เอกสารประกอบการสอนเสริม คณิตศาสตร์ สอวน.ค่าย 1 ประจำปี พ.ศ.2555-2562

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 14
คดั เลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560

3. ถา้ bcx  3acy  3abz  0 แลว้ x2  9a2  7b2  5y2  4z2 11c2 มีคา่ เท่ากบั เท่าใด
a2 b2 c2

แนวคดิ จาก bcx  3acy  3abz  0 จะได้

x  3y และ z  y
ab
cb

ดงั นัน้

x2  9a2  7b2  5 y2  4z2  11c 2   x 2  9  7  5 y 2  4  z 2 11
a2 b2 c2 a b  c

  3y 2  9  7  5  y 2  4  y 2 11
 b   b   b 

 9  y 2  9  7  5  y 2  4  y 2 11
 b   b   b 

 13

4. กาหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหน่ึงแนบในวงกลม ซ่ึงมีรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสล้อมรอบวงกลมน้ัน ถ้าด้าน
ของรปู สเ่ี หล่ียมจตั ุรัสยาว 6 หนว่ ย เส้นรอบรปู ของสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ยาวเท่าใด
แนวคิด จากโจทย์กาหนดรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ ABC แนบในวงกลม และมรี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรัส
DEFG ลอ้ มรอบวงกลมน้นั วาดรูปได้ดงั น้ี

D AE

H O I
r

BKC

GJF

ให้ O เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางวงกลม และ r เป็นรศั มวี งกลม ลาก OB,OC และ

OK  BC เนื่องจาก DEFG เป็นรปู สีเ่ หล่ียมจตั รุ สั ซึง่ ยาวดา้ นละ 6 หนว่ ย
ฉะนนั้ รัศมีวงกลม r  3
และจาก ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ และ BOK  COK

ฉะน้นั OBK  30 และโดยอัตราส่วนตรโี กณมิติ จะได้ cos OBK  BK
BO

นัน่ คือ cos 30  BK
BO

ดงั นัน้ BK  33 และไดอ้ กี วา่ BC  2BK  3 3
2

เพราะฉะนั้น เสน้ รอบรูปของสามเหลีย่ มด้านเท่ายาวเท่ากับ 3(3 3)  9 3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 15

คดั เลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน โดยมี E เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC ลาก DE และ F
เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน DE อัตราส่วนของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียม CDF ต่อพ้ืนท่ีรูปสี่เหล่ียม ABCD
เท่ากบั เทา่ ใด
แนวคดิ จากโจทย์วาดรูปได้ดังน้ี
A B กาหนดให้[ ABD]แทนพืน้ ที่รปู สามเหล่ยี ม ABD
และ [ ABCD] แทนพน้ื ท่ีรปู สี่เหล่ียม ABCD

ลาก FC และ BD จะได้ว่า
E [ CDF]  [ CEF] และ [ CDE]  [ BED]
F ฉะนัน้

[ CDE]  [ CDF] [ CEF]  2[ CDF]

DC

และ [ BCD]  [ CDE][ BED]  2[ CDE]  4[ CDF]

ดังนั้น [ ABCD]  2[ BCD]  8[ CDF]

เพราะฉะน้ัน อัตราส่วนของพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม DFC ต่อพ้ืนท่ีรูปสี่เหล่ียม ABCD
เทา่ กบั 1:8
6. นายธัชภูมินาสาร 3 ชนิด มาทาการทดลองทางเคมี คือ สาร A, B และ C โดยสารท้ัง 3 ชนิดจะถูก

กระตุ้นด้วยเวลาท่ีต่างกันดังนี้ สาร A ทุก ๆ 6 ช่ัวโมง สาร B ทุก ๆ 8 ชั่วโมง สาร C ทุก ๆ 9
ชั่วโมง ถ้านายธัชภูมิ กระตนุ้ สารทง้ั 3 ชนิดพรอ้ มกนั ในตอนเช้าวนั จันทร์ เวลา 9.00 น. สารท้ัง 3 ชนิด
จะถกู กระต้นุ พร้อมกันอกี ครั้งเม่ือเวลาใด
แนวคิด เนื่องจากนายธัชภมู ิ กระตนุ้ สารท้งั 3 ชนิดพรอ้ มกัน

ฉะนั้นหา ค.ร.น.ของ 6,8 และ 9 เท่ากบั 72

น่นั คือ นายธชั ภูมิ กระตนุ้ สารทั้ง 3 ชนิดพร้อมกัน ซึง่ สารทั้ง 3 ชนดิ จะถูกกระตุน้
พร้อมกันอีกครง้ั เม่ือเวลาผา่ นไป 72 ชัว่ โมง ซึง่ เท่ากบั 3 วัน
ดังน้ัน นายธัชภูมิ กระตนุ้ สารทง้ั 3 ชนดิ พร้อมกนั ในตอนเช้าวนั จันทร์ เวลา 9.00 น.
สารท้งั 3 ชนดิ จะถูกกระตนุ้ พรอ้ มกนั อีกคร้ังเมื่อ เวลา 9.00 น.

7. ถา้ xy  y  x  1  12 และ x2  1 7 เมอ่ื x  0, y 1 แล้ว y2  1 มีค่าเท่ากับเท่าใด
x y xy x2 y2

แนวคดิ จาก xy  y  x  1  12 จะได้ y( x  1x )  1 (x  1 )  12
x y xy y x

( y  1 )(x  1 )  12 (*)
y x

พจิ ารณา (x  1)2  x2 2 1  (x2  1 )  2
x x2 x2

และจาก x2  1 7 จะได้ (x  1)2  7  2  9
x2 x

เน่ืองจาก x  0 ฉะนั้น x  1  3
x

จาก (*) จะได้ y1 4 และ y2  1  (y  1 )2  2  42  2  14
y y2 y

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 16
คัดเลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2560

และ (y  1 )2  y2 2 1  (y2  1 )  2  14  2  12
y y2 y2

เนอื่ งจาก y 1 ฉะน้นั y  1  12  2 3
y

ดงั นัน้ y2  1  (y  1 )( y  1 )  4(2 3)  8 3
y2 y y

8. ผลเฉลยท่เี ปน็ บวกของสมการ 8x  5(2x)  4x1  2 มีคา่ เทา่ ใด
แนวคดิ จาก 8x  5(2x )  4x1  2 จะได้

23x  5(2x )  4  22x  2

23x  4  22x  5(2x )  2  0

ให้ k  2x จะได้ k3  4k2  5k  2  0

(k 1)(k 1)(k  2)  0

k  1, 2

ฉะน้ัน 2x 1 หรือ 2x  2 นั่นคือ x  0 หรือ x 1
ดังนน้ั ผลเฉลยทีเ่ ปน็ บวกของสมการ 8x  5(2x)  4x1  2 มีค่าเท่ากับ 1

9. ไอศกรมี โคนประกอบด้วยไอศกรมี 3 สคปู วางซอ้ นกัน ไอศกรีมลูกเล็กวางอยู่ด้านบนสุด และลูกใหญ่ 2
ลูกวางอยู่ด้านล่างบนตัวโคน ไอศกรีมท้ัง 3 ลูกมีลักษณะเป็นทรงกลม ไอศกรีมลูกใหญ่มีขนาดเท่ากัน
และถูกวางติดกันให้พ้นขอบโคนเพียงแค่คร่ึงลูกเท่าน้ัน (ขอบโคนอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของไอศกรีม

ลูกใหญ่พอดี) ไอศกรีมลูกเล็กถูกวางอย่างสมดุลอยู่บนไอศกรีมลูกใหญ่ทั้งสองและสามารถปิดด้วยผ่า

ครอบลักษณะครึ่งวงกลมได้พอดีดังรูป ปริมาณแคลอรีของไอศกรีมลูกเล็กเท่ากับเท่าใด เม่ือกาหนด
3
ปริมาณแคลอรีของไอศกรมี ปริมาตร 160 ml เท่ากับ 240 kacl และ ไอศกรีม 1 ml = 1 cm (คาตอบ

สามารถติดคา่ ของ  ได้)

E แนวคิด กาหนดสัญลักษณ์ดงั รปู พจิ ารณารูปสามเหลย่ี ม BCD
r
r โดยอตั ราส่วนตรโี กณมิติ จะได้

A 6–r 3 sin 60  CD นั่นคอื CD  6 3
BC
D 6 60๐ B
และ BD น่นั คือ
cos 60  BC BD  6

6 3 และไดอ้ กี วา่ DE  6
12 cm. ใหไ้ อศกรีมลูกเล็กทว่ี างอยดู่ ้านบนสดุ มีรศั มี r หนว่ ย

พิจารณารปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรัส

C จะได้ (r  3)2  (6  r)3  32
แก้สมการได้ r  2

ดังน้ัน ปรมิ าตรไอศกรีมลกู เล็กเทา่ กบั 4  r3  4  (2)3  32  3
33 3 cm

เพราะฉะนัน้ ปริมาณแคลอรขี องไอศกรีมลูกเล็กเทา่ กบั  32   240  16 kacl
3 160

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 17

คัดเลอื กนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

10. คณุ ครตู อ้ งการใหณ้ เดชเติมตัวเลข 1 ถงึ 9 ลงในตารางขา้ งลา่ ง โดยมีเงอ่ื นไขว่า C

ผลคูณของตัวเลขทัง้ หมดในแถวที่ 1 เทา่ กับ 12 A

ผลคณู ของตวั เลขทง้ั หมดในแถวที่ 2 เทา่ กบั 112 B

ผลคณู ของตัวเลขทัง้ หมดในคอลัมน์ที่ 1 เท่ากบั 216

ผลคณู ของตัวเลขทั้งหมดในคอลมั น์ท่ี 2 เทา่ กับ 12

แล้ว A B C มคี า่ เท่าใด

แนวคิด จากตารางกาหนดตวั แปรดังน้ี

DAE

BFG

HIC

เนอ่ื งจากคณุ ครตู อ้ งการใหณ้ เดชเติมตัวเลข 1 ถงึ 9 ลงในตาราง

และจาก ผลคณู ของตัวเลขทัง้ หมดในแถวที่ 1 เท่ากบั 12 จะได้ D A E 12

ฉะน้ัน D A E 134 หรือ D A E 126 (1)

และจาก ผลคูณของตวั เลขทงั้ หมดในคอลมั นท์ ่ี 2 เท่ากับ 12 จะได้ A F  I 12

ฉะนน้ั A F  I 134 หรอื A F  I 126 (2)

จาก (1) และ (2) พบว่า A 1

และจาก ผลคูณของตวั เลขทั้งหมดในแถวที่ 2 เทา่ กับ จะได้ B F G 112

ฉะนั้น B F G  278 (3)

และจากผลคูณของตวั เลขทั้งหมดในคอลัมนท์ ี่ 1 เท่ากบั 216 จะได้ D B H  216

ฉะนน้ั D B H  389 (4)

จาก (3) และ (4) พบวา่ B  8

จาก (1) และ (4) พบว่า D  3 และได้วา่ E  4 และ H  9

จาก (2) และ (3) พบวา่ F  2 และไดว้ ่า I  6 และ G  8

ฉะนัน้ C  5 ดงั น้ัน A B  C 18 5 14

11. นายอนริ ุทเขียนเลข 10 หลกั คอื 6ABCDEFGHI บนกระดานโดย A, B,C, D, E, F,G, H, I

เปน็ เลขโดด วันถัดไปมาดอู ีกครง้ั พบวา่ เลข 6 ได้จางหายไปเหลือแต่ ABCDEFGHI ซ่งึ เปน็ เลข 9

หลัก ถา้ เลข ABCDEFGHI มคี า่ เปน็ 0.04 เท่าของ 6ABCDEFGHI

แล้ว A B C  D  E  F G  H  I มีคา่ เท่าใด

แนวคิด จากโจทย์ ABCDEFGHI  0.04(6ABCDEFGHI) จะได้

100( ABCDEFGHI )  4(6ABCDEFGHI )

