ຄະນິດສາດການເງິນ 48 ໂດຍທົົ່ວໄປໃນທາງທິດສະດີຈໍານວນ m ຄັື້ງ ສາມາດເປັນຈໍານວນຈິງບວກໃດໆ ເຊັົ່ນ: 1 2 i ໃນນີື້ 1 2 m = ຈະເວົື້າວ່າເປັນການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດ 1 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງມີຄວາມໝາຍຄ ຄິດສ່ວນຫຼຼຸດ 1 ຄັື້ງ ຕ ໍ່ 2 ປ . ໃນທໍານອງດຽວກັນ 2 3 d ກ ໍ່ຈະໝາຍເຖິງ ການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດ 2 ຄັື້ງ ຕ ໍ່ 3 ປ . ນິຍາມ 3.2 ໃຫ້ (m) d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ ແລະ d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ປ ຈະເອີື້ນ d ວ່າ: ອັດຕາ ສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນພຽງໃນນາມ (m) d ຖ້າ ( ) 1 1 m m d d m − = − (3.10) ຈາກນິຍາມ 3.2 ຈະໄດ້ວ່າ: i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ, (m) i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ແລະ d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງ ທຽບເທົົ່າອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ (m) d ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 m m m m i d i d m m − − + = + = − = − (3.11) ຫຼ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 mt mt m m i d t t a t i d m m − − = + = + = − = − ສໍາລັບທຸກໆ t 0 (3.12) ຕົວຢ່າງ 3.7 ຈົົ່ງຄໍານວນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. ແກ້: ຈາກ ( ) 1 1 m m d d m − = − ໃນນີື້ m = 4 ແລະ (4) 0.08 0.02 4 4 d = = ໂດຍການແທນຄ່າ ຈະໄດ້: ( ) 4 1 1 0.02 0.077632 7.7632% − = − = d d ຕົວຢ່າງ 3.8 ຈົົ່ງຄໍານວນອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ສະສົມ 6 ເດ ອນ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມ ທຸກ 3 ເດ ອນ. ແກ້: ຈາກ ( ) ( ) ( ) 4 12 4 12 1 1 1 1 1 4 12 i d i d − − + = + = − = − ເຮັດໃຫ້ໄດ້ ( ) ( ) ( ) 12 12 4 12 1 0.02 1 0.07895 7.895% 12 d d − + = − = ຖ້າໃຫ້ d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ (m) d ສາມາດຂຽນ d ໃນພົດຂອງ (m) d ແລະ m ໃນຮູບ ( ) 1 1 m m d d m = − − (3.13) ທິດສະດີ 3.1 ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງ ( ) 1 1 m m d d m = − − ເປັນຕໍາລາຫຼຼຸດໃນຕົວປ່ຽນ m ເມ ີ່ອ ກໍານົດໃຫ້ (m) d ຄົງທີີ່. ພິສູດ: ພິສູດໄດ້ເຊັົ່ນດຽວກັບການສະແດງວ່າ ( ) 1 1 m m i i m = + − ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m . ຈາກທິດສະດີ 3.1 ຈະໄດ້ວ່າ: ຖ້າກໍານົດຕົວເລກອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມເທົົ່າກັນ, ສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນ ນາມທີີ່ມີຈໍານວນຄັື້ງຂອງການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມຫຼາຍຄັື້ງໃນ 1 ງວດ ຈະໃຫ້ສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງນ້ອຍກວ່າສ່ວນຫຼຼຸດ ພຽງໃນນາມທີີ່ມີຈໍານວນຄັື້ງຂອງການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມນ້ອຍຄັື້ງກວ່າ. ສົມມຸດວ່າ: ໃນການລົງທ ນໜ ີ່ງ ກໍານົດ
ຄະນິດສາດການເງິນ 49 ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ ຕ້ອງໃຫ້ຜົນຕອບແທນທີີ່ຕໍໍ່າກວ່າ (ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ ແທ້ຈິງຕໍໍ່າກວ່າ) ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເຊິີ່ງສະແດງໄດ້ເຫັນດັົ່ງນີື້: ສໍາລັບການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ (ຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ ຈິງ ເທົົ່າກັບ 4 0.06 1 1 0.0585 5.85% 4 − − = ຂະນະທີີ່ການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ (ຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ ຈິງ ເທົົ່າກັບ 2 0.06 1 1 0.0591 5.91% 2 − − = ຈາກສູດ (3.13) ຖ້າຈັດ (m) d ໃນພົດຂອງ d ແລະ m ໃນຮູບ ( ) ( ) 1 1 1 m d m d m = − − (3.14) ຈະໄດ້ (m) d ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m ເມ ີ່ອກໍານົດໃຫ້ d ຄົງທີີ່ ເຊິີ່ງສະແດງໄວ້ໃນທິດສະດີ 3.2 ທິດສະດີ 3.2 ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ ( ) ( ) 1 1 1 m d m d m = − − ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m 0 ເມ ີ່ອ ກໍານົດໃຫ້ d ຄົງທີີ່. ພິສູດ: ພິສູດໄດ້ເຊັົ່ນດຽວກັບການສະແດງວ່າ ( ) ( ) 1 1 1 m i m i m = + − ເປັນຕໍາລາແຮມໃນຕົວປ່ຽນ m . ຮູບທີ3.4 ສະແດງ (m) d ເປັນຕໍາລາຂ ື້ນໃນຕົວປ່ຽນ m (ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຄິດສະສົມ m ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈາກທິດສະດີ 3.2 ເຮັດໃຫ້ຮູ້ວ່າ: ຖ້າກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງຄົງທີີ່, ການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມຍິີ່ງຫຼາຍ ຄັື້ງ ຍິີ່ງໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ເພີີ່ມຂ ື້ນ ເຊັົ່ນ: ສໍາລັບການລົງທ ນ ຖ້າກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງ 10% ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ຂອງການຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ ຕ້ອງມີຕົວເລກທີີ່ສູງກວ່າ ອັດຕາສ່ວນ ຫຼຼຸດພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ຂອງການຄິດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເຊິີ່ງສະແດງໃຫ້ເຫັນດັົ່ງນີື້: ສໍາລັບການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ (ຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງ ໃນນາມ ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) 1 4 d 4 1 1 0.1 0.1040 10.40% 4 = − − = = ຂະນະທີີ່ການຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ (ຄິດສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 2 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ) ຈະໄດ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງ ໃນນາມ ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) 1 2 d 2 1 1 0.1 0.1026 10.26% 2 = − − = = ຕົວຢ່າງ 3.9 ຈົົ່ງຫາອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ (4) d ທີີ່ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ (12) i =12% ແກ້: ຈາກ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 m m m m i d i d m m − − + = + = − = − ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 4 12 4 4 12 1 1 1 0.01 1 12 4 4 i d d − − + = − + = −
ຄະນິດສາດການເງິນ 50 ( ) (( ) ) 1 4 12 4 d 4 1 1 0.01 0.1176 11.76% − = − + = ຕົວຢ່າງ 3.10 ທ. ພັນດີ ຕ້ອງການລົງທ ນໄລຍະຍາວກັບກອງທ ນໜ ີ່ງເພ ີ່ອທີີ່ຈະໄດ້ຮັບເງິນຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 5 ໂດຍກອງທ ນກໍານົດຜົນຕອບແທນໃນຮູບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. ລາວຈະ ຕ້ອງລົງທ ນກັບກອງທ ນນີື້ເທົົ່າໃດ? ແລະ ໄດ້ຜົນຕອບແທນໃນຮູບອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດ (4) 0.08 0.02 4 4 d = = PV = ? FV =1000 ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 20 4 20 1 1 0.02 1000 0.66760797 4 d PV FV = − = − = ລ້ານກີບ ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) 4 4 1 1 4 d i − + = − ຈະໄດ້: ( ) 4 1 1 0.02 0.084165 8.4165% i i − + = − = ດັົ່ງນັື້ນ, ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນກັບກອງທ ນນີື້ 0.66760797 ລ້ານກີບ ແລະ ໄດ້ຜົນຕອບແທນໃນຮູບອັດຕາດອກ ເບ້ຍແທ້ຈິງ 8.4165% ຕ ໍ່ປ . ຕົວຢ່າງ 3.11 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍໄດ້ຜົນ ຕອບແທນໃນ 2 ປ ທໍາອິດ ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ, ຊ່ວງ 2 ປ ຖັດມາ ໄດ້ອັດຕາສ່ວນ ຫຼຼຸດ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ແລະ ໃນປ ສຸດທ້າຍໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 8% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມ ທຸກ 6 ເດ ອນ. ແກ້: PV =100 FV = ? 0 8 0 2 0 24 2 ປ ທໍາອິດ 2 ປ ຖັດມາ ປ ສຸດທ້າຍ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 8 24 2 4 12 2 1 1 1 4 12 2 d d d FV PV − − − = − − − ( ) 8 24 2 0.04 0.06 0.08 1 1 1 100 132.62397 4 12 2 FV − − − = − − − = ລ້ານກີບ. ທິດສະດີ 3.3 ໃຫ້ (m) d ເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດພຽງໃນນາມ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງທຽບເທົົ່າ (m) d ຈະໄດ້ ( ) ( ) ( ) lim ln 1 lim m m m m d i i → → = + = = ພິສູດ: ຄໍານວນຄ່າຂອບເຂດຂອງ (m) d ໄດ້ໂດຍກົງ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 lim lim 1 1 lim x m m m m x d d m d → → → x − − = − − = (ຮູບຮ່າງ 0 0 ) ໃຊ້ຫຼັກເກນໂລປ ຕານ ຈະໄດ້: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 lim lim 1 ln 1 ln 1 ln 1 x x x x d d d d i x → → − − = = − − − = − − = + ( ) lim m m i → = = ແລະ ເງິນສະສົມຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນ Pt0 ເປັນໄລຍະເວລາ t ໃດໆ ດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມແທ້
ຄະນິດສາດການເງິນ 51 ຈິງ d ຕ ໍ່ປ ຈ ີ່ງເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 mt m t t d S P i P d P m − − = + = − = − (3.15) ທິດສະດີ 3.4 1) ( ) ( ) 1 m m m d v i = 2) ( ) ( ) 1 1 1 m m i d m m − + = − 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 mt mt m m t i d a t i m m − = + = + = − ຕົວຢ່າງ 3.12 ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າສະສົມ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຂອງເງິນລົງທ ນຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ທີີ່ໃຊ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ ເທົົ່າກັບ 3% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກວັນ. ແກ້: ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: ມູນຄ່າສະສົມ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ( ) ( ) 3650 3650 365 365 100 1 100 1 365 365 i d − = + = − 3650 0.03 100 1 134.98759 365 − = − = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 3.13 ຈົົ່ງຫາອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ທີີ່ທຽບເທົົ່າກໍາລັງດອກເບ້ຍ ( ) ( )( ) 2 1 2 t t t = + + ສໍາລັບ 0 10 t ແກ້: ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( )( ) 10 0 2 10 10 1 2 1.212272 1 1 3.361111 dt t t d i e e − + + − = + = = = ໂດຍແກ້ສົມຜົນ ຈະໄດ້: ( ) 1 d 1 3.361111 0.114167 11.4167% 10 − = − = ຕົວຢ່າງ 3.14 ໂຄງການ 2 ໂຄງການ ໄລຍະເວລາ 10 ປ ມີນະໂຍບາຍດັົ່ງນີື້: ໂຄງການ ຜົນຕອບແທນ A ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ 10% ຕ ໍ່ປ ດົນນານ 3 ປ , ຫຼັງຈາກນັື້ນ ໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ B ອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ດົນນານ 3 ປ , ຫຼັງຈາກນັື້ນ ໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ໂຄງການໃດໃຫ້ຜົນຕອບແທນແທ້ຈິງຕ ໍ່ປ ສູງທີີ່ສຸດ. ແກ້: ຈາກໂຈດ ຈະໄດ້: ໂຄງການ A: ( ) ( ( )) 28 10 1 0.1 1 1 3 0.1 1 2.902503 4 i − − + = − − = ໂດຍແກ້ສົມຜົນ ຈະໄດ້: ( ) 1 2.902503 1 0.112442 11.2442% 10 i = − = ໂຄງການ B: ( ) ( ) 12 10 7 0.1 1 1 1 0.1 2.811828 4 i − + = + − = ໂດຍແກ້ສົມຜົນ ຈະໄດ້: ( ) 1 2.811828 1 0.108917 10.8917% 10 i = − = 3.4 ວິທີເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ການປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍດ້ວຍວິທີເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ເປັນວິທີການເຮັດຊໍໍ້າໂດຍອາໄສ ຫຼັກການຂອງແຄລຄູລັສໃນການຫາຄໍາຕອບຂອງສົມຜົນ f i( ) = 0 ເຊິີ່ງມີປະສິດທິພາບສູງເຂົື້າໃຈງ່າຍ, ບ ໍ່ຊັບຊ້ອນ
ຄະນິດສາດການເງິນ 52 ຈ ີ່ງເປັນທີີ່ນິຍົມໃຊ້ກັນຫຼາຍ. ກໍານົດໃຫ້ i = ເປັນເມັດປະມານເລີີ່ມຕົື້ນຂອງຮາກ r ຂອງສົມຜົນ f i( ) = 0 ແລະ f ເປັນຕໍາລາ ເຊິີ່ງ ຫາຜົນຕໍາລາໄດ້ ເທິງບາງຫວ່າງເປ ດ a b, ເຊິີ່ງ i a b 0 , ໂດຍທີີ່ຄວາມຊັນຂອງເສັື້ນຊ ີ່ທີີ່ສໍາພັດທີີ່ເມັດ (i f i 0 0 , ( )) ເທົົ່າກັບ f i ( 0 ) ແລະ ສົມຜົນເສັື້ນຊ ີ່ສໍາພັດ ຄ : y f i f i i i − = − ( 0 0 0 ) ( )( ) ແລະ ເສັື້ນຊ ີ່ດັົ່ງກ່າວ ຕັດແກນ X ທີີ່ເມັດ (i 2 ,0) ເຮັດໄດ້ ( ) ( ) 1 2 1 1 f i i i f i = − , ເຮັດຊໍໍ້າແບບນີື້ໄປເລ ື້ອຍໆ ຈະໄດ້ສົມຜົນການເຮັດຊໍໍ້າ ຄ : ( ) ( ) 1 1 1 n n n n f i i i f i − − − = − (3.16) ເຊິີ່ງເປັນຄ່າປະມານອັນດັບທີີ່ n ຂອງ r ເມ ີ່ອ ( 1 ) 0 n f i − ພວກເຮົາສາມາດພິຈາລະນາຄວາມແມ່ນຍໍາເຖິງຕໍາແໜ່ງທີີ່ m ຈາກສົມຜົນ 1 10 m n n i i A − − − (3.17) ເມ ີ່ອ 1 10 A ເພ ີ່ອຍຸດການເຮັດຊໍໍ້າ. ຮູບທີ 3.5 ການພົວພັນວຽຍເກີດວິທີເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ນອກຈາກນີື້, ຍັງສາມາດໃຊ້ອັດຕາດອກເບ້ຍໂດຍປະມານ max i , min i , crm i ແລະ drm i ເປັນຄ່າເລີີ່ມຕົື້ນໃນ ການເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ຈໍານວນຮອບການເຮັດຊໍໍ້ານັື້ນນ້ອຍລົງອີກດ້ວຍ. ຕົວຢ່າງ 3.15 ທ. ສຸກສະບາຍ ກູ້ເງິນກັບທະນາຄານຈໍານວນ 800 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຊ ື້ບ້ານ ໂດຍຈ່າຍໜີື້ທຸກທ້າຍ ເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ ເປັນໄລຍະເວລາ 60 ເດ ອນ, ຖ້າຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ລວມດອກເບ້ຍທັງໝົດເທົົ່າກັບ 900 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ແລະ ຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໂດຍປະມານດ້ວຍວິທີ ເຮັດຊໍໍ້າຂອງນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ຄວາມແມ່ນຍໍາເຖິງຕໍາແໜ່ງທີີ່ 6 ແກ້: ຈາກໂຈດກໍານົດ ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ລວມດອກເບ້ຍທັງໝົດ ເທົົ່າກັບ 900 ລ້ານກີບ 900 900 60 15 60 = = = = nr r r ແລະ ຈາກສົມຜົນການສະແດງມູນຄ່າກະແສເງິນສົດ ຈະໄດ້: PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ( ) ( ) 60 60 60| 1 1 800 15 53.3333 53.3333 1 1 0 i i a i i i − − + − = = − + − = ກໍານົດ ( ) ( ) 60 f i i i 53.3333 1 1 − = − + − ຈະໄດ້: ( ) ( ) 61 f i i 53.3333 60 1 − = − + ຈາກສູດນິວເຕີນ ( ) ( ) 1 1 1 n n n n f i i i f i − − − = − ກໍານົດຄ່າເລີີ່ມຕົື້ນ 0 i = 0.1 ສະແດງຄ່າທີີ່ຄໍານວນໄດ້ດັົ່ງຕາຕະລາງ: ຮອບທີີ່ n i f i( n ) f i ( n ) 0 0.1 4.33661427 53.15415798 1 0.018414 0.316702144 33.62019537 2 0.008994 0.064053099 18.58470385 3 0.005548 0.013407557 10.51946726 4 0.004273 0.002165948 7.075564067 5 0.003967 0.000132479 6.207284057
ຄະນິດສາດການເງິນ 53 6 0.003946 0.000000652 6.146133268 7 0.003946 0.000000000 6.145828924 ຈະເຫັນວ່າ: 6 i = 0.003946 , 7 i = 0.003946 ແລະ 6 7 6 i i 1 10− − ດັົ່ງນັື້ນ, ອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ ( ) ( ) 12 i 0.003946 12 0.047352 4.7352% ຕົວຢ່າງ 3.16 ນັກລົງທ ນລົງທັນທີດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ, ລົງທ ນອີກຄັື້ງຕົື້ນປ ທີີ່ 2 ເປັນຈໍານວນເງິນ 10 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອທີີ່ຈະໄດ້ຮັບເງິນຕົື້ນທ ນພ້ອມດອກເບ້ຍຄ ນທ້າຍປ ທີີ່ 5, 9, ແລະ 10 ເປັນຈໍານວນເງິນ 50, 50 ແລະ 150 ລ້ານ ກີບ ຕາມລໍາດັບ. ຈົົ່ງຊອກຫາອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ຂອງການລົງທ ນນີື້. ແກ້: ລົງທ ນ 100 10 ງວດ ໄດ້ຮັບ 50 50 150 ໃຫ້ (2) i ແທນອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ຈະໄດ້ຮັບອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ ເທົົ່າກັບ (2) 2 i ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກຈະແທນດ້ວຍ i ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນລົງທ ນ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບ 2 10 18 20 2 10 18 20 100 10 50 50 150 10 5 5 15 + = + + + = + + v v v v v v v v 20 18 10 2 + + − − = 15 5 5 10 0 v v v v ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກຈະໃຊ້ວິທີຂອງ ນິວເຕີນ-ຣາຟສັນ ຄໍານວນ v ກ່ອນ ໂດຍ: ກໍານົດໃຫ້ ( ) 20 18 10 2 f v v v v v = + + − − 15 5 5 10 ຈະໄດ້: ( ) 19 17 9 f v v v v v = + + − 300 90 50 2 ຈາກ ( ) ( ) 1 1 1 n n n n f v v v f v − − − = − ຈະໄດ້: 20 18 10 2 1 19 17 9 15 5 5 10 300 90 50 2 n n v v v v v v v v v v − + + − − = − + + − ເນ ີ່ອງຈາກໂຈດບ ໍ່ກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍເລີີ່ມຕົື້ນ ແລະ ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ: ( ) 1 v i 1 1 − = + ດັົ່ງນັື້ນ, ໂດຍບັງເອີນ ເລ ອກ 0 v = 0.9 ໂດຍຄ່າຂອງ v ໃນແຕ່ລະຮອບສະແດງໃນຕາຕະລາງ ຕ ໍ່ໄປນີື້: 0 v = 0.9 1 v = 0.990671 1 0 v v − = − = 0.990671 0.9 0.090671 2 v = 0.963099 2 1 v v − = − = 0.963099 0.990671 0.027572 3 v = 0.953739 3 2 v v − = − = 0.953739 0.963099 0.009360 4 v = 0.952942 4 3 v v − = − = 0.952942 0.953739 0.000797 5 v = 0.952944 5 4 v v − = − = 0.952944 0.952942 0.000002 6 v = 0.952944 6 5 v v − = − = 0.952944 0.952944 0.000000 ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) 1 1 0.952944 i v − + = ເຮັດໃຫ້ໄດ້ 1 i 0.952944 1 0.049380 − − ນັື້ນແມ່ນອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ (2) i 0.049380 2 0.09876 ບົດເຝ ກຫັດ 3 1. ທ. ທີ ຈະຕ້ອງເລ ອກລົງທ ນໃນໂຄງການທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຄ່າສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ, ສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ໂດຍປະມານປ ລະເທົົ່າໃດ? ເພ ີ່ອໃຫ້ມູນຄ່າສະສົມຂອງການລົງທ ນທຽບເທົົ່າກັບການລົງທ ນທີີ່ໃຫ້ອັດຕາ ສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ 4% ຕ ໍ່ປ .
