เอกสารประกอบการสอนเสริม คณิตศาสตร์ สอวน.ค่าย 1 ประจำปี พ.ศ.2555-2562

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 15

คัดเลือกนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2558

5. กาหนดให้ a เป็นจานวนเตม็ บวก จงหา ห.ร.ม.ทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ้งั หมดของ 2(a2 1) กับ 3a

แนวคิด ถ้า a 1 จะได้ 2(a2 1)  0 และ 3a  3 ไม่มี ห.ร.ม.

ถา้ a  2 จะได้ 2(a2 1)  23 และ 3a  32 ฉะนั้น ห.ร.ม. คือ 6

ถ้า a  3 จะได้ 2(a2 1)  28 และ 3a  33 ฉะนน้ั ห.ร.ม. คอื 1

ถา้ a  4 จะได้ 2(a2 1)  215 และ 3a  34 ฉะนน้ั ห.ร.ม. คอื 6

ถ้า a  5 จะได้ 2(a2 1)  224 และ 3a  35 ฉะนน้ั ห.ร.ม. คือ 3

ถ้า a  6 จะได้ 2(a2 1)  235 และ 3a  36 ฉะน้ัน ห.ร.ม. คอื 2

ถ้า a  7 จะได้ 2(a2 1)  248 และ 3a  37 ฉะนั้น ห.ร.ม. คอื 3

ถ้า a  8 จะได้ 2(a2 1)  263 และ 3a  38 ฉะน้ัน ห.ร.ม. คือ 6

ถา้ a  9 จะได้ 2(a2 1)  280 และ 3a  39 ฉะน้นั ห.ร.ม. คอื 1

ดงั นนั้ ห.ร.ม.ท่ีเปน็ ไปได้ทัง้ หมดของ 2(a2 1) กบั 3a เท่ากับ 1,2,3,6
ตอบ 1, 2,3,6

6. เกมส์ชนดิ หน่งึ มีวิธีการเลน่ โดยใหเ้ ดนิ ขึ้นหรือลงบันไดตามเง่อื นไข ณ เวลา t ใด ๆ ดังนี้
ใหอ้ ยู่กบั ที่ ถ้า t หารดว้ ย 3 ลงตัว
ให้เดนิ ขนึ้ บันได้ 1 ขน้ั ถา้ t หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1
ใหเ้ ดนิ ลงบนั ได้ 1 ข้นั ถา้ t หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 2

และจะมีโบนัสพิเศษ ถ้า t เป็นจานวนเฉพาะ โดยจะให้เดินขึ้นบันไดได้อีก t ขั้น ถ้า ณ เวลา t  0
นายอนิรทุ ธยนื อย่บู ันไดขน้ั ท่ี 5 ถามว่า ณ เวลา t 10 นายอนริ ุทธจะอยู่ทีบ่ นั ไดขนั้ ที่เทา่ ใด
แนวคดิ เวลาt  0 หารด้วย 3 ลงตวั จะได้นายอนิรทุ ธยืนอยู่บันไดขนั้ ท่ี 5

เวลาt 1 หารดว้ ย 3 แลว้ เหลือเศษ 1 จะได้นายอนริ ุทธยนื อยู่บันไดข้ันที่51 6
เวลาt  2 หารด้วย 3 แล้วเหลอื เศษ 2 จะได้นายอนริ ุทธยืนอยู่บันไดขน้ั ท่ี 6 1 5

ไดโ้ บนัสพิเศษ เพราะ t  2 เปน็ จานวนเฉพาะ
ฉะนนั้ นายอนริ ทุ ธยนื อยู่บันไดขน้ั ท่ี 5 2  7
เวลาt  3 หารด้วย 3 ลงตวั จะได้นายอนิรุทธยืนอย่บู ันไดข้นั ท่ี 7
ได้โบนัสพเิ ศษ เพราะ t  3 เปน็ จานวนเฉพาะ
ฉะนั้น นายอนิรทุ ธยืนอยู่บันไดขัน้ ที่ 7 3 10
เวลาt  4 หารด้วย 3 แล้วเหลอื เศษ 1 จะได้นายอนริ ทุ ธยนื อยู่บันไดขน้ั ที่10 111
เวลาt  5 หารด้วย 3 แล้วเหลอื เศษ 2 จะไดน้ ายอนิรุทธยนื อยู่บันไดข้นั ที่11110
ได้โบนัสพิเศษ เพราะ t  5 เป็นจานวนเฉพาะ
ฉะนนั้ นายอนิรุทธยนื อยู่บนั ไดขน้ั ที่ 7 5 12
เวลาt  6 หารดว้ ย 3 ลงตัว จะได้นายอนริ ทุ ธยนื อยู่บันไดขัน้ ที่ 12
เวลาt  7 หารด้วย 3 แลว้ เหลอื เศษ 1จะได้นายอนริ ทุ ธยนื อยู่บนั ไดขน้ั ท่ี12 113
ไดโ้ บนสั พิเศษ เพราะ t  7 เปน็ จานวนเฉพาะ
ฉะน้นั นายอนิรุทธยืนอยู่บันไดข้ันท่ี 13 7  20
เวลาt  8 หารด้วย 3 แลว้ เหลือเศษ 2 จะได้นายอนริ ทุ ธยืนอยู่บนั ไดขัน้ ที่ 20 119

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 16

คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2558

เวลาt  9 หารดว้ ย 3 ลงตัว จะได้นายอนริ ุทธยนื อย่บู ันไดขนั้ ที่ 19

เวลา t 10หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1จะไดน้ ายอนิรุทธยืนอยูบ่ นั ไดข้ันท่ี19 1 20

ดังนั้น ณ เวลา t 10 นายอนิรทุ ธจะอยู่ทบี่ ันไดขั้นท่ี 20

ตอบ 20

7. ถา้ ตอ้ งการสร้างรปู สามเหลีย่ มดา้ นเท่าท่เี ท่ากันทุกประการ 4 รูป จะต้องใช้ลวดที่มีความยาวเท่ากับ a
อย่างน้อยท่ีสุดก่ีเส้น โดยมีเง่ือนไขว่า สามเหล่ียมด้านเท่าท่ีสร้างนั้นจะต้องมีความยาวด้านเท่ากับ a
และอนุญาตให้สามเหลี่ยมแต่ละรูปใช้ด้านร่วมกันได้ พร้อมทั้งแสดงการสร้างรูปน้ันโดยให้สอดคล้องกับ
จานวนลวดท่ใี ช้
แนวคดิ วาดรูป พบวา่ จะต้องใชล้ วดท่มี คี วามยาวเทา่ กับ a อย่างนอ้ ยที่สดุ 9 เส้น

ตอบ 9

8. จานวนที่มีสี่หลักจานวนหน่ึง โดยที่เลขโดดในหลักสิบ หลักร้อย และหลักพัน เท่ากัน แต่เลขโดดใน
หลกั สบิ มากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 3 และผลบวกของจานวนน้ีกับจานวนท่ีมีเลขโดดสลับหลักกัน
ระหว่างหลกั หนว่ ยกบั หลักสิบเป็น 15521 ให้หาจานวนสี่หลักนั้น ถ้านาจานวนน้ีไปสร้างรหัสตัวเลข 4
หลกั จะสร้างได้กร่ี หสั โดยถือว่าตัวเลขชุดเดียวกนั แตเ่ รียงลาดบั ตา่ งกันเป็นคนละรหสั กัน
แนวคดิ ให้ aaab เปน็ จานวนทีม่ ีส่ีหลักจานวนหนึ่ง โดยทเี่ ลขโดดในหลักสิบ หลักรอ้ ย และ
หลักพัน เทา่ กนั จะได้ a b  3 และ

aaab

aaba

15521

ฉะนน้ั a  b 11 แกร้ ะบบสมการได้ a  7,b  4
นั่นคือจานวนทีม่ ีสหี่ ลักนี้ คอื 7774
ดังน้ัน ถ้านาจานวนนไ้ี ปสร้างรหัสตวั เลข 4 หลกั จะสร้างได้ 4 รหสั ไดแ้ ก่

7774,7747,7477, 4777

ตอบ 4

9. กาหนดให้ (x)n หมายถึง x ฐาน n ให้ A เป็นจานวนในระบบเลขฐานสิบทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ
A2  (120)3 A (1010001)2  (210)5 แล้วผลรวมของ A ในระบบเลขฐานเจด็ เป็นเท่าใด
แนวคดิ เนอื่ งจาก (120)3 15, (1010001)2  81 และ (210)5  55
ฉะนั้นจากโจทย์จะได้ A2 15A81 55

A2 15A  26  0

( A  2)( A 13)  0

A  2,13

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 17
คัดเลือกนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2558
จะไดว้ า่ ผลรวมของ A ในระบบเลขฐานสิบ เท่ากับ 15
ดงั นน้ั ผลรวมของ A ในระบบเลขฐานเจด็ เท่ากบั (21)7
ตอบ (21)7

10. พจิ ารณาชุดตัวเลขท่ีเรียงลาดบั ดงั นี้

1

23 4

567 8 9

10 11 12 13 14 15 16

จากชุดตัวเลขน้ันจะเห็นว่า 12 อยู่ในลาดับที่ 3 ของแถวที่ 4 จงหาว่า 2558 อยู่ในลาดับที่เท่าไร

ของแถวใด

แนวคดิ พิจารณา แถวท่ี 1 พบว่า 1 12

แถวท่ี 2 ตัวสุดทา้ ย พบวา่ 4  22

แถวท่ี 3 ตัวสดุ ทา้ ย พบว่า 9  32

แถวท่ี 4 ตวั สุดทา้ ย พบวา่ 16  42

แถวที่ 50 ตวั สดุ ทา้ ย พบวา่ 2500  502
ฉะนน้ั แถวท่ี 50 ตัวสุดทา้ ย คือ 2500
ดังนัน้ 2558 อย่ใู น ลาดบั ท่ี 58 แถวที่ 51
ตอบ ลาดบั ที่ 58 แถวที่ 51

11. กาหนดให้ S {n I  n  58, ห.ร.ม.ของ n และ 100 เท่ากับ 1} เมื่อ I  แทนเซตของจานวน

เตม็ บวก จงหาจานวนสมาชกิ ของเซต S
แนวคดิ เนือ่ งจาก 100  22 52 และ ห.ร.ม.ของ n และ 100 เท่ากบั 1

ฉะนั้น n ต้องไม่มี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ
พิจารณา n ทมี่ ี 2 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ 2,4,6,...,58 ซึง่ มี 29 จานวน

n ที่มี 5 เป็นตวั ประกอบ ได้แก่ 5,10,15,...,55 ซง่ึ มี 11 จานวน

และ n ท่มี ี 10 เป็นตวั ประกอบ ไดแ้ ก่ 10,20,30,40,50 ซง่ึ มี 5 จานวน
ดังนน้ั n ท่มี ี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ มจี านวนเทา่ กบั 29 115  35 จานวน
เพราะฉะนน้ั n ที่ไม่มี 2 และ 5 เป็นตัวประกอบ มจี านวนเทา่ กบั

