เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาสถิติเบื้องต้น

ม.6

ช่อื -สกุล............................................................................................................................. ..
ชน้ั ...........................เลขที่...............

ครูผู้สอน นางวรรณภา มานักฆ้อง
โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั พิษณโุ ลก

สถติ เิ บื้องตน้ ค30202 แนวคิดพ้นื ฐานทางสถิติ

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1
แนวคิดพนื้ ฐานทางสถติ ิ

วิธกี าร ความสําคัญ ความหมาย
เกบ็ รวบรวมขอ้ มูล ของสถติ ิ ของสถิติ

การเก็บรวบรวม แนวคดิ พื้นฐาน ประเภทของสถติ ิ
ข้อมลู ทางสถิติ

ประเภทของขอ้ มลู

ผลการเรียนรู้

1. อธิบายแนวคิดพื้นฐานทางสถติ ิได้
2. มีความคดิ คลอ่ งในการยกตัวอยา่ งสถานการณ์หรอื ปัญหาทต่ี อ้ งใช้สถิติ มากกวา่ 2 สถานการณ์
3. ใหเ้ หตุผลประกอบการตัดสนิ ใจและสรปุ ผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสมจากสถานการณท์ ่ีกำหนดเรอื่ ง

แนวคิดพนื้ ฐานทางสถติ ไิ ด้

หน้า 1

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคดิ พน้ื ฐานทางสถติ ิ

ความสำคัญของสถติ ิ

มนุษย์มีความจำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่หล่ังไหลเข้ามาอย่างไม่ขาดสายอยู่ตลอดเวลา เรา
จำเป็นต้องใช้ข้อมูลมหาศาลเหล่าน้ันเพ่ือช่วยประกอบในการตัดสินใจ และเนื่องจากข้อจากัดท่ีเราไม่สามารถ
จดจำข้อมูลทุกอย่างได้ การบันทึกข้อมูล การบริหารจัดการ และการวิเคราะห์ข้อมูลเหล่านั้นอย่างมี
ประสิทธิภาพ ย่อมทำให้เราได้เปรียบในการตัดสินใจที่จะกระทำหรือไม่กระทำสิ่งต่าง ๆ มากท่ีสุด และศาสตร์
ท่เี กย่ี วข้องกบั ขน้ั ตอนกระบวนการเพ่อื ชว่ ยในการตดั สนิ ใจนกี้ ็คอื สถติ ิ

มนุษย์รู้จักบันทึกข้อมูลต่าง ๆ ท่ีเกิดขึ้นในชีวิตประจำวันและใช้ประโยชน์จากข้อมูลน้ัน มาต้ังแต่ใน
สมัยโบราณ เช่น ในอารยธรรมเมโสโปเตเมีย อียิปต์ กรีก และจีนโบราณ เป็นต้น ดังเช่นการหาค่าเฉล่ียเลข
คณิตของข้อมูล เหมือนดังที่พีทาโกรสั ได้เคยแสดงไว้ ในยุคนั้นข้อมูลยังคงไม่ยุ่งยากไม่สลับซับซ้อน และเกิดข้ึน
ตามความจำเป็น โดยมากเป็นข้อมูลประเภทจำนวนประชากร จำนวนปศุสัตว์ ระดับน้ำ การหมุนเวียนเปล่ียน
ผ่านของดวงดาวและฤดูกาล เพื่อประโยชน์ในการกำหนดและประเมินความสามารถทางการทหาร ใช้ใน
การเมอื งการปกครองเพอ่ื บริหารกิจการของรัฐหรือชุมชน หรือการกำหนดประเภทและช่วงเวลาที่เหมาะสมใน
เพาะปลกู พชื พันธุ์ เปน็ ตน้

ทม่ี า : สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชน เล่มท่ี 6
ต่อมาเม่ือลักษณะในการดำรงชีวิตของมนุษย์ซับซ้อนข้ึน มนุษย์ต้องการการคาดการณ์ที่แม่นยำข้ึนใน
การทำนายเหตุการณ์ท่ียากต่อการทำนายมากขึ้น การเก็บรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลของเหตุการณ์น้ัน ๆ จึง
จำเป็นต้องกระทำอย่างมีระเบียบแบบแผนรัดกุมเพื่อให้ได้ผลตามท่ีต้องการ เหล่านี้จึงเป็นแรงผลักดันสำคัญที่

หนา้ 2

สถติ ิเบ้อื งตน้ ค30202 แนวคิดพืน้ ฐานทางสถติ ิ

ทำให้วิชาสถิติเปล่ียนผ่านจากสถิติที่ตอบสนองการใช้งานพื้นฐานของมนุษย์มาเป็นสถิติสมัยใหม่อย่างใน
ปัจจุบนั

ในคริสต์ศตวรรษที่ 14 พบหลักฐานการบันทึกข้อมูล เกี่ยวกับ ประชากร การค้าขาย การศึกษา
ศาสนา ของจิโอวานนี่ วิลานี (Giovanni Villani ค.ศ. 1280-1348) นายธนาคารแหง่ เมอื งฟลอเรนซ์

ต่อมาในคริสต์ศตวรรษท่ี 16 ความสนใจในการจัดเก็บข้อมูลอย่างเป็นระบบเร่ิมขยายวงกว้างไปสู่
รัฐบาลของประเทศต่าง ๆ แถบยุโรปตะวันตก ซ่ึงข้อมูลที่เป็นท่ีสนใจในตอนนั้นคือ ข้อมูลเกี่ยวกับจำนวน
ประชากรของประเทศนั้น ๆ เพ่อื ประโยชนใ์ นการบริหารปกครองและจัดเก็บภาษีอากรอย่างเป็นระบบ

คำวา่ สถิติ หรือ สถิติศาสตร์ ตรงกบั ภาษาอังกฤษว่า Statistics สันนษิ ฐานว่า Statistics มาจากศัพท์
ภาษาเยอรมันว่า Statictek ซึ่งมีรากศัพท์มาจาก State ทั้งนี้ก็ด้วยศาสตร์นี้เกี่ยวข้องกับการเก็บข้อมูลเพ่ือใช้
ประโยชน์ของรฐั

ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 รูปแบบของการเก็บรวบรวมข้อมูลตลอดจนวิธีการสำรวจข้อมูล ได้เร่ิมพัฒนา
จนมีลักษณะคล้ายกับในปัจจุบัน ในช่วงเวลานั้นความกระตือรือร้นในการพัฒนาศาสตร์ด้านนี้เกิดขึ้นจาก
บรรดาบริษัทประกันชีวิตต่าง ๆ ท่ีต้องการเก็บรวบรวมสถิติชีพ (vital statistic) เพ่ือใช้กำหนดโครงช่วงอายุ
เฉลี่ยของประชากรกลมุ่ ตา่ ง ๆ ซงึ่ สง่ ผลตอ่ การกำหนดเบ้ยี ประกนั ชีวติ

บุคคลแรก ๆ ท่ีเร่ิมนำหลักการทางคณิตศาสตร์ไปใชใ้ นงานด้านสถิติชีพและการประกันภัย คือ จอห์น
กรอนท์ (John Graunt ค.ศ. 1620-1674) ซ่ึงต่อมาภายหลังได้มีผู้นำงานของเขาไปขยายผลต่อ หน่ึงในนั้นคือ
เอด็ มนั ด์ ฮัลเลย์ (Edmund Halley ค.ศ. 1656-1742) นกั ดาราศาสตร์ผมู้ ชี ือ่ เสยี ง ผู้คน้ พบดาวหางฮลั เลย์

ในยุคน้ีสถิติได้รับการพัฒนาอย่างก้าวกระโดด ด้วยการนำคณิตศาสตร์สาขาใหม่มาร่วมประยุกต์ใช้
นั่นก็คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และนักคณิตศาสตร์ท่ีมีส่วนสนับสนุนให้เกิดการผสานซึ่งทั้งสองศาสตร์น้ี คือ
เบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) ปิแยร์ เดอ แฟรม์ า (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601-1665)
และ เจมส์ แบร์นูลลี (James Bernoulli ค.ศ. 1655-1705) โดยเฉพาะโทมัส เบส์ (Thomas Bayes ค.ศ.
1702-1761) ท่ีได้นำทฤษฎีไปประยุกต์ใช้ในการพยากรณ์ในหลากหลายสาขา เช่น วิทยาศาสตร์ อุตุนิยมวิทยา
เศรษฐศาสตร์ การตรวจสอบคุณภาพในวงการอุตสาหกรรม หรือแม้แต่การพิพากษาคดีความ ซ่ึงต่อมาถือเป็น
รากฐานของสถิติเชงิ อนมุ าน

ต่อมาในคริสต์วรรษที่ 18 อาบราอาม เดอ มัวฟวร์ (Abraham De Moivre ค.ศ. 1667-1754) นัก
คณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส มิตรรักของนิวตัน อัศวินแห่งจักรวรรดิอังกฤษอันยิ่งยง ได้ศึกษาและเห็น
ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งการแจกแจงทวินาม และเส้นโค้งการแจงแจงปกติมาตรฐาน องค์ความรู้ท่ี เดอ
มัวฟวร์ได้บ่มเพาะไว้ได้เร่ิมผลิดอกออกใบขยายผลในสมัยของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss
ค.ศ. 1777-1855) ในช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษเดียวกันน้ัน ดอกผลที่ว่าน้ีคือการนำเส้นโค้งการแจงปกติ
มาตรฐานไปใช้ในงานดาราศาสตร์ และการค้นพบระเบียบวิธีกาลังสองน้อยสุด ซ่ึงเป็นเครื่องมือทาง
คณติ ศาสตรช์ ้นิ สำคญั ทช่ี ว่ ยในการทำนายอนาคต ของสง่ิ ทยี่ งั มเิ กิดขึน้ จากข้อมูล ทไี่ ด้บงั เกดิ ขึ้นแล้ว

หน้า 3

สถติ ิเบ้อื งตน้ ค30202 แนวคิดพนื้ ฐานทางสถิติ

ในตอนต้นของคริสต์ศตวรรษท่ี 19 อดอฟ เกตเล่ (Adolphe Quetelet ค.ศ. 1796-1874) ได้ใช้การ
แจกแจงปกติมาตรฐานเพ่ือใช้อธิบายการกระจายของข้อมูลเก่ียวกับลกั ษณะทางกายภาพ ระดับสตปิ ัญญาและ
ระดับพฤติกรรมต่าง ๆ ของมนุษย์

ในศตวรรษนี้คาร์ล เพียรสัน (Karl Pearson ค.ศ. 1857-1936) และ เซอร์ฟรานซิส กัลตัน (Francis
Galton ค.ศ. 1822-1911) ผู้เป็นญาติของชาร์ล ดาร์วิน บิดาแห่งวิวัฒนาการของส่ิงมีชีวิต ได้ร่วมกันพัฒนา
ระเบยี บวิธที างสถิติทเี่ รียกวา่ สหสมั พันธ์ ซ่งึ มีประโยชนอ์ ยา่ งมากในการพจิ ารณาความสัมพันธข์ องข้อมลู

พฒั นาการของวิชาสถิตยิ งั เกิดขึ้นอย่างต่อเน่ืองโดยนักสถิติ และนกั คณิตศาสตร์ด้านความน่าจะเป็นใน
ยคุ ต่อ ๆ มา ความเจริญรุดหน้าขององคค์ วามรู้และการให้ความสำคัญกับการอนมุ านพยากรณ์ เป็นแรงผลกั ให้
วิชาสถิติค่อย ๆ แยกตัวออกจากคณิตศาสตร์ไปสร้างจักรวรรดิความรู้ใหม่ จนอาจจะนับได้ว่าเป็นศาสตร์สาขา
ใหมใ่ นสากลพภิ พ

สำหรับในประเทศไทยเมื่อประมาณหน่ึงศตวรรษที่ผ่านมา ล้นเกล้ารัชกาลท่ี 6 พระมหาธีรราชเจ้า ได้
ทรงมีพระบรมราชโองการโปรดเกล้าโปรดกระหม่อม ให้ตั้ง "กรมสถิติพยากรณ์" ขึ้นในกระทรวงพระคลังมหา
สมบัติ โดยมีเสด็จในกรมกรมหม่นื พิทยาลงกรณ์ ทรงดำรงตำแหน่งอธิบดี ในตอนนน้ั กรมสถิตพิ ยากรณม์ ีหน้าท่ี
รวบรวมข้อมูลทะเบียน และรายงานของกระทรวง ทบวง กรม เพ่ือประโยชน์ในการวิเคราะห์ และพยากรณ์
สภาวการณต์ า่ ง ๆ โดยมีผเู้ ชยี่ วชาญชาวตา่ งประเทศเปน็ ทป่ี รึกษา

กระทรวงพระคลงั มหาสมบตั ิ
ท่มี า : จุฬาลงกรณท์ วี ี สารคดเี ฉลมิ พระเกยี รตริ าชวงศจ์ ักรี

