เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาสถิติเบื้องต้น

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตัวอยา่ งท่ี 9

นำ้ หนกั ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมกี ารแจกแจงปกติ นำ้ หนักเฉลีย่ 56 กโิ ลกรัม และมีความแปรปรวนของน้ำหนัก
100 กิโลกรัม2 จงหาน้ำหนักของนายธนวฒั น์ นายธนพล และนายธนทรัพย์ (ทัง้ 3 คน เปน็ นกั เรยี นกลุ่มน้ี
ด้วย) โดยมเี ง่ือนไขต่อไปนี้

วิธีทำ จากโจทย์กำหนด  = 56 ,  = 10

1. มจี ำนวนนกั เรยี นท่ีมีนำ้ หนักน้อยกวา่ น้ำหนักของนายธนวัฒนอ์ ยู่ 33%
วธิ ที ำ สมมติให้ xÇ เปน็ น้ำหนกั ของนายธนวัฒน์
P ( xi  xÇ) = 0.33
P ( z  0) − P ( xÇ  xi  56) = 0.33
0.5 − P ( xÇ  xi  56) = 0.33
P ( xÇ  xi  56) = 0.5 − 0.33
P ( zÇ  z  0) = 0.17
P (−0.44  z  0) = 0.17

จะไดว้ า่ น้ำหนักของนายธนวัฒน์ ตรงกบั zÇ = − 0.44 จะหา xÇ จาก

zÇ = xÇ − 


−0.44 = xÇ − 56
10

xÇ = 56 − (0.44 10)

= 51.6

ตอบ นำ้ หนกั ของนายธนวฒั น์ เทา่ กับ 51.6 กิโลกรัม

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

2. มจี ำนวนนกั เรยี นท่มี นี ้ำหนักอยู่ระหวา่ ง 39.4 กิโลกรมั ถึง นำ้ หนกั ของนายธนพลอยู่ 32.6%

วิธที ำ สมมติให้ x¾เปน็ น้ำหนักของนายธนพล ตรวจสอบพ้นื ที่ ระหวา่ ง

P (39.4  xi  56) = P  39.4 − 56  z  56 − 56 
 10 10 

= P (−1.66  z  0)

= P (0  z  1.66)

= 0.4515

แสดงวา่ x¾ อยทู่ างซา้ ยมอื ของ  ตอ้ งหา z¾ ซง่ึ ตรงกับ x¾ โดย

P ( x¾  xi  56) = 0.4515 − 0.326
P ( z¾  z  0) = 0.1255
P (−0.32  z  0) = 0.1255

ดังน้ัน x¾ มีค่าตรงกับ z¾ = − 0.32 หา x¾ โดย

z = xi − 


−0.32 = x¾ − 56
10

x¾ = 56 − 0.32(10)

= 52.8

ตอบ นำ้ หนักของนายธนพลเทา่ กบั 52.8 กโิ ลกรัม

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

3. มีจำนวนนกั เรยี นที่มนี ำ้ หนักมากกวา่ น้ำหนักของนายธนททรพั ย์อยู่ 72.24%

วิธีทำ สมมติให้ x· เปน็ น้ำหนักของนายธนทรัพย์ โดยท่ี x· ต้องอยู่ทางซ้ายมือของ  เพราะข้อมลู มีค่า
มากกวา่ 50% ทำการหา z· ที่ตำแหน่ง x· โดย

P ( xi  x· ) = 0.7224

P ( x·  xi  56) + P ( z  0) = 0.7224

P ( x·  xi  56) = 0.7224 − 0.5

P ( z·  z  0) = 0.2224

P (−0.59  z  0) = 0.2224

ดงั นั้น x· ตรงกบั z· = − 0.59 หา x· โดย

x· =  − z ( )
x· = 56 − 0.59(10)

= 50.1

ตอบ นำ้ หนักของนายธนทรัพย์เท่ากับ 50.1 กโิ ลกรัม

---------------------------------------------------

PAPER NOTE :

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

การหาตาแหนง่ ของข้อมูล โดยใชพ้ นื้ ทีใ่ ต้เสน้ โคง้

เนอ่ื งจากถา้ ทราบพืน้ ท่ีกส็ ามารถหา xi ได้ ดงั น้นั ตอ้ งหาคา่ Qr , Dr , Pr ได้โดยต้องทราบพื้นที่เอง
โดยอตั โนมตั ติ ามนยิ ามของ Qr , Dr , Pr ทว่ี ่า

จำนวนข้อมลู ทนี่ ้อยกวา่ Q1 , Q2 , Q3 มอี ยู่ประมาณ 25% 50% และ 75% ตามลำดบั
จำนวนขอ้ มลู ท่นี ้อยกวา่ Dr มปี ระมาณ (r 10)% เช่น จำนวนข้อมลู ทนี่ ้อยกวา่ D4 ต้องมอี ยู่
ประมาณ 40% และ
จำนวนขอ้ มูลทีน่ ้อยกว่า Pr มีอยู่ประมาณ r% เชน่ จำนวนข้อมูลท่ีน้อยกวา่ P65 ต้องมีอยปู่ ระมาณ
65%

r% หรอื r

100

xi Pr

z zp

วธิ ีการหา Pr ทำการวาดเสน้ โค้งปกติและวางตำแหนง่  ทแ่ี กนสมมาตรของเส้นโคง้ จากน้ันให้วางตำแหนง่

Pr ซึง่ ตอ้ งทำใหพ้ ื้นที่ทน่ี ้อยกวา่ Pr มคี ่าเทา่ กับ r% หรอื r จากน้นั ใหท้ ำการปรบั พน้ื ทีใ่ ห้อยู่ในชว่ ง Pr
100

กับ  เพ่อื นำไปเปดิ ตารางหาค่า z ซ่ึงก็คือ zp ที่ตรงกับ Pr นำคา่ zp ที่ไดไ้ ปแกห้ าค่า xi ค่า xi ทีแ่ ก้ได้ก็คือ

ค่า Pr น่ันเอง

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตวั อยา่ งท่ี 10

คะแนนของนักเรยี นกลุ่มหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ มคี ะแนนเฉล่ีย 120 คะแนน และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของ
คะแนนเท่ากบั 20 คะแนน จงหาคะแนนของนายธนวัฒน์ โดยท่นี ายธนวัฒน์ตรงกับเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 98.5

วธิ ที ำ คะแนนของนายธนวฒั นต์ รงกบั P98.5 เขยี นเสน้ โคง้ ปกติวางตำแหนง่  กับ P98.5 โดยทพี่ ้ืนที่ที่น้อยกวา่
P98.5 เทา่ กับ 98.5% หรอื 0.985 ดังนั้น P98.5 ต้องอย่ทู างขวามือของ  ดงั รปู ทำการหา z ท่ี P98.5 กค็ อื
zp โดย

( )P xi  P98.5 = 0.985
0.5 + P (120  xi  P98.5 ) = 0.985
= 0.985 − 0.5
P (120  xi  )P98.5 = 0.485
= 0.485
P(0  z  zp )

P (0  z  2.17)

0.985 P98.5
zp = 2.17
xi 120
z0

ดงั น้ัน P98.5 ตรงกบั zp = 2.17 หา P98.5 โดย

z = xi − 


xi =  + z ( )
= 120 + 2.17 (20)

= 163.4

ตอบ คะแนนของนายธนวัฒน์เทา่ กบั 163.4 คะแนน

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

ตัวอย่างที่ 11
คะแนนสอบของนักเรยี นกลมุ่ หนง่ึ มกี ารแจกแจงปกตมิ ีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนน
สอบเท่ากับ 90 และ 10 คะแนน ตามลำดบั ถ้านายธนัฒน์และนายธนทรัพย์เปน็ นักเรียนในกลมุ่ นไี้ ดค้ ะแนน
105.3 และ 80.3 คะแนน ตามลำดบั จงหาวา่ นายธนวฒั นแ์ ละนายธนทรัพย์ อยใู่ นตำแหนง่ เปอร์เซนไทล์ที่
เท่าไร
วธิ ที ำ หาตำแหนง่ Pr ของคะแนนนายธนวัฒน์ โดยทำการวาดเสน้ โคง้ ปกตวิ างตำแหน่งคะแนนของนาย
ธนวัฒน์ลงไป หาพน้ื ทที่ น่ี ้อยกว่าคะแนนธนวัฒน์โดย

xi 90 xÇ = 105.3
z 0 1.53

P ( xi  xÇ) = 0.5 + P (90  x i  105.3)

= 0.5 + P  90 − 90  z  105.3 − 90 
 10 10 

= 0.5 + P (0  z 1.53)

= 0.5 + 0.437

= 0.937

= 93.7%

ตอบ คะแนนของนายธนวัฒน์ตรงกบั P93.7

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

หาตำแหนง่ ของ Pr ของคะแนนนายธนทรัพย์ โดยทำการวาดเสน้ โค้งปกติ วางตำแหน่งของคะแนนนายธน
ทรพั ย์ แล้วหาพืน้ ที่ทีน่ ้อยกว่าคะแนนนายธนทรัพย์โดย

xi x· = 80.3 90
z −0.97 0

P ( xi  x· ) = 0.5 − P (80.3  x i  90)

= 0.5 − P  80.3 − 90  z  90 − 90 
 10 10 

= 0.5 − P (−0.97  z  0)

= 0.5 − P (0  z  0.97)

= 0.5 − 0.334

= 0.166

= 16.6%

ตอบ คะแนนของนายธนทรัพย์ตรงกับ P16.6

------------------------------------------

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

แบบฝึกหดั ท่ี 2

เรอ่ื ง การแจกแจงปกติ

คำชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทำให้ถูกต้อง

1. นำ้ หนักของนกั เรียนชั้นอนุบาลในโรงเรยี นแห่งหน่ึงมกี ารแจกแจงปกติ โดยมคี า่ มธั ยฐานเปน็ สามเท่า
ของสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอร์เซ็นตข์ องนักเรยี นกล่มุ นมี้ ีน้ำหนกั น้อยกวา่ 15.7 กโิ ลกรัม
แล้วเปอร์เซน็ ต์ของนักเรยี นกลุ่มนีท้ ี่มนี ำ้ หนกั อยรู่ ะหวา่ ง 13 กโิ ลกรัม ถงึ 18 กิโลกรมั เท่ากับเท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. ถ้าความสงู ของนักเรยี นห้องหนึ่งมกี ารแจกแจงปกติที่มีมธั ยฐานเท่ากับ 160 เซนติเมตร และมนี กั เรียน
ที่สูงน้อยกวา่ 158 เซนตเิ มตรอยู่ 34.46% สัมประสิทธข์ิ องการแปรผนั ของความสงู ของนักเรียนหอ้ งนี้
เทา่ กบั เท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. พนื้ ที่ใต้เสน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง z = -1.2 ถงึ z = 0 เท่ากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรยี นกลุม่ หนงึ่
มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉล่ยี เลขคณติ และส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 50 และ 10 คะแนน
ตามลำดบั ถ้านายคำนวณสอบได้ในตำแหนง่ เปอร์เซ็นไทลเ์ ท่ากับ 88.49 แล้ว นายคำนวณสอบได้
คะแนนเทา่ กับเทา่ ใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

4. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นหอ้ งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวิทยาเป็น
นักเรยี นห้องน้ี ถ้าปรากฏวา่ มีนักเรียน 5.7 เปอร์เซ็นต์ ที่สอบได้คะแนนมากกว่านายคณติ และมี
นกั เรยี น 16.6 เปอรเ์ ซน็ ต์ทสี่ อบได้คะแนนน้อยกวา่ นายวทิ ยา และนายคณติ ได้คะแนนมากกว่านาย
วทิ ยาอยู่ 51 คะแนน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของการสอบครัง้ น้เี ทา่ กับเท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นห้องหน่งึ ปรากฏว่า ค่าเฉลีย่ เลขคณิต และสว่ นเบยี่ งเบน
มาตรฐานเปน็ 55 และ 10 ตามลำดับ โดยท่นี าย ก ได้คะแนนคดิ เปน็ มาตรฐานเท่ากับ 1.3 เมอ่ื รวม
คะแนนเก็บระหวา่ งภาคการศึกษา ซึ่งนักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแลว้ นาย ข ได้คะแนนรวม
น้อยกวา่ คะแนนรวมนาย ก อยู่ 8 คะแนน คะแนนรวมและคา่ มาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข
เปน็ เท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. อายุของคนกลุม่ หนงึ่ มีการแจกแจงปกติโดยมคี า่ เฉลยี่ เลขคณิตเป็น  และความแปรปรวน เป็น  2
สมหวังมีอายุ  −0.51 ปี จำนวนคนในกลุ่มนท้ี ่ีมีอายุน้อยกว่าสมหวังจำนวนเปน็ ร้อยละเท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

7. คะแนนสอบของนักเรียนกล่มุ หนง่ึ มกี ารแจกแจงปกตโิ ดยมีสัมประสทิ ธกิ์ ารแปรผันเป็น 24%
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ กับ 12 คะแนน ถ้าหนดกำหนดพนื้ ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง z = 0 ถงึ z =
1.2 และ z = 1.25 เป็น 0.3849 และ 0.3944 ตามลำดับ จงหาตำแหน่งเปอร์เซ็นตไ์ ทลข์ องนักเรยี น
ทไี่ ด้คะแนน 65 คะแนน

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. คะแนนสอบของนกั เรยี นกลุ่มหนง่ึ มีการแจกแจงปกติ มีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ เท่ากับ 40 คะแนน
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน และจำนวนนักเรยี นสอบได้คะแนนที่มีคา่ มาตรฐานอยู่
ระหวา่ ง -1 และ 1 มีอยู่ 75% ของนักเรยี นท้งั หมด ถ้านาย ก สอบได้ 50 คะแนน แลว้ ตำแหน่ง
เปอรเ์ ซ็นไทลข์ องคะแนนนาย ก เทา่ กับเทา่ ใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรยี นชัน้ หนง่ึ มีการแจกแจงปกตโิ ดยมคี า่ เฉล่ยี เลขคณติ เปน็ 64
คะแนน ถ้านกั เรยี นท่สี อบไดค้ ะแนนมากกวา่ 80 คะแนนมอี ยู่ 15.87% แลว้ สมั ประสทิ ธ์กิ ารแปรผนั
ของคะแนนสอบสองวิชานเ้ี ทา่ กบั เท่าใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

คา่ มาตรฐานและการแจกแจงปกติ

10. ถา้ คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลยี่ เลขคณติ และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเทา่ กับ 80 และ 15 คะแนน ตามลำดับ นกั เรยี นผู้หน่งึ มีคะแนนวิชาน้ีเป็นเดไซลท์ ่ี 3.3
เขาสอบไดค้ ะแนนเท่ากบั เทา่ ใด

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

1) ง 6) ข
2) ก 7) ก
3) ข 8) ค
4) ง 9) ค
5) ข 10) ก

ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ

เอกสารอ้างอิง
คณาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์ และวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั .
(2544). ความน่าจะเป็นและสถติ ิ (พิมพ์คร้งั ท่ี 9).กรุงเทพฯ : หจก. พทิ กั ษ์การพิมพ์
ชัชวาล เรอื งประพนั ธ์. (2543). สถิตพิ ื้นฐาน : พร้อมตวั อย่างการวเิ คระห์ด้วยโปรแกรม MINITAB SPSS และ
SAS (พมิ พค์ รั้งที่ 5). ขอนแก่น : หจก. ขอนแก่นการพิมพ์
ธนวฒั น์ สนทราพรพล. ค่มู อื รายวชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐานและเพิ่มเติม เลม่ 5. นนทบรุ ี :ธรรมบณั ฑติ
ธรี ะศกั ดิ์ อรุ ัจนานนท์. (2546). ความนา่ จะเป็นและสถิตปิ ระยกุ ต์ เลม่ 1. กรงุ เทพฯ : สกายบุ๊กส์
นพพร ธนะชยั ขันธ์. (2555). สถิติเบื้องตน้ สำหรับการวิจัย (พิมพ์ครง้ั ท่ี 3). กรงุ เทพฯ : วิทยพฒั น์
พิสมัย หาญมงคลพิพัฒน์. (2546). หลกั สถติ .ิ กรงุ เทพฯ : มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์
สายชล สินสมบูณ์ทอง. (2553). สถิตเิ บือ้ งต้น = Elementary Statistics (พิมพ์คร้งั ท่ี 9). กรุงเทพฯ : จามจรุ ี
โปรดักท์
อำนาจ สุดนาใจ และวิไล ทองดีเจรญิ . เทคนิคทำโจทยเ์ ร็ว คณติ ศาสตร์ ม. 4-5-6 เขา้ มหาวทิ ยาลยั เลม่ 5.
นนทบรุ ี : ธรรมบณั ฑิต

การทดสอบสมมติฐาน

ผลการเรียนรู้

1. อธิบายขัน้ ตอนการทดสอบสมมติฐานจากสถานการณ์ทก่ี ำหนดได้
2. แก้ปัญหาในสถานการณจ์ รงิ ที่กำหนด เรื่อง การทดสอบสมมตฐิ าน เกย่ี วกับการทดสอบ

ค่าเฉล่ียของประชากร การทดสอบค่าสัดส่วนของประชากรโดยใช้กระบวนการแกป้ ญั หา
ตามแนวคดิ ของโพลยา
3. ต้งั สมมติฐาน สรปุ ผล และแปลความหมายของการทดสอบสมมตฐิ าน เกี่ยวกบั การอนุมาน
เชิงสถติ ิสำหรบั สองประชากรทีเ่ ปน็ อสิ ระตอ่ กัน
4. ตงั้ สมมตฐิ าน สรุปผล และแปลความหมายของการทดสอบสมมตฐิ าน เก่ยี วกับการอนุมาน
เชงิ สถติ สิ ำหรับสองประชากรที่ไมเ่ ป็นอสิ ระต่อกัน

นางวรรณภา มานักฆ้อง
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการ
โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั พิษณโุ ลก

การทดสอบสมมตฐิ าน

การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกับคา่ เฉลี่ยของประชากร

ในการวจิ ยั กรณที ี่ผ้วู ิจยั มีวัตถุประสงค์ทจี่ ะทำการทดสอบสมมุตฐิ านเกี่ยวกบั ค่าเฉล่ยี ของประชากร
เมอ่ื ผูว้ จิ ัยไดท้ ำการทดลองและเก็บขอ้ มูลจากกลุ่มตวั อยา่ งเพื่อนำมาทำการทดสอบสมมตุ ิฐาน โดยท่วั ไป
แนวทางในการทดสอบคา่ เฉล่ียของประชากรสามารถแบง่ เป็น

1) การทดสอบค่าเฉลย่ี กรณีกลมุ่ ตัวอยา่ ง 1 กลุ่ม
2) การทดสอบค่าเฉลี่ย กรณีกลมุ่ ตวั อยา่ ง 2 กลุม่

ขนั้ ตอนของการทดสอบ

ข้ันที่ 1 ตัง้ สมมุติฐาน เป็นการตง้ั สมมุติฐานทางสถิติ ซ่งึ ประกอบด้วยสมมติฐานหลกั (Null
hypothesis ) (H0) และสมมตฐิ านรอง (Alternative hypothesis )( H1) ซ่ึงสมมติฐานรองตงั้ ได้ 2 แบบ คือ
สมมติฐานรองแบบมีทิศทาง ซึง่ จะต้องทำการทดสอบแบบทางเดียว (One-tailed test) และ
สมมติฐานรองแบบไม่มที ิศทาง ซ่ึงจะทำการทดสอบแบบสองทาง (Two-tailed test)

ในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าพารามเิ ตอร์  เมือ่ 0 แทนค่าพารามเิ ตอรท์ ่ีจะพิจารณาใน H0
และ H1 ซง่ึ ขดั แยง้ กันเสมอ หากยอมรับ H0 แลว้ จะปฏเิ สธ H1 และในทางกลับกัน หากยอมรบั H1 แลว้ จะ
ปฏิเสธ H0 และในทางกลบั กัน ซง่ึ การขดั แย้งกันมี 3 ลักษณะดังนี้

1) H0 :  = 0 , H1 :  > 0
2) H0 :  = 0 , H1 :  < 0
3) H0 :  = 0 , H1 :   0
ขั้นที่ 2 กำหนดระดับนัยสำคัญ ซ่งึ เป็นการกำหนดความน่าจะเปน็ ทผ่ี วู้ ิจัยจะยอมใหเ้ กิดความ
คลาดเคลอื่ นประเภทที่ 1 () จากการปฏิเสธสมมตฐิ านหลักที่เป็นจริง นยิ มกำหนดท่ี  = .01 และ  = .05
ขนั้ ที่ 3 เลือกสถิตทิ ี่ใช้ในการทดสอบสมมุตฐิ าน ในการทดสอบคา่ เฉลีย่ สถิติทใ่ี ชใ้ นการทดสอบ
ระดับมธั ยมน้ี คือ Z – test / t - test และ F-test โดยสถิตแิ ต่ละประเภทมีข้อตกลงเบอื้ งตน้ ดงั น้ี
Z – test เมอื่ กล่มุ ตวั อย่างมีขนาดใหญ่
t - test เม่อื กลุ่มตัวอยา่ งมีขนาดเล็ก
เม่ือกลุ่มตวั อยา่ งมขี นาดใหญ่มาก จะทำให้ค่าองศาแหง่ ความเปน็ อิสระ ( degree of Freedom : df )
มคี ่ามากขนึ้ ตามลำดบั คา่ วกิ ฤตของ t กับคา่ วิกฤตของ Z กจ็ ะมีคา่ ใกล้เคยี งกนั มากข้นึ ตามลำดบั เช่นกนั จน
ในทสี่ ดุ องศาแหง่ ความเปน็ อสิ ระที่  ค่าวิกฤตของ t กับค่าวิกฤตของ Z ทีร่ ะดบั นัยสำคัญเดียวกันจะมีคา่
เทา่ กันพอดี เช่น Z(.05) = t(.05)(df =) = 1.645 เป็นตน้