58 35  23 จานวน
ตอบ 23

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 18

คัดเลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2558

12. รูปสามเหลีย่ ม ABC มี AB  BD  AC และ AD  CD ดงั รูป แล้ว BAC มขี นาดกอี่ งศา

A แนวคดิ จากรปู ให้ ABC  x จะได้

2x x ACD  ADC  x

และและได้อกี วา่

x 2x x ADB  ACD  CAD  x  x  2x
B DC
และ BAD  2x ฉะนั้น

x  2x  2x  180

5x  180

x  36

ดงั นัน้ BAC  2x  x  3x  3(36 ) 108

ตอบ 108

13. กาหนดให้  1 1  1  ...  1 และ  1  1  ...  1
2 3 1279 1280 1281 2558

จงหาค่า 1 1  1  ...  1 ทอ่ี ยใู่ นรูปของ และ
3 5 2557

แนวคิด

1  1  1  ...  1
3 5 2557

 1  1  1  ...  1    1  1  ...  1    1  1  1  ...  1 
2 3 1279 1280 1281 2558 2 4 6 2558

 1  1  1  ...  1    1  1  ...  1   1 1  1  1  ...  1 
2 3 1279 1280 1281 2558 2 2 3 1279

  1  2
2 2
ตอบ 2
2

14. กาหนดให้ x2  xy  y2 19 และ x  y  3 คา่ ของ x6  y6 เป็นเทา่ ใด

แนวคดิ จาก x y 3 จะได้ x2  2xy  y2  9

จากโจทย์ x2  xy  y2 19 ฉะนน้ั xy  10

แก้ระบบสมการ x  y  3 และ xy  10 จะได้ x  5, y  2

ดังนั้น x6  y6  (x3  y3)(x3  y3)

 (53  (2)3)(53  (2)3)

 (125  8)(125  8)  15561

ตอบ 15561

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 19

คดั เลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2558

15. ถ้าหารพหุนาม 3x3  (5k 1)x2  2x  4 และ 4x3 3x2  7x  k ต่างหารด้วย x  2 แล้วเหลือ

เศษเท่ากัน จานวนเต็ม m ท่ีน้อยท่ีสุดที่ทาให้สมการ mx2 8x  k  0 ไม่มีคาตอบเป็นจานวนจริง
เทา่ กับเทา่ ใด

แนวคดิ จากโจทย์จะได้ 3(2)3  (5k 1)(2)2  2(2)  4  4(2)3 3(2)2  7(2)  k

จะได้ k  6
19
เน่อื งจาก สมการ ax2  bx  c  0 ไมม่ ีคาตอบเป็นจานวนจรงิ เมอื่ b2  4ac  0

ฉะนนั้ สมการ mx2 8x  k  0 ไม่มคี าตอบเป็นจานวนจริง เมอื่ 82  4mk  0

จะไดว้ า่ 82  4m( 6 )  0 นัน่ คอื m  64 19  50.666...
19 24

ดังน้ัน จานวนเต็ม m ทนี่ อ้ ยท่ีสุดทท่ี าใหส้ มการ mx2 8x  k  0 ไมม่ ีคาตอบเปน็

จานวนจรงิ เทา่ กับ 51

ตอบ 51

16. จานวนเต็มบวกสองจานวน มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 13 และมีตัวคูณร่วมน้อยเท่ากับ 2914 ถ้า
จานวนหนง่ึ คือ 94 แล้วอกี จานวนหนง่ึ เป็นเทา่ ใด
แนวคดิ ให้ อกี จานวนหนึ่งเป็น k
เนอ่ื งจาก ห.ร.ม.ของจานวนสองจานวน คณู ค.ร.น.ของจานวนสองจานวนนน้ั จะ

เทา่ กบั ผลคูณของจานวนสองจานวนน้นั

ฉะนน้ั (13)(2914)  (94)k จะได้ k  (13)(2914)  403
94

ดังนัน้ อีกจานวนหนงึ่ เปน็ 403

ตอบ 403

17. กาหนดให้ x เป็นจานวนเต็ม จงหาค่าจานวนเตม็ บวก n ที่น้อยทส่ี ดุ ท่ีทาให้
(x  2)(x  3)(x  6)(x  7)  n เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ สาหรบั ทุก ๆ จานวนเตม็ บวก x
แนวคดิ พิจารณา

(x  2)(x  3)(x  6)(x  7)  n  (x  2)(x  7)(x  3)(x  6)  n

 [x2  9x 14][x2  9x 18]  n

 [x2  9x 14][x2  9x 14  4]  n

 [x2  9x 14]2  4[x2  9x 14]  n

 [x2  9x 14]2  4[x2  9x 14]  4  4  n

 [x2  9x 14  2]2  4  n

 [x2  9x 16]2  4  n

จากโจทยต์ ้องการ (x  2)(x  3)(x  6)(x  7)  n เปน็ กาลังสองสมบูรณ์
ดงั น้ัน n  4
ตอบ 4

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 20

คดั เลอื กนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2558

18. กาหนดให้ p(2x2  x)  5x2  6x โดยที่ x  0 ค่าของ p(1)  p(3) เท่ากับเท่าใด
แนวคดิ จาก p(2x2  x)  5x2  6x

ต้องการหา p(1) ให้ 2x2  x 1 จะได้ (2x 1)(x 1)  0 นั่นคอื x  1 , 1
2

แต่ x  0 ฉะนน้ั x  1 ทาให้ได้วา่

p(1)  p(2(1)2  (1))  5(1)2  6(1)  11

ต้องการหา p(3) ให้ 2x2  x  3 จะได้ (2x  3)(x 1)  0 นน่ั คอื x   3 ,1
2

แต่ x0 ฉะนน้ั x   3 ทาให้ไดว้ า่
2

p(3)  p(2( 3)2  ( 3))  5( 3)2  6( 3)  45  18  81
2 2 2 2 424

ดงั น้ัน p(1)  p(3) 11 81  125  31.25

44

ตอบ 31.25

19. รายจา่ ยค่าน้าประปาของบา้ นผใู้ หญล่ ีแบง่ เปน็ 2 ส่วน คอื ส่วนหนึ่งเป็นค่าคงที่ อีกส่วนหน่ึงจะแปรผัน

ตามจานวนคนในหมู่บ้าน ถ้าเดือนใดมีคนอยู่บ้านคนเดียวจะจ่ายค่าน้ารวม 63 บาท ถ้าเดือนใดมีคน

อยู่บ้าน 6 คน จะจ่ายค่าน้ารวม 218 บาท อยากทราบว่าถ้ามีคนในบ้าน 4 คน คลอดเดือนน้ันแล้ว

จะต้องจ่ายค่าน้าประปาเป็นเงินเท่าใด

แนวคิด ให้ x แทนจานวนคนในหมบู่ า้ น และ y แทนค่าน้าประปาของบา้ นผู้ใหญ่ลี

จากโจทย์ จะมีจานวนจรงิ k1,k2 ทท่ี าให้ y  k1  k2x (1)
เนอ่ื งจาก x 1 จะได้ y  63 จะได้ 63  k1  k2

และจาก x  6 จะได้ y  218 จะได้ 218  k1  6k2 (2)

นา (2) – (1) ได้ 5k2 155 น่ันคือ k2  31

แทนค่า k2  31 ใน (1) จะได้ k1  32

ฉะน้นั y  32  31x

ดงั นัน้ ถา้ x  4 แล้ว y  32  31(4)  32 124 156

ตอบ 156

20. ผู้โดยสารรถประจาทางคันหน่ึงลงป้ายแรกเป็นจานวน 1 ของจานวนผู้โดยสารท้ังหมด และมี 4 คน
5

ข้นึ รถเพ่ิม เมื่อถงึ ปา้ ยท่สี องมผี ู้โดยสารลง 3 ของจานวนผู้โดยสารในรถและมีอีก 2 คนมาเพ่ิมทาให้มี
4

ผ้โู ดยสารในรถทง้ั หมด 10 คน จานวนผู้โดยสารกอ่ นถึงปา้ ยแรกมกี คี่ น

แนวคดิ ใหจ้ านวนผโู้ ดยสารกอ่ นถึงป้ายแรกมี x คน

จากโจทย์จะได้ (x  1 x  4)  3 (x  1 x  4)  2  10
5 4 5

ดังนนั้ x  35

ตอบ จานวนผูโ้ ดยสารก่อนถึงป้ายแรกมี 35 คน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 21

คดั เลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2558

21. จานวนรูปสามเหลี่ยมที่แตกต่างกันทั้งหมด (ไม่มีสามเหล่ียมใดเท่ากันทุกประการ) ที่มีความยาวด้าน

เปน็ จานวนเตม็ และผลรวมของความยาวดา้ นทัง้ สามเปน็ 19 หนว่ ย มที ง้ั หมดก่รี ปู

แนวคดิ จากความร้ทู ี่วา่ จะสรา้ งรูปสามเหลี่ยมได้ เมือ่ ผลบวกของดา้ น 2 ดา้ นของรปู

สามเหล่ยี ม ต้องมคี ่ามากกว่าความยาวของด้านที่ 3 กล่าวคอื

ab  c
c b acb

bc  a

a

จากโจทย์ต้องการสร้างรูปสามเหล่ียมที่แตกต่างกันทั้งหมด (ไม่มีสามเหลี่ยมใดเท่ากัน
ทุกประการ) ที่มีความยาวด้านเป็นจานวนเต็มและผลรวมของความยาวด้านท้ังสาม
เปน็ 19 หน่วย นนั่ คอื a b  c 19 และได้วา่

1, 9, 9 2, 8, 9 3,8,8

4, 7,8 5, 7, 7 6, 6, 7

เพราะฉะน้ัน จานวนรูปสามเหล่ียมมีทง้ั หมด 6 รูป

ตอบ 6

22. ผลบวก 2558 พจน์แรกของลาดบั 1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,... มีคา่ เทา่ ใด

แนวคดิ พจิ ารณาลาดับ 1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...