 4(6109  ABCDEFGHI )

 24109  4( ABCDEFGHI )

ฉะนน้ั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 18
คดั เลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2560

96( ABCDEFGHI)  24 109

ABCDEFGHI  24109
96

 0.25109

 250, 000, 000

ดงั นัน้ A B  C  D  E  F  G  H  I  2  5 0  0  0  0  0  0  0  7

12. กาหนดให้ a,b,c เปน็ เลขโดด และ N 100a 10b  c เปน็ จานวนเต็มบวกทส่ี อดคล้องกับ
x หาร N ลงตวั ทุก x {2,3,5,7} และ {a,b,c}{2,3,5,7}  

N ทน่ี อ้ ยที่สุดมคี า่ เทา่ ใด
แนวคิด เน่ืองจาก x หาร N ลงตัว ทุก x{2,3,5,7} ฉะน้ัน 2,3,5,7 เป็นตัวประกอบ

ของ N นัน่ คือ N  2357k  210k สาหรบั บางจานวนเตม็ บวก k
ถา้ k 1 จะได้ N  210 100(2) 10(1)  0

ฉะนัน้ a  2,b 1,c  0 แต่ {a,b,c}{2,3,5,7}  
ถา้ k  2 จะได้ N  420 100(4) 10(2)  0

ฉะนน้ั a  4,b  2,c  0 แต่ {a,b,c}{2,3,5,7}  
ถา้ k  3 จะได้ N  630 100(6) 10(3)  0

ฉะนัน้ a  6,b  3,c  0 แต่ {a,b,c}{2,3,5,7}  
ถา้ k  4 จะได้ N  840 100(8) 10(4)  0

ฉะนั้น a  8,b  4,c  0 และ {a,b,c}{2,3,5,7}  
ดงั น้นั N ท่ีนอ้ ยท่สี ดุ ทส่ี อดคล้องกับเง่ือนไขขา้ งตน้ มคี ่าเทา่ กบั 840

13. มีรถบรรทุก 5 คัน รถบรรทุก ก. และ ข. บรรทกุ ของหนกั คนั ละ 4 ตนั รถบรรทุก ค. และ ง. บรรทุก
ของหนกั คันละ 5 ตัน ถ้ารถบรรทุก จ. บรรทุกของหนักมากกว่าค่าเฉล่ียของน้าหนักท่ีบรรทุกของทุก
คนั อยู่ 1 ตัน แล้วรถบรรทกุ จ. บรรทุกของหนักก่ตี ัน
แนวคิด ให้รถบรรทกุ จ. บรรทุกของหนกั x ตนั
เนื่องจากรถบรรทุก จ. บรรทุกของหนักมากกว่าค่าเฉลี่ยของน้าหนักที่บรรทุกของทุก
คันอยู่ 1 ตัน จะได้

x  4  4  5 5  x 1
5

5x  18  x  5

4x  23

x  23  5.75
4

ดงั น้นั รถบรรทุก จ. บรรทกุ ของหนกั 5.75 ตัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 19

คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

14. ห้องสมุดของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีหนังสือภาษาไทย 70% และหนังสือภาษาอังกฤษอยู่ 30% และ
90% ของหนังสือภาษาไทย และ 95% ของหนังสือภาษาอังกฤษ ไม่ใช่หนังสือคณิตศาสตร์ ถ้า

ห้องสมุดนี้มีหนังสือคณิตศาสตร์อยู่ 68 เล่ม แล้วห้องสมุดแห่งนี้มีหนังสือคณิตศาสตร์ที่เป็น
ภาษาอังกฤษท้งั หมดกี่เล่ม

แนวคดิ เนอื่ งจาก 90% ของหนงั สือภาษาไทยไมใ่ ชห่ นงั สือคณิตศาสตร์
ฉะนน้ั 10% ของหนังสอื ภาษาไทยเป็นหนังสอื คณติ ศาสตร์
และหอ้ งสมุดมีหนังสือภาษาไทย 70% จะได้วา่ มหี นังสือภาษาไทยทเี่ ปน็ หนังสือ

คณิตศาสตร์อยู่ (10%)(70%)  7%

และจาก 95% ของหนงั สอื ภาษาองั กฤษไมใ่ ช่หนังสือคณติ ศาสตร์

ฉะนน้ั 5% ของหนังสอื ภาษาอังกฤษเป็นหนังสอื คณติ ศาสตร์

และหอ้ งสมุดมีหนังสือภาษาองั กฤษ 30% จะได้ว่ามีหนงั สือภาษาอังกฤษท่เี ปน็

หนังสือคณิตศาสตร์ อยู่ (5%)(30%) 1.5%

น่ันคือ มีหนงั สอื คณิตศาสตร์อย่ทู ้ังหมด 7%1.5%  8.5% ของหนงั สือทั้งหมด

และจากหอ้ งสมุดน้ีมีหนงั สือคณิตศาสตรอ์ ยู่ 68 เลม่ จะได้ห้องสมดุ นี้มีหนังสอื อยู่

ท้ังหมด 68100  800 เล่ม
8.5
เพราะฉะน้นั ห้องสมุดแหง่ นีม้ ีหนังสอื คณิตศาสตร์ทีเ่ ปน็ ภาษาอังกฤษทั้งหมด

800 1.5  12 เลม่
100

15. กาหนดให้ N  20305070110130170
จานวนเฉพาะบวกทนี่ ้อยทีส่ ุดทไ่ี ม่ใชต่ วั ประกอบของ N มคี า่ เท่าใด
แนวคิด จาก N  20305070110130170 จะได้

N  2 3 5 7111317 107

 2 3 5 7111317  (2 5)7

 28  3 58  7 111317

ดงั นน้ั จานวนเฉพาะบวกทนี่ ้อยท่สี ดุ ท่ไี ม่ใช่ตัวประกอบของ N มีคา่ เทา่ กบั 19

16. กาหนดให้ x เป็นจานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ x100 100 แลว้ x50 มีคา่ เท่าใด

แนวคดิ จาก x100  100 จะได้ (x50 )2  102

ฉะนนั้ x50  10

แต่ x50  0 ดงั นั้น x50 10

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 20
คดั เลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560

17. กาหนดกราฟ y  2x2  4x  4 ให้ใช้การแปลงทรงเรขาคณิต 2 ครั้ง ครั้งแรก เลื่อนขนานของ
กราฟไปทางซ้ายตามแนวแกน X 4 หน่วย ครั้งที่สอง สะท้อนกราฟที่ได้จากคร้ังแรก โดยมีเส้นตรง
y 1 เป็นเส้นสะท้อน ให้เขยี นสมการของกราฟทีไ่ ด้หลงั จากการแปลงครั้งทสี่ อง

แนวคิด จาก y  2x2  4x  4 จัดใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบรู ณจ์ ะได้

y  2(x2  2x 1)  2

 2(x 1)2  2

ฉะน้ันกราฟ y  2(x 1)2  2 ใช้การแปลงทรงเรขาคณติ 2 ครัง้ ดังนี้
ครั้งแรก เลอ่ื นขนานของกราฟไปทางซ้ายตามแนวแกน 4 หนว่ ย ดงั รูป

ฉะนนั้ สมการของกราฟที่ได้หลังจากการแปลงคร้งั แรก คือ y  2(x  3)2  2
ครั้งท่ีสอง สะท้อนกราฟทีไ่ ดจ้ ากครัง้ แรก โดยมีเสน้ ตรง y 1 เป็นเส้นสะท้อน ดงั รปู

ดังนั้น สมการของกราฟท่ไี ดห้ ลงั จากการแปลงคร้งั ทส่ี อง คอื y  2(x  3)2  4
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 21
คดั เลอื กนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2560

18. กาหนดให้ m  0 ถ้าจุด (m,16) และ (7,m) อยู่บนเส้นตรงที่มีความชันเป็น m แล้ว m มีค่า

เทา่ ใด
แนวคิด เนอ่ื งจากจุด (m,16) และ (7,m) อยูบ่ นเสน้ ตรงทมี่ คี วามชนั เป็น m จะได้

m  16  m
m  7

m2  7m  16  m

m2  6m 16  0

(m  8)(m  2)  0

m  2,8

แต่ m  0 ดงั นน้ั m  2

หมายเหตุ ถ้า จดุ (x1, y1) และ (x2, y2) อยบู่ นเสน้ ตรงท่มี ีความชนั เปน็ m

แล้วความชนั m หาค่าไดจ้ าก m y1  y2 หรือ m y2  y1
x1  x2 x2  x1

19. จากรูป คอร์ดสองเสน้ ขนานกันและห่างกนั 1 หน่วย ถ้าคอร์ดเสน้ ยาว ยาว 8 หน่วย และคอร์ดเส้นส้ัน

ยาว 6 หน่วย แลว้ พ้นื ทีข่ องวงกลมเทา่ กับเท่าใด

แนวคดิ ให้ O เปน็ จุดศูนยก์ ลางวงกลม และ r เป็นรัศมีวงกลม

ลากเสน้ และกาหนดสญั ลกั ษณ์ไดด้ งั รปู และไดว้ ่า

OP2  42  r2  (OP 1)2  32

Or OP2 16  OP2  2(OP) 1 9

rP 3 6  2(OP)

1 ดังนั้น OP  3
4 r2  OP2  42  32  42  25

เพราะฉะน้ัน พื้นท่ีของวงกลมเท่ากบั r2  25 ตารางหน่วย

20. หลกั หน่วยของ 27(82560) คือเลขใด

แนวคิด พิจารณา 271  27

272  729

273  19, 683

274  531, 441

จะพบว่า หลักหนว่ ยของ 27m เมอ่ื m 1,2,3,... คอื
7,9,3,1,7,9,3,1,... วนซา้ ทุก 4 ตัว

เน่อื งจาก 82560 หารดว้ ย 4 ลงตัว
ดงั นั้น หลักหนว่ ยของ 27(82560) คือ 1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 22

คดั เลือกนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

ตอนที่ 2 ขอ้ สอบแบบเติมคาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. กาหนดให้ 3  x  3 ถา้ a คือคา่ ตา่ สุดของ x2  9  x2 และ b คือ คา่ สูงสุดของ
x2  9  x2 แลว้ 4(a  b) มีคา่ เทา่ ใด

แนวคดิ ให้ y  x2  9  x2 และให้ k  9  x2 จะได้ x2  9  k2 และ

y 9k2 k

 (k2  k)  9

 (k2  k  1)  9  1
44

 (k  1)2  9 1
24

 ( 9  x2  1)2  9 1
24

ฉะนั้น y  ( 9  x2  1)2  9 1 มคี า่ มากทีส่ ุด คือ b  9 1  37
24 44

เนื่องจาก x2  0 จะไดว้ า่ 9  x2  3

ฉะนั้น y  x2  9  x2 มคี ่าต่าสุด คอื a  3

ดงั นั้น 4(a  b)  4(3 37) 12  37  49

4

22. จากรูป ถ้า ABC  43 และ DEC  33 แล้ว DFC มีค่าเทา่ ใด

แนวคิด ให้ DFC  x และ FCE  y

เนื่องจาก ACE เป็นมุมตรง และ ADFC เป็นรูปสี่เหล่ียม

A D B แนบในวงกลม ซงึ่ มุมตรงขา้ มรวมกนั เทา่ กับ 180
ฉะนนั้ ADF  y
y๐ 43๐

x๐ F 180๐– x๐ พิจารณารปู สามเหล่ยี ม CEF จะไดว้ า่

y๐ x  y  33 (1)

180๐– y๐ C และรูปสามเหล่ียม BDF จะได้วา่

33๐ y 180  x  43 (2)