ຄະນິດສາດການເງິນ 54 2. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນສະສົມ 400 ລ້ານກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບຈາກການລົງທ ນ ເປັນເວລາ 10 ປ 8 ເດ ອນ ໂດຍຕະຫຼອດຊ່ວງເວລາຂອງການລົງທ ນທີີ່ເປັນຈໍານວນເຕັມປ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກປ ແລະ ເສດຂອງປ ທີີ່ເຫຼ ອ ຄິດຜົນຕອບແທນແບບສ່ວນຫຼຼຸດດ່ຽວ ກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 5% ຕ ໍ່ປ . 3. ບ ລິສັດປະກັນໄພແຫ່ງໜ ີ່ງອອກພັນທະບັດ ເຊິີ່ງພັນທະບັດນີື້ໃຫ້ຜົນຕອບແທນເປັນສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມ 4% ຕ ໍ່ປ ໄລຍະເວລາ 5 ປ ໂດຍພັນທະບັດນີື້ຈະຈ່າຍເງິນເທົົ່າກັບມູນຄ່າອະນາຄົດໃຫ້ກັບຜູ້ຖ ພັນທະບັດ, ຖ້າໃນ 5 ປ ນັື້ນ ມູນຄ່າຄວາມເສຍຫາຍຕໍໍ່າກວ່າມູນຄ່າອະນາຄົດ, ແຕ່ຖ້າມູນຄ່າຄວາມເສຍຫຼາຍສູງກວ່າມູນຄ່າອະນາຄົດຜູ້ ລົງທ ນຈະໄດ້ຮັບເງິນຄ ນສະເພາະເງິນຕົື້ນທ ນ. ສົມມຸດວ່າ: ນັກລົງທ ນຕັດສິນໃຈຊ ື້ພັນທະບັດຈໍານວນ 10 ລ້ານ ກີບ ຖ້າບ ລິສັດປະກັນໄພຕ ໍ່, ເກັບສໍາຮອງເງິນທີີ່ໄດ້ຈາກການຂາຍພັນທະບັດໄວ້ 20% ດ້ວຍການຝາກກັບ ທະນາຄານ ເຊິີ່ງໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 2% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ບ ລິສັດຈະຕ້ອງນໍາເງິນທີີ່ຮັບມາທີີ່ເຫຼ ອຈາກການສໍາ ຮອງໄປລົງທ ນຕ ໍ່ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ເງິນພຽງພ ສໍາລັບຊົດໃຊ້ເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກ ເບ້ຍທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍກັບຜູ້ຖ ພັນທະບັດ, ຫຼັງຈາກຫັກມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນທີີ່ສໍາຮອງໄວ້ຕາມທີີ່ເວົື້າມາຂ້າງເທິງ. 4. ຈົົ່ງຄໍານວນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມທຸກເດ ອນ ທີີ່ທຽບເທົົ່າກັບ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ. 5. ຖ້າ ນ. ໝີຕ້ອງການເກັບເງິນເພ ີ່ອໃຊ້ໃນອີກ 10 ປ ຂ້າງໜ້າ ຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ຈະຕ້ອງລົງທ ນດ້ວຍ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ (12) d = 3% ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? ຈ ີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນເກັບຕາມທີີ່ຕ້ອງການ. 6. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າອະນາຄົດ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຂອງການລົງທ ນດ້ວຍເງິນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍໄດ້ສ່ວນຫຼຼຸດໃນ 2 ປ ທໍາ ອິດເປັນອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 2% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ, ຊ່ວງ 2 ປ ຖັດມາ ໄດ້ອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 6% ຕ ໍ່ປ ແລະ ໃນປ ສຸດທ້າຍໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . 7. ທ. ຄໍາເກັົ່ງ ຕ້ອງການໃຊ້ເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ໂດຍລົງທ ນກັບສະຖາບັນການເງິນ 3 ແຫ່ງ, ລາວຄວນລົງທ ນກັບສະຖາບັນໃດຈ ີ່ງຈະສາມາດໄດ້ຮັບເງິນຕາມທີີ່ຕ້ອງການ ແລະ ຕົື້ນທ ນລົງທ ນຕໍໍ່າທີີ່ສຸດ ໂດຍແຕ່ລະສະຖາບັນການເງິນສະເໜີອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດດັົ່ງນີື້: ສະຖາບັນການເງິນ ຂ ໍ້ສະເໜີ A ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 10% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ B ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ C ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ 8. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ຂອງເງິນຈໍານວນ 200 ລ້ານກີບທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ທີີ່ໃຫ້ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າ ກັບ 2% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກວັນ. 9. ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ ( ) ( ) 1 t t 2 − = + . ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນລົງທ ນ 1 ກີບ ທີີ່ຈະໄດ້ຮັບ ໃນ ທ້າຍປ ທີີ່ 10 ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມຕ ໍ່ປ ທີີ່ທຽບກັບກໍາລັງດອກເບ້ຍດັົ່ງກ່າວ. 10. ກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນຂອງກອງທ ນ 2 ກອງທ ນ ດັົ່ງລຸ່ມນີື້: ກອງທ ນ ຜົນຕອບແທນ A ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ B ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ຈະຕ້ອງແບ່ງກອງທ ນ 1000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອລົງທ ນກັບທັງສອງກອງທ ນແນວໃດ ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຜົນຕອບແທນ ຈາກທັງສອງກອງທ ນເທົົ່າກັນ. 11. ທ. ສາມາດ ລົງທ ນຊ ື້ກອງທ ນ ດ້ວຍເງິນທ ນເລີີ່ມຕົື້ນ 100 ລ້ານກີບ, ຫຼັງຈາກນັື້ນຫັກເງິນອັດຕະໂນມັດຈາກ ບັນຊີເງິນຝາກ, ຝາກເຂົື້າບັນຊີລົງທ ນຕ ໍ່ເນ ີ່ອງມ ື້ລະ 0.1 ລ້ານກີບ ໂດຍກອງທ ນໃຫ້ຜົນຕອບແທນດ້ວຍອັດຕາ ສ່ວນຫຼຼຸດຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 3% ຕ ໍ່ປ . ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນດົນນານເທົົ່າໃດຈ ີ່ງໄດ້ເງິນສະສົມ 10000 ລ້ານກີບ. 12. ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ ເທົົ່າກັບ 0.01 0.2 t + ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຫາອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດໃນນາມສະສົມ ທຸກ 3 ເດ ອນ ທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍຄິດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງນີື້; ສໍາລັບຊ່ວງເວລາ 0 10 t (ປ )
ຄະນິດສາດການເງິນ 55 13. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າສະສົມຂອງການຝາກເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ເຂົື້າກອງທ ນແຫ້ງໜ ີ່ງໃນຄັື້ງທໍາອິດຕອນຕົື້ນປ ທໍາອິດ ເຊິີ່ງມີອັດຕາສະສົມມູນຄ່າດ້ວຍອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ 4% ຕ ໍ່ປ ແລະ ມີອັດຕາຝາກ 5 ລ້ານກີບ ຕ ໍ່ປ ຕັື້ງແຕ່ຕົື້ນປ ທີີ່ 2 ເລ ື້ອຍໆ ໄປຈົນຮອດ ປ ທີີ່ 20. 14. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ ທີີ່ມີການຈ່າຍຕັື້ງແຕ່ປ ທໍາອິດ ເປັນ ເວລາ 20 ປ , ປ ລະ 10 ລ້ານກີບ ແລະ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ໂດຍທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 20 ຈະ ຕ້ອງຈ່າຍເພີີ່ມອີກ 100 ລ້ານກີບ. 15. ຈົົ່ງຫາອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ. 16. ທ. ສິນທະນູໄຊ ລົງທ ນຊ ື້ພັນທະບັດ ລາຄາ 10000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຮັບເງິນປັນຜົນທຸກປ ຕະຫຼອດຊົົ່ວລູກຊົົ່ວ ຫຼານ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍເງິນປັນຜົນຕັື້ງແຕ່ປ ທີີ່ 5 ເປັນຕົື້ນໄປ. ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດສະສົມເທົົ່າກັບ 5% ຕ ໍ່ປ ແລ້ວ ລູກຫຼານຂອງລາວຈະໄດ້ຮັບເງິນປັນຜົນປ ລະເທົົ່າໃດ? 17. ທ. ໂຊກໄຊ ຂຽນພິໄນກໍາມອບ ສ່ວນຫຼຼຸດເງິນຝາກ ຈາກເງິນຕົື້ນທ ນ 10000 ລ້ານກີບ ທຸກໆ ເດ ອນ ໃຫ້ກັບ ມູນນິທິຄົນພິການຕະຫຼອດໄປ ໂດຍທະນາຄານກໍານົດອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ. ຈົົ່ງຫາ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນບ ລິຈາດ ເມ ີ່ອຈ່າຍທ້າຍງວດເລີີ່ມຕົື້ນແຕ່ທ້າຍງວດທີີ່ 10 18. ຈົົ່ງຫາຮາກຂອງສົມຜົນຕ ໍ່ໄປນີື້ເທິງຫວ່າງ 0,1 ໂດຍວິທີເຮັດຊໍໍ້ານິວເຕີນ-ຣາຟສັນ. ກໍານົດຄວາມແມ່ນຍໍາ ເຖິງທົດສະນີຍົມຕໍາແໜ່ງທີີ່ 5 17.1) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 100000 1 300 1 20 1 1.08 0 i i i − − − + − + + + − = 17.2) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 100 1 30000 1 100 1 2 i i i e − − − + + + + = 17.3) ( ) ( ) 2 1 360000 1 2400 1 5.2 0 i i − − + + + + = 17.4) ( ) ( ) ( ) 5 3 1 20000 1 1000 1 40 1 2 i i i − − − + − + + + = ໂຈດ ຂ ໍ້ທີ 19. – 25. ຈົົ່ງປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍດ້ວຍວິທີເຮັດຊໍໍ້ານິວເຕີນ-ຣາຟສັນ. ກໍານົດຄວາມແມ່ນຍໍາເຖິງທົດ ສະນີຍົມຕໍາແໜ່ງທີີ່ 5 19. ທ. ສັກສິດ ກູ້ເງິນຈໍານວນ 200 ລ້ານກີບ ໂດຍກໍານົດຈ່າຍຄ ນ ປ ລະ 30 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 10 ປ . ຈົົ່ງ ປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້. 20. ທ. ອາໄຊ ກູ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກໍານົດຈ່າຍຄ ນ ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 5 ປ , ຖ້າມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງ ເງິນກູ້ກ້ອນນີື້ທ້າຍປ ທີີ່ 5 ເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້. 21. ທ. ສະເຫຼີມພົນ ຊ ື້ບ້ານລາຄາ 3000 ລ້ານກີບ ຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານດົນນານ 20 ປ , ຜ່ອນຊໍາລະເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 22. ນ. ພອນຄໍາ ກູ້ເງິນຈໍານວນ 200 ລ້ານກີບ ດົນນານ 1 ປ ດອກເບ້ຍລວມ 24 ລ້ານກີບ ໂດຍກໍານົດຈ່າຍຊໍາລະ ໜີື້ທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ. ຈົົ່ງປະມານອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 23. ທ. ແຄນ ກູ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງ ດົນນານ 1 ປ ເຊິີ່ງມີດອກເບ້ຍລວມ 20 ລ້ານກີບ ແລະ ມູນຄ່າສະສົມຂອງການ ຈ່າຍທ້າຍເດ ອນທີີ່ 12 ເທົົ່າກັບ 400 ລ້ານກີບ ໂດຍຈ່າຍຄ ນຈໍານວນເທົົ່າໆ ກັນທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ. ຈົົ່ງປະມານ ອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 24. ທ. ແສງອາລຸນ ລົງທ ນ 40 ລ້ານກີບ ໃນປະຈຸບັນ ລົງທ ນ 30 ລ້ານກີບ ໃນທ້າຍປ ທີີ່ 1 ແລະ ລົງທ ນອີກ 10 ລ້ານກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 3 ແລະ ໄດ້ຮັບເງິນລວມທັງໝົດ 120 ລ້ານກີບ ປ ທີີ່ 5. ຈົົ່ງປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ວິທີເຮັດຊໍໍ້ານິວເຕີນ-ຣາຟສັນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 56 25. ທ. ອາທິດ ຝາກເງິນ 20 ລ້ານກີບ ໃນວັນທີ 1 ມັງກອນ 2015 ແລະ ຝາກອີກ 30 ລ້ານກີບ ໃນວັນທີ 1 ມັງກອນ 2018 ໂດຍລະຫວ່າງນັື້ນບ ໍ່ມີລາຍງານການຝາກ-ຖອນອ ີ່ນໃດ; ຖ້າໃນວັນທີ 1 ມັງກອນ 2021 ມີ ເງິນໃນບັນຊີທັງໝົດ 60 ລ້ານກີບ, ຫຼັງຫັກພາສີລາຍໄດ້ ໃນທີີ່ຈ່າຍ 15% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງປະມານອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ ປ ທີີ່ທະນາຄານກໍານົດກ່ອນຫັກພາສີ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 57 ບົດທີ 4 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍບ ໍ່ກົງງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ 4.1 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍງວດທໍາອິດບ ໍ່ຄົບງວດ ພິຈາລະນາການຈ່າຍງວດ, ງວດລະ 1 ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ໂດຍຈ່າຍງວດທໍາອິດບ ໍ່ຄົບງວດ ເມ ີ່ອໄລຍະ ເວລາງວດທໍາອິດເທົົ່າກັບ , 0 1 ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວແທນດ້ວຍ ສັນຍາລັກ n i| a ແລະ n i| s ຕາມລໍາດັບ. 1 1 1 1 1 1 ຮູບທີ 4.1 ຈ່າຍງວດທໍາອິດບ ໍ່ຄົບງວດ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ( ) 1 2 1 2 1 | | ... 1 ... n n n i n i a v v v v v v v v v a + + − + − = + + + + = + + + + = (4.1) ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 | | | | 1 1 1 1 1 n n n i n i n i n i s a i v a i i i s i − + − − = + = + + + = + (4.2) ຕົວຢ່າງ 4.1 ທ. ໄວຫວານ ເຮັດສັນຍາຊໍາລະໜີື້ສະບັບໜ ີ່ງ ໃນວັນທີ 20 ມັງກອນ ໂດຍເລີີ່ມຊໍາລະງວດທໍາອິດ ໃນ ວັນທີ31 ມັງກອນ ຫຼັງຈາກນັື້ນຊໍາລະທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 16 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 10 ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຕາມສັນຍາດັົ່ງກ່າວ, ຖ້າກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມ ທຸກທຸກເດ ອນ. ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງຈ່າຍເປັນລາຍເດ ອນ, ນັື້ນແມ່ນຫາ (12) 0.06 0.005 12 12 i = = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ 120 ງວດ. ຈາກໂຈດແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: 16 16 16 16 16 16 12 31 PV FV ວັນທີ 1 1 20 1 1 2 ຈາກຮູບ ( ) ( ) 12 31 12 12 120 31 31 120 |0.005 120|0.005 1 1 1.005 16 16 16 1.005 0.005 1.005 PV a v a − − − − = = = =1445.587494 ລ້ານກີບ ແລະ ( ) ( ) 12 12 119 119 FV PV 1 0.005 1445.58749 1 0.005 2622.069549 31 31 + + = − = − = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 4.2 ທ. ກຽງໄກ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາ ຈໍານວນ 200 ລ້ານກີບ ຕອນທ້າຍ ເດ ອນ ກຸມພາ ໂດຍຕ້ອງຈ່າຍຄ ນເປັນລາຍງວດທຸກໆ 3 ເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍງວດທໍາອິດເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 3 ຕິດຕ ໍ່ກັນເປັນເວລາ 5 ປ ໂດຍກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. ລາວຈະຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະຄ ນ ງວດລະເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຕ້ອງຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງຈ່າຍທຸກໆ 3 ເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (4) 0.06 0.015 4 4 i = = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ 15 ງວດ. ສົມມຸດວ່າ: ລາວຈ່າຍຊໍາລະຄ ນງວດ ລະ x ກີບ, ຈະແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຈ່າຍ x x x x x x 1 3 ກູ້ 200 ຈາກຮູບ PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ
ຄະນິດສາດການເງິນ 58 ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 15 3 3 15 |0.015 15|0.015 1 1 1.015 200 1.015 0.015 1.015 x a xv a x − − − − = = = x =14.84083 ລ້ານກີບ ໝາຍຄວາມວ່າ: ລາວຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະຄ ນງວດລະ 14.84083 ລ້ານກີບ 4.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຫຼາຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ ພິຈາລະນາການຈ່າຍລາຍປ , ປ ລະ 1 ກີບ ໂດຍແບ່ງຈ່າຍ m ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ດົນນານ n ປ ນັື້ນແມ່ນ 1 m ຈ່າຍ ກີບ ຕ ໍ່ຄັື້ງ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ຄັື້ງເທົົ່າກັບ (m) i m ເພ ີ່ອໃຫ້ງ່າຍຕ ໍ່ຄວາມເຂົື້າໃຈຈະພິຈາລະນາເປັນການຈ່າຍງວດລະ 1 m ກີບ ຈໍານວນ mn ງວດ ໂດຍແຍກພິຈາລະນາເປັນກ ລະນີດັົ່ງນີື້: ຈ່າຍຕົື້ນງວດ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈັດການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວຕົື້ນງວດ (ຈ່າຍທັນທີທີີ່ເວລາ t = 0 ) ຂຽນດ້ວຍສັນຍາລັກ ( ) | m n a ແລະ ( ) | m n s ຕາມລໍາດັບ. 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m ຮູບທີ 4.2 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຫຼາຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ (ຈ່າຍຕົື້ນງວດ) ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 1 1 | 1 1 1 1 1 1 m mn m n m n mn i m m m m m i m v a a m m i i i v m m − − − + − = = = + (4.3) ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 1 1 1 1 1 1 n n m m n n n n i m m m m v i s a i i i v i v − + − = + = + = (4.4) ຈ່າຍທ້າຍງວດ ມູນຄ່າປະຈຸບັນ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງການຈັດການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວຕົື້ນງວດ (ຈ່າຍທັນທີທີີ່ເວລາ 1 t m = ) ຂຽນດ້ວຍສັນຍາລັກ ( ) | m n a ແລະ ( ) | m n s ຕາມລໍາດັບ. 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m ຮູບທີ 4.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຫຼາຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ (ຈ່າຍທ້າຍງວດ) ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 1 1 1 1 m mn m n m n i m m mn m i m v a a m m i i m − − + − = = = (4.5) ແລະ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 1 1 1 1 n n m m n n n i n i m m v i s a i i i i − + − = + = + = (4.6)
ຄະນິດສາດການເງິນ 59 ຂ ໍ້ສັງເກດ 4.1: ຈະເຫັນວ່ານອກຈາກການໃຊ້ສູດ (4.3 4.6 ) −( ) ໃນການຄໍານວນຄ່າລາຍງວດຈ່າຍຫຼາຍຄັື້ງກວ່າ ການຄິດດອກເບ້ຍ ແລ້ວພວກເຮົາຍັງສາມາດຄໍານວນດ້ວຍການຄໍານວນຄ່າລາຍງວດແບບປົກກະຕິ ໂດຍໃຊ້ອັດຕາ ດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດທີີ່ສອດຄ້ອງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ. ຕົວຢ່າງ 4.3 ທ. ວິໄຊ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາ ຈໍານວນ 150 ລ້ານກີບ ໂດຍຕ້ອງຈ່າຍຄ ນ ທຸກໆ ທ້າຍ ເດ ອນ ເປັນເວລາ 5 ປ ໂດຍກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. ລາວຈະ ຕ້ອງຈ່າຍງວດລະເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (12) 12 i ແຕ່ ໂຈດກໍານົດ (4) 0.06 0.015 4 4 i = = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( ) 12 4 12 4 4 1 1 1.015 12 4 i i + = + = ໂດຍການແກ້ໄດ້ ( ) ( ) 12 1 1.015 1 0.004975 3 12 i = − = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍເທົົ່າກັບ 60 ງວດ. ສົມມຸດວ່າ: ລາວຈ່າຍ ເດ ອນລະ x ກີບ ຈະແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຈ່າຍ x x x x x x ກູ້ 150 ຈາກຮູບ PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ( ) 60 60|0.004975 1 0.004975 150 2.89783 0.004975 x a x x − − = = = ລ້ານກີບ ໝາຍຄວາມວ່າ: ລາວຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະຄ ນງວດລະ 2.89783 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 4.4 ນ. ໄພວອນ ຝາກເງິນກັບທະນາຄານ ທຸກໆ 3 ເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຝາກທັນທີຕອນຕົື້ນງວດ, ງວດລະ 10 ລ້ານກີບ, ໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ລາວໄດ້ຮັບຈາກ ທະນາຄານ ເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 10. ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງທຸກໆ 3 ເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (4) 4 i ແຕ່ ໂຈດກໍານົດ (2) 0.04 0.02 2 2 i = = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 2 1 1 1.02 4 2 i i + = + = ໂດຍການແກ້ໄດ້ ( ) ( ) 4 1 1.02 1 0.009950 2 4 i = − = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍເທົົ່າກັບ 40 ງວດ. ຈະແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຝາກ 10 10 10 10 10 10 FV ຈາກຮູບ ຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ໄດ້ຮັບ ເທົົ່າກັບ FV ຂອງເງິນທີີ່ຝາກ ( ) ( ) 40 40|0.009950 1 0.009950 1 10 10 493.21932 0.009950 1.009950 FV s − − = = = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 10 ລາວໄດ້ຮັບເງິນທັງໝົດ 493.21932 ລ້ານກີບ 4.3 ຄ່າລາຍງວດຈ່າຍນ້ອຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກເບ້ຍ ໂດຍແນວຄິດດຽວກັບຂ ໍ້ສັງເກດ 4.1 ພວກເຮົາສາມາດຄໍານວນຄ່າລາຍງວດຈ່າຍນ້ອຍຄັື້ງກວ່າການຄິດດອກ
