เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 97
แบบฝกึ เสริมเพิ่มความเขา้ ใจ
จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้
1. 2x 5 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. 1 3x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. 6x 2 5 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. 7x 1 5 3x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. x2 2x 2 x 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 98
6. x 2 x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
7. 3 5x x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8. 2x 4 2x 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
9. x 5 3 x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
10. 2x 5 x x 5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 99
การแก้อสมการค่าสมั บรู ณ์
การแก้อสมการค่าสัมบรู ณ์
ทฤษฎีบทท่ีใช้ในการแก้อสมการทอี่ ยู่ในรปู คา่ สัมบรู ณ์ เม่ือกาหนดให้ x, y เป็นจานวนจรงิ และ a > 0
1. | x | < a 2. | x | > a
3. | x | a 4. | x | a
5. | x | < | y | 6. | x | > | y |
7. | x | | y | 8. | x | | y |
แบบท่ี 1 ข้างในคา่ สัมบูรณเ์ ป็นตวั แปร ขา้ งนอกคา่ สมั บรู ณเ์ ป็นตัวเลข
1) | x | < a, a > 0 ⇒ ………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 1 2) | x | a, a > 0 ⇒ ………………………………………………………………………
วธิ ีทา 3) | x | > a, a > 0 ⇒ ………………………………………………………………………
4) | x | a, a > 0 ⇒ ………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 2
วธิ ีทา จงหาคาตอบของอสมการ 2x 1 5
จาก 2x 1 5
จะได้ …………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
ฉะน้ัน …………………………………………………………………………………………………………….
ดังนัน้ คาตอบของอสมการคือ …………………………………………
จงหาคาตอบของอสมการ 3x 1 2
จาก 3x 1 2
จะได้ …………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
ฉะนั้น …………………………………………………………………………………………………………….
ดังนน้ั คาตอบของอสมการคือ …………………………………………
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 100
แบบท่ี 2 ขา้ งในคา่ สมั บูรณ์เปน็ ตวั แปร ขา้ งนอกค่าสมั บูรณเ์ ป็นตวั แปร
………………………………………………………………………
ตัวอย่างท่ี 3 1) | x | < y ⇒ ………………………………………………………………………
วิธที า ………………………………………………………………………
2) | x | y ⇒ ………………………………………………………………………
ตวั อย่างที่ 4
วิธที า 3) | x | > y ⇒
แบบที่ 3 4) | x | y ⇒
ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาเซตคาตอบของอสมการ | 2x – 5 | 7 – x
วิธีทา จาก | 2x – 5 | 7 – x
จะได้ …………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
ดังนนั้ เซตคาตอบของอสมการนี้คอื …………………………………………
จงหาเซตคาตอบของอสมการ | 2x – 3 | > 3x – 1
จาก | 2x – 3 | > 3x – 1
จะได้ …………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
ดังนนั้ เซตคาตอบของอสมการน้ีคอื …………………………………………
ขา้ งในคา่ สัมบูรณเ์ ปน็ ตัวแปร ข้างนอกคา่ สมั บูรณ์เป็นค่าสมั บรู ณ์ตวั แปร
………………………………………………………………………
1) | x | < | y | ⇒ ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
2) | x | | y | ⇒ ………………………………………………………………………
3) | x | > | y | ⇒
4) | x | | y | ⇒
จงหาเซตคาตอบของอสมการ | 3x – 1 | < | 2x – 5 |
จาก | 3x – 1 | < | 2x – 5 |
จะได้ ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
ดงั นั้น เซตคาตอบของอสมการคอื …………………………………………
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 101
ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาเซตคาตอบของอสมการ | x – 3 | | 2x – 1 |
วธิ ที า | x – 3 | | 2x – 1 | ⇒ (x – 3)2 (2x – 1)2
⇒ (x – 3)2 – (2x – 1)2 0
⇒ [(x – 3) – (2x – 1)][(x – 3) + (2x – 1)] 0
⇒ (-x – 2)(3x – 4) 0
⇒ (x + 2)(3x – 4) 0
ดงั นน้ั เซตคาตอบของอสมการคือ …………………………………………
แบบฝึกเสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ
จงหาเซตคาตอบของอสมการตอ่ ไปนี้
1. 2 x 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. 2x 1 5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. 8x 7 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 102
4. 3x 1 x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 2x 3 3x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. 3x 2 2x 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 103
7. x 4 x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8. x 1 2x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
9. 2x 3 2
55
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
10. 2x 3 1
3x 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 104
บทท่ี 3
ทฤษฎีจานวนเบ้อื งต้น
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 105
การหารลงตวั
การหารลงตวั (Exact Division)
พิจารณาเซตของจานวนเต็ม I = ……………………………..…………………. พบว่า เซต I มีสมบัติปิดสาหรับ
การบวก การลบ การคูณ แต่ไม่ได้มีสมบัติปิดสาหรับการหาร อย่างไรก็ตามอาจมีจานวนเต็มบางคู่ท่ีมีผลหารเป็น
จานวนเต็ม กล่าวคือเขียนได้ในรูป ….................. เม่ือ a, b, c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b 0 และจากการท่ีระบบ
จานวนเต็มไม่มีสมบตั ปิ ิดของการหาร จึงนยิ ามการหารลงตวั ของจานวนเต็ม ดังน้ี
บทนิยาม ให้ a และ b เปน็ จานวนเต็ม โดยที่ b 0
b หาร a ลงตัว กต็ อ่ เมื่อ ………………………………………………….
เรยี ก b วา่ เป็น……………….. (Divisor) ของ a และเรยี ก a ว่าเปน็ ……..………(Multiple) ของ b
สัญลกั ษณก์ ารหารลงตัว
ใช้สญั ลกั ษณ์ ………… แทน “b หาร a ลงตัว”
และ ………… แทน “b หาร a ไมล่ งตัว”
b หาร a ไม่ลงตัว กต็ ่อเม่ือ ………………………………………………….
ขอ้ ตกลง
ถ้าเขียน………............เรามีข้อตกลงว่า…………และ…………เปน็ จานวนเตม็ และ………… 0
ตัวอยา่ งที่ 1 4……12 เพราะ.................................................................................
ขอ้ สงั เกต 12….60 เพราะ.................................................................................
-7…..42 เพราะ.................................................................................
10….0 เพราะ.................................................................................
11….85 เพราะ.................................................................................
4……12 และ 12….60 จะได้ ........................................
ทฤษฎบี ท 1 ให้ a, b และ c เปน็ จานวนเตม็ โดยท่ี a 0 และ b 0 ถา้ a | b และ b | c แล้ว................
พิสูจน์
สมมติ a | b และ b | c
จะมีจานวนเตม็ .........ท่ีทาให้......................
และมีจานวนเตม็ .........ทที่ าให้......................
ดังนัน้ .............................................................และ...............เปน็ จานวนเต็ม
เพราะฉะน้ัน.......................
ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 106
ตวั อย่างท่ี 2 6 | 42 และ 42 | 84 ดังนน้ั ................ (1)
9 | 72 และ 72 | 216 ดงั นั้น ................ (2)
13 | 39 และ 39 | 156 ดังน้ัน ................ (3)
ฝึกไว้ให้คล่อง ถ้า a | b และ b | c แลว้ จงพสิ จู น์ว่า a | (b + c)
พิสจู น์ สมมติ a | b และ b | c
จะมีจานวนเตม็ .........ทที่ าให.้ .....................
และจะมจี านวนเต็ม.........ทที่ าให้......................
ดงั นน้ั .............................................................
(1)+(3); .............................................................
.............................................................
เนื่องจาก.........................เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนน้ั .......................................................
ทฤษฎบี ท 2 ถา้ a และ b เป็นจานวนเตม็ บวก ซงึ่ a | b แลว้ a b
พสิ ูจน์
สมมติ a | b จะมีจานวนเต็ม.........ทท่ี าให.้ .....................
ตัวอย่างที่ 3
เนื่องจาก a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก จะได้.............เปน็ จานวนเตม็ บวก
ฉะนน้ั x .................จะได้............................(เพราะ...............เปน็ จานวนเต็มบวก)
เพราะฉะน้ัน..............................
5 | 50 จะเห็นว่า........................ 7 | 56 จะเห็นว่า........................
9 | 63 จะเหน็ วา่ ........................ 13 | 13 จะเหน็ วา่ ........................
ฝึกไว้ใหค้ ลอ่ ง จงแสดงว่า ถ้า a และ b เปน็ จานวนเต็ม ซึ่ง a > 0 และ b | a แล้ว b – a 0
พิสจู น์
ให้ b | a จะมีจานวนเตม็ .........ทท่ี าให.้ .....................
เนอ่ื งจาก a > 0
กรณี………….< 0 จะได้.............................................. (1)
ดังนัน้ .............................................
กรณี………….> 0 จาก...............................................
ดงั น้นั .................เป็นจานวนเต็มบวก
นนั่ คอื ...........................................
.....................................................
..................................................... (2)
จาก (1) และ (2) จะได้.......................................
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 107
ทฤษฎีบท 3 ถา้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a | b และ a | c แล้ว..............................
เมื่อ.............................เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ
พสิ ูจน์ สมมติ a | b และ a | c
จะมีจานวนเต็ม.........ที่ทาให.้ .....................
และมีจานวนเต็ม.........ท่ที าให้......................
ดงั นัน้ ................................................................................เมอ่ื ............................เปน็ จา นวนเต็ม
เนอ่ื งจาก..................................เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนั้น.......................
นพิ จน์ในรูป..........................เรยี กว่า........................................(Linear combination) ของ b และ c
ฝกึ ไวใ้ หค้ ล่อง จงแสดงว่า a | b และ a | c แล้ว a | (3b + 2c)
วธิ ที า สมมต…ิ ………………………………….จะมจี านวนเตม็ .........ที่ทาให.้ .....................
คณู ............ทัง้ สองขา้ งของสมการ จะได้............................. (1)
และจะมจี านวนเตม็ .........ท่ีทาให้......................
คูณ............ท้งั สองข้างของสมการ จะได.้ ............................ (2)
(1)+(2); ................................................................................
................................................................................
เนอ่ื งจาก.............................เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนนั้ .......................
แบบฝกึ เสริมเพ่มิ ความเขา้ ใจ
1. จงแสดงว่า
1) 2 | 0 เพราะ 0 = 2(0) 11) 12 | 0
12) 3 | 69
2) 4 | 68 13) 6 | 216
14) 8 | 512
3) 5 | 255 15) -4 | 96
16) -5 | -155
4) 7 | 343 17) 9 | -819
18) 10 | 110
5) -3 | 54 19) -14 | -322
20) 16 | -288
6) -6 | -132
7) 11 | 154
8) 12 | -492
9) -13 | -169
10) 15 | 255
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 108
2. จงพสิ จู น์ว่า
1) ถ้า a | b และ c เปน็ จานวนเต็ม โดยที่ c 0 แล้ว 2) ถ้า a, b, c เป็นจานวนเต็ม โดยท่ี c 0 และ
ac | bc ac | bc แลว้ a | b
พสิ จู น์ ให.้ .................................................................... พสิ จู น์ ให้....................................................................