E จาก (1) และ (2) จะได้

x  (180  x  43 )  33

2x  256

x  128

ดังน้นั DFC 128

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 23

คัดเลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

23. จานวนเต็มบวกจานวนหนงึ่ เมอ่ื ลบด้วย 4 ผลลบจะเป็นกาลังสองสมบูรณ์ และเม่ือบวกด้วย 5 ผลบวก

ก็เป็นกาลังสองสมบรู ณ์เช่นกัน จานวนเตม็ บวกทม่ี ากท่ีสดุ ท่สี อดคล้องกับเงื่อนไขดังกลา่ วมีคา่ ใด

แนวคิด ให้ x แทนจานวนเต็มบวกทส่ี อดคลอ้ งกบั เงื่อนไขดังกล่าว

จากจานวนเตม็ บวกจานวนหน่งึ เม่ือลบด้วย 4 ผลลบจะเปน็ กาลังสองสมบูรณ์

จะได้ x  4  k2 สาหรับบางจานวนเต็ม k

และจากจานวนเต็มบวกจานวนหน่งึ เมอื่ บวกด้วย 5 ผลบวกก็เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

จะได้ x  5  m2 สาหรับบางจานวนเต็ม m

ฉะน้นั m2  k2  9 หรือ (m  k)(m  k)  9

พจิ ารณาดังตารางตอ่ ไปนี้

m–k m+k m k x

1 9 5 4 20

33304

9 1 5 -4 20

-1 -9 -5 -4 20

-3 -3 -3 0 4

-9 -1 -5 4 20

ดังนั้น จานวนเตม็ บวกที่มากท่ีสุดที่สอดคล้องกับเง่อื นไขดังกล่าว คือ 20

24. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมท่มี คี วามยาวด้านด้านละ 5,12 และ 13 หน่วย ตามลาดับ และ P เป็น

จุดภายในรูปสามเหลี่ยมนี้ D ที่น้อยท่ีสุดมีค่าเท่าใด เมื่อกาหนดให้ D  AP2  BP2 CP2 หรือ
D คอื ผลรวมของกาลังสองของระยะทางจากจุด P ไปยงั จุดยอดท้ังสามจดุ
แนวคิด ท่จี ุด P ลาก PD  BC และ PE  AC และให้ CD  x และ CE  y

ฉะนัน้ BD  5 x และ AE 12  y ได้ดงั รปู

A พจิ ารณารูปสามเหล่ยี มมุมฉากแตล่ ะรปู จะไดว้ า่

AP2  x2  (12  y)2

BP2  y2  (5  x)2

12 – y 13 CP2  x2  y2

12 ฉะนั้น

EP D  AP2  BP2  CP2

y B  x2  (12  y)2  y2  (5  x)2  x2  y2
x 5–x  3x2 10x  3y2  24 y 169

CD

5  3(x2  10 x  25)  3( y2  8y 16) 169  25  48
39 3

 3(x  5 )2  3( y  4)2  338
3 3

 338
3

ดังนั้น D ที่นอ้ ยทีส่ ุดมีคา่ เท่ากบั 338
3

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 24
คัดเลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2560

25. กาหนดให้ p(x) แทนพหุนามดีกรี 4 ถา้ p(2)  p(2)  p(3) 1 และ p(1)  p(1)  2

แล้ว p(0) มคี ่าเทา่ ใด

แนวคดิ เนือ่ งจาก p(x) แทนพหุนามดกี รี 4 และ p(2)  p(2)  p(3) 1

จะได้วา่ p(x) ต้องอยใู่ นรปู

p(x) 1  a(x  2)(x  2)(x  3)(x  k) โดยที่ k 

เนอ่ื งจาก p(1)  2 ฉะนน้ั

p(1) 1  a(1 2)(1 2)(1 3)(1 k)

1  a(12)(1 k) (1)

เน่อื งจาก p(1)  2 ฉะนนั้

p(1) 1  a(1 2)(1 2)(1 3)(1 k)

1  a(6)(1 k) (2)

นา (1) (2) จะได้ 1  2  1 k 
นัน่ คือ 1 k

k  3

แทน k  3 ใน (1) จะได้ a 1
24

เพราะฉะนน้ั p(x)  1 (x  2)( x  2)(x  3)( x  3) 1
24

ดงั น้ัน p(0)  1 (2)(2)(3)(3) 1  5  2.5
24 2

26. ให้หาช่วงคาตอบของอสมการ x  2  x 1
แนวคิด จาก x  2  x 1 อสมการจะเปน็ จริง เมือ่
x  2  0 และ x 1 0
x  2 และ x 1
นนั่ คือ x  2 และได้อกี วา่

( x  2)2  (x 1)2

x  2  x2  2x 1

0  x2  3x  3

0  (x2  3x  9)  3
44

0  (x  3)2  3
24

ซึ่งเปน็ เทจ็ ดงั นั้น ช่วงคาตอบของอสมการ x  2  x 1 คือ 

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 25

คดั เลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

27. กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนเต็มบวกสองจานวน ถ้าหาร x 1 ด้วย 6 และ หาร y ด้วย 6

ตา่ งก็เหลือเศษเป็นจานวนคู่ ถา้ หาร x  4y ด้วย 6 แลว้ ผลบวกของเศษเหลือท้ังหมดท่ีเป็นไปได้มีค่า

เท่าใด

แนวคิด เนือ่ งจากถา้ หาร x 1 ดว้ ย 6 และหาร y ด้วย 6 ต่างก็เหลือเศษเป็นจานวนคู่

จะได้ x 1  6k1  n1 และ y  6k2  n2

เม่ือ k1, k2 เปน็ จานวนเตม็ และ n1,n2 {0,2,4}

ฉะนน้ั x  4y  (6k1  n1 1)  4(6k2  n2)  6(k1  4k2)  (n1  4n2 1)

พิจารณาดังตารางตอ่ ไปน้ี เม่อื n1,n2 {0,2,4}

n1 n2 n1+4n2 – 1 เศษเหลือ

0 0 –1 5

0271

0 4 15 3

2011

2293

2 4 17 5

4033

4 2 11 5

4 4 19 1

ดงั น้นั ถา้ หาร x  4y ดว้ ย 6 แลว้ ผลบวกของเศษเหลือท้ังหมดท่ีเป็นไปไดม้ คี า่

เท่ากบั 1 3 5  9

28. ถ้า (10  9x  8x2 ...  2x8  x9)(20x20  21x21 ... 100x100)  a0  a1x  a2x2 ...  anxn
แล้ว a25  a60 มคี า่ เท่าใด
แนวคดิ เน่อื งจาก a25 เป็นสัมประสิทธ์ิของ x25 และจากสมการขา้ งตน้ จะได้

10(25x25 )  9x(24x24 )  8x2 (23x23)  7x3(22x22 )  ...  2x8(17x17 )  x9(16x16)

 (10 25  9 24  8 23  7 22  ...  217 116)x25

ฉะนน้ั a25 10 25  9 24  8 23 7 22 ... 217 116
และจาก a60 เปน็ สัมประสิทธข์ิ อง x60 และจากสมการขา้ งตน้ จะได้

10(60x60 )  9x(59x59 )  8x2 (58x58 )  7x3(57x57 )  ...  2x8(52x52 )  x9 (51x51)

 (10 60  959  858  7 57  ... 2 52 1 51)x60

ฉะนัน้ a60 1060  959  858  757 ... 252 151
ดงั น้นั

a25  a60  (10 25  9 24  8 23  7  22  ...  217 116) 
(10 60  9 59  8 58  7  57  ...  252 151)

 1085  983  881 7  79  6 77  5 75  4 73

 3 72  2 69 1 67

 850  747  648  553  462  375  292  213 138  67

 4,345

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 26

คดั เลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

29. จากรูป กาหนดให้วงกลม C1,C2 และ C3 สัมผัสกับเส้นตรง l โดยที่วงกลมท้ังสามสัมผัสกันดังรูป ถ้า
วงกลม C1 และวงกลม C2 มรี ศั มเี ทา่ กันและ C3 มีรัศมีเท่ากับ 6 หน่วย ความยาวรอบรูปของวงกลม
C1 มคี า่ เท่าใด

C1 r C2

r–6 r l

B r 6 C3

6 6

A r

แนวคดิ กาหนดให้ C1,C2 และ C3 เปน็ จดุ ศูนย์กลางวงกลม และ r เปน็ รศั มวี งกลม C1
ลาก C1C3, AC1  l และ C3B  AC1
เนอ่ื งจากวงกลม C3 มีรัศมีเทา่ กับ 6 หน่วย ฉะน้ัน C1C3  r  6 และ AB  6
และได้อีกว่า BC1  r  6 และ C3B  r
พจิ ารณารปู สามเหลี่ยม BC1C3 โดยทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้

(r  6)2  r2  (r  6)2

r2 12r  36  r2  r2 12r  36

r2  24r  0

r(r  24)  0

r  24

ดังนัน้ ความยาวรอบรปู ของวงกลม C1 มีค่าเทา่ กบั 2r  2 (24)  48

30. จากรปู ท่กี าหนดให้มสี ีเ่ หลี่ยมเล็ก ๆ จานวน 20 รปู

OYMP N

X

SAT

จานวนเส้นทางที่เกิดจากการเช่ือมต่อของเส้นทางย่อยจากจุดศูนย์กลางของส่ีเหล่ียมหนึ่งไปยังอีก
สี่เหล่ียมหน่ึงโดยเร่ิมจากช่องเหล่ียม O,Y,M, P, N ที่อยู่บนสุด ไปยังช่องส่ีเหล่ียม S, A,T ท่ีอยู่
ล่างสุดมที ้งั หมดก่เี ส้นทางโดยมเี งื่อนไขคือ ทกุ เส้นทางจะตอ้ งผ่านชอ่ งสีเ่ หลยี่ ม X และส่ีเหล่ียมสองรูป
จะมเี สน้ เช่ือมเมอ่ื สี่เหลย่ี มนัน้ จะต้องอยูต่ า่ งแถวกันและมดี ้านหรอื จดุ ยอดมุมร่วมกนั เทา่ น้ัน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 27
คัดเลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2560
แนวคดิ จากรูปทก่ี าหนดให้ กาหนดตัวแปร ดังตารางตอ่ ไปนี้

OYMP N

abcd

efg

hi

X

jk

SAT

กรณที ่ี 1

S

j

Oa e h A
 x

S
f  i kA

T

จานวนเสน้ ทางทเ่ี ปน็ ไปได้ท้ังหมด เท่ากบั 225  20 เส้นทาง
กรณีที่ 2

S

j

Ob e h A
 x

S
f  i kA

T

จานวนเส้นทางทีเ่ ป็นไปได้ทงั้ หมด เท่ากบั 225  20 เส้นทาง
กรณที ่ี 3

S

j

A

Obgi x

S

kA

T

จานวนเสน้ ทางทเ่ี ป็นไปไดท้ ั้งหมด เท่ากบั 115  5 เสน้ ทาง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 28

คดั เลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2560

กรณที ่ี 4

4.1) y  a ... เสน้ ทางเดนิ ในทานองเดยี วกนั กรณที ี่ 1

จานวนเสน้ ทางท่เี ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด เทา่ กบั 225  20 เสน้ ทาง

4.2) y  b ... เส้นทางเดนิ ในทานองเดยี วกัน กรณีท่ี 2 และ 3

จานวนเส้นทางท่ีเปน็ ไปไดท้ ั้งหมด เท่ากบั 205  25 เส้นทาง

4.3)

S

j

hA

Y c f x

iS

kA

T

จานวนเส้นทางทเ่ี ป็นไปไดท้ ้งั หมด เทา่ กบั 125 10 เส้นทาง
4.4)

S

j

A

Y cgi x

S

kA

T

จานวนเสน้ ทางที่เป็นไปไดท้ ั้งหมด เท่ากับ 115  5 เสน้ ทาง
กรณที ี่ 5

5.1) M  b ... เสน้ ทางเดินในทานองเดยี วกัน กรณีท่ี 2 และ 3
จานวนเสน้ ทางทเ่ี ป็นไปได้ท้ังหมด เท่ากบั 205  25 เส้นทาง