หนา้ 4

สถติ เิ บ้อื งต้น ค30202 แนวคดิ พืน้ ฐานทางสถติ ิ

ต่อมาเพื่อให้สอดรับกับระบบโครงสร้างทางราชการ และบริบททางสังคมท่ีเปลี่ยนแปลงไป หน่วยงาน
นจี้ ึงมีการปรับเปล่ียนสถานภาพและตน้ สงั กัดอีกหลายครั้งหลายหน หลังจากก่อตง้ั มาแล้วประมาณ 50 ปี จาก
กรมสถติ พิ ยากรณ์จงึ ไดก้ ลายมาเปน็ สำนักงานสถิติแห่งชาติ อย่างในปจั จบุ ัน

ในชีวิตประจำวันเรามักเกี่ยวข้องกับสถิติ ตัวเลขต่าง ๆ มากมาย เราได้ยินการพูดถึงสถิติเรื่องต่าง ๆ
เช่นประเทศไทยมีผู้ป่วยเป็นโรคไข้เลือดออกเพิ่มข้ึนมาก และมีสถิติผู้ตายด้วยโรคไข้เลือดออกเป็นจำนวน
เปอร์เซ็นต์ของผู้ป่วยท่พี บ เราดูทวี ีก็พบสถติ ิการรายงานปริมาณน้ำฝนในที่ต่าง ๆ โดยเปรียบเทียบกับปีก่อน ๆ
หรือบางปีบอกว่าฝนแล้งหรือมีปริมาณฝนน้อยท่ีสุดในรอบยี่สิบปี คร้ังเมื่อดูสื่อต่างๆ พบว่าประเทศไทยให้
ความสำคัญกับสุขภาพ สินค้าเพื่อสุขภาพมีมากขึ้นจากสังคมผู้สูงวัย มีสถิติเป็นตัวเลขบอกไว้มีการ
เปรยี บเทยี บกับสถติ ิ คำว่าสถิติจงึ ค้นุ หเู ราอย่เู สมอ

ท่ีมา : การตลาดผู้สูงวยั Positioning Magazine
ขอบเขตของคำว่า "สถิติ" มีความหมายกว้างขวางยิ่งนัก สถิติเป็นศาสตร์ สาขาหนึ่งของวิชา
คณิตศาสตร์ เป็นวิชาการท่ีเกี่ยวข้องโดยตรงกับทุกคน เพราะการดำรงชีวิตของเราอยู่ท่ีการเปรียบเทียบ การ
วัด การประมาณค่าตลอดจนการนำตัวเลขมาเป็นเกณฑ์มาตรฐานต่าง ๆ เช่น ประเทศไทยมีอัตราเงินเฟ้อ 4%
สถิติยังเป็นเครื่องมือท่ีใช้ในทางวิทยาศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์ใช้สรุปผลการทดลองต่าง ๆ ได้อย่างมากมาย
ภายในบ้าน พ่อบ้านแม่เรือน ก็อาจจะมีการบันทึกค่าใช้จ่ายรายเดือน มีการตรวจดูและควบคุมเพ่ือให้รายรับ
และรายจ่ายพอเหมาะต่อการดำรงชีพของครอบครัวภายในองค์กรเช่นในบริษัทก็มีการจดบันทึกข้อมูลต่าง ๆ
บันทึกการขาย มีการลงบัญชีเพ่ือทำงบดุลต่าง ๆ มีการสร้างค่าสถิติตัวเลขให้ผู้บริหารได้รับทราบสภาพของ
กิจการ มกี ารเขยี นในรูปกราฟหรอื การนำเสนอข้อมลู เพอ่ื ใหด้ ูได้ง่าย

หน้า 5

สถติ ิเบ้อื งต้น ค30202 แนวคิดพ้ืนฐานทางสถิติ

คำว่า "สถิติ" ท่ีหลายคนพบเห็นจึงเก่ียวข้องกับตัวเลข จนทำให้เกิดความเข้าใจผิดคิดว่า วิชาการทาง
สถิติจะเกี่ยวข้องแต่ตัวเลขเท่านั้น หรือสถิติคงเกี่ยวกับการประมวลผลตัวเลขตามวิธีการทางสถิติเท่าน้ัน สถิติ
เป็นวิชาการท่ีเก่ียวข้องกับข้อมูลและการประมวลผลข้อมูล ในความหมายที่แท้จริง ยังรวมถึงระเบียบวิธีการ
ทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับวิธีการจัดเก็บและรวบรวมข้อมูล นำวิเคราะห์ข้อมูล การตีความหมายข้อมูลท่ีเก็บ
รวบรวมมา การนำเสนอข้อมูล รวมถึงการประมวลผลข้อมลู ตา่ ง ๆ

เมื่อสังคมความเป็นอยู่ของมนุษย์เจริญข้ึน ปัญหาด้านต่าง ๆ ที่เก่ียวข้องในชีวิตประจำวันยิ่งซับซ้อน
ข้ึน เช่นปัญหาการผลิตสินค้าจำนวนมากในระบบอุตสาหกรรม สถิติเข้าไปมีส่วนเก่ียวข้องอยู่มาก การพัฒนา
ประเทศก็เป็นปญั หาท่ีซับซ้อน สถิติช่วยในการบริหารงานของภาครัฐ ข้อมูลสถิตชิ ่วยให้เห็นสภาพความเป็นไป
ของสังคม และได้เข้าใจและรู้จักกับสถานะภาพของสังคมได้ดีข้ึน สถิติจึงเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการตัดสินใจ
และกำหนดนโยบายตา่ ง ๆ เพ่อื ให้เป็นไปอยา่ งมปี ระสิทธิภาพ

ความหมายและประเภทของสถิติ

สถิติ (Statistics) โดยทว่ั ไปมคี วามหมาย 2 อยา่ ง คือ
1. ตัวเลขสถิติ (Statistical Data) หมายถึง จำนวนหรือค่าที่ได้จากการรวบรวมข้อมูล แสดงถึง
ขอ้ เท็จจริงของสงิ่ ต่างๆ อย่างมีความหมาย เชน่ ปริมาณนำ้ ฝนที่ตกในแต่ละปี ปริมาณการส่งสินค้าออก ดัชนี
ราคาสินคา้ จำนวนอบุ ตั ิเหตบุ นท้องถนนสายหนงึ่ ในแต่ละเดอื น เปน็ ตน้
2. วิชาสถิติหรือสถิติศาสตร์ (Statistical Method) หมายถึง ศาสตร์ว่าด้วยระเบียบวิธีทางสถิติ ซึ่ง
ประกอบด้วย 4 ขั้นตอน คือ การเก็บรวบรวมข้อมูล (Collection of Data) การนำเสนอข้อมูล
(Presentation of Data) การวิเคราะห์ข้อมูล (Analysis of Data) และการแปลความหมายข้อมูล
(Interpretation of Data)
วิชาสถติ อิ าจแบ่งเน้อื หาเป็น 2 สาขา ดังน้ี
1. สถิติพรรณนา (Descriptive statistics) หรือเรียกอีกอย่างหน่ึงว่า สถิติบรรยาย เป็นสถิติท่ีมุ่ง
ศึกษาเพ่ืออธิบายเรื่องราวต่างๆ ของ กลุ่มประชากร (Population) กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งโดยเฉพาะ อาจเป็นกลุ่ม
ใหญ่หรือกลุ่มเล็ก โดยทำการเก็บรวบรวมข้อมูลจากสมาชิกทุกหน่วยในกลุ่มประชากรน้ัน ผลการศึกษาใช้
อธิบายหรอื สรุปเก่ียวกับเรอื่ งราวของกลุ่มท่ีศึกษาเท่านั้น ไม่สามารถนำผลการศึกษาไปสรุปอ้างอิงถึงกลุ่มอื่นๆ
ที่ไมไ่ ดศ้ ึกษา
2. สถิติอ้างอิง (Inferential statistics) หรือที่เรียกอีกอย่างหน่ึงว่า สถิติอนุมาน เป็นสถิติท่ีมุ่งศึกษา
เพ่ือหาข้อสรุปเร่ืองราวของประชากร โดยเก็บรวบรวมข้อมูลจากกลุ่มย่อยที่เรียกว่า กลุ่มตัวอย่าง (Sample)
แล้วนำผลการศึกษาไปสรุปอ้างองิ ถึงกลุ่มใหญ่ท่ีเรียกว่า กลุ่มประชากร (Population) ซึ่งเป็นกลุ่ม เป้าหมาย
ทีต่ ้องการศึกษา คา่ ต่างๆ ท่ีคำนวณไดจ้ ากขอ้ มลู ท่เี กบ็ รวบรวมจากกลุ่มตวั อย่าง เรียกวา่ คา่ สถติ ิ (Statistic)

หนา้ 6

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคิดพืน้ ฐานทางสถติ ิ

สถิตอิ ้างองิ ครอบคลมุ เนื้อหาสำคัญ 2 เรือ่ ง ได้แก่ การประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐาน
2.1 การประมาณค่า (Estimation) เป็นการประมาณค่าแท้ของประชากร เรียกว่าค่าพารามิเตอร์

(Parameter) โดยใช้คา่ สถิติ (Statistic) ท่ีได้จากกล่มุ ตวั อยา่ ง
2.2 การทดสอบสมมติฐาน (Testing Hypothesis) เป็นการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เพ่ือสรุป

อ้างอิงคา่ สถติ ติ า่ งๆ ไปยงั กลุ่มประชากร กล่าวไดอ้ ีกอยา่ งหนงึ่ ว่า เป็นการทดสอบความมีนัยสำคัญทางสถติ ิ

ประเภทของขอ้ มลู

ขอ้ มูลสถิติ (Statistical Data)
ข้อมูล (Data) หมายถึง ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเร่ืองใดเร่ืองหนึ่งที่สนใจศึกษาซ่ึงอาจเกี่ยวกับคน สัตว์

หรอื สงิ่ ของ ขอ้ มลู ทยี่ งั ไมผ่ า่ นการประมวลผลทางสถิตจิ ะเรียกวา่ ข้อมลู ดิบ (Raw Data)
โดยข้อมูลอาจได้มาจากการนับ การสังเกต หรือการจดบันทึกในรูปของข้อความหรือตัวเลขท่ีใช้บอกปริมาณ
หรือบอกลักษณะ อาการของสิ่งท่ีสนใจศึกษา สำหรับข้อมูลที่เก็บรวบรวมในรูปของตัวเลขเพ่ือนำมา
ประมวลผลหาความหมายที่แน่นอนจะเรยี กวา่ ข้อมลู สถิติ(Statistical Data) เช่น
สถิติประชากร สถิติจำนวนนักเรียนในโรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย สถิติเกี่ยวกับรายได้และรายจ่ายของ
ครอบครัว

ประเภทของขอ้ มูลสถิติ
ขอ้ มลู สถติ ิมีหลายประเภทตามลกั ษณะการจัดแบง่ ดงั นี้

1. แบง่ ตามแหล่งที่มาของขอ้ มลู
ถ้าแบ่งตามแหล่งที่มาของข้อมูล จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 2 ประเภท คือข้อมูลปฐมภูมิ (Primary

Data) และขอ้ มูลทุติยภมู ิ (Secondary Data)
1.1 ข้อมูลปฐมภูมิ หมายถึง ข้อมูลที่ผู้ใช้จะต้องเก็บรวบรวมจากผู้ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาของ

ข้อมูลโดยตรง ซึ่งอาจทำได้โดยการสัมภาษณ์ วัด นับ หรือสังเกตจากแหล่งข้อมูลโดยตรงการเก็บรวบรวม
ขอ้ มลู ประเภทน้ที ำได้ 2 วธิ คี อื การสำมะโน (census) และการสำรวจจากกล่มุ ตวั อยา่ ง (sample survey)

(1) การสำมะโน คือการเกบ็ รวบรวมข้อมูลจากทุกๆ หนว่ ยของประชากรหรือสิง่ ที่เราต้องการ
ศึกษา ซ่งึ การเกบ็ ขอ้ มลู ในลกั ษณะนที้ ำใหเ้ สยี เวลาและคา่ ใชจ้ า่ ยในการเก็บรวบรวมขอ้ มลู มาก

(2) การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง คือการเก็บรวบรวมข้อมูลจากบางหน่วยท่ีเลือกมาเป็น
ตัวแทนจากทุกๆ หน่วยของประชากรหรือสิ่งที่เราต้องการศึกษาเท่านั้น เนื่องจากการเก็บรวบรวมข้อมูลจาก
ทุกหนว่ ยของประชากร อาจทำให้เสียเวลาและคา่ ใชจ้ ่ายโดยไมจ่ ำเปน็