จะมีจานวนเตม็ .........ท่ที าให้.......................(1) จะมจี านวนเตม็ .........ทท่ี าให.้ ......................(1)
(1)x……….จะได้…………………………………………. เนื่องจาก…………………………………………………..
ดงั นนั้ …………………………………………………….... (1) ……….จะได้………………………………………
ดังนน้ั ……………………………………………………....
3) ถ้า a, b, c เปน็ จานวนเต็ม โดยท่ี a | (b – c) และ 4) ถา้ a | (2x + y) และ a | (3x + y) แลว้ a | x
a | c แลว้ a | b พสิ ูจน์ ให้..............................และ................................
พสิ จู น์ ให้..............................และ................................ จะมจี านวนเต็ม.........ที่ทาให้.......................(1)
จะมีจานวนเต็ม.........ที่ทาให.้ ......................(1) และมจี านวนเตม็ .........ท่ีทาให้.....................(2)
และมจี านวนเตม็ .........ทท่ี าให.้ ....................(2) (2) – (1);…………………………………………………
(1)+(2);……………………………………………………. เนือ่ งจาก………………….เป็นจานวนเตม็
เนอื่ งจาก………………….เป็นจานวนเต็ม ดงั นั้น……………………………………………………....
ดังนนั้ ……………………………………………………....
5) ถา้ a | b และ b | c แลว้ a | (b – c) 6) ถ้า d | a และ d | b แล้ว d | ab
พสิ จู น์ ......................................................................... พิสูจน์ .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... ........................................................................
......................................................................... .........................................................................
7) ถ้า ab | c โดยท่ี a, b 0 แลว้ a | c และ b | c 8) ถ้า d | (a + b) และ d | a แลว้ d | b
พสิ จู น์ ......................................................................... พสิ ูจน์ .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... .........................................................................
......................................................................... ........................................................................
......................................................................... .........................................................................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 109
3. กาหนดให้ a, b, c เป็นจานวนเต็ม ขอ้ ความต่อไปนี้ ถกู หรือผดิ
………1) ถา้ a | b แล้ว a b ………2) ถา้ a | b และ b | a แล้ว a = b
………3) ถ้า a | bc และ a | b แล้ว a | c ………4) ถา้ a | 1 แล้ว a = 1
………5) ถา้ a | (b + c) แลว้ a | bc ………6) ถ้า a | bc แลว้ a | (b + c)
………7) ถ้า a | b และ b | c แล้ว ab | bc ………8) ถา้ ab | bc แล้ว a | c
………9) ถา้ a | b2 แล้ว a | b ………10) ถา้ a | b แลว้ a | b2
จานวนเฉพาะ
จานวนเฉพาะ (Prime numbers)
บทนิยาม จานวนเตม็ บวก p เปน็ จานวนเฉพาะ กต็ ่อเม่อื ...........................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………………………
รูไ้ วใ้ ช่ว่า
จานวนเต็มบวกอ่ืน ๆ ท่ีไม่ใช่ 1 และไม่ใช่จานวนเฉพาะ เรียกว่า................................... (Composite
numbers) จานวนประกอบสามารถแยกตัวประกอบ หรือเขียนในรูปการคูณของจานวนเฉพาะอย่างมีระบบได้
โดยหาจานวนเฉพาะท่นี ้อยทส่ี ดุ ท่ีหารจานวนนัน้ ลงตัวและได้ผลลัพธเ์ ท่าใด แล้วหาจานวนเฉพาะท่ีน้อยท่ีสุดหาร
ผลลพั ธน์ ัน้ ตอ่ ไปอีกจนไมส่ ามารถจะหารไดอ้ ีกต่อไป เช่น
252 = …………………………………….. 735 = ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
= …………………………………….. = ……………………………………..
รูปแบบสุดท้ายซ่ึงเรียงตัวประกอบเฉพาะจากน้อยไปมากของแต่ละจานวนจะมีเพียงรูปแบบเดี ยว
“เรยี กการเขยี นจานวนประกอบในรูปการคูณของจานวนเฉพาะว่า...........................................................”
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 110
ทฤษฎีบท 4 ทฤษฎบี ทหลกั มูลทางเลขคณติ (The Fundamental Theorem of Arithmetic)
จานวนเตม็ บวกทกุ จานวนทีม่ ากกว่า 1 สามารถเขียนได้ในรูป…………………....….……………………………ได้
เพียงแบบเดียวเทา่ นัน้ ท้งั นไ้ี ม่รวมการสลับทตี่ ัวคูณหรอื การคูณด้วย 1
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนจานวนตอ่ ไปนีใ้ นรปู ผลคณู ของจานวนเฉพาะ
1) 24 = ………………………………………………………………………………………………………………….
2) 72 = ………………………………………………………………………………………………………………….
3) 550 = ………………………………………………………………………………………………………………….
4) 9555 = ………………………………………………………………………………………………………………….
5) 71148 = ………………………………………………………………………………………………………………….
เทคนิคการตรวจสอบความเป็นจานวนเฉพาะ
ให้ n แทนจานวนนับท่ตี ้องการตรวจสอบวา่ เป็นจานวนเฉพาะหรอื ไม่
1) หา…………………..ทุกจานวนท่ีเมื่อคูณตัวเองแลว้ ผลคูณทไ่ี ด้ไม่เกนิ ………….
2) นา…………………..ทีไ่ ดใ้ นขอ้ 1) ไปหาร………….เพ่ือดวู ่าหารลงตัวหรือไม่
2.1) ถา้ ไม่ม…ี ………………..จานวนใดทีไ่ ดใ้ นข้อ 1) หาร………….ลงตัว จะได้วา่ ………….เปน็ จานวนเฉพาะ
2.2) ถา้ ม…ี ………………..จานวนหนึง่ จานวนใดทไี่ ดใ้ นขอ้ 1) หาร………….ลงตัว
จะไดว้ า่ ………….ไมเ่ ปน็ จานวนเฉพาะ
ตวั อยา่ งท่ี 2 79 วา่ เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่
แนวคดิ 1) หาจานวนเฉพาะทุกจานวนท่ีเมือ่ คูณตัวเองแล้ว ผลคณู ทไี่ ดไ้ ม่เกิน..................
จานวนเฉพาะเหล่านั้นคือ…………………………………………………………………………………………..
2) ให้นาจานวนเฉพาะที่ได้ในข้อ 1) คือ.........................................ไปหาร..................
เพอื่ ดวู ่าหารลงตัวหรือไม่
เน่อื งจาก.....................................................................ดังน้นั ........................................ ...............
ตวั อยา่ งท่ี 3 161 ว่าเปน็ จานวนเฉพาะหรือไม่
แนวคิด 1) หาจานวนเฉพาะทกุ จานวนท่ีเมื่อคณู ตัวเองแล้ว ผลคูณท่ไี ดไ้ ม่เกิน..................
จานวนเฉพาะเหล่านน้ั คือ…………………………………………………………………………………………..
2) ให้นาจานวนเฉพาะที่ได้ในขอ้ 1) คอื .........................................ไปหาร..................
เพื่อดวู า่ หารลงตวั หรอื ไม่
เนือ่ งจาก.....................................................................ดงั น้ัน........................................ ...............
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 111
แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเข้าใจ
1. จงหาจานวนเฉพาะตง้ั แต่ 1 ถึง 100
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงตรวจสอบว่าจานวนแตล่ ะข้อตอ่ ไปนเี้ ป็นจานวนเฉพาะหรอื ไม่
1) 89 ………………………………………………….. 2) 149 …………………………………………………..
3) 179 ………………………………………………….. 4) 221 …………………………………………………..
5) 413 ………………………………………………….. 6) 779 …………………………………………………..
7) 893 ………………………………………………….. 8) 187 …………………………………………………..
9) 209 ………………………………………………….. 10) 323 …………………………………………………..
11) 433 ………………………………………………….. 12) 923 …………………………………………………..
13) 3481 ………………………………………………….. 14) 117 …………………………………………………..
15) 239 ………………………………………………….. 16) 787 …………………………………………………..
17) 1251 ………………………………………………….. 18) 3301 …………………………………………………..
19) 1001 ………………………………………………….. 20) 4199 …………………………………………………..
3. จงเขยี นจานวนต่อไปน้ใี นรูปผลคูณของจานวนเฉพาะ
1) 164 = ………………………………………………………………………………………………………………….
2) 238 = ………………………………………………………………………………………………………………….
3) 504 = ………………………………………………………………………………………………………………….
4) 1250 = ………………………………………………………………………………………………………………….
5) 1632 = ………………………………………………………………………………………………………………….
6) 2004 = ………………………………………………………………………………………………………………….
7) 2475 = ………………………………………………………………………………………………………………….
8) 3132 = ………………………………………………………………………………………………………………….
9) 4565 = ………………………………………………………………………………………………………………….
10) 5555 = ………………………………………………………………………………………………………………….
4. จงหาจานวนเฉพาะที่มีค่านอ้ ยทสี่ ดุ ทเี่ ป็นตัวประกอบของจานวนตอ่ ไปน้ี
1) 504 ………………………………………………………………………………………………………………….
2) 1001 ………………………………………………………………………………………………………………….
3) 1365 ………………………………………………………………………………………………………………….
4) 2475 ………………………………………………………………………………………………………………….
5) 4199 ………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 112
ข้นั ตอนวธิ ีการหาร
ข้นั ตอนวธิ ีการหาร (Division Algorithm)
ถา้ จะหาร 17 ดว้ ย 5 จะเรมิ่ ด้วยการนาจานวนเต็มบวกจากนอ้ ยไปหามากมาคณู ดว้ ย 5 ดงั นี้
จานวน q : 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
5q : 0 5 10 15 20 25 30 35 …
17
จึงสามารถสรุปได้วา่ 17 = ……………………………………………………..
เรียก…………….วา่ ผลหาร และ…………….วา่ เศษเหลือ โดยที่เศษเหลือเป็นจานวนที่ไม่เป็นจานวนลบและ
นอ้ ยกว่าคา่ สัมบูรณข์ องตัวหาร
ถา้ หาร -13 ด้วย 5 ให้ได้เศษเหลือเปน็ จานวนเต็มบวกทน่ี อ้ ยกวา่ 5 ได้ดังนี้ ...
