แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเปน็ 50
5. ต้องการจัดทมี ฟตุ บอล 7 ทีม ใหพ้ บกนั ทุกทีมจะตอ้ งจัดใหม้ ีการแข่งขันกี่ครงั้
ก. 16
ข. 21
ค. 24
ง. 28
6. ในงานเลีย้ งงานหน่ึง มีการทักทายดว้ ยการจบั มอื นบั แลว้ ปรากฏวา่ มี 21 คร้งั ดงั นั้นมคี นมางานเลยี้ งก่ีคน
ก. 4
ข. 5
ค. 6
ง. 7
7. จงหาจาํ นวนวธิ ที ี่จะเลอื กกรรมการชดุ ละ8 คน จากนักเรยี นหญงิ 6 คน ชาย 10 คน โดยมเี งอ่ื นไขวา่
กรรมการชดุ นี้มนี ักเรียนหญิงอย่างนอ้ ย 5 คน
ก. 360
ข. 540
ค. 720
ง. 765
8. การเลอื กสมาชกิ 4 คน จากสมาชกิ ทั้งหมด 12 คน เพ่ือเปน็ ตัวแทนเขา้ รว่ มประชมุ โดยทีส่ มาชิก
ทั้ง 12 คนน้ี มีสามีภรรยาคหู่ นึ่ง ซงึ่ ถ้าคนใดคนหนึง่ ได้เป็นตวั แทน อีกคนหน่งึ ตอ้ งไดเ้ ป็นดว้ ย ดงั นั้นจะเลอื ก
ตวั แทนได้ทงั้ หมดก่วี ิธี
ก. 225
ข. 270
ค. 290
ง. 300
9. เสน้ ขนานชดุ ที่ 1 มี 5 เสน้ เส้นขนานชุดที่ 2 มี 4 เส้น ถา้ เสน้ ขนานทง้ั 2 ชดุ ตดั กันจะเกดิ เป็นรูปส่เี หล่ยี ม
ด้านขนานท้ังหมดกรี่ ูป
ก. 24
ข. 30
ค. 36
ง. 60
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบื้องตน้ และความนา่ จะเปน็ 51
10. ข้อสอบชดุ หน่ึงมี 12 ขอ้ ให้นักเรยี นเลอื กทําเพียง 8 ขอ้ โดยที่นักเรยี นทกุ คนจะตอ้ งทาํ ขอ้ สอบ 3 ข้อแรก
นกั เรียนจะมวี ธิ ีเลอื กทาํ ขอ้ สอบทง้ั หมดกวี่ ิธี
ก. 120
ข. 124
ค. 125
ง. 126
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบ้อื งต้นและความนา่ จะเป็น 52
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่อื ง วิธกี ารจดั หมู่
ชอ่ื ................................................................................................เลขที่ ......................ชั้น...................
ขอ้ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผลการประเมนิ เต็ม (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น 53
ใบความรทู้ ่ี 9
เรือ่ ง เหตุการณ์และการทดลองสุ่ม
คําว่า “ความน่าจะเปน็ ”หรือ “โอกาส” เปน็ คําท่ีมักพบบ่อยในชวี ติ ประจําวนั เชน่ ถ้าปนี ี้ฝนตกหนกั
โอกาสทน่ี ํ้าทว่ มจะมีมาก จะเหน็ วา่ การคาดการณล์ ว่ งหนา้ ของเหตกุ ารณ์นน้ั เกดิ ขึน้ เปน็ สว่ นใหญ่อาศัยข้อมลู ของ
เหตุการณ์น้ัน หรือเหตกุ ารณท์ าํ นองเดียวกนั ทเ่ี คยเกิดขึ้นมากอ่ นแล้ว
ตัวอยา่ งท่ี 1 ในการทอดลูกเตา๋ 1 ลูก 1 ครง้ั แตม้ ทป่ี รากฏบนหน้าลูกเตา๋ มโี อกาสจะเป็นแตม้ ใดไดบ้ ้าง
จากตัวอย่าง แตม้ บนหน้าลูกเต๋าที่จะปรากฏบนหนา้ ลกู เต๋าอาจจะเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ก็ได้
เรียกการทอดลูกเต๋า ในตัวอย่างท่กี ล่าวมาว่า การทดลองสมุ่
การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองหรือการกระทาํ ใดๆ
ท่ผี ลลัพธจ์ ะสามารถเกิดขึ้นได้แตกต่างกนั หลายอย่าง แต่เราไม่สามารถบอกไดอ้ ย่าง
แนน่ อนวา่ ผลลัพธ์ใดจะเกดิ ขน้ึ และเรยี กเซตของแต้มท่ีปรากฏบนหนา้ ลกู เต๋าทีเ่ ป็นไปได้
ทงั้ หมดวา่ ปริภูมิตัวอย่าง หรอื แซมเปิลสเปซ ( sample spaces )
นิยามปริภมู ิตวั อยา่ ง หรอื แซมเปลิ สเปซ คือ เซตท่มี สี มาชกิ เป็นผลลัพธท์ ี่อาจจะเปน็ ไป
ได้ ท้ังหมดของการทดลองสมุ่ และเปน็ สิ่งท่ีเราสนใจนาํ ไปศกึ ษา แทนด้วยสัญลกั ษณ์ S
ตวั อย่างที่ 2 จากการทดลองสมุ่ โดยการทดลองทอดลกู เตา๋ 2 ลูก จงหาแซมเปลิ สเปซของแตม้ ของลูกเตา๋ ท่ี
หงายขึ้น
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6) }
นยิ าม เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปลิ สเปซ แทนด้วยสญั ลักษณ์ E
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนับเบอื้ งตน้ และความนา่ จะเป็น 54
ใบความร้ทู ี่ 10
เรือ่ ง การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการทดลองสมุ่
ขนั้ ท่ี 1 ทาความเข้าใจปญั หา
- สิง่ ทีโ่ จทย์กาํ หนดให้
- ส่งิ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบ
ขนั้ ท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา
ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธที าํ
ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกับทก่ี ําหนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่
ตวั อยา่ งท่ี 1 หยิบลูกบอล 2 ลกู จากถุงใบหนงึ่ ท่ีมลี กู บอลสีแดง 3 ลูก และลกู บอลสีขาว 2 ลูก
จงหาแซมเปิลสเปซ
ข้นั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา
- สิง่ ที่โจทยก์ ําหนดให้ คอื ลูกบอลสีแดง 3 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลกู
- สิง่ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบคือ จงหาแซมเปลิ สเปซ
ข้ันท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา
- ใหล้ ูกบอลสแี ดง 3 ลกู คือ ด1, ด2 และ ด3
- ลูกบอลสขี าว 2 ลูก คือ ข1 และ ข2
ขนั้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวิธที ํา
วธิ ีทา วธิ ีหยบิ ลกู บอล 2 ลูกจากถงุ แสดงไดด้ ว้ ยรปู ดังน้ี
จะได้ S = {ด1ด2, ด1ด3, ด1ข1, ด1ข2, ด2ด3, ด2ข1, ด2ข2, ด3ข1, ด3ข2, ข1ข2}
n (S) = 10
ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคลอ้ งกับที่กําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่
หยิบลกู บอล 2 ลกู จากถงุ ใบหนึง่ ท่มี ลี ูกบอลสีแดง 3 ลกู และลกู บอลสขี าว 2 ลูก
จะได้ S = {ด1ด2, ด1ด3, ด1ข1, ด1ข2, ด2ด3, ด2ข1, ด2ข2, ด3ข1, ด3ข2, ข1ข2}
n (S) = 10 สอดคลอ้ งกบั ขอ้ มูลทโี่ จทย์กําหนดให้
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ 55
ตวั อย่างที่ 2 มบี ัตร 5 ใบ เขียนหมายเลขกํากับไว้บัตรละ 1 หมายเลข ตงั้ แตห่ มายเลข 1 ถงึ หมายเลข 5
หยบิ บตั รข้ึนมา 2 ใบ โดยหยบิ ทีละใบและไม่ใส่คืนก่อนทจี่ ะหยบิ บตั รใบทส่ี องจะไดจ้ าํ นวนทีป่ ระกอบดว้ ย
เลขสองหลกั จงเขยี นแซมเปลิ สเปซของการทดลองสมุ่
ขน้ั ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา
- ส่งิ ทีโ่ จทย์กาํ หนดให้ คือ บตั ร 5 ใบ เขียนหมายเลขกํากบั ไว้บตั รละ 1 หมายเลขต้ังแตห่ มายเลข 1 ถึง
หมายเลข 5
- สง่ิ ทีโ่ จทยต์ ้องการทราบคือ จงเขียนแซมเปลิ สเปซของการทดลองส่มุ
ข้นั ที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา เขียนแผนภาพ
ขน้ั ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ที าํ
วิธีทา บตั รใบที่ 1 บัตรใบท2่ี จานวนสองหลกั
2 ……………………………12
1 3 ……………………………13
4 ……………………………14
5 ……………………………15
1 ……………………………21
2 3 ……………………………23
4 ……………………………24
5 ……………………………25
1 ……………………………31
3 2 ……………………………32
4 ……………………………34
5 ……………………………35
1 ……………………………41
4 2 ……………………………42
3 ……………………………43
5 ……………………………45
1 ……………………………51
5 2 ……………………………52
3 ……………………………53
4 ……………………………54
จะได้ S = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54}
n(S) = 20
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบอื้ งต้นและความน่าจะเปน็ 56
ข้ันท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกับทกี่ ําหนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่
หยิบบตั รขน้ึ มา 2 ใบ โดยหยิบทีละใบและไมใ่ สค่ ืนกอ่ นท่ีจะหยิบบตั รใบท่สี องจะไดจ้ าํ นวนที่
ประกอบด้วยเลขสองหลกั
จะได้ S = {12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54}
n(S) = 20 สอดคลอ้ งกับข้อมูลทโ่ี จทยก์ ําหนดให้
