เอกสารประกอบการสอน-เรื่อ-เรียงสับเปลี่ยน-5E3T

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเปน็ 100

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 8
เร่ือง การแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับการจัดหมู่

คาช้แี จง: จงแสดงวิธีทาํ อยา่ งละเอียดในการหาคาํ ตอบตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)

1. จงหาจํานวนเส้นทแยงมมุ ของรปู 20 เหล่ียมด้านเทา่ (5 คะแนน)
วิธที า ข้ันท่ี 1 ทาความเข้าใจปญั หา----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)

- ส่งิ ท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ คือ รูป 20 เหลย่ี มด้านเทา่
- ส่งิ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คือ จงหาจาํ นวนเส้นทแยงมมุ ของรูป 20 เหลยี่ มดา้ นเท่า

ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา ----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
รูป 20 เหลีย่ ม มีจดุ ยอดทัง้ หมด 20 จดุ (n = 20)

สรา้ งสว่ นของเส้นตรงเชือ่ มทลี ะ 2 จุด โดยเลอื กจากทง้ั หมด 20 จุด

ขน้ั ที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ที าํ --------------------------------------------- (2 คะแนน)

วธิ ีทํา จะสามารถเลือกได้ C20,2 = 2 ! = 2 × × ! = 10x19 = 190 วิธี

!2! !×2

จะสามารถสรา้ งเส้นได้ทัง้ หมด 190เสน้ มเี ส้นท่ีไม่เป็นเส้นทแยงมมุ อยู่ 20 เสน้
ดงั นน้ั มีเส้นทแยงมุมทั้งหมด 190-20 = 170 เส้น
ตอบ เส้นทแยงมมุ ท้งั หมด 170 เส้น

ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคลอ้ งกับทก่ี ําหนดในโจทย์ปัญหาหรือไม่ --- (1 คะแนน)

จาํ นวนเสน้ ทแยงมุมของรูป 20 เหลย่ี มด้านเท่าได้

C20,2 = 2 ! =2 × × ! = 10x19 = 190 วธิ ี

!2! !×2
จะสามารถสร้างเส้นไดท้ ้ังหมด 190 เส้น มเี ส้นที่ไม่เปน็ เสน้ ทแยงมมุ อยู่ 20 เสน้

ดงั นน้ั มเี ส้นทแยงมุมท้ังหมด 190-20 = 170 เส้น สอดคลอ้ งกบั ข้อมลู ทโ่ี จทยก์ าํ หนดให้

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบ้อื งต้นและความนา่ จะเปน็ 101

2. ถงุ ใบหน่ึงมีลูกบอลสขี าว 6 ลูก ลูกบอลสีดาํ 5 ลูก จะมีกว่ี ธิ ที ีจ่ ะหยิบลกู บอลออกจากถงุ 4 ลกู โดยให้
มีสีขาว 2 ลกู และสีดํา 2 ลูก (5 คะแนน)
วธิ ที า ขนั้ ที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)

- สิง่ ท่โี จทย์กาํ หนดให้ มีลกู บอลสขี าว 6 ลูก ลูกบอลสีดํา 5 ลูก
- สิง่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบ จะมกี วี่ ธิ ที ่จี ะหยิบลกู บอลออกจากถงุ 4 ลูก โดยให้ มีสีขาว 2 ลูก และ
สีดํา 2 ลูก

ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแก้ปญั หา ----------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
จากโจทยจ์ ะสามารถแบง่ ออกเป็น 2 ขั้นตอน ดงั นี้
ขนั้ ตอนท่ี 1 เลอื กลกู บอลสีขาว 2 ลูกจากท้ังหมด 6 ลกู
ขัน้ ตอนท่ี 2 เลือกลูกบอลสดี ํา 2 ลูก จากทงั้ หมด 5 ลูก

ขนั้ ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที ํา--------------------------------------------- (2 คะแนน)

วิธีทาํ วธิ ีทําจากโจทย์จะสามารถแบ่งออกเป็น 2 ขน้ั ตอน ดัง้ นี้

ขั้นตอนท่ี 1 เลือกลกู บอลสีขาว 2 ลกู จากทงั้ หมด 6 ลกู

C6,2 = ! = ×5× ! = 3x5 = 15 วิธี

!2! !×2

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กลกู บอลสดี าํ 2 ลกู จากทงั้ หมด 5 ลกู