การทดสอบสมมตฐิ าน

ขน้ั ท่ี 4 กำหนดขอบเขตวกิ ฤติ
การกำหนดขอบเขตวิกฤติ เปน็ การกำหนดพนื้ ท่หี รือบริเวณในการแจกแจงตัวอยา่ งของสถติ ทิ ดสอบ
ท่ีใช้สำหรับปฏิเสธหรอื ยอมรับสมมติฐานหลกั (H0) ซึง่ ในการกำหนดขอบเขตวกิ ฤตจะพิจารณาสมมติฐานรอง
(H1) ทีต่ ง้ั ขน้ึ วา่ เปน็ แบบทางเดียว (one-tailed test) หรือแบบสองทาง
(two-tailed test) เพอื่ นำค่าระดับนยั สำคัญ () ไปหาค่าวิกฤต (critical value) มาใชใ้ นการเปรียบเทยี บกับ
คา่ ที่คำนวณได้จากกล่มุ ตวั อย่าง สำหรับการตดั สนิ ใจว่าจะยอมรบั (Accept) หรอื ปฏิเสธ (Reject)
สมมติฐานหลัก (H0) ซง่ึ ในกรณีการทดสอบแบบสองทาง (Two-tailed test) การหาคา่ วิกฤตจะต้องหารค่า 
ดว้ ย 2 (/2) กอ่ น แลว้ ใชผ้ ลหารทไ่ี ด้ไปเปิดตารางการแจกแจงของตัวอยา่ งสถติ ทิ ดสอบ แต่กรณที ดสอบแบบ
ทางเดยี ว ( One-tailed test ) สามารถใชค้ า่  ไปเปิดตารางไดเ้ ลย
ในการกำหนดขอบเขตวกิ ฤตเพ่ือสรุปผลการทดสอบนนั้ จะเหน็ ว่าสามารถพิจารณาได้ 2 แนวทาง
ด้วยกนั คอื

กรณที ี่ 1 พิจารณาจากค่าวิกฤตทีเ่ ปิดจากตารางเทยี บกบั ค่าสถติ ิที่คำนวณไดจ้ ากการเก็บข้อมลู จากกล่มุ
ตวั อยา่ งเป็นหลักโดยพจิ ารณาค่าท่ีอยู่ในแนวแกนนอนของการแจกแจงของค่าสถิตินน้ั ๆ
กรณที ่ี 2 พิจารณาจากพ้ืนทใ่ี ต้โค้งการแจกแจง ซึง่ เป็นกรณที ่ีใช้กบั การคำนวณดว้ ยคอมพิวเตอร์
โดยพิจารณาคา่ Sig. ( ค่า P-value )ในตารางแสดงผลการคำนวณ (Print out) เทยี บกับคา่ ความคลาดเคลื่อน
ประเภทท่ี 1 ()

ตัวอยา่ งขอบเขตวกิ ฤติ
กรณใี ช้ z-test เปน็ สถติ ิทดสอบสมมติฐานท่รี ะดับนัยสำคัญ (=.05)

H0 :  = 0 , H1 :  > 0 กรณกี ารทดสอบแบบทางเดียว

H0 :  = 0 , H1 :  < 0

เขตวิกฤตสิ ำหรบั ปฏเิ สธ H0
( Rejection region )

.95  = .05  = .05 .95

เขตยอมรับ H0 เขตยอมรับ H0

ค่าวิกฤติ Z(.95) = 1.645 ค่าวกิ ฤติ Z(.05) = -1.645

การทดสอบสมมตฐิ าน

กำหนด  = .05 กรณกี ารทดสอบแบบสองทาง

H0 :  = 0 , H1 :   0

เขตวิกฤติสำหรบั ปฏิเสธ H0 .95 เขตวกิ ฤตสิ ำหรบั ปฏิเสธ H0

 = .025 เขตยอมรับ H0  = .025

2 2

คำ่ วิกฤติ Z(.025) = -1.96 ค่ำวิกฤติ Z(.975) = 1.96

ค่าวกิ ฤตของ Z จากตารางพ้ืนท่ีภายใตโ้ คง้ ปกติ (Area under the normal curve)

การทดสอบ ค่าวิกฤติของ Z ระดบั นยั สำคญั ()
.05 .01 .005

แบบทางเดียว -1.645 หรือ 1.645 -2.33 หรอื 2.33 -2.58 หรอื 2.58
(One-tailed test)
ค่าวิกฤตขิ อง Z ระดบั นยั สำคญั ()
การทดสอบ .025 .05 .0025

แบบสองทาง - 1.96 และ 1.96 - 2.58 และ 2.58 - 2.81 และ 2.81
(Two-tailed test)

ข้นั ท่ี 5 คำนวณค่าสถติ ิ เป็นการคำนวณค่าสถิติโดยนำข้อมูลท่ีได้จากตัวอยา่ งท่ีศึกษาไปแทนคา่ ต่าง
ๆ ตามสตู รของสถิตทิ ดสอบ

ขนั้ ที่ 6 สรุป โดยนำคา่ สถิติจากการคำนวณมาเปรยี บเทียบกับค่าที่ได้จากตาราง (คา่ วิกฤต)ิ
แล้วจงึ จะตัดสินใจเกย่ี วกบั ผลทดสอบโดยมีหลกั พจิ ารณา ดังน้ี

6.1 ถ้าสถิตทิ ี่คำนวณได้ตกอยู่ในขอบเขตคา่ วิกฤติจะปฏิเสธสมมติฐานหลกั (H0) และยอมรับสมมติ
รอง (H1) น่ันคือ จะยอมรับสมมติฐานการวจิ ยั ตามท่ผี วู้ ิจัยกำหนด

6.2 ถา้ คา่ สถติ ิท่ีคำนวณไดต้ กอยนู่ อกขอบเขตค่าวิกฤติจะยอมรับสมมตฐิ านหลัก (H0)

การทดสอบสมมตฐิ าน

ซ่งึ สามารถสรุปแนวทางในการพจิ ารณาการตัดสินใจของการทดสอบสมมุตฐิ านไดด้ ังน้ี
1) กรณที เ่ี ปรยี บเทียบโดยใชค้ า่ วิกฤตกบั ค่าท่ีคำนวณไดจ้ ากกลุ่มตัวอย่าง

ถ้าตง้ั สมมุตฐิ านแบบทางเดยี ว การหาค่าวิกฤตใหน้ ำค่า  ไปใช้ในการเปดิ หาคา่ ในตารางไดเ้ ลย
ถ้าตง้ั สมมตุ ิฐานแบบสองทาง การหาค่าวิกฤตให้หาร  ดว้ ย 2 แล้วนำผลหารที่ได้ไปใช้ในการเปิดตาราง

การสรุปเพ่ือตัดสินใจกรณที ่ีเปรยี บเทียบโดยใชค้ ่า Sig(2-tailed) จากตารางแสดงผลการวิเคราะห์
(Print out )
ถา้ ตัง้ สมมุตฐิ านแบบทางเดียว ให้นำค่า Sig(2-tailed) หารด้วย 2 แลว้ นำคา่ ผลหารท่ไี ด้ไปเปรียบเทียบกับ
คา่ 
ถ้าต้ังสมมตุ ิฐานแบบสองทาง ใหน้ ำค่า Sig(2-tailed) ไปเปรยี บเทียบกับ  ได้เลย
การสรุปเพื่อตดั สนิ ใจ

ถา้ ค่า Sig(2-tailed) ทนี่ ำมาเปรียบเทียบมากกว่า  จะยอมรบั H0
ถา้ คา่ Sig(2-tailed) ที่นำมาเปรยี บเทยี บน้อยกวา่  จะปฏเิ สธ H0 และ ยอมรบั H1

---------------------------------

การทดสอบสมมตฐิ าน

แบบฝึกหัดท่ี 1

เรอ่ื ง การเขียนสมมตฐิ านทางสถิติ

คำชแี้ จง จงเขยี นสมมติฐานทางสถติ จิ ากข้อความต่อไปน้ี

1. น้ำตาลชนดิ บรรจุขวดตราหนง่ึ พิมพข์ ้อความบนฉลากวา่ “น้าํ หนกั สุทธิ 200 กรัม”
ผู้บริโภครายหนง่ึ สงสยั ว่าข้อความดังกล่าวเกินความเปน็ จรงิ หรอื ไม่
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

2. น้ำหนกั ของคนไทยท่ีมอี ายุ 20 ปทม่ี ีการแจกแจงแบบปกติ มคี าเฉลยี่ 50 ก.ก. หรอื ไม่
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

3. วิธกี ารสอนแบบใหม มปี ระสิทธิภาพมากกวา วธิ กี ารสอนแบบเดมิ จริงหรือไม
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

4. เคยทราบวา คนไทย 100 คน จะมีโทรศัพทมือถือ 45 คน ตอมาเกดิ สงสยั วา “คนไทยที่มีโทรศัพทมอื
ถือนาจะเพิ่มมากขึ้น”
H0 : .................................. H1 : ..........................................

5. บรษิ ัทผลิตยางรถยนตยี่หอหน่งึ โฆษณาวายางรถยนตย่ีหอน้ีสามารถวิ่งไดระยะทางเฉลย่ี
ไมนอยกวา 70,000 ก.ม. คำโฆษณานีเ้ ป็นจริงหรือไม่
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

6. ภาวะผู้นำของผู้บริหารมีความสมั พนั ธก์ ับบรรยากาศองค์กร
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

7. นักเรียนทีม่ ีเพศต่างกันมเี จตคตติ อ่ วชิ าคณิตศาสตร์แตกตา่ งกนั
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

8. สดั สวนของคนไทยท่ีมโี ทรศัพทมอื ถือเทากับ 0.45 หรือไม่
H0 : .......................................... H1 : ..........................................