ความพยายามอยทู่ ี่ไหน ความสาํ เร็จอย่ทู นี่ ่ัน
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น 57
แบบฝกึ ทักษะท่ี 9
เรอ่ื ง วิธีการจดั หมู่ (Combination)
คาชีแ้ จง
1. ใหน้ ักเรยี นทาํ เครื่องหมาย / ลงในชอ่ งว่างในแต่ละข้อต่อไปนที้ กี่ ารทดลองน้ันเป็นการทดลองสุ่ม
(ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมเป็น 5 คะแนน)
ขอ้ ท่ี การทดลอง การทดลองสมุ่
เป็น ไมเ่ ป็น
1 โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญ 1 คร้ัง
2 ดึงไพ่ 1 ใบ จากสาํ รบั
3 หาผลบวกของจํานวนสามจาํ นวน
4 เลือกนกั เรยี นทีม่ ีความสูงทสี่ ุดในห้อง
5 เลือกยืมหนังสือท่ีชอบอา่ น 1 เล่ม จากหอ้ งสมุดกลุ่มสาระคณติ ศาสตร์
2. ใหน้ กั เรยี นเติมจํานวนสมาชกิ ของแซมเปิลสเปซแตล่ ะข้อลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ตอ้ งสมบูรณ์
(ข้อละ 1 คะแนน รวมเปน็ 5 คะแนน)
ข้อท่ี การทดลองสุ่ม จานวนสมาชิกของ S
n (S)
1 โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 คร้ัง
2 การจับสลาก 2 ใบ โดยจบั ทีละใบจากสลาก 4 ใบ หมายเลข
1, 2, 3 และ 4 ตามลาํ ดบั
3 การเขยี นเลขทา้ ย 3 ตวั จากเลขโดด 0, 5, 9
4 หยิบลูกบอล 1 ลูก จากกล่องใบหนึ่งที่มลี กู บอลสีแดง 2 ลกู
สีขาว 1 ลกู
5 มีบตั รอยู่ 10 ใบ ซง่ึ แตล่ ะใบมีหมายเลข 1, 2, 3, . . . , 10
ตามลําดบั สมุ่ หยบิ บตั รมา 2 ใบ พร้อมกนั จงหาแซมเปิลสเปซ
ของผลรวมของหมายเลขบนบตั ร
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น 58
แบบฝึกทกั ษะท่ี 10
เรือ่ ง วิธีการจดั หมู่ (Combination)
คาช้ีแจง: จงแสดงวิธที าํ อย่างละเอียดในการหาคาํ ตอบต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1. จงหาแซมเปิลสเปซของการหยบิ ลูกบอล 2 ลูก จากกลอ่ งท่ีมีลูกบอลสขี าว 2 ลกู สฟี ้า 2 ลกู และสเี หลอื ง 1 ลูก
(5 คะแนน)
วธิ ที า ขน้ั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา (1 คะแนน)
- สิ่งท่โี จทย์กาํ หนดให้ คอื
- สงิ่ ที่โจทยต์ ้องการทราบ คือ
ขั้นท่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา (1 คะแนน)
ขน้ั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ีทํา (2 คะแนน)
วิธที าํ
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคลอ้ งกับทก่ี าํ หนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบ้ืองต้นและความนา่ จะเป็น 59
2. จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ 3 ครัง้ (5 คะแนน)
วธิ ที า ขั้นที่ 1 ขนั้ ศึกษาโจทยป์ ัญหา (1 คะแนน)
- ส่ิงทโ่ี จทยก์ าํ หนดให้ คอื
- สงิ่ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คอื
ขน้ั ท่ี 2 สรา้ งแผนหรอื วธิ ีการในการแก้ปัญหา (1 คะแนน)
ขั้นท่ี 3 หาคาตอบของโจทย์ปัญหา ดว้ ยการแสดงวิธีทํา (2 คะแนน)
วิธีทํา
ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ท่กี ําหนดในโจทย์ปัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
ความพยายามอย่ทู ีไ่ หน ความสําเร็จอยทู่ ีน่ ่ัน
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทักษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเปน็ 60
แบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง การทดลองสมุ่
คาช้แี จง
1. แบบทดสอบฉบบั น้ีมีจาํ นวน 10 ขอ้ ให้เวลาทํา 15 นาที
2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั เลอื กตอบชนดิ 4 ตัวเลือก ใหน้ ักเรยี นเลือกคําตอบ
ที่ถกู ท่ีสุดเพยี งขอ้ เดียวด้วยเคร่ืองหมายกากบาท (X) ในกระดาษคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. จงหาจํานวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซของการโยนเหรยี ญ 2 อัน และทอดลูกเตา๋ 2 ลูกพรอ้ มกนั หนึ่งครั้ง
ก. 48
ข. 72
ค. 144
ง. 288
2. จงจํานวนสมาชิกในแซมเปลิ สเปซของการส่มุ หยิบลูกแกว้ 2 ลกู จากถุงใบหน่งึ ท่ีมี ลกู แก้ว 4 ลกู
ซ่งึ มีสฟี า้ สีขาว สีดํา และสีเหลอื ง โดยหยบิ ลกู แก้วครงั้ ละ 1 ลูก และใส่คืนก่อนจะหยบิ ครั้งถัดไป
ก. 20
ข. 16
ค. 12
ง. 4
3. จงหาจํานวนสมาชกิ ในแซมเปลิ สเปซของการออกรางวลั เลขทา้ ยสามตวั 1 รางวัลของสลากกนิ แบ่งรฐั บาล
ก. 13
ข. 30
ค. 1,000
ง. 2,000
4. แซมเปิลสเปซของการสุม่ หยบิ บัตร 2 ใบพร้อมกนั จากขวดโหลทบึ ทม่ี ีบัตรอยู่ 20 ใบ ซึง่ แต่ละใบ
เขยี นตวั เลข 1 ถงึ 20 กํากบั ไว ้ เม่ือสนใจของผลรวมของตัวเลขบนบตั รท่ีหยบิ ได้ คอื ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
ก. {1, 2, 3, …, 20}
ข. {2, 3, 4, …, 40}
ค. {3, 4, 5, …, 39}
ง. {3, 5, 7, …, 39}
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบื้องตน้ และความนา่ จะเปน็ 61
5. การหยิบลกู บอล 2 ลกู โดยหยิบคร้งั ละ 1 ลูกและไมใ่ สค่ นื ก่อนหยบิ ครงั้ ถดั ไปจากกลอ่ งที่บรรจุลูกบอล 3 ลูก
ซ่งึ มสี ชี มพู สสี ม้ และสฟี า้ แซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มน้ีคือข้อใดตอ่ ไปน้ี
ก. {ชมพูกบั สม้ , ชมพูกับฟ้า, ส้มกบั ฟา้ }
ข. {(ชมพ,ู สม้ ), (ชมพู, ฟ้า), (ส้ม, ชมพู), (สม้ , ฟา้ ), (ฟ้า, ชมพู), (ฟา้ , ส้ม)}
ค. {ชมพกู ับสม้ , ชมพูกับฟา้ , ส้มกบั ชมพู, สม้ กบั ฟ้า, ฟา้ กับชมพู, ฟ้ากบั ส้ม}
ง. {(ชมพู, ชมพู), (ชมพู, สม้ ), (ชมพู, ฟา้ ), (สม้ , ชมพ)ู , (สม้ , สม้ ), (สม้ , ฟา้ ), (ฟา้ , ชมพู), (ฟา้ , ส้ม), (ฟ้า, ฟา้ )}
6. ข้อใดเป็นแซมเปิลสเปซของการโยนเหรยี ญหา้ บาท 1 เหรยี ญ 2 ครง้ั
ก. {(H, H), (H, T), (T, T)} ข. {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
ค. (H, H), (H, T), (T, T) ง. (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)
7. ข้อใดเป็นการทดลองส่มุ
ก. การสง่ รหสั ใต้ฝาชาเขียวเพื่อชงิ รางวัล
ข. การถา่ ยสําเนาเอกสาร
ค. การส่ง SMS แสดงความคิดเหน็
ง. การกวาดบา้ น
8. ข้อใด ไมใ่ ช่ การทดลองสุ่ม
ก. การส่ง SMS ตอบปัญหาเพอ่ื ชงิ รางวัลจากรายการโทรทัศน์
ข. การจับฉลากแลกของขวญั ปีใหม่
ค. การซอ้ื สลากกนิ แบง่ รฐั บาล
ง. การยืนตรงเคารพธงชาติ
9. พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
(1) การเดาขอ้ สอบภาษาไทยซงึ่ เป็นขอ้ สอบแบบปรนัยจํานวน 10 ข้อ เป็นการทดลองสุ่ม
(2) การเดินออกกาํ ลงั กายเปน็ เวลา 10 นาที ไม่เป็นการทดลองสุม่
(3) การไขเอาลูกอมจากโหลหมนุ ลูกอมในภาพด้านล่าง เปน็ การทดลองสุ่ม
ข้อใดต่อไปน้ถี กู ตอ้ ง
ก. (1) เปน็ จริง และ (2) และ (3) เป็นเท็จ
ข. (1) และ (2) จริง และ (3) เป็นเท็จ
ค. (2) และ (3) จรงิ และ (1) เปน็ เทจ็
ง. เปน็ จรงิ ทั้งสามข้อ
โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบื้องตน้ และความน่าจะเปน็ 62
10. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
(1) การทดลองสุ่มเปน็ การทดลองท่ีไมท่ ราบวา่ ผลลัพธ์อาจเป็นอะไรได้บ้าง
(2) แตล่ ะผลลพั ธ์ของการทดลองส่มุ มโี อกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
ขอ้ สรปุ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ต้อง
ก. (1) ผิด (2) ผิด
ข. (1) ผดิ (2) ถูก
ค. (1) ถกู (2) ผิด
ง. (1) ถกู (2) ถกู
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็ 63
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เรือ่ ง การทดลองสุ่ม
ชอ่ื ................................................................................................เลขท่ี ......................ชั้น...................
