Final E-Book Santi Tip-osot

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

5. คานแบบปลายหนึ่งยึดแน่นอีกปลายหนึ่งยึดหมุน ( propped beam ) คือ คาน
ยื่นที่ปลายอิสระของคานจะมีจุดรองรับอยู่ เพื่อเพิ่มความแข็งแรงมาขึ้นดังรูป วิธีการสอนแบบบรรยาย

ที่ 5
ใช้ทักษะการเสริมแรง
(Reinforcement Skill) โดยเน้น

เสียง เพื่อเป็นการกระตุ้นผู้เรียน
มีความสนใจในการเรียน

ผู้สอนเขียนรูปของคานคาน
รูปที่ 5
แบบปลายหนึ่งยึดแน่นอีกปลาย

6. คานต่อเนื่อง ( continuous beam ) คือคานที่มีจุดรองรับมากกว่าสองแห่งขึ้น หนึ่งยึดหมุน (propped beam)
ไป หรือมีช่วงของคานตั้งแต่สองช่วงขึ้นไปดังรูปที่ 6 และอธิบายลักษณะของแรงที่
กระท า โดยใช้สื่อแผ่นใส
ประกอบการบรรยาย

ใช้ทักษะการอธิบาย C 10

(Explaining Skill) ผู้สอนเขียน
กระดานประกอบการบรรยาย

รูปที่ 6 และให้ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย


คานทั้ง 6 ชนิดที่กล่าวมาแล้วยังสามารถแบ่งได้อีก 2 ประเภท อธิบายถึงการหาค่าแรง
1. คานแบบหาค่าได้ทางสถิตยศาสตร์ ( statically determinate beam ) คือคานที่ ปฏิกิริยา ถึงลักษณะการหาค่าได้
สามารถหาค่าแรงปฏิกิริยาที่ไม่รู้ค่าได้ โดยการใช้สมการของการสมดุลอย่าง เมื่อ ใช้สมการการสมดุลย์และ

เดียวก็หาค่าได้ คานแบบนี้ได้แก่ คานช่วงเดียว คานยื่น และคานช่วงเดียว หาค่าไม่ได้ถ้าใช้สมการการ
ปลายยื่น สมดุลย์เพียงอย่างเดียว
2. คานแบบหาค่าไม่ได้ทางสถิตยศาสตร์ ( statically indenterminate beam ) คือ

คานที่ไม่สามารถหาค่าของแรงปฏิกิริยาที่ไม่รู้ค่าได้โดยใช้สมการของการ
สมดุลเพียงอย่างเดียว จ าเป็นต้องใช้สมการอื่นเข้ามาช่วยจึงจะหาแรงปฏิกิริยา ผู้เรียน :

ของคานนั้นได้ตามต้องการ คานแบบนี้ได้แก่ คานแบบมีปลายข้างหนึ่ง ฟังการบรรยาย และจด
ยึดแน่นอีกปลายหนึ่งยึดหมุน คานแบบมีปลายทั้งสองยึดแน่น และคาน บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ต่อเนื่อง เป็นต้น ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

ชนิดของแรงหรือน ้าหนักที่กระท าบนคาน
เราสามารถแบ่งการพิจารณาชนิดของแรงหรือน ้าหนักที่กระท าบนคานได้ วิธีการสอนแบบบรรยาย

เป็น 4 แบบคือ
1. แรงที่กระท าเป็นจุด ( concentrated load or point load ) เป็นแรงหรือ อธิบายถึงการหาค่าแรง
น ้าหนักที่กระท าบนพื้นที่ที่มีขนาดเล็กมาก ซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดได้ ดังรูปที่ 7 ปฏิกิริยา ว่าต้องใช้สมการการ

โก่งและการคิดแบบอื่นเข้ามา
ช่วยซึ่งจะได้เรียนกันต่อไป


ใช้ทักษะการถาม
(Questioning skill) กระตุ้น

ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
รูปที่ 7 เรียน


2. แรงที่กระท าบนคานแบบกระจาย ( distributed load ) เป็นแรงหรือน ้าหนัก ผู้สอนอธิบายถึงลักษณะ
ที่กระท าบนพื้นที่หนึ่งหรือทั้งหมดของคานนั้น แบ่งการพิจารณาได้เป็น 2 ของแรงที่กระท ากับคานใน

แบบคือ ลักษณะต่างๆ โดยเขียนรูป C 10
ก. แรงที่กระจายสม ่าเสมอ ( uniformly distributed load ) เขียนย่อได้ ประกอบการอธิบาย
ว่า UDL โดยแรงนี้จะกระท าอย่างสม ่าเสมอหรือกระจายอย่าง

สม ่าเสมอตลอดพื้นที่นั้นดังรูปที่ 8 อธิบายถึงลักษณะของแรง
แบบกระจาย ทั้งแบบสม ่าเสมอ

และไม่สม ่าเสมอ


อธิบายการหาค่าของแรง
กระจายทั้งสม ่าเสมอและไม่
รูปที่ 8 สม ่าเสมอและไม่สม ่าเสมอ
ข. แรงที่กระจายไม่สม ่าเสมอ ( non – uniformly distributed load )



ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

รูปที่ 9

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

3. แรงคู่ควบหรือโมเมนต์ ( couple or moment ) เป็นแรงที่พยายามจะท าให้เกิด
การหมุนบนคานนั้นดังรูปที่ 10 วิธีการสอนแบบบรรยาย


ใช้ทักษะการอธิบาย
(Explaining Skill) ผู้สอนเขียน

กระดานประกอบการบรรยาย
และให้ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย

รูปที่ 10


ใช้สื่อแผ่นใส อธิบายการหา
4. แรงรวม ( combined load ) เป็นแรงที่รวมกันระหว่างแรงเป็นจุดกับแรง แรงรวมโดยแรงแบบต่างกระท า

กระจายที่กระท าบนคาน หรือแรงคู่ควบ หรือโมเมนต์ หรือแรงทั้งสาม รวมกัน
ประเภทรวมกันก็ได้ดังรูปที่ 11


ใช้ทักษะการเสริมแรง
(Reinforcement Skill) เพื่อเป็น C 10

การกระตุ้นผู้เรียน พร้อมทั้ง
ซักถามผู้เรียนบ้าง ให้ผู้เรียนคิด
ตาม



ให้ผู้เรียนหัดท าแบบฝึกหัด

การหาแรงปฏิกิริยาแบบต่างๆ
โดยให้ท าเป็นการบ้านแล้วน ามา

ส่งเป็นคะแนน

รูปที่ 11

ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด

บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดภายในคาน
วิธีการสอนแบบบรรยาย

เมื่อคานถูกกระท าด้วยแรงหรือน ้าหนักและโมเมนต์ดัดภายนอก จะท าให้
เกิดความเค้นขึ้นภายในคาน ในการที่จะหาขนาดของความเค้นที่หน้าตัดใดๆ ของ ใช้ทักษะการเสริมแรง
คาน จึงจ าเป็นที่จะต้องสามารถค านวณหาแรงและโมเมนต์ดัดที่เกิดขึ้นที่หน้าตัด (Reinforcement Skill) โดยเน้น

นั้นให้ได้เสียก่อนโดยการใช้สมการของการสมดุลทางสถิตยศาสตร์ เสียง เพื่อเป็นการกระตุ้นผู้เรียน
มีความสนใจในการเรียน
แรงเฉือน ( shearing force ) คือ แรงที่จะท าให้คานที่รับแรงนี้ถูกเฉือนขาด

ในแนวดิ่งปกติแล้วแรงเฉือนนี้จะมีผลต่อการเฉือนขาดของวัสดุที่ใช้ท าคานในงาน
โครงสร้างต่าง ๆ มาก

ใช้ทักษะการอธิบาย
โมเมนต์ดัด ( bending moment ) คือ โมเมนต์ดัดที่เกิดขึ้นอันเนื่องจากแรง (Explaining Skill) และผู้สอน
เฉือนที่กระท าต่อคาน โมเมนต์ดัดนี้เองที่จะพยายามให้คานที่รับแรงเฉือนนั้นโค้ง เขียนกระดาน และใช้สื่อแผ่นใส

งอจนไม่สามารถที่จะใช้งานต่อไปได้อีก ประกอบการบรรยาย แล้วให้
ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย
ไดอะแกรมของแรงเฉือน ( shear force diagram ) เขียนย่อว่า SFD คือ C 10

แผนภาพที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างแรงเฉือนกับความยาวของคานโดยมีจุด
ทางด้านซ้ายมือของคานเป็นจุดเริ่มต้นค่าทางแกน x จะเป็นระยะทางที่วัดไปตาม

ความยาวของคานนั้น ตั้งแต่ทางด้านซ้ายมือจนถึงทางด้านขวามือสุดของคานนั้น ใช้ทักษะการเสริมแรง
และค่าทางแกน y จะเป็นค่าของแรงเฉือนในแนวดิ่งที่หน้าตัดใด ๆ ของคานนั้น (Reinforcement Skill) เพื่อเป็น
การกระตุ้นผู้เรียน พร้อมทั้ง

ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด ( bending moment diagram ) เขียนย่อว่า ซักถามผู้เรียนบ้าง ให้ผู้เรียนคิด
BMD คือ แผนภาพที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัดกับความยาวของคาน ตาม

นั้น โดยที่มีจุดทางด้านซ้ายมือสุดของคานเป็นจุดเริ่มต้นค่าทางแกน x จะเป็น
ระยะที่วัดไปตามความยาวของคานนั้น ตั้งแต่ทางด้านซ้ายมือจนถึงทางด้านขวามือ
สุดของคานนั้น และค่าทางแกน y จะเป็นค่าของโมเมนต์ดัดที่หน้าตัด ใด ๆ

ของคานนั้น ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

เครื่องหมาย ( Sign convention )
กรณีของแรงเฉือน ในการพิจารณาให้พิจารณาคานทางด้านซ้ายมือสุดเป็น วิธีการสอนแบบบรรยาย

จุดเริ่มต้น แล้วคิดไปทางด้านขวามือของคาน แรงใดที่มีทิศทางขึ้น เช่น แรง
ปฏิกิริยาของคานช่วงเดียวนั้นให้มีเครื่องหมายเป็นบวก ( + ) และแรงใดที่มีทิศทาง ใช้ทักษะการอธิบาย
ลงล่าง เช่น น ้าหนักหรือแรงที่กระท ากับคานให้มีเครื่องหมายเป็นลบ ( - ) (Explaining Skill) และผู้สอน

เครื่องหมายเหล่านี้จะกลับกันถ้าหากการพิจารณาเริ่มจากทางด้านขวามือไป เขียนกระดาน และใช้สื่อแผ่นใส
ทางด้านซ้ายมือ ดังรูปที่ 12 ประกอบการบรรยาย แล้วให้

ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย


ผู้สอนอธิบายการคิด
รูปที่ 12 เครื่องหมายของคานเมื่อ
รับภาระ โดยเขียนกระดาน

กรณีของโมเมนต์ดัด ในการพิจารณาเครื่องหมายของโมเมนต์ดัดนั้น เรา ประกอบการอธิบาย แรงเฉือน
จะพิจารณาได้โดยให้โมเมนต์ดัดใดก็ตามที่ท าให้คานเกิดการแอ่นหรือโก่งงอลง

ด้านล่าง คือเกิดอาการถูกดึงไปทางด้านล่างของคาน หรือเกิดอาการถูกอัดทาง C 10
ด้านบนของคาน ให้เป็นโมเมนต์ดัดบวก ( +) ได้แก่ โมเมนต์ดัดของคานช่วงเดียว ใช้ทักษะการถาม
เป็นต้นดังแสดงในรูปที่ 13 (Questioning skill) กระตุ้น

ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา

เรียน


รูปที่ 13

อธิบายการคิดเครื่องหมาย
และถ้าโมเมนต์ดัดใด ๆ ก็ตามที่ท าให้คานนั้นโก่งงอขึ้นด้านบน คือเกิดอาการถูก เมื่อคานถูกแรงกระท า และเขียน
ดึงทางด้านบนของคาน หรือเกิดอาการถูกอัดทางด้านล่างของคานให้เป็นโมเมนต์ รูปประกอบการอธิบาย

ดัดลบ ( - ) ได้แก่ โมเมนต์ของคานยืน เป็นต้นดังรูปที่ 14

ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

รูปที่ 14

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

แผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดภายในคาน
การที่จะหาแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคานที่รองรับแบบคานช่วงเดียว วิธีการสอนแบบบรรยาย

หรือคานช่วงเดียวปลายยื่นนั้น จ าเป็นจะต้องหาแรงปฏิกิริยาที่รองรับของคาน
ก่อนเสมอ ดังนั้นค่าแรงปฏิกิริยาที่ค านวณได้จะต้องเป็นค่าที่ถูกต้อง มิฉะนั้นจะท า อธิบายการเขียนแผนภาพ
ให้การหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดของคานนั้นผิดพลาดตามไปด้วย ส่วนคาน แรงเฉือน และโมเมนต์ดัด

แบบคานยื่นนั้นไม่จ าเป็นจะต้องหาค่าแรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้น ในกรณีของคานช่วง
เดียวหรือคานช่วงเดียวปลายยื่น แรงปฏิกิริยาแต่ละตัวจะหาได้โดยการหาโมเมนต์
รอบจุดรองรับ [ M = 0 ] แล้วใช้ผลรวมของแรงปฏิกิริยาเท่ากับแรงที่กระท ากับ