การทดสอบสมมตฐิ าน

การทดสอบค่าเฉล่ีย (กรณกี ลุ่มตวั อย่าง 1 กล่มุ )

ในการทดสอบค่าเฉลย่ี กรณที ี่กลมุ่ ตัวอย่างมี 1 กล่มุ จะเปน็ การทดสอบความแตกตา่ งของค่าเฉลี่ย

กบั คา่ คงท่ีค่าหน่งึ ที่ผวู้ จิ ัยสนใจที่ตอ้ งการเปรียบเทยี บ ซงึ่ ค่าคงทนี่ ี้อาจได้มาจากการกำหนดขึ้นหรือการ

ทบทวนวรรณกรรมที่เก่ยี วข้อง

เมือ่ กลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ (n มากกว่าหรอื เทา่ กบั 30)

สถิติทดสอบ Z= X−μ หรือ Z = X−μ
Sn σn

เม่ือกลุ่มตวั อย่างขนาดเล็ก (n น้อยกวา่ 30)

สถติ ทิ ดสอบ t= X−μ ; df = n – 1
Sn

ตัวอย่างที่ 1 การวจิ ัยเชงิ ทดลองเพ่ือศึกษาผลการใช้ชดุ การสอนซ่อมเสริมการเรียนคณิตศาสตรช์ ั้น

ประถมศึกษาปีท่ี 4 ผ้วู ิจัยได้สมุ่ ตวั อยา่ งนกั เรียนมาจำนวน 25 คน ที่มีผลการเรยี นคณิตศาสตร์ตำ่ แล้ว

ทดลองใช้ชดุ การสอนน้ี หลงั การทดลองไดท้ ดสอบวัดผลสัมฤทธว์ิ ิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มนี้ ปรากฏวา่

ได้คะแนนเฉล่ยี 22 คะแนน และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 5.6

จงทดสอบวา่ การใช้ชุดการสอนจะทำให้ผลการเรียนซ่อมเสริมวชิ าคณิตศาสตรส์ งู กว่าเกณฑ์ท่ีกำหนด คือ 17

คะแนนหรือไม่ ระดบั นยั สำคัญทางสถิติท่ีระดบั .05

ขั้นท่ี 1 ต้ังสมมตุ ิฐาน

สมมุตฐิ านทางสถติ ิ H0 : μ = 17

H1 : μ > 17

ขนั้ ท่ี 2 กำหนดระดบั นัยสำคัญ ยอมรับ H0

α = .05

ขั้นที่ 3 เลือกสถิติทใ่ี ชใ้ นการทดสอบสมมตุ ฐิ าน ยอมรบั H1
t = X μ ; df = n - 1
1.711
Sn

ขน้ั ที่ 4 กำหนดขอบเขตวิกฤติ

จาก กำหนด  = .05 และเปน็ การต้ังสมมุติฐานแบบทางเดียว df = 25-1 = 24 เปิด

ตาราง ท่ี  = .05 จะได้ค่าวกิ ฤต t ตาราง = 1.711
ขน้ั ท่ี 5 คำนวณคา่ สถติ ิตามสตู ร

t= Xμ = 22 17 = 5 = 4.46
Sn 5.6 25
1.12

การทดสอบสมมตฐิ าน

ขั้นท่ี 6 สรปุ ตัดสนิ ใจ
เนือ่ งจาก t คำนวณ = 4.46 มากกว่า t ตาราง =1.711 ค่าคำนวณตกอยู่ในขอบเขตวิกฤต ดงั น้ันจงึ ยอมรับ H1
น้ันคือ หลงั การใชช้ ุดการสอนจะทำให้ผลการเรยี นซอ่ มเสรมิ วิชาคณิตศาสตร์สงู กว่าเกณฑ์ท่ีกำหนดไว้ คือ 17
คะแนน อยา่ งมนี ัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ .05

การทดสอบสมมตฐิ านเกย่ี วกับสัดสว่ นประชากร

การทดสอบสดั ส่วนของประชากร เป็นการทดสอบเม่ือตอ้ งการทราบวา่ สดั สว่ นของประชากร เท่ากับ

สดั สว่ นทคี่ าดคะเนไวห้ รือไม่ โดยการศึกษาจากสดั ส่วนของกลุม่ ตวั อยา่ ง

โดย ให้ P0 แทนสัดสว่ นของประชากรทตี่ ้องการพิจารณา และ P แทน สัดสว่ นตวั อย่าง
สมมติฐานท่ีต้องการทดสอบอยใู่ นลกั ษณะ

1. H0 : P = P0 , H1 : P > P0

2. H0 : P = P0 , H1 : P < P0

3. H0 : P = P0 , H1 : P ≠ P0

สถิตทิ ใี่ ชท้ ดสอบ คือ Z = P -P0 โดยท่ี Q0 = 1 - P0

P0Q0

n
ตัวอย่างท่ี 2 บรษิ ัทผผู้ ลติ แผ่นซดี ีเพลงยืนยันวา่ มี 20% ของผู้ซอ้ื แผน่ ซีดี ในจงั หวดั หนึง่ ซื้อแผ่นซีดปี ลอม

ถา้ สุม่ ตวั อยา่ ง ของผู้ซื้อซีดีในจงั หวัดน้มี า 1000 คน พบวา่ มี 236 คน ทีซ่ ้ือแผน่ ดีซีปลอม ทีร่ ะดับนัยสำคญั

0.01 คำยืนยนั ของบริษัทของสดั ส่วนผูซ้ ื้อแผน่ ซดี ีปลอมเปน็ จรงิ หรือไม่

วธิ ที ำ ให้ P เปน็ สัดสว่ นของผ้ซู ือ้ แผน่ ซีดีปลอมในจงั หวัดนี้

ขั้นที่ 1 ตั้งสมมตุ ิฐาน H0 : P = 0.20
H1 : P ≠ 0.20

ขน้ั ท่ี 2 กำหนดระดับนยั สำคัญ  = 0.01 ,

ขนั้ ที่ 3 เลือกสถิติท่ใี ชใ้ นการทดสอบสมมุตฐิ าน

ขน้ั ที่ 4 กำหนดขอบเขตวิกฤติ Z = P -P0

P0Q0
n

บรเิ วณวกิ ฤต คือ Z ≥ 2.57 หรือ Z ≤ -2.57

การทดสอบสมมติฐาน

ขัน้ ที่ 5 คำนวณคา่ สถติ ติ ามสูตร

P0 = 0.20 , Q0 = 1-P0 = 0.80 , P = 236/1000 = 0.236

ข้นั ที่ 6 สรปุ ตัดสนิ ใจ Z = P P0 = 0.236 0.2 = 2.846 ยอมรบั H0
ยอมรับ H1
P0Q0 0.2(0.8)
n 1000

เน่ืองจาก Zคำนวณ = 2.846 > Zตาราง =2.57

ดังน้ัน ยอมรับ H1 นนั่ คือ สดั ส่วนของครวั เรือนทีซ่ ื้อ 2.57

แผ่นซีดปี ลอมแตกตา่ งจาก 20% คำยนื ยันของบริษัทผูผ้ ลติ แผน่ ซีดีไมเ่ ป็นจริง ทร่ี ะดบั นัยสำคัญ 0.01

ตวั อยา่ ง Print out จากโปรแกรม SPSS
การทดสอบสมมตฐิ านสองกลุ่มตวั อยา่ งท่ีเป็นอิสระตอ่ กัน

คา่ Sig. นอ้ ยกวา่ .05 แสดงว่า ยอมรับ H1
--------------------

การทดสอบสมมตฐิ าน

แบบฝึกหดั ที่ 1
เรอ่ื ง การทดสอบสมมติฐาน

1. บรษิ ัทผลติ ยางรถยนตย่หี อหนึง่ โฆษณาวา ยางรถยนตยี่หอนสี้ ามารถวงิ่ ไดระยะทางเฉลี่ยไมนอยกวา
70,000 ก.ม. มสี วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10,000 ก.ม. คำโฆษณานี้เปน็ จรงิ หรือไม่

ก. จงเขยี น H0 และ H1 สาํ หรบั การทดสอบสมมติฐาน
ข. ถาสุมยางรถยนตมา 16 เสน พบวา X = 64,000 ก.ม. จะปฏิเสธ H0 ที่  = 0.05 หรือไม
ค. จงคํานวณหาคา่ สถิติ
ง. ถากําหนดให H1 : µ ≠ 70000 จงตอบคาํ ถามขอ ข และ ค

2. โรงงานผลติ สินคาแหงหน่ึง กําลงั ตัดสินใจวาจะซื้อเครื่องจกั รใหมซ งึ่ มี ราคาแพงมากหรือไม? ทราบวา
เครือ่ งจักรจะตองผลิตสินคาเฉลย่ี ไดมากกวา 150 หนวย/ช.ม. จึงจะไดกาํ ไร

ก. ฝายจัดการ ไดซ้ือเคร่ืองจกั รใหมมาจํานวน 36 เครื่อง เพื่อทดลองผลิต สินคา ปรากฏวาผลิต
สนิ คาไดเฉล่ยี 160 หนวย/ช.ม. มีสวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 22 หนวย/ช.ม. ฝายจดั การควรซ้ือเคร่ืองจกั รใหมนี้
หรอื ไม ท่ีระดับนยั สําคัญ 0.01

การทดสอบสมมตฐิ าน

ข. ถาฝายจัดการซ้ือเครื่องจักรใหมมา 15 เครื่อง เพ่ือทดลองผลิตสินคา ปรากฏวาผลติ สินคาไดเฉลย่ี
160 หนวย/ช.ม. สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10.228 หนวย/ช.ม. จะปฏเิ สธ H0 หรอื ไม่

3. ใหทดสอบสมมติฐานวา เงินเดือนเฉล่ยี ของบัณฑติ สาขาบริหารธุรกิจ จะ สงู กวาบณั ฑิตสาขาอ่นื ๆ ท่ีมีเวลา
เรยี นเทากัน ที่  = 0.05 หรือไม ถาสุมตัวอยางบณั ฑติ สาขาบริหารธรุ กิจมา 60 คน มเี งนิ เดอื นเฉลยี่ 6,150
บาท สวนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 180 บาท และสุมตัวอยางบณั ฑติ สาขาอืน่ ๆ มา 100 คน มีเงนิ เดือนเฉล่ีย
6,070 บาท สวนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 200 บาท

4. บริษัทผลิตอาหารสุนขั แห่งหนึ่งรับประกันวา่ อาหารสนุ ัขทผ่ี ลติ ในแตล่ ะถุงจะมนี ้ำหนักเฉลี่ย 10 กิโลกรัม
สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1 กิโลกรัม อาทิตยเ์ ป็นพ่อค้ารายย่อยจำหน่ายอาหารสนุ ขั ต้องการพสิ จู นว์ ่าการ
รบั ประกนั ของบริษัทแห่งนี้เป็นจริงหรอื ไม่ จึงสุ่มอาหารสนุ ัขมา จำนวน 100 ถงุ พบวา่ มีนำ้ หนกั เฉลย่ี 9.6
กโิ ลกรัม ทีร่ ะดับนัยสำคญั ท่ี 0.05 อาทติ ยจ์ ะสรปุ การรับประกันของบริษทั เป็นจรงิ ได้หรอื ไม่

