให้ p( k ) = 0 ได้แก่
m m

…………………………………………………………………………………………………………

พจิ ารณา p( 1 ) จะได้ p( 1 ) = ……………………………………………………
2 2

= ……………………………………………………

นน่ั คือ …………………….. เปน็ ตวั ประกอบของ 12x3 + 6x2 – 5x – 3

จากน้นั นา …………………….. ไปหาร 12x3 + 6x2 – 5x – 3 ไดผ้ ลการเป็น 12x2 + 22x + 6

นัน่ คือ 12x3 + 6x2 – 5x – 3 = ……………………..……………………..……………………..

= ……………………..……………………..……………………..

= ……………………..……………………..……………………..

ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 75

ตวั อยา่ ง จงหาแกส้ มการ 6x3 – 11x2 + 6x = 1
จากสมการ 6x3 – 11x2 + 6x = 1 จะได้ ……………………..……………………..……………………..
ให้ p(x) = 6x3 – 11x2 + 6x – 1
จะได้ p(1) = ……………………..……………………..……………………..
ดังน้ัน ………………..เป็นตวั ประกอบของ 6x3 – 11x2 + 6x – 1
นั่นคอื p(x) = ……………………..……………………..……………………..

= ……………………..……………………..……………………..
เนอ่ื งจาก 6x3 – 11x2 + 6x – 1 = 0 จะได้ ……………………..……………………..……………………..

ดงั นนั้ ……………………..……………………..……………………..

น่นั คือ เซตคาตอบของสมการ คอื ………………………………

แบบฝึกเสรมิ เพิม่ ความเขา้ ใจ

1. กาหนด p(x) และ c ดงั ต่อไปนี้ จงหาเศษเหลือเมื่อหาร p(x) ด้วย x – c

1) p(x) = x4 – 3x + 5, c = 2 4) p(x) = x3 – x2 + 2x – 2, c = 1

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
2) p(x) = 2x3 + 7x2 – 5x – 4, c = -3 5) p(x) = 2x3 + 4x2 – 6x + 4, c = -2

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
3) p(x) = 6x3 + 13x2 – 4, c = -2 6) p(x) = 3x4 – x3 – 2x2 + x + 2, c = -1

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

2. จงหาคา่ m จากเง่ือนไขที่กาหนดให้

1) x – 5 หาร x3 – 2x2 + 8x – m ลงตัว 6) x + 2 หาร x3 – 2x2 + x + m ลงตัว

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
2) a – b หาร a3 – 3x2b + b3 + m ลงตวั 7) x – 1 หาร x4 + mx3 + 2x2 – 5 ลงตัว

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 76

3) x+2/3 หาร 3x4–2x3+mx–1 เหลอื เศษ -1 8) x + 4 หาร mx3+2x2+3x+28m เหลือเศษ 2

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
4) x – m หาร x3 – 3 เหลือเศษ 5 9) x – m หาร 3x2 – x + 2 ลงตวั

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….
5) x + m หาร x2 – 5x – 2 เหลือเศษ -8 10) x + 1 หาร x4 – x3 – x2 + x + m ลงตวั

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

การหารสงั เคราะห์

จงหาผลหารเม่อื หาร x2 – 6x + 8 ดว้ ย x + 1

วิธีทา ในทน่ี ้ี x – a = x + 1 = x – (-1) จะได้ a = -1

11 6 8

ตอบ ผลหารเมอื่ หาร x2 – 6x + 8 ดว้ ย x + 1 คอื x – 7 เศษ 15 11 68

มีแนวคดิ ดงั นี้

1. เรียงสมั ประสทิ ธ์ของตัวตั้งจากดกี รีมากไปหาดกี รนี ้อย

ถา้ พจน์บางพจน์ไมม่ ใี หถ้ ือวา่ สมั ประสทิ ธ์ของดกี รีนั้นเทา่ กับ 0

2. ต้งั ตัวหาร

3. ดงึ สมั ประสิทธต์ วั แรกลงมาอกี บรรทัด ดังนี้

4. ดาเนินการดังน้ี

4.1 นา……………………….นาผลลัพธ์ทีไ่ ดค้ ือ……………ใสต่ รงกับ -6
4.2 นา……………………….ใส่ในบรรทัดถดั ไป
4.3 นา……………………….นาผลลพั ธ์ท่ีได้คือ……………ใส่ตรงกับ 8
4.4 นา……………………….ใสใ่ นบรรทดั ถดั ไป
5. พิจารณาบรรทดั สุดท้าย คือ……………………….……………………….……………………….