หนา้ 7

สถติ ิเบ้อื งตน้ ค30202 แนวคดิ พ้นื ฐานทางสถิติ

1.2 ข้อมูลทุติยภูมิ คือข้อมูลที่ผู้ใช้ไม่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาของข้อมูล
โดยตรง แต่ได้จากข้อมูลที่มีผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว ข้อมูลประเภทนี้ ผู้ใช้ไม่ต้องเสียเวลาและค่าใช้จ่ายในการ
เก็บรวบรวมขอ้ มลู เอง สามารถนำข้อมลู ท่ีมีผู้อ่ืนเกบ็ รวบรวมไว้แล้วมาใชไ้ ด้เลย

2. แบง่ ตามลักษณะของข้อมูล
เมื่อจำแนกประเภทของข้อมูลตามลักษณะของข้อมูลจะจำแนกเป็น 2 ลักษณะใหญ่ๆ คือ ข้อมูล

เชงิ ปรมิ าณ (quantitative data) และข้อมลู เชงิ คุณภาพ (qualitative data)

2.1 ข้อมูลเชิงปริมาณ คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณซ่ึงวัดออกมาเป็นจำนวนที่สามารถ
นำมาใช้เปรียบเทยี บกนั ได้โดยตรง แบง่ ออกเป็น 2 แบบ คือ

(1) ข้อมูลแบบไม่ต่อเน่ือง (Discrete Data) หมายถึงข้อมูลท่ีมีค่าเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวน
นับ เช่น จำนวนคน จำนวนสนิ คา้ จำนวนตกึ เป็นต้น

(2) ข้อมูลแบบต่อเนื่อง (Continuous Data) หมายถึงข้อมูลท่ีมีค่าได้ทุกค่าในช่วงที่กำหนด
ที่มีความหมาย เช่น รายได้ นำ้ หนักสนิ คา้ ส่วนสูงของคน ความยาวของโต๊ะ ฯลฯ

2.2 ข้อมูลเชิงคุณภาพ คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นจำนวนได้โดยตรงแต่อธิบายลักษณะ
หรือสมบัติในเชิงคุณภาพได้ เช่น เพศ ความคิดเห็น คุณภาพของสินค้า ซ่ึงข้อมูลเหล่านี้ไมส่ ามารถนำไปใช้ใน
การบวก ลบ คูณ หารได้

3. แบ่งตามสเกลของหลักการวดั ขอ้ มูล
ถ้าแบ่งตามสเกลของหลักการวัดข้อมูล จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ประเภท คือ ข้อมูลสเกลนาม

บัญญัติ (Nominal Scale Data) ข้อมูลสเกลอันดับ (Ordinal Scale Data) ข้อมูลสเกลอันตรภาคชั้น
(Interval Scale Data) และข้อมลู สเกลอตั ราสว่ น (Ratio Scale Data)

3.1 สเกลนามบัญญัติ (Nominal Scale)
เป็นสเกลวัดค่าที่ง่ายที่สุดหรือสะดวกต่อการใช้มากที่สุด เพราะเป็นการแบ่งกลุ่ม (Category) ของ
ข้อมูลเพื่อสะดวกต่อการลงรหัสและการวิเคราะห์ โดยถือว่าแต่ละกลุ่มมีความเสมอภาคหรือเท่าเทียมกัน หรือ
เป็นการแบ่งกลุ่มข้อมูลโดยไม่มีการเรียงลำดับนั่นเอง และค่าท่ีบัญญัติหรือกำหนดให้แต่ละกลุ่มก็ไม่มี
ความหมาย เชน่ เพศ มี 2 ค่า คือ ชายและหญิง และในการลงรหัสเพื่อสะดวกในการวิเคราะห์ ดังนั้น บางคร้ัง
จึงเรียกตัวแปร หรือข้อมูลชนิดนี้ว่า ข้อมูลเชิงกลุ่ม (Categorical data) ข้อมูลสเกลนามกำหนด(Nominal
Scale) จะสามารถหาความถี่และเปอร์เซ็นต์ได้ นอกจากนั้น ยังสามารถนำความถีม่ าคำนวณคา่ สถิติได้ดังน้ี ค่า
ฐานนิยม การทดสอบไคสแควร์ การทดสอบทวินาม(Binomial Test) แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบน
มาตรฐานได้

หน้า 8

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคิดพ้ืนฐานทางสถิติ

3.2 สเกลอันดบั (Ordinal Scale)
เป็นสเกลที่ใช้แบ่งกลุ่มขอ้ มูลที่เพิ่มรายละเอียดมากกว่าสเกลนามกำหนด คือ ข้อมูลที่อยู่ในแต่ละกลุ่ม
จะแสดงความแตกต่างโดยพิจารณาจากลำดับด้วย นั่นคือสามารถบอกได้ว่ากลุ่มใดดีกว่ากลุ่มอ่ืนๆ หรือกลุ่ม
ใดบ้างที่มากกว่าหรือน้อยกว่ากลุ่มอ่ืนๆ แต่ไม่สามารถบอกปริมาณความมากว่าหรือน้อยกว่าว่าเป็นเท่าใด
ข้อมูลทเี่ ปน็ สเกลอันดับสามารถนำมาวเิ คราะหโ์ ดยใช้เทคนคิ การวิเคราะหไ์ ด้ดงั นี้ ความถี่ เปอร์เซ็นต์ ควอไทล์
ค่ามธั ยฐาน การทดสอบไคสแควร์ เป็นต้น

3.3 สเกลอนั ตรภาค (Interval Scale)
เป็นข้อมูลที่มีรายละเอียดมากกว่าข้อมูลสเกลอันดับ นั่นคือ แบ่งข้อมูลออกเป็นกลุ่มแบบสเกลอันดับ
แต่สามารถบอกปริมาณความแตกต่างระหว่างกลุ่มได้ด้วย ดังนั้น สเกลอันตรภาคจะใช้หน่วยวัดเป็นค่าคงท่ี จึง
ทำให้สามารถบอกปริมาณความแตกต่างระหว่างกลุ่มได้ตัวอย่างของข้อมูลสเกลอันตรภาคที่เห็นได้ชัดเจนที่สุด
คือ อุณหภูมิ และ คะแนน ข้อมูลชนิดสเกลอันตรภาคสามารถใช้เทคนิควิเคราะห์ทางสถิติบางเทคนิคได้ เช่น
ความถ่ี เปอรเ์ ซน็ ต์ ฐานนยิ ม การทดสอบไคสแควร์ คา่ เฉลยี่ เลขคณิต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นต้น

3.4 สเกลอัตราส่วน (Ratio Scale)
ข้อมูลทอ่ี ยู่ในรูปสเกลอัตราส่วน ถอื เป็นข้อมูลที่สมบูรณ์มากที่สุด น่ันคือเปน็ ข้อมูลสเกลอันตรภาค แต่
จุดเร่ิมต้นเป็นจุดท่ีมีความหมาย นั่นคือสามารถบอกขนาดความแตกต่างและสามารถเปรียบเทียบความ
แตกต่างได้ สามารถใช้เทคนคิ การวเิ คราะห์ข้อมูลทางสถิติไดท้ ุกเทคนิค

Nominal Ordinal Inteval Ratio
Scale Scale Scale Scale

จดั เป็นกลมุ่ ๆได้ จดั เปน็ กลุม่ ๆได้ จัดเป็นกลุม่ ๆได้ จัดเปน็ กลุ่มๆได้

เรียงลําดับได้ เรยี งลําดบั ได้ เรียงลาํ ดบั ได้

ชนิดของข้อมูล ช่วงห่างเท่ากัน ช่วงห่างเทา่ กัน
แบ่งตามสเกลของหลักการวัดข้อมลู มีศูนย์แท้

หนา้ 9

สถติ ิเบ้อื งต้น ค30202 แนวคดิ พืน้ ฐานทางสถิติ

วิธเี ก็บรวบรวมขอ้ มลู

การเก็บรวบรวมข้อมูล หมายถึง กระบวนการที่จะได้มาซึ่งข้อมูลท่ีจะนำมาวิเคราะห์ โดยข้อมูลท่ีเก็บ
รวบรวมมาอาจประกอบด้วยขอ้ มูลปฐมภมู ิและข้อมลู ทตุ ิยภูมิ และเปน็ ท้ังข้อมลู เชงิ ปริมาณและคณุ ภาพ

วธิ ีการเก็บรวบรวมขอ้ มูลสถิติ มี 3 วธิ ี คอื
1. การเกบ็ รวบรวมข้อมลู จากการสำรวจ (Survey) เป็นวิธีการเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู โดยอาศัยวธิ ีการ
ตอบแบบสอบถาม การสมั ภาษณ์ การทดสอบ หรอื การสงั เกต

การสำรวจแบ่งออกเปน็ 2 วธิ ี คือ
1. การสำมะโน (Census) เป็นวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยในประชากรที่สนใจศึกษา
2. การสำรวจด้วยตัวอย่าง (Sample Survey) เป็นวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลจากเพียงบางหน่วย
ของประชากร
2. การเก็บรวบรวมข้อมูลจากการทดลอง (Experiment) เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลด้วยการวาง
แผนการทดลองแล้วทำการทดลองตามทกี่ ำหนด และรอผลลัพธท์ เี่ กิดข้นึ เพื่อนำมาใช้ในการวเิ คราะห์
3. การเก็บรวบรวมข้อมูลจากระบบทะเบียนหรือการบันทึก เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลจากการ
บันทกึ และการทะเบยี นของหนว่ ยงาน เชน่ ข้อมลู ทะเบยี นราษฎร ขอ้ มลู ทะเบียนประวัตนิ ักเรยี น
วิธีเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู ทุตยิ ภมู ิ ซงึ่ ส่วนใหญ่มักจะอยใู่ นหนังสอื รายงาน บทความหรอื เอกสารตา่ งๆ
วิธเี ก็บรวบรวมข้อมูลปฐมภมู ิ การเก็บรวบรวมข้อมูลปฐมภูมิซง่ึ อาจทำได้โดยการสำมะโนหรือสำรวจ
สามารถทำได้หลายวิธแี ตว่ ธิ ีทีน่ ิยมใชก้ นั ทวั่ ๆ ไปมี 4 วธิ ีคือ
1) การสมั ภาษณ์
2) การสอบถามทางไปรษณีย์
3) การสอบถามทางโทรศัพท์
4) การสงั เกต

หนา้ 10

สถติ เิ บ้อื งต้น ค30202 แนวคดิ พ้ืนฐานทางสถิติ

ความรู้เพิม่ เตมิ ก่อนจะกล่าวถงึ รายละเอียดเกี่ยวกับ
วเิ คราะหข์ อ้ มูลเบอ้ื งตน้ ควรจะต้องทราบ
วิธี ความหมายของ“ตัวแปร” ท่ีจำเปน็ ตอ้ ง
กล่าวถึงอยู่เสมอๆ ในการวิเคราะหข์ อ้ มลู
เสียก่อนดังน้ี

ตัวแปร (Variable) หมายถึงลักษณะของประชากรท่ีเราสนใจวิเคราะห์โดยที่ลักษณะนั้นๆ ของ

ประชากรสามารถเปล่ียนคา่ ได้ ไมว่ า่ จะเปน็ เชิงปรมิ าณหรอื เชงิ คุณภาพ เช่น
1. จำนวนสมาชิกของครอบครัวเป็นตัวแปร เน่ืองจากเปล่ียนค่าได้ตั้งแต่ 1,2,3 เรื่อยไป และเป็นตัว

แปรเชงิ ปริมาณ
2. คะแนนสอบเป็นตัวแปร เนื่องจากเปลยี่ นค่าได้ตั้งแต่ 0, 1, 2 เรื่องไปจนถึง 100 (คะแนนเต็ม 100)

และเป็นตัวแปรเชิงปรมิ าณ
3. เพศเปน็ ตัวแปร เนอ่ื งจากเปลย่ี นค่าเปน็ ชาย และหญงิ และเปน็ ตวั แปรเชงิ คณุ ภาพ

ประชากร (Population) หมายถึง หน่วยทุกหน่วยท่ีให้ข้อมูลเกี่ยวกับส่ิงท่ีเรากำลังศึกษาวิเคราะห์
อยู่ ซึง่ อาจจะเป็นบคุ คล สัตว์ หรือสิ่งของ ประชากรแบง่ เปน็ 2 ชนิด คอื

1. ประชากรท่มี ีจำนวนจำกัด (Finite Population) หมายถึง ประชากรท่ีมีจำนวนจำกัด สามารถนับ
จำนวนไดแ้ น่นอน เช่น จำนวนนกั เรียนโรงเรียนจุฬาภรณราชวทิ ยาลัย

2. ประชากรท่ีมีจำนวนอนันต์ (Infinite Population) หมายถึง ประชากรที่มีขนาดใหญ่ไม่สามารถ
นับจำนวนที่แน่นอนได้ เชน่ จำนวนเมล็ดขา้ วโพดในกระสอบหนึ่งๆ จำนวนแบคทีเรียบนขนมปังแผน่ หนึ่ง เป็น
ต้น