พบวา่ พจน์ที่ 1 คอื 1

พจน์ที่ 3 1 2 คอื 1

พจน์ท่ี 6 1 2  3 คอื 1

พจนท์ ี่ 10 1 2  3 4 คอื 1

พจน์ที่ 15 1 2  3 4  5 คอื 1

พจนท์ ี่ 1 2  3  ...  n  n(n 1) คือ 1
2

ฉะนั้น พจนท์ ี่ 2558 พจิ ารณาไดจ้ าก 1 2  3  ...  n  n(n 1)  2558
2

นั่นคอื n(n 1)  5116

และพบว่า 7172  5112  5116 ดงั นัน้ n  71

เพราะฉะนนั้ ผลบวก 2558 พจน์แรกของลาดับ เทา่ กับ 71

ตอบ 71

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 22
คัดเลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2558

23. คา่ ของ (3 2558  4)(3 25582  3 (64)(2558) 16) เทา่ กับเทา่ ใด

แนวคดิ เน่อื งจาก (A  B)(A2  AB  B2 )  A3  B3 ฉะนัน้

( 3 2558  4)( 3 25582  3 (64)(2558) 16)  ( 3 2558  4)( 3 25582  3 (2558) 3 (64)  42 )

 ( 3 2558  4)( 3 25582  3 (2558)(4)  42 )

 ( 3 2558)3  43
 2558  64
 2494

ตอบ 2494

24. ในปี 2016 ฮ่องกงจะเป็นเจ้าภาพจัดการแข่งขัน IMO ถ้า I, M,O เป็นจานวนเต็มบวกที่แตกต่าง

กนั และมีผลคณู I M O  2016 แล้วผลรวมของ I  M O ท่ีมากทส่ี ดุ ที่เป็นไปได้เปน็ เท่าใด
แนวคดิ เนื่องจาก I  M O  2016 121008

และ I, M,O เป็นจานวนเต็มบวกที่แตกต่างกนั

จะได้ว่า จานวนเตม็ บวกท่แี ตกตา่ งกัน ได้แก่ 1, 2, 1008

ดงั นัน้ ผลรวมของ I  M  O ที่มากที่สุดทีเ่ ปน็ ไปได้ เทา่ กบั 1 2 1008 1011

ตอบ 1011

25. กาหนดให้ r, s,t เปน็ คาตอบของสมการ 8x3  2558x  2016  0

คา่ ของ (r  s)3  (s  t)3  (t  r)3 เทา่ กับเท่าใด

แนวคิด จากโจทย์พบว่า ผลบวกของคาตอบของสมการเปน็ 0 นนั่ คอื r  s t  0 ()

เนื่องจาก r, s,t เป็นคาตอบของสมการ 8x3  2558x  2016  0

จะไดว้ ่า 8r3  2558r  2016  0

8s3  2558s  2016  0

8t3  2558t  2016  0

นาท้ังสามสมการมารวมกนั ได้ 8(r3  s3  t3)  2558(r  s  t)  3(2016)  0

ฉะนนั้ r3  s3  t3  3(2016)  756
8

และจาก () จะได้ r  s  t, s  t  r, t  r  s

ดงั น้นั (r  s)3  (s  t)3  (t  r)3  (t)3  (r)3  (s)3  (t3  r3  s3)  756

ตอบ 756

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 23

คัดเลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2558

26. จากรูป สามเหล่ียมด้านเท่า DEF แนบในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC โดยท่ี F DB  30

อัตราสว่ นด้าน DF : AB เทา่ กบั เท่าใด

A แนวคดิ เนอ่ื งจาก DEF เปน็ รปู สามเหลี่ยมด้านเท่าทแ่ี นบใน

60๐ รปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ABC และ F DB  30 จะได้ว่า

30๐ 90๐ E BFD  90  AEF และ AFE  30
F90๐60๐ 60๐ ฉะนน้ั FD  (tan 60 )FB  3FB
60๐ 30๐
60๐ 60๐ และ FE  (cos30 )AF  3 AF
2

B DC 2FE  3AF

ดงั นัน้ FD  2FE  3FB  3AF

3FD  3(FB  AF)  3AB

เพราะฉะนัน้ DF : AB  3 :3 1: 3
ตอบ 3 : 3 หรือ 1: 3

27. ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี BAC  90 ลาก AD  BC ทาให้ BD และ CD ยาว 4
หน่วยและ 6 หนว่ ย ตามลาดบั จงหาพืน้ ที่ของรปู สามเหลี่ยม ABC

B แนวคิด จากรูป พบว่า ABC DAB DAC

4 และได้ว่า DB  DA
D DA DC

6 นัน่ คอื DA  24  2 6

ดงั นั้นพื้นทข่ี องรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากบั

A C 1  BC  AD  1 (10)(2 6)  10 6
2 2
ตอบ 10 6

28. กาหนดให้ a,b เป็นจานวนเต็มบวก และ 3x  2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของพหุนาม ax2 bx  a

อตั ราส่วนของ a :b เทา่ กบั เทา่ ใด
แนวคดิ ให้ mx  k เป็นอีกตวั ประกอบหนง่ึ ของพหนุ าม ax2 bx  a

เนื่องจาก 3x  2 เปน็ ตวั ประกอบหนงึ่ ของพหุนาม ax2 bx  a
จะได้ ax2  bx  a  (3x  2)(mx  k)  3mx2  (3k  2m)x  2k

เทยี บสัมประสิทธิ์จะได้วา่

a  3m,  b  3k  2m, a  2k

แทน m  a , k   a ใน b  2m  3k จะได้
3 2

b  2  a   3  a   2a  3a  13a
3 2 3 2 6

a 6
b 13

ดงั นั้น อัตราสว่ นของ a :b เท่ากับ 6:13
ตอบ 6 :13

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 24

คัดเลอื กนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2558

29. จากรปู ขนาดของ x  y เท่ากับเทา่ ใด

แนวคดิ จากรปู ลากเส้นเพม่ิ เตมิ ไดด้ ังรูป
จะได้

x  y 180  25 155

75๐ 80๐25๐ x ตอบ 155
y
x

75๐ 50๐ 50๐

30. กาหนดให้ x2  xy  y2  84 และ x  xy  y 14 ผลคณู ของ x และ y เป็นเทา่ ใด

แนวคดิ จาก x  xy  y 14 จะได้ x  y 14  xy

ฉะน้นั x2  2xy  y2 196  28 xy  xy

นั่นคอื x2  xy  y2 196  28 xy หรอื 84 196  28 xy

และได้ว่า xy  196 84  4 ฉะนั้น xy  16

28

ดังนั้น ผลคณู ของ x และ y เท่ากบั 16

ตอบ 16

31. สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ ให้ f (x)  2559x2559  2557x2557 ... 5x5  3x3  x  2015
ถา้ f (2558)  2557 แล้วคา่ ของ f (2558) เทา่ กับเท่าใด
แนวคิด จาก f (x)  2559x2559  25597x2557 ...  5x5  3x3  x  2015
และ f (2558)  2557 จะได้

f (2558)  2559(2558)2559  2557(2558)2557  ...  3(2558)3  (2558)  2015

2557  2559(2558)2559  2557(2558)2557  ...  3(2558)3  (2558)  2015

2557  [2559(2558)2559  2557(2558)2557  ...  3(2558)3  (2558)]  2015

542  2559(2558)2559  2557(2558)2557  ...  3(2558)3  (2558)

ดงั นน้ั

f (2558)  2559(2558)2559  25597(2558)2557  ...  3(2558)3  (2558)  2015

 542  2015

 1473

ตอบ 1473

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 25
คัดเลือกนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2558

32. ให้ x, y, z เปน็ จานวนจริงทไ่ี ม่เปน็ ศูนยแ์ ละแตกต่างกนั ท้ังหมดและ

x  y  z  x  y  z  x  y  z
zy x

แลว้ ค่าของ 2(x  y)(y  z)(z  x) เท่ากับเท่าใด

xyz

แนวคดิ ให้ x  y  z  x y z  x  y  z  k
z y x
จะได้
ฉะนนั้ x  y  zk  z, x  z  yk  y, y  z  xk  x

(x  y)  (x  z)  ( y  z)  (zk  z)  ( yk  y)  (xk  x)

2(x  y  z)  k(x  y  z)  (x  y  z)

นนั่ คอื k 1 และได้วา่ x  y  2z, x  z  2y, y  z  2x

ดงั นน้ั 2(x  y)( y  z)(z  x)  2(2z)(2 x)(2 y)  16
xyz xyz

ตอบ 16

33. ให้ f (x) | x  2 |  | x  4 |  | 2x 6 | สาหรับ 2  x  8 จงหาชว่ งของ x ที่ f (x)  0

แนวคิด จาก 2  x  8 แยกพิจารณาดงั น้ี
1) 2  x  3 จะได้ f (x) (x  2)  (x  4)  (2x  6)  2x  4  0

นั่นคอื 2  x  3
2) 3  x  4 จะได้ f (x) (x  2)  (x  4)  (2x  6)  2x 8  0

นน่ั คอื 3  x  4
3) 4  x  8 จะได้ f (x) (x  2)  (x  4)  (2x  6)  0

ดงั นน้ั ช่วงของ x ท่ี f (x)  0 คือ 2  x  4 หรือ (2,4)

ตอบ 2  x  4 หรอื (2, 4)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 1
คัดเลือกนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2559

ข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2559

ข้อสอบแบบเติมเฉพาะคาตอบ จานวน 35 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 105 คะแนน

1. สาหรบั จานวนจริง x ให้ f (x)  min{5x  2, x 3,3x 1} ค่าสูงสุดของฟงั กช์ นั f เท่ากับเท่าใด

2. การจัดงานเลี้ยงแห่งหน่ึงเจ้าของงานกับผู้รับจ้างจัดงานได้ตกลงราคาและจานวนคนท่ีจะเข้าร่วมงานไว้
จานวนหนึ่ง โดยผู้ร่วมงานจะต้องซื้อบัตร แต่ราคาบัตรจะเพ่ิมขึ้นหรือลดลงได้อีกข้ึนกับจานวนคนท่ีมา
ร่วมงาน ถ้าจานวนผู้เข้าร่วมงานน้อยกว่าจานวนท่ีตกลงไว้อยู่ 10 คน แต่ละคนจะต้องจ่ายเพิ่มคนละ
20 บาท แต่ถ้ามีผู้มาร่วมงานมากกว่าจานวนท่ีตกลงไว้อีก 30 คน แต่ละคนจะต้องจ่ายน้อยกว่าเดิม
คนละ 30 บาท ใหห้ าจานวนคน และราคาของบัตรทต่ี กลงไวต้ อนแรก

3. ให้ a,b เป็นจานวนจรงิ บวก และสาหรบั จานวนจริง x ใด ๆ ให้ f (x)  ax2 bx  5
ถ้า f ( f (5))   5 และ f (5)  0 แลว้ คา่ ของ (5a  b)2 มีค่าเท่ากับเทา่ ใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 2

คัดเลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

4. ถ้า a เปน็ จานวนเต็มบวก ทีส่ อดคล้องกบั อสมการ

a 1 2sec30 tan 45  cos30 sin30  4cot2 45  a แล้ว a มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

5. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลีย่ ม AD ต้งั ฉากกบั BC และ E เป็นจุดบน AD โดยที่ AB 10 2
และ AC 12 ดงั รปู แล้ว BE2  EC2 มคี า่ เท่ากบั เท่าใด

6. กาหนดให้วงกลม A และ B มีรัศมีเท่ากับ 8 และ 10 หน่วยตามลาดับ วงกลมท้ังสองสัมผัสเส้นตรง
XY และถ้า C เปน็ จุดสัมผัสของวงกลมท้ังสองดังรปู ระยะหา่ งระหวา่ ง C กบั เสน้ สัมผัส XY เท่ากับ
เทา่ ใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 3
คัดเลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559
7. ค่า (1001)(1003)(1005)(1007) 16 10032 เท่ากบั เทา่ ใด

8. มีชัยเตรียมสอบเก็บคะแนนวิชาคอมบินาทอริกครั้งสุดท้ายของค่ายสอนเสริมโครงการโอลิมปิกวิชาการ
ถ้ามีชัยทาคะแนนคร้ังสุดท้ายได้ 23 คะแนน ค่าเฉลี่ยของคะแนนของเขาจะเท่ากับ 13 คะแนน แต่ถ้า
เขาสอบครั้งสุดท้ายได้ 11 คะแนน ค่าเฉลี่ยของคะแนนของเขาจะเป็น 11 คะแนน มีชัยสอบเก็บ
คะแนนวชิ านีม้ าแล้วท้ังหมดกคี่ รั้ง

