ชุดการเรียน หน่วยที่ 9

1

ชดุ การเรียนคณติ ศาสตร์
เรื่อง การวัดการกระจายของขอ้ มูล

หน่วยท่ี 9 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

2

บัตรกจิ กรรม
หน่วยท่ี 9

บัตรกิจกรรมมีจานวน 6 กจิ กรรม คือ
¤ บัตรความรู้ 1
¤ บัตรกจิ กรรมกล็ องซจิ ะ๊ 1
¤ บัตรความรู้ 2
¤ บัตรกิจกรรมกล็ องซิจ๊ะ 2
¤ บตั รสรปุ เนอื้ หา
¤ บัตรกจิ กรรมแบบฝึกหัด

บัตรทดสอบประจาหน่วยท่ี 9
บตั รเฉลยกจิ กรรม

¤ บตั รกจิ กรรมก็ลองซจิ ะ๊ 1
¤ บัตรกจิ กรรมก็ลองซจิ ๊ะ 2
¤ บตั รกจิ กรรมแบบฝกึ หัด
บตั รเฉลยบัตรทดสอบประจาหน่วยที่ 9

ใหน้ กั เรยี นศึกษาขอ้ มูลที่อย่ใู นบตั รกจิ กรรม แล้วเติมข้อความ
ลงในช่องว่างทเี่ วน้ ไวใ้ ห้สมบรู ณ์

นกั เรียนสามารถตรวจคาตอบบตั รกจิ กรรมได้ จากครผู ู้สอน

3

บตั รคาส่งั
หนว่ ยท่ี 9

 ใหน้ กั เรยี นแบ่งกลุ่มๆละ 4-5 คน และแต่งต้ังมอบหมายบทบาทหนา้ ทขี่ องสมาชิก
ภายในกลมุ่ แลว้ ปฏิบัตกิ จิ กรรมดงั น้ี

1. ประธานกลุ่มแจกบตั รความรู้ 1 ใหส้ มาชกิ ทุกคนในกลุ่มชว่ ยกนั ศกึ ษาและ
ทาความเขา้ ใจ

2. ประธานกลมุ่ แจกบตั รกจิ กรรมก็ลองซจิ ะ๊ 1 ใหส้ มาชิกภายในกลุ่มทาเป็นรายบคุ คล
3. ประธานกล่มุ อา่ นบัตรเฉลยกจิ กรรมกล็ องซิจะ๊ 1 ให้สมาชิกภายในกล่มุ ตรวจสอบความ

ถูกต้อง ถ้าผิดให้แก้ไขใหถ้ กู ต้อง
4. ประธานกลมุ่ แจกบตั รความรู้ 2 ให้สมาชิกทกุ คนในกลุ่มช่วยกันศึกษาและ

ทาความเข้าใจ
5. ประธานกลุ่มแจกบตั รกจิ กรรมก็ลองซิจะ๊ 2 ใหส้ มาชกิ ทุกคนในกลุ่มทาเปน็ รายบุคคล
6. ประธานกล่มุ อา่ นบัตรเฉลยกจิ กรรมก็ลองซิจะ๊ 2 ใหส้ มาชิกภายในกลมุ่ ตรวจสอบความ

ถกู ตอ้ ง ถ้าผดิ ให้แก้ไขใหถ้ ูกต้อง
7. ใหส้ มาชกิ ภายในกล่มุ ทุกคน ชว่ ยกนั สรุปใจความสาคญั ทไ่ี ดจ้ ากบตั รสรุปเน้อื หา

และทากิจกรรม
8. ประธานกลุ่มแจกบตั รกจิ กรรมแบบฝกึ หัด ใหส้ มาชิกภายในกลุ่มทาเปน็ รายบคุ คล
9. ประธานกลมุ่ รับบัตรเฉลยกิจกรรมแบบฝึกหดั ท่ีครผู สู้ อน
10. ประธานกลุม่ อา่ นบตั รเฉลยกจิ กรรมแบบฝกึ หัดให้สมาชกิ ภายในกลุ่มตรวจสอบความ

ถกู ตอ้ ง ถ้าผดิ ใหแ้ ก้ไขใหถ้ ูกตอ้ ง
11. ประธานกลุ่มรบั บตั รทดสอบประจาหนว่ ยท่ี 9 แจกใหส้ มาชกิ ในกลมุ่ ทาเป็นรายบคุ คล
12. เม่อื สมาชิกภายในกลมุ่ ทาบตั รทดสอบประจาหน่วยเสรจ็ แล้ว ให้ประธานกลุม่ อ่าน

บัตรเฉลยบตั รทดสอบประจาหน่วยเพอ่ื ตรวจคาตอบ สรุปและบนั ทกึ คะแนน รวบรวม
ชุดการเรยี นสง่ คืนครผู สู้ อน

ใหน้ ักเรียนทุกคน ในกลมุ่ ตง้ั ใจปฏิบตั กิ จิ กรรม
ดว้ ยความซอ่ื สัตย์ และตรงตอ่ เวลาตามทก่ี าหนด

4

บัตรความรู้ 1

ในที่นี้จะกล่าวถงึ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานที่ข้อมลู เป็นขอ้ มลู ของกล่มุ ตวั อยา่ งเทา่ นนั้ ดงั ตอ่ ไปน้ี
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน คือ ค่าที่ใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลท่ไี ดจ้ ากการหารากที่

สองทเ่ี ป็นบวกของคา่ ผลบวกของกาลังสองของผลต่างระหว่างคา่ ของขอ้ มูลแตล่ ะค่ากับค่าเฉลยี่
เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นั้นหารดว้ ยจานวนขอ้ มลู ทั้งหมดลบหนึ่ง

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานจะใช้สัญลกั ษณ์ S หรือ S.D.
การหาคา่ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน

ถ้า x1 , x 2 , x3 , ..., xn เป็นข้อมูล n เปน็ จานวนขอ้ มูล และ x เป็นคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ น้ี
จากความหมายของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน จะสามารถหาค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานไดต้ ามลาดับ
ขนั้ ตอน ดังนี้

1. หาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ( x)

2. หาผลตา่ งระหวา่ งข้อมูลแตล่ ะคา่ กบั คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ( xi  x )

3. หากาลงั สองของผลตา่ งในข้อ 2 ( (xi  x)2 )

4. หาผลบวกของกาลงั สองของผลต่างในขอ้ 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n (xi  x)2

5. หารผลบวกในขอ้ 4 ด้วยจานวนขอ้ มูลลบ 1( i1 )

n1

n  x)2
 1(xi
6. หารากที่สองทีเ่ ปน็ บวก ของผลหารในข้อ 5 ( S.D. i )

n 1

5

จากลาดบั ขนั้ ที่ 1-6 สรปุ เปน็ สตู รการหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานได้ดังน้ี

n  x)2
 1(xi
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S) = (S.D.) i

n 1

หรอื เขยี นในรูปยอ่ ไดด้ งั นี้

S = (S.D.) (x x)2
n 1

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู 5, 6, 6, 6, 7, 8

การแกป้ ัญหา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน

ปญั หากาหนดข้อมูลอะไรบา้ ง

ขอ้ มูล 5, 6, 6, 6, 7, 8

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา

- หาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนี้ ( x)

- หาผลต่างระหวา่ งขอ้ มูลแตล่ ะคา่ กบั คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( xi  x )
- หากาลงั สองของผลต่างระหวา่ งข้อมูลแตล่ ะคา่ กับค่าเฉลย่ี เลขคณติ

( (x  x)2 )
i

- หาผลบวกของกาลังสองของผลตา่ งในข้ันที่ 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n (xi  x)2

- แทนค่าลงในสตู รส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (S.D.) i 1

n 1

6

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา

X  5  6  6  6  7  8
6

 38
6

 6.3

 (xi  x)2  (5 6.3 )2  (6  6.3 )2  (6  6.3 )2  (6  6.3 )2
 (7  6.3 )2  (8  6.3 )2

 1.69  0.09  0.09  0.09  0.49  2.89

 5.34

n  x)2
i 1(xi
S.D.
n 1

 5.34
61

 5.34
5

 1.068

 1.03
4. การตรวจสอบผล

จาก 6  x)2 = 5.34, n = 6 และ (S.D.)1.03
i1(xi

n (xi  x)2

แทนลงในสตู ร (S.D.)  i 1

n 1

7

1.03  5.34
61

1.03  5.34
5
1.03 1.03 เปน็ จรงิ

5. เขียนแสดงวิธแี ก้ปญั หาเพอื่ รายงานผลการแกป้ ญั หา

เลือกการแกป้ ัญหาโดยวธิ ีการหาค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

วธิ แี กป้ ญั หา

X  5  6  6  6  7  8
6

 38
6

 6.3

 (x  x)2  (5  6.3 )2  (6  6.3 )2  (6  6.3 )2  (6  6.3 )2
i

 (7  6.3 )2  (8  6.3 )2

 1.69  0.09  0.09  0.09  0.49  2.89

 5.34

n (xi  x)2

S.D. i 1

n 1

 5.34
61

 5.34
5

 1.068

 1.03

8

ตวั อย่างที่ 2 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู 6, 12, 9, 10, 6, 8
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ปัญหากาหนดข้อมูลอะไรบ้าง
ขอ้ มูล 6, 12, 9, 10, 6, 8

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา

- หาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ น้ี ( x)

- หาผลต่างระหว่างขอ้ มูลแตล่ ะค่ากบั คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ( x  x )
i

- หากาลงั สองของผลตา่ งระหวา่ งขอ้ มลู แตล่ ะค่ากบั คา่ เฉล่ยี เลขคณติ

( (xi  x)2 )

- หาผลบวกของกาลงั สองของผลตา่ งในขน้ั ท่ี 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n (x  x)2
 i
- แทนคา่ ลงในสูตรส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S.D.) i 1
3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
n 1

X  6  12  9  10  6  8
6

 51
6

 8.5

9

 (x  x)2  (6  8.5 )2  (12 8.5 )2  (9  8.5 )2  (10  8.5 )2
i

 (6  8.5)2  (8  8.5)2

 6.25  12.25  0.25  2.25  6.25  0.25

 27.5

n  x)2
 1(xi
S.D. i

n 1

 27.5
61

 27.5
5

 5.5

 2.34
4. การตรวจสอบผล

6 x)2 = 27.5, n = 6 และ (S.D.)2.34
จากi1(xi 

n (x  x)2
 i
แทนลงในสตู ร (S.D.)  i 1

n 1

2.34  27.5
61

2.34  27.5
5
2.34  2.34 เป็นจริง

10

5. เขียนแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพ่ือรายงานผลการแกป้ ญั หา
เลอื กการแกป้ ญั หาโดยวธิ ีการหาค่าส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

วิธแี กป้ ญั หา

X  6  12  9  10  6  8
6

 51
6

 8.5

 (xi  x)2  (6  8.5)2  (12 8.5)2  (9  8.5)2  (10 8.5)2

 (6  8.5)2  (8  8.5)2

 6.25  12.25  0.25  2.25  6.25  0.25

 27.5

n  x)2
i 1(xi
S.D.
n 1

 27.5
61

 27.5
5

 5.5

 2.34

11

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู 15, 28, 32, 36, 50, 52, 68, 74, 104
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร
สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน
ปัญหากาหนดขอ้ มูลอะไรบ้าง
ข้อมลู 15, 28, 32, 36, 50, 52, 68, 74, 104

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา

- หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชดุ น้ี ( x)

- หาผลตา่ งระหวา่ งขอ้ มลู แตล่ ะคา่ กบั ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( x  x )
i

- หากาลงั สองของผลต่างระหวา่ งขอ้ มูลแตล่ ะค่ากบั ค่าเฉลย่ี เลขคณิต

( (xi  x)2 )

- หาผลบวกของกาลังสองของผลตา่ งในขน้ั ที่ 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n (x  x)2
 i
- แทนคา่ ลงในสตู รสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน (S.D.) i 1
3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
n 1

X  15  28  32  36  50  52  68  74  104
6

 459
9

 51

หาคา่ 9  x)2 จากตาราง ดงั นี้
i1(xi

12

x xi  x (xi  x)2
i

15 -36 1296

28 -23 529

32 -19 361

36 -15 225

50 -1 1

52 1 1

68 17 289

74 23 529

104 53 2809

รวม 0 6040

จะได้ 9  x)2 = 6040
i1(xi

n  x)2
 1(xi
จาก (S.D.) i จะได้

n 1

 6040
91

 6040
91

 6040
8

 755

 27.48

13

4. การตรวจสอบผล

จาก 9  x)2 = 6040, n = 9 และ (S.D.)27.48
i1(xi

n (xi  x)2

แทนลงในสตู ร (S.D.)  i 1

n 1

27.48  6040
91

27.48  6040
8
27.48  27.48 เปน็ จริง

5. เขียนแสดงวธิ แี กป้ ญั หาเพื่อรายงานผลการแกป้ ญั หา

เลอื กการแกป้ ัญหาโดยวธิ กี ารหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิธแี กป้ ญั หา

X  15  28  32  36  50  52  68  74  104
6

 459
9

 51

14

หาคา่ 9  x)2 จากตาราง ดงั นี้
i1(xi

xi xi  x (x  x)2
15 -36 i
1296
28 -23 529
361
32 -19 225
36 -15 1
50 -1 1
52 1 289
529
68 17 2809
6040
74 23
104 53
รวม 0

จะได้ 9  x)2 = 6040
i1(xi

n  x)2
 1(xi
จาก (S.D.) i จะได้

n 1

 6040
91

 6040
91

 6040
8

 755

 27.48

15

GuM …Gum…

สมบตั บิ างประการของ “S.D.”
1. S.D.  0 เสมอ
2. S.D.= 0 เม่อื ขอ้ มลู ทุกตวั เทา่ กันหมด
3. การหา S.D. โดยใช้ค่ากลางตวั อ่ืนๆ ท่ไี ม่ใช่ X จะมคี า่ มากกวา่ ทใ่ี ช้ X
4. ถา้ นาค่าคงตวั a ไปบวกหรือไปลบออกแต่ละค่าของขอ้ มลู ค่า S.D. ของข้อมูลชดุ ใหมแ่ ละ
ขอ้ มูลชดุ เดมิ จะเทา่ กัน
5. ถา้ นาค่าคงตวั a ไปคูณทกุ คา่ ของขอ้ มูล ค่า S.D. ของข้อมลู ชุดใหมจ่ ะเทา่ กบั a คูณกบั S.D.
ของขอ้ มูลชดุ เดมิ
6. กาลังสองของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน เรียกวา่ ความแปรปรวน เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์
(S.D.)2 หรอื s2

การวัดการกระจายของข้อมลู โดยสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน เปน็ วิธีที่นักสถิติยอมรับว่าเปน็ วิธี
ที่ใชว้ ดั การกระจายไดด้ ีท่สี ดุ ทงั้ น้ีเนือ่ งจากการวดั การกระจายโดยวธิ ีนใี้ ชข้ ้อมูลทกุ ๆค่าหรอื มตี ัวแทน
ของข้อมูลทุกคา่ มาคานวณ การวดั การกระจายโดยวธิ นี ้ีนอกจากจะใหค้ ่าการกระจายท่ีมคี วามละเอียด
ถูกต้อง และเช่ือถือไดม้ ากที่สดุ แลว้ ยังสามารถนาไปใชใ้ นการวิเคราะหข์ อ้ มูลสถติ ใิ นชนั้ สูงตอ่ ไป

16

บตั รกิจกรรม
ก็ลองซิจ๊ะ 1

1) จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูล 55, 85, 90, 95, 92, 75
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดข้อมลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

17

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวิธแี ก้ปญั หาเพ่ือรายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมูล 7, 9, 11, 15, 18
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดข้อมลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

18

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

19

5. เขยี นแสดงวธิ แี กป้ ญั หาเพือ่ รายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู 1, 3, 5, 7, 9
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหากาหนดข้อมลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพอ่ื รายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

21

4) จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู 29, 45, 38, 51, 47, 39, 37, 40, 36, 48
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดขอ้ มลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวธิ แี ก้ปญั หาเพอ่ื รายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

บตั รความรู้ 2

ความแปรปรวนของข้อมลู

ความแปรปรวน (Variance) คือ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานยกกาลงั สอง ใชส้ ัญลักษณ์ S2 หรือ S.D.2
การหาความแปรปรวนของขอ้ มลู ท่ีไมแ่ จกแจงความถี่จะใช้สูตร ดังน้ี

n x)2
i1(xi 
S2 
n 1

หรือเขียนในรปู ย่อได้ดังน้ี

S2  (x x)2
n1

ตัวอยา่ ง 1 กาหนดข้อมลู เปน็ 3, 5, 7, 9, 11 จงหาความแปรปรวนของขอ้ มูลชดุ นี้
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร
ความแปรปรวน
ปญั หากาหนดขอ้ มูลอะไรบา้ ง
ขอ้ มลู 3, 5, 7, 9, 11

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา

- หาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลชุดน้ี ( x)

- หาผลต่างระหว่างขอ้ มูลแตล่ ะคา่ กบั ค่าเฉลย่ี เลขคณิต ( x  x )
i

- หากาลงั สองของผลต่างระหวา่ งข้อมลู แตล่ ะคา่ กบั ค่าเฉลย่ี เลขคณติ
( (xi  x)2 )

24

- หาผลบวกของกาลังสองของผลตา่ งในข้นั ที่ 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n  x)2
i1(xi
- แทนคา่ ลงในสตู รความแปรปรวน S2 
n 1

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา

x  3  5  7 9  11
6

 35
5

7

 (xi  x)2  (3  7 )2  (5 7 )2  (7  7 )2  (9  7 )2

 (11 7 )2

 16  4  0  4  16

 40

n (x  x )2
 i
S2 i1

n 1

 40
51

 40
4

 10

25

4. การตรวจสอบผล

จาก 5  x)2 = 40, n = 5 และ S2  10
i1(xi

n x)2
i1(xi 
แทนลงในสูตร S2 
n 1

10  40
51

10  40
4

10  10 เปน็ จรงิ

5. เขียนแสดงวธิ แี ก้ปญั หาเพ่อื รายงานผลการแก้ปญั หา

เลือกการแกป้ ัญหาโดยวธิ ีการหาคา่ ความแปรปรวน

วธิ แี กป้ ญั หา

x  3  5  7 9  11
6

 35
5

7

26

 (x  x)2  (3  7 )2  (5 7 )2  (7  7 )2  (9  7 )2
i

 (11 7 )2

 16  4  0  4  16

 40

n )2
i1(xi  x
S2 
n 1

 40
51

 40
4

 10

ตวั อยา่ ง 2 กาหนดขอ้ มลู เปน็ 3, 5, 9, 4, 6, 4, 5, 9, 0 จงหาความแปรปรวนของขอ้ มลู ชุดนี้
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร
ความแปรปรวน
ปญั หากาหนดขอ้ มูลอะไรบา้ ง
ข้อมูล 3, 5, 9, 4, 6, 4, 5, 9, 0

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา

- หาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนี้ ( x)

- หาผลต่างระหวา่ งขอ้ มูลแตล่ ะคา่ กบั ค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( xi  x )
- หากาลงั สองของผลตา่ งระหว่างข้อมลู แตล่ ะค่ากับคา่ เฉลยี่ เลขคณิต

( (xi  x)2 )

27

- หาผลบวกของกาลงั สองของผลตา่ งในขั้นท่ี 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n  x)2
i1(xi
- แทนค่าลงในสูตรความแปรปรวน S2 
n 1

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา

x  3  5  9  4  6 4  5  9  0
9

 45
9

5

 (x  x)2  (5  3 )2  (5 5 )2  (5 9 )2  (5 4 )2
i

 (5 6 )2  (5 4 )2  (55)2  (59 )2  (50 )2

 4  0  16  1  1  1  0  16  25

 64

n (xi  x )2

S2  i1

n 1

 64
91

 64
8

8

28

4. การตรวจสอบผล

จาก 9  x)2 = 64, n = 9 และ S2  8
i1(xi

n x)2
i1(xi 
แทนลงในสตู ร S2 
n 1

8  64
91

8  64
8

8 8 เปน็ จริง

5. เขยี นแสดงวธิ แี กป้ ญั หาเพ่ือรายงานผลการแกป้ ญั หา

เลือกการแกป้ ญั หาโดยวธิ กี ารหาค่าความแปรปรวน

วิธแี กป้ ญั หา

x  3  5  9  4  6 4  5  9  0
9

 45
9

5

29

 (xi  x)2  (5 3 )2  (5 5)2  (5 9 )2  (5 4 )2
 (5 6 )2  (5 4 )2  (55)2  (59 )2  (50 )2

 4  0  16  1  1  1  0  16  25

 64

n (xi  x )2

S2  i1

n 1

 64
9 1

 64
8

8

ตัวอยา่ ง 3 กาหนดข้อมูลเปน็ 2, 6, 10, 24, 23, 23, 22, 21, 21, 20, 14, 6 จงหาความแปรปรวน
ของขอ้ มลู ชุดนี้

การแกป้ ญั หา
1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร
ความแปรปรวน
ปัญหากาหนดข้อมลู อะไรบา้ ง
ข้อมลู 2, 6, 10, 24, 23, 23, 22, 21, 21, 20, 14, 6

30

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
- หาค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ น้ี ( x)
- หาผลต่างระหว่างขอ้ มลู แตล่ ะค่ากับค่าเฉลย่ี เลขคณิต ( x  x )
i
- หากาลงั สองของผลตา่ งระหว่างข้อมลู แตล่ ะค่ากบั คา่ เฉล่ียเลขคณติ
( (xi  x)2 )

- หาผลบวกของกาลังสองของผลตา่ งในขนั้ ที่ 3 ( n  x)2 )
i1(xi

n  x)2
i1(xi
- แทนคา่ ลงในสูตรความแปรปรวน S2 
n 1

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา

x  2  6  10  24  23  23  22  21  21  20  14  6
12

 192
12

 16

31

 (xi  x)2  (2  16)2  (6  16)2  (10 16)2  (24  16 )2
 (23 16)2  (23 16)2  (2216)2  (2116)2  (2116)2

 (2016)2  (14 16)2  (6 16)2

 196  100  36  64  49  49  36  25  25  16  4  100

 700

n  x )2
i1(xi
S2 
n 1

 700
12 1

 700
11

 63.63

4. การตรวจสอบผล

จาก 12  x)2 = 700, n = 12 และ S2  63.63
i1(xi

n x)2
i1(xi 
แทนลงในสูตร S2 
n 1

63.63  700
12  1

63.63  700
11

63.63  63.63 เปน็ จรงิ

32

5. เขยี นแสดงวิธแี ก้ปญั หาเพอ่ื รายงานผลการแกป้ ญั หา

เลือกการแกป้ ัญหาโดยวธิ ีการหาค่าความแปรปรวน

วธิ แี กป้ ญั หา

x  2  6  10  24  23  23  22  21  21  20  14  6
12

 192
12

 16

 (x  x)2  (2  16 )2  (6  16 )2  (10 16 )2  (24  16 )2
i

 (23 16)2  (23 16)2  (2216)2  (2116)2  (2116)2

 (2016)2  (14 16)2  (6 16)2

 196  100  36  64  49  49  36  25  25  16  4  100

 700

n  x )2
i1(xi
S2 
n 1

 700
12 1

 700
11

 63.63

เข้าใจแล้วใช่ไหมจะ๊ ลยุ กันต่อเลยจา้

33

บตั รกิจกรรม สูๆ้ นะจะ๊
กล็ องซจิ ๊ะ 2

1) จงหาความแปรปรวนของข้อมลู 12, 13, 17, 18
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหากาหนดข้อมลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

34

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวธิ แี ก้ปญั หาเพื่อรายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) จงหาความแปรปรวนของข้อมลู 10, 20, 30, 40, 50
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดข้อมลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

35

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

36

5. เขียนแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพอ่ื รายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) จงหาความแปรปรวนของขอ้ มูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 12, 28
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหากาหนดข้อมลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

37

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพอ่ื รายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

38

4) จงหาความแปรปรวนของข้อมลู 3, 6, 12, 24, 48, 39, 57
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดข้อมลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

39

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพอ่ื รายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ฝึกความชานาญ ด้วยการทาบตั รแบบฝกึ หัด

40

บตั รสรุปเนอ้ื หา

ในที่น้ีจะกลา่ วถึงสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานทข่ี อ้ มลู เปน็ ข้อมูลของกล่มุ ตวั อย่างเท่านนั้ ดังตอ่ ไปนี้
ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คอื ค่าท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มลู ที่ได้จากการหารากที่

สองท่เี ปน็ บวกของคา่ ผลบวกของกาลงั สองของผลตา่ งระหวา่ งคา่ ของขอ้ มลู แตล่ ะค่ากบั คา่ เฉลย่ี
เลขคณิตของข้อมลู ชดุ น้นั หารดว้ ยจานวนขอ้ มลู ทั้งหมดลบหน่ึง

ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานจะใช้สญั ลักษณ์ S หรือ S.D.
การหาคา่ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ทีไ่ มแ่ จกแจงความถ่ี

ถ้า x1 , x 2 , x3 , ..., xn เปน็ ขอ้ มลู n เปน็ จานวนข้อมูล และ x เป็นค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มูลชดุ น้ี

n  x)2
 1(xi
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S) = (S.D.) i

n 1

หรือเขยี นในรปู ยอ่ ได้ดังน้ี S = (S.D.) (x x)2
n 1

ความแปรปรวน (Variance) คือ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานยกกาลังสอง ใชส้ ญั ลกั ษณ์ S2

หรอื S.D.2
การหาความแปรปรวนของข้อมูลที่ไมแ่ จกแจงความถ่ี จะใชส้ ตู รดังน้ี

n x)2
i1(xi 
S2 
n 1

หรอื เขียนในรูปย่อได้ดังนี้

S2  (x x)2
n1

41

GuM …Gum…

สมบัตบิ างประการของ “S.D.”
1. S.D.  0 เสมอ
2. S.D.= 0 เม่อื ขอ้ มลู ทุกตัวเทา่ กนั หมด
3. การหา S.D. โดยใช้คา่ กลางตวั อน่ื ๆ ที่ไมใ่ ช่ X จะมีค่ามากกวา่ ที่ใช้ X
4. ถ้านาค่าคงตัว a ไปบวกหรอื ไปลบออกแตล่ ะค่าของขอ้ มลู ค่า S.D. ของข้อมูลชุดใหมแ่ ละ
ข้อมูลชดุ เดิมจะเท่ากนั
5. ถา้ นาค่าคงตวั a ไปคูณทุกค่าของข้อมูล คา่ S.D. ของข้อมลู ชดุ ใหมจ่ ะเทา่ กบั a คณู กบั S.D.
ของข้อมลู ชดุ เดมิ
6. กาลังสองของสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน เรียกว่า ความแปรปรวน เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์
(S.D.)2 หรอื s2

การวดั การกระจายของข้อมลู โดยส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน เปน็ วิธที นี่ กั สถติ ิยอมรับว่าเปน็ วิธี
ทใ่ี ช้วัดการกระจายไดด้ ีทีส่ ุด ทั้งน้เี นือ่ งจากการวัดการกระจายโดยวธิ ีนใี้ ชข้ ้อมูลทกุ ๆค่าหรือมีตัวแทน
ของขอ้ มลู ทุกคา่ มาคานวณ การวัดการกระจายโดยวธิ นี น้ี อกจากจะใหค้ ่าการกระจายทมี่ คี วามละเอียด
ถกู ตอ้ ง และเชอ่ื ถือได้มากทีส่ ดุ แล้ว ยงั สามารถนาไปใชใ้ นการวเิ คราะหข์ อ้ มลู สถติ ิในชนั้ สงู ตอ่ ไป

42

บัตรกจิ กรรมแบบฝกึ หดั

1) แดงมอี ายุ 6 ปี นิดกบั หน่อยเป็นคู่แฝดต่างมีอายุ 3 ปี บดิ ามอี ายุ 35 ปี มารดามอี ายุ
28 ปี จงหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของอายุคนในครอบครวั น้ี
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปัญหากาหนดข้อมลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

43

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวิธแี ก้ปญั หาเพอื่ รายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) ครอบครวั หนึง่ มีบตุ ร 3 คน คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของอายุบตุ รทัง้ สามคนเป็น 5 ปี ถา้ บุตร
คนโตและคนกลางมอี ายุ 8 ปี และ 5 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายขุ องบุตรท้ังสามคนมคี ่าเท่าไร
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………..........................................................................................................................................

ปัญหากาหนดขอ้ มลู อะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

44

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวธิ แี กป้ ญั หาเพ่ือรายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

45

3) พนี่ อ้ ง 4 คน มี 2 คนน้าหนักเทา่ กนั และหนกั นอ้ ยกว่าอีก 2 คนท่ีเหลือ ถ้าฐานนิยม,
มัธยฐาน และพสิ ัยของน้าหนกั ของเดก็ 4 คนนคี้ ือ 40, 41 และ 6 กิโลกรมั ตามลาดบั ส่วนเบย่ี งเบน
มาตรฐานของนา้ หนักของเดก็ 4 คนนเี้ ท่ากับเทา่ ไร
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………...........................................................................................................................................

ปัญหากาหนดข้อมูลอะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ัญหา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวิธแี ก้ปญั หาเพ่ือรายงานผลการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) ถา้ ข้อมูลชุดท่ี 1 คอื x1 , x2 , x3 , ..., x10 มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิต และสว่ ยเบ่ยี งเบน
มาตรฐานเท่ากบั 10 และ 2 ตามลาดบั แลว้

ข้อมลู ชดุ ที่ 2 คือ x1 , x2 , x3 , …, x10 จะมคี ่าเฉลยี่ เลขคณิต และความ
222 2

แปรปรวน เทา่ กับเท่าใด
การแกป้ ัญหา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญั หากาหนดขอ้ มลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

47

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนนิ การแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขียนแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพือ่ รายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

48

5) ในปีการศึกษา 2553 นกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 ห้องหนึง่ ของโรงเรยี นแหง่ หนึ่งมี
จานวน 40 คน มอี ายุเฉล่ยี 15 ปีและความแปรปรวนของอายเุ ท่ากบั 0.36 อีก 2 ปีข้างหน้า ในปี
การศกึ ษา 2555 ถา้ นกั เรียนทง้ั 40 คนนี้ยังคงเรียนอยหู่ อ้ งเดียวกนั จงพิจารณาขอ้ ความทว่ี ่า ในปี
การศึกษา 2555 อายุเฉล่ยี ของนกั เรียนหอ้ งนจ้ี ะเทา่ กบั 17 ปีและความแปรปรวนของอายุของ
นักเรียนหอ้ งนจี้ ะเทา่ กับ 0.36 ขอ้ ความนถ้ี ูกหรือไม่
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเขา้ ใจปญั หา
ปัญหาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………..........................................................................................................................................

ปญั หากาหนดข้อมลู อะไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

49

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวิธแี กป้ ญั หาเพ่ือรายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6) ข้อมูลชุดหนงึ่ มี 4 ค่า ถ้ามัธยฐาน และฐานนยิ มเทา่ กนั คอื 35 และค่าเฉล่ียเลขคณิต
เทา่ กับ 40 และพิสัยเท่ากบั 50 แล้วความแปรปรวนของขอ้ มลู ชดุ นเ้ี ท่ากับเทา่ ใด
การแกป้ ญั หา

1. ทาความเข้าใจปญั หา
ปญั หาตอ้ งการทราบอะไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………...........................................................................................................................................

ปัญหากาหนดขอ้ มูลอะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

50

2. การวางแผนการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ดาเนินการแกป้ ญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. การตรวจสอบผล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เขยี นแสดงวธิ แี กป้ ญั หาเพื่อรายงานผลการแก้ปญั หา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………