ตวั อย่าง (Sample) หมายถงึ บางส่วนของประชากรที่นำมาใชใ้ นการวิเคราะห์ เพราะโดยทว่ั ไปแล้ว
ประชากรมกั จะมีขนาดใหญ่ การศกึ ษาทกุ หนว่ ยจากประชากรทำใหเ้ สียเวลาและเสียค่าใชจ้ า่ ยสงู ดงั นนั้ จึงนยิ ม
ศกึ ษาจากตัวอย่างแทนประชากร

ค่าพารามิเตอร์ (Parameter) หมายถึง ค่าที่คำนวณได้จากประชากร ค่าพารามิเตอร์เป็นค่าคงที่

เช่น

คา่ เฉลีย่ ของประชากร ใชส้ ัญลักษณ์  อ่านว่า มิว

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร ใช้สัญลักษณ์  อา่ นว่า ซิกมา

สมั ประสิทธสิ์ หสัมพนั ธ์ของประชากร ใชส้ ญั ลักษณ์  อ่านวา่ โร เปน็ ตน้

หน้า 11

สถติ เิ บ้อื งต้น ค30202 แนวคิดพ้นื ฐานทางสถติ ิ

คา่ สถิติ (Statistic) หมายถงึ คา่ ทีค่ ำนวณได้จากตัวอย่าง ค่าสถติ จิ ะไมใ่ ช่คา่ คงที่ แตจ่ ะเปน็ ตวั แปร

เพราะคา่ สถิตจิ ะมคี า่ เปลย่ี นแปลงไปถ้ากลมุ่ ตวั อยา่ งเปลี่ยน บางคร้ังค่าสถติ อิ าจจะมคี ่าซำ้ กันก็ได้ เราใช้

ค่าสถติ นิ ี้ในการประมาณคา่ พารามเิ ตอร์ เช่น

คา่ เฉลี่ยของตวั อย่างใชส้ ญั ลกั ษณ์ X

สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง ใช้สญั ลักษณ์ S

สมั ประสิทธส์ิ หสัมพนั ธ์ของตวั อยา่ งใชส้ ัญลกั ษณ์ r เป็นตน้

จบบทเรยี นแล้ว
ไปทำแบบฝกึ หดั
กันดกี ว่าค่ะ

หนา้ 12

สถติ ิเบ้อื งตน้ ค30202 แนวคิดพ้ืนฐานทางสถติ ิ

แบบฝึกหัดที่ 1.1
แนวคิดพืน้ ฐานทางสถิติ

1. ใหน้ กั เรียนนำขอ้ ความต่อไปนี้เติมในช่องว่างของแตล่ ะข้อทีส่ มั พันธ์กัน

ก. สถติ เิ ชงิ อนมุ าน ข. สถิตเิ ชิงพรรณนา ค. ข้อมลู เชงิ ปริมาณ
ง. ข้อมูลทตุ ยิ ภมู ิ จ. ข้อมลู เชงิ คุณภาพ ฉ. การเก็บรวบรวมขอ้ มลู
ช. ข้อมูลปฐมภมู ิ ซ. คา่ กลางของข้อมูล ฌ. การนำเสนอขอ้ มลู
ญ. ขอ้ มลู

1) ………………………….. ข้อมลู ทใี่ ช้แทนขนาด ซ่งึ วัดออกมาเปน็ จำนวนที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทยี บกัน
ได้โดยตรง

2) …………………………. ค่าเฉลีย่ เลขคณติ มธั ยฐานและฐานนยิ ม
3) …………………………. ตาราง แผนภมู ิแทง่ แผนภูมวิ งกลม
4) …………………………. สถติ ิของการวเิ คราะหข์ ้อมูลทเี่ กบ็ รวบรวมได้จากตัวอยา่ งเพื่ออา้ งอิงไปถงึ

ข้อมูลท้ังหมด
5) …………………............ การสอบถาม การสงั เกต การทดลอง
6) …………………………. ขอ้ มลู ทผ่ี ู้ใช้จะตอ้ งเกบ็ รวบรวมจากผูใ้ หข้ อ้ มลู หรอื แหล่งทม่ี าของขอ้ มลู โดยตรง
7) …………………………. ข้อมลู ทผ่ี ใู้ ชไ้ มต่ อ้ งเกบ็ รวบรวมจากผใู้ หข้ ้อมลู หรอื แหล่งท่ีมาโดยตรง แต่ไดจ้ าก

ข้อมูลทีม่ ผี ู้อนื่ เก็บรวบรวมไว้แล้ว
8) ………………………… ข้อมูลที่ไมส่ ามารถวัดออกมาเป็นจำนวนไดโ้ ดยตรง แต่อธิบายลักษณะหรอื

คณุ สมบัติของข้อมลู นน้ั ได้
9) ………………………... ขอ้ ความจรงิ หรอื สงิ่ ท่ีบ่งบอกถงึ สภาพ สถานการณ์ หรอื ปรากฏการณใ์ ด

ปรากฏการณ์หนึ่ง
10) ………………………… สถติ ิของการวเิ คราะหข์ อ้ มลู ขนั้ ต้นทมี่ งุ่ อธบิ ายลักษณะกว้างๆ ของขอ้ มลู

หนา้ 1

สถติ เิ บื้องตน้ ค30202 แนวคิดพื้นฐานทางสถิติ

2. จงพจิ ารณาว่าขอ้ มลู ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้เี ป็น ขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ หรอื ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ
…………………….. 1) หมายเลขทะเบียนรถจักรยานยนตใ์ นอำเภอเมือง จงั หวัดพษิ ณุโลก
…………………….. 2) คะแนนสอบ Pre-test ของนักเรยี น ม.6 วิชาสถติ ิเบอ้ื งต้น
…………………….. 3) ราคาน้ำมนั เบนซนิ ไร้สารตะกวั่
…………………….. 4) ปรมิ าณนำ้ ฝนที่ตกในจังหวดั เชียงราย
…………………….. 5) จานวนสมาชิกในครอบครัวของนกั เรียนทที่ ำข้อสอบชดุ นี้
…………………….. 6) อาชีพของผู้ปกครองนกั เรยี น ม.6 โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ฬุ าภรณราชวทิ ยาลัย
…………………….. 7) อัตราค่าโดยสารรถตจู้ ากจงั หวดั ลพบุรถี งึ กรงุ เทพมหานคร
…………………….. 8) จำนวนผปู้ ว่ ยตดิ เช้ือ COVID-19 ในระยะหนง่ึ สปั ดาหท์ ผี่ ่านมา
…………………….. 9) เลขประจำตวั ประชาชน
…………………….. 10) จำนวนเงินที่นกั เรยี นชนั้ ม.6 ไดร้ บั จากผ้ปู กครองในวันเขา้ หอพกั

หน้า 2

สถติ เิ บ้อื งต้น ค30202 แนวคดิ พื้นฐานทางสถิติ

ś. จากข้อมลู ผลการสำรวจต่อไปน้ี ใหน้ ักเรยี นอธิบายและแสดงความคิดเหน็ ว่า “สถติ มิ ีความสำคญั อย่างไร”
กรณีศกึ ษา เรือ่ ง การกนิ อยูข่ องประชาชน ณ วันน้ี

ทม่ี า : สวนดุสติ โพล มหาวทิ ยาลยั สวนดุสิต
ตอบ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หนา้ 3

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคดิ พื้นฐานทางสถติ ิ

4. จากขอ้ มูลผลการสำรวจต่อไปน้ี ใหน้ กั เรียนอธิบายและแสดงความคิดเหน็ ว่า “สถิตมิ คี วามสำคญั อยา่ งไร”
กรณีศึกษา เรอื่ ง จำนวนผู้ตดิ เช้อื COVID-19 ในกลุ่มอาเซียน

ทีม่ า : สำนกั งานการวจิ ยั แห่งชาติ กระทรวงการอดุ มศกึ ษา
ตอบ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หนา้ 4

สถติ เิ บ้อื งตน้ ค30202 แนวคดิ พ้นื ฐานทางสถติ ิ

แบบทดสอบหลังเรียน
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 แนวคดิ พน้ื ฐานทางสถิติ

ตอนที่ 1 จงเลือกคำตอบทถี่ ูกต้องทส่ี ดุ
1. ขอ้ ความใดไม่อยู่ในรปู ของสถติ ิ

ก. นักเรียนสอบได้ในปนี ้ี 54%
ข. เน่อื งจากภาวะน้ำมันแพงปรมิ าณการขายรถยนต์ของบรษิ ัทจึงลดลง 60 %
ค. ภาวะเงินเฟอ้ ของประเทศไทยปนี ส้ี งู ขนึ้ จากปที แ่ี ล้ว 10 %
ง. รัฐบาลพยายามปรับปรงุ การเกบ็ ภาษีเพอ่ื ใหไ้ ดม้ ากกว่าปที ีแ่ ลว้ อยา่ งนอ้ ย 30 %

2. ขอ้ ใดถูกต้องทส่ี ดุ
ก. เราประมาณคา่ สถิตจิ ากพารามิเตอร์
ข. การแสดงข้อมลู ด้วยรปู กราฟแผนภูมิแท่งเป็นเรื่องการตคี วามหมายขอ้ มูล
ค. โรงเรียนบ้านโคกสวา่ งมีครทู ี่เปน็ หญิง 10 คน และชาย 12 คน เป็นขอ้ มูลเชิงปริมาณ
ง. จำนวนขอ้ มลู ในกลุม่ ตัวอยา่ งมจี ำนวนน้อยกวา่ หรอื เท่ากบั จำนวนข้อมลู ในประชากร

3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนีผ้ ิด
ก. การกำหนดความกว้างของอนั ตรภาคชนั้ จะต้องกำหนดให้เท่ากันทกุ อันตรภาคชนั้
ข. ความถ่สี มั พทั ธ์ ซึ่งแสดงในรูปทศนยิ มของแต่ละอนั ตรภาคชั้นจะตอ้ งมีค่าตงั้ แต่ 0 ถงึ 1 เท่านัน้
ค. สามารถสร้างฮิสโทแกรมหรือเส้นโค้งของความถ่ีได้ ถ้าความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน
ทกุ ช้นั
ง. กราฟแสดงการแจกแจงความถ่ีของตัวแปรแสดงใหเ้ หน็ การกระจายของข้อมลู ได้ชัดกวา่
ตารางแจกแจงความถ่ี

4. จากข้อความท่กี ลา่ ววา่ “โดยเฉล่ยี แลว้ คนไทยเสยี คา่ ใชจ้ ่ายในการเดนิ ทางไปทำงานวันละ 50 บาท”

ขอ้ ใด หมายถงึ ประชากร

ก. คนไทยทั้งหมด ข. เฉพาะกลมุ่ คนไทยที่ตอ้ งไปทำงาน

ค. 35 บาท ง. ค่าใช้จ่ายในการเดนิ ทางไปทำงาน

หนา้ 1

สถติ เิ บื้องตน้ ค30202 แนวคดิ พน้ื ฐานทางสถิติ

5. ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ต้องทีส่ ดุ
ก. การแจกแจงความถีข่ องข้อมูล เปน็ วธิ กี ารทางสถติ ทิ ่มี ีความเหมาะสมที่สดุ ในการจัดข้อมลู ที่มี
จำนวนนอ้ ย
ข. แนวทางในการศึกษาวิชาสถิติเป็นการศึกษาข้อมูลในกลุ่มย่อยเพื่อนำไปสู่ความรู้ในกลุ่มใหญ่ของ
ขอ้ มูลนนั้
ค. ครูในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ของโรงเรยี นจฬุ าภรณราชวทิ ยาลยั แหง่ หนึ่ง เป็นชาย 8 คน
และเปน็ หญิง 7 คน เปน็ ขอ้ มลู ทจี่ ำแนกตามปรมิ าณ
ง. นายสมชายทราบว่าตนเองสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ 70 คะแนน สอบวิชาเคมีได้ 68 คะแนน
สอบวิชาชีววิทยาได้ 72 คะแนน สอบวิชาฟสิ ิกสไ์ ด้ 60 คะแนน และสอบวชิ าภาษาไทยได้ 82
คะแนน จากแตล่ ะวิชาทม่ี คี ะแนนเตม็ 100 คะแนน เป็นเรอ่ื งการวเิ คราะหข์ อ้ มูล

6. จากตารางแจกแจงความถี่ จงพจิ ารณาว่าข้อความใดไมถ่ กู ตอ้ ง

อนั ตรภาคชนั้ ความถี่
5–9 2
10 – 14 10
15 – 19 3

ก. 7 เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชัน้ 5 – 9
ข. ขอบลา่ งของอนั ตรภาคช้นั 15 – 19 ตา่ งจากขอบบนของอนั ตรภาคช้นั 5 – 9 อยู่ 5
ค. จำนวนขอ้ มูลทีม่ ีคา่ น้อยกวา่ 14.5 มีอยู่ 12 คา่
ง. ความกว้างของอนั ตรภาคชั้น 10 – 14 คอื 4