การทดสอบสมมติฐาน

5. ในการศึกษาพฤติกรรมการสวมหมวกกันน็อคขณะขบั ข่รี ถจกั รยานยนตข์ องนักศึกษามหาวทิ ยาลยั เชยี งใหม่
โดยการสุม่ ตัวอยา่ งนักศึกษา 500 คน สังเกตพฤติกรรมดงั กลา่ ว ณ จดุ หน่ึงบนถนนภายในมหาวิทยาลัย
บันทึกว่าใส่หมวกกนั น็อค/ไมใ่ ส่หมวกกันนอ็ ค ปรากฏวา่ มีนักศกึ ษาใสห่ มวกกันนอ็ ค จำนวน 75 คน จะสรุป
ท่ีระดบั นัยสำคัญ .01 ไดห้ รอื ไมว่ ่า โดยภาพรวมนกั ศึกษามหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ใส่หมวกกนั น็อคขณะขับข่ี
รถจักรยานยนต์ นอ้ ยกว่า 20%

****************

PAPER NOTE :

แบบทดสอบท้ายบท

จงแสดงวธิ ีทาอยา่ งละเอียด
ขอ้ ท่ี 1 บริษัทผลิตอุปกรณ์กีฬาแห่งหนึ่ง ต้องการผลิตสายเบ็ดสาหรับนักแข่งขันตกปลา ทางบริษัท อ้างว่า สายเบ็ดท่ี
บริษัทผลิตน้ันจะทนแรงดึงโดยเฉล่ีย 15 ปอนด์ มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 0.5 ปอนด์ ถ้าสุ่มตัวอย่างสายเบ็ดท่ีผลิตมา
50 เส้น เพ่ือทาการทดสอบ พบว่ามีแรงดึงโดยเฉลี่ย 14.8 ปอนด์ จงทดสอบว่าสายเบ็ดทนแรงดึงโดยเฉลี่ยน้อยกว่า
15 ปอนด์ ท่รี ะดบั นัยสาคญั 0.05 สมมตวิ ่าการทนแรงดึงของสายเบด็ มกี ารแจกแจงแบบปกติ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อท่ี 2 นายแพทย์กลุ่มหน่ึงประกาศว่า ยาท่ีตนค้นคว้าสามารถรักษามะเร็งผิวหนังที่เกิดข้ึนกับกระต่าย สามารถรักษาให้
หายขาดได้อย่างน้อย 90% ของกระต่ายทเ่ี ป็นโรคนี้ จงึ มกี ารพสิ ูจนค์ ุณภาพของยา โดยสุม่ กระตา่ ยท่เี ปน็ โรคมะเร็งผิวหนงั มา
500 ตวั หลังจากใช้ยาตัวน้แี ลว้ ปรากฏว่ากระตา่ ย 400 ตัว หายขาดจากโรคมะเรง็ ผิวหนัง จงทดสอบว่าคากล่าวน้เี ป็นจริง
หรอื ไม่ ท่ีระดบั ความเชือ่ ม่ัน 95%

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ท่ี 3 ตอ้ งการทดสอบหลอดไฟ 2 ชนิดว่าชนิดใดมอี ายุการใชง้ านนานกวา่ กนั สุม่ ตัวอยา่ งหลอดไฟชนิดแรกมา 80 หลอด
ทดลองใช้ดู ปรากฏว่ามีอายุการใช้งานเฉลี่ย 1,258 ชั่วโมง สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 94 ชั่วโมง ส่มุ หลอดไฟชนดิ ท่ี 2
มา 60 หลอด มีอายกุ ารใช้งานเฉลยี่ 1,029 ชั่วโมง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 68 ชั่วโมง จะเช่อื ได้หรอื ไม่วา่ หลอดไฟ
ชนิดแรกมีอายุการใช้งานนานกวา่ หลอดไฟชนดิ ท่ี 2 มากกวา่ 200 ชวั่ โมง ในระดับนยั สาคญั 0.01

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ท่ี 4 พรรคการเมืองหนึ่งต้องการหย่ังเสียงสนับสนุนพรรคในเขตการเลือกตั้งซ่งึ อยู่ในกรุงเทพฯและในชานเมือง
จึงสุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธ์ิเลือกตั้งมาสัมภาษณ์ เพื่อทราบเสียงสนับสนุน ปรากฏว่าในกรุงเทพฯมีเสียงสนับสนุน 120
เสียง จากตัวอย่างจานวน 200 คน และในชานเมือง มีเสียงสนับสนุน 240 เสียง จากตัวอย่างจานวน 500 คน จง
ทดสอบโดยใช้ระดับนัยสาคัญ 0.025 ว่าในการเลือกตั้งจริงนั้น เสียงสนับสนุนในกรุงเทพฯมากกว่าเสียงสนับสนุนใน
ชานเมอื ง

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มลู

ความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ ันระหวา่ งข้อมูล

ผลการเรยี นรู้

1. ระบตุ ัวแปรอิสระและตวั แปรตามของข้อมลู ท่ีกำหนดได้
2. ใชแ้ ผนภาพการกระจายตรวจสอบรูปแบบของความสมั พันธ์ที่เกดิ ขน้ึ ของสองตัวแปร

ในข้อมลู ทกี่ ำหนดได้
3. หาการถดถอยเชิงเส้นอยา่ งง่าย พยากรณต์ วั แปรตาม เม่ือกำหนดตัวแปรอิสระได้
4. ลงมือแกป้ ญั หาสถานการณจ์ ริงทก่ี ำหนด เร่ือง สหสมั พนั ธ์อยา่ งงา่ ยและค่าสมั ประสทิ ธ์ิ

สหสมั พันธ์ได้
5. ทดสอบความมีนัยสำคัญของสมั ประสิทธสิ์ หสัมพนั ธ์ได้
6. สร้างสมการความสัมพันธ์จากขอ้ มลู อนกุ รมเวลาทก่ี ำหนดได้
7. ลงมอื แกป้ ญั หาสถานการณ์จริงทกี่ ำหนด เรื่อง อนุกรมเวลา ได้

นางวรรณภา มานกั ฆ้อง
ตำแหน่ง ครู วทิ ยาฐานะ ครูชำนาญการ
โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั พิษณโุ ลก

ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมูล

ความสมั พันธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ระหว่างขอ้ มูล

ตัวแปรตาม ตัวแปรอิสระ

(Dependent variable , Independent variable )

วตั ถุประสงค์หลักของการศกึ ษาความสัมพันธร์ ะหว่างข้อมูล 2 ชดุ กค็ ือการใช้ข้อมูล 2
ชดุ ดงั กลา่ วไปใช้คาดคะเนหรอื ประมาณค่าของข้อมูลชุดหนงึ่ โดยใช้ขอ้ มูลอีกชุดหนง่ึ มาช่วย
ซ่ึงวธิ กี ารทจ่ี ะคาดคะเนไดก้ ็คือจะต้องสรา้ งสมการความสัมพนั ธข์ องขอ้ มลู 2 ชดุ
ดังกลา่ วใหไ้ ด้กอ่ นซ่งึ ใชเ้ ปน็ ตัวแทนของความสมั พันธโ์ ดยมีข้อตกลงว่า

ถ้าต้องการทำนายหรือคาดคะเนตวั แปรอะไร กใ็ ห้ตัวแปรดงั กล่าวเปน็ “ตัวแปรตาม” ซ่ึงแทนดว้ ย y
ส่วนอีกหน่ึงตัวแปรที่เหลือจะเปน็ “ตัวแปรอสิ ระ” แทนด้วย x สมการความสัมพนั ธท์ ส่ี ร้างไดก้ ็คอื y=f(x)
และสามารถประมาณคา่ ตวั แปรตาม y ได้ ถา้ ทราบตัวแปรอสิ ระ x
แต่ไม่สามารถประมาณคา่ ตวั แปรอสิ ระ x ได้ถ้าทราบตัวแปรตาม y

แผนภาพการกระจาย

(Scatter Diagram)

ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของขอ้ มูลเชงิ ปริมาณที่ประกอบดว้ ยตัวแปรสองตัวจากข้อมลู ท่มี ี
อยู่ทง้ั หมดหรือจากตัวอยา่ งข้อมลู ทีเ่ ลือกมาเปน็ ตวั แทนของข้อมูลที่มีอยูม่ ีความจำเปน็ ที่ตอ้ งตรวจดรู ปู แบบของ
ความสมั พันธ์ทีเ่ กิดข้นึ ระหว่างตวั แปรท้งั สองเพื่อท่จี ะนำมาใช้ในการกำหนดความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชนั ท่ีจะสรา้ ง
ขึน้ รปู แบบของความสัมพนั ธ์นีพ้ จิ ารณาไดจ้ ากกราฟทส่ี รา้ งจากข้อมลู ทีม่ ีอยทู่ ั้งหมดหรือจากข้อมลู ตวั อยา่ งทเี่ ลื
อกมาเป็นตัวแทนของขอ้ มลู ท่ีมอี ยซู่ ่งึ เรียกวา่ แผนภาพการกระจายของข้อมลู นั้น ๆ

บางคร้งั การพิจารณาจากแผนภาพไม่สามารถบอกลงไปได้แนน่ อนว่ามรี ปู ของความสมั พันธ์เป็นแบบ
ใด เนอ่ื งจากลกั ษณะการกระจายของข้อมูลไม่สามารถจดั เขา้ ในรูปความสัมพันธ์เชงิ ฟังก์ชันใดๆ ได้ หรอื อาจ
จะมลี กั ษณะของความสมั พันธท์ ใี่ กลเ้ คยี งกบั รปู ของความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั ก์ชันสองรปู เชน่ อาจจะอนโุ ลมให้
อยูใ่ นรูปของความสมั พนั ธ์เชงิ ฟังก์ชนั ทเ่ี ปน็ เส้นตรง หรือเป็นเอกซโ์ พเนนเชยี ลกไ็ ด้ ในกรณีนี้ถ้าผูส้ ร้าง
ความสมั พนั ธม์ ีความรคู้ วามชำนาญเกยี่ วกับขอ้ มลู ชนิดน้นั ๆ อาจจะบอกไดว้ า่ ควรจะสร้างความสัมพนั ธ์
เชงิ ฟงั กช์ นั ให้อยู่ในรปู ใดจึงจะเหมาะสมกับสง่ิ ที่ควรจะเป็นมากทส่ี ุด

ความสมั พันธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหวา่ งข้อมูล

หรอื ถ้าผสู้ รา้ งความสัมพนั ธไ์ ม่ต้องการความละเอียดถูกต้องจากการพยากรณ์ค่าตัวแปรตามจากความสมั พนั ธ์ที่
สรา้ งข้ึนมากนักก็อาจจะเลอื กใชร้ ูปของความสัมพันธ์เชงิ ปริมาณทั้งสองโดยพิจารณาจากแผนภาพการกระจาย
จะขนึ้ อยูก่ ับความร้คู วามชำนาญเกีย่ วกบั เรื่องที่นำมาสรา้ งความสัมพันธ์ของผูส้ ร้างความสัมพนั ธ์นัน้ และความล
ะเอยี ดถูกต้องของค่าพยากรณท์ ่ตี อ้ งการเป็นสำคญั