C5,2 = 5! = 5× × ! = 5x2 = 10 วิธี

!2! !×2

 สามารถหยบิ บอลสีขาว 2 ลกู และสีดํา 2 ลกู ได้ 15 + 10 = 25 วธิ ี

ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบว่าสอดคล้องกับที่กาํ หนดในโจทย์ปัญหาหรอื ไม่ -- (1 คะแนน)

ถุงใบหนึ่งมลี กู บอลสขี าว 6 ลูก ลกู บอลสดี ํา 5 ลกู จะมีวิธที ี่จะหยิบลูกบอลออกจากถงุ 4 ลูก โดยให้

มสี ีขาว 2 ลกู และสีดํา 2 ลกู

ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กลกู บอลสขี าว 2 ลูกจากท้ังหมด 6 ลกู

จะได้ C6,2 = ! = ×5× ! = 3x5 = 15 วธิ ี

!2! !×2

ขั้นตอนที่ 2 เลอื กลกู บอลสดี าํ 2 ลูกจากทงั้ หมด 5 ลูก

จะได้ C5,2 = 5! = 5× × ! = 5x2 = 10 วิธี

!2! !×2

 สามารถหยิบบอลสีขาว 2 ลูก และสดี ํา 2 ลูก ได้ 15 + 10 = 25 วิธี สอดคลอ้ งกบั ข้อมลู ทโ่ี จทยก์ าํ หนดให้

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนบั เบ้อื งตน้ และความน่าจะเป็น 102

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง วธิ ีการจดั หมู่

ข้อ ก ตัวเลือก ง
1 ขค
2X X
3 X X
4 X
5 X X
6 X
7
8X X
9
10

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น 103

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 9
เร่ือง วธิ ีการจดั หมู่

คาชีแ้ จง

1. ใหน้ กั เรยี นทาํ เคร่อื งหมาย / ลงในชอ่ งว่างในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีท่กี ารทดลองน้นั เปน็ การทดลองสุ่ม

(ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมเปน็ 5 คะแนน)

ขอ้ ท่ี การทดลอง การทดลองสุ่ม
เป็น ไม่เปน็

1 โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญ 1 คร้ัง /

2 ดึงไพ่ 1 ใบ จากสํารบั /

3 หาผลบวกของจํานวนสามจํานวน /

4 เลอื กนักเรยี นทีม่ คี วามสงู ที่สดุ ในหอ้ ง /

5 เลอื กยมื หนังสือท่ชี อบอ่าน 1 เลม่ จากหอ้ งสมดุ กลุม่ สาระคณติ ศาสตร์ /

2. ให้นักเรยี นเติมจาํ นวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซแตล่ ะขอ้ ลงในช่องว่างใหถ้ ูกต้องสมบูรณ์
(ข้อละ 1 คะแนน รวมเปน็ 5 คะแนน)

ข้อท่ี การทดลองสุ่ม จานวนสมาชกิ ของ S
n (S)
1 โยนเหรยี ญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง
2 การจับสลาก 2 ใบ โดยจบั ทลี ะใบจากสลาก 4 ใบ หมายเลข 1, 2, n (S) = 4
n (S) = 12
3 และ 4 ตามลาํ ดับ
3 การเขยี นเลขท้าย 3 ตัว จากเลขโดด 0, 5, 9 n (S) = 27
4 หยิบลกู บอล 1 ลูก จากกล่องใบหนง่ึ ที่มีลกู บอลสแี ดง 2 ลกู n (S) = 3

สีขาว 1 ลูก n (S) = 17
5 มบี ตั รอยู่ 10 ใบ ซงึ่ แต่ละใบมหี มายเลข 1, 2, 3, . . . , 10

ตามลาํ ดบั สมุ่ หยบิ บัตรมา 2 ใบ พร้อมกัน จงหาแซมเปิลสเปซของ
ผลรวมของหมายเลขบนบัตร

