ຄະນິດສາດ ການເງິນ ນະຄອນຫຼວງວຽງຈັນ 2022
ຄະນິດສາດການເງິນ i ສາລະບານ ບົດທີ 1 ມູນຄ່າຂອງເງິນຕາມເວລາ 1 1.1 ອັດຕາດອກເບ້ຍ 1 1.1.1 ການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ມີທັງອັດຕາການເພີີ່ມຂ ື້ນ ແລະ ອັດຕາການຫຼຼຸດລົງ 1 1.1.2 ອັດຕາດອກເບ້ຍ 2 1.1.3 ອັດຕາດອກເບ້ຍທາງດຽວທຽບເທົົ່າອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 6 1.2 ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ 7 1.3 ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ແລະ ກໍາລັງດອກເບ້ຍ 9 1.4 ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ແລະ ເງິນຝືດ 14 1.4.1 ພາວະເງິນເຟ ີ້ 15 1.4.2 ພາວະເງິນຝືດ 16 1.4.3 ການວັດຄ່າຂອງເງິນ 17 1.4.4 ອັດຕາຈິງຂອງດອກເບ້ຍ 18 ບົດເຝ ກຫັດ 1 20 ບົດທີ 2 ການຈ່າຍແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ແລະ ຄ່າລາຍງວດ 25 2.1 ແບບຈໍາລອງການຈ່າຍແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 25 2.2 ຄ່າລາຍງວດ 27 2.2.1 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕົື້ນງວດ 28 2.2.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍທ້າຍງວດ 29 2.2.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 32 2.2.4 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປ 34 2.2.5 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍປ່ຽນແປງ 35 2.3 ຄ່າລາຍງວດອັດຕາຮາບ 40 ບົດເຝ ກຫັດ 2 41 ບົດທີ 3 ສ່ວນຫຼຼຸດ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 45 3.1 ສ່ວນຫຼຼຸດ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 45 3.2 ປະເພດຂອງອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 45 3.3 ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ 47 3.4 ວິທີເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ 51 ບົດເຝ ກຫັດ 3 53 ບົດທີ 4 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍບ ໍ່ກົງງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ 57 4.1 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດທໍາອິດບ ໍ່ຄົບງວດ 57 4.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຫຼາຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ 58 4.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍນ້ອຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ 59 4.4 ຄ່າລາຍງວດໆ ສຸດທ້າຍຈ່າຍບ ໍ່ປົກກະຕິ 61 ບົດເຝ ກຫັດ 4 63 ບົດທີ 5 ການຊໍາລະໜີື້ 65 5.1 ການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີຕັດຈ່າຍ 65
ຄະນິດສາດການເງິນ ii 5.1.1 ຫຼັກພ ື້ນຖານຂອງການຊໍາລະໜີື້ 65 5.1.2 ການຊໍາລະໜີື້ 66 5.1.3 ຕາຕະລາງການຊໍາລະໜີື້ 67 5.1.4 ການຄໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ 68 5.2 ການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີເງິນຕົື້ນທ ນສະສົມ 72 ບົດເຝ ກຫັດ 5 76 ບົດທີ 6 ການນໍາໃຊ້ຄະນິດສາດການເງິນ 1: ການປະເມີນລາຄາສິນຊັບໃນຕະຫຼາດທ ນ 79 6.1 ຜົນຕອບແທນ ແລະ ການປະເມີນລາຄາຕາສານທ ນ 79 6.2 ຜົນຕອບແທນ ແລະ ການປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ 81 ບົດເຝ ກຫັດ 6 91 ບົດທີ 7 ການນໍາໃຊ້ຄະນິດສາດການເງິນ 2: ຄ່າລາຍງວດປະກັນຊີວິດ 93 7.1 ພ ື້ນຖານຄ່າກະຕວງ 93 7.2 ຄ່າກະຕວງຂອງຊີບ ແລະ ຕາຕະລາງຊີບ 94 7.2.1 ຕາຕະລາງຊີບ 94 7.2.2 ການຢູ່ລອດຂອງຄົນ 2 ຄົນໃດໆ 96 7.2.3 ຕໍາລາການຢູ່ລອດ 97 7.3 ຄ່າລາຍງວດປະກັນຊີວິດ 98 7.3.1 ການປະກັນຊີວິດແບບສະສົມຊັບ 98 7.3.2 ການປະກັນຊີວິດແບບຕະຫຼອດຊີບ 101 7.3.3 ການປະກັນຊີວິດແບບເງິນໄດ້ປະຈໍາ ຫຼ ເງິນລາຍປ ຫຼ ແບບບໍານານ 101 7.3.4 ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດການປະກັນແບບເງິນໄດ້ປະຈໍາຈ່າຍທັນທີ 102 7.3.5 ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດການປະກັນແບບເງິນໄດ້ປະຈໍາເລ ີ່ອນຈ່າຍ 103 7.3.6 ປະກັນເງິນໄດ້ປະຈໍາແບບຈ່າຍຊົົ່ວຄາວ 104 7.3.7 ປະກັນເງິນໄດ້ປະຈໍາແບບເວັື້ນການຈ່າຍຊົົ່ວຄາວຕົື້ນງວດ 106 7.3.8 ປະກັນແບບມີເງິນໄດ້ຈ່າຍຕະຫຼອດໄປ ເຊິີ່ງມີການແບ່ງຊໍາລະເບ້ຍປະກັນ n 107 ບົດເຝ ກຫັດ 7 108 ບົດທີ 8 ການນໍາໃຊ້ຄະນິດສາດການເງິນ 3: ຕົວແບບໃນການກໍານົດອັດຕາປະກັນໄພດ້ວຍວິທີ Myer-Cohn 111 8.1 ມູນຄ່າປະຈຸບັນສຸດທິ ແລະ ອັດຕາຜົນຕອບແທນພາຍໃນ 111 8.2 ຕົວແບບ Myer-Cohn 114 8.3 ມູນຄ່າປະຈຸບັນສຸດທິຂອງລາຍໄດ້ ແລະ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 117 ບົດເຝ ກຫັດ 8 124 ເອກະສານອ້າງອີງ 125
ຄະນິດສາດການເງິນ 1 ບົດທີ 1 ມູນຄ່າຂອງເງິນຕາມເວລາ ມູນຄ່າຂອງເງິນຕ້ອງປ່ຽນແປງໄປຂ ື້ນຢູ່ກັບຫຼາຍປັດໄຈ, ແຕ່ລະປັດໄຈທີີ່ສໍາຄັນປະການໜ ີ່ງຄ : ເວລາ. ເງິນຈໍາ ນວນໜ ີ່ງໆ ສາມາດນໍາໄປລົງທ ນໃນທຸລະກິດເພ ີ່ອເຮັດໃຫ້ເງິນນັື້ນມີຈໍານວນຫຼາຍຂ ື້ນໄດ້ ເມ ີ່ອເວລາຜ່ານໄປ ໂດຍ ເງິນເລີີ່ມຕົື້ນເອີື້ນວ່າ: ເງິນຕົື້ນທ ນ (Principle) ແລະ ເງິນທີີ່ເພີີ່ມຂ ື້ນຈາກເງິນຕົື້ນທ ນ ເມ ີ່ອເວລາຜ່ານໄປຊ່ວງໜ ີ່ງ ເອີື້ນວ່າ: ຜົນຕອບແທນ ຫຼ ດອກເບ້ຍ (Interest) ແລະ ຜົນລວມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍທີີ່ໄດ້ຮັບ ເອີື້ນ ວ່າ: ເງິນສະສົມ ຫຼ ມູນຄ່າສະສົມ (Accumulated Value) ແລະ ເອີື້ນອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງດອກເບ້ຍທີີ່ໄດ້ຮັບກັນ ເງິນຕັື້ນວ່າ: ອັດຕາຜົນຕອບແທນ ຫຼ ອັດຕາດອດເບ້ຍ (Interest Rate) ເຊິີ່ງເວົື້າໄດ້ວ່າ: ມູນຄ່າຂອງເງິນຈາກ ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງນັື້ນປ່ຽນແປງໄປຕາມເວລາ. ດັົ່ງນັື້ນ, ນັກວິເຄາະທາງການເງິນຈ ີ່ງຈໍາເປັນທີີ່ຕ້ອງເຂົື້າໃຈແນວຄວາມ ຄິດຂອງມຸນຄ່າຂອງເງິນຕາມເວລາ ເຊ ີ່ງຈະເປັນເຄ ີ່ອງມ ທີີ່ຊ່ວຍໃຫ້ການວິເຄາະມີປະສິດທິພາບສູງຂ ື້ນ. 1.1 ອັດຕາດອດເບ້ຍ 1.1.1 ການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ມີທັງອັດຕາການເພີີ່ມຂ ື້ນ ແລະ ອັດຕາການຫຼຼຸດລົງ ໃນຄວາມເປັນຈິງການລົງທ ນຕ້ອງມີທັງກໍາໄລ (ເຮັດໃຫ້ເງິນຕົື້ນທ ນເພີີ່ມຂ ື້ນ) ແລະ ຂາດທ ນ (ເຮັດໃຫ້ເງິນ ຕົື້ນທ ນຫຼຼຸດລົງ) ເຊິີ່ງສາມາດຄິດໄລ່ຈໍານວນເງິນສະສົມທີີ່ໄດ້ຈາກການລົງທ ນດັົ່ງກ່າວໄດ້ຈາກສູດຕ ໍ່ໄປນີື້: ສົມມຸດ ໃຫ້ເງິນການລົງທ ນດ້ວຍທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ P0 ກີບ ແລະ ລົງທ ນຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ m n + ຄັື້ງ ໂດຍມີອັດຕາ ເພີີ່ມ 1 2 , , ..., n x x x (ລົງທ ນໄດ້ກໍາໄລ m ຄັື້ງ) ແລະ ອັດຕາຫຼຼຸດ 1 2 , , ..., n y y y (ລົງທ ນໄດ້ກໍາໄລ n ຄັື້ງ) ຈໍານວນເງິນຄົງເຫຼ ອ ເມ ີ່ອສິື້ນສຸດການລົງທ ນຄັື້ງທີີ່ m n + ເທົົ່າກັບ (1 1 ... 1 1 1 ... 1 + + + + + + x x x y y y P 1 2 1 2 0 )( ) ( m n )( )( ) ( ) (1.1) ໂດຍທີີ່ ອັດຕາເພີີ່ມ (ຫຼຼຸດ) ສະສົມເມ ີ່ອສິື້ນສຸດການລົງທ ນຄັື້ງທີີ່ m n + ເທົົ່າກັບ (1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 + + + + + + − x x x y y y 1 2 1 2 )( ) ( m n )( )( ) ( ) (1.2) ຖ້າສູດ (1.2) ເປັນຄ່າບວກ ສະແດງວ່າ: ການລົງທ ນຄັື້ງນີື້ໄດ້ກໍາໄລ ນັື້ນຄ ເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຫຼັງການລົງທ ນ ຫຼາຍກວ່າເງິນຕົື້ນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ, ແຕ່ຖ້າສູດ (1.2) ເປັນຄ່າລົບ ສະແດງວ່າ: ການລົງທ ນຄັື້ງນີື້ຂາດທ ນ ນັື້ນຄ ເງິນທີີ່ ໄດ້ຮັບຫຼັງການລົງທ ນນ້ອຍກວ່າເງິນຕົື້ນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ. ຕົວຢ່າງ 1.1 ທ້າວສົມສີ ລົງທ ນເປ ດຮ້ານຂາຍເຄ ີ່ອງດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ, ຖ້າໃນຊ່ວງທໍາອິດຮ້ານຂາດທ ນ 11% ໃນເດ ອນທໍາອິດ ແລະ 7% ໃນເດ ອນທີີ່ສອງ; ຈາກນັື້ນເລີີ່ມມີກໍາໄລ 15%, 18% ແລະ 22% ໃນເດ ອນ 3, 4 ແລະ 5 ຕາມລໍາດັບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ເມ ີ່ອຄົບ 5 ເດ ອນ ທ້າວສົມສີໄດ້ຮັບເງິນຈາກການຂາຍເຄ ີ່ອງນັື້ນເທົົ່າໃດ? ແລະ ລວມແລ້ວໄດ້ກໍາໄລ ຫຼ ຂາດທ ນເທົົ່າໃດເປ ເຊັົ່ນ? ແກ້: ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: 0P =100 ລ້ານກີບ, ອັດຕາຜົນຕອບແທນໃນແຕ່ລະເດ ອນທີີ່ໄດ້ຮັບແມ່ນ 1 x = −0.11, 2 x = −0.07 , 3 x = 0.15 , 4 x = 0.18 ແລະ 5 x = 0.22 ຕາມລໍາດັບ. ທ້າວສົມສີ ໄດ້ຮັບເງິນຈາກການຂາຍ ເຄ ີ່ອງທັງໝົດແມ່ນ: (1 0.11 1 0.07 1 0.15 1 0.18 1 0.22 100 137.029 − − + + + = )( )( )( )( )( ) ລ້ານກີບ. ຈະເຫັນວ່າ: ເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຫຼາຍກວ່າຕົື້ນທ ນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃນການລົງທ ນຄັື້ງນີື້ ທ້າວສົມສີ ໄດ້ກໍາໄລຄິດເປັນອັດຕາເທົົ່າ ກັບ 137.029 100 0.3703% 100 − = ຕົວຢ່າງ 1.2 ຮ້ານຄ້າໜ ີ່ງຕິດປ້າຍຂາຍເກີບໄວ້180000 ກີບ (ຍັງບ ໍ່ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) ທາງຮ້ານຕິດປ້າຍ ຫຼຼຸດລາຄາ 10% ແລະ ຈະຫຼຼຸດໃຫ້ອີກ 5% ຖ້າຊ ື້ສິນຄ້າພາຍໃນຮ້ານຄົບ 200000 ກີບຂ ື້ນໄປ. ຖ້າວ່າ ນ້ອງພີມ ຊ ື້ ສິນຄ້າພາຍໃນຮ້ານໄປແລ້ວ 240000 ລາວຈະຊ ື້ເກີບຄູ່ນີື້ໃນລາຄາເທົົ່າໃດກີບ (ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) ແກ້: ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: 0P =100 ກີບ, ອັດຕາຜົນຕອບແທນທີີ່ໄດ້ຮັບແມ່ນ 1 x = −0.1, 2 x = −0.05 ແລະ 3 x = 0.07 ຕາມລໍາດັບ. ນ້ອງພີມ ຈະຊ ື້ເກີບຄູ່ນີື້ໄດ້ໃນລາຄາ: (1 0.1 1 0.05 1 0.07 180000 164673 − − + = )( )( )( ) ກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 2 1.1.2 ອັດຕາດອກເບ້ຍ ອັດຕາດອກເບ້ຍ ຄ ຜົນຕອບແທນຈາກການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ທີີ່ນັກລົງທ ນໄດ້ຮັບເປັນຜົນ ຕອບແທນຈາກການສູນເສນໂອກາດຈາກການໃຊ້ເງິນ ຫຼ ສິນຊັບການລົງທ ນໃນການລົງທ ນອ ີ່ນໆ ນັື້ນຄ : ອັດຕາດອກເບ້ຍ = ຜົນຕອບແທນທີີ່ໄດ້ຮັບ ເງິນຕົື້ນທ ນ (1.3) ໂດຍປົກກະຕິນິຍົມກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ຄາບເວລາ (ເອີື້ນໂດຍຫຍ ໍ້ວ່າ: ຄາບ ຫຼ ງວດ) ເຊັົ່ນ: ອັດຕາ ດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ , ອັດຕາດອກເບ້ຍ 5% ຕ ໍ່ 3 ເດ ອນ, ... ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ = ຜົນຕອບແທນສະສົມໃນໜ ີ່ງງວດ ເງິນຕົື້ໜທ ນເວລາຕົື້ນງວດ (1.4) ນິຍາມ 1.1 ກໍານົດໃຫ້ i 0 ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍໃດໆ ເອີື້ນ a t( ) ສໍາລັບ t 0 ວ່າ: ຕໍາລາສະສົມ, ຖ້າ a t( ) ສອດຄ້ອງກັບເງ ີ່ອນໄຂຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) a(0 1 ) = 2) a t( ) 0 ສໍາລັບທຸກໆ t 0 3) a t( ) ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ t ຈາກນິຍາມ 1.1 ສາມາດພິຈາລະນາ a t( ) ເປັນເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ທີີ່ ເວລາ t ໃດໆ ສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ i . ຕົວຢ່າງ 1.3 ຈົົ່ງສະແດງວ່າ ( ) 0.5 2 1 t a t e = − ເປັນຕໍາລາສະສົມ. ແກ້: ຈາກນິຍາມ a t( ) ຈະໄດ້ວ່າ: 1. ( ) 0.5 0( ) a e 0 2 1 1 = − = 2. ( ) 0.5 0.5 1 2 1 0 t t e a t e = − ສໍາລັບທຸກໆ t 0 3. ( ) 0.5 0 t a t e = ທຸກໆ t 0 ດັົ່ງນັື້ນ, a t( ) ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ t ໂດຍນິຍາມ 1.1 ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 0.5 2 1 t a t e = − ເປັນຕໍາລາສະສົມ. ດອກເບ້ຍແບ່ງໄດ້ເປັນ 2 ປະເພດ ດັົ່ງນີື້: 1) ດອກເບ້ຍດ່ຽວ ຫຼ ດອກເບ້ຍງ່າຍດາຍ (Simple Interest) ດອກເບ້ຍດ່ຽວ ຄ ການຄິດດອກເບ້ຍ ຫຼ ຜົນຕອບແທນຈາກເງິນຕົື້ນທ ນເທົົ່ານັື້ນໃນແຕ່ລະງວດ ເຊິີ່ງດອກເບ້ຍຄົງຄ້າງທີີ່ເກີດຂ ື້ນຈະບ ໍ່ຖ ກນໍາໄປລົງທ ນຕ ໍ່ເພ ີ່ອທີີ່ຈະໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍ. ສົມມຸດວ່າ: ລົງທ ນທັນທີດ້ວຍ ເງິນ 1 ກີບ ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ i ການຄິດດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະງວດສະແດງດັົ່ງໃນແຜນພາບ. ເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ 0 1 2 … … n −1 n ດອກເບ້ຍຮັບ i i … … i i ຮູບທີ 1.1 ສະແດງດອກເບ້ຍດ່ຽວຮັບຈາກການລົງທ ນທັນທີດ້ວຍເງິນ 1 ກີບ ຈາກແຜນພາບເງິນສະສົມຈາກການລົງທ ນດ້ວຍເງິນ 1 ກີບ ເທົົ່າກັບ 1 ... 1 n + + + + = + i i i in ໂດຍທົົ່ວໄປ ງວດຂອງການລົງທ ນສາມາດເປັນຈໍານວນຈິງທີີ່ບ ໍ່ເປັນລົບ ໂດຍທີີ່ t = ໄລຍະເວລາການລົງທ ນ ໄລຍະເວລາໜ ີ່ງງວດ ເຊັົ່ນ: ການຄິດດອກທຸກໆ 3 ເດ ອນ ຖ້າມີໄລຍະຫ່າງການລົງທ ນ 11 ເດ ອນ ຈໍານວນງວດການລົງທ ນ 11 3.67 3 t = ງວດ, ສາມາດພິຈາລະນາໄດ້ໃນລັກສະນະດຽວກັນ ຈະໄດ້ເງິນສະສົມຈາກການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ເປັນ ໄລຍະເວລາ t ເທົົ່າກັບ 1+ it
ຄະນິດສາດການເງິນ 3 ຕໍາລາສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ກໍານົດໃຫ້ i 0 ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວເອີື້ນ a t it ( ) = +1 ສໍາລັບ t 0 ວ່າ: ຕໍາລາສະ ສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ, ເນ ີ່ອງຈາກ 0 da i dt = ດັົ່ງນັື້ນ, a ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ t ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ 0 da t dt = ດັົ່ງນັື້ນ, a ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ i . ສໍາລັບການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນເປັນໄລຍະເວລາງວດໃດໆ ຈະໄດ້ເງິນສະສົມ ຫຼ ມູນຄ່າສະສົມ S it P a t P t = + = (1 ) 0 0 ( ) (1.5) ແລະ t S ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນໃດຕົວໜ ີ່ງຄ : i , t ແລະ P0 ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ຕົວປ່ຽນທີີ່ເຫຼ ອຄົງທີີ່ນັື້ນ. ຖ້າ ຕ້ອງການລົງທ ນໃຫ້ເງິນສະສົມເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ, ນັກລົງທ ນສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍວິທີໃດວິທີໜ ີ່ງ ດັົ່ງນີື້: ເພີີ່ມເງິນຕົື້ນທ ນ ຫຼ ເພີີ່ມໄລຍະເວລາລົງທ ນ ຫຼ ຫາແຫຼ່ງທ ນທີີ່ໃຫ້ອັດຕາຜົນຕອບແທນທີີ່ສູງກວ່າ. ນອກຈາກ ນີື້, ຈະເຫັນວ່າທັງ a t it ( ) = +1 ແລະ ( ) 0 1 t S it P = + ຕ່າງກ ໍ່ເປັນຕໍາລາເສັື້ນຊ ີ່ໃນຕົວປ່ຽນໃດຕົວໜ ີ່ງ ຄ : i , t ແລະ P0 ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ຕົວປ່ຽນທີີ່ເຫຼ ອຄົງທີີ່. a t it ( ) = +1 ( ) 0 1 t S it P = + ຮູບທີ 1.2 ສະແດງລັກສະນະເສັື້ນສະແດງ a t it ( ) = +1 ແລະ ( ) 0 1 t S it P = + ເມ ີ່ອກໍານົດ i ແລະ P0 ຄົງທີີ່. ຕົວຢ່າງ 1.4 ຈົົ່ງຫາເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 10 ລ້ານກີບ ໃນປາຍປ ທີ 4 ຈາກການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ 0P =10 , t = 4 ແລະ i =10% S4 = + = (1 0.1 4 10 14 ( )) ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 10 ລ້ານກີບ ໃນປາຍປ ທີີ່ 4 ເທົົ່າກັບ 14 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 1.5 ສົມຊາຍກູ້ເງິນມາ 10 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 8 ເດ ອນ ຕ້ອງນໍາເງິນຕົື້ນທ ນພ້ອມດອກເບ້ຍໄປຈ່າຍຄ ນ ທັງໝົດ 15 ລ້ານກີບ ຖາມວ່າ: ຜູ້ໃຫ້ກູ້ຢືມຄິດດອກເບ້ຍດ່ຽວເປັນອັດຕາຕ ໍ່ປ ເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດ 0P =10 , t = 8 ເດ ອນ ແລະ 15 t S = 8 15 1 10 0.75 12 i i = + = ດັົ່ງນັື້ນ, ຜູ້ໃຫ້ກູ້ຢືມຄິດດອກເບ້ຍດ່ຽວເປັນອັດຕາຕ ໍ່ປ 75% 2) ດອກເບ້ຍສະສົມ (Compound Interest) ດອກເບ້ຍສະສົມ ຄ ການຄິດດອກເບ້ຍ ໂດຍດອກເບ້ຍໃນງວດທໍາອິດຈະຄິດເປັນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍໃນງວດຖັດມາຈະຄິດຈາກເງິນຕົື້ນທ ນຕົື້ນງວດນັື້ນໆ ເຊິີ່ງເປັນຜົນບວກຂອງດອກເບ້ຍ ແລະ ເງິນ ຕົື້ນທ ນຂອງງວດກ່ອນໜ້ານີື້ໜ ີ່ງງວດ ເປັນແບບນີື້ເລ ື້ອຍໆ ໄປຕະຫຼອດໄລຍະເວລາການລົງທ ນ. ສົມມຸດວ່າ: ລົງທ ນ ທັນທີ 1 ກີບ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດຂ ື້ນໃນແຕ່ລະງວດສະແດງດັົ່ງໃນແຜນພາບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 4 ເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ 0 1 2 … … n −1 n ດອກເບ້ຍຮັບ i i i (1+ ) … … ( ) 2 1 n i i − + ( ) 1 1 n i i − + ຮູບທີ 1.3 ສະແດງດອກເບ້ຍຮັບຈາກການລົງທ ນທັນທີ 1 ກີບ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍຕົື້ນສະສົມທ ນ i ຈາກແຜນພາບເງິນສະສົມຈາກການລົງທ ນ 1 ກີບ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ເທົົ່າກັບ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ... 1 1 1 n n n i i i i i i i i − − + + + + + + + + = + (1.6) ແລະ ໃນທໍານອງດຽວກັນ ສໍາລັບເວລາ t 0 ຈະໄດ້ເງິນສະສົມເທົົ່າກັບ (1 ) t + i ເອີື້ນ ( ) (1 ) t a t i = + ສໍາລັບ t 0 ວ່າ: ຕໍາລາສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ, ເນ ີ່ອງຈາກ (1 ln 1 0 ) ( ) da t i i dt = + + ແລະ ( ) 1 1 0 da t t i dt − = + . ດັົ່ງນັື້ນ, ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ ແລະ ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ຕົວປ່ຽນໃດຕົວປ່ຽນໜ ີ່ງຄົງທີີ່. ກໍານົດໃຫ້ ເປັນເງິນຕົື້ນທ ນຂອງການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ລົງທ ນ ເປັນຈໍານວນ t ງວດ ( t 0 ບ ໍ່ຈໍາເປັນຕ້ອງເປັນຈໍານວນຖ້ວນ) ຈະໄດ້ເງິນສະສົມ 0 (1 ) t t S P i = + (1.7) ຈະເຫັນວ່າ: 0 (1 ) t t S P i = + ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນໃດຕົວປ່ຽນໜ ີ່ງ ສໍາລັບ i , t ແລະ P0 ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ຕົວ ປ່ຽນທີີ່ເຫຼ ອຄົງທີີ່. ໝາຍຄວາມວ່າ: ຖ້າຕ້ອງການລົງທ ນໃຫ້ມູນຄ່າສະສົມເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາເບ້ຍສະສົມ, ນັກ ລົງທ ນສາມາດເຮັດໄດ້ດ້ວຍວິທີໃດວິທີໜ ີ່ງ ເພີີ່ມເງິນຕົື້ນທ ນ, ເພີີ່ມໄລຍະເວລາລົງທ ນ ຫຼ ຫາແຫຼ່ງທ ນທີີ່ໃຫ້ອັດຕາ ຜົນຕອບແທນທີີ່ສູງກວ່າ. ນອກຈາກນີື້, ຈະເຫັນວ່າ: ( ) (1 ) t a t i = + ແລະ 0 (1 ) t t S P i = + ເປັນຕໍາລາໃຈກໍາລັງ ໃນຕົວປ່ຽນ t ອີກດ້ວຍ, ນັື້ນຄ a t( ) ແລະ t S ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນແບບໃຈກໍາລັງໃນຕົວປ່ຽນ t . ( ) (1 ) t a t i = + 0 (1 ) t t S P i = + ຮູບທີ 1.4 ສະແດງລັກສະນະເສັື້ນສະແດງໃຈກໍາລັງຂອງ ( ) (1 ) t a t i = + ແລະ 0 (1 ) t t S P i = + ຕົວຢ່າງ 1.6 ຈົົ່ງຫາເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 10 ລ້ານກີບ ໃນປາຍປ ທີ 4 ຈາກການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ສະສົມ 10% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ 0P =10 , t = 4 ແລະ i =10% ( ) 4 4 S = + 10 1 0.1 14.641 ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 10 ລ້ານກີບ ໃນປາຍປ ທີີ່ 4 ແມ່ນປະມານ 14.641 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 1.7 ນ. ເມສາ ຝາກເງິນກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ເມ ີ່ອ 7 ເມສາ 2020 ຈໍານວນເງິນ 10 ລ້ານກີບ ແລະ 7 ຕຸລາ 2020 ຝາກອີກ 18 ລ້ານກີບ. ຖ້າ ນ. ເມສາ ບ ໍ່ເຄີຍຖອນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍເລີຍ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 7 ມັງກອນ 2021 ນ. ເມສາຈະມີເງິນໃນບັນຊີເງິນຝາກນີື້ເທົົ່າໃດ? ເມ ີ່ອທະນາຄານຈ່າຍດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະ ສົມຕົື້ນທ ນທຸກປ .