5.2) M  c ... เส้นทางเดินในทานองเดยี วกัน กรณที ่ี 4.3 และ 4.4
จานวนเส้นทางทเ่ี ป็นไปไดท้ ้ังหมด เท่ากบั 10 5 15 เสน้ ทาง

5.3) M  d  g ... เส้นทางเดนิ ในทานองเดียวกัน กรณที ี่ 4.4

จานวนเส้นทางที่เป็นไปไดท้ ั้งหมด เทา่ กบั 115  5 เส้นทาง
กรณที ี่ 6

6.1) P  c ... เสน้ ทางเดนิ ในทานองเดียวกัน กรณที ี่ 4.3 และ 4.4
จานวนเส้นทางทเ่ี ป็นไปไดท้ ง้ั หมด เทา่ กบั 10 5 15 เส้นทาง

6.2) P  d  g ... เส้นทางเดนิ ในทานองเดียวกัน กรณที ่ี 4.4

จานวนเส้นทางทเี่ ป็นไปได้ทงั้ หมด เทา่ กบั 115  5 เส้นทาง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 29

คดั เลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2560

กรณที ี่ 7

7.1) N  d  g ... เสน้ ทางเดนิ ในทานองเดยี วกนั กรณีท่ี 4.4

จานวนเส้นทางทเี่ ป็นไปได้ท้งั หมด เทา่ กบั 115  5 เสน้ ทาง

ดงั น้ัน จานวนเส้นทางทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ้ังหมด จากทัง้ 7 กรณีข้างตน้ เทา่ กบั

20  20  5 20  2510  5  25 15  5 15  5  5 175 เส้นทาง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 1
คดั เลือกนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

ข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี ประจาปี 2561

ตอนที่ 1 ข้อสอบแบบเติมคาตอบ จานวน 20 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. กาหนดให้ N 10a b เป็นเลข 3 หลัก โดยท่ี a,b เป็นจานวนเตม็ บวก และ ห.ร.ม.ของ a และ b

เท่ากบั 1 ถ้า N  10b  a แล้ว ab เท่ากับเท่าใด
2

2. ในการหยิบกล่อง 4 ใบ จากจานวน 10 ใบท่เี ขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กากับไว้ โดยกล่องท่ีหยิบได้ไม่มี
หมายเลขท่เี รยี งตดิ กันมีจานวนท้ังหมดกว่ี ิธี

3. ถ้าจานวนเตม็ บวก d 1 หาร 1900,2632 และ 4157 เหลอื เศษเท่ากัน แล้วผลบวกของ d และ r
มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 2
คดั เลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

4. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ บวก ซงึ่ ab  ab แลว้   a 6   b 6 2 เทา่ กบั เทา่ ใด
2 ab  b a 
 

5. ถ้า APQ เป็นรปู สามเหล่ยี มรปู หนึ่ง โดยส่วนของเสน้ ตรง PA และ AQ สอดคลอ้ งกับสมการ Y  5
และ X  6 ตามลาดบั จุด B มคี ูอ่ ันดับ (1,5) เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง PA และจุด C
มีคอู่ นั ดบั (6,0) เป็นจดุ ก่งึ กลางของสว่ นของเสน้ ตรง AQ แล้วพ้ืนทส่ี ามเหลยี่ ม APQ เท่ากบั เท่าใด

6. ให้ O เปน็ จุดศูนย์กลางร่วมของวงกลมสองวง โดยส่วนของเส้นตรง XY สัมผัสวงกลมวงนอกท่ีจุด C
ส่วนของเส้นตรง AC สัมผัสวงกลมวงในท่ีจุด F ส่วนของเส้นตรง AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ

วงกลมวงนอกตัดวงกลมวงในท่ีจุด E และจุด G ตามลาดับ ถ้า ACY  64 แล้วขนาดของ AEF
เท่ากับเทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 3
คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561
7. ผลคูณของ 143 169 2519 มีจานวนกห่ี ลัก

8. จากรูป ถา้ AB 10,CD  2 และ BP  8 แล้ว PD เท่ากบั เท่าใด

P

BC

D
A

9. พืน้ ทข่ี องรปู สามด้านเทา่ ที่แนบในวงกลมเปน็ ร้อยละเท่าใดของพน้ื ท่วี งกลมวงนั้น (ให้   22 )
7

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 4
คดั เลอื กนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561
10. กาหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมที่ BAC  3ACB, BC  48 และ AB  27
ถา้ D เป็นจุดท่ีทาให้ AD ตง้ั ฉากกบั BC แลว้ BD ยาวเทา่ กบั เท่าใด

11. กาหนดให้ x, y เปน็ จานวนเตม็ บวกท่ี xxy  y24 และ yxy  x6 แลว้ x3  y3 เท่ากบั เทา่ ใด

12. กาหนดให้ a, b เป็นคาตอบของสมการ x2  6(x  3)   3(x  3) 2  25
 x 

แลว้ a2  b2 เทา่ กบั เทา่ ใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 5

คดั เลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

13. ในการเสีย่ งทายโชคของหมอดูคนหนึง่ เขาใชล้ ูกเต๋าปกติ 2 ลูกในการเสี่ยงทาย โดยที่จานวนแต้มท่ีอยู่

ตรงข้ามกนั เป็นคู่ ๆ เป็นดังนี้ แต้ม 1 จะอยู่ตรงขา้ มกับแต้ม 6 แต้ม 2 จะอยู่ตรงข้ามกับแต้ม 5 และ

แตม้ 3 จะอย่ตู รงข้ามกบั แต้ม 4 ถ้าเขาโยนลูกเต๋าทง้ั สองลูกน้ีแล้วเขานาจานวนแต้มท่ีอยู่ด้านบนและ

ดา้ นล่างของแตล่ ะลกู มาคณู กนั จะไดส้ ี่แบบดงั น้ี

จานวนแตม้ ดา้ นบนลูกแรก x จานวนแต้มดา้ นบนลูกทสี่ อง

จานวนแตม้ ดา้ นบนลกู แรก x จานวนแต้มด้านล่างลกู ท่สี อง

จานวนแต้มดา้ นล่างลูกแรก x จานวนแตม้ ดา้ นบนลกู ท่ีสอง

จานวนแตม้ ดา้ นลา่ งลูกแรก x จานวนแตม้ ดา้ นลา่ งลูกทสี่ อง

ถ้าหมอดนู าผลคูณท้ังสแี่ บบมาบวกกนั แล้ว ผลลัพธ์ทีไ่ ดจ้ ะเทา่ กับเทา่ ใด

14. กาหนดให้ a,b, c เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ 24  1  1  1 1
25 a b c

ค่า a b  c ทนี่ ้อยที่สุดมีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด

15. กาหนดให้ x y xy  4 สาหรับทุกจานวนจรงิ x และ y
x y

((...(2561 2560) 2559) ...) 3) 2) 1 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 6

คดั เลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

16. กาหนดให้ ABC มีจดุ ยอดคอื จุด A(1,2), B(1,3),C(2,3)

ABC ได้จากการเลอ่ื นขนาน ABC ไปทางขวา 5 หนว่ ย

ABC ได้จากการสะทอ้ น ABC โดยมีเสน้ ตรง y  x เปน็ เส้นสะทอ้ น

ถ้า A  (a1,b1) และ C  (a2,b2) แล้ว a1  b1  a2  b2 มีคา่ เท่ากบั เท่าใด

17. ตน้ สนตน้ หนง่ึ ได้ถกู พายพุ ดั หกั พบั ลงมาทาให้ยอดต้นสนจรดพื้นดินเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และยอด
ต้นสนทามมุ กับพื้นดนิ 30 องศา ถ้ายอดอยูห่ ่างจากโคนต้น 20 3 เมตร แล้วความสูงของต้นสนก่อน
ถูกพายุพัดหกั เท่ากบั เทา่ ใด

18. กาหนดให้ 2 x  4 y  5 z  61 และ x  y  z  79 แล้วคา่ ของ 2 y  1 z เทา่ กับเท่าใด
3 5 6 5 2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 7

คัดเลือกนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2561

19. ชมรมแบดมินตนั ปัตตานีมสี มาชกิ ทงั้ หญิงและชาย ถ้าจานวนผู้ชายมมี ากกว่า 94% ของจานวนท้ังหมด

แลว้ จานวนสมาชิกของชมรมแบดมนิ ตนั ปัตตานจี ะมอี ยา่ งน้อยท่ีสุดก่คี น

20. ถ้าการะเกดเปิดกระป๋องออมสินแล้วพบว่ามีจานวนเหรียญห้าบาทเป็นคร่ึงหนึ่งของเหรียญบาท และ
เปน็ ส่เี ทา่ ของจานวนเหรียญสิบบาท เมื่อนบั จานวนเงนิ รวมกันจะได้ 456 บาท แล้วการะเกดมีเหรียญ
สิบบาททั้งหมดกเ่ี หรยี ญ

ตอนท่ี 2 ข้อสอบแบบเตมิ คาตอบ จานวน 10 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. กาหนดให้ f (x) เปน็ พหุนามทีม่ ีสัมประสทิ ธ์เิ ปน็ จานวนเต็มบวก
ถ้า f (10)  2561 และ f (1) 14 แล้ว f (1) มีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หนา้ 8

คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

22. กาหนดให้สมการ x4 19x3 103x2  nx  690  0 มีรากที่เป็นจานวนเต็มทั้งหมด 4 ราก โดยมี

รากสองรากทีผ่ ลบวกเทา่ กับ 2 แล้ว n มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด

23. จานวนเตม็ n ทมี่ ากที่สุดที่ทาให้ (n 16)(n  7) เป็นจานวนเตม็ บวก มีค่าเท่ากบั เทา่ ใด

24. จากรูป ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นท่ี 48 ตารางหน่วย เส้นทแยงมุม AC และ BD
ตดั กนั ทจี่ ุด O ถ้า P,Q, R เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ OB,OC, DC ตามลาดับ พื้นที่ของรูป BPQRDC
เท่ากับเท่าใด

DC
Q

R
O
P

AB

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 9

คัดเลอื กนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

25. จากรปู ABCD เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก โดยที่ AB  40, BC  30 ลาก DS และ BR ทาให้

DSR และ BRS เปน็ มมุ ฉาก ถ้า DS  29 และ BR 19 แลว้ ความยาวของ SR เท่ากับเท่าใด

AB

S
R

DC

26. กาหนดให้ S {1000,1001,1002,...,9999} แล้วจานวนสมาชิกใน S ท่ีมีเลข 8 ปรากฏอยู่ 1 ตัว
เท่าน้ัน มีจานวนเทา่ กบั เท่าใด

27. กาหนดให้ k เป็นจานวนเต็มบวก ถ้าหาร 24k หาร 2018! ลงตัว แล้วค่า k ที่มากที่สุดมีค่าเท่ากับ
เท่าใด เมอ่ื n!123...n

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 10
คัดเลอื กนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
28. จากรูป ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมผืนผ้า ประจาปี 2561

A D

BC

ถ้ารศั มขี องวงกลมใหญส่ ุดเท่ากบั 2 หน่วย แลว้ รศั มีของวงกลมวงเล็กสุดมีค่าเท่ากับเท่าใด