9. ถา้ m 1 เป็นค่าคงตัวที่ทาให้เส้นตรง 3 เส้น คอื y  mx  4, mx  y  3 และ x  my  3
มจี ุดตดั รว่ มกนั เพียงจุดเดียวเท่าน้ัน แลว้ m มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 4

คดั เลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2559

10. หมู่บ้านรวยเร็ว อยู่ห่างจากหมู่บ้านจนช้าเป็นระยะทาง 20 กิโลเมตร ถ้าอยากรวยเดินจากหมู่บ้าน

รวยเร็วไปหมบู่ า้ นจนชา้ โดยเดนิ ใน 10 กโิ ลเมตรแรก ด้วยอัตราเร็ว 9 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเดินใน

10 กิโลเมตรหลัง ด้วยอัตราเร็ว 7 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง อัตราเร็วเฉล่ียที่อยากรวยใช้ในการเดินจาก

หมบู่ า้ นรวยเร็วไปหมบู่ า้ นจนชา้ เท่ากับเทา่ ใด

11. กาหนดให้ n เปน็ จานวนเตม็ บวกค่ี และ n3  n  25 357 แล้ว n มคี ่าเทา่ กับเท่าใด

12. ถา้ x  3 และ x  7 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม f (x)  x3 3x2  ax  b แล้ว | a b | เท่ากับ
เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 5

คัดเลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มด้านเท่า มีดา้ น BC เป็นฐาน ยาวดา้ นละ 5 น้ิว ถา้ ต่อฐาน BC ออกไป

ทาง C ถึงจุด D ทาให้ ADC  30 ความยาวด้าน AD เท่ากบั เทา่ ใด

14. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวกท่ีสอดคล้องกับ a  b และ a b: a b : ab 1:5:18
ผลบวกของ a และ b เท่ากับเท่าใด

15. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ที่มีมุมภายใน ABC  60 , BAC  50 มีจุด O อยู่
ภายในรูปสามเหลี่ยมและอยู่ห่างจากจุด A จุด B และจุด C เป็นระยะทางเท่ากัน ขนาดของมุม
AOB เทา่ กับเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 6

คดั เลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

16. วงกลมสองวงมีรัศมี 2 เซนติเมตรเท่ากัน จุดศูนย์กลางของวงกลมแต่ละวงอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวง

หน่ึง ลากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางท้ังสองไปตัดเส้นรอบวงท่ีจุด A และ B เส้นรอบวงของวงกลมท้ัง

สองตดั กันทจี่ ดุ P และ Q รปู สีเ่ หลยี่ มทม่ี จี ดุ A, B, P และ Q เปน็ จุดยอดมพี น้ื ทเ่ี ท่ากบั เทา่ ใด

17. คอร์ด AB และคอร์ด CD อยู่บนวงกลม O มี OP และ OQ เป็นระยะห่างจากคอร์ด AB และคอร์ด CD
ตามลาดบั กาหนดให้ OP  AB  2a และ OQ  a ความยาวของคอรด์ CD เท่ากับเท่าใด

18. กาหนดให้ a, b, c เปน็ จานวนเต็มบวกทที่ าให้ 4  a  b  c

1 2  3

ค่าของ a  b  c เทา่ กบั เท่าใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 7

คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

19. กาหนดให้ N1, N2, N3,..., N2559 เปน็ จานวนเต็มบวกสามหลักท่ีมีค่าเฉล่ียในหลักหน่วย หลักสิบ และ

หลกั ร้อย เทา่ กบั 2.5, 5.9 และ 1.6 ตามลาดับ ค่าของ N1  N2  N3 ... N2559 เทา่ กับเท่าใด

2559

20. กาหนดให้ a, b เป็นจานวนเต็มบวกซง่ึ ab  a  b คา่ มากสดุ ของ a2  b2 เทา่ กับเท่าใด

2

21. ถ้า P(1,3) และ R(3,7) เป็นจุดในระนาบ และ Q(a,0) เป็นจุดบนแกน X ท่ีทาให้ระยะทาง
PQ  QR สั้นท่ีสดุ แล้วรปู สามเหลี่ยม PQR มพี ้ืนทีเ่ ทา่ กับเทา่ ใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 8
คัดเลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559

22. กาหนดให้ Hn  1  1  1  ...  1 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก ถ้า 5.187  H100  5.188 แล้ว
1 2 3 n

จานวนเตม็ ที่น้อยท่สี ดุ ท่มี ากกวา่ H1  H2  H3 ... H100 เทา่ กับเท่าใด

23. กาหนดให้ n เปน็ จานวนเต็มบวกทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ ทีท่ าให้
89  an (2)n  an1(2)n1 ... a1(2)  a0 โดยท่ี a0, a1, ..., an เปน็ 0 หรอื 1 เทา่ นน้ั

ค่าของ a0  a1  ... an  n เทา่ กบั เท่าใด

24. ถ้า เป็นจานวนจริงท่ีมากกว่า และ x2  1 7 แล้วค่าของ 1 เทา่ กับเท่าใด
x2 2 x
x 1 x 
x 1
x

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 9
คดั เลือกนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2559

25. ให้ a และ b เปน็ จานวนเตม็ บวกทีม่ ีค่าไมเ่ กิน 9 มเี ศษส่วนอยา่ งตา่ a ทมี่ ีค่ามากกว่า 3
b 5

แต่น้อยกว่า 5 ทัง้ หมดกี่จานวน อะไรบ้าง

7

26. ถ้า p และ q เป็นจานวนเต็มบวกท่ีมสี องหลัก โดยทแ่ี ตล่ ะหลักของ p และ q เป็นเลขทีแ่ ตกตา่ งกัน
ซ่ึงประกอบดว้ ย 2,4,6 และ 8 แลว้ ผลคณู ที่มากท่สี ดุ ของ p และ q เท่ากับเท่าใด

27. รูปดาวห้าแฉกบรรจุอยู่ในวงกลม ดังรูป ถ้า ADC  80 , BED  70 และรูปดาวห้าแฉกนี้สมมาตร
ตามแนวเส้นตรง AO ซ่งึ ผา่ นจดุ ศูนย์กลาง O แลว้ คา่ ของ a  2b 3c  4d 5e เท่ากับเท่าใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 10

คดั เลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

28. เขียนตัวอักษร PSU ที่สร้างจากคร่ึงวงกลมที่มีรัศมี r1,r2,r3 โดยที่ r1  r2  r3 ดังรูป ถ้ากาหนดให้
r1 1, r2  3, r3  4 แลว้ คา่ ของ L เทา่ กับเท่าใด

29. กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวก โดยท่ี m  n และสอดคลอ้ งอสมการ
(m2  n2)2  (m2  n2)2  2016 ค่าน้อยท่สี ุดของ m เท่ากบั เทา่ ใด

30. มีถาดทาน้าแขง็ ยนู ติ ทรงลกู บาศก์ 2 ถาด โดยถาดที่หนึ่งทาน้าแข็งท่ีมีความยาวด้านละ 2 เซนติเมตร
ได้ 12 ก้อน และถาดที่สองทาน้าแข็งได้ปริมาตรเป็น 2 เท่าของถาดแรก ถ้าถาดท่ีสองทาน้าแข็งได้
16 กอ้ น และได้กอ้ นน้าแข็งยาวด้านละ 3 3a เซนติเมตร แล้ว a เท่ากับเท่าใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 11

คดั เลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

31. กล่องใบหน่ึง มีลูกบอลสีแดง 30 ลูก สีน้าเงิน 20 ลูกและสีขาวจานวนหนึ่ง ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก

ออกจากกล่อง ความน่าจะเปน็ ท่ีหยิบได้ลูกบอลสีขาวเท่ากับ 4 ลูกบอลสีขาวในกล่องมีทั้งหมดเท่ากับ

9

เท่าใด

32. กาหนดให้ a,b,c,d เป็นเลขโดดในระบบฐานสิบ ที่ผลบวก aaaa10  bbb10  cc10  d10  2016
แลว้ คา่ ของ 4a 3b  2c  d เทา่ กับเท่าใด

33. วงกลมสองวงมี O และ O เป็นจุดศูนย์กลาง มีรัศมีเป็น 7 และ 15 หน่วยตามลาดับ ดังรูป จุด
ศนู ยก์ ลางท้งั สองห่างกัน 33 หนว่ ย ระยะทางจากจดุ O ไปยงั จุดตดั ระหวา่ งเสน้ เช่อื มจดุ ศูนย์กลางกับ
เสน้ สัมผัสรว่ ม PP เทา่ กบั เทา่ ใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 12
คดั เลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559

34. กาหนดให้ 3 x  7 แล้วค่าของ x2  2x 1  x2 8x 16 เท่ากบั เท่าใด
2 2

35. กาหนดให้ 2111  5m  k โดยท่ี m และ k เป็นจานวนเต็ม ถ้า 1 k  4 แล้วค่าของ k เท่ากับ
เท่าใด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 13
คัดเลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559

เฉลย : ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี ประจาปี 2559

ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
1. -2 2. 50, 80 3. 1/5 4. 6 5. 56
6. 80/9 7. 2002 8. 6 9. -1/7 10. 63/8
11. 15 12. 46 13. 5 3 14. 15 15. 140
16. 6 3 17. 4a 18. 12 19. 10 20. 45
21. 4.2 22. 424 23. 14 24. 2 3 25. 7
26. 5248 27. -100 28. 15 29. 6 30. 3 4
31. 40 32. 36 33. 10.5 34. 3 35. 3

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 14

คดั เลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

เฉลยแนวคิด ข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2559

ข้อสอบแบบเตมิ เฉพาะคาตอบ จานวน 35 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 105 คะแนน

1. สาหรบั จานวนจรงิ x ให้ f (x)  min{5x  2, x 3,3x 1} ค่าสงู สุดของฟงั ก์ชัน f เทา่ กับเทา่ ใด
แนวคดิ ให้ y1  5x  2, y2  x 3, y3  3x 1 จากน้นั วาดกราฟ จะไดด้ งั รปู

ซึ่งพบวา่ ค่าสงู สุดของฟงั ก์ชัน f จะเกดิ ข้นึ เมือ่ y2  y3

นั่นคือ x 3  3x 1 ฉะนนั้ x 1

ดังนัน้ คา่ สูงสุดของฟงั ก์ชนั f เท่ากับ y2  x 3 13  2

2. การจัดงานเล้ียงแห่งหนึ่งเจ้าของงานกับผู้รับจ้างจัดงานได้ตกลงราคาและจานวนคนที่จะเข้าร่วมงานไว้

จานวนหน่ึง โดยผู้ร่วมงานจะต้องซื้อบัตร แต่ราคาบัตรจะเพ่ิมขึ้นหรือลดลงได้อีกข้ึนกับจานวนคนที่มา

ร่วมงาน ถ้าจานวนผู้เข้าร่วมงานน้อยกว่าจานวนที่ตกลงไว้อยู่ 10 คน แต่ละคนจะต้องจ่ายเพิ่มคนละ

20 บาท แต่ถ้ามีผู้มาร่วมงานมากกว่าจานวนที่ตกลงไว้อีก 30 คน แต่ละคนจะต้องจ่ายน้อยกว่าเดิม

คนละ 30 บาท ใหห้ าจานวนคน และราคาของบัตรท่ีตกลงไวต้ อนแรก

แนวคดิ ให้จานวนคนทีร่ ว่ มงานมี x คน และราคาของบัตรมีราคา y บาทท่ตี กลงไวต้ อนแรก