จานวน q : 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 …
5q : 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
-13
จะได้ -13 = ……………………………………………………..
ทฤษฎีบท 5 ข้ันตอนวธิ กี ารหาร ถ้า a และ b เป็นจานวนเตม็ โดยที่ b 0 แล้ว
ตวั อยา่ งที่ 1
จะมีจานวนเตม็ q และ r ชดุ เดยี วซ่ึง
………………………………………………………………………………
เรียก…………..ว่า……………..…………(quotient) และ…………..ว่า………….…….………(remainder)
1. 5 = 5(1) + 0 2. 29 = ………………………..
3. 43 = ……………………….. 4. -24 = ………………………..
5. -75 = ……………………….. 6. -99 = ………………………..
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 113
แบบฝึกเสริมเพิ่มความเข้าใจ
1. ตารางทก่ี าหนดแสดงผลหาร q และเศษ r จากการหารจานวนเต็ม a ด้วยจานวนเต็ม b
จงเตมิ ตารางให้สมบูรณ์
ข้อ a b q r a = bq + r
1 46 3
2 87 5
3 133 6
4 -69 4
5 -93 8
6 -208 12
7 71 -2
8 95 -5
9 -40 -2
10 -116 -8
ขั้นตอนวิธีการหารยังนาไปใช้ในการเขียนจานวนเต็มบวก n ในรูปตัวเลขฐาน b เมื่อ b เป็นจานวนเต็มที่
มากกว่า 1 ไดด้ ังนี้
จานวนเตม็ บวกใด ๆ สามารถเขยี นในรูปการกระจายฐานสิบได้ เชน่
524 = ……………………………………………………………………………………………
35,274 = ………………………………………………………………………………………
โดยทั่วไปสามารถเขยี นจานวนเตม็ บวกในรูปการกระจายของฐานใด ๆ ไดด้ งั น้ี
ทฤษฎบี ท 6 ให้ b เป็นจานวนเตม็ ท่มี ากกว่า 1 จานวนเต็มบวก n ใด ๆ สามารถเขียนในรปู การกระจาย
ฐาน b ได้เป็น
n = ………………………………………………………………………………
เม่อื ...........เป็นจานวนเตม็ และ.................................................เปน็ จานวนเต็มท่ไี ม่เป็นลบและ
นอ้ ยกวา่ …………..และ…………..
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขยี น 76 ในรูปการกระจายฐาน 3 เม่ือแทนยอ้ นกลับ
วิธที า 76 = (3x25) + 1 76 = (3x25) + 1
25 = …………………………………. = …………………………………………………….
8 = …………………………………. = …………………………………………………….
2 = …………………………………. = …………………………………………………….
= …………………………………………………….
เราใชส้ ัญลกั ษณ์................................แทนการกระจาย...........................................................................................
จากตวั อย่างข้างตน้ จะเห็นวา่ 76 = ………………………………………………………………………………………
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 114
ตัวอยา่ งท่ี 3 จงเขียน 96 ในรูปการกระจายฐาน 5 ตัวอย่างที่ 4 จงเขยี น 125 ในรูปการกระจายฐาน 6
วธิ ีทา 96 = ………………………………….. วิธที า 125 = ………………………………….
= ………………………………….. = ………………………………….
= ………………………………….. = ………………………………….
ดงั นั้น……………………………………. ดังน้ัน…………………………………….
แบบฝกึ เสรมิ เพ่มิ ความเข้าใจ
1. จงเขียน 1357 ในรูปการกระจายฐาน 5 3. จงเขยี น 14,328 ในรูปการกระจายฐาน 6
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
2. จงเขยี น 2548 ในรปู การกระจายฐาน 7 ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
นอกจากน้ขี ้นั ตอนวิธีการหารสามารถนาผลไปใชน้ ยิ ามจานวนคู่ จานวนค่ี และใช้ในการหาตัวหารร่วมมาก
ของจานวนเต็มบวกสองจานวน ดงั รายละเอยี ดตอ่ ไปนี้
ให้ a เปน็ จานวนเต็ม พิจารณา a กับ 2 โดยข้นั ตอนวธิ ีการหาร จะสามารถเขียน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนยิ าม จานวนเต็ม a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเม่ือ มีจานวนเตม็ .............ที่..........................
จานวนเต็ม a เป็นจานวนค่ี ก็ตอ่ เมอื่ มจี านวนเตม็ .............ท.่ี .........................
ขอ้ สังเกต
จากนยิ ามขา้ งต้น จะเหน็ ว่า 0 เปน็ จานวนคู่ เพราะ............................
และเมอ่ื a เปน็ จานวนคู่ จะได้ a = ................ และ a2 = ................. จึงได้..........เปน็ จานวนคู่ด้วย
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 115
ตวั อย่างท่ี 5 จงพิสูจนว์ ่า “ผลบวกของจานวนค่เู ปน็ จานวนคู่”
พิสูจน์ ให.้ ....และ.....เปน็ จานวนคู่ ฉะนัน้ มีจานวนเตม็ .....ท.ี่ ................และมจี านวนเต็ม.....ท่.ี ..............
ตัวอย่างท่ี 6 จะได้............................................................................................................................................
พิสจู น์ เนอ่ื งจาก.................................เป็นจานวนเต็ม ดังนนั้ ..................................................................
จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจานวนคเ่ี ปน็ จานวนคี่”
ตวั อย่างท่ี 7 ให.้ ....และ.....เปน็ จานวนค่ี ฉะนั้น มีจานวนเตม็ .....ที.่ ................และมีจานวนเต็ม.....ที่...............
พิสูจน์ จะได้............................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
ตวั อย่างท่ี 8 เน่ืองจาก.................................เปน็ จานวนเต็ม ดงั นน้ั ..................................................................
วิธที า จงพสิ ูจน์วา่ “กาลังสองของจานวนค่ีเป็นจานวนคี่”
ให.้ .............เป็นจานวนคี่ ฉะน้ัน มจี านวนเต็ม......................ท่.ี ...................................................
ตัวอยา่ งที่ 9 จะได้............................................................................................................................................
วธิ ีทา ....................................................................................................................................................
เนื่องจาก.................................เปน็ จานวนเต็ม ดงั น้ัน..................................................................
จงพสิ จู น์ว่า ถ้า a เป็นจานวนเตม็ แลว้ 2 | (a2 – a)
ให้..............เป็นจานวนเต็ม ดงั น้ัน...............................................................................................
กรณี 1 เมือ่ a เป็นจานวน……….ฉะนนั้ สามารถเขยี น....................................เม่ือ.....................
ดงั นั้น.............................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………….
เน่ืองจาก...................................เปน็ จานวนเตม็ จะได.้ ..................................................
ดงั นน้ั .................................................................... .............
กรณี 2 เมื่อ a เปน็ จานวน……….ฉะน้ัน สามารถเขยี น....................................เมอื่ .....................
ดงั นน้ั ...................................................................................................................... .......
……………………………………………………………………………………………………………………….
เน่อื งจาก...................................เปน็ จานวนเตม็ จะได.้ ..................................................
ดงั น้ัน.................................................................................
เมอ่ื หารจานวนเตม็ บวก x ด้วย 6 มเี ศษเหลอื เปน็ 3 จงหาเศษเหลือเม่อื หาร 3x ด้วย 6
เมอ่ื หาร............ดว้ ย..........มเี ศษเหลือเป็น.............. ฉะนนั้ สามารถเขียนได้ในรปู
.......................................................................................................เมื่อ..........เปน็ จานวนเตม็
...................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
ดงั น้นั ...........................................................................................................................................
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 116
ตวั อย่างที่ 10 เมอ่ื หารจานวนเตม็ บวก x ด้วย 6 มเี ศษเหลอื เป็น 2 จงหาเศษเหลือจากการหาร 4x – 1 ด้วย 6
วธิ ที า เม่ือหาร............ด้วย..........มเี ศษเหลอื เป็น.............. ฉะนน้ั สามารถเขยี นไดใ้ นรปู
.......................................................................................................เมือ่ ..........เป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 11 ....................................................................................................................................................
วิธีทา ....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 12 ดังน้ัน...................................................................................................................... .....................
วิธีทา ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวก จงหาเศษเหลอื เม่ือหาร n(n + 1) ด้วย 2
เมอื่ หาร.............ดว้ ย...............จะมเี ศษเหลือทีเ่ ป็นไปได้คือ.........................................................
กรณีที่ 1 เมื่อเศษเหลือเป็น........... สามารถเขยี น..............
ไดใ้ นรูป............................................................เมื่อ..........เป็นจานวนเต็ม
จะได.้ ..........................................................................................................................
....................................................................................................................................
ดงั นน้ั เมือ่ หาร..................ด้วย.........จะมีเศษเหลือเป็น..........เพราะ..........................
กรณที ี่ 2 เมอื่ เศษเหลือเป็น........... สามารถเขยี น..............
ไดใ้ นรูป............................................................เมื่อ..........เป็นจานวนเตม็
จะได้...........................................................................................................................
....................................................................................................................................
ดังนั้น เมอ่ื หาร..................ด้วย.........จะมีเศษเหลอื เปน็ ..........เพราะ..........................
จากทั้งสองกรณี สรุปได้วา่ ..........................................................................................................
ให้ n เปน็ จานวนเตม็ บวก จงหาเศษเหลือเม่ือหาร n(n + 1)(n + 2) ด้วย 3
เมอ่ื หาร.............ด้วย...............จะมเี ศษเหลือทเี่ ป็นไปได้คือ.........................................................
กรณีที่ 1 เมอื่ เศษเหลอื เป็น........... สามารถเขียน..............
ไดใ้ นรูป............................................................เมื่อ..........เปน็ จานวนเต็ม
จะได.้ ..........................................................................................................................
ดังนัน้ เมอ่ื หาร..................ดว้ ย.........จะมีเศษเหลือเป็น..........เพราะ..........................
กรณที ี่ 2 เมื่อเศษเหลอื เป็น........... สามารถเขยี น..............
ไดใ้ นรปู ............................................................เมอื่ ..........เป็นจานวนเต็ม
จะได้...........................................................................................................................
ดังนั้น เม่ือหาร..................ด้วย.........จะมเี ศษเหลือเป็น..........เพราะ..........................
กรณีท่ี 3 เมื่อเศษเหลือเป็น........... สามารถเขยี น..............
ไดใ้ นรูป............................................................เมื่อ..........เปน็ จานวนเตม็
จะได.้ ..........................................................................................................................
ดังนั้น เมอื่ หาร..................ดว้ ย.........จะมีเศษเหลือเปน็ ..........เพราะ..........................