ตัวอย่างการศึกษาความสัมพันธ์ระหวา่ งขอ้ มูลท่เี ป็นความสูงกบั ข้อมูลท่เี ปน็ น้ำหนกั ของนักเรียนในโรง
เรยี นแห่งหน่ึง ถ้าเราสามารถหาความสัมพนั ธด์ ังกล่าวได้
เรากส็ ามารถคาดคะเนน้ำหนักเม่ือทราบความสูงของนกั เรียนดงั กลา่ วได้

ในการศึกษาความสมั พนั ธ์ของข้อมลู ท้งั 2 ชดุ ดังกลา่ ว ในเบือ้ งต้น ต้องมีการเกบ็ รวบรวมข้อมูล
ทง้ั สองชุดมาในจำนวนท่ีมากพอ หลงั จากนัน้ นำขอ้ มลู ดังกลา่ วมากำหนดเปน็ จดุ ในระบบแกนพิกัดฉาก
ดังตวั อย่างต่อไปนี้

ขอ้ มูลต่อไปนี้เปน็ ข้อมลู เก่ยี วกบั ความสูง (หน่วยเปน็ เซนติเมตร) และน้ำหนัก(หน่วยเปน็ กิโลกรัม)
ของนักเรยี น 10 คน ในโรงเรียนแห่งหนึง่

ให้ X เป็นตัวแปร ใชแ้ ทนขอ้ มลู เก่ียวกับความสงู
Y เปน็ ตัวแปร ใชแ้ ทนขอ้ มูลเกยี่ วกับน้ำหนัก

นักเรียนคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X(ความสงู ) 160 165 162 161 162 159 160 164 165 163
Y (น้ำหนัก) 80 85 80 81 82 80 79 81 84 82

จากข้อมูล นำค่า X และ Y มากำหนดเป็นจดุ (x , y) ในระบบแกนพิกัดฉากไดด้ งั นี้

Y
น้ำหนัก

X ควำมสงู

รปู ท่ี 1

ความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชันระหวา่ งข้อมูล

เราเรียกกราฟในรปู ที่ 1 ว่า แผนภาพการกระจาย (Scatterplots) ของข้อมูลดังกล่าว
จากแผนภาพการกระจายดงั กล่าว เราจะพิจารณาวา่ มีแนวโน้มจะเกิดความสมั พันธ์ในรปู แบบใด เชน่
มีแนวโน้มทจ่ี ะเกดิ ความสัมพันธ์ในรูปแบบเส้นตรง
หรือมีแนวโน้มทีจ่ ะเกิดความสัมพนั ธ์ในรปู แบบไม่เปน็ เสน้ ตรง (อาจเปน็ พาราโบลา หรือ เอกซ์โพเนนเชียล
ก็ได้) แต่ในบางคร้ังแผนภาพการกระจายดังกล่าวไมส่ ามารถทำให้อยู่ในรูปความสัมพนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั ใด ๆ ก็ได้
ในท่นี ้จี ะกลา่ วถึงเฉพาะแผนภาพการกระจายมแี นวโนม้ ทีจ่ ะสามารถสร้างเปน็ ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั ก์ชนั ได้
(ข้อมลู ดังกล่าว 2 ชดุ มีความสมั พนั ธก์ ัน)

จากแผนภาพการกระจายในรูปท่ี 1
ถา้ สงั เกตให้ดีจะพบวา่ ความสัมพันธ์ของข้อมลู ท้ังสองชดุ จะอย่ใู นลกั ษณะทใี่ กลเ้ คยี งกบั ความสัมพนั ธท์ ่ีมีกราฟเ
ป็นเสน้ ตรง ดังรูปท่ี 2

Y Y=a+bX
น้ำหนัก

X ควำมสงู

รปู ท่ี 2

สงิ่ ที่เราตอ้ งทำต่อไปคือ ต้องหาสมการของเส้นตรงท่ีเหมาะสมและใกล้เคียงกบั ข้อมูลดงั กล่าวมากที่สุด
และนำสมการดงั กล่าวไปใช้

สมมตใิ ห้ สมการดังกลา่ วคือ Y= a + bX

นักเรียนจะพบวา่ ทกุ ๆ ค่า X (ความสงู ) ที่เรานำไปแทนในสมการ เพ่ือหาค่า Y (น้ำหนัก)
คา่ Y ทีไ่ ด้จะเปน็ ค่า Y โดยประมาณ หรือค่า Y โดยเฉลย่ี ทใี่ กลเ้ คยี งกับความจริง เช่น ถ้า X เทา่ กบั 160
ค่า X ที่คำนวณจากสมการ จะเปน็ คา่ Y ท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 79 กับ 80 เปน็ ต้น (ดจู ากรูปท่ี 2)

ความสัมพันธ์เชิงฟงั ก์ชนั ระหวา่ งขอ้ มูล

ดงั นน้ั สมการ Y= a + bX จึงเป็นสมการทเี่ รานำไปใชใ้ นกรณที ี่รคู้ า่ X นำไปแทนเพื่อหาค่า Y เทา่ น้ัน
เพราะคา่ Y ท่ีไดม้ าจะเป็นคา่ Y โดยคาดคะเนหรอื โดยประมาณเทา่ นั้น แต่เราไมส่ ามารถใชก้ ลบั กันได้
กลา่ วคือ ร้คู า่ Y นำไปแทนเพื่อสรปุ ค่า X ออกมาไม่ได้

สรปุ สมการดังกลา่ วนำไปใช้ในกรณีที่ รู้ความสูงนำไปใชค้ าดคะเนน้ำหนัก
แต่จะนำนำ้ หนักไปคาดคะเนความสูงไม่ได้

เพอื่ ใหก้ ารเรยี ก X และ Y ในความสมั พันธ์เชิงฟงั ก์ชนั ดังกลา่ วเปน็ ไปอย่างง่ายๆ เราจึงเรียก
X ว่าตัวแปรอสิ ระ และเรียก Y วา่ ตัวแปรตาม

การหาความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชนั

การหาสมการทแ่ี สดงความสมั พันธ์เชงิ ฟงั กช์ ันของตัวแปร X และ Y
น้นั มีมากมายหลายวิธีไม่ว่าจะใช้วิธใี ดกต็ าม
เราจะตอ้ งทราบลักษณะและแนวโนม้ ของความสัมพนั ธ์ดังกลา่ วเสยี กอ่ นวา่ อยู่ในลกั ษณะใด
ซ่งึ ในท่นี ้ีจะกล่าวถงึ เฉพาะลักษณะทส่ี ำคัญ ๆ 3 ลกั ษณะ คือ

1. ความสัมพันธน์ ้ันมีแนวโน้มเป็นกราฟเสน้ ตรง
2. ความสมั พนั ธ์นนั้ มีแนวโนม้ เปน็ กราฟพาลาโบลา
3. ความสัมพนั ธน์ ั้นมีแนวโนม้ เปน็ เอก็ ซ์โพเนนเชยี ล

การทจี่ ะดวู ่าความสัมพนั ธข์ องสิง่ ทเ่ี ราตอ้ งการหาจะมีแนวโน้มในลกั ษณะใดนั้น นักเรียนจะสงั เกตได้
จากกราฟท่ีเกดิ จากการนำข้อมูลของสิง่ ท่เี ราต้องการหาดังกลา่ วมากำหนดจดุ เป็นกราฟ เชน่
ถ้าข้อมลู ทเ่ี รารวบรวมมานั้นเมื่อกำหนดเป็นกราฟแลว้ อยู่ในลกั ษณะดังรูปต่อไปน้ี

รปู ท่ี 3 รูปท่ี 4

กราฟในรูปที่ 3 และ รูปที่ 4 เป็นแผนภาพการกระจายทค่ี วามสัมพันธ์ระหว่างขอ้ มูล
มีแนวโน้มเปน็ กราฟเสน้ ตรง

ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหวา่ งข้อมลู

กราฟในรูปที่ 5 เป็นแผนภาพการกระจายท่คี วามสมั พันธ์ รูปท่ี 5
ระหว่างขอ้ มูลมีแนวโน้มเปน็ กราฟเสน้ ตรง แตม่ ีการกระจาย
คอ่ นข้างมาก

รูปท่ี 6 รปู ท่ี 7 รูปท่ี 8

กราฟในรูปที่ 6 รูปที่ 7 และรปู ที่ 8 เป็นแผนภาพการกระจายทีค่ วามสัมพนั ธร์ ะหวา่ งข้อมูล
มีแนวโนม้ เป็นเส้นโค้ง (แนวโน้มเปน็ กราฟพาราโบลา หรือกราฟเอกซโ์ พเนนเชยี ล)

กราฟในรูปที่ 9 เป็นแผนภาพการกระจายทเ่ี รา
ไม่สามารถหาความสัมพนั ธ์ระหวา่ งข้อมูลได้

รูปท่ี 9

สง่ิ ทีเ่ ราจะต้องศึกษาในหัวข้อน้ีกค็ ือ ถ้าข้อมูลทั้ง 2 ชุดมีความสัมพนั ธ์กนั
เราต้องหาความสัมพนั ธ์ดงั กล่าวเพือ่ นำไปใช้ประโยชน์ กล่าวคือ ตอ้ งหาสมการของเสน้ ตรง
สมการของพาราโบลา สมการของเอกซ์โพเนนเชยี ล ซึง่ ทำหน้าท่ีเป็นตัวแทนของขอ้ มลู แต่ละชุดดังกลา่ ว

ให้เส้นตรงทดี่ ที ่ีสดุ ที่เราต้องการหาอยใู่ นรูป Y = a + bX

โดยที่ b คอื ความชันของเสน้ ตรอง และ a คือค่าคงตวั

ให้ เปน็ คา่ จากการสังเกตท่เี กิดขนึ้ จริง ตัวท่ี i เมื่อ i = 1 , 2 , 3 , ..., n

̂ เป็นค่าของตัวแปรตามที่ได้จากสมการ Y = a + bX เม่ือแทนตวั แปรอสิ ระ X ด้วย Xi

ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั ระหวา่ งข้อมลู

การประมาณค่าของคา่ คงตัวโดยใช้ระเบยี บวิธีกาลงั สองนอ้ ยสุด

สมการท่ีแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งข้อมลู ดงั กล่าวจะถือว่าเปน็ สมการทดี่ ีทสี่ ดุ
เมอ่ื สอดคล้องกับเงื่อนไข 3 ข้อ ต่อไปน้ี

1.
คอื ผลตา่ งระหว่างค่า Y จากขอ้ มูลกับคา่ ̂ ซึ่งคำนวณมาจากสมการ เมื่อ =

ดงั นัน้ คือผลรวมของผลต่างดังกลา่ วทัง้ หมด เปน็ จำนวนลบ
ถ้าผลรวมเทา่ กับ 0 แสดงว่า จะมสี ่วนที่ เป็นจำนวนบวก เทา่ กบั กับ