29. ในช่วงเวลาพักกลางวัน มีนักเรียนคนหน่ึงจากในจานวน 5 คน ได้เขียนคาไม่สุภาพบนกระดาหน้าชั้น
เรียน ครูประจาช้ันของนักเรียนทั้งห้าคน จึงเรียกตัวนักเรียนดังกล่าวไปสอบถามโดยแต่ละคนพูด
ตามลาดับดังน้ี
บอย : ไม่ กงุ้ ก็ ฉิ่ง เป็นคนเขียนแน่นอน ครับ
กุ้ง : บมี กับ ผม ไม่ได้เป็นคนเขยี นแนน่ อน ครับ
ฉิง่ : แกทั้งสองน่นั แหละโกหก
ปอ็ บ : ไม่จรงิ หรอกครบั ไม่ บอย ก็ กุง้ ที่เปน็ คนพูดความจริงแน่ ๆ ครบั
บีม : ไมใ่ ช่หรอกครับ ที่ ป็อบพูดออกมานะ ไมม่ ีอะไรถูกตอ้ งเลยครบั
ครูประจาชั้นทราบอยู่ในใจว่ามีสามคนในกลุ่มน้ีท่ีเป็นเด็กดี ไม่เคยพูดโกหกเลย อีกสองคนที่เหลือเป็น
เด็กเกเร ชอบพูดปดตลอดเวลา อยากทราบว่าใครเป็นคนทาผิดในครัง้ น้ี

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 11
คัดเลอื กนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561
30. กาหนดให้ a,b,c เป็นจานวนเตม็ ซง่ึ สอดคล้องกับสมการ a2  b2 8c 10  0
แลว้ จานวนชุดคาตอบ a,b,c มีท้งั หมดเท่ากบั เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 12
คดั เลอื กนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561

เฉลย : ข้อสอบวชิ าคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2561

ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
1. 27 2. 3. 70 4. 39,200 5. 50

6. 122 7. 41 8. 1+ 145 9. 41% 10. 18 5

11. 756 12. 46 13. 49 14. 12 15. 6
16. 8 17. 60 18. 25 19. 17 20.
21. -2 22. 223 23. 128 24. 18 25. 2
26. 2,673 27. 670 28. -4+2 5 29. ฉิง่ 30. 12
14
0

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 13

คัดเลือกนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

เฉลยแนวคดิ ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี ประจาปี 2561

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบเติมคาตอบ จานวน 20 ขอ้ ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. กาหนดให้ N 10a b เปน็ เลข 3 หลกั โดยท่ี a,b เป็นจานวนเตม็ บวก และ ห.ร.ม.ของ a และ b

เทา่ กบั 1 ถ้า N  10b  a แลว้ ab เทา่ กบั เท่าใด
2

แนวคดิ จาก N  10b  a จะได้ N  20b  2a
2

แต่ N 10a  b ฉะนน้ั 10a  b  20b  2a

8a  19b

a  19 b
8

เนื่องจาก โดยที่ a,b เป็นจานวนเต็มบวก และ ห.ร.ม.ของ a และ b เท่ากบั 1

จะได้ b  8 และ a 19

ดงั น้นั a  b 19 8  27

2. ในการหยบิ กลอ่ ง 4 ใบ จากจานวน 10 ใบท่เี ขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กากับไว้ โดยกล่องที่หยิบได้ไม่มี
หมายเลขทีเ่ รียงติดกันมีจานวนทง้ั หมดก่วี ิธี

3. ถ้าจานวนเต็มบวก d 1 หาร 1900,2632 และ 4157 เหลอื เศษเท่ากัน แล้วผลบวกของ d และ r

มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด

แนวคดิ จากโจทย์ จะมีจานวนเต็มบวก k1,k2 และ k3 ทท่ี าให้

1900  dk1  r (1)

2632  dk2  r (2)

4157  dk3  r (3)

นา (2) – (1) จะได้ 732  d(k2  k1)

นา (3) – (1) จะได้ 2257  d(k3  k1)

นา (3) – (2) จะได้ 1525  d(k3  k2)

ฉะนั้น d หาร 732,2257 และ 1525 ลงตวั

นน่ั คือ d  61 และทาใหไ้ ด้วา่ r  9

ดังนั้น d  r  61 9  70

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 14
คัดเลือกนกั เรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561

4. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจริงบวก ซง่ึ ab  ab แลว้   a 6   b 6 2 เทา่ กบั เทา่ ใด
2 ab  b a 
 

แนวคดิ จาก a  b  ab จะได้ a2  b2  2
2 ab ab

a  b  2
b a

ฉะนั้น  a  b 2   a 2  2   b 2  4
b a b a

 a 2   b 2  6
b a

และ  a 2   b 2 3   a 6  3 a 4  b 2  3 a 2  b 4   b 6
b a  b b a b a a


จะได้

 a 6  3 a 2  3 b 2   b 6  63
b b a a

 a 6  3  a 2   b 2    b 6  63
b b a  a


 a 6  3(6)   b 6  63
b a

 a 6   b 6  63  3(6)  198
b a

และ  a 6   b 6 2   a 12  2   b 12  1982
ฉะนนั้ b a  b a
ดังนั้น 

 a 12   b 12  1982  2
b a

  a 6   b 6 2   a 12  2   b 12
 b a  b a
 

 1982  2  2  1982  22

 (198  2)(198  2)

 (196)(200)

 39, 200

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 15
คดั เลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

5. ถ้า APQ เป็นรูปสามเหลย่ี มรูปหน่ึง โดยสว่ นของเส้นตรง PA และ AQ สอดคล้องกับสมการ Y  5
และ X  6 ตามลาดบั จุด B มคี ู่อนั ดับ (1,5) เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง PA และจุด C
มคี ู่อนั ดับ (6,0) เป็นจดุ กง่ึ กลางของส่วนของเส้นตรง AQ แลว้ พนื้ ทส่ี ามเหล่ียม APQ เทา่ กับเท่าใด
แนวคดิ จากโจทย์ วาดรปู ไดด้ ังนี้

Y x6

P(4, 5) B(1, 5)  y5

  A(6, 5)

0 X

C(6, 0)

Q(6, 5)

ดังนน้ั พ้ืนท่ีสามเหลีย่ ม APQ เท่ากับ 1 10 10  50 ตารางหน่วย
2

6. ให้ O เป็นจุดศนู ย์กลางร่วมของวงกลมสองวง โดยส่วนของเส้นตรง XY สัมผัสวงกลมวงนอกท่ีจุด C
ส่วนของเส้นตรง AC สัมผัสวงกลมวงในท่ีจุด F ส่วนของเส้นตรง AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วงกลมวงนอกตัดวงกลมวงในท่ีจุด E และจุด G ตามลาดับ ถ้า ACY  64 แล้วขนาดของ AEF
เท่ากบั เท่าใด
แนวคิด จากโจทย์ วาดรูปได้ดงั น้ี

Y

C 64 A
F

E

O

G

B
X

ลาก BC และ FG จะได้ ACB  90 และ EFG  90
เน่ืองจากสว่ นของเสน้ ตรง XY สมั ผสั วงกลมวงนอกทจ่ี ดุ C จะได้ ABC  64
และได้อกี วา่ C AB 180  64  90  26
เนอ่ื งจากสว่ นของเส้นตรง AC สัมผสั วงกลมวงในทจี่ ดุ F
จะได้ AFE  FGE
และได้อกี ว่า FGE  F EG  90

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 16

คัดเลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2561
(*)
นั่นคอื AFE  F EG  90
(**)
และจาก F EG เป็นมุมภายนอกของรูปสามเหลยี่ ม AEF

จะได้ F EG  AFE  F AE

แต่ F AE  C AB  26

ฉะนั้น F EG  AFE  26

จาก (*) และ (**) จะได้ AFE  (AFE  26 )  90

แก้สมการจะได้ AFE  32

ดังนนั้ AEF 180  32  26 122

7. ผลคูณของ 143 169 2519 มีจานวนกีห่ ลัก
แนวคิด พจิ ารณา

143 169  2519  (2  7)3  (24 )9  (52 )19

 23  73  236  538

 239  538  73

 2  73  (238  538 )

 2 3431038

 6861038

ดังนนั้ ผลคูณของ 143 169 2519 มีจานวน 41 หลัก

8. จากรูป ถ้า AB 10,CD  2 และ BP  8 แล้ว PD เท่ากบั เทา่ ใด

แนวคิด จากรูป โดย Power of point จะได้

P AP  PB  DP  PC

8 (8 10) 8  (PC  2)  PC

BC 144  (PC  2)  PC
PC2  2PC 144  0
10 2
PC  2  22  4(1)(144)
D 2(1)

A  2  580
2

 2  2 145
2

 1 145

เนือ่ งจาก PC  0 จะได้ PC  1 145
ดังนัน้ PD  PC  CD  1 145  2 1 145

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 17
คัดเลือกนกั เรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561

9. พนื้ ทข่ี องรูปสามดา้ นเท่าทีแ่ นบในวงกลมเปน็ ร้อยละเท่าใดของพ้ืนที่วงกลมวงนั้น (ให้   22 )

7
แนวคดิ ใหร้ ปู สามเหลีย่ มด้านเทา่ ABC แนบในวงกลม O ดงั รปู
C

ลาก OA,OB และ OD  AB

เนอ่ื งจาก C AB  60 และ O เปน็ จุดศูนย์กลาง

และ OA เปน็ รศั มี ( r ) ของวงกลม O
จะได้ OAB  OAC  30

พิจารณารปู สามเหลย่ี ม ADO โดยอัตราสว่ นตรีโกณมิติ B D A

จะได้ cos D AO  AD นั่นคือ cos 30  AD
AO AO

และได้วา่ 3  AD หรอื AD  3 r
2 r 2

ฉะนั้น AB  2AD  3r

เน่ืองจาก พ้นื ที่ของรปู สามเหลย่ี มด้านเท่า = 3 ( 3r)2  33 r2
4 4

และ พื้นที่วงกลม = r2  22 r2
7

ดงั นั้น อตั ราสว่ นของพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมดา้ น ต่อ พื้นทวี่ งกลม เทา่ กับ

33 r2 3 3 7
4
  0.41  41%
22 4 22
7 r 2

เพราะฉะน้ัน พน้ื ทขี่ องรูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ ท่แี นบในวงกลมเปน็ ร้อยละ 41

ของพนื้ ทีว่ งกลมวงน้นั

10. กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมท่ี BAC  3ACB, BC  48 และ AB  27

ถา้ D เป็นจดุ ทที่ าให้ AD ต้ังฉากกบั BC แล้ว BD ยาวเท่ากับเทา่ ใด
แนวคดิ จากโจทย์ วาดรปู ไดด้ ังน้ี

Bm D E 48
27-m

27 2x

2x 21 21
A 3x x
x
C

สร้างเพ่ิม ลาก AE ตัด BC ทจี่ ดุ E โดย AE  EC

และได้วา่ E AC  x, BAE  2x

ย่ิงไปกว่านั้น ยังไดว้ า่ BEA  2x และทาให้ BE  AB  27

และ AE  EC  48  27  21

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 18
คัดเลอื กนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

ให้ BD  m จะได้ DE  27  m

พจิ ารณารูป ABD และ ADE โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้

AD2  272  m2 และ AD2  212  (27  m)2

ดังนั้น 272  m2  212  (27  m)2

272  m2  212  272  2(27)m  m2

m  272  272  212  272  (27  21)(27  21)
2(27) 2(27)

 272  (6)(48)  9(81 32)  113
2(27) 2(27) 6

เพราะฉะนั้น BD ยาวเท่ากับ 113  18 5 หน่วย
6 6

11. กาหนดให้ x, y เป็นจานวนเต็มบวกท่ี xxy  y24 และ yxy  x6 แลว้ x3  y3 เทา่ กับเทา่ ใด

แนวคิด จาก xxy  y24 จะได้ (x6 )x y  y624

แต่ yxy  x6 จะได้ ( yx y )x y  y624

ฉะนั้น (x  y)(x  y)  6 24 144

เน่ืองจาก x, y เปน็ จานวนเตม็ บวก ดังนัน้ x  y 12 (*)

และได้อีกวา่ x12  y24 นนั่ คือ x  y2

จาก (*) จะได้ y2  y 12  0

( y  3)( y  4)  0

y  3, 4

เนอ่ื งจาก y เป็นจานวนเตม็ บวก ดงั นน้ั y  3 และไดอ้ ีกวา่ x  9
เพราะฉะน้นั x3  y3  93  33  729  27  756