คานหรือน ้าหนักที่กระท ากับคาน [ Fy = 0 ] ก็จะหาค่าแรงปฏิกิริยาที่กระท ากับ อธิบายการหาค่าแรงเฉือน
จุดรองรับของคานได้ตามต้องการ ซึ่งจะสามารถหาแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดที่ โดยใช้หลักการสมดุลย์แรงให้

เกิดขึ้นที่หน้าตัดนั้นได้โดยใช้สมการสถิตยศาสตร์ดังรูปที่ 15 มันสมดุลย์กันเพื่อหาค่าแรงที่
เฉือน โดยการหาค่านั้นจะต้อง
ตัดคานออกทุกช่วงที่ภาระที่กระ

ท านั้นเปลี่ยนไป

C 10


อธิบายการเขียนสมการแรง
เฉือนและสมการโมเมนต์ดัด

ของคานแต่ละช่วง


รูปที่ 15


พิจารณาคานซึ่งถูกกระท าด้วยแรง F ,F และ F โดยแรง R และ R เป็นแรง ให้ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย
B
A
3
1 2
ปฏิกิริยา ณ ที่จุดรองรับ ซึ่งเราสามารถที่จะหาได้จากสมการ M = 0 และ
Fy = 0
ให้ V คือแรงเฉือน และ M คือโมเมนต์ดัดที่หน้าตัดระยะทาง x จากที่

จุดรองรับ A ซึ่งเป็นค่าที่ต้องการจะหา โดยให้คานถูกตัดออกที่หน้าตัดนั้นซึ่งจะ ผู้เรียน :
ท าให้เกิดแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดขึ้น ดังรูป free body ในการที่คานนี้จะอยู่ ฟังการบรรยาย และจด
ในสภาพสมดุลได้ แรงรวมตามแนวดิ่งจะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งจะได้ บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

V + F + F – R = 0 ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
1
A
2
V - R – F – F
A
1
2

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

โมเมนต์ดัดรวมที่หน้าตัดต้องเท่ากับศูนย์ จะได้สมการ
M + F ( x – a ) + F ( x – b ) – R x = 0 วิธีการสอนแบบบรรยาย
A
1
2
M - R x - F ( x – a ) - F ( x – b ) ใช้ทักษะการถาม
1
A
2
(Questioning skill) กระตุ้น
ค่าของแรงเฉือน V และโมเมนต์ดัด M จากสมการ 1 และ 2 นี้ส าหรับ ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
อยู่ในช่วง b<x<c เท่านั้น ถ้าต้องการทราบค่าของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดที่หน้า เรียน
ตัดอื่นซึ่งจ านวนแรงที่มากระท าต่อคานก็จะเปลี่ยนไป ก็ให้ตัด free body ที่หน้า
ตัดนั้น แล้วจึงใช้สมการการสมดุลทางสถิตยศาสตร์อีก อธิบายถึงการเขียนกราฟ

เมื่อได้ค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดของแต่ละช่วงแล้วก็สามารถน าไปเขียน โดยใช้ค่าของแรงเฉือนที่ได้ไป
กราฟของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดได้ โดยให้แกน x แทนต าแหน่งของหน้าตัด เขียนไดอะแกรม
ของคาน ส่วนขนาดของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดจะแทนได้ด้วยแกน y ฉะนั้น

แผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดจึงเป็นการแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาด
ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดที่หน้าตัดใด ๆ ไปตามความยาวของคาน จาก อธิบายถึงจุดที่แรงเฉือนมาก

แผนภาพของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดที่ได้ก็จะท าให้ทราบค่าสูงสุดของแรงเฉือน ที่สุด เขียนไดอะแกรมให้ผู้เรียน
และโมเมนต์ดัดที่เกิดขึ้นในคานนั้น ตลอดจนต าแหน่งที่เกิดค่าสูงสุดเหล่านี้ด้วย ดูบนกระดาน แล้วถามว่าเกิด
ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการที่จะค านวณหาความเค้นดัดและความเค้นเฉือนในความ ณ.ที่จุดใด C 10

ต่อไป
ต ำแหน่งรับแรงเฉือนมำกที่สุด ในการหาค่าและต าแหน่งของแรงเฉือน
สูงสุดนั้นจะต้องสร้างแผนภาพของแรงเฉือน ทั้งนี้เพราะไม่มีวิธีการค านวณวิธีใด อธิบายถึงจุดที่โมเมนต์

ที่จะบอกได้ว่าแรงเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นจะเกิด ณ ที่ใดของคานนั้น แต่โดยทั่ว ๆ เกิดขึ้นสูงสุด
ไปแล้วมักจะเกิดขึ้นที่บริเวณจุดรองรับของคานนั้นเป็นส่วนใหญ่


ต ำแหน่งรับโมเมนต์ดัดสูงสุด ในการที่จะหาความเค้นดัดในคานมีความ อธิบายสมการของความ
จ าเป็นที่จะต้องใช้ค่าโมเมนต์ดัดที่มีขนาดสูงสุด ( ค่าเป็นบวกหรือลบมากที่สุด ) พันธ์กันของแรงเฉือนโมเมนต์

ต าแหน่งที่ขนาดของโมเมนต์ดัดสูงสุด อาจจะหาได้โดยการใช้ข้อสังเกต ดัดและน ้าหนักที่กระท า
ดังต่อไปนี้
1. ค่าโมเมนต์ดัดสูงสุดจะเกิดขึ้น ณ ต าแหน่งที่มีค่าของแรงเฉือนเปลี่ยนจาก

บวกมาเป็นลบ ผู้เรียน :
2. ค่าโมเมนต์ดัดต ่าสุดจะเกิดขึ้น ณ ต าแหน่งที่มีค่าของแรงเฉือนเปลี่ยนจากลบ ฟังการบรรยาย และจด
มาเป็นบวก บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

3. ในกรณีที่สมการของโมเมนต์ดัดเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x ตลอด โมเมนต์ ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
dM
ดัดสูงสุดและโมเมนต์ดัดต ่าสุดจะเกิดเมื่อ V  0 ..  0
dX

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

4. ในกรณีที่มีแรงกระท าเป็นจุดอยู่ด้วย ขนาดสูงสุดของโมเมนต์ดัดจะเกิดขึ้น
ณ ที่ใดที่หนึ่งของแรงที่กระท าเป็นจุด ทั้งนี้ยกเว้นคานแบบยื่น วิธีการสอนแบบบรรยาย

5. ขนาดสูงสุดของโมเมนต์ดัดในคานแบบยื่น จะเกิดที่ปลายของคานซึ่งถูก ใช้ทักษะการเสริมแรง
ยึดแน่น (Reinforcement Skill) โดยเน้น
เสียง เพื่อเป็นการกระตุ้นผู้เรียน

จุดดัดกลับ ( Point of inflection ) มีความสนใจในการเรียน
จุดดัดกลับในคานคือจุดบนเส้นโค้งอีลาสติก ที่โมเมนต์ดัดเปลี่ยน

เครื่องหมายซึ่งจะตรงกับจุดที่ตัดกับแกน x ของแผนภาพของโมเมนต์ดัด
จุดดัดกลับจะเกิดขึ้นเมื่อคานนั้นถูกกระท าทั้งโมเมนต์ดัดชนิดบวกและลบ
ซึ่งได้แก่ คานช่วงเดียวปลายยื่น ส าหรับคานช่วงเดียวและคานยื่นจะไม่มีจุดดัด อธิบายความสัมพันธ์ของ
กลับเกิดขึ้น แรงเฉือน,โมเมนต์ดัดและ

น ้าหนัก
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงเฉือน (V ) , โมเมนต์ดัด ( M ) และน ้าหนัก ( w )

ในคานที่มีแรงหรือน ้าหนักที่ยุ่งยากมากขึ้น การค านวณและการสร้าง
แผนภาพของแรงเฉือนและของโมเมนต์ดัดจะยุ่งยากและเสียเวลามาก ดังนั้นถ้ารู้
ถึงความสัมพันธ์ระหว่างแรงหรือน ้าหนักบนคานแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ก็ ใช้ทักษะการอธิบาย C 10

นับว่าสะดวกและเป็นประโยชน์มากต่อการสร้างแผนภาพและการระบุต าแหน่ง (Explaining Skill) ผู้สอนเขียน
หน้าตัดของคานที่มีค่าโมเมนต์ดัดสูงสุดได้ด้วย กระดาน และใช้สื่อแผ่นใส

ประกอบการบรรยาย แล้วให้
ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย




เขียนรูปแสดงแกนสะเทินและ

จุดศูนย์ถ่วง



รูปที่ 16 ผู้เรียน :
จากรูปให้พิจารณาคาน AB ซึ่งเป็นคานช่วงเดียว และมีแรงกระท าเท่ากับ ฟังการบรรยาย และจด
w N/m ถ้าตัดส่วนหนึ่งของคานออกมาขนาดยาว x แรงที่กระท าต่อส่วนนี้ของ บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

คานได้ถูกแสดงไว้ในรูปที่ 16 ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

เนื่องจากคานนี้อยู่ในสภาพสมดุล ผลรวมทางแนวดิ่งของแรงจึงเท่ากับ
ศูนย์ วิธีการสอนแบบบรรยาย

[ F V  0 ];....  ( V V ) W X  V  0

V  V W X  V  0 ใช้ทักษะการอธิบาย
 V  W X (Explaining Skill) ผู้สอนเขียน
 V กระดาน และใช้สื่อแผ่นใส
  W
 X ประกอบการบรรยาย แล้วให้
ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย
ให้ lim it X เข้าใกล้ศูนย์ ดังนั้น


dV   W อธิบายการสมดุลย์ของคาน
dX
แรงและโมเมนต์จะต้องเท่ากับ
และผลรวมของโมเมนต์มีค่าเท่ากับศูนย์ด้วย ศูนย์

[ M o  0 ];....(M  M ) W (x ) x    M V (x )  0


2 
x 2 ใช้ทักษะการถาม C 10
M  M W  M V x  0
2 (Questioning skill) กระตุ้น
 x 2 ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
M  V x  W
2 เรียน

 M  V  W  x
 x 2

ให้ limit x เข้าใกล้ศูนย์ สรูปถึงสูตรที่ใช้ และให้

ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย
dM
  V
dV

ผู้เรียน :

ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

ตัวอย่างที่ 1
จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปนี้พร้อมทั้งหาขนาดและต าแหน่ง วิธีการสอนแบบบรรยาย

ของโมเมนต์ดัดสูงสุดด้วย
วิธีท ำ หาแรงปฏิกิริยา R A, R อธิบายถึงลักษณะของ
B
 M A   0 4R B  10  2 โจทย์ว่าควรจะพิจารณาอย่างไร
20 และใช้สูตรของกรณีใดมา
R   5 kN ; R  10  5  5 kN
B
4 A พิจารณา


ใช้สื่อแผ่นใสประกอบ
ตัวอย่าง


ให้ผู้เรียนมีส่วนร่วมในการ
ท าตัวอย่างร่วมกับผู้สอน



อธิบายการเขียนแผนภาพ C 15

ไดอะแกรมแรงเฉือนและ
โมเมนต์ดัด

ที่หน้าตัด 0  x  2
V  R  5 kN อธิบายการเขียนสมการแรง
A
M  R A x 5 xkN. m เฉือนและสมการโมเมนต์เพื่อ
x 0 ,.... M  0 kN. m น าไปเขียนแผนภาพไดอะแกรม
x  2 ,.... M  2 ( 5 )........ 10 kN. m

ที่หน้าตัด 2  x  4 อธิบายการหาระยะที่
V  5  10  5 kN โมเมนต์กระท าสูงสุด
M  5 x 10 x (  ) 2 kN. m
x  2m ,....M  10  0
ผู้เรียน :
 10 kN. m ฟังการบรรยาย และจด
x  4m ,....M  ) 4 ( 5  10 ) 2 (
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
 0 kN. m ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น


 โมเมนต์ดัดสูงสุดเท่ากับ 10 กิโลนิวตัน.เมตร กระท าที่ต าแหน่งห่างจากจุด
A เท่ากับ 2 เมตร ไปทางขวามือ ANS

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

ตัวอย่างที่ 2
จงเขียน SFD และ BMD ของคานต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาขนาดและต าแหน่ง วิธีการสอนแบบบรรยาย

ของโมเมนต์ดัดสูงสุดด้วย ใช้ทักษะการเสริมแรง
(Reinforcement Skill) โดยเน้น
เสียง เพื่อเป็นการกระตุ้นผู้เรียน

มีความสนใจในการเรียน

อธิบายถึงลักษณะของ

โจทย์ว่าควรจะพิจารณาอย่างไร
และใช้สูตรของกรณีใดมา
พิจารณา




ใช้สื่อแผ่นใสประกอบ
ตัวอย่าง
C 15

ให้ผู้เรียนมีส่วนร่วมในการ
ท าตัวอย่างร่วมกับผู้สอน
วิธีท ำ

หาแรงปฏิกิริยา R , R
B
A
 M A  0 ..... 8R B  8 (  4  ) 2  ( 16  4  ) 6 อธิบายการหาแรงแบบ
448
R   56 kN กระจายเพื่อหาแรงปฏิกิริยา
B
8 พร้อมเขียนรูปประกอบการ