ดังน้นั ผลหารเมื่อหาร x2 – 6x + 8 ด้วย x + 1 คือ……………………….เศษ…………

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 77

ตัวอยา่ ง 1. จงหาผลหารเมอ่ื หาร 8x2 + 10x + 3 ดว้ ย x – 3
วธิ ที า ในทน่ี ี้ x – a =…………………………………จะได้ a = ……………….

8 10 3

ดังน้นั ผลหารของ 8x2 + 10x + 3 ดว้ ย x – 3 คอื ..................................เศษ...........

ตัวอยา่ ง 2. จงหาผลหารเมอ่ื หาร 2x4 – x2 + 5x – 3 ดว้ ย x + 3
วธิ ที า ในทน่ี ้ี x – a =…………………………………จะได้ a = ……………….

20 15 3

ดังนนั้ ผลหารของ 2x4 – x2 + 5x – 3 ด้วย x + 3 คอื ..................................เศษ...........

แบบฝึกเสริมเพิ่มความเข้าใจ 2) (x4 – 2x3 + 8) (x + 1)

1.จงหาใช้การหารสังเคราะห์หาผลหารและเศษ
1) (x3 + 3x – 5) (x – 1)

3) (2x3 + x2 – 2x + 3) (x – 2) 4) (x4 – 2x3 + 3x2 + x – 3) (x – 1)

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 78

5) (2x4 – 3x2 + 5) (x + 3) 6) (x2 + 3x + 4) (x – 2)

7) (x3 – 2x2 + x – 5) (x – 1) 8) (x3 + 4x + 2) (x + 3)

9) (x4 + x2 – 5) (x + 1) 10) (x4 + 3x3 – 2x2 + 5) (x + 2)

2.จงหาคาตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือ

1) 2x3 – 3x2 + 1 = 0 2) 4x3 + 13x2 + 4x – 12 = 0

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 79

3) 3x3 – 2x2 – 7x = 2 4) 2x4 – 13x3 + 28x2 = 23 – 6

5) 6 – 13x + 4x3 = 0 6) 4x4 – 4x3 – 9x2 + x + 2 = 0

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 80

ชว่ ง

การเขยี นสัญลกั ษณแ์ ทนช่วง เมื่อเอกภพสมั พัทธเ์ ปน็ เซตของจานวนจรงิ และ a, b โดยท่ี a < b
ชว่ ง เสน้ จานวน

1. ชว่ งเปดิ (a, b) หมายถึง
Ex -3 < x < 4

2. ช่วงปดิ [a, b] หมายถงึ
Ex -3  x  4

3. ชว่ งครึง่ เปิด (a, b] หมายถงึ
Ex -3 < x  4

4. ช่วงครงึ่ ปดิ [a, b) หมายถึง
Ex -3  x < 4

5. ชว่ ง (a, ∞) หมายถงึ
Ex x > 4

6. ช่วง [a, ∞) หมายถึง
Ex x  4

7. ช่วง (-∞, a) หมายถงึ
Ex x < 4

8. ชว่ ง (-∞, a] หมายถึง
Ex x  4

9. ช่วง (-∞,∞) หมายถงึ

รหู้ รอื ไม่
x=3

x3

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 81

x < -3 หรอื x  4

x  -3 หรอื x > 4 แทนดว้ ยสัญลักษณ์…………..หรอื …………..
แทนด้วยสญั ลกั ษณ์…………..หรือ…………..
ช่วงเปดิ แปลว่า “......................”
ชว่ งปดิ แปลวา่ “......................”