ຄະນິດສາດການເງິນ 5 ແກ້: ( ) ( ) 9 3 S = + + + 10 1 0.08 18 1 0.08 28.9439 12 12 ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມໃນບັນຊີ ໃນ 7 ມັງກອນ 2021 ແມ່ນປະມານ 28.94397 ລ້ານກີບ. ຕົວຢ່າງ 1.8 ນ. ພອນ ເປ ດບັນຊີທະນາຄານຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ໃນວັນທີ 1 ມັງກອນ 2020. ທະນາຄານກໍາ ນົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 2.4% ຕ ໍ່ປ (ຄິດສະສົມຕົື້ນທ ນທຸກ 12 ເດ ອນ) ຫຼັງຈາກນັື້ນມີລາຍງານການຝາກຖອນດັົ່ງນີື້: 1 ມິຖຼຸນາ 2020 ຝາກຈໍານວນເງິນ 60 ລ້ານກີບ ແລະ 1 ມິຖຼຸນາ 2022 ຖອນຈໍານວນເງິນ 80 ລ້ານກີບ. ໃນວັນທີ 31 ຕຸລາ 2022 ລາວຈະມີເງິນໃນບັນຊີທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ຄິດເປັນຕົື້ນທ ນເທົົ່າໃດ? ແລະ ດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? ແກ້: ( ) ( ) ( ) 10 5 5 2 2 S t 100 1 0.024 60 1 0.024 80 1 0.024 89.6955 12 12 12 + + = + + + − + ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມໃນບັນຊີ ໃນ 31 ຕຸລາ 2022 ແມ່ນປະມານ 89.6955 ລ້ານກີບ. ຈາກຕົວຢ່າງ 1.4 ແລະ ຕົວຢ່າງ 1.6 ພາຍໃຕ້ຕົວເລກອັດຕາດອກເບ້ຍ ແລະ ເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ເທົົ່າກັນ ຈະ ເຫັນວ່າ: ເງິນສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວຈະນ້ອຍກວ່າເງິນສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍສະສົມ ໂດຍການພົວພັນ ລະຫວ່າງຕໍາລາສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍດ່ຽວ ແລະ ຕໍາລາສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍສະສົມ (ດັົ່ງຮູບທີ 1.5) ແລະ ສະຫຼຼຸບ ກ່ຽວຂ້ອງກັບຜົນຕອບແທນຈາກການລົງທ ນໄດ້ດັົ່ງນີື້: 1) ຖ້າ t 1 ການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນສູງກວ່າ ການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາ ດອກເບ້ຍສະສົມ. 2) ຖ້າ t 1 ການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນສູງກວ່າການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາ ດອກເບ້ຍດ່ຽວ. 3) ຖ້າ t =1 ການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ແລະ ການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຈະໃຫ້ ຜົນຕອບແທນເທົົ່າກັນ. ດອກເບ້ຍສະສົມ ດອກເບ້ຍດ່ຽວ ຮູບທີ 1.5 ການພົວພັນລະຫວ່າງຕໍາລາສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍດ່ຽວ ແລະ ຕໍາລາສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍສະສົມ ຕົວຢ່າງ 1.9 ທ. ທອງດີ ຕ້ອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ ໃນໂຄງການໃດໂຄງການໜ ີ່ງ ໂດຍມີໂຄງການ ໃຫ້ເລ ອກລົງທ ນ ດັົ່ງນີື້: ໂຄງການ ການລົງທ ນ A ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ ເປັນເວລາ 10 ປ B ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 10% ຕ ໍ່ປ ເປັນເວລາ 10 ປ C 5 ປ ທໍາອິດ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 10% ຕ ໍ່ປ 5 ປ ຫຼັງ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ D 5 ປ ທໍາອິດ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ 5 ປ ຫຼັງ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 10% ຕ ໍ່ປ ທ. ທອງດີ ຄວນເລ ອກລົງທ ນໃນໂຄງການໃດ ໂດຍໃຊ້ຜົນຕອບແທນສະສົມເປັນເກນໃນການຕັດສິນໃຈ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 6 ແກ້: ເນ ີ່ອງຈາກ ທ. ທອງດີ ໃຊ້ຜົນຕອບແທນສະສົມເປັນເກນໃນການຕັດສິນໃຈ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຄໍານວນຜົນຕອບ ແທນສະສົມຂອງແຕ່ລະໂຄງການ. ໂຄງການ A: ເງິນສະສົມ S10 = + = 100 1 0.1 10 200 ( ( )) ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ຜົນຕອບແທນສະສົມແມ່ນ 200 100 100 − = ລ້ານກີບ. ໂຄງການ B: ເງິນສະສົມ ( ) 10 10 S = + = 100 1 0.1 259.3742 ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ຜົນຕອບແທນສະສົມແມ່ນ 259.3742 − = 100 159.3742 ລ້ານກີບ. ໂຄງການ C: 5 ປ ທໍາອິດ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ເງິນສະສົມ ( ) 5 5 S = + = 100 1 0.1 161.051 ລ້ານກີບ ຈາກນັື້ນ, ນໍາເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ໄດ້ໄປລົງທ ນຕ ໍ່ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ເປັນເວລາ 5 ປ ໄດ້ເງິນສະສົມ S5 5+ = + = 161.051 1 0.1 5 241.5765 ( ( )) ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຜົນຕອບແທນສະສົມແມ່ນ 241.5765 − = 100 141.5765 ລ້ານກີບ. ໂຄງການ D: 5 ປ ທໍາອິດ ລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ເງິນສະສົມ S5 = + = 100 1 0.1 5 150 ( ( )) ລ້ານກີບ ຈາກນັື້ນ, ນໍາເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ໄດ້ໄປລົງທ ນຕ ໍ່ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ເປັນເວລາ 5 ປ ໄດ້ເງິນສະສົມ ( ) 5 5 5 S 150 1 0.1 241.5765 + = + = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຜົນຕອບແທນສະສົມແມ່ນ 241.5765 − = 100 141.5765 ລ້ານກີບ. ຈາກການພິຈາລະນາ ໂດຍໃຊ້ຜົນຕອບແທນສະສົມ ສະຫຼຼຸບໄດ້ວ່າ: ທ. ທອງດີ ຄວນເລ ອກລົງທ ນກັບໂຄງການ B ເນ ີ່ອງຈາກໃຫ້ຜົນຕອບແທນສູງສຸດ. ຕົວຢ່າງ 1.10 ຈົົ່ງຊອກຫາເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 100 ລ້ານກີບ ເປັນເວລານານ 4 ປ 8 ເດ ອນ ໂດຍຕະຫຼອດຊ່ວງການລົງທ ນທີີ່ເປັນຈໍານວນເຕັມປ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບດອກເບ້ຍສະສົມທຸກປ ແລະ ເສດຂອງປ ທີີ່ເຫຼ ອ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບດອກເບ້ຍດ່ຽວ, ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ພິຈາລະນາການລົງທ ນ 4 ປ ທໍາອິດ ດ້ວຍດອກເບ້ຍສະສົມ ໄດ້ເງິນສະສົມ ( ) 4 4 S = + = 100 1 0.1 146.41 ລ້ານກີບ. ຈາກນັື້ນ ນໍາເງິນທີີ່ໄດ້ ໄປລົງທ ນຕ ໍ່ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວນານ 8 ເດ ອນ ເຊິີ່ງເທົົ່າກັບ 2 3 ປ ຈະໄດ້ເງິນສະສົມ 2 4 3 2 146.41 1 0.1 156.1707 3 S + = + = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນດັົ່ງກ່າວແມ່ນ 156.1707 ລ້ານກີບ. 1.1.3 ອັດຕາດອກເບ້ຍທາງດຽວທຽບເທົົ່າອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ນິຍາມ 1.2 ໃຫ້ s i ແລະ c i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ຕາມລໍາດັບ ຈະເວົື້າວ່າ: s i ທຽບເທົົ່າ c i ຖ້າ 1 1( ) t s c + = + i t i ສໍາລັບທຸກໆ t 0 . ພວກເຮົາສາມາດຫາອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ໄດ້ຈາກສົມຜົນເງິນສະສົມ ຂອງການລົງທ ນ 1 1( ) t s c + = + i t i (1.8) ໂດຍການແຈກຢາຍອະນຸກົມເທຍ໌ເລີຣ໌ໄດ້: (1 1 ln 1 ) ( ) ( ) t c c + = + + + i t i o t ເມ ີ່ອ t 1 ( t → 0 ) ເມ ີ່ອສັນຍາລັກ o t( ) ແທນຄ່າຄວາມຄາດເຄ ີ່ອນໃນພົດຂອງ t ດັົ່ງນັື້ນ, 1 ln 1 1 ( c ) s t i i t + + − (1.9) ນັື້ນແມ່ນ i i s c + ln 1( ) ເມ ີ່ອ t 1
ຄະນິດສາດການເງິນ 7 ຕົວຢ່າງ 1.11 ນ. ນາໂນ ຈະຕ້ອງເລ ອກລົງທ ນໃນໂຄງການທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ໂດຍ ປະມານເທົົ່າໃດ ເພ ີ່ອໃຫ້ເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນທຽບເທົົ່າການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຝາກກັບສະຖາບັນການເງິນທີີ່ໃຫ້ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ ສໍາລັບໄລຍະເວລາລົງທ ນທີີ່ນ້ອຍກວ່າ 1 ປ . ແກ້: ສໍາລັບໄລຍະເວລາລົງທ ນທີີ່ນ້ອຍກວ່າ 1 ປ ຈະໄດ້ວ່າ: i i s c + ln 1( ) ໃນທີີ່ນີື້ 0.1 c i = ດັົ່ງນັື້ນ, i s + ln 1 0.1 ln1.1 0.0953 ( ) ນັື້ນແມ່ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ໂດຍປະມານ 9.53% 1.2 ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ (Present Value: PV) ເຊິີ່ງເປັນມູນຄ່າໃນປະຈຸບັນ ຫຼ ມູນຄ່າການລົງທ ນໃນວັນໃດວັນ ໜ ີ່ງທີີ່ພວກເຮົາພິຈາລະນາ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ (Future Value: FV) ເຊິີ່ງເປັນເງິນສະສົມໃນວັນທີີ່ t ໃນ ອະນາຄົດຫຼັງວັນດັົ່ງກ່າວ. ສົມມຸດວ່າ: ການລົງທ ນໃນປະຈຸບັນທັນທີ(ເວລາ t = 0 ) ດ້ວຍເງິນຈໍານວນ PV ກີບ, ໃນນີື້ເອີື້ນວ່າ: ມູນຄ່າປະຈຸບັນ; ຫຼັງຈາກນັື້ນພິຈາລະນາເງິນສະສົມທີີ່ເວລາອະນາຄົດ FV (ເວລາ t 0 ) ໃນນີື້ເອີື້ນ ວ່າ: ມູນຄ່າອະນາຄົດ ເຊິີ່ງຖ ກສະສົມດ້ວຍຕໍາລາສະສົມ a t( ) ນັື້ນແມ່ນ ມູນຄ່າອະນາຄົດ FV PV a t = ( ) (1.10) ຫຼ ຕ້ອງການຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ( ( )) 1 PV FV a t − = (1.11) ໃນນີື້ເອີື້ນ ( ( )) 1 a t − ວ່າ: ຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດ (Discount Function) ເຊິີ່ງເມ ີ່ອນໍາຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດຄູນກັບມູນ ຄ່າອະນາຄົດ ແລ້ວຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນ. ຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດນີື້ຈະແຕກຕ່າງໄປຕາມປະເພດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍເຊັົ່ນ: ດອກເບ້ຍດ່ຽວ: ຈະມີຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດແມ່ນ ( ( )) ( ) 1 1 a t it 1 − − = + (1.12) ດອກເບ້ຍສະສົມ: ຈະມີຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດແມ່ນ ( ( )) ( ) 1 1 t t a t it v − − = + = (1.13) ເມ ີ່ອ ( ) 1 v it 1 − = + ແລະ ໃນນີື້ເອີື້ນ v ວ່າ: ຕົວປະກອບສ່ວນຫຼຼຸດ (Discount Factor) a t( ) PV FV ( ( )) 1 a t − ຮູບທີ 1.6 ການພົວພັນລະຫວ່າງມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ຕົວຢ່າງ 1.12 ສົມຊາຍ ກູ້ເງິນຈາກ ປ ຊາ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ແລະ ປ ຊາ ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ສົມຊາຍ ນໍາເງິນໄປຄ ນໃຫ້ ປ ຊາ ເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 2 ປ ຊາ ໄດ້ຮັບເງິນຄ ນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ແກ້: ປ ຊາ ຈະໄດ້ເງິນຄ ນທັງໝົດ = ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນທີີ່ ສົມຊາຍ ກູ້ = + = 100 1 0.1 2 120 ( ( )) ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 1.13 ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນດອກເບ້ຍ ແລະ ເງິນລວມ ຈາກເງິນກູ້1650 ລ້ານກີບ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ 13% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ , ໄລຍະເວລາ 460 ວັນ (ກໍານົດໃຫ້ 1 ປ ເທົົ່າກັບ 365 ວັນ) ແກ້: ຈໍານວນເງິນລວມ = ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນທີີ່ກູ້ ( ) 460 = + = 1650 1 0.13 1924.76 365 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 1.14 ບ ລິສັດແຫ່ງໜ ີ່ງອອກເງິນໃບຊໍາລະໜີື້ຊະນິດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງໃຫ້ຜົນຕອບແທນເປັນດອກເບ້ຍສະສົມ 8% ຕ ໍ່ ປ , ເປັນໄລຍະເວລາ 2 ປ ໂດຍຈະຈ່າຍເງິນເທົົ່າມູນຄ່າອະນາຄົດໃຫ້ກັບຜູ້ຖ ເງິນໃບຊໍາລະໜີື້. ຖ້າໃນປ ນັື້ນ ບ ລິສັດດໍາ ເນີນກິດຈະການໄດ້ຜົນຕອບແທນສູງກວ່າມູນຄ່າອະນາຄົດ, ແຕ່ບ ລິສັດດໍາເນີນກິດຈະການໄດ້ຜົນຕອບແທນຕ ໍ່ກວ່າ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ຜູ້ລົງທ ນຈະໄດ້ຮັບເງິນຄ ນສະເພາະຕົື້ນທນ. ສົມມຸດວ່າ: ນັກລົງທ ນຕັດສິນໃຈຊ ື້ເງິນໃບຊໍາລະໜີື້ ຊະນິດນີື້ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຕອບຄໍາຖາມຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) ບ ລິສັດນີື້ຈະຕ້ອງຈ່າຍເງິນທັງໝົດເທົົ່າໃດ ກ ລະນີທີີ່ບ ລິສັດດໍາເນີນກິດຈະການໄດ້ຜົນຕອບແທນສູງກວ່າ ມູນຄ່າອະນາຄົດ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 8 2) ຖ້າບ ລິສັດນໍາເງິນ 100 ລ້ານກີບ ທີີ່ໄດ້ຮັບມາໄປລົງທ ນຕ ໍ່ໄດ້ຜົນຕອບແທນ 4% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ບ ລິສັດຍັງຕ້ອງກຽມເງິນເພ ີ່ອຊໍາລະຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍກັບຜູ້ຖ ໃບເງິນຊໍາລະໜີື້ ເປັນຈໍານວນ ເທົົ່າໃດ ຫຼັງຈາກຫັກມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນທີີ່ນໍາໄປລົງທ ນຕາມທີີ່ເວົື້າມາຂ້າງເທິງ. 3) ຈາກຂ ໍ້ 2) ເປັນເປັນການເພີີ່ມຄວາມໝັົ່ນໃຈແກ່ຜູ້ຖ ເງິນໃບຊໍາລະໜີື້, ບ ລິສັດແຫ່ງນີື້ຈໍາເປັນຕ້ອງສໍາຮອງ ເງິນເພ ີ່ອຝາກໃນກອງທ ນທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບແທນ 5% ຕ ໍ່ປ ເປັນຈໍານວນເທົົ່າໃດ ຈ ີ່ງຈະພຽງພ ກັບເງິນທີີ່ຊົດໃຊ້ເງິນ ຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍກັບຜູ້ຖ ເງິນໃບຊໍາລະໜີື້. ແກ້: 1) ບ ລິສັດນີື້ຈະຈ່າຍເງິນເທົົ່າມູນຄ່າອະນາຄົດ ( ) 2 2 S = + = 100 1 0.08 116.64 ລ້ານກີບ. 2) ຖ້າບ ລິສັດນໍາເງິນໄດ້ຮັບມາໄປລົງທ ນຕ ໍ່ ເປັນໄລຍະເວລາ 2 ປ ຈະໄດ້ຮັບເງິນສະສົມ ( ) 2 2 S = + = 100 1 0.04 108.16 ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຍັງຕ້ອງກຽມເງິນໄວ້ຈ່າຍອີກ 116.64 108.16 8.48 − = ລ້ານກີບ. 3) ຈາກຂ ໍ້ 2) ບ ລິສັດນີື້ຈະຕ້ອງກຽມເງິນໄວ້ຈ່າຍທ້າຍປ ທີີ່ 2 ອີກ 8.48 ລ້ານກີບ. ນັື້ນແມ່ນ ບ ລິສັດຈະ ຕ້ອງນໍາເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງ, ສົມມຸດວ່າ: x ລ້ານກີບ ເປັນການລົງທ ນໃນກອງທ ນເປັນເວລາ 2 ປ , ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ເງິນສະ ສົມ ເທົົ່າກັບ 8.48 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງຂຽນສົມຜົນໄດ້ດັົ່ງນີື້: ( ) 2 8.48 1 0.05 = + x ຈະໄດ້ x = 7.691609977 ລ້ານ ກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ບ ລິສັດຈະຕ້ອງນໍາເງິນຈໍານວນ 76916099.77 ລ້ານກີບ ຝາກໃນກອງທ ນປ້ອງກັນຄວາມສ່ຽງ. ຕົວຢ່າງ 1.15 ການລົງທ ນໂຄງການໜ ີ່ງມີໄລຍະເວລາທັງໝົດ 10 ປ ໂດຍລົງທ ນທັນທີຕົື້ນປ ທີີ່ 1 ຈໍານວນ 50 ລ້ານກີບ ຫຼັງຈາກນັື້ນລົງທ ນທຸກໆ ຕົື້ນປ ທີີ່ 3, 5, 7 ແລະ 9 ລົງທ ນປ ລະ 10 ລ້ານກີບ ໂດຍອັດຕາຜົນຕອບແທນ 20% ຕ ໍ່ປ . ຖ້ານັກລົງທ ນຕ້ອງການລົງທ ນຄັື້ງດຽວດ້ວຍຈໍານວນເງິນລົງທ ນທີີ່ເທົົ່າກັບເງິນລົງທ ນທັງໝົດໃນ ໂຄງການໜ ີ່ງ ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາຜົນຕອບແທນເທົົ່າກັນ 20% ຕ ໍ່ປ ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນທີີ່ເວລາໃດ ຈ ີ່ງຈະໄດ້ມູນຄ່າ ເງິນສະສົມເທົົ່າໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ແລະ ມູນຄ່າເງິນສະສົມນັື້ນແມ່ນເທົົ່າໃດ? ແກ້: 50 10 10 10 10 90 ຈາກແຜນພາບ ສົມຜົນປຽບທຽບມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການລົງທ ນ ໄດ້: 2 4 6 8 90 50 10 10 10 10 t v v v v v = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2468 9 1.2 5 1.2 1.2 1.2 1.2 − − − − − t = + + + + (1.2 0.749352 ) −t = ຊອກ t ໄດ້: ln 0.749352 1.582624 ln1.2 t = − ປ ຫຼ ປະມານ 1 ປ 7 ເດ ອນ. ໝາຍຄວາມວ່າ: ລາວຈະຕ້ອງ ລົງທ ນທີີ່ຜ່ານເວລາໄປປະມານ 1 ປ 7 ເດ ອນ ຈ ີ່ງຈະໄດ້ມູນຄ່າຜົນຕອບແທນເທົົ່າກັນ ແລະ ເງິນສະສົມໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 90 1.2 90 1.2 1.2 557.256278016 1.2 557.256278016 0.749352 − − − t t t = = = = 417.58111 ຕົວຢ່າງ 1.16 ຈາກຕົວຢ່າງ 1.15 ຖ້ານັກລົງທ ນຕ້ອງການລົງທ ນທັນທີທີີ່ເວລາເລີີ່ມຕົື້ນດ້ວຍຈໍານວນເງິນລົງທ ນທີີ່ ເທົົ່າກັບເງິນລົງທ ນທັງໝົດໃນໂຄງການທໍາອິດເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນເທົົ່າກັບເງິນສະສົມທີີ່ໄດ້ຮັບໃນ ໂຄງການທໍາອິດທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 ໂດຍໄດ້ອັດຕາຜົນຕອບແທນເທົົ່າກັນ 20% ຕ ໍ່ປ ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນໃນໂຄງການນີື້ ດົນເທົົ່າໃດ ແລະ ໄດ້ຮັບເງິນສະສົມຈໍານວນເທົົ່າໃດ? ແກ້: 50 10 10 10 10 90
ຄະນິດສາດການເງິນ 9 ຈາກແຜນພາບ ສົມຜົນປຽບທຽບມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການລົງທ ນ ຈາກເງິນສະສົມໂຄງການທີ 2 ເທົົ່າກັບ ເງິນສະ ສົມໃນໂຄງການທໍາອິດ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 8 6 4 2 90 1.2 50 1.2 10 1.2 10 1.2 10 1.2 10 1.2 t = + + + + (1.2 4.639787 ) t = ຊອກ t ໄດ້: ln 4.639787 8.417373 ln1.2 t = ປ ຫຼ ປະມານ 8 ປ 5 ເດ ອນ ແລະ ໄດ້ຮັບເງິນສະສົມເທົົ່າກັບ 90 1.2 90 4.639787 417.58083 ( ) ( ) t = = ຈະເຫັນວ່າ: ຕົວຢ່າງ 1.15 ແລະ ຕົວຢ່າງ 1.16 ເປັນບັນຫາທີີ່ແຕກຕ່າງກັນ ເນ ີ່ອງຈາກເວລາທີີ່ລົງທ ນ ດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນລວມ 90 ລ້ານກີບ ຕ່າງກັນ, ແຕ່ແນວໃດກ ໍ່ຕາມຈະເຫັນວ່າ: ເງິນສະສົມຂອງທັງສອງກ ລະນີນັື້ນ ເທົົ່າກັນ ປະມານ 417.5811 ລ້ານກີບ ເນ ີ່ອງຈາກໄລຍະເວລາໃນການສະສົມເງິນເທົົ່າກັນ ປະມານ 1 ປ 7 ເດ ອນ. 1.3 ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ແລະ ກໍາລັງດອກເບ້ຍ ອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ຄິດສະສົມ 1 ຄັື້ງໃນຊ່ວງເວລາໜ ີ່ງ ເອີື້ນວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ຫຼ ອັດຕາດອກເບ້ຍ ທີີ່ເປັນຜົນ (Effective Interest Rate: EIR) ແຕ່ໃນບາງຄັື້ງການຄິດດອກເບ້ຍ ໃນ 1 ຊ່ວງເວລາ ຫຼ 1 ຄາບເວລາ ອາດຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຫຼາຍກວ່າ 1 ຄັື້ງ ເຊັົ່ນ: ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ , ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ; ສະແດງວ່າ: ທຸກໆ 1 ປ ຈະມີການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມ 2 ຄັື້ງ ໂດຍອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ຄັື້ງ (ງວດ) ເທົົ່າ 10% 5% 2 = ເອີື້ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍໃນລັກສະນະນີື້ວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (Nominal Interest Rate: NIR), ຖ້າກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ 10% ຕ ໍ່ປ , ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ເມ ີ່ອພິຈາລະນາເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 1 ຈະໄດ້: ( ) 2 1 0.05 1.1025 1 0.1025 + = = + ສະແດງວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ 10% ຕ ໍ່ປ , ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ຈະທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ 10.25% ຕ ໍ່ປ . ນິຍາມ 1.3 ຈະເອີື້ນອັດຕາດອກເບ້ຍ i ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຄິດສະສົມ m ຄັື້ງ (ງວດ) ຕ ໍ່ປ ວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ, ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ (m) i ແລະ ເອີື້ນ (m) i m ວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ. ໂດຍທົົ່ວໄປ ໃນທາງທິດສະດີຈໍານວນ m ຄັື້ງ ສາມາດເປັນຈໍານວນຈິງບວກໃດໆ ເຊັົ່ນ: 1 2 i ໃນນີື້ 1 2 m = ຈະເວົື້າວ່າ ເປັນການຄິດດອກເບ້ຍ 1 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງມີຄວາມໝາຍ ຄ ຄິດດອກເບ້ຍ 1 ຄັື້ງຕ ໍ່ 2 ປ ໃນທໍານອງດຽວ ກັນ 2 3 i ກ ໍ່ຈະໝາຍເຖິງ ການຄິດດອກເບ້ຍ 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ 3 ປ ນິຍາມ 1.4 ໃຫ້ (m) i ເປັນອັດຕາດອກພຽງໃນນາມ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຈະເອີື້ນ i ວ່າ: ອັດຕາດອກ ເບ້ຍແທ້ຈິງ, ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (m) i ຖ້າ ( ) 1 1 m m i i m + = + (1.14) ຈາກນິຍາມ 1.4 ຈະໄດ້ວ່າ: i ແມ່ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ທຽບເທົົ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (m) i ກ ໍ່ ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ( ) ( ) 1 1 mt m t i i m + = + ສໍາລັບທຸກໆ t 0 (1.15) ນັື້ນແມ່ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ຈະທຽບເທົົ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ຕໍາລາສະສົມເທົົ່າກັນ. ຕົວຢ່າງ 1.17 ຈົົ່ງຄໍານວນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 10 ແກ້: ຮູ້ວ່າ: m = 4 ແລະ (4) i = 0.08 ໂດຍແທນຄ່າຈະໄດ້ 4 0.08 1 1 0.0824 8.24% 4 i i + = + = = ຖ້າໃຫ້ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (m) i ສາມາດຂຽນ i ໃນພົດຂອງ (m) i ແລະ m ໄດ້ໃນຮູບ ( ) 1 1 m m i i m = + − (1.16) ທິດສະດີ 1.1 ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ( ) 1 1 m m i i m = + − ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m ເມ ີ່ອ ກໍານົດໃຫ້ (m) i ຄົງຄ່າ. ພິສູດ: ກໍານົດໃຫ້ m ແລະ (m) i a = ສົມມຸດວ່າ: k , l ເຊິີ່ງ k l ໂດຍໃຊ້ສູດການແຈກຢາຍທະວີ ພົດໄດ້ວ່າ: 2 1 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 2! ! k k k a k k k k a a a k k − − − − − + = + + + + 2 1 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 ... 2! ! k l l l l k a a a l − − − − − + + + + 2 1 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 2! ! l l l l l l l a a a a l k − − − − − + + + + = + ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ ( ) 1 1 m m i i m = + − ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m ຄວາມໝາຍຂອງທິດສະດີ 1.1 ຄ ກໍານົດຕົວເລກອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມເທົົ່າກັນ, ດອກເບ້ຍພຽງໃນ ນາມທີີ່ມີຈໍານວນຄັື້ງຂອງການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຫຼາຍຄັື້ງໃນ 1 ງວດ ຈະໃຫ້ດອກເບ້ຍແທ້ຈິງຫຼາຍກວ່າ. ດອກ ເບ້ຍພຽງໃນນາມທີີ່ມີຈໍານວນຄັື້ງຂອງການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມນ້ອຍຄັື້ງກວ່າ ເຊັົ່ນ: ໃນການລົງທ ນໜ ີ່ງ ກໍານົດນົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ ຕ້ອງໃຫ້ຜົນຕອບແທນທີີ່ສູງກວ່າ (ອັດຕາດອກ ເບ້ຍແທ້ຈິງສູງກວ່າ) ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ 6% ຄິດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເຊິີ່ງສະແດງເຫັນຊັດເຈນ ດັົ່ງນີື້: ສໍາລັບການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ (ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ ຈິງ ເທົົ່າກັບ 4 0.06 1 1 0.0614 6.14% 4 + − = = ຂະນະການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ (ຄິດດອກ ເບ້ຍສະສົມ 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ເທົົ່າກັບ 2 0.06 1 1 0.0609 6.09% 2 + − = = ຈາກສູດ (1.16) ຖ້າຈັດ (m) i ໃນພົດຂອງ i ແລະ m ໄດ້ໃນຮູບ: ( ) ( ) 1 1 1 m i m i m = + − (1.17) ຈະໄດ້ (m) i ເປັນຕໍາລາແຮມໃນຕົວປ່ຽນ m ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ i ຄົງຄ່າ ເຊິີ່ງສະແດງໄວ້ໃນທິດສະດີ 1.1 ທິດສະດີ 1.2 ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ( ) ( ) 1 1 1 m i m i m = + − ເປັນຕາລາແຮມໃນຕົວປ່ຽນ m 0 ເມ ີ່ອ ກໍານົດໃຫ້ i ຄົງຄ່າ. ພິສູດ: ສົມມຸດໃຫ້ i ຄົງຄ່າ, ນິຍາມ ( ) ( ) 1 1 1 x f x x i = + − ສໍາລັບທຸກໆ x 0 ເນ ີ່ອງຈາກ