 R  8 (  ) 4  ( 16  ) 4  56  40 kN อธิบาย
A

ที่หน้าตัด 0  x  4

V  R  8 xkN ผู้เรียน :
A
x  0m , V  R 40 kN ฟังการบรรยาย และจด
A
x  4 m V  40  ) 4 ( 8  8 kN บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

x 8 2
M  R x  kN. m ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
A
2
x  0m , M  0 kN. m
x  4m , M  40 ) 4 (  ) 4 ( 3  96 kN. m

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

ที่หน้าตัด 4  x  8
V  40  32  16 x (  ) 4 kN วิธีการสอนแบบบรรยาย

x  4m , V  40  32  16 ) 0 (  8 kN
x  8m , V  40  32  16 ) 4 (   56 kN ยกตัวอย่างของลักษณะของ
16 แรงที่กระท าแบบกระจาย
M  40 x 32 x (  ) 2  x (  ) 4 2 kN. m
2
x  4m , M  40 ) 4 (  32 ) 2 (  ) 0 ( 8  96 kN. m

x  8m , M  40 ) 8 (  32 ) 6 (  ) 4 ( 8 2  0 kN. m อธิบายการหาแรงแบบ
กระจายเพื่อหาแรงปฏิกิริยา
โมเมนต์ดัดสูงสุดที่เกิดขึ้นที่ SF=0 พร้อมเขียนรูปประกอบการ

40  32  16 ( x ) 4  0 อธิบาย

16 x 72


72
x   5 . 4 m ให้ผู้เรียนช่วยกันค านวณหา
16
ค่าแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
M max  40 ) 5 . 4 (  32 ) 5 . 2 (  ) 5 . 0 ( 8 2 C 10


 โมเมนต์ดัดสูงสุด 98 kN. m อธิบายการเขียนสมการแรง
กระท าที่จุดห่างจาก A ไปทางขวามือเท่ากับ 4.5 เมตร ANS เฉือน และสมการโมเมนต์ในแต่
ละช่วงคาน เพื่อน าไปเขียน

ไดอะแกรม









ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

สรุปเนื้อหาวิชา

คาน คือชิ้นส่วนที่รับแรงหรือน ้าหนักในลักษณะตั้งฉาก คานจะเกิดการดัด คานแบ่งออกเป็น 2ชนิด คือแบบหาค่าได้ทาง

สถิตยศาสตร์ และคานแบบหาค่าไม่ได้ทางสถิตยศาสตร์ ในบทนี้จะหาแบบแรกก่อน ในขั้นแรกเราจ าก าหนดเครื่องหมายของการดัด
ก่อน แรงที่ดัดคานให้โค้งลง เราจะให้ค่าลบ และแรงที่ดัดคานแอ่นขึ้นเราจะให้ค่าบวก ขั้นตอนการหาค่าความเค้นดัดเรากระท าได้

ดังนี้
1. หาแรงปฏิกิริยา เขียนไดอะแกรมรูปอิสระ ( F.B.D.) ของคานและหาแรงปฏิกิริยามาให้ได้ก่อน ซึ่งแรงจะต้องตั้งฉากกับ
คาน

2. เขียนไดอะแกรมแรงเฉือน ก าหนดแกนของกราฟโดยแรง V อยู่ในแกนตั้ง x ในแนวนอนพล๊อตค่าที่รู้ของแรงที่กระท า
ณ ปลายคานทั้งสอง โดยตัดคานออกทุกช่วงที่มีแรงกระท าเปลี่ยนไป แล้วใช้สมการสมดุลย์หาแรงเฉือนแล้ว
3. น ามาพล๊อตกราฟ

เขียนไดอะแกรมโมเมนต์ดัด ก าหนดกราฟของโมเมนต์ดัดอยู่ในแนวตั้ง M และแกน X อยู่ในแนวนอนพล๊อตค่าโมเมนต์ โดย
ตัดคานออกเป็นช่วงเหมือนกับแรงเฉือน เขียนสมการโมเมนต์ดัดทุกหน้าตัดโดยใช้สมการของแรงเฉือนมาพิจารณา แล้วใช้สมการ
ของโมเมนต์ดัดมาหาค่าโมเมนต์ดัดสูงสุด


ข้อสังเกตการสอน

สังเกตพฤติกรรมนักศึกษาขณะท าการสอน






Home Work

แบบฝึกหัด 4

ข้อ 1 ถึง 10
จากหนังสือ ความแข็งแรงของวัสดุ ผู้แต่ง ชนะ กสิภาร์

ก าหนดส่ง วันที่ 4 มกราคม 2543



หมายเหตุ


บรรจบ อรชร , กลศาสตร์ของแข็ง , กรุงเทพฯ , B
โรงพิมพ์บริษัทพิมพ์ดีจ ากัด , 2541 หน้า
สุรเชษฐ์ รุ่งวัฒนาพงษ์ , กลศาสตร์ของแข็ง , กรุงเทพฯ , C

โรงพิมพ์บริษัทเอช . เอ็น . กรุ๊ป , 2536 หน้า

แผนก ช่างเชื่อมและเทคนิคโลหะ วิทยาลัยเทคนิคระยอง

หน่วยเตรียมการสอน ( UNIT LESSON PREPARATION )


วิชา ความแข็งแรงของวัสดุ1 การสอนครั้งที่ 11
หัวข้อเรื่อง-หัวข้อย่อย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
ความเค้นดัด -เพื่อให้ผู้เรียนสามารถอธิบายความหมายของการดัดในคานได้

- การดัดในคานตรง อย่างถูกต้อง
- สูตรของการดัด - เพื่อให้ผู้เรียนสามารถหาค่าความเค้นดัดที่เกิดขึ้นในคานแบบอิ
- การหาต าแหน่งของแนวแกนสะเทิน ลาสติกได้อย่างถูกต้อง

- ขั้นตอนการวิเคราะห์การดัดของคาน - เพื่อให้ผู้เรียนสามารถหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของคานที่มีหน้า
ตัดไม่สมมาตรได้อย่างถูกต้อง

- เพื่อให้ผู้เรียนสามารถหาค่าความเค้นดัดในคานที่มีหน้าตัดไม่
สมมาตรได้อย่างถูกต้อง


เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรมผู้สอน/ ผู้เรียน หนังสือ นาที
ความเค้นดัดในคาน (สัปดาห์ที่ 11)
Bending stress in beam การสอนแบบบรรยาย

เมื่อคานถูกแรงภายนอกมากระท าหรือคานรับน ้าหนักไว้ จะท าให้เกิดมี Explainning Skill

แรงต้านทานเกิดขึ้นในคานนั้น ผลของแรกภายนอกและแรงคู่ควบที่มากระท ากับ ผู้สอนอธิบายถึงผลของการเกิด
คาน โดยทั่วไปจะท าให้เกิดแรงปฏิกิริยาดังนี้ เหตุการณ์ต่างๆเมื่อคานรับแรง
1. ความเค้นดัด (bending stress) เกิดขึ้นที่หน้าตัดของคานที่ตั้งฉาก กระท า โดยอธิบายถึงลักษณะ

กับแกนตามความยาวของคานนั้น ของแรงที่กระท าจะต้องตั้งฉาก
2. ความเค้นเฉือน (shearing stress) ก็จะเกิดขึ้นที่หน้าตัดของคาน เท่านั้นแรงในแนวแกนไม่น ามา

ที่ตั้งฉากกับแกนตามความยาวของคานนั้นด้วย คิด
3. การโก่งของคาน (deflection) ซึ่งจะกระท าตั้งฉากตามความยาว Explainning Skill A,B 15
ของคานนั้น อธิบายความหมายของความ

5.1 ความเค้นดัดล้วน (Pure bending) เค้นดัดล้วน
ความเค้นดัดล้วน คือคานหรือส่วนของคานที่ถูกกระท าด้วยแรงคู่ควบหรือโมเมนต์

ดัดที่ปลายทั้งสองข้างโดยไม่มีแรงอื่นเลย จะท าให้แรงเฉือนมีค่าเป็นศูนย์ตลอดทั้ง
คาน ซึ่งจะท าให้เกิดความเค้นดัดเพียงอย่างเดียว ดังรูปที่ 5.1

เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
5.2 ความเค้นดัดธรรมดา (Oridinary bending) เขียนรูปแสดงคานแบบแรงดัด
ความเค้นดัดธรรมดา คือคานที่รับแรงหรือน ้าหนักตามแนวตั้งฉากกับ อย่างเดียวบนกระดาน

แนวของคานนั้น ซึ่งจะมีผลท าให้เกิดทั้งความเค้นดัดและความเค้นเฉือนในคาน
เนื่องจากว่ามีทั้งแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดเกิดขึ้นที่หน้าตัดของคานนั้น

กิจกรรมผู้เรียน
นั่งฟังและจดตาม


Explainning Skill
อธิบายและเขียนบนกระดาน

แสดงคานที่รับความเค้นแบบ
ธรรมดา









5.3 ข้อสมมติฐานที่ใช้ในการหาค่าความเค้นดัดที่เกิดขึ้นในคาน
1. ก่อนที่จะมีแรงมากระท ากับคานนั้น คานจะต้องมีลักษณะตรงอยู่เสมอ

ตลอดคาน
2. คานที่ใช้จะต้องท ามาจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันตลอดทั้งคาน Explainning Skill
3. ความเค้นที่เกิดขึ้นในคาน จะต้องมีขนาดไม่เกินค่าขีดจ ากัดความ อธิบายข้อสมมติฐานที่ใช้ใน

ยืดหยุ่นของคานที่จะรับได้ การหาค่าความเค้นดัดที่เกิด
4. ค่าโมดูลัสของความยืดหยุ่น ทั้งที่ด้านรับความเค้นดึงและรับความเค้น ขึ้นในคาน

อัดในคาน จะต้องมีค่าเท่ากันเสมอ
5. ระนาบหน้าตัดของคานทั้งก่อนและหลังการพิจารณา จะต้องเป็น

ระนาบหน้าตัดเดิมเสมอ
6. ความโก่งของคานที่เกิดขึ้นจะต้องมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับความยาว

ของคานนั้น










เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ให้พิจารณาคานตรงที่มีค่าโมเมนต์ดัดมากระท าที่ปลายคานทั้ง 2 ข้าง การสอนแบบบรรยาย
ดังรูปที่ 5.3(ก) ซึ่งจะท าให้คานเกิดการโค้งงอขึ้น ถ้าต้องการหาค่าของความเค้น Explainning Skill
ดัดที่เกิดขึ้นในคาน ให้ท าการตัดส่วนหนึ่งของคานออกมายาวเท่ากับ dx ดังรูปที่ อธิบายปรากฎการณ์ต่างๆเมื่อ

5.3(ข) เนื่องจากผลของการดัดจะท าให้ผิวด้านบนของคานเกิดความเค้นอัด ส่วน คานรับแรง
ผิวทางด้านล่างจะเกิดความเค้นดึง ในระหว่างด้านบนและด้านล่างของคานจะมี

ชั้นที่ไม่ยืดตัวและหดตัว ซึ่งความเค้นที่เกิดขึ้นในชั้นนี้จะมีค่าเป็นศูนย์ เราเรียก
แนวที่ความเค้นมีค่าเป็นศูนย์นี้ว่า แนวแกนสะเทิน (neutral axis) ในที่นี้ก็คือค่า
แนว ab ซึ่งมีค่าเท่ากับความยาวของ dx ก าหนด p เป็นรัศมีของความโค้งของ

คานที่ถูกดัดจากแนวแกนสะเทิน และให้พิจารณาคานที่ชั้นใด ๆ ce ซึ่งอยู่ห่างจาก
แนวแกนสะเทินเป็นระยะทาง y ลากเส้น bd ขนานกับ oc จะได้ว่า ab=cd=dx


 ส่วนที่ยืดออกของคานในชั้นนี้ก็คือ de เขียนสมการแสดงที่มาของสูตร

บนกระดาน
de
ความเครียด ( )  ระยะยืดตัว / ความยาวเดิม 
dx
แต่ dx  d  และ bd ˆ e  d 


de  yd  อธิบายขั้นตอนการหาสูตร A,B 45


yd  y
  
d  



แต่ความเครียด  
E
กิจกรรมผู้เรียน
 y  E นั่งฟังและจดตาม
 หรือ 
E  y 


Ey เขียนรูปประกอบการอธิบาย
 
 บนกระดาน











เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ต่อไปพิจารณาหน้าตัดของคานดังรูปที่ 5.4 ความเค้นบนหน้าตัดที่ระยะ y จาก การสอนแบบบรรยาย
แนวแกนสะเทิน Explainning Skill
Ey อธิบายถึงวิธีการหาสูตรจาก
 
 การเกิดการดัดของคาน

ถ้าให้ dA เป็นพื้นที่เล็ก ๆ ซึ่งอยู่ห่างจากแนวแกนสะเทินเป็นระยะทาง y
เนื่องจาก รูปที่ 5.4 แรง = ความเค้น  พื้นที่