ຄະນິດສາດການເງິນ 60 ເບ້ຍດ້ວຍການຄໍານວນຄ່າລາຍງວດແບບປົກກະຕິ ໂດຍໃຊ້ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດທີີ່ສອດຄ້ອງກັບງວດຂອງການ ຈ່າຍ. ສົມມຸດວ່າ: ເປັນການຈ່າຍເງິນລາຍປ , ປ ລະ 1 ກີບ ຈ່າຍ 1 ຄັື້ງ ຕ ໍ່ປ ໂດຍມີການຄິດດອກເບ້ຍ m ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ດົນນານ n ປ , ນັື້ນແມ່ນ ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ ເທົົ່າກັບ ( ) 1 1 m m i i m = + − ຈະເຫັນວ່າ: ພວກເຮົາ ສາມາດພິຈາລະນາວ່າເປັນການຈ່າຍເງິນລາຍປ , ປ ລະ 1 ກີບ ໂດຍຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ i ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ . ຕົວຢ່າງ 4.5 ນ. ເພັດ ວາງແຜນຝາກເງິນກັບທະນາຄານທຸກໆ ເຄິີ່ງປ ງວດລະ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍເລີີ່ມຝາກທັນທີ ຕົື້ນງວດທໍາອິດ ດົນນານ 10 ປ ໂດຍຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 2% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ ເມ ີ່ອຄົບເວລາ 10 ປ . ລາວຈະໄດ້ຮັບຜົນຕອບແທນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ຄິດເປັນເປ ເຊັນເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງທຸກໆ 6 ເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (2) 2 i ແຕ່ ໂຈດກໍານົດ (4) 0.02 0.005 4 4 i = = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 4 1 1 1.005 2 4 i i + = + = ໂດຍການແກ້ໄດ້ ( ) ( ) 2 2 1.005 1 0.010025 2 i = − = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍເທົົ່າກັບ 20 ງວດ. ຈະແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຝາກ 100 100 100 100 100 100 FV ຈາກຮູບ ຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ໄດ້ຮັບ ເທົົ່າກັບ FV ຂອງເງິນທີີ່ຝາກ ( ) ( ) 20 20|0.010025 1 1.010025 1 100 100 2224.51570 0.010025 1.010025 FV s − − = = = ລ້ານກີບ ເນ ີ່ອງຈາກຈໍານວນເງິນລົງທ ນທັງໝົດ = = (100 20 2000 )( ) ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ລາວໄດ້ຮັບຜົນຕອບແທນ 2224.51570 2000 224.51570 − = ລ້ານກີບ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 224.51570 0.112258 11.2258% 2000 = ຕົວຢ່າງ 4.6 ນ. ອ ລະພັນ ຝາກເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກການຂາຍທີີ່ດິນຈໍານວນ 20000 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ ໂດຍທີີ່ທ້າຍປ ໃນແຕ່ລະປ ລາວຈະຖອນເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອນໍາ ມາໃຊ້ຈ່າຍໃນຄອບຄົວ, ຖ້າລາວຄາດວ່າລາວມີອາຍຸອີກ 20 ປ ລາວຈະຍັງມີເງິນເຫຼ ອຢູ່ ຫຼ ບ ໍ່? ຖ້າເຫຼ ອຈະເຫຼ ອ ເທົົ່າໃດ? ເພ ີ່ອເກັບໄວ້ເປັນມ ລະດົກໃຫ້ແກ່ລູກຫຼານຂອງລາວ. ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຖອນ ເຊິີ່ງທຸກໆ ທ້າຍປ ນັື້ນແມ່ນຫາ i ແຕ່ໂຈດ ກໍານົດ (4) 0.04 0.01 4 4 i = = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1 1.01 4 i i + = + = ໂດຍການແກ້ໄດ້ ( ) 4 i = − = 1.01 1 0.040604 ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຖອນເທົົ່າກັບ 20 ງວດ. ສົມມຸດວ່າ: ຫຼັງຈາກການ ຖອນເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ທ້າຍປ ທີີ່ 20 ລາວມີເງິນເຫຼ ອ x ກີບ ຈະແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຖອນ 1000 1000 1000 1000 1000 1000 +x ຝາກ 20000 ຈາກຮູບ PV ຂອງເງິນທີີ່ຝາກ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຖອນ + PV ຂອງເງິນທີີ່ເຫຼ ອ ( ) 20 20 20 20|0.040604 1 0.040604 20000 10000 10000 1.040604 0.040604 a xv x − − − = + = +
ຄະນິດສາດການເງິນ 61 ( ) ( ) 20 20 20 1 0.040604 20000 1.040604 10000 1.040604 0.040604 x − − = + 44334.29582 29965.39235 = + x =x 14368.90347 ລາວຈະຍັງມີເງິນເຫຼ ອຢູ່ 14368.90347 ລ້ານກີບ 4.4 ຄ່າລາຍງວດໆ ສຸດທ້າຍຈ່າຍບ ໍ່ປົກກະຕິ ໃນນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຄ່າລາຍງວດ, ງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍບ ໍ່ປົກກະຕິ ເຊິີ່ງໄດ້ແກ່ ຄ່າລາຍງວດທີີ່ຈ່າຍງວດສຸດທ້າຍ ຫຼາຍກວ່າປົກກະຕິ ຫຼ ຈ່າຍກ້ອນໃຫຍ່ (Balloon Payment or Bullet Payment). ການຈ່າຍດັົ່ງກ່າວອາດຈັດ ໄດ້ວ່າເປັນກົນລະຍຸກດ້ານການຕະຫຼາດໃນການໃຫ້ສິນເຊ ີ່ອແກ່ທຸລະກິດ ຫຼ ບຸກຄົນ ເຊິີ່ງເໝາະສໍາລັບທຸລະກິດ ແລະ ບຸກຄົນທີີ່ຢູ່ໃນຊ່ວງກໍາລັງກ ໍ່ຮ່າງສ້າງຕົວ ເຊິີ່ງໃນໄລຍະທໍາອິດຍັງມີລາຍໄດ້ນ້ອຍ. ແນວໃດກ ໍ່ຕາມການຈ່າຍແບບນີື້ ມັກຈະມີການຄິດດອກເບ້ຍໃນອັດຕາທີີ່ຄ້ອນຂ້າງສູງກວ່າປົກກະຕິ ຫຼ ໃນບາງກ ລະນີອາດຈະຫຼາຍເຖິງການປິດຍອດ ໜີື້ທີີ່ເຫຼ ອໃນງວດດຽວຈາກການຜ່ອນຊໍາລະຕາມປົກກະຕິກ ໍ່ໄດ້. ຄ່າລາຍງວດໆ ສຸດທ້າຍຈ່າຍບ ໍ່ປົກກະຕິ ອີກປະເພດ ໜ ີ່ງຄ ຈ່າຍງວດສຸດທ້າຍຕໍໍ່າກວ່າປົກກະຕິ ເຊິີ່ງມັກຈະບ ໍ່ພົບເຫັນໃນທາງປະຕິບັດ ເນ ີ່ອງຈາກໃນຄວາມເປັນຈິງຖ້າຄ່າ ລາຍງວດສຸດຕໍໍ່າກວ່າປົກກະຕິຜູ້ກູ້ຢືມມັກຈະຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດກ້ອນໃຫຍ່ໃນງວດກ່ອນໜ້າ. ຄ່າລາຍງວດໆ ສຸດທ້າຍສາມາດຄໍານວນໄດ້ໂດຍພິຈາລະນາການຈ່າຍເງິນລາຍງວດ, ງວດລະ r ກີບ ດົນ ນານ n −1 ງວດ ໂດຍງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍ B ກີບ ເຊິີ່ງແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ສໍາລັບການຈ່າຍຕົື້ນງວດ ຈ່າຍ r r r r r B ກູ້ = P ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 1 1| n n i P ra Bv − − = + (4.7) ຈໍານວນເງິນກ້ອນໃຫຍ່ທີີ່ຈ່າຍໃນງວດສຸດທ້າຍ ( ) 1| 1 1 1| 1 n i n n n i P ra B P i rs v − − − − − = = + − (4.8) ສໍາລັບການຈ່າຍທ້າຍງວດ ຈ່າຍ r r r r r B ກູ້ = P ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 1| n n i P ra Bv − = + (4.9) ຈໍານວນເງິນກ້ອນໃຫຍ່ທີີ່ຈ່າຍໃນງວດສຸດທ້າຍ ( ) 1| 1| 1 n i n n n i P ra B P i rs v − − − = = + − (4.10) ຕົວຢ່າງ 4.7 ທ. ທອງເພັດ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງໂດຍຈ່າຍເງິນດາວ 200 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນກັບທະນາຄານເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ ຜ່ອນດົນນານ 10 ປ ແລະ ໃນງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍແບບກ້ອນໃຫຍ່ 300 ລ້ານກີບ, ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາອິດ. ຈົົ່ງຫາລາຄາເງິນສົດບ້ານຫຼັງນີື້. ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງຈ່າຍທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (12) 0.12 0.01 12 12 i = = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ 120 ງວດ. ສົມມຸດວ່າ: ໃຫ້ P ແທນເງິນກູ້ ສາມາດແຕ້ມຮູບໄດ້ດັື້ງນີື້: ຈ່າຍ 28 28 28 28 28 300 ກູ້ = P ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ
ຄະນິດສາດການເງິນ 62 ( ) 119 120 120 119|0.01 1 1.01 28 300 28 300 1.01 2034.02919 0.01 P a v − − − = + = + = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ບ້ານລາຄາເງິນສົດ ເທົົ່າກັບ 2034.02919 200 2234.02919 + = ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 4.8 ນ. ນໍໍ້າຫວານ ຊ ື້ຫ້ອງລາຄາ 1000 ລ້ານກີບ ກູ້ໄດ້ 100% ແລະ ຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ທຸກທ້າຍ ເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ ດົນນານ 10 ປ ໂດຍງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍກ້ອນໃຫຍ່ 100 ລ້ານກີບ, ທະນາຄານຄິດອັດ ດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາອິດ. ລາວຕ້ອງຜ່ອນເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງຈ່າຍທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ນັື້ນແມ່ນຫາ (12) 0.09 0.075 12 12 i = = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ 120 ງວດ. ສົມມຸດວ່າ: ໃຫ້ລາວຜ່ອນຈ່າຍຄ່າ ລາຍງວດຄົງທີີ່ເດ ອນລະ x ກີບ ສາມາດແຕ້ມຮູບໄດ້ດັື້ງນີື້: ຈ່າຍ x x x x x 100 ກູ້ = P ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ 120 119|0.075 1000 100 = + xa v ( ) 119 1 1.0075 120 1000 100 1.0075 0.0075 x − − − = + 1000 78.5338 40.7937305 = + x( ) ລ້ານກີບ = x 12.21393 ດັົ່ງນັື້ນ, ລາວຕ້ອງຜ່ອນເດ ອນລະ 12.21393 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 4.9 ທ. ໄພວັນ ລົງທ ນກັບໂຄງການລົງທ ນໜ ີ່ງທຸກໆ ຕົື້ນປ ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຈໍານວນ 10000 ລ້ານກີບ ໂດຍລົງທ ນທຸກໆ ຕົື້ນປ , ປ ລະ 500 ລ້ານກີບ ໂດຍຕົື້ນປ ສຸດທ້າຍ ລາວຕ້ອງລົງທ ນເປັນເງິນກ້ອນ ໃຫຍ່ເທົົ່າໃດ? ຈ ີ່ງຈະໄດ້ຮັບຈະໄດ້ຮັບເງິນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຕາມທີີ່ຕ້ອງການ ໂຄງການລົງທ ນນີື້ກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບ ແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . ແກ້: ຕ້ອງການຫາອັດຕາດອກເບ້ຍໃຫ້ກົງກັບງວດຂອງການຈ່າຍ ເຊິີ່ງຈ່າຍທຸກໆ ຕົື້ນປ ນັື້ນແມ່ນຫາ i ແຕ່ ( ) 2 2 2 0.06 1 1 1 1.0609 0.0609 2 2 i i i + = + = + = = ແລະ ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍ ເທົົ່າກັບ 10 ງວດ. ສາມາດແຕ້ມຮູບໄດ້ດັື້ງນີື້: ລົງທ ນ 500 500 500 500 500 x ຮັບ 10000 ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: FV ຂອງເງິນທີີ່ລົງທ ນ = FV ຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບ ( ) 9|0.0609 500 1.0609 10000 s x + = ( ) ( ) 9 1 1.0609 1 500 1.0609 10000 0.0609 1.0609 x − − + = 6118.3188397 1.0609 10000 + = x( ) ລ້ານກີບ =x 3658.85678 ດັົ່ງນັື້ນ, ຕົື້ນປ ສຸດທ້າຍລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນເປັນເງິນກ້ອນໃຫຍ່ 3658.85678 ລ້ານກີບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 63 ບົດເຝ ກຫັດ 4 26. ທ. ອໍາ ສັນຍາຊໍາລະໜີື້ຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ໃນວັນທີີ່ 11 ມີນາ ໃນສັນຍາລະບຸເລີີ່ມຊໍາລະງວດທໍາອິດໃນ ວັນທີີ່ 31 ມີນາ ຫຼັງຈາກນັື້ນຊໍາລະທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ ເປັນເວລາ 10 ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ຄ່າລາຍງວດລາຍເດ ອນທີີ່ລາວຕ້ອງຜ່ອນຊໍາລະ ແລະ ມູນຄ່າອະນາຄົດຂອງເງິນຕາມສັນຍາດັົ່ງກ່າວ; ຖ້າກໍານົດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 27. ທ. ອາຊາຍ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຈໍານວນໜ ີ່ງ ຕອນທ້າຍເດ ອນກຸມພາ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍໜີື້ ງວດທໍາອິດ ເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 6 ແລະ ຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນເປັນລາຍງວດທຸກໆ 6 ເດ ອນ ຕິດຕ ໍ່ກັນເປັນເວລາ 5 ປ ໂດຍກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 2.1) ຈົົ່ງຫາຈໍານວນເງິນສົດທີີ່ລາວກູ້ມາ. 2.2) ຖ້າລາວຈ່າຍຊໍາລະມາໄດ້6 ງວດ ແລະ ງວດທີີ່ 7 ຕ້ອງການຈ່າຍທີີ່ເຫຼ ອທັງໝົດລາວຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະຄ ນໜີື້ ທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 28. ທ. ບິກ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຈໍານວນ 150 ລ້ານກີບ ໂດຍຈະຕ້ອງຈ່າຍທ ນທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 2.89783 ລ້ານກີບ ດົນນານເປັນເວລາໜ ີ່ງ ໂດຍກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ; ລາວຕ້ອງຈ່າຍຊໍາລະດົນນານເທົົ່າໃດ? 29. ທ. ປ ເຕີ ຝາກເງິນກັບທະນາຄານ ໂດຍຫັກເງິນອັດຕະໂນມັດ ລາຍວັນ, ວັນລະ 0.01 ລ້ານກີບ ໂດຍເລີີ່ມຝາກ ທັນທີ ວັນທີີ່ 1 ມັງກອນ, ທະນາຄານໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ຈໍາ ນວນເງິນທັງໝົດທີີ່ລາວໄດ້ຮັບຈາກທະນາຄານ ເມ ີ່ອທ້າຍປ ທີີ່ 10 (ກໍານົດໃຫ້ 1 ປ ມີ ວັນ) 30. ນ. ວັນມະນີ ວາງແຜນຝາກເງິນກັບທະນາຄານ ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ໂດຍຝາກທຸກໆ 6 ເດ ອນ; ເລີີ່ມຝາກທັນທີຕົື້ນງວດທໍາອິດ ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 2% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. ລາວຈະຕ້ອງຝາກງວດລະເທົົ່າໃດ? ຈ ີ່ງຈະໄດ້ຮັບເງິນຕາມທີີ່ ຕ້ອງການ ເມ ີ່ອຄົບເວລາ 10 ປ ແລະ ລາວຈະໄດ້ຜົນຕອບແທນທັງໝົດເທົົ່າໃດ? ຄິດເປັນເປ ເຊັນຂອງເງິນ ລົງທ ນ? 31. ນ. ອ ລະພັນ ຝາກເງິນທີີ່ໄດ້ຈາກການຂາຍທີີ່ດິນທັງໝົດກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ໂດນທະນາຄານກໍານົດອັດຕາ ດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 6 ເດ ອນ ໂດຍທີີ່ທ້າຍປ ໃນແຕ່ລະປ ລາວຈະຖອນເງິນ 1000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອນໍາ ມາໃຊ້ຈ່າຍໃນຄອບຄົວ, ເມ ີ່ອຖອນໄປໄດ້ 20 ປ ພົບວ່າ: ທ້າຍປ ທີີ່ 20 ລາວຍັບມີເງິນເຫຼ ອຢູ່ອີກ 5555.555 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ຈໍານວນເງິນທີີ່ລາວໄດ້ຮັບຈາກການຂາຍທີີ່ດິນນີື້. 32. ນ. ກຸ້ງກີື້ ກູ້ເງິນຈໍານວນ 2000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ານການຜ່ອນກັບທະນາຄານເປັນລາຍ ເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ ຜ່ອນດົນນານ 20 ປ ຍົກເວັື້ນໃນງວດສຸດທ້າຍທີີ່ລາວຕ້ອງການຈ່າຍແບບກ້ອນ ໃຫຍ່ 200 ລ້ານກີບ, ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາ ອິດ. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນທີີ່ລາວຜ່ອນລາຍເດ ອນ. 33. ທ. ອ໋ອດ ຊ ື້ຫ້ອງໜ ີ່ງ ໂດຍກູ້ໄດ້ 100% ແລະ ຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ທຸກທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 15 ລ້ານ ກີບ ດົນນານ 15 ປ ໂດຍງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍແບບກ້ອນໃຫຍ່ 100 ລ້ານກີບ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາອິດ. ຖ້າລາວຜ່ອນໄປໄດ້ 99 ງວດ ແລະ ງວດທີີ່ 100 ລາວຕ້ອງການຈ່າຍໜີື້ຄ ນທັງໝົດ, ລາວຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນໜີື້ທັງໝົດເທົົ່າໃດ? 34. ນ. ບຸນມະນີ ກູ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ອນກັບທະນາຄານເປັນລາຍເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍ ງວດທໍາອິດ 10 ລ້ານກີບ ຫຼັງຈາກນັື້ນຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນ 10% ຜ່ອນດົນນານ 20 ປ ຍົກເວັື້ນໃນງວດສຸດທ້າຍທີີ່ ລາວຕ້ອງການຈ່າຍແບບກ້ອນໃຫຍ່ 200 ລ້ານກີບ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດ. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນທີີ່ລາວກູ້. 35. ທ. ສອນ ກູ້ເງິນຈໍານວນ 2000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຊ ື້ຫ້ອງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ອນຊໍາລະກັບທະນາຄານ ທຸກທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 15 ລ້ານກີບ ດົນນານ 15 ປ ໂດຍງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍແບບກ້ອນໃຫຍ່ 100 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາ
ຄະນິດສາດການເງິນ 64 ວ່າ: ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດຕ ໍ່ປ (ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ) ໂດຍເລີີ່ມຈ່າຍທ້າຍງວດທໍາອິດ. 36. ທ. ວຽງ ລົງທ ນກັບໂຄງການລົງທ ນໜ ີ່ງທຸກໆ ຕົື້ນປ ເພ ີ່ອໃຫ້ໄດ້ຮັບເງິນທ້າຍປ ທີີ່ 7 ຈໍານວນ 5000 ລ້ານກີບ ແລະ ໄດ້ຮັບທ້າຍປ ທີີ່ 10 ອີກ 10000 ລ້ານກີບ. ລາວຈະຕ້ອງລົງທ ນທຸກໆ ຕົື້ນປ , ປ ລະເທົົ່າໃດ ໂດຍຕົື້ນປ ທໍາ ອິດລາວລົງທ ນທັນທີດ້ວຍເງິນກ້ອນໃຫຍ່ 4000 ລ້ານກີບ ຈ ີ່ງຈະໄດ້ຮັບຈໍານວນເງິນທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຕາມທີີ່ ຕ້ອງການ ໂຄງການລົງທ ນນີື້ກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ 3 ເດ ອນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 65 ບົດທີ 5 ການຊໍາລະໜີື້ ການຈະເປັນເຈົື້າຂອງ ຫຼ ຄອບຄອງສິນຊັບທີີ່ມີລາຄາສູງດ້ວຍການໃຊ້ເງິນສົດ, ບາງຄັື້ງອາດເປັນເລ ີ່ອງຍາກ ຫຼ ໃນບາງຄັື້ງອາດເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາເສຍໂອກາດຈາກການນໍາເງິນສ່ວນນັື້ນໄປລົງທ ນໃນໂຄງການລົງທ ນທີີ່ໃຫ້ຜົນຕອບ ແທນສູງກວ່າອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້. ດັົ່ງນັື້ນ, ການຊ ື້ສິນຄ້າດ້ວຍວິທີການຜ່ອນຊໍາລະຈ ີ່ງເປັນທາງເລ ອກໜ ີ່ງທີີ່ໜ້າ ສົນໃນ ນອກຈາກນີື້, ການລະດົມເງິນທ ນດ້ວຍການກູ້ຢືມກ ໍ່ເປັນເລ ີ່ອງສໍາຄັນເພາະເປັນຂະບວນການໜ ີ່ງທີີ່ຊ່ວຍເຮັດ ໃຫ້ທຸລະກິດດໍາເນິນກິດຈະການໄປຢ່າງລຽບງ່າຍ; ກິດຈະການມີເງິນລົງທ ນ ແລະ ມີເງິນໃຊ້ຈ່າຍໝູນວຽນໃນ ກິດຈະການ ແລະ ເມ ີ່ອກິດຈະການມີລາຍໄດ້ກ ໍ່ຈໍາເປັນຕ້ອງຈັດສານເງິນສ່ວນໜ ີ່ງໄວ້ຊໍາລະໜີື້ຕາມຂ ໍ້ຕົກລົງທີີ່ກໍານົດ ໄວ້ໃນສັນຍາການກູ້ຢືມເງິນ. ການຊໍາລະໜີື້ຖ ເປັນທຸລະກໍາທາງການເງິນທີີ່ສໍາຄັນເພ ີ່ອທີີ່ຈະໃຫ້ໄດ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງມາໃຊ້ໃນການລົງທ ນ ຫຼ ຊ ື້ສິນຄ້າ ແລະ ບ ລິການຕາມທີີ່ຕ້ອງການ; ສັນຍາການຊໍາລະໜີື້ນັື້ນຈະເກີດຂ ື້ນລະຫວ່າງບຸກຄົນ 2 ຄ : ຜູ້ໃຫ້ ູື້ຫຼ ເຈົື້າ ໜີື້ ແລະ ຜູ້ກູ້ ຫຼ ລູກໜີື້ ທັງ 2 ຝ່າຍຕົກລົງຮ່ວມກັນປະຕິບັດຕາມຂ ໍ້ກໍານົດທີີ່ລະບຸໄວ້ໃນສັນຍາ ເຊິີ່ງທັງສອງຝ່າຍ ຫຼ ຝ່າຍໃດຝ່າຍໜ ີ່ງກໍານົດຂ ື້ນ ໂດຍຜູ້ກູ້ມີໜ້າທີີ່ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນລວມກັບດອກເບ້ຍຕາມອັດຕາດອກເບ້ຍ, ໄລຍະ ເວລາ ທີີ່ໄດ້ຕົກລົງກັນໄວ້. ການຊໍາລະໜີື້ປະກອບດ້ວຍເງິນ 2 ສ່ວນ ຄ : ເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍ (ລວມຄ່າທໍານຽມ ແລະ ຄ່າໃຊ້ຈ່າຍ ຕ່າງໆ ໃນການກູ້). ໃນນີື້ຈະເວົື້າເຖິງຫຼັກການພ ື້ນຖານຂອງຊໍາລະໜີື້ 2 ວິທີສໍາຄັນຄ : ວິທີຕັດຈ່າຍ (Amortization Method) ແລະ ວິທີເງິນຕົື້ນທ ນສະສົມ (Sinking Fund Method); ໂດຍວິທີຕັດຈ່າຍເປັນວິທີທີີ່ນິຍົມໃນທາງ ປະຕິບັດ ແຕ່ໃນຄວາມເປັນຈິງການຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີໃດກ ໍ່ໄດ້ (ບ ໍ່ຈໍາເປັນຕ້ອງເປັນ 2 ວິທີນີື້) ຂ ື້ນຢູ່ກັບຄວາມ ເພິີ່ງພ ໃຈ ແລະ ຂ ໍ້ຕົກລົງລະຫວ່າງຜູ້ກູ້ ແລະ ຜູ້ໃຫ້ກູ້. ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກ ກໍານົດສັນຍາລັກທີີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຊໍາລະໜີື້ ດັົ່ງຕ ໍ່ໄປນີື້: S ແທນ ມູນຄ່າໜີື້ ຫຼ ເງິນກູ້ ທີີ່ເວລາ t = 0 k S ແທນ ຈໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ໃນເວລາທ້າຍງວດທີີ່ k (t k = ) k r ແທນ ເງິນທີີ່ຈ່າຍຄ ນຊໍາລະໜີື້ ໃນເວລາທ້າຍງວດທີີ່ k k i ແທນ ອັດຕາດອກເບ້ຍ ໃນງວດທີີ່ k Pk ແທນ ເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈ່າຍຄ ນ ໃນງວດທີີ່ k k I ແທນ ຈໍານວນເງິນດອກເບ້ຍຈ່າຍ ໃນເວລາທ້າຍງວດທີີ່ k I ແທນ ເງິນທີີ່ຈ່າຍຄ ນຊໍາລະໜີື້ ໃນເວລາທ້າຍງວດທີີ່ k 5.1 ການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີຕັດຈ່າຍ 5.1.1 ຫຼັກພ ື້ນຖານຂອງການຊໍາລະໜີື້ ເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ແຕ່ລະງວດ = ເງິນຕົື້ນທ ນຈ່າຍຄ ນ + ດອກເບ້ຍຈ່າຍຄ ນ k k k r P I = + (5.1) ໂດຍທີີ່ ດອກເບ້ຍ k I = (ອັດຕາດອກເບ້ຍໃນງວດທີີ່ k ) (ໜີື້ຄົງເຫຼ ອທ້າຍງວດທີີ່ k ) k k 1 i S = − ດັື້ງນັື້ນ, ເງິນຕົື້ນທ ນຕັດຈ່າຍ P r I k k k = − (5.2) ຫຼັງຈາກການຊໍາລະໜີື້ງວດທີີ່ k ແລ້ວຈໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k 1 S − ຈະຖ ກຕັດຈ່າຍດ້ວຍເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈ່າຍຄ ນ Pk ນັື້ນແມ່ນ k k k 1 S S P = − − (5.3) ແທນ k k k 1 I i S = − ແລະ k k k 1 S S P = − − ໃສ່ (5.1) ຈະໄດ້: r P I S S i S i S S k k k k k k k k k k = + = − − = + − ( − − − 1 1 1 ) (1 ) (5.4) ນັື້ນແມ່ນ ( ) 1 1 k k k k S i S r = + − − (5.5) ຈະເຫັນວ່າ: ຈໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k S ໃນສົມຜົນ (5.5) ຈະຂ ື້ນເງິນລາຍງວດ k r ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍ k i .