12. กาหนดให้ a, b เปน็ คาตอบของสมการ x2  6(x  3)   3(x  3) 2  25
 x 

แล้ว a2  b2 เทา่ กับเทา่ ใด

แนวคดิ จาก x2  6(x  3)   3(x  3) 2  25
 x 

จะได้ x2  2( x) 3(x  3)   3( x 3) 2  25
x  x 

 x  3(x  3) 2  25
 x 

ฉะนั้น x  3(x  3)  5 หรอื x  3(x  3)  5
x x

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 19
คัดเลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561

พจิ ารณา x  3( x 3)  5 จะได้ x2  3(x  3)  5x
x x2  2x  9  0

x2  2x 18  0

(x 1)2  8  0

ในกรณนี ีไ้ ม่มคี าตอบ

พิจารณา x  3( x 3)  5 จะได้ x2  3(x  3)  5x
x

x2 8x  9  0

ในกรณีนี้มคี าตอบ โดยท่ี a  b  8 และ ab  9
ดงั นน้ั a2  b2  (a  b)2  2ab  (8)2  2(9)  64 18  46

13. ในการเส่ียงทายโชคของหมอดูคนหน่ึง เขาใช้ลกู เต๋าปกติ 2 ลูกในการเส่ียงทาย โดยที่จานวนแต้มที่อยู่

ตรงขา้ มกนั เปน็ คู่ ๆ เป็นดงั นี้ แต้ม 1 จะอยตู่ รงข้ามกับแตม้ 6 แต้ม 2 จะอยู่ตรงข้ามกับแต้ม 5 และ

แตม้ 3 จะอยตู่ รงข้ามกบั แตม้ 4 ถา้ เขาโยนลูกเตา๋ ทง้ั สองลูกนี้แล้วเขานาจานวนแต้มท่ีอยู่ด้านบนและ

ดา้ นล่างของแต่ละลูกมาคูณกันจะไดส้ ีแ่ บบดงั น้ี

จานวนแตม้ ด้านบนลูกแรก x จานวนแต้มด้านบนลกู ทสี่ อง

จานวนแต้มด้านบนลูกแรก x จานวนแตม้ ด้านล่างลกู ท่ีสอง

จานวนแต้มด้านล่างลกู แรก x จานวนแต้มด้านบนลกู ที่สอง

จานวนแต้มดา้ นล่างลกู แรก x จานวนแตม้ ดา้ นล่างลูกที่สอง

ถา้ หมอดูนาผลคณู ทัง้ ส่แี บบมาบวกกนั แล้ว ผลลพั ธ์ทไี่ ดจ้ ะเท่ากบั เท่าใด

แนวคิด จากโจทยส์ ร้างตารางไดด้ งั นี้

โยนลูกเต๋า ผลคูณ ผลบวก

2 ลกู แบบที่ 1 แบบที่ 2 แบบที่ 3 แบบท่ี 4 ทั้ง 4 แบบ

(1,1) 1x1=1 1x6=6 6x1=6 6x6=36 49

(1,2) 1x2=2 1x5=5 6x2=12 6x5=30 49

(1,3) 1x3=3 1x4=4 6x3=18 6x4=24 49

(1,4) 1x4=4 1x3=3 6x4=24 6x3=18 49

(6,6) 6x6=36 6x1=6 1x6=6 1x1=1 49
ดังนน้ั ถา้ หมอดูนาผลคูณทง้ั สี่แบบมาบวกกนั แลว้ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะเทา่ กบั 49

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 20
คดั เลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

14. กาหนดให้ a,b, c เป็นจานวนเตม็ บวก โดยท่ี 24  1  1  1  1
25 a b c
ค่า a b  c ทีน่ ้อยทีส่ ดุ มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด

แนวคดิ เนอ่ื งจาก 111 1 และ a,b, c เปน็ จานวนเตม็ บวก
abc

จะได้วา่ a  1, b  1, c  1

และจาก a,b,c เปน็ จานวนเตม็ บวก ให้ 1 a  b  c

จะได้ 1  1  1

cba

ฉะนั้น 24  1  1  1  1  1  1  3
25 a b c a a a a

นั่นคือ a  25  3 1
8 8

แต่ a เป็นจานวนเตม็ บวก จะได้ a 1,2,3

กรณที ่ี a 1 จะทาให้ 1  1  1  1  1  1  1 ไมจ่ รงิ

a b c 1b c

กรณที ่ี a  2 จะได้ 24  1  1  1 1
25 2 b c

23  1  1  1  1  2 และ 1  1  1
50 b c b b b b c 2

นั่นคือ b  100  4 8
23 23

แต่ b เป็นจานวนเต็มบวกและ b  1 จะได้ b  2,3,4

ถา้ b2 จะได้ 11 11 1 ไมจ่ รงิ
bc 2c 2

ถ้า b3 จะได้ 1  1 1  1  1 นั่นคอื c6
c 2 3 6

ดังน้ัน คา่ a  b  c ทน่ี ้อยท่ีสดุ มีคา่ เท่ากบั 2 3 7 12 (*)

ถา้ b4 จะได้ 1  1 1  1  1 นนั่ คือ c4
c 2 4 4

แต่ถ้า c5 จะได้ 1  1  1  1  1  1  19  24
a b c 2 4 5 20 25

ทานองเดียวกัน ถา้ c  4 จะได้ 24  1  1  1 ไม่จริง
25 a b c

กรณที ่ี a  3 จะได้ 24  1  1  1  1
25 3 b c

47  1  1  1  1  2 และ 1  1  2
75 b c b b b b c 3

นั่นคือ b  150  3 9
47 47

แต่ b เปน็ จานวนเต็มบวกและ b 1 จะได้ b  2,3

ถ้า b2 จะได้ 11 11 2 นน่ั คอื 1 21 1 หรอื c6
bc 2c 3 c 32 6

ดังน้ัน ค่า a  b  c ที่น้อยทสี่ ดุ มคี า่ เทา่ กับ 3 2  7 12 (**)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 21
คัดเลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

ถ้า b3 จะได้ 1111 2 นน่ั คือ 1  211 หรือ c3
bc 3c 3 c 33 3

แตถ่ า้ c4 จะได้ 1  1  1  1  1  1  11  24
a b c 3 3 4 12 25

ทานองเดียวกัน ถ้า c  3 จะได้ 24  1  1  1 ไม่จริง
25 a b c
จากกรณที ั้งหมดข้างต้น คา่ a b  c ทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ มีค่าเท่ากบั 12

15. กาหนดให้ x y xy  4 สาหรบั ทุกจานวนจริง x และ y
x y

((...(2561 2560) 2559) ...) 3) 2) 1 มีค่าเทา่ กบั เท่าใด

แนวคดิ สังเกตพบว่า x 2  x(2)  4  2(x  2)  2
x2 x2

ดงั นั้น ((...(2561 2560) 2559) ...) 3) 2) 1  2 1

2

 (2)(1)  4  6  2
2 1 3

16. กาหนดให้ ABC มจี ดุ ยอดคอื จดุ A(1,2), B(1,3),C(2,3)
ABC ได้จากการเลอื่ นขนาน ABC ไปทางขวา 5 หนว่ ย
ABC ได้จากการสะทอ้ น ABC โดยมเี สน้ ตรง y  x เปน็ เส้นสะทอ้ น

ถา้ A  (a1,b1) และ C  (a2,b2) แล้ว a1  b1  a2  b2 มคี า่ เทา่ กับเท่าใด

แนวคิด พิจารณา A(1,2) เล่ือนขนานไปทางขวา 5 หนว่ ย จะได้ A  (6,2)
ฉะน้ัน A  (a1,b1)  (6, 2)

และจาก C(2,3) เลือ่ นขนานไปทางขวา 5 หน่วย จะได้ C  (7,3)
และจาก C(7,3) สะทอ้ น โดยมีเสน้ ตรง y  x เป็นเสน้ สะท้อน จะได้ C  (3,7)
ฉะนั้น C  (a2,b2)  (3,7)

ดังนน้ั a1  b1  a2  b2  6  2  3 7  8

17. ต้นสนตน้ หนง่ึ ได้ถูกพายพุ ัดหกั พบั ลงมาทาให้ยอดต้นสนจรดพื้นดินเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก และยอด

ตน้ สนทามมุ กบั พื้นดิน 30 องศา ถ้ายอดอยหู่ ่างจากโคนตน้ 20 3 เมตร แล้วความสูงของต้นสนก่อน
ถูกพายุพัดหกั เทา่ กบั เทา่ ใด

แนวคิด จากโจทย์ วาดรูปไดด้ ังนี้ โดยอัตราสว่ นตรโี กณมิติ จะได้

A tan 30  AB sin 30  AB

BC AC

1  AB 1  20
3 20 3 2 AC

AB  20 AC  40

B 30๐ ฉะน้นั ความสูงของต้นสนกอ่ นถูกพายพุ ดั หักเท่ากับ
C 20  40  60 เมตร
20 3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 22
คัดเลือกนกั เรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

18. กาหนดให้ 2 x  4 y  5 z  61 และ x  y  z  79 แล้วคา่ ของ 2 y  1 z เทา่ กับเท่าใด
3 5 6 5 2

แนวคิด ให้ 2 x  4 y  5 z  61 (1)
3 5 6

และ x  y  z  79 (2)

นา (1)x30 จะได้ 20x  24y  25z 1830 (3)

นา (2)x20 จะได้ 20x  20y  20z 1580 (4)

นา (3)-(4) จะได้ 4y  5z  250 (5)

นา (5) 10 จะได้ 4y  5z  25
ดงั นนั้ 10

2 y  1 z  4y  5z  25
5 2 10

19. ชมรมแบดมินตนั ปัตตานีมีสมาชิกทัง้ หญงิ และชาย ถา้ จานวนผู้ชายมมี ากกว่า 94% ของจานวนท้ังหมด
แลว้ จานวนสมาชกิ ของชมรมแบดมินตันปัตตานีจะมีอย่างนอ้ ยที่สดุ ก่ีคน
แนวคิด ใหจ้ านวนสมาชิกของชมรมแบดมินตนั ปัตตานีจะมีท้ังหมด n คน
ในจานวนน้ีเป็นชาย a คนและหญงิ b คน โดยที่ a b  n
เนื่องจาก จานวนผชู้ ายมมี ากกวา่ 94% ของจานวนทง้ั หมด จะได้

a  0.94n  n  b  0.94n

 0.06n  b

 6n  100b

 3n  50b

 n  50b
3

และจาก b เปน็ จานวนเตม็ บวก ตอ้ งการคา่ n นอ้ ยทส่ี ดุ

ฉะน้ัน b 1 จะได้ n  50  16 2 นนั่ คือ n  17
3 3

ดังนนั้ จานวนสมาชิกของชมรมแบดมินตนั ปตั ตานจี ะมีอยา่ งน้อยท่สี ดุ 17 คน

20. ถ้าการะเกดเปิดกระป๋องออมสินแล้วพบว่ามีจานวนเหรียญห้าบาทเป็นครึ่งหนึ่งของเหรียญบาท และ

เป็นสี่เทา่ ของจานวนเหรียญสบิ บาท เมอ่ื นบั จานวนเงนิ รวมกันจะได้ 456 บาท แล้วการะเกดมีเหรียญ

สบิ บาทท้ังหมดกเี่ หรยี ญ

แนวคิด ให้ เหรยี ญหา้ บาทมจี านวน x เหรียญ

และ เหรยี ญบาทมจี านวน y เหรียญ

และ เหรียญสบิ บาทมจี านวน x เหรียญ

จากโจทย์จะได้ x  1 y  4z (1)
และ 2 (2)