7. นักวิ่ง 20 คน ใช้เวลาวิ่งรวม 240 วินาที รวมได้ทาง 2400 เมตร แสดงว่านักวิ่งคนหนึ่งว่ิง 1 วินาทีได้

ระยะทาง 10 เมตร และนายประยุกต์เป็นนักว่ิงคนหน่ึงเขาสามารถวิ่ง 100 เมตร ใน 9.8 วินาที ปกติคนอ่ืน ๆ

ว่ิงได้ 9 – 13 เมตรต่อวินาที ตัวเลขใดต่อไปนจี้ ัดวา่ เปน็ ข้อมูล

ก. 10 เมตร ข. 11 เมตร

ค. 100 เมตร ง. 2400 เมตร

8. ข้อใดตอ่ ไปนผี้ ดิ
ก. ขอบล่าง และขอบบนของอนั ตรภาคชน้ั 25 – 29 คือ 24.5 กับ 29.5
ข. ความกว้างของอันตรภาคชั้น ของชว่ งคะแนน 11.5 – 13.5 คอื 2
ค. ความถี่สะสมของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั ยอ่ มมจี ำนวนมากกว่า หรอื เท่ากับความถ่ีของช้ันนั้น
ง. จดุ ก่ึงกลางของอันตรภาคชัน้ 11 – 20 คอื 15

หน้า 2

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคิดพ้นื ฐานทางสถติ ิ

9. โรงเรยี นจุฬาภรณราชวิทยาลยั แหง่ หนึง่ ในปกี ารศกึ ษา 2562 มจี ำนวนครู 97 คน เจ้าหน้าท่ี 63 คน และ

นกั เรยี น 1,027 คน ขอ้ มลู ดงั กลา่ วเป็นขอ้ มูลชนดิ ใด

ก. ข้อมลู จำแนกตามคุณภาพ ข. ขอ้ มลู จำแนกตามปรมิ าณ

ค. ข้อมูลจำแนกตามกาลเวลา ง. ขอ้ มลู จำแนกตามภมู ศิ าสตร์

จากตารางแจกแจงคะแนนสอบรายวิชา สถิติเบื้องต้น ค30202 ของนักเรียนโรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย

แห่งหนง่ึ ในปกี ารศึกษา 2562 จงตอบคำถาม ข้อ 10 – 13

คะแนน ความถี่

30 – 39 4

40 – 49 6

50 – 59 8

60 – 69 12

70 – 79 9

80 – 89 7

90 – 99 4

10. คะแนนขอบล่างของอันตรภาคชนั้ 70 – 79 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 69 ข. 69.5
ค. 70 ง. 79

11. นกั เรยี นทสี่ อบได้คะแนนระหวา่ ง 60 – 69 คะแนน คิดเป็นร้อยละเทา่ ใดของนกั เรียนทง้ั หมด
ก. 18 ข. 20
ค. 24 ง. 27

12. ความถสี่ ะสมสมั พัทธ์ของอันตรภาคชนั้ 40 – 49 มคี ่าเทา่ ใด

ก. 0.08 ข. 0.20

ค. 0.36 ง. 0.60

13. ขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ข้อใดผดิ
ก. นกั เรยี นทีไ่ ด้คะแนนสงู กวา่ 69.5 มจี ำนวน 20 คน
ข. นักเรียนสว่ นมากได้คะแนนอยใู่ นช่วง 60 – 90 คะแนน
ค. นกั เรยี นไดค้ ะแนนอยู่ในช่วง 30 – 39 กับ 90 – 99 คะแนน มีจำนวนไม่เทา่ กัน
ง. ผลรวมของความถ่สี มั พทั ธ์ของทกุ ๆ ค่าท่ีเป็นไปได้ หรอื ของทุกอนั ตรภาคช้นั จะต้องมคี า่ เทา่ กับ 1

หนา้ 3

สถติ เิ บื้องต้น ค30202 แนวคดิ พ้นื ฐานทางสถติ ิ

14. กำหนดข้อมูลชุดหน่ึงมี 35 จำนวน มคี ่าสูงสุด 50 และค่าตำ่ สุด 20 ต้องการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ให้

แตล่ ะอันตรภาคชั้นเทา่ กนั

1) ถ้าแต่ละอนั ตรภาคชัน้ กว้าง 5 คะแนนเทา่ กนั จะมจี ำนวนอนั ตรภาคช้ัน 6 อนั ตรภาคชั้น

2) ถา้ ต้องการใหม้ ีจำนวนอันตรภาคช้นั 10 ชัน้ แต่ละอันตรภาคชัน้ จะต้องกว้าง 3 คะแนน

สรปุ วา่

ก. ข้อ 1, 2 ถกู ข. ข้อ 1 ถกู ข้อ 2 ผดิ

ค. ขอ้ 1 ผดิ ข้อ 2 ถกู ง. ขอ้ 1, 2 ผิด

15. ขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ข้อใดผดิ
ก. อาชพี ราคาสนิ ค้า ศาสนา ชนั้ เรียน ถอื ว่าเปน็ ตวั แปรในทางสถิติท้งั สน้ิ
ข. ผลรวมของความถ่ีทั้งหมดท่ีตกอยู่ในแต่ละอันตรภาคช้ันจะต้องเท่ากับจำนวนค่าจากการสังเกต

ทง้ั หมดท่มี อี ยู่
ค. เสน้ โค้งของความถแ่ี ละเส้นโค้งของความถสี่ ะสมจะตอ้ งไมม่ ีการหักมุม ณ ทใ่ี ดท่ีหนึ่งในเสน้ โค้งนน้ั
ง. ถ้าความกว้างของอันตรภาคชั้นของการแจกแจงความถ่ี ไม่เท่ากันทุกช้ันแล้ว จะไม่สามารถสร้าง

ฮสิ โทแกรม หรือเส้นโคง้ ความถี่ได้

16. ถ้าความกว้างของอันตรภาคชนั้ a – b เป็น 5 และจดุ ก่ึงกลางชน้ั เป็น 21 จงหาขอบลา่ ง
ก. 18 ข. 18.5
ค. 19 ง. 19.5

17. จากตารางแจกแจงความถี่

คะแนน 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 - 59
ความถี่ 2 11 20 14 3

คำกล่าวข้อใดไม่ถกู ต้อง
ก. ความถสี่ ัมพทั ธข์ องอันตรภาคชั้น 30 – 39 คอื 0.40
ข. รอ้ ยละของความถ่สี ัมพทั ธ์ของอันตรภาคช้นั 50 – 59 คือ 6
ค. ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์ของอนั ตรภาคช้ัน 20 – 29 คือ 0.26
ง. รอ้ ยละของความถ่ีสะสมสัมพัทธ์ของอนั ตรภาคชัน้ 40 – 49 คือ 90

หน้า 4

สถติ เิ บื้องตน้ ค30202 แนวคิดพน้ื ฐานทางสถิติ

จากตารางแสดงจำนวนเงนิ ที่นักเรยี นได้รบั มาโรงเรียนใน 1 วัน ใช้ตอบคำถามขอ้ 18 – 19

จำนวนเงิน จำนวนนักเรยี น ความถส่ี ะสม

5–7 A 14

8 – 10 11

11 – 13 38

14 – 16 B 90

17 – 19 10

18. จงหาคา่ 2A + B มีคา่ เทา่ กับเท่าไร ข. 48
ก. 45 ง. 55
ค. 50

19. เด็กนักเรยี นท่มี ีเงินมาโรงเรยี น 11 บาท ถึง 16 บาท มจี ำนวนร้อยละเท่าไร
ก. 60 ข. 65
ค. 69 ง. ไม่มีขอ้ ใดถูก

20. กำหนดตารางแจกแจงความถีข่ องความสูงของนักเรยี น ดังน้ี

ความสูงของนักเรียน จำนวน
ตำ่ กวา่ 100.55 5
100.6 – 130.5 10
130.6 – 140.5 15
สูงกวา่ 140.5 5

คำกลา่ วข้อใดไมถ่ กู ต้อง
ก. อนั ตรภาคชัน้ “ต่ำกวา่ 100.55” หาจดุ กึง่ กลางช้ันไมไ่ ด้
ข. อนั ตรภาคชัน้ “130.6 – 140.5” มขี อบบนเปน็ 140.55
ค. นกั เรยี นท่ีมคี วามสูงเกิน 130.5 มี 20 คน
ง. ขอบบนของอนั ตรภาคชน้ั ตำ่ สุดตา่ งจากขอบลา่ งของอันตรภาคช้ันสงู สุดอยู่ 39.95

--------------------------------------------

หน้า 5

สถติ เิ บ้อื งต้น ค30202 แนวคิดพ้นื ฐานทางสถติ ิ

กระดาษคำตอบ

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 แนวคิดพน้ื ฐานทางสถติ ิ รายวิชา สถิตเิ บือ้ งตน้ ค30202
ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2563 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6

ชอ่ื -สกุล......................................................................................ชัน้ ......................................เลขท่.ี ............

ขอ้ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง
1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20

หนา้ 6

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ผลการเรียนรู้

1. อธิบายความหมายของการแจกแจงปกตไิ ด้
2. อธบิ ายบอกลกั ษณะ และสมบตั ขิ องเส้นโค้งปกติได้
3. หาค่ามาตรฐานเพอ่ื ใชใ้ นการเปรยี บเทยี บข้อมูลท่ีกำหนดได้
4. หาพืน้ ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกตเิ ม่อื กำหนดตารางมาให้ได้
5. ลงมอื แกป้ ญั หาสถานการณ์ท่ีกำหนดเรอ่ื งการแจกแจงปกติได้

นางวรรณภา มานกั ฆ้อง
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการ
โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย พิษณุโลก

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

แบบทดสอบก่อนเรียน
เรอ่ื ง คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

คำชี้แจง ให้นกั เรียนทำเครอ่ื งหมาย  ลงในชอ่ งคำตอบ ก , ข , ค และ ง ทถี่ ูกทสี่ ุดเพียงคำตอบเดยี ว

1. ในขอ้ มลู ชุดหนงึ่ ที่มคี ่าเฉล่ยี เลขคณติ เปน็ 4. คา่ มาตรฐานของข้อมูลตัวหน่งึ มคี า่ เท่ากับ

80 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน็ 20 แล้ว จงหา 2.00 คา่ เฉลย่ี เลขคณติ เปน็ 10 แลว้ ค่าของขอ้ มูล

ค่ามาตรฐานของ 140 ตัวน้นั มคี า่ เท่ากับข้อใด

ก. – 3 ก. 220

ข. – 1 ข. 40

ค. 2 ค. 22

ง. 3 ง. 0

2. จากข้อมูล 2 , 7 , 8 , 3 ค่ามาตรฐานของ 8 5. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ คะแนนเฉลี่ย

มคี ่าเทา่ ใด ของนักเรยี นทัง้ ชนั้ เท่ากับ 12 คะแนน ถ้าค่า

ก. 1.18 มาตรฐานของคะแนนสอบของนกั เรยี นสองคน

ข. 1.28 ตา่ งกัน 1.5 คะแนน คะแนนสอบของนักเรยี นท้ัง

ค. 1.38 สองคนต่างกันเท่าไร

ง. 1.48 ก. 23 คะแนน

3. ในข้อมลู ชุดหน่ึง ทีม่ ีคา่ เฉลี่ยเลขคณติ เปน็ 60 ข. 21 คะแนน

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน็ 5 แล้ว จงหา ค. 19 คะแนน

ค่ามาตรฐานของ 50 ง. 18 คะแนน

ก. – 2 6. ในขอ้ มลู ชดุ หนึ่ง ที่มีคา่ เฉล่ียเลขคณติ เป็น 100

ข. – 1 ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเป็น 10 ถ้าค่ามาตรฐานเปน็

ค. 1 1.5 จงหาค่าของข้อมูลตวั นนั้

ง. 2 ก. 125

ข. 115

ค. 95

ง. 85

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

7. ในการสอบคดั เลือกในการทำงานบริษัท ค. สอบวิชาภาษาองั กฤษไดด้ กี วา่
แห่งหน่งึ ต้องสอบ 3 วิชา ปรากฎว่ามผี ู้ได้ วชิ าคณิตศาสตร์
คะแนนสงู สดุ 225 คะแนน รวม 3 คน ตาม
ตารางข้างล่าง ถ้าบริษทั ต้องการพนักงานเพยี ง ง. บอกไม่ไดว้ ่าสอบวิชาไหนไดด้ กี ว่ากนั
2 คน ควรจะเลือกใคร 9. นกั เรียนคนหน่ึง สอบวชิ าคณติ ศาสตร์, ฟสิ กิ ส์,
ภาษาองั กฤษ, เคมี และชีววทิ ยา ซง่ึ มคี ะแนนเตม็
ผสู้ อบคดั เลอื ก วิชาท่ี 1 วชิ าท่ี 2 วชิ าท่ี 3 100 เท่ากัน ถ้าค่ามาตรฐานของแต่ละวิชาเปน็
คนท่ี 1 90 75 60 2.5 , 2.5 , 2.4 , 3.0 และ 2.8 ตามลำดบั และค่า
คนท่ี 2 75 80 70 ของ x และ S ของแต่ละคู่อันดับวชิ าเปน็ ดงั นี้
คนท่ี 3 100 60 65 (50, 10) , (55, 8) , (40, 10) , ( 40, 12) และ
(36, 15) ตามลำดับ ขอ้ สรปุ ใดถูกต้อง
x 85 75 64
ก. สอบวิชาฟสิ กิ สไ์ ดด้ ที สี่ ดุ รองลงมาคือ
S.D. 10 15 5 คณติ ศาสตร์ และเคมี