E
dF   dA  y  dA

โมเมนต์ของแรงนี้รอบแกนสะเทิน



M  dF  r   E y  dA  y   E y 2 dA




E
M   y 2 dA


E
M  I

2
เมื่อ I = y dA เป็นโมเมนต์ของความเฉื่อย (moment of inertia) ของรูป
หน้าตัดของคานรอบแกนสะเทินนั้น


M E กิจกรรมผู้เรียน
 
I  นั่งฟังและจดตาม


E  
 y


M  My
ฉะนั้น   
I y I
ถ้าให้ c เป็นระยะจากแนวแกนสะเทินของหน้าตัดนั้น ไปยังขอบบนสุดและล่างสุด

ของหน้าตัดของคานนั้น เราก็จะได้ความสัมพันธ์ว่า
I  Mc สรุปสูตรที่จะน าไปใช้หาค่า
M  หรือ  
C I ความเค้นดัด ให้ผู้เรียนน าไปใช้
I
ค่าของ ในสูตรข้างต้นเรียกว่า โมดูลัสของหน้าตัดและใช้สัญญลักษณ์เป็น z
c
M
จะได้สมการ  
Z



เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

Explainning Skill
5.4 การหาต าแหน่งของแนวแกนสะเทิน อธิบายการหาต าแหน่งแกน
โดยที่ I ซึ่งเป็นค่าของโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน ดังนั้นจึง สะเทิน อธิบายพร้อมเขียน

จ าเป็นต้องหาต าแหน่งของแนวแกนสะเทินของรูปหน้าตัดของคานให้ได้เสียก่อน กระดานประกอบ
จากการสมดุลของแรงในแนวราบ



 Fx   0  y dA  0 กิจกรรมผู้เรียน
นั่งฟังและจดตาม

  y ydA  0
y


y 
 ydA  0
y



y 


แต่ ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่า ydA จะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งค่า ydA คือ
y
ค่าของโมเมนต์ของพื้นที่หน้าตัดของคานรอบแกนสะเทินเขียนแทนได้ด้วย A
y
โดยที่ y เป็นระยะห่างจากแกนศูนย์ถ่วงของรูปหน้าตัดกับแกนสะเทิน A,B 30





เขียนรูปแสดงแกนสะเทินและ
จุดศูนย์ถ่วง





ดังนั้น ydA  yA  0

แต่ A ไม่เท่ากับศูนย์ ดัง นั้น y จะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งแสดงว่าต าแหน่งของแกน Explainning Skill

สะเทินอยู่ที่เดียวกับต าแหน่งของแกนศูนย์ถ่วงของรูปหน้าตัดนั้น ถ้าเราทราบค่า อธิบายสรุปต าแหน่งของแกน
จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุนั้นเราก็สามารถที่จะหาแนวแกนสะเทินได้ การหาจุดศูนย์ถ่วง สะเทิน
ของวัตถุนั้นก็สามารถหาได้จากที่ศึกษามาแล้วในกลศาสตร์วิศวกรรม







เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ลักษณะการสอน
5.5 ค่าโมเมนต์ของความเฉื่อยของหน้าตัดที่ส าคัญ การสอนแบบบรรยาย
1. สี่เหลี่ยมผืนผ้า ผู้สอนเขียนกระดานแสดงรูป
และค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของ

คานที่มีหน้าตัดแบบต่างๆกัน


h
A  bh c 
2
bh 3 กิจกรรมผู้เรียน
I N .A .  นั่งฟังและจดตาม
12
2.วงกลม





 d
A  d c 
2
4 2


4
I  d
N
. A
.
64 A,B 60

2. สามเหลี่ยม





bh h
A  c 
2 3


bh 3
I N . . A 
36

3.ครึ่งวงกลม




r  2 4r
A  c 
2  3


4
I N . . A  . 0 110r



เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ในกรณีที่หน้าตัดของคานไม่เป็นตามที่กล่าวมาแล้ว เช่น เป็นรูปตัว T
การหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของหน้าตัดเหล่านั้น ต้องอาศัย การสอนแบบบรรยาย
หลักการย้ายแกนของโมเมนต์ของความเฉื่อย กล่าวคือ โมเมนต์ของความเฉื่อย Explainning Skill

ของรูปตัดรอบแกนใดแกนหนึ่งที่ขนานกับแกนสะเทินจะมีค่าเท่ากับโมเมนต์ของ อธิบายพร้อมทั้งเขียนรูปของ
ความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตัดนั้น บวกด้วยผลคูณของพื้นที่หน้าตัดกับ คานที่มีหน้าตัดไม่สมมาตรกัน

ก าลังสองของระยะทางที่แกนนั้นห่างจากแกนสะเทินดังสมการต่อไปนี้ อธิบายการหาจุดศูนย์ถ่วงและ
ต าแหน่งแกนสะเทินและค่า

2
I N . . A  I C .G .  Ad ของโมเมนต์ความเฉื่อย


เมื่อ I N . . A . เป็นโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนที่ต้องการหา
I C .G . . เป็นโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของหน้าตัดนั้น
A เป็นพื้นที่หน้าตัดของคาน

d เป็นระยะทางที่อยู่ห่างจากแกนศูนย์ถ่วงไปยังแกนที่ต้องการหา


ยกตัวอย่างและเขียนรูปของ
5.6 วิธีหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของรูปตัว T คานรูปตัว ที



กิจกรรมผู้เรียน
นั่งฟังและจดตาม






Explainning Skill

1. หาจุดศูนย์ถ่วงของรูปตัว T ก่อน ซึ่งหาได้จากผลรวมของโมเมนต์ของ อธิบายการหาค่า ของจุดศูนย์
พื้นที่ต่าง ๆ หารด้วยพื้นที่ทั้งหมด ถ่วง
จากรูปหน้าตัดตัว T แบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปคือ รูปตั้งและ

รูปนอน ให้จุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดห่างจากส่วนล่างสุดของคานเป็นระยะ y


A y  A y
 y  1 1 2 2
A  A 2
1






เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

การสอนแบบบรรยาย
2. หาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนศูนย์ถ่วงของแต่ละรูปที่แบ่งก่อน Explainning Skill
แล้วจึงค านวณหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน โดยอาศัยหลักการย้าย อธิบายการย้ายแกนสะเทินของ

แกนของโมเมนต์ของความเฉื่อย แต่ละรูป พร้อมทั้งเขียนรูป
2
I N . . A . ของรูปนอน = I C .G . ของรูปนอน  Ad ประกอบการอธิบาย
I N . . A . ของรูปตั้ง = I C .G . ของรูปตั้ง  Ad
2
I N . . A . ของรูปทั้งหมด = I N . . A ของรูปนอน+ I N . . A ของรูปตั้ง



ตัวอย่าง คานดังรูปมีความยาว 3 เมตร มีหน้าตัดของคานเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง

100มิลลิเมตร สูง150 มิลลิเมตร มีแรงกระท า 45 กิโลนิวตัน กระท าที่จุดห่างจาก Reinforcement Skill
จุดรองรับ จงค านวณหาความเค้นดัดสูงสุดที่เกิดขึ้นในคาน เขียนรูปเพื่อยกตัวอย่างลักษณะ

ของคานที่รับแรงแล้วจะท าให้
เกิดการดัดขึ้น


กิจกรรมผู้เรียน
ให้ผู้เรียนหาค่าแรงปฏิกิริยาที่

จุดรองรับทั้งสองจุด

วิธีท า

 F  0 .......... ..... 3R B  45 1 Explainning Skill
อธิบายการหาค่าโมเมนต์และ

45 ค่าโมเมนต์ที่เกิดขึ้นสูงสุด
R   15 kN
B 3 Explainning Skill
 R  45  15  30 kN อธิบายการใช้สูตรการหาค่า
A
M max  R  1  30  1  30 kN. m โมเมนต์ดัด
A

แสดงวิธีการหาค่าโมเมนต์
Mc
จากสูตร   ของความเฉื่อย
max
I

h 150 bh 3 100 150 3 กิจกรรมผู้เรียน
เมื่อ c   75mm , I    ให้ผู้เรียนค านวณหาค่าความ
2 2 12 12
เค้นดัดที่เกิดขึ้น

I  28125000 mm
4


30 10  75
6
แทนค่า  
max
28125000

เนื้อหา วิธีการสอน รหัส เวลา

กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

80 N ให้ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย
mm 2

 ความเค้นดัดสูงสุดในคาน 80 N ANS
mm 2


ตัวอย่าง คานยื่นอันหนึ่งมีความยาว 2 เมตร รับน ้าหนักแบบกระจายสม ่าเสมอ W กิจกรรมผู้เรียน
กิโลนิวตัน / เมตร ตลอดทั้งคานเป็นรูปวงกลมมีเส้นผ่าศูนย์ 35 มิลลิเมตร ถ้าคาน
นั่งฟังและจดตาม
ท าด้วยเหล็กที่มีค่าความเค้น ที่ยอมให้ไม่เกิน 80 N จงหาขนาดของแรง
mm 2
กระจาย (W) นี้ที่คานจะรับได้


เขียนรูปแสดงการหาและอธิบาย
ขั้นตอนการวิเคราะห์





วิธีท า

wL 2
M  เขียนกระดานแสดงการค านวณ
max
2
w 2 2 A,B 30
  2 wkN. m
2
  35
เมื่อ I  d  ) 3 ( 4  73661 . 7574 mm 4 c ,   17 5 . mm กิจกรรมผู้เรียน
2
64 64 2 ให้ผู้เรียนหาค่าโมเมนต์ความ

เฉื่อยจากสูตรที่ก านดให้
Mc
จากสูตร   Explainning Skill
I
N อธิบายการใช้สูตรความเค้นที่
เมื่อ   80
mm 2 เกิดขึ้นสูงสุดในคาน เพื่อน าไป
น ้าหนักที่กระท า

6
2 w 10  17 5 .
80  การสอนแบบบรรยาย
73661 . 7574
และการสอนแบบมอบหมาย
80 73661 . 7574 งาน
w 
2 10  17 5 . Explainning Skill
6
0 . 16836 kN m อธิบายสรุปอีกครั้ง ให้ผู้เรียน

ซักถามข้อสงสัย และให้ท าแบบ

168 . 36 N ฝึกหัดมาส่ง
m
 ขนาดของแรงกระจาย 168 . 36 N ANS …………………
m

สรุปเนื้อหา

คานเมื่อถูกโมเมนต์ดัดกระท าจะเกิดความเค้นดัดขึ้นในคาน เรียกว่า Bending Stress มีทั้งความเค้นดึงและความเค้น
อัด
Mc
สูตรที่ใช้พิจารณาความเค้นนี้คือ   เรามีขั้นตอนการวิเคราะห์ดังนี้
I
1. หาค่าโมเมนต์ภายใน ท าการตัดหน้าตัดส่วนที่ตั้งฉากกับแกนความยาวของคาน ณ ต าแหน่งซึ่งเกิดการดัด เราต้องรู้

ของต าแหน่งแกน N.A. เราใช้ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด หาค่าโมเมนต์ดัดสูงสุดที่ใช้ส าหรับหาความเค้นดัดสูงสุด
2. ค านวนหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรอบแกนสะเทิน

Mc
หาค่าความเค้นดัดสูงสุดจากสูตร  
I
ข้อสังเกตุ
A: ชนะ กสิภาร์. ความแข็งแรงของวัสดุ พิมพ์ครั้งที่ 9 กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ชวนพิมพ์ , 2528
B: บรรจบ อรชร. กลศาสตร์ของแข็ง กรุงเทพมหานคร : ศูนย์สื่อเสริมกรุงเทพ , 2541

แผนก ช่างเชื่อมและเทคนิคโลหะ วิทยาลัยเทคนิคระยอง
หน่วยเตรียมการสอน ( UNIT LESSON PREPARATION )


วิชา ความแข็งแรงของวัสดุ1 การสอนครั้งที่ 12

หัวข้อเรื่อง-หัวข้อย่อย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
เมื่อผู้เรียน ได้เรียนเนื้อหาจบแล้ว ผู้เรียนสามารถ
ความเค้นดัด
 ขั้นตอนการวิเคราะห์การดัดของคาน  หาค่าความเค้นดัดในคานที่มีหน้าตัดไม่สมมาตรได้อย่าง

ถูกต้อง
ความเค้นเฉือนที่เกิดในคาน  อธิบายขั้นตอนการหาค่าความเค้นเฉือนได้อย่างถูกต้อง
 ความเค้นเฉือนและสูตรที่ใช้ในการหาค่าความเค้นเฉือน  ใช้สูตรหาค่าความเค้นเฉือนในคานที่มีหน้าตัดแบบมาตรฐาน

 ความเค้นเฉือนในรูปหน้าตัดต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง
 คานหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า











วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

คานเมื่อถูกโมเมนต์ดัดกระท าจะเกิดความเค้นดัดขึ้นในคาน เรียกว่า
Bending Stress มีทั้งความเค้นดึงและความเค้นอัด วิธีการสอนแบบบรรยาย

Mc
สูตรที่ใช้พิจารณาความเค้นนี้คือ  
I ใช้ทักษะการอธิบาย
เรามีขั้นตอนการวิเคราะห์ดังนี้ (Explaining Skill) และผู้สอน
1. หาค่าโมเมนต์ภายใน ท าการตัดหน้าตัดส่วนที่ตั้งฉากกับแกนความ เขียนกระดานประกอบการ