จากทัง้ สามกรณี สรุปไดว้ ่า..........................................................................................................
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 117
ตัวอยา่ งท่ี 13 จงหาจานวนเตม็ บวกท้ังหมดทหี่ าร 417 และ 390 แลว้ มีเศษเหลอื เทา่ กัน
วธิ ที า ให.้ ............เป็นจานวนเต็มบวกทีห่ าร 417 และ 390 มีเศษเหลือเป็น................
ดังน้ัน 417 = ………………………. เม่อื .............เปน็ จานวนเตม็ (1)
ตวั อยา่ งที่ 14
วธิ ที า 390 = ………………………. เมื่อ.............เป็นจานวนเต็ม (2)
(1) – (2) จะได้ ………………………………………………………………………….. (3)
เนอื่ งจาก.............................เป็นจานวนเต็ม ดงั น้นั ...................................
ฉะนน้ั คา่ .............ที่เป็นไปได้ ได้แก.่ .........................................................
จากการตรวจสอบจะเห็นว่า.....................หาร 417 และ 390 ลงตัว นั่นคือมเี ศษเหลอื เปน็ .......
.................หาร 417 และ 390 มีเศษเหลือ..........เท่ากัน และ.................หาร 417 และ 390
มีเศษเหลอื ..........เทา่ กัน
ดังนัน้ จานวนเต็มบวกทงั้ หมดทีห่ าร 417 และ 390 แล้วมเี ศษเหลอื เท่ากันคอื ..........................
จงหาจานวนเตม็ บวกท้ังหมดทหี่ าร 235 และ 312 แลว้ มีเศษเหลือเท่ากัน
ให้.............เปน็ จานวนเตม็ บวกทีห่ าร 235 และ 312 มีเศษเหลือเป็น................
ดงั น้นั 235 = ………………………. เม่อื .............เปน็ จานวนเตม็ (1)
312 = ………………………. เมอื่ .............เป็นจานวนเต็ม (2)
(1) – (2) จะได้ ………………………………………………………………………….. (3)
เนือ่ งจาก.............................เปน็ จานวนเตม็ ดงั น้นั ...................................
ฉะน้ัน ค่า.............ที่เปน็ ไปได้ ได้แก.่ .........................................................
จากการตรวจสอบจะเหน็ ว่า.....................หาร 235 และ 312 ลงตวั น่นั คอื มเี ศษเหลอื เป็น.......
และ...................................หาร 235 และ 312 มเี ศษเหลือ..........เท่ากนั
ดังนน้ั จานวนเต็มบวกทั้งหมดทห่ี าร 235 และ 312 แลว้ มีเศษเหลอื เท่ากนั คอื ..........................
แบบฝกึ เสริมเพิม่ ความเขา้ ใจ
1. จงพสิ จู นว์ า่
1) ผลบวกของจานวนคี่เปน็ จานวนคู่
พสิ ูจน์ ให้.....และ.....เป็นจานวนคี่ ฉะน้นั มีจานวนเต็ม.....ท่.ี ................และมีจานวนเตม็ .....ท่ี...............
จะได้............................................................................................................................................
เนอ่ื งจาก.................................เปน็ จานวนเตม็ ดงั นั้น..................................................................
2) ผลบวกของจานวนคู่กับจานวนคเ่ี ป็นจานวนค่ี
พิสจู น์ ให้........เปน็ จานวนคู่ และ........เปน็ จานวนคี่
ฉะนั้น มีจานวนเตม็ ..........ท.ี่ ....................และมจี านวนเต็ม..........ท.่ี ....................
จะได้............................................................................................................................................
เนื่องจาก.................................เปน็ จานวนเต็ม ดงั นั้น..................................................................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 118
3) ถ้า a เป็นจานวนค่ี แลว้ 4 | (a2 – 1)
พิสจู น์ ให้..............เป็นจานวนคี่ ฉะน้ัน มจี านวนเต็ม..........ท.่ี ....................................
ดงั นั้น...................................................................................................................... .......
เน่อื งจาก...................................เป็นจานวนเต็ม จะได้...................................................
ดงั น้ัน.................................................................................
4) ถ้า a เปน็ จานวนคู่ แล้ว 4 | (a2 + 4)
พสิ จู น์ ให.้ .............เป็นจานวนคู่ ฉะน้ัน มจี านวนเตม็ ..........ท่ี.....................................
ดงั นน้ั ...................................................................................................................... .......
เนอ่ื งจาก...................................เปน็ จานวนเตม็ จะได.้ ..................................................
ดงั น้นั .................................................................................
5) กาลังสองของจานวนค่เู ปน็ จานวนคู่
พสิ จู น์ ให.้ .............เป็นจานวนคู่ ฉะนั้น มจี านวนเต็ม..........ท.ี่ ....................................
ดงั นน้ั ...................................................................................................................... .......
เนอ่ื งจาก...................................เปน็ จานวนเต็ม จะได้...................................................
ดังนั้น.................................................................................
6) ผลคูณของจานวนคเู่ ปน็ จานวนคู่
พสิ ูจน์ ให้.....และ.....เปน็ จานวนคู่ ฉะนั้น มจี านวนเตม็ .....ท่ี.................และมีจานวนเตม็ .....ที.่ ..............
จะได้............................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
เนื่องจาก.................................เปน็ จานวนเตม็ ดังนัน้ ..................................................................
2. เม่อื หารจานวนเต็มบวก x ด้วย 5 มเี ศษเหลอื เปน็ 3 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3x ด้วย 5
วิธที า เม่ือหาร............ดว้ ย..........มีเศษเหลอื เปน็ .............. ฉะน้ัน สามารถเขียนไดใ้ นรปู
.......................................................................................................เมื่อ..........เป็นจานวนเตม็
...................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
ดงั น้ัน...................................................................................................................... .....................
3. เม่อื หารจานวนเต็มบวก x ดว้ ย 6 มเี ศษเหลือเปน็ 2 จงหาจานวนเตม็ บวกท่นี ้อยท่สี ุดท่ีหาร 4x แลว้ เหลือเศษ 2
วธิ ที า เมอ่ื หาร............ดว้ ย..........มเี ศษเหลือเปน็ .............. ฉะน้ัน สามารถเขยี นได้ในรูป
.......................................................................................................เม่ือ..........เปน็ จานวนเตม็
...................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
ดังนัน้ ...................................................................................................................... .....................
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 119
4. เมือ่ หารจานวนเตม็ บวก x ด้วย 9 มีเศษเหลอื เปน็ 5 จงหาจานวนเต็มบวกท่นี ้อยทีส่ ุดท่หี าร 7x แลว้ เหลือเศษ 5
วธิ ที า เม่ือหาร............ด้วย..........มีเศษเหลือเป็น.............. ฉะน้นั สามารถเขยี นได้ในรูป
.......................................................................................................เม่ือ..........เป็นจานวนเตม็
...................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
ดงั นั้น...................................................................................................................... .....................
5. จงหาจานวนเต็มบวกทั้งหมดทหี่ าร 128 และ 216 แล้วมีเศษเหลอื เท่ากัน
วิธที า ให้.............เปน็ จานวนเต็มบวกท่ีหาร 128 และ 216 มีเศษเหลือเป็น................
ดงั น้นั 128 = ………………………. เมอ่ื .............เปน็ จานวนเตม็ (1)
216 = ………………………. เมื่อ.............เป็นจานวนเตม็ (2)
(2) – (1) จะได้ ………………………………………………………………………….. (3)
เน่อื งจาก.............................เป็นจานวนเตม็ ดังนัน้ ...................................
ฉะนน้ั ค่า.............ท่ีเปน็ ไปได้ ไดแ้ ก่..........................................................
จากการตรวจสอบจะเห็นวา่ .....................หาร 128 และ 216 ลงตวั นั่นคือมีเศษเหลอื เปน็ .......
...................................หาร 128 และ 216 มีเศษเหลอื ..........เท่ากัน
...................................หาร 128 และ 216 มีเศษเหลือ..........เท่ากนั
และ...................................หาร 128 และ 216 มีเศษเหลือ..........เทา่ กัน
ดังนัน้ จานวนเต็มบวกทง้ั หมดที่หาร 128 และ 216 แล้วมีเศษเหลอื เทา่ กันคอื ..........................
6. จงหาจานวนเตม็ บวกทง้ั หมดที่หาร 406 และ 379 แล้วมเี ศษเหลือเท่ากนั
วิธที า ให้.............เปน็ จานวนเตม็ บวกที่หาร 406 และ 379 มเี ศษเหลอื เปน็ ................
ดังนน้ั 406 = ………………………. เม่ือ.............เปน็ จานวนเต็ม (1)
379 = ………………………. เมือ่ .............เปน็ จานวนเต็ม (2)
(1) – (2) จะได้ ………………………………………………………………………….. (3)
เนอื่ งจาก.............................เปน็ จานวนเต็ม ดังน้นั ...................................
ฉะน้นั คา่ .............ท่เี ปน็ ไปได้ ไดแ้ ก่..........................................................
จากการตรวจสอบจะเห็นวา่ .....................หาร 406 และ 379 ลงตวั นัน่ คอื มีเศษเหลอื เป็น.......
และ...................................หาร 406 และ 379 มีเศษเหลอื ..........เทา่ กัน
ดงั นน้ั จานวนเตม็ บวกทง้ั หมดท่หี าร 406 และ 379 แลว้ มีเศษเหลอื เท่ากันคอื ..........................
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 120
ตวั หารร่วมมาก
ตวั หารรว่ มมาก (The Greatest Common Divisor : G.C.D.)
บทนยิ าม กาหนด a และ b เป็นจานวนเต็ม เรยี ก.........................................ทส่ี ามารถหารทั้ง a และ b
ลงตวั ว่าเป็น……………………………………….ของ a และ b
ตวั อย่างที่ 1
1. ตัวหารรว่ มของ 4 และ 8 ได้แก่ ± 1, ± 2, ± 4
2. ตัวหารร่วมของ 7 และ 21 ได้แก่ ......................................................
3. ตัวหารรว่ มของ 12 และ 18 ได้แก่ ......................................................
4. ตัวหารร่วมของ 10 และ 15 ได้แก่ ......................................................
5. ตัวหารรว่ มของ 16 และ 18 ไดแ้ ก่ ......................................................
จานวนเตม็ ทีม่ ากทีส่ ุดที่หารจานวนเต็มสองจานวนลงตัว เรยี กว่า ..............................ของจานวนทง้ั สอง
บทนยิ าม ให้ a และ b เปน็ จานวนเตม็ โดยท่ี a และ b ไม่เป็นศูนยพ์ รอ้ มกัน
จานวนเต็มบวก............ทมี่ ากที่สุด ซงึ่ .................และ.................เรยี กวา่ ....................................