ก. คนที่ 2 , 3 ข. สอบวิชาเคมไี ด้ดีท่สี ดุ รองลงมาคือ
ข. คนท่ี 1 , 3 คณิตศาสตร์ และฟิสิกส์
ค. คนท่ี 1 , 2
ง. ตดั สินไม่ได้ ค. สอบวชิ าเคมีได้ดีทส่ี ุด รองลงมาคือ
8. ในการสอบปลายภาคนักเรยี นชั้น ม.5 ฟิสกิ ส์และคณิตศาสตร์
มีจำนวน 50 คน ปรากฏวา่ ไดค้ ะแนน ดังนี้
วชิ าคณติ ศาสตร์ มคี ่าเฉลีย่ เลขคณิตเท่ากับ 78 ง. สอบวิชาคณิตศาสตรไ์ ดด้ ีที่สุด
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 คะแนน 10. นางสาวศริ ิรตั น์ สอบวชิ าคณิตศาสตร์ได้ 84
วิชาภาษาองั กฤษ มีค่าเฉลย่ี เลขคณิตเท่ากบั 65 คะแนน วชิ าฟิสกิ ส์ 82 คะแนนและ วิชาเคมี 90
สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 6 คะแนน คะแนน ถ้าคา่ เฉล่ียเลขคณิตและ สว่ นเบย่ี งเบน
ถ้าสุรศักดิส์ อบได้คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 75 มาตรฐานของวชิ าคณติ ศาสตร์ ฟิสิกสแ์ ละเคมี
คะแนน วิชาภาษาองั กฤษ 65 อยากทราบวา่ เป็น 80 , 75 , 85 และ 3 , 5 , 4 ตามลำดบั
สรุ ศกั ดิ์สอบวชิ าไหนได้ดกี ว่ากัน อยากทราบว่า ศิรริ ตั นส์ อบวิชาไหนไดด้ ีกวา่ กัน

ก. สอบวชิ าภาษาอังกฤษและ ก. สอบวิชาฟสิ กิ ส์ได้ดีท่ีสดุ รองลงมาคือ
วชิ าคณิตศาสตร์ได้ดีเท่ากัน คณติ ศาสตร์ และเคมี

ข. สอบวชิ าคณิตศาสตร์ได้ดีกวา่ ข. สอบวิชาเคมไี ดด้ ีที่สดุ รองลงมาคือ
วชิ าภาษาอังกฤษ คณติ ศาสตร์ และฟิสกิ ส์

ค. สอบวิชาเคมไี ดด้ ีทส่ี ุด รองลงมาคือ
ฟิสกิ ส์ และคณิตศาสตร์

ง. สอบวิชาคณิตศาสตร์ไดด้ ีท่ีสุด

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ค่ามาตรฐาน

คะแนนมาตรฐาน หรือ ค่ามาตรฐาน (Standard Score) คือ ค่าของตัวเลขที่ใช้เปรียบเทียบค่าของ
ข้อมูลของตวั แปรตงั้ แตส่ องตวั ข้ึนไปว่า มีความแตกต่างกันหรือไมเ่ พียงไร เช่น ตอ้ งการเปรียบเทียบผลการเรียน
วิชาสถติ ิกบั วชิ าภาษาอังกฤษของนกั ศึกษาคนหน่ึง ซึ่งวิชาสถิติสอบได้ 90 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน
และวิชาภาษาองั กฤษสอบได้ 85 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ถ้าเราจะกล่าววา่ นกั ศึกษาคนน้ีเรียนวิขา
สถิติได้ดีกว่าวิชาภาษาอังกฤษ โดยพิจารณาจากคะแนนที่สอบได้มาเปรียบเทียบกัน ซึ่งเป็นคำกล่าวที่ไม่ถูกตอ้ ง
เพราะถึงแม้ว่าคะแนนเต็มจะเท่ากัน แต่ความยากง่ายของแต่ละวิชา อาจมีความแตกต่างกันก็ได้ ซึ่งในที่นี้วิชา
สถิติข้อสอบง่ายนักศึกษาส่วนใหญ่ทำคะแนนได้ดี แต่วิชาภาษาอังกฤษข้อสอบยากก็ได้ ถ้าเราจะนำคะแนนที่
สอบได้มาเปรียบเทียบกันนั้นไม่ถูกต้อง แต่จริงแล้วยังมปี ัจจัยอีกหลายๆ อย่างที่มีผลต่อผลสอบ อย่างเช่นความ
ยากง่ายของแต่ละวิชามีความแตกต่างกัน ครูผู้สอนต่างกัน วิธีการสอนต่างกัน ลักษณะข้อสอบต่างกัน เป็นต้น
ดังนั้นในการเปรียบเทียบจึงต้องนำค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานพิจารณาประกอบการ
เปรียบเทียบด้วย โดยการแปลงข้อมูลดิบหรือคะแนนที่สอบได้ในแต่ละวิชามาเป็นคะแนนมาตรฐานหรือค่า
มาตรฐานเสียก่อน แล้วนำมาเปรียบเทียบกนั ได้ คะแนนมาตฐานมหี ลายรูปแบบแต่ท่นี ิยมใช้กันมากคือ คะแนน
มาตรฐาน Z มาจากสตู ร ดงั นี้

ถ้า xi เป็นคา่ สังเกตของข้อมูลชุดหนง่ึ ที่มีคา่ เฉล่ียเลขคณติ และส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเปน็ x และ
S.D. สำหรับขอ้ มูลชดุ ตัวอยา่ ง และ  และ  สำหรับขอ้ มลู ประชากร ตามลำดับแลว้ ค่ามาตรฐานของ xi
เขยี นแทนดว้ ย z หรอื zi ดงั นี้

zi = xi − x สำหรบั ขอ้ มูลตัวอย่าง
S.D.

zi = xi −  สำหรบั ขอ้ มลู ประชากร


ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

เราจะเห็นได้วา่ คะแนนมาตรฐาน z เปน็ คา่ ทแ่ี สดงใหเ้ ห็นว่า ความแตกตา่ งระหว่างคะแนนดิบ ( xi )

และค่าเฉล่ียเลขคณิต (x , ) เปน็ ก่ีเทา่ ของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S.D. ,  ) ถ้าคะแนนมาตรฐานหรอื ค่า

มาตรฐานของวชิ าใดมากกวา่ หรือสูงกวา่ ถือวา่ เขาสอบวิชาน้นั ไดด้ ีกวา่

วชิ าสถิติ มีคา่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากับ 85
คะแนน และ มีค่าส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 10 คะแนน

zstst = 90 − 85
10

= 0.5

วิชาภาษาอังกฤษ มคี า่ เฉล่ยี เลขคณิต
เทา่ กับ 80 คะแนน และ มคี ่าสว่ น
เบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กับ 5 คะแนน

zEng = 85 − 80
5

=1

การเปรียบเทยี บ เนือ่ งจากคะแนน
มาตรฐานของวชิ าภาษาองั กฤษมากกวา่
คะแนนมาตรฐานของวชิ าสถติ ิ แสดงวา่
นักศึกษาคนนี้เรยี นวชิ าภาษาองั กฤษได้
ดีกวา่ วชิ าสถติ ิ

zstat = 0.5 zEng = 1

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

พจิ ารณา

1.  zi

จาก zi = xi −  ดงั นนั้


 zi =   xi −  
  

= 1 ( xi −  )


= 1 ( xi −   )


= 1 (N − N)



=0

2. z

z =  zi
N

=0
N

=0

3.  zi2

 zi 2 =  xi −  2
  

( )= 1

2
xi2 − 2xi  +  2

( )  = 1

2
xi2 − 2 xi +  2

( )= 1

2
xi2 − 2N  2 + N  2

( )= 1

2
xi2 − N  2

= 1 N  xi 2 − 2 
2  N 

( )= 1 N  2

2

=N

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

4. z

zi2 −( ) z =2
N
z

= N −0
N

=1

จากมุมมองตรงนี้ สามารถสรุปเป็นสมบตั ิของ z ไดด้ งั ต่อไปน้ี

1.  zi = 0

2. z = 0

3.  zi2 = N

4.  z = 1
5. ค่า z มีไดท้ ั้งคา่ บวก ลบ และ ศูนย์ ซง่ึ ข้อมลู เป็นโคง้ ปกติ จะมคี า่ z ประมาณ −3 ถงึ +3 แต่บาง

ข้อมูลอาจมมี ากกว่า +3 หรอื มีน้อยกวา่ −3กไ็ ด้

6. ถ้า S.D. = 0 หรือ  = 0 จะคำนวณหาคา่ z ไม่ได้

มุมกลับของค่ามาตรฐาน โดยผนั สมการจาก z = xi −  เปน็ xi =  + z ( )



จะบง่ ชถ้ี ึงค่ามาตรฐาน ก็คอื เปน็ คา่ ที่บอกให้ทราบวา่ ควมแตกต่างระหวา่ งคา่ ของข้อมูลน้ันๆ กบั คา่ เฉลย่ี เลข

คณิตของขอ้ มลู ชดุ นนั้ เป็นก่เี ท่าของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตวั อยา่ งท่ี 1

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการแจกแจงแบบปกติ มีคะแนนเฉล่ีย 60 คะแนน และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 10
คะแนน คะแนนสอบภาษาองั กฤษ มีการแจกแจงแบบปกติ มคี ะแนนเฉลีย่ 70 คะแนน ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน
15 คะแนน ถา้ นาย ก มคี ะแนนมาตรฐานของผลการสอบวชิ าทง้ั สองเทา่ กนั และสอบวิชาคณติ ศาสตร์ได้ 72
คะแนน แล้วคะแนนวิชาภาษาอังกฤษของนาย ก เท่ากับเท่าใด

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

วธิ ีทำ โจทย์ต้องการทราบคะแนนภาษาองั กฤษ ดว้ ยกำหนดความสมั พันธ์คอื ได้คา่ มาตรฐานเท่ากันทง้ั สองวิชา
ซ่ึงสามารถหาค่ามาตรฐานของวิชาคณิตศาสตร์ก่อน ดงั น้ี

zmath = xmath − 


= 72 − 60
10

= 1.2

ดงั นั้น zmath = zEng = 1.2

zEng = xEng − 


1.2 = xEng − 70
15

xEng = 70 + 1.2(15)

= 88

ตอบ นาย ก สอบไดค้ ะแนนวิชาภาษาองั กฤษ 88 คะแนน

ตวั อยา่ งท่ี 2

ในการสอบวิชาสถติ ิของนักเรียนกล่มุ หนึ่ง ปรากฏว่าคะแนนเฉลี่ยเท่ากบั 60 คะแนน ความแปรปรวนของ
คะแนนเท่ากบั 25 คะแนน2 นกั เรยี นกล่มุ นี้สอบไดเ้ กรด A และ B นกั เรยี นที่สอบได้เกรด A จะต้องไดค้ ะแนน
มาตรฐานไมต่ ่ำกว่า 3.0 ถา้ นายจำลองเป็นนักเรยี นท่ีได้เกรด B แลว้ คะแนนมากที่สุดทีน่ ายจำลองจะไดเ้ ท่ากับ
เท่าใด (กำหนดใหค้ ะแนนเปน็ จำนวนเต็ม)

วิธีทำ โจทย์กำหนด  = 60 ,  = 5 หาคะแนนสูงสุดทจ่ี ะได้เกรด A

zA = xA − 


3.0 = xA − 60
5

xA = 60 + 3(5)

= 60 + 15

= 75

ตอบ คะแนนสงู สุดทนี่ ายจำลองจะได้เท่ากับ 74 คะแนน

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตัวอยา่ งท่ี 3
ถา้ คา่ เฉล่ียและสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของน้ำหนกั ของนักเรียน 25 คน เทา่ กบั 65 และ 1.5 กิโลกรมั และ
ผลรวมของคา่ มาตรฐานของน้ำหนักของนักเรยี น 24 คน เท่ากับ −1.5 จงหานำ้ หนกั ของนักเรียนคนที่ 25

วธิ ที ำ ใช้คุณสมบัติของ z ท่ีวา่  zi = 0 ดังน้นั z25 =1.5 หานำ้ หนักของนักเรียนคนที่ 25

x25 =  + z25 ( )
= 65 +1.5(1.5)