แบบฝึกเสริมเพิม่ ความเขา้ ใจ

1. ให้ n เป็นจานวนเต็ม จงเลอื กจานวนที่เปน็ คาตอบของอสมการจาก (1) – (5)

1) n < 5 ………(1) 7 ……… (2) 0 ……… (3) 1 ……… (4) -2 ……… (5) 5
……… (5) -9
2) n > -4 ………(1) 6 ……… (2) -1 ……… (3) -4 ……… (4) 0 ……… (5) -5
……… (5) 2
3) n < 0 ………(1) 2 ……… (2) -2 ……… (3) 0 ……… (4) 6 ……… (5) 0
……… (5) 9
4) n  0 ………(1) 3 ……… (2) 0 ……… (3) -4 ……… (4) -1 ……… (5) 0
……… (5) 0
5) n  2 ………(1) -2 ……… (2) 4 ……… (3) 2 ……… (4) 3 ……… (5) -2

6) n  4 ………(1) -7 ……… (2) 4 ……… (3) -5 ……… (4) 6

7) -1 < n  3 ………(1) 2 ……… (2) 3 ……… (3) -3 ……… (4) 4

8) -10 < n < 4 ………(1) 5 ……… (2) -1 ……… (3) -10 ……… (4) 4

9) 0  n  5 ………(1) 1 ……… (2) 0 ……… (3) 5 ……… (4) -1

2. จงเขยี นชว่ งตอ่ ไปนใี้ นรูปของเซต พร้อมทง้ั แสดงช่วงดว้ ยกราฟบนเสน้ จานวน

1. 3,2 = ………………………………………………

2. 1,5 = ………………………………………………

3. 4, 1 = ………………………………………………

4. 2,5 = ………………………………………………

5. 3,6 = ………………………………………………

6. 1,6 = ………………………………………………

7. 4,2 = ………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 82

8. 6, 2 = ………………………………………………
9. 3,0 = ………………………………………………
10. 1,4 = ………………………………………………
11. 1,3 = ………………………………………………
12. 4, = ………………………………………………
13. 5, = ………………………………………………
14. 3, = ………………………………………………
15. 0, = ………………………………………………
16. , 1 = ………………………………………………
17. ,6 = ………………………………………………
18. ,0 = ………………………………………………
19. ,2 = ………………………………………………
20. , = ………………………………………………
3. กาหนดให้ A 3,6 และ B 3,5 จงหา
1) A B = ………………………………………………
2) A B = ………………………………………………

3) A B = ………………………………………………
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 83

4) B A = ………………………………………………
5) A = ………………………………………………
6) B = ………………………………………………
4. กาหนดให้ A x 3 x < 7 , B x 4 < x 5 , C x 4 < x < 8 จงหา
1) A B = ………………………………………………
2) A C = ………………………………………………
3) A B = ………………………………………………
4) C A = ………………………………………………
5) A = ………………………………………………
6) B = ………………………………………………
7) A B C = ………………………………………………
8) C B = ………………………………………………
9) (A B) C = ………………………………………………
10) (A C) (B C) = ………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 84

อสมการ

การแก้อสมการ (Inequality) คอื ....................................................... และเซตคาตอบของอสมการ คอื

....................................................................................................................................................................................

เทคนิค : การแกอ้ สมการพน้ื ฐาน กาหนดให้ x, a, b เปน็ จานวนจรงิ

กรณี a > 0 กรณี a < 0

ax + b  0 จะได้ ax + b  0 จะได้

Ex 2x + 5 0 จะได้ Ex -2x + 5 0 จะได้

2x + 5 0 จะได้ -x + 5 0 จะได้

ข้อควรระวัง

1. ถา้ นา……………………………………ท้งั อสมการ จะมผี ลตอ่ เครอื่ งหมายของอสมการโดยจะต้องเปลี่ยนเคร่ืองหมาย

ของอสมการ ดังนี้ จาก ให้เปล่ยี นเปน็ ............. จาก ใหเ้ ปล่ยี นเปน็ .............

ใหเ้ ปลีย่ นเป็น ............. จาก ใหเ้ ปลี่ยนเปน็ .............

