unit4-ความคล้าย.org (2)

4ควบามทคทลา้ ย

ทบทความเทา่ กนั ทุกประการกันและมรปูุมคสู่ทามส เมหนลยั ย กมันทขเ ทอง่ารกปู นั สทาุกมปเหระลกยามรทกงต็ส่ออเงมรอปู นดนา้ นมคีขู่ทนสามดนเทัยา่
วน กัน--เป-ร-ร-ปู็นรปู รปูสครูปสูปๆู่าสาสมาสมาเมาหเมหเมหลเหลเยหลยลมยลมย สมย สมอสมอสงอสงอรงอรปูงรปูงรปูเรปูทเูปทเ่าทเา่ทเกา่ทกา่นักา่นักันทกนัทันกุทกุทปุกทปกุ ปุกรประประรกะรกะากะากรากรแารแารบแรบแบบแบบบบบดบมา้ดุมมนา้ฉ-มุน-าด-ม-กา้มมุด-นุม-าด้ --นดา้ มดนา้-ุมนา้ด-นาด้ นา้ น

ทบทวนเสน้ ขนาน•ก•เ็ตกมรเ็ตอ่•อวมกเมอ่เขอเ ม็ตสมอเกเอมอ่ส้นองันอเเเ้นตมเมสสทตุมรอ้นน้ขง่าแรนตเกตมงยสบาเััดุมร้งส้นดงมมภเ1น้หขีขีขาส8อหนยนนน้0งนนงาามหตดดองอมุนตดัเงเกภททศงเดัแตาส่า่าาเลยกกดัสน้ ะใันันเน้ตมนสตรุมท้นงรภอคตงายู่หครยบู่งหู่นใคนนงนูห่ ขงทเนา้สอเงงสน้ เยดเน้ตตู่ สยี ตรร้นวงงรกคตขงนัาู้น่ครมงนู่นขคบนขอู่นนนงขนขเนาสา้ขนาง้นนนกเตดาันกนยีรันงวกกนั นั

4.1 รูปเรขาคณิตทค ลา้ ยกนั

จรขจงะรูปขนขงะมูปนรขาอมีขร่าดอางขีเนง่าดเงมตเนทงคาเมตอา่ทคดาครอพง่าดคอรทลพงอจิๆทงลาแ้ จิใๆงายาแ้ ตใชกรายกตชกณรต้กลกันณ้ตกลตอ่่านัาตง่าอ่ง่ารางอเงง่ารูปๆชอกเงาปูๆชร่นกหานัหร่าน่หนัหางา่ลราหขงลเาชรขหรอเยานชดุารองยนอา้กุดางอจาย้กหลงจยอห่าลมต่างอง่าทตมวา่อ้า่ทงทววีว้อง่าชทมว่าีวี งชดุมๆ่าีรีกดุๆีรูปงกรดรขูปงระดรอรงัขอะรถอา่ภบังองถง่าภบาาเตงเงงาคพาหเตเวัตงคพหรมวัเตน้อรรมเอื ้นอารงไอืนาใงไมนกชใกมก้็จชกเ้นัแ้หจ็ะเ้นัแกหะพลแกว้พลแา่บต้วกน่าบตกวาอ่ นนวแ่าา่อานมา่แจฟามมจฟมี ี ี ี

ความคลา้ ย

รูปเรขาคณติ สองรปู เปน็ รปู ทคลา้ ยกนั เมอ รปู
เรขาคณติ ทงสองนน มรี ูปร่างเหมอื นกัน โดยอาจมขี นาด
เทา่ กนั หรอื ตา่ งกนั กไ็ ด้

ภาพทม ขี นาดเท่ากนั
กบั รูปตน้ แบบ
ภาพยอ่

ภาพขยาย

A B รูป A และรูป B เนรูปทค ลา้ ยกนั หรือไม่ เพราะเหตุใด

คลา้ ยกนั เพราะ มีรปู รา่ งทเหมอื นกนั แตข่ี นาดตา่ งกนั
AB

ถา้ รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกบั รูปเรขาคณติ B จะ
เขยี นแทนด้วยญลกั ษณ์ ____A_~__B ___