= 65 + 2.25
= 67.25

ตอบ นักเรียนคนท่ี 25 หนกั 67.25 กิโลกรัม

ตวั อย่างที่ 4
ถ้าผลรวมของกำลงั สองของค่ามาตรฐานของข้อมลู ชดุ หนงึ่ เทา่ กบั 10 และมผี ลรวมของค่าสังเกตทุกค่าของขอ้ มูล
เทา่ กับ 94 จงหาค่าเฉลีย่ ของขอ้ มลู ชดุ นี้

วธิ ีทำ ใช้คุณสมบตั ขิ อง z ทีว่ า่  zi2 = N ดังนัน้ N =10
 =  xi

N
= 94

10
= 9.4

ตอบ ขอ้ มูลชดุ นมี้ ีคา่ เฉลี่ยเท่ากบั 9.4

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตัวอย่างที่ 5

ในการชงิ ทุนรัฐบาล ผลปรากฏวา่ นางสาววาสนาสอบไดค้ ะแนน 602 คะแนน และนายวิชิตสอบไดค้ ะแนน 590
คะแนน ถ้าคะแนนมาตรฐานของนางสาววาสนา และนายวชิ ติ เป็น 0.2 และ -1 ตามลำดับ อยากทราบวา่
คา่ เฉลยี่ เลขคณติ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบในครง้ั นเ้ี ทา่ กบั เท่าใด

วธิ ที ำ จากโจทย์ นางสาววาสนา สอบได้คะแนน 602 คะแนน และคะแนนสอบมาตรฐานของนางสาววาสนาเป็น
0.2 จะได้

zWas = xWas -μ
σ

0.2 = 602-μ
σ

0.2σ + μ = 602 .....................(1)

นายวชิ ติ สอบไดค้ ะแนน 590 คะแนน และคะแนนสอบมาตรฐานของนายวิชิต เป็น -1 จะได้

zWi = xWi − 


−1 = 590 − 


−1 +  = 590 .....................( 2)

นำ

(1) − (2) ; 1.2 = 12

 = 10

แทน  = 10 ในสมการ (1) จะได้

0.2(10) +  = 602

 = 600

ตอบ คา่ เฉลย่ี ของคะแนนสอบเทา่ กับ 600 คะแนน และ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากบั 10 คะแนน

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

แบบฝกึ หดั ที่ 1 เร่ือง ค่ามาตรฐาน

คำช้แี จง จงแสดงวิธที ำให้ถูกตอ้ ง

1. ในโรงงานอตุ สาหกรรมแห่งหน่ึงต้องการรบั สมคั รคนงานทีเ่ ปน็ ชายโดยมขี อ้ แมว้ า่ คนงานทบ่ี ริษัทจะ
รับเขา้ ทำงานจะต้องมีคา่ มาตรฐานของอายุตงั้ แต่ 2.0 ขึน้ ไป ถ้าค่าเฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบ่ยี งเบน
มาตรฐานของอายุคนงานท้ังหมดท่มี าสมัครเขา้ ทำงานเป็น 25 ปี และ 2 ปี ตามลำดบั คนงานท่มี ีอายุ
ตง้ั แต่เทา่ ไรข้ึนไปจะมีโอกาสไดร้ บั เลอื กเข้าเปน็ คนงานของโรงงานอุตสาหกรรมแหง่ นนั้

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. ในการสอบแข่งขันชิงทนุ การศึกษา นายประพันธ์ ซ่งึ สอบได้ท่ี 1 ไดค้ ะแนน 650 คะแนน และนางสาว
มะลวิ ัลย์ ซึง่ สอบได้ท่ี 10 ได้คะแนน 540 คะแนน ถา้ คะแนนมาตรฐานของนายประพนั ธ์และนางสาว
มะลวิ ลั ย์เปน็ 3 และ 1.9 ตามลำดบั จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของการสอบ
ครั้งน้ี

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. สมชายและวริ ชั เข้าสอบคัดเลอื กเขา้ ทำงานในหน่วยงานแห่งหนึง่ ปรากฏวา่ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของผู้เขา้
สอบทั้งหมดเป็น 60 เปอรเ์ ซ็นต์ และสมชายสอบได้ 70 เปอร์เซ็นต์ ถ้าคะแนนมาตรฐานของคะแนน
สอบของสมชายเป็นสองเทา่ ของคะแนนสอบของวริ ชั แลว้ วริ ัชสอบไดค้ ะแนนคิดเปน็ กเี่ ปอร์เซ็นต์

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

4. ผลการสอบของนกั เรยี นห้องหน่ึงมคี ะแนนเฉลย่ี เท่ากับ 60 และสัมประสทิ ธ์ขิ องการแปรผนั ของคะแนน
สอบคร้ังน้ีเท่ากับ 20% ถ้าผทู้ ่ีสอบไดร้ ะดบั A จะต้องได้ค่ามาตรฐานไมต่ ่ำกวา่ 2.5 แลว้ คะแนนต่ำสุด
ของผูท้ ีจ่ ะสอบไดร้ ะดับ A คือเทา่ ไร (ตอบเปน็ จำนวนเตม็ )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. ในการสอบแข่งขันชงิ ทุนการศึกษาเพอื่ ไปศึกษาต่อตา่ งประเทศคร้งั หน่ึง สมชายสอบได้ 700 คะแนน
สมศักดิส์ อบได้ 650 คะแนน ถา้ คา่ มาตรฐานของสมชายและสมศักดคิ์ ือ 3 และ 2.5 ตามลำดับ แล้วคา่
เบ่ียงเบนมาตรฐานในการสอบครง้ั นีเ้ ทา่ กบั เทา่ ใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. นักเรียน 100 คน ได้เข้าสอบแขง่ ขนั เพ่ือการศึกษาตอ่ ต่างประเทศของสถาบันการศึกษาแห่งหน่ึง
คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของการสอบครั้งน้ีเท่ากับ 500 คะแนน สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบ
เท่ากับ 100 คะแนน นาย ก และนาย ข ได้คะแนนมาตรฐานรวมกนั เท่ากบั 2 นาย ก และนาย ข ได้
คะแนนสอบรวมกันเทา่ กบั เท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. หลอดไฟฟา้ หลอดหน่งึ จากโรงงาน มีอายุการใชง้ าน 1,020 ชั่วโมง คา่ มาตรฐานเทา่ กบั 2 ถา้ ค่าเฉลยี่
อายกุ ารใช้งานของหลอดไฟฟ้าเทา่ กับ 796.88 ชว่ั โมง แลว้ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายกุ ารใช้งาน
ของหลอดไฟฟ้าท่ผี ลติ จากโรงงานน้ีมีคา่ เท่ากับเท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

8. ในการสอบนักเรยี น 52 คน ไดส้ ัมประสิทธ์ิการแปรผนั เทา่ กับ 0.3 ถ้านักเรียนสอบได้ 70 คะแนนคิด
เป็นคะแนนมาตรฐานได้เทา่ กับ 1 แล้ว ผลรวมของคะแนนสอบของนกั เรยี นท้ัง 52 คน เท่ากบั เท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 25 คน มีผลรวมกำลังสองของคา่ มาตรฐานของคะแนนสอบ
ของนักเรียน 24 คนนีเ้ ป็น 23.56 ถ้าคะแนนเฉลยี่ และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ
66 และ 5 คะแนน ตามลำดับ แลว้ นักเรยี นอคี นที่เหลือสอบไดก้ ่ีคะแนน

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. ในการตรวจคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นห้องหน่ึง ปรากฏว่าคะแนนท่ีนายอดุ รทำได้ 30
คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานเทา่ กบั 1 สว่ นคะแนนทนี่ ายชนกทำไดเ้ ทา่ กับ 15 คะแนน คิดเป็นค่า
มาตรฐานเท่ากับ -2 แลว้ สมั ประสิทธข์ิ องการแปรผันของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรน์ ี้เท่ากับเทา่ ใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)

การแจกแจงปกติ

การแจกแจงปกติ เป็นการแจงแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสมุ่ ชนิดต่อเนอื่ งทส่ี ำคัญท่สี ุด ซง่ึ เปเนการ
แจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม ทสี่ ว่ นใหญ่จะมคี ่าใกล้เคยี งกับค่าเฉลยี่ ของตัวแปรสุ่มเหลา่ น้นั จะมคี า่
ของตัวแปรทีม่ ากกวา่ หรือน้อยกว่าคา่ เฉลย่ี อยา่ งมากเปน็ ส่วนนอ้ ย เปน็ การแจกแจงทใี่ ช้ประโยชนม์ ากท้ังในทาง
ทฤษฎีและปฏิบัติ และในทางปฏิบตั พิ บง่า มีข้อมลู หลายชนิดทีโ่ ดยธรรมชาติจะมกี ารแจกแจงปกติ เช่นค่า
ผิดพลาดจากมาตรฐานในดา้ น ขนาด น้ำหนัก หรอื ปริมาตร คะแนนของการทดสอบทางสตปิ ญั ญา ความสูงของ
คน ปริมาณน้ำตาลในเลือด ปริมาณผลผลติ ของพืช และทฤษฎีตา่ งๆ ในทางสถิติ มกั ตัง้ อยู่บนพื้นฐานของการ
แจกแจงปกติ

อะบราฮัม เดอ มวั ร์ (Abraham De Moivre) (ค.ศ. 1667 – 1754) ชาวฝรั่งเศสเป็นผทู้ ่ีศกึ ษา และได้
สรา้ งสมการทางคณติ ศาสตร์ของการแจกแจงปกติขนึ้ มาเป็นคร้งั แรก ใน ปี ค.ศ. 1733 โดยการคำนวณจากลมิ ิต
ของฟงั กช์ ันความน่าจะเปน็ ของการแจกแจงทวินาม และต่อมา คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss)
(ค.ศ. 1777 – 1855) ชาวเยอรมันได้พัฒนาตอ่ โดยเกาส์ได้สมการนจี้ ากการศึกษาความคลาดคลอ่ื นของการวัด
ซำ้ ๆ ในกลมุ่ เดิม หรือความผดิ พลาดในการวดั ปริมาณเดียวกนั ซ้ำหลายๆ ครง้ั โดยการค้นพบมาจากการวัดความ
คลาดเคลือ่ นในการสังเกตทางดาราศาสตร์ ดังน้ันการแจกแจงปกตนิ จ้ี งึ ได้เรยี กช่อื อกี หน่ึงวา่ การแจกแจงแบบ
เกาส์ (Gaussian Distribution)

เหตผุ ลท่ีการแจกแจงปกตเิ ป็นการแจงแจงทส่ี ำคญั ทสี่ ดุ มีดังน้ี

1. มตี ัวแปรสมุ่ หลายตัวทีไ่ ด้จากการสังเกต หรือการทดลอง มีการแจงแจงปกติ หรือใกล้เป็นการแจง
แจงปกติ (approximately normally distributed)

2. ตัวแปรสมุ่ บางตวั มกี ารแจกแจงไมเ่ ป็นการแจกแจงปกติและไม่ใกล้เปน็ การแจกแจงปกติดว้ ย แต่
สามารถจะแปลงให้เปน็ ตัวแปรสุ่มใหมท่ ม่ี ีการแจกแจงใกลเ้ ปน็ การแจกแจงปกติไดด้ ้วยสมการงา่ ยๆ

3. มกี ารแจกแจงทส่ี ำคัญหลายอยา่ งทหี่ าค่าไดย้ าก แต่กส็ ามารถประมาณคา่ โดยการแจกแจงปกติ เช่น
การแจกแจงทวินาม

4. การทดสอบทางสถิติ (statistical test) บางตวั มีขอ้ ตกลงเบื้องต้นว่าประชากรต้องมีการแจกแจง
ปกติ

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

การแจกแจงปกติไดน้ ยิ ามไว้ดังนี้ ถา้ X เปน็ ตวั แปรสมุ่ แบบต่อเนอื่ ง มีฟงั กช์ ันความน่าจะเป็นของ X
คือ

1 e− 1  x−  2
2   
( )f x =
 2

แลว้ จะเรยี ก X มีการแจกแจงปกติ

เมื่อ f ( x) แทนส่วนสูงของโค้งปกติท่ีค่า x ของตัวแปรส่มุ X
แทนส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร
 แทนค่าเฉล่ียของประชากร
 แทนข้อมูลแตล่ ะตวั ในประชากร และ −  x  
x แทนค่าคงตัว มีคา่ ประมาณ 3.14159…
 แทนคา่ คงตัว มีคา่ ประมาณ 2.71828…
e





ภาพโคง้ ปกติ

สมบตั ขิ องการแจกแจงปกตทิ ส่ี าคัญ

1. เม่อื นำไปเขียนกราฟจะเป็นรูประฆังคว่ำ (bell shaped) มีค่าความเบ้เท่ากบั 0 สมมตรที่ x =  และ
f มสี มบตั เิ ป็นฟังก์ชันความน่าจะเปน็