ขอ้ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผลการประเมนิ เต็ม (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบอื้ งต้นและความน่าจะเปน็ 64
ใบความรู้ท่ี 11
เรอ่ื ง ความนา่ จะเป็น
คําวา่ “ความนา่ จะเปน็ ”หรือ “โอกาส” เปน็ คําทม่ี ักพบบอ่ ยในชีวติ ประจาํ วัน เช่น ถ้าปนี ้ีฝนตกหนกั
โอกาสที่นํา้ ทว่ มจะมมี าก จะเห็นว่าการคาดการณ์ล่วงหน้าของเหตุการณ์น้นั เกิดขน้ึ ส่วนใหญ่อาศยั ขอ้ มูลของ
เหตุการณ์น้นั หรือเหตุการณท์ ํานองเดยี วกันทเี่ คยเกิดขึ้นมากอ่ นแล้ว
ตัวอยา่ งที่ 1 ในการทอดลูกเตา๋ 1 ลกู 1 คร้งั แตม้ ท่ปี รากฏบนหน้าลกู เต๋ามโี อกาสจะเป็นแต้มใดได้บ้าง
จากตวั อยา่ ง แต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ ทจี่ ะปรากฏบนหน้าลกู เต๋าอาจจะเป็น 1,2,3,4,5 หรือ 6 ก็ได้
เรียกการทอดลูกเตา๋ ในตวั อย่างทีก่ ล่าวมาว่า การทดลองสมุ่
การทดลองสุ่ม (random experiment) คอื การทดลองหรือการกระทําใด ๆ
ทีผ่ ลลพั ธจ์ ะสามารถเกดิ ข้นึ ไดแ้ ตกต่างกนั หลายอย่าง แตเ่ ราไม่สามารถบอกได้อย่าง
แนน่ อนว่าผลลัพธ์ใดจะเกิดข้นึ และเรียกเซตของแต้มทป่ี รากฏบนหน้าลูกเต๋าท่เี ป็นไปได้
ทงั้ หมดว่า ปรภิ มู ติ ัวอย่าง หรอื แซมเปลิ สเปซ ( sample spaces )
นิยามปริภมู ติ วั อยา่ ง หรอื แซมเปลิ สเปซ คอื เซตทีม่ ีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ท่ีอาจจะเปน็ ไปได้
ทง้ั หมดของการทดลองสุม่ และเปน็ สง่ิ ที่เราสนใจนาํ ไปศึกษา แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ S
ตัวอย่างที่ 2 จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลกู เตา๋ 2 ลูก จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของ
ลกู เตา๋ ท่ีหงายขึ้น
S= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
นยิ าม เหตกุ ารณ์ คือ สบั เซตของแซมเปิลสเปซ แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ E
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความน่าจะเป็น 65
ใบความรทู้ ่ี 12
เร่ือง การแก้โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกับเหตุการณ์
ขน้ั ท่ี 1 ทาความเข้าใจปญั หา
- สง่ิ ท่ีโจทย์กาํ หนดให้
- ส่ิงทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
ข้นั ที่ 2 วางแผนแกป้ ญั หา
ขน้ั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวิธที ํา
ขน้ั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ที่กําหนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่
ตัวอย่างท่ี 1 สุ่มหยบิ ลูกแกว้ 3คร้งั มลี ูกแก้วสแี ดง3ลูก สีเขียว2ลกู จงหาเหตกุ ารณ์ทีจ่ ะได้ลูกแกว้ สีแดง มากกวา่ สเี ขยี วอยู่หนึ่งลูก
ข้นั ที่ 1 ทาความเข้าใจปัญหา
- สิ่งที่โจทย์กําหนดให้ คือ ลูกแก้ว สีแดง 3 ลกู สีเขียว 2 ลูก
- สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบคือ จงหาเหตุการณ์ท่ีจะไดล้ กู แกว้ สีแดง มากกว่าสเี ขยี วอยูห่ นึ่งลูก
ขั้นที่ 2 วางแผนแกป้ ญั หา
- หาแซมเปลิ สเปชิ ของกอ่ นโดย
ให้ ด แทนลูกแกว้ สีแดง
ข แทนลกู แกว้ สเี ขียว
- หาเหตกุ ารณ์ที่เราสนใจ
ขนั้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ีทํา
วธิ ีทา ส่มุ หยิบลูกแกว้ 3 คร้ัง จะได้
S = { ดดด, ดดข, ดขข, ขดด, ดขด, ขดข, ขขด}
เหตกุ ารณท์ ่ีจะไดล้ ูกแก้วสแี ดง มากกวา่ สเี ขียวอยหู่ น่ึงลกู
E = { ดดข, ขดด, ดขด}
ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกับทกี่ าํ หนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่
สุม่ หยิบลูกแก้ว 3 ครงั้ มีลกู แกว้ สีแดง 3 ลกู สเี ขียว 2 ลูก เหตุการณ์ทจี่ ะไดล้ กู แก้วสแี ดง
มากกวา่ สเี ขยี วอยหู่ นึง่ ลูก ดงั นน้ั เขยี น Sample Space ได้ดังนี้
S = { ดดด, ดดข, ดขข, ขดด, ดขด, ขดข, ขขด}
เหตกุ ารณท์ จี่ ะไดล้ กู แกว้ สแี ดง มากกว่าสเี ขยี วอยู่หนง่ึ ลูก
E = { ดดข, ขดด, ดขด}
สอดคลอ้ งกบั ขอ้ มูลที่โจทย์กาํ หนดให้
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบ้ืองตน้ และความนา่ จะเปน็ 66
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 11
เร่ือง เหตุการณ์
ช่ือ ................................................................ ชัน้ ............ เลขที่ .............
คาชีแ้ จง : ให้นักเรียนเตมิ คําตอบลงในช่องว่าแตล่ ะข้อต่อไปนใ้ี ห้ถกู ต้องสมบรู ณ์ (10 คะแนน)
1. จากการทอดลกู เตา๋ 2 ลูก 1 คร้งั
1.1 จงเขยี นเหตุการณ์ E1 ท่ีลูกเต๋าข้ึนแต้มรวมเป็น 5
E1 = ……………………………………………………………………………
1.2 จงเขยี นเหตกุ ารณ์ E2 ที่ลูกเต๋าขึน้ แต้มเหมอื นกัน
E2 = ……………………………………………………………………………
1.3 จงเขียนเหตกุ ารณ์ E3 ที่ลูกเตา๋ 2 ลกู ข้ึนแตม้ รวมมากกว่า 10
E3 = ……………………………………………………………………………
2. ครอบครัวหนง่ึ มีบตุ ร 3 คน จงหาเหตุการณ์ต่อไปนี้
2.1 มบี ุตรชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน
E1 = ……………………………………………………………………………
2.2 บุตรคนที่สามเป็นหญิง
E2 = ……………………………………………………………………………
2.3 บุตรคนแรกเป็นชายและบุตรคนท่ีสามเป็นหญิง
E3 = ……………………………………………………………………………
3. ในการสมุ่ หยิบไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่สํารบั หนง่ึ จงหาเหตุการณ์
3.1 ได้ไพแ่ ต้ม J
E1 = ……………………………………………………………………………
3.2 ไดไ้ พ่ 3 โพแดง
E2 = ……………………………………………………………………………
3.3 ไดไ้ พ่แต้ม 5
E3 = ……………………………………………………………………………
3.4 ไดไ้ พภ่ าษาองั กฤษ
E4 = ……………………………………………………………………………
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น 67
แบบฝึกทกั ษะที่ 12
เรอื่ ง การแกโ้ จทย์ปัญหาเก่ียวกับเหตุการณ์
คาช้แี จง: จงแสดงวิธีทาํ อย่างละเอยี ดในการหาคาํ ตอบตอ่ ไปนี้ (10 คะแนน)
1. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 3 คร้งั จงหาเหตุการณ์ในการเกิดหวั 2 ครงั้ กับเกดิ กอ้ ย1ครง้ั (5 คะแนน)
วิธที า ขน้ั ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา (1 คะแนน)
- สิ่งทโี่ จทย์กําหนดให้ คอื
- สิง่ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คือ
ขน้ั ที่ 2 วางแผนแกป้ ญั หา (1 คะแนน)
ขน้ั ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธีทาํ (2 คะแนน)
วธิ ที ํา
ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกบั ทีก่ ําหนดในโจทยป์ ญั หาหรือไม่ (1 คะแนน)
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบ้ืองตน้ และความนา่ จะเปน็ 68
2. ทอดลกู เตา๋ 1 ลูก 2 คร้ัง จงหาเหตกุ ารณ์ท่จี ะไดแ้ ต้มรวมไม่เกิน 4 (5 คะแนน)
วธิ ีทา ขั้นท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (1 คะแนน)
- ส่ิงทีโ่ จทย์กาํ หนดให้ คือ
- ส่งิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ คอื
ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา (1 คะแนน)
ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธที ํา (2 คะแนน)
วิธที ํา
ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกบั ทกี่ ําหนดในโจทย์ปัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
ความพยายามอยูท่ ่ีไหน ความสาํ เร็จอยู่ทน่ี ั่น
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบ้อื งต้นและความนา่ จะเปน็ 69
แบบทดสอบหลงั เรยี น
เรอื่ ง เหตกุ ารณ์
คาช้แี จง
1. แบบทดสอบฉบบั น้มี ีจํานวน 10 ข้อให้เวลาทํา 15 นาที
2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยเลอื กตอบชนิด 4 ตัวเลอื ก ให้นักเรียนเลือกคาํ ตอบ
ท่ีถูกท่ีสดุ เพยี งข้อเดียวด้วยเครอ่ื งหมายกากบาท (X) ในกระดาษคําตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลกู พร้อมกนั เหตกุ ารณ์ทีจ่ ะได้เลขคทู่ ง้ั สองลูกคือ
ก. {(2,2), (2,4), (2,6)}