2. ถ้านา…………………………………… จะไม่มผี ลต่อเคร่ืองหมายของอสมการ

3. การยา้ ยขา้ งเปล่ียนบวกไปเปน็ ลบ หรือลบไปเป็นบวก หรอื เพ่ิมเข้าและลบออกทง้ั สองข้าง จะไมม่ ผี ลตอ่

การเปลย่ี นเครื่องหมายของอสมการ

4. หา้ มคูณหรือหารท้งั อสมการดว้ ยตัวแปรที่ยังไมท่ ราบค่าวา่ เป็นจานวนบวกหรือลบ เพราะวา่ เรายังไม่ร้วู า่ ต้อง

เปล่ยี นเครอ่ื งหมายของอสมการหรอื ไม่

เทคนคิ : การแกอ้ สมการ (ท่ีควรรู้)
สาหรับอสมการทอ่ี ยูใ่ นรปู ของการคณู กันของอสงวงเลบ็ ข้ึนไปสามารถแก้อสมการโดยใชเ้ ส้นจานวนได้ดังนี้
1. นับจานวน x แล้วนาไปขดี บนเสน้ จานวน (มี 2 ขดี 2, มี 3 ขดี 3)

ตัวอย่าง x(x – 2)(2x – 6) < 0 → มี x 3 ตัวขดี 3 ขีดบนเส้นจานวน
2. ให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศนู ย์ แลว้ หาคา่ x แล้วนาไปใสบ่ นเส้นจานวน

ตวั อยา่ ง x = 0, x – 2 = 0, 2x – 6 = 0

………………………………………………………………
3. ใหใ้ ส่เครอื่ งหมาย……………………………………โดยเริ่มจากทางขวาสดุ ไปทางซ้าย

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 85

4. ใหด้ ูเครอื่ งหมายจากโจทย์ ให้พจิ ารณาเสน้ จานวนท่มี ีเคร่อื งหมาย……….. (ช่วง………..)
4.1) ถ้าเปน็ เคร่ืองหมาย ……….. ให้พจิ ารณาเสน้ จานวนที่มเี ครอ่ื งหมาย……….. (ช่วง………..)
4.2) ถ้าเปน็ เครอ่ื งหมาย ……….. ให้พิจารณาเสน้ จานวนท่มี เี ครื่องหมาย……….. (ชว่ ง………..)
4.3) ถา้ เปน็ เครือ่ งหมาย ……….. ให้พจิ ารณาเส้นจานวนทม่ี ีเคร่ืองหมาย……….. (ช่วง………..)
4.4) ถ้าเป็นเครอื่ งหมาย ………..

ตวั อย่าง x(x – 2)(2x – 6) < 0

เซตคาตอบของอสมการคือ……………………………………

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคาตอบของอสมการ 2x 4
วิธีทา จาก 2x 4
จะได้ ………………………………………………………..

………………………………………………………..
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ คือ………………………………………………………..

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาคาตอบของอสมการ 2 2x 4 6
วิธีทา
จาก 2 2x 4 6

จะได้ ………………………………………………………..

………………………………………………………..

………………………………………………………..

………………………………………………………..

ดังนน้ั คาตอบของอสมการ 2 2x 4 6 คือ………………………………………………………..

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาคาตอบของอสมการ 7 5 2x 17
วธิ ีทา จาก 7 5 2x 17
จะได้ ………………………………………………………..

………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
ดังน้นั คาตอบของอสมการ 7 5 2x 17 คอื ………………………………………………………..

ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 86

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคาตอบของอสมการ 9x 1 21 x 1 3x
วิธีทา ตอ้ งแยกพิจารณาเปน็ สองกรณคี อื

9x 1 21 x และ 21 x 1 3x
…………………………………… และ ……………………………………
…………………………………… และ ……………………………………
…………………………………… และ ……………………………………

ตัวอยา่ งท่ี 5 ฉะน้นั …………………………………………………………………………
วิธที า ดังนน้ั คาตอบของอสมการ คือ ……………………………………
จงหาคาตอบของอสมการ x2 2x 15 0
จาก x2 2x 15 0
จะได้ …………………………………………………………………………