AB

อา่ นว่า รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกบั รูปเรขาคณิต B

ใหน้ กั เรยี นพิจารณารปู เรขาคณติ สองมติ ติ ่อไปน

ก ขค งจ

จะเห็นไดว้ า่ รูป ก และรูป ง เป็นรปู ทค ลา้ ยกัน เพราะมีรปู ร่างเหมอื นกนั แตม่ ีขนาดทแตกตา่ งกนั
รปู ข และรปู ค เปน็ รูปทค ลา้ ยกนั เพราะ มีรูปร่างเหมอื นกัน และมีขนาดทเท่ากัน

นน คอื รปู เรขาคณิตสองรูปเปน็ รปู ทคลา้ ยกนั เมอ รปู เรขาคณิตทง สองนน มรี ูปร่างเหมอื นกนั
รูปเรขาคณติ ทค ลา้ ยกนั อาจจะมีขนาดทเ ท่ากันหรอื แตกต่างกันก็ได้

เมอ รูปเรขาคณติ A และรูปเรขาคณิต B เป็นปู ทค ลา้ ยกัน จะเขยี นวา่ รปู เรขาคณติ A ~ รปู
เรขาคณิต B อ่านว่า รูปเรขาคณิต A คลา้ ยกบั รูปเรขาคณิต B

-สมบตั ิของความคลา้ ย

1. สมบตั สิ ะท้อน : รปู เรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณติ A
2. สมบตั สิ มมาตร : ถา้ รูปเรขาคณิต A ~ รปู เรขาคณติ B

แลว้ รูปเรขาคณติ B ~ รปู เรขาคณิต A
3. สมบตั ิถา่ ยทอด : ถา้ รูปเรขาคณติ A ~ รปู เรขาคณิต B

และรปู เรขาคณติ B ~ รปู เรขาคณิต c
แล้วรปู เรขาคณิต A ~ รปู เรขาคณิต C

กจิ กรรม R

สำรวจรูปหลายเหลย มทค ลา้ ยกนั

S

D
C

A รูปท 1 B P Q

รูปท 2





กำหนดให้ ABCD และ PQRS เป็นรูปทคลา้ ยกนั

S

D 9
6
C 12 R
8 4 6

A 10 BP 15 Q

มุมคทู่ ส มนัยกัน คอื .......................................................................................
.......................................................................................

กำหนดให้ ABCD และ PQRS เปน็ รปู ทค ลา้ ยกนั

S

D 9
6
C 12 R
8 4 6

A 10 BP 15 Q

อตั ราสว่ นความยาวของดา้ นคทู่ สมนยั กัน

AB = CD =
PQ RS

BC = DA =
QR SP

กำหนดให้ ABCD และ PQRS เป็นรูปทคลา้ ยกัน

S

D 9
6
C 12 R
8 4 6

A 10 BP 15 Q

สรุปวา่ จากทก ำหนดให้ ABCD และ PQRS เปน็ รปู ทคลา้ ยกัน จะได้ว่า
1) ABCD กบั PQRS มีขนาดของมุมคูท่ ส มนัยกันเท่ากนั ทกุ คู่
2) อตั ราส่วนความยาวของดา้ นค่ทู สมนัยกนั เปน็ อตั ราสว่ นทเ ทา่ กัน

บทนิยาม

รปู หลายเหลย มสองรูปคลา้ ยกัน ก็ต่อเมอ รปู หลายเหลยมสองรปู นนมี
1) ขนาดของมมุ เท่ากนั เป็นคู่ ๆ ทกุ คู่
2) อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคทู่ สมนัยกันทกุ คเู่ ปน็ อัตราสว่ นทเ ท่ากนั

เมอ กล่าวถงึ รูปหลายเหลยมสองรูปทคลา้ ยกนั เราจะเขยี นจดุ ยอดทส มนัยกนั

ใหอ้ ยู่ในลำดบั เดยี วกนั เช่น มีรปู หา้ เหลย มรูป 1 คลา้ ยกบั รูปหา้ เหลย มรปู 2

ดงั รูป S
D

C R
ET

A B P รูปท 2 Q
รูปท 1

D S R
E
C
T

A B P รปู ท 2 Q
รปู ท 1

เราจะเขยี นว่า รปู ABCDE ~ รูป PQRST ซงหมายถงึ

1. มมุ คทู่ ส มนัยกนั มีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ ทุกค่ตู ามลำดบั คอื
^A = P^ , ^B = Q^ , ^C = ^R , ^D = ^S และ ^E = T^

2. อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคูท่ สมนยั กันทุกคู่เป็นอัตรราสว่ นทเทา่ กัน คอื

A_B = B_C = C_D = D_E = E_A

PQ QR RS ST TP

D S R
E
C
T

A B P รปู ท 2 Q
รปู ท 1

การเขยี นวา่ รปู ABCDE~รปู PQRST เปน็ การแสดงการจบั ค่รู ะหวา่ งมุมและดา้ นค่ทู สมนยั กัน ดังน
__
^A สมนัยกบั ^P และ A_B สมนัยกบั P_Q
^B สมนยั กบั ^Q
^C สมนัยกบั ^R B_C สมนยั กบั Q_R
C_D สมนยั กบั R_S
^D สมนัยกบั ^S
^E สมนัยกบั ^T D_E สมนัยกบั S_T

EA สมนัยกบั TP

จากตวั อยา่ งรูปหา้ เหลยมรปู 1 ทค ลา้ ยกบั รูปหา้ เหลยมรปู ท 2 ขา้ งตน้ ถา้ มีการเขยี น
เปน็ อยา่ งอน เช่น รปู ABCDE ~ รปู QRSTP อาจทำใหเ้ กดิ การบสนในการจบั คมู่ มุ คทู่ 
สมนัยกันและดา้ นทส มนัยกัน

ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาวา่ รปู ทกำหนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน เปน็ รปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่

1. รูปเหลยมผืนผา้ ABCD และรูปเหลยมผนื ผา้ PQRS S 7 R

D8 C

5 56 6

A8 B P 7Q

จากรูป จะเห็นไดว้ า่ ABCD และ PQRS .............................. ถึงแมว้ ่าจะมขี นาดของมมุ เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ

ทกุ คแู่ ตม่ ีอัตราสว่ นของความยาวของดา้ นทส มนัยกันอยา่ งนอ้ ยหนงคู่ ทไมเ่ ป็นอตั ราส่วนทเทา่ กัน

เชน่ B_C = _5
QR 6

ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาว่ารปู ทก ำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน เปน็ รปู ทค ลา้ ยกันหรอื ไม่

2. รปู เหลย มจตั รุ สั PQRS และรปู เหลย มขนมเปยี กปูน WXYZ

S |R Z || Y

|

|

||

||

P | QW || X

จากรปู จะเห็นได้ว่า PQRS และ WXYZ .............................. ถงึ แม้ว่าอตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคู่
ทสมนยั กนั ทุกคู่เปน็ อรั าสว่ นทเ ทา่ กนั แตม่ ีขนาดของมุมคทู่ สมนยั กันอยา่ งนอ้ ยหนงคทู่ ไ มเ่ ท่ากัน
เชน่ P^ ไมเ่ ทา่ กบั W^

ชวนคิด 4.3 2 ซ.ม. 4 ซ.ม.

นำกระเบอง 2 ซ.ม. และ 1 ซ.ม. มาวางต่อกนั ดงั รูป

1. จงหาวา่ มีรปู เหลยมกร ูปทคลา้ ยกบั 2 ซ.ม.
2. จงหาวา่ มีรปู เหลย มกรูปทค ลา้ ยกบั 2 ซ.ม.

4 ซ.ม.

1 ซ.ม.

ตัวอย่างท 1 ; จากรูปเหลยมดา้ นขนาน DUCK และรปู เหลยมดา้ นขนาน FISH

เป็นรูปเหลยมทค ลา้ ยกัน

F H

K C9

60• 4 120• S
U
D6 I6

ตวั อยา่ งท 1 ; จากรูปเหลยมดา้ นขนาน

DUCK และรูปเหลยมดา้ นขนาน FISH

เป็นรูปเหลยมทคลา้ ยกนั C คุณสมบัตขิ องเหลยมดา้ นขนาน

K - มีดา้ นตรงขา้ มขนานกันจำนวนสองคู่

60• 4 - มีดา้ นตรงขา้ มยาวเท่ากนั
U - มุมตรงขา้ มมีขนาดเท่ากนั
D6
H
F

9

120• S

I6

ตัวอยา่ งท 1 ; จากรูปเหลย มดา้ นขนาน 1. มมุ ค่ทู สมนัยกนั มขี นาดทเ ทา่ กันเป็นคู่ ๆ ทกุ คู่ คอื