สรา้ งตารางขอ้ มูลจากโจทย์ ไดด้ งั นี้

จานวนคน ราคา จานวนเงนิ (บาท)

xy xy

x 10 y  20 (x 10)( y  20)  xy  20x 10y  200

x  30 y  30 (x  30)( y  30)  xy  30x  30y  900

จากตารางจะไดว้ า่

20x 10y  200  0 หรอื 2x  y  20
30x  30y  900  0 x  y  30

แกร้ ะบบสมการได้ x  50 และ y  80

ดังนนั้ จานวนคนทรี่ ว่ มงานมี 50 คน และราคาของบตั รมีราคา 80 บาท

ตามทตี่ กลงไวต้ อนแรก

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 15

คดั เลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2559

3. ให้ a,b เปน็ จานวนจริงบวก และสาหรบั จานวนจริง x ใด ๆ ให้ f (x)  ax2 bx  5

ถา้ f ( f (5))   5 และ f (5)  0 แล้วค่าของ (5a  b)2 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด

แนวคดิ จาก f (x)  ax2 bx  5 จะได้ f (5)  25a 5b  5

ให้ f (5)  k จะได้ f (k)  f ( f (5))   5

นัน่ คอื ak2  bk  5   5 ฉะนัน้ k(ak b)  0

เนอ่ื งจาก k  f (5)  0 และ b   ดังน้นั k 0

a

ทาให้ได้ว่า 25a  5b  5  0 ฉะนั้น 5a  b  5
5

เพราะฉะนัน้ คา่ ของ (5a  b)2  ( 5 )2  1

55

4. ถา้ a เปน็ จานวนเตม็ บวก ที่สอดคลอ้ งกับอสมการ
a 1 2sec30 tan 45  cos30 sin30  4cot2 45  a แล้ว a มีค่าเท่ากบั เท่าใด
แนวคดิ พิจารณา

a 1  2sec30 tan 45  cos 30 sin 30  4 cot2 45  a

a 1  2( 2 )(1)  ( 3 )(1)  4(1)2  a
3 22

a 1 4 3  4  a
3 4

a 1  13 3  4  a
12

a  13 3  5  a 1
12

เพราะฉะนัน้ a  6

5. กาหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ ม AD ตง้ั ฉากกบั BC และ E เป็นจุดบน AD โดยที่ AB 10 2
และ AC 12 ดงั รปู แลว้ BE2  EC2 มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด
แนวคิด พจิ ารณารูป ABD โดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้
AD2  AB2  BD2  (10 2)2  BD2 (1)

พิจารณารปู ACD โดยทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้
AD2  AC2  CD2  (12)2  CD2 (2)

จาก (1) และ (2) จะได้
BD2  CD2  (10 2)2  (12)2  56 (3)

ดังน้ัน BE2  EC2  (BD2  DE2)  (ED2  DC2)  BD2  DC2  56

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 16

คดั เลือกนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

6. กาหนดให้วงกลม A และ B มีรัศมีเท่ากับ 8 และ 10 หน่วยตามลาดับ วงกลมทั้งสองสัมผัสเส้นตรง
XY และถา้ C เป็นจดุ สมั ผสั ของวงกลมทัง้ สองดังรปู ระยะห่างระหวา่ ง C กบั เสน้ สมั ผัส XY เท่ากับ
เทา่ ใด
แนวคิด จากรูปพบวา่ ARC AQB จะได้

RC  BQ  RC  2
AC AB 8 8 10

ฉะนั้น RC  8
9

ดงั นั้น CP  CR  RP  8  8  80

99

7. ค่า (1001)(1003)(1005)(1007) 16 10032 เทา่ กับเท่าใด
แนวคดิ ให้ x 1001 จะได้

(1001)(1003)(1005)(1007) 16 10032

 x(x  2)(x  4)(x  6) 16  (x  2)2

 x(x  6)(x  2)(x  4) 16  (x  2)2

 (x2  6x)(x2  6x  8) 16  (x  2)2

 (x2  6x)2  8(x2  6x) 16  (x  2)2

 (x2  6x)  42  (x  2)2
 (x2  6x)  4  (x2  4x  4)
 2x
 2002

8. มีชัยเตรียมสอบเก็บคะแนนวิชาคอมบินาทอริกครั้งสุดท้ายของค่ายสอนเสริมโครงการโอลิมปิกวิชาการ

ถ้ามีชัยทาคะแนนคร้ังสุดท้ายได้ 23 คะแนน ค่าเฉลี่ยของคะแนนของเขาจะเท่ากับ 13 คะแนน แต่ถ้า

เขาสอบคร้ังสุดท้ายได้ 11 คะแนน ค่าเฉลี่ยของคะแนนของเขาจะเป็น 11 คะแนน มีชัยสอบเก็บ

คะแนนวชิ านี้มาแลว้ ทงั้ หมดกี่ครง้ั

แนวคิด ใหม้ ีชยั สอบเกบ็ คะแนนวชิ าน้ีมาแลว้ ทัง้ หมด n คร้ัง

เนื่องจากมีชัยทาคะแนนคร้ังสุดท้ายได้ 23 คะแนน ค่าเฉลี่ยของคะแนนของ

เขาจะเท่ากบั 13 คะแนน จะได้

x1  x2  x3  ...  xn1  23  13  x1  x2  x3  ...  xn1  23  13n (1)
n

แต่ถ้าเขาสอบครั้งสุดท้ายได้ 11 คะแนน ค่าเฉล่ียของคะแนนของเขาจะเป็น

11 คะแนน จะได้

x1  x2  x3  ...  xn1 11  11  x1  x2  x3  ...  xn1 11  11n (2)
n

นา (1) – (2) จะได้ 2n 12 นัน่ คอื n  6

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 17
คดั เลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2559

9. ถ้า m 1 เปน็ คา่ คงตวั ท่ีทาใหเ้ ส้นตรง 3 เส้น คอื y  mx  4, mx  y  3 และ x  my  3
มีจดุ ตัดรว่ มกันเพียงจุดเดียวเทา่ น้ัน แลว้ m มีค่าเท่ากบั เท่าใด
แนวคดิ ให้ y  mx  4 (1)

mx  y  3 (2)

x  my  3 (3)

แทน (1) ใน (2) ได้ x   1 (4)
2m (5)

แทน mx   1 ใน (1) ได้ y  7
2 2

แทน (4) และ (5) ใน (3) ได้  1  7 m  3
2m 2

และไดว้ ่า 7m2  6m 1  0

(m 1)(7m 1)  0

m  1,  1
7

แต่ m 1 ฉะนนั้ m   1
7

10. หมู่บ้านรวยเร็ว อยู่ห่างจากหมู่บ้านจนช้าเป็นระยะทาง 20 กิโลเมตร ถ้าอยากรวยเดินจากหมู่บ้าน
รวยเรว็ ไปหมูบ่ ้านจนช้า โดยเดนิ ใน 10 กิโลเมตรแรก ด้วยอัตราเร็ว 9 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเดินใน
10 กิโลเมตรหลัง ด้วยอัตราเร็ว 7 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง อัตราเร็วเฉล่ียท่ีอยากรวยใช้ในการเดินจาก
หมูบ่ า้ นรวยเร็วไปหมู่บา้ นจนช้า เทา่ กบั เท่าใด
แนวคดิ เนอ่ื งจาก อยากรวยเดนิ ใน 10 กโิ ลเมตรแรก ดว้ ยอตั ราเรว็ 9 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง

ฉะนน้ั อยากรวยเดินใช้เวลา 10 ช่วั โมง

9

และ อยากรวยเดินใน 10 กิโลเมตรหลงั ดว้ ยอตั ราเรว็ 7 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง

ฉะนั้น อยากรวยเดินใชเ้ วลา 10 ช่วั โมง

7

เพราะฉะน้ัน อยากรวยเดนิ ใชเ้ วลาทง้ั หมด 10  10  160 ช่ัวโมง

9 7 63

ดงั นั้น อัตราเรว็ เฉล่ยี ท่ีอยากรวยใชใ้ นการเดนิ 20  2063  63 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง

160 160 8

63

11. กาหนดให้ n เปน็ จานวนเต็มบวกค่ี และ n3  n  25 357 แลว้ n มีค่าเทา่ กับเท่าใด

แนวคดิ พิจารณา n3  n  n(n2 1)  (n 1)n(n 1)

ฉะนัน้ (n 1)n(n 1)  25 357

ดงั น้นั (n 1)n(n 1) 14 15 16
n  15

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 18

คดั เลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

12. ถ้า x  3 และ x  7 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม f (x)  x3 3x2  ax  b แล้ว | a b | เท่ากับ

เท่าใด

แนวคิด (1) จากโจทย์จะได้ f (x)  x3 3x2  ax  b  (x  3)(x  7)(x  k) โดยท่ี k 

ฉะน้ัน x3  3x2  ax  b  x3  4x2  21x  kx2  4kx  21k

เทียบสัมประสิทธจ์ิ ะได้ 3  4 k นนั่ คือ k 1

a  21 4k  25 น่นั คือ a  25

และ b  21k  21

ดังนั้น | a b |  | 25  (21) |  46

แนวคิด (2) เน่ืองจาก x  3 และ x  7 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม f (x)  x3 3x2  ax  b

จะได้ f (3)  0 และ f (7)  0

ฉะน้นั 27  27  3a  b  0 และ 343147  7a  b  0

แก้สมการได้ a  25 และ b  21

ดังน้นั | a b |  | 25  (21) |  46

13. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมด้านเท่า มดี า้ น BC เป็นฐาน ยาวด้านละ 5 น้ิว ถา้ ตอ่ ฐาน BC ออกไป

ทาง C ถึงจุด D ทาให้ ADC  30 ความยาวดา้ น AD เทา่ กบั เทา่ ใด
แนวคิด จากโจทย์วาดรูปได้ดังนี้

จากรปู พบวา่ ABD เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
จะได้ AD2  BD2  AB2 102  52  75 ดงั นนั้ AD  75  5 3

14. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวกท่ีสอดคล้องกับ a  b และ a b: a b : ab 1:5:18
ผลบวกของ a และ b เทา่ กบั เทา่ ใด
แนวคดิ จาก a b : a b : ab 1:5:18 จะมจี านวนจริง k ที่ทาให้

a  b  1k (1)

a  b  5k (2)

ab  18k (3)

นา (1) + (2); 2a  6k ฉะนั้น a  3k

นา (2) - (1); 2b  4k ฉะนั้น b  2k

จาก (3); (3k)(2k) 18k ฉะนั้น k  3

ดงั น้ัน a  b  5k  5(3) 15

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 19

คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2559

15. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ท่ีมีมุมภายใน ABC  60 , BAC  50 มีจุด O อยู่

ภายในรูปสามเหล่ียมและอยู่ห่างจากจุด A จุด B และจุด C เป็นระยะทางเท่ากัน ขนาดของมุม

AOB เท่ากบั เทา่ ใด
แนวคิด จากโจทย์วาดรปู ไดด้ ังนี้

จากรูปจะได้ OA  OB  OC เปน็ รศั มขี องวงกลมทีล่ อ้ มรอบรปู สามเหลยี่ ม
ดังน้ันจากทฤษฎีบทวงกลม จะได้วา่ AOB  2ACB  2(70 ) 140