ตัวอย่างท่ี 6 ดงั นัน้ คาตอบของอสมการคือ ……………………………………
วธิ ีทา จงหาคาตอบของอสมการ 2x2 5x 12 0
จาก 2x2 5x 12 0
จะได้ …………………………………………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 7 ดงั นน้ั คาตอบของอสมการ คอื ……………………………………
วิธีทา จงหาคาตอบของอสมการ 3x2 10x 8 0
จาก 3x2 10x 8 0
จะได้ …………………………………………………………………………

ดังน้ัน คาตอบของอสมการ คอื ……………………………………
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 87

ตวั อย่างที่ 8 จงหาคาตอบของอสมการ x3 2x2 x 2 0
วธิ ที า จาก x3 2x2 x 2 0
จะได้ …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

ดงั น้ัน คาตอบของอสมการ คอื ……………………………………

แบบฝึกเสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ
จงหาคาตอบของอสมการต่อไปนี้

1. 5 x 5 15 3 5 x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. x 1 x 2 x 3 x 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 88

3. x2 3x 4 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. x2 2x 3 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. x2 2x 8
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. 4 5x 6x2 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. 3x2 7x 6 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 89

8. 2x2 5x 2 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. x 2 2x 3 x 5 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 7x2 6x 1 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อย่างที่ 9 จงหาคาตอบของอสมการ x 3 0
วิธีทา x 4
x 3
จาก x 4 0

นา……………………………………คูณทั้งสองข้างของอสมการ จะได้
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ดังนน้ั คาตอบของอสมการ คอื ……………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 90

ตัวอย่างท่ี 10 จงหาคาตอบของอสมการ x2 x
วิธที า
x1

จาก x2 x

x1

จะได้ ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

นา……………………………………คูณทงั้ สองข้างของอสมการ
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นัน้ คาตอบของอสมการ คือ ……………………………………

ตวั อย่างที่ 11 จงหาคาตอบของอสมการ x2 2x 3 0
วธิ ที า
x5

จาก x2 2x 3 0

x5

จะได้ ………………………………………………………………………………………………………………

นา……………………………………คณู ทัง้ สองข้างของอสมการจะได้
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ดังนั้น คาตอบของอสมการ คือ ……………………………………
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 91

ตัวอย่างที่ 12 จงหาคาตอบของอสมการ x 3 4
วิธที า จะได้ x 3 4
ยกกาลงั สองทง้ั สองข้างของอสมการจะได้

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ดังนัน้ คาตอบของอสมการคือ ……………………………………

ตัวอยา่ งที่ 13 จงหาคาตอบของอสมการ x 2 x 3
วธิ ที า จาก x 2 x 3
จะได้ ………………………………………………………………………………………………………………
ยกกาลังสองทั้งสองข้างของอสมการจะได้
……………………………………………………………. และ …………………………………………………………….
……………………………………………………………. และ …………………………………………………………….
……………………………………………………………. และ …………………………………………………………….
……………………………………………………………. และ …………………………………………………………….
……………………………………………………………. และ …………………………………………………………….

ดงั นัน้ คาตอบของอสมการคือ ……………………………………

แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ
จงหาคาตอบของอสมการต่อไปน้ี

1. 7 0

x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 92

2. x 2 0

x3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. x 3 0
x 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. x 9 x 2 0

x1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. x 1x 4x 7 0
x 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 93

6. 2x 1 0
4x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. x 2 2 0

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

8. x 1 2 2x 1 0

x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 7 3
x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 94

คา่ สมั บูรณ์

ค่าสมั บรู ณ์ (Absolute value)
เมื่อกาหนดให้ a เป็นจานวนจริง ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ | a | หมายถึง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
วธิ ีการถอดค่าสมั บูรณ์

........... , a 0

a ........... , a 0

........... , a 0

ตวั อย่าง | 2 | = ………………… | 5 | = ………………… | 100 | = …………………
ควรรู้เพม่ิ เตมิ
| -2 | = ………………… | -5 | = ………………… | -100 | = …………………

x2 = ............ 32 = ............

3 (-5)3 = ............ 4 (-7)4 = ............