ยาวของคาน ณ ต าแหน่งซึ่งเกิดการดัด เราต้องรู้ของต าแหน่งแกน บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม - 10
N.A. เราใช้ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด หาค่าโมเมนต์ดัดสูงสุดที่ใช้ เมื่อสงสัย
ส าหรับหาความเค้นดัดสูงสุด

2. ค านวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรอบแกนสะเทิน ผู้เรียน :

ฟังการบรรยาย และจด
Mc
หาค่าความเค้นดัดสูงสุดจากสูตร   บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
max
I
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
ตัวอย่างที่ 1
คานดังรูป มีความยาว 3 เมตร มีหน้าตัดของคานเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง วิธีการสอนแบบบรรยาย

100 มิลลิเมตร สูง150 มิลลิเมตร มีแรงกระท า 45 กิโลนิวตัน กระท าที่จุดห่างจาก ใช้ทักษะการอธิบาย
จุดรองรับ จงค านวณหาความเค้นดัดสูงสุดที่เกิดขึ้นในคาน (Explaining Skill) และผู้สอน

เขียนกระดานประกอบการ
บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม
เมื่อสงสัย


อธิบายถึงลักษณะของ

โจทย์ว่าควรจะพิจารณา

อย่างไร และใช้สูตรของกรณี

วิธีท ำ ใดมาพิจารณา
 F   0 ; 3R B  45 1

ให้ผู้เรียนหาค่าแรง
45
R   15 kN ปฏิกิริยาที่จุดรองรับทั้งสองจุด
B
3
C 30
 R  45  15  30 kN ใช้สื่อแผ่นใสประกอบ
A
ตัวอย่าง
M max  R  1  30  1  30 kN. m
A
อธิบายการหาค่าโมเมนต์
Mc และค่าโมเมนต์ที่เกิดขึ้นสูงสุด
จากสูตร  
max
I

h 150 อธิบายการใช้สูตรการ
เมื่อ c    75 mm
2 2 หาค่าโมเมนต์ดัดแสดงวิธีการ
bh 3 100 150 3 หาค่าโมเมนต์ของความเฉื่อย
I 
12 12
I  28125000 mm ให้ผู้เรียนค านวณหาค่าความ
4

เค้นดัดที่เกิดขึ้น
30 10  75
6
แทนค่า  
max
28125000
ผู้เรียน :
 80 N ฟังการบรรยาย และจด
mm 2
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
 ความเค้นดัดสูงสุดในคาน 80 N ANS ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
mm 2

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
ตัวอย่างที่ 2
คานยื่นอันหนึ่งมีความยาว 2 เมตร รับน ้าหนักแบบกระจายสม ่าเสมอ W วิธีการสอนแบบบรรยาย

กิโลนิวตัน / เมตร ตลอดทั้งคานเป็นรูปวงกลมมีเส้นผ่าศูนย์ 35 มิลลิเมตร ถ้าคาน ใช้ทักษะการถาม
ท าด้วยเหล็กที่มีค่าความเค้น ที่ยอมให้ไม่เกิน 80 N จงหาขนาดของแรง (Questioning skill) กระตุ้น
mm 2
กระจาย (W) นี้ที่คานจะรับได้ ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา

เรียน


เขียนรูปแสดงการหา
และอธิบายขั้นตอนการ

วิเคราะห์

วิธีท ำ

wL 2 ให้ผู้เรียนหาค่าโมเมนต์
M max 
2 ความเฉื่อยจากสูตรที่
w 2 2
  2 wkN. m ก าหนดให้
2
35 C 30
เมื่อ c   17 5 . mm
2 อธิบายการใช้สูตรความ
  เค้นที่เกิดขึ้นสูงสุดในคาน
I  d  ) 3 ( 4  73661 . 7574mm
2
4
64 64 เพื่อน าไปน ้าหนักที่กระท าการ

สอนแบบบรรยาย
Mc
จากสูตร  
I

N
เมื่อ   80 อธิบายสรุปอีกครั้ง ให้
mm 2
ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย และ
2 w 10  17 5 . ให้ท าแบบฝึกหัดมาส่ง
6
80 
73661 . 7574

80 73661 . 7574
w 
2 10  17 5 . ผู้เรียน :
6
ฟังการบรรยาย และจด
 . 0 16836 kN m
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
 168 . 36 N ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
m
 ขนาดของแรงกระจาย 168 . 36 N ANS
m

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
ความเค้นเฉือนในคาน
(Shear stress in beam) วิธีการสอนแบบบรรยาย
ใช้ ทักษ ะการอ ธิบ าย

เมื่อคานถูกกระท าด้วยแรงภายนอกหรือมีน ้าหนักกระท ากับคานแล้ว ก็จะ (Explaining Skill) และผู้สอน
ท าให้เกิดแรงต้านทานภายในขึ้นมาสองตัวด้วยกันคือ แรงเฉือนในแนวดิ่งและ เขียนกระดาน และใช้สื่อ

โมเมนต์ดัด ส าหรับค่าของโมเมนต์ดัดจะท าให้เกิดความเค้นดัดตั้งฉากขึ้นบนหน้า แผ่นใสประกอบการบรรยาย
ตัดทางขวางของคาน โดยจะหาได้จากสมการ ซึ่งได้กล่าวมาแล้วในบทก่อน และ
ในขณะเดียวกันแรงเฉือนในแนวดิ่งก็จะท าให้เกิดความเค้นเฉือนเกิดขึ้นอีก ผู้ ส อ น อ ธิ บ า ย

ความหมายของความเค้น
ความเค้นเฉือนของคาน เฉือนในคาน



อ ธิ บ า ย แ ล ะ เขี ย น
รูปลักษณะของโปรฟลายของ
ความเค้นเฉือนบนกระดาน


ใช้ทักษะการเสริมแรง C 10

(Reinforcement Skill) โ ด ย
เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น

ผู้เรียนมีความสนใจในการ
เรียน
(ข) (ค)

รูปที่ 1
อธิบายและแสดงการ
พิจารณาคานช่วงเดียว (simply supported beam) ในรูปที่ 1 (ก) มีแรง P พิสูจน์หาสูตรส าหรับความ

กระท า ถ้าคานมีรูปหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีขนาดกว้าง b และสูง h ที่หน้าตัด เค้นเฉือนและเขียนกระดาน
ตลอดการอธิบาย พร้อมทั้ง
ระยะ x จะมีโมเมนต์ M กระท าและท าให้เกิดความเค้นดัด  ส่วนที่หน้าตัดระยะ เปิดโอกาสให้ผู้เรียนถามถ้า

x+dx จะมีโมเมนต์ดัด M+dM และท าให้เกิดความเค้นดัดเป็น   d  ถ้าให้
สงสัย
ระยะ dx มีขนาดเล็กมาก ค่าของความเค้นเฉือน  จะมีค่าคงที่นอกจากนี้ให้

ความเค้นเฉือน  มีค่าคงที่ตลอดความกว้างของคาน b รูป free body diagram ผู้เรียน :

ของ element ของคานที่ระดับ y จากแกนสะเทิน (N.A.) ถูกแสดงในรูปที่ 1 (ค) ฟังการบรรยาย และจด
o
เนื่องจากว่า element นี้อยู่ในสภาวะสมดุล ฉะนั้นแรงรวมตามแนวแกน x จะต้อง บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
มีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
c c


 Fx   o (  d ) dA   dA  b  dx  0 วิธีการสอนแบบบรรยาย
y 0 y 0

โดยที่ dA เป็น element ของพื้นที่หน้าตัด ใช้ ทักษ ะการอ ธิบ าย

(Explaining Skill) และผู้สอน
My ( M  dM y ) เขียนกระดาน และใช้สื่อ
แต่   และ   d 
I I แผ่นใสประกอบการบรรยาย


c ( M  dM) y c My
 dA   dA  b  dx  0 อธิบายและแสดงการ
y 0 I y 0 I พิสูจน์หาสูตรส าหรับความ

เค้นเฉือนและเขียนกระดาน
c My c dM  y  dA c My  dA
 dA      b  dx  0 ตลอดการอธิบาย พร้อมทั้ง

y 0 I y 0 I y 0 I เปิดโอกาสให้ผู้เรียนถามถ้า

สงสัย
c dM  y  dA
b   dx  

y 0 I ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม C 15

(Questioning skill) กระตุ้น
1 c dM  y  dA
  ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
bdx I
y 0 เรียน


1 dM c
   y  dA อธิบายสรุปถึงสูตรที่จะ
Ib dx
y 0 น าไปใช้หาค่าความเค้นเฉือน

ในคานต่อไป
dM c
แต่  V และให้ Q   y  dA
dX
y 0 อธิบายตัวแปรต่างๆ
VQ
 
Ib
เมื่อ  คือความเค้นเฉือนในคาน
I คือโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทินของคาน ผู้เรียน :

V คือแรงเฉือนในแนวดิ่ง ฟังการบรรยาย และจด
b คือความกว้างของคาน บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
c
Q คือโมเมนต์ของพื้นที่รอบแกนสะเทิน   y  dA  ya

y 0

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
ตัวอย่างการหาค่า Q
วิธีการสอนแบบบรรยาย


ใช้ ทักษ ะการอ ธิบ าย

(Explaining Skill) และผู้สอน
เขียนกระดาน และใช้สื่อ

แผ่นใสประกอบการบรรยาย
รูปที่ 2


จากรูปที่ 2 ค่า a ไม่ใช่พื้นที่ของหน้าตัดทั้งหมดของคานนั้น แต่เป็นพื้นที่ อธิบายและเขียนรูป
จากระดับที่ต้องการหาความเค้นเฉือนไปยังผิวบนสุดหรือผิวล่างสุดก็ได้ ส่วนระยะ ประกอบการอธิบายการหาค่า

y เป็นระยะจากจุดศูนย์ถ่วง (centroid) ของพื้นที่ a ไปยังแกนสะเทิน (neutral Q
axis) นั้น


ความเค้นเฉือนในคานรูปหน้าตัดต่าง ๆ เขียนรูปและอธิบายการ
1. เมื่อหน้าตัดคานเป็ นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส าหรับคานที่มีรูปหน้าตัด หาสูตรของการหาค่าความ C 20
สี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีความกว้าง b ความสูง h และมีแรงเฉือน V ที่กระท ากับ เค้นเฉือนของคานที่มีหน้าตัด

พื้นที่หน้าตัดนั้น แสดงดังรูปที่ 3 แบบต่างๆ



ใช้ ทักษะการเสริมแรง

(Reinforcement Skill) เพื่อ
เป็ น ก ารก ระ ตุ้ น ผู้ เรี ย น

พร้อมทั้งซักถามผู้เรียนบ้าง
รูปที่ 3 ให้ผู้เรียนคิดตาม


VQ
จากสูตร  
Ib
ผู้เรียน :

จากรูปที่ 3 (ก) ค่า Q ของพื้นที่ที่อยู่เหนือระยะ y ขึ้นไป a y ฟังการบรรยาย และจด
1
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
 h 

เมื่อ a   y   b
1
 2 

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
 h  1
y    y    y
 2 1  2 1 วิธีการสอนแบบบรรยาย


h y h y
  1  y   ใช้ ทักษะการอธิบาย
4 2 1 4 2 (Explaining Skill) ผู้ ส อ น

เขียนกระดาน และใช้สื่อ
 h  1  h 
Q    y 1   b    y 1  แผ่นใสประกอบการบรรยาย
 2  2  2 
แล้วให้ ผู้เรียนซักถามเมื่อ

b  h 2  สงสัย
    y 2 


2  4 1 

VQ
ความเค้นเฉือน 
Ib ใช้ทักษะการเสริมแรง
b  h 2 
2
V     y 1  (Reinforcement Skill) โ ด ย


 2  4  เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น
I. b ผู้เรียนมีความสนใจในการ C 15
V  h 2 2 
   y  เรียน


2I  4 1 

แสดงว่าการกระจายของแรงเฉือนที่เกิดขึ้นบนหน้าตัดของคานรูป

สี่เหลี่ยมผืนผ้า จะเป็นรูปพาราโบล่าตามระยะของ y จากแนวแกนสะเทิน ดังรูป
2
1
h ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม
ที่ 3 (ข)เมื่อค่า y   ที่ผิวบนและล่างของคานจะท าให้ค่าความเค้นเฉือนที่
1
2 (Questioning skill) กระตุ้น
ค่าเท่ากับศูนย์ และเมื่อ y = 0 ที่แกนสะเทิน ค่าความเค้นเฉือนจะมีค่าสูงสุดใน ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
1
คานนั้น เรียน
V  h 2  Vh 2
ความเค้นเฉือนสูงสุด      0 


max
2I  4  I 8

bh 3 ผู้เรียน :
ถ้า I N .A .  แทนค่าในสมการ
12 ฟังการบรรยาย และจด

บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
Vh 2 3 V
 max   ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
8 1 bh 3 2 bh
12

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :

3 V วิธีการสอนแบบบรรยาย
แต่ bh    
a
max
2 A
สรุปสูตรที่ใช้ส าหรับคาน

แบบหน้าตัดสี่เหลี่ยมเท่านั้น
V
แต่ค่าความเค้นเฉือนเฉลี่ย   C 5
mean
A


ผู้เรียน :
ดังนั้น  max   5 . 1 mean ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