ຄະນິດສາດການເງິນ 66 ການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີຕັດຈ່າຍນັື້ນ ໂດຍທົົ່ວໄປພວກເຮົາສາມາດຈ່າຍຊໍາລະເງິນ k r ເທົົ່າໃດ ກ ໍ່ໄດ້ໂດຍທີີ່ ເງິນທີີ່ ຈ່າຍໃນແຕ່ລະງວດຈະຕ້ອງຫຼາຍກວ່າດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດຂ ື້ນໃນແຕ່ລະງວດສະເໝີ ເພ ີ່ອເຮັດໃຫ້ເກີດເງິນສ່ວນຕ່າງ ເຊິີ່ງ ຄ ເງິນຕົື້ນທ ນຕັດຈ່າຍ ຕາມສົມຜົນ (5.2) ແລະ (5.3) ຕາມລໍາດັບ. ທິດສະດີ 5.1 ຂ ໍ້ຄວາມຕ ໍ່ໄປນີື້ເປັນຈິງ 1) 1 n k k P S = = 2) 1 n k k I I = = 3) 1 1 1 n n n k k k k k k r P I S I = = = = + = + 5.1.2 ການຊໍາລະໜີື້ ກໍານົດໃຫ້ k i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍໃນງວດທີີ່ k ແລະ ເປັນຕົວປະກອບສ່ວນຫຼຼຸດ ( ) 1 1 k k v i − = + ຈາກ ອັດຕາດອກເບ້ຍ k i ການຊໍາລະໜີື້ ແຕ້ມຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຈ່າຍ 1 r 2 r 3 r n 2 r − n 1 r − n r ໜີື້ S 1 i 2 i 3 i n 1 i − n i ຈາກຮູບ ຈະໄດ້ວ່າ: ມູນຄາປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະ 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 ... ... ... n n k n n k n k n k k k S rv r v v r v v v r v v v v r v v v v r v = = = = + + + + = = (5.6) ຕາມທີີ່ໄດ້ເວົື້າໄປແລ້ວວ່າ ໂດຍທົົ່ວໄປພວກເຮົາສາມາດຈ່າຍຊໍາລະຄ່າລາຍງວດ k r ແນວໃດກ ໍ່ໄດ້ໂດຍທີີ່ k k k k 1 r I i S = − ຈະໄດ້ P r I k k k = − ເປັນເງິນຕົື້ນທ ນຕັດຈ່າຍໂດຍເງິນຕົື້ນທ ນຕັດຈ່າຍ P n ຈະຕ້ອງເຮັດໃຫ້ 0 n S = ຈ ີ່ງຈະເຮັດໃຫ້ການຊໍາລະໜີື້ສົມບູນ ແນວໃດກ ໍ່ຕາມແນວທາງໜ ີ່ງໃນການກໍານົດຄ່າລາຍງວດຈາກອັດຕາ ດອກເບ້ຍຜັນປ່ຽນ 1 2 , , ..., n i i i ເຮັດໄດ້ດັົ່ງນີື້: ໃນງວດທີີ່ 1: ຄໍານວນຄ່າລາຍງວດ 1 r ໂດຍພິຈາລະນາວ່າເປັນຈ່າຍລາຍງວດ, ງວດລະ 1 r ກີບ ຈໍານວນ n ງວດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 1 i ເພ ີ່ອຊໍາລະໜີື້ S ທີີ່ຍັງບ ໍ່ຈ່າຍ ຈ່າຍ 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r ໜີື້ S 1 i ຈາກຮູບ PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ (ໜີື້) = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ຈະໄດ້: 1 1 1 | 1 | n i n i S S r a r a = = ແລະ 1 1 0 0 I i S S S = = , ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1 1 1 1 | 1 n i P r I i S a = − = − ແລະ 1 0 1 S S P = − ໃນງວດທີີ່ 2: ຄໍານວນຄ່າລາຍງວດ 2 r ໂດຍພິຈາລະນາວ່າເປັນຈ່າຍລາຍງວດ, ງວດລະ 2 r ກີບ ຈໍານວນງວດທີີ່ ເຫຼ ອ n −1 ງວດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 2 i ເພ ີ່ອຊໍາລະໜີື້ 1 S
ຄະນິດສາດການເງິນ 66 ຈ່າຍແລ້ວ ທີີ່ຍັງບ ໍ່ຈ່າຍ ຈ່າຍ 1 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r ໜີື້ S 2 i ຈາກຮູບ PV ຂອງເງິນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ ຈະໄດ້: 2 2 1 1 2 2 1| 1| n i n i S S r a r a − − = = ແລະ 2 2 1 I i S = ດັົ່ງນັື້ນ, 2 2 2 2 2 2 1| 1 n i P r I i S a − = − = − ແລະ 2 1 2 S S P = − ໃນງວດທີີ່ k: ຄໍານວນຄ່າລາຍງວດ k r ໂດຍພິຈາລະນາວ່າເປັນຈ່າຍລາຍງວດ, ງວດລະ k r ກີບ ຈໍານວນງວດທີີ່ ເຫຼ ອ n k n k − − = − + ( 1 1 ) ງວດ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ k i ເພ ີ່ອຊໍາລະໜີື້ k 1 S − ຈະໄດ້: 1 1 1| 1| k k k k k k n k i n k i S S r a r a − − − + − + = = ແລະ k k k 1 I i S = − (5.7) ດັົ່ງນັື້ນ, 1 1| 1 k k k k k k n k i P r I i S a − − + = − = − ແລະ k k k 1 S S P = − − (5.8) 5.1.3 ຕາຕະລາງການຊໍາລະໜີື້ ຕາຕະລາງການຊໍາລະໜີື້ໃນທີີ່ນີື້ ຈະປະກອບດ້ວຍ ຖັນຂອງງວດທີີ່ຂອງການຊໍາລະໜີື້ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍ ໃນແຕ່ລະງວດ, ຈ່າຍດອກເບ້ຍ, ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ, ເງິນຕົື້ນທ ນຄົງເຫຼ ອ ຫຼ ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະ ສາມາດສ້າງໄດ້ ດັົ່ງຕາຕະລາງຕ ໍ່ໄປນີື້: ງວດທີີ່ k ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍ k r ຈ່າຍດອກເບ້ຍ k I ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ Pk ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k S 0 − − − 0 S S = 1 1 r 1 1 0 I r S = P r I 1 1 1 = − 0 1 S P− 2 2 r 2 2 1 I r S = P r I 2 2 2 = − 1 2 S P− n n r n n n 1 I r S = − P r I n n n = − 1 0 n n S P − − = ລວມ 1 n k k r = 1 n k k I I = = 1 n k k P S = = ໝາຍເຫດ: ຈາກຕາຕະລາງຂ້າງເທິງ ຈະໄດ້: 1 1 1 n n n k k k k k k r I P I S = = = = + = + ຕົວຢ່າງ 5.1 ທ. ປ ໄຊ ກູ້ເງິນຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍເລີີ່ມຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ທຸກໆ ທ້າຍປ ງວດລະເທົົ່າໆ ກັນ ເປັນ ເວລາ 10 ປ ໂດຍເຈົື້າໜີື້ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະປ ດັົ່ງນີື້: ປ ທີ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k i 0.02 0.03 0.03 0.04 0.05 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງຊໍາລະໜີື້ ໂດຍການຄ່າລາຍງວດຕາມສູດ (5.7) ແລະ (5.8) ແກ້: ຈາກ 1 1| k k k n k i S r a − − + = , k k k 1 I i S = − , P r I k k k = − ແລະ k k k 1 S S P = − − ຈະໄດ້:
ຄະນິດສາດການເງິນ 67 0 10 10|0.02 100 11.13265 1 1.02 0.02 k S r a − = = = − I i S 1 1 0 = = = (0.02 100 2 )( ) 1 1 1 P r I = − = − = 11.13265 2 9.13265 ສໍາລັບຂ ໍ້ມູນອ ີ່ນໆ ຫາໄດ້ໃນທໍານອງດຽວກັນ ແລະ ມີຄ່າດັົ່ງຕາຕະລາງ ດັົ່ງນີື້: ງວດທີີ່ k ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍ k r ຈ່າຍດອກເບ້ຍ k I ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ Pk ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k S 0 0 − − − 100 1 0.02 11.13265 2 9.132653 90.867347 2 0.03 11.67044 2.72602 8.944423 81.922924 3 0.03 11.67044 2.457688 9.212756 72.710168 4 0.04 12.11421 2.908407 9.205806 63.504361 5 0.05 12.51147 3.175218 9.33625 54.168111 6 0.06 12.85931 3.250087 9.609228 44.558883 7 0.06 12.85931 2.673533 10.18578 34.373102 8 0.06 12.85931 2.062386 10.79693 23.576173 9 0.06 12.85931 1.41457 11.44474 12.131429 10 0.06 12.85931 0.727886 12.13143 2.132E-14 5.1.4 ການຄໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ກໍານົດໃຫ້ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍ ແລະ ( ) 1 1 k k v i − = + ເປັນຕົວປະກອບສ່ວນຫຼຼຸດ ການຊໍາລະໜີື້ ແຕ້ມ ຮູບໄດ້ດັົ່ງນີື້: ຈ່າຍ 1 r 2 r 3 r n 2 r − n 1 r − n r ໜີື້ S ຈາກຮູບ ຈະໄດ້ວ່າ: ມູນຄາປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະ 2 3 1 1 2 3 1 ... n n k n k k S rv r v r v r v r v = = + + + + = (5.9) ພິຈາລະນາມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອທີີ່ເວລາ t k = ຫຼັງຈາກທີີ່ຊໍາລະໜີື້ງວດທີີ່ k ໄປແລ້ວ (ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ k r ) ຊໍາລະໄປແລ້ວ ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ຈ່າຍ 1 r 2 r k 1 r − k r k 1 r + n 1 r − n r ໜີື້ S ຈາກຮູບ ຈະໄດ້ວ່າ: ທີີ່ເວລາ t k = ມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຈ່າຍງວດທີີ່ k ໄປແລ້ວ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງໜີື້ທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຈ່າຍ ນັື້ນແມ່ນ 2 1 2 1 ... n k n k x k k k n x k x S r v r v r v r v − − + + + = = + + + = (5.10) ເອີື້ນການຄໍານວນມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຕາມສູດ (5.10) ວ່າ: ວິທີແບບເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ (Prospective Method ຫຼ Forward Method) ນອກຈາກນີື້, ພວກເຮົາຍັງສາມາດຄໍານວນມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ໄດ້ຈາກ: ມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຈ່າຍງວດທີີ່ k = ມູນຄ່າຂອງໜີື້ສະສົມ − ມູນຄ່າສະສົມຂອງໜີື້ທີີ່ຈ່າຍໄປແລ້ວ ນັື້ນ ແມ່ນ ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 k k k k k k x k n x x S S i r i r i r S i r i − − − = = + − + + + + + = + − + (5.11)
ຄະນິດສາດການເງິນ 68 ເມ ີ່ອການຄໍານວນມູນຄ່າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຕາມສູດ (5.11) ວ່າ: ວິທີແບບເບິີ່ງໄປຂ້າງຫຼັງ ຫຼ ວິທີຄິດແບບຄິດຍ້ອນກັບ (Retrospective Method ຫຼ Backward Method) ກ ລະນີຄ່າລາຍງວດຄົງທີີ່ k r r = ຊໍາລະໄປແລ້ວ ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ຈ່າຍ r r r r r r r ໜີື້ S ຈາກ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະ | | n i n i S S ra r a = = (5.12) ຈາກຮູບຈະໄດ້ວ່າ: ພິຈາລະນາມູນຄ່າຂອງໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ໂດຍ ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ມູນຄ່າຂອງໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຈ່າຍງວດທີີ່ k ໄປແລ້ວ = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງໜີື້ທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຈ່າຍ k n k i| S ra − = (5.13) ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ມູນຄ່າຂອງໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຈ່າຍງວດທີີ່ k = ມູນຄ່າຂອງໜີື້ສະສົມ − ມູນຄ່າສະສົມຂອງໜີື້ທີີ່ຈ່າຍໄປແລ້ວ ( ) | 1 k k k i S S i rs = + − (5.14) ຈໍານວນດອກເບ້ຍໃນງວດທີີ່ k , k k 1 n k i 1| I iS ira − − + = = (5.15) ຈໍານວນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນງວດທີີ່ k , 1 1 1| | 1 1 n k n k k k k n k i n k i v v P S S ra ra r i i − + − − − + − − − = − = − = − ( ) 1 1 1 n k v n k v rv i − − − + = − = ( ) 1 1 1 v v i v i − − = − = ສະນັື້ນ ( ) 2 1 1 1 1 n k n k k k k rv P P rv i P v v − + − + − = = = = + − (5.16) ເໜ ອໄປກວ່ານັື້ນ ຈະໄດ້: ( ) 1 1 1 k P i P k − = + (5.17) ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ k k r P I = + ຈະໄດ້: P r I r iS k k k = − = − −1 (5.18) ໂດຍທີີ່ຈໍານວນເງິນທີີ່ຊໍາລະໜີື້ທັງໝົດ 1 1 n n k k k k nr P I S I = = = = + = + ງວດທີີ່ k ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍ k r ຈ່າຍດອກເບ້ຍ k I ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ Pk ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k S 0 − − − ni| a 1 1 | 1 n n i ia v = − n v | 1| n n i n i a v a − − = 2 1 1 1| 1 n n i ia v − − = − n 1 v − 1 1| 2| n n i n i a v a − − − − = n −1 1 2 2| 1 i ia v = − 2 v 2 2| 1| i i a v a − = n 1 1| 1 i ia v = − v 1| 0 i a v − = ລວມ n 1 n k k I I = = 1 n k k P S = =
ຄະນິດສາດການເງິນ 69 ຕົວຢ່າງ 5.2 ທ. ໄກ່ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາ ຈໍານວນ 500 ລ້ານກີບ ໂດຍຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນທຸກໆ ທ້າຍ ປ ເປັນເວລາ 10 ປ ໂດຍກອງທ ນເພ ີ່ອການສ ກສາຄິດດອກເບ້ຍ 6.5% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາ: 1) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 5 2) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 6 ແກ້: 1) ຕ້ອງການຫາ 5 S ເຊິີ່ງໂຈດກໍານົດໃຫ້ S = 500 , n =10 ແລະ i = 0.065 ອັນດັບທໍາອິດຈະຫາຄ່າລາຍ ງວດ r ກ່ອນ ຈາກສົມຜົນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ ຈະໄດ້: PV ຂອງເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ 10|0.065 10|0.065 10 500 500 500 69.55235 1 1.065 0.065 ra r a − = = = = − ຊໍາລະໄປແລ້ວ ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ຈ່າຍ r r r r r n r ໜີື້ S = 500 ຈາກຮູບ ໂດຍໃຊ້ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ຈະໄດ້: 5 S PV = ຂອງເງິນທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຈ່າຍ 5 ງວດ 5 5 5|0.065 1 1.065 69.55235 69.55235 289.03727 0.065 S a − − = = = ລ້ານກີບ 2) ຊອກຫາຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 6 I iS 6 5 = = = 0.065 289.03727 18.78742 ( ) ລ້ານກີບ 6 6 P r I = − = − = 69.55235 18.78742 50.76493 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 5.3 ນ. ອຸ່ນທອງ ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ກັບທະນາຄານ ທຸກທ້າຍປ ໂດຍ 5 ປ ທໍາອິດຈ່າຍປ ລະ 300 ລ້ານກີບ, ໃນ 8 ປ ຖັດມາ ຈ່າຍປ ລະ 400 ລ້ານກີບ ແລະ ໃນ 7 ປ ຫຼັງ ຈ່າຍປ ລະ 600 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກ ເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາ: 1) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 2) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 11 ແກ້: 1) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 ຊໍາລະໄປແລ້ວ ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ຈ່າຍ 300 300 300 400 400 400 400 400 600 600 ກູ້ S ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 10 S PV = ຂອງໜີື້ທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ( ) ( ) 3 7 3 3 10 3|0.04 7|0.04 1 1.04 1 1.04 400 600 400 600 1.04 0.04 0.04 S a a v − − − − − = + = + 10 S = 4311.51926 ລ້ານກີບ 2) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່ານໜີື້ງວດທີີ່ 11 I iS 11 10 = = = 0.04 4311.51926 172.46077 ( ) ລ້ານກີບ 11 11 P r I = − = − = 400 172.46077 227.53923 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 5.4 ທ. ວັນໄຊ ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ກັບທະນາຄານທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 2 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານຄິດ
ຄະນິດສາດການເງິນ 70 ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ຖ້າຈໍານວໜີື້ຄ້າງຊໍາລະເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 18 ເທົົ່າກັບ 50 ລ້ານ ກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ ທ. ວັນໄຊ ກູ້ຢືມ. 2) ໄລຍະເວລາທີີ່ ທ. ວັນໄຊ ກູ້ຢືມ. ແກ້: 1) ຊອກຫາຈໍານວນເງິນທີີ່ ທ. ວັນໄຊ ກູ້ຢືມ.ໃນນີື້ ໂຈດກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ (12) 0.06 0.005 12 12 i = = ໂດຍການຫາໜີື້ຄົງເຫຼ ອເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 18 ດ້ວຍວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງຫຼັງ ຈະໄດ້: 18 S = ມູນຄ່າເງິນກູ້ສະສົມ − ມູນຄ່າສະສົມຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍໄປແລ້ວ ( ) ( ) 18 18 18 18|0.005 1.005 1 50 1.005 2 1.005 2 0.005 S s S − = − = − ( ) 18 1.005 1 18 50 2 1.005 80.05234 0.005 S − − = + = ລ້ານກີບ 2) ໄລຍະເວລາທີີ່ ທ. ວັນໄຊ ກູ້ຢືມ. ໂດຍການຫາໜີື້ຄົງເຫຼ ອເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 18 ດ້ວຍວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ຈະໄດ້: 18 S = ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ( 18 18 ) ( ) 18|0.005 1 1.005 1 1.005 50 2 2 25 0.005 0.005 n n n a − − − − − − − = = = ( ) ( ) 18 1.005 1 25 0.005 0.875 − −n = − = − − = (n 18 ln1.005 ln 0.875 ) ln 0.875 18 44.7730 ln1.005 n = − + = ເດ ອນ 44 ເດ ອນ 24 ວັນ ຕົວຢ່າງ 5.5 ນ. ເມສາ ຊໍາລະໜີື້ກັບທະນາຄານ 15 ເດ ອນ ໂດຍໃນ 6 ເດ ອນທໍາອິດຈ່າຍເດ ອນລະ 4 ລ້ານກີບ, ໃນ 4 ເດ ອນ ຖັດມາຈ່າຍເດ ອນລະ 2 ລ້ານກີບ ແລະ ໃນ 5 ເດ ອນສຸດທ້າຍ ຈ່າຍເດ ອນລະ 5 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານ ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາໜີື້ຄ້າງຊໍາລະຫຼັງຈາກຈ່າຍງວດທີີ່ 7 ໄປແລ້ວ ດ້ວຍ ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ແລະ ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງຫຼັງ. ແກ້: 1) ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ໃນນີື້ ໂຈດກໍານົດ (12) 0.04 0.0033 12 12 i = = ຊໍາລະໄປແລ້ວ ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ຈ່າຍ 4 4 4 2 2 2 5 5 ກູ້ S ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ = PV ຂອງຄ່າລາຍງວດທີີ່ຍັງບ ໍ່ໄດ້ຊໍາລະ ( ) ( ) 3 5 3 3 3|0.0033 5|0.0033 1 1.0033 1 1.0033 2 5 2 5 1.0033 0.0033 0.0033 a a v − − − − − = + = + = 30.47155 ລ້ານກີບ 2) ວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງຫຼັງ ອັນດັບທໍາອິດຄໍານວນຕາມຮູບ: ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ = PV ຂອງງຄ່າລາຍງວດທີີ່ຈ່າຍ ( ) ( ) 6 10 6|0.0033 4|0.0033 5|0.0033 = + + 4 2 5 a a v a v
ຄະນິດສາດການເງິນ 71 ( ) ( ) 6 4 5 1 1.0033 1 1.0033 1 1.0033 6 10 4 2 1.0033 5 1.0033 0.0033 0.0033 0.0033 − − − − − − − − = + + = 55.45648 ລ້ານກີບ ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ = ມູນຄ່າສະສົມຂອງເງິນກູ້ − ມູນຄ່າສະສົມຂອງຄ່າລາຍງວດທີີ່ຊໍາລະແລ້ວ ( ) ( ( ) ) 7 6|0.0033 = − + 55.45648 1.0033 4 1.0033 2 s ( ) ( ) 6 7 1.0033 1 55.45648 1.0033 4 1.0033 2 0.0033 − = − + = 30.47155 ລ້ານກີບ 5.2 ການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີເງິນຕົື້ນທ ນສະສົມ ໃນນີື້ເວົື້າເຖິງການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີເງິນຕົື້ນທ ນສະສົມ (Sinking Fund Method); ສົມມຸດວ່າ: ກູ້ຢືມຈໍາ ນວນ S ກີບ ໂດຍຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້ i ຕ ໍ່ງວດ ໄລຍະເວລາກູ້ n ງວດ. ແນວຄິດ 1) ຈ່າຍຄ ນໜີື້ສະເພາະສ່ວນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍເທົົ່ານັື້ນໃນງວດທີີ່ 1 ຮອດງວດທີີ່ n −1 ແລະ ໃນງວດສຸດທ້າຍ ຈ່າຍໜີື້ທີີ່ເຫຼ ອທັງໝົດ (ເງິນຕົື້ນທ ນລວມກັບດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດໃນງວດສຸດທ້າຍ) 2) ເພ ີ່ອເປັນການກຽມເງິນໄວ້ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນໃນງວດສຸດທ້າຍ ສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍນໍາເງິນສ່ວນໜ ີ່ງສະ ສົມໃນກອງທ ນທີີ່ໃຫ້ອັດຕາດອກເບ້ຍ j ຕ ໍ່ງວດ, ສະສົມງວດລະ n j| S s ກີບ ເມ ີ່ອຄົບກໍານົດ n ງວດ, ຈະໄດ້ເງິນ ສະສົມທັງໝົດ | | n j n j S s S s = ເທົົ່າກັບເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຕ້ອງຈ່າຍຄ ນພ ດີ. ໂດຍສະຫຼຼຸບ ຈໍານວນເງິນທີີ່ກ່ຽວຂ້ອງຕາມລາຍງານຕ ໍ່ໄປນີື້: ເງິນທີີ່ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ (ດອກເບ້ຍຈ່າຍ) ແຕ່ລະງວດ ເທົົ່າກັບ iS ເງິນທີີ່ຈ່າຍເພ ີ່ອຝາກເຂົື້າກອງທ ນ ແຕ່ລະງວດ ເທົົ່າກັບ n j| S s ເງິນທີີ່ຈ່າຍທັງໝົດ ແຕ່ລະງວດ ເທົົ່າກັບ | | 1 n j n j S iS S i s s + = + ໂດຍຫຼັກການຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີເງິນທ ນສະສົມ, ສະຫຼຼຸບ ແລະ ສະແດງເປັນຕາຕະລາງ ດັົ່ງຕ ໍ່ໄປນີື້: ຕາຕະລາງການຊໍາລະໜີື້ ກ ລະນີບ ໍ່ມີການສະສົມເງິນໃນກອງທ ນ ງວດທີີ່ k ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍ k r ຈ່າຍດອກເບ້ຍ k I ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ Pk ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ k S 0 − − − S 1 iS iS 0 S 2 iS iS 0 S n −1 iS iS 0 S n iS S + iS S 0 ລວມ n niS S ຕາຕະລາງການຊໍາລະໜີື້ ກ ລະນີການສະສົມເງິນໃນກອງທ ນ ງວດ ທີີ່ k ຈໍານວນ ເງິນທີີ່ ຈ່າຍ k r ເງິນສົົ່ງ ເຂົື້າ ກອງທ ນ ດອກ ເບ້ຍຮັບ ເງິນສະສົມໃນກອງທ ນ ດອກ ເບ້ຍ ຈ່າຍ ດອກເບ້ຍ ສຸດທິ ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ຫັກເວ້ຍເງິນ ສະສົມ k S 0 − − − − − S
ຄະນິດສາດການເງິນ 72 ພິຈາລະນາເງິນສະສົມໃນກອງທ ນ ໂດຍໃຫ້ Vk ເປັນເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທີີ່ເວລາ t k = ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ n j| S s n j| S s n j| S s n j| S s n j| S s n j| S s n j| S s ຈາກຮູບ ເງິນສະສົມໃນກອງທ ນ | | k k j n j S V s s = (5.19) ດັົ່ງນັື້ນ, ໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຫັກເງິນສະສົມຈາກກອງທ ນໃນທ້າຍງວດທີີ່ k k k S S V = − (5.20) ຖ້າໃຫ້ Pk ແລະ k I ເປັນຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນທັງເງິນຕົື້ນທ ນ ແລະ ດອກເບ້ຍຈ່າຍສຸດທິ ຕາມລໍາດັບ ຈະໄດ້: ເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ( ) ( ) 1 1 1 1 | 1| | | | 1 k k k k k k k k j k j n j n j n j S S S P S S V V jV s S j s s s − − − − − = − = − = + = − = + (5.21) ແລະ ດອກເບ້ຍຈ່າຍສຸດທິ k I = ດອກເບ້ຍຈ່າຍ − ດອກເບ້ຍຮັບ k 1 = − iS jV − (5.22) ຕ ໍ່ໄປພິຈາລະນາຜົນບວກລະຫວ່າງ Pk ແລະ k I ຈະເຫັນວ່າ: 1 1 ( ) | | 1 k k k k n j n j S P I jV iS jV S i r s s − − + = + + − = + = (5.23) ຖ້າພວກເຮົາຊໍາລະໜີື້ໃນລັກສະນະຂອງວິທີຕັດຈ່າຍ ໂດຍຈ່າຍງວດລະ | 1 n j r S i s = + ຈະໄດ້ວ່າ: ຈໍານວນຈ່າຍ ຄ ນເງິນຕົື້ນ ( ) 1 | 1 k k n j S P j s − = + ແລະ ດອກເບ້ຍສຸດທິ k k 1 I iS jV = − − ໂດຍໃນທາງປະຕິບັດກອງທ ນສະ ສົມອາດຈະມີຈິງ ຫຼ ບ ໍ່ມີກ ໍ່ໄດ້. ກໍານົດນົດໃຫ້ i j = ຖ້າພວກເຮົາຈ່າຍຄ່າລາຍງວດ | 1 n j r S i s = + ເຊິີ່ງເທົົ່າກັບ 1 n j| S iS s + n j| S s 0 1 1| | j n j S V s s = iS −iS 1 S V− 2 n j| S iS s + n j| S s 1 jV 2 2| | j n j S V s s = iS 1 jV iS − 2 S V− 3 n j| S iS s + n j| S s 2 jV 3 3| | j n j S V s s = 2 jV iS − 3 S V− n −1 n j| S iS s + n j| S s n 2 jV − 1 1| | n n j n j S V s s − − = iS n 2 jV iS − − n 1 S V− − n n j| S iS s + n j| S s n 1 jV − | | n n j n j S V s s = iS n 1 jV iS − − n S V− ລວມ n n j| S n s niS
ຄະນິດສາດການເງິນ 73 ເງິນທີີ່ພວກເຮົາຈ່າຍສະສົມເຂົື້າກອງທ ນສະສົມລວມກັນກັບດອກເບ້ຍຈ່າຍ ຈະໄດ້ວ່າ: ເງິນທີີ່ຈ່າຍທັງໝົດ n ງວດ ເທົົ່າກັບ nr ແລະ ດອກເບ້ຍຈ່າຍສະສົມເທົົ່າກັບ nr S − ແລະ ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ n i| S ra = (5.24) ຕົວຢ່າງ 5.6 ທ. ສາຍຄໍາ ຊ ື້ຫ້ອງລາຄາ 1000 ລ້ານກີບ ກູ້ໄດ້100% ໂດຍໃນງວດທີີ່ 1 ຫາງວດທີີ່ 239 ຜ່ອນຊໍາ ລະສະເພາະດອກເບ້ຍກັບທະນາຄານທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ ແລະໃນງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍຄ ນໜີື້ຄົງເຫຼ ອທັງໝົດ, ທະນາຄານ ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ແຕ່ໃນຂະນະດຽວກັນລາວກ ໍ່ນໍາເງິນສ່ວນໜ ີ່ງໄປລົງທ ນກັບ ກອງທ ນໜ ີ່ງທຸກໆ ເດ ອນ ຈໍານວນ 240 ເດ ອນ ໂດຍກອງທ ນໃຫ້ຜົນຕອບແທນ 9% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະງວດ. 2) ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນໃນແຕ່ລະງວດ. 3) ຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໄປໃນແຕ່ລະງວດ. 4) ເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນຈາກຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໃນງວດທີີ່ 80 5) ເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິຈາກຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໃນງວດທີີ່ 80 6) ໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຫັກຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 80 ໄປແລ້ວ. ແກ້: 1) ຊອກຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະງວດ ໃນນີື້ໂຈດກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ (12) 0.06 0.005 12 12 i i = = = ແລະ (12) 0.09 0.0075 12 12 j j = = = ຈໍານວນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະງວດ = = = iS 0.005 1000 5 ( ) ລ້ານກີບ. 2) ຊອກຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນໃນແຕ່ລະງວດ. 240 | 240|0.0075 1000 1000 1.49726 1.0075 1 0.0075 n j S s s = = = = − ລ້ານກີບ. 3) ຊອກຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໄປໃນແຕ່ລະງວດ. ເນ ີ່ອງຈາກ ເງິນທີີ່ຈ່າຍໃນແຕ່ລະງວດ = ຈໍານວນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍ + ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ = + = 5 1.49726 6.49726 ລ້ານກີບ. 4) ຊອກເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນຈາກຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໃນງວດທີີ່ 80 ຈາກສູດ ( ) 1 | 1 k k n j S P j s − = + ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 79 79 80 240|0.0075 1000 P 1.0075 1.49726 1.0075 2.70182 s = = = ລ້ານກີບ. 5) ຊອກເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິຈາກຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໃນງວດທີີ່ 80 ເນ ີ່ອງຈາກ 80 80 80 80 r r P I I = = = + = = − = 6.49726 2.70182 6.49726 2.70182 3.79544 ລ້ານກີບ. 6) ຊອກໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຫັກຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 80 ໄປແລ້ວ. ຈາກສູດ ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ( | ) | k k k j n j S S S V S s s = − = − ດັົ່ງນັື້ນ, ໜີື້ຄົງເຫຼ ອ ( ) ( ) 80 80 80|0.0075 240|0.0075 1000 1.0075 1 1000 1000 1.49726 0.0075 S s s − = − = − = 836.69006 ລ້ານກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 74 ຕົວຢ່າງ 5.7 ນ. ວັນສີ ຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງ ໂດຍຈ່າຍເງິນດາວ 200 ລ້ານກີບ ທີີ່ເຫຼ ອຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນກັບ ທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ຜ່ອນດົນນານ ເດ ອນ ໂດຍລະບຸໃນສັນຍາວ່າໃນທ້າຍເດ ອນທີີ່ 1 ຮອດເດ ອນທີີ່ 119 ຈະຊໍາ ລະສະເພາະດອກເບ້ຍ ແລະ ໃນເດ ອນສຸດທ້າຍຈະຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ. ໃນຂະນະດຽວກັນ ນ. ວັນສີ ກ ໍ່ຈ່າຍເງິນອີກ ສ່ວນໜ ີ່ງລາຍເດ ອນທຸກທ້າຍເດ ອນເຂົື້າກອງທ ນໜ ີ່ງເພ ີ່ອສະສົມເງິນໃຫ້ໄດ້ເທົົ່າກັບເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນໃນ ງວດທີີ່ 120 ຖ້າລາວຈ່າຍເງິນທັງທ້າຍເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ ໂດຍທະນາຄານ ແລະ ກອງທ ນຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ລາຄາເງິນສົດບ້ານຫຼັງນີື້. 2) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍຈາກການຈ່າຍເງິນເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ. 3) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເປັນເງິນເຂົື້າກອງທ ນຈາກການຈ່າຍເງິນເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ. 4) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນຈາກການຈ່າຍເງິນໃນງວດທີີ່ 80 5) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິຈາກການຈ່າຍເງິນໃນງວດທີີ່ 80 6) ຈໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 80 ໄປແລ້ວ. ແກ້: 1) ລາຄາເງິນສົດບ້ານຫຼັງນີື້ ໃນນີື້ໂຈດກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດ (12 12 ) ( ) 0.06 0.005 12 12 12 i j = = = ແລະ r = 28 ເນ ີ່ອງຈາກ ລາຄາເງິນສົດບ້ານຫຼັງນີື້ = ຈໍານວນເງິນດາວ + ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ S ອັນດັບທໍາອິດຈະຄໍານວນຈໍານວນເງິນກູ້ S ເນ ີ່ອງຈາກ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍແຕ່ລະງວດ | | 1 n j n j S r iS S i s s = + = + 120 120|0.005 1 1 28 0.005 28 0.005 28 0.011102 1.005 1 0.005 S S S s = + = + = − 28 2522.06810 0.011102 = = S ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາເງິນສົດບ້ານຫຼັງນີື້ແມ່ນ = + = 2522.06810 200 2722.06810 ລ້ານກີບ 2) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍຈາກການຈ່າຍເງິນເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ ເນ ີ່ອງຈາກ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເປັນຄ່າດອກເບ້ຍ = = = iS 0.005 2522.06810 12.61034 ( ) ລ້ານກີບ 3) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍເປັນເງິນເຂົື້າກອງທ ນຈາກການຈ່າຍເງິນເດ ອນລະ 28 ລ້ານກີບ ເນ ີ່ອງຈາກ ຈໍານວນເງິນທີີ່ຈ່າຍໃນແຕ່ລະງວດ r = ເງິນທີີ່ຈ່າຍດອກເບ້ຍ + ເງິນທີີ່ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນທີີ່ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ = − = 28 12.61034 15.38966 ລ້ານກີບ. 4) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນຈາກການຈ່າຍເງິນໃນງວດທີີ່ 80 ເນ ີ່ອງຈາກ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນຈາກການຈ່າຍໃນງວດທີີ່ 80 ( ) 79 80 120|0.005 1.005 S P s = = (ເງິນທີີ່ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ) ( ) 79 1.005 ( )( ) 79 80 P = = 15.38966 1.005 22.82170 ລ້ານກີບ. 5) ຈໍານວນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິຈາກການຈ່າຍເງິນໃນງວດທີີ່ 80 ຫຼ 80 I ເນ ີ່ອງຈາກ 80 80 r P I = + ດັົ່ງນັື້ນ, 80 80 I r P = − = − = 28 22.82170 5.17830 ລ້ານກີບ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 75 6) ຈໍານວນໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 80 ໄປແລ້ວ ຫຼ 80 S ເນ ີ່ອງຈາກ 80 80 ( 80|0.005 ) 120|0.005 2522.06810 S S S V s s = − = − ( ) 80 1.005 1 2522.06810 15.38966 1012.83933 0.005 − = − = ລ້ານກີບ. ບົດເຝ ກຫັດ 5 37. ທ. ກິີ່ງເພັດ ກູ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງ ໂດຍເລີີ່ມຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ທຸກໆ ທ້າຍປ , ປ ລະ 100 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 15 ປ ໂດຍເຈົື້າໜີື້ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍໃນແຕ່ລະປ ດັົ່ງນີື້: ປ ທີ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k i 0.02 0.03 0.03 0.04 0.05 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06 ຈົົ່ງຊອກຫາ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ ແລະ ມູນຄ່າສະສົມຂອງການກູ້ຢືມນີື້. 2) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 12 3) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 13 38. ທ. ຈັນສະໝອນ ກູ້ເງິນຈາກກອງທ ນຈໍານວນໜ ີ່ງ ໂດຍຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນທຸກໆ ທ້າຍປ , ປ ລະ 100 ລ້ານກີບ ເປັນເວລາ 10 ປ ໂດຍກອງທ ນຄິດດອກເບ້ຍ 6.5% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ ແລະ ມູນຄ່າສະສົມຂອງການກູ້ຢືມນີື້. 2) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 6 3) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 7 39. ທ. ແສງດາວ ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ກັບທະນາຄານ ທຸກທ້າຍປ , ປ ລະ 100 ລ້ານກີບ ໂດຍ 5 ປ ທໍາອິດທະນາຄານຄິດ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ປ ,ໃນ 8 ປ ຖັດມາ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ແລະ ໃນ 7 ປ ຫຼັງ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້ ແລະ ມູນຄ່າສະສົມຂອງການກູ້ຢືມນີື້. 2) ເງິນຕົື້ນທ ນຄ້າງຊໍາລະທີີ່ທ້າຍປ ທີີ່ 10 3) ຈໍານວນເງິນທີີ່ເປັນດອກເບ້ຍ ແລະ ຈໍານວນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ ໃນການຈ່າຍໜີື້ງວດທີີ່ 11 40. ນ. ລັດດາ ຈ່າຍຊໍາລະໜີື້ 1000 ລ້ານກີບ ກັບທະນາຄານທຸກໆ ທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນ ໂດຍ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ; ຖ້າຈໍານວນໜີື້ຄ້າງຊໍາລະເມ ີ່ອທ້າຍເດ ອນທີີ່ 18 ເທົົ່າກັບ 200 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ນ. ລັດດາ ຜ່ອນຊໍາລະຄ ນໜີື້ເດ ອນລະເທົົ່າໃດ? 2) ໄລຍະເວລາທີີ່ ນ. ລັດດາ ກູ້ຢືມ. 41. ນ. ຟ້າ ຊໍາລະໜີື້ກັບທະນາຄານດົນນານ 15 ເດ ອນ, ເດ ອນລະ 5 ລ້ານກີບ ໂດຍໃນ 5 ເດ ອນທໍາອິດ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 4% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ, ໃນ 5 ປ ຖັດມາ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ແລະ ໃນ 5 ປ ສຸດທ້າຍ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ ເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາໜີື້ຄ້າງຊໍາລະຫຼັງຈາກການຈ່າຍງວດທີີ່ 7 ໄປແລ້ວ ດ້ວວິທີເບິີ່ງໄປຂ້າງໜ້າ ແລະ ວິທີເບິີ່ງໄປ ຂ້າງຫຼັງ. 42. ທ. ເຫຼັກ ກູ້ເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງເພ ີ່ອຊ ື້ບ້ານ ແລະ ເຮັດສັນຍາຜ່ອນຈ່າຍເປັນລາຍເດ ອນກັບທະນາຄານ, ສັນຍາລະບຸ ການຊໍາລະໜີື້ ດັົ່ງນີື້: ໃນງວດທີີ່ 1 ຫາງວດທີີ່ 239 ຜ່ອນຊໍາລະສະເພາະດອກເບ້ຍກັບທະນາຄານທຸກໆ ທ້າຍ ເດ ອນ ແລະ ໃນງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍຄ ນໜີື້ທັງໝົດ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 5% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມ
ຄະນິດສາດການເງິນ 76 ທຸກເດ ອນ, ແຕ່ໃນຂະນະດຽວກັນລາວກ ໍ່ນໍາເງິນສ່ວນໜ ີ່ງໄປລົງທ ນ ຈໍານວນ 240 ເດ ອນ ໂດຍກອງທ ນໃຫ້ ຜົນຕອບແທນ 4% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ຖ້າຈໍານວນເງິນທັງໝົດທີີ່ຈ່າຍໄປແຕ່ລະງວດ ເທົົ່າກັບ 20 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ຈໍານວນເງິນທີີ່ກູ້. 2) ຈາກການຈ່າງເງິນ ເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ ຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? 3) ຈາກການຈ່າງເງິນ ເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ ຈ່າຍເປັນເງິນເຂົື້າກອງທ ນເທົົ່າໃດ? 4) ຈາກການຈ່າງເງິນ ເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ ໃນງວດທີີ່ 120 ຄິດເປັນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນເທົົ່າໃດ? 5) ຈາກການຈ່າງເງິນ ເດ ອນລະ 20 ລ້ານກີບ ໃນງວດທີີ່ 120 ຄິດເປັນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິເທົົ່າໃດ? 6) ໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 120 ໄປແລ້ວ. 43. ນ. ຈັນສຸກ ກູ້ເງິນເຕັມຈໍານວນ 2000 ລ້ານກີບ ເພ ີ່ອຊ ື້ບ້ານຫຼັງໜ ີ່ງ ໂດຍຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນກັບ ທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ຜ່ອນດົນນານ 120 ເດ ອນ ໂດຍລະບຸໃນສັນຍາວ່າ: ໃນທ້າຍເດ ອນທີີ່ 1 ຮອດເດ ອນທີີ່ 119 ຈະຊໍາລະສະເພາະດອກເບ້ຍ ແລະ ໃນເດ ອນສຸດທ້າຍຈະຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ; ໃນຂະນະດຽວກັນລາວກ ໍ່ ຈ່າຍເງິນອີກສ່ວນໜ ີ່ງລາຍເດ ອນທຸກທ້າຍເດ ອນເຂົື້າກອງທ ນໜ ີ່ງເພ ີ່ອສະສົມເງິນໃຫ້ໄດ້ເທົົ່າກັບເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ ຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນໃນງວດທີີ່ 121; ຖ້າລາວຈ່າຍເງິນທັງໝົດເດ ອນລະ x ກີບ ໂດຍທະນາຄານ ແລະ ກອງທ ນ ຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: 1) ຈໍານວນເງິນ x 2) ຈາກການຈ່າຍເງິນ ເດ ອນລະ x ກີບ ຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍເທົົ່າໃດ? 3) ຈາກການຈ່າຍເງິນ ເດ ອນລະ x ກີບ ຈ່າຍເປັນເງິນເຂົື້າກອງທ ນເທົົ່າໃດ? 4) ຈາກການຈ່າຍເງິນ ເດ ອນລະ x ກີບ ໃນງວດທີີ່ 50 ຄິດເປັນເງິນຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນເທົົ່າໃດ? 5) ຈາກການຈ່າຍເງິນ ເດ ອນລະ x ກີບ ໃນງວດທີີ່ 50 ຄິດເປັນເງິນຈ່າຍດອກເບ້ຍສຸດທິເທົົ່າໃດ? 6) ໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນທ້າຍງວດທີີ່ 50 ໄປແລ້ວ. 44. ທ. ສິດທິກອນ ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຈໍານວນໜ ີ່ງ ເປັນລາຍເດ ອນຈ່າຍທຸກທ້າຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 15 ລ້ານກີບ ຜ່ອນ ດົນນານ 60 ເດ ອນ ໂດຍລະບຸໃນສັນຍາວ່າທ້າຍເດ ອນທີີ່ 1 ຮອດເດ ອນທີີ່ 59 ຈະຊໍາລະສະເພາະດອກເບ້ຍ ແລະ ໃນເດ ອນສຸດທ້າຍ ຈະຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ; ໃນຂະນະດຽວກັນລາວກ ໍ່ຈ່າຍເງິນອີກສ່ວນໜ ີ່ງລາຍເດ ອນ ທຸກທ້າຍເດ ອນເຂົື້າກອງທ ນໜ ີ່ງເພ ີ່ອສະສົມເງິນໃຫ້ໄດ້ເທົົ່າກັບເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນໃນງວດທີີ່ 60 ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ ແລະ ກອງທ ນຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ; ຫຼັງຈາກທີີ່ລາວຈະຕ້ອງຈ່າຍໜີື້ ແລະ ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນໄປໄດ້ 49 ງວດ ຕ້ອງການຈ່າຍຄ ນ ໜີື້ທັງໝົດໃນງວດທີີ່ 50 ຈະຕ້ອງຈ່າຍເພີີ່ມອີກເທົົ່າໃດຫຼັງຈາກຫັກເງິນສະສົມໃນກອງທ ນ. 45. ທ. ທອງພັນ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ໂດຍ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ຖ້າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຫັກຄ່າລາຍງວດ, ງວດທີີ່ 18 ໄປແລ້ວ ເທົົ່າກັບ 50 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ທ. ທອງພັນກູ້ຢືມເງິນມາເທົົ່າໃດ? 46. ທ. ອາເລັກ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ໂດຍ ທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ຖ້າໜີື້ຄົງເຫຼ ອກ່ອນຫັກຄ່າລາຍງວດ, ງວດທີີ່ 18 ໄປແລ້ວ ເທົົ່າກັບ 50 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາວ່າ: ທ. ທອງພັນກູ້ຢືມເງິນມາເທົົ່າໃດ? 47. ທ. ພູເພັດ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ x ລ້ານກີບ ໂດຍຖ້າ ໜີື້ຄົງເຫຼ ອກ່ອນຫັກຄ່າລາຍງວດນັື້ນໆ ໄປແລ້ວ 3 ງວດ ຕິດກັນຄ 519.072 ລ້ານກີບ, 508.468 ລ້ານກີບ ແລະ 497.366 ລ້ານກີບ ຕາມລໍາດັບ. ຈົົ່ງຊອກຫາ x ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍ. 48. ທ. ດາວກີື້ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນ 100 ລ້ານກີບ ກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ, ຜ່ອນຊໍາລະເງິນຕົື້ນທ ນຄົງທີີ່ເປັນລາຍ ເດ ອນ, ເດ ອນລະ 10 ລ້ານກີບ ດົນນານ 10 ເດ ອນ ໂດຍໃນແຕ່ລະເດ ອນຈະຕ້ອງຊໍາລະດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດຂ ື້ນ ໃນເດ ອນນັື້ນໆ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງການ
ຄະນິດສາດການເງິນ 77 ສະແດງຊໍາລະໜີື້ດ້ວຍວິທີຕັດຈ່າຍຕາມເງິນໄຂດັົ່ງກ່າວ. 49. ນ. ລີເຊ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນດົນ ນານ 2 ປ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 12% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ, ຖ້າໜີື້ຄົງເຫຼ ອຫຼັງຈາກຈ່າຍ ງວດທີີ່ 15 ໄປແລ້ວ ເທົົ່າກັບ 20 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນກູ້ຢືມຂອງ ນ. ລີເຊ. 50. ທ. ເດດ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະເທົົ່າໆ ກັນດົນ ນານ 2 ປ ຖ້າໃນການຊໍາລະໜີື້ງວດທີີ່ 10 ຈ່າຍຄ ນເງິນຕົື້ນທ ນ 5 ລ້ານກີບ ຈ່າຍເປັນດອກເບ້ຍ 1 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນກູ້ຢືມ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 51. ທ. ສຸກັນ ກູ້ຢືມເງິນຈໍານວນໜ ີ່ງກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ດົນນານ 2 ປ ຜ່ອນຊໍາລະເປັນລາຍເດ ອນ, ເດ ອນລະ ເທົົ່າໆ ກັນ ໂດຍງວດທີີ່ 1 ຮອດງວດທີີ່ 23 ຈ່າຍສະເພາະດອກເບ້ຍທີີ່ເກີດຂ ື້ນ ແລະ ໃນງວດສຸດທ້າຍຈ່າຍໜີື້ທີີ່ ເຫຼ ອຄ ນທັງໝົດ, ແຕ່ໃນຂະນະດຽວກັນກ ໍ່ຈ່າຍເງິນເພ ີ່ອສະສົມໃນກອງທ ນເພ ີ່ອສະສົມເງິນໄວ້ຈ່າຍຄ ນເງິນ ຕົື້ນທ ນໃນງວດສຸດທ້າຍ; ຖ້າໃນການຊໍາລະໜີື້ງວດທີີ່ 10 ຈ່າຍດອກເບ້ຍ 1 ລ້ານກີບ ຈ່າຍເຂົື້າກອງທ ນ 5 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນກູ້ຢືມ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍເງິນກູ້ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ ກໍານົດອັດຕາ ດອກເບ້ຍກອງທ ນ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເດ ອນ. 52. ນ. ຕິີ່ງ ຜ່ອນຊໍາລະໜີື້ຈໍານວນ 1000 ລ້ານກີບ ເປັນລາຍເດ ອນກັບທະນາຄານແຫ່ງໜ ີ່ງ ຜ່ອນດົນນານ 60 ເດ ອນ ໂດຍລະບຸໃນສັນຍາວ່າ ໃນທ້າຍເດ ອນທີີ່ 1 ຮອດເດ ອນທີີ່ 59 ຈະຊໍາລະສະເພາະດອກເບ້ຍ ແລະ ໃນ ເດ ອນສຸດທ້າຍຈະຊໍາລະຄ ນໜີື້ທັງໝົດ; ໃນຂະນະດຽວກັນ ນ. ຕິີ່ງ ກ ໍ່ຈ່າຍເງິນອີກສ່ວນໜ ີ່ງລາຍເດ ອນທຸກ ທ້າຍເດ ອນເຂົື້າກອງທ ນໜ ີ່ງເພ ີ່ອສະສົມເງິນໃຫ້ໄດ້ເທົົ່າກັບເງິນຕົື້ນທ ນທີີ່ຈະຕ້ອງຈ່າຍຄ ນໃນງວດທີີ່ 60 ນ. ຕິີ່ງ ຈະຕ້ອງຈ່າຍເງິນທັງໝົດດັົ່ງກ່າວເດ ອນລະເທົົ່າໃດ ໂດຍທະນາຄານຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກ ເດ ອນ ແລະ ກອງທ ນຄິດອັດຕາດອກເບ້ຍ 9% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເດ ອນ
ຄະນິດສາດການເງິນ 78
ຄະນິດສາດການເງິນ 79 ບົດທີ 6 ການນໍາໃຊ້ຄະນິດສາດການເງິນ 1: ການປະເມີນລາຄາສິນຊັບໃນຕະຫຼາດທ ນ ສໍາລັບໃນບົດນີື້ເວົື້າເຖິງການນໍາໃຊ້ຄວາມຮູ້ເງິນສົດ ແລະ ຄວາມຮູ້ທີີ່ໄດ້ເວົື້າໄວ້ໃນບົດກ່ອນໜ້ານີື້ ໃນການຫາ ຜົນຕອບແທນ ການວິເຄາະ ແລະ ການປະເມີນລາຄາສິນຊັບໃນຕະຫຼາດທ ນ. ຕະຫຼາດທ ນ ເປັນຕະຫຼາດທີີ່ມີການຊ ື້ຂາຍຕາສານທາງການເງິນທີີ່ມີອາຍຸຫຼາຍກວ່າ 1 ປ ຂ ື້ນໄປ ໂດຍທີີ່ ຜະລິດຕະພັນ ໃນຕະຫຼາດທ ນ ເຊັົ່ນ: 1) ຕາສານທ ນ ເຊິີ່ງເປັນສິນຊັບທີີ່ບົົ່ງບອກເຖິງຄວາມເປັນເຈົື້າຂອງກິດຈະການ ໂດຍຜູ້ຖ ຄອງຕາສານທ ນຈະໄດ້ຮັບສ່ວນແບ່ງເງິນສົດຈາກຜົນກໍາໄລຂອງທຸລະກິດໃນຮູບເງິນປັນຜົນ ຫຼ ຮູບແບບອ ີ່ນ ເຊັົ່ນ: ຫຸ້ນປັນຜົນ ຫຼ ສິດທິຈອງຫຸ້ນກ່ອນນັກລົງທ ນຄົນອ ີ່ນ ເປັນຕົື້ນ; ແລະ ໄດ້ຮັບມູນຄ່າຄົງເຫຼ ອຂອງກິດຈະການ ໃນກ ລະນີທີີ່ບ ລິສັດຈະຕ້ອງປິດກິດຈະການແລ້ວມີການຊໍາລະບັນຊີ ເຊັົ່ນ: ຫຸ້ນສາມັນ ແລະ ຫຸ້ນບຸລິມະສິດ 2) ຕາສານໜີື້ ເຊິີ່ງເປັນຕາສານທາງການເງິນທີີ່ຜູ້ອອກມີຖານະເປັນ ຜູ້ກູ້ (ລູກໜີື້) ມີຂ ໍ້ຜູກພັນທາງກົດໝາຍວ່າຈະຈ່າຍ ຜົນປະໂຫຍດຕາມຂ ໍ້ຕົກລົງ ແລະ ຕາມໄລຍະເວລາທີີ່ກໍານົດໃຫ້ກັບຜູ້ຖ ຕາສານ ເຊິີ່ງມີຖານະເປັນ ຜູ້ໃຫ້ກູ້ (ເຈົື້າໜີື້) ເຊັົ່ນ: ຫຸ້ນກູ້, ພັນທະບັດລັດຖະບານ ເປັນຕົື້ນ; ເພ ີ່ອນໍາເງິນທ ນທີີ່ໄດ້ໃນການລົງທ ນໂຄງການໄລຍະຍາວຕ່າງໆ 3) ຕາສານອະນຸພັນ ເຊິີ່ງເປັນສັນຍາທາງການເງິນທີີ່ຜູ້ຊ ື້ ແລະ ຜູ້ຂາຍຕົກລົງທີີ່ຈະຊ ື້ ຫຼ ຂາຍສິນຄ້າອ້າງອິງ (Underlying Assets) ໂດຍຂ ໍ້ຕົກລົງເຮັດທຸລະກໍາດັົ່ງກ່າວເຮັດໃນປະຈຸບັນແຕ່ຊໍາລະລາຄາ ແລະ ສົົ່ງມອບສິນຄ້າອ້າງອິງຕາມເວລາ ທີີ່ກໍານົດໄວ້ໃນອະນາຄົດ, ຂ ໍ້ຕົກລົງເຮັດທຸລະກໍາທີີ່ລະບຸໃນຕາສານອະນຸພັນອາດຢູ່ໃນຮູບພັນທະຜູກພັນ (Obligation) ລະຫວ່າງຄູ່ສັນຍາທັງຝ່າຍຊ ື້ ແລະ ຝ່າຍຂາຍ ຫຼ ອາດເປັນຂ ໍ້ຕົກລົງທີີ່ໃຫ້ສິດທິ(Right) ແກ່ຄູ່ສັນຍາ ໃນການຊ ື້ ຫຼ ຂາຍສິນຄ້າອ້າງອິງ ຫຼ ຕົວປ່ຽນອ້າງອິງ ໃນເວລາໃດເວລາໜ ີ່ງໃນອະນາຄົດ ໂດຍມີການລະບຸຈໍານວນ ຫຼ ປະລິມານ ແລະ ຄຸນນະພາບຂອງສິນຄ້າອ້າງອິງ, ລາຄາຊ ື້ຂາຍ ແລະ ວິທີສົົ່ງມອບສິນຄ້າອ້າງອິງໄວ້ເປັນການລ່ວງ ໜ້າ, ສິນຄ້າອ້າງອິງທີີ່ລະບຸໃນຕາສານອະນຸພັນ ອາດເປັນສິນຊັບທາງການເງິນ ເຊັົ່ນ: ຫຸ້ນສາມັນ, ກຸ່ມຂອງຫຸ້ນ, ພັນທະບັດລັດຖະບານ; ຕົວປ່ຽນອ້າງອິງ ເຊັົ່ນ: ດັດສະນີລາຄາຫຸ້ນສໍາລັບໃນປະເທດ ຕົວຢ່າງ: SET, SET100 ແລະ SET50 ເປັນຕົື້ນ; ສິນຄ້າບ ລິໂພກ ເຊັົ່ນ: ສິນຄ້າ ແລະ ຜະລິດຕະພັນທາງການກະເສດ, ນໍໍ້າມັນດິບ, ສິນແຮ່; ແຕ່ສໍາລັບໃນບົດນີື້ຈະເວົື້າເຖິງການນໍາໃຊ້ທີີ່ກ່ຽວກັບຕາສານທ ນ ແລະ ຕາສານໜີື້ເທົົ່ານັື້ນ. 6.1 ຜົນຕອບແທນ ແລະ ການປະເມີນລາຄາຕາສານທ ນ ຕາສານທ ນແບ່ງອອກເປັນຫຸ້ນສາມັນ ແລະ ຫຸ້ນບຸລິມະສິດ ໂດຍທີີ່ຈະມີຄວາມແຕກຕ່າງກັນທີີ່ຫຸ້ນບຸລິມະສິດ ຈະມີລັກສະນະເປັນຫຸ້ນສາມັນເຄິີ່ງປະສົມໜີື້ສິນ ຄ ມີລັກສະນະເປັນເຄິີ່ງເຈົື້າຂອງເຄິີ່ງເຈົື້າໜີື້; ໃນຂະນະດຽວກັນທີີ່ ຫຸ້ນສາມັນຈະຢູ່ໃນລັກສະນະຜູ້ເປັນເຈົື້າຂອງເທົົ່ານັື້ນ. ໂດຍທົົ່ວໄປຜົນຕອບແທນຈາກຕາສານທ ນຈະຢູ່ໃນຮູບເງິນປັນຜົນ (Dividend) ແລະ ກໍາໄລຈາກສ່ວນຕ່າງ ລາຄາ (Capital Dain/Loss). ນອກຈາກນີື້, ຍັງມີຜົນປະໂຫຍດອ ີ່ນອີກທີີ່ຜູ້ຖ ຫຸ້ນໄດ້ຮັບ ເຊັົ່ນ: ການແຕກຫຸ້ນ, ສິດທິຂອງການຈອງຫຸ້ນອອກໃໝ່, ສິດທິໃນການອອກສຽງເພ ີ່ອຄວບຄຸມດູແລການບ ລິຫານເປັນຕົື້ນ; ເງິນປັນຜົນ ຄ ສ່ວນແບ່ງຂອງກໍາໄລທີີ່ບ ລິສັດຈ່າຍໃຫ້ກັບຜູ້ຖ ຫຸ້ນ ໂດຍທີີ່: ຫຸ້ນສາມັນ ຫຸ້ນບຸລິມະສິດ ອັດຕາເງິນປັນຜົນຈະປ່ຽນແປງໄປຕາມຜົນການດໍາເນີນ ງານຂອງບ ລິສັດ ອັດຕາເງິນປັນຜົນຈະຄົງທີີ່ ເງິນປັນຜົນຈະແຕກຕ່າງຈາກດອກເບ້ຍຈ່າຍ (ໃນກ ລະນີຂອງຕາສານໜີື້) ເພາະດອກເບ້ຍຈ່າຍເປັນສັນຍາການ ລົງທ ນທີີ່ລະບຸເທິງຕາສານໜີື້ສະບັບນັື້ນໆ, ຖ້າບ ໍ່ມີການຈ່າຍ ຜູ້ຖ ຕາສານໜີື້ສາມາດເຮັດຕາມກົດໝາຍເພ ີ່ອໃຫ້ມີ ການບັງຄັບຈ່າຍໄດ້, ແຕ່ສໍາລັບເງິນປັນຜົນບ ໍ່ມີກົດໝາຍບັງຄັບໃຫ້ບ ລິສັດຕ້ອງຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ເປັນພຽງແຕ່ມະຕິ ຂອງຄະນະກໍາມະການຂອງບ ລິສັດທີີ່ຈະຈ່າຍປັນຜົນເທົົ່ານັື້ນ. ສໍາລັບຂ ໍ້ມູນການຈ່າຍປັນຜົນຂອງຫຸ້ນສາມາດສ ບຄົື້ນໄດ້ຈາກ SETTRADE ເຊິີ່ງເປັນແຫຼ່ງລວມຂ ໍ້ມູນຂອງ ຫຸ້ນຈົດທະບຽນໃນຕະຫຼາດຫຼັກຊັບ. ລາຄາປະເມີນຈາກຕົວແບບຄິດຫຼຼຸດເງິນປັນຜົນ ລາຄາປະເມີນຈາກຕົວແບບຄິດຫຼຼຸດເງິນປັນຜົນ (Dividend Discount Pricing Model: DDP) ມີແນວ
ຄະນິດສາດການເງິນ 80 ຄິດມາຈາກການຄໍານວນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນສົດທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກຫຸ້ນ (ຮັບທ້າຍງວດ) ວິທີນີື້ເປັນວິທີທີີ່ນິຍົມໃຊ້ ກັນຫຼາຍເນ ີ່ອງຈາກມີການພິຈາລະນາມູນຄ່າຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຕາມເວລາ ເພ ີ່ອຄໍານວນຫາລາຄາຊ ື້ທີີ່ເໝາະສົມ ເພ ີ່ອ ທີີ່ຈະໄດ້ຜົນຕອບແທນຕາມທີີ່ຄາດວ່າຈະໄດ້ຮັບ. ກໍານົດໃຫ້ Dt ເປັນເງິນປັນຜົນທີີ່ໄດ້ຮັບຕ ໍ່ຫຸ້ນ ທ້າຍງວດທີີ່ t s i ເປັນອັດຕາຄິດຫຼຼຸດ ຫຼ ອັດຕາຜົນຕອບແທນທີີ່ຄາດຫວັງ n ເປັນຈໍານວນງວດທີີ່ນັກລົງທ ນຖ ຄອງຫຸ້ນ n p ເປັນລາຄາຕ ໍ່ຫຸ້ນທີີ່ຄາດວ່າຂາຍໄດ້ໃນທ້າຍງວດທີີ່ n ຈະໄດ້ມູນຄ່າປະຈຸບັນຈາກເງິນສົດທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກຫຸ້ນ (PV ) ຕ ໍ່ຫຸ້ນຄ : 1 1 (1 1 ) ( ) n n t n t n t n t n t t s s D p PV D v p v = = i i = + = + + + (6.1) ເມ ີ່ອ ( ) 1 1 s v i − = + ເປັນຕົວປະກອບສ່ວນຫຼຼຸດ. ນິຍາມ 6.1 ເອີື້ນ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຈາກເງິນສົດທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກຫຸ້ນຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຕາມສູດ (6.1) ວ່າ ລາຄາປະເມີນຕ ໍ່ຫຸ້ນ ( p) ຈາກຕົວແບບຄິດຫຼຼຸດເງິນປັນຜົນ. ກ ລະນີສະເພາະທີີ່ໜ້າສົນໃຈ 1) ຖ້າຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນຄົງທີີ່ D ຕ ໍ່ງວດຕ ໍ່ຫຸ້ນ ລາຄາປະເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ | s n n i n p Da p v = + (6.2) 2) ຖ້າຫຸ້ນນັື້ນບ ໍ່ມີຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ລາຄາປະເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ n n p p v = (6.3) 3) ຖ້ານັກລົງທ ນຖ ຄອງຫຸ້ນຕະຫຼອດໄປ ແລະ ຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ລາຄາປະເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຄໍາ ນວນໄດ້ຈາກ 1 t t t p D v = = (6.4) 4) ຖ້ານັກລົງທ ນຖ ຄອງຫຸ້ນຕະຫຼອດໄປ ແລະ ຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນຄົງທີີ່ D ຕ ໍ່ງວດຕ ໍ່ຫຸ້ນ ລາຄາປະ ເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນຄໍານວນໄດ້ຈາກ | s i s D p Da i = = (6.5) 5) ຖ້າຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ k ເງິນປັນຜົນທີີ່ໄດ້ຮັບທີີ່ງວດທີີ່ t ເທົົ່າກັບ ( ) 1 1 t D k − + ເມ ີ່ອ D ເປັນເງິນປັນຜົນຕ ໍ່ຫຸ້ນທີີ່ໄດ້ຮັບທ້າຍງວດທໍາອິດ ລາຄາປະເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ໂດຍຕົວແບບຄິດ ຫຼຼຸດ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t n n n t n t n n t n n n t t s s s D k p D u p D k v p v p v i i i k − − = = + − = + = + + = + + + − (6.6) ເມ ີ່ອ 1 1 s k u i + = + 6) ຖ້າຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ k ແລະ ນັກລົງທ ນຖ ຄອງຫຸ້ນຕະຫຼອດໄປ ໂດຍເງິນປັນຜົນທີີ່ໄດ້ຮັບທີີ່ງວດທີີ່ t ເທົົ່າກັບ ( ) 1 1 t D k − + ເມ ີ່ອ D ເປັນເງິນປັນຜົນຕ ໍ່ຫຸ້ນທີີ່ໄດ້ຮັບທ້າຍງວດທໍາ ອິດ ແລະ ອັດຕາ s k i ລາຄາປະເມີນ p ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຄໍານວນໄດ້ຈາກ ( ) 1 1 1 t t t s D p D k v i k − = = + = − (6.7) ຕົວຢ່າງ 6.1 ຈົົ່ງຄໍານວນຫາລາຄາຫຸ້ນບຸລິມະສິດຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍປັນຜົນ 0.8 ກີບ ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຈ່າຍທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກໆ 6 ເດ ອນ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 81 ແກ້: ພິຈາລະນາເປັນການຖ ຄອງຫຸ້ນຕະຫຼອດໄປ ແລະ ຫຸ້ນນັື້ນມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນຄົງທີີ່ 0.8 ກີບຕ ໍ່ງວດຕ ໍ່ຫຸ້ນ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 3% ຕ ໍ່ງວດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາປະເມີນ 0.8 2.67 0.03 s D p i = = = ກີບຕ ໍ່ຫຸ້ນ. ຕົວຢ່າງ 6.2 ຈົົ່ງຄໍານວນຫາລາຄາຫຸ້ນຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍປັນຜົນ 10 ກີບ ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ຕ ໍ່ປ ແລະ ຈ່າຍເພີີ່ມ ຂ ື້ນທຸກປ , ປ ລະ 5% ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ພິຈາລະນາເປັນການຖ ຄອງຫຸ້ນຕະຫຼອດໄປ ແລະ ມີການຈ່າຍເງິນປັນຜົນ ເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ 5% ຕ ໍ່ ປ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ . ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາປະເມີນ 10 1000 0.06 0.05 s D p i k = = = − − ກີບຕ ໍ່ຫຸ້ນ. ຕົວຢ່າງ 6.3 ຈົົ່ງຫາຈໍານວນເງິນປັນຜົນທ້າຍປ ທີີ່ 5 (ທາງທິດສະດີ) ຂອງຫຸ້ນສາມັນຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍ ປັນຜົນທ້າຍປ ຄົງທີີ່ໃນ 2 ປ ທໍາອິດ, ຫຼັງຈາກນັື້ນຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ 8% ຕ ໍ່ປ . ກໍານົດໃຫ້ລາຄາປະຈຸບັນ ຂອງຫຸ້ນຕົວນີື້ເທົົ່າກັບ 50 ກີບຕ ໍ່ໜ່ວຍ, ກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ . ແກ້: ສົມມຸດວ່າ: ຈ່າຍປັນຜົນຄົງທີີ່ ຕ ໍ່ປ ໃນ 2 ປ ທໍາອິດ, ຫຼັງຈາກນັື້ນຈ່າຍເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ 8% ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຂຽນເງິນສົດຂອງເງິນຜົນສະແດງດັົ່ງຕາຕະລາງ ລຸ່ມນີື້: ປ ທີີ່ 0 1 2 3 4 5 6 ເງິນປັນຜົນ − D D D(1 0.08 + ) ( ) 2 D 1 0.08 + ( ) 3 D 1 0.08 + ... ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາປະເມີນ ຈາກຕົວແບບຄິດຫຼຼຸດເປັນເງິນປັນຜົນ ຄ : ( ) ( )( ) 1 1 1 1 0.08 46.3636 1 0.1 0.1 0.08 1 0.1 t t t D D p Dv D v D − + = = + + = + = + − + ເນ ີ່ອງຈາກໂຈດກໍານົດໃນລາຄາປະຈຸບັນຂອງຫຸ້ນຕົວນີື້ເທົົ່າກັບ 50 ກີບຕ ໍ່ໜ່ວຍ. ສະນັື້ນ, ຈະໄດ້ 46.3636 50 1.0784 D D = = ກີບຕ ໍ່ຫຸ້ນ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈໍານວນເງິນປັນຜົນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ເທົົ່າກັບ ( ) 3 1.0784 1 0.08 1.3585 + = ກີບຕ ໍ່ຫຸ້ນ. 6.2 ຜົນຕອບແທນ ແລະ ການປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ ຜົນຕອບແທນຈາກຕາສານໜີື້ ໄດແກ່: 1) ດອກເບ້ຍ ເປັນລາຍໄດ້ທີີ່ຮັບຕາມທີີ່ໄດ້ຕົກລົງກັນໄວ້ໃນສັນຍາ 2) ສ່ວນຕ່າງລາຄາ ເປັນລາຍໄດ້ທີີ່ໄດ້ຈາກສ່ວນຕ່າງຂອງລາຄາຊ ື້ກັບລາຄາໄຖ່ຖອນ 3) ເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບຈາກການນໍາ ດອກເບ້ຍທີີ່ໄດ້ຮັບໄປລົງທ ນຕ ໍ່ (Reinvestment). ການປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ ອາດແບ່ງເປັນກ ລະນີ ໄດ້ດັົ່ງນີື້: 1) ລາຄາຕາສານໜີື້ ໃນວັນທີີ່ຈ່າຍຄູປອງ ພວກເຮົາສາມາດປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ໄດ້ຈາກການຄໍານວນມູນຄ່າເງິນສົດທີີ່ຜູ້ຖ ຕາສານໜີື້ຈະໄດ້ຮັບໃນ ອະນາຄົດຕະຫຼອດອາຍຸຂອງຕາສານ ເງິນສົດທີີ່ໄດ້ຮັບຈະຖ ກກໍານົດໂດຍອັດຕາຄູປອງ t r ທີີ່ຈ່າຍໃຫ້ໃນແຕ່ລະງວດ ໂດຍມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ (F) ແລະ ລາຄາໄຖ່ຖອນ (C) ດັົ່ງນັື້ນ, ມູນຄ່າປະຈຸບັນ (P) ຂອງຕາສານທີີ່ມີການຈ່າຍ ຄູປອງ t rF ທ້າຍງວດທີີ່ t ຂອງຕາສານອາຍຸ n ງວດ ຄ : 1 n t n t t P r Fv Cv = = + (6.8) ເມ ີ່ອ 1 1 v i = + ໂດຍທີີ່ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຄາດຫວັງ ຫຼ ອັດຕາດອກເບ້ຍຂອງຕາສານ. ໃນນີື້ ພິຈາລະນາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງ P ເປັນລາຄາປະເມີນຂອງຕາສານຕາມອັດຕາດອກເບ້ຍຄາດຫວັງ i ເຊິີ່ງຈະແຕກຕ່າງກັນໄປຕາມແຕ່ລະນັກລົງທ ນ ຫຼ ຜູ້ປະເມີນ. ຮັບ 1 rF 2 rF 3 rF n 1 r F− n r F C+ ຈ່າຍ P ຮູບທີ 6.1 ເງິນສົດຂອງຕາສານໜີື້
ຄະນິດສາດການເງິນ 82 ຈາກສົມຜົນ (6.8) ຖ້າຕາສານໜີື້ມີອັດຕາຄູປອງຄົງທີີ່ ຕ ໍ່ງວດ ຈະໄດ້: | 1 n t n n n i t P rF v Cv rFa Cv = = + = + (6.9) ນອກຈາກສູດການປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ໃນສົມຜົນ (6.9) ແລ້ວ ຍັງມີສົສູດການປະເມີນລາຄາຕາສານໜີື້ອ ີ່ນໆ ອີກ ເຊັົ່ນ: - ສູດພຣີມຽນ-ດິສເຄົື້າທ໌(Premium-Discount Formulas) ເຊິີ່ງໄດ້ຈາກການແທນ | 1 n n i v ia = − ລົງ ໃນສູດ (6.9) ເຮັດໃຫ້ໄດ້: P rFa C ia C rF iC a = + − = + − n i n i n i | | | (1 ) ( ) (6.10) - ສູດມູນຄ່າພ ື້ນຖານ (Basic Amount Formulas) ເຊິີ່ງໄດ້ຈາກການແທນ | 1 n n i v a i − = ແລະ rF G i = ລົງໃສ່ສູດ (6.9) ເຮັດໃຫ້ໄດ້: ( ) ( ) 1 1 n v n n n n P rF Cv G v Cv G C G v i − = + = − + = + − (6.11) - ສູດຂອງເມກແຮນ (Makeham’s Formulas) ເຊິີ່ງໄດ້ຈາກການແທນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງລາຄາໄຖ່ຖອນ n Cv K= ແລະ ແທນ rF g C = ລົງໃສ່ສູດ (6.9) ເຮັດໃຫ້ໄດ້: ( ) 1 1 n n v v g n P rF Cv gC K C K K i i i − − = + = + = − + (6.12) ສໍາລັບສູດຂອງເມກແຮນ ເອີື້ນ rF g C = ວ່າ: ອັດຕາຄູປອງດັດແປງ (Modified Coupon Rate) ເຊິີ່ງເປັນອັດຕາ ຄູປອງຕ ໍ່ມູນຄ່າໄຖ່ຖອນ 1 ໜ່ວຍ. ນິຍາມ 6.2 ກໍານົດໃຫ້ C ເປັນລາຄາໄຖ່ຖອນ ແລະ F ເປັນລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ສໍາລັບການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໜີື້ ຂອງນັກລົງທ ນ ເຊິີ່ງຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໃນລາຄາ P ຈະເວົື້າວ່າ: 1) ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ (Discount Price) ຖ້າ P C ໂດຍມີສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າກັບ C P− 2) ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໃນລາຄາໄຖ່ຖອນ (Discount Price) ຖ້າ P C= (ຖ້າ C F = ຈະເວົື້າວ່າ: ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໃນລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ (Par Price)) 3) ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານໃນລາຄາພຣີມຽນ (Premium Price) ຖ້າ P C ໂດຍມີສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າກັບ P C− ໂດຍປົກກະຕິສໍາລັບຕາສານທີີ່ບ ໍ່ມີຄູປອງ ນັກລົງທ ນຄວນຊ ື້ຕາສານໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ, ຖ້າສ່ວນຫຼຼຸດຫຼາຍຈະ ໄດ້ຜົນຕອບແທນສູງ ແລະ ສໍາລັບຕາສານທີີ່ບ ໍ່ມີຄູປອງນັກລົງທ ນສາມາດຊ ື້ໃນລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ ຫຼ ລາຄາພຣີມຽນ ໄດ້ ຖ້າການຈ່າຍຄູປອງນັື້ນໄດ້ຜົນຕອບແທນເທົົ່າກັບ ຫຼ ຫຼາຍກວ່າຜົນຕອບແທນຕາມທີີ່ເຮົາກໍານົດໄວ້. ທິດສະດີ 6.1 ກໍານົດໃຫ້ rF g C = ເປັນອັດຕາຄູປອງດັດແປງ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຂອງຕາສານຈະໄດ້: 1) g i ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ. 2) g i = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້. 3) g i ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາພຣີມຽນ. ພິສູດ: ພິສູດພຽງຂ ໍ້ 1) ທີີ່ເຫຼ ອຂ ຝາກໄວ້ເປັນແບບເຝ ກຫັດ () ສົມມຸດວ່າ: g i ຈະໄດ້ 1 g i ກໍານົດໃຫ້ n K Cv = ຈາກສູດຂອງເມກແຮນໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) g P C K K C K K C i = − + − + = ນັື້ນແມ່ນ: ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ.
ຄະນິດສາດການເງິນ 83 () ສົມມຸດວ່າ: ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ ຈະໄດ້: ( ) g C P C K K i = − + ນັື້ນຄ ( ) g C K C K i − = − ເພາະວ່າ (1 0 ) n C K C v − = − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 g i ຜົນທີີ່ຕາມມາຄ g i ທິດສະດີ 6.2 ກໍານົດໃຫ້ r ເປັນອັດຕາຄູປອງ ແລະ i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍຂອງຕາສານ ຖ້າ F C= ແລ້ວຈະ ໄດ້: 1) r i ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ. 2) r i = ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້. 3) r i ກ ໍ່ຕ ໍ່ເມ ີ່ອ ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາພຣີມຽນ. ພິສູດ: ພິສູດພຽງຂ ໍ້ 1) ເທົົ່ານັື້ນ ຂ ໍ້2) ແລະ 3) ສາມາດພິສູດໄດ້ໃນທໍານອງດຽວກັນ ຂ ຝາກໄວ້ເປັນແບບເຝ ກຫັດ () ສົມມຸດວ່າ: r i ຈະໄດ້ 1 r i ກໍານົດໃຫ້ rF rC G i i = = ຈາກສູດມູນຄ່າພ ື້ນຖານ ( ) ( ) ( )(1 ) n n n P G C G v P C G C G v C G C v = + − − = + − − = − − ເພາະວ່າ 0 rC G C C i − = − ແລະ 1 0 n − v ດັົ່ງນັື້ນ, P C− 0 ນັື້ນຄ P C () ສົມມຸດວ່າ: ຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານ ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ( )( ) n n n C P G C G v C G C G v C G v = + − − − − − − ເພາະວ່າ: 1 0 n − v ດັົ່ງນັື້ນ, C G− 0 ຜົນທີີ່ຕາມມາ ຄ 1 0 r r C C C i i − = − ນັື້ນຄ 1 r i ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ໄດ້ວ່າ: r i ກ ລະນີສະເພາະທີີ່ໜ້າສົນໃຈ 1) ສໍາລັບຕາສານໜີື້ທີີ່ບ ໍ່ມີຄູປອງອາຍຸ n ປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ (C) ເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ (F) ລາຄາປະເມີນຂອງຕາສານ (P) ຈະເທົົ່າກັບ n P Fv = (6.13) 2) ສໍາລັບຕາສານໜີື້ ທີີ່ມີການຈ່າຍຄູປອງອັດຕາ r ຕ ໍ່ປ , ອາຍຸ n ປ , ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ (C) ເທົົ່າກັບ ລາຄາ ທີີ່ຂຽນໄວ້ (F) ລາຄາປະເມີນຂອງຕາສານ (P) ຈະເທົົ່າກັບ | n P rFa Fv = + n i (6.14) ຕົວຢ່າງ 6.4 ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້10 ລ້ານກີບ ອາຍຸ 10 ປ ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ 8% ຕ ໍ່ປ ; ສົມມຸດວ່າ: ລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້. ແກ້: ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ ຄ : ( ) ( ) 10|0.08 10 | 0.1 10 10 1 0.08 n P rFa Fv a n i − = + = + + ( ) ( ) ( ) 10 1 1 0.08 10 0.1 10 10 1 0.08 11.43202 0.08 − − − + = + + = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ 11.43202 ລ້ານກີບ ຕົວຢ່າງ 6.5 ພັນທະບັດມີຄູປອງສະບັບໜ ີ່ງ ອາຍຸ 10 ປ ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ ມີອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບ 627.41237 ລ້ານກີບ ເມ ີ່ອຄໍານວນ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາພັນທະບັດສະບັບນີື້ ໃນວັນທີີ່ອອກພັນທະບັດ. ແກ້: ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ ຄ : ( ) 10|0.06 | 0.1 1000 7627.4123 n P rFa Fv a = + = + n i
ຄະນິດສາດການເງິນ 84 ( ) ( ) 10 1 1 0.06 0.1 1000 1363.42108 6 627 4 0. 2 0 . 1 37 − − + = + = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ 1363.42108 ລ້ານກີບ 2) ລາຄາຕາສານໜີື້ ກ ລະນີທີີ່ມີການຈ່າຍຄູປອງຫຼາຍຄັື້ງຕ ໍ່ງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ ສົມມຸດວ່າ: ຕາສານໜີື້ມີການຈ່າຍຄູປອງ m ຄັື້ງໃນ 1 ງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ i ຕ ໍ່ງວດ ເຊິີ່ງມີການຄິດດອກເບ້ຍ n ງວດ, ໃນກ ລະນີນີື້ພວກເຮົາພິຈາລະນາການຈ່າຍຄູປອງເປັນການຈ່າຍຄູປອງ ຄັື້ງລະ rF m ກີບ ຈ່າຍຈໍານວນທັງໝົດ mn ຄັື້ງ ໂດຍທີີ່ໃນແຕ່ລະຄັື້ງ ຫຼ ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງ ມີການຄິດດອກ ເບ້ຍ (m) i m ເມ ີ່ອ (m) i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍພຽງໃນນາມທຽບເທົົ່າກັບອັດຕາດອກເບ້ຍ i ນັື້ນຄ ( ) 1 1 m i i m + = + ຫຼ ( ) ( 1 1) m m i m i = + − ດັົ່ງນັື້ນ, ເງິນສົດຂອງການຈ່າຍຄູປອງສາມາດສະແດງດ້ວຍຮູບ ດັົ່ງນີື້: ຮັບ rF m rF m rF m rF m rF m rF m rF C m + ຈ່າຍ P 0 m 1 m 2 m m m (ງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ) 0 m 1 m 2 m m m 0 m 1 m 2 m m m ຮູບທີ 6.2 ເງິນສົດຂອງຕາສານໜີື້ທີີ່ມີການຈ່າຍຄູປອງ m ຄັື້ງໃນ 1 ງວດ ຂອງການຄິດດອກເບ້ຍດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກຮູບເງິນສົດຈະໄດ້ລາຄາຂອງຕາສານໜີື້ ( ) | m n i mn m rF P a Cv m = + (6.15) ເມ ີ່ອ ( ) 1 v i 1 − = + ຕົວຢ່າງ 6.6 ພັນທະບັດມີຄູປອງສະບັບໜ ີ່ງ ອາຍຸ 10 ປ ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ ມີອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກໆ 3 ເດ ອນ ແລະ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ຖ້າລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ ຂຽນໄວ້ ແລ້ວລາຄາພັນທະບັດສະບັບນີື້ ໃນວັນທີີ່ອອກພັນທະບັດ ເທົົ່າກັບເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດເປັນການຈ່າຍຄູປອງ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ຈ່າຍຄັື້ງລະ 0.1 1000 ( ) 25 4 4 rF = = ລ້ານກີບ ໂດຍທີີ່ອັດຕາດອກເບ້ຍຕ ໍ່ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງ (4) 4 1 0.06 1 0.0147 4 i = + − = ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ ຄ : ( ) ( ) 10 40|0.0147 | m 25 1000 1 0.06 n i mn m rF P a Cv a m − = + = + + ( ) ( ) 40 1 1 0.0147 10 25 1000 1 0.06 1310.40266 0.0147 − − − + = + + = ລ້ານກີບ 3) ລາຄາຕາສານໜີື້ ກ ລະນີທີີ່ມີການຄິດດອກເບ້ຍຫຼາຍຄັື້ງຕ ໍ່ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງ ສໍາລັບກ ລະນີຕາສານໜີື້ມີການຄິດດອກເບ້ຍ m ຄັື້ງໃນ 1 ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງໂດຍອັດຕາດອກເບ້ຍ ສະສົມ i ຕ ໍ່ງວດ; ສົມມຸດວ່າ: ຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງເທົົ່າກັບ n ງວດ, ພວກເຮົາສາມາດພິຈາລະນາ
ຄະນິດສາດການເງິນ 85 ເງິນສົດເປັນການຈ່າຍຄູປອງເປັນການຈ່າຍຄູປອງຈໍານວນ mi| rF s ກີບ ຕ ໍ່ງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ ເຊິີ່ງມີການຄິດ ດອກເບ້ຍທັງໝົດ mn ຄັື້ງ ດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ i ຕ ໍ່ຄັື້ງ ເງິນສົດຂອງການຈ່າຍຄູປອງສະແດງດ້ວຍຮູບ ດັົ່ງນີື້: ຮັບ mi| rF s mi| rF s mi| rF s mi| rF s mi| rF s mi| rF s mi| rF C s + ຈ່າຍ P 0 m 1 m 2 m m m (ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງ) 0 m 1 m 2 m m m 0 m 1 m 2 m m m ຮູບທີ 6.3 ເງິນສົດຂອງຕາສານໜີື້ທີີ່ມີການຄິດດອກເບ້ຍ m ຄັື້ງໃນ 1 ງວດ ຂອງການຈ່າຍຄູປອງ ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກຮູບເງິນສົດຈະໄດ້ລາຄາຂອງຕາສານໜີື້ | | mn mn i m i rF P a Cv s = + (6.16) ເມ ີ່ອ ( ) 1 v i 1 − = + ຕົວຢ່າງ 6.7 ພັນທະບັດມີຄູປອງສະບັບໜ ີ່ງ ອາຍຸ 10 ປ ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ ມີອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ແລະ ຄໍານວນອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກໆ 3 ເດ ອນ. ຖ້າລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າ ກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ ແລ້ວລາຄາພັນທະບັດສະບັບນີື້ ໃນວັນທີີ່ອອກພັນທະບັດ ເທົົ່າກັບເທົົ່າໃດ? ແກ້: ຈາກໂຈດເປັນການຄິດດອກເບ້ຍສະສົມ 4 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ ອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.06 0.015 4 = ຕ ໍ່ຄັື້ງ ຈ່າຍຄູປອງປ ລະ rF = = 0.1 1000 100 ( ) ລ້ານກີບ ຫຼ ຈ່າຍຄັື້ງລະ ( ) 4 | 4|0.015 100 24.44448 1 0.015 1 0.015 m i rF rF s s = = = + − ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາພັນທະບັດ ໃນວັນອອກພັນທະບັດ ຄ : ( ) ( ) 40 | 40|0.015 | 24.44448 1000 1 0.015 mn mn i m i rF P a Cv a s − = + = + + ( ) ( ) 40 1 1 0.015 40 24.44448 1000 1 0.015 1282.53960 0.015 − − − + = + + = ລ້ານກີບ 4) ມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານໜີື້ ການຊ ື້-ຂາຍຕາສານໜີື້ທຽບໄດ້ກັບການກູ້ຢືມລະຫວ່າງຜູ້ຕ້ອງການເງິນອອມກັບຜູ້ມີເງິນອອມ. ດັົ່ງນັື້ນ, ພວກເຮົາສາມາດຄໍານວນຫາມູນຄ່າຄົງເຫຼ ອ ຫຼ ມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານໜີື້ ໃນເວລາໃດເວລາໜ ີ່ງໄດ້ຄ ກັນ. ໃຫ້ Bk ແທນມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານ ຫຼ ລາຄາຕາສານ ໃນທ້າຍງວດເວລາທີີ່ k ຫຼັງຈາກມີການຈ່າຍຄູປອງ ຄັື້ງທີີ່ k ໄປແລ້ວ ໂດຍເງິນສົດຂອງຕາສານສະແດງ ດັົ່ງຮູບ: ຮັບ 1 rF 2 rF 3 rF k rF n 1 r F− n rF ຈ່າຍ P ຮູບທີ 6.4 ເງິນສົດຂອງຕາສານໜີື້ ຈາກຮູບ ຈະໄດ້: 1 1 n n k i k n k i n k k i i k i k i B r Fv Cv r Fv Cv − − − − + = + = = + = + (6.17) ໃນງວດເວລາທີີ່ k −1 ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງຈໍານວນ k 1 r F− ກີບ ແລ້ວມູນຄ່າຄົງເຫຼ ອຂອງຕາສານຈະເທົົ່າກັບ Bk−1 ສະນັື້ນ ໃນງວດເວລາທີີ່ k ມູນຄ່າຂອງຕາສານທັງໝົດກ່ອນຫັກຄູປອງຈໍານວນ k rF ກີບ ເທົົ່າກັບ B r F k k + ເຊິີ່ງຈະເທົົ່າກັບມູນຄ່າສະສົມຂອງເງິນ Bk−1 ຕັື້ງແຕ່ງວດເວລາທີີ່ k −1 ຈົນຮອດງວດເວລາທີີ່ k ດັົ່ງນັື້ນ,
ຄະນິດສາດການເງິນ 86 ( ) 1 1 B r F i B k k k + = + − ນັື້ນແມ່ນຈະໄດ້ການພົວພັນວຽນເກີດຂອງມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານ ໃນສູດ ( ) 1 1 B i B r F k k k = + − − ສໍາລັບ k n =1, ..., (6.18) ເມ ີ່ອ 0 1 n i n i i B P r Fv Cv = = = + ກ ລະນີສະເພາະທີີ່ໜ້າສົນໃຈ ຖ້າຈ່າຍຄູປອງໃນອັດຕາຄົງທີີ່ k r r = ຈະໄດ້: | 1 n k i n k n k k n k i i B rF v Cv rFa Cv − − − − = = + = + (6.19) ແລະ ( ) 1 1 B i B rF k k = + − − ສໍາລັບ k n =1, ..., (6.20) ເມ ີ່ອ 0 | 1 n k i n k n k n k i i B P rF v Cv rFa Cv − − − − = = = + = + ຈາກສູດ (6.20) ຈະໄດ້: B C n = ໝາຍເຫດ: ພວກເຮົາສາມາດພິຈາລະນາມູນຄ່າຕາມບັນຊີ Bk ທີີ່ຄໍານວນຈາກເງິນສົດ ເປັນລາຕາຊ ື້ (ຂາຍ) ຂອງ ຕາສານຫຼັງຈາກການຈ່າຍຄູປອງ ທີີ່ເວລາ t k = ເຊິີ່ງຖ້າຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານທີີ່ລາຄາ B C n ຈະເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ ໂດຍມີສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າກັບ C B− n ແຕ່ຖ້າຊ ື້ (ຂາຍ) ຕາສານທີີ່ລາຄາ B C n ແລ້ວ ຈະເປັນ ການຊ ື້ (ຂາຍ) ໃນລາຄາພຣີມຽນ ໂດຍມມີຄ່າພຣີມຽນເທົົ່າກັບ B C n − ສໍາລັບຕາສານທີີ່ມີການຈ່າຍຄູປອງ rF ກີບ ໃນງວດເວລາທີີ່ k ໃດໆ ເງິນຄູປອງຈໍານວນ rF ກີບ ຈະຖ ກ ພິຈາລະນາເປັນ 2 ສ່ວນຄ : ສ່ວນທໍາອິດຈະຖ ກພິຈາລະນາເປັນຜົນຕອບແທນ ຫຼ ດອກເບ້ຍທີີ່ນັກລົງທ ນໄດ້ຮັບ ຈໍາ ນວນ k k 1 I iB = − ກີບ ໃນອັດຕາດອກເບ້ຍ i ຕ ໍ່ງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງ; ສ່ວນທີີ່ເຫຼ ອ ຈໍານວນ A rF I k k = − ກີບ ຈະເອີື້ນວ່າ: ເງິນປັບຍອດເງິນຕົື້ນທ ນ ເນ ີ່ອງຈາກ k k 1 I iB = − ແລະ ( ) 1 1 B i B rF k k = + − − ດັົ່ງນັື້ນ ຈະໄດ້: A rF iB i B B iB B B k k k k k k k = − = + − − = − − − − − 1 1 1 1 ((1 ) ) (6.21) ນັື້ນໝາຍຄວາມວ່າ: ເງິນປັບຍອດເງິນຕົື້ນທ ນ ຄ ເງິນສ່ວນຕ່າງຂອງມູນຄ່າຕາມບັນຊີ ໃນງວດເວລາທີີ່ k −1 ແລະ ງວດເວລາທີີ່ k ເຄ ີ່ອງໝາຍຂອງ Ak ຈະຂ ື້ນກັບການປ່ຽນແປງຂອງຂ ໍ້ມູນຄ່າຕາມບັນຊີ, ເວົື້າຄ : ຖ້າມູນຄ່າຕາມ ບັນຊີຂອງຕາສານມີມູນຄ່າເພີີ່ມຂ ື້ນ (B B k k −1 ) ເຄ ີ່ອງໝາຍຂອງ Ak ຈະເປັນເຄ ີ່ອງໝາຍລົບ ຈະເອີື້ນວ່າ: ການ ສະສົມຂອງສ່ວນຫຼຼຸດ (Accumulation of Discount) ແລະ ຈໍານວນສະສົມສ່ວນຫຼຼຸດຈະເທົົ່າກັບ Ak ກີບ, ແຕ່ ຖ້າມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານມີມູນຄ່າຫຼຼຸດລົງ (B B k k −1 ) ເຄ ີ່ອງໝາຍຂອງ Ak ຈະເປັນເຄ ີ່ອງໝາຍບວກ ຈະ ເອີື້ນວ່າ: ການຕັດຈ່າຍພຣີມຽນ (Amortization of Premium) ແລະ ຈໍານວນເງິນຕັດຈ່າຍພຣີມຽນ ຈະເທົົ່າກັບ Ak ກີບ. ຈາກສູດທີີ່ (6.21) ຖ້າຕ້ອງການຫາສູດຮູບປິດຂອງ Ak ໂດຍແທນ | n k k n k i B rFa Cv − − = + ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1| | 1| | 1 n k n k n k k n k i n k i n k i n k i A rFa Cv rFa Cv rF a a Cv v − − − − − − − − − − − = + − + = − + − (6.22) ທິດສະດີ 6.3 ກໍານົດໃຫ້ P ເປັນລາຄາຕາສານ ໃນວັນອອກຕາສານ ແລະ C ເປັນລາຄາໄຖ່ຖອນ ຈະໄດ້ວ່າ: 1) 1 n k k A P C = = − 2) ( ) 1 n k k I nrF P C = = − − 3) ( ( ) ( )( )) 1 | 1 1 1 n k n i k B i rF n iC rF a − = = + + − + ພິສູດ:
ຄະນິດສາດການເງິນ 87 1) ເພາະວ່າ: A B B k k k = − −1 ດັົ່ງນັື້ນ, ( 1 0 ) 1 1 n n k k k n k k A B B B B P C − = = = − = − = − 2) ເພາະວ່າ: k k I rF A = − ດັົ່ງນັື້ນ, ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n n k k k k k k k I rF A rF A nrF P C = = = = = − = − = − − 3) ຈາກສູດ (6.21) ຈະໄດ້: | n k k n k i B rFa Cv − − = + ດັົ່ງນັື້ນ, ( | ) 0 0 n n n k k n k i k k B rFa Cv − − = = = + 1 | 0 0 0 0 0 0 1 1 n n n n n n n k n k n k n k n k n k i k k k k k k v rF a C v rF C v i rF n v C v i − − − − − − − = = = = = = − = + = + = + − + ( ) ( ( ) ( )( )) 1 1 | 0 0 1 1 1 n n n k n k n i k k i rF n rF v C v i rF n iC rF a − − − − = = = + − + = + + − + ຕົວຢ່າງ 6.8 ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງອາຍຸ 10 ປ ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້10 ລ້ານກີບ ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກ ທ້າຍປ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ 10.5 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຄໍານວນຫາມູນ ຄ່າຕາມບັນຊີຂອງພັນທະບັດສະບັບນີື້ຫຼັງຈ່າຍຄູປອງໄປແລ້ວ 6 ງວດ. ແກ້: ໃນນີື້ ອາຍຸພັນທະບັດ n =10 , ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ F =10 , ອັດຕາຄູປອງ r = 0.1, ອັດຕາດອກເບ້ຍ i = 0.06 , ລາຄາໄຖ່ຖອນ C =10.5 ດັົ່ງນັື້ນ ມູນຄ່າຕາບັນຊີຫຼັງຈ່າຍຄູປອງໄປແລ້ວ 6 ງວດ ເທົົ່າກັບ ( )( ) ( )( ) 4 6 | 4|0.06 0.1 10 10.5 1 0.06 n k B rFa Cv B a n k i k − − − = + = = + + ( )( ) ( ) ( )( ) 4 1 1 0.06 4 0.1 10 10.5 1 0.06 11.78209 0.06 − − − + = + + = ຕົວຢ່າງ 6.9 ນັກລົງທ ນທ່ານໜ ີ່ງສາມາດຊ ື້ຕາສານໜີື້ຊະນິດມີຄູປອງໄດ້ໃນລາຄາ 8000 ກີບ ຫຼັງຈາກນັື້ນ 2 ປ ມູນ ຄ່າຕາມບັນຊີ ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງປ ທີີ່ 2 ແລ້ວ ເທົົ່າກັບ 8500 ກີບ, ຖ້າຕາສານໜີື້ຊະນິດນີື້ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 10000 ກີບ ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍຄູປອງເປັນລາຍປ . ຈົົ່ງຄໍານວນຫາອັດຕາດອກເບ້ຍຂອງຕາສານໜີື້ນີື້. ແກ້: ຈາກໂຈດສາມາດແຕ້ມຮູບເງິນສົດຮັບໄດ້ດັື້ງນີື້ ໂດຍພິຈາລະນາມູນຄ່າຕາມບັນຊີ ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງປ ທີີ່ 2 ແລ້ວເປັນລາຄາໄຖ່ຖອນ ແລະ ໄດ້ຮັບຄູປອງປ ລະ (10% 10000 1000 )( ) = ກີບ ໄດ້ຮັບ 1000 1000 8500 + ຈ່າຍ 8000 ດັົ່ງນັື້ນ, ຈາກຮູບຈະໄດ້: ມູນຄ່າຂອງເງິນທີີ່ຈ່າຍ = ມູນຄ່າຂອງເງິນທີີ່ໄດ້ຮັບ 2 2 8000 1000 1000 8500 = + + v v v ເມ ີ່ອ ( ) 1 v i 1 − = + , i ເປັນອັດຕາດອກເບ້ຍສະສົມຕ ໍ່ປ ( ) 2 1 19 2 16 0 1 305 0.8665 19 v v v + − = = − + ຈາກ ( ) 1 v i 1 − = + ຈະໄດ້: 1 i v 1 0.15540 15.40% − = − ຕົວຢ່າງ 6.10 ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງອາຍຸ 5 ປ , ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້10 ລ້ານກີບ, ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກ ເຄິີ່ງປ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ 10.5 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງ ມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງພັນທະບັດສະບັບນີື້ ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງງວດທີີ່ k ໃດໆ. ແກ້: ໃນນີື້ອາຍຸພັນທະບັດ 5 ປ ພິຈາລະນາເປັນ n =10 ງວດຕາມການຈ່າຍຄູປອງ, ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ F =10 ອັດຕາຄູປອງ r = 0.05 ຕ ໍ່ງວດ, ອັດຕາດອກເບ້ຍ ( ) ( ) 2 1 1 0.06 1 0.0296 2 2 i i = = + − = ຕ ໍ່ງວດ, ລາຄາໄຖ່ຖອນ C =10.5 , ດັົ່ງນັື້ນ ມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງພັນທະບັດສະບັບນີື້ ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງງວດທີີ່ k ເທົົ່າ ກັບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 88 ( ) 1 1 1 B i B rF B A k k k k = + − = − − − ສໍາລັບ k =1,2,...,10 ເມ ີ່ອ ( ) ( ) 10 0 10|0.0296 B a 0.05 10 10.5 1 0.0296 − = + + ( ) ( ) ( ) 10 1 1 0.0296 10 0.05 10 10.5 1 0.0296 12.11721 0.0296 − − − + = + + = ດັົ່ງນັື້ນ, ຈະໄດ້ ( ) 1 1.0296 500 B B k k = − − ສໍາລັບ k =1,2,...,10 ເມ ີ່ອ 0 B =12.11721 ເຊິີ່ງສະແດງໄດ້ດັົ່ງ ຕາຕະລາງລຸ່ມນີື້: ງວດທີີ່ k ຄູປອງ rF ດອກເບ້ຍ k k 1 I iB = − ເງິນປັບຍອດເງິນຕົື້ນທ ນ (ເງິນຕັດ ຕ່າຍພຣີມຽນ) A rF I k k = − ມູນຄ່າຕາມບັນຊີ B B A k k k = − −1 0 12.11721 1 0.5 0.35867 0.14133 11.97588 2 0.5 0.35449 0.14551 11.83037 3 0.5 0.35018 0.14982 11.68055 4 0.5 0.34574 0.15426 11.52629 5 0.5 0.34118 0.15882 11.36747 6 0.5 0.33648 0.16352 11.20395 7 0.5 0.33164 0.16836 11.03559 8 0.5 0.32665 0.17335 10.86224 9 0.5 0.32152 0.17848 10.68376 10 0.5 0.31624 0.18376 10.5 ຜົນບວກ 5 3.38279 1.61721 5) ລາຄາຕາສານໜີື້ກ ລະນີວັນທີີ່ຄໍານວນລາຄາບ ໍ່ກົງກັບວັນທີີ່ຈ່າຍຄູປອງ ເພາະວ່າການຊ ື້ຂາຍຕາສານເກີດຂ ື້ນໄດ້ທຸກວັນ ສະນັື້ນ, ວັນທີີ່ຄໍານວນລາຄາອາດຈະບ ໍ່ກົງກັບວັນທີີ່ຈ່າຍຄູ ປອງໄດ້; ອີກປະການໜ ີ່ງທີີ່ຕ້ອງຄໍານ ີ່ງຄ ສິດທິໃນການຮັບດອກເບ້ຍກ້ອນທໍາອິດຫຼັງຈາກທີີ່ຜູ້ຊ ື້ໄດ້ຄອບຄອງຕາສານ ໜີື້ ຈະຕ້ອງຄໍານ ີ່ງສະເໝີວ່າ: ຄູປອງກ້ອນທໍາອິດນັື້ນຜູ້ຊ ື້ຕາສານຕ ໍ່ບ ໍ່ໄດ້ມີສິດທິໄດ້ຮັບຄົນດຽວເທົົ່ານັື້ນ, ນັື້ນໝາຍ ຄວາມວ່າ: ຜູ້ຖ ຄອງກ່ອນໜ້ານີື້ ຫຼ ຜູ້ຂາຍຕາສານຕ້ອງມີສິດທິບາງສ່ວນໃນຄູປອງກ້ອນທໍາອິດດ້ວຍ. ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາ ລັບໃນກ ລະນີທີີ່ຕ້ອງການຫາມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານ ໃນເວລາທີີ່ k + ເມ ີ່ອ 0 1 ເຊິີ່ງເປັນການຫາ ມູນຄ່າຕາມບັນຊີໃນເວລາທີີ່ບ ໍ່ກົງງວດທີີ່ເປັນຈໍານວນຖ້ວນ; ສົມມຸດໃຫ້ Bk+ ເປັນມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງຕາສານ ໃນເວລາທີີ່ k + ຈະໄດ້ມູນຄ່າສະສົມຂອງເງິນ Bk+ ໃນງວດເວລາທີີ່ k +1 ຄ : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 B i B r F i B r F r F i B k k k k k k k − + + + + + + = + = + − + = + ສະນັື້ນ, ( ) 1 1 n k i n k k k i k i B i B r Fv Cv − − − − + + = = + = + (6.23) ດັົ່ງນັື້ນ, ສໍາລັບໃນກ ລະນີທີີ່ຈ່າຍຄູປອງໃນອັດຕາຄົງທີີ່ k r r = ຈະໄດ້ວ່າ: ( | ) 1 n k i n k n k k n k i i B v rF v Cv v rFa Cv − − − − − + − = = + = + (6.24) ພິຈາລະນາສະຖານະການຕ ໍ່ໄປນີື້: ສົມມຸດນັກລົງທ ນໜ ີ່ງ ຂາຍຕາສານໜີື້ຕ ໍ່ໃຫ້ນັກລົງທ ນສອງ ເຊິີ່ງມີອາຍຸຄົງເຫຼ ອ n + ງວດ ເມ ີ່ອ n ເປັນຈໍານວນຖ້ວນງວດ ແລະ 0 1 ເປັນເສດງວດ ໂດຍຄູປອງໃນອັດຕາຄົງທີີ່ k r r = rF rF rF rF rF C+ ຊ ື້ ຮູບທີ 6.5 ເງິນສົດຮັບຂອງຕາສານໜີື້ກ ລະນີວັນທີີ່ຄໍານວນລາຄາບ ໍ່ກົງກັບວັນທີີ່ຈ່າຍຄູປອງ
ຄະນິດສາດການເງິນ 89 ສົມມຸດວ່າ: ສິດທິໃນການຮັບເງິນຄູປອງກ້ອນທໍາອິດທີີ່ເວລາ 0 ຂອງນັກລົງທ ນໜ ີ່ງ ແລະ ນັກລົງທ ນສອງຄິດອັດຕາ ສ່ວນຕາມໄລຍະໃນການຖ ຕາສານ ຈະໄດ້ວ່າ: ສິດທິໃນການຮັບເງິນຄູປອງກ້ອນທໍາອິດທີີ່ເວລາ 0 ຂອງນັກລົງທ ນ ໜ ີ່ງ ເທົົ່າກັບ 1− , ສ່ວນສິດທິຂອງນັກລົງທ ນສອງ ຈະເທົົ່າກັບ . ດັື້ງນັື້ນ, ຈໍານວນຄູປອງກ້ອນທໍາອິດທີີ່ນັກ ລົງທ ນໜ ີ່ງ ແລະ ນັກລົງທ ນສອງໄດ້ຮັບຈະເທົົ່າກັບ (1− )rF ແລະ rF ຕາມລໍາດັບ. ພວກເຮົາເອີື້ນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນສົດຮັບຂອງນັກລົງທ ນສອງ ໃນວັນທີີ່ຊ ື້ ກ່ອນຫັກສິດທິຂອງນັກລົງ ທ ນໜ ີ່ງວ່າ: ລາຄາກຣອສ (Gross Price) ຫຼ ລາຄາບວກຄູປອງຄ້າງຮັບ (Price Plus Accrued) ຂຽນແທນດ້ວຍ ສັນຍາລັກ PGross ເຊິີ່ງຈາກຮູບເງິນສົດ ຈະໄດ້: ( | ) 1 n t n n Gross n i t P rFv rF v Cv v rF rFa Cv + + = = + + = + + (6.25) ພວກເຮົາເອີື້ນມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນສົດຮັບຂອງນັກລົງທ ນສອງ ໃນວັນທີີ່ຊ ື້ ຫຼັງຫັກສິດທິຂອງນັກລົງທ ນ ໜ ີ່ງວ່າ: ລາຄາຄລີນ (Clean Price) ຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ PClean ເຊິີ່ງຈາກຮູບເງິນສົດ ຈະໄດ້: ( | ) 1 n t n n Clean n i t P rFv rF v Cv v rF rFa Cv + + = = + + = + + (6.26) ແລະ ຜົນລົບລະຫວ່າງ ລາຄາກຣອສ ກັບ ລາຄາຄລີນ ເອີື້ນວ່າ: ຄູປອງຄ້າງຮັບ ຫຼ ດອກເບ້ຍຄ້າງຮັບ (Accrued Interest) ຈະຂຽນແທນດ້ວຍສັນຍາລັກ Ai I ເຊິີ່ງ I P P rFv Ai Gross Clean (1 ) = − = − (6.27) ໃນນີື້ລາຄາ PClean ຈະເປັນລາຄາຂອງຕາສານທີີ່ນັກລົງທ ນສອງຊ ື້ ໂດຍຖ້າລາຄາຊ ື້ (ຂາຍ) P C Clean ກ ໍ່ຈະໄດ້ວ່າ: ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ໃນລາຄາສ່ວນຫຼຼຸດ ໂດຍມີສ່ວນຫຼຼຸດເທົົ່າກັບ C PClean − ແລະ ຖ້າ P C Clean ກ ໍ່ຈະໄດ້ວ່າ: ເປັນການຊ ື້ (ຂາຍ) ໃນລາຄາພຣີມຽນ ໂດຍມີພຣີມຽນເທົົ່າກັບ P C Clean − ຕົວຢ່າງ 6.11 ທ. ແຄນ ຊ ື້ຫຸ້ນກູ້ ອອກໃໝ່ໃນວັນທີ 1 ມັງກອນ 2018 ຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 100 ລ້ານກີບ ອາຍຸ 5 ປ ໃນສັນຍາລະບຸຈ່າຍຄູປອງອັດຕາ 10% ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຈະຈ່າຍທຸກເຄິີ່ງປ ຄ ວັນທີ30 ມິຖຼຸນາ ແລະ 31 ທັນວາ ຂອງທຸກປ ; ຕ ໍ່ມາໄດ້ຂາຍຫຸ້ນກູ້ນີື້ໃຫ້ກັບ ທ. ຫຼ້າ ໃນວັນທີ 30 ເມສາ 2020 ໂດຍກໍານົດອັດຕາ ດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ . ຈົົ່ງຄໍານວນຫາລາຄາຊ ື້ຂອງ ທ. ຫຼ້າ ແລະ ດອກເບ້ຍຄ້າງຮັບຂອງ ທ. ແຄນ, ຖ້າວ່າລາຄາໄຖ່ຖອນ ເທົົ່າກັບ ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້. ແກ້: ຈາກໂຈດເປັນການຈ່າຍຄູປອງ 1 ຄັື້ງຕ ໍ່ 1 ງວດຂອງການຄິດດອກເບ້ຍ ຈໍານວນທັງໝົດ 10 ງວດ (ຄົບກໍາ ນົດໄຖ່ຖອນ 31 ທັນວາ 2022) ໂດຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 0.08 0.04 2 = ຕ ໍ່ງວດ ແລະ ຈ່າຍຄູປອງດ້ວຍອັດຕາ 0.1 0.05 2 = ຕ ໍ່ງວດ. ດັົ່ງນັື້ນ, ຈ່າຍຄູປອງງວດລະ rF = = 0.05 100 5 ( ) ລ້ານກີບ ສິດທິໃນການຮັບເງິນຄູປອງ ກ້ອນທໍາອິດທີີ່ເວລາ 0 (ວັນທີ30 ມິຖຼຸນາ 2020) ຂອງ ທ. ແຄນ ຈະເທົົ່າກັບ 4 ເດ ອນ ຫຼ ຄິດເປັນ 4 6 ຂອງຄູ ປອງກ້ອນທໍາອິດ, ສ່ວນສິດທິຂອງ ທ. ຫຼ້າ ຈະເທົົ່າກັບ 2 ເດ ອນ ຫຼ ຄິດເປັນ 2 6 ຂອງຄູປອງກ້ອນທໍາອິດ, ແລະ ເຫຼ ອຈໍານວນງວດຂອງການຈ່າຍຄູປອງອີກ 5 ງວດ (ງວດທີີ່ 31-12-2020, 30-06-2021, 31-12-2021, 30- 06-2022, 31-12-2022) ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາຊ ື້ຂອງ ທ. ຫຼ້າ ເທົົ່າກັບ ( ) ( ) ( ) 2 5 6 | 5|0.04 2 5 5 100 1.04 1.04 6 n P rF rFa Cv v a Clean n i − − = + + = + + ( ) ( ) ( ) 5 2 5 6 2 1 1.04 5 5 100 1.04 1.04 104.74017 6 0.04 − − − − = + + = ລ້ານກີບ ແລະ ດອກເບ້ຍຄ້າງຮັບຂອງ ທ. ແຄນ ເທົົ່າກັບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 90 ( ) ( ) 2 6 4 1 5 1.04 3.29004 6 Ai I rFv − = − = = ລ້ານກີບ 6) ຕາສານໜີື້ຊຼຸດ ຕາສານໜີື້ຊຼຸດ (Series Bond) ຄ ຊຼຸດຕາສານ ເຊິີ່ງປະກອບດ້ວຍຕາສານຫຼາຍຕາສານ ໂດຍມີລໍາດັບວັນ ຄົບກໍານົດໄຖ່ຖອນ. ສົມມຸດວ່າ: ຕາສານໜີື້ຊຼຸດນີື້ ປະກອບດ້ວຍ m ຕາສານ ໂດຍມີອາຍຸຕາສານ 1 n , ..., m n ; ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ F1 , ..., F m , ລາຄາໄຖ່ຖອນ C1 , ..., Cm ; ແລະອັດຕາດອກເບ້ຍ 1 r , ..., m r ຕາລໍາດັບ. ກໍາ ນົດໃຫ້ Pk , k =1,...,10 ເປັນລາຄາຕາສານ ໃນວັນອອກຕາສານໜີື້ຊຼຸດ (ວັນຊ ື້) ຈະໄດ້: | k k k n k k k k k n i P r F a C v = + (6.28) ເມ ີ່ອ ( ) 1 1 k k v i − = + ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາລວມຂອງຕາສານ ໃນວັນອອກຕາສານໜີື້ຊຼຸດ ແມ່ນ: ( | ) 1 1 k k k m m n k k k k k n i k k P P r F a C v = = = = + (6.29) ໂດຍສະເພາະຢ່າງຍິີ່ງ ຖ້າ k r r = , k i i = ແລະ F C F k k = = ຈະໄດ້: ( | | ) ( ) 1 1 1 1 k k k k k k k m m m n n n n k k k k k n i n i k k k v P r F a C v rFa Fv F r v i = = = − = + = + = + ( ( ) ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 k k m m n n k k F ri ri v mrFi ri F v − − − − = = = + − = + − (6.30) ຕົວຢ່າງ 6.12 ພັນທະບັດຊຼຸດ ປະກອບດ້ວຍພັນທະບັດ 5 ສະບັບ ແຕ່ລະສະບັບມີລາຄາຂຽນໄວ້20 ລ້ານກີບ ເທົົ່າ ກັນທຸກສະບັບ ແລະ ມີອັດຕາຄູປອງ 5% ຕ ໍ່ປ ເທົົ່າກັນ ໂດຍວັນຄົບກໍານົດໄຖ່ຖອນຂອງແຕ່ລະສະບັບເປັນໄປດັົ່ງ ຕາຕະລາງ. ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາຊ ື້ຂອງພັນທະບັດຊຼຸດນີື້ທີີ່ຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ . ທ້າຍປ ທີ 6 7 8 9 10 ຈໍານວນເງິນໄຖ່ຖອນ 20 21 21.5 22 22.5 ແກ້: ຈາກໂຈດພັນທະບັດແຕ່ລະສະບັບ ຈ່າຍຄູປອງ 1 ຄັື້ງຕ ໍ່ປ , ປ ລະ rF = = 0.05 20 1 ( ) ລ້ານກີບ, ກໍານົດ ໃຫ້ P1 , ..., P5 ເປັນລາຄາຊ ື້ຂອງພັນທະບັດ 5 ສະບັບ ຕາມລໍາດັບ ຈະໄດ້: ( ) ( ) ( ) 6 6 6 1 6|0.06 1 1.06 1 20 1.06 1 20 1.06 19.01654 0.06 P a − − − − = + = + = ລ້ານກີບ ( ) ( ) ( ) 7 7 7 2 7|0.06 1 1.06 1 21 1.06 1 21 1.06 19.54858 0.06 P a − − − − = + = + = ລ້ານກີບ ( )( ) ( ) ( )( ) 8 8 8 3 8|0.06 1 1.06 1 21.5 1.06 1 21.5 1.06 19.69916 0.06 P a − − − − = + = + = ລ້ານກີບ ( ) ( ) ( ) 9 9 9 4 9|0.06 1 1.06 1 22 1.06 1 22 1.06 19.82346 0.06 P a − − − − = + = + = ລ້ານກີບ ( )( ) ( ) ( )( ) 10 10 10 5 10|0.06 1 1.06 1 22.5 1.06 1 22.5 1.06 19.92397 0.06 P a − − − − = + = + = ລ້ານກີບ ດັົ່ງນັື້ນ, ລາຄາຊ ື້ຂອງພັນທະບັດຊຼຸດນີື້ທີີ່ຈະໃຫ້ຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ເທົົ່າກັບ 5 1 19.01654 19.54858 19.69916 19.82346 19.92397 98.01171 k k P = = + + + + = ລ້ານກີບ
ຄະນິດສາດການເງິນ 91 ບົດເຝ ກຫັດ 6 53. ຈົົ່ງຄໍານວນຫາລາຄາຫຸ້ນບຸລິມະສິດຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍປັນຜົນ 0.04 ກີບ ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ໂດຍຈ່າຍທຸກໆ 6 ເດ ອນ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາຜົນຕອບແທນ 5% ຕ ໍ່ປ . 54. ຈົົ່ງຄໍານວນຫາລາຄາຫຸ້ນທ້າຍປ ທີີ່ 5 ຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍປັນຜົນ 0.5 ກີບ ຕ ໍ່ຫຸ້ນ ແລະ ຈ່າຍເພີີ່ມ ຂ ື້ນທຸກປ , ປ ລະ 2% 55. ຈົົ່ງຊອກຫາຈໍານວນເງິນປັນຜົນທ້າຍປ ທີີ່ 3 (ທາງທິດສະດີ) ຂອງຫຸ້ນສາມັນຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີການຈ່າຍ ປັນຜົນເພີີ່ມຂ ື້ນດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ 5% ຕ ໍ່ປ ໂດນທີີ່ໃນ 2 ປ ທໍາອິດ ບ ໍ່ຈ່າຍປັນຜົນ ແຕ່ເລີີ່ມຈ່າຍປັນຜົນທ້າຍປ ທີີ່ 3 ກໍານົດໃຫ້ລາຄາປະຈຸບັນຂອງຫຸ້ນຕົວນີື້ເທົົ່າກັບ 60 ກີບ ຕ ໍ່ໜ່ວຍ. 56. ຫຸ້ນຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ຈ່າຍປັນຜົນຄົງທີີ່ ປ ລະ 5 ກີບ ຕ ໍ່ໜ່ວຍ, ແຕ່ຕ ໍ່ມາບ ລິສັດຕ້ອງການອອກໂປໂມຊັນຈ່າຍ ປັນຜົນເພີີ່ມຂ ື້ນທຸກປ ດ້ວຍອັດຕາຄົງທີີ່ 2% ແຕ່ໃຫ້ມູນຄ່າຫຸ້ນ ໃນປະຈຸບັນຍັງຄົງເທົົ່າເດີມ ບ ລິສັດຈະຕ້ອງ ປະກາດປັນຜົນຕ ໍ່ຫຸ້ນເລີີ່ມຕົື້ນປ ທໍາອິດເທົົ່າໃດ? 57. ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້100 ລ້ານກີບ, ອາຍຸ 10 ປ , ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ແຕ່ທາງບ ລິສັດຜູ້ອອກພັນທະບັດຕ້ອງການໄຖ່ຖອນກ່ອນກໍານົດ 4 ປ . ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາໄຖ່ຖອນຂອງ ພັນທະບັດ ໃນວັນໄຖ່ຖອນກ່ອນກໍານົດ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ 8% ຕ ໍ່ປ . 58. ພັນທະບັດມີຄູປອງສະບັບໜ ີ່ງ ມີລາຄາຂຽນເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ ມີອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ , ຈ່າຍທຸກ ທ້າຍປ , ມີລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບ 627.41237 ລ້ານກີບ, ເມ ີ່ອຄໍານວນດ້ວຍອັດຕາດອກເບ້ຍ 6% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາຊ ື້ຂອງ ພັນທະບັດບ ໍ່ມີຄູປອງ ທີີ່ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ເທົົ່າກັບ 1000 ລ້ານກີບ ແລະ ໃຫ້ຜົນຕອບແທນທຽບເທົົ່າກັບ ພັນທະບັດມີຄູປອງສະບັບນີື້. 59. ທ. ທອງວັນ ຊ ື້ຫຸ້ນກູ້ ອອກໃໝ່ໃນວັນທີີ່ 1 ມັງກອນ 2018 ຂອງບ ລິສັດໜ ີ່ງ ເຊິີ່ງມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 10 ລ້ານ ກີບ, ອາຍຸ 10 ປ ໃນສັນຍາລະບຸຈ່າຍຄູປອງອັດຕາ 10% ຕ ໍ່ປ ເຊິີ່ງຈະຈ່າຍທ້າຍປ ວັນທີ31 ທັນວາ ຂອງທຸກ ປ ຕ ໍ່ມາໄດ້ຂາຍ, ໄດ້ຂາຍຫຸ້ນນີື້ໃຫ້ກັບ ທ. ຄໍາມີ ໃນວັນທີ30 ເມສາ 2020 ໂດຍກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 8% ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ . ຈົົ່ງຄໍານວນຫາດອກເບ້ຍຄ້າງຮັບຂອງ ທ. ທອງວັນ. 60. ຈົົ່ງຫາມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງຕາສານໜີື້ຕ ໍ່ໄປນີື້ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍ 10% ຕ ໍ່ປ , ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້100 ລ້ານກີບ ແລະ ລາຄາໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 8.1) ຫຸ້ນກູ້ບ ໍ່ມີຄູປອງອາຍຸ ມີອັດຕາສ່ວນຫຼຼຸດ 20% ຈາກລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້. 8.2) ພັນທະບັດມີຄູປອງອາຍຸ 10 ປ ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ . 8.3) ພັນທະບັດມີຄູປອງ ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 100 ລ້ານກີບ ອັດຕາຄູປອງ 8% ຕ ໍ່ປ ແລະ ມູນຄ່າປະຈຸບັນຂອງເງິນ ໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັບ 80 ລ້ານກີບ. 61. ຈົົ່ງຄໍານວນຫາເປ ເຊັນການປ່ຽນແປງລາຄາຂອງພັນທະບັດມີຄູປອງອາຍຸ 10 ປ , ມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 100 ລ້ານ ກີບ, ອັດຕາຄູປອງ 10% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ເມ ີ່ອກໍານົດອັດຕາດອກເບ້ຍແທ້ຈິງ 8% ຕ ໍ່ປ . 62. ກໍານົດໃຫ້ Bk ເປັນມູນຄ່າຕາມບັນຊີ ຂອງຕາສານໜີື້ ເຊິີ່ງມີອັດຕາຄູປອງຄົງທີີ່ r . ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: ( )( ) ( ) 1 | 1 1 n k n i k B i rF iC n a n C − = = − − + + 63. ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງອາຍຸ 10 ປ , ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ 100 ລ້ານກີບ, ອັດຕາຄູປອງ 5% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກເຄິີ່ງປ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ 105 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງຄໍານວນມູນຄ່າ ຕາມບັນຊີຂອງພັນທະບັດສະບັບນີື້ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງໄປແລ້ວ 10 ງວດ. 64. ພັນທະບັດສະບັບໜ ີ່ງອາຍຸ 5 ປ , ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້100 ລ້ານກີບ, ອັດຕາຄູປອງ 8% ຕ ໍ່ປ ຈ່າຍທຸກທ້າຍປ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ 6% ຕ ໍ່ປ ຄິດສະສົມທຸກເຄິີ່ງປ ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ 105 ລ້ານກີບ. ຈົົ່ງສ້າງຕາຕະລາງ
ຄະນິດສາດການເງິນ 92 ມູນຄ່າຕາມບັນຊີຂອງພັນທະບັດສະບັບນີື້ຫຼັງຈາກຈ່າຍຄູປອງງວດທີີ່ k ໃດໆ. 65. ຕາສານໜີື້ຊຼຸດ ປະກອບດ້ວຍຕາສານຍ່ອຍຈໍານວນ 4 ສະບັບ ແຕ່ລະສະບັບມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ ເທົົ່າກັນ ຄ F ກີບ, ອັດຕາຄູປອງ r ແລະ ມີລາຄາໄຖ່ຖອນ ລຽງຕາມວັນຄົບກໍານົດໄຖ່ຖອນດັົ່ງນີື້: ທ້າຍປ ທີີ່ 5 10 15 20 ລາຄາໄຖ່ຖອນ F F + 5000 F +10000 F +15000 ຖ້າອັດຕາຜົນຕອບແທນຂອງຕາສານ (ຄິດສະສົມທຸກປ ) ເປັນ 1.2 ເທົົ່າຂອງອັດຕາຄູປອງ. ຈົົ່ງຊອກຫາລາຄາຊ ື້ ພັນທະບັດໃນພົດຂອງ F ແລະ r 66. ພັນທະບັດ ປະກອບດ້ວຍພັນທະບັດຍ່ອຍຈໍານວນ 5 ສະບັບ, ແຕ່ລະສະບັບມີລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ເທົົ່າກັນ ຄ 20 ລ້ານກີບ ແລະ ແຕ່ລະສະບັບໄຖ່ຖອນເທົົ່າກັນ ແລະ ເທົົ່າກັບລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ ໂດຍມີເວລາຄົບກໍານົດໄຖ່ຖອນ ຂອງແຕ່ລະສະບັບລຽງລໍາດັບ ດັົ່ງນີື້: ທ້າຍປ ທີີ່ 8, 10, 12, 15 ແລະ 20 ຖ້າແຕ່ລະສະບັບມີອັດຕາຄູປອງ 5 ຕ ໍ່ ປ ເທົົ່າກັນທຸກສະບັບ. ຈົົ່ງຫາລາຄາຊ ື້ຂອງພັນທະບັດຊຼຸດ ເຊິີ່ງເຮັດໃຫ້ຜົນຕອບແທນເປັນ 150% ຂອງອັດຕາຄູ ປອງ. 67. ສໍາລັບຕາສານໜີື້ອາຍຸ n ປ , ກໍານົດໃຫ້ ລາຄາທີີ່ຂຽນໄວ້ F , ລາຄາໄຖ່ຖອນ C , ອັດຕາຄູປອງ r ຕ ໍ່ປ ແລະ ອັດຕາຜົນຕອບແທນ i ຕ ໍ່ປ ສະສົມທຸກປ , ຖ້າ P ເປັນລາຄາຕາສານ ແລະ rF g C = ຈົົ່ງສະແດງວ່າ: 15.1) ( ( | ) ) n n i dP vC g a nv di = − + 15.2) n i| dP Ca dg =
ຄະນິດສາດການເງິນ 93 ບົດທີ 7 ການນໍາໃຊ້ຄະນິດສາດການເງິນ 2: ຄ່າລາຍງວດປະກັນຊີວິດ 7.1 ພ ື້ນຖານຄ່າກະຕວງ ຕ ໍ່ໄປນີື້ຈະຂຽນທົບທວນນິຍາມ ແລະ ທິດສະດີພ ື້ນຖານກ່ຽວຂ້ອງຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນພ ສັງເຂບໂດຍລະການ ພິສູດ. ກໍານົດໃຫ້ p ເປັນຕໍາລາການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງເທິງໜ້າພຽງຄ່າກະຕວງ ນິຍາມ 7.1 (ຄ່າກະຕວງແບບມີເງ ີ່ອນໄຂ) ໃຫ້ A ແລະ B ເປັນ 2 ເຫດການໃດໆ ຄ່າກະຕວງແບບມີເງ ີ່ອນໄຂ ຂອງເຫດການ A ເມ ີ່ອກໍານົດເຫດການ B ຂຽນແທນດ້ວຍ p A B ( | ) ນິຍາມໂດຍ ( ) ( ) ( ) | p A B p A B p B = (7.1) ນິຍາມ 7.2 ໃຫ້ A ແລະ B ເປັນ 2 ເຫດການໃດໆ ຈະເວົື້າວ່າ A ແລະ B ເປັນເຫດການທີີ່ອິດສະຫຼະກັນ ຄ : p A B p A p B ( =) ( ) ( ) (7.2) ໂດຍສູດ (7.1) ແລະ (7.2) ຈະໄດ້ວ່າ: A ແລະ B ເປັນເຫດການທີີ່ອິດສະຫຼະກັນ ຄ : p A B p A ( | ) = ( ) (7.3) ເຊິີ່ງເທົົ່າກັບ p B A p B ( | ) = ( ) (7.4) ນິຍາມ 7.3 ໃຫ້ X ແລະ Y ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ຈະເວົື້າວ່າ: X ແລະ Y ເປັນອິດສະຫຼະຕ ໍ່ກັນ ຖ້າ p X x Y y p X x p Y y ( = = = = = ) ( ) ( ) (7.5) ສໍາລັບທຸກໆ x y, ນິຍາມ 7.4 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ, ຄ່າຄາດຫວັງຂອງ X ຂຽນແທນດ້ວຍ E X ນິຍາມໂດຍ E X X p d ( ) ( ) = (7.6) ໂດຍສະເພາະຢ່າງຍິີ່ງ ຖ້າ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນແບບບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ E X X p ( ) ( ) = = ທິດສະດີ 7.1 (ຄຸນລັກສະນະເສັື້ນຂອງຄ່າຄາດຫວັງ) ໃຫ້ X ແລະ Y ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ແລະ a b, ຈະໄດ້ວ່າ: E aX bY aE X bE Y + = + (7.7) ນິຍາມ 7.5 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ແລະ A ເປັນເຫດການຄ່າຄາດຫວັງແບບມີເງ ີ່ອນໄຂຂອງ X ເມ ີ່ອ ກໍານົດເຫກການ A ຂຽນແທນດ້ວຍ E X A | ນິຍາມໂດຍ: E X A p X A d | | ( ) = = (7.8) ໂດຍສະເພາະຢ່າງຍິີ່ງ ຖ້າ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນແບບບ ໍ່ຕ ໍ່ເນ ີ່ອງ E X A p X A | | ( ) = = = ທິດສະດີ 7.2 ໃຫ້ X ແລະ Y ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ, A ເປັນເຫດການ ແລະ a b, ຈະໄດ້ວ່າ: E aX bY A aE X A bE Y A + = + | | | (7.9) ທິດສະດີ 7.3 ໃຫ້ X ແລະ Ai , i =1,2,3,... ເປັນເຫດການ ເຊິີ່ງ A A i j = ທຸກໆ i j ຈະໄດ້ວ່າ: | i i ( ) i E X E X A p A = (7.10) ທິດສະດີ 7.4 ໃຫ້ X ແລະ ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ເຊິີ່ງອິດສະຫຼະຕ ໍ່ກັນ ຈະໄດ້ວ່າ: E XY E X E Y = (7.11) ນິຍາມ 7.6 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ, ຄ່າສະເລ່ຍ (Variance) ຂອງ X ຂຽນແທນດ້ວຍ Var X ນິ ຍາມໂດຍ: 2 Var X E X E X = − (7.12) ນິຍາມ 7.7 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ, ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (Standard Deviation) ຂອງ X ຂຽນແທນດ້ວຍ X ນິຍາມໂດຍ:
ຄະນິດສາດການເງິນ 94 X = Var X (7.13) ທິດສະດີ 7.5 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ, ຈະໄດ້ວ່າ: ( ) 2 2 Var X E X E X = − (7.14) ທິດສະດີ 7.6 ໃຫ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ແລະ a b, ຈະໄດ້ວ່າ: 2 Var aX b a Var X + = (7.15) ທິດສະດີ 7.7 ໃຫ້ X1 , X2 , ..., X n ເປັນຕົວປ່ຽນໂດຍບັງເອີນ ເຊິີ່ງທຸກຄູ່ໃດໆ ອິດສະຫຼະຕ ໍ່ກັນ ຈະໄດ້ວ່າ: 1 2 1 ... n n i i Var X X X Var X = + + + = (7.16) 7.2 ຄ່າກະຕວງຂອງຊີບ ແລະ ຕາຕະລາງຊີບ 7.2.1 ຕາຕະລາງຊີບ ຕາຕະລາງຊີບ (Life Table) ເປັນຕາຕະລາງຕົວເລກທີີ່ສະແດງຂ ໍ້ມູນກ່ຽວກັບການຕາຍ ແລະ ການມີຊີວິດ ລອດຢູ່ເມ ີ່ອອາຍຸຕ່າງໆ ຂອງປະຊາກອນກຸ່ມໜ ີ່ງ, ຕາຕະລາງຊີບເປັນຕາຕະລາງສະຖິຕິ ທີີ່ສ້າງຂ ື້ນເພ ີ່ອວັດຄວາມຢືນ ຍາວຂອງຊີວິດ ເພ ີ່ອຄວາມສະດວກກໍານົດສັນຍາລັກທີີ່ກ່ຽວຂ້ອງດັົ່ງນີື້: 0 l ແທນ ຈໍານວນກຸ່ມຄົນທີີ່ເກີດທັນທີ ແລະ ຖ ກຕິດຕາມຈົນຮອດຕາຍ x l ແທນ ຈໍານວນກຸ່ມຄົນທີີ່ມີຊີວິດມາຮອດອາຍຸປ ທີີ່ x x d ແທນ ຈໍານວນກຸ່ມຄົນທີີ່ຕາຍລະຫວ່າງ x ແລະ x +1 x p ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ມີຊີວິດຮອດປ ທີີ່ x +1 x q ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຕາຍພາຍໃນ 1 ປ n x p ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ມີຊີວິດຮອດປ ທີີ່ n | n x q ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຕາຍພາຍໃນ n ປ | n x q ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຕາຍພາຍໃນ 1 ປ ຫຼັງຈາກທີີ່ອາຍຸຄົບ x n + n x d ແທນ ຈໍານວນຄົນທີີ່ຕາຍລະຫວ່າງປ ທີີ່ x ຮອດປ ທີີ່ x n + x n d + ແທນ ຈໍານວນຄົນທີີ່ຕາຍລະຫວ່າງປ ທີີ່ x n + ແລະ x n + +1 x n p + ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x n + ມີຊີວິດຮອດປ ທີີ່ x n + +1 x n q + ແທນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນຕາຍລະຫວ່າງປ ທີີ່ x n + ແລະ x n + +1 ຈະໄດ້ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດເຖິງປ ທີີ່ x +1 x 1 x x l p l + = (7.17) ເນ ີ່ອງຈາກ, ຈໍານວນຄົນທີີ່ຕາຍລະຫວ່າງປ ທີີ່ x ຮອດປ ທີີ່ x +1 x x x 1 d l l = − + (7.18) ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະຕາຍພາຍໃນ 1 ປ x x x d q l = (7.19) ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ 1 1 1 1 x x x x x x x x x d l l l q p l l l − + + = = = − = − ດັົ່ງນັື້ນ, 1 x x p q + = (7.20) ຄ່າກະຕວງທີີ່ອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດຮອດປ ທີີ່ x +1 x n n x x l p l + = (7.21)
ຄະນິດສາດການເງິນ 95 ເນ ີ່ອງຈາກຈໍານວນຄົນທີີ່ອາຍຸ x ປ ຕາຍກ່ອນອາຍຸ x n + ປ ເທົົ່າກັບ 1 ( 1) ... n x x x n x x x n d l l d d d + + + − = − = + + + (7.22) ດັົ່ງນັື້ນ, ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະຕາຍກ່ອນອາຍຸຄົບ x n + ປ | n x n x x d q l = (7.23) ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ | 1 1 n x x x n x n n x n x x x x d l l l q p l l l − + + = = = − = − ດັົ່ງນັື້ນ, | 1 n x n x p q + = (7.24) ໂດຍທີີ່ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນມີອາຍຸ x ຈະມີອາຍຸຮອດ x n + ແລະ ຕາຍພາຍໃນ 1 ປ (ຫຼັງຈາກທີີ່ອາຍຸຄົບ) ຈະໄດ້: | x n x n x n n x n x x n x x x n d d l q p q l l l + + + + + = = = (7.25) ເນ ີ່ອງຈາກ 1 1 x n x n x n x n x n x n x x x d l l d l l l l l + + + + + + + + = − = − ເຮັດໃຫ້ໄດ້: 1 | n x n x n x q p p = − + (7.26) ຈາກສູດ (7.26) ຈະເຫັນວ່າ: ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະຕາຍໃນປ ຫຼັງຈາກທີີ່ອາຍຸຄົບ x n + ເທົົ່າກັບ ຄ່າກະ ຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດຢູ່ໄດ້ເຖິງອາຍຸ x n + ປ ລົບດ້ວຍ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດຢູ່ໄດ້ຮອດ ອາຍຸ x n + +1 ປ . ຕາຕະລາງ 7.1 ສະແດງຕົວຢ່າງຂອງຕາຕະລາງຊີບ x x l x d x x l x d x x l x d x x l x d 0 100000 2756 20 95491 149 40 91681 294 60 75276 1895 1 97244 152 21 95342 131 41 91387 335 61 73381 2011 2 97092 109 22 95211 143 42 91052 401 62 71370 2104 3 96983 56 23 95068 112 43 90651 445 63 69266 2589 4 96927 64 24 94956 133 44 90206 523 64 66677 2612 5 96863 52 25 94823 143 45 89683 517 65 64065 2577 6 96811 54 26 94681 113 46 89166 524 66 61488 2745 7 96757 59 27 94568 193 47 88642 659 67 58743 2781 8 96698 43 28 94375 255 48 87981 709 68 55962 2813 9 96655 47 29 94120 297 49 87274 785 69 53149 2835 10 96608 86 30 93823 228 50 86489 832 70 50314 2781 11 96522 106 31 93595 217 51 85657 881 71 47533 2845 12 96416 98 32 93378 159 52 84776 983 72 44788 2786 13 96318 125 33 93219 175 53 83793 974 73 42002 2801 14 96193 134 34 93044 249 54 82819 1023 74 39201 2897 15 96059 146 35 92795 187 55 81796 1098 75 36304 2887 16 95913 101 36 92608 183 56 80698 1101 76 33417 2798 17 95812 110 37 92425 178 57 79597 1213 77 30619 2981 18 95702 109 38 92247 272 58 78384 1652 78 27638 2884 19 95593 102 39 91975 294 59 76732 1456 79 24754 2812 ຕົວຢ່າງ 7.1 ຈາກຕາຕະລາງ 7.1 ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າຕ ໍ່ໄປນີື້: 1) ຈົົ່ງຊອກຫາ 20 p ແລະ 20 q
ຄະນິດສາດການເງິນ 96 2) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີອາຍຸຮອດ 65 3) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີຕາຍກ່ອນທີີ່ຈະອາຍຸຮອດ 65 4) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະຕາຍພາຍໃນ 1 ປ 5) ຈົົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 25 ຈະຕາຍໃນປ ຫຼັງຈາກທີີ່ພວກເຂົາອາຍຸຄົບ 35 ປ (ຕາຍກ່ອນອາຍຸຄົບ 36 ປ ) ແກ້: 1) ຫາ 20 p ແລະ 20 q ຈາກສູດ (7.21) ແລະ ຂ ໍ້ມູນຈາກຕາຕະລາງ 7.1 21 20 20 95342 0.9984 95491 l p l = = = ແລະ ເນ ີ່ອງຈາກ 20 20 20 20 p q q p + = = − = − = 1 1 1 0.9984 0.0016 2) ຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີອາຍຸຮອດ 65 ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີອາຍຸຮອດ 65 ແມ່ນ 37 28 p ຈາກສູດ (7.21) ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດຮອດປ ທີີ່ x n + , x n n x x l p l + = ໃນນີື້ x = 28 , n = 37 ດັົ່ງນັື້ນ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີອາຍຸຮອດ 65 65 37 28 28 64065 0.6788 94375 l p l = = = 3) ຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີຕາຍກ່ອນທີີ່ຈະອາຍຸຮອດ 65 ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະມີຕາຍກ່ອນທີີ່ຈະອາຍຸຮອດ 65 ແມ່ນ 37 28 | q ຈາກສູດ (7.24) ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຕາຍກ່ອນອາຍຸຄົບ x n + ປ , | 1 n x n x q p = − 37 28 37 28 | 1 1 0.6788 0.3212 q p = − = − = 4) ຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະຕາຍພາຍໃນ 1 ປ ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 28 ຈະຕາຍພາຍໃນ 1 ປ ແມ່ນ 28 q ດັົ່ງນັື້ນ 28 28 28 255 0.0027 94375 d q l = = = 5) ຫາຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 25 ຈະຕາຍໃນປ ຫຼັງຈາກທີີ່ພວກເຂົາອາຍຸຄົບ 35 ປ (ຕາຍກ່ອນອາຍຸຄົບ 36 ປ ) ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ 25 ຈະຕາຍໃນປ ຫຼັງຈາກທີີ່ພວກເຂົາອາຍຸຄົບ 35 ປ (ຕາຍກ່ອນອາຍຸຄົບ 36 ປ ) ແມ່ນ 10 28 | q ຈາກສູດ (7.23) ໂດຍທີີ່ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນມີອາຍຸ x ຈະມີອາຍຸຮອດ x n + ແລະ ຕາຍພາຍ ໃນ 1 ປ (ຫຼັງຈາກທີີ່ອາຍຸຄົບ x n + ) ແມ່ນ | x n n x x d q l + = ດັົ່ງນັື້ນ, 35 10 25 20 187 | 0.0020 94823 d q l = = = 7.2.2 ການຢູ່ລອດຂອງຄົນ 2 ຄົນໃດໆ ພິຈາລະນາການຢູ່ລອດຂອງຄົນ 2 ຄົນໃດໆ ເຊິີ່ງສອງຄົນນັື້ນມີອາຍຸ x ແລະ y ຕາມລໍາດັບ ຈະໄດ້ວ່າ: 1) ຄ່າກະຕວງທີີ່ຄົນອາຍຸ x ຈະມີຊີວິດຢູ່ໄດ້ n ປ ແລະ ຄົນທີີ່ມີອາຍຸ y ຈະຕາຍພາຍໃນ n ປ ເທົົ່າກັບ ( n x n y n x n y p q p p )(| 1 ) = − ( ) (7.27) 2) ຄ່າກະຕວງທີີ່ 2 ຄົນນີື້ ຈະມີອາຍຸຢູ່ລອດ n ປ ທັງສອງ ເທົົ່າກັບ ( n x n y p p )( ) (7.28) 3) ຄ່າກະຕວງເປັນທີີ່ຢ່າງນ້ອຍ 1 ຄົນໃນ 2 ຄົນນີື້ ຈະມີອາຍຸຢູ່ລອດ n ປ ເທົົ່າກັບ