ข. {(1,2), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6)}
ค. {(2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (6,2), (6,4)}
ง. {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
2. จากการโยนเหรยี ญ1อัน 3ครัง้ ผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณท์ เี่ หรียญขึ้นหวั ในครัง้ ท่ี1และครง้ั ที่ 3 ตรงกับขอ้ ใด
เม่ือให้ H แทนการออกหัว, Tแทนการออกกอ้ ย
ก. (H,T,H)
ข. (H,H,H) และ (H,T,H)
ค. (H,H,T), (H,T,T), (T,H,T)
ง. (H,H,H), (T,H,H), (T,T,H) และ (H,T,H)
3. จากการทอดลกู เตา๋ 1 ลกู 2 ครัง้ ผลลัพธข์ องเหตุการณ์ท่ผี ลรวมของแต้มจากการทอดลูกเต๋าทั้งสองคร้งั
หารด้วย 4 ลงตัว ตรงกับขอ้ ใด
ก. 2, 4, 10 และ 12
ข. (4,2), (4,4), (4,6), (6,4) และ (2,4)
ค. (1,3), (2,2), (2,6), (3,1), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) และ (6,6)
ง. (1,2), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4) และ (6,4)
4. เลอื กตวั อักษร2ตัว โดยเลือก1ตวั จากคําวา่ “CAT”และเลอื กอีก1ตวั จากคําว่า“DOG” จะมวี ธิ เี ลอื กตวั อกั ษร
2 ตวั ได้กี่วธิ ี
ก. 2 วธิ ี
ข. 3 วิธี
ค. 6 วธิ ี
ง. 9 วิธี
โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์
แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเป็น 70
5. ทอดลกู เต๋า 1 ลูก 1 ครัง้ เหตกุ ารณท์ จ่ี ะได้ผลรวมของแตม้ เป็นจํานวนคี่ตรงกับขอ้ ใด
ก. (1,6), (5,5)
ข. (1,2), (3,4), (5,5)
ค. (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)
ง. (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
6. หอ้ งประชมุ แห่งหนึ่งมปี ระตู 6 บาน ผ้เู ขา้ ประชุมคนหนงึ่ เลือกเขา้ และออกโดยไม่ซาํ้ ประตูเดมิ
จะไดผ้ ลลัพธ์ทั้งหมดทอี่ าจจะเกดิ ขนึ้ กี่วิธี
ก. 20 วิธี
ข. 25 วิธี
ค. 30 วธิ ี
ง. 35 วธิ ี
7. จากจํานวนสลาก 7 ใบ มีรางวลั 3 ใบ คอื ด1, ด2, ด3 และไม่มรี างวลั อยู่ 4 ใบ คือ ม1, ม2, ม3 และ ม4
เมอื่ จบั สลากทีละ 1 ใบ จะได้ผลทั้งหมดของเหตกุ ารณ์ทเี่ กิดข้ึนท้งั หมดคอื ขอ้ ใด
ก. ด1, ม1
ข. ด1, ด2, ด3
ค. ม1, ม2, ม3, ม4
ง. ด1, ด2, ด3, ม1, ม2, ม3, ม4
8. หญงิ มถี งุ มือ 3คู่ ประกอบดว้ ย สีขาว สดี าํ สนี ้ําตาล วางแยกกัน ถา้ หยิบถุงมือข้ึนมา 2 ข้าง พรอ้ มกนั
จะหยบิ ไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี
ก. 30
ข. 15
ค. 12
ง. 8
9. เลอื กตัวอักษร 2 ตัว โดยเลอื ก 1 ตัวจากคําว่า “CAT” และเลือกอกี 1 ตวั จากคาํ ว่า “DOG” จะมีวธิ ีเลอื ก
ตวั อักษร 2 ตวั ได้ก่ีวธิ ี
ก. 2 วธิ ี
ข. 3 วิธี
ค. 6 วิธี
ง. 9 วิธี
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบ้อื งตน้ และความน่าจะเปน็ 71
10. ข้อใดคอื เหตุการณ์ของการโยนลกู เต๋า 1 ลูก 2 ครั้ง แลว้ ไดแ้ ต้มท่เี ท่ากัน
ก. {11, 22, 33, 44, 55, 66}
ข. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ค. {11, 12, 13, 14, 15, 16}
ง. {123456}
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเปน็ 72
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น
เรือ่ ง เหตุการณ์
ชอ่ื ................................................................................................เลขท่ี ......................ชั้น...................
ขอ้ ก ตวั เลือก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผลการประเมนิ เตม็ (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอื้ งต้นและความน่าจะเป็น 73
ใบความรู้ท่ี 13
เรื่อง ความน่าจะเปน็
บทนยิ าม ถ้า N เปน็ จํานวนสมาชิกของแซมเปลิ สเปซ S ซึ่งประกอบดว้ ยสมาชกิ ท่มี โี อกาสเกิดขึน้ ได้เทา่ ๆ
กนั และ n เปน็ จาํ นวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E ซง่ึ เปน็ สับเซตของ S แล้วความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E
เท่ากับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E)
หมายเหตุ ข้อกําหนดน้ี ใช้คํานวณความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์จาดแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจํากัด และ
สมาชิกแต่ละตัว มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน ในอีกทางหน่ึง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จาํ นวนที่
บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอ้ ยเพียงใด กล่าวคือ
ถ้า P(E) = 0 เหตุการณ์ E จะไม่มีโอกาสเกิดข้ึนเลย
P(E) = 1 เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นแน่นอน
P(E) = 0.5 เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นหรอื ไม่เกิดขน้ึ ได้เท่าๆ กัน
P(E1) = 0.4 และ P(E2) = 0.8 เหตุการณ์ E2 มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E1
น่ันแสดงว่า P(E) มีค่าตั้งแต่ 0-1
ตวั อยา่ งที่ 1 ขวดแก้วใบหนง่ึ มีลกู แกว้ อยู่ 10 ลกู เปน็ ลกู แกว้ สีขาว 7 ลกู ทีเ่ หลือเป็นลูกแก้วสดี ํา
เมือ่ สุ่มหยบิ ลูกแก้วขนึ้ มา 1 ลกู ความนา่ จะเป็นที่จะหยิบไดล้ กู แก้วสขี าวเป็นเท่าไร และความนา่ จะเป็นท่จี ะ
หยิบไดล้ ูกแกว้ สีดาํ เป็นเท่าไร
วิธที าํ ในขวดแก้วมีลกู แก้วสีดาํ 10 - 7 = 3 ลูก
7
ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสขี าว 10
3
และความน่าจะเปน็ ที่จะหยิบได้ลกู แก้วสดี ํา 10
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบื้องต้นและความนา่ จะเป็น 74
ตวั อย่างที่ 2 ในขวดโหลทึบใบหนึ่ง มีลูกปิงปองสสี ม้ 3 ลูก และลกู ปงิ ปองสแี ดง 2 ลูก ถ้าหยบิ ลกู ปิงปองครง้ั ละ
หน่งึ ลกู แล้วใสก่ ลบั คนื โดยหยบิ จํานวน 2 ครง้ั จงหาผลลัพธ์ที่จะเกิดขน้ึ ทงั้ หมด และความ
น่าจะเปน็ ที่จะหยบิ ไดล้ ูกปงิ ปองทแี่ ตล่ ะลกู มีสีเดียวกันและเปน็ ลูกเดียวกัน
วธิ ที า กาํ หนดให้ ส1 ส2 ส3 แทนลูกปงิ ปองสสี ้มลกู ท่ี 1 ลูกที่ 2 และลูกท่ี 3 ตามลาํ ดบั
ด1 ด2 แทนลกู ปิงปองสีแดงลูกท่ี 1 และลูกท่ี 2 ตามลําดับ
ดงั นั้น จํานวนผลท่เี กดิ ข้นึ ทง้ั หมดเท่ากบั 25 จํานวนผลทไ่ี ดล้ กู ปงิ ปองแต่ละลูกมสี เี ดยี วกันและเป็นลกู
เดยี วกันเทา่ กับ 5
ดงั น้ัน ความนา่ จะเป็นท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกปิงปองที่แตล่ ะลูกมสี ีเดียวกนั และเป็นลกู เดียวกนั เทา่ กับ 5 = 1
25 5
ความพยายามอยู่ท่ไี หน ความสําเร็จอย่ทู ่นี ่ัน
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 75
ตวั อยา่ งที่ 3 ในการหยบิ ไพ่ 1 ใบ ออกจากไพส่ ํารบั หนึ่ง จํานวนผลทง้ั หมดที่จะเกดิ ขึ้นเปน็ เทา่ ไร
จงหาความน่าจะเป็นทีจ่ ะได้ไพห่ มายเลข 4 โพแดง หรอื ไพห่ มายเลข 7 ขา้ วหลามตดั
วธิ ที ํา ไพ่ 1 สํารับ มี 52 ใบ ซึง่ แบง่ เป็น 4 ชดุ ชดุ ละ 13 ใบ ดังนี้
ผลทัง้ หมด คือ A โพดาํ , 2 โพดํา, 3 โพดํา, ..., K โพดาํ , (โพดาํ 13 ใบ)
A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, ..., K โพแดง, (โพแดง 13 ใบ)
A ขา้ วหลามตัด, 2 ขา้ วหลามตัด, 3 ข้าวหลามตัด, ..., K ข้าวหลามตัด, (ข้าวหลามตัด 13 ใบ)
A ดอกจิก, 2 ดอกจกิ , 3 ดอกจกิ , ..., K ดอกจิก (ดอกจกิ 13 ใบ)
จํานวนผลทัง้ หมดทเ่ี กดิ ขึ้น n(S) = 52
จาํ นวนทจี่ ะหยิบไพ่ 1 ใบ จะไดไ้ พห่ มายเลข 4 โพแดง หรือไพห่ มายเลข 7 ขา้ วหลามตดั เทา่ กับ 2
ดงั น้นั ความนา่ จะเป็นที่จะหยบิ ได้ไพห่ มายเลข 4 โพแดง หรือไพ่หมายเลข 7
ข้าวหลามตดั เทา่ กบั 2 = 1
52 26
ขยันฝกึ นะคะจะไดเ้ กง่
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเป็น 76
ใบความรู้ท่ี 14
เรื่อง การแกโ้ จทยป์ ัญหาเก่ียวกับความนา่ จะเปน็
ขน้ั ที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา
- ส่งิ ที่โจทย์กาํ หนดให้
- สงิ่ ที่โจทยต์ ้องการทราบ
ขั้นท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา
ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธีทาํ
ข้ันที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ท่ีกาํ หนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่
ตวั อยา่ งที่ 1 จากการสาํ รวจหมเู่ ลอื ดของนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 พบวา่ หมู่เลือดกรุ๊ป A มีร้อยละ 30
หมู่เลือดกรุ๊ป B มีร้อยละ 23 หมู่เลือดกรุป๊ AB มรี อ้ ยละ 13 ทเี่ หลือเปน็ หมเู่ ลอื ดกรปุ๊ O ถา้ สมุ่ นกั เรียน
ออกมา 1 คน หม่เู ลือดใดมโี อกาสถูกเลอื กมากทีส่ ุด และมโี อกาสถกู เลือกมากเปน็ เทา่ ใด
ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา
- สิง่ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ คอื นกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 พบว่าหมู่เลือดกรุ๊ป A มีรอ้ ยละ 30 หมู่
เลือดกรปุ๊ B มีร้อยละ 23 หมู่เลอื ดกรปุ๊ AB มีรอ้ ยละ 13 ท่เี หลอื เปน็ หมู่เลือดกรุป๊ O
- สิง่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบคือ ถา้ สมุ่ นักเรยี นออกมา 1 คน หม่เู ลือดใดมโี อกาสถูกเลอื กมากท่สี ดุ และ
มีโอกาสถูกเลือกมากเป็นเท่าใด
ขัน้ ที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา
- หาแซมเปิลสเปช
- หาเหตกุ ารณท์ ่ีเราสนใจ
ขัน้ ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที ํา
วิธที า นกั เรยี นหมเู่ ลือดกรปุ๊ A มรี ้อยละ 30
นักเรยี นหมเู่ ลอื ดกร๊ปุ B มีร้อยละ 23
นักเรยี นหมเู่ ลอื ดกรุ๊ป AB มีร้อยละ 13
นักเรียนหมูเ่ ลอื ดกรุ๊ป O มรี ้อยละ 100 – (30 + 23 + 13) = 34
หม่เู ลือดใดมีโอกาสถูกเลือกมากท่ีสุด คือ หมเู่ ลอื ดกร๊ปุ O
และมีโอกาสถูกเลอื กเท่ากบั หรอื 0.34
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกับที่กําหนดในโจทยป์ ัญหาหรอื ไม่
สุ่มนักเรยี นออกมา1คน หม่เู ลอื ดใดมโี อกาสถูกเลอื กมากทส่ี ุดคือหมู่เลอื ดกรุป๊ O
และมีโอกาสถกู เลอื กมากเปน็ หรอื 0.34 สอดคลอ้ งกบั ขอ้ มลู ท่โี จทย์กาํ หนดให้
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 77
แบบฝึกทกั ษะที่ 13
เร่อื ง ความนา่ จะเปน็
คาชแ้ี จง : ให้นักเรียนแสดงวิธที ําต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1. จงหาความนา่ จะเป็นจากการไดห้ วั และแตม้ ท่ีมากกว่า 4 จากการโยนเหรียญหน่ึงเหรียญและทอดลูกเตา๋
หนงึ่ ลูกหนึ่งครัง้ พรอ้ มกนั (2 คะแนน)
วิธีทาํ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ให้นกั เรยี นเตมิ คําตอบลงในชอ่ งวา่ แต่ละข้อต่อไปนใ้ี ห้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์ (ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมเป็น 8 คะแนน)
ข้อที่ โจทย์ คาตอบ
1 ครอบครวั หน่ึงมีบตุ ร 2 คน จงหาความนา่ จะเป็นท่จี ะได้
1.1 บุตรคนแรกเปน็ ชาย 1.1 …………….
1.2 บตุ รทง้ั สองคนเป็นหญิง 1.2 …………….
1.3 บตุ รชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน 1.3 …………….
2 จากการสอบถามนกั เรยี น 3 คน วา่ ชอบเรียนคณติ ศาสตร์
หรือไม่ จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
2.1 นักเรยี นทั้งสามคนชอบเรียนคณติ ศาสตร์ 2.1 …………….
2.2 นกั เรยี นอยา่ งน้อย 1 คน ไม่ชอบเรียนคณติ ศาสตร์ 2.2 …………….
3 สุ่มเลือกตัวอกั ษรในคําวา่ “mountain” จงหาความน่าจะเปน็
3.1 ทจ่ี ะเลือกไดส้ ระในภาษาอังกฤษ 3.1 …………….
3.2 ที่จะเลือกได้ตวั อักษรท่ไี ม่ใชส่ ระภาษาอังกฤษ 3.2 …………….
3.3 ท่จี ะเลอื กได้ n 3.3 …………….
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนบั เบ้อื งตน้ และความนา่ จะเปน็ 78
แบบฝึกทักษะท่ี 14
เรือ่ ง การแก้โจทย์ปญั หาเกยี่ วกับความนา่ จะเป็น
คาชีแ้ จง : จงแสดงวธิ ที าํ อย่างละเอยี ดในการหาคําตอบตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)
1. โยนลกู เตา๋ 1 ลูก 1 คร้งั จงหาความน่าจะเป็นทีล่ ูกเต๋าหงายแต้มเปน็ จาํ นวนที่ 3 หารลงตวั (5 คะแนน)
วธิ ที า ขัน้ ท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา (1 คะแนน)
- สิ่งทโ่ี จทยก์ ําหนดให้ คือ
- สิง่ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบ คือ
ขนั้ ที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา (1 คะแนน)
ขน้ั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที ํา (2 คะแนน)
วธิ ีทํา
ข้นั ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคลอ้ งกับท่กี ําหนดในโจทย์ปัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบอื้ งต้นและความน่าจะเป็น 79
2. เรยี งบัตร 3 ใบ คือ A C T ให้เป็นคาํ ตา่ ง ๆ จงหาความนา่ จะเปน็ ทไี่ ดค้ ําทีม่ ีความหมาย (5 คะแนน)
วธิ ที า ขน้ั ท่ี 1 ทาความเข้าใจปัญหา (1 คะแนน)
- ส่ิงที่โจทยก์ าํ หนดให้ คือ
- สิง่ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ คอื
ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา (1 คะแนน)
ขั้นที่ 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ีทํา (2 คะแนน)
วิธีทํา
ขนั้ ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ทีก่ ําหนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่ (1 คะแนน)
มสี ติ คิดอย่างรอบคอบ แล้วปัญญาจะเกดิ
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 80
แบบทดสอบหลังเรียน
เร่อื ง ความนา่ จะเป็น
คาช้ีแจง
1. แบบทดสอบฉบับนีม้ ีจาํ นวน 10 ขอ้ ให้เวลาทาํ 15 นาที
2. แบบทดสอบเปน็ แบบปรนัยเลอื กตอบชนิด 4 ตวั เลอื ก ใหน้ ักเรียนเลือกคาํ ตอบ
ที่ถกู ทีส่ ดุ เพยี งข้อเดียวด้วยเคร่ืองหมายกากบาท (X) ในกระดาษคาํ ตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………..
1. มีเส้อื สีแดง 1 ตัว เสอ้ื สขี าว 1 ตัว เสอ้ื สีดาํ 1 ตวั ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ เสอ้ื สใี ดมีมากทีส่ ุด
ก. เสอ้ื สีแดง
ข. เส้อื ขาว
ค. เสอ้ื สดี าํ
ง. มโี อกาสเท่ากัน
2. ส่มุ ตวั อกั ษร 1 ตัวในคําวา่ “somethings” ความนา่ จะเป็นที่จะไดต้ วั อกั ษรที่เปน็ สระเปน็ เท่าไร
ก. 0.3
ข. 0.5
ค. 0.7
ง. 0.9
3. โรงเรยี นของสมชายมีนกั เรียน 500 คน สมุ่ เลือกนักเรยี น 1 คน เป็นประธานนกั เรยี น ความนา่ จะเป็นท่ี
สมชายจะได้เปน็ ประธาน นักเรียนเป็นอยา่ งไร
ก. สมชายได้เปน็ ประธานนักเรยี นอย่างแน่นอน
ข. สมชายไม่ได้เป็นประธานนกั เรยี นอย่างแน่นอน
ค. สมชายอาจจะได้เปน็ ประธานนกั เรยี น
ง. ถูกทกุ ขอ้
4. ในขวดโหลมีลูกอมรสบ๊วย 6 เมด็ รสมะนาว 6 เม็ด รสกาแฟ 3 เม็ด และรสส้ม 9 เมด็ โก้ต้องสมุ่ หยิบลูกอม
ขึ้นมาอยา่ งน้อยกเ่ี ม็ดจงึ จะไดล้ กู อมรสส้มอยา่ งแนน่ อน
ก. 6 เมด็
ข. 9 เม็ด
ค. 12 เมด็
ง. 16 เม็ด
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบ้อื งตน้ และความน่าจะเปน็ 81
5. ชาย 3 คน ข้ึนตกึ 5 ช้นั โดยใชล้ ิฟทค์ วามนา่ จะเปน็ ทช่ี ายทัง้ 3 คนน้จี ะออกจากลฟิ ท์โดยไม่ซาํ้ กันเปน็ เทา่ ไร
ก. 0.48
ข. 0.50
ค. 0.52
ง. 0.54
6. จาํ นวนนบั ตั้งแต่ 1-100 ความนา่ จะเป็นที่จะมี 3 หารลงตวั ตรงกับข้อใด
ก. 0.30
ข. 0.33
ค. 0.36
ง. 0.39
7. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชัน้ ม.4 ดงั น้ี เกรด 0 มี 53 คน เกรด 1 มี 97 คน เกรด 2
มี 150 คน เกรด 3 มี 160 คน เกรด 4 มี 40 คน ความน่าจะเป็นของนกั เรียนได้เกรดตาํ่ กว่า 2 ตรงกบั ข้อใด
ก. 0.20
ข. 0.25
ค. 0.30
ง. 0.35
8. ครอบครวั หนึ่งมบี ุตร 4 คน เปน็ ชาย 3 คน หญิง 1 คน ถา้ จะมบี ุตรคนที่ 5 ความน่าจะเป็นทจ่ี ะเป็นบตุ รชาย
หรือบตุ รหญิงตรงกับข้อใด
ก. ชาย
ข. หญงิ
ค. เปน็ ชายหรอื หญงิ เท่าๆ กัน
ง. ไมม่ ขี อ้ สรปุ ได้
9. นายตี๋มีถงุ เท้า 4 คู่ คือ สฟี ้า ด า เทา และนํ้าเงิน ถ้าหากหยิบถงุ เท้าจากกลอ่ งโดยไมม่ องขน้ึ มาพรอ้ มกนั
สองขา้ งความนา่ จะเป็นที่จะไดส้ ตี า่ งกันตรงกับขอ้ ใด
ก. 5
ข.
ค.
ง. 5
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็ 82
10. ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะจดั เรยี งคําทมี่ ี 2 ตวั อกั ษร และมคี วามหมายจากอกั ษรคอื n, o, t เปน็ เท่าใด
ก.
ข.
ค.
2
ง. 2
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบอื้ งตน้ และความนา่ จะเป็น 83
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็
ชอ่ื ................................................................................................เลขที่ ......................ชั้น...................
ขอ้ ก ตัวเลือก ง
1 ขค
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ผลการประเมนิ เต็ม (10)
คะแนน
ได้
ร้อยละ
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบ้ืองตน้ และความนา่ จะเปน็ 84
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1
เรื่อง กฎเกณฑเ์ บอ้ื งต้นเกยี่ วกับการนับ
คาช้ีแจง
1. ใหน้ ักเรยี นเตมิ คาํ ตอบลงในชอ่ งว่างใหถ้ ูกต้องสมบูรณ์ (ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมเปน็ 5 คะแนน)
ข้อท่ี คาถาม คาตอบ
1 มเี ลขโดด 10 ตัว คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นาํ เลข 90 จาํ นวน
โดดเหล่าน้มี าสรา้ งจาํ นวนที่มีสองหลักไดก้ ่ีจํานวน 40 วธิ ี
25 วธิ ี
2 จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการทาํ ขอ้ สอบปรนัย 4 ตวั เลอื ก 56 วิธี
จํานวน 10 ขอ้
30 วธิ ี
3 มนี ก 3 ตัว และตน้ ไมใ้ หญ่ 4 ตน้ จงหาจาํ นวนวธิ ีท่นี ก 3 ตัว
บนิ ไปเกาะตน้ ไม้ 4 ต้นนี้ ได้ก่ีวธิ ี
หอ้ งประชุมหอ้ งหนึง่ มปี ระตเู ขา้ -ออก 8 ประตู ผ้เู ขา้ ประชุม
4 แตล่ ะคนจะมีวิธีเดินเขา้ -ออกห้องประชุมแห่งนโ้ี ดยออกไมซ่ ้าํ
ประตูเดมิ ได้กวี่ ิธี
ในการจบั ฉลากเพือ่ หยิบรายช่อื นักเรยี นท่มี ีอยู่ 100 คน
5 เข้ารับรางวัลที่ 1, 2 และ 3 ตามลําดบั จงหาจํานวนวิธี
ทจ่ี ะเกดิ ขึ้นทั้งหมด
มสี ติ คิดอยา่ งรอบคอบ แลว้ ปัญญาจะเกดิ
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทักษะการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 85
คาชแ้ี จง ให้นักเรยี นแสดงวธิ ที ําหาคําตอบใหถ้ กู ต้องสมบรู ณ์ (2 คะแนน)
1. มถี นนจากกรุงเทพ ฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมถี นนจากลพบรุ ถี ึงนครราชสมี า 4 สาย ถา้ จะขับรถยนต์
จากกรงุ เทพ ฯ ถึงนครราชสีมา โดยขับผา่ นจงั หวัดลพบรุ ี จะใชเ้ ส้นทางทต่ี า่ งกนั ได้ทั้งหมดกเ่ี สน้ ทาง
(เขียนแผนภาพแสดงการเดินทางเพอ่ื ประกอบคําตอบด้วย) (2 คะแนน)
วิธีทา เลือกเส้นทางจากกรงุ เทพ ฯ ถงึ ลพบรุ ี ได้ 3 วิธี
เลอื กเส้นทางจากลพบุรี ถงึ นครราชสมี า ได้ 4 วิธี
จะไดท้ ัง้ หมด 34 12 วธิ ี
ดงั น้นั ถา้ จะขบั รถยนต์จากกรุงเทพ ฯ ถงึ นครราชสมี า โดยขับผา่ นจังหวดั ลพบุรี จะใชเ้ ส้นทาง
ต่างกนั ได้ท้งั หมด 12 เส้นทาง
แสดงแผนภาพการเดินทางได้ ดังนี้ น1
ล1 น2
น3
กรงุ เทพ ฯ ล2 น4
น1
ล3 น2
น3
น4
น1
น2
น3
น4
กําหนด ล แทน ลพบรุ ี และ น แทน นครราชสมี า
ตง้ั ใจศึกษาเรียนรู้
เพ่อื อนาคตท่ีสดใส
โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น 86
2. จงหาวา่ จากเลขโดด 0–9 จะมวี ิธเี ขยี นตัวเลขแสดงจาํ นวนต่อไปนไี้ ดก้ ว่ี ิธโี ดยใหเ้ ลขโดดในแต่ละหลักซ้ํากันได้
2.1 จํานวนเต็มบวกที่มสี ีห่ ลกั ---------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
วิธีทา จากโจทย์แบ่งได้ 4 ขน้ั ในการเขียนตวั เลข ดังน้ี
ขน้ั ท่ี 1 จดั ตวั เลขหลักพันได้ 9 วธิ ี (เลอื ก 1 – 9)
ขนั้ ท่ี 2 จัดตวั เลขหลักรอ้ ยได้ 10 วธิ ี (เลอื ก 0 – 9)
ขน้ั ที่ 3 จัดตวั เลขหลักสิบได้ 10 วธิ ี (เลือก 0 – 9)
ขัน้ ท่ี 4 จัดตัวเลขหลกั หนว่ ยได้ 10 วธิ ี (เลือก 0 – 9)
ดังนัน้ สามารถเขยี นตัวเลขจํานวนเต็มบวกทีม่ สี ีห่ ลกั ไดท้ ง้ั หมด 9101010 9,000 จํานวน
2.2 จาํ นวนคท่ี ม่ี ีสี่หลัก --------------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
วิธที า จากโจทย์แบง่ ได้ 4 ขัน้ ในการเขยี นตวั เลข ดังนี้
ขน้ั ท่ี 1 จดั ตัวเลขหลกั พันได้ 9 วธิ ี (เลอื ก 1 – 9)
ขั้นที่ 2 จัดตัวเลขหลักรอ้ ยได้ 10 วิธี (เลอื ก 0 – 9)
ขน้ั ที่ 3 จดั ตัวเลขหลกั สิบได้ 10 วธิ ี (เลอื ก 0 – 9)
ขน้ั ที่ 4 จัดตวั เลขหลักหน่วยได้ 5 วิธี (เลือก 1,3,5,7,9)
ดังนัน้ สามารถเขยี นจํานวนคซี่ ่ึงมีส่ีหลักได้ทัง้ หมด 591010 4,500 จาํ นวน
2.3 จาํ นวนทมี่ สี ห่ี ลกั ท่หี ลักหนว่ ยเป็นศูนย์ -------------------------------------------------- (1 คะแนน)
วิธที า จากโจทย์แบ่งได้ 4 ขน้ั ในการเขยี นตัวเลข ดงั นี้
ขน้ั ที่ 1 จัดตัวเลขหลกั พันได้ 9 วธิ ี (เลอื กจาก 1 – 9)
ขัน้ ท่ี 2 จดั ตวั เลขหลกั ร้อยได้ 10 วิธี (เลอื กจาก 0 – 9)
ขั้นท่ี 3 จัดตวั เลขหลกั สิบได้ 10 วธิ ี (เลอื กจาก 0 – 9)
ขน้ั ท่ี 4 จดั ตัวเลขหลักหน่วยได้ 1 วธิ ี (เลือกจาก 0)
ดงั นน้ั สามารถเขยี นจาํ นวนท่ีมีสีห่ ลักท่หี ลักหนว่ ยเป็นศนู ย์ได้ 191010 900 จํานวน
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความน่าจะเปน็ 87
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
เร่อื ง กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเก่ยี วกับการนับ
คาชแ้ี จง
1. ต้องการสรา้ งจาํ นวนคู่บวกส่หี ลักจากตัวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแต่ละหลัก ใช้ตัวเลขไม่ซํ้ากัน จะสรา้ งได้
กจี่ ํานวน (5 คะแนน)
ข้ันที่ 1 ทาความเข้าใจปัญหา-------------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
- สิง่ ทีโ่ จทยก์ าํ หนดให้ คือ ต้องการสร้างจาํ นวนคู่บวกสห่ี ลักจากตัวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแต่ละหลัก
ใชต้ ัวเลขไม่ซาํ้ กนั
- ส่งิ ที่โจทยต์ อ้ งการทราบ คือ จะสร้างจาํ นวนคู่บวกสี่หลกั จากตัวเลข 0, 3, 4, 6, 8 โดยแตล่ ะหลกั
ใชต้ วั เลขไม่ซาํ้ กนั ไดก้ จ่ี าํ นวน
ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา -------------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
หลกั หน่วยใช้เลขโดด 0 , 4 , 6 , 8 แยกเปน็ 2 กรณี
กรณที ่ี 1 หลกั หนว่ ยเปน็ 0
กรณีท่ี 2 หลักหนว่ ยเป็น 4, 6 หรือ 8
ขัน้ ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ีทาํ -------------------------------------------------- (2 คะแนน)
วิธีทา หลกั หนว่ ยใชเ้ ลขโดด 0 , 4 , 6 , 8 แยกเปน็ 2 กรณี
กรณที ่ี 1 หลักหนว่ ยเปน็ 0 มี 1 วธิ ี
หลกั พัน เหลอื เลขโดด 4 ตัว มี 4 วธิ ี
หลักรอ้ ย เหลือเลขโดด 3 ตัว มี 3 วธิ ี
หลักสิบ เหลือเลขโดด 2 ตวั มี 2 วธิ ี
จํานวนวิธที สี่ รา้ งจํานวนคู่ 3 หลกั หลกั หน่วยเป็น 0 คือ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 จํานวน
กรณีที่ 2 หลกั หนว่ ยเป็น 4, 6 หรือ 8 มี 3 วธิ ี
หลักพัน เหลอื เลขโดด 4 ตวั (ใช้ 0 ไม่ได้ ) มี 3 วธิ ี
หลักรอ้ ย เหลือเลขโดด 3 ตวั มี 3 วธิ ี
หลักสบิ เหลือเลขโดด 2 ตวั มี 2 วิธี
จํานวนวธิ ีท่ีสรา้ งจํานวนคู่ 3 หลกั หลกั หนว่ ยเปน็ 4 หรือ 6 คือ 3×3× 2× 3 = 54 จํานวน
ดงั นั้น จํานวนวิธีสร่างจํานวนคบู่ วกสหี่ ลกั ไดท้ ้งั หมด 24 + 54 = 78 จาํ นวน
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝึกทักษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 88
ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคล้องกับทีก่ าํ หนดในโจทยป์ ัญหาหรือไม่ ----- (1 คะแนน)
จะมีวิธจี ัดทาํ ปา้ ยให้ครบทุกแบบ ทุกสี และทกุ ขนาด ได้ทัง้ หมด (6)(3)(5) วธิ ี หรอื 90 วธิ ี
จํานวนวธิ ีท่ีสร้างจํานวนคู่ 3 หลกั หลกั หนว่ ยเปน็ 0 คอื 4 × 3 × 2 × 1 = 24 จาํ นวน
จํานวนวธิ ที ี่สรา้ งจาํ นวนคู่ 3 หลัก หลักหน่วยเป็น 4 หรือ 6 คอื 3×3× 2× 3 = 54 จํานวน
ดังนั้น จาํ นวนวิธีสรา่ งจาํ นวนคู่บวกสี่หลกั ได้ทง้ั หมด 24 + 54 = 78 จาํ นวน
2. ถา้ ต้องการทําป้ายเพอ่ื แสดงแบบ สี และขนาดของรองเท้ากฬี า 6 แบบ แต่ละแบบมี 3 สี และแต่ละสี
มี 5 ขนาด จะต้องจัดทําปา้ ยทต่ี ่างกนั ท้ังหมดก่ปี า้ ยจึงจะครบทุกแบบ ทกุ สี และทกุ ขนาด (5 คะแนน)
ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา-------------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
- สง่ิ ท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ คือ การทาํ ป้ายเพ่อื แสดงแบบ สี และขนาดของรองเท้ากีฬา 6 แบบ
แต่ละแบบมี 3 สี และแตล่ ะสมี ี 5 ขนาด
- ส่งิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ คอื จะต้องจดั ทาํ ป้ายท่ีต่างกนั ทัง้ หมดกีป่ า้ ยจงึ จะครบทกุ แบบ ทกุ สี
และทุกขนาด
ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา -------------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
ให้ A แทนเซตของแบบรองเทา้ ซง่ึ มี 6 แบบ ดังน้ัน n(A) = 6
B แทนเซตของสรี องเทา้ ซ่งึ มี 3 สี ดงั น้นั n(B) = 3
C แทนเซตของขนาดรองเท้า ซง่ึ มี 5 ขนาด ดังนนั้ n(C) = 5
ขัน้ ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ที าํ -------------------------------------------------- (2 คะแนน)
วธิ ที าํ พิจารณาเงื่อนไขในการจดั ทําป้ายใหค้ รบทุกแบบ สี และขนาด ดังน้ี
1. เน่ืองจากแบบรองเทา้ มี 6 แบบ
ดังนั้นจะมีวิธีเลอื กรองเท้าได้ 6 วธิ ี
(6)
2. สขี องรองเท้ามี 3 สี
ดังน้ันจะมีวิธีเลือกสีรองเทา้ ได้ 3 วธิ ี
(6)(3)
3. ขนาดของรองเทา้ มี 5 ขนาด
ดังนนั้ จะมีวธิ เี ลือกขนาดรองเท้าได้ 5 วธิ ี
(6)(3)(5)
น่ันคือจะมีวธิ จี ัดทาํ ป้ายให้ครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด ไดท้ ้ังหมด (6)(3)(5) วธิ ี หรือ 90 วธิ ี
ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกับทกี่ าํ หนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่ ----- (1 คะแนน)
จะมีวิธจี ัดทาํ ป้ายใหค้ รบทกุ แบบ ทกุ สี และทกุ ขนาด ได้ท้ังหมด (6)(3)(5) วธิ ี หรอื 90 วธิ ี
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น 89
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
เร่ือง กฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกี่ยวกับการนับ
ข้อ ก ตวั เลือก ง
1 ขค X
2 X
3 X
4 X
5
6 X
7X X
8X
9 X
10
X
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบ้อื งต้นและความนา่ จะเป็น 90
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3 (1 คะแนน)
เรือ่ ง แฟกทอเรียล (1 คะแนน)
(1 คะแนน)
ตอนที่ 1 : จงหาคาํ ตอบ (4 คะแนน) (1 คะแนน)
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
(2 คะแนน)
2. ! = × × × ! = 11 × 10 × 9 = 990
(2 คะแนน)
!! โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์
3. ! = × × × 5! = 8 × 7 = 56
5! ! 5! !
4. !2! = × × × ! = 3 × 4 × 7 = 84
!!! !!
ตอนท่ี 2 : จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้ (6 คะแนน)
1. ! = 930 ! = 930
−2 ! −2 !
วิธีทาํ
− −2 ! = 930
−2 !
n (n - 1) = 930
ดงั นนั้ n = 31
ตอบ n = 31
2. ! = 420 ! = 420
− ! − !
วธิ ที าํ
− ! = 420
− !
(n + 1) n = 420
ดงั นั้น n = 20
ตอบ n = 20
แบบฝกึ ทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนบั เบื้องตน้ และความนา่ จะเป็น 91
3. − ! = 12 − ! = 12
− ! − !
วิธีทาํ
− −2 − ! = 12
− !
(n-1)(n-2) = 12
n2 - 3n - 10 = 0
(n -5)(n+2) = 0
n = 5 , -2
จากนิยาม แฟกทอเรียล n ตอ้ งเปน็ จาํ นวนเตม็ บวก แตเ่ นือ่ งจาก -2 ∈ I−
ดังน้นั n = 5
ตอบ n = 5 (2 คะแนน)
ตง้ั ใจศกึ ษาเรียนรู้
เพอ่ื อนาคตท่ีสดใส
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบือ้ งตน้ และความนา่ จะเป็น 92
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 4
เรือ่ ง การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั แฟกทอเรียล
คาสง่ั : จงหาค่าของ n จากสมการตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)
1. ! = 56
−2 !
วิธีทา ขัน้ ที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา------------------------------------------------------------------ (1 คะแนน)
- ส่งิ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ คอื . ! = 56
−2 !
- ส่งิ ทโี่ จทย์ตอ้ งการทราบ คือ หาค่า n
ข้ันท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา ------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
. ! = 56 กระจายในรูปการคณู ตามนิยามแฟกทอเรยี ล
−2 !
ขน้ั ท่ี 3 ดาเนินการตามแผน ด้วยการแสดงวิธที าํ ----------------------------------------- (2 คะแนน)
วธิ ที ํา ! = 56
−2 !
− −2 ! = 56
−2 !
n(n-1) = 56
n2 – n – 56 = 0
(n - 8)(n + 7) = 0
n – 8 = 0 หรือ n + 7 =0
n = 8 n = -7
เนือ่ งจาก n ∈ I ดงั นน้ั n = 8
ข้นั ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกับทกี่ ําหนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
แทน n = 8
พจิ ารณา ! = ! = ! = × × ! = 56 ! !
จะได้ −2 !
−2 !
56
! =
−2 !
สมการเปน็ จริง ดงั นั้นคําตอบของสมการ คอื n = 8
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ 93
2. ! = 30 (5 คะแนน)
− !
วิธที า ขั้นที่ 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
- สิง่ ท่โี จทยก์ ําหนดให้ ! = 30
− !
- สิ่งท่โี จทย์ต้องการทราบ คือ หาคา่ n
ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา -------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
! = 30 กระจายในรูปการคณู ตามนยิ ามแฟกทอเรยี ล
− !
ข้นั ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที ํา-----------------------------------------(2 คะแนน)
วธิ ีทาํ ! = 30
− !
− ! = 30
− !
(n + 1)n = 30
(n + 1)n = 6 x 5
จะได้ n + 1 = 6 หรอื n = 5
ดงั นัน้ n = 5
ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกับทก่ี าํ หนดในโจทยป์ ัญหาหรอื ไม่ …(1 คะแนน)
แทน n = 5
พิจารณา ! = 5 ! = ! = ×5× ! = 30
5− ! ! !
− !
จะได้ ! = 30
− !
สมการเป็นจรงิ ดังนัน้ คําตอบของสมการ คือ n = 5
โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบอื้ งต้นและความนา่ จะเป็น 94
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น
เร่อื ง แฟกทอเรียล
ข้อ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค X
2
3X X
4 X
5
6X X
7
8X X
9X
10 X
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความนา่ จะเป็น 95
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5
เรอ่ื ง วิธเี รยี งสับเปล่ยี น
คาช้ีแจง : จงแสดงวธิ ีทําอย่างละเอยี ดในการหาคาํ ตอบต่อไปน้ี (10 คะแนน)
1. ทศพลมหี นงั สืออยบู่ นชั้นจาํ นวน 12 เล่ม เปน็ นวนยิ าย 5 เล่ม เป็นสารคดี 3 เล่ม และทเี่ หลือเป็นนติ ยสาร
ทศพลจะทาํ การจัดวางเรียงหนงั สอื บนชน้ั ได้ทง้ั หมดกี่วธิ ี
1.1 จัดอยา่ งไรกไ็ ด้
วธิ ีทํา จาํ นวนวิธี = 12! หรอื 479,001,600 วิธี------------------------------------------------ (2 คะแนน)
1.2 นวนยิ ายตอ้ งอยตู่ ิดกันเสมอ
วธิ ีทําจาํ นวนวธิ ี = 8! 5! หรอื 4,838,400 วธิ ี------------------------------------------------------ (2 คะแนน)
2. ในงานสปั ดาหว์ นั วิทยาศาสตรม์ โี ครงงานส่งเขา้ ประกวดทง้ั หมด 15 โครงงาน มีรางวัลอยู่ 3 รางวัล รางวัล
ชนะเลิศ รองชนะเลศิ อนั ดับ 1 และรองชนะเลิศอันดับ 2 จงหาจาํ นวนวิธที ่จี ะมอบรางวัลให้แกโ่ ครงงาน
2.1 ไม่มเี งื่อนไขใดๆ
วธิ ที ํา จาํ นวนวิธี = 15P3 = 5! = 5 × × × 2!
2!
5− !
= 15 × 14 × 13 = 2,730 วธิ ี -------------------- (2 คะแนน)
2.2 โครงงานกลุ่มท่ี 4 ไดร้ างวัลชนะเลศิ
วิธีทํา มีโครงงานทเ่ี หลือเพยี ง 14 โครงงานทีจ่ ะไดร้ ับรางวัลรองชนะเลิศอันดบั ท่ี 1 และรองอนั ดับที่ 2
จํานวนวธิ ี = 1 × 14P2 = != × × 2! = 14 × 13 = 182 วธิ ี ----- (2 คะแนน)
−2 ! 2!
3. นาํ อกั ษรในคาํ ว่า MISSISSIPPI มาเรยี งสบั เปล่ยี นได้ก่ีแบบ
วธิ ที าํ มตี ัวอกั ษรทง้ั หมด 11 ตวั ประกอบด้วย M 1 ตวั I 4 ตวั S 4 ตัว และ P 2 ตวั
จํานวนวิธี =!
! ! !2!
= × × × × × ×5 × !
= 11 × 10 × 3 ×! 7!2×! 3 × 5
= 34,650 วธิ -ี ------------------------------------------------------ (2 คะแนน)
โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนบั เบ้ืองต้นและความนา่ จะเป็น 96
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 6
เรื่อง การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกีย่ วกับวิธีเรียงสับเปล่ียน
คาชี้แจง : จงแสดงวิธที ําอยา่ งละเอยี ดในการหาคําตอบต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1. มหี นงั สอื แตกตา่ งกนั 8 เลม่ ซึ่งมหี นงั สือท่องเทีย่ ว 3 เลม่ จะจดั เรยี งหนงั สือทงั้ หมดบนชั้นหนงั สอื เดียวกันได้
กว่ี ิธี เมอื่ หนังสือทอ่ งเที่ยวอยู่ตดิ กนั ท้งั 3 เลม่ (5 คะแนน)
วธิ ีทา ขน้ั ที่ 1 ทาความเข้าใจปัญหา----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
- สง่ิ ท่โี จทย์กาํ หนดให้ คือ มหี นงั สือแตกตา่ งกนั 8 เลม่ ซง่ึ มีหนงั สอื ท่องเท่ียว 3 เล่ม
- สิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ จดั เรยี งหนังสอื ทง้ั หมด
บนชน้ั หนงั สอื เดยี วกันไดก้ ่วี ธิ ีเม่ือหนงั สอื ท่องเท่ียวอยู่ติดกันทั้ง 3 เลม่
ข้ันที่ 2 วางแผนแกป้ ัญหา ----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
เงื่อนไข : ตอ้ งการหนงั สอื ท่องเทีย่ วอยตู่ ิดกันทง้ั 3 เลม่ โดยนาํ หนงั สือทั้ง 3 เลม่ มามดั ไว้ด้วยกนั และ
ถอื ว่าเปน็ หนงั สือเล่มเดียวกนั ดังนน้ั หนงั สือ 8 เลม่ จะคิดเป็นหนังสือเพียง 6 เล่ม
ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ีทาํ ----------------------------------------------- (2 คะแนน)
วธิ ีทาํ ในการจดั เรยี งหนังสือท้ังหมด ประกอบด้วยการทํางาน 2 ขัน้ ตอน คือ
ขัน้ ตอนท่ี1 จัดเรียงหนังสอื 6 เลม่ จดั ได้ 6! วิธี
ขัน้ ตอนท่ี2 ในแต่ละวิธีจัดเรียงหนังสอื ท่องเที่ยว 3 เล่มในมัด จัดได้3! วธิ ี
ดงั นัน้ จํานวนวิธีจัดเรยี งหนังสือทงั้ หมดเท่ากับ 6! × 3! = 720 × 6 = 4,320 วิธี
ขัน้ ที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกบั ที่กาํ หนดในโจทย์ปัญหาหรือไม่ ----- (1 คะแนน)
จํานวนวธิ ีจัดเรียงหนงั สอื ทง้ั หมดเทา่ กบั 6! × 3! = 720 × 6 = 4,320 วธิ ี สอดคล้องกับข้อมลู ทีโ่ จทย์กาํ หนดให้
2. มหี นังสอื 9 เล่ม จะจดั เรยี งบนชน้ั หนงั สือซ่ึงมที ่ีว่าง 4 ที่ ได้กว่ี ิธี (5 คะแนน)
วิธที า ขัน้ ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
- สง่ิ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ มีหนงั สือ 9 เล่ม จะจัดเรียงบนช้ันหนังสอื ซ่งึ มีที่ว่าง 4 ที่
- สิ่งทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คือ มหี นงั สือ 9 เลม่ จะจดั เรยี งบนชน้ั หนงั สือซ่ึงมที ี่ว่าง 4 ท่ี ไดก้ วี่ ธิ ี
ข้นั ท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา ----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
มีหนังสอื 9 เลม่ แตกต่างกัน แตน่ ํามาจดั เรยี งเพยี งคราวละ 4 เลม่
ขั้นที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธที าํ --------------------------------------------- (2 คะแนน)
วธิ ีทาํ มีหนงั สือ 9 เลม่ แตกต่างกนั แต่นํามาจดั เรียงเพียงคราวละ 4 เลม่
ดงั นนั้ จะจดั เรียงหนังสือบนชน้ั ได้ P(9,4) = ! = ! = 9(8)(7)(6) = 3,024 วิธี
− ! 5!
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ 97
ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคล้องกบั ทก่ี ําหนดในโจทยป์ ัญหาหรอื ไม่ ----- (1 คะแนน)
มีหนงั สือ 9 เล่ม จะจดั เรยี งบนช้ันหนังสือซง่ึ มีทว่ี า่ ง 4 ท่ี ได้
P(9,4) = ! = ! = 9(8)(7)(6) = 3,024 วิธี สอดคล้องกับขอ้ มูลท่ีโจทย์กําหนดให้
− ! 5!
ใช้หัวใจนักปราชญ์ สุ จิ ปุ ลิ
ในการเรียนรู้นะคะ
โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบอื้ งต้นและความนา่ จะเป็น 98
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น
เรอื่ ง การเรียงสบั เปล่ียน
ขอ้ ก ตวั เลือก ง
1 ขค X
2
3 X X
4 X X
5 X
6X
7 X
8 X
9X
10
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์
แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนบั เบื้องตน้ และความน่าจะเป็น 99
เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 7
เรื่อง วิธีการจดั หมู่
คาํ ชี้แจง : จงหาคําตอบพร้อมทงั้ แสดงวธิ ีทาํ โดยละเอียด (10 คะแนน)
1. จงหาค่าของ (6 คะแนน)
1.1 C6,4 = ! ! 15 ------------------------------------------------- (2 คะแนน)
− !!
2! !
1.2 C5,5 = 5! 5! 1 ------------------------------------------------ (2 คะแนน)
5−5 !5!
!5!
1.3 C20,2 = 2 2! !2! 2 ! 2 × × ! 190 --------------------- (2 คะแนน)
−2
!2! !2!
2. มหี นังสอื 7 เลม่ ท่แี ตกตา่ งกัน ให้เพ่อื นขอยมื 4 เล่ม จะมวี ิธีให้ยืมกวี่ ิธี ------------------------ (4 คะแนน)
วิธีทํา จากโจทย์ n = 7 , r= 4
จะได้ จาํ นวนวิธี คือ C7,4 = !
− !!
=!
− !!
= × ×5 × !
!!
= 35 วธิ ี
ดังน้ัน จาํ นวนวิธที ่ียืมหนงั สอื มที ั้งหมด 35 วิธี
จะเรียนรู้ไดด้ จี ะต้องมสี ตินะคะ
โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
เอกสารประกอบการสอน-เรื่อ-เรียงสับเปลี่ยน-5E3T
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search