ดงั นนั้ ลักษณะของเส้นตรงดังกล่าวจะอยใู่ นแนวสมดุลกับกลุ่มของข้อมูลทัง้ หมด
(เส้นตรงดงั กล่าวอยใู่ นแนวกลาง ๆ ของขอ้ มูล
น่นั คือจุดทเี่ กดิ จากข้อมลู จรงิ มีบางจุดอยู่สงู กว่าจดุ ที่อยบู่ นเสน้ ตรง และมบี างจุดอย่ตู ่ำกวา่ จุดทีอ่ ยู่บนเส้นตรง
ซ่ึงสว่ นท่ีอยสู่ ูงเกนิ ไปเม่ือนำมารวมกันแลว้ จะเทา่ กับผลรวมของส่วนที่อย่ตู ำ่ เกินไป)

ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหวา่ งข้อมลู

2. มีค่าน้อยทส่ี ุด

เน่อื งจาก
จะเปน็ สมการของเสน้ ตรงทจ่ี ะทำหนา้ ที่เปน็ ตัวแทนที่ดีทส่ี ุดของข้อมูลดงั กลา่ ว ดังน้ัน
ผลต่างระหว่าง กบั ̂ ควรจะมีคา่ น้อยทส่ี ดุ ( คา่ และ ̂ ตอ้ งมคี ่าใกลเ้ คียงกันมาก ๆ)

ในทางคำนวณผลต่างดงั กล่าวจะมีคา่ น้อยทส่ี ดุ เมอื่ มคี ่าน้อยทส่ี ุด

(จำนวนที่มคี า่ น้อยมากๆ เช่น ผลต่างเป็นทศนิยมท่ีไมเ่ กิน 1 และไมต่ ำ่ กวา่ -1

เมือ่ นำมายกกำลังจะมีคา่ น้อยลง)

3. (X,Y) ตอ้ งสอดคล้องกับสมการ Y = a+bX
ถ้านำข้อมูลดังกล่าวมาหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต X̅ และ Y̅ คู่อันดับ ( X̅ , Y̅ ) จะเป็นจดุ บนเส้นตรง
ทท่ี ำหนา้ ทีเ่ ปน็ ตัวแทนของข้อมลู ดังกล่าว
ดังนน้ั ค่า Y ที่ได้จากสมการจะเป็นคา่ โดยเฉลย่ี ท่ีดีที่สุด
นน่ั คอื Y̅ =aX̅+b

จากหลักการในข้อ 1 , 2 และ 3 ดังกลา่ ว เรานำมาใชใ้ นการหาสมการของความสัมพันธ์
เชงิ ฟงั ก์ชันระหว่างขอ้ มลู เราเรยี กวธิ กี ารหาดังกล่าววา่ ระเบียบวิธีกำลงั สองนอ้ ยท่ีสดุ
วธิ กี ารดังกล่าวนน้ี ำมาใช้ในการหาตัวไมท่ ราบคา่ ในสมการ ดังนี้

ข้อตกลง เพอื่ ความสะดวกในการพมิ พ์ในเอกสารฉบบั น้ีของกำหนดสัญลักษณ์
และความหมายดังน้ี

หมายถึง

หมายถงึ

หมายถึง เป็นต้น

ความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชันระหวา่ งข้อมลู

1. ถา้ สมการของความสมั พนั ธ์เชงิ ฟังกช์ นั อยใู่ นรปู เส้นตรง

2. Y= a+bX เมอ่ื b คอื ความชันของเสน้ ตรง และ a เปน็ คา่ คงตัว

3. จากระเบียบวธิ ีกำลังสองนอ้ ยทส่ี ุด สามารถหาค่าของ a และ b จากสมการดังต่อไปน้ี

∑ = + ∑ ……………………….………①

∑ = ∑ + ∑ 2 …………………….…………②

เราสามารถเรียกการวิเคราะห์สมการของความสัมพันธเ์ ชิงฟังกช์ ันทอ่ี ยู่ในรปู เส้นตรง ได้วา่
การถดถอยเชิงเส้นอยา่ งง่าย (Simple Linear Regression)

ในทำนองเดียวกัน ถ้ากราฟท่ีเราจะนำไปใช้เป็นตัวแทนทด่ี ีของขอ้ มูลเป็นกราฟรูปพาราโบลา
หรอื เอ็กซโ์ พเนนเชียล กส็ ามารถหาสมการของกราฟดังกล่าวได้โดยอาศยั สมการท่ีใชห้ าค่าคงตัวดงั ต่อไปน้ี

4. ถ้าสมการของความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังกช์ ันอย่ใู นรปู พาราโบลา

Y=a+bX+cX2 เมอ่ื a , b และ c เป็นคา่ คงตัว

จากระเบยี บวธิ ีกำลงั สองน้อยทีส่ ดุ สามารถหา a , b และ c จากสมการดังต่อไปน้ี

∑ = + ∑ + ∑ 2 …………………..①

∑ = ∑ + ∑ 2 + ∑ 3 …………………..②

∑ 2 = ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4 ………………… ③

5. ถ้าสมการของความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟังก์ชันอยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชยี ล

Y=abX หรือ log Y = log a +X log b เมอื่ a และ b เปน็ คา่ คงตวั

จากระเบียบวธิ กี ำลงั สองน้อยที่สดุ สามารถหา a และ b จากสมการดงั ต่อไปน้ี

∑ = + ( ) ∑ ……………………..①

∑ = ( ) ∑ + ( ) ∑ 2 ……………………..②

หมายเหตุ ความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ นั ระหวา่ งข้อมลู

1. สมการทใี่ ชห้ าค่าคงตวั เรยี กว่า สมการปกติ
2. ค่า ̂ ซ่ึงเป็นค่า ทค่ี ำนวณจากสมการจะเป็นคา่ ประมาณท่ดี ีท่สี ดุ ของ Y

เมือ่ =
3. n คือ จำนวนตัวอย่าง หรอื จำนวนขอ้ มลู ท้ังหมดทนี่ ำมาใชส้ รา้ งความสมั พันธ์

ตวั อยา่ งท่ี 1

ตารางต่อไปนี้เป็นความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง X กบั Y

X 1 2 3 45
Y 2 3 5 69

1. จงเขยี นแผนภาพการกระจายของขอ้ มลู
2. จงหาสมการท่แี สดงความสัมพันธ์ระหว่าง X กบั Y โดยให้ X เปน็ ตัวแปรอสิ ระ
3. จากสมการในขอ้ 2 จงทำนายค่าของ Y เม่อื กำหนดให้ X = 10
4. จงทำนายคา่ ของ X เม่อื กำหนดให้ Y = 11
วิธที ำ
1. จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมลู เพือ่ ดลู ักษณะของกราฟ ได้ดงั นี้

จะพบว่า แนวโน้มของความสัมพันธม์ ีลักษณะเป็นเสน้ ตรง

ความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันระหวา่ งข้อมลู

2. จงหาสมการที่แสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ ง X กบั Y โดยให้ X เป็นตัวแปรอิสระ

เนอ่ื งจากขอ้ มูลดังกลา่ วเมื่อกำหนดเปน็ จุดแลว้ ปรากฏว่าเรยี งกนั มีแนวโนม้ เป็นเส้นตรง

ดังนน้ั สมการของความสมั พันธ์ คอื Y= a+bX เสน้ ตรงดงั กลา่ วน้ีจะเป็นตวั แทนทด่ี ีท่ีสดุ ถา้ หาคา่ a และ b

จากสมการปกตติ ่อไปน้ี

∑ = + ∑ ……………………….………①

∑ = ∑ + ∑ 2 …………………….…………②

ซึง่ สามารถหาได้โดยการสร้างตารางคา่ ดงั นี้

X Y XY X2

12 2 1
23 6 4
3 5 15 9
4 6 24 16
5 9 45 25

15 25 92 55

แทนคา่ ในสมการจะได้

25 = 5 + 15 ………………………………①

92 = 15 + 55 …………………….…………②

นำไปแกส้ มการ จะได้ a = -0.1 และ b = 1.7

ดงั น้ันสมการที่ต้องการคือ Y = -0.1 +1.7X

3. จากสมการในข้อ 2 จงทำนายค่าของ y เมือ่ กำหนดให้ x = 10
จากสมการ Y = -0.1 +1.7X
= -0.1 +1.7(10)
= 16.9

ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมลู

4. จงทำนายค่าของ x เมื่อกำหนดให้ y = 11
ในการสรา้ งสมการของความสมั พันธร์ ะหวา่ ง X กบั Y โดยที่ Y เป็นตวั แปรอิสระนนั้ สมการ

จะอย่ใู นรูปของ X= a+bY เส้นตรงดงั กลา่ วนจ้ี ะเป็นตัวแทนทด่ี ที ีส่ ดุ ถ้าหาค่า a และ b จากสมการดังน้ี

∑ = + ∑ ……………………….………①

∑ = ∑ + ∑ 2 …………………….…………②

ซง่ึ สามารถหาไดโ้ ดยการสรา้ งตารางค่าดงั นี้

X Y XY Y2

1 2 2 4
2 3 6 9
3 5 15 25
4 6 24 36
5 9 45 81
155
15 25 92
………………………………①
แทนคา่ ในสมการจะได้ …………………….…………②

15 = 5 + 25
92 = 25 + 155

นำไปแกส้ มการ จะได้ a = 0.15 และ b = 0.57

ดงั นนั้ สมการทตี่ ้องการคือ X = 0.15 +0.57Y

ทำนายค่าของ X เมือ่ กำหนดให้ x = 11

จากสมการ X = 0.15+0.57Y
= 0.15 +0.57(11)
= 6.42

ความสมั พนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชันระหวา่ งขอ้ มลู

แบบฝกึ หัดท่ี 1
การถดถอยเชงิ เส้นอย่างงา่ ย

1. เกษตรกรต้องการศึกษาความสมั พันธ์ของปริมาณปยุ๋ ท่ีใช้ (กก.ตอ่ ไร)่ กบั ผลผลติ ของถั่วเหลอื ง
(ถังต่อไร)่ ว่าเมื่อเพิ่มปรมิ าณปยุ๋ แลว้ ผลผลติ ของถั่วเหลืองจะเพิ่มขนึ้ หรือลดลงอยา่ งไร
จงึ ทดลองปลูกถ่วั เหลอื งได้ข้อมูลจากการทดลองเปน็ ดังน้ี

ปริมาณปุ๋ยที่ใช้ 2 1 3 5 4 3 4 2
ผลผลิต 30 20 40 50 50 30 60 40
จงประมาณผลผลิตของถว่ั เหลอื ง เม่อื ใชป้ ุย๋ 6 กก.ต่อไร่

ความสัมพันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ระหวา่ งขอ้ มลู

1. (PAT1/56) กำหนดข้อมลู x และ y มีความสัมพนั ธ์ดังน้ี
X13457
Y03679

โดยท่ี x และ y มีความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชันแบบเส้นตรง ถา้ y=8 แลว้ คา่ ของ x ตรงกับข้อใด