สรุปเนื้อหาวิชา

ความเค้นดัด
คานเมื่อถูกโมเมนต์ดัดกระท าจะเกิดความเค้นดัดขึ้นในคาน เรียกว่า Bending Stress มีทั้งความเค้นดึงและความเค้นอัด

Mc
สูตรที่ใช้พิจารณาความเค้นนี้คือ  
I

เรามีขั้นตอนการวิเคราะห์ดังนี้
3. หาค่าโมเมนต์ภายใน ท าการตัดหน้าตัดส่วนที่ตั้งฉากกับแกนความยาวของคาน ณ ต าแหน่งซึ่งเกิดการดัด เราต้องรู้ของ

ต าแหน่งแกน N.A. เราใช้ไดอะแกรมของโมเมนต์ดัด หาค่าโมเมนต์ดัดสูงสุดที่ใช้ส าหรับหาความเค้นดัดสูงสุด
4. ค านวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรอบแกนสะเทิน


Mc
หาค่าความเค้นดัดสูงสุดจากสูตร  
max
I


ความเค้นเฉือนที่เกิดในคาน
เมื่อมีคานถูกแรงกระท าในแนวตั้งฉากนอกจากจะเกิดความเค้นดัดขึ้นแล้วยังเกิดแรงเฉือน กระท ากับคานอีกด้วย
VQ
ค่าความเค้นเฉือนหาได้จากสูตร  
Ib
2 V
เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปสี่เหลี่ยมเราจะใช้สูตร   
max
3 A


ข้อสังเกตการสอน






Home Work
แบบฝึกหัด 5
ข้อ 6 ถึง 10

แบบฝึกหัด 7
ข้อ 1 ถึง 5
จากหนังสือ ความแข็งแรงของวัสดุ ผู้แต่ง ชนะ กสิภาร์

ก าหนดส่ง วันที่ 18 มกราคม 2543


หมายเหตุ
สุรเชษฐ์ รุ่งวัฒนาพงษ์ , กลศาสตร์ของแข็ง , กรุงเทพฯ , C
โรงพิมพ์บริษัทเอช . เอ็น . กรุ๊ป , 2536 หน้า 414 - 458

แผนก ช่างเชื่อมและเทคนิคโลหะ วิทยาลัยเทคนิคระยอง
หน่วยเตรียมการสอน ( UNIT LESSON PREPARATION )


วิชา ความแข็งแรงของวัสดุ1 การสอนครั้งที่ 13

หัวข้อเรื่อง-หัวข้อย่อย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
เมื่อผู้เรียน ได้เรียนเนื้อหาจบแล้ว ผู้เรียนสามารถ
ความเค้นเฉือนที่เกิดในคาน
 ความเค้นเฉือนในรูปหน้าตัดต่างๆ  ใช้สูตรหาค่าความเค้นเฉือนในคานที่มีหน้าตัดแบบมาตรฐาน

 คานหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ได้อย่างถูกต้อง
 หน้าตัดคานเป็นรูปวงกลม  ค านวณหาค่าความเค้นเฉือนของคานที่มีหน้าตัด รูปตัวที,

 เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปตัว I ตัวไอ, ตัวแอล และคานแบบกลวงได้อย่างถูกต้อง













วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :


ความเค้นเฉือนที่เกิดในคาน วิธีการสอนแบบบรรยาย
เมื่อมีคานถูกแรงกระท าในแนวตั้งฉากนอกจากจะเกิดความเค้นดัดขึ้นแล้ว

ยังเกิดแรงเฉือน กระท ากับคานอีกด้วย ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รอ ธิ บ า ย
VQ (Explaining Skill) และผู้สอน
ค่าความเค้นเฉือนหาได้จากสูตร  
Ib เขียนกระดานประกอบการ
2 V
เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปสี่เหลี่ยมเราจะใช้สูตร    บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม - 10
max
3 A
เมื่อสงสัย


ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
2. เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปวงกลม ส าหรับคานที่มีรูปหน้าตัดเป็นรูป
วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d และมีแรงเฉือน V กระท ากับพื้นที่หน้าตัดนั้น ซึ่ง วิธีการสอนแบบบรรยาย

แสดงดังรูปที่ 4 ใช้ ทักษะการอธิบาย
(Explaining Skill) และผู้สอน

เขียนกระดานประกอบการ
บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม
เมื่อสงสัย


รูปที่ 4 เขียนรูปประกอบการ

อธิบายการหาสูตรส าเร็จของ
VQ
จากสูตร  คานแบบหน้ าตัดเป็ นรูป
Ib
วงกลม

เมื่อ Q = พื้นที่ครึ่งวงกลม x ระยะจากจุดศูนย์ถ่วงไปยังแกนสะเทิน a y
ใช้ ทักษะการเสริมแรง
1  2  2d d 3 (Reinforcement Skill) เพื่อ
Q   d   
2  4  3 12 เป็ น ก ารก ระ ตุ้ น ผู้ เรี ย น C 20
พร้อมทั้งซักถามผู้เรียนบ้าง
d 3 ให้ผู้เรียนคิดตาม
V 
 12  4  V
 d  d 3  d 2 เขี ย น ก ระด าน แ ล ะ
4
64 4
อธิบายการหาสูตร และให้
 4 V ผู้เรียนซักถามเมื่อไม่เข้าใจ
2
แต่ A  d  
4 max 3 A สรุปสูตรที่ใช้ ซักถาม
ผู้เรียนให้คิดว่าคานที่มี หน้า

ตัดเป็นรูปวงกลมและที่มีหน้า
V ตัดเป็นสี่เหลี่ยมแบบไหน
ถ้าความเค้นเฉือนเฉลี่ย  
mean
A แข็งแรงกว่ากัน


4
ดังนั้น    ผู้เรียน :
max
3 mean
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
3. เมื่อหน้าตัดของคานเป็ นรูปตัว I ส าหรับ flanged-type beam
VQ วิธีการสอนแบบบรรยาย
ดังเช่นหน้าตัดของคานรูปตัว I และตัว U จะใช้สมการ  ที่ flanged
Ib ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม
ไม่ได้ ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ (ดูรูปที่ 5 ประกอบ) (Questioning skill) กระตุ้น


ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
เรียน



อธิบายการรับแรงเฉือน

ของคานรูปตัวไอ
รูปที่ 5

ถ้าพิจารณาหน้าตัดของคานรูปตัว I ดังรูปที่ 5(ก) จะเห็นว่าความเค้นเฉือน เขียนรูปบนกระดาน

จะเป็นศูนย์ที่ผิวนอกจาก a ถึง b และจาก c ถึง d แต่ว่าในช่วงจาก b ถึง c ใน ประกอบการอธิบาย
ระดับเดียวกันค่าความเค้นเฉือนจะมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ฉะนั้นจะเกิดความไม่

VQ
ต่อเนื่องของความเค้นเฉือนขึ้นที่ระดับนี้ แต่เนื่องจากสูตร  ได้มาจาก C 20
Ib
การที่สมมติให้ความเค้นเฉือนมีค่าคงที่ตลอดความกว้าง b ฉะนั้นสูตรนี้จึงใช้ ใช้ทักษะการเสริมแรง
ส าหรับหาความเค้นเฉือนได้เฉพาะในสันกลางเท่านั้น อย่างไรก็ตามถ้าปีก (Reinforcement Skill) โ ด ย
(flange) มีขนาดบางพอสมควร จากการค านวณหาโดยใช้ทฤษฎีที่ซับซ้อนกว่าจะ เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น

พบว่า การกระจายของความเค้นเฉือนมีลักษณะดังรูปที่ 5(ข) ผู้เรียนมีความสนใจในการ
ส าหรับคานรูปหน้าตัดเป็นรูปตัว I โดยทั่ว ๆ ไป จากการค านวณจะเห็นได้ เรียน

ว่าความเค้นเฉือนในแนวดิ่งที่ขนานกับพื้นที่หน้าตัดใน flange มีค่าน้อยมาก แรง
เฉือนเกือบทั้งหมด (ประมาณ 95 เปอร์เซ็นต์) web จะเป็นตัวรับไว้ ดังนั้น อธิบายลักษณะของการ
โดยทั่วไปเราก็จะสมมติว่าเฉพาะ web เท่านั้นจะเป็นตัวรับแรงเฉือนไว้ทั้งหมด รับแรงเฉือน

ดังนั้นสมการที่เราจะใช้หาความเค้นเฉือนคือ
อธิบายตัวแปรต่างๆ
VQ
 
t I.
เมื่อ  คือความเค้นเฉือนในคาน

I คือโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนสะเทิน ผู้เรียน :
V คือแรงเฉือนในแนวดิ่ง ฟังการบรรยาย และจด

t คือความหนาของ web บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
Q คือโมเมนต์ของพื้นที่รอบแกนสะเทิน a y ซึ่งก็สามารถหาได้ ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

เหมือนในตอนต้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
การพิจารณาทั้งโมเมนต์ดัดและแรงเฉือนส าหรับการออกแบบคาน วิธีการสอนแบบบรรยาย
ในการหาว่าคานจะรับแรงภายนอกหรือน ้าหนักได้เท่าใดนั้น หรือการหา ใช้ทักษะการเสริมแรง

ขนาดของหน้าตัดของคานว่ามีค่าเท่าใด เราจะพิจารณาถึงเงื่อนไขของความเค้น (Reinforcement Skill) โ ด ย
ดัดที่เกิดจากโมเมนต์ดัด และความเค้นเฉือนที่เกิดจากแรงเฉือนพร้อมกัน โดยต้อง เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น
อยู่ในเงื่อนไขทั้ง 2 นี้ด้วย ผู้เรียนมีความสนใจในการ

ส าหรับคานสั้น ๆ ที่อยู่ภายใต้แรงที่มีค่าสูง ความเค้นเฉือนมักจะเป็นตัว เรียน
บังคับในการออกแบบแต่ส าหรับคานที่ยาว ๆ ความเค้นดัดจะเป็นตัวบังคับที่ใช้ใน อธิบายการพิจารณาแรง

การออกแบบ เฉือนและโมเมนต์ดัด
ส าหรับคานที่ท าด้วยไม้นั้น ควรพิจารณาความเค้นเฉือนเสมอ เพราะว่า ให้ ผู้ เรียนซักถามข้ อ

ความแข็งแรงของการเฉือนของไม้มีค่าไม่สูงนัก สงสัย
ใช้ทักษะการอธิบาย
ตัวอย่างที่ 1 (Explaining Skill) ผู้ ส อ น
จงหาค่าความเค้นเฉือนสูงสุด ที่เกิดขึ้นในคานบนรูป ถ้า P เท่ากับ 90 เขียนกระดานประกอบการ

กิโลนิวตัน บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม

เมื่อสงสัย
เขียนรูปแสดงตัวอย่าง C 30

การค านวณ

อธิบายการหาค่าแรง
วิธีท ำ ปฏิกิริยาและค่าของแรงเฉือน

 M B   0 3R A  90  2 สูงสุด
90  2
R   60 kN อธิบายการใช้สูตรโดย
A
3 เขียนกระดานประกอบการ
R  90  60  30 kN
B
 V max  R  60 kN อธิบาย
A
เมื่อได้สูตรมาแล้วให้
ผู้เรียนช่วยกันค านวณ และ
2 V
จากสูตร   
max
3 A ผู้สอนสรุปขั้นตอนการคิดอีก
ครั้งหนึ่ง
2
เมื่อ A  200  150  30000 mm , V  60  10 3 N
ผู้เรียน :
3 60 10 3 ฟังการบรรยาย และจด
แทนค่า    3 N
max
2 30000 mm 2 บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
 ความเค้นเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นบนคานเท่ากับ 3 N 2 ANS ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
mm

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
ตัวอย่างที่ 2

คานดังรูป มีแรง W เท่ากับ 5 kN กระท า จงหาขนาดของความ วิธีการสอนแบบบรรยาย
m
เค้นเฉือนสูงสุดในคาน ใช้ ทักษะการอธิบาย

(Explaining Skill) ผู้ ส อ น
เขียนกระดานประกอบการ
บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม
เมื่อสงสัย

เขียนรูปประกอบการ
วิธีท ำ
อธิบายบนกระดาน
 M B   0 4R A  5 4 2 ครั้งนี้ให้ผู้เรียนหาค่าของ


5 4 2 แรงเฉือนสูงสุดออกมาแล้ว
R   10 kN ผู้สอนคอยแนะน าและตรวจดู
A
4
ให้ทุกคนคิดและสรุปให้
 R  5 (  ) 4  10  10 kN ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม
B
 V max  10 kN (Questioning skill) กระตุ้น C 30
ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา

4 V เรียน
จากสูตร   
max
3 A
สรุป ขั้นตอนการห า

2
2
เมื่อ A  ( 300 )  70685 . 8347 mm , V  10 10 3 N ตลอดจนการใช้สูตร
4

4 10 10 3 เปิ ดโอกาสให้ ผู้เรียน
แทนค่า    018862 N
max
3 70685 . 8347 mm 2 ซักถามข้ อสงสัย และให้
แบบฝึกหัดให้ผู้เรียนท ามาส่ง
kN วิธีสอนมอบหมายงาน
 ความเค้นเฉือนสูงสุด 188 . 628 ANS
m 2 ผู้เรียน



ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด

บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

สรุปเนื้อหาวิชา


เมื่อมีคานถูกแรงกระท าในแนวตั้งฉากนอกจากจะเกิดความเค้นดัดขึ้นแล้วยังเกิดแรงเฉือนกระท ากับคานอีกด้วย

VQ
ค่าความเค้นเฉือนหาได้จากสูตร  
Ib
2 V
เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปสี่เหลี่ยมเราจะใช้สูตร   
max
3 A
4 V
เมื่อคานมีหน้าตัดเป็นรูปวงกลมจะใช้สูตร   
max
3 A

ขั้นตอนการวิเคราะห์
1. หาแรงเฉือนที่สูงสุดส าหรับความเค้นเฉือนสูงสุดจากไดอะแกรมแรงเฉือน
2. หาค่าคุณสมบัติต่างๆของหน้าตัดคาน

3. ใช้สูตรของความเค้นเฉือน



ข้อสังเกตการสอน










Home Work


แบบฝึกหัด 7.1
ข้อ 1 ถึง 10

จากหนังสือ ความแข็งแรงของวัสดุ ผู้แต่ง ชนะ กสิภาร์
ก าหนดส่ง วันที่ 25 มกราคม 2543




หมายเหตุ

สุรเชษฐ์ รุ่งวัฒนาพงษ์ , กลศาสตร์ของแข็ง , กรุงเทพฯ , C

โรงพิมพ์บริษัทเอช . เอ็น . กรุ๊ป , 2536 หน้า 414 - 458

แผนก ช่างเชื่อมและเทคนิคโลหะ วิทยาลัยเทคนิคระยอง
หน่วยเตรียมการสอน ( UNIT LESSON PREPARATION )


วิชา ความแข็งแรงของวัสดุ1 การสอนครั้งที่ 14

หัวข้อเรื่อง-หัวข้อย่อย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
เมื่อผู้เรียน ได้เรียนเนื้อหาจบแล้ว ผู้เรียนสามารถ
การโก่งของคาน
 เส้นโค้งอีลาสติก  อธิบายความหมายของการโก่งของคานได้อย่างถูกต้อง

 ความลาดเอียง, ระยะโก่ง  หาค่าความลาดเอียงและระยะโก่งสูงสุดโดยวิธี moment-area
 การหาระยะโก่งของคานโดยวิธีโมเมนต์-พื้นที่ ได้อย่างถูกต้อง

 การใช้ไดอะแกรมโมเมนต์  หาระยะโก่งของคานโดยวิธีโมเมนต์-พื้นที่ได้อย่างถูกต้อง
 ใช้ไดอะแกรมโมเมนต์หาค่าการโก่งได้อย่างถูกต้อง












วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

เมื่อมีคานถูกแรงกระท าในแนวตั้งฉากนอกจากจะเกิดความเค้นดัดขึ้นแล้ว
ยังเกิดแรงเฉือนกระท ากับคานอีกด้วย วิธีการสอนแบบบรรยาย

VQ
ค่าความเค้นเฉือนหาได้จากสูตร  
Ib ใช้ทักษะการอธิบาย
2 V
เมื่อหน้าตัดคานเป็นรูปสี่เหลี่ยมเราจะใช้สูตร    (Explaining Skill) ผู้สอนเขียน
max
3 A
4 V ใช้สื่อแผ่นใสประกอบการ
เมื่อคานมีหน้าตัดเป็นรูปวงกลมจะใช้สูตร   
max
3 A บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม C 15
เมื่อสงสัย
ขั้นตอนการวิเคราะห์
1. หาแรงเฉือนที่สูงสุดส าหรับความเค้นเฉือนสูงสุดจากไดอะแกรมแรง ผู้เรียน :

เฉือน ฟังการบรรยาย และจด
2. หาค่าคุณสมบัติต่างๆของหน้าตัดคาน บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
3. ใช้สูตรของความเค้นเฉือน ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
การโก่งของคาน (Deflection of beam)
คานเป็นส่วนของโครงสร้างที่ท าหน้าที่รับโมเมนต์ดัดและแรงเฉือน ซึ่งเกิด วิธีการสอนแบบบรรยาย
จากแรงภายนอกที่กระท าหรือน ้าหนักบรรทุกบนคานนั้น เมื่อคานได้รับน ้าหนัก ใช้ ทักษะการอธิบาย

หรือแรงภายนอกกระท า คานก็จะเกิดการแอ่นลงหรือโก่งงอท าให้คานไม่อยู่ในแนว (Explaining Skill) ผู้ ส อ น

ตรงเหมือนตอนแรกที่ยังไม่ได้รับน ้าหนัก ฉะนั้นในการค านวณและออกแบบคานที่ เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส
รับน ้าหนัก วิศวกรจะต้องค านึงถึงการโก่งของคานด้วย นอกเหนือไปจากความเค้น ประกอบการบรรยาย และให้
ดัดและความเค้นเฉือนที่เกิดขึ้นในคานตามปกติแล้ว มิฉะนั้นแล้วคานหรือชิ้นส่วน ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย

ของเครื่องจักรกลเหล่านั้นอาจจะไม่สามารถท างานได้ดีตามที่ต้องการ หรืออาจจะ
เกิดการเสียหายก่อนก าหนดได้ จึงมีความจ าเป็นที่ผู้ออกแบบหรือวิศวกรจะต้อง ผู้ ส อ น อ ธิ บ า ย

คิดค่าการโก่งของคานด้วย ซึ่งการค านวณหาการโก่งของคานก็มีหลายแบบซึ่งจะ ความหมายการโก่งของคาน
ได้กล่าวต่อไป และจุดประสงค์การหาระยะ
โก่ง

เส้นโค้งอีลาสติก (Elastic curve) เป็นเส้นที่อยู่ในแนวแกนสะเทินของ
คาน ซึ่งแสดงลักษณะการโก่งของคานเมื่อมีแรงภายนอกหรือน ้าหนักบรรทุก

กระท าอยู่บนคาน ในขณะที่คานยังไม่มีแรงภายนอกหรือน ้าหนักมากระท าบนคาน อธิบายความหมายของ
เส้นโค้งอีลาสติกนี้จะเป็นเส้นตรงและอยู่ในแนวเดียวกันกับแนวของแกนสะเทิน เส้นโค้งอิลาสติก C 20
เมื่อคานรับแรงภายนอกหรือน ้าหนักบรรทุกขึ้น เส้นโค้งอีลาสติกนี้ก็จะแอ่นหรือโก่ง

ไปจากต าแหน่งเดิม ลักษณะของการโก่งของคานนี้ขึ้นอยู่กับค่าของโมเมนต์ดัดที่
เกิดขึ้นในคานนั้น ใช้ ทักษะการเสริมแรง

(Reinforcement Skill) เพื่อ
ความลาดเอียง (Slope) ของคานที่จุดใด หมายถึงมุมระหว่างแนวเดิม เป็ น ก ารก ระ ตุ้ น ผู้ เรี ย น

ของคานกับเส้นสัมผัส ซึ่งสัมผัสกับเส้นโค้งอีลาสติกที่จุดนั้น พร้อมทั้งซักถามผู้เรียนบ้าง
ให้ผู้เรียนคิดตาม
ระยะโก่ง (Deflection) หรือการแอ่นของคานที่จุดใด ๆ หมายถึงระยะใน

แนวดิ่งที่จุดนั้นบนเส้นโค้งอีลาสติกที่เคลื่อนที่ไปจากต าแหน่งเดิม (ก่อนจะรับ อธิบายความหมายของ
น ้าหนักนั้น) ความลาดเอียง และ ระยะโก่ง




ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด

บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :

วิธีการสอนแบบบรรยาย

ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม

(Questioning skill) กระตุ้น

ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
เรียน


ใช้ ทักษะการอธิบาย

รูปที่ 1 (Explaining Skill) ผู้ ส อ น
เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส
ข้อสมมติฐานในการค านวณหาระยะโก่งของคานมีดังนี้ ประกอบการบรรยาย และให้

1. ก่อนที่คานจะรับน ้าหนักหรือแรงภายนอก คานจะต้องอยู่ในแนวตรงระดับ ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย
เดียวกับแนวระดับเสมอ

2. การโก่งของคานจะคิดเฉพาะเนื่องจากโมเมนต์ดัดเพียงอย่างเดียว
3. ความเค้นที่เกิดจากน ้าหนักหรือแรงที่กระท าจะต้องไม่เกินขีดจ ากัดยืดหยุ่น อธิบายถึงข้อสมมติฐาน

4. ระนาบของหน้าตัดคานก่อนรับและหลังรับโมเมนต์ดัดจะยังคงเป็นระนาบ ที่น ามาพิจารณาในการหาค่า C 20
เดิม ระยะโก่งของคาน

5. การโก่งของคานจะมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับความยาวของคาน
ใช้ทักษะการเสริมแรง
วิธีค านวณหาการโก่งของคาน (Reinforcement Skill) โ ด ย
วิธีค านวณหาการโก่งของคานนั้นมีอยู่หลายแบบ ในที่นี้จะกล่าวเพียง วิธี เน้นข้อความที่สรุป เพื่อเป็น

เดียวคือ วิธี Moment-area การกระตุ้นผู้เรียน
วิธี Moment-area

วิธีของ moment-area เป็น simigraphical method ซึ่งจะท าให้สามารถ อธิบายถึงทฤษฎีของการ
หาความลาดเอียงและระยะโก่ง ณ ต าแหน่งใด ๆ บนเส้นโค้งอีลาสติกของคานได้ หาระยะโก่งของคานโดยวิธี
และถ้าหากว่าเราต้องการที่จะทราบแต่เพียงความลาดเอียง หรือระยะโก่งของเส้น moment-area

โค้งอีลาสติกเพียงสองสามต าแหน่งเท่านั้น วิธีนี้จะมีความสะดวกและรวดเร็วกว่า
วิธี double-integration แต่ถ้าต้องการที่จะได้ลักษณะของเส้นโค้งอีลาสติกตลอด

ความยาวของคานแล้ว ก็ควรที่จะใช้วิธี double-integration ผู้เรียน :
ทฤษฎีที่ใช้หาความลาดเอียงและระยะโก่งที่ใช้ในวิธี moment-area จะมี ฟังการบรรยาย และจด

อยู่ด้วยกัน 2 ทฤษฎี คือทฤษฎีหนึ่งจะใช้ส าหรับหาความลาดเอียง อีกทฤษฎีหนึ่ง บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
ใช้ส าหรับหาระยะโก่งของคานนั้น ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :

วิธีการสอนแบบบรรยาย


ใช้ทักษะการเสริมแรง

(Reinforcement Skill) โ ด ย
เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น
ผู้เรียนมีความสนใจในการ

เรียน




รูปที่ 2 อธิบายทฤษฎีและเขียนรูป


ในการพิสูจน์หาทฤษฎีทั้งสองนั้นให้พิจารณาคานซึ่งถูกกระท าด้วยแรงใดๆ

M
ในรูปที่ 2(ก) ถ้าคานมีหน้าตัดสม ่าเสมอ (EI = ค่าคงที่) diagram จะมี
EI ผู้สอนอธิบายการพิสูจน์
รูปร่างเช่นเดียวกับ BMD ดังในรูปที่ 2(ข) ส่วนโค้งอีลาสติกจะแสดงในรูปที่ 2(ค) ทฤษฎีโดยเขียนกระดาน C 20
d M
จากความสัมพันธ์ที่ได้ว่า 
ds EI


เมื่อกรณีที่ระยะโก่งของคานมีค่าน้อยมากค่า ds  dx ใช้ ทักษะการอธิบาย
(Explaining Skill) ผู้ ส อ น

d M
  เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส
dx EI
ประกอบการบรรยาย และให้
Mdx ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย
d 
EI


A A Mdx ผู้เรียน :
 d  
B B EI ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

A Mdx
 AB   ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
B EI

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :

เมื่อ  คือมุมระหว่างเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด A และ B บนเส้นโค้ง
BA
อีลาสติก มีค่าเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดของ M diagram ระหว่างจุด A และจุด B ใน วิธีการสอนแบบบรรยาย
EI
กรณีที่พื้นที่มีทั้งบวกและลบ ก็ให้คิดเครื่องหมายของพื้นที่เหล่านั้นด้วย ใช้ ทักษะการอธิบาย

ฉะนั้นเราจะได้ทฤษฎีที่หนึ่งว่า “เมื่อคานตรงถูกกระท าด้วยโมเมนต์ดัด มุม (Explaining Skill) ผู้ ส อ น
ระหว่างเส้นสัมผัสที่ลากจากจุดใด ๆ สองจุดบนเส้นโค้งอีลาสติก จะมีค่าเท่ากับ เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส

M
พื้นที่ทั้งหมดของ diagram ระหว่างสองจุดนั้น” ประกอบการบรรยาย และให้
EI
ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย
ต่อไปให้  เป็นระยะทางในแนวดิ่งของจุด B เมื่อเทียบกับเส้นสัมผัสที่
AB
ลากจากจุด A ไป ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์ว่า