(ห.ร.ม.) ของ a และ b ใชส้ ญั ลกั ษณ.์ .......................แทน...........................................................
การหา ห.ร.ม. สามารถทาได้หลายวธิ ี ดงั นี้
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36
วิธที ี่ 1 วิธีแยกตัวประกอบ 24 = ………………………………………
36 = ………………………………………
ดังน้ัน ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ..........................................
วธิ ีท่ี 2 วธิ ีหาตัวหารร่วม ตัวหารทเ่ี ปน็ บวกของ 24 คอื .............................................................
ตวั หารท่ีเป็นบวกของ 36 คือ.............................................................
ตวั หารรว่ มทีเ่ ปน็ บวกของ 24 และ 26 คอื ........................................
ตวั หารรว่ มที่เป็นบวกของ 24 และ 26 ท่ีมากทส่ี ดุ คอื .......................
ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คอื ..........................................
วธิ ีท่ี 3 วธิ ีต้ังหาร ) 24 36
)
)
ดังนัน้ ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ..........................................
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 121
ตวั อยา่ งที่ 3 จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24
วิธีที่ 1 วธิ ีแยกตวั ประกอบ 12 = ………………………………………
18 = ………………………………………
24 = ………………………………………
ดงั นนั้ ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คือ..........................................
วิธีท่ี 2 วิธหี าตวั หารร่วม ตัวหารทเ่ี ป็นบวกของ 12 คือ.............................................................
ตวั หารทเ่ี ปน็ บวกของ 18 คือ.............................................................
ตวั หารทเ่ี ป็นบวกของ 24 คือ.............................................................
ตวั หารรว่ มทีเ่ ป็นบวกของ 12, 18 และ 24 คือ.................................
ตัวหารรว่ มทีเ่ ปน็ บวกของ 12, 18 และ 24 ทม่ี ากท่ีสดุ คือ................
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คอื ..........................................
วิธีท่ี 3 วิธตี ัง้ หาร ) 12 18 24
)
ดังนนั้ ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คือ..........................................
ตวั อย่างท่ี 4 จงหา ห.ร.ม. ของ -20 และ 35
วิธที ี่ 1 วิธีแยกตวั ประกอบ -20 = ………………………………………
35 = ………………………………………
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ -20 และ 35 คือ.........................................
วธิ ีที่ 2 วธิ ีหาตัวหารร่วม ตวั หารที่เป็นบวกของ -20 คอื ...........................................................
ตวั หารทเ่ี ปน็ บวกของ 35 คอื ............................................................
ตัวหารรว่ มทเ่ี ปน็ บวกของ -20 และ 35 คือ.......................................
ตัวหารรว่ มทเ่ี ปน็ บวกของ -20 และ 35 ทม่ี ากทสี่ ุดคือ......................
ดังน้ัน ห.ร.ม. ของ -20 และ 35 คอื .........................................
วิธีที่ 3 วิธตี ัง้ หาร ) -20 35 24
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ -20 และ 35 คอื .........................................
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 122
แบบฝึกเสรมิ เพิม่ ความเข้าใจ 2) 12 และ 36
จงหา ห.ร.ม. ของจานวนต่อไปน้ี
1) 18 และ 48
3) 24 และ 32 4) 18 และ 21
5) 45 และ 75 6) 56 และ 112
7) 10, 25 และ 45 8) 4, 10 และ 14
9) 24, 60 และ 84 10) 27, 63 และ 208
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 123
การหา ห.ร.ม. ในกรณีที่คา่ สมั บรู ณข์ องจานวนเตม็ a และ b มคี า่ มาก ๆ โดยวิธีข้างต้นทาได้ไม่สะดวก จึง
นยิ มหาโดยใช้ขน้ั ตอนวิธขี องยคุ ลดิ (Euclidean Algorithm) ซ่ึงมรี ายละเอียดดงั นี้
การหาตวั หารร่วมมากโดยใช้ข้ันตอนวิธขี องยคุ ลดิ
ในการหา ห.ร.ม. ของจานวนเต็มสองจานวน เช่น 504 และ 123
1. เมือ่ หาร 504 ดว้ ย 123 โดยใชข้ ้นั ตอนการหาร สามารถเขียน 504 และ 123 ไดใ้ นรปู
............................................................................................................................. ...........
จะพบวา่ ตัวหารรว่ มมากของ 504 และ 123 จะต้องเปน็ ตัวหารร่วมมากของ……………………………..
2. เมื่อหาร……………..ด้วย……………..โดยใช้ขัน้ ตอนการหาร สามารถเขยี น...............................ไดใ้ นรปู
............................................................................................. ...........................................
จะพบว่า ตวั หารรว่ มมากของ…………………………จะตอ้ งเป็นตวั หารร่วมมากของ…………………………
3. เราทราบวา่ ตัวหารร่วมมากของ………………..………………คอื ........................
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 504 และ 123 คอื .............................
4. จากทแ่ี สดงขา้ งต้น จะเขยี นแสดงวธิ หี า ห.ร.ม. ของ 504 และ 123 ได้ดงั นี้
............................................................................................................................. ...........
........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...........
........................................................................................................................................
ซึง่ สามารถสรปุ เป็นข้นั ตอนวธิ ีของยุคลดิ ดงั ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎบี ท 7 ขน้ั ตอนวธิ ขี องยคุ ลิด
กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก โดยท่ี b < a โดยใช้ขน้ั ตอนวิธกี ารหารไปเร่ือย ๆ จะ
ได้วา่
a bq1 r1 ; 0 r1 b
b r1q2 r2 ; 0 r2 r1
r1 r2q3 r3 ; 0 r3 r2
rk 2 rk 1qk rk ; 0 rk rk 1
ขอ้ สงั เกต rk 1 rkqk 1 0
ดงั นนั้ rk ซ่ึงเปน็ เศษตวั สดุ ทา้ ยที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเปน็ ห.ร.ม. ของ a และ b
ผลจากข้นั ตอนวิธขี องยุคลิด ทาให้ได้วา่ ถา้ d = (a, b) แลว้ จะมจี านวนเตม็ x และ y ที่ทาให้
……………………………………………
ครคู รรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 124
ตัวอย่างที่ 5 จงหา ห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใช้ขั้นตอนวธิ ขี องยุคลิด
วธิ ีทา
2244 = …………………………………………..................
ข้อสังเกต
ตวั อยา่ งที่ 6 418 = …………………………………………..................
วธิ ที า
......... = …………………………………………..................
ตัวอย่างที่ 7
วธิ ีทา ......... = …………………………………………..................
ขอ้ สังเกต ......... = …………………………………………..................
ดังนนั้ (2244, 418) = ..........................
จากวธิ ที าจะเหน็ ว่า 22 | 44, ………………………………………………………………………………………….
และสงั เกตวา่ (2244, 418) = …………………………………………………………………………………………
จงหา ห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใช้ข้นั ตอนวิธขี องยุคลิด
3348 = …………………………………………..................
2592 = …………………………………………..................
......... = …………………………………………..................
......... = …………………………………………..................
ดงั นนั้ (3348, 2592) = ..........................
จงหา ห.ร.ม. ของ 9035 และ 364 โดยใชข้ ั้นตอนวิธีของยุคลิด
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
ดังนัน้ .........………………………………………….......................
ตวั อยา่ ง 3 อาจเขยี นวธิ หี า ห.ร.ม. ขา้ งตน้ ให้กะทดั รดั ดังนี้
………… 9035 364 …………
………… …………
………… …………
ดงั นน้ั .........………………………………………….......................
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 125
ตัวอยา่ งที่ 8 นักเรียนคนหน่ึงมีเหรียญบาท 562 เหรียญ เหรียญห้าบาท 180 เหรียญ ต้องการแบ่งเหรียญ
วิธีทา แตล่ ะชนดิ เป็นกองให้มีจานวนมากทสี่ ุด จงหาวา่ จะได้เหรียญทงั้ หมดก่ีกอง และกองละกเี่ หรียญ
ต้องหาจานวนท่ีมากท่สี ดุ ทีห่ าร...............................................ลงตัว
นั่นคือ หา ห.ร.ม. ของ.....................................................................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
ดงั นนั้ .........………………………………………….......................
.........…………………………………………......................
.........…………………………………………......................
เพราะฉะน้นั จะไดเ้ หรียญทง้ั หมด.......................กอง และกองละ.......................เหรียญ
กรณีทห่ี าตัวหารรว่ มมากซ่ึงมจี านวนเต็มมากกวา่ สองตัว สามารถทาไดด้ ังนิยามต่อไปนี้
บทนยิ าม ให้ a1, a2, …, an เป็นจานวนเต็มบวกท่ีไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจานวนเต็มบวก.......ที่มาก
ทีส่ ดุ ซึง่ .......................................................วา่ ...............................................ของ a1, a2, …, an
ใชส้ ัญลกั ษณ.์ .......................................แทน.........................ของ a1, a2, …, an
จากบทนยิ ามสามารถตรวจสอบไดว้ า่ ..........................................................................................
ตัวอย่างท่ี 9 จงหา ห.ร.ม. ของ 15, 21 และ 36
วิธีทา จากบทนิยามจะได้ว่า (15, 21, 36) = .........………………………………………….......................
ตวั อย่างที่ 10 .........………………………………………….......................
วิธีทา หรอื (15, 21, 36) = .........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 15, 21 และ 36 คอื …….......................
จงหา ห.ร.ม. ของ 16, 64 และ 256
จากบทนยิ ามจะไดว้ า่ (16, 64, 256) = .........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
หรือ (16, 64, 256) = .........………………………………………….......................
.........………………………………………….......................
ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 16, 64 และ 256 คอื …….......................
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 126
แบบฝึกเสริมเพิ่มความเข้าใจ
1. จงหา ห.ร.ม. ของจานวนในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี โดยใชข้ ัน้ ตอนวิธีการหารของยุคลิด
1) 1320 และ 342 2) 418 และ 2,244
3) 4126 และ 179 4) 4,652 และ 232
5) 1,684 และ 7,286 6) 864 และ 354
7) 4890 และ 120 8) 5,767 และ 4,453
ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 127
2. นักเรยี นชัน้ ม.1 ม.2 และ ม.3 ของโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มี 78 คน 84 คน และ 96 คน ตามลาดบั สภานักเรียน
ตอ้ งการแบง่ นกั เรียนเหลา่ นีอ้ อกเปน็ กลมุ่ ๆ เทา่ ๆ กัน โดยใหส้ มาชกิ แต่ละคนอยู่ช้ันเดียวกัน และมีจานวน
มากทส่ี ดุ จะแบ่งนักเรียนไดท้ ัง้ หมดกี่กล่มุ และนกั เรียนแตล่ ะกล่มุ มีก่คี น
วธิ ที า ตอ้ งหาจานวนทมี่ ากทส่ี ดุ ทห่ี าร..............................................................ลงตัว
น่ันคอื ตอ้ งหา ห.ร.ม. ของ...........................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………..