ຄະນິດສາດການເງິນ 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 0 x x x x x i i f x x i i i i x − + + = + − = + + − = + − + − ສໍາລັບທຸກໆ x 0 ດັົ່ງນັື້ນ, f ເປັນຕໍາລາແຮມ ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) 1 1 1 m i m i m = + − ເປັນຕາມລາແຮມ ໃນຕົວປ່ຽນ m 0 0.412 0.410 0.408 10 20 30 40 50 60 ຮູບທີ 1.7 ສະແດງ (m) i ເປັນຕໍາລາແຮມໃນຕົວປ່ຽນ m (ອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມ m ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ທິດສະດີ 1.2 ເຮັດໃຫ້ຮູ້ວ່າ: ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງຄົງຄ່າ, ການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຍິີ່ງຫຼາຍຄັື້ງ ຍິີ່ງໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ຫຼຼຸດລົງ. ຕົວຢ່າງ: ສໍາລັບການລົງທ ນ ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ 10% ອັດຕາເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ຂອງການຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ ຕ້ອງມີຕົວເລກທີີ່ຕໍໍ່າກວ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍ ພຽງໃນນາມຂອງການຄິດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເຊິີ່ງສະແດງໃຫ້ເຫັນຊັດເຈນ ດັົ່ງນີື້: ສໍາລັບການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ (ຄິດສະສົມ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ຕ ໍ່ປ ( ) ( ) 1 4 4 1 0.1 1 0.0965 9.65% 4 i = + − = = , ຂະນະທີີ່ການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ (ຄິດສະ ສົມ 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ( ) ( ) 1 2 2 1 0.1 1 0.0976 9.76% 2 i = + − = = . ດັົ່ງນັື້ນ, ຈ ີ່ງເປັນຂ ໍ້ສັງເກດສໍາລັບນັກລົງທ ນຄ ຈະໃຊ້ພຽງຕົວເລກຂອງອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ເປັນເກນຕັດສິນໃຈ ລົງທ ນພຽງຢ່າງດຽວບ ໍ່ໄດ້ ຈະຕ້ອງພິຈາລະນາຈໍານວນຄັື້ງຂອງການຄິດສະສົມດ້ວຍ. ຕົວຢ່າງ 1.18 ຈົົ່ງຫາອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (3) i ທີີ່ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (12) i =12% ແກ້: ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (3) i ທີີ່ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ (12) i ສາມາດຫາໄດ້ຈາກ ການພົວພັນ ( ) ( ) 3 12 3 12 1 1 1 3 12 i i i + = + = + ນັື້ນຄ ( ) ( ) 3 3 4 0.12 3 1 1 0.1218 12.18% 3 12 i i + = + = = ຕົວຢ່າງ 1.19 ທ. ສັກສິດ ຕ້ອງການກູ້ເງິນໄລຍະຍາວຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ກໍານົດເວລາໃຊ້ຄ ນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຈາກ ສະຖາບັນການເງິນ 3 ແຫ່ງ, ລາວຄວນກູ້ເງິນຈາກສະຖາບັນການເງິນໃດຈ ີ່ງຈະສາມາດກູ້ໄດ້ທີີ່ຕົື້ນທ ນຕໍໍ່າທີີ່ສຸດ (ພິຈາລະນາດອກເບ້ຍເປັນຕົື້ນທ ນ) ໂດຍແຕ່ລະສະຖາບັນການເງິນສະເໜີອັດຕາດອກເບ້ຍ ດັົ່ງນີື້: ສະຖາບັນການເງິນ ຂ ໍ້ສະເໜີ A ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ B ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ C ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ແກ້: ໃນນີື້ຕົື້ນທ ນການກູ້ເງິນ ຄ ດອກເບ້ຍສະສົມ ຄໍານວນດອກເບ້ຍສະສົມຂອງແຕ່ລະສະຖາບັນການເງິນ ດັົ່ງນີື້:
ຄະນິດສາດການເງິນ 12 ສະຖາບັນການເງິນ A: ເງິນສະສົມຂອງໜີື້ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ແມ່ນ ( ) 5 1000 1 0.1 1610.51 + = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ດອກ ເບ້ຍສະສົມ 1610.51 1000 610.51 − = ລ້ານກີບ. ສະຖາບັນການເງິນ B: ເງິນສະສົມຂອງໜີື້ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ແມ່ນ 4 5( ) 0.1 1000 1 1638.61644 4 + = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ດອກເບ້ຍສະສົມ 1638.61644 1000 638.61644 − = ລ້ານກີບ. ສະຖາບັນການເງິນ C: ເງິນສະສົມຂອງໜີື້ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ແມ່ນ 12 5( ) 0.1 1000 1 1645.30895 12 + = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ດອກເບ້ຍສະສົມ 1645.30895 1000 645.30895 − = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ເມ ີ່ອພິຈາລະນາຕົື້ນທ ນເງິນກູ້ແລ້ວ ທ. ສັກສິດ ຄວນເລ ອກກູ້ເງິນຈາກສະຖາບັນການເງິນ A ຕົວຢ່າງ 1.20 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດໃນທ້າຍປ ທີ 5 ຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍໄດ້ຜົນ ຕອບແທນໃນ 2 ປ ທໍາອິດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ, ຊ່ວງ 2 ປ ຖັດມາ ໄດ້ອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ແລະ ໃນປ ສຸດທ້າຍໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະ ສົມທຸກ 6 ເດ ອນ. ແກ້: ເງິນຕົື້ນທ ນ 100 (4) 2 S (12) 2 S (2) 1 S ໃຫ້ (4) 2 S , (12) 2 S ແລະ (2) 1 S ເປັນເງິນສະສົມທ້າຍປ ທີີ່ 2, ທ້າຍປ ທີີ່ 4 ແລະ ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຕາມລໍາດັບ. (4) 2 S ເປັນເງິນສະສົມຂອງຕົື້ນທ ນ 100 ລ້ານກີບ ນານ 2 ປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 4 2( ) 4 2 0.04 100 1 108.28567 4 S = + = ລ້ານກີບ. (12) 2 S ເປັນເງິນສະສົມຂອງຕົື້ນທ ນ 108.28567 ລ້ານກີບ ນານ 2 ປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 12 2( ) 12 2 0.06 108.28567 1 122.05525 12 S = + = ລ້ານກີບ. (2) 1 S ເປັນເງິນສະສົມຂອງຕົື້ນທ ນ 122.05525 ລ້ານກີບ ນານ 1 ປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 2 1( ) 2 1 0.08 122.05525 1 132.01496 2 S = + = ລ້ານກີບ. ມູນຄ່າອະນາຄົດໃນທ້າຍປ ທີ 5 ຂອງການລົງທ ນນີື້ ແມ່ນ 132.01496 ລ້ານກີບ. ທິດສະດີ 1.3 ໃຫ້ (m) i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) lim ln 1( ) m x i i → = + ເມ ີ່ອ i ເປັນອັດຕາ ດອກເບ້ຍແທ້ຈິງທຽບເທົົ່າ (m) i ພິສູດ: ຄໍານວນຄ່າຂອງ ( ) lim m x i → ໂດຍກົງ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim lim 1 1 lim x m m x x x i i m i → → → x + − = + − = (ຮູບຮ່າງ 0 0 ) ນໍາໃຊ້ຫຼັກເກນໂລປ ຕານ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ln 1 lim lim ln 1 1 x x x x i i i i → → x + − + + = = = + ນິຍາມ 1.5 ໃຫ້ a t( ) ເປັນຕໍາລາສະສົມໃດໆ ເຊິີ່ງສາມາດຫາຜົນຕໍາລາໄດ້, ກໍາລັງດອກເບ້ຍ ໃນຂະນະ t ໃດໆ ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ (t) ນິຍາມ ໂດຍ ( ) ( ) ( ) a t d a t ln ( ) t a t dt = = (1.18)
ຄະນິດສາດການເງິນ 13 ຈາກສົມຜົນ (1.18) ຖ້າກໍານົດກໍາລັງດອກເບ້ຍ (t) ມາໃຫ້ ຈະໄດ້: d a s s ds ln ( ) = ( ) (1.19) ສັງຄະນິດສົມຜົນ (1.19) ຕັື້ງແຕ່ 0 ຫາ t ແລະ ໃຊ້ເງ ີ່ອນໄຂ a(0 1 ) = ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ln t t t s ds d a s s ds a t e = = (1.20) ແລະ ຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດ ( ( )) ( ) 0 1 t s s a t e − − = (1.21) ຈາກນິຍາມ 1.5 ພວກເຮົາຮູ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim h h a t h a t a t h a t a t h t a t h → → + − + − = = ໝາຍຄວາມວ່າ: ກໍາລັງດອກເບ້ຍເປັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງດອກເບ້ຍ ຫຼ ເວົື້າອີກຢ່າງໜ ີ່ງຄ : ກໍາລັງດອກເບ້ຍເປັນ ອັດຕາດອກເບ້ຍຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງໃນທຸກຈຸດຂອງເວລາ ເຊັົ່ນວ່າ: ສໍາລັບດອກເບ້ຍດ່ຽວ ເຊິີ່ງມີຕໍາລາສະສົມ a t it ( ) = +1 ຈະໄດ້: ( ) 1 i t it = + (1.22) ສໍາລັບດອກເບ້ຍສະສົມ ເຊິີ່ງມີຕໍາລາສະສົມ ( ) (1 ) t a t i = + ຈະໄດ້: (t it ) = + ln 1( ) (1.23) ຂ ໍ້ສັງເກດ: ສໍາລັບສົມຜົນ (1.19) ບົົ່ງບອກໃຫ້ຮູ້ວ່າ: ຄວາມໜາແໜ້ນຂອງດອກເບ້ຍດ່ຽວຈະນ້ອຍລົງ ເມ ີ່ອ ລົງທ ນເປັນເວລາດົນຂ ື້ນ, ສ່ວນສົມຜົນ (1.20) ບົົ່ງບອກໃຫ້ຮູ້ວ່າ: ຄວາມໜາແໜ້ນຂອງດອກເບ້ຍສະສົມຈະຄົງຄ່າ ສະເໝີ ບ ໍ່ວ່າຈະລົງທ ນເປັນເວລາດົນເທົົ່າໃດກ ໍ່ຕາມ. ເພີີ່ມເຕີມ 1.1 ກໍານົດໃຫ້ (m) i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ທຽບເທົົ່າ (m) i ຈະໄດ້ວ່າ: ກໍາລັງດອກເບ້ຍສໍາລັບດອກເບ້ຍສະສົມ ເທົົ່າກັບ ( ) lim ln 1( ) m m i i → = + ນັື້ນຄ (t it ) = + ln 1( ) ພິສູດ: ຈາກນິຍາມຂອງກໍາລັງດອກເບ້ຍ ແລະ ທິດສະດີ 1.3 ພວກເຮົາສາມາດພິຈາລະນາກໍາລັງດອກເບ້ຍເປັນ ການຄິດດອກເບ້ນສະສົມບ ໍ່ສິື້ນສຸດຄັື້ງຕ ໍ່ງວດ ເຊິີ່ງຄ ດັົ່ງການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງໃນທຸກຈຸດຂອງເວລາ ແລະ ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກຈະເອີື້ນວ່າ: ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ (Continuous Compounding Rate) ຂຽນ ແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ ເມ ີ່ອ = + ln 1( i) ຫຼ e i 1 = + (1.24) ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ P0 ເປັນໄລຍະເວລາ t ໃດໆ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ ເນ ີ່ອງ ຈ ີ່ງເທົົ່າກັບ 0 0 (1 ) t t t S P i P e = + = (1.25) ເມ ີ່ອ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ທຽບເທົົ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຈາກການສັງເກດ ເຮັດໃຫ້ເຫັນປະໂຫຍດຂອງກໍາລັງດອກເບ້ຍ ຄ : ໃຊ້ວັດຄວາມໜາແໜ້ນຂອງດອກເບ້ຍ ແລະ ສາມາດໃຊ້ປະໂຫຍກໃນການປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ມີການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມບາງຄັື້ງຫຼາຍໆ ເຊັົ່ນ: ຄິດ ລາຍວັນ ຫຼ ລາຍອາທິດ. ໃນທາງປະຕິບັດອາດພິຈາລະນາກໍາລັງດອກເບ້ຍເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາ ດອກເບ້ຍສະສົມບາງຄັື້ງຫຼາຍໆ ໃນ 1 ຊ່ວງເວລາ (ປ ) ນອກຈາກນັື້ນ, ຍັງໃຊ້ໃນການຄໍານວນຜົນຕາ າລາຄາຕາສານ ເຊິີ່ງຈະເວົື້າເຖິງໃນເນ ື້ອໃນບົດຕ ໍ່ໄປໆ ອີກດ້ວຍ. ຕົວຢ່າງ 1.21 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າສະສົມ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຂອງເງິນລົງທ ນຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ທີີ່ໃຊ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ ເທົົ່າກັບ 3% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກວັນ. ແກ້: ວິທີ 1: ຄໍານວນໂດຍກົງ, ສົມມຸດວ່າ: 1 ປ ມີ365 ວັນ ຈະໄດ້ເງິນສະສົມທ້າຍປ ທີີ່ 10 ແມ່ນ 365 10 ( ) 10 0.03 100 1 134.98422 365 S = + = ລ້ານກີບ. ວິທີ 2: ພິຈາລະນາການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກວັນ ເປັນການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຈະໄດ້ເງິນສະ ສົມທ້າຍປ ທີີ່ 10 ແມ່ນ 0.03 10 ( ) 10 S e = = 100 134.98588 ລ້ານກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 14 ຕົວຢ່າງ 1.22 ກໍານົດກໍາລັງດອກເບ້ຍ ( ) ( )( ) 2 1 2 t t t = + + ຈົົ່ງຊອກຫາເງິນສະສົມຂອງເງິນລົງທ ນ 1 ກີບ ໃນ ທ້າຍປ ທີີ່ n ແກ້: ຈາກໂຈດຕ້ອງການຫາເງິນສະສົມຂອງເງິນລົງທ ນ 1 ກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ n ເຊິີ່ງເປັນຕໍາລາສະສົມ; ສະນັື້ນ ໂຈດຕ້ອງການຫາຕໍາລາສະສົມ a t( ) ນັື້ນເອງ. ຈາກນິຍາມຂອງກໍາລັງດອກເບ້ຍ ( ) ( ) ( ) a t d a t ln ( ) t a t dt = = ຈະໄດ້: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ln 2 1 1 2 1 2 1 2 d a t dt t t t t = = − + + + + ສັງຄະນິດຕັື້ງແຕ່ 0 ຫາ n ເຂົື້າທັງສອງຟາກ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 ln 2 ln 2ln 1 2 2 n n n n t d a t dt a t t t t + = − = + + + ( ) ( ) 1 1 ln ln 0 2ln ln 2 2 t a n a t + − = − + ຈາກ a(0 1 ) = ແລະ ຈັດຮູບຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 1 1 ln 2ln 2 4 2 2 t t a n a n t t + + = = + + ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສະສົມຂອງເງິນລົງທ ນ 1 ກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ n ແມ່ນ 2 1 4 2 t t + + ຕົວຢ່າງ 1.23 ກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນຂອງກອງທ ນ 2 ກອງທ ນ ຄ ກອງທ ນ A ແລະ ກອງທ ນ B ດັົ່ງນີື້: ກອງທ ນ ຜົນຕອບແທນ A ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ B ອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ຈົົ່ງຊອກຫາໃນເວລາທີີ່ເຮັດໃຫ້ກໍາລັງດອກເບ້ຍຂອງທັງສອງກອງທ ນເທົົ່າກັນ? ແກ້: ກອງທ ນ A ເປັນການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ ໂດຍນິຍາມຂອງກໍາລັງດອກເບ້ຍ ຈະ ໄດ້ ( ) 0.1 1 0.1 t t = + ກອງທ ນ B ເປັນການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ (ກໍານົດ (4) 0.09 4 4 i = ) ຈະໄດ້ ( ) 4 4 4 0.09 1 1 1 4 4 i i + = + = + ໂດຍໃຊ້ນິຍາມຂອງກໍາລັງດອກເບ້ຍ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 4 4 0.09 ln 1 ln 1 4ln 1 0.0890 4 4 i t i = + = + = + = ໃຫ້ x ເປັນເວລາທີີ່ກອງທ ນທັງສອງມີກໍາລັງດອກເບ້ຍເທົົ່າກັນ ຈະໄດ້: 0.1 0.0890 1.2360 1 0.1 x x = = + ນັື້ນຄ ເວລາທີີ່ກອງທ ນທັງສອງມີກໍາລັງດອກເບ້ຍເທົົ່າກັນ ໃນເວລາ 1.2360 ປ ຫຼ ປະມານ 1 ປ 86 ວັນ. 1.4 ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ແລະ ເງິນຝືດ ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ແລະ ເງິນຝືດ (Inflation and Deflation Rate) ເປັນເຄ ີ່ອງມ ຊີື້ວັດສະຖານະທາງເສດຖະກິດ ຕົວໜ ີ່ງທີີ່ບົົ່ງບອກເຖິງອໍານາດຊ ື້(Purchasing Power) ວ່າເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງທີີ່ເຄີຍຊ ື້ສິນຄ້າຊະນິດໜ ີ່ງໄດ້ຈໍານວນ ໜ ີ່ງໃນອະດິດ, ໃນປະຈຸບັນເງິນຈໍານວນນັື້ນຈະສາມາດຊ ື້ສິນຄ້າດັົ່ງກ່າວນັື້ນໄດ້ຈໍານວນເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງ ນັື້ນຄ ລາຄາສິນຄ້າແພງຂ ື້ນ ຫຼ ຖ ກລົງ; ນອກຈາກນີື້, ພາວະເງິນເຟ ີ້ ແລະ ເງິນຝືດ ຍັງສົົ່ງຜົນກະທົບຕ ໍ່ມູນຄ່າທີີ່ແທ້ຈິງຂອງ ເງິນທີີ່ພວກເຮົາມີຢູ່ອີກ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 15 1.4.1 ພາວະເງິນເຟ ີ້ ພາວະເງິນເຟ ີ້ ຄ ພາວະທີີ່ລະດັບລາຄາສິນຄ້າ ໂດຍລວມໃນທ້ອງຕະຫຼາດສູງຂ ື້ນເລ ື້ອຍໆ ຫຼ ເວົື້າວ່າ: ລາຄາ ສິນຄ້າສ່ວນໃຫຍ່ແພງຂ ື້ນ ໂດຍວົງຈອນຂອງພາວະເງິນເຟ ີ້ສາມາດສະແດງດ້ວຍແຜນວາດ ດັົ່ງນີື້: ຮູບທີ 1.8 ພາວະເງິນເຟ ີ້ ສາເຫດທີີ່ເຮັດໃຫ້ເກີດພາວະເງິນເຟ ີ້ ພາວະເງິນເຟ ີ້ມັກເກີດຂ ື້ນ 2 ສາເຫດຫຼັກໆ ຄ ເກີດຈາກຕົື້ນທ ນໃນການຜະລິດທີີ່ສູງຂ ື້ນ (Cost-Push Inflation) ແລະ ເກີດຈາກຄວາມຕ້ອງການສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການທີີ່ເພີີ່ມສູງຂ ື້ນ (Demand-Pull Inflation) 1) ສາເຫດຈາກຕົື້ນທ ນໃນການຜະລິດທີີ່ສູງຂ ື້ນ: ຍ້ອນຕົື້ນທ ນທີີ່ໃຊ້ໃນການຜະລິດສິນຄ້າ ເຊັົ່ນ: ສ່ວນປະສົມ ຫຼ ວັດຖຼຸດິບທີີ່ໃຊ້ໃນການຜະລິດສິນຄ່າ, ຄ່າຈ້າງແຮງງານ, ຄ່າໃຊ້ຈ່າຍຕ່າງໆ ໃນການຜະລິດລວມເຖິງ ຄ່າໃຊ້ຈ່າຍໃນການຂົນສົົ່ງສິນຄ້າ ອາດມີລາຄາເພີີ່ມຂ ື້ນ. 2) ສາເຫດຈາກຄວາມຕ້ອງການສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການທີີ່ເພີີ່ມສູງຂ ື້ນ: ຖ້າມີຄວາມຕ້ອງການສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການທີີ່ເພີີ່ມສູງຂ ື້ນຢ່າງໄວວາ ໃນຂະນະທີີ່ປະລິມານສິນຄ້າ ແລະ ການບ ລິການທີີ່ມີຢູ່ໃນຕະຫຼາດມີບ ໍ່ພຽງພ ກ ໍ່ຕ້ອງເຮັດໃຫ້ສິນຄ້າ ແລະ ການບ ລິການມີລາຄາເພີີ່ມສູງຂ ື້ນໄດ້ ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ເກີດພາວະເງິນເຟ ີ້ຂ ື້ນໄດ້ຄ ກັນ. ເຄ ີ່ອງມ ທີີ່ໃຊ້ວັດພາວະເງິນເຟ ີ້ ເຄ ີ່ອງມ ທີີ່ໃຊ້ວັດພາວະເງິນເຟ ີ້ມີຫຼາຍຊະນິດ ແຕ່ທີີ່ນິຍົມໃຊ້ກັນ ແມ່ນ ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ (CPI) ແລະ ດັດສະນີລາຄາຜູ້ຜະລິດ (PPI) ແຕ່ໂດຍທົົ່ວໄປແມ່ນໃຊ້ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກເປັນເຄ ີ່ອງມ ວັດພາວະເງິນເຟ ີ້. ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ (Consumption Price Index: CPI) ຄ : ຕົວເລກທີີ່ສະແດງເຖິງການປ່ຽນແປງ ລະດັບສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການທີີ່ຈໍາເປັນໃນຊີວິດປະຈໍາວັນ ໃນໄລຍະເວລາໜ ີ່ງໆ, ເມ ີ່ອທຽບກັບປ ຖານ ໂດຍທີີ່ປ ຖານ ຄ : ປ ທີີ່ກໍານົດຂ ື້ນເພ ີ່ອໃຊ້ເປັນປ ປຽບທຽບ ໂດຍມັກຈະກໍານົດໃຫ້ເປັນປ ທີີ່ບ້ານເມ ອງຢູ່ໃນສະພາບປົກກະຕິ ຄ : ບ ໍ່ໄດ້ ຢູ່ໃນສະພາບສົງຄາມ, ໄປທໍາມະຊາດ, ປະຕິວັດການເມ ອງ, ... ພວກເຮົາສາມາດຄໍານວນດັດສະນີລາຄາຜູ້ບລິໂພກ ໄດ້ຈາກສູດ: 1 100 k ni oi i oi oi P Q CPI = P Q = (1.26) ເມ ີ່ອ CPI ຄ ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ P Qoi oi ຄ ມູນຄ່າຂອງສິນຄ້າ ຫຼ ບ ລິການທີີ່ບ ລິໂພກໃນປ ຖານຂອງສິນຄ້າຊະນິດທີີ່ i P Qni oi ຄ ມູນຄ່າຂອງສິນຄ້າ ຫຼ ບ ລິການທີີ່ບ ລິໂພກໃນປ ທີີ່ຕ້ອງການຄໍານວນຄ່າດັດສະນີ ຂອງສິນຄ້າຊະນິດທີີ່ i k ຄ ຈໍານວນຊະນິດສິນຄ້າ ແລະ ການບ ລິການທີີ່ໃຊ້ໃນການຄໍານວນ ການຄໍານວນອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ຄ ອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງດັດສະນີລາຄາຂອງປ ປະຈຸບັນປຽບທຽບກັບດັດສະນີລາຄາຂອງ ປ ກ່ອນ ຫຼ ອັດຕາການປ່ຽນແປງທີີ່ປຽບທຽບລະຫວ່າງຊ່ວງເວລາທີີ່ຕ ໍ່ເນ ີ່ອງກັນ ໂດຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ປ ທີີ່ n ໃດໆ ອໍານາດຊ ື້ ຫຼຼຸດລົງ ລະດັບລາຄາ ສິນຄ້າ ສູງຂ ື້ນ ລາຍໄດ້ ທີີ່ແທ້ຈິງ ຫຼຼຸດລົງ ພາວະເງິນເຟ ີ້