5x  y 10z  456

จาก (1) แทน x  4z, y  8z ใน (2) จะได้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 23
คัดเลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561
5(4z)  8z 10z  456

38z  456

z  12

ดงั น้นั การะเกดมีเหรยี ญสิบบาททง้ั หมด 12 เหรียญ

ตอนท่ี 2 ข้อสอบแบบเตมิ คาตอบ จานวน 10 ขอ้ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. กาหนดให้ f (x) เปน็ พหนุ ามทม่ี ีสัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเต็มบวก

ถา้ f (10)  2561 และ f (1) 14 แลว้ f (1) มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด

แนวคดิ ให้ f (x)  anxn  an1xn1  ...  a1x  a0
โดยท่ี n,an, an1,..., a1, a0 เป็นจานวนเตม็ บวก
จาก f (10)  2561 และ f (1) 14 จะได้

an (10)n  an1(10)n1  ...  a1(10x  a0  2561

 2103  5102  6101 1100

และ an  an1 ... a1  a0  14  2  5  6 1

โดยการเทียบสัมประสทิ ธ์ิ ขา้ งตน้ จะได้ f (x)  2x3  5x2  6x 1

ดงั นนั้ f (1)  2(1)3  5(1)2  6(1) 1  2  5  6 1  2

22. กาหนดให้สมการ x4 19x3 103x2  nx  690  0 มีรากท่ีเป็นจานวนเต็มทั้งหมด 4 ราก โดยมี
รากสองรากทผี่ ลบวกเท่ากบั 2 แล้ว n มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด
แนวคดิ ใหส้ มการ x4 19x3 103x2  nx  690  0 มีรากที่เป็นจานวนเต็มทั้งหมด 4 ราก
คอื a, b, c, d โดยที่ c  d  2 และได้ว่า

x4 19x3 103x2  nx  690  (x  a)(x  b)(x  c)(x  d)

โดยการแจกแจงและเทยี บสมั ประสทิ ธ์ิจะไดว้ ่า

a  b  c  d  19 (1)

ab  cd  (a  b)(c  d )  103 (2)

(a  b)cd  ab(c  d )  n (3)

acbd  690 (4)

จาก (1), (2) และ c  d  2 จะได้

a  b  21 (5)

และ ab  cd  (21)(2)  103

ab  cd  61 (6)

ให้ ab  m, cd  n แก้ระบบสมการ (4), (6) จะได้

m  46, n  15 หรือ m  15, n  46

กรณที ่ี m  46, n  15 จะได้ ab  46, cd  15

เน่ืองจาก a  b  21 ฉะนั้น a  23, b  2 หรอื a  2, b  23

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 24
คัดเลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561

และจาก c  d  2 ฉะน้นั c  5, d  3 หรือ c  3, d  5
และจาก (3) ดังนั้น

n  (a  b)cd  ab(c  d )

 (21)(15)  (46)(2)

 315  92  223

กรณีท่ี m  15, n  46 จะได้ ab  15, cd  46

เน่ืองจาก a  b  21 และ c  d  2 แก้ระบบสมการจะทาให้ a, b, c, d

เปน็ รากทไี่ ม่เปน็ จานวนเตม็
เพราะฉะนัน้ n  223

23. จานวนเต็ม n ที่มากทสี่ ดุ ทีท่ าให้ (n 16)(n  7) เปน็ จานวนเต็มบวก มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด
แนวคดิ ให้ (n 16)(n  7)  m โดยท่ี m เป็นจานวนเตม็ จะได้

(n 16)(n  7)  m2

n2  9n 112  m2

4n2  36n  448  4m2

(2n)2  2(2n)(9)  92  448  92  (2m)2

(2n  9)2  529  (2m)2

(2n  9)2  (2m)2  529

(2n  9  2m)(2n  9  2m)  529

เนอ่ื งจาก 529  232 และตัวประกอบของ 529 ไดแ้ ก่ 1, 23, 529
จะได้

2n  9  2m  1  หรอื 2n  9  2m  23
2n  9  2m  529(1) 2n  9  2m  23(2)

2n  9  2m  1  หรอื 2n  9  2m  23
2n  9  2m  529(3) 2n  9  2m  23(4)

แก้ระบบสมการ จะได้

n512  128 (1) หรือ n  27  7 (2)
4 4

n 548  หรอื  64
 4 137 (3) n 4  16 (4)

ดงั นน้ั จานวนเต็ม n ที่มากที่สุดทที่ าให้ (n 16)(n  7) เปน็ จานวนเตม็ บวก

มีค่าเท่ากับ 128

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 25

คดั เลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

24. จากรูป ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานที่มีพ้ืนที่ 48 ตารางหน่วย เส้นทแยงมุม AC และ BD

ตัดกันที่จุด O ถ้า P,Q, R เป็นจดุ ก่ึงกลางของ OB,OC, DC ตามลาดับ พื้นท่ีของรูป BPQRDC

เท่ากบั เทา่ ใด

DC
Q

R

O
P

AB

แนวคดิ เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะได้ว่าเส้นทแยงมุม AC และ BD
แบง่ ครึง่ ซง่ึ กนั และกนั ที่จุด O
ฉะน้นั AO  OC และ BO  OD
และเนอื่ งจาก P,Q, R เปน็ จุดกึ่งกลางของ OB,OC, DC ตามลาดบั

จะได้ OR  RD, OP  PB และ OQ  QC

และไดอ้ ีกว่า PO  OR
จากรปู ลาก RC และ PC ได้ดงั รปู ข้างต้น
ให้ [ ABC] แทนพ้นื ทีข่ องรูปสามเหลีย่ ม ABC

และสมมติ [ OQR]  a

เนอื่ งจาก PO  OR และ OQ  QC จะได้

[ OQP]  [ OQR]  [ CRQ]  [ CQP]  a

และจาก OR  RD, OP  PB จะได้

[ CDR]  [ CRO]  [ CBP]  [ CPO]  a  a  2a

และ [ BCD]  1 [ ABCD]  1 (48)  24 ตารางหน่วย
2 2

แต่

[ BCD]  [ CDR] [ CRO] [ CPO] [ CBO]

 2a  2a  2a  2a  8a

ฉะนัน้ 8a  24
นัน่ คือ a  3
เพราะฉะนัน้ พ้ืนท่ขี องรปู BPQRDC เทา่ กับ 6a  6(3) 18 ตารางหน่วย

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 26

คัดเลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2561

25. จากรูป ABCD เปน็ รปู สเี่ หล่ยี มมมุ ฉาก โดยที่ AB  40, BC  30 ลาก DS และ BR ทาให้

DSR และ BRS เปน็ มุมฉาก ถ้า DS  29 และ BR 19 แล้วความยาวของ SR เทา่ กบั เท่าใด

AB

S
R

D C
E

แนวคดิ จากรปู ลาก BD และต่อสว่ นของเส้นตรง BR ไปทางจดุ R ถึงจุด E
โดยท่ี DE || SR
เนื่องจาก DSR และ BRS เปน็ มมุ ฉาก จะไดว้ ่า BED เป็นมุมฉาก
และไดอ้ ีกวา่ BED เป็นรูปสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉาก
พจิ ารณารูปสเี่ หลย่ี มมุมฉาก ABD โดยทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้

BD2  AB2  AD2  402  302

 1600  900  2500

ฉะนนั้ BD  50
เน่อื งจาก RE  DS  29 จะได้ BE  BR  RE 19  29  48
พิจารณารูปส่เี หลี่ยมมุมฉาก BED โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้

DE2  BD2  BE2

 502  482

 (50  48)(50  48)

 (2)(98)

 (2)(2)(7)(7)

ฉะนั้น DE  27 14
เพราะฉะน้ัน ความยาวของ SR เทา่ กบั DE 14

26. กาหนดให้ S {1000,1001,1002,...,9999} แล้วจานวนสมาชิกใน S ที่มีเลข 8 ปรากฏอยู่ 1 ตัว
เท่านนั้ มจี านวนเท่ากับเท่าใด
แนวคิด จาก S {1000,1001,1002,...,9999} ต้องการหาจานวนสมาชิกใน S ท่ีมีเลข 8
ปรากฏอยู่ 1 ตวั เท่านน้ั พจิ ารณาได้ 4 กรณี ดังน้ี
กรณี 1 เลข 8 ปรากฏอยใู่ นหลักหนว่ ย จะได้

8

19 09 09 8

จานวนท่ตี ้องการมีท้ังหมด 8991 648 จานวน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 27
คดั เลอื กนักเรียนเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1
ประจาปี 2561
กรณี 2 เลข 8 ปรากฏอยู่ในหลกั สิบ จะได้

8

19 09 8 09

จานวนทีต่ ้องการมีทั้งหมด 8919  648 จานวน
กรณี 3 เลข 8 ปรากฏอย่ใู นหลักร้อย จะได้

8

19 8 09 09

จานวนทต่ี ้องการมที ้งั หมด 8199  648 จานวน
กรณี 4 เลข 8 ปรากฏอยใู่ นหลกั พนั จะได้

8

8 09 09 09

จานวนท่ตี ้องการมที งั้ หมด 1999  729 จานวน
ดังนัน้ จานวนสมาชกิ ใน S ท่มี เี ลข 8 ปรากฏอยู่ 1 ตัวเท่านน้ั

เท่ากับ 648  648 648 729  2,673 จานวน

27. กาหนดให้ k เป็นจานวนเต็มบวก ถ้าหาร 24k หาร 2018! ลงตัว แล้วค่า k ที่มากที่สุดมีค่าเท่ากับ
เทา่ ใด เมื่อ n!123...n

แนวคิด พิจารณา 2018!  2018!  2018!
24k (23  3)k 23k  3k

พจิ ารณาจานวนท้ังหมดท่หี าร 2018! ดว้ ย 2 ลงตวั หาได้ดังน้ี

 2018    2018    2018    2018    2018  
 2   22   23   24   25 

 2018    2018    2018    2018    2018 
 26   27   28   29   210 

 1009  504  252 126  63  3115  7  3 1

 2011

พิจารณาจานวนทั้งหมดทห่ี าร 2018! ดว้ ย 3 ลงตัว หาไดด้ ังนี้

 2018    2018    2018    2018    2018    2018 
 3   32   33   34   35   36 

 672  224  74  24  8  2

ฉะน้นั  1004
นนั่ คอื 2018!  22011 31004 ...
24k 23k 3k

3k  2011, k 1004

k  2011  670 1
3 3

แต่ k เป็นจานวนเตม็ บวก ดังน้ันคา่ k ทมี่ ากทสี่ ดุ มคี า่ เทา่ กบั 670

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 28
คัดเลือกนักเรยี นเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1
28. จากรูป ABCD เปน็ รูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ ประจาปี 2561

A D

BC

ถา้ รัศมขี องวงกลมใหญ่สุดเทา่ กบั 2 หน่วย แล้วรศั มขี องวงกลมวงเลก็ สดุ มคี ่าเท่ากับเท่าใด
แนวคิด จากรูป สรา้ งจดุ ศนู ย์กลางของแต่ละวงกลม แล้วลากเสน้ เชอื่ ม ได้ดงั รปู

AD

2 r 2
2 2

B C

ใหร้ ัศมีของวงกลมวงเลก็ สุดมคี า่ เท่ากับ r

จะได้ รศั มีของวงกลมขนาดกลาง เทา่ กับ 2r  1 r หน่วย
2 2

พิจารณารปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก โดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้

(2 1 r )2  (2  r)2  (r 1 r )2
22

(3  r )2  (2  r)2  (1 r )2
22

9  3r  r2  4  4r  r2 1 r  r2
44

0  r2  8r  4

r  8  64 16  8  80  8  4 5
2 22

r  4  2 5

แต่ r  0 จะได้ r  4  2 5
ดงั นน้ั รศั มขี องวงกลมวงเลก็ สดุ มคี ่าเทา่ กบั 4  2 5 หน่วย