ฉะน้ัน ห.ร..ม. ของ..................................................คอื ...............................
ดงั น้นั แบ่งนกั เรยี นแตล่ ะกลุ่มไดม้ ากทส่ี ุดเท่า ๆ กนั กล่มุ ละ.................คน
และแบง่ นักเรยี นได้ทั้งหมด...........................................................................................................
จะแบง่ นักเรียนได้มากทีส่ ดุ กลมุ่ ละ.................คน จานวน.....................กลมุ่
3. มีส้มอยูส่ องกอง ๆ ละ 3,240 ผล และ 2,484 ผล ถา้ ตอ้ งการแบ่งเป็นกอง ๆ แตล่ ะกองมจี านวนส้มเทา่ กนั
โดยสม้ แตล่ ะกองจะไมป่ นกนั และให้ได้มากที่สุด จะไดส้ ม้ กองละกผ่ี ล
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. มีผา้ อยสู่ ามพับยาว 81, 441, 1,089 เมตร ตามลาดบั ต้องการตัดเปน็ ชิ้น ๆ ละเทา่ ๆ กันใหย้ าวท่สี ดุ จะได้
ผา้ ยาวชนิ้ ละก่ีเมตร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครคู รรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 128
5. โรงเรียนแหง่ หนึง่ มนี กั เรียนช้นั ม.4 จานวน 126 คน นักเรยี นช้ัน ม.5 จานวน 180 คน และนักเรยี นชน้ั ม.6
จานวน 198 คน ถา้ ตอ้ งการจดั ทีมแข่งกฬี าโดยแต่ละทีมมีจานวนนกั เรยี นเทา่ กนั และเป็นนักเรียนช้นั เดียวกนั
อยากทราบว่าแต่ละทมี มีนักเรยี นไดม้ ากทส่ี ุดก่ีคน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. นดิ ามลี วดทองแดงยาว 120 นว้ิ และลวดเงินยาว 68 นิ้ว ถา้ ตอ้ งการตัดลวดทั้งสองเสน้ ออกเป็นทอ่ น ๆ โดย
ใหแ้ ต่ละทอ่ นยาวเท่ากนั ลวดแตล่ ะทอ่ นจะมคี วามยาวมากท่สี ุดก่นี ิว้ และตัดได้กที่ ่อน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาจานวนเต็มบวกท่ีมีคา่ มากท่ีสุดทห่ี าร 212, 238 และ 277 แล้วมีเศษเหลอื เท่ากัน
วิธที า
ให.้ .......เปน็ จานวนเตม็ บวกทีม่ คี ่ามากที่สุดท่หี าร 212, 238 และ 277 แลว้ มเี ศษเหลอื ..........
เทา่ กนั ดังนน้ั
212 = ................................... เมอ่ื .........เป็นจานวนเตม็ ------(1)
238 = ................................... เมอ่ื .........เปน็ จานวนเต็ม ------(2)
277 = ................................... เมอื่ .........เปน็ จานวนเต็ม ------(3)
(2) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(4)
(3) – (2) จะได้ ................................................................................... ------(5)
(3) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(6)
จาก (4), (5) และ (6) แสดงว่า..............................................................
น่นั คอื ...............เปน็ ตวั หารร่วมมากของ................................................
ครูครรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 129
ซง่ึ ตวั หารรว่ มของ............................................คอื .......................... .......
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ............................................คือ.................................
ดงั นนั้ ..............จึงเป็นจานวนเต็มบวกท่มี ากทสี่ ดุ ทีห่ าร 212, 238 และ 277 แล้วมเี ศษเหลือ
เท่ากัน ซ่งึ จากการตรวจสอบ จะไดว้ า่ เศษเหลือทเี่ ท่ากัน คือ..............
แบบฝกึ เสริมเพ่ิมความเขา้ ใจ
1. จงหาจานวนเต็มบวกท่ีมากทส่ี ุดที่หาร 890, 980 และ 1,100 แลว้ มเี ศษเหลือเทา่ กัน
วธิ ที า ให้........เปน็ จานวนเต็มบวกทมี่ ีคา่ มากทส่ี ุดท่หี าร 890, 980 และ 1,100 แล้วมีเศษเหลือ..........เท่ากนั
ดงั น้ัน 890 = ................................... เมอ่ื .........เป็นจานวนเตม็ ------(1)
980 = ................................... เม่อื .........เปน็ จานวนเต็ม ------(2)
1,100 = ................................... เมอ่ื .........เปน็ จานวนเตม็ ------(3)
(2) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(4)
(3) – (2) จะได้ ................................................................................... ------(5)
(3) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(6)
จาก (4), (5) และ (6) แสดงว่า..............................................................
นน่ั คอื ...............เป็นตวั หารรว่ มมากของ................................................
ซ่ึงตวั หารร่วมของ............................................คือ.................................
ดงั นนั้ ห.ร.ม. ของ............................................คือ.................................
ดงั น้ัน..............จึงเปน็ จานวนเต็มบวกที่มากท่สี ดุ ทีห่ าร 212, 238 และ 277 แลว้ มีเศษเหลือ
เท่ากนั ซ่ึงจากการตรวจสอบ จะไดว้ ่า เศษเหลือทีเ่ ทา่ กัน คือ..............
2. จงหาจานวนเต็มบวกท่มี ากทส่ี ดุ ท่ีหาร 550, 646 และ 722 มีเศษเหลือ 2 เท่ากนั
วิธีทา ให.้ .......เป็นจานวนเตม็ บวกทม่ี ากท่สี ุดท่ีหาร 550, 646 และ 722 มเี ศษเหลือ 2 เท่ากัน ดงั นน้ั
550 = ................................... เมอื่ .........เปน็ จานวนเต็ม ------(1)
646 = ................................... เมอื่ .........เป็นจานวนเตม็ ------(2)
722 = ................................... เมอ่ื .........เป็นจานวนเตม็ ------(3)
(2) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(4)
(3) – (2) จะได้ ................................................................................... ------(5)
(3) – (1) จะได้ ................................................................................... ------(6)
จาก (4), (5) และ (6) แสดงวา่ ..............................................................
นั่นคอื ...............เป็นตวั หารร่วมมากของ................................................
ซง่ึ ตัวหารร่วมของ............................................คอื .................................
ดังนัน้ ห.ร.ม. ของ............................................คือ.................................
ดังนน้ั ..............จึงเป็นจานวนเตม็ บวกที่มากทส่ี ดุ ทหี่ าร 212, 238 และ 277 แล้วมีเศษเหลอื
เท่ากัน ซ่ึงจากการตรวจสอบ จะไดว้ ่า เศษเหลือทีเ่ ทา่ กนั คือ..............
ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 130
3. จงหาจานวนเตม็ บวกที่มากทส่ี ุดที่หาร 165 มีเศษเหลอื 4 หาร 204 มเี ศษเหลอื 1 และหาร 220 มเี ศษเหลือ 3
วิธีทา ให้........เปน็ จานวนเตม็ บวกท่มี ากทีส่ ุดทห่ี าร 165 มเี ศษเหลือ 4 หาร 204 มีเศษเหลอื 1 และหาร 220
มีเศษเหลือ 3 ดงั นั้น
165 = ................................... เมื่อ.........เป็นจานวนเต็ม ------(1)
204 = ................................... เมอื่ .........เปน็ จานวนเตม็ ------(2)
220 = ................................... เมอ่ื .........เปน็ จานวนเต็ม ------(3)
จาก (1) จะได้ ……………………………………………………………………………………. ------(4)
จาก (2) จะได้ ……………………………………………………………………………………. ------(5)
จาก (3) จะได้ ……………………………………………………………………………………. ------(6)
จาก (4), (5) และ (6) แสดงว่า............................................................................
นั่นคอื ...............เป็นตัวหารร่วมมากของ..............................................................
แตต่ ัวหารรว่ มของ...............................................................คือ……………………….
ดังนนั้ ห.ร.ม. ของ...............................................................คอื ............................
ดงั นัน้ ...............จึงเปน็ จานวนเต็มบวกที่มากท่ีสดุ ทห่ี าร 165 มีเศษเหลอื 4 หาร 204 มเี ศษเหลอื 1 และ
หาร 220 มเี ศษเหลอื 3
4. จงหาจานวนเต็มบวกทม่ี ากทส่ี ดุ ท่ีหาร 4,566 แลว้ มเี ศษเหลอื เปน็ 12 และหาร 10,482 มีเศษเหลอื เปน็ 17
วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 131
จานวนเฉพาะสัมพทั ธ์
จานวนเฉพาะสมั พัทธ์ (Relatively prime numbers)
บทนิยาม จานวนเต็ม a และ b เป็น จานวนเฉพาะสัมพัทธ์ กต็ ่อเมือ่ .......................................
ตวั อย่าง 33 3 และ 5 เปน็ จานวนเฉพาะสมั พัทธ์ เพราะ.......................................
5 และ 8 เปน็ จานวนเฉพาะสมั พัทธ์ เพราะ.......................................
ตัวอยา่ ง 34 11 และ 21 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ.......................................
วิธที า .................... เปน็ จานวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ.......................................
.................... เปน็ จานวนเฉพาะสมั พัทธ์ เพราะ.......................................
เมอ่ื x เปน็ จานวนเตม็ บวก จงแสดงว่า 3x + 2 และ 5x + 3 เปน็ จานวนเฉพาะสมั พัทธ์
ให้ (3x + 2, 5x + 3) = d
โดยบทนิยามของ ห.ร.ม. จะได.้ .........................................และ..........................................
ดงั นน้ั ..........................................และ..........................................
..........................................และ..........................................
จะได้ ...........................................................................................
...........................................................................................
แสดงว่า ..........................................ฉะนนั้ .......................................
นน่ั คือ ...........................................................................................
ดังน้ัน ...........................................................................................
ทฤษฎบี ท 8 a และ b เปน็ จานวนเฉพาะสัมพัทธ์ กต็ ่อเมื่อ มจี านวนเต็ม.......และ.......ทีท่ าให้.......................
ทฤษฎีบท 9 กาหนดจานวนเต็ม a, b และจานวนเฉพาะ p ถ้า p | ab จะได.้ .................หรือ..................