16. วงกลมสองวงมีรัศมี 2 เซนติเมตรเท่ากัน จุดศูนย์กลางของวงกลมแต่ละวงอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวง

หน่ึง ลากเส้นเช่ือมจุดศูนย์กลางทั้งสองไปตัดเส้นรอบวงที่จุด A และ B เส้นรอบวงของวงกลมทั้ง

สองตัดกันทจ่ี ดุ P และ Q รปู สเ่ี หลย่ี มที่มจี ดุ A, B, P และ Q เปน็ จุดยอดมพี ้นื ทีเ่ ท่ากบั เทา่ ใด

แนวคิด จากโจทย์วาดรูปไดด้ งั น้ี

P ลากเสน้ เชื่อมจดุ ศนู ยก์ ลางทัง้ สองไปยงั จุด P

22 ท่จี ดุ P สรา้ งเสน้ ตั้งฉากบน AB

 A B จากรูป ส่วนสูงของรูป ABP  22 12  3
11 และ AB  6

Q ดังนัน้ รปู ส่ีเหล่ียมที่มีจุด A, B, P และ Q เป็นจุดยอด

มพี น้ื ทีเ่ ทา่ กบั 2  ( 1  6 3)  6 3 ตร.ซม.
2

17. คอร์ด AB และคอร์ด CD อยู่บนวงกลม O มี OP และ OQ เป็นระยะห่างจากคอร์ด AB และคอร์ด CD

ตามลาดบั กาหนดให้ OP  AB  2a และ OQ  a ความยาวของคอรด์ CD เท่ากับเท่าใด

แนวคิด จากโจทย์วาดรปู ไดด้ งั น้ี

B จากรปู OA2  (2a)2  a2  5a2
เนื่องจาก OA  OC ฉะนัน้ OC2  5a2
Pa D และไดอ้ กี ว่า OC2  OQ2  QC2
Q
a 5a2  a2  QC 2
2a
A QC2  4a2
Oa

C QC  2a

ดังน้ันความยาวของคอร์ด CD เทา่ กับ 2(2a)  4a

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 20
คดั เลอื กนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
18. กาหนดให้ a, b, c เปน็ จานวนเต็มบวกทีท่ าให้ 4  a  b  c ประจาปี 2559

1 2  3

คา่ ของ a  b  c เทา่ กบั เทา่ ใด
แนวคิด พจิ ารณา

4  4  (1 2)  3
1 2  3 (1 2)  3 (1 2)  3

 4(1 2  3)
(1 2)2  ( 3)2

 2(1 2  3)  2
22

 2 4 6

ดังนั้น a  b  c  2  4  6 12

19. กาหนดให้ N1, N2, N3,..., N2559 เป็นจานวนเต็มบวกสามหลักที่มีค่าเฉลี่ยในหลักหน่วย หลักสิบ และ

หลกั ร้อย เท่ากบั 2.5, 5.9 และ 1.6 ตามลาดับ ค่าของ N1  N2  N3  ...  N2559 เท่ากบั เทา่ ใด
2559

แนวคดิ เน่ืองจาก N1, N2, N3,..., N2559 เปน็ จานวนเต็มบวกสามหลัก

จึงสมมตวิ า่ N1  a1b1c1, N2  a2b2c2, N3  a3b3c3, ..., N2559  a2559b2559c2559

โดยที่ ai , bi , ci (i 1, 2,3,..., 2559) เปน็ เลขโดด

และจาก N1, N2, N3,..., N2559 เปน็ จานวนเต็มบวกสามหลกั ทีม่ ีค่าเฉลยี่ ในหลักหนว่ ย

หลักสิบ และหลักร้อย เท่ากบั 2.5, 5.9 และ 1.6 ตามลาดบั จะได้ว่า

 a1  a2  a3  ...  a2559  102  1.6
 2559 

 b1  b2  b3  ...  b2559  101  5.9
 2559 

 c1  c2  c3  ...  c2559  100  2.5
 2559 

ดังนน้ั N1  N2  N3  ...  N2559  a1b1c1  a2b2c2  a3b3c3  ...  a2559b2559c2559
2559 2559

 a1b1c1  a2b2c2  a3b3c3  ...  a b c2559 2559 2559
2559

  a1  a2  a3  ...  a2559  102   b1  b2  b3  ...  b2559  101
 2559   2559 

  c1  c2  c3  ...  c2559  100
 2559 

 1.6  5.9  2.5

 10

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 21
คัดเลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2559

20. กาหนดให้ a, b เปน็ จานวนเต็มบวกซง่ึ ab  a  b คา่ มากสดุ ของ a2  b2 เท่ากับเท่าใด

2

แนวคิด จาก ab  a b จะได้ ab  2a  2b  0
2

a(b  2)  2(b  2)  4

(a  2)(b  2)  4

สร้างตาราง พจิ ารณา (a  2)(b  2)  4 เมือ่ a, b เป็นจานวนเตม็ บวก ไดด้ งั น้ี

a2 b2 a b a2  b2

143 6 45
4 32
224 3 45

416

ดงั นน้ั คา่ มากสดุ ของ a2  b2 เท่ากบั 45

21. ถ้า P(1,3) และ R(3,7) เป็นจุดในระนาบ และ Q(a,0) เป็นจุดบนแกน X ท่ีทาให้ระยะทาง
PQ  QR สัน้ ที่สดุ แลว้ รปู สามเหลีย่ ม PQR มีพน้ื ทเ่ี ท่ากับเท่าใด
แนวคิด เน่ืองจาก Q(a,0) เป็นจุดบนแกน X ท่ีทาให้ระยะทาง PQ  QR
ส้ันท่ีสุด จะได้ว่า S(1,3) เป็นจุดสะท้อนของ P(1,3) ที่มีแกน X
เป็นเสน้ สะท้อนและทาให้จุด S,Q, R อยูบ่ นเส้นตรงเดยี วกนั ดังรูป
จากรปู พบวา่ QSU RQT จะได้

3  a  a 1  a  1.6
7 3

ดังนน้ั รูปสามเหล่ียม PQR มีพ้ืนทเี่ ท่ากับ

พนื้ ที่ PVTR - พนื้ ท่ี PVQ - พน้ื ท่ี RQT

 1  (3  7)  2  1  0.6  3  1 1.4  7
2 2 2

 10  0.9  4.9

 4.2

22. กาหนดให้ Hn  1  1  1  ...  1 โดยท่ี n เปน็ จานวนเต็มบวก ถ้า 5.187  H100  5.188 แล้ว
1 2 3 n

จานวนเตม็ ทน่ี อ้ ยทส่ี ดุ ที่มากกวา่ H1  H2  H3 ... H100 เทา่ กับเทา่ ใด

แนวคิด พจิ ารณา

H1  H2  H3  ...  H100  (11)  (11  1 )  (11  1  13)  ...  (11  1  1  ...  1010)
2 2 2 3

 100  99  98  ...  2  1  100 101 i
1 23 99 100 i1 i

100  101 1 100  101  100 100  1 
i 1 i i 1 i i 1 i
101

i 1
       1   100

 101H100 100  101(5.188) 100  423.988

ดงั น้นั จานวนเตม็ ที่นอ้ ยทสี่ ุดทีม่ ากกวา่ H1  H2  H3 ... H100 เท่ากับ 424

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 22

คัดเลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2559

23. กาหนดให้ n เปน็ จานวนเต็มบวกท่นี ้อยทสี่ ดุ ทที่ าให้

89  an (2)n  an1(2)n1 ... a1(2)  a0 โดยท่ี a0, a1, ..., an เปน็ 0 หรอื 1 เทา่ น้ัน
คา่ ของ a0  a1  ... an  n เท่ากับเทา่ ใด
แนวคดิ พจิ ารณา

89  (2)(45) 1 หรอื 2 89 เศษ 1
45  (2)(22) 1  2 45 เศษ 1
 2 22 เศษ 0
22  (2)(11)  0  2 11 เศษ 1
11  (2)(5) 1  2 5
5  (2)(3) 1

3  (2)(1) 1  2 3 เศษ 1

1  (2)(1) 1  2 1 เศษ 1

1  (2)(0) 1  2 1 เศษ 1

นั่นคือ 89  (11111011)(2) และทาให้ได้วา่

89  1 (2)7 1 (2)6 1 (2)5 1 (2)4 1 (2)3

 0 (2)2 1 (2) 1 (2)0

ดงั นน้ั คา่ ของ a0  a1  ... an  n  111 ...1 7  14

7

24. ถา้ เป็นจานวนจริงทม่ี ากกว่า และ x2  1 7 แลว้ คา่ ของ 1 เทา่ กบั เทา่ ใด
x2 2 x
x 1  x 
x 1
x

แนวคิด ให้ x  1  k จะได้ว่า k  2 และ x2  1  k2 2
x2
x

และจากโจทย์ทาให้ได้วา่ k2 2  7
k2

2k2  7k  4  0

(k  4)(2k 1)  0

k  4,  1
2

แต่ k 2 ดังนน้ั k 4 นน่ั คือ x2  1  42  2  14
x2

และไดว้ า่ (x  1 )2  x2 2 1  14  2  12
x x2

เพราะฉะนนั้ x 1  12  2 3
x

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 23
คดั เลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559

25. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวกท่มี ีคา่ ไมเ่ กิน 9 มีเศษส่วนอยา่ งตา่ a ท่ีมีคา่ มากกวา่ 3
b 5

แต่น้อยกวา่ 5 ทัง้ หมดก่จี านวน อะไรบ้าง

7

แนวคดิ จากโจทย์ 1  a, b  9 และ 3a5
5b7

นา 35b คณู ตลอดจะได้วา่ 21b  35a  25b

ถา้ a 1 จะได้ 21b  35  25b ฉะนน้ั ไมม่ ี b

ถา้ a  2 จะได้ 21b  70  25b ฉะนั้น b  3

ถา้ a  3 จะได้ 21b 105  25b ฉะนน้ั ไม่มี b

ถา้ a  4 จะได้ 21b 140  25b ฉะนั้น b  6

ถ้า a  5 จะได้ 21b 174  25b ฉะนั้น b  8

ถ้า a  6 จะได้ 21b  210  25b ฉะน้นั b  9

ถ้า a  7 จะได้ 21b  245  25b ฉะนน้ั b 10,11

ถ้า a  8 จะได้ 21b  280  25b ฉะนนั้ b 12,13

ถา้ a  9 จะได้ 21b  315  25b ฉะนั้น b 13,14

ดังน้ัน เศษสว่ นอยา่ งตา่ a ได้แก่ 2,5, 7 , 7 , 8 , 9 , 9 ซึง่ มี 7 จานวน
b 3 8 10 11 13 13 14

26. ถา้ p และ q เป็นจานวนเต็มบวกทมี่ สี องหลัก โดยทีแ่ ต่ละหลักของ p และ q เป็นเลขท่แี ตกตา่ งกัน
ซึง่ ประกอบด้วย 2,4,6 และ 8 แลว้ ผลคูณทีม่ ากทสี่ ดุ ของ p และ q เทา่ กับเทา่ ใด
แนวคดิ จากโจทย์ ผลคูณที่มากทส่ี ดุ ของ p และ q ที่เปน็ ไปได้ คอื