สมบตั ิทีส่ าคญั ของคา่ สัมบรู ณ์ เมอ่ื กาหนดให้ x, y เปน็ จานวนจริง

1. | x |  2. | x | =

3. | x – y | = 4. | xy | =
6. | x |2 =
5. x
y

7. | x + y |  8. | x – y | 

9. | x – y |  10. | x + y | 

การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ (เป้าหมาย คอื ………………………………………………………………………………..)
การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ต้อง……………………………………………… ซึ่งสามารถทาได้โดยใช้นิยามค่าสัมบูรณ์

หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ซึง่ มีรปู แบบดงั น้ี

แบบท่ี 1 ข้างในคา่ สัมบูรณเ์ ป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบรู ณเ์ ป็นตวั เลข
…………………………………………………………….
1) | x | = a, a > 0 ⇒ …………………………………………………………….
…………………………………………………………….
2) | x | = 0 ⇒

3) | x | = a, a < 0 ⇒

ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 95

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ x 4 7
วธิ ที า จาก x 4 7 จะได้ …………………………………………………………….
ตวั อย่างท่ี 2
วิธที า …………………………………………………………….
ดังนนั้ เซตคาตอบของสมการ คือ …………………………………………
แบบที่ 2
ตัวอย่างท่ี 3 จงหาเซตคาตอบของสมการ x2 4x 3 1
วิธีคดิ จาก x2 4x 3 1
จะได้ …………………………………………………………….………………………………………
ตวั อย่างที่ 4
วิธีทา …………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
ดงั น้นั เซตคาตอบของสมการ คอื …………………………………………

ข้างในค่าสมั บูรณเ์ ป็นตัวแปร ขา้ งนอกคา่ สมั บรู ณ์เป็นตัวแปร

|x|=y ⇒ …………………………………………………………….

แต่ต้องตรวจคาตอบทกุ ครัง้ ซง่ึ ……………โดยการนาคาตอบ x ท่ีไดม้ าไปแทนใน y

จงหาเซตคาตอบของสมการ | 2x – 5 | = 7 – x
จาก | 2x – 5 | = 7 – x จะได้ ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
ตรวจคาตอบแล้วพบว่า………..…….และ………..…….สอดคล้องกบั สมการขา้ งตน้
ดงั น้ัน เซตคาตอบของสมการ | 2x – 5 | = 7 – x คอื …………………………………………

จงหาเซตคาตอบของสมการ 5x 3 4x 1
จาก 5x 3 4x 1
ยกกาลงั สอง …………………………………………………………….………………………………………

…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
ดงั นัน้ เซตคาตอบของสมการ คอื …………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 96

แบบที่ 3 ข้างในคา่ สัมบรู ณเ์ ป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสมั บรู ณ์เป็นค่าสมั บูรณ์
ตัวอย่างที่ 5
วธิ ที า |x|=|y| ⇒ …………………………………………………………….

แบบท่ี 4 จงหาเซตคาตอบของสมการ x 8 4 3x
ตัวอยา่ งท่ี 6 จาก x 8 4 3x
วิธีทา ยกกาลงั สอง …………………………………………………………….………………………………………

…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
ดังน้นั เซตคาตอบของสมการ คือ …………………………………………

ขา้ งในคา่ สมั บรู ณ์เปน็ ตวั แปร ขา้ งนอกค่าสัมบรู ณเ์ ป็นตัวแปรเดิมหรือตรงขา้ ม
…………………………………………………………….
|x|=x ⇒ …………………………………………………………….

| x | = -x ⇒

จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x 5 2x 5
จาก 2x 5 2x 5
จะได้ …………………………………………………………….………………………………………

…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
ดังน้นั เซตคาตอบของสมการ คือ …………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาเซตคาตอบของสมการ 4x 3 3 4x
วิธที า จาก 4x 3 3 4x
หรอื …………………………………………………………….………………………………………
จะได้ …………………………………………………………….………………………………………

…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………….………………………………………
ดงั นน้ั เซตคาตอบของสมการ คอื …………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา


Click to View FlipBook Version
Previous Book
_PDF_ Essential Anatomy & Physiology in Maternity Care free
Next Book
?[PDF] DOWNLOAD EBOOK KALLIS' Redesigned SAT Pattern Strategy + 6 Full Length Practice Tests (College SAT Prep + Study Guide Book for the New SAT) - Second edition