ตวั อยา่ ง 35 กาหนด (a, b) = 1 จงแสดงว่า (a2, b) = 1
วิธีทา จาก.................................แสดงว่ามีจานวนเต็ม..........และ..........ซึ่ง..........................................
นน่ั คือ ..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
เน่ืองจาก......................................เป็นจานวนเต็มและจากทฤษฎีบท 8 จะได้ว่า......................
ครูครรชิต แซ่โฮแ่ ละครูภทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 132
แบบฝกึ เสริมเพิ่มความเขา้ ใจ
จงแสดงวา่
1. (a, a + 1) = 1
วิธีทา ให้ (a, a + 1) = ………..โดยบทนิยามของ ห.ร.ม. จะได.้ ...........................และ...........................
จากทฤษฎีบท.......จะไดว้ ่า..............................................................นั่นคอื ............................ ......
ฉะนั้น ...........................................................................................
ดงั นั้น ...........................................................................................
2. (a, a + 2) = 1 เม่ือ a เปน็ จานวนค่ี และ (a, a + 2) = 2 เมื่อ a เปน็ จานวนคู่
วธิ ที า ให้ (a, a + 2) = ………..โดยบทนิยามของ ห.ร.ม. จะได้............................และ...........................
จากทฤษฎีบท.......จะได้ว่า.....................................นน่ั คือ............................
ฉะนน้ั ........................................................................................................
เมือ่ a เปน็ จานวนคี่ จะได้........................................... ดังน้ัน ..................................................
เม่ือ a เปน็ จานวนคู่ จะได้............................................ ดังนัน้ .................................................
3. ถ้า (a, b) = 1 แลว้ (a, b2) = 1
วิธที า จาก.................................แสดงว่ามจี านวนเต็ม..........และ..........ซึง่ ................................. .........
น่ันคอื ..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
เน่อื งจาก......................................เปน็ จานวนเตม็ และจากทฤษฎบี ท 8 จะได้ว่า......................
4. ถา้ a | m, b | m และ (a, b) = 1 แลว้ ab | m
วธิ ีทา สมมติ...............................จะมีจานวนเตม็ ..........และ..........ทีท่ าให.้ ............................................
จาก.................................จะมีจานวนเต็ม..........และ..........ท่ีทาให.้ .............................................
นั่นคอื ..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
เน่ืองจาก......................................เปน็ จานวนเต็ม จะได้วา่ .....................
ดังนั้น ...................................................................................................
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 133
5. ถา้ a | mn และ (a, m) = 1 แลว้ a | n
วธิ ที า สมมต.ิ ................................จะมจี านวนเตม็ ..........และ..........ทที่ าให.้ ..........................................
จาก.................................จะมีจานวนเต็ม..........และ..........ที่ทาให้.............................................
นนั่ คือ ..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
เนอ่ื งจาก......................................เปน็ จานวนเต็ม จะไดว้ า่ .....................
ดังนน้ั ...................................................................................................
ตวั คณู ร่วมน้อย
ตวั คูณรว่ มน้อย (The Least Common Multiple : L.C.M.)
จานวนเต็มบวกทนี่ ้อยท่สี ดุ ทห่ี ารดว้ ยจานวนเตม็ สองจานวนใด ๆ ลงตัวเรยี กวา่ ตัวคณู รว่ มนอ้ ยของจานวนท้งั สอง
บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ เรียก จานวนเต็ม........ที่น้อยที่สุด ซึ่ง........และ........
ว่า.......................................................................................................................... ของ a และ b
ใชส้ ญั ลักษณ์..................................แทน...........................................................
การหา ค.ร.น. สามารถทาได้หลายวิธี ดังนี้
ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหา ค.ร.น. ของ 24 และ 36
วิธีที่ 1 วธิ ีแยกตัวประกอบ 24 = ………………………………………
36 = ………………………………………
ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 24 และ 36 คือ............................................................................
วธิ ที ่ี 2 วธิ ีหาพหุคูณรว่ ม พหุคูณทเ่ี ป็นบวกของ 24 คือ............................................................
พหุคณู ท่เี ป็นบวกของ 36 คือ............................................................
พหุคณู รว่ มทีเ่ ป็นบวกของ 24 และ 26 คอื .................................................................
พหคุ ณู ร่วมท่ีเปน็ บวกของ 24 และ 26 ทน่ี ้อยที่สุดคอื ...............................................
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 24 และ 36 คือ..........................................
วิธีท่ี 3 วธิ ีต้งั หาร ) 24 36
)
)
ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 24 และ 36 คอื .....................................................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภทั รา ตันนิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 134
ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 25 และ 30
วธิ ที ่ี 1 วิธแี ยกตวั ประกอบ 25 = ………………………………………
30 = ………………………………………
ดงั นนั้ ค.ร.น. ของ 25 และ 30 คือ............................................................................
วธิ ีที่ 2 วธิ หี าพหุคูณรว่ ม พหคุ ูณทเี่ ป็นบวกของ 25 คอื ............................................................
พหุคูณทเี่ ป็นบวกของ 30 คอื ............................................................
พหุคูณรว่ มท่ีเปน็ บวกของ 25 และ 30 คือ.................................................................
พหคุ ูณรว่ มทเี่ ปน็ บวกของ 25 และ 30 ที่น้อยทีส่ ุดคอื ...............................................
ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 25 และ 30 คือ..........................................
วธิ ที ี่ 3 วิธีต้ังหาร ) 25 30
ดงั นัน้ ค.ร.น. ของ 25 และ 30 คือ.....................................................
ตวั อย่างที่ 3 จงหา [a, b] ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. a = 15, b = 20
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
2. a = -35, b = 49
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
3. a = 40, b = -60
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
4. a = -50, b = -75
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นิลกลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 135
การหาตัวคูณรว่ มน้อยของจานวนเตม็ ที่มากกวา่ สองตวั ดงั บทนยิ ามต่อไปน้ี
บทนยิ าม ให้ a1, a2, …, an เป็นจานวนเตม็ ท่ไี ม่เป็นศนู ย์ จานวนเตม็ บวก..........ที่มากท่ีสุด
ซ่งึ .......................................................เรียกวา่ ................................................ของ a1, a2, …, an
ใช้สญั ลักษณ์........................................แทน............................ของ a1, a2, …, an
จากบทนิยามสามารถตรวจสอบไดว้ ่า………………………………………………………………………………………….
ตวั อย่างที่ 4 จงหา ค.ร.น. ของ 12, 15 และ 18
วิธีทา จากบทนยิ าม จะได้ว่า [12, 15, 18] = [12, [15, 18]] =……………………………………………………
ตัวอย่างที่ 5 หรอื [12, 15, 18] = [[12, 15], 18] =………………………………………………………………………..
ดงั นัน้ ค.ร.น. ของ 12, 15 และ 18 คอื ................................
จงหา ค.ร.น. ของจานวนต่อไปนี้
1) [5, 12] =………………………………………………………………………………………….
2) [12, 54] =………………………………………………………………………………………….
3) [5, 12, 54] =………………………………………………………………………………………….
4) [21, 30, 70] =………………………………………………………………………………………….
5) [49, 14, 63] =………………………………………………………………………………………….
แบบฝกึ เสรมิ เพม่ิ ความเข้าใจ
จงหา ค.ร.น. ของจานวนในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. 16 และ 42
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังนนั้ [16, 42] =………………………………………………………………………………………………..
2. 39 และ 111
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังนน้ั [39, 111] =………………………………………………………………………………………………..
3. 60 และ 108
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
4. 96 และ 252
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
ครูครรชติ แซ่โฮแ่ ละครูภัทรา ตนั นลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนร้คู ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 136
5. 26, 36 และ 39
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
6. 27, 30 และ 144
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอย่างท่ี 6 จงหาจานวนเต็มบวกที่นอ้ ยที่สุดทีห่ ารด้วย 12, 15 และ 18 มเี ศษเหลอื เป็น 2
วธิ ีทา ให.้ .......เป็นจานวนเต็มบวกทีม่ ีคา่ น้อยทส่ี ุดที่หาร 12, 15 และ 18 แลว้ มีเศษเหลือเป็น 2
เน่อื งจาก........หารด้วย 12, 15 และ 18 แลว้ มีเศษเหลือเปน็ 2
ดังน้ัน สามารถเขยี น........ได้ในรปู
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(1)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(2)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(3)
จาก (1), (2) และ (3) แสดงวา่ .........................หารดว้ ย 12, 15 และ 18 ลงตัว
ฉะนัน้ ....................เป็นพหุคณู ของ 12, 15 และ 18
แต่........เป็นจานวนเตม็ บวกท่ีมคี ่านอ้ ยที่สดุ ท่ีหาร 12, 15 และ 18 แล้วมเี ศษเหลือเปน็ 2
แสดงวา่ .........................เปน็ ค.ร.น. ของ 12, 15 และ 18
เน่อื งจาก ค.ร.น. ของ 12, 15 และ 18 เทา่ กบั ..........................
ดังนัน้ ........................................................................................
........................................................................................
นัน่ คือ จานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยท่สี ุดทหี่ ารด้วย 12, 15 และ 18 มีเศษเหลอื 2 คือ..................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กลุ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 137
แบบฝึกเสรมิ เพิ่มความเขา้ ใจ
1. จงหาจานวนเต็มบวกทนี่ ้อยท่สี ดุ ที่หารดว้ ย 6, 8 และ 11 มเี ศษเหลือเปน็ 1
วิธีทา ให้........เป็นจานวนเต็มบวกทมี่ คี า่ นอ้ ยท่สี ุดทห่ี าร 6, 8 และ 11 แล้วมีเศษเหลือเปน็ 1
เนือ่ งจาก........หารดว้ ย 6, 8 และ 11 แล้วมีเศษเหลือเปน็ 1
ดงั นน้ั สามารถเขียน........ได้ในรปู
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(1)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(2)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(3)
จาก (1), (2) และ (3) แสดงวา่ .........................หารดว้ ย 6, 8 และ 11 ลงตัว
ฉะนั้น....................เปน็ พหุคูณของ 6, 8 และ 11
แต.่ .......เปน็ จานวนเตม็ บวกที่มีค่าน้อยท่ีสุดท่หี าร 6, 8 และ 11 แล้วมีเศษเหลือเปน็ 1
แสดงว่า.........................เป็น ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 11
เน่อื งจาก ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 11 เท่ากบั ..........................
ดงั น้ัน ........................................................................................
........................................................................................
น่นั คือ จานวนเตม็ บวกท่นี อ้ ยทสี่ ดุ ทีห่ ารด้วย 6, 8 และ 11 มีเศษเหลือ 1 คอื ..................