86 42  3, 612

84 62  5, 208

82 64  5, 248

ดงั นัน้ ผลคณู ทมี่ ากท่ีสดุ ของ p และ q เทา่ กับ 5,248

27. รูปดาวห้าแฉกบรรจุอยู่ในวงกลม ดังรูป ถ้า ADC  80 , BED  70 และรูปดาวห้าแฉกน้ีสมมาตร

ตามแนวเสน้ ตรง AO ซง่ึ ผ่านจุดศนู ยก์ ลาง O แลว้ ค่าของ a  2b 3c  4d 5e เทา่ กบั เท่าใด

แนวคดิ เน่ืองจาก AO เป็นเส้นสมมาตรจะไดว้ า่ b  e, c  d

จากรูป ลาก ED, DC และ BC

a และได้ว่า ECD  b, ACB  d, BDC  e และ BEC  a

เน่ืองจาก BED  70 จะได้ a  e  70 (1)

และได้อกี ว่า b  c  d 110 (2)

d เนื่องจาก ADC  80 จะได้ d  e  80

eb แต่ b  e ฉะนั้น d  b  80 (3)

จาก (2) – (3) จะได้ c  30

และได้วา่ d  30 , e  50 , a  20 , b  50

ดังนน้ั a  2b 3c  4d 5e  100

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 24

คดั เลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2559

28. เขียนตัวอักษร PSU ที่สร้างจากครึ่งวงกลมท่ีมีรัศมี r1,r2,r3 โดยที่ r1  r2  r3 ดังรูป ถ้ากาหนดให้
r1 1, r2  3, r3  4 แล้วคา่ ของ L เท่ากับเทา่ ใด

1

33 4 4

16 8

แนวคดิ จากรูปจะได้ L 1 6 8 15

29. กาหนดให้ m และ n เปน็ จานวนเตม็ บวก โดยที่ m  n และสอดคล้องอสมการ

(m2  n2)2  (m2  n2)2  2016 ค่าน้อยทส่ี ุดของ m เท่ากับเท่าใด

แนวคิด พจิ ารณา (m2  n2 )2  (m2  n2 )2  2016

จะได้ m2  n2  504

หรอื m n  504  22.45

สร้างตารางพจิ าณา เม่ือ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวก โดยท่ี m  n ได้ดังน้ี

m n mn

23 1 23

12 2 24

8 3 24

6 4 24

จากตารางพบวา่ ค่าน้อยท่สี ุดของ m เทา่ กบั 6

30. มีถาดทานา้ แขง็ ยูนติ ทรงลูกบาศก์ 2 ถาด โดยถาดท่ีหนึ่งทาน้าแข็งท่ีมีความยาวด้านละ 2 เซนติเมตร

ได้ 12 ก้อน และถาดท่ีสองทาน้าแข็งได้ปริมาตรเป็น 2 เท่าของถาดแรก ถ้าถาดท่ีสองทาน้าแข็งได้

16 กอ้ น และไดก้ อ้ นน้าแข็งยาวดา้ นละ 3 3a เซนตเิ มตร แล้ว a เทา่ กบั เทา่ ใด

แนวคดิ ปริมาตรของนา้ แข็งในถาดที่หนง่ึ ท่มี ีความยาวด้านละ 2 เซนติเมตร จานวน 12 ก้อน

เทา่ กบั 23 12  96 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของนา้ แขง็ ในถาดทส่ี อง เทา่ กับ 296 192 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

เน่อื งจากถาดทีส่ องทาน้าแข็งได้ 16 กอ้ น และไดก้ ้อนน้าแข็งยาวด้านละ 3 3a

เซนติเมตร จะมีปรมิ าตรเทา่ กบั (3 3a)3 16 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

ฉะน้นั ( 3 3a)3 16  192

ดังน้นั a  3 4

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 25

คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2559

31. กล่องใบหนึ่ง มีลูกบอลสีแดง 30 ลูก สีน้าเงิน 20 ลูกและสีขาวจานวนหน่ึง ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก

ออกจากกล่อง ความนา่ จะเป็นทหี่ ยิบได้ลูกบอลสีขาวเท่ากับ 4 ลูกบอลสีขาวในกล่องมีท้ังหมดเท่ากับ

9

เท่าใด

แนวคดิ ใหล้ ูกบอลสขี าวในกล่องมีทัง้ หมด x ลกู
เนื่องจากสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูกออกจากกลอ่ ง ความน่าจะเป็นที่หยิบไดล้ กู

บอลสีขาวเทา่ กบั 4 จะได้ x x  4
50  9
9
แกส้ มการได้
x  40

ดังนัน้ ลกู บอลสีขาวในกล่องมีท้งั หมด 40 ลกู

32. กาหนดให้ a,b,c,d เป็นเลขโดดในระบบฐานสิบ ท่ีผลบวก aaaa10  bbb10  cc10  d10  2016
แลว้ คา่ ของ 4a 3b  2c  d เท่ากับเทา่ ใด
แนวคิด พจิ ารณา aaaa10  bbb10  cc10  d10  2016 โดยการหาผลบวกในแนวตง้ั จะได้

aaaa10

bbb10

cc10 

d10

2016

เนอื่ งจากผลลัพธ์มีหลักพนั เปน็ 2 ซงึ่ ไดจ้ ากการทด จงึ ได้ว่า a 1
และเน่ืองจากผลบวกของ a 1 และ b มผี ลลพั ธ์เปน็ 0 ซง่ึ ได้จากการทด
จึงไดว้ า่ b  8 และจากผลบวกของ a 1,b  8 และ c มผี ลลพั ธเ์ ปน็ 1
จงึ ไดว้ า่ c 1 และทาใหไ้ ด้วา่ d  6
ดงั นัน้ 4a  3b  2c  d  4(1)  3(8)  2(1)  6  36

33. วงกลมสองวงมี O และ O เป็นจุดศูนย์กลาง มีรัศมีเป็น 7 และ 15 หน่วยตามลาดับ ดังรูป จุด

ศูนยก์ ลางทัง้ สองหา่ งกนั 33 หน่วย ระยะทางจากจุด O ไปยงั จดุ ตัดระหว่างเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางกับ

เส้นสมั ผสั ร่วม PP เท่ากบั เท่าใด

แนวคิด ลาก OP และ OP สร้าง ON  ON

15 ได้ดังรูป จากโจทย์ต้องการหา OM
จากรูปพบว่า OMP OON

M จะได้วา่ OM  OO
7 OP ON

15 OM  33
N 7 22

ดงั นน้ั OM 10.5

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 26
คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2559

34. กาหนดให้ 3 x  7 แล้วคา่ ของ x2  2x 1  x2 8x 16 เทา่ กับเท่าใด
2 2
แนวคิด

x2  2x 1  x2  8x 16  (x 1)2  (x  4)2

 x 1  x  4

 (x 1)  (x  4), ( 3  x  7)
3 22

35. กาหนดให้ 2111  5m  k โดยท่ี m และ k เป็นจานวนเต็ม ถ้า 1 k  4 แล้วค่าของ k เท่ากับ
เท่าใด

แนวคิด เนอ่ื งจาก 24  5(3) 1

ฉะน้ัน  2108  (24)27  5(3) 1 27  5n 1 สาหรับบางจานวนเต็ม n

ดงั นน้ั 2111  2108  23  (5n 1)  23

 5(8n)  8

 5(8n) 1  3

 5m  3

โดยที่ m  8n 1

เพราะฉะน้ัน k  3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 1
คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560

ขอ้ สอบวชิ าคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2560

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบเตมิ คาตอบ จานวน 20 ข้อ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. ถ้านาลวดยาว 112 เมตร มาขึงเป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าโดยไม่มีการตัดทิ้ง และให้มีพื้นที่มากกว่า 720
ตารางเมตร แล้ว ช่วงของความยาวด้านของด้านทีย่ าวกว่าของรูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้ คอื ชว่ งใด

2. กาหนดให้ y  3x2  5 4x 5  x2 จานวนเต็ม x ที่ทาให้ y เป็นจานวนจริงบวกมีทั้งหมดกี่
จานวน

3. ถ้า bcx  3acy  3abz  0 แล้ว x2  9a2  7b2  5y2  4z2 11c2 มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด
a2 b2 c2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 2

คดั เลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

4. กาหนดรูปสามเหล่ียมด้านเท่ารูปหนึ่งแนบในวงกลม ซ่ึงมีรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสล้อมรอบวงกลมน้ัน ถ้าด้าน

ของรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ ัสยาว 6 หน่วย เสน้ รอบรปู ของสามเหลยี่ มด้านเทา่ ยาวเท่าใด

5. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน โดยมี E เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC ลาก DE และ F
เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน DE อัตราส่วนของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียม CDF ต่อพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียม ABCD
เทา่ กบั เท่าใด

6. นายธัชภูมินาสาร 3 ชนิด มาทาการทดลองทางเคมี คือ สาร A, B และ C โดยสารท้ัง 3 ชนิดจะถูก

กระตุ้นด้วยเวลาที่ต่างกันดังน้ี สาร A ทุก ๆ 6 ชั่วโมง สาร B ทุก ๆ 8 ชั่วโมง สาร C ทุก ๆ 9
ชวั่ โมง ถา้ นายธชั ภูมิ กระตนุ้ สารทงั้ 3 ชนดิ พร้อมกันในตอนเชา้ วนั จันทร์ เวลา 9.00 น. สารทั้ง 3 ชนิด
จะถูกกระตุ้น พรอ้ มกนั อกี ครั้งเม่ือเวลาใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 3
คดั เลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2560

7. ถ้า xy  y  x  1  12 และ x2  1  7 เมอ่ื x  0, y 1 แล้ว y2  1 มคี า่ เท่ากบั เท่าใด
x y xy x2 y2

8. ผลเฉลยท่เี ป็นบวกของสมการ 8x  5(2x)  4x1  2 มีค่าเท่าใด

9. ไอศกรมี โคนประกอบดว้ ยไอศกรมี 3 สคปู วางซ้อนกัน ไอศกรมี ลูกเล็กวางอยู่ด้านบนสุด และลูกใหญ่ 2
ลูกวางอยู่ด้านล่างบนตัวโคน ไอศกรีมทั้ง 3 ลูกมีลักษณะเป็นทรงกลม ไอศกรีมลูกใหญ่มีขนาดเท่ากัน
และถูกวางติดกันให้พ้นขอบโคนเพียงแค่คร่ึงลูกเท่าน้ัน (ขอบโคนอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของไอศกรีม
ลูกใหญ่พอดี) ไอศกรีมลูกเล็กถูกวางอย่างสมดุลอยู่บนไอศกรีมลูกใหญ่ทั้งสองและสามารถปิดด้วยผ่า
ครอบลักษณะคร่ึงวงกลมได้พอดีดังรูป ปริมาณแคลอรีของไอศกรีมลูกเล็กเท่ากับเท่าใด เมื่อกาหนด
ปริมาณแคลอรีของไอศกรีมปริมาตร 160 ml เท่ากับ 240 kacl และ ไอศกรีม 1 ml = 1 cm3
(คาตอบสามารถติดค่าของ  ได้)

60๐

12 cm.