DUCK และรูปเหลยมดา้ นขนาน FISH

เป็นรปู เหลย มทคลา้ ยกัน C 2. อตั ราส่วนของความหมายของดา้ นยาวของดา้ นคู่ทส มนัยกนั

K

60• 4 ทุกค่เู ปน็ อัตราส่วนทเ ท่ากัน
U
D6 DU = CK = 6 = 2
H FI SH 9 3
F UC = KD = 4 = 2
IS HF 6 3
9 DU = UC = CK = KD
FI IS SH HF

120• นนคอื DUCK ~ FISH

I6 S

ตวั อยา่ งท 2 ; จากรูปกำหนดให้รปู BROWN คลา้ ยกบั รปู FLASH จงหาขนาดของ
R^ , W^ , N^ , ^F , A^ และ ^H

O S H
W 50 ํ
150 ํ
A

N

140 ํ R 110 ํ F
B L

ตัวอยา่ งท 2 ; จากรูปกำหนดใหร้ ปู BROWN
คลา้ ยกบั รูป FLASH จงหาขนาดของ R^ , W^ ,
N^ , F^ , A^ และ H^

O
W 50 ํ

A

N

140 ํ SR H

B 150 ํ
A

110 ํ F
L

ตัวอยา่ งท 2 ; จากรูปกำหนดใหร้ ปู BROWN เนอ งจาก ผลรวมของขนาดมุมภายในทงหา้ มุมของ
คลา้ ยกบั รูป FLASH จงหาขนาดของ R^ , W^ ,
N^ , F^ , A^ และ H^ หา้ เหลย มเท่ากบั 540 ํ

O ผลรวมของขนาดมมุ ภายในทง มมุ ทท ราบเทา่ กบั
W 50 ํ
140 ํ + 110 ํ + 50 ํ + 150 ํ = 450 ํ
A จะได้ ขนาดของมมุ ทเ หลอื N^ = H^ = 540-450 = 90 ํ
ดังนน R^ = 110 ํ , W^ = 150 ํ , N^ = 90 ํ , ^F = 140 ํ
N
, A^ = 50 ํ และ ^H = 90 ํ
140 ํ SR H

B 150 ํ
A

110 ํ F
L

ตัวอย่างท 2 ; จากรูปกำหนดให้รูปเหลย ม ABCD คลา้ ยกบั รปู เหลยม KLMN

จงหา 1) จงหาอัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส มนัยกนั

2) คา่ ของ x , y และ z

3) ความยาวรอบรปู องรปู เหลยมทงสองรูป

4) อตั ราส่วนของความยาวรอบรูปทง สองรูป M

D C 40 32
yN 24 L
10
A 20 z

xB K

ตัวอยา่ งท 2 ; จากรปู กำหนดใหร้ ูปเหลย ม

ABCD คลา้ ยกบั รูปเหลย ม KLMN 1) จงหาอัตราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ส มนยั กัน
2) คา่ ของ x , y และ z
จงหา C

y

D M
20

10

Ax B

40

N
32

z

K 24 L

ตวั อย่างท 2 ; จากรปู กำหนดให้รูปเหลยม

ABCD คลา้ ยกบั รูปเหลย ม KLMN

จงหา C 3) ความยาวรอบรูปองรปู เหลยมทง สองรูป
4) อัตราส่วนของความยาวรอบรูปทงสองรูป
y

D M
20

10

Ax B

40

N
32

z

K 24 L

แบบฝกึ หัดท 4.1

1. รปู Dเหลยมใ6นแต่ละขC้อตอ่ ไปนเป็นรูปทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

6
6

A 6Z B
4 4

W Y
4 4

X

แบบฝกึ หัดท 4.1

1. รูปGเหลยมใ7นแต่ละข้อNต่อไปนเปน็ รูปทคลา้ ยกันหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

55
L 7O
K 8C
66
B 8A

แบบฝกึ หัดท 4.1

2. รูปสามเหลย มดา้ นเท่าสองรปู ใด ๆ เป็นรปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

3. รูปสามเหลย มหนา้ จวสองรปู ใด ๆ เป็นรปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

4. รูปเหลย มจตั รุ ัสสองรูปใด ๆ เปน็ รปู ทค ลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.15. รูปเหลย มขนมเปยี กปูนสองรปู ใด ๆ เป็นรปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

6. รูปหกเหลยมดา้ นเทา่ สองรปู ใด ๆ เป็นรปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

7. รูปหกเหลย มดา้ นเทา่ มุมเทา่ สองรปู ใด ๆ เปน็ รูปทค ลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

8. รปู เหลย มสองรปู ทมี ีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากนั เป็นรปู ทคลา้ ยกันหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หดั ท 4.1

9. รูปสามเหลยมสองรูปใด ๆ มีพนทเ ท่ากนั เป็นรปู ทคลา้ ยกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

แบบฝกึ หัดท 4.1
10. จากรปู กำหนดให้ RICH~
BANK จงหาขนาดของมุมทุกมมุ ทไ มไ่ ด้ระบไุ ว้ในรูป
HC

80 ํ I
R
K N
120 ํ

65 ํ
BA

แบบฝกึ หัดท 4.111. จากรูป กำหนดให้

จงหา
COLD ~ WARM

1) ขนาดของ A^ และ C^

2) ความยาวของดา้ น LD และความยาวของดา้ น MW
3) อตั ราส่วนของควDามยาวรอบรปู ของรปู เหลยมทงสองรปู

L M6
15 R

70 ํ

C 12 O W 8 A

แบบฝกึ หดั ท 4.112.21))จาถขกนา้ ราAปู _ดBขรอยปู งามวเุแหตxลล่หย ะมนมคว่ มุ ยาขงอแหงลมรวู้ทูปกุC_รDเูปหยเลปาย็นวมกรคหูปานทงหว่ค ยมลูา้ AยBกCันDจงหา
A
B

D
C

4.2 รปู สามเหลยมทค ลา้ ยกัน

ลจรสขนนงะกัปู รนขยิมษา้รมาอาขีง่าดณมางหเนงเกมตขทลคะางำออ่าดเกคงัรหปพงงคออ่ทลรนน็ิจๆงาสาแ้ปู ใดารยรตใชกหรเูปา้กนปณ้ตกลลงนัสหหตอ่็นา่าาางัวงย่าลรเมขอเงงปูเๆาชอเหก้อายหรน่นหันทหลอ่าลไาผยงลยยรขหข่ามเาา่ ชมรเอนยนงทพดุาทรงอมา้คกออคจยาหลพลบงลอนา่ มตาา่้ิจาง้ทกัยว้อา่าทยๆวีวเกงรชรกมา่ี ณันดุยีๆันรีกตนูปางเรดัวรขครไะรอเเงัาอดชวรถา่ภบสางาน่ง้ศาาเมตมาเกงึคพหมีสลัวตษรหมาเา้ว่น้อรรานอยืนางถไเนกา้ใกปมนกจชนักย ร้จ็ำว้เันแขวะหบบะอกกกพลาท้แบงั้วอนา่รบนตกบบนูปโวยิาอ่ ททคนแา่าามรมจฟมมงีี ี
สามเหลยม ดังน

F

C

E

BD
A

จากบทนยิ ามของรปู หลายเหลย มทค ลา้ ยกัน ABC ~ DEF กต็ อ่ เมอ
1. A^ = D^ , B^ = E^ และ C^ = ^F

และ 2. A_B = B_C = C_A
DE EF FD

รปู สามเหลยมสองรปู จะเปน็ รูปสามเหลย มทค ลา้ ยกัน เมอ เป็นจริงตามเงอ นไข

ขอ้ ใดขอ้ หนงตอ่ ไปน G
1) เปน็ รูปสามเหลย มทม มี ุมเท่ากนั สามคู่

B

A CE F
เนอ งจาก A^ = E^ , B^ = G^ และ C^ = ^F

ดังนน รปู สามเหลย ม ABC และรูปสามเหลย ม EFG เป็นรูปสามเหลยมทคลา้ ยกนั