2. มคี ่าเคอร์โทซสิ เท่ากับ 0 และจุดเปลี่ยนเวา้ (point of inflection) ของโคง้ ทัง้ สองด้านจะอยู่ท่ี

x =  

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

3. พ้ืนทท่ี ัง้ หมดภายใต้โค้งกับแกนนอนมีคา่ เท่ากับ 1 หรือ 100% นอกจากนี้ มพี ้นื ท่ใี ต้โค้งประมาณ 68%
อยู่ระหว่าง x =    พน้ื ท่ีประมาณ 95% อยรู่ ะหวา่ ง x =   2 และพนื้ ทีป่ ระมาณ 99%
อยาระหวา่ ง x =   3

4. ตวั แปรสมุ่ X ของการแจกแจงปกตเิ ปน็ ตวั แปรส่มุ ต่อเนอ่ื ง
5. ค่าเฉลย่ี มธั ยฐาน และฐานนิยมจะอยู่ในตำแหนง่ เดยี วกันหรือมคี า่ เท่ากนั
6. โค้งปกตจิ ะเปน็ โคง้ ท่ีคอ่ ยๆ ลาดลงสปู่ ลายโคง้ ท้ังสองด้าน แตย่ งั ไม่พบกบั แกน x โดยมแี กน x เป็น

เส้นกำกับ (asymptote) และจะเรยี กโคง้ ชนดิ นว้ี า่ โค้งเชิงเส้นกำกบั (asymptotic curve)
7. ใช้สัญลักษณ์ P(a  X  b) แทนพ้ืนที่ใตโ้ ค้งปกติระหวา่ ง x = a ถงึ x= b ซงึ่ ก็คือความนา่ จะเป็น

ระหว่าง x = a ถงึ x= b เม่อื a และ b เป็นจำนวนจริง นัน่ เอง

บทนิยาม

สัญลักษณ์ X normal ( , 2 ) หมายความว่า X มีการแจกแจงปกตโิ ดยมีค่าเฉล่ีย  และ

ความแปรปรวนเป็น  2

เชน่ X normal (10 , 4 ) หมายความวา่ X มีการแจกแจงปกติ โดยมคี า่ เฉลี่ย  = 10 และ
ความแปรปรวนเปน็  2 = 4 เป็นต้น

ทฤษฎีบท

ให้ X normal ( , 2 ) และให้ Z = X −  จะได้วา่ Z normal (0,1) เรยี กตัวแปรสมุ่ Z



น้วี า่ ตัวแปรสุ่มปรตมิ าตรฐาน (stanndard normal random variable) ซ่งึ มีคา่ เฉล่ียเปน็ 0 ความ

แปรปรวนเปน็ 1 โดยมฟี งั กช์ ันความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่ม Z คอื

g(z) = 1 −z2

2 e2

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

แสดงว่า Z มีการแจกแจงท่ีเป็นกรณีเฉพาะของการแจกแจงปกติ เม่ือ  = 0 และ  = 1 สมบัตทิ กุ
ประการของการแจกแจงปกติยังคงเป็นความจริงในการแจกแจง Z เช่น พน้ื ที่ท้ังหมดภายในใตโ้ คง้ ปกติ
มาตรฐานกบั แกนนอนมีค่าเท่ากับ 1

ให้ z แทนคา่ ของตวั แปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน Z หรือคา่ มาตรฐาน
x แทนค่าของตวั แปรสมุ่ ปกติ X ท่ีต้องการเปล่ยี นเป็นคา่ มาตรฐาน
 แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ X
 แทนคา่ เฉลี่ยของ X

ดังนน้ั z = x − 



จากสูตรนี้ z จะเหน็ ว่าอนั ที่จริงแล้วค่ามาตรฐาน z คือคา่ ท่ีดจ้ ากผลต่างระหว่างค่า x และ  วา่
เป็นกีเ่ ท่าของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ( ) นน่ั เอง และ

1. ถา้ x   จะได้คา่ มาตรฐาน z เปน็ ลบหรือน้อยกวา่ 0
2. ถ้า x =  จะได้ค่ามาตรฐาน z =0
3. ถ้า x   จะได้ค่ามาตรฐาน z เปน็ บวกหรือมากกวา่ 0

จดุ เปล่ียนเวา้

 =0

ภาพโค้งปกติมาตรฐาน

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

กิจกรรมเสริมทกั ษะท่ี 1 1
2
เรือ่ ง ค่ามาตรฐาน และ การแจกแจงปกติ 3
1. https://www.youtube.com/watch?v=Txlm4ORI4Gs&t=84s
2. https://www.youtube.com/watch?v=mtbJbDwqWLE
3. https://www.youtube.com/watch?v=2tuBREK_mgE&t=32s

การหาคา่ ความนา่ จะเปน็ หรือพืน้ ท่ีใต้เสน้ โค้งปกตมิ าตรฐาน
ความนา่ จะเปน็ หรือพนื้ ท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติมาตรฐานที่สำคัญมีดังนี้

1. พนื้ ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ อยรู่ ะหว่าง z = −1 ถึง z = 1 มีประมาณ 68.26%

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

2. พน้ื ที่ใตเ้ สน้ โคง้ อยรู่ ะหว่าง z = −1.960 ถึง z =1.960 มีประมาณ 95.00%

3. พืน้ ท่ีใตโ้ ค้งท่อี ยู่ระหวา่ ง z = −2.575 ถึง z = 2.575 มีประมาณ 99.00%

กิจกรรมเสริมทกั ษะที่ 2
เรอ่ื ง สำรวจพืน้ ทใี่ ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน
https://www.geogebra.org/m/W9Nz53Ct

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

การหาพืน้ ทใ่ี ตเ้ ส้นปกติมาตรฐาน

นกั สถติ ได้สรา้ งตารางการหาพืน้ ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐานท่ีอยูร่ ะหวา่ ง 0 และ z ใดๆ โดยมี
ขอ้ ตกลงวา่

1. ตารางนี้ใช้ได้เฉพาะ z ท่ีมที ศนิยมไม่เกิน 2 ตำแหนง่
2. หลักแรกของตารางเป็นคา่ z ทีเ่ ปน็ จำนวนเต็มกับทศนยิ ม 1 ตำแหน่ง เรม่ิ จาก 0.0 , 0.1 , 0.2 ,

… , 3.0
3. แถวแรกของตารางเป็นทศนยิ มตำแหนง่ ที่ 2 ของ z
4. เลขทศนยิ ม 4 ตำแหน่งในตารางก็คือพ้นื ท่ใี ต้เสน้ โค้งปกตมิ าตรฐานมีอยู่ระหวา่ ง 0 ถงึ z ใดๆ

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ขอ้ ตกลง
สัญลกั ษณ์ที่ใช้แทน พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = 0 และ z ใดๆ ก็คือ P(0  z  zi ) เช่น ถา้ เขยี น
P(0  z  1) = 0.3413 แสดงวา่ พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติระหว่าง z = 0 และ z = 1 คอื 0.3413 ซ่ึงบ่งบอก
ถงึ จำนวนข้อมลู ทีอ่ ยู่ระหวา่ ง z = 0 และ z = 1 คอื 0.3413 โดยเทยี บกับจำนวนขอ้ มลู ทง้ั หมดคอื 1 หรอื
34.13% โดยเทียบกบั จำนวนข้อมลู ทั้งหมดคือ 100

ตวั อย่างที่ 6
การหาพื้นทใี่ ตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐาน

1. z = 0 และ z = 1.24
ดูจากตาราง มองท่ีหลักแรกท่ี z = 1.2 กอ่ น แล้วมองที่แถวแรกคือ .04 แล้วมองเลขทศนยิ ม 4
ตำแหน่ง ทีเ่ กิดจากการตดั กันของตำแหน่ง 1.2 กบั .04 ตัวเลขท่ีอา่ นไดค้ ือ 0.3925 แสดงว่า
P (0  z  1.24) = 0.3925

z .................0.04
.
.
.
1.2 → .3925

2. z = 0 และ z = 2.07
ดูจากตาราง มองทหี่ ลักแรกที่ z = 2.0 กอ่ น แล้วมองทแ่ี ถวแรกคือ .07 แล้วมองเลขทศนยิ ม 4
ตำแหน่ง ทเ่ี กิดจากการตดั กนั ของตำแหนง่ 2.0 กบั .07 ตัวเลขท่อี า่ นไดค้ ือ 0.4808 แสดงว่า
P (0  z  2.07) = 0.4808

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

z .................0.07
.
.
.
2.0 → .4808

กจิ กรรมเสริมทกั ษะท่ี 3 1
2
เรอ่ื ง วิธีการอ่านพืน้ ทีใ่ ต้เส้นโค้งปกติ

1. https://www.youtube.com/watch?v=p_KApjpyBHE&t=12s
2. https://www.youtube.com/watch?v=lgwT6tDniko&t=9s

การหาพนื้ ท่ใี ต้เสน้ โค้งเพิม่ เตมิ
ถา้ พื้นที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกตริ ะหวา่ ง z = 0 และ z = b มคี ่าเทา่ กับ c จะไดว้ า่ พื้นทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติ

ระหว่าง z = − b และ z = 0 ต้องมคี า่ เทา่ กับ c ดว้ ยนัน่ คือ

P (0  z  b) = P (−b  z  0) = c

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

และสามารถหาพ้นื ท่ีตอ่ ได้ด้วย ดังน้ี
P ( z  b) = P ( z  −b) = 0.5 − c

P ( z  b) = P ( z  −b) = 0.5 + c

กิจกรรมเสริมทักษะที่ 4
เรอื่ ง สำรวจพนื้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐาน
https://www.geogebra.org/m/jc9gD7KZ

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตวั อย่างที่ 7
จงหาพื้นทีใ่ ตโ้ ค้งปกติมาตรฐาน พร้อมท้ังเขยี นภาพประกอบ

1. P ( z  0)
วิธีทำ P ( z  0) = 0.50

2. P (0  z  1.25)
วิธที ำ P (0  z  1.25) = 0.3944

3. P ( z  1.25)
วธิ ที ำ P ( z  1.25) = P ( z  0) − P (0  z  1.25)

= 0.5 − 0.3944
= 0.1056

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

4. P (1.25  z  1.32)
วิธีทำ P (1.25  z  1.32) = P (0  z  1.32) − P (0  z  1.25)

= 0.4066 − 0.3944
= 0.0122

5. P (−1.33  z  1.25)
วิธีทำ P (−1.33  z  1.25) = P (−1.33  z  0) + P (0  z  1.25)
= P (0  z  1.33) + P (0  z  1.25)

= 0.4082 + 0.3944
= 0.8026

6. P (−2.43  z  −1.25)
วิธีทำ P (−2.43  z  −1.25) = P (−2.43  z  0) + P (−1.25  z  0)
= P (0  z  2.43) − P (0  z  1.25)

= 0.4925 − 0.3944
= 0.0981

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตัวอย่างท่ี 8

ความสงู ของคนงานในโรงงานแหง่ หน่ึงจำนวน 1,000 คน มีการแจกแจงปกติซึง่ มีความสูงเฉลยี่ 68.5 นิ้ว
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.7 นิว้ จะมีคนงานกคี่ นท่ีมคี วามสงู

1. นอ้ ยกว่า 63 น้ิว
2. อยูร่ ะหว่าง 67.5 นว้ิ ถึง 71 น้ิว
3. มากกวา่ 74 น้วิ

วธิ ีทำ จากโจทย์ N = 1,000 ,  = 68.5 และ  = 2.7

ให้ x แทนความสงู ของคนงานโรงงานแห่งนี้

1. P(x  63) = P  z  63 − 68.5 
 2.7 

= P ( z  −2.03)

= P ( z  0) − P (−2.03  z  0)

= P ( z  0) − P (0  z  2.03)

= 0.5000 − 0.4788

= 0.0212

ตอบ แสดงว่ามีคนงานจำนวน 1,000  0.0212 = 21.2  21คน ท่ีมีควาสงู น้อยกว่า 63 นิ้ว

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

2. P (67.5  x  71) = P  67.5 − 68.5  z  71 − 68.5 
 2.7 2.7 

= P (−0.37  z  0.92)
= P (−0.37  z  0) + P (0  z  0.92)
= P (0  z  0.37) + P (0  z  0.92)

= 0.1443+ 0.3212
= 0.4655

ตอบ แสดงวา่ มีคนงานจำนวน 1,000  0.4655 = 465.5  465คน ท่ีมคี วาสูงระหวา่ ง 67.5 ถึง 71 นิ้ว

3. P ( x  74) = P  z  74 − 68.5 
 2.7 

= P ( z  0) − P (0  z  2.03)

= 0.5000 − 0.4788
= 0.0212

ตอบ แสดงวา่ มีคนงานจำนวน 1,000  0.0212 = 21.2  21คน ท่มี คี วาสูงมากกว่า 74 นิ้ว