ຄະນິດສາດການເງິນ 16 ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ i n inf ( ) ແລະ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ: ( ) 1 inf 1 n n n CPI CPI i n CPI − − − = (1.27) ເມ ີ່ອ CPIt ຄ ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກປ ທີີ່ t ຕົວຢ່າງ 1.24 ຖ້າປ 2020 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 127 ແລະ ປ 2021 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 130 ແລ້ວອັດຕາເງິນເຟ ີ້ຂອງປ 2021 ແມ່ນເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດພວກເຮົາມີ 2020 CPI =127 ແລະ 2021 CPI =130 ແທນໃສ່ສູດ i n inf ( ) ຈະໄດ້: ( ) 2021 2020 inf 2021 2020 130 127 2021 0.023622 2.3622% 127 CPI CPI i IR CPI − − = = = 1.4.2 ພາວະເງິນຝືດ ພາວະເງິນຝືດ ເປັນພາວະທີີ່ກົງກັນຂ້າມກັບພາວະເງິນເຟ ີ້ ຄ ປະລິມານເງິນໃນລະບົບມີນ້ອຍກວ່າຄວາມ ຕ້ອງການ ຫຼ ສະຫຼຼຸບໄດ້ງ່າຍໆ ຄ : ພາວະທີີ່ສິນຄ້າໂດຍທົົ່ວໄປມີລະດັບລາຄາຫຼຼຸດລົງເລ ື້ອຍໆ ເຊິີ່ງບ ໍ່ໄດ້ໝາຍຄວາມວ່າ ສິນຄ້າທຸກຊະນິດຈະຕ້ອງມີລາຄາຫຼຼຸດລົງ ເປັນພາວະທີີ່ລະດັບລາຄາສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການ ໂດຍທົົ່ວໄປຫຼຼຸດລົງເລ ື້ອຍໆ ຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງເປັນເວລາດົນ. ການທີີ່ລາຄາສິນຄ້າຫຼຼຸດລົງນັື້ນເກີດຈາກອຸປະສົງລວມນ້ອຍກວ່າອຸປະທານໃນຂະນະນັື້ນ ເຮັດໃຫ້ຜູ້ຜະລິດຈໍາເປັນຕ້ອງຫຼຼຸດລາຄາສິນຄ້າ, ຫຼຼຸດຈໍານວນຜະລິດ ແລະ ເຮັດໃຫ້ເກີດການຫວ່າງງານຂ ື້ນ, ລາຍໄດ້ ຕົກຕໍໍ່າລົງ, ທຸລະກິດບ ໍ່ສາມາດຊໍາລະໜີື້ສິນ, ເຮັດໃຫ້ສະຖາບັນການເງິນໄດ້ຮັບຜົນກະທົບຢ່າງຫຼາຍ ເພາະເອີື້ນເກັບໜີື້ ບ ໍ່ໄດ້ ຫຼ ມີໜີື້ສູນເສຍ; ການປ່ອຍສິນເຊ ີ່ອຖ ກຈໍາກັດເຂັື້ມງວດ, ດອກເບ້ຍສູງຂ ື້ນສົົ່ງຜົນໃຫ້ບ ໍ່ມີການກູ້ຢືມໄປລົງທ ນ ເສດຖະກິດຈ ີ່ງຕົກຕໍໍ່າເປັນອັນຕະລາຍຢ່າງຍິີ່ງຕ ໍ່ລະບົບເສດຖະກິດ. ສາເຫດທີີ່ເຮັດໃຫ້ເກີດພາວະເງິນຝືດ ພາວະເງິນຝືດອາດເກີດຂ ື້ນຈາກຫຼາຍສາເຫດ ເຊັົ່ນ: 1) ການຂາດແຄນເງິນຕົື້ນທ ນ ຫຼ ເງິນອອມ: ເມ ີ່ອຂາດແຄນເງິນອອມສະຖາບັນການເງິນຈ ີ່ງຕ້ອງກໍາ ນົດອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນຝາກໃຫ້ສູງຂ ື້ນເພ ີ່ອດ ງດູດເງິນຝາກສົງຜົນໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້ຕ້ອງປັບສູງຂ ື້ນດ້ວຍ, ເຮັດໃຫ້ການກູ້ຢືມເງິນເພ ີ່ອການລົງທ ນຫຼຼຸດລົງສົົ່ງຜົນກະທົບເປັນລູກໂຊເຮັດໃຫ້ການຜະລິດຫຼຼຸດລົງ, ການຈ້າງງານ ຫຼຼຸດລົງ, ລາຍໄດ້ຂອງປະຊາຊົນຫຼຼຸດລົງ, ການຊ ື້ຂາຍຊະລ ຕົວ ໃນທີີ່ສຸດຈ ີ່ງເຮັດໃຫ້ຕ້ອງປັບລາຄາສິນຄ້າລົງເພ ີ່ອດ ງດູດ ລູກຄ້າ. 2) ເງິນໃນປະເທດໄຫຼອອກໄປຫາຕ່າງປະເທດຫຼາຍເກີນໄປ: ເຮັດໃຫ້ສູນເສຍເງິນຕາໄປຫາຕ່າງປະ ເທດເປັນຈໍານວນຫຼາຍ ແລະ ນໍາໄປສູ່ການຂາດແຄນເງິນຕົື້ນທ ນ ສົົ່ງຜົນກະທົບເຮັດໃຫ້ເງິນຫຼຼຸດນ້ອຍລົງພາວະດອກ ເບ້ຍສູງຂີື້ນ. 3) ຄວາມຜິດພາດໃນການດໍາເນີນນະໂຍບາຍການເງິນ ແລະ ການຄັງ: ການຂ ື້ນອັດຕາດອກເບ້ຍໃນ ຕະຫຼາດການເງິນສູງເກີນໄປສົົ່ງຜົນໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້ສູງຂ ື້ນໄປດ້ວຍ; ການຈັດເກັບພາສີໃນອັດຕາສູງເກີນ ໄປສົົ່ງຜົນໃຫ້ປະຊາຊົນເຫຼ ອເງິນໃຊ້ຈ່າຍນ້ອຍ. ການພິມທະນາບັດອອກໝູນວຽນໃຊ້ບ ໍ່ພຽງພ ກັບຄວາມຈໍາເປັນຂອງ ພາວະເສດຖະກິດໃນຂະນະນັື້ນ, ມາດຕະການປັບຫຼຼຸດທາງພາສີທີີ່ຫຼາຍເກີນໄປສົົ່ງຜົນໃຫ້ລັດຖະບານຂາດເງິນທີີ່ຈະໃຊ້ ໝູນວຽນ ຫຼ ຂັບເຄ ີ່ອນລະບົບເສດຖະກິດໃຫ້ເກີດການຈ້າງງານເພ ີ່ອເພີີ່ມປະລິມານເງິນໃນລະບົບ ເປັນຕົື້ນ. 4) ການຫຼຼຸດລົງຂອງລາຄາຕົື້ນທ ນຈາກປັດໄຈຕ່າງໆ: ເນ ີ່ອງຈາກ ອັດຕາແລກປ່ຽນ ຫຼ ມາດຕະການ ປັບຫຼຼຸດພາສີ ເປັນຕົື້ນ; ເຮັດໃຫ້ຜະລິດສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການໄດ້ໃນຈໍານວນຫຼາຍສົົ່ງຜົນໃຫ້ອຸປະສົງໂດຍລວມຫຼາຍ ກວ່າອຸປະທານ ສົົ່ງຜົນໃຫ້ຜູ້ປະກອບການຕ້ອງປັບຫຼຼຸດລາຄາ ແລະ ກໍາລັງການຜະລິດ ເຊິີ່ງສົົ່ງຜົນຕ ໍ່ການຈ້າງງານ ແລະ ລາຍໄດ້ຂອງປະຊາຊົນ. ການຄໍານວນອັດຕາເງິນຝືດ ອັດຕາເງິນຝືດ ສາມາດຄໍານວນໄດ້ຈາກສູດອັດຕາເງິນເຟ ີ້ (1.27) ໂດຍຄ່າທີີ່ຄໍານວນໄດ້ຈາກສູດເປັນລົບ ຈະໝາຍເຖິງອັດຕາເງິນຝືດ. ຖ້າ CPI CPI n n −1 ຈະເກີດພາວະເງິນເຟ ີ້ແຕ່ຖ້າ CPI CPI n n −1 ຈະເກີດພາວະ ເງິນຝືດ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 17 ຕົວຢ່າງ 1.25 ຖ້າປ 2020 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 130 ແລະ ປ 2021 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 125 ແລ້ວອັດຕາເງິນຝືດຂອງປ 2021 ແມ່ນເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດພວກເຮົາມີ 2020 CPI =130 ແລະ 2021 CPI =125 ແທນໃສ່ສູດ i n inf ( ) ຈະໄດ້: ( ) 2021 2020 inf 2021 2020 125 130 2021 100 100 3.85% 130 CPI CPI i IR CPI − − = = − ຫຼ ເວົື້າວ່າ ປ 2021 ເກີດພາວະເງິນຝືດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 3.85% ເຊິີ່ງໝາຍເຖິງ ເງິນຈໍານວນ 96.15 ກີບ ໃນ ປ 2021 ມີຄ່າເທົົ່າກັບເງິນ 100 ກີບ ໃນປ 2020 ຫຼ ເວົື້າອີກຢ່າງໜ ີ່ງວ່າ: ລາຄາສິນຄ້າໂດຍລວມໃນປ 2021 ຖ ກ ກວ່າລາຄາສິນຄ້າໂດຍລວມໃນປ 2020 ປະມານ 3.85% 1.4.3 ການວັດຄ່າຂອງເງິນ ການວັດຄ່າຂອງເງິນ ເຮັດໄດ້ວິທີໜ ີ່ງໂດຍການປຽບທຽບດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການໃນ ເວລາຕ່າງໆ ໂດຍກໍານົດໃຫ້ປ ໃດປ ໜ ີ່ງເປັນປິຖານສໍາລັບການປຽບທຽບ. ຄ່າຂອງເງິນປ ທີີ່ t ຄ ມູນຄ່າຂອງເງິນ 1 ກີບ ໃນປ ທີີ່ t ທຽບກັບເງິນໃນປ ຖານ ຈະຂຽນແທນດ້ວຍ t u ແລະ ສາມາດຄໍານວນໄດ້ຈາກສູດ: 0 t t CPI u CPI = (1.28) ເມ ີ່ອ CPI0 ດັດສະນີຜູ້ບ ລິໂພກຂອງປ ຖານ ແລະ CPIt ດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກຂອງປ ທີີ່ t ຕົວຢ່າງ 1.26 ສົມມຸດ ໃນປ 2020 ເປັນປ ຖານ ທີີ່ມີCPI ເທົົ່າກັບ 100 ຖ້າໃນປ 2021 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 125 ຈົົ່ງ ຊອກຫາຄ່າຂອງເງິນໃນປ 2021 ແມ່ນເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຄ່າຂອງເງິນໃນປ 2021 ແມ່ນ 2020 2021 2021 100 0.8 125 CPI u CPI = = = ໝາຍຄວາມວ່າ: ເງິນ 1 ກີບ ໃນປ 2021 ມີຄ່າທຽບເທົົ່າກັບເງິນ 0.8 ກີບ ໃນປ 2020 ນັື້ນສະແດງວ່າ ເງິນໃນປ 2021 ມີຄ່າຫຼຼຸດລົງ. ຕົວຢ່າງ 1.27 ສົມມຸດ ໃນປ 2020 ເປັນປ ຖານ ທີີ່ມີCPI ເທົົ່າກັບ 125 ຖ້າໃນປ 2023 ມີCPI ເທົົ່າກັບ 140 ຈົົ່ງ ຊອກຫາຄ່າຂອງເງິນໃນປ 2023 ແມ່ນເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຄ່າຂອງເງິນໃນປ 2023 ແມ່ນ 2020 2023 2023 125 0.89 140 CPI u CPI = = ເຊິີ່ງໝາຍຄວາມວ່າ: ເງິນ 1 ກີບ ໃນປ 2023 ມີມູນຄ່າເທົົ່າກັບເງິນ 0.89 ກີບ ໃນປ 2020. ການຄໍານວນລາຄາສິນຄ້າ ແລະ ການບ ລິການ ສົມມຸດວ່າ: ລາຄາ ແລະ ການບ ລິການ ໃນປ ທີີ່ t ໃດໆ ແທນດ້ວຍ At ເປັນໄປຕາມຄ່າດັດສະນີລາຄາຜູ້ ບ ລິໂພກ (CPI) ພວກເຮົາສາມາດຄໍານວນລາຄາສິນຄ້າ ແລະ ການບ ລິການ ຈາກສູດ: 0 0 t t CPI A A CPI = (1.29) ເມ ີ່ອ At ລາຄາສິນຄ້າຂອງປິຖານ, CPI0 ດັດສະນີຜູ້ບ ລິໂພກຂອງປ ຖານ ແລະ CPIt ດັດສະນີລາຄາຜູ້ ບ ລິໂພກຂອງປ ທີີ່ t ເມ ີ່ອແທນ (1.28) ລົງໃນ (1.29) ຈະໄດ້: 0 t t A A u = (1.30) ຕົວຢ່າງ 1.28 ສົມມຸດວ່າ: ຄ່າດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກໃນປ ຕ່າງ ເປັນດັົ່ງນີື້: ປ 2016 2017 2018 2019 2020 2021 ຄ່າ CPI 100 101.6 104.1 107.8 114.3 116.4 ກ) ໃນປ 2016 ອາຫານມີລາຄາ 25000 ກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາອາຫານມ ື້ໜ ີ່ງ (ອາຫານປະເພດດຽວກັນ) ໃນປ 2021 ຂ) ລົດໃຫຍ່ຍີີ່ຫ ໍ້ໜ ີ່ງ ໃນປ 2017 ມີລາຄາຄັນລະ 500 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາລົດໜ ີ່ງຍີີ່ຫ ໍ້ນີື້ ໃນປ 2020 (ສົມມຸດວ່າລາຄາເປັນໄປຕາມດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ)
ຄະນິດສາດການເງິນ 18 ຄ) ຄ່າແຮງງານຂັື້ນຕໍໍ່າ ໃນປ 2018 ເທົົ່າກັບ 70000 ກີບຕ ໍ່ວັນ, ຖ້າຕ້ອງການໃຫ້ສະພາບການດໍາລົງຊີວິດຂອງຜູ້ໃຊ້ ແຮງງານດີຂ ື້ນ ຄ່າແຮງງານຂັື້ນຕໍໍ່າໃນປ 2021 ຄວນເປັນວັນລະເທົົ່າໃດ? ງ) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງເງິນ ໃນປ 2020 ໂດຍທຽບກັບປ ຖານ 2017? ຈ) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງເງິນ ໃນປ 2021 ໂດຍທຽບກັບປ ຖານ 2016? ແກ້: ກ) ໃນນີື້ 2016 CPI =100, 2021 CPI =116.4 ແລະ 2016 A = 25000 ຈະໄດ້: 2021 2021 2016 2016 CPI A A CPI = 2021 ( ) 116.4 25000 29100 100 A = = ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາອາຫານມ ື້ໜ ີ່ງ ໃນປ 2021 ເທົົ່າກັບ 29100 ກີບ. ວິເຄາະ: ສະແດງວ່າ ຖ້າມີການປັບຂ ື້ນລາຄາອາຫານ ໃນປ 2021 ກ ໍ່ບ ໍ່ຄວນປັບຂ ື້ນເກີນ 29100 ກີບ ເຊິີ່ງຈະ ສອດຄ້ອງກັບດັດສະນີຜູ້ບ ລິໂພກ. ຂ) ໃນນີື້ 2017 CPI =101.6, 2020 CPI =114.3 ແລະ 2017 A = 500 ຈະໄດ້: 2020 2020 2017 2017 CPI A A CPI = 2020 ( ) 114.3 500 562.5 101.6 A = = ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາລົດໜ ີ່ງຍີີ່ຫ ໍ້ນີື້ ໃນປ 2020 ເທົົ່າກັບ 562.5 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງຈະ ສອດຄ້ອງກັບດັດສະນີຜູ້ບ ລິໂພກ. ຄ) ໃນນີື້ 2018 CPI =104.1, 2021 CPI =116.4 ແລະ 2018 A = 70000 ຈະໄດ້: 2021 2021 2018 2018 CPI A A CPI = 2021 ( ) 116.4 70000 78270.89 104.1 A = = ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າແຮງງານຂັື້ນຕໍໍ່າໃນປ 2021 ຄວນເປັນວັນລະ 78270.89 ກີບ ເຊິີ່ງຈະສອດຄ້ອງກັບດັດສະນີຜູ້ບ ລິໂພກ. ງ) ໃນນີື້ 2020 CPI =114.3 ແລະ 2017 CPI =101.6 ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າຂອງເງິນ 2017 2020 2020 101.6 0.89 114.3 CPI u CPI = = ຈ) ໃນນີື້ 2021 CPI =116.4 ແລະ 2016 CPI =100 ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າຂອງເງິນ 2016 2021 2021 100 0.86 116.4 CPI u CPI = = ການຫາອັດຕາປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນ ພວກເຮົາສາມາດຫາອັດຕາການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນ ໄດ້ຈາກ: ເປ ເຊັນການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນ ( ) 0 0 0 100 1 100 1 100 t t t u u CPI u u CPI − = = − = − ເມ ີ່ອ 0 u ຄ ຄ່າເງິນຂອງປ ຖານ ເຊິີ່ງມີຄ່າເທົົ່າກັບ 1 ຕົວຢ່າງ 1.29 ຖ້າຄ່າ CPI ປ່ຽນຈາກ 125 ເປັນ 150 ຈົົ່ງຊອກຫາເປ ເຊັນການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນ. ແກ້: ໃນນີື້ 150 CPIt = ແລະ 0 CPI =125 ເປ ເຊັນການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນ 0 125 1 100 1 100 0.1667 16.67% 150 t CPI CPI = − = − − = − ໝາຍຄວາມວ່າ: ເມ ີ່ອ CPI ປ່ຽນແປງເພີີ່ມຂ ື້ນ ຄ່າຂອງເງິນຈະມີຄ່າຫຼຼຸດລົງ ເຊິີ່ງໃນທີີ່ນີື້ເງິນມີຄ່າຫຼຼຸດລົງ 16.67% 1.4.4 ອັດຕາຈິງຂອງດອກເບ້ຍ ການລົງທ ນໃນພາວະເງິນເຟ ີ້ ສິີ່ງສໍາຄັນທີີ່ພວກເຮົາຈະຕ້ອງພິຈາລະນາຄ ຜົນຕອບແທນ ຫຼ ດອກເບ້ຍທີີ່ ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຫຼາຍກວ່າອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ຫຼ ບ ໍ່; ຖ້າດອກເບ້ຍທີີ່ໄດ້ຮັບຫຼາຍກວ່າອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ສະແດງວ່າ: ການ ລົງທ ນມີປະສິດທິພາບລະດັບໜ ີ່ງຄ ເຮັດໃຫ້ເງິນລວມທີີ່ໄດ້ຮັບມີອໍານາດຊ ື້ເພີີ່ມຂ ື້ນ, ຖ້າພວກເຮົາລະເລີຍບ ໍ່ພິຈາລະນາ ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ເງິນສະສົມທີີ່ຈະໄດ້ຮັບອາດຈະມີອໍານາດຊ ື້ຫຼຼຸດລົງເມ ີ່ອທຽບກັບອໍານາດຊ ື້ຂອງເງິນຕົື້ນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນກ ໍ່ ໄດ້ ເຊັົ່ນ: ຖ້າພວກເຮົາຝາກເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ປ ປາກົດວ່າໃນປ ນັື້ນມີອັດຕາເງິນເຟ ີ້ 5%
ຄະນິດສາດການເງິນ 19 ນັື້ນສະແດງວ່າ ຖ້າລົງທ ນດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ ຕອນຕົື້ນປ ຈະໄດ້ຮັບເງິນ (ທີີ່ເປັນຕົວເງິນ) 103 ລ້ານກີບ ຕອນ ທ້າຍປ ; ໃນຂະນະທີີ່ເງິນ 100 ລ້ານກີບ ຕອນຕົື້ນປ ຈະມີມູນຄ່າເທົົ່າກັບເງິນຈໍານວນ 105 ລ້ານກີບ ຕອນທ້າຍປ ; ໝາຍຄວາມວ່າ: ມູນຄ່າຂອງເງິນ 103 ລ້ານກີບ ຕອນທ້າຍປ ຈະມີມູນຄ່າຕໍໍ່າກວ່າມູນຄ່າຂອງເງິນ 100 ລ້ານກີບ ຕອນຕົື້ນປ ສົົ່ງຜົນໃຫ້ເມ ີ່ອພິຈາລະນາເຖິງມູນຄ່າ ຫຼ ອໍານາດຊ ື້ຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຈິງ, ການລົງທ ນນີື້ຂາດທ ນ ເພາະ ເຮັດໃຫ້ອໍານາດຊ ື້ຫຼຼຸດລົງ; ດ້ວຍເຫດຜົນນີື້ ໃນການລົງທ ນທຸກໆ ຄັື້ງຈ ີ່ງຄວນພິຈາລະນາອັດຕາເງິນເຟ ີ້, ອັດຕາຜົນ ຕອບແທນທີີ່ຈະໄດ້ຮັບຈະຕ້ອງຫຼາຍກວ່າອັດຕາເງິນເຟ ີ້ສະເໝີຈ ີ່ງເວົື້າໄດ້ວ່າໄດ້ກໍາໄລຢ່າງແທ້ຈິງ. ສໍາລັບຜູ້ບ ລິຫານໂຄງການລົງທ ນຈະຕ້ອງຄໍານ ງເຖິງການກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນທີີ່ດີ ເຊິີ່ງສະທ້ອນເຖິງ ຄວາມສ່ຽງຂອງການລົງທ ນໃນໂຄງການລົງທ ນນັື້ນໆ. ການສູນເສຍໂອກາດຈາການລົງທ ນໃນໂຄງການ ຫຼ ສິນ ຊັບອ ີ່ນໆ ແລະ ມູນຄ່າຂອງເງິນທີີ່ຫຼຼຸດລົງອັນເນ ີ່ອງມາຈາກລາຄາສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການທີີ່ສູງຂ ື້ນໃນອະນາຄົດ (ພາວະ ເງິນເຟ ີ້), ຜູ້ລົງທ ນຄວນຈະໄດ້ຜົນຕອບແທນທີີ່ຫຼາຍພຽງພ ທີີ່ຈະຊົດເຊຍການສູນເສຍໂອກາດດັົ່ງກ່າວ ແລະ ຊົດເຊີຍ ສ່ວນຂອງຄ່າເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈະຫຼຼຸດລົງເນ ີ່ອງຈາກພາວະເງິນເຟ ີ້ເອີື້ນວ່າ: ສ່ວນຊົດເຊີຍເງິນເຟ ີ້ (Inflation Premium) ໃນນີື້ຈະເວົື້າເຖິງ, ອັດຕາຈິງຂອງດອກເບ້ຍ ເຊິີ່ງເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ປັບຫຼຼຸດດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ເພ ີ່ອ ຄວາມສະດວກ ຈະກໍານົດສັນຍາລັກດັົ່ງນີື້: i ອັດຕາດອກເບ້ຍປົກກະຕິ ຫຼ ອັດຕາດອກເບ້ຍທີີ່ເປັນຕົື້ນເງິນຍັງບ ໍ່ໄດ້ປັບຫຼຼຸດດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້. inf i ອັດຕາເງິນເຟ ີ້. r i ອັດຕາດອກເບ້ຍຈິງ ເຊິີ່ງເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຈິງຈາກການພິຈາລະນາປັບຫຼຼຸດອັດຕາດອກເບ້ຍປົກກະຕິ ດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ແລ້ວ. ພວກເຮົາສາມາດຫາອັດຕາດອກເບ້ຍຈິງ r i ໄດ້ໂດຍພິຈາລະນາຈາກການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ມີອັດຕາດອກເບ້ຍປົກກະຕິ i ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ inf i ເຊັົ່ນ: ຕົື້ນທ ນຈິງ (ລວມເງິນເຟ ີ້) ເທົົ່າກັບ inf 1+i , ດອກເບ້ຍຈິງ ທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກການລົງທ ນຄໍານວນຈາກຕົື້ນທ ນຈິງເທົົ່າກັບ (1 1 1 + − + = − i i i ) ( inf inf ) . ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້: inf inf 1 1 r i i i − = + (1.31) ຈາກສູດ (1.6) ຈະໄດ້ມູນຄ່າສະສົມຂອງເງິນ 1 ກີບ ໃນທ້າຍງວດ ຄ : ( ) inf inf inf 1 1 1 1 1 1 1 r r i i a i i i − + = + = + = + + (1.32) ດັົ່ງນັື້ນ, ຕໍາລາສະສົມທີີ່ປັບຫຼຼຸດດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ແລ້ວ ແມ່ນ: ( ) ( ) inf 1 1 1 t t r r i a t i i + = + = + (1.33) ຕົວຢ່າງ 1.30 ທ. ເອ ລົງທ ນໄດ້ຜົນຕອບແທນ 10% ຕ ໍ່ປ , ຖ້າໃນປ ນັື້ນມີອັດຕາເງິນເຟ ີ້4% ລາວລົງທ ນໄດ້ຮັບ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ ຫຼ ອັດຕາດອກເບ້ຍຈິງເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດ i = 0.1 ແລະ inf i = 0.04 ຈະໄດ້: 1 0.04 0.057692 5.7692% 1 0.04 r i − = = + ດັົ່ງນັື້ນ, ລາວລົງທ ນໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍຈິງເທົົ່າກັບ 5.7692% ຕົວຢ່າງ 1.31 ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍເງິນບໍານານຂອງ ທ່ານ ດວງດີ ຫຼັງປັບຫຼຼຸດອັດຕາດອກເງິນ ເຊິີ່ງຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ເປັນເວລາ 10 ປ , ປ ລະ 20 ລ້ານກີບ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ແລະ ແຕ່ລະປ ມີອັດຕາເງິນ ເຟ ີ້ສະເລ່ຍ 2% ແກ້: ຈາກໂຈດ i = 0.06 ແລະ inf i = 0.02 ຈະໄດ້: 0.06 0.02 0.039216 3.9216% 1 0.02 r i − = = + ຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຫຼັງປັບຫຼຼຸດດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ( ) 2 10 P v v v = + + + 20 ... ເມ ີ່ອ 1 v 1.039216− = ໂດຍໃຊ້ຜົນບວກຂອງອະນຸກົມເລຂາຄະນິດ
ຄະນິດສາດການເງິນ 20 11 1 11 1 1.039216 1.039216 20 20 162.8552885 1 1 1.039216 v v P v − − − − − = = − − ນັື້ນແມ່ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການ ຈ່າຍເງິນບໍານານຫຼັງປັບຫຼຼຸດດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ໂດຍປະມານເທົົ່າກັບ 162.8552885 ລ້ານກີບ. ຕົວຢ່າງ 1.32 ສົມມຸດວ່າ: ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ສະເລ່ຍ a ຕ ໍ່ປ ແລະ ຈ່າຍເງິນທ້າຍປ ທໍາອິດ R ກີບ, ທ້າຍປ ທີີ່ 2 ຈ່າຍ R a (1+ ) ກີບ, ທ້າຍປ ທີີ່ 3 ຈ່າຍ ( ) 2 R a 1+ ກີບ, ເປັນແບບນີື້ເລ ື້ອຍໆ ຈົນຮອດທ້າຍປ ທີີ່ n ຈ່າຍ ( ) 1 1 n R a − + ກີບ. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງໝົດນີື້ເທົົ່າກັບ ( ) 1 1 n r r v R i a − + ເມ ີ່ອ ( ) 1 1 r v i − = + ແກ້: ຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງໝົດ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 1 1 ... 1 n n Rv R a v R a v R a v − = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 ... 1 n n Rv R a v R a v R a v − − = + + + + + + + ( ( ) ) ( ) 1 1 1 1 n a v R a v − + = − + ແມ່ນຜົນບວກຂອງອະນຸກົມເລຂາຄະນິດ ເພາະວ່າ inf 1 1 1 r i i i + + = + ແລະ ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 r r v i a i a v − − = + = + + = + ສະນັື້ນ, ຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງໝົດ ( ) 1 1 1 1 n n r r r r v v R R v i a − − = = − + ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງ ໝົດນີື້ເທົົ່າກັບ ( ) 1 1 n r r v R i a − + ເມ ີ່ອ ( ) 1 1 r v i − = + ບົດເຝ ກຫັດ 1 1. ຫ້າງສິນຄ້າແຫ່ງໜ ີ່ງຕິດປ້າຍລາຄາຂາຍຕູ້ເຢັນໄວ້ລາຄາ 3 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງເປັນລາຄາທີີ່ຍັງບ ໍ່ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7% ແລະ ຕິດປ້າຍຫຼຼຸດ 5% ຈາກລາຄາປ້າຍ ແລະ ຫຼຼຸດເປັນພິເສດອີກ 3% ສໍາລັບຜູ້ທີີ່ມີບັດສະມາຊິກ. ຈົົ່ງ ຊອກຫາວ່າ: ລູກຄ້າທີີ່ມີບັດສະມາຊິກຊ ື້ຕູ້ເຢັນໜ ີ່ງເຄ ີ່ອງໃນລາຄາເທົົ່າໃດ? 2. ທ. ອາຊາຍ ລົງທ ນໃນທຸລະກິດຢ່າງໜ ີ່ງດ້ວຍເງິນ ລ້ານກີບ, ຖ້າທຸລະກິດນັື້ນໄດ້ກໍາໄລ 7%, 11%, 17%, 15%, 14%, ຕ ໍ່ປ ຕາມລໍາດັບ ໃນ 5 ປ ທໍາອິດ ແລະ ຂາດທ ນ 6%, 5% ຕ ໍ່ປ ຕາມລໍາດັບ ໃນ 2 ປ ຫຼັງ. ຈົົ່ງ ຊອກຫາວ່າ: ທ້າຍປ ທີີ່ 7 ທ. ອາຊາຍມີເງິນໃນທຸລະກິດນັື້ນເທົົ່າໃດ? 3. ທ. ເອ ລົງທ ນຊ ື້ກອງທ ນກອງໜ ີ່ງເປັນເງິນ 100 ລ້ານກີບ ອາຍຸ 5 ປ ໂດຍໃນແຕ່ລະປ ໄດ້ຜົນຕອບແທນ 2%, 3%, 4%, 4% ແລະ 5% ຕ ໍ່ປ ຕາມລໍາດັບ, ເມ ີ່ອຄົບສັນຍາ ທ. ເອ ໄດ້ຮັບເງິນລວມທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ແລະ ຄິດເປັນຜົນຕອບແທນລວມເປ ເຊັນເທົົ່າໃດ? 4. ທ. ເອ ລົງທ ນຊ ື້ກອງທ ນກອງໜ ີ່ງເປັນເງິນ 100 ລ້ານກີບ ອາຍຸ 5 ປ ໂດຍໃນແຕ່ລະປ ໄດ້ຜົນຕອບແທນ 6%, -3%, -4%, -4% ແລະ 5% ຕ ໍ່ປ ຕາມລໍາດັບ, ເມ ີ່ອຄົບສັນຍາ ທ. ເອ ໄດ້ຮັບເງິນລວມທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ແລະ ທ. ເອ ໄດ້ກໍາໄລລວມ ຫຼ ຂາດທ ນລວມ ຄິດເປັນເປ ເຊັນເທົົ່າໃດ? (ເຄ ີ່ອງໝາຍລົບໝາຍເຖິງຂາດທ ນ) 5. ຮ້ານຄ້າແຫ່ງໜ ີ່ງຕິດປ້າຍຂາຍເກີບໄວ້ 180000 ກີບ (ຍັງບ ໍ່ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) ທາງຮ້ານຕິດປ້າຍຫຼຼຸດ ລາຄາໄວ້10% ແລະ ຈະຫຼຼຸດໃຫ້ອີກ 5% ຖ້າຊ ື້ສິນຄ້າພາຍໃນຮ້ານຄົບ 200000 ກີບ ຂ ື້ນໄປ. ນ. ວິ ຊ ື້ສິນຄ້າ ພາຍໃນຮ້ານໄປແລ້ວ 240000 ກີບ ລາວຈະຊ ື້ເກີບຄູ່ນີື້ໄດ້ໃນລາຄາເທົົ່າໃດ (ຍັງບ ໍ່ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) 6. ຮ້ານຄ້າແຫ່ງໜ ີ່ງຕິດປ້າຍຂາຍເສ ື້ອໄວ້ 240000 ກີບ (ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) ທາງຮ້ານຕິດປ້າຍຫຼຼຸດ ລາຄາໄວ້ 20% ຈາກລາຄາປ້າຍ ແລະ ຈະຫຼຼຸດໃຫ້ອີກ 10% ຖ້າມີບັດສະມາຊິກ. ນອກຈາກນີື້, ຖ້າລູກຄ້າຊໍາລະ ດ້ວຍບັດເຄດິດ ຈະຄ ນເງິນສົດໃຫ້ອີກ 5% ຂອງຍອດເງິນທີີ່ຊໍາລະ, ຖ້າ ດຸດີ ຊ ື້ເສ ື້ອຕົວນີື້ ໂດຍໃຊ້ບັດສະມາຊິກ ແລະ ຊໍາລະດ້ວຍບັດເຄດິດ ລາວຈະຊ ື້ເສ ື້ອນີື້ໄດ້ໃນລາຄາເທົົ່າໃດ?
ຄະນິດສາດການເງິນ 21 7. ນ. ພອນຄິດ ກູ້ເງິນຈາກ ທ. ຈອນ ຈໍານວນ 10 ລ້ານກີບ ແລະ ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກ ຫາວ່າ: ນ. ພອນຄິດ ນໍາເງິນໄປຄ ນເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 2 ທ. ຈອນ ຈະໄດ້ຮັບເງິນຄ ນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 8. ທ. ມົງຄຸນ ນໍາເງິນໄປຝາກທະນາຄານຈໍານວນ 5 ລ້ານກີບ ໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 5% ຕ ໍ່ປ ເມ ີ່ອລາວເປ ດ ບັນຊີ ລາວຈະໄດ້ຮັບເງິນທັງໝົດ 6 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ລາວຝາກເງິນໄວ້ເປັນໄລຍະເວລາເທົົ່າໃດ? 9. ຝາກເງິນໄວ້ກັບທະນາຄານຈໍານວນໜ ີ່ງ ຈະໃຊ້ເວລາເທົົ່າໃດຈ ີ່ງຈະໄດ້ເງິນລວມເປັນ 2 ເທົົ່າຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ, ຖ້າວ່າ: ທະນາຄານຄິດດອກເບ້ຍດ່ຽວອັດຕາ 12% ຕ ໍ່ປ . 10. ຈົົ່ງຊອກຈໍານວນດອກເບ້ຍ ແລະ ເງິນລວມ ຈາກເງິນກູ້ 1.65 ລ້ານກີບ ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 13% ຕ ໍ່ປ , ໄລຍະເວລາ 60 ວັນ. 11. ທ. ສໍານ ກ ກູ້ເງິນມາ 35 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 6 ເດ ອນ ຕ້ອງນໍາເງິນຕົື້ນທ ນພ້ອມດອກເບ້ຍໄປຈ່າຍຄ ນທັງໝົດ 40 ລ້ານກີບ. ຜູ້ໃຫ້ກູ້ຄິດດອກເບ້ຍດ່ຽວເປັນອັດຕາເທົົ່າໃດ? 12. ຊ ື້ລົດຈັກຄັນໜ ີ່ງ ໂດຍຈ່າຍຄ່າງວດໆ ທໍາອິດເມ ີ່ອຊ ື້ 20 ລ້ານກີບ ແລະ ຈ່າຍອີກງວດໃນເດ ອນຖັດໄປ 20 ລ້ານກີບ, ຖ້າອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ . ລາຄາເງິນສົດຂອງລົດຈັກຄັນນີື້ແມ່ນເທົົ່າໃດ? 13. ຈົົ່ງຊອກຫາດອກເບ້ຍທີີ່ແທ້ຈິງຈາກເງິນກູ້9 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 90 ວັນ, ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 15% ຕ ໍ່ປ . 14. ເງິນຈໍານວນ 75 ລ້ານກີບ ນໍາໄປລົງທ ນຕັື້ງແຕ່ວັນທີ 13 ມີນາ ຈົນຮອດ ວັນທີ 20 ທັນວາ ໃນປ ດຽວກັນ ໂດຍໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍດ່ຽວອັດຕາ 10% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນຄ່າດອກເບ້ຍເມ ີ່ອ: 14.1) ດອກເບ້ຍດ່ຽວທີີ່ແທ້ຈິງ (ກໍານົດໃຫ້ 1 ປ ເທົົ່າກັບ 365 ວັນ) 14.2) ດອກເບ້ຍດ່ຽວປົກກະຕິ (ກໍານົດໃຫ້ 1 ປ ເທົົ່າກັບ 360 ວັນ) 15. ເງິນຕົື້ນທ ນ 10 ລ້ານກີບ, ໄລຍະເວລາກູ້ 2 ປ , ອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາເງິນລວມ ແລະ ເງິນ ຄ່າດອກເບ້ຍທັງໝົດເມ ີ່ອ: 15.1) ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກປ . 15.2) ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. 15.3) ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກເດ ອນ. 15.4) ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ 18 ເດ ອນ. 16. ທ. ໄກ່ ຝາກເງິນທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງແບບປະຈໍາ 3 ເດ ອນ ເມ ີ່ອວັນທີ 7 ເມສາ 2020 ຈໍານວນ 10 ລ້ານກີບ ແລະ 7 ຕຸລາ 2020 ຝາກອີກ 8 ລ້ານກີບ, ຖ້າລາວບ ໍ່ເຄີຍຖອນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ໃນວັນທີ 7 ມັງກອນ 2021 ລາວຈະມີເງິນໃນບັນຊີຝາກນີື້ເທົົ່າໃດ ເມ ີ່ອທະນາຄານຈ່າຍດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. 17. ໃນວັນທີີ່ລູກຊາຍເກີດ, ທ. ປ ຊາ ໄດ້ນໍາເງິນ 20 ລ້ານກີບ ຝາກກັບບ ລິສັດເງິນທ ນຫຼັກຊັບແຫ່ງໜ ີ່ງໃຫ້ກັບລູກ ຊາຍ ໄດ້ດອກເບ້ຍ ຕ ໍ່ປ , ຄິດສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ເມ ີ່ອລູກຊາຍອາຍຸຄົບ 18 ປ ລູກຊາຍຈະມີເງິນ ໃນບັນຊີທີີ່ພ ໍ່ຝາກໃຫ້ເປັນເງິນເທົົ່າໃດ? 18. ຖ້າຝາກເງິນ 20 ລ້ານກີບ ໂດຍໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມທຸກໆ ເຄິີ່ງປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ເມ ີ່ອເວລາຜ່ານໄປຄົບ 3 ປ 5 ເດ ອນ ຈະໄດ້ເງິນເທົົ່າໃດ ເມ ີ່ອເງິນທີີ່ຝາກບ ໍ່ຄົບປ ທະນາຄານຄິດດອກເບ້ຍດ່ຽວ ອັດຕາ 3% ຕ ໍ່ປ . 19. ນ. ຈິນດາ ນໍາເງິນໄປຝາກ ປະເພດປະຈໍາ 3 ເດ ອນ ໄວ້ກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ເມ ີ່ອວັນທີ 10 ມີນາ 2020 ຈໍາ ນວນ 500 ລ້ານກີບ ແລະ ຝາກອີກ 1000 ລ້ານກີບ ໃນວັນທີ 10 ກັນຍາ 2020 ຖ້າວ່າລາວບ ໍ່ເຄີຍຖອນເງິນ ຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ໃນວັນທີ 10 ມີນາ 2021 ລາວຈະມີເງິນໃນບັນຊີເງິນຝາກນີື້ທັງໝົດ ເທົົ່າໃດ? ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. 20. ທ. ວັນໄຊ ຝາກເງິນປະຈໍາ 3 ເດ ອນ ກັບທະນາຄານ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 3 ປ ໂດນທະນາຄານ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 2.72% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ, ຖ້າຝາກຄົບກໍານົດໂດຍລາວບ ໍ່ໄດ້ຝາກເພີີ່ມ ແລະ ຖອນ ລາວຈະໄດ້ຮັບເງິນເທົົ່າໃດ ແລະ ໄດ້ຜົນຕອບແທນລວມເປັນເປ ເຊັນເທົົ່າໃດ?
ຄະນິດສາດການເງິນ 22 21. ທ. ປາວີ ຝາກເງິນປະຈໍາ 3 ເດ ອນກັບທະນາຄານ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານກໍານົດອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 3.2% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ, ຖ້າລາວຕ້ອງການເງິນລວມເທົົ່າກັບ 150 ລ້ານກີບ ລາວຕ້ອງຝາກ ເງິນດົນຢ່າງນ້ອຍທີີ່ສຸດຈັກເດີ ອນ? 22. ທ. ບຸນກອງ ຝາກເງິນປະຈໍາ 3 ເດ ອນກັບທະນາຄານ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຄົງທີີ່ 3.2% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ໂດຍຝາກເງິນຄັື້ງທໍາອິດ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ວັນທີ 1 ມັງກອນ 2019, ຄັື້ງທີີ່ສອງ ຈໍານວນ 50 ລ້ານກີບ ວັນທີ 1 ມິຖຼຸນາ 2019 ແລະ ຝາກອີກຄັື້ງ 50 ລ້ານກີບ ວັນທີ 1 ມັງກອນ 2020. ຖ້າລາວຕ້ອງການ ປິດບັນຊີໃນວັນທີີ່ 1 ຕຸລາ 2020. ລາວຈະຖອນເງິນໄດ້ທັງໝົດເທົົ່າໃດ ແລະ ໄດ້ດອກເບ້ຍລວມເທົົ່າໃດ? 23. ທ. ນ້ອຍ ເຮັດວຽກໄດ້ເງິນເດ ອນ 3 ລ້ານກີບ ລາວຫັກເງິນຈໍານວນ 10% ຂອງເງິນເດ ອນ ເພ ີ່ອຝາກປະຫຍັດ ທູກເດ ອນ ຕັື້ງແຕ່ ວັນທີ 1 ມັງກອນ 2015 ຖ້າລາວບ ໍ່ເຄີຍຖອນເງິນ, ບ ໍ່ເຄີຍຝາກເພີີ່ມຈາກລາຍການອ ີ່ນ ແລະ ບ ໍ່ເຄີຍໄດ້ຮັບການຂ ື້ນເງິນເດ ອນ. ແລ້ວໃນວັນທີ 31 ຕຸລາ 2021 ລາວຈະມີເງິນໃນບັນຊີທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ຄິດ ເປັນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? ຖ້າທະນາຄານກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຄົງທີີ່ 2.5% ຕ ໍ່ປ (ຄິດສະສົມ ທຸກ 12 ເດ ອນ) 24. ທ. ແສງ ເປ ດບັນຊີກັບທະນາຄານ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ວັນທີ 1 ມັງກອນ 2019, ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 2.4% ຕ ໍ່ປ (ຄິດສະສົມທຸກ 12 ເດ ອນ) ຫຼັງຈາກນັື້ນ ວັນທີ 1 ມິຖຼຸນາ 2019 ຝາກຈໍານວນ 60 ລ້ານກີບ ແລະ ວັນທີ 1 ມິຖຼຸນາ 2020 ຖອນຈໍານວນ 80 ລ້ານກີບ. ໃນວັນທີ 31 ຕຸລາ 2021 ລາວຈະມີເງິນໃນບັນຊີທັງໝົດ ເທົົ່າໃດ? ຄິດເປັນເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? 25. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ 200 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຈາກການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກ ເບ້ຍດ່ຽວ 8% ຕ ໍ່ປ . 26. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ 100 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຈາກການລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາດອກ ເບ້ຍດ່ຽວ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. 27. ທ. ປັນຍາ ຕ້ອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນ 500 ລ້ານກີບ ໃນໂຄງການໜ ີ່ງ ໂດຍແຕ່ລະໂຄງການໃຫ້ຜົນຕອບແທນ ຄ : ໂຄງການ A ຈ່າຍເງິນປັນຜົນປ ລະ 4% ນານ 5 ປ ; ໂຄງການ B ຈ່າຍເງິນປັນຜົນປ ລະ 4% ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ນານ 5 ປ ; ໂຄງການ C ຈ່າຍເງິນປັນຜົນ 20 ລ້ານກີບ ໃນປ ທໍາອິດ ຫຼັງຈາກນັື້ນຈ່າຍ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ນານ 4 ປ ; ໂຄງການ D 3 ປ ທໍາອິດ ຈ່າຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ຫຼັງ ຈາກນັື້ນ ຈ່າຍເງິນປັນຜົນປ ລະ 20 ລ້ານກີບ ນານ 2 ປ . ຖາມວ່າ: ທ. ປັນຍາ ຄວນລົງທ ນໃນໂຄງການໃດ ເມ ີ່ອໃຊ້ດອກເບ້ຍລວມເປັນເກນໃນການຕັດສິນໃຈ? 28. ນ. ແອ້ມ ຈະຕ້ອງເລ ອກລົງທ ນໃນໂຄງການທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ໂດຍປະມານປ ລະເທົົ່າໃດ ເພ ີ່ອໃຫ້ມູນຄ່າສະສົມຂອງການລົງທ ນທຽບເທົົ່າກັບການລົງທ ນທີີ່ໃຊ້ ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 8% ຕ ໍ່ປ . 29. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນສະສົມ 400 ລ້ານກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບຈາກການລົງທ ນ ເປັນເວລາ 10 ປ 8 ເດ ອນ ໂດຍຕະຫຼອດຊ່ວງເວລາຂອງການລົງທ ນທີີ່ເປັນຈໍານວນເຕັມປ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບດອກເບ້ຍສະສົມທຸກປ ແລະ ເສດຂອງປ ທີີ່ເຫຼ ອ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບດອກເບ້ຍດ່ຽວ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ . 30. ຈົົ່ງຄໍານວນອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມທຸກເດ ອນ ທີີ່ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ. 31. ນ. ໝີ ຕ້ອງການເກັບເງິນເພ ີ່ອໃຊ້ໃນອີກ 10 ປ ຂ້າງໜ້າ ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ຈະຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍອັດຕາ ຜົນຕອບແທນ (12) i = 6% ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນລະເທົົ່າໃດ ຈ ີ່ງຈະໄດ້ເງິນເກັບຕາມທີີ່ຕ້ອງການ. 32. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍໄດ້ຮັບຜົນຕອບ ແທນໃນ 2 ປ ທໍາອິດ ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 4% ຕ ໍ່ປ , ຊ່ວງ 2 ປ ຖັດມາ ໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍສະ ສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 6% ຕ ໍ່ປ ແລະ ໃນປ ສຸດທ້າຍໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 8% ຕ ໍ່ປ . 33. ທ. ເກັົ່ງ ຕ້ອງການໃຊ້ເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ໂດຍການລົງທ ນກັບທະນາຄານ 3 ແຫ່ງ ລາວຄວນ
ຄະນິດສາດການເງິນ 23 ລົງທ ນກັບທະນາຄານໃດ ຈ ີ່ງສາມາດໄດ້ເງິນຕາມທີີ່ຕ້ອງການ ແລະ ຕົື້ນທ ນລົງທ ນຕໍໍ່າທີີ່ສຸດ ໂດຍ ທະນາຄານ A ສະເໜີອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ; ທະນາຄານ B ສະເໜີອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມ ທຸກ 3 ເດ ອນ; ທະນາຄານ C ສະເໜີອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ. 34. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈໍານວນ 200 ລ້ານກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ທີີ່ໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ ເທົົ່າກັບ 4% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກວັນ. 35. ຖ້າກໍານົດກໍາລັງດອກເບ້ຍ ( ) ( ) 1 t t 2 − = + ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນລົງທ ນ 1 ກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ n . 36. ກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນຂອງກອງທ ນ 2 ກອງທ ນ ເຊິີ່ງ ກອງທ ນ A ໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ; ກອງທ ນ B ສະເໜີອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ; ຈະຕ້ອງ ແບ່ງເງິນຕົື້ນທ ນ 1000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອລົງທ ນກັບທັງສອງກອງທ ນແນວໃດ ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຜົນຕອບແທນຈາກທັງ ສອງກອງທ ນເທົົ່າກັນ. 37. ທ. ເຄນ ລົງທ ນຊ ື້ກອງທ ນ A ດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ ຫຼັງຈາກນັື້ນຫັກເງິນອັດຕະໂນມັດຈາກບັນຊີເງິນຝາກ, ແລ້ວຝາກເຂົື້າບັນຊີລົງທ ນຕ ໍ່ເນ ີ່ອງວັນລະ 100000 ກີບ ໂດຍກອງທ ນໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 10% ຕ ໍ່ປ ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນດົນເທົົ່າໃດຈ ີ່ງໄດ້ເງິນສະສົມລວມ 10000 ລ້ານກີບ. 38. ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ເທົົ່າກັບ 0.01 0.2 t + ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃນນາມ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງນີື້ ສໍາລັບຊ່ວງເວລາ 0 10 t (ປ ) 39. ທ. ຄໍາສອນ ຕ້ອງການລົງທ ນໃຫ້ໄດ້ຈໍານວນດອກເບ້ຍລວມ 1000 ລ້ານກີບ ຕະຫຼອດການລົງທ ນທັງໝົດ 10 ປ . ຈົົ່ງໃຊ້ຕົື້ນທ ນຕໍໍ່າສຸດໃນການວິເຄາະເພ ີ່ອຕັດສິນໃຈເລ ອກໂຄງການໃຫ້ລາວ ເມ ີ່ອກໍານົດ ໂຄງການ A ມີ ນະໂຍບາຍການລົງທ ນປ ລະ 1 ຄັື້ງທຸກໆ ຕົື້ນປ ຄັື້ງລະເທົົ່າໆ ກັນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ແລະ ໂຄງການ B ມີນະໂຍບາຍການລົງທ ນທຸກໆ ຕົື້ນເດ ອນ ຄັື້ງລະເທົົ່າໆ ກັນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 1% ຕ ໍ່ເດ ອນ. 40. ສົມມຸດ ສິນຄ້າມີລາຄາດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ (CPI) ໃນປະເທດ ດັົ່ງນີື້: ປ 2016 2017 2018 2019 2020 2021 ຄ່າ CPI 100 102.5 104.8 111.4 118 120 40.1) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຂອງປ 2021 ທຽບກັບປ 2016 40.2) ຈົົ່ງຊອກຫາເປ ເຊັນການຫຼຼຸດເງິນໃນປ 2021 ທຽບກັບປ 2018 40.3) ໃນປ 2017 ໂສ້ງຕົວລະ 20000 ກີບ ໃນປ 2020 ໂສ້ງຊະນິດດຽວກັນຄວນມີລາຄາເທົົ່າໃດ? 40.4) ໃນປ 2018 ສົມຊາຍມີລາຍໄດ້ເດ ອນລະ 1.83 ລ້ານກີບ ໃນປ 2021 ລາວຄວນມີລາຍໄດ້ເດ ອນລະ ເທົົ່າໃດ ຈ ີ່ງຈະຖ ວ່າລາຍໄດ້ເທົົ່າເດີມ (ມີລາຍໄດ້ສອດຄ້ອງກັບດັດສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ) 40.5) ນ. ຈັນ ຂາຍຕຽງນອນ ລາຄາ 2.5 ລ້ານກີບ ໃນປ 2018 ແຕ່ເນ ີ່ອງຈາກລາຄາຕົື້ນທ ນປ່ຽນແປງໄປຕາມຄ່າ ດັດສະນີ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃນປ 2021 ນ. ຈັນ ຄວນປັບລາຄາຕຽງຂ ື້ນຢ່າງນ້ອຍເທົົ່າໃດຈ ີ່ງຈະເປັນໄປຕາມກົນໄກ ລາຄາ. 40.6) ທ. ປ ຊາ ເປັນພະນັກງານປະຈໍາຂອງບ ລິສັດແຫ່ງໜ ີ່ງ, ຖ້າໃນປ 2020 ລາວໄດ້ຮັບເງິນເດ ອນລະ 2.5 ລ້ານ ກີບແລ້ວ ໃນປ 2021 ນາຍຈ້າງໃຫ້ລາວຢ່າງນ້ອຍຈັກເປ ເຊັນລາວຈ ີ່ງມີສະພາບຄວາມເປັນຢູ່ບ ໍ່ດີໄປກວ່າເກົົ່າ ແລະ ເງິນເດ ອນໃໝ່ຄວນເປັນຢ່າງນ້ອຍເທົົ່າໃດ? 40.7) ຈົົ່ງຫາອັດຕາເງິນເຟ ີ້ຂອງປ 2021 (ຄໍານວນຈາກອັດຕາການປ່ຽນແປງຄ່າຂອງເງິນຂອງປ 2021 ເມ ີ່ອທຽບ ກັບປ 2020) 40.8) ຈົົ່ງຫາຄ່າຂອງເງິນຂອງປ 2020 ທຽບກັບປ 2018 40.9) ເງິນ 1 ລ້ານກີບ ໃນປ 2019 ມີມູນຄ່າທຽບກັບເງິນເທົົ່າໃດໃນປ 2021 41. ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງລາຄາ 2000 ລ້ານກີບ ໃນປ 2016 ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາບ້ານທີີ່ຄວນຈະເປັນ ເຊິີ່ງສອດຄ້ອງກັບດັດ ສະນີລາຄາຜູ້ບ ລິໂພກ ໃນປ 2021 ຖ້າທຸກໆ ປ ມີອັດຕາເງິນເຟ ີ້ສະເລ່ຍ 2% ຕ ໍ່ປ .
ຄະນິດສາດການເງິນ 24 42. ທ. ພີ ລົງທ ນ 100 ລ້ານກີບ ຕອນຕົື້ນປ ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາດອກເບ້ຍ 20% ຕ ໍ່ປ , ດອກເບ້ຍທີີ່ໄດ້ຮັບຈະຖ ກ ຫັກພາສີທີີ່ຈ່າຍ 15%. ຈົົ່ງຫາອັດຕາດອກເບ້ຍຈິງຂອງການລົງທ ນນີື້ ຖ້າປ ທີີ່ລົງທ ນມີອັດຕາເງິນເຟ ີ້ 5%. 43. ໃນປ 2020 ເຂົື້າລາດກະເພາະໄກ່ໄຂ່ດາວ ຮ້ານປ້າເພັດ ລາຄາຈານລະ 25000 ກີບ ໂດຍລາຄາຕົື້ນທ ນຕ ໍ່ຈານ ເທົົ່າ 20000 ກີບ. ໃນປ 2021 ປ້າເພັດຂາຍເຂົື້າລາດກະເພາະໄກ່ໄຂ່ດາວຈານລະເທົົ່າໃດຈ ີ່ງຈະໄດ້ອັດຕາກໍາໄລ ຈິງເທົົ່າເດີມ? ຖ້າອັດຕາເງິນເຟ ີ້ໃນປ ແມ່ນ 4%. 44. ສົມວ່າ: ລົງທ ນໄດ້ກໍາໄລ 30% ຕ ໍ່ປ , ແຕ່ເສຍພາສີເງິນໄດ້ຫັກທີີ່ຈ່າຍ 15%, ຖ້າອັດຕາເງິນເຟ ີ້ເທົົ່າກັບ 5%. ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາຈິງຂອງກໍາໄລຫຼັງຫັກພາສີ. 45. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ 50 ລ້ານກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບທ້າຍປ ທີີ່ 2 ເຊິີ່ງສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍປັບຫຼຼຸດ ດ້ວຍອັດຕາເງິນເຟ ີ້ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ , ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ປ ທີີ່ 1 ເທົົ່າ 4% ແລະ ປ ທີີ່ 2 ເທົົ່າ 5% 46. ທ. ພຸດ ກູ້ເງິນຊ ື້ຄອນໂດມີນຽມກັບທະນາຄານ ນານ 10 ປ ໂດຍໃນສັນຍາລະບຸຈ່າຍເງິນເດ ອນທໍາອິດ 10 ລ້ານກີບ (ຕົື້ນປ ທໍາອິດ) ແລະ ເທົົ່າກັນທຸກເດ ອນໃນປ ນັື້ນ. ຫຼັງຈາກນັື້ນຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນໃນແຕ່ລະເດ ອນຂອງທຸກ ປ ຕາມອັດຕາເງິນເຟ ີ້ປ ລະ 2%, ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ລາວຈ່າຍເງິນທັງໝົດເທົົ່າໃດເພ ີ່ອຊ ື້ຄອນໂດມີນຽມຫ້ອງນີື້ ແລະ ຈ່າຍດອກເບ້ຍລວມທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 47. ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງຕາລາຄາໄວ້ 10000 ກີບ, ຖ້ານັກລົງທ ນຄົນໜ ີ່ງສາມາດຊ ື້ພັນທະບັດສະບັບນີື້ໄດ້ໃນ ລາຄາ 9000 ກີບ ກ່ອນຄົບກໍານົດ 4 ເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ຫຼັງປັບຫຼຼຸດອັດຕາເງິນເຟ ີ້ 5% ໃນປ ນັື້ນ. 48. ບ ລິສັດປະກັນແຫ່ງໜ ີ່ງຮັບຜິດຊອບການຈ່າຍເງິນແກ່ຜູ້ຮັບຜົນປະໂຫຍດລາຍໜ ີ່ງເປັນລາຍປ ເປັນເວລາ 5 ປ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍ 100 ລ້ານກີບ ແລະ ຈ່າຍທີີ່ເຫຼ ອ 4 ຄັື້ງ ເພີີ່ມຂ ື້ນທຸກປ ຕາມອັດຕາເງິນເຟ ີ້ສະເລ່ຍປ ລະ 3% ເມ ີ່ອ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງໝົດຂອງບ ລິສັດປະກັນ ແຫ່ງນີື້. 49. ສົມມຸດວ່າ: ອັດຕາເງິນເຟ ີ້ສະເລ່ຍ a ຕ ໍ່ປ ແລະ ຈ່າຍເງິນທ້າຍປ ທໍາອິດ R ກີບ, ທ້າຍປ ທີີ່ 2 ຈ່າຍ R a (1+ ) ກີບ, ທ້າຍປ ທີີ່ 3 ຈ່າຍ ( ) 2 R a 1+ ກີບ, ເປັນແບບນີື້ເລ ື້ອຍໆ ຈົນຮອດທ້າຍປ ທີີ່ n ຈ່າຍ ( ) 1 1 n R a − + ກີບ. ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຈ່າຍທັງໝົດນີື້ເທົົ່າກັບ 1 1 n v R v − − ເມ ີ່ອ ( ) 1 1 r v i − = +
ຄະນິດສາດການເງິນ 25 ບົດທີ 2 ການຈ່າຍແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ແລະ ຄ່າລາຍງວດ ມະນຸດມີຄວາມຕ້ອງການຢ່າງບ ໍ່ສິື້ນສຸດ, ແຕ່ຄວາມຕ້ອງການນັື້ນຢູ່ພາຍໃຕ້ຂ ໍ້ຈໍາກັດທາງດ້ານການເງິນ; ການ ທີີ່ຈະຊ ື້ສິນຄ້າ ຫຼ ສິນຊັບອັນໃດອັນໜ ີ່ງທີີ່ມີລາຄາສູງ ດ້ວຍການຈ່າຍເງິນສົດໃນງວດດຽວບາງຄັື້ງອາດເປັນເລ ີ່ອງ ຄ່ອນຂ້າງເປັນໄປໄດ້ຍາກ ຫຼ ຖ້າເຮັດໄດ້ກ ໍ່ຈະຕ້ອງເສຍເງິນຕົື້ນທ ນຈໍານວນຫຼາຍ, ຖ້ານັກລົງທ ນນໍາເງິນນັື້ນໄປລົງທ ນ ໃນໂຄງການທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບແທນສູງກວ່າດອກເບ້ຍຈ່າຍຈະຕ້ອງມີຜົນທີີ່ດີກວ່າການຍອມເສຍໂອກາດໃນການ ລົງທ ນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ການຊ ື້ສິນຊັບດ້ວຍການຜ່ອນຈ່າຍເປັນງວດຈ ີ່ງເປັນທາງເລ ອກໜ ີ່ງທີີ່ນ່າສົນໃຈ ເນ ີ່ອງຈາກເຮັດໃຫ້ ສາມາດຄອບຄອງສິນຊັບນັື້ນໄດ້ໃນປະຈຸບັນ ໂດຍຜູ້ຊ ື້ສິນຊັບສາມາດຂ ສິນເຊ ີ່ອກັບສະຖາບັນການເງິນ (ຜູ້ໃຫ້ສິນ ເຊ ີ່ອ); ຜູ້ໃຫ້ສິນເຊ ີ່ອຈະເຮັດໜ້າທີີ່ເປັນຜູ້ຊໍາລະລາຄາສິນຄ້າໃນປະຈຸບັນໃຫ້ກັບຜູ້ຂາຍແທນຜູ້ຊ ື້ ຫຼັງຈາກນັື້ນຜູ້ຂ ສິນ ເຊ ີ່ອ (ຜູ້ຊ ື້) ຈະຕ້ອງທະຍອຍຈ່າຍຊໍາລະຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນລວມກັບດອກເບ້ຍເປັນລາຍງວດກັບສະຖາບັນການເງິນຜູ້ໃຫ້ ສິນເຊ ີ່ອຕາມເງ ີ່ອນໄຂ ແລະ ໄລຍະເວລາທີີ່ໄດ້ຕົກລົງກັນລະຫວ່າງຜູ້ໃຫ້ສິນເຊ ີ່ອ ແລະ ຜູ້ຂ ສິນເຊ ີ່ອ, ເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະ ຄ ນເປັນລາຍງວດໃນລັກສະນະນີື້ ເອີື້ນວ່າ: ຄ່າລາຍງວດ (Annuity) ນອກຈາກການນໍາໃຊ້ຄ່າລາຍງວດກັບການຈ່າຍຊໍາລະຄ ນໜີື້ລະຫວ່າງ ຜູ້ກູ້ (ຜູ້ຂ ສິນເຊ ີ່ອ) ກັບ ຜູ້ໃຫ້ກູ້ (ຜູ້ ໃຫ້ສິນເຊ ີ່ອ) ແລ້ວ; ຄ່າລາຍງວດຍັງນໍາໄປໃຊ້ໃນຫຼາຍໆ ທຸລະກໍາ ເຊັົ່ນ: ການຈ່າຍເງິນ ຫຼ ຜົນປະໂຫຍດໃຫ້ແກ່ຜູ້ຮັບ ຜົນປະໂຫຍດທີີ່ພວກເຮົາຄຸ້ນກັນດີ ຄ : ການຈ່າຍເງິນບໍານານ (Pension), ການຈ່າຍເງິນເອົາປະກັນໃຫ້ແກ່ຜູ້ເອົາ ປະກັນ, ... ແລະ ຍັງຖ ວ່າເປັນເຄ ີ່ອງມ ທີີ່ສໍາຄັນໃນການສ ກສາທາງຄະນິດສາດການເງິນ ແລະ ການປະກັນ. ສໍາລັບໃນບົດນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຄວາມຮູ້ພ ື້ນຖານກ່ຽວກັບຄ່າລາຍງວດ ໂດຍເລີີ່ມຈາກການເວົື້າເຖິງການຈ່າຍແບບ ຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ເຊິີ່ງມີຜົນປະໂຫຍດກັບການສ ກສາທາງທິດສະດີການເງິນ ແລະ ນໍາໄປສູ່ແນວຄິດຂອງຄ່າລາຍງວດຈ່າຍ ແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ. 2.1 ແບບຈໍາລອງການຈ່າຍແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ການຈ່າຍເງິນແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຫຼ ການລົງທ ນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ມັກຈະບ ໍ່ຄ່ອຍພົບໃນທາງປະຕິບັດ, ແຕ່ກ ໍ່ມີປະໂຫຍດ ໃນທາງທິດສະດີ, ການວິເຄາະ ແລະ ການປະມານຄ່າ ກ່ຽວກັບການລົງທ ນ ໂດຍສະເພາະຢ່າງຍິີ່ງທິດສະດີກໍານົດ ລາຄາ ເຊິີ່ງເວົື້າໄວ້ໃນບົດຕ ໍ່ໄປ. ສົມມຸດວ່າ: ຈ່າຍເງິນ ຫຼ ລົງທ ນແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງດ້ວຍອັດຕາ r t( ) ຕ ໍ່ງວດ ໃນເວລາ t ສໍາລັບໄລຍະເວລາ ລົງທ ນ 0 1 h ຈະໄດ້ວ່າ: ຈໍານວນເງິນລົງທ ນໃນຊ່ວງເວລາ t t h , + ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) t h t r s ds r t h o h + = + (2.1) ເມ ີ່ອ o h( ) ເປັນຄ່າຄາດເຄ ີ່ອນໃນພົດຂອງ ທີີ່ມີກໍາລັງສູງກວ່າກໍາລັງ 1 ໃຫ້ S t( ) ເປັນເງິນສະສົມທີີ່ເວລາ t ສົມມຸດວ່າ: ຄິດດອກເບ້ຍຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງດ້ວຍກໍາລັງດອກເບ້ຍ (t). ດັົ່ງນັື້ນ, ດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດຂ ື້ນໃນຊ່ວງເວລາ t t h , + ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t h t S s s ds S t t h o h + = + (2.2) ແລະ ເງິນສະສົມທີີ່ເວລາ t h + ເທົົ່າກັບ S t h S t r t h S t t h o h ( + = + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.3) ຈັດ (2.3) ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S t h S t o h( ) S t t r t h h + − − = + (2.4) ພິຈາລະນາ (2.4) ເມ ີ່ອ h → 0 ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) dS t S t t r t dt − = (2.5) ເຊິີ່ງເປັນສົມຜົນຂອງຜົນຕໍາລາເສັື້ນລີເນແອ ໂດຍມີຕົວປະກອບການສັງຄະນິດ ຄ : ( ) 0 t s ds e −
ຄະນິດສາດການເງິນ 26 ແລະ ເມ ີ່ອຄູນ ( ) 0 t s ds e − ເຂົື້າທັງສອງຟາກຂອງສົມຜົນ (2.5) ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t t t s ds s ds s ds dS t e S t t e r t e dt − − − − = (2.6) ຄັດຈ້ອນ (2.6) ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 t t s ds s ds d S t e r t e dt − − = (2.7) ສັງຄະນິດຕັື້ງແຕ່ 0 ຫາ n ໃດໆ (n t ) ຈະໄດ້ຄໍາຕອບຂອງສົມຜົນຂອງຜົນຕໍາລາ (2.7) ຄ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 t t s ds s ds n S n e S e r t dt − − = + (2.8) ດັົ່ງນັື້ນ, ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາການລົງທ ນ ຫຼ ອັດຕາການຈ່າຍ r t( ) ແລະ ກໍາລັງດອກເບ້ຍ (t) ສາມາດຄໍາ ນວນຫາເງິນສະສົມ S n( ) ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ (2.8) ກ ລະນີສະເພາະ, ສໍາລັບ r t( ) = 0 ແລະ (t) = ຈະໄດ້: ( ) 0 0 (1 ) n n S n S e S i = = + (2.9) ເມ ີ່ອ i ເປັນດອກເບ້ຍແທ້ຈິງທຽບເທົົ່າກໍາລັງດອກເບ້ຍ ພວກເຮົາສາມາດພິຈາລະນາຄວາມໝາຍຂອງແຕ່ລະຕົວປະກອບໃນສົມຜົນ (2.6) ແລະ (2.8) ດັົ່ງນີື້: ຕົວປະກອບ ຄວາມໝາຍ ( ) 0 t s ds e − ເປັນຕໍາລາສ່ວນຫຼຼຸດ ຫຼ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ 1 ກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບທີີ່ເວລາ t ໃດໆ (ຮູບທີ 2.1 ກ) ( ) 0 t s ds e ເປັນຕໍາລາສະສົມ ຫຼ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ເວລາ t ໃດໆ (ຮູບທີ 2.1 ຂ) ( ) k t s ds e ເປັນເງິນສະສົມຂອງເງິນຕົື້ນທ ນ 1 ກີບ ຕັື້ງແຕ່ເວລາ t ເຖິງ k (ຮູບທີ 2.1 ຄ) ( ) k t s ds e − ມູນຄ່າຂອງເງິນ 1 ກີບ ທີີ່ເວລາ t ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບທີີ່ເວລາ k (ຮູບທີ 2.1 ງ) ( ) 0 t s ds e − 1 1 ( ) 0 t s ds e ກ ຂ 1 ( ) k t s ds e ( ) k t s ds e − 1 ຄ ງ ຮູບທີ 2.1 ຄວາມໝາຍຂອງຕົວປະກອບ ( ) 0 t s ds e − , ( ) 0 t s ds e , ( ) k t s ds e ແລະ ( ) k t s ds e − ຕົວຢ່າງ 2.1 ທ. ອາເມຊອນ ລົງທ ນຊ ື້ກອງທ ນ ດ້ວຍເງິນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ 100000 ລ້ານກີບ, ຫຼັງຈາກນັື້ນຫັກເງິນ ອັດຕະໂນມັດຈາກບັນຊີຝາກເຂົື້າບັນຊີກອງທ ນຕ ໍ່ເນ ີ່ອງວັນລະ 20 ລ້ານກີບກີບ ເປັນເວລາ 10 ປ ໂດຍກອງທ ນໃຫ້ ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 10% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນນີື້ ໃນ ທ້າຍປ ທີີ່ 10, ກໍານົດໃຫ້ 1 ປ ເທົົ່າກັບ 365 ວັນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 27 ແກ້: ເງິນລົງທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ 0 S =100000 , r t( ) = = 20 365 7300 ( ) , = 0.1 ເຊິີ່ງສາມາດພິຈາລະນາຈາກ ການລົງທ ນຕາມຮູບ. 0 S =100000 r t( ) = 20 365 ( ) 0 t 10 ຈະເຫັນວ່າ: ເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນນີື້ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ເກີດຈາກຜົນລວມຂອງເງິນສະສົມ 2 ສ່ວນ ດັົ່ງນີື້: ສ່ວນທໍາອິດ ຄ ເງິນສະສົມຈາກ ເງິນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ 100000 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງເງິນສະສົມນີື້ເທົົ່າກັບ 0.1 10 ( ) 100000 271828.18 e = ລ້ານກີບ ສ່ວນທີີ່ສອງ ຄ ເງິນສະສົມຈາກ ເງິນທ ນຕ ໍ່ເນ ີ່ອງປ ລະ 7300 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງເງິນສະສົມນີື້ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 0.1 10 0.1 10 0.1 10 0 0 0 0 7300 7300 73000 125434.57 n t t n s ds ds t t e r t dt e dt e dt e − − = = = − = ຈາກເງິນສະສົມທັງສອງສ່ວນ ຈະໄດ້ຮັບເງິນສະສົມຈາກການລົງທ ນນີື້ ແມ່ນ: 271828.18 125434.57 397262.75 + = ລ້ານກີບ. ໝາຍເຫດ: ເພ ີ່ອໃຫ້ເກີດຄວາມເຂົື້າໃຈເນ ື້ອໃນຫຼາຍຂ ື້ນ, ຕ ໍ່ໄປຈະຂ ປະລາຍລະອຽດບາງຂັື້ນຕອນໃນການຄໍານວນ ເຊັົ່ນ: ຂັື້ນຕອນການສັງຄະນິດ ເຊິີ່ງພວກເຮົາສາມາດສ ກສາໄດ້ຈາກໜັງສ ແຄລຄູລັສທົົ່ວໄປ ຫຼ ອາດໃຊ້ເຄ ີ່ອງຄິດໄລ່, ໂປຼແກຼມ Excel ຫຼ ໂປຼແກຼມສໍາເລັດຮູບທາງຄະນິດສາດ ເຊັົ່ນ: MATLAB, Maple, Mathematica ຊ່ວຍໃນ ການຄໍານວນໄດ້. ຕົວຢ່າງ 2.2 ກໍານົດກໍາລັງຂອງດອກເບ້ຍ ເທົົ່າກັບ 0.02 0.1 t + ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງທຽບເທົົ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງນີື້ ສໍາລັບຊ່ວງເວລາ 0 10 t (ປ ) ແກ້: ຈາກສົມຜົນ ເງິນສະສົມດ້ວຍດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ = ເງິນສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ( ) ( ) 10 0 0.02 0.1 10 1 t dt i e + + = ໂດຍການແກ້ສັງຄະນິດຂອງສົມຜົນ ຈະໄດ້: ( ) 10 2 1+ = i e ແກ້ສົມຜົນຈະໄດ້: 1 5 i e = − = = 1 0.2214 22.14% 2.2 ຄ່າລາຍງວດ ພວກເຮົາເອີື້ນເງິນຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍງວດ, ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນວ່າ: ຄ່າລາຍງວດ ຫຼ ເງິນລາຍງວດ ໂດຍທີີ່ ການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດນັື້ນອາດຈະມີໄລຍະເວລາການຈ່າຍເຖິງເວລາທີີ່ຄົບກໍານົດແນ່ນອນເຊັົ່ນ: ຜ່ອນຊໍາລະຄ່າບ້ານ ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 20 ປ , ຄ່າລາຍງວດລັກສະນະນີື້ເອີື້ນວ່າ: ຄ່າລາຍງວດແບບໄລຍະເວລາແນ່ນອນ (Annuity-Certain); ແຕ່ໃນບາງສະຖານະການບ ໍ່ສາມາດກໍານົດໄລຍະເວລາການຈ່າຍທີີ່ແນ່ນອນໄດ້ ເຊັົ່ນ: ການ ຈ່າຍເງິນບໍານານໃຫ້ແກ້ຜູ້ຮັບຜົນປະໂຫຍດ ເປັນການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດແກ່ຜູ້ຜູ້ຮັບຜົນປະໂຫຍດຈົນວ່າຮັບຜົນ ປະໂຫຍດຈະເສຍຊີວິດ (ຈ່າຍຕະຫຼອດໄປ) ການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດລັກສະນະນີື້ເອີື້ນວ່າ: ຄ່າລາຍງວດແບບໄລຍະເວລາ ບ ໍ່ແນ່ນອນ (Contingent Annuity); ຄ່າງວດທີີ່ຈ່າຍຍັງແຕກຕ່າງໄປຕາມການຈ່າຍອີກດ້ວຍ. ແຕ່ໃນປະຈຸບັນການ ຈ່າຍໃນແຕ່ລະງວດໄດ້ມີຮູບຮ່າງຫຼາກຫຼາຍຂ ື້ນ, ການຈ່າຍອາດຈະບ ໍ່ເທົົ່າກັນໃນແຕ່ລະງວດ ອາດຈະຈ່າຍແບບເພີີ່ມ ຂ ື້ນ, ຈ່າຍຫຼຼຸດລົງ, ຈ່າຍແບບຜັນປ່ຽນ ຫຼ ຈ່າຍແບບຄົງທີີ່ໃນຊ່ວງໜ ີ່ງ ເປັນຕົື້ນ. ການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວຍັງຄົງເອີື້ນວ່າ: ຄ່າ ລາຍງວດ ເຖິງແມ່ນວ່າຈະຕ່າງຈາກນິຍາມດັົ່ງເດີມກ ໍ່ຕາມ ແລະ ການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວມັກຈະຂ ື້ນຢູ່ກັບຂ ໍ້ຕົກລົງ ແລະ ຄວາມພ ີ່ງພ ໃຈລະຫວ່າງຜູ້ກູ້ ແລະ ຜູ້ໃຫ້ກູ້ ໃນປະຈຸບັນການຈ່າຍມັກມີລັກສະນະທີີ່ຢືດຫຍຸ່ນຫຼາຍຂ ື້ນ, ເປັນການສ້າງ ກົນລະຍຸກເພ ີ່ອດ ງດູດໃຈລູກຄ້າ. ໃນນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຄ່າລາຍງວດດອກເບ້ຍສະສົມ ເຊິີ່ງຈະເວົື້າໂດຍຫຍ ໍ້ວ່າ: ຄ່າລາຍງວດ ພາຍໃຕ້ສົມມຸດຖານ ຂອງການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຄົງທີີ່ ເຊິີ່ງພົບເປັນສ່ວນໃຫຍ່ໃນທຸລະກໍາທາງການເງິນປະຈຸບັນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 28 2.2.1 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕົື້ນງວດ ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕົື້ນງວດ (Annuity Due) ຄ : ການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດທຸກໆ ຕົື້ນງວດ, ໃນທາງປະຕິບັດ ໝາຍເຖິງການເລີີ່ມຈ່າຍຄ່າງວດທັນທີ ໃນວັນເລີີ່ມເຮັດສັນຍາການຈ່າຍເງິນ. ພິຈາລະນາການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດຕົື້ນ ງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ. ຈ່າຍ 1 1 1 1 1 1 0 1 2 k n k − n −1 n ni| a ni| s ຮູບທີ 2.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕົື້ນງວດ ຈະໄດ້ຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ເຊິີ່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເງິນ ປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ ni| a ຄ : 2 1 | 1 ... n n i a v v v − = + + + + (2.10) ໂດຍໃຊ້ສູດຜົນບວກຂອງອະນຸກົມເລຂາຄະນິດ ແລະ ( ) 1 1 1 v v i v v − − = + = ຈະໄດ້: | 1 n n i v a iv − = (2.11) ແລະ ເງິນສະສົມ ຫຼ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ເຊິີ່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາ ລາເງິນອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ ni| s ຄ : ( ) ( ) ( ) 2 | 1 1 ... 1 n n i s i i i = + + + + + + (2.12) ໂດຍໃຊ້ສູດຜົນບວກຂອງອະນຸກົມເລຂາຄະນິດ ແລະ ( ) 1 v i 1 − = + ຈະໄດ້: ( ) | 1 1 n n i i s iv + − = (2.13) ສາມາດພິຈາລະນາ ni| s ເປັນເງິນອະນາຄົດ ຫຼ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນ ni| a ກີບ ເຊິີ່ງລົງທ ນທັນທີທີີ່ເວລາ t = 0 ແລະ ຖ ກສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ເປັນເວລາ n ງວດ ແມ່ນ | | (1 ) n n i n i s a i = + (2.14) ໃນທາງກົງກັນຂ້າມ, ສາມາດພິຈາລະນາ ni| a ເປັນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ຂອງເງິນອະນາຄົດ ni| s ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບທີີ່ເວລາ t n = ແມ່ນ: | | n n i n i a s v = (2.15) ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບການກູ້ຢືມເງິນ ໃນປະຈຸບັນເທົົ່າກັບ P0 ກີບ ແລະ ຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດ, ງວດລະ r ກີບ, ຈໍານວນ n ງວດ ຈະໄດ້: 0 | 1 n n i v P ra r iv − = = (2.16) ແລະ ສໍາລັບເງິນສະສົມ n S ຫຼ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ n ຈາກການຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດ, ງວດ ລະ r ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ຈະໄດ້: ( ) | 1 1 n n n i i S rs r iv + − = = (2.17) ແລະ ການພົວພັນລະຫວ່າງເງິນສະສົມ n S ກັບ ຕົື້ນທ ນ P0 ແມ່ນ: 0 (1 ) n n S P i = + (2.18) ເນ ີ່ອງຈາກຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ, ງວດລະ r ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນທີີ່ຊໍາລະລວມທັງໝົດຈ ີ່ງເທົົ່າ ກັບ nr ກີບ ເຮັດໃຫ້ໄດ້ວ່າ: ຄ່າດອກເບ້ຍສະສົມ = ເງິນທີີ່ຈ່າຍ − ເງິນກູ້ 0 = − nr P (2.19) ໃນມຸມມອງຂອງນັກລົງທ ນ ສາມາດພິຈາລະນາການຈ່າຍລາຍງວດເປັນການລົງທ ນງາຍງວດກ ໍ່ໄດ້. ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າລົງທ ນເປັນລາຍງວດຕົື້ນງວດ, ງວດລະ r ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ເງິນທີີ່ລົງທ ນທັງໝົດຈະເທົົ່າກັບ nr ກີບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 29 ແລະ ນັກລົງທ ນຈະໄດ້ຮັບເງິນສະສົມທັງໝົດເປັນເງິນສະສົມ ໃນທ້າຍງວດທີີ່ n ເທົົ່າກັບ n S ນັົ່ນຄ ນັກລົງທ ນຈະ ໄດ້ຮັບຜົນຕອບແທນທັງໝົດ ຫຼ ດອກເບ້ຍສະສົມ ເທົົ່າກັບ ດອກເບ້ຍສະສົມ = ເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບ − ເງິນທີີ່ລົງທ ນ n = − S nr (2.20) ໂດຍພິຈາລະນາ P0 ເປັນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນລົງທ ນ ຫຼ ເປັນເງິນທີີ່ລົງທ ນທັນທີ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ເງິນສະສົມທ້າຍປ ທີີ່ n ເທົົ່າກັບເງິນສະສົມຈາກການລົງທ ນເປັນລາຍງວດດັົ່ງກ່າວ. ຕົວຢ່າງ 2.3 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ຂອງຄ່າລາຍງວດ 10 ປ ໂດຍຈ່າຍທຸກໆ ຕົື້ນເດ ອນ, ເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ; ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດເປັນການຈ່າຍຕົື້ນງວດ, ງວດລະ 1 ລ້ານກີບ ຈໍານວນ 120 ງວດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.01 ຕ ໍ່ງວດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍ ( ) ( ) 120 120|0.01 1 1 1 0.01 1 1 70.39753 0.01 1 0.01 a − − − + = = = + ລ້ານກີບ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍ ( ) 120 = + = 70.39753 1 0.01 232.33909 ລ້ານກີບ. ຕົວຢ່າງ 2.4 ທ. ໄຜ່ ຕ້ອງການລົງທ ນໃຫ້ໄດ້ເງິນສະສົມ 10 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10. ຈົົ່ງໃຊ້ດອກເບ້ຍຮັບໃຊ້ການ ວິເຄາະເພ ີ່ອຕັດສິນໃຈເພ ີ່ອຕັດສິນໃຈເລ ອກໂຄງການລົງທ ນໃຫ້ ທ. ໄຜ່; ເມ ີ່ອ ໂຄງການ A ໃຫ້ນະໂຍບາຍການ ລົງທ ນປ ລະ 1 ຄັື້ງທຸກໆ ຕົື້ນປ ຄັື້ງລະເທົົ່າໆ ກັນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ; ແລະ ໂຄງການ B ໃຫ້ນະໂຍບາຍ ການລົງທ ນທຸກໆ ຕົື້ນເດ ອນ ຄັື້ງລະເທົົ່າໆ ກັນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 1% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ໂຄງການ A ຈະໄດ້ຮັບເງິນຈາກການລົງທ ນທັງໝົດ ເທົົ່າກັບເງິນສະສົມ 10 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10. ຂະນະທີີ່ລົງທ ນຕົື້ນງວດ, ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນ. ສົມມຸດ: ງວດລະ x ກີບ, ຈໍານວນ 10 ງວດ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.12 ຕ ໍ່ງວດ ເຊິີ່ງສາມາດຫາ x ໄດ້ຈາກສົມຜົນເງິນສະສົມດັົ່ງນີື້: ( ) ( ) 10 10|0.12 1 1 0.12 1 10 0.50878718 0.12 1 0.12 xs x x − + − = = = + ສະແດງວ່າຕ້ອງລົງທ ນທັງໝົດ 0.50878718 10 5.0878718 ( ) = ລ້ານກີບ. ດອກເບ້ຍເທົົ່າກັບ 10 5.0878718 4.9121282 − = ລ້ານກີບ. ໂຄງການ B ລົງທ ນຕົື້ນງວດ, ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນ. ສົມມຸດ: ງວດລະ y ກີບ, ຈໍານວນ 120 ງວດ, ອັດຕາ ດອກເບ້ຍ 0.01 ຕ ໍ່ງວດ ເຊິີ່ງສາມາດຫາ y ໄດ້ຈາກສົມຜົນເງິນສະສົມດັົ່ງນີື້: ( ) ( ) 10 10|0.12 1 1 0.01 1 10 0.043040543 0.01 1 0.01 ys y y − + − = = = + ສະແດງວ່າຕ້ອງລົງທ ນທັງໝົດ 0.043040543 120 5.16486516 ( ) = ລ້ານກີບ. ດອກເບ້ຍເທົົ່າກັບ 10 5.16486516 4.83513484 − = ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໂດຍໃຊ້ດອກເບ້ຍຮັບເປັນເກນໃນການຕັດສິນໃຈ ທ. ໄຜ່ ຄວນເລ ອກລົງທ ນກັບ ໂຄງການ A 2.2.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍທ້າຍງວດ ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍທ້າຍງວດ (Annuity Immediate or Ordinary Annuity) ຄ : ການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ ທຸກໆ ທ້າຍງວດ, ໃນທາງປະຕິບັດໝາຍເຖິງເມ ີ່ອເຮັດສັນຍາການຈ່າຍເງິນແລ້ວຈະລ ໃຫ້ຄົບກໍານົດກ່ອນ ແລ້ວຈ ີ່ງ ເລີີ່ມຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ. ພິຈາລະນາການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດທ້າຍງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ດ້ວຍອັດຕາ ດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ. ຈ່າຍ 1 1 1 1 1 1 0 1 2 k n k − n −1 n ni| a ni| s ຮູບທີ 2.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍທ້າຍງວດ
ຄະນິດສາດການເງິນ 30 ຈະໄດ້ຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ເຊິີ່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເງິນ ປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ ni| a ຄ : ( ) 2 1 2 1 | | 1 ... 1 ... n n n n n i n i v a v v v v v v v v va i − − − = + + + + = + + + + = = (2.21) ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ເຊິີ່ງຈະເອີື້ນວ່າ: ຕໍາລາເງິນ ອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ ni| s ຄ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 | 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 n n n i s i i i i i i i − − = + + + + + + + = + + + + + + + ( ) | 1 1 n n i i vs i + − = = (2.22) ໂດຍ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ni| a ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ni| s ມີການພົວພັນດັົ່ງນີື້: | | n n i n i a s v = (2.23) ແລະ | | (1 ) n n i n i s a i = + (2.24) ສາມາດພິຈາລະນາ ni| s ເປັນມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນ ni| a ກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບການກູ້ຢືມ P0 ກີບ ໃນປະຈຸບັນ ແລະ ຈ່າຍຊໍາລະຄ ນເປັນງວດ, ງວດລະ r ກີບ ທ້າຍງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ຈະໄດ້: 0 | 1 n n i v P ra r i − = = (2.25) ແລະ ເງິນສະສົມ ຫຼ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ n ຈໍານວນ n S ກີບ ຈະໄດ້: ( ) | 1 1 n n n i i S rs r i + − = = (2.26) ໝາຍເຫດ: ສໍາລັບຄ່າລາຍງວດຂອງການກູ້ເງິນທີີ່ລະບຸອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ , ຖ້າບ ໍ່ໄດ້ລະບຸອັດຕາດອກເບ້ຍຊະນິດໃດ ໃຫ້ໝາຍເຖິງອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ບ ໍ່ດັົ່ງນັື້ນຈະລະບຸເປັນຢ່າງອ ີ່ນ, ແຕ່ສໍາລັບການຝາກເງິນ ແລະ ການ ລົງທ ນຈະໝາຍເຖິງອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ ບ ໍ່ດັົ່ງນັື້ນຈະລະບຸເປັນຢ່າງອ ີ່ນ. ຕົວຢ່າງ 2.5 ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດ 10 ປ ເຊິີ່ງຈະຈ່າຍທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ໂດຍຈ່າຍເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ ໃນຊ່ວງ 5 ປ ທໍາອິດ ແລະ ຈ່າຍເດ ອນລະ 2 ລ້ານກີບ ໃນຊ່ວງ 5 ປ ຫຼັງ, ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: 1 1 1 1 2 2 2 2 ໃນການຄໍານວນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍນີື້ສາມາດເຮັດໄດ້ຫຼາຍວິທີ, ແຕ່ໃນນີື້ ຈະພິຈາລະນາການຈ່າຍເປັນ 2 ຊຼຸດ, ໂດຍການຈ່າຍຊຼຸດທີີ່ 1 ເປັນການຈ່າຍທ້າຍງວດ, ງວດລະ 1 ລ້ານກີບ ຈໍານວນ 60 ງວດ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.12 0.01 12 = ຕ ໍ່ງວດ. ຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຊຼຸດທີີ່ 1 ເທົົ່າກັບ: ( ) 60 60|0.01 1 1 0.01 1 1 44.95504 0.01 a − − + = = ລ້ານກີບ ແລະ ການຈ່າຍຊຼຸດທີີ່ 2 ເປັນການຈ່າຍທ້າຍງວດ, ງວດລະ 2 ລ້ານກີບ ຈໍານວນ 60 ງວດ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.12 0.01 12 = ຕ ໍ່ງວດ. ຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຊຼຸດທີີ່ 2 ເທົົ່າກັບ: ( ) ( ) ( ) 60 120 120 60|0.01 1 0.01 1 2 2 1 0.01 49.49097 0.01 a v − − + − = + = ລ້ານກີບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 31 ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍທັງໝົດ ເທົົ່າກັບ 44.95504 49.49097 94.44601 + = ລ້ານກີບ. ຕົວຢ່າງ 2.6 ນ. ອອມ ໄດ້ວາງແຜນອອມເງິນໄວ້ຫຼັງບໍານານ ໂດຍອອມເລີີ່ມຕົື້ນທັນທີ 100 ລ້ານກີບ ຫຼັງຈາກນັື້ນ ອອມທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 2 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 10 ປ ; ຫຼັງຈາກນັື້ນລາວຈະຕ້ອງອອມເງິນທຸກໆ ເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໃດ (ປະມານ) ຈ ີ່ງຈະມີເງິນເກັບ 2000 ລ້ານກີບ. ເມ ີ່ອບໍານານອາຍຸ 60 ປ ; ຖ້າຕອນນີື້ອາຍຸ 30 ປ ພ ດີ. ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ແກ້: ສົມມຸດວ່າຫຼັງຈາກ 10 ປ ນັື້ນ ນ. ອອມ ອອມເງິນທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ x ກີບ. 100 2 2 2 2 x x x x ເງິນສະສົມ 2000 ລ້ານກີບ ເນ ີ່ອງຈາກ ນ. ອອມ ເປັນລາຍເດ ອນ ແຕ່ດອກເບ້ຍຄິດສະສົມທຸກປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກຈະຄໍານວນຫາ ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ເດ ອນທຽບເທົົ່າ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ ( ) 12 12 1 0.04 1 12 i + = + ຈະໄດ້ (12) 0.003274 12 i ເຊິີ່ງເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ເດ ອນ. ພວກເຮົາພິຈາລະນາການ ອອມເປັນ 3 ສ່ວນ ເບິີ່ງຕາມພາບປະກອບ. ສ່ວນທີ 1 ອອມທັນທີທີີ່ເວລາເລີີ່ມຕົື້ນ (t = 0) 100 ລ້ານກີບ, ເງິນສະສົມສ່ວນນີື້ ເທົົ່າກັບ ( ) 30 100 1 0.04 324.33975 + = ລ້ານກີບ ສ່ວນທີ 2 ອອມເງິນທຸກເດ ອນ, ເດ ອນລະ 2 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 120 ງວດ, ເງິນສະສົມສ່ວນນີື້ ເທົົ່າກັບ ( )( ) ( ) ( ) 120 20 20 120|0.003274 1.003274 1 2 1 0.04 2 1.04 642.86824 0.003274 s − + = = ລ້ານກີບ ສ່ວນທີ 3 ອອມທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ x ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 240 ງວດ, ເງິນສະສົມສ່ວນນີື້ ເທົົ່າກັບ ( ) 240 120|0.003274 1 0.003274 1 363.8545 0.003274 xs x x + − = = ເນ ີ່ອງຈາກ ນ. ອອມ ຕ້ອງການມີເງິນເກັບ 2000 ລ້ານກີບ ເມ ີ່ອບໍານານ. ດັົ່ງນັື້ນ, 324.33975 642.86824 363.8545 2000 2.83848 + + = = x x ລ້ານກີບ ຫຼັງຈາກ 10 ປ , ລາວຈະຕ້ອງອອມເງິນທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 2.83848 ລ້ານກີບ. ຕົວຢ່າງ 2.7 ທ. ຄິມ ກູ້ເງິນຈາກສະຖາບັນການເງິນແຫ່ງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ, ທຸກໆ ທ້າຍ ເດ ອນເປັນເວລາ 10 ປ ໂດຍຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ (ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ) ຈົົ່ງຫາ: ກ) ເງິນຕົື້ນທ ນ ຫຼ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ. ຂ) ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10. ຄ) ດອກເບ້ຍສະສົມຂອງເງິນກູ້ນີື້. ງ) ຫຼັງຈາກຜ່ອນຊໍາລະໄປແລ້ວ 5 ປ , ທ. ຄິມ ຕ້ອງຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ (ປິດຍອດໜີື້) ລາວຈະຕ້ອງຊໍາລະເງິນ ກູ້ທັງໝົດເທົົ່າໃດ ໃນທ້າຍປ ທີ 5. ແກ້: 10 10 10 10 10 10 10 10 ກ) ຈາກໂຈດອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ເດ ອນ ເທົົ່າກັບ 0.06 0.005 12 = ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າ ລາຍງວດ ແມ່ນ ( ) 120 120|0.005 1 1 0.005 10 10 900.73453 0.005 a − − + = = ລ້ານກີບ. ຂ) ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ແມ່ນ
ຄະນິດສາດການເງິນ 32 ( ) ( ) 120 120 0 = + = = P 1 0.005 900.73453 1.005 1638.79346 ລ້ານກີບ. ຄ) ດອກເບ້ຍສະສົມຂອງເງິນກູ້ນີື້ແມ່ນ = − = − = nr P0 120 10 900.73453 299.26547 ( ) ລ້ານກີບ. ງ) ໃນນີື້ທ. ຄິມ ຜ່ອນຊໍາລະໄປແລ້ວ 5 ປ ສະແດງວ່າ: ງວດທີີ່ 60 ຊໍາລະໄປແລ້ວ, ຍັງອີກ 60 ທີີ່ຍັງບ ໍ່ຊໍາລະ. ດັົ່ງນັື້ນ, ທ. ຄິມ ຈະຕ້ອງຊໍາລະເງິນກູ້ທັງໝົດ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດທີີ່ເຫຼ ອ ໃນທ້າຍງວດທີີ່ 60 ( ) 60 60|0.005 1 1 0.005 10 10 517.25561 0.005 a − − + = = = ລ້ານກີບ. 2.2.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ດັົ່ງທີີ່ເວົື້າມາແລ້ວໃນຫົວຂ ໍ້ການຈ່າຍ ຫຼ ການລົງທ ນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງວ່າ: ການຈ່າຍ ຫຼ ການລົງທ ນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ບ ໍ່ຄ່ອຍມັກປາກົດໃນທາງປະຕິບັດ, ແຕ່ແນວໃດກ ໍ່ຕາມການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວມີປະໂຫຍດຢ່າງຫຼວງຫຼາຍໃນທາງທິດສະດີ, ທາງການວິເຄາະ ແລະ ການປະມານຄ່າສໍາລັບການລົງທ ນ ຫຼ ການຈ່າຍທີີ່ມີການຈ່າຍຖີີ່ໆ ຫຼ ຄາບເວລາສັື້ນໆ ເຊັົ່ນ: ການຈ່າຍລາຍວັນ, ການຈ່າຍລາຍອາທິດ, ໄລຍະເວລາດົນນານເປັນປ , ເປັນຕົື້ນ. ສົມມຸດວ່າ: ການຈ່າຍຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ດ້ວຍອັດຕາ ຕ ໍ່ປ , ທີີ່ເວລາ ໃດໆ, ຈ່າຍເປັນເວລາ ປ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດຂອງການຈ່າຍ ແລະ ສະແດງຄວາມສໍາພັນລະຫວ່າງມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ດັົ່ງຮູບ: PV ( ) 0 t − s ds r t( ) FV ( ) 0 n s ds ຮູບທີ 2.4 ການຈ່າຍຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ (PV) ຂອງການຈ່າເງິນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງເທິງຫວ່າງ 0,n ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ ( ) ( ) 0 0 t n s ds PV e r t dt − = (2.27) ໂດຍທີີ່ມູນຄ່າອະນາຄົດ (FV) ຂອງການຈ່າເງິນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງເທິງຫວ່າງ 0,n ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 t t t t t t n n n s ds s ds s ds s ds s ds FV e r t dt e e r t dt e r t dt e − − = = = ( ) 0 t s ds PVe = (2.28) ກ ລະນີສະເພາະ ສໍາລັບ r t( ) =1, (t) = ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງທຽບເທົົ່າ ມູນຄ່າ ປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍເງິນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງເທິງຫວ່າງ 0,n ຂອງກ ລະນີນີື້ ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ n| a ຈະໄດ້: | ( ) 0 1 1 1 n n n t n e v a e dt − − − − = = = (2.29) ເມ ີ່ອແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍເງິນຢ່າງຕ ໍ່ເນ ີ່ອງເທິງຫວ່າງ ຫວ່າງ 0,n ຂອງກ ລະນີນີື້ ຂຽນແທນດ້ວຍ ສັນຍາລັກ n| s ຈະໄດ້: | | ( ) 0 1 1 n t n ds n n n n e s e dt e a − = = = (2.30)
ຄະນິດສາດການເງິນ 33 ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າຍອດເງິນກູ້ຢືມ ໃນປະຈຸບັນເທົົ່າກັບ P0 ກີບ ຈ່າຍຊໍາລະຕ ໍ່ເນ ີ່ອງດ້ວຍອັດຕາ r ກີບຕ ໍ່ປ ຈໍານວນ n ປ ຈະໄດ້: 0 | 1 n n v P ra r − = = (2.31) ແລະ ເງິນສະສົມ n S ຂອງການຈ່າຍຊໍາລະຕ ໍ່ເນ ີ່ອງດ້ວຍອັດຕາ r ກີບຕ ໍ່ປ ຈໍານວນ n ປ ຈະໄດ້: | | n n n n S rs re a = = (2.32) ໂດຍທີີ່ຊໍາລະສະສົມເປັຍເງິນ ( ) 0 0 n n r t dt rdt nr = = ກີບ. ດັງນັື້ນ, ດອກເບ້ຍຈ່າຍ = ເງິນທີີ່ຈ່າຍທັງໝົດ − ເງິນທີີ່ກູ້ 0 = − nr P (2.33) ຕົວຢ່າງ 2.8 ຝາກເງິນຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ເຂົື້າກອງທ ນແຫ່ງໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີມູນຄ່າສະສົມດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະ ສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 4% ຕ ໍ່ປ ແລະ ກອງທ ນເລີີ່ມຕົື້ນຈ່າຍເງິນຄ ນປ ລະເທົົ່າໆ ກັນ ທ້າຍປ ທີີ່ 6 ເລ ື້ອຍໆ ມາລວມໄລຍະເວລາ ການຈ່າຍ 30 ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາຈ່າຍຕ ໍ່ປ (ສົມມຸດວ່າ: ກອງທ ນຈ່າຍຄ ນເປັນອັດຕາຄົງທີີ່) ແກ້: ສົມມຸດກອງທ ນຈ່າຍເງິນຄ ນປ ລະ x ກີບ ຈາກໂຈດຮູບຂອງກະແສເງິນສົດ x x x ຝາກເງິນ 1000 ຈາກຮູບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຈະໄດ້ວ່າ: ເງິນສະສົມຂອງເງິນຝາກ = ເງິນປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຄ ນປ ລະ x ກີບ ຈາກກອງທ ນ ດົນນານ 30 ປ . ( ) ( ) 0.04 30 ( ) 0.04 5 0.04 5 | 1 1000 1000 69.91372 0.04 n e e xa e x x − = = = ລ້ານກີບ ກອງທ ນເລີີ່ມຈ່າຍຄ ນດ້ວຍອັດຕາ 69.91372 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ປ . ຕົວຢ່າງ 2.9 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຄ່າງວດຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ທີີ່ມີການຈ່າຍຕັື້ງແຕ່ຕົື້ນ ປ ທໍາອິດ ເປັນເວລາ 20 ປ ໂດຍຈ່າຍຕ ໍ່ປ ທີີ່ເວລາ t ໃດໆ ດ້ວຍອັດຕາ 2 2 1 t + ກີບ ແລະ ມີອັດຕາດອກເບ້ຍສະ ສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ທີີ່ເວລາ t ໃດໆ ເທົົ່າກັບ 1 t + 2 ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ໃນໂຈດກໍານົດໃຫ້ ( ) 2 r t t = + 2 1, ( ) 1 2 t t = + ແລະ n = 20 ເຊິີ່ງສາມາດແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສ ເງິນສົດທີີ່ເວລາ t ໃດໆ ດັົ່ງນີື້: PV ( ) 0 t − s ds r t( ) FV ( ) 0 n s ds ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 t t s ds ds s t r t e t e t − − + + = + = + ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) 0 2 20 20 0 0 2 2 1 2 t s ds t r t e dt dt t − + = + ( ) 20 2 0 = − − + + = + + 2 4 12 9ln 2 640 ln121 4ln14641 683.16 t t t ກີບ. ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ ( ) 20 20 0 0 1 2 683.16 7514.76 t dt dt t FVe e + = ກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 34 ຕົວຢ່າງ 2.10 ສໍາລັບການຈ່າຍແບບຕ ໍ່ເນ ີ່ອງດ້ວຍອັດຕາການຈ່າຍຕ ໍ່ປ ( ) 0.02t r t e = ທີີ່ເວລາ t ແລະ ມີກໍາລັງ ດອກເບ້ຍ 0.05 ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນທີີ່ເວລາ t = 0 ສໍາລັບ ກ) ເງິນລາຍປ ຈ່າຍຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຈ່າຍເປັນໄລຍະເວລາ 20 ປ (n = 20) ຂ) ເງິນລາຍປ ຈ່າຍຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ຈ່າຍຈະຫຼອດໄປ (n →) ແກ້: ກ) ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: ( ) 20 20 20 0.02 0.05 0.03 0 0 0 15.0396 t t t t PV r t e dt e e dt e dt − − − = = = = ກີບ. ຂ) ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: ( ) 0.03 0.03 0 lim lim 33.3333 33.3333 33.3333 n t n n n PV e dt e − − → → = = − = ກີບ. 2.2.4 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປ ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕະຫຼອດໄປ (Perpetuity) ເປັນການຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດແບບບ ໍ່ມີເວລາສິື້ນສຸດ (n →) ເຊັົ່ນ: ພັນທະບັດຄອນໂຊລ (Concol Bond) ທີີ່ອອກໂດຍລັດຖະບານອັງກິດ ເຊິີ່ງເປັນສັນຍາລັກທີີ່ ຈ່າຍເງິນເປັນຜົນຕະຫຼອດໄປ ຫຼ ຫຸ້ນບຸລິມະສິດແບບບ ໍ່ມີເງ ີ່ອນໄຂການໄຖ່ຖອນ ເຊິີ່ງຈະຈ່າຍເງິນປັນຜົນຕະຫຼອດໄປ. ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປຈ່າຍຕົື້ນງວດ ສົມມຸດວ່າ: ຈ່າຍລາຍງວດຕົື້ນງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຕະຫຼອດໄປ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຕົື້ນງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ |i a ດັົ່ງຮູບ: ຈ່າຍ 1 1 1 1 1 |i a ຮູບທີ 2.5 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປຈ່າຍຕົື້ນງວດ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 2 | 1 1 1 ... 1 i i a v v v i + = + + + = = − (2.34) ເນ ີ່ອງຈາກ | 1 1 1 lim lim n i n n v i a iv iv i → → − + = = = ດັົ່ງນັື້ນ, | | i i lim n a a → = ສາມາດພິຈາລະນາການຈ່າຍ ຕະຫຼອດໄປຕົື້ນງວດເປັນການຈ່າຍລາຍງວດຕົື້ນງວດ ເມ ີ່ອ (n →) ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ (PV ) ຂອງຄ່າລາຍ ງວດຈ່າຍຕະຫຼອດໄປຈ່າຍຕົື້ນງວດ, ງວດລະ r ກີບ ຕະຫຼອດໄປ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ຄ | 1 i i PV ra r i + = = (2.35) ຕົວຢ່າງ 2.11 ນ. ຄໍາແພງ ຄວນລົງທ ນຊ ື້ພັນທະບັດຊະນິດໃດໜ ີ່ງເທົົ່າໃດ ເຊິີ່ງຈະຈ່າຍເງິນປັນຜົນ 500 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ ປ ໃຫ້ຄອບຄົວຂອງລາວຕະຫຼອດໄປຊົົ່ວລູກຊົົ່ວຫຼານ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍເງິນປັນຜົນຕັື້ງແຕ່ທໍາອິດຊ ື້ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາ ດອກເບ້ຍສະສົມ 4% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ເນ ີ່ອງຈາກເງິນທີີ່ ນ. ຄໍາແພງ ລົງທ ນຊ ື້ພັນທະບັດ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຕະຫຼອດໄປ |0.04 1 0.04 500 500 13000 0.04 a + = = = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ນ. ຄໍາແພງ ຄວນລົງທ ນຊ ື້ພັນທະບັດຊະນິດນີື້ 13000 ລ້ານກີບ ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປທ້າຍງວດ ສົມມຸດວ່າ: ຈ່າຍລາຍງວດທ້າຍງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຕະຫຼອດໄປ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຄ່າລາຍງວດຈ່າຍທ້າຍງວດ. ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ |i a ດັົ່ງຮູບ:
ຄະນິດສາດການເງິນ 35 ຈ່າຍ 1 1 1 1 1 |i a ຮູບທີ 2.6 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດຕະຫຼອດໄປຈ່າຍຕົື້ນງວດ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 2 3 | 1 ... 1 i v a v v v v i = + + + = = − (2.36) ເນ ີ່ອງຈາກ | 1 1 lim lim n i n n v a i i → → − = = ດັົ່ງນັື້ນ, | | i i lim n a a → = ສາມາດພິຈາລະນາການຈ່າຍຕະຫຼອດໄປ ທ້າຍງວດເປັນການຈ່າຍລາຍງວດທ້າຍງວດ ເມ ີ່ອ (n →) ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ (PV ) ຂອງຄ່າລາຍງວດຈ່າຍ ຕະຫຼອດໄປຈ່າຍທ້າຍງວດ, ງວດລະ r ກີບ ຕະຫຼອດໄປ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ ຄ |i r PV ra i = = (2.37) ຕົວຢ່າງ 2.12 ທ. ຄໍາ ຂຽນພິໄນກໍາມອບດອກເບ້ຍເງິນຝາກ ຈາກຕົື້ນທ ນ 10000 ລ້ານກີບ ໃຫ້ກັບລູກຊາຍ ແລະ ລຸກສາວຄົນລະເຄິີ່ງ ເປັນເວລາ 20 ປ . ຫຼັງຈາກນັື້ນຈະມອບດອກເບ້ຍເງິນຝາກໃຫ້ກັບມູນນິທິຄົນຕາບອດຕະຫຼອດ ໄປ, ທະນາຄານກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 5% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ລູກຊາຍ ແລະ ລູກສາວໄດ້ ຮັບ; ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ມອບໃຫ້ກັບມູນນິທິ ເມ ີ່ອເລີີ່ມຈ່າຍຕັື້ງແຕ່ທ້າຍງວດທີີ່ 1 ແກ້: ດອກເບ້ຍຈາກເງິນຝາກ 10000 ລ້ານກີບ ໃນແຕ່ລະປ ເທົົ່າກັບ 0.05 10000 500 ( ) = ລ້ານກີບ; ດອກ ເບ້ຍປ ລະ 500 ລ້ານກີບ ຈະມອບໃຫ້ລູກຊາຍ ແລະ ລູກສາວ ເປັນເວລາ 20 ປ ; ຫຼັງຈາກນັື້ນຈະມອບໃຫ້ກັບມູນນິທິ ຄົນຕາບອດຕະຫຼອດໄປ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: ລູກຊາຍ ແລະ ລູກສາວ ມູນນິທິ 500 500 500 500 500 500 ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ລູກຊາຍ ແລະ ລູກສາວ ໄດ້ຮັບລວມກັນ ( ) 20 20|0.05 1 1.05 500 500 6231.10517 0.05 a − − = = = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ລູກແຕ່ລະຄົນໄດ້ຮັບ ເທົົ່າກັບ 6231.10517 2 3115.55259 ລ້ານກີບ ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ມອບໃຫ້ກັບມູນນິທິ ( ) ( ) 20 20 |0.05 1 500 1 0.05 500 1.05 3768.89482 0.05 a − − = + = ລ້ານກີບ 2.2.5 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍປ່ຽນແປງ ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍປ່ຽນແປງ (Varying Annuity) ເປັນຄ່າລາຍງວດທີີ່ຈ່າຍໄປຕາມສະຖານະການ ເຊິີ່ງມັກ ພົບຮູບແບບການຈ່າຍລັກສະນະນີື້ຫຼາຍຂ ື້ນໃນປະຈຸບັນ ເຊັົ່ນ: ການຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດຂອງການຜ່ອນຊໍາລະບ້ານ ຫຼ ລົດ; ໃນບາງຄັື້ງຖ້າມີລາຍໄດ້ຫຼາຍຂ ື້ນ ກ ໍ່ສາມາດຈ່າຍຊໍາລະເພີີ່ມຫຼາຍຂ ື້ນຈາກເດີມ ເຊິີ່ງຈະເຮັດໃຫ້ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ ໄດ້ຄົບຕາມຈໍານວນໄວຂ ື້ນ. ພວກເຮົາສາມາດຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດລັກສະນະນີື້ ໄດ້ໂດຍ ການຫາຜົນບວກຂອງມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງລາຍງວດແຕ່ລະງວດ. 2.2.5.1 ການຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ແລະ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັນດັບເລຂາຄະນິດ ການຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນຕົື້ນງວດ ພິຈາລະນາຈ່າຍຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ ແລະ ເພີີ່ມຂ ື້ນງວດລະ
ຄະນິດສາດການເງິນ 36 1 ກີບ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: 1 2 3 4 n ຮູບທີ 2.7 ຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດຈ່າຍເພີີ່ມງວດລະ 1 ກີບ ກໍານົດໃຫ້ ni| a ແລະ ni| s ແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດເພີີ່ມ ຂ ື້ນທຸກງວດ, ເພີີ່ມຂ ື້ນງວດລະ 1 ກີບ ເປັນເວລາ n ງວດ ຕາມລໍາດັບ (ຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ) ຈາກຮູບ ມູນຄ່າປະຈຸບັນການຈ່າຍ ແມ່ນ 2 1 | 1 2 3 ... n n i a v v nv − = + + + + (2.38) (2.38)v ຈະໄດ້: ( ) 2 3 1 | 2 3 ... 1 n n n i v a v v v n v nv − = + + + + − + (2.39) (2.38 2.39 ) −( ) ຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 3 1 | 1 1 ... n n n i v a v v v v nv − − = + + + + + − (2.40) ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນ ຈະໄດ້: | | n n i n i a nv a iv − = (2.41) ຈາກສົມຜົນ (2.41) ຈະໄດ້ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດເພີີ່ມຂ ື້ນທຸກງວດ ແມ່ນ ( ) | | ( ) ( ) | | 1 1 1 n n n n n i n i n i n i a i nv i s n s a i iv iv + − + − = + = = (2.42) ການຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນທ້າຍງວດ ພິຈາລະນາຈ່າຍຄ່າລາຍງວດທ້າຍງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ ແລະ ເພີີ່ມຂ ື້ນງວດລະ 1 ກີບ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: 1 2 3 n ຮູບທີ 2.8 ຄ່າລາຍງວດທ້າຍງວດຈ່າຍເພີີ່ມງວດລະ 1 ກີບ ກໍານົດໃຫ້ ni| a ແລະ ni| s ແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດເພີີ່ມ ຂ ື້ນທຸກງວດ, ເພີີ່ມຂ ື້ນງວດລະ 1 ກີບ ເປັນເວລາ n ງວດ ຕາມລໍາດັບ (ຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ) ຈາກຮູບ ມູນຄ່າປະຈຸບັນການຈ່າຍ ແມ່ນ 2 | 2 ... n n i = + + + a v v nv (2.43) ( ) 2 1 | | | 1 2 3 ... n n n i n i n i a nv a v v v nv v a i − − = + + + + = (2.44) ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນ ຈະໄດ້: | | n n i n i a nv a i − = (2.45) ຈາກສົມຜົນ (2.45) ຈະໄດ້ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດເພີີ່ມຂ ື້ນທຸກງວດ ແມ່ນ ( ) | | ( ) ( ) | | 1 1 1 n n n n n i n i n i n i a i nv i s n s a i i i + − + − = + = = (2.46) ການຈ່າຍຫຼຼຸດລົງຕົື້ນງວດ ພິຈາລະນາຈ່າຍຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ n ກີບ ແລະ ຫຼຼຸດລົງງວດລະ 1 ກີບ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: n n −1 n − 2 n − 3 2 1 ຮູບທີ 2.9 ຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດຈ່າຍຫຼຼຸດລົງງວດລະ 1 ກີບ ກໍານົດໃຫ້ ni| a ແລະ ni| s ແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດຫຼຼຸດ ລົງທຸກງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ເປັນເວລາ n ງວດ ຕາມລໍາດັບ (ຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ n ກີບ)
ຄະນິດສາດການເງິນ 37 ຈາກຮູບ ມູນຄ່າປະຈຸບັນການຈ່າຍ ແມ່ນ ( ) ( ) 2 2 1 | 1 2 ... 2 1 n n n i a n n v n v v v − − = + − + − + + + (2.47) (2.47)v ຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 3 1 | 1 2 ... 2 1 n n n i v a nv n v n v v v − = + − + − + + + (2.48) (2.47 2.48 ) −( ) ຈະໄດ້: ( ) ( ) 2 1 | 1 ... n n n i v a v v v v n − − = + + + + − (2.49) ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນ ຈະໄດ້: | | n i n i n a a iv − = (2.50) ຈາກສົມຜົນ (2.50) ຈະໄດ້ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດຫຼຼຸດລົງທຸກງວດ ແມ່ນ ( ) ( ) | | ( ) | | 1 1 1 n n n n i n i n i n i n a n i s s a i i iv iv − + − = + = + = (2.51) ການຈ່າຍຫຼຼຸດລົງທ້າຍງວດ ພິຈາລະນາຈ່າຍຄ່າລາຍງວດທ້າຍງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ n ກີບ ແລະ ຫຼຼຸດລົງງວດລະ 1 ກີບ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: n n −1 n − 2 2 1 ຮູບທີ 2.10 ຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດຈ່າຍຫຼຼຸດລົງງວດລະ 1 ກີບ ກໍານົດໃຫ້ ni| a ແລະ ni| s ແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດຫຼຼຸດ ລົງທຸກງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ເປັນເວລາ n ງວດ ຕາມລໍາດັບ (ຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ n ກີບ) ຈາກຮູບ ມູນຄ່າປະຈຸບັນການຈ່າຍ ແມ່ນ ( ) ( ) 2 3 1 | 1 2 ... 2 1 n n n i a nv n v n v v v − = + − + − + + + (2.52) ( ( ) ( ) ) 2 2 1 | | | 1 2 ... 2 1 n n n i n i n i n a a v n n v n v v v v a i − − − = + − + − + + + = = (2.53) ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນ ຈະໄດ້: | | n i n i n a a i − = (2.54) ຈາກສົມຜົນ (2.54) ຈະໄດ້ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດຫຼຼຸດລົງທຸກງວດ ແມ່ນ ( ) ( ) | | ( ) | | 1 1 1 n n n n i n i n i n i n a n i s s a i i i i − + − = + = + = (2.55) ຕົວຢ່າງ 2.13 ນ. ຕອກ ຊໍາລະໜີື້ເງິນກູ້100 ລ້ານກີບ ໂດຍການຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 5 ລ້ານກີບ ທຸກທ້າຍເດ ອນ, ແຕ່ລາວຕ້ອງການຜ່ອນຊໍາລະໃຫ້ໄວຂ ື້ນຈ ີ່ງຕັື້ງໃຈຜ່ອນຊໍາລະເພີີ່ມຂ ື້ນໃນທຸກໆ ເດ ອນ, ເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ. ຖ້າລາວຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຕາມທີີ່ຕັື້ງໃຈໄວ້ລາວຈະຜ່ອນດົນນານຈັກເດ ອນ (ໂດຍປະມານ) ກໍານົດອັດຕາ ດອກເບ້ຍ (12) i = 0.12 ແກ້: ຕ້ອງການຊໍາລະໜີື້ດົນນານ t ເດ ອນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ (12) 0.01 12 i = ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: 4 1+ 4 2 + 4 3 + 4 + t ກູ້100 ລ້ານກີບ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ( ) 2 3 |0.01 |0.01 |0.01 100 4 1 2 3 ... 100 4 t t t t = + + + + + = + a v v v tv a a
ຄະນິດສາດການເງິນ 38 ( ) ( ) |0.01 |0.01 1 1.01 1.01 1 1.01 0.01 1.01 100 4 100 4 0.01 0.01 0.01 t t t t t t t t a tv a − − − − − − = + = + − − ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນຈະໄດ້: (1.01 105 1.01 104 0 ) ( ) t t t − − + − = ສາມາດຫາຄໍາຕອບຂອງສົມຜົນນີື້ໄດ້ໂດນໃຊ້ວິທີການເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ເຊິີ່ງເວົື້າໃນບົດທີ 3 ຫຼ ໃຊ້ໂປຼ ແກຼມສໍາເລັດຮູບ ຈະໄດ້ t 10.8077 ເດ ອນ ຫຼ ປະມານ 10 ເດ ອນ 28 ວັນ. ຕົວຢ່າງ 2.14 ຈົົ່ງພິສູດວ່າ: ( ) | 1 | n i n n i da v s di + = − ແກ້: ເນ ີ່ອງຈາກ 2 3 | ... n n i a v v v v = + + + + , ( ) 1 v i 1 − = + ແລະ ກົດລູກໂຊ່ ຈະໄດ້: ( ) ( )( ) 2 3 | 2 1 2 ... 1 2 3 ... 1 n n i n da d v v v v dv v v nv v di dv di − + + + + = = + + + + − ( ( ) ( ) ( ) ( )( ) )( ) 1 2 3 1 1 2 1 1 2 1 3 1 ... 1 1 1 n n n n v i i i n i n v − − − − = + + + + + + + − + + − ( ) 1 | n n i v s + = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) | 1 | n i n n i da v s di + = − 2.2.5.2 ການຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ແລະ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ ພິຈາລະນາການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ ແລະ ຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງ ທຸກງວດດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g . ຖ້າຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນກໍານົດຄ່າ g ເປັນບວກ ແລະ ຖ້າຈ່າຍຄ່າຫຼຼຸດລົງກໍານົດຄ່າ g ເປັນ ລົບ, ແຕ້ມຮູບສະແດງກະແສເງິນສົດ ດັົ່ງນີື້: 1 1+ g ( ) 2 1+ g ( ) 1 1 n g − + ຮູບທີ 2.11 ຄ່າລາຍງວດທ້າຍງວດຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g ກໍານົດໃຫ້ Gani| ແລະ Gsni| ແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍທ້າຍງວດຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g ໂດຍຈ່າຍເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ, ຈາກຮູບຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍ ຄ : ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 | 1 1 ... 1 n n Ga v g v g v g v n i − = + + + + + + + (2.56) ຄູນ (1+ g) ເຂົື້າທັງສອງຟາກຂອງສົມຜົນ (2.56) ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 | 1 1 1 1 ... 1 n n n i + = + + + + + + + + g Ga g v g v g v g v (2.57) ໃຊ້ສູດຜົນບວກ n ພົດທໍາອິດຂອງອັນດັບເລຂາຄະນິດທີີ່ມີຕົວທະວີຄູນ (1+ g v) ໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 | 1 1 1 1 1 n n n i g v g v g Ga g v + + + − + + = − + (2.58) ຈັດຮູບຮ່າງສົມຜົນ (2.58) ຈະໄດ້: (( ) ) | 1 1 n n i g v Ga i g − + = − (2.59) ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍ ຄ : ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) | | 1 1 1 1 1 1 n n n n n n i n i g v i g Gs Ga i i i g i g − + + − + = + = + = − − (2.60) ສໍາລັບການຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງທຸກງວດຕົື້ນງວດ ດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g ກໍານົດໃຫ້ Gani| ແລະ Gsni| ແທນ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດ ຂອງການຈ່າຍຕົື້ນງວດຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g ໂດຍ
ຄະນິດສາດການເງິນ 39 ເລີີ່ມຕົື້ນ 1 ກີບ. 1 1+ g ( ) 2 1+ g ( ) 1 1 n g − + ຮູບທີ 2.12 ຄ່າລາຍງວດຕົື້ນງວດຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ ຫຼ ຫຼຼຸດລົງດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ g ຈາກຮູບຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງການຈ່າຍ ຄ : ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) 2 1 2 1 | | 1 1 1 1 1 ... 1 n n n n i n i Ga g v Ga g v g v g v v i g v − − − + = + + + + + + + = = − (2.61) ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍ ຄ : ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 1 1 1 1 1 n n n n n n i n i g v i g Gs Ga i i i g v i g v − + + − + = + = + = − − (2.62) ຕົວຢ່າງ 2.15 ທ. ອໍາພອນ ຊໍາລະໜີື້ເງິນກູ້ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍການຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 5 ລ້ານ ກີບ ທຸກທ້າຍເດ ອນ, ແຕ່ລາວຕ້ອງການຜ່ອນຊໍາລະຄ ນຄົບຈໍານວນໃຫ້ໄວຂ ື້ນຈ ີ່ງຕັື້ງໃຈຜ່ອນຊໍາລະເພີີ່ມຂ ື້ນທຸກ ເດ ອນດ້ວຍອັດຕາ 10% ຂອງເດ ອນກ່ອນໜ້າ. ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ (12) i = 0.12 ຖ້າລາວຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ ຕາມທີີ່ຕັື້ງໃຈໄວ້ລາວຈະຕ້ອງຜ່ອນດົນນານຈັກເດ ອນ (ໂດຍປະມານ) ແກ້: ຕ້ອງການຊໍາລະໜີື້ດົນນານ t ເດ ອນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ (12) 0.01 12 i = ຈາກການພົວພັນ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ຈະໄດ້: (( ) ) 1 |0.01 1 1 0.01 1.01 1.1 100 5 5 2.8 0.01 0.1 1.01 t t Gat − − + = = = − ແກ້ສົມຜົນ ຈະໄດ້: ln 2.8 12.06 ln1.1 ln1.01 t = − ຫຼ ປະມານ 12 ເດ ອນ 2 ວັນ. ຕົວຢ່າງ 2.16 ທ. ຄໍາມີ ໄດ້ວາງແຜນການເງິນເພ ີ່ອກຽມພ້ອມຮັບບໍານານ ດ້ວຍການເຮັດປະກັນປະເພດສະສົມ ຊັບທ ນບໍານານພິເສດ ເຊິີ່ງສົົ່ງທ ນປະກັນເລີີ່ມຕົື້ນປ ທໍາອິດ 50 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ປ ແລະ ສາມາດເພີີ່ມທ ນໃນແຕ່ລະປ ໄດ້ ຕາມຄວາມຕ້ອງການຂອງນັກລົງທ ນຈົນຮອດອາຍຸຄົບ 60 ປ . ຫຼັງຈາກນັື້ນ, ຈະຈ່າຍຄ ນເປັນລາຍປ , ປ ລະເທົົ່າໆ ກັນ ໃນລັກສະນະຂອງບໍານານຕັື້ງແຕ່ປ ທີີ່ອາຍຸຄົບ 61 ຈົນຮອດອາຍຸຄົບ 80 ປ ແລະ ໃນປ ທີີ່ອາຍຸຄົບ 80 ປ ຈະຈ່າຍເງິນ ສະສົມອີກຈໍານວນໜ ີ່ງ; ຖ້າຂະນະນີື້ລາວອາຍຸ30 ປ ແລະ ສົົ່ງທ ນປະກັນເລີີ່ມຕົື້ນ 50 ລ້ານກີບ ທັນທີຕົື້ນປ ໂດຍທີີ່ ລາວສົົ່ງທ ນປະກັນເພີີ່ມຂ ື້ນ 10% ຕ ໍ່ປ ຈົນຮອດອາຍຸ 60 ປ (ຈໍານວນ 31 ງວດ) ແລ້ວຫຼັງຈາກນັື້ນ, ລາວໄດ້ຮັບ ເງິນບໍານານເທົົ່າໃດ? ທັນທີຕັື້ງແຕ່ອາຍຸ61 ຈົນຮອດອາຍຸຄົບ 80 ປ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມ ທຸກປ ແລະ ໃນປ ທີີ່ລາວອາຍຸຄົບ 80 ປ ຈະໄດ້ຮັບເງິນຄ ນອີກ 5000 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຄໍານວນວ່າລາວສົົ່ງທ ນປະກັນທັງ ໝົດເທົົ່າໃດ? ແລະ ໄດ້ຜົນຕອບແທນທັງໝົດຄິດເປັນເປ ເຊັນເທົົ່າໃດຂອງທ ນປະກັນ? ແກ້: ສົມມຸດອອມເພີີ່ມອັດຕາ 0.1 ຕ ໍ່ປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສົົ່ງປະກັນຕົື້ນປ ໃນແຕ່ລະປ ຈະເປັນ 50 , 50 1 0.1 ( + ), ( ) 2 50 1 0.1 + , ..., ( ) 30 50 1 0.1 + ແລະ ຈໍານວນທ ນປະກັນເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) 31 2 30 31|0.1 1 1 0.1 1 50 1 1.1 1.1 ... 1.1 50 50 10006.88837 0.1 1 0.1 s − + − + + + + = = = + ລ້ານກີບ ສົມມຸດ x ເປັນເງິນບໍານານທີີ່ໄດ້ຮັບ ສາມາດຄໍານວນຫາ x ໄດ້ຈາກ: ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 40 30 50 31|0.04 20|0.04 50 5000 Ga xa v v = + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 31 31 20 30 50 ` 1 1.1 1.04 1 1.04 50 1.04 5000 1.04 0.04 0.1 `.04 0.04 x − − − − − − − = + − =x 802.21813 ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ໄດ້ຮັບເງິນທັງໝົດ 802.21813 20 5000 21044.3626 ( ) + = ລ້ານກີບ ໄດ້ກໍາໄລ 21044.3626 10006.88837 11037.47423 − = ລ້ານກີບ ໄດ້ຜົນຕອບແທນທັງໝົດຄິດເປັນເປ ເຊັນ 11037.47423 100 110.2988 10006.88837 = 2.3 ຄ່າລາຍງວດອັດຕາຮາບ ຄ່າລາຍງວດອັດຕາຮາບ (Flat Rate) ຄ ການຈ່າຍເງິນຫຼາຍຄັື້ງໃນໄລຍະເວລາທີີ່ກໍານົດ ດ້ວຍການຄິດດອກ ເບ້ຍດ່ຽວ. ການຄິດຄ່າຈ່າຍງວດອັດຕາຮາບ ມັກພົບໃນການຜ່ອນຊໍາລະສິນຄ້າ ຫຼ ບ ລິການບາງຊະນິດ (ສິນຊັບ ປະເພດມີຄ່າເສ ີ່ອມລາຄາສູງ) ເຊັົ່ນ: ການຊ ື້ລົດໃຫຍ່ ແລະ ລົດຈັກ ເປັນຕົື້ນ. ໂດຍປົກກະຕິການຜ່ອນຊໍາລະມັກຊໍາ ລະເປັນລາຍເດ ອນ ເຊິີ່ງລັກສະນະການຜ່ອນຊໍາລະອາດຈະເລີີ່ມຜ່ອນຊໍາລະຕັື້ງແຕ່ຕົື້ນງວດທໍາອິດ (ໃນວັນເຮັດ ສັນຍາ) ຫຼ ທ້າຍງວດທໍາອິດ (ຫຼັງຈາກວັນເຮັດສັນຍາຕາມໄລຍະງວດທີີ່ກໍານົດ) ກ ໍ່ໄດ້; ການຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ ແບບອັດຕາຮາບຕັື້ນງວດມັກຈະບ ໍ່ຄ່ອຍພົບເຫັນໃນທາງປະຕິບັດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃນນີື້ຈະເວົື້າສະເພາະການຜ່ອນຊໍາລະຄ່າ ລາຍງວດແບບອັດຕາຮາບທ້າຍງວດເທົົ່ານັື້ນ ເຊິີ່ງເປັນທີີ່ນິຍົມໃນທາງປະຕິບັດ. ຫຼັກການຄໍານວນຄ່າລາຍງວດອັດຕາຮາບ ພວກເຮົາສາມາດຄໍານວນຄ່າລາຍງວດ ຫຼ ເງິນທີີ່ຜ່ອນຊໍາລະໃນແຕ່ລະງວດ ດັົ່ງນີື້: ເງິນທີີ່ຜ່ອນຊໍາລະໃນແຕ່ລະງວດ = ລາຄາສິນຄ້າທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍ + ດອກເບ້ຍ ຈໍານວນງວດ (2.63) ໃຫ້ P ເປັນລາຄາສິນຄ້າ ຫຼ ບ ລິການທີີ່ຕ້ອງການຊ ື້ຜ່ອນ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ i ຕ ໍ່ງວດ ແລະ ຜ່ອນຊໍາລະ ຈໍານວນ n ງວດ ຜ່ອນຊໍາລະງວດລະ f ກີບ ເງິນທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍທັງໝົດ = ລາຄາສິນຄ້າ + ດອກເບ້ຍ = + = + P inP in P (1 ) ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນຜ່ອນຊໍາລະແຕ່ລະງວດ (1 in P) f n + = (2.64) ໂດຍທີີ່, ໜີື້ທີີ່ເຫຼ ອຫຼັງຈ່າຍງວດທີີ່ t ໃດໆ (0 t n) = ເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍທັງໝົດ − ເງິນທີີ່ຈ່າຍໄປ t ງວດ ນັື້ນແມ່ນ ໜີື້ທີີ່ເຫຼ ອຫຼັງຈ່າຍງວດທີີ່ t ໃດໆ = + − = − = − (1 in P ft nf ft n t f ) ( ) (2.65) ໝາຍເຫດ: ຄ່າລາຍງວດນີື້ອາດຈະລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7% ແລ້ວ ຫຼ ຍັງບ ໍ່ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ ກ ໍ່ໄດ້ຂ ື້ນຢູ່ກັບຂ ໍ້ ຕົກລົງກັບທາງຮ້ານຄ້າ ຫຼ ສະຖາບັນການເງິນ, ໃນນີື້ຈະຂ ຍົກຕົວຢ່າງການຜ່ອນລົດໃຫຍ່ໃໝ່ກັບລົດໃຫຍ່ມ ສອງ. ໃນທາງປະຕິບັດການຜ່ອນລົດໃຫຍ່ໃໝ່ນັື້ນຜູ້ຊ ື້ຈະບ ໍ່ຕ້ອງເສຍພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7% ແຕ່ສໍາລັບການຊ ື້ລົດມ ສອງຜູ້ຊ ື້ຕ້ອງເສຍມູນຄ່າເພີີ່ມ 7% ເພີີ່ມຕ ີ່ມຈາກເງິນຄ່າງວດ ແລະ ໃນການຜ່ອນສິນຄ້າແຕ່ລະປະເພດຜູ້ຊ ື້ອາດຈະ ຈ່າຍເງິນຄ່າສິນຄ້າບາງສ່ວນກ່ອນຕອນທໍາອິດກ ໍ່ໄດ້, ເງິນທີີ່ລູກຄ້າຈ່າຍກ່ອນບາງສ່ວນນີື້ ເອີື້ນວ່າ: ເງິນດາວ; ສ່ວນທີີ່ ເຫຼ ອກ ໍ່ຜ່ອນຊໍາລະລາຍງວດ ໂດຍຄໍານວນດ້ວຍສູດ (2.63) ຕົວຢ່າງ 2.17 ທ. ອາຕີີ໋ ຊ ື້ລົດມ ສອງ ລາຄາເງິນສົດ 400 ລ້ານກີບ ຕ້ອງຈ່າຍເງິນດາວ 100 ລ້ານກີບ, ທີີ່ເຫຼ ອ ຜ່ອນຊໍາລະທຸກເດ ອນ ເປັນເວລາ 4 ປ , ຖ້າຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 5% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ຕ້ອງຜ່ອນຊໍາາລະ ພ້ອມດອກເບ້ຍເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? (ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) ແກ້: ທ. ອາຕີີ໋ຈ່າຍເງິນດາວ 100 ລ້ານກີບ, ຍອດເງິນທີີ່ຕ້ອງຜ່ອນ 400 100 300 − = ລ້ານກີບ ເງິນທັງໝົດທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍ 300 1 0.05 4 360 ( + = ( )) ລ້ານກີບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 41 ຄ່າລາຍງວດ (ຕ ໍ່ເດ ອນ) ( ) 360 7.5 4 12 = ລ້ານກີບ ພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 0.07 7.5 0.525 ( ) = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ທ. ອາຕີີ໋ຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະ 7.5 0.525 8.025 + = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 2.18 ທ. ປາວີ ຊ ື້ລົດໃໝ່ ລາຄາເງິນສົດ 800 ລ້ານກີບ, ຕ້ອງຈ່າຍເງິນດາວ 100 ລ້ານກີບ, ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາ ລະທຸກເດ ອນ ເປັນເວລາ 4 ປ , ຖ້າຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ 3% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ຕ້ອງຜ່ອນຊໍາາລະພ້ອມດອກ ເບ້ຍເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? ແກ້: ທ. ປາວີຈ່າຍເງິນດາວ 100 ລ້ານກີບ, ຍອດເງິນທີີ່ຕ້ອງຜ່ອນ 800 100 700 − = ລ້ານກີບ ເງິນທັງໝົດທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍ 700 1 0.03 4 784 ( + = ( )) ລ້ານກີບ ຄ່າລາຍງວດ (ຕ ໍ່ເດ ອນ) ( ) 784 16.33333 4 12 ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ທ. ອາຕີີ໋ ຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະ 16.33333 ລ້ານກີບ ບົດເຝ ກຫັດ 2 1. ນ. ພອນ ກູ້ເງິນ 500 ລ້ານກີບ ສັນຍາກູ້10 ປ ໂດຍໃຊ້ຊ່ວງເວລາ 5 ປ ທໍາອິດຈ່າຍຊໍາລະເດ ອນລະ 2 ລ້ານ ກີບ ທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ແລະ ຈ່າຍຊໍາລະໃນຊ່ວງ 5 ປ ຫຼັງໃນສັນຍາລະບຸຈ່າຍຄ່າລາຍງວດທຸກທ້າຍປ . ກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ໃນຊ່ວງ 5 ປ ຫຼັງລາວຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ່າງວດປ ລະເທົົ່າໃດ? ຊ ີ່ງຈະຊໍາລະໜີື້ຄົບຕາມ ທີີ່ກູ້ມາ (ຄິດດອກເບ້ຍສະສົມຕາມໄລຍະທີີ່ຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ) 2. ນ. ອໍາໄພ ຝາກເງິນທີີ່ໄດ້ຈາກການຂາຍທີີ່ດິນຈໍານວນ 20000 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານກໍານົດອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ໂດຍທີີ່ໃນແຕ່ລະເດ ອນລາວຈະຖອນ 100 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອນໍາມາໃຊ້ຈ່າຍ ໃນຄອບຄົວ; ຖ້າລາວຄາດວ່າລາວຈະມີອາຍຸຢູ່ອີກ 40 ປ ລາວຈະຍັງມີເງິນເຫຼ ອຢູ່ ຫຼ ບ ໍ່? ຖ້າເຫຼ ອຈະເຫຼ ອ ເທົົ່າໃດ? ເພ ີ່ອເກັບໄວ້ເປັນມ ລະດົກໃຫ້ລູກຫຼານຂອງລາວ. 3. ທ. ຄໍາພັນ ກູ້ເງິນຈາກສະຖາບັນການເງິນແຫ່ງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ານຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 12 ລ້ານກີບ ທຸກໆ ຕົື້ນເດ ອນ ເປັນເວລາ 10 ປ ແລະ ໃນງວດສຸດທ້າຍຕ້ອງຈ່າຍເພີີ່ມອີກ 200 ລ້ານກີບ ໂດຍສະຖາບັນ ການເງິນແຫ່ງນີື້ຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຫາວ່າ: 3.1) ເງິນຕົື້ນທ ນ ຫຼ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ. 3.2) ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຜ່ອນຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10. 3.3) ດອກເບ້ຍສະສົມຂອງເງິນກູ້ນີື້. 3.4) ຫຼັງຈາກຜ່ອນໄປແລ້ວ 5 ປ ລາວຕ້ອງການຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ (ປິດຍອດໜີື້) ລາວຈະຕ້ອງຊໍາລະເງິນກູ້ທັງ ໝົດເທົົ່າໃດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5. 4. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າສະສົມຂອງການຝາກເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ເຂົື້າກອງທ ນແຫ້ງໜ ີ່ງໃນຄັື້ງທໍາອິດຕອນຕົື້ນປ ທໍາອິດ ເຊິີ່ງມີການສະສົມມູນຄ່າອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 4% ຕ ໍ່ປ ແລະ ມີອັດຕາຝາກ 5 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ປ ຕັື້ງແຕ່ ຕົື້ນປ ທີີ່ 2 ເລ ື້ອຍໆ ໄປຮອດປ ທີີ່ 20. 5. ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍລາຍງວດຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ທີີ່ມີການຈ່າຍຕັື້ງແຕ່ຕົື້ນ ປ ທໍາອິດເປັນເວລາ 20 ປ ຈ່າຍຕ ໍ່ປ ດ້ວຍອັດຕາ 2 t +1 ກີບ ຕ ໍ່ປ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ເທົົ່າກັບ 1 t +1 ຕ ໍ່ປ ໂດຍທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 20 ຈະຕ້ອງຈ່າຍເພີີ່ມອີກ 100 ລ້ານກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 42 6. ທ. ເອກ ລົງທ ນຊ ື້ພັນທະບັດລາຄາ 10000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຮັບເງິນປັນຜົນທຸກປ ຕະຫຼອດໄປຊົົ່ວລູກຊົົ່ວຫຼານ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍເງິນປັນຜົນຕັື້ງແຕ່ປ ທີີ່ 5 ເປັນຕົື້ນໄປ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມເທົົ່າກັບ 5% ຕ ໍ່ປ ລູກ ຫຼານຂອງລາວຈະໄດ້ຮັບເງິນປັນຜົນປ ລະເທົົ່າໃດ? 7. ທ. ສອນໄຊ ຂຽນພິໄນກໍາມອບດອກເບ້ຍເງິນຝາກຈາກຕົື້ນທ ນ 10000 ລ້ານກີບ ທຸກໆ ເດ ອນ ໃຫ້ກັບມູນ ນິທິຄົນຕາບອດຕະຫຼອດໄປ ໂດຍທະນາຄານກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກ ຫາວ່າ: ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນບ ລິຈາດ ເມ ີ່ອຈ່າຍທ້າຍງວດເລີີ່ມຕັື້ງແຕ່ທ້າຍງວດທີີ່ 10. 8. ທ. ອານຸສອນ ຊໍາລະໜີື້ເງິນກູ້ 200 ລ້ານກີບ ໂດຍການຜ່ອນຊໍາລະລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 12 ລ້ານກີບ ທຸກ ທ້າຍເດ ອນ, ແຕ່ລາວຕ້ອງການໃຊ້ເງິນໃນການລົງທ ນຈ ີ່ງຕັື້ງໃຈຜ່ອນຊໍາລະໃນເດ ອນຫຼຼຸດລົງທຸກໆ ເດ ອນ, ເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ, ແຕ່ການຊໍາລະໃນແຕ່ລະເດ ອນຈະຕ້ອງບ ໍ່ຕໍໍ່າກວ່າ 5 ລ້ານກີບ, ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກ ເບ້ຍ (12) i = 0.12 , ຖ້າລາວຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຕາມທີີ່ຕັື້ງໃຈໄວ້ ລາວຈະຕ້ອງຜ່ອນດົນຈັກເດ ອນ (ໂດຍປະມານ) 9. ນ. ວິນັດ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງໂດຍຈ່າຍເງິນດາວ 300 ລ້ານກີບ ແລະ ຕົກລົງຈ່າຍ 10 ລ້ານກີບ ທຸກໆ ເດ ອນເປັນ ເວລາ 20 ປ . ຄົນຂາຍຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) 9.1) ບ້ານຫຼັງນີື້ມີມູນຄ່າເປັນເງິນສົດເທົົ່າໃດ? 9.2) ຖ້າລາວຂາດຊໍາລະງວດທີີ່ 12 15 − , ງວດທີີ່ 16 ລາວຕ້ອງຊໍາລະເທົົ່າໃດ? ໂດຍທີີ່ຫຼັງຈາກນັື້ນລາວຈ່າຍຄ່າ ລາຍງວດຕາມປົກກະຕິ. 9.3) ຖ້າລາວຈ່າຍປົກກະຕິເລ ື້ອຍມາຈົນຮອດງວດທີີ່ 121 ລາວຕ້ອງການຜ່ອນເພີີ່ມຂ ື້ນເປັນ 20 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ເດ ອນ ລາວຈະຜ່ອນໄດ້ໄວກວ່າເກົົ່າຈັກເດ ອນ? (ໂດຍປະມານ) 9.4) ຫຼັງຈາກຊໍາລະໄປ 120 ງວດ, ໃນງວດທີີ່ 121 ລາວຈະຕ້ອງການຊໍາລະສ່ວນທີີ່ເຫຼ ອທັງໝົດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ໃນ ງວດທີີ່ 121 ລາວຕ້ອງຊໍາລະເງິນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 10. ນ. ໜ ີ່ງ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງຈ່າຍເງິນດາວ 200 ລ້ານກີບ ແລະ ຕົກລົງຈ່າຍ 8 ລ້ານກີບ ທຸກໆ ເດ ອນເປັນເວລາ 10 ປ . ຄົນຂາຍຄິດດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ (ຈ່າຍຕົື້ນງວດ) 10.1) ບ້ານຫຼັງນີື້ມີມູນຄ່າເປັນເງິນສົດເທົົ່າໃດ? 10.2) ຖ້າລາວຂາດຊໍາລະ 12 ງວດທໍາອິດ, ງວດທີີ່ 13 ລາວຕ້ອງຊໍາລະເທົົ່າໃດ? ຈ ີ່ງຈະທັນເວລາ ໂດຍທີີ່ຕັື້ງແຕ່ ງວດທີີ່ 13 ເປັນຕົື້ນໄປຈ່າຍຄ່າລາຍງວດໃໝ່ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນ (Refinance) 10.3) ຖ້າລາວຜ່ອນຊໍາລະຕາມປົກກະຕິ 12 ງວດ ແຕ່ລາວຕ້ອງການໃຫ້ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ໃຫ້ຄົບຈໍານວນພາຍໃນ 6 ປ ຕ ໍ່ຈາກນີື້ ລາວຕ້ອງຊໍາລະເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? 10.4) ຫຼັງຈາກຊໍາລະໄປ 24 ງວດ, ລາວຕ້ອງການຜ່ອນຊໍາລະຕ ໍ່ເດ ອນເພີີ່ມຂ ື້ນອີກ 10% ຕ ໍ່ເດ ອນ ລາວຈະ ຜ່ອນຊໍາລະຄົບໝົດຄົບຈໍານວນໄວກວ່າເກົົ່າຈັກງວດ? 11. ສັນຍາສະບັບໜ ີ່ງກໍານົດໃຫ້ຊໍາລະ 16 ລ້ານກີບ ທຸກ 6 ເດ ອນ ເປັນເວລາ 10 ປ ແລະ ຊໍາລະອີກ 100 ລ້ານກີບ ໃນວັນຄົບສັນຍາ. ຈົົ່ງຊອກຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຕາມສັນຍາດັົ່ງກ່າວ? ຖ້າກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 7% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) 12. ທ. ບຸນກອງ ຊ ື້ລົດເກົົ່າລາຄາ 54 ລ້ານກີບ, ລາວຊໍາລະເງິນດາວ 9 ລ້ານກີບ ແລະ ຈ່າຍສ່ວນທີີ່ເຫຼ ອດ້ວຍການ ຜ່ອນຊໍາລະລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ 15 ງວດ, ງວດທໍາອິດກໍານົດຊໍາລະໃນ 1 ເດ ອນ ຄິດອັດຕາດອກ ເບ້ຍດ່ຽວ 6% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນທີີ່ຕ້ອງຜ່ອນຊໍາລະລາຍເດ ອນ (ລວມພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ 7%) 13. ນ. ຟ້າ ຊ ື້ໂທລະສັບລາຄາ 25 ລ້ານກີບ (ລາຄາປະຈຸບັນ) ໂດຍຊໍາລະເງິນກ້ອນທໍາອິດໄປກ່ອນໃນວັນທີີ່ຊ ື້ເປັນ ເງິນ 1 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ ທັງໝົດ 6 ເດ ອນ ໂດຍເສຍດອກເບ້ຍໃນອັດຕາດອກເບ້ຍ ສະສົມ 1.3% ຕ ໍ່ເດ ອນ. ລາວຈະຕ້ອງຊໍາລະເງິນເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) 14. ທ. ດົມ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງ ໂດຍຈ່າຍເງິນດາວໄປ 260 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານເດ ອນລະ 13 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 15 ປ , ຖ້າບ້ານຫຼັງນີື້ລາຄາເງິນສົດເທົົ່າກັບ 3000 ລ້ານກີບ. ຢາກຮູ້ວ່າ: ທະນາຄານຄິດ ດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດເປ ເຊັນຕ ໍ່ປ (ຈ່າຍຕົື້ນງວດ)
ຄະນິດສາດການເງິນ 43 15. ນ. ຫຼ້າ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຈໍານວນ 20 ລ້ານກີບ ໂດຍຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນທຸກໆ 3 ເດ ອນຕິດຕ ໍ່ ກັນເປັນເວລາ 5 ປ ໂດຍກອງທ ນການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. ລາວຈະຕ້ອງຈ່າຍ ງວດລະເທົົ່າໃດ? (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) 16. ທ. ອ້າຍ ກູ້ເງິນຈາກທະນາຄານ ຈໍານວນ 40 ລ້ານກີບ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 28 ຕ ໍ່ປ (ລວມຄ່າທ ໍ່ນຽມຕ່າງໆ ແລະ ພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ) ລະບຸໃນສັນຍາຈະຈ່າຍຊໍາລະເງິນຕົື້ນຄົງທີີ່ເດ ອນລະ 8 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງການ ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຂອງລາວໃນແຕ່ລະເດ ອນ ແລະ ຈົົ່ງຫາຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ລາວຊໍາລະກັບທະນາຄານ (ຈ່າຍ ທ້າຍງວດ). 17. ທ. ອ້າຍ ກູ້ເງິນຈາກທະນາຄານ ຈໍານວນ 40 ລ້ານກີບ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 28 ຕ ໍ່ປ (ລວມຄ່າທ ໍ່ນຽມຕ່າງໆ ແລະ ພາສີມູນຄ່າເພີີ່ມ) ລະບຸໃນສັນຍາຈະຈ່າຍຊໍາລະເງິນລາຍເດ ອນຄົງທີີ່ເດ ອນລະ 8 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງ ການຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຂອງລາວໃນແຕ່ລະເດ ອນ ແລະ ຈົົ່ງຫາຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ລາວຊໍາລະກັບທະນາຄານ (ຈ່າຍທ້າຍງວດ). 18. ທ. ໃຫຍ່ ຊ ື້ລົດໃໝ່ລາຄາ 890 ລ້ານກີບ, ບ ລິສັດການເງິນຈັດການເງິນໃຫ້90% ຂອງລາຄາລົດ ໂດຍຜ່ອນ ຜ່ານລາຍເດ ອນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ເປັນເວລາ 5 ປ . ລາວຈະຕ້ອງຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະເທົົ່າໃດ ແລະ ລວມລາວຈ່າຍເງິນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 19. ນ. ໝີ ຊ ື້ຄອນໂດມີນຽນ ພ ື້ນທີີ່ 32 ຕາແມັດ ລາຄາ 1850 ລ້ານກີບ ໂດຍກູ້ເງິນເພ ີ່ອທີີ່ຢູ່ອາໄສຈາກທະນາຄານ ເຊິີ່ງກູ້ໄດ້ໃນວົງເງິນ 90% ຂອງລາຄາປະເມີນ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ເປັນເວລາ 20 ປ . ລາວຈະຕ້ອງ ຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? ແລະ ລວມລາວຈ່າຍເງິນທັງໝົດຈັກກີບ? ຖ້າລາຄາປະເມີນຂອງທະນາຄານເທົົ່າ 2000 ລ້ານ (ຈ່າຍຕົື້ນງວດ) ໝາຍເຫດ: ລາຄາປະເມີນຄ ລາຄາສິນຊັບທີີ່ປະເມີນລາຄາໂດຍສະຖາບັນການເງິນທີີ່ປ່ອຍກູ້ເງິນ ເຊິີ່ງອາດຈະ ຫຼາຍກວ່າລາຄາຊ ື້ຂາຍຈິງກ ໍ່ໄດ້ ໂດຍວົງເງິນທີີ່ທະນາຄານກໍານົດຈະຄໍານວນຈາກລາຄາປະເມີນ. 20. ທ. ບິກ ວາງແຜນເຮັດທຸລະກິດປ່ອຍເງິນກູ້ ໂດຍກູ້ເງິນກັບສະຖາບັນການເງິນທີີ່ຕົນເປັນສະມາຊິກ ເຊິີ່ງສາມາດ ກູ້ໄດ້ໃນອັດຕາດອກເບ້ຍຕໍໍ່າ ແລ້ວປ່ອຍກັບລູກຄ້າລາຍຍ່ອຍ. ຖ້າລາວກູ້ເງິນກັບສະຖາບັນການເງິນນີື້ 200 ລ້ານກີບ ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 7% ຕ ໍ່ປ ຜ່ອນຊໍາລະລາຍເດ ອນເປັນເວລາ 2 ປ ແລະ ນໍາເງິນທັງໝົດໄປ ປ່ອຍກູ້ລາຍເດ ອນ ທຸກໆ ເດ ອນເປັນເວລາ 2 ປ ໂດຍຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ 2% ຕ ໍ່ເດ ອນ. ເມ ີ່ອຄົບເວລາ 2 ປ ແຜນທຸລະກິດຂອງລາວຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ຄິດເປັນເປ ເຊັນເທົົ່າໃດ? (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) 21. ນ. ນ້ອຍ ຊ ື້ຫ້ອງສະມຸດຫ້ອງໜ ີ່ງ ໂດຍວາງເງິນດາວ 100 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ເດ ອນ ລະ 10 ລ້ານກີບ ຈໍານວນ 120 ເດ ອນ ຄິດດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍຕົື້ນ ງວດທໍາອິດ. ລາຄາເງິນສົດຂອງຫ້ອງສະມຸດເທົົ່າກັບເທົົ່າໃດ? 22. ນ. ກ້ອຍຫອມ ຊ ື້ບ້ານລາຄາ 2000 ລ້ານກີບ ໂດຍວາງເງິນດາວ 20% ຂອງລາຄາບ້ານ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະກັບ ທະນາຄານ ເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ ຖ້າທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍ ເລີີ່ມຈ່າຍຕົື້ນງວດທໍາອິດຈະຕ້ອງຜ່ອນດົນນານເທົົ່າໃດເດ ອນ? 23. ນ. ໂຕເປັດ ຊ ື້ບ້ານລາຄາ 3000 ລ້ານກີບ ໂດຍວາງເງິນດາວ 600 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ເປັນເວລາ 20 ປ , ຖ້າທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍ ງວດທໍາອິດ ຄ່າລາຍງວດຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? 24. ທ. ເສ ອ ຊ ື້ຫ້ອງລາຄາ 1000 ລ້ານກີບ ກູ້ໄດ້ 100% ແລະ ຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ແລະ ເພີີ່ມຂ ື້ນເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ, ທະນາຄານຄິດດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍ ງວດທໍາອິດ. ລາວຈະຕ້ອງຜ່ອນດົນນານຈັກປ ແລະ ຕ້ອງຈ່າຍເງິນເປັນຄ່າດອກເບ້ຍສະສົມເທົົ່າໃດ? 25. ທ. ສິນທະນູໄຊ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງລາຄາ 2000 ລ້ານກີບ ຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານທຸກເດ ອນ ໂດຍໃນ 10 ປ ທໍາ ອິດ ຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະ 15 ລ້ານກີບ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍ ງວດທໍາອິດ ແລະ ໃນ 10 ປ ຫຼັງ ຈ່າຍຊໍາລະຕ ໍ່ເດ ອນອີກຈໍານວນໜ ີ່ງ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມ
ຄະນິດສາດການເງິນ 44 ທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທີີ່ 121 ຕ ໍ່ຈາກການຜ່ອນເດີມ. ລາວຈ່າຍຊໍາລະເດ ອນລະເທົົ່າໃດກີບໃນ ຊ່ວງ 10 ປ ຫຼັງ. 26. ນ. ຈອມໃຈ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງໂດຍຈ່າຍເງິນດາວ 200 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານເດ ອນລະ 28 ປ ແລະ ຜ່ອນຫຼຼຸດລົງເດ ອນລະ 1 ລ້ານກີບ ເປັນໄລຍະໜ ີ່ງ, ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມ ທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາອິດ. ຈົົ່ງຊອກຫາ: 26.1) ບ້ານຫຼັງນີື້ມີມູນຄ່າເງິນສົດເທົົ່າ 2000 ລ້ານກີບ ຈະຕ້ອງຜ່ອນດົນນານຈັກປ ? 26.2) ຖ້າລາວຈ່າຍເງິນຢ່າງປົກກະຕິຈົນຮອດງວດທີີ່ 20, ແຕ່ງວດທີີ່ 21 ປາກົດວ່າ: ຝາກເງິນຜົວໄປຈ່າຍແຕ່ຜົວ ລ ມຈ່າຍໄປ 1 ງວດ, ໃນງວດທີີ່ 22 ລາວຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະເງິນຄ່າບ້ານເທົົ່າໃດ? ຈ ີ່ງເຮັດໃຫ້ຫຼັງຈາກນີື້ຜ່ອນ ປົກກະຕິ ແລະ ຜ່ອນຄົບທັນຕາມກໍານົດເວລາ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 45 ບົດທີ 3 ສ່ວນຫຼຼຸດ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 3.1 ສ່ວນຫຼຼຸດ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ ເນ ື້ອໃນບົດຮຽນທີີ່ຜ່ານມາໄດ້ເວົື້າເຖິງອັດຕາດອກເບ້ຍ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍປະເພດຕ່າງໆ ເຊັົ່ນ: ອັດຕາ ດອກເບ້ຍດ່ຽວ, ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມ ເຊິີ່ງການຄິດດອກເບ້ຍຈະເກີດຂ ື້ນທີີ່ທ້າຍງວດເວລາ, ແຕ່ໃນທຸລະກໍາການ ເງິນບາງປະເພດຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນໃນຮູບຂອງສ່ວນຫຼຼຸດ (Discount) ຈາກຈໍານວນເງິນທີີ່ຈະໄດ້ຮັບໃນອະນາຄົດ (ມູນຄ່າອະນາຄົດ) ເຊິີ່ງຄ ກັບການໄດ້ຮັບຜົນຕອບແທນ ຫຼ ດອກເບ້ຍຕົື້ນທ ນງວດ ຫຼ ໄດ້ຮັບດອກເບ້ຍລ່ວງໜ້າ (Interest-in-Advance) ເຊັົ່ນ: ການລົງທ ນໃນຕາສານໜີື້(Instrument) ທີີ່ມີລາຄາທີີ່ໄວ້(Face Value) 1 ລ້ານກີບ ອາຍຸຖ ຄອງຂອງງຕາສານໜີື້ 1 ປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ກ່າວໄວ້ ແລະ ມີອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 10% ຕ ໍ່ປ (ຂອງລາຄາທີີ່ກ່າວໄວ້) ຈະເຫັນວ່າ: ນັກລົງທ ນລົງທ ນໃນຕາສານໜີື້ສະບັບນີື້ຈະໄດ້ ສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າກັບ 1 10% 0.1 = ລ້ານກີບ; ຈະສາມາດຊ ື້ຕາສານໜີື້ສະບັບນີື້ສະບັບນີື້ໄດ້ໃນລາຄາ 0.9 ລ້ານກີບ (ທີີ່ປະຈຸບັນ) ແລະ ເມ ີ່ອຄົບກໍານົດນັກລົງທ ນຈະໄດ້ຮັບເງິນເທົົ່າກັບລາຄາໄຖ່ຖອນ ເຊິີ່ງເທົົ່າກັບ 1 ລ້ານກີບ (ທີີ່ອະນາຄົດ) ໃນກ ລະນີນີື້ ສາມາດພິຈາລະນາໄດ້ວ່າຈໍານວນເງິນທີີ່ຈະໄດ້ຮັບທ້າຍງວດເທົົ່າກັບ 1 ລ້ານກີບ ແລະ ໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດ 0.5 ລ້ານກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ນັກລົງທ ນສາມາດລົງທ ນໄດ້ໃນຈໍານວນເງິນ 0.9 ລ້ານກີບ ເຊິີ່ງນັກລົງທ ນຈະໄດ້ຮັບສ່ວນຫຼຼຸດໃນ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ (Discount Rate) = ສ່ວນຫຼຼຸດ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈະໄດ້ຮັບທ້າຍງວດ 0.1 10% 1 = = ແລະ ໄດ້ກໍາໄລ ຫຼ ດອກເບ້ຍຈາກການລົງທ ນ ເທົົ່າກັບ ສ່ວນຫຼຼຸດ ຄິດເປັນ: ອັດຕາດອກເບ້ຍ (Interest Rate) = ສ່ວນຫຼຼຸດ ເງິນລົງທ ນຕົື້ນງວດ 0.1 0.1111 11.11% 0.9 = = = ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າໃຫ້ d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ງວດ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ ຈະໄດ້ວ່າ: 1 d i d = − ຫຼ 1 1 1 i d + = − (3.1) 1− d 1 ຮູບທີ 3.1 ການລົງທ ນໂດຍອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ d 3.2 ປະເພດຂອງອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດອາດແບ່ງໄດ້ເປັນ 2 ປະເພດຄ : ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ. 1) ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ (Simple Discount Rate) ເປັນການຄິດຫຼຼຸດໃນແຕ່ລະງວດ ຈາກເງິນທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ຄັື້ງດຽວໃນອະນາຄົດ ເຊິີ່ງສາມາດອະທິບາຍດ້ວຍຮູບດັົ່ງຕ ໍ່ໄປນີື້: ພິຈາລະນາການລົງທ ນ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນ 1 ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ d ຕ ໍ່ ງວດ. nd d d d d d d d ລົງທ ນ 1− nd ໄດ້ຮັບ 1 ຮູບທີ 3.2 ການລົງທ ນໂດຍໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ d ຈາກຮູບຈະໄດ້ວ່າ: ການລົງທ ນເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1 ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາສ່ວນ ຫຼຼຸດດ່ຽວ d ຕ ໍ່ງວດ ຈະໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດທັງໝົດ nd ກີບ ແລະ ຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍເງິນຈໍານວນ 1− nd ກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບການລົງທ ນເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນ S ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ຈະໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດທັງໝົດ ndS ກີບ ແລະ ຕ້ອງ ລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ P S ndS nd S = − = − (1 ) (3.2) ຈາກຮູບທີ3.2 ສໍາລັບເວລາ t ໃດໆ ຖ້າ a t( ) ເປັນຕໍາລາເງິນສະສົມໃດໆ ຈະໄດ້ວ່າ:
ຄະນິດສາດການເງິນ 46 ( ) 1 1 1 a t it dt = + = − (3.3) ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວ ເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ d ຈະໄດ້: 1 1 1 it dt + = − (3.4) ຖ້າກໍານົດໃຫ້ PV ເປັນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ FV ເປັນມູນຄ່າອະນາຄົດ ຈະໄດ້: PV 1− dt FV ( ) 1 PV FV a t PV dt = = − (3.5) ຕົວຢ່າງ 3.1 ທ. ເທບຈະຕ້ອງລົງທ ນທັນທີເທົົ່າໃດໃນໂຄງການໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1 ລ້ານກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ໂດຍໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ 8% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: P td S = − = − = (1 1 5 0.08 1 0.6 ) ( ( )) ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 3.2 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຂອງການລົງທ ນໜີ່ ງ ເຊິີ່ງຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍເງິນຈໍານວນ 10 ລ້ານກີບ ຫຼັງຫັກສ່ວນຫຼຼຸດ ໂດຍໄດ້ຮັບສ່ວນລົດດ່ຽວ 5% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: P td S S S = − = − = (1 10 1 10 0.05 20 ) ( ( )) ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 3.3 ສໍາລັບໂຄງການລົງທ ນໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຈາກການລົງທ ນ ທັນທີດ້ວຍເງິນຈໍານວນ 900 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວຕ ໍ່ປ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍດ່ຽວຕ ໍ່ປ ທີີ່ທຽບ ເທົົ່າກັນຂອງໂຄງການລົງທ ນນີື້. ແກ້: ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: PV td FV td d = − = − = (1 900 1 1000 0.02 ) ( ) ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ FV ti PV i i = + = + = (1 1000 1 5 900 0.0222 2.22% ) ( ) 2) ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ (Compounded Discount Rate) ເປັນການຄິດຫຼຼຸດໃນແຕ່ລະງວດ ຈາກເງິນທີີ່ ຈະໄດ້ຮັບໃນແຕ່ລະງວດຫຼັງຈາກຫັກສ່ວນຫຼຼຸດໃນງວດນັື້ນໆ ເຊິີ່ງສາມາດອະທິບາຍດ້ວຍຮູບດັົ່ງຕ ໍ່ໄປນີື້: ພິຈາລະນາການລົງທ ນ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນ 1 ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ d ຕ ໍ່ ງວດ. ລົງທ ນ (1 ) n − d ໄດ້ຮັບ 1 ຮູບທີ 3.3 ການລົງທ ນໂດຍໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ d ຈາກຮູບຈະໄດ້ວ່າ: ການລົງທ ນເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1 ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ໂດຍໄດ້ຮັບອັດຕາສ່ວນ ຫຼຼຸດສະສົມ d ຕ ໍ່ງວດ ຈະໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດທັງໝົດ 1 1( ) n − − d ກີບ ແລະ ຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍເງິນຈໍານວນ (1 ) n − d ກີບ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບການລົງທ ນເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນ S ກີບ ທ້າຍງວດທີີ່ n ຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ (1 ) n P d S = − (3.6) ແລະ ໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດທັງໝົດ (1 1( ) ) n − − d S ກີບ ຈາກຮູບທີ3. 3 ສໍາລັບເວລາ t ໃດໆ ຖ້າ a t( ) ເປັນຕໍາລາເງິນສະສົມໃດໆ ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 t t a t i d = + = − (3.7) ດັົ່ງນັື້ນ, ຖ້າ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ງວດ ເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ d ຈະໄດ້:
ຄະນິດສາດການເງິນ 47 1 1 1 i d + = − (3.8) ຖ້າກໍານົດໃຫ້ PV ເປັນມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ FV ເປັນມູນຄ່າອະນາຄົດ ຈະໄດ້: PV (1 ) t − d FV ( ) (1 ) t PV FV a t PV d = = − (3.9) ຕົວຢ່າງ 3.4 ທ. ໂນອາ ຈະຕ້ອງລົງທ ນທັນທີເທົົ່າໃດໃນໂຄງການໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1 ລ້ານກີບ ທ້າຍ ປ ທີີ່ 5 ໂດຍໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 8% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ PV = ? FV =1 ຈະໄດ້: ( ) ( ) 10 1 1 0.05 1 0.65908162 t PV d FV = − = − = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 3.5 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຂອງການລົງທ ນໜີ່ ງ ເຊິີ່ງຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍເງິນຈໍານວນ 10 ລ້ານກີບ ຫຼັງຫັກສ່ວນຫຼຼຸດ ໂດຍໄດ້ຮັບສ່ວນລົດສະສົມ 10% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ຈາກໂຈດ PV =10 FV = ? ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 10 1 1 0.1 10 28.67972 t FV d PV − − = − = − = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 3.6 ສໍາລັບໂຄງການລົງທ ນໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຈາກການລົງທ ນ ທັນທີດ້ວຍເງິນຈໍານວນ 900 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມຕ ໍ່ປ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ປ ທີີ່ ທຽບເທົົ່າກັນຂອງໂຄງການລົງທ ນນີື້. ແກ້: ຈາກໂຈດ PV = 900 FV =1000 ຈະໄດ້: ( ) ( ) 5 1 900 1 1000 0.0208 2.08% t PV d FV d d = − = − = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) 5 900 1000 0.0212 2.12% 1 1 t PV FV i d i = = = − − 3.3 ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ ອັດຕາສ່ວນທີີ່ຄິດສະສົມພຽງ 1 ຄັື້ງໃນຊ່ວງເວລາໜ ີ່ງ ເອີື້ນວ່າ: ອັດຕາສ່ວນແທ້ຈິງ ຫຼ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດທີີ່ເປັນ ຜົນ (Effective Discount Rate: EDR) ແຕ່ໃນບາງຄັື້ງການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດໃນ 1 ງວດເວລາ ອາດຈະຄິດສ່ວນຫຼຼຸດ ສະສົມຫຼາຍກວ່າ 1 ຄັື້ງ ເຊັົ່ນ: ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 10% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ; ສະແດງວ່າ: ທຸກໆ 1 ປ ຈະມີ ການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 2 ຄັື້ງ ໂດຍທີີ່ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ຄັື້ງ (ງວດ) ເທົົ່າກັບ 10% 5% 2 = ເອີື້ນອັດຕາສ່ວນໃນ ລັກສະນະນີື້ວ່າ: ອັດຕາສ່ວນພຽງໃນນາມ (Nominal Discount Rate: NDR); ຖ້າກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງ ໃນນາມ 10% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ເມ ີ່ອພິຈາລະນາເງິນທ ນເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນສະສົມ 1 ກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ທ້າຍປ ທີ 1 ເງິນລົງທ ນນັື້ນຈະເທົົ່າກັບ ( ) 2 2 1 0.05 0.95 0.9025 1 0.0975 − = = = − ສະແດງວ່າ ອັດຕາສ່ວນ ຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ 10% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ຈະທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງ 9.75% ຕ ໍ່ປ . ນິຍາມ 3.1 ຈະເອີື້ນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ d ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຄິດສະສົມ m ຄັື້ງ (ງວດ) ຕ ໍ່ປ ວ່າ: ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ (m) d ແລະ ເອີື້ນ (m) d m ວ່າ: ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ງວດ.