2. (PAT1/54) ข้อมลู ความสูง (CM) และน้ำหนัก (KG) ของนกั เรียนหญงิ 4 คน ดังนี้
นกั เรียนหญงิ คนท่ี 1 คนท่ี 2 คนท่ี 3 คนท่ี 4

ข้อมูลความสูง (CM) 150 152 154 156
และนำ้ หนัก (KG) 45 45 48 50
ถ้าส่วนสงู และนำ้ หนกั ของนักเรยี นมีความสัมพันธเ์ ชิงฟังก์ชันเป็นเสน้ ตรง y = a+0.9X
เมอ่ื X เป็น สว่ นสูงและ Y เปน็ น้ำหนกั แลว้
นักเรียนหญงิ ท่ีมสี ่วนสูง 155 CM จะมนี ้ำหนกั ก่กี ิโลกรมั

-------------------------------------

ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั กช์ นั ระหวา่ งข้อมลู

ความสัมพันธเ์ ชงิ ฟังก์ชันทไ่ี ม่อยใู่ นรปู เชิงเส้น

ในทำนองเดียวกนั กบั การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายถ้ากราฟที่เราจะนำไปใช้เป็นตวั แทนทด่ี ีของขอ้ มูล
เปน็ กราฟรปู พาราโบลา หรือเอกซ์โพเนนเชยี ล กส็ ามารถหาสมการของกราฟดงั กล่าวได้
โดยอาศยั สมการท่ีใช้หาคา่ คงตัวดงั ต่อไปนี้

1. ถา้ สมการของความสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันอยใู่ นรปู พาราโบลา

Y=a+bX+cX2 เมอื่ a , b และ c เป็นคา่ คงตวั

จากระเบยี บวธิ ีกำลงั สองน้อยท่ีสุด สามารถหา a , b และ c จากสมการดงั ต่อไปน้ี

∑ = + ∑ + ∑ 2 …………………..①

∑ = ∑ + ∑ 2 + ∑ 3 …………………..②

∑ 2 = ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4 ………………… ③

2. ถ้าสมการของความสมั พันธเ์ ชิงฟังกช์ ันอยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชยี ล
Y=abX หรอื log Y = log a +X log b เมอ่ื a และ b เปน็ คา่ คงตัว

จากระเบยี บวธิ ีกำลังสองน้อยทีส่ ุด สามารถหา a และ b จากสมการดงั ต่อไปนี้

∑ = + ( ) ∑ ……………………..①

∑ = ( ) ∑ + ( ) ∑ 2 ……………………..②

ความสมั พันธเ์ ชิงฟงั ก์ชันระหวา่ งขอ้ มลู

ตัวอยา่ งที่ 2

กำหนดตารางข้อมูล ดังน้ี
X1 2 3 4
Y 5 2 3 10

ถา้ ความสมั พนั ธ์ระหว่าง X กับ Y เป็นสมการพาราโบลา แล้วจงหาสมการแสดงความสมั พนั ธ์ และ
จงทำนายคา่ Y เม่ือ X = 8
วิธีทำ

สมการความสมั พันธจ์ ะอย่ใู นรปู ของ Y=a+bX+cX2 เมื่อ a , b และ c เป็นคา่ คงตัว
จากระเบียบวธิ กี ำลงั สองนอ้ ยทส่ี ุด สามารถหา a , b และ c จากสมการดังตอ่ ไปน้ี

∑ = + ∑ + ∑ 2 …………………..①

∑ = ∑ + ∑ 2 + ∑ 3 …………………..②

∑ 2 = ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4 ………………… ③

สามารถหาได้โดยการสร้างตารางค่าดังนี้

X Y XY X2 X3 X4 X2Y

15 51 11 5
22 44 8 16 8
33 99 27 81 27
4 10 40 16 64 256 160
58 30 100 354 200
10 20
= 4a + 10b +30c ………………….. ④
จากตารางแทนค่าในสมการ
20

58 = 10a + 30b+ 100c ………………….. ⑤

200 = 30a +100b +354c …………………..⑥

ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มลู

แก้สมการ จะไดค้ ่า a = 13.5 , b = -10.9 , c= 2.5
แทนค่าใน Y = a+bX+cX2
Y = 13.5 -10.9X +2.5X2

นำไปทำนายคา่ y เมอ่ื x = 8 จะได้
Y = 13.5 -10.9(8) +2.5(8)2
Y = 86.3

ตวั อย่างที่ 3

การศกึ ษาการเจริญเติบโตของหนอนชนิดหนึง่ ในช่วง 7 สปั ดาหไ์ ด้ผลดังน้ี

สัปดาห์ที่ 1234567

น้ำหนัก(กรัม) 0.6 1.1 1.8 2.6 3.7 5.8 8.5

ถา้ ความสมั พันธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั ดังกล่าวเป็นกราฟเอ็กซโ์ พเนนเชียล

จงประมาณค่าน้ำหนักของหนอนในสัปดาห์ที่ 9

วิธีทำ X แทน สัปดาหก์ ารเจริญเติบโต
ให้ Y แทน น้ำหนัก

สมการท่นี ำมาใช้ในการทำนายนำ้ หนกั ของหนอนก็คือ Y=abX หรือ log Y = log a +X log b
เมือ่ a และ b เปน็ ค่าคงตวั

จากระเบยี บวิธกี ำลงั สองน้อยท่สี ดุ สามารถหา a และ b จากสมการดงั ต่อไปนี้

∑ = + ( ) ∑ ……………………..①

∑ = ( ) ∑ + ( ) ∑ 2 ……………………..②

ความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มลู

นำมาเขยี นลงตาราง log Y X log Y 2
XY -0.222 -0.222
1 0.6 0.041 0.083 1
2 1.1 0.255 0.766 4
3 1.8 0.415 1.660 9
4 2.6 0.568 2.841 15
5 3.7 0.763 4.581 25
6 5.8 0.929 6.506 36
7 8.5 2.751 16.214 49
28 - 140

แทนลงในสมการ ดังน้ี

2.751 = 7 + 28 ……………………..③

16.214 = 28 + 140 ……………………..④

แกส้ มการ จะได้ = −0.351 , = 0.186

เพราะฉะนน้ั สมการท่ใี ชใ้ นการทำนายน้ำหนักหนอนคือ log Y = -0.351 +0.186X

ตอ้ งการประมาณนำ้ หนักหนอนในสปั ดาห์ท่ี 9 จะได้ log Y = -0.351 +0.186(9) = 1.323

Y = 101.323

Y = 21.04 กรัม

-------------------------------------------------------------

ความสัมพนั ธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมูล

แบบฝกึ หัดที่ 2
ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชันทไี่ ม่อยใู่ นรปู เชิงเส้น

1. กำหนดตารางข้อมูล ดงั น้ี
X -2 -1 0 1 2
Y 5 8 12 15 20

ถา้ ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y เปน็ สมการพาราโบลา แล้วจงหาสมการแสดงความสัมพนั ธ์
ของขอ้ มูลนี้

ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มูล

2. กำหนดตารางข้อมูล ดงั น้ี
X -5 -3 -1 1 3 5
Y 4 2.5 4 7 11 15

ถา้ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง X กับ Y เปน็ สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล แลว้ จงหาสมการแสดงความสัมพนั ธ์
ของขอ้ มลู นี้

---------------------------------------

ความสัมพันธเ์ ชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งข้อมลู

สหสัมพนั ธอ์ ยา่ งงา่ ย
(Simple Linear Correlation)

สหสัมพันธ์ (Correlation) เป็นการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต้ังแต่ 2 ตัวขึ้นไป (หรือข้อมูล
2 ชุดขึ้นไป) ตัวอย่างการศึกษาความสัมพันธ์ เช่น การหาความสัมพันธ์ระหว่างอายุและความดันโลหิต
ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนสูงกับน้ำหนัก ความสัมพันธ์ระหว่างระดับการศึกษากับพฤติกรรมการดูแลตนเอง
ความสัมพันธ์ระหว่างพฤติกรรมของเด็กกับวิธีการอบรมเลีย้ งดูเด็ก ความสัมพันธ์ระหว่างสภาพครอบครัวกับ
การติดยาเสพติดในวัยรุ่น เป็นต้น ในการพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรว่ามีมากน้อยเพียงใดนั้น จะใช้
ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (Correlation coefficient) เป็นค่าท่ีวัดความสัมพันธ์ ซึ่งโดยวิธีการทางสถิติมีอยู่
หลายวิธี การใช้สถิติตัวใดขึ้นอยู่กับลักษณะของตัวแปรหรือระดับของการวัดในตัวแปรนั้นๆ ดังน้ัน
สัมประสทิ ธส์ิ หสมั พันธ์ จงึ มที ั้งแบบทเ่ี ปน็ สถติ พิ าราเมตรกิ และสถติ ินอนพาราเมตริก

ในการวัดความสัมพันธ์แต่ละแบบจะต้องมีการทดสอบนัยสำคัญก่อน จึงจะสรุปได้ว่าตัวแปรคู่ใดมี
ความสัมพันธ์กันจริงหรือไม่ มากน้อยเพียงใด สำหรับการแปลผลจะมองในแง่ของความเกี่ยวพัน ความ
สอดคล้อง การแปรผันร่วมกัน หรือไปด้วยกัน แต่ไม่ได้หมายความว่าตัวแปรหนึ่งเป็นเหตุและอีกตัวแปรเป็น
ผล (หรือไม่สามารถระบุได้ว่าตัวแปรไหนเป็นตัวแปรต้นหรือตัวแปรตาม) เช่น ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง
สว่ นสงู กบั น้ำหนกั เราไมส่ ามารถบอกได้ว่าสว่ นสูงหรือนำ้ หนักตัวใดเป็นเหตุ และตัวใดเปน็ ผล บอกได้เพียงว่า
มคี วามสมั พนั ธก์ นั หรือไม่ และมีขนาดของความสัมพนั ธก์ ันมากน้อยเพียงใด

ค่าสมั ประสิทธิส์ หสัมพันธ์ โดยท่ัวไปนยิ มใชส้ ัญลกั ษณ์ r แทนสมั ประสทิ ธิ์สหสัมพันธข์ องกลุ่มตวั อยา่ ง
(บางชนดิ จะใช้สัญลักษณ์ C, W หรอื อื่นๆ) และ  แทนสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของประชากร คา่ สมั ประสิทธ์ิ

สหสมั พนั ธ์ ท่ใี ช้วัดขนาดของความสัมพันธ์กนั ระหว่างตัวแปร มี 2 ลักษณะ คอื -1  r  1 และ 0  r  1

สตู รทใี่ ชใ้ นการหาค่าสัมประสิทธ์สิ หสัมพนั ธ์ (แบบเพียรส์ ัน) ดังน้ี

= ∑( − ̅ )( − ̅ )
หรอื √∑( − ̅ )2 ∑( − ̅ )2

= ∑ −∑ ∑

√[ ∑ 2 −(∑ )2][ ∑ 2−(∑ )2]