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 4

คดั เลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

10. คณุ ครตู ้องการใหณ้ เดชเตมิ ตัวเลข 1 ถงึ 9 ลงในตารางขา้ งล่าง โดยมีเง่อื นไขว่า C

ผลคณู ของตัวเลขทงั้ หมดในแถวท่ี 1 เทา่ กบั 12 A
ผลคูณของตัวเลขทง้ั หมดในแถวที่ 2 เท่ากบั 112 B
ผลคณู ของตัวเลขทัง้ หมดในคอลมั น์ท่ี 1 เทา่ กับ 216

ผลคณู ของตัวเลขทงั้ หมดในคอลมั นท์ ี่ 2 เท่ากบั 12

แล้ว A B C มคี ่าเท่าใด

11. นายอนิรุทเขียนเลข 10 หลกั คอื 6ABCDEFGHI บนกระดานโดย A, B,C, D, E, F,G, H, I

เปน็ เลขโดด วนั ถัดไปมาดอู ีกครั้งพบวา่ เลข 6 ไดจ้ างหายไปเหลอื แต่ ABCDEFGHI ซงึ่ เปน็ เลข 9
หลัก ถ้าเลข ABCDEFGHI มีคา่ เป็น 0.04 เทา่ ของ 6ABCDEFGHI
แล้ว A B C  D  E  F G  H  I มคี า่ เทา่ ใด

12. กาหนดให้ a,b,c เป็นเลขโดด และ N 100a 10b  c เป็นจานวนเตม็ บวกท่สี อดคลอ้ งกับ
x หาร N ลงตวั ทกุ x {2,3,5,7} และ {a,b,c}{2,3,5,7}  

N ท่นี อ้ ยท่ีสุดมคี า่ เทา่ ใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 5

คดั เลือกนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

13. มรี ถบรรทกุ 5 คัน รถบรรทกุ ก. และ ข. บรรทุกของหนกั คันละ 4 ตนั รถบรรทุก ค. และ ง. บรรทุก

ของหนัก คนั ละ 5 ตัน ถ้ารถบรรทุก จ. บรรทุกของหนักมากกว่าค่าเฉลี่ยของน้าหนักที่บรรทุกของทุก

คนั อยู่ 1 ตัน แล้วรถบรรทกุ จ. บรรทุกของหนกั ก่ตี ัน

14. ห้องสมุดของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีหนังสือภาษาไทย 70% และหนังสือภาษาอังกฤษอยู่ 30% และ
90% ของหนังสือภาษาไทย และ 95% ของหนังสือภาษาอังกฤษ ไม่ใช่หนังสือคณิตศาสตร์ ถ้า
ห้องสมุดนี้มีหนังสือคณิตศาสตร์อยู่ 68 เล่ม แล้วห้องสมุดแห่งนี้มีหนังสือคณิตศาสตร์ที่เป็น
ภาษาอังกฤษทั้งหมดกีเ่ ลม่

15. กาหนดให้ N  20305070110130170
จานวนเฉพาะบวกทนี่ ้อยทสี่ ดุ ที่ไม่ใช่ตัวประกอบของ N มีคา่ เท่าใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 6

คัดเลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

16. กาหนดให้ x เป็นจานวนจริงทีส่ อดคล้องกับสมการ x100 100 แล้ว x50 มีคา่ เทา่ ใด

17. กาหนดกราฟ y  2x2  4x  4 ให้ใช้การแปลงทรงเรขาคณิต 2 คร้ัง ครั้งแรก เล่ือนขนานของ

กราฟไปทางซ้ายตามแนวแกน X 4 หน่วย ครั้งท่ีสอง สะท้อนกราฟท่ีได้จากครั้งแรก โดยมีเส้นตรง
y 1 เป็นเส้นสะทอ้ น ใหเ้ ขยี นสมการของกราฟที่ไดห้ ลงั จากการแปลงคร้ังที่สอง

18. กาหนดให้ m  0 ถ้าจุด (m,16) และ (7,m) อยู่บนเส้นตรงที่มีความชันเป็น m แล้ว m มีค่า
เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 7

คัดเลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

19. จากรูป คอร์ดสองเส้นขนานกนั และหา่ งกนั 1 หน่วย ถา้ คอรด์ เสน้ ยาว ยาว 8 หน่วย และคอร์ดเส้นส้ัน

ยาว 6 หน่วย แล้วพื้นท่ีของวงกลมเทา่ กบั เท่าใด

20. หลกั หน่วยของ 27(82560) คอื เลขใด

ตอนที่ 2 ขอ้ สอบแบบเตมิ คาตอบ จานวน 10 ขอ้ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. กาหนดให้ 3  x  3 ถ้า a คอื ค่าต่าสดุ ของ x2  9  x2 และ b คอื คา่ สงู สุดของ
x2  9  x2 แลว้ 4(a  b) มีคา่ เท่าใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 8
คัดเลือกนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
22. จากรปู ถา้ ABC  43 และ DEC  33 แล้ว DFC มคี ่าเทา่ ใด ประจาปี 2560

A DB

F

C

E

23. จานวนเตม็ บวกจานวนหน่งึ เมอื่ ลบด้วย 4 ผลลบจะเป็นกาลังสองสมบูรณ์ และเมื่อบวกด้วย 5 ผลบวก
ก็เป็นกาลงั สองสมบูรณเ์ ชน่ กนั จานวนเตม็ บวกทม่ี ากท่สี ุดท่สี อดคลอ้ งกับเง่ือนไขดงั กลา่ วมีคา่ ใด

24. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มที่มีความยาวดา้ นด้านละ 5,12 และ 13 หน่วย ตามลาดับ และ P เป็น

จุดภายในรูปสามเหลี่ยมนี้ D ท่ีน้อยท่ีสุดมีค่าเท่าใด เมื่อกาหนดให้ D  AP2  BP2 CP2 หรือ
D คือผลรวมของกาลงั สองของระยะทางจากจดุ P ไปยังจุดยอดทง้ั สามจุด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 9

คดั เลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

25. กาหนดให้ p(x) แทนพหนุ ามดกี รี 4 ถา้ p(2)  p(2)  p(3) 1 และ p(1)  p(1)  2

แล้ว p(0) มคี า่ เทา่ ใด

26. ใหห้ าช่วงคาตอบของอสมการ x  2  x 1

27. กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนเต็มบวกสองจานวน ถ้าหาร x 1 ด้วย 6 และ หาร y ด้วย 6
ตา่ งก็เหลือเศษเป็นจานวนคู่ ถ้าหาร x  4y ดว้ ย 6 แล้วผลบวกของเศษเหลือท้ังหมดท่ีเป็นไปได้มีค่า
เทา่ ใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 10

คัดเลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

28. ถ้า (10  9x  8x2 ...  2x8  x9)(20x20  21x21 ... 100x100)  a0  a1x  a2x2 ...  anxn
แล้ว a25  a60 มคี ่าเท่าใด

29. จากรปู กาหนดใหว้ งกลม C1,C2 และ C3 สัมผัสกบั เสน้ ตรง l โดยทว่ี งกลมท้งั สามสัมผสั กันดังรูป ถ้า
วงกลม C1 และวงกลม C2 มีรัศมีเท่ากันและ C3 มีรัศมีเท่ากับ 6 หน่วย ความยาวรอบรูปของ
วงกลม C1 มคี า่ เทา่ ใด

C1 C2
C3 l

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 11
คดั เลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
30. จากรูปทกี่ าหนดใหม้ ีสเี่ หลี่ยมเลก็ ๆ จานวน 20 รูป ประจาปี 2560

O YMP N

X

SAT

จานวนเส้นทางที่เกิดจากการเชื่อมต่อของเส้นทางย่อยจากจุดศูนย์กลางของส่ีเหลี่ยมหนึ่งไปยังอีก
ส่ีเหลี่ยมหน่ึงโดยเริ่มจากช่องเหลี่ยม O,Y,M, P, N ที่อยู่บนสุด ไปยังช่องสี่เหลี่ยม S, A,T ท่ีอยู่
ล่างสดุ มีทงั้ หมดกเี่ ส้นทางโดยมเี งอื่ นไขคอื ทุกเสน้ ทางจะตอ้ งผ่านชอ่ งสเ่ี หลี่ยม X และสี่เหลี่ยมสองรูป
จะมีเส้นเชื่อมเมอ่ื สเี่ หลย่ี มนน้ั จะต้องอยตู่ ่างแถวกนั และมีด้านหรอื จุดยอดมุมร่วมกนั เท่านั้น

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 12
คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560

เฉลย : ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2560

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ

1. (20,36) 2. 4 3. -13 4. 9 3 5. 1:8

6. 09.00 น. 7. 8 3 8. 1 9. 16 10. 14
12. 840 13. 5.75 14. 12 15. y=2(x+3)2+4
11. 7

16. 19 17. 10 18. -2 19. 25 20. 1

21. 49 22. 128 23. 20 24. 338/3 25. 2.5

26. เซตวา่ ง  27. 9 28. 4,345 29. 48 30. 175

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 13
คัดเลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560

เฉลยแนวคิด ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2560

ตอนท่ี 1 ขอ้ สอบแบบเติมคาตอบ จานวน 20 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. ถ้านาลวดยาว 112 เมตร มาขึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยไม่มีการตัดท้ิง และให้มีพื้นที่มากกว่า 720

ตารางเมตร แล้ว ช่วงของความยาวด้านของด้านทย่ี าวกวา่ ของรูปสเ่ี หล่ียมผนื ผา้ คือชว่ งใด

แนวคดิ ใหค้ วามยาวด้านของด้านยาวของรูปส่เี หลี่ยมผนื ผ้า ยาว x เมตร

และความยาวด้านของดา้ นกวา้ งของรปู สเี่ หลีย่ มผนื ผ้า ยาว y เมตร

จากโจทยจ์ ะได้ 2(x  y) 112 และ xy  720

ฉะนัน้ x  y  56 นัน่ คอื x  56  y

และจาก xy  720 จะได้ (56  y) y  720

y2  56 y  720  0

( y  20)( y  36)  0

ดังนัน้ y (20,36)
เพราะฉะนั้นชว่ งของความยาวด้านของด้านทีย่ าวกว่าของรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ คือ(20,36)

2. กาหนดให้ y  3x2  5 4x 5  x2 จานวนเต็ม x ที่ทาให้ y เป็นจานวนจริงบวกมีท้ังหมดกี่
จานวน

แนวคดิ จาก y  3x2  5  4x 5  x2 จะหา y ทเี่ ป็นจานวนจริงบวกได้ เมือ่

5 x2  0

x2 5  0

(x  5)(x  5)  0

ฉะนั้น x [ 5, 5]
พจิ ารณาคา่ x ทเ่ี ป็นจานวนเต็มใน [ 5, 5] จะได้ x{2,1,0,1,2}

และเมือ่ แทนค่า x แต่ละตัวในสมการ y  3x2  5  4x 5  x2
จะพบวา่ ทกุ x{2,0,1,2} จะทาให้ y เป็นจานวนจริงบวก ยกเว้น x  1 เพียง
ตวั เดียวท่ที าให้ y  0 ไม่เปน็ จานวนจริงบวก
เพราะฉะนน้ั จานวนเตม็ x ท่ที าให้ y เป็นจานวนจรงิ บวกมีทง้ั หมด 4 จานวน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา