บทเรียนสำเร็จรูปคณิตศาสตร์

เฉลยแบบฝกึ หดั

เรอ่ื ง กำรหำตวั ประกอบรว่ ม

เฉลยคำตอบข้อ ก. ถูกตอ้ ง

ก. 6 2

กำรหำตวั ประกอบรว่ ม

จงหำตัวประกอบรว่ มของ 5 2 และ 15x
วิธีทำ แยกตวั ประกอบของ 5 2 = 5

และ 15 2 = 3 5
ตัวประกอบร่วมของ 5 2 และ 15x คอื (5)( ) = 5

แบบฝึกหัด

เลอื กคำตอบท่ถี ูกต้องท่ีสดุ เพียงขอ้ เดียว

ขอ้ ใดเป็นกำรแยกตวั ประกอบของ 5 2 และ 15

ก. 5 2
ข. 5x

เฉลยแบบฝึกหัด

เรื่อง กำรหำตวั ประกอบรว่ ม

เฉลยคำตอบข้อ ข. ถูกตอ้ ง

ข. 5x

กำรหำตัวประกอบรว่ ม

จงหำตัวประกอบรว่ มของ 14 3, 8 2 และ 10
วิธีทำ แยกตวั ประกอบของ 14 3 = 2 (7)( )

8 2 = 2 2 2

และ 10 = 2 (5)( )
ตัวประกอบรว่ มของ 14 3, 8 2 และ 10 คือ (2)( ) = 2

แบบฝึกหัด

เลือกคำตอบท่ถี กู ต้องที่สดุ เพยี งข้อเดยี ว

ขอ้ ใดเปน็ กำรแยกตัวประกอบของ 14 3, 8 2 และ 10

ก. 2 2
ข. 2x

เฉลยแบบฝึกหัด

เร่อื ง กำรหำตัวประกอบรว่ ม

เฉลยคำตอบขอ้ ข. ถูกตอ้ ง

ข. 2x

ขัน้ ตอนกำรแยกตัวประกอบพหุนำม

โดยใช้สมบัติกำรแจกแจง

ข้นั ที่ 1 หำตัวประกอบรว่ มของพหนุ ำม

แบบฝึกหัด

เลือกคำตอบท่ถี กู ตอ้ งทส่ี ุดเพียงข้อเดยี ว

ขอ้ ใดเป็นข้นั ที่ 1 ของกำรแยกตวั ประกอบพหนุ ำม
โดยใช้สมบตั ิกำรแจกแจง

ก. หำตวั ประกอบรว่ มของพหุนำม
ข. ใชส้ มบัติกำรแจกแจงดงึ ตัวประกอบรว่ มออกมำนอกวงเลบ็

เฉลยแบบฝึกหัด

เรื่อง ขน้ั ตอนกำรแยกตัวประกอบพหนุ ำม โดยใช้สมบตั ิกำรแจกแจง

เฉลยคำตอบข้อ ก. ถูกต้อง

ก. หำตัวประกอบรว่ มของพหนุ ำม

กำรแยกตัวประกอบพหุนำม โดยใชส้ มบตั กิ ำรแจกแจง

ข้นั ที่ 2 ใช้สมบตั กิ ำรแจกแจงดงึ ตวั ประกอบร่วม
ออกมำนอกวงเล็บ

แบบฝึกหัด

เลือกคำตอบท่ถี กู ตอ้ งทส่ี ุดเพียงข้อเดยี ว

ขอ้ ใดเป็นข้นั ที่ 2 ของกำรแยกตวั ประกอบพหนุ ำม
โดยใช้สมบตั ิกำรแจกแจง

ก. หำตวั ประกอบรว่ มของพหุนำม
ข. ใชส้ มบัติกำรแจกแจงดงึ ตัวประกอบรว่ มออกมำนอกวงเลบ็

เฉลยแบบฝึกหัด

เร่ือง ขัน้ ตอนกำรแยกตวั ประกอบพหนุ ำม โดยใชส้ มบตั กิ ำรแจกแจง

เฉลยคำตอบข้อ ข. ถูกต้อง

ข. ใชส้ มบตั กิ ำรแจกแจงดึงตัวประกอบร่วม
ออกมำนอกวงเลบ็

กำรแยกตวั ประกอบพหุนำม โดยใชส้ มบตั กิ ำรแจกแจง

จงแยกตวั ประกอบของ 15 2 + 30
วิธีทำ หำตวั ประกอบรว่ มของ 15 2 + 30

15 2 = 3 (5)

และ 30 = 2 (3)(5)( )
ตัวประกอบร่วมของ 15 2 และ 30 คอื (3)(5)( ) = 15
ดงั นนั้ 15 2 + 30 = 15 + 15 2 = 15 ( + 2)
ตอบ 15 2 + 30 = 15 ( + 2)

ขอ้ สงั เกต : 15 เปน็ ตวั ประกอบรว่ มของ 15 2 + 30 เรำจงึ ต้องดึง 15 ออกมำนอกวงเลบ็

แบบฝึกหดั

เลือกคำตอบทีถ่ กู ตอ้ งที่สดุ เพยี งข้อเดียว

ขอ้ ใดเปน็ กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม 15 2 + 30

ก. 5x(3x - 6)
ข. 5x(3x + 6)

เฉลยแบบฝกึ หัด

เรื่อง กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำม

เฉลยคำตอบข้อ ข. ถกู ต้อง

ข. 5x(3x + 6)

กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม

จงแยกตัวประกอบของ 3 + 4 2
วิธที ำ หำตัวประกอบร่วมของ 3 + 4 2

3 = (3)( )( )

และ 4 2 = (2)(2)( )( )
ตวั ประกอบรว่ มของ 3 และ 4 คือ
ดงั นั้น 3 + 4 2 = ( )(3 ) + ( )(4 )

= (3 + 4 )

ตอบ 3 + 4 2 = (3 + 4 )

แบบฝึกหัด

เลอื กคำตอบทีถ่ กู ต้องที่สุดเพยี งข้อเดียว

ขอ้ ใดเป็นกำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม 3 + 4 2

ก. x(3y – 4x)
ข. x(3y + 4x)

เฉลยแบบฝกึ หดั

เรอ่ื ง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม

เฉลยคำตอบขอ้ ข. ถกู ต้อง

ข. x(3y + 4x)

กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม

จงแยกตัวประกอบของ −9 2 + 18
วธิ ีทำ 9 2 = 3 3 y y z
และ 18 = (2)(3)(3)( )( )
ตวั ประกอบร่วมของ 9 2 และ 18 คือ 9
ดงั นั้น −9 2 + 18 = 9 − + 9 2 = 9 (− + 2)
ตอบ −9 2 + 18 = 9 (− + 2)

แบบฝกึ หดั

เลือกคำตอบท่ีถูกตอ้ งทสี่ ดุ เพยี งข้อเดยี ว

ขอ้ ใดเป็นกำรแยกตัวประกอบของพหุนำม −9 2 + 18

ก. 9yz(-y+2)
ข. 9yz(y+2)

เฉลยแบบฝกึ หัด

เร่ือง กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำม

เฉลยคำตอบข้อ ก. ถกู ต้อง

ก. 9yz(-y+2)

พหนุ ำมดีกรีสองตัวแปรเดียว

พหนุ ำมดกี รีสองตวั แปรเดยี ว หรือเรยี กอกี อย่ำง
หนึง่ ว่ำ พหุนำมกำลงั สอง (quadratic polynomial)
คือ พหุนำมทเี่ ขียนได้ในรปู แบบ 2 + + เมือ่ , ,
เป็นคำ่ คงตัวท่ี ≠ 0 และ เป็นตวั แปร

แบบฝึกหดั

จงใส่เครื่องหมำยถกู ✓ หรือ ผดิ  หน้ำข้อควำมให้ถูกตอ้ ง

………….พหนุ ำมดีกรสี องตัวแปรเดียว เรยี กอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ
พหนุ ำมกำลงั สอง

………….พหนุ ำมดกี รสี องตวั แปรเดยี ว คอื พหนุ ำมท่เี ขียน
ได้ในรปู แบบ 2 + + เมอ่ื , , เป็น
ค่ำคงตวั ที่ ≠ 0 และ เปน็ ตัวแปร

เฉลยแบบฝึกหดั

เรอ่ื ง พหุนำมดีกรีสองตวั แปรเดยี ว

เฉลยคำตอบ

✓ พหนุ ำมดีกรีสองตวั แปรเดียว เรียกอกี อย่ำงหนึง่ ว่ำ
พหนุ ำมกำลงั สอง

✓ พหนุ ำมดีกรสี องตวั แปรเดียว คือ พหนุ ำมท่เี ขยี น
ได้ในรูปแบบ 2 + + เมือ่ , , เปน็
ค่ำคงตวั ท่ี ≠ 0 และ เป็นตวั แปร

กรอบเน้ือหำ
กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำมดกี รีสองในรูป 2 + +

เมอื่ , เป็นจำนวนเต็ม และ = 0

กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำมดีกรสี องในรปู 2 + +
เม่อื , เปน็ จำนวนเตม็ และ = 0

จงแยกตวั ประกอบของ 6 2 − 30
วิธที ำ หำตัวประกอบรว่ ม 6 2 และ 30

6 2 = 2 3

และ 30 = (2)(3)(5)( )
ตวั ประกอบรว่ มของ 6 2 และ 30 คอื 6
ดังนั้น 6 2 − 30 = 6 − 6 5 = 6 ( − 5)
ตอบ 6 2 − 30 = 6 ( − 5)

แบบฝกึ หัด

จับคู่คำตอบของกำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมแตล่ ะขอ้ ใหถ้ ูกตอ้ ง

………...6 2 − 30 ก. 6x(x-5)
…………10 2 − 20 ข. 10x(x-2)

เฉลยแบบฝกึ หัด

เรอ่ื ง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดกี รีสองในรูป
2 + + เมอ่ื , เป็นจำนวนเต็ม และ = 0

เฉลยคำตอบ

ก. 6 2 − 30
ข. 10 2 − 20

ในกรณี = 0 พหนุ ำมดกี รสี องตวั แปรเดยี วจะอยใู่ นรปู 2 +
เรำสำมำรถใช้สมบัตแิ จกแจงแยกตวั ประกอบของพหุนำม
ในรูปนี้ได้ในลักษณะเดยี วกบั ท่ีกล่ำวมำแล้วในกรอบเนื้อหำทผ่ี ่ำนมำ

กรอบเนอ้ื หำ
กำรแยกตวั ประกอบของพหุนำมดีกรสี องในรูป 2 + +

เมือ่ = 1, และ เป็นจำนวนเต็ม และ ≠ 0

กำรแยกตวั ประกอบของพหุนำม

พจิ ำรณำกำรคูณพหนุ ำม

( + )( + ) = 2 + + +
= 2 + + +

เมอื่ เทียบกับรปู 2 + +
จะพบวำ่ = + และ =
นน่ั คอื พหนุ ำม 2 + +
จะสำมำรถแยกตัวประกอบได้เป็น ( + )( + )
เม่อื + = และ =

แบบฝึกหัด

จงใสเ่ ครื่องหมำยถูก ✓ หรือ ผิด  หนำ้ ข้อควำมให้ถูกต้อง

……………เมื่อเทยี บกับรปู 2 + + จะพบวำ่
= + และ =

…………….พหนุ ำม 2 + + ไมส่ ำมำรถแยกตวั ประกอบ
ไดเ้ ปน็ ( + )( + ) เมือ่ + =
และ =

เฉลยแบบฝึกหัด

เร่อื ง กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำม

เฉลยคำตอบ

✓ เมอื่ เทยี บกบั รปู 2 + +
จะพบว่ำ = + และ =

 พหุนำม 2 + + ไมส่ ำมำรถแยกตวั ประกอบ
ไดเ้ ป็น( + )( + ) เมื่อ + = และ =

พหุนำมดีกรีสองตวั แปรเดยี ว

ยกตวั อยำ่ งพหนุ ำมดีกรีสองตัวแปรเดยี ว เช่น

2 + 5 + 6 ( = 1, = 5, = 6)
2 − 25 ( = 1, = 0, = −25)
− 2 + 2 − 7 ( = −1, = 2, = −7)

แบบฝกึ หัด

จับคคู่ ำตอบในแต่ละขอ้ ใหถ้ ูกตอ้ ง

……………. 2 − 25
…………….. − 2 + 2 − 7
…………….. 2 + 5 + 6

ก. a=1, b=0, c=-25
ข. a=1, b=5, c=6
ค. a=-1, b=2, c=-7

เฉลยแบบฝกึ หัด

เรอ่ื ง พหนุ ำมดกี รสี องตวั แปรเดยี ว

เฉลยคำตอบ

ก. 2 − 25
ค. − 2 + 2 − 7
ข. 2 + 5 + 6

กำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมกับกำรคูณ

กำรแยกตัวประกอบสำมำรถทำไดโ้ ดยวธิ ีทำยอ้ นกลับของกำรคูณ

+ 1 + 2 = + 1 + + 1 2
= ( )( ) + (1)( ) + (2)( ) + (1)(2)
= 2 + + 2 + 2
= 2 + 3 + 2

พจนก์ ลำงเกดิ จำกกำรบวกของ 1 กบั 2
และพจน์หลงั เกดิ จำกกำรคณู ของ 1 กบั 2

แบบฝกึ หัด

จงใส่เคร่ืองหมำยถูก ✓ หรอื ผดิ  หน้ำขอ้ ควำมใหถ้ ูกตอ้ ง

………… ( + 1)( + 2) = 2 + 3 + 2

พจน์กลำงเกดิ จำกกำรบวกของ 1 กบั 2

………… ( + 1)( + 2) = 2 + 3 + 2

พจนห์ ลังเกดิ จำกกำรคณู ของ 1 กับ 2

เฉลยแบบฝึกหดั

เรื่อง กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำมกับกำรคณู

เฉลยคำตอบ

✓ ( + 1)( + 2) = 2 + 3 + 2

พจนก์ ลำงเกดิ จำกกำรบวกของ 1 กบั 2

✓ ( + 1)( + 2) = 2 + 3 + 2

พจน์หลังเกดิ จำกกำรคณู ของ 1 กบั 2

วิธกี ำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมดีกรีสองในรูป 2 + +
เมอ่ื = 1, และ เป็นจำนวนเต็ม และ ≠ 0

หำจำนวนเต็มสองจำนวน
ที่บวกกนั ไดพ้ จนก์ ลำง
และคณู กันได้พจน์หลงั

แบบฝึกหดั

เลือกคำตอบทีถ่ ูกต้องทสี่ ุดเพียงข้อเดียว

ขอ้ ใดเป็นวิธกี ำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมดกี รสี องในรปู 2 + +
เมอ่ื = 1, และ เป็นจำนวนเตม็ และ ≠ 0
ก. หำจำนวนเตม็ สองจำนวนท่บี วกกันไดพ้ จน์กลำงและคณู กันไดพ้ จน์หลัง
ข. หำจำนวนเต็มสองจำนวนทค่ี ณู กนั ได้พจน์กลำงและบวกกันไดพ้ จนห์ ลัง

เฉลยแบบฝึกหัด

เรอ่ื ง วิธีกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดกี รสี องในรปู 2 + +
เมอื่ = 1, และ เปน็ จำนวนเต็ม และ ≠ 0

เฉลยคำตอบขอ้ ก. ถูกต้อง

ก. หำจำนวนเต็มสองจำนวนที่บวกกัน
ได้พจน์กลำงและคณู กนั ได้พจนห์ ลงั

วธิ กี ำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมดีกรีสองในรูป 2 + +
เม่ือ = 1, และ เป็นจำนวนเตม็ และ ≠ 0

จงแยกตัวประกอบของ 2 + 4 − 5

ขน้ั ท่ี 1 เพื่อทจ่ี ะแยกตัวประกอบของ 2 + 4 − 5 ตอ้ งหำไดว้ ำ่ ตวั เลข 2 ตัวใด
เป็น และ ทม่ี ีผลบวกเท่ำกบั 4

แยกตัวประกอบของ -5 หำผลบวกของตัวประกอบ
1, -5 1 + (-5) = -4 ()
-1, 5 (-1) + 5 = 4 (✓)

ข้นั ที่ 2 นำตวั ประกอบทมี่ ผี ลบวกเทำ่ กับ 4 น้นั มำใสใ่ นตวั ประกอบทั้งสองวงเล็บ

ดังน้นั 2 + 4 − 5 = ( + 5)( − 1)

แบบฝกึ หัด

ลำดบั ขั้นตอนกำรแยกตวั ประกอบใหถ้ ูกต้อง

ขน้ั ตอนกำรแยกตัวประกอบของ 2 + 4 − 5
…………….. นำตวั ประกอบทมี่ ีผลบวกเทำ่ กับ 4 นั้นมำใสใ่ น

ตวั ประกอบท้ังสองวงเลบ็
……………... เพอื่ ทจ่ี ะแยกตัวประกอบของ 2 + 4 − 5

ต้องหำไดว้ ่ำตวั เลข 2 ตวั ใดเปน็ s และ t
ท่ีมีผลบวกเท่ำกับ 4
ก. ขนั้ ที่ 1
ข. ขัน้ ที่ 2

เฉลยแบบฝึกหัด

เรือ่ ง วธิ กี ำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำมดีกรีสองในรปู 2 + +
เมอ่ื = 1, และ เป็นจำนวนเต็ม และ ≠ 0

เฉลยคำตอบ

ข. นำตวั ประกอบท่ีมีผลบวกเท่ำกบั 4 น้ันมำใสใ่ น
ตวั ประกอบทง้ั สองวงเล็บ

ก. เพ่อื ทจ่ี ะแยกตวั ประกอบของ 2 + 4 − 5
ตอ้ งหำไดว้ ำ่ ตัวเลข 2 ตวั ใดเปน็ s และ t
ที่มีผลบวกเทำ่ กับ 4

วิธกี ำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมดกี รสี องในรูป 2 + +
เม่ือ = 1, และ เปน็ จำนวนเตม็ และ ≠ 0

จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 4 − 5
ใส่เครือ่ งหมำยเหมอื นกัน

2 + 4 − 5 = ( + 5)( − 1)

(+5)(-1) = (-5)

ข้อสังเกต ในกำรนำเครื่องหมำยและตัวประกอบทมี่ ีผลบวกเท่ำกบั พจนก์ ลำงมำใส่วงเลบ็

แบบฝกึ หัด

จงใสเ่ คร่ืองหมำยถูก ✓ หรือ ผดิ  หน้ำขอ้ ควำมใหถ้ ูกต้อง

………… 2 + 4 − 5 = − 5 + 1
………… 2 + 4 − 5 = + 5 − 1

เฉลยแบบฝึกหดั

เร่ือง กำรแยกตัวประกอบของพหนุ ำม

เฉลยคำตอบ

 2 + 4 − 5 = − 5 + 1
✓ 2 + 4 − 5 = + 5 − 1

วิธีกำรแยกตวั ประกอบของพหนุ ำมดกี รสี องในรปู 2 + +
เมือ่ = 1, และ เป็นจำนวนเต็ม และ ≠ 0

จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 9 + 14
แยกตวั ประกอบของ 14 หำผลบวกของตัวประกอบ

1, 14 1 + 14 = 15 ()
2, 7 2 + 7 = 9 (✓)

ใสเ่ ครอื่ งหมำยเหมือนกนั
2 + 9 + 14 = ( + 2)( + 7)

(2)(7) = 14

ตอบ 2 + 9 + 14 = ( + 2)( + 7)

แบบฝกึ หดั

เลือกคำตอบท่ีถกู ต้องทส่ี ดุ เพียงข้อเดยี ว

ขอ้ ใดเป็นกำรแยกตวั ประกอบของ 2 + 15 + 14

ก. (x+1)(x+14)
ข. (x+2)(x+7)