2. จงหาจานวนเตม็ บวกทน่ี ้อยทสี่ ุดทมี่ ากกวา่ 3 ซง่ึ หารด้วย 4, 6 และ 13 มเี ศษเหลอื เป็น 3
วธิ ที า ให้........เป็นจานวนเต็มบวกท่ีมคี ่าน้อยทีส่ ดุ ที่หาร 4, 6 และ 13 แลว้ มีเศษเหลือเป็น 3
เนือ่ งจาก........หารด้วย 4, 6 และ 13 แลว้ มเี ศษเหลือเปน็ 3
ดังนน้ั สามารถเขียน........ไดใ้ นรูป
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(1)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(2)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................(3)
จาก (1), (2) และ (3) แสดงว่า.........................หารดว้ ย 4, 6 และ 13 ลงตัว
ฉะนน้ั ....................เปน็ พหุคณู ของ 4, 6 และ 13
แต.่ .......เป็นจานวนเต็มบวกที่มีคา่ น้อยท่สี ุดที่หาร 4, 6 และ 13 แลว้ มเี ศษเหลอื เปน็ 3
แสดงว่า.........................เป็น ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 13
เนอ่ื งจาก ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 13 เท่ากับ..........................
ดังนั้น ........................................................................................
น่นั คอื จานวนเต็มบวกท่ีน้อยที่สุดที่หารด้วย 4, 6 และ 13 มเี ศษเหลอื 3 คอื ..................
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 138
3. จงหาจานวนเตม็ บวกท่นี ้อยทส่ี ุดทีห่ ารดว้ ย 5, 7 และ 9 แลว้ มเี ศษเหลือเท่ากนั
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
4. จงหาจานวนเตม็ บวกทน่ี อ้ ยทส่ี ดุ ที่หารด้วย 5, 7 และ 12 แลว้ มีเศษเหลอื เป็น 4, 6, และ 11 ตามลาดบั
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครูภัทรา ตันนลิ กุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 139
ตัวอย่างท่ี 7 ระฆัง 3 ใบ ถูกตคี ร้ังแรกพรอ้ มกันเม่ือเวลา 8.00 น. ระฆังใบท่ีหน่ึงจะถกู ตที ุก ๆ 4 ช่วั โมง
วิธีทา ระฆงั ใบท่ีสองจะถกู ตที กุ ๆ 6 ชั่วโมง และระฆงั ใบทส่ี ามจะถกู ตที กุ ๆ 8 ชั่วโมง ระฆงั ทั้งสามใบ
จะถกู ตีพร้อมกนั อีกคร้ังเมอื่ เวลาเท่าใด
ตัวอยา่ งท่ี 8 ระยะเวลาทร่ี ะฆงั ทง้ั สามใบจะถูกตีอีกคร้ังพร้อมกัน เท่ากบั ........................................................
วธิ ที า เน่ืองจาก............................................................................................................................ .........
แสดงว่า ระฆังท้ังสามใบจะถูกตพี รอ้ มกันอีกครัง้ เมื่อเวลาผา่ นไป................ชว่ั โมง
นน่ั คอื ระฆัง 3 ใบ ถูกตคี ร้ังแรกพร้อมกันเมอ่ื เวลา 8.00 น. และ ระฆงั ทง้ั สามใบจะถูกตีพร้อม
กันอีกครั้งเวลา...........................เชน่ กัน
นาฬกิ าสองเรอื นตงั้ เวลาปลุกไว้ทุก 25 นาที และ 40 นาที ตามลาดบั ถา้ นาฬิกาทงั้ สองปลกุ
พรอ้ มกนั เวลา 10.00 น. อยากทราบวา่ นาฬกิ าทั้งสองปลุกจะปลกุ พรอ้ มกนั คร้ังตอ่ ไปเวลาใด
นาฬิกาทง้ั สองปลุกจะปลุกพร้อมกันครั้งต่อไป คอื ......................................................................
เนื่องจาก.............................................................................................. .......................................
ซ่ึง......................................................................................................................... ......................
น่นั คือ นาฬิกาทั้งสองปลุกจะปลุกพรอ้ มกันคร้ังต่อไปเวลา.........................................................
แบบฝกึ เสรมิ เพิม่ ความเขา้ ใจ
1. รถโดยสารกรงุ เทพฯ – ยะลา ออกจากสถานีทุก ๆ 20 นาที ในขณะท่รี ถโดยสาร กรุงเทพฯ – ปตั ตานี ออก
จากสถานที ุก ๆ 25 นาที ถ้ารถโดยสารทงั้ สองสายออกจากสถานีพร้อมกนั เมอื่ เวลา 18.00 น. อยากทราบว่า
1) รถโดยสารทง้ั สองออกพรอ้ มกนั ทเ่ี วลา 12.00 น. และ 13.00 น.
2) หลังจากเวลา 8.00 น. รถโดยสารทัง้ สองสายจะออกพร้อมกนั ครงั้ ต่อไปในเวลาใด
วิธีทา 1) เวลาทีร่ ถโดยสารท้ังสองสายออกพร้อมกัน คือ เวลาที่พหุคณู ร่วมของ...................................
นนั่ คอื จะต้องหาเวลาท่พี หุคูณรว่ มของ...................................
เวลา 8.00 – 12.00 น คิดเปน็ ..........................ชว่ั โมง หรือ..........................นาที
เวลา 8.00 – 13.00 น คิดเป็น..........................ชัว่ โมง หรอื ..........................นาที
เน่ืองจาก........................แต.่ .....................ดงั นั้น....................................................................
ฉะนั้น รถโดยสารทง้ั สองสายออก............................................ที่เวลา 12.00 น.
เน่อื งจาก........................และ......................ดังน้นั ..................................................................
ฉะน้นั รถโดยสารทง้ั สองสายออก............................................ท่ีเวลา 13.00 น.
2) เวลาทร่ี ถโดยสารท้ังสองจะออกพร้อมกนั ครัง้ ต่อไปหลงั จากเวลา 8.00 น. คือ เวลาท่เี ป็น
พหคุ ณู รว่ มท่นี อ้ ยท่สี ุด หรือ......................................................................ซึง่ เท่ากบั ..............
คดิ เปน็ .....................ชัว่ โมง..................นาที จะตรงกบั เวลา............................น.
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 140
2. ชชู ีพมเี งินอยจู่ านวนหนงึ่ ถ้านาเงินน้ไี ปซอื้ หนงั สือราคาเล่มละ 45 บาท จะเหลอื เงนิ 8 บาท แต่ถ้านาเงนิ
จานวนนไ้ี ปซือ้ ปากการาคาดา้ มละ 20 บาท จะเหลอื เงิน 3 บาท จงหาว่าชชู พี มเี งินกบี่ าท
วิธที า ให้ชูชีพมีเงิน............บาท
ถ้าเงนิ จานวนน้ีซอื้ หนงั สอื ราคาเลม่ ละ 45 บาท จะเหลอื เงนิ 8 บาท
แสดงว่ามจี านวนเต็ม............ ซ่งึ ................................................................
................................................................(1)
ถ้านาเงินจานวนนี้ ซ้อื ปากกาดา้ มละ 20 บาท จะเหลอื เงนิ 3 บาท
แสดงว่ามจี านวนเต็ม............ ซึ่ง ................................................................
................................................................(2)
จาก (1) และ (2) จะได.้ ........................................ดังน้นั .................................
เนอื่ งจาก............เป็นจานวนเต็มบวก และ.............................มีคา่ นอ้ ยที่สุด เมือ่ ................
ดงั นน้ั .....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
เพราะฉะนั้น ชชู พี มเี งนิ นอ้ ยท่สี ดุ .....................บาท
ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวกคหู่ น่งึ ๆ มีความสัมพันธก์ นั ดังน้ี
ทฤษฎีบท 10 ถา้ a และ b เปน็ จานวนเตม็ บวก แลว้ ..........................................................
ตวั อย่างที่ 9 จานวนเต็มบวก x และ 28 มี ห.ร.ม. เป็น 4 และ ค.ร.น. เป็น 140 จงหาคา่ ของ x
วธิ ีทา จากทฤษฎบี ท 10 จะได้วา่ ...........................................................
ดงั นั้น ...........................................................
ตวั อยา่ งท่ี 10 จานวนเตม็ บวก y และ 96 มี ห.ร.ม. เป็น 12 และ ค.ร.น. เป็น 2016 จงหาค่าของ y
วธิ ีทา จากทฤษฎีบท 10 จะได้วา่ ...........................................................
ดังนัน้ ...........................................................
ครูครรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ทั รา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 รหสั วิชา ค31201 ห น้ า | 141
นอกจากน้ี ทฤษฎีบท 10 ยงั ใช้ชว่ ยในการหา ค.ร.น. ได้ดงั นี้
ตวั อยา่ งท่ี 11 จงหา ค.ร.น. ของ 72 และ 160
วธิ ที า จากทฤษฎบี ท 10 เราทราบวา่ ...........................................................
...........................................................
น่นั คือ ...........................................................
หาคา่ ของ (72, 160) โดยขั้นตอนวิธขี องยุคลิด
...........................................................
...........................................................
...........................................................
จะได้ ...........................................................
นัน่ คอื ...........................................................
ดงั นั้น ...........................................................
ตัวอยา่ งท่ี 12 จงหา ค.ร.น. ของ 30 และ 144
วิธีทา จากทฤษฎีบท 10 เราทราบวา่ ...........................................................
...........................................................
น่นั คือ ...........................................................
หาคา่ ของ (30, 144) โดยขัน้ ตอนวธิ ีของยุคลิด
...........................................................
...........................................................
...........................................................
จะได้ ...........................................................
นน่ั คอื ...........................................................
ดังน้ัน ...........................................................
ครคู รรชิต แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตนั นิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
เอกสารประกอบการจัดการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 รหัสวิชา ค31201 ห น้ า | 142
แบบฝกึ เสริมเพม่ิ ความเข้าใจ
1. ให้นกั เรียนเตมิ ตารางใหส้ มบูรณ์ เม่อื กาหนดให้ d และ c เปน็ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทเ่ี ปน็ บวกของ
จานวนเต็มบวก m และ n ตามลาดับ
ขอ้ m n d c
1) 15 27
2) 18 6 72
3) 45 9 270
4) -64 96
5) 32 -15 480
6) 8 1 216
7) -96 -216
8) -91 13 546
2. จงหาค่า x เมื่อ (x, 20) = 4 และ [x, 20] = 140
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. จงหา a, b ทุก ๆ คู่ที่ (a, b) = 10 และ [a, b] = 100
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
ครคู รรชติ แซโ่ ฮแ่ ละครภู ัทรา ตันนิลกุล โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
เอกสารประกอบการสอน ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2557 ฉบับนักเรียน
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search