อธิบายถึงการหาวิธีที่จะ
ใช้หาค่าระยะโก่ง
d  ( AB )  xd 


A
 d ( AB )  xd แสดงการใช้ สมการ

B
A Mxdx พิ สู จ น์ โด ย ใช้ แ ผ่ น ใส C 15
 BA   ประกอบการบรรยาย
B EI


A Mxdx M
จะเห็นได้ว่า  เป็นค่าของโมเมนต์ของ diagram ระหว่าง
B EI EI ใช้ ทั ก ษ ะ ก า รถ า ม
จุด A และจุด B เทียบกับแกนผ่านจุด B ฉะนั้นจึงได้ทฤษฎีส าหรับการหาระยะโก่ง (Questioning skill) กระตุ้น

ซึ่งเป็นทฤษฎีที่สองว่า “เมื่อคานตรงถูกกระท าด้วยโมเมนต์ดัด ระยะในแนวดิ่งของ ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา
จุด B เมื่อเทียบกับเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด A จะมีค่าเท่ากับโมเมนต์รอบแกนซึ่ง เรียน

M
ผ่านจุด B ของ diagram ระหว่างจุดทั้งสองนั้น”
EI

M
ในการหาโมเมนต์ของ diagram ซึ่งมีพื้นที่ที่มีทั้งค่าบวกและลบ ก็ให้ ผู้เรียน :
EI
คิดเครื่องหมายของพื้นที่เหล่านั้นด้วย ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

เนื่องจากการค านวณหาระยะโก่ง โดยวิธีนี้มีความจ าเป็นที่จะต้องรวม ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
โมเมนต์ของพื้นที่รอบแกน ๆ หนึ่งเสมอ ฉะนั้นจึงแสดงถึงจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่

ชนิดต่าง ๆ ซึ่งต้องใช้อยู่บ่อยครั้งดังต่อไปนี้

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :

วิธีการสอนแบบบรรยาย


ใช้ ทักษะการอธิบาย

(Explaining Skill) ผู้ ส อ น
เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส

ประกอบการบรรยาย และให้

ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย




ใ ช้ แ ผ่ น ใ ส แ ส ด ง

จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ที่ใช้อยู่
บ่อยๆ


C 15


อธิบายความหมายของ
รูปที่ 3 ระยะต่างๆในรูปที่ให้ดูและให้

ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย
ขั้นตอนการหาค่าความลาดเอียงและระยะโก่งโดยวิธี Moment-area

1. จากโจทย์ที่ก าหนดให้ถ้าเป็นคานแบบช่วงเดียวหรือคานช่วงเดียว
ปลายยื่น จะต้องค านวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับก่อน ส่วนคานแบบยื่นไม่
จ าเป็นจะต้องหา อธิบายขั้นตอนการหาค่า
2. เขียนแผนผังของโมเมนต์ดัด (BMD) จากการค านวณหาได้จากโจทย์ ความลาดเอียงและระยะโก่ง

ที่ก าหนดให้ โดยสรุป
3. เขียนเส้นโค้งอีลาสติก แสดงถึงลักษณะการโก่งของคานให้ใกล้เคียง

กับความเป็นจริงมากที่สุด

M
4. เขียนแผนผังของ diagram ผู้เรียน :
EI
5. เลือกจุดบนเส้นโค้งอีลาสติกที่ทราบค่าความลาดเอียงหรือระยะโก่ง ฟังการบรรยาย และจด

เช่น จุดรองรับหรือจุดที่อยู่ในแกนสมมาตร หรือจุดที่โจทย์ก าหนดค่าแน่นอนมาให้ บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
เป็นต้น แล้วลากเส้นสัมผัสกับจุดที่เลือกนั้น ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
6. ค านวณการเคลื่อนที่ของจุดเทียบจากเส้นสัมผัสในข้อ 5
7. ค านวณหาระยะโก่งและความลาดเอียง โดยการพิจารณาลักษณะ วิธีการสอนแบบบรรยาย

ของเส้นโค้งอีลาสติก และอาศัยทฤษฎีทั้งสองทฤษฎีนั้นเข้าช่วย ใช้ทักษะการเสริมแรง
(Reinforcement Skill) โ ด ย

เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น
ผู้เรียนมีความสนใจในการ C 10
เรียน


ผู้เรียน :

ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

สรุปเนื้อหาวิชา


วิธีการหาหาระยะโก่งของ โมเมนต์-พื้นที่นั้นอาศัยพื้นที่ไดอะแกรมโมเมนต์บนคาน มาพิจารณามีขั้นตอนดังนี้

1. จากโจทย์ที่ก าหนดให้ถ้าเป็นคานแบบช่วงเดียวหรือคานช่วงเดียวปลายยื่น จะต้องค านวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
ก่อน ส่วนคานแบบยื่นไม่จ าเป็นจะต้องหา
2. เขียนแผนผังของโมเมนต์ดัด (BMD) จากการค านวณหาได้จากโจทย์ที่ก าหนดให้

3. เขียนเส้นโค้งอีลาสติก แสดงถึงลักษณะการโก่งของคานให้ใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากที่สุด
M
4. เขียนแผนผังของ diagram
EI
5. เลือกจุดบนเส้นโค้งอีลาสติกที่ทราบค่าความลาดเอียงหรือระยะโก่ง เช่น จุดรองรับหรือจุดที่อยู่ในแกนสมมาตร หรือ
จุดที่โจทย์ก าหนดค่าแน่นอนมาให้ เป็นต้น แล้วลากเส้นสัมผัสกับจุดที่เลือกนั้น

6. ค านวณการเคลื่อนที่ของจุดเทียบจากเส้นสัมผัสในข้อ 5
7. ค านวณหาระยะโก่งและความลาดเอียง โดยการพิจารณาลักษณะของเส้นโค้งอีลาสติก และอาศัยทฤษฎีทั้งสองทฤษฎี
นั้นเข้าช่วย




ข้อสังเกตการสอน









Home Work

แบบฝึกหัด 7

ข้อ 1 ถึง 5
จากหนังสือ กลศาสตร์ของแข็ง ผู้แต่ง สุรเชษฐ์ รุ่งวัฒนาพงษ์
ก าหนดส่ง วันที่ 1 กุมภาพันธ์ 2543




หมายเหตุ

สุรเชษฐ์ รุ่งวัฒนาพงษ์ , กลศาสตร์ของแข็ง , กรุงเทพฯ , C

โรงพิมพ์บริษัทเอช . เอ็น . กรุ๊ป , 2536 หน้า 459 - 523

แผนก ช่างเชื่อมและเทคนิคโลหะ วิทยาลัยเทคนิคระยอง
หน่วยเตรียมการสอน ( UNIT LESSON PREPARATION )


วิชา ความแข็งแรงของวัสดุ1 การสอนครั้งที่ 15

หัวข้อเรื่อง-หัวข้อย่อย วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
เมื่อผู้เรียน ได้เรียนเนื้อหาจบแล้ว ผู้เรียนสามารถ
การโก่งของคาน
 การหาระยะโก่งของคานโดยวิธีโมเมนต์-พื้นที่  หาระยะโก่งของคานโดยวิธีโมเมนต์-พื้นที่ได้อย่างถูกต้อง

 การใช้ไดอะแกรมโมเมนต์  ใช้ไดอะแกรมโมเมนต์หาค่าการโก่งได้อย่างถูกต้อง
















วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที
ผู้สอน :

วิธีการหาหาระยะโก่งของ โมเมนต์-พื้นที่นั้นอาศัยพื้นที่ไดอะแกรมโมเมนต์
บนคาน มาพิจารณามีขั้นตอนดังนี้ วิธีการสอนแบบบรรยาย

1. จากโจทย์ที่ก าหนดให้ถ้าเป็นคานแบบช่วงเดียวหรือคานช่วงเดียวปลายยื่น ใช้ ทั ก ษ ะก ารอธิบ าย
จะต้องค านวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับก่อน ส่วนคานแบบยื่นไม่จ าเป็น (Explaining Skill) ผู้สอนเขียน
จะต้องหา ใช้ สื่อแผ่นใสประกอบการ

2. เขียนแผนผังของโมเมนต์ดัด (BMD) จากการค านวณหาได้จากโจทย์ที่ บรรยาย และให้ผู้เรียนซักถาม
ก าหนดให้ เมื่อสงสัย C 20

3. เขียนเส้นโค้งอีลาสติก แสดงถึงลักษณะการโก่งของคานให้ใกล้เคียงกับความ
เป็นจริงมากที่สุด
M ผู้เรียน :
4. เขียนแผนผังของ diagram
EI ฟังการบรรยาย และจด
5. เลือกจุดบนเส้นโค้งอีลาสติกที่ทราบค่าความลาดเอียงหรือระยะโก่ง เช่น จุด

รองรับหรือจุดที่อยู่ในแกนสมมาตร หรือจุดที่โจทย์ก าหนดค่าแน่นอนมาให้ บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
เป็นต้น แล้วลากเส้นสัมผัสกับจุดที่เลือกนั้น ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
6. ค านวณการเคลื่อนที่ของจุดเทียบจากเส้นสัมผัสในข้อ 5
7. ค านวณหาระยะโก่งและความลาดเอียง โดยการพิจารณาลักษณะของเส้นโค้ง วิธีการสอนแบบบรรยาย

อีลาสติก และอาศัยทฤษฎีทั้งสองทฤษฎีนั้นเข้าช่วย
ใช้ ทักษะการอธิบาย
ตัวอย่างที่ 1 (Explaining Skill) ผู้ ส อ น

จงค านวณหาระยะโก่งและมุมลาดเอียงที่ปลายคาน ก าหนดให้ EI มี เขี ย น ใ ช้ สื่ อ แ ผ่ น ใ ส
ค่าคงที่ตลอดความยาวคานโดยวิธี moment-area ประกอบการบรรยาย และให้
ผู้เรียนซักถามเมื่อสงสัย

วิธีท ำ จากรูปจะเห็นว่า

y max   = โมเมนต์ของพื้นที่ A 1 B 1 D รอบแกนผ่านจุด A ใช้ ทักษะการเสริมแรง
AB
1
1
(Reinforcement Skill) เพื่อ
เป็ น ก ารก ระ ตุ้ น ผู้ เรี ย น
พร้อมทั้งซักถามผู้เรียนบ้าง
ให้ผู้เรียนคิดตาม


อธิบายถึงลักษณะของ C 30

โจทย์ว่าควรจะพิจารณ า
อย่างไร และใช้สูตรของกรณี

ใดมาพิจารณา

อธิบายถึงขั้นตอนการหา


สมการระยะโก่ง


1  PL   2  ให้ผู้เรียนมีส่วนร่วมในการ
y    L)(  L 
max
2  EI   3  ท าตัวอย่าง


1 pL 3

3 EI ผู้เรียน :

ฟังการบรรยาย และจด
PL 3
 ระยะโก่งปลายคาน  ANS บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
3 EI
ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
 AB  
A
 พื้นที่ของ A 1 B 1 D วิธีการสอนแบบบรรยาย
1
1 PL  ใช้ ทั ก ษ ะ ก า ร ถ า ม
    (L )
A
2 EI  (Questioning skill) กระตุ้น
PL 2 ผู้เรียนให้มีความสนใจในวิชา

2 EI เรียน
PL 2
 มุมลาดเอียงที่ปลายคาน  ANS
2 EI


ตัวอย่างที่ 2 อธิบายถึงลักษณะของ
คานแบบ simply supported ถูกแรงกระท าที่จุดกึ่งกลางของคาน จงหา โจทย์ว่าควรจะพิจารณ า
มุมลาดเอียง A และระยะโก่งสูงสุด โดยวิธี moment-area อย่างไร และใช้สูตรของกรณี

วิธีท ำ เขียนรูปได้ดังนี้ ใดมาพิจารณา



ใช้แผ่นใสประกอบการ
อธิบายโดยให้ผู้เรียนช่วยกัน C 30

คิด



ใช้ทักษะการเสริมแรง
(Reinforcement Skill) โ ด ย

เน้นเสียง เพื่อเป็นการกระตุ้น
ผู้เรียนมีความสนใจในการ
จากรูปจะเห็นว่า เรียน

 A  มุมลาดเอียง  พื้นที่ของ A 1 C 1 D
1


1  PL   L 
     
A
2  4EI   2 
ผู้เรียน :
ฟังการบรรยาย และจด
PL 2
 บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม
16 EI
PL 2 ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น
ดังนั้น มุมลาดเอียง  ANS
16 EI

วิธีการสอน รหัส เวลา
เนื้อหา
กิจกรรม ผู้สอน/ผู้เรียน หนังสือ นาที

ผู้สอน :
y max   AC  โมเมนต์ของพื้นที่ A 1 C 1 D รอบแกนผ่านจุด A
1
1
วิธีการสอนแบบบรรยาย
1  PL   L   2 L  ผู้สอนสรุปการหาความ
y        
max
2  4EI   2   3 2  ลาดเอียงและระยะโก่ง ให้
ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย

PL 3 การมอบหมายงานให้ C 15

48 EI แบบฝึกหัดผู้เรียนท ามาส่ง


PL 3
ดังนั้น ระยะโก่งสูงสุด  ANS ผู้เรียน :
48 EI
ฟังการบรรยาย และจด
บันทึก พร้อมกับร่วมกิจกรรม

ตามที่ผู้สอนก าหนดขึ้น