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ขอ้ สอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หนา้ 29

คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2561

29. ในช่วงเวลาพักกลางวัน มีนักเรียนคนหนึ่งจากในจานวน 5 คน ได้เขียนคาไม่สุภาพบนกระดาหน้าชั้น

เรียน ครูประจาช้ันของนักเรียนท้ังห้าคน จึงเรียกตัวนักเรียนดังกล่าวไปสอบถามโดยแต่ละคนพูด

ตามลาดับดังน้ี

บอย : ไม่ กุง้ ก็ ฉิ่ง เป็นคนเขียนแน่นอน ครบั

กงุ้ : บมี กบั ผม ไมไ่ ด้เปน็ คนเขยี นแนน่ อน ครับ

ฉง่ิ : แกท้งั สองน่ันแหละโกหก

ป็อบ : ไมจ่ รงิ หรอกครบั ไม่ บอย ก็ กงุ้ ท่ีเป็นคนพดู ความจริงแน่ ๆ ครบั

บีม : ไม่ใช่หรอกครบั ที่ ปอ็ บพูดออกมานะ ไม่มอี ะไรถูกต้องเลยครบั

ครูประจาช้ันทราบอยู่ในใจว่ามีสามคนในกลุ่มน้ีที่เป็นเด็กดี ไม่เคยพูดโกหกเลย อีกสองคนท่ีเหลือเป็น

เดก็ เกเร ชอบพูดปดตลอดเวลา อยากทราบว่าใครเปน็ คนทาผิดในครัง้ น้ี

แนวคดิ พจิ ารณาจากขอ้ ความขา้ งตน้ ดังน้ี

สมมติ ฉ่งิ พูดจรงิ จะได้วา่ บอย และกงุ้ เป็นคนพูดไมจ่ รงิ

ฉะนั้นส่งผลให้ ป็อบ และบีม เป็นคนพูดจริง เพราะว่ามีสามคนในกลุ่มน้ีท่ีเป็น

เด็กดี ไม่เคยพดู โกหกเลย อีกสองคนที่เหลือเปน็ เดก็ เกเร ชอบพดู ปดตลอดเวลา

จากข้อความ “ป็อบ : ไม่จริงหรอกครับ ไม่ บอย ก็ กุ้ง ที่เป็นคนพูด

ความจริงแน่ ๆ ครับ” จะไดว้ ่า เกิดข้อขัดแย้งกับท่ีว่าบอย และกุ้ง เป็นคนพูด

ไม่จริง

ฉะนั้น ฉิง่ พดู ไมจ่ ริง

จากข้อความ “ฉ่งิ : แกทัง้ สองน่ันแหละโกหก” จะได้ว่า บอย และก้งุ พดู จริง

และจากขอ้ ความ “กงุ้ : บมี กบั ผม ไมไ่ ดเ้ ป็นคนเขยี นแนน่ อน ครับ” จะได้ว่า

บีมและกงุ้ ไม่ไดเ้ ปน็ คนเขียน

และจากข้อความ “บอย : ไม่ กุ้ง ก็ ฉ่ิง เป็นคนเขียนแน่นอน ครับ” จะได้ว่า

ฉ่ิง เปน็ คนเขยี น

และจากข้อความ “ปอ็ บ : ไม่จรงิ หรอกครับ ไม่ บอย ก็ กุ้ง ท่ีเป็นคนพูดความ

จริงแน่ ๆ ครับ” จะไดว้ า่ ป็อบพูดจริง

ฉะนัน้ บอย กุ้งและป็อบ พดู จริง และ ฉิ่งและบมี พูดไมจ่ รงิ

เพราะฉะน้นั ฉ่งิ เป็นคนทาผิดในครงั้ นี้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปตั ตานี หน้า 30
คัดเลอื กนักเรยี นเขา้ อบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2561

30. กาหนดให้ a,b,c เปน็ จานวนเตม็ ซึง่ สอดคลอ้ งกบั สมการ a2  b2 8c 10  0
แลว้ จานวนชดุ คาตอบ a,b,c มีท้ังหมดเทา่ กับเทา่ ใด
แนวคดิ จาก a2  b2 8c 10  0 จะได้

8c 10  a2  b2  0

c  10  1.25
8

และ a2  b2 10  8c  2(4c) โดย 4c เปน็ จานวนเต็ม

ฉะนัน้ a2  b2 10 เปน็ จานวนคู่

ดงั น้ัน a และ b เป็นจานวนคู่ หรือ a และ b เป็นจานวนค่ี

กรณี a และ b เป็นจานวนคู่ จะไดว้ า่ มีจานวนเต็ม m,n ที่ทาให้

a  2m, b  2n

ฉะน้ัน

8c  a2  b2 10  (2m)2  (2n)2 10  4m2  4n2 10

4c  2m2  2n2  5  2(m2  n2  2) 1

จานวนค่ี
จากการสังเกต พบว่า ทางซ้ายมือของสมการเป็นจานวนคู่ แต่ทางขวาของ
สมการเปน็ จานวนคู่ ดังนน้ั กรณีน้เี ปน็ ไปไม่ได้
กรณี a และ b เป็นจานวนคี่ จะไดว้ ่ามจี านวนเตม็ m,n ทท่ี าให้

a  2m 1, b  2n 1

ฉะนน้ั

8c  a2  b2 10  (2m 1)2  (2n 1)2 10

 4m2  4m 1 4n2  4n 110

 4m2  4m  4n2  4n 12

2c  m2  m  n2  n  3  m(m 1)  n(n 1)  2 1

จานวนคู่ จานวนคู่
ซง่ึ สังเกตจากสมการ พบว่า ทางซ้ายมือของสมการเป็นจานวนคู่ แต่ทางขวา
ของสมการเป็นจานวนคู่ ดงั น้ัน กรณีน้ีเป็นไปไมไ่ ด้
จากทงั้ สองกรณี สรปุ ไดว้ า่ ไม่มจี านวนเตม็ ที่สอดคลอ้ งกบั สมการขา้ งตน้

ดังนน้ั จานวนชุดคาตอบ a,b,c มีทั้งหมดเทา่ กบั 0

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 1
คัดเลือกนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1
ประจาปี 2562

ข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี ประจาปี 2562

ตอนท่ี 1 ข้อสอบแบบเตมิ คาตอบ จานวน 20 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสมีความยาวด้านเท่ากับ 8 หน่วย E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน
AB ลากเสน้ ตรงจากจุด C ตั้งฉากกับเส้นตรง DE ท่จี ุด F ดงั รปู จงหาพนื้ ทขี่ องรปู ส่ีเหลย่ี ม BCFE

AE B

F C
D

2. จงหาหลกั หนว่ ยของ (1 2019 ... 20192562)  (1 2562 ... 25622019)

3. กาหนดให้ x  1 2019 จงหาคา่ ของ (4x3  2022x  2020)2019
2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 2

คัดเลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณติ ศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2562

4. กาหนดให้ A, B และ C มเี งินอยคู่ นละจานวนหนึง่ ที่ไม่เทา่ กนั

ถา้ A ได้รบั เงินเพิ่ม 120 บาท จะทาใหม้ เี งินเปน็ สองเทา่ ของ B และ C รวมกัน

ถา้ B ได้รบั เงนิ เพิ่ม 120 บาท จะทาให้มเี งินเป็นสามเทา่ ของ A และ C รวมกนั

ถ้า C ไดร้ ับเงินเพม่ิ 120 บาท จะทาใหม้ เี งินเป็นห้าเท่าของ A และ B รวมกนั

ถามว่า A, B และ C มเี งนิ รวมกี่บาท

5. มีต้นโกงกางตนหน่ึงอยู่ในแนวเดียวกันและอยู่ระหว่างปลาตีน 2 ตัว บนพื้นราบ ถ้าปลาตีนอยู่ห่างกัน
2 เมตร ถ้าปลาตีนแต่ละตวั มองเห็นยอดต้นโกงกางเป็นมุม 30 องศาและ 45 องศา แล้วต้นโกงกางนี้
สูงก่ีเมตร (ไมค่ ิดส่วนสงู ของปลาตีน)

6. ภาพสไลด์เปน็ รูปสเี่ หลี่ยมมมุ ฉากขนาด 22.5 ตารางเซนติเมตร เม่ือฉายข้ึนบนจอได้ภาพขยายมีพ้ืนท่ี
เปน็ 400 เทา่ ความยาวเสน้ รอบรปู ของภาพบนจอเทา่ กับก่เี ซนติเมตร

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ข้อสอบวิชาคณติ ศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 3

คดั เลือกนักเรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ ค่าย 1 ประจาปี 2562

7. ป้าเล็กสะสมเงินในกระปุกออมสินและต้องการแบ่งเงินบางส่วนให้หลาน 2 คน แต่อยากให้เกิดความ

สนุกเลยทาฉลากไวท้ ั้งหมด 4 ใบ โดยแต่ละใบมขี อ้ ความปรากฏดงั นี้

A : คุณจะได้เงนิ จานวน 200 บาท แตค่ รง่ึ หนึ่งของจานวนนตี้ อ้ งให้คนอน่ื

B : คุณจะได้เงินครง่ึ หนึ่งจากเงินทีเ่ หลอื อย่ใู นกระปุก

C : คณุ จะไดเ้ งินจานวน 200 บาท และโชคดไี มต่ ้องแบ่งให้คนอน่ื

D : คณุ ไดเ้ งินคร่งึ หนงึ่ จากเงินที่เหลอื ในกระปุกแต่ตอ้ งแบง่ หน่งึ ในสามของสว่ นทไ่ี ด้ใหค้ นอืน่

การหยิบฉลากจะสลับกันหยิบและเม่ือหยิบได้แล้วป้าเล็กจะต้องให้เงินตามฉลากท่ีเด็กหยิบได้ทันที โดย

สมชายโชคดเี ปน็ คนเริ่มก่อน ซ่ึงผลการหญบิ ฉลากของทั้งสองคนเป็นดงั น้ี

ครัง้ ที่ คนหยบิ ฉลาก

1 สมชาย C

2 สมหญิง B

3 สมชาย D

4 สมหญงิ A

ถ้าจานวนเงนิ ท่สี มชายไดร้ บั นอ้ ยกว่าจานวนเงินท่ีสมหญิงได้เป็นเงิน 50 บาท จงหาจานวนเงินท่ีป้าเล็ก

เหลอื อยู่ในกระปุก

8. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีคร่ึงวงกลมท่ีมี AB และ AD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
ลากเส้นตรงจากจุด P ซ่ึงเป็นจุดบนครึ่งวงกลมผ่านจุด A และตัดกับครึ่งวงกลมอีกรูปท่ีจุด Q โดยที่
PA ยาว 46 หนว่ ย และ AQ ยาว 14 หนว่ ย ดังรปู จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม

ABCD

46 P
B
A
Q 14

DC

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ สอวน. มอ.ปัตตานี หน้า 4

คัดเลือกนกั เรียนเข้าอบรม สอวน.สาขาคณิตศาสตร์ คา่ ย 1 ประจาปี 2562

9. กาหนดให้ x, y และ z เปน็ จานวนจรงิ ถา้

x  y : y  z : x  z  3: 4 : 5 และ 2x  2y  z : x  2y  2z : 2x  y  2z  a : b : c

โดยที่ a,b และ c เปน็ จานวนจริง และ ห.ร.ม.ของ a,b และ c เท่ากับ 1

จงหาค่าของ a2  b2  c2

10. จงหาคา่ ของจานวนเตม็ b ท่ีทาให้รากทีส่ ามของ 3b  (39 25)  (35 210)  215 มีคา่ เทา่ กับ 49

11. กาหนดให้ x, y เปน็ จานวนจรงิ ทสี่ อดคล้องระบบสมการ
| y 1| x  y  5 และ x | x  2 | y  8

จงหาคา่ ของ x เท่ากับเท่าใด

y

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา