เอกสารประกอบการสอน-เรื่อ-เรียงสับเปลี่ยน-5E3T

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์
วชิ าคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน (ค31102)
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

เร่ือง หลักการนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเปน็

ขนั้ ท่ี 1

ทาความเขา้ ใจปญั หา

ขนั้ ท่ี 2

วางแผนแกป้ ัญหา

ขนั้ ท่ี 3

ดาเนนิ การตามแผน

ขนั้ ท่ี 4

ตรวจสอบผล

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการพเิ ศษ

โรงเรียนกมลาไสย

อาเภอกมลาไสย จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต ๒๔
สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบ้ืองต้นและความนา่ จะเป็น 1

คานา

แบบฝึกทักษะกา รแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการ นับเบ้ืองต้น และความน่าจะเป็น
วิชาคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน (ค31102) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทําข้ึนเพื่อยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางกา รเรียน
ในภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2562 โดยจัดทําข้นึ เพื่อประกอบการศกึ ษาเพือ่ พฒั นาการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
เร่ือง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 โดยใชร้ ูปแบบการเรียนรู้แบบ 5E+3T เพ่ือ
พฒั นาผลสมั ฤทธิท์ างการเรยี นและสง่ เสรมิ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

แบบ ฝึ ก ทั ก ษะก า ร แ ก้ ปั ญ ห า คณิ ตศา ส ตร์ ชุ ดนี้ เป็ น แ บ บ ฝึ ก ทั ก ษะ ก า ร แ ก้ ปั ญ ห า ท า ง คณิ ตศา ส ตร์
ทีน่ ักเรยี นสามารถเรียนรไู้ ดด้ ้วยตนเอง มีใบความร้ตู ัวอย่างของแต่ละสาระการเรียนรู้ให้ผู้เรียนได้ศึกษาก่อน
เมื่อเข้าใจแลว้ จงึ ทําแบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์มีเฉลยเพ่อื ให้นกั เรียนได้ตรวจสอบคาํ ตอบ

หวังเป็นอยา่ งย่ิงวา่ แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบ้ืองต้นและความน่า
จะเป็น วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน (ค31102) ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4 น้ี จะเป็นส่วนหนึ่งของเคร่ืองมือท่ีจะช่วย
พัฒนาใหผ้ ูเ้ รยี นเกดิ การเรยี นรู้อยา่ งสมบรู ณ์ มปี ระสิทธภิ าพ เอือ้ ประโยชน์แก่ผู้เรียน ครูผู้สอน ท่ีมีความสนใจ
ตามสมควร

นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความน่าจะเปน็ 2

สารบัญ

เรือ่ ง หนา้

คํานาํ 1
สารบัญ 2
คาํ ชแี้ จง 5
คําชีแ้ จงสาํ หรบั ครู 6
คําชแ้ี จงการใช้แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์สาํ หรับนกั เรียน 7
ลําดบั ขั้นตอนการแกป้ ัญหาของโพลยา (Polya) 8
สาระการเรียนรู้
9
ใบความรทู้ ่ี 1 13
ใบความรทู้ ี่ 2 15
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 17
แบบฝกึ ทักษะท่ี 2 19
แบบทดสอบหลงั เรยี น เร่อื ง กฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกยี่ วกับการนับ
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ 22
23
เกี่ยวกับการนบั 25
ใบความรทู้ ่ี 3 26
ใบความรูท้ ี่ 4 28
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 30
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 33
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรอื่ ง แฟกทอเรียล 34
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น เร่อื ง แฟกทอเรียล 35
ใบความรูท้ ่ี 5 36
ใบความรู้ที่ 6 37
แบบฝกึ ทักษะที่ 5
แบบฝึกทักษะท่ี 6

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความน่าจะเปน็ 3

สารบัญ(ต่อ)

เร่ือง หน้า

สาระการเรยี นรู้ 39
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรือ่ ง วธิ ีเรยี งสับเปลีย่ น 42
กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลงั เรียน เรือ่ ง วิธีเรียงสับเปลย่ี น 43
ใบความรทู้ ี่ 7 44
ใบความรู้ท่ี 8 46
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 7 47
แบบฝกึ ทักษะที่ 8 49
แบบทดสอบหลังเรยี น เรอื่ ง วธิ กี ารจดั หมู่ 52
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลังเรยี น เรอ่ื ง วิธกี ารจดั หมู่ 53
ใบความรทู้ ่ี 9 54
ใบความรู้ท่ี 10 57
แบบฝึกทกั ษะท่ี 9 58
แบบฝกึ ทักษะที่ 10 60
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง การทดลองส่มุ 63
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง การทดลองสมุ่ 64
ใบความรู้ท่ี 11 65
ใบความรทู้ ่ี 12 66
แบบฝกึ ทักษะท่ี 11 67
แบบฝึกทกั ษะท่ี 12 69
แบบทดสอบหลงั เรียน เรอ่ื ง เหตุการณ์ 72
กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น เรือ่ ง เหตกุ ารณ์ 73
ใบความรู้ที่ 13 76
ใบความรทู้ ่ี 14 77
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 13 78
แบบฝึกทกั ษะที่ 14 80
แบบทดสอบหลังเรียน เรือ่ ง ความน่าจะเป็น 83
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น เรื่อง ความนา่ จะเปน็

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็ 4

สารบญั

เรื่อง หนา้

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 84
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2 87
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ียวกบั การนบั 89
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 3 90
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4 92
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล 94
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 5 95
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 6 96
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน เรอ่ื ง วิธกี ารจัดหมู่ 98
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 7 99
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 8 100
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน เรื่อง การทดลองสมุ่ 102
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 9 103
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 10 104
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรอ่ื ง เหตกุ ารณ์ 106
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 11 107
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 12 108
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง ความนา่ จะเป็น 110
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 13 111
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 14 112
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ความนา่ จะเป็น 114

บรรณานกุ รม 115

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบื้องตน้ และความนา่ จะเป็น 5

คาชแ้ี จง

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น
วชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน (ค31102) ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 จดั ทาํ ข้ึน เล่มนี้ ประกอบดว้ ย

1. คาํ ชแ้ี จงในการใช้แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับ
เบอื้ งต้นและความน่าจะเปน็ วิชาคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน (ค31102) ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 สําหรับ
ครูและนกั เรียน

2. ใบความรู้แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบื้องต้นและ
ความนา่ จะเปน็

3. แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบื้องต้นและความน่า
จะเป็น

4. เฉลยแบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้นและ
ความน่าจะเปน็

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น
วชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน (ค31102) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
เพ่ือประกอบการศึกษาเพอื่ พัฒนาการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เร่ือง หลักการนับเบ้ืองต้นและ
ความน่าจะเป็น ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 โดยใช้รูปแบบการเรียนรู้แบบ 5E+3T เพ่ือพัฒนา
ผลสมั ฤทธทิ์ างการเรียนและสง่ เสรมิ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ นักเรียนสามารถศึกษา
เรียนรู้และทาํ แบบฝึกทักษะได้ตามลาํ ดับขน้ั ตอนท่กี ําหนดไว้ ซ่ึงจะทําให้นักเรียนได้รับความรู้
และประสบการณ์เรียนรู้ที่เป็นประโยชน์ต่อตนเองในการคิดวิเคราะห์ แก้ปัญหาทางด้าน
คณติ ศาสตรจ์ นสามารถนาํ ไปประยกุ ต์ใช้ในชีวติ ประจาํ วันได้

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น 6

คาชีแ้ จงสาหรบั ครู

u เตรยี มเอกสารแบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบอื้ งตน้ และ
ความน่าจะเป็น วชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน (ค31102) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ให้เพียงพอกับจํานวนนักเรียน

v ผู้สอนต้องศึกษาเนื้อหา ใบความรู้ ตัวอย่างในบทเรียนใหเ้ ขา้ ใจล่วงหนา้ อย่างละเอยี ด
w ช้แี จงบทบาทของนกั เรียนในการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง
หลกั การนบั เบ้อื งตน้ และความนา่ จะเป็น วิชาคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน (ค31102) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
x คอยใหค้ ําปรึกษาแกน่ ักเรยี นทุกข้นั ตอนอยา่ งใกล้ชิด ในขณะที่นักเรยี นปฏบิ ัติกิจกรรม
y เก็บขอ้ มูลของนกั เรยี น เพอื่ พัฒนาความกา้ วหน้า

ต้งั ใจศกึ ษาเรยี นรู้
เพือ่ อนาคตทส่ี ดใส

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเป็น 7

คาช้แี จงในการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์สาหรบั นักเรยี น

1. นักเรียนอ่านคําช้ีแจงและคําแน ะนํา ในการทําแบบฝึกทักษะกา รแก้ปัญหา
คณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบื้องตน้ และความน่าจะเปน็ วชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน (ค31102)
ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ใหเ้ ขา้ ใจกอ่ นทํากจิ กรรมทุกคร้งั

2. ศกึ ษาใบความรู้แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบ้ืองต้น
และความน่าจะเป็น วิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน (ค31102) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 แต่ละเรื่องให้
เขา้ ใจแลว้ ลงมอื ทาํ ตามลําดับ

3. เมื่อนักเรียนมปี ัญหาหรอื ทาํ แบบฝึกทักษะไม่ได้ ใหก้ ลบั ไปอ่านสาระการเรียนรู้หรือ
ศกึ ษาใบความรู้ตัวอย่างอีกคร้ังหรือปรึกษาครูผสู้ อน

4. การเขยี นคาํ ตอบของแบบฝึกทักษะให้นักเรยี นทําด้วยความรอบคอบ ตามขั้นตอน
ใหผ้ ลงานมคี วามถูกตอ้ ง สะอาดเรยี บร้อย สวยงาม

5. ฝกึ ปฏบิ ตั ติ ามแบบฝกึ ทกั ษะแล้วตรวจสอบคําตอบตามเฉลย ถ้าทําได้น้อยกว่า 80%
ของแต่ละแบบฝกึ ทักษะใหก้ ลบั ไปทบทวนใหม่

6. สรปุ ผลการเรยี น ประเมนิ ปรับปรงุ และพฒั นาตนเอง
7. การศึกษาตามแบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบ้ืองต้น
และความน่าจ ะเป็น วิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน (ค31102) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มนี้
จะไมบ่ รรลุ ผลสาํ เรจ็ ถา้ นักเรยี นขาดความซ่อื สตั ย์ในการทาํ แบบฝึกทักษะ

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบ้อื งต้นและความนา่ จะเป็น 8

ลาดบั ขนั้ ตอนการแกป้ ญั หาของโพลยา (Polya)

ข้นั ท่ี 1 ส่ิงทโ่ี จทยถ์ าม โจทยถ์ ามอะไร
ทําความเขา้ ใจปญั หา สิง่ ท่โี จทย์บอก
โจทย์บอกอะไร
ขน้ั ที่ 2 ตอบปัญหา
วางแผนแกป้ ัญหา สรุปปญั หา แตกปญั หาออกมาเป็นข้อ
ยอ่ ย ๆ หาวธิ ีการสรุป จะใช้
ข้นั ที่ 3 ตรวจสอบ วิธใี ด มีอะไรเปน็ สง่ิ ทตี่ อ้ งรู้บา้ ง
ดาํ เนินการตามแผน วางแผนไปตามนน้ั

ขัน้ ที่ 4 นาํ ข้อมลู ทแ่ี ยกแยะ
ตรวจสอบผล ออกมาหาข้อสรุปรวม
ขั้นสดุ ทา้ ย

ตรวจดูว่าทําตามที่โจทย์
บอกครบหรือไม่
ทาํ ถกู ตอ้ งหรือไม่

มสี ติ คดิ อยา่ งรอบคอบ แล้วปญั ญาจะเกดิ
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ 9

ใบความรู้ที่ 1
เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเกี่ยวกบั การนับ

กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกี่ยวกบั การนับ

ในชวี ติ ประจําวนั เรามักจะพบปญั หาเกีย่ วกับการนบั จาํ นวนวธิ ีทั้งหมดท่เี หตุการณอ์ ย่างใดอยา่ งหนง่ึ
จะเป็นไปได้ หรอื จาํ นวนวธิ ีในการจัดชดุ ของสง่ิ ต่าง ๆ เชน่ การจัดการแขง่ ขันกฬี า การจัดชดุ เสอ้ื ผ้า การจดั
ชุดอาหาร เปน็ ตน้ การคาํ นวณเพ่ือหาคาํ ตอบสําหรับปญั หาประเภทต่าง ๆ ดังกลา่ ว จะทาํ ไดง้ ่ายและสะดวก
รวดเรว็ ขึน้ ถ้าเขา้ ใจกฎเกณฑบ์ างข้อซึง่ เรยี กว่า หลกั มลู ฐานเก่ยี วกบั การนบั

หลกั การคูณ ถ้าต้องการทํางานอย่างหนง่ึ มี k ข้ันตอน ข้ันตอนท่ีหนง่ึ มีวิธีเลือกทาํ ได้ n1 วธิ ี ในแต่ละวิธี
ของข้นั ตอนทห่ี นง่ึ มวี ธิ ีเลอื กทาํ ขัน้ ตอนท่สี องได้ n2 วธิ ี ในแต่ละวิธีของข้ันตอนทีห่ น่งึ และขน้ั ตอนทีส่ องมี
วิธีเลอื กทําขน้ั ตอนทีส่ ามได้ n3 วิธี เชน่ นี้เร่อื ยไปจนถึงขั้นตอนสดุ ท้าย คือ ขน้ั ตอนที่ k-1 จะทําได้ nk วิธี
จะทํางาน k ข้ันตอนน้ไี ด้ n1× n2 × n3 × … × nk วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 โรงเรยี นแห่งหน่ึงจดั อาหารกลางวนั เปน็ อาหารคาว 4 อยา่ ง และขนม 3 อย่าง ใหน้ ักเรยี น
เลือกรบั ประทานชนดิ ละ 1 อย่าง อยากทราบว่านกั เรียนจะมีวิธีเลอื กอาหารคาวและขนมได้ท้ังหมดก่ีวธิ ี

แนวคิด โจทยข์ ้อนต้ี อ้ งการใหเ้ ลือกอาหารคาว 1 อย่าง และขนม 1 อย่าง
ดังนนั้ การทาํ งานในข้อนม้ี ี 2 ขั้นตอน

วธิ ีทํา
ข้ันตอนที่ 1 เลือกอาหารคาวได้ 4 วธิ ี (มีอาหารคาว 4 อยา่ ง)
ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กขนมได้ 3 วธิ ี (มขี นม 3 อยา่ ง)

ดงั นัน้ จะมีวิธีเลอื กอาหารคาวและขนมไดท้ ั้งหมด 4×3 = 12 วิธี

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น 10

หลักการบวก ถา้ การทาํ งานหนึ่งมวี ิธกี ารทํา k วธิ ี คือ วธิ ที ี่ 1 ถึงวธิ ที ี่ k โดยที่ การทํางานวธิ ที ี่ 1 มวี ธิ ีทํา
n1 วิธี การทาํ งานวิธีท่ี 2 มวี ธิ ีทาํ n2 วิธีการทํางานวธิ ที ี่ 3 มีวธิ ที ํา n3 วธิ ี… การทํางานวธิ ที ่ี k มวี ธิ ที าํ nk วธิ ี
และวธิ กี ารทํางานแตล่ ะวิธีแตกต่างกัน แล้วจํานวนวธิ กี ารทาํ งานนีเ้ ทา่ กบั n1 + n2 + n3 + … + nk วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 2 บต้ี อ้ งการเดนิ ทางไปเชียงใหม่ ซ่ึงสามารถไปไดโ้ ดยขนึ้ รถทัวร์ รถไฟ และเคร่ืองบนิ ถา้ ในวันหนงึ่ ๆ
มรี ถทัวร์ไปเชยี งใหม่ 5 เทีย่ ว รถไฟ 3 เที่ยว และเครอื่ งบิน 2 เทีย่ ว บ้มี วี ิธีในการเดินทางไปเชียงใหมไ่ ด้แตกตา่ ง
ทัง้ หมดก่ีวธิ ี

แนวคดิ โจทย์ข้อนีต้ อ้ งหาวธิ ีการเดนิ ทางไปเชียงใหมโ่ ดยรถทวั ร์ รถไฟ และเครอื่ งบนิ ดังนนั้
การทํางานในข้อน้ีมี 3 วธิ ี คือ เดนิ ทางโดยรถทัวร์ เดินทางโดยรถไฟ หรือเดนิ ทางโดยเครื่องบนิ

วธิ ที าํ เลอื กเดนิ ทางโดยรถทัวรไ์ ด้ 5 วิธี (มี 5 เท่ียว)
เลอื กเดนิ ทางโดยรถไฟได้ 3 วิธี (มี 3 เทยี่ ว)
เลอื กเดนิ ทางโดยเครือ่ งบนิ ได้ 2 วิธี (มี 2 เทยี่ ว)

ดงั นนั้ จาํ นวนวิธีการในการเดินทางไปเชยี งใหมม่ ที ้ังหมด 5+3+2 = 10 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 นายดาํ มีเสื้อ 2 ตัว สีตา่ งกนั และกางเกง 3 ตวั สตี า่ งกัน จงหาจาํ นวนวธิ ีทัง้ หมดทนี่ ายดาํ
สวมเสอ้ื และกางเกงเปน็ ชุดตา่ ง ๆ กัน

แนวคดิ โจทยข์ อ้ น้ีต้องหาจํานวนวิธีท้งั หมดท่ีนายดําสวมเส้อื และกางเกงเปน็ ชดุ ต่าง ๆ กนั
ดงั นั้น การทํางานในข้อน้ีมี 2 วธิ ี

วิธที าํ นายดาํ มีวิธเี ลือกสวมเสอ้ื ได้ 2 วิธี
และเลือกสวมกางเกงได้ 3 วิธี

ดังนนั้ นายดาํ มีวิธสี วมเส้อื และกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันได้ 2  3 = 6 วิธี
หรอื อาจจะใชแ้ ผนภาพต้นไม้ในการหาคําตอบไดด้ งั นี้

ใช้หวั ใจนกั ปราชญ์ สุ จิ ปุ ลิ
ในการเรียนรูน้ ะคะ

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเป็น 11

เสื้อ กางเกง ผลลัพธ์

ก1 (ส1 , ก1)

ส1 ก2 (ส1 , ก2)

ก3 (ส1 , ก3)

ก1 (ส2 , ก1)

ส2 ก2 (ส2 , ก2)
ก3 (ส2 , ก3)

จากแผนภาพต้นไม้ จะไดว้ า่
จาํ นวนวธิ ีทั้งหมดทน่ี ายดําเลือกสวมเสื้อและกางเกงเปน็ ชุดต่าง ๆ กนั เท่ากับ 6 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 4 มีบตั ร 4 ใบ คอื 1 2 3 4 นาํ บตั รเหล่านี้มาเรยี งเปน็ จํานวนท่ีมีสองหลกั
ได้กจ่ี ํานวน

วธิ ีทา จํานวนวธิ ที เ่ี ลอื กบัตร 4 ใบ วางในหลักสิบได้ 4 วธิ ี

จํานวนวธิ ีที่เลือกบัตร 3 ใบ วางในหลกั หนว่ ย 3 วธิ ี

 จาํ นวนที่มีสองหลกั เทา่ กบั 4  3 = 12 จาํ นวน

หรืออาจเขยี นเป็นแผนภาพต้นไม้ ได้ดงั น้ี

2 1 1 1
13 23 32
42
44 4 3

จํานวนทมี่ สี องหลัก คือ 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
 จํานวนท่ีมี 2 หลกั เทา่ กบั 12 จาํ นวน

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 12

ตวั อย่างท่ี 5 จงนาํ อกั ษรจากคําว่า SPECIAL มาจดั เป็นคาํ ใหม่ โดยไมค่ าํ นึงถึงความหมาย
จะจดั เปน็ คาํ ทีแ่ ตกตา่ งกนั ได้กจ่ี ํานวน

วธิ ที า ตําแหน่งที่ 1 2 3 4 5 6 7
ตวั อกั ษร S P E C I A L

เลือกตัวอักษร 1 ตวั จาก 7 ตัว วางในตําแหนง่ ที่ 1 ได้ 7 วธิ ี
เลอื กตัวอักษร 1 ตัว จาก 6 ตวั วางในตําแหนง่ ที่ 2 ได้ 6 วิธี
เลอื กตัวอักษร 1 ตวั จาก 5 ตัว วางในตาํ แหน่งท่ี 3 ได้ 5 วธิ ี
เลอื กตวั อกั ษร 1 ตัว จาก 4 ตวั วางในตําแหนง่ ท่ี 4 ได้ 4 วิธี
เลอื กตวั อกั ษร 1 ตัว จาก 3 ตัว วางในตําแหน่งท่ี 5 ได้ 3 วธิ ี
เลือกตัวอกั ษร 1 ตัว จาก 2 ตวั วางในตําแหน่งที่ 6 ได้ 2 วิธี
เลือกตวั อกั ษร 1 ตวั จาก 1 ตวั วางในตําแหนง่ ที่ 7 ได้ 1 วธิ ี

 จํานวนวธิ ที ่เี ลือกตวั อักษรจาก SPECAIL มาเรียงเป็นคาํ ได้ทัง้ หมด

7  6  5  4  3  2  1 = 5040 จาํ นวน

ตัวอยา่ งท่ี 6 บริษัทผู้ผลิตเสือ้ ผ้าสําเร็จรูปบรษิ ัทหน่ึง ผลิตเสือ้ 4 แบบ แต่ละแบบมี 6 สี แตล่ ะสีมขี นาด

ต่างกัน 3 ขนาด ถ้าจะจดั เขา้ ตู้โชว์หน้าร้านใหค้ รบทุกแบบ ทุกสี และทกุ ขนาด จะตอ้ งใชเ้ สื้อ

ทัง้ หมดกีต่ ัว

วธิ ที า ขน้ั ท่ี 1 จดั แบบเสือ้ ได้ 4 วิธี

ข้ันท่ี 2 จัดสเี ส้ือได้ 6 วิธี

ขัน้ ที่ 3 จดั ขนาดเสอื้ ได้ 3 วิธี

จะจัดเสื้อเข้าต้โู ชวห์ น้าร้านได้ทง้ั หมด 463  72 วิธี

ถ้าจะจัดเส้ือเข้าตโู้ ชวห์ น้ารา้ นใหค้ รบทกุ แบบ ทกุ สี และทุกขนาด จะต้องใชเ้ ส้ือทัง้ หมด 72 ตวั

ใชห้ ัวใจนกั ปราชญ์ สุ จิ ปุ ลิ ในการเรียนรนู้ ะคะ

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบื้องต้นและความนา่ จะเปน็ 13

ใบความรู้ที่ 2
เร่อื ง การแก้โจทยป์ ัญหากฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกี่ยวกบั การนับ

ขน้ั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา
- สง่ิ ที่โจทย์กาํ หนดให้
- สง่ิ ที่โจทย์ต้องการทราบ

ขั้นที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา แปลงขอ้ มลู ท่มี อี ย่ใู นโจทยป์ ญั หาไปสแู่ ผนภาพ
ข้ันท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน หาคําตอบของโจทย์ปัญหา ด้วยการแสดงวธิ ีทํา
ข้ันที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ข้อมลู และเงอื่ นไขที่กําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่

ตวั อยา่ ง ในการสัมมนามีการจัดอาหารวา่ งให้สําหรับผมู้ าสัมมนา เปน็ ขนมหวาน 3 ชนดิ และเครอื่ งดื่ม
2 ชนดิ อยากทราบว่าจะสามารถจัดอาหารวา่ งใหก้ บั ผทู้ ่มี าสัมมนาไดท้ งั้ หมดก่วี ธิ ี

ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา
- สิ่งท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ คอื มขี นมหวาน 3 ชนดิ และเครอ่ื งดื่ม 2 ชนดิ
- สิ่งทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คอื จะสามารถจัดอาหารวา่ งไดท้ ั้งหมดกี่วิธี

ขนั้ ท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา แปลงขอ้ มูลที่มอี ยใู่ นโจทยป์ ัญหาไปสแู่ ผนภาพ

ให้ ข แทนขนมหวาน
ค แทนเคร่อื งดื่ม

จะสามารถจัดอาหารว่างไดท้ ัง้ หมด โดยใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบอื้ งต้นและความนา่ จะเปน็ 14

ขน้ั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน หาคาํ ตอบของโจทย์ปัญหา ดว้ ยการแสดงวิธที ํา
วธิ ที า มวี ธิ ีเลอื กขนมหวานได้ 3 วิธี

และในแตล่ ะวธิ ที ่ีเลอื กขนมหวานจะเลือกเครอ่ื งด่มื ได้ 2 วธิ ี
ดงั นัน้ จํานวนวธิ ีทัง้ หมดที่จะจัดอาหารว่างเทา่ กบั 3 × 2 = 6 วธิ ี

ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคล้องกับขอ้ มูลและเง่ือนไขท่ีกําหนดในโจทย์ปญั หาหรือไม่
จํานวนวธิ ีทัง้ หมดท่จี ะจดั อาหารว่างเทา่ กบั 3 × 2 = 6 วธิ ี

สอดคล้องกบั ขอ้ มลู ที่โจทย์กําหนดให้

เรียนรทู้ ําความเข้าใจ
ไปพรอ้ มกับลาํ ดบั ข้ันตอน
ในการแกป้ ัญหาเพ่อื หาคําตอบดว้ ยนะคะ

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ 15

แบบฝึกทกั ษะที่ 1

เรือ่ ง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เก่ยี วกบั การนับ

ตอนท่ี 1 ให้นักเรยี นเติมคําตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ตอ้ งสมบรู ณ์ (ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมเปน็ 5 คะแนน)

ข้อที่ คาถาม คาตอบ

1 มีเลขโดด 10 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
นาํ เลขโดดเหล่าน้มี าสรา้ งจาํ นวนทีม่ ีสองหลักไดก้ ่ีจาํ นวน

2 จงหาจาํ นวนวธิ ที ง้ั หมดในการทําขอ้ สอบปรนัย 4 ตัวเลอื ก
จาํ นวน 10 ข้อ

3 มีนก 3 ตวั และต้นไมใ้ หญ่ 4 ตน้ จงหาจาํ นวนวธิ ที ่นี ก 3 ตัว
บินไปเกาะต้นไม้ 4 ต้นนี้ ไดก้ ีว่ ิธี

ห้องประชุมหอ้ งหนึง่ มีประตูเข้า-ออก 8 ประตู ผูเ้ ข้าประชมุ

4 แตล่ ะคนจะมีวิธีเดนิ เข้า-ออกห้องประชุมแหง่ น้โี ดยออกไม่ซาํ้

ประตเู ดิมได้ก่วี ธิ ี

ในการจับฉลากเพ่อื หยบิ รายชอื่ นกั เรยี นทม่ี อี ยู่ 100 คน

5 เข้ารับรางวัลท่ี 1, 2 และ 3 ตามลาํ ดับ จงหาจาํ นวนวิธี

ท่จี ะเกดิ ขึน้ ทง้ั หมด

เพื่อความรคู้ วามเข้าใจทชี่ ดั เจนและถูกตอ้ ง
มเี วลากลับไปศกึ ษาเรยี นรูอ้ ีกรอบนะคะ

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบื้องตน้ และความนา่ จะเปน็ 16

ตอนท่ี 2 ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธที ําหาคําตอบใหถ้ ูกต้อง (รวม 5 คะแนน)

1. มีถนนจากกรุงเทพ ฯ ถงึ ลพบรุ ี 3 สาย และมถี นนจากลพบรุ ถี ึงนครราชสมี า 4 สาย ถา้ จะขบั รถยนต์
จากกรงุ เทพ ฯ ถงึ นครราชสมี า โดยขบั ผ่านจังหวัดลพบรุ ี จะใชเ้ ส้นทางที่ต่างกันไดท้ งั้ หมดกีเ่ ส้นทาง
(เขียนแผนภาพแสดงการเดนิ ทางเพือ่ ประกอบคาํ ตอบด้วย) (2 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาวา่ จากเลขโดด 0–9 จะมีวธิ ีเขียนตัวเลขแสดงจาํ นวนตอ่ ไปนไ้ี ด้ก่ีวธิ ี โดยให้เลขโดดในแต่ละหลักซา้ํ กนั ได้
2.1 จาํ นวนเต็มบวกที่มีส่หี ลกั (1 คะแนน)
2.2 จาํ นวนค่ีท่ีมีสห่ี ลกั (1 คะแนน)
2.3 จํานวนทมี่ สี ห่ี ลกั ทหี่ ลกั หน่วยเปน็ ศนู ย์ (1 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

มสี ติ คิดอย่างรอบคอบ แล้วปญั ญาจะเกดิ

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเป็น 17

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2
เรอื่ ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เก่ียวกับการนับ

คาส่งั : ให้นกั เรยี นแสดงวิธีทาํ และหาคาํ ตอบให้ถูกต้องจากคาํ ถามต่อไปน้ี (5 คะแนน)
1. ตอ้ งการสรา้ งจาํ นวนค่บู วกสห่ี ลกั จากตัวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแต่ละหลักใชต้ ัวเลขไมซ่ า้ํ กันจะสรา้ งได้
ท้ังหมดกจี่ ํานวน (5 คะแนน)
ขนั้ ท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (1 คะแนน)

- สงิ่ ท่ีโจทย์กําหนดให้ คือ

- ส่งิ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบ คอื

ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา (1 คะแนน)

ขนั้ ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธีทํา (2 คะแนน)
วิธีทาํ

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล (1 คะแนน)

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบื้องต้นและความน่าจะเปน็ 18

2. ถ้าตอ้ งการทาํ ปา้ ยเพื่อแสดงแบบ สี และขนาด ของรองเทา้ กีฬา 6 แบบ แตล่ ะแบบมี 3 สี และแต่ละสี
มี 5 ขนาด จะต้องจดั ทาํ ปา้ ยทตี่ ่างกันท้งั หมดกป่ี ้ายจึงจะครบทุกแบบ ทุกสี และทกุ ขนาด (5 คะแนน)

ขั้นที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา (1 คะแนน)
- สงิ่ ทโี่ จทยก์ ําหนดให้ คอื

- สงิ่ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ คือ

ข้ันที่ 2 วางแผนแกป้ ญั หา (1 คะแนน)

ขนั้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ีทํา (2 คะแนน)
วธิ ีทํา

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล (1 คะแนน)

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความน่าจะเปน็ 19

แบบทดสอบหลงั เรยี น
เร่อื ง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกย่ี วกับการนับ

คาช้แี จง

1. แบบทดสอบฉบบั น้ีมีจํานวน 10 ข้อ ใหเ้ วลาทาํ 15 นาที
2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั เลอื กตอบชนิด 4 ตัวเลอื ก ให้นกั เรยี นเลอื กคําตอบ

ท่ถี ูกท่ีสดุ เพียงข้อเดียวด้วยเครอื่ งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. ต้องการนําตัวอักษรภาษาอังกฤษ T, A, R, O มาสรา้ งเป็นคําท่ีประกอบดว้ ย 3 ตัวอักษรทไ่ี ม่ซํ้ากัน
โดยไมค่ ํานงึ ถึงความหมาย จะได้จํานวนวธิ ตี รงกับข้อใด
ก. 12 วธิ ี
ข. 16 วิธี
ค. 24 วิธี
ง. 32 วธิ ี
2. การแข่งขันบาสเกตบอลระหวา่ งทีม A และ ทมี B โดยมกี ติกาว่า ทีมที่ชนะ 3 ครัง้ จะเป็นผชู้ นะ ตามกติกานี้
ข้อใดคอื จาํ นวนวิธขี องการแขง่ ขนั ทงั้ หมด
ก. 12 วิธี
ข. 20 วธิ ี
ค. 24 วธิ ี
ง. 30 วิธี
3. ขอ้ ใดคอื จาํ นวนวธิ ที ี่แตกต่างกนั ของการโยนเหรยี ญ 2 อันพร้อมกัน 1 คร้งั
ก. 2 วิธี
ข. 3 วิธี
ค. 4 วธิ ี
ง. 8 วิธี
4. มีสลากเขียนเลขไว้ 1, 4, 5, 7, 8 จะนําเลขเหลา่ นีม้ าสร้างเลขจาํ นวน 2 หลัก ได้จาํ นวนวิธตี รงกบั ขอ้ ใด
โดยท่เี ลขไม่ซํา้ กนั
ก. 15 วิธี
ข. 16 วธิ ี
ค. 20 วธิ ี
ง. 25 วธิ ี

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น 20

5. มะลิตอ้ งการส่ังชดุ อาหารจากกบั ขา้ ว 2 อยา่ ง และขนมหวาน 3 อย่าง ขอ้ ใดคือจํานวนชุดอาหารที่แตกตา่ งกนั
ก. 5 วธิ ี
ข. 12 วธิ ี
ค. 7 วธิ ี
ง. 36 วธิ ี

6. จากการสอบถามเพ่อื นจาํ นวน 3 คน เก่ียวกับความชอบดาราคนหนึ่ง ซึ่งเพื่อนสามารถตอบไดว้ า่ ชอบ ไม่ชอบ
หรอื เฉย ๆ ขอ้ ใดคือจํานวนวิธกี ารตอบของเพื่อนทง้ั หมด
ก. 9 วิธี
ข. 12 วธิ ี
ค. 27 วิธี
ง. 81 วิธี

7. ถุงใบท่ี 1 มีลูกบอลสแี ดงท่ีแตกตา่ งกนั 4 ลกู สขี าวทีแ่ ตกต่างกัน 3 ลูก ถุงใบทีส่ องมีลกู บอลสีแดงท่ี
แตกตา่ งกนั 3 ลูก สีขาวท่แี ตกตา่ งกัน 3 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุงใบท่หี นง่ึ และใบทส่ี องถงุ ละ 1 ลูก
จะมกี ี่วธิ ีทลี่ กู บอลทั้งสองลกู มสี ีเหมือนกนั
ก. 21 วธิ ี
ข. 24 วธิ ี
ค. 32 วธิ ี
ง. 36 วธิ ี

8. มเี ลขโดดอยู่ 4 ตัว คอื 1, 4, 5 และ 7 จะสร้างเลข 3 หลักที่เป็นจํานวนค่ไู ด้กีจ่ าํ นวน โดยไมใ่ หต้ ัวเลขซ้ํากนั
ก. 6 วิธี
ข. 12 วธิ ี
ค. 24 วิธี
ง. 27 วธิ ี

9. มีจดหมายอยู่ 4 ฉบับ ต้องการท้งิ ลงในตูจ้ ดหมาย 6 ตู้ จะทง้ิ ไดก้ ี่วธิ ี
ก. 24 วิธี
ข. 48 วิธี
ค. 46 วิธี
ง. 64 วธิ ี

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบือ้ งตน้ และความนา่ จะเป็น 21

10. จากอักษรในคําว่า “COMBINE” เลอื กตวั อกั ษรเหลา่ นี้มาสรา้ งเปน็ คํา ซึง่ ประกอบดว้ ยตัวอกั ษร 4 ตัว
ท่ีไม่ซํ้ากนั ได้กค่ี าํ ถา้ คํานน้ั ตอ้ งมสี ระอยู่หน้า และลงทา้ ยดว้ ย M
ก. 36 วธิ ี
ข. 52 วิธี
ค. 60 วธิ ี
ง. 96 วธิ ี

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น 22

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน
เรอ่ื ง กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เก่ียวกบั การนับ

ชื่อ………………………………………………….……………..ชั้น………………..เลขท่ี………..….

ข้อ ก ตวั เลือก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ผลการประเมิน เตม็ (10)
คะแนน
ได้
รอ้ ยละ

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบื้องตน้ และความนา่ จะเปน็ 23

ใบความรู้ท่ี 3
เร่ือง แฟกทอเรียล

นิยาม เมอ่ื n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก แฟกทอเรียล n หมายถึง ผลคณู ของจาํ นวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1
ถงึ n เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! อ่านวา่ แฟกทอเรียลเอน็ หรอื เอ็นแฟกทอเรยี ล

n! = 1×2×3×…×(n-2)×(n-1)×n

ตัวอย่างที่ 1 1! = 1
2! = 2×1 = 2
3! = 3×2×1 = 6
4! = 4×3×2×1 = 24
5! = 5×4×3×2×1 = 120

ข้อสังเกต จะเห็นได้วา่ n! = n(n – 1)(n – 2) … 1 ขอ้ ควรระวงั
= n[(n – 1)(n – 2) …1] 1. 3! + 4! ≠ (3+4)!
= n[(n – 1)!] 2. 4! X 3! ≠ (4 x 3)!
3. 5! ≠ 5 !
เช่น 10! = 10×9!
= 10×9×8! 2! 2
= 10×9×8×7!
4. −3 ! ไมน่ ิยาม เพราะ -3 ∈ I−

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาํ ตอบของ

1) 5! + 7! 2) 9! – 8!

วธิ ีทา 1) 5! + 7! = 5! + (7×6×5!) 2) 9! - 8! = ( 9×(9-1)! ) – 8!
= 5! + (42×5!) = (9×8!) – 8!
= (1 + 42) × 5! = (9 - 1)8!
= 45 × 5! = 8 × 8!

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบอื้ งต้นและความนา่ จะเปน็ 24

ตัวอย่างท่ี 3 จงเขยี นผลคูณตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรูปแฟกทอเรยี ล

1) 12 × 11 × 10 × … × 3 × 2 × 1 = 12!

2) n(n-1)(n-2)(n-3) = − −2 − − != !
−!
−!

ตัวอย่างที่ 4 จงหาคาํ ตอบของ 2 ! ใหอ้ ยใู่ นรปู ซึ่งไม่มีแฟกทอเรยี ล

−!

วิธที า 2! = 2 −! − ! = (n+2)(n+1)n
−!

ตวั อย่างท่ี 5 จงหา n เม่อื n− ! = 12

n− !

วธิ ีทา n− ! = 12

n− !
n− n−2 n− !
n− ! = 12

(n-1)(n-2) = 12

n2 - 3n - 10 = 0

(n -5)(n+2) = 0

n = 5 , -2

ถา้ n = -2 แลว้ n-1 และ n-3 เปน็ จํานวนเต็มลบ ซ่ึงเป็นไปไม่ได้ เพราะเราไม่ได้นยิ าม n!
เมือ่ n เปน็ จํานวนเตม็ ลบ ดังนัน้ n = 5

มสี ติ คิดอยา่ งรอบคอบ แล้วปัญญาจะเกิด

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็ 25

ใบความรูท้ ่ี 4
เร่อื ง การแกโ้ จทย์ปัญหาเกี่ยวกับแฟกทอเรียล

ข้นั ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา
- สง่ิ ทีโ่ จทย์กําหนดให้
- สง่ิ ทีโ่ จทยต์ ้องการทราบ

ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา แปลงขอ้ มลู ทีม่ ีอยใู่ นโจทย์ปญั หาไปสแู่ ผนภาพ
ข้ันท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน หาคําตอบของโจทยป์ ัญหา ดว้ ยการแสดงวิธที าํ
ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ทก่ี าํ หนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่

ตวั อย่าง จงหาคา่ ของ !

− !

ขน้ั ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา
- สงิ่ ทีโ่ จทยก์ ําหนดให้ คอื !

− !

- สงิ่ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบ คือ หาค่าของ !

− !

ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา
! กระจายในรูปการคณู ตามนยิ ามแฟกทอเรยี ล

− !

ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ที ํา

วธิ ีทา ! = − −2 − !
− ! − !

=n(n-1)(n-2)

ดงั นน้ั ! =n(n-1)(n-2)

− !

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบผล
! =n(n-1)(n-2) เป็นจริงตามนยิ าม

− !

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบ้อื งตน้ และความนา่ จะเป็น 26

แบบฝึกทกั ษะที่ 3
เรื่อง แฟกทอเรียล

ตอนท่ี 1 : จงหาคาํ ตอบ (4 คะแนน)
1. 6! (1 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ! (1 คะแนน)

!

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ! (1 คะแนน)
…………………5…! …!……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. !2! (1 คะแนน)

!!!

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝึกทักษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น 27

ตอนที่ 2 : จงหาคา่ ของ n จากสมการต่อไปนี้ (6 คะแนน)

1. ! = 930 (2 คะแนน)

−2 !

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ! = 420 (2 คะแนน)

− !

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. − ! = 12 (2 คะแนน)

− !

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 28

แบบฝึกทักษะที่ 4
เร่ือง การแก้โจทย์ปญั หาเกย่ี วกบั แฟกทอเรียล

คาส่ัง : จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปน้ี (10 คะแนน)
1. ! = 56 (5 คะแนน)

−2 !

วธิ ที า ข้ันท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา (1 คะแนน)
- สงิ่ ทโ่ี จทย์กําหนดให้ คอื

- สิง่ ทีโ่ จทย์ต้องการทราบ คือ

ขนั้ ที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา (1 คะแนน)
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขน้ั ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ที ํา (2 คะแนน)
วธิ ีทํา………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ทก่ี ําหนดในโจทยป์ ัญหาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 29

2. ! = 30

− !

วธิ ที า ข้นั ที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา (1 คะแนน)
- ส่งิ ทโ่ี จทยก์ ําหนดให้ คอื

- สิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ คือ

ขน้ั ที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา (1 คะแนน)
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขน้ั ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ีทํา (2 คะแนน)
วธิ ที ํา…………………..…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………… ………… …………… ………… …………… ………… …………… ………… …………… ……
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ท่กี ําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………

มสี ติ คิดอยา่ งรอบคอบ แลว้ ปัญญาจะเกดิ

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น 30

แบบทดสอบหลังเรียน
เรือ่ ง แฟกทอเรียล

คาช้ีแจง

1. แบบทดสอบฉบบั น้ีมีจํานวน 10 ข้อใหเ้ วลาทาํ 15 นาที
2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั เลอื กตอบชนิด 4 ตวั เลือก ใหน้ ักเรียนเลือกคําตอบ

ท่ถี ูกทสี่ ุดเพียงขอ้ เดยี วด้วยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาํ ตอบ

……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. จงเขยี น 20! ในรูปการคูณของจาํ นวน 3 จํานวน

ก. 20! = 201918…1

ข. 20! = 1819 20!

ค. 20! = 2019 18!

ง. 20! = 201918

2. 3! 3 1! มคี า่ เทา่ ใด
ก. 18
ข. 24
ค. 144

ง. 12!

3. ถ้า ! = 56 แล้ว n มีค่าเทา่ ใด

!

ก. 5

ข. 24

ค. 120

ง. 720

4. !  ! มีคา่ เทา่ ใด

! ! 2! !

ก. 3,080

ข. 1,540
ค. 1,260
ง. 630

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความน่าจะเปน็ 31

5. . ! มีคา่ ตรงกับขอ้ ใด
ก. 6!24!
ข. 52
ค. 36
ง. 28

6. ! = 10 มีคา่ ตรงกับข้อใด

− !

ก. 10
ข. 9
ค. 8
ง. 7
7. ! มคี า่ เท่าใด

−!

ก. r +1
ข. r - 1
ค. r(r +1)
ง. r(r-1)
8. ค่า n เมอ่ื ! =1,129 เท่ากบั ข้อใด

−2 !

ก. 35
ข. 36
ค. 40
ง. 45
9. คา่ n เม่ือ (n - 6)!6! = (n - 4)!4!
ก. 10
ข. 12
ค. 15
ง. 20

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนับเบ้อื งตน้ และความนา่ จะเป็น 32

10. 505152…80 เขียนในรปู แฟกทอเรยี ลได้เท่ากบั ขอ้ ใด
ก. !

5!

ข. !

!

ค. !

!

ง. !

!

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 33

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน
เรื่อง แฟกทอเรยี ล

ชอ่ื ................................................................................................เลขที่ ......................ชั้น...................

ข้อ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ผลการประเมิน เตม็ (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบื้องต้นและความน่าจะเปน็ 34

ใบความรทู้ ี่ 5
เรอ่ื ง การเรยี งสบั เปลี่ยน

วิธกี ารเรียงสบั เปล่ยี น คอื วธิ จี ดั เรยี งสิง่ ของซึง่ อาจนาํ มาเพยี งบางส่วนหรือนาํ มาเรยี งทั้งหมด โดยคํานึงถงึ ลําดบั
หรือตําแหนง่ เของสิ่งทจี่ ดั เรียง

 วธิ ีเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของส่งิ ของที่แตกตา่ งกันทั้งหมด

กรณีที่ 1 ถ้ามีสิ่งของท่ีแตกตา่ งกันท้งั หมด n ส่งิ นํามาเรียงสบั เปลี่ยนในแนวเสน้ ตรงและนาํ มาเรียงพรอ้ ม
กันท้ังหมด จาํ นวนวธิ ี = n!

โดยท่ี n! = n (n-1)(n-2) … 1 เม่อื n ≥ 1

กรณีที่ 2 ถา้ มสี ่ิงของ n ส่งิ ซ่งึ แตกตา่ งกันและนาํ มาจัดเรยี งในแนวเส้นตรงทีละ r สงิ่ (r ≤ n) โดยคํานึงถึง

ลําดับ จะได้ จาํ นวนวธิ ี= n Pr = ! ! วธิ ี
−
ในหนังสือบางเล่มอาจจะใช้สัญลกั ษณ์ Pn,r

ตวั อย่างท่ี 1 รถโดยสารคันหนึง่ มีท่วี ่างอยู่ 10 ที่นง่ั ถ้าในคราวหนงึ่ มีผู้โดยสารขึ้นมาบนรถ 4 คน

อยากทราบว่า ผูโ้ ดยสารทง้ั 4 คนสามารถเลือกนง่ั ไดก้ ีว่ ิธี

วธิ ที าํ จํานวนวธิ ี = P10,4 = !
−!
!

=!
= 5,040 วิธี

 วิธีเรียงสับเปลยี่ นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของที่ไม่แตกตา่ งกนั ท้ังหมด

การเรยี งสับเปล่ียนของส่งิ ของ n ส่ิง ท่ไี ม่แตกตา่ งกันทั้งหมดโดยแบ่งเปน็ k แบบในแนวเส้นตรง

ซึ่งมี n1 สิง่ ทีเ่ หมอื นกนั ในแบบที่ 1,n2 สิ่งทเ่ี หมอื นกนั ในแบบท่ี 2 , ... , nk สงิ่ ทีเ่ หมือนกันในแบบท่ี k

จาํ นวนวิธี = ! ; n1+ n2 + … + nk = n

1 ! 2 ! 3!… !

ตวั อย่างท่ี 2 มีลูกบอลสแี ดง 3 ลูก สีขาว 4 ลกู และสดี ํา 4 ลูก จะสามารถจดั ลูกบอลทง้ั หมดให้เรยี ง
เป็นแถวตรงไดก้ ีว่ ธิ ี

วธิ ที าํ จาํ นวนวิธี = 3!141!!4!= 11,550 วิธี

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเปน็ 35

ใบความรทู้ ่ี 6
เรือ่ ง การแก้โจทย์ปัญหาเกยี่ วกับการเรยี งสับเปลี่ยน

ขนั้ ที่ 1 ข้ันศึกษาโจทยป์ ัญหา
- สิ่งที่โจทยก์ ําหนดให้
- ส่งิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ

ขัน้ ที่ 2 สรา้ งแผนหรือวธิ กี ารในการแก้ปัญหา
ข้นั ที่ 3 หาคาตอบของโจทย์ปัญหา ด้วยการแสดงวธิ ที ํา
ขั้นท่ี 4 ทบทวนคาตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ขอ้ มูลและเง่ือนไขที่กาหนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่

ตัวอย่าง จะสรา้ งคาํ โดยสลบั ตัวอักษรคาํ ว่า MEDIANS ไดท้ ัง้ หมดกี่คํา โดยคําที่สร้างขน้ึ ไม่คาํ นึงถงึ
ความหมาย และต้องขนึ้ ตน้ และลงทา้ ยดว้ ยสระเทา่ นัน้

ข้ันที่ 1 ข้ันศกึ ษาโจทยป์ ญั หา
- สง่ิ ทโ่ี จทย์กําหนดให้ คือ ตัวอักษรคําวา่ MEDIANS
- สง่ิ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบ คือ จะสร้างคําโดยสลับตัวอักษรคาํ วา่ MEDIANS ได้ท้ังหมดกคี่ าํ

ขั้นท่ี 2 สร้างแผนหรือวธิ กี ารในการแก้ปัญหา
ตัวอกั ษรมีทง้ั หมด 7 ตัว เปน็ พยัญชนะ 4 ตัว คอื M, D, N, S และเป็นสระ 3 ตวั คอื E, I, A
เงือ่ นไข : คาํ ขึ้นตน้ และลงทา้ ยดว้ ยสระ ในการสรา้ งคํา ประกอบด้วยการทาํ งาน 3 ขน้ั ตอน

ขัน้ ท่ี 3 หาคาตอบของโจทยป์ ัญหา ด้วยการแสดงวิธที าํ
วธิ ที า ในการสรา้ งคาํ ประกอบด้วยการทํางาน 3 ขั้นตอน

ข้ันตอนที่ 1 เลือกสระมา 1 ตวั ไว้ตําแหนง่ แรกได้ 3 วิธี (มสี ระให้เลอื ก 3 ตวั คอื E, I, A)
ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกสระอกี 1 ตัว ไวต้ ําแหน่งทา้ ยสดุ ได้ 2 วธิ ี (มีสระเหลอื ใหเ้ ลือกอีก 2 ตัว)
ขัน้ ตอนท่ี 3 เลือกตัวอักษรทีเ่ หลืออยทู่ ง้ั 5 ตัว ไวต้ าํ แหนง่ ตรงกลาง 5 ตวั

(มพี ยญั ชนะ 4 ตัวรวมกบั สระที่เหลืออกี 1 ตัว) สลบั ทไี่ ด้ 5! วิธี

3 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 × 2

ขนึ ้ ต้นด้วยสระ 5! ลงท้ายด้วยสระ

จะสร้างคาํ ไดท้ ง้ั หมด 3 × 2 × 5! = 720 คํา

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเปน็ 36

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5
เร่ือง การเรยี งสบั เปลี่ยน
คาช้ีแจง : จงแสดงวิธีทาํ อย่างละเอียดในการหาคาํ ตอบต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1. ทศพลมีหนังสอื อยู่บนชน้ั จํานวน 12 เล่ม เป็นนวนิยาย 5 เล่ม เปน็ สารคดี 3 เล่ม และทเ่ี หลือเป็นนิตยสาร
ทศพลจะทําการจัดวางเรียงหนงั สือบนชั้นไดท้ ง้ั หมดก่ีวิธี
1.1 จดั อยา่ งไรกไ็ ด้ (2 คะแนน)
วิธีทาํ .........................................................….............................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
…………………………………………………………………………………………………………………………...………………………………
1.2 นวนิยายตอ้ งอยตู่ ดิ กนั เสมอ (2 คะแนน)
วธิ ที ํา.............................................................................................................................….........................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….........................……...................
2. ในงานสัปดาห์วันวิทยาศาสตรม์ ีโครงงานสง่ เข้าประกวดท้ังหมด 15 โครงงาน มรี างวลั อยู่ 3 รางวลั รางวัล
ชนะเลิศ รองชนะเลศิ อันดับ 1 และรองชนะเลิศอนั ดับ 2 จงหาจํานวนวิธที จ่ี ะมอบรางวัลใหแ้ กโ่ ครงงาน
2.1 ไมม่ เี งื่อนไขใดๆ (2 คะแนน)
วธิ ีทาํ .....................................................................................................................................….................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………
………………………………………………………………………………………………………………..............................… …..............
2..2 โครงงานกลมุ่ ท่ี 4 ได้รางวัลชนะเลิศ (2 คะแนน)
วิธีทาํ .................................................................................................................................… .....................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………
………………………………………………………………………………………………………………............................… …................
3. นําอักษรในคาํ วา่ MISSISSIPPI มาเรียงสบั เปลยี่ นได้ก่ีแบบ (2 คะแนน)
วธิ ที าํ ............................................................................................................................… ..........................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………
………………………………………………………………………………………………………………...........................…….................

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเป็น 37

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6
เร่อื ง การแกโ้ จทย์ปัญหาเก่ยี วกับการเรียงสับเปลี่ยน

คาชแี้ จง : จงแสดงวิธีทาํ อย่างละเอยี ดในการหาคําตอบตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)
1. มีหนงั สือแตกตา่ งกัน 8 เล่ม ซ่งึ มีหนงั สือท่องเท่ยี ว 3 เลม่ จะจดั เรียงหนังสอื ทั้งหมด บนชั้นหนังสอื เดยี วกนั
ไดก้ ว่ี ิธี เม่ือหนังสือทอ่ งเท่ียวอยูต่ ิดกนั ทัง้ 3 เล่ม
วธิ ีทา ขั้นท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (1 คะแนน)

- ส่งิ ทีโ่ จทยก์ ําหนดให้ คือ

- สิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบ คอื

ขั้นท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา (1 คะแนน)

ข้นั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวิธที ํา (2 คะแนน)
วิธที าํ

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคล้องกับที่กาํ หนดในโจทย์ปญั หาหรือไม่ (1 คะแนน)

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ 38

2. มหี นงั สอื 9 เล่ม จะจัดเรียงบนชน้ั หนังสือซง่ึ มีท่ีวา่ ง 4 ท่ี ไดก้ ี่วธิ วิธีทํา
วิธที า ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา (1 คะแนน)

- สงิ่ ท่โี จทยก์ าํ หนดให้ คอื

- สิ่งท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบ คือ

ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา (1 คะแนน)

ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธีทํา (2 คะแนน)
วธิ ีทํา

ข้ันท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคล้องกบั ที่กาํ หนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
ความพยายามอย่ทู ่ไี หน ความสาํ เรจ็ อย่ทู ีน่ ่ัน
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอื้ งต้นและความน่าจะเป็น 39

แบบทดสอบหลังเรยี น
เรอ่ื ง วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ น

คาช้ีแจง

1. แบบทดสอบฉบับน้ีมจี ํานวน 10 ขอ้ ใหเ้ วลาทาํ 15 นาที
2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนยั เลือกตอบชนิด 4 ตวั เลอื ก ให้นกั เรียนเลอื กคําตอบ

ทถี่ กู ที่สุดเพียงขอ้ เดียวด้วยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. ต้องการสรา้ งคาํ ซง่ึ ประกอบไปด้วยอักษร 3 ตัวที่ไม่ซํา้ กนั จากตวั อกั ษรในคําวา่ FRACTION ได้ทั้งหมดก่ีคํา
โดยคําทส่ี รา้ ง ไม่จําเป็นต้องมคี วามหมาย
ก. 6
ข. 24
ค. 336
ง. 6,720
2. จากขอ้ 1 ถา้ อกั ษรตวั สุดท้ายตอ้ งเปน็ สระ จะสรา้ งได้ท้ังหมดก่คี ํา
ก. 5 × P(8, 2)
ข. 5 × P(7, 2)
ค. 3 × P(8, 2)
ง. 3 × P(7, 2)
3. ถา้ 8 P(n, 3) = 2 P(n, 4) แลว้ n มคี ่าตรงกับข้อใด
ก. 12
ข. 7
ค. 6
ง. 1
4. ถ้ามีธง 5 ผืน ผืนละ 1 สี นาํ ธงมาผูกเป็นแถวยาวเพอ่ื ทาํ เป็นสัญญาณธง แต่ละสัญญาณใช้ธงอย่างนอ้ ย 2 ผืน
จะทาํ สญั ญาณไดท้ ัง้ หมดก่สี ัญญาณ
ก. 325
ข. 320
ค. 205
ง. 120

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเป็น 40

5. มีหมวก 4 ใบแตกต่างกัน กระเปา๋ 4 ใบ แตกต่างกนั กระเปา๋ 4 ใบแตกต่างกัน และ เขม็ ขดั 4 เสน้
แตกต่างกัน นาํ มาจัดเรยี ง บนชน้ั ได้กว่ี ิธีเม่ือสลับทีละ 4
ก. 2! (4!)2
ข. 3! (4!)2
ค. 2! (4!)3
ง. 3! (4!)3

6. มีลกู บอลสีขาว สีเขียว สฟี ้า และสีชมพู อยา่ งละ 6 ลูกทีแ่ ตกต่างกัน จะจดั วางเรยี ง เปน็ แนวตรง
ไดก้ ่ีวิธโี ดยสลบั ทลี ะ 2 ลกู
ก. 4! (6!)4
ข. 6! (6!)4
ค. 4! (6!)3
ง. 6! (6!)3

ใช้ข้อมลู นตี้ อบคาถามขอ้ 7 – 9 ตวั อักษรคาว่า ORIENTAL นาอักษรทั้งหมดมาจัดเป็นคาใหม่
โดยไม่คานงึ ถงึ ความหมาย

7. ถ้าไมม่ เี งื่อนไขเพ่ิมเติม จะมีวิธใี นการจัดตวั อักษรไดก้ ว่ี ิธี
ก. 8
ข. 24
ค. 5,040
ง. 40,320

8. ถา้ O และ A ต้องอยู่ในตาํ แหน่งคู่ จะมีวิธีในการจดั ตวั อักษรไดก้ ่วี ิธี
ก. 60,480
ข. 8,640
ค. 1,440
ง. 288

9. ถา้ พยัญชนะต้องอยู่ตดิ กัน จะมวี ธิ ีในการจดั ตวั อักษรได้กีว่ ิธี
ก. 4! 5!
ข. 4! P(5, 4)
ค. 4! 4!
ง. 5! P(5, 4)

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ 41

10. จดั นกั เรยี นชาย 4 คน นกั เรียนหญิง 4 คน นง่ั เปน็ แถวตรงไดก้ ีว่ ธิ โี ดยสลับทลี ะ 2 คน
ก. 2! (4!)4
ข. 4! (2!)4
ค. 2! (4!)2
ง. 4! (2!)2

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 42

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น
เร่ือง วิธีเรียงสับเปลี่ยน

ชอ่ื ................................................................................................เลขที่ ......................ชั้น...................

ข้อ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ผลการประเมิน เต็ม (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความน่าจะเป็น 43

ใบความรู้ที่ 7
เร่อื ง วิธกี ารจัดหมู่ (Combination)

วิธกี ารจดั หมู่ (Combination) หมายถึง การนําส่งิ ของทมี่ คี วามแตกต่างกันท้ังหมดหรือเพยี งบางส่วนมาจดั
หมู่ โดยไมถ่ อื ตาํ แหนง่ หรอื ลาํ ดบั ก่อนหลงั เป็นสําคัญ

จํานวนวิธีจัดหม่ขู องสิง่ ของ n สิง่ ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ใหม้ ีหมู่ละ rส่ิง (0 ≤ r ≤ n)

! ! ! โดยท่ี ≤
−

หมายเหตุ สญั ลักษณ์ท่ีใชแ้ ทนการจัดหมู่ส่งิ ของ คอื Cn, r , ( ) หรอื nCr

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาจาํ นวนวธิ ีในการหยิบหนงั สือ 3 เล่ม จากหนังสอื ทงั้ หมด 7 เลม่ มีทง้ั หมดก่ีวิธี
วิธที าํ จากโจทย์ จาํ นวนวิธกี ารหยบิ หนงั สือทีละ 3 เลม่ จากท้งั หมด 7 เลม่ มี C7,3 วธิ ี

จะได้ !

− !!

= × ×5 × !
= 7 × 5! × !
= 35 วธิ ี

จาํ นวนวธิ ีเลือกหยบิ หนังสอื 3 เล่ม จากหนงั สอื 10 เลม่ มที ั้งหมด 35 วธิ ี

ตัวอยา่ งที่ 2 กลอ่ งใบหน่งึ มีลกู บอล 10 ลกู เปน็ ลูกบอลสีขาว 5 ลกู และสีดาํ 2 ลกู ถา้ ตอ้ งการหยบิ

ลกู บอล 3 ลูกพรอ้ มกนั จากกล่องใบน้ี จะหยิบได้กว่ี ิธี โดยที่

1) หยิบไดล้ กู บอลสีขาว 2 ลูก และสีดํา 1 ลูก

วธิ ีทํา หยบิ ลกู บอลสีขาว 2 ลกู จาก ลูกบอลสีขาว 5 ลูก ได้ C5,2 วิธี
และหยิบลูกบอลสดี าํ 1 ลูกจาก ลกู บอลสดี าํ 2 ลูก ได้ C2,1.วธิ ี

จาํ นวนวธิ ีท่ีจะหยิบไดล้ กู บอลสขี าว 2 ลูก และสดี าํ 1 ลกู เท่ากับ

C5,2 ×C2,1 = 5! × 2! = 10 × 2 = 20วธิ ี

5−2 !2! 2− ! !

ข้อสงั เกต
1. Cn,n= Cn,0 = 1
2. Cn,1 = Cn,n-1 = n

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝึกทักษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบือ้ งต้นและความนา่ จะเป็น 44

ใบความรู้ท่ี 8
เร่อื ง การแก้โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกับวิธีการจดั หมู่

ขนั้ ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา
- สิง่ ทโ่ี จทย์กําหนดให้
- ส่งิ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบ

ข้ันท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา

ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ีทาํ

ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคลอ้ งกับทีก่ ําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่

ตัวอย่างที่ 1 มีหนังสือตา่ ง ๆ กันอยู่ 10 เลม่ นาย ก ตอ้ งการยืมไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก สามารถเลือกยืมได้
ทั้งหมดกี่วธิ ี

ขนั้ ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา

- สง่ิ ท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ คือ หนงั สอื ต่าง ๆ กนั อยู่ 10 เล่ม

- สิ่งที่โจทยต์ ้องการทราบคือ นาย ก ตอ้ งการยมื ไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก สามารถเลอื กยืมได้ท้งั หมดกว่ี ิธี

ขนั้ ที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา

การยมื หนังสอื 3 เล่ม จาก 10 เลม่ คือ การเลือกส่ิงของ 3 ส่งิ จากสง่ิ ของ 10 ส่ิง นัน่ เอง

ขัน้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที าํ

วธิ ีทา จาํ นวนวธิ ีที่จะเลือกทําได้ C10,3 = ! วิธี
!!

= 120 วิธี
ตอบ สามารถเลือกยืมไดท้ ้งั หมด 120 วธิ ี

ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคล้องกับท่ีกําหนดในโจทย์ปญั หาหรือไม่

นาย ก ตอ้ งการยืมไปอ่าน 3 เลม่ นาย ก สามารถเลือกยมื ได้ทั้งหมด C10,3 = ! = 120 วธิ ี
!!
สอดคลอ้ งกับข้อมูลท่โี จทย์กําหนดให้

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 45

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาจาํ นวนรูปสามเหล่ยี มทสี่ ร้างได้จากการลากเสน้ เช่อื มจุดยอด 6 จุด ของรูป 6 เหลี่ยม

ข้ันท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา

- สงิ่ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ คอื รูปสามเหลย่ี มที่สรา้ งได้จากการลากเสน้ เช่ือมจุดยอด 6 จดุ ของรปู 6 เหล่ยี ม

- สง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบคือ จงหาจาํ นวนรปู สามเหลย่ี ม

ขนั้ ท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา

มจี ุดยอดทัง้ หมด 6 จดุ (n = 6) เลอื กมา 3 จุด จาก 6 จุด เพือ่ สร้างรปู 3 เหลย่ี ม

ขั้นท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ที ํา

วิธีทา สามารถเลอื กได้ C6,3 = ! = ×5× × ! = 5x4 = 20 รูป

! ! !× ×2

= 20 รูป
ตอบ สามารถสร้างสามเหลีย่ มไดท้ ้ังหมด 20 รูป

ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ทีก่ ําหนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่

จํานวนรูปสามเหลยี่ มทสี่ รา้ งไดจ้ ากการลากเส้นเชือ่ มจุดยอด 6 จุด ของรปู 6 เหลี่ยม

ได้ C6,3 = ! = ×5× × ! = 5x4 = 20

! ! !× ×2
= 20 รูป

สอดคล้องกับขอ้ มลู ท่โี จทยก์ ําหนดให้

ขยนั ฝกึ นะคะจะไดเ้ กง่

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบ้ืองต้นและความนา่ จะเป็น 46

แบบฝึกทกั ษะที่ 7
เรอื่ ง วิธกี ารจดั หมู่ (Combination)

คาํ ช้ีแจง : จงหาคําตอบพรอ้ มทงั้ แสดงวธิ ีทาํ โดยละเอียด (10 คะแนน)

1. จงหาค่าของ (6 คะแนน)
1.1 C6,4 =………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....................
1.2 C5,5 =………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....................
1.3 C20,2 =………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....................

2. มีหนังสือ 7 เลม่ ที่แตกต่างกัน ใหเ้ พื่อนขอยมื 4 เล่ม จะมีวธิ ใี ห้ยมื กวี่ ธิ ี (4 คะแนน)
วิธีทาํ …………………………………………………………..……………………………………………………..…………………

…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..

ความพยายามอยูท่ ่ไี หน ความสาํ เรจ็ อยทู่ น่ี ั่น

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบื้องตน้ และความน่าจะเปน็ 47

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 8
เร่อื ง การแกโ้ จทยป์ ัญหาเกย่ี วกับวิธีการจัดหมู่

คาชแ้ี จง : จงแสดงวิธีทําอยา่ งละเอียดในการหาคาํ ตอบต่อไปน้ี
1. จงหาจาํ นวนเสน้ ทแยงมุมของรปู 20 เหลย่ี มด้านเท่า (5 คะแนน)
วธิ ที า ขั้นที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา (1 คะแนน)

- สิ่งทโี่ จทยก์ ําหนดให้ คือ

- ส่งิ ทีโ่ จทย์ต้องการทราบ คอื

ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา (1 คะแนน)
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที ํา (2 คะแนน)
วธิ ที าํ

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกับทีก่ าํ หนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความน่าจะเปน็ 48

2. ถงุ ใบหน่ึงมลี ูกบอลสขี าว 6 ลูก ลกู บอลสีดา 5 ลูก จะมีกว่ี ธิ ีที่จะหยิบลกู บอลออกจากถงุ 4 ลกู โดยให้
มสี ขี าว 2 ลูก และสีดํา 2 ลกู (5 คะแนน)
วิธที า ข้นั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา (1 คะแนน)

- สง่ิ ทโ่ี จทยก์ ําหนดให้ คอื

- สง่ิ ที่โจทยต์ ้องการทราบ คือ

ขั้นที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา (1 คะแนน)
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
…………………………………..……………………………………………………..……………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวิธีทํา (2 คะแนน)
วิธีทํา

ขนั้ ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ท่ีกาํ หนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
มสี ติ คิดอยา่ งรอบคอบ แล้วปญั ญาจะเกดิ
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความน่าจะเปน็ 49

แบบทดสอบหลงั เรียน
เรอ่ื ง วิธกี ารจัดหมู่

คาช้แี จง

1. แบบทดสอบฉบับน้มี ีจํานวน 10 ขอ้ ให้เวลาทาํ 15 นาที
2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั เลอื กตอบชนดิ 4 ตัวเลือก ใหน้ กั เรียนเลือกคําตอบ

ทีถ่ กู ทส่ี ดุ เพียงขอ้ เดียวดว้ ยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. จุด 7 จุดบนเสน้ วงกลมวงหน่ึง ถา้ ตอ้ งการตอ่ จดุ เหลา่ นน้ั เปน็ รูปเหลี่ยม ได้ท้งั หมดก่รี ปู
ก. 92
ข. 99
ค. 100
ง. 120
2. มีหนงั สอื ต่าง ๆ กันอยู่ 10 เลม่ โกโก้ตอ้ งการยมื ไปอา่ น 3 เลม่ สามารถเลอื กยืมไดก้ ว่ี ิธี
ก. 120
ข. 240
ค. 360
ง. 720
3. จงหาจํานวนรปู สามเหลย่ี มท่ีสร้างจากการลากเส้นเช่อื มจุดยอด 6 จุดของรูปหกเหลี่ยม
ก. 10
ข. 20
ค. 30
ง. 40
4. จาํ นวนเส้นทแยงมุมของรูป 20 เหลยี่ มด้านเทา่ มีกเ่ี สน้
ก. 20
ข. 60
ค. 170
ง. 190

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์