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบื้องต้นและความนา่ จะเปน็ 104

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 10
เร่ือง การแก้โจทย์ปญั หาเก่ยี วกับวิธีการจัดหมู่

คาชแ้ี จง: จงแสดงวธิ ที ําอย่างละเอยี ดในการหาคาํ ตอบต่อไปน้ี (10 คะแนน)
1. จงหาแซมเปลิ สเปซของการหยิบลกู บอล 2 ลูก จากกล่องทม่ี ีลกู บอลสีขาว 2 ลูกสีฟา้ 2 ลกู และสีเหลือง 1 ลกู
(5 คะแนน)
วธิ ีทา ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจปญั หา------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)

- สิ่งที่โจทยก์ าํ หนดให้ ลกู บอลสีขาว 2 ลกู สีฟ้า 2 ลกู และสีเหลือง 1 ลูก
- สิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ คอื จงหาแซมเปิลสเปซของการหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกลอ่ ง

ขน้ั ท่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา -------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
กําหนดให้ ข1 = ขาวลกู ท่ี 1, ข2 = ขาวลกู ที่ 2, ฟ1 = ฟา้ ลูกท1่ี , ฟ2 = ฟา้ ลูกที่ 2, ล = ลกู บอลสีเหลือง

ข้ันที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธีทาํ ------------------------------------------(2 คะแนน)
วิธีทํา S = { ข1ข2, ข1ฟ1, ข1ฟ2, ข1ล, ข2ฟ1, ข2ฟ2, ข2ล, ฟ1ฟ2, ฟ1ล, ฟ2ล }

ข้ันท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกบั ท่ีกําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
แซมเปิลสเปซของการหยบิ ลกู บอล 2 ลูก จากกลอ่ งท่มี ลี กู บอลสีขาว 2 ลูกสฟี า้ 2 ลกู และสีเหลอื ง 1 ลูก
จะได้ S = { ข1ข2, ข1ฟ1, ข1ฟ2, ข1ล, ข2ฟ1, ข2ฟ2, ข2ล, ฟ1ฟ2, ฟ1ล, ฟ2ล }

n(S) = 10 สอดคล้องกบั ข้อมลู ทโ่ี จทยก์ ําหนดให้

2. จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 3 คร้ัง (5 คะแนน)
วิธีทา ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)

- สง่ิ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ คอื เหรยี ญ 1 เหรียญ
- สง่ิ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คือ จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 3 คร้งั

ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา -------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
ให้ H แทนเหรียญขึน้ หวั (Head)
T แทนเหรียญข้นึ ก้อย (Tail)
S1 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสมุ่
ใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ชว่ ยหาแซมเปลิ สเปซของการทดลองสุ่ม

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น 105

ข้ันที่ 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวิธีทาํ ------------------------------------ (2 คะแนน)
วธิ ที ํา

จะได้วา่ S = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)}
n(S) = 8

ขน้ั ท่ี 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคล้องกับท่กี ําหนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 คร้ัง

จะได้วา่ S = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)}
n(S) = 8 สอดคล้องกับขอ้ มูลท่โี จทยก์ ําหนดให้

ความพยายามอยทู่ ไี่ หน ความสาํ เร็จอยู่ท่นี นั่

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น 106

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น
เรื่อง การทดลองสุม่

ข้อ ก ตัวเลอื ก ง
1 ขค
2 X
3 X X
4 X
5
6 X
7X X
8 X
9 X
10 X

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น 107

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 11
เรอื่ ง เหตุการณ์

คาช้แี จง : ให้นกั เรียนเติมคําตอบลงในชอ่ งวา่ แตล่ ะข้อต่อไปนใี้ ห้ถกู ต้องสมบูรณ์ (10 คะแนน)

1. จากการทอดลกู เตา๋ 2 ลูก 1 ครง้ั

1.1 จงเขียนเหตุการณ์ E1 ท่ลี ูกเต๋าขึน้ แตม้ รวมเป็น 5 (1 คะแนน)
E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} (1 คะแนน)
(1 คะแนน)
1.2 จงเขยี นเหตกุ ารณ์ E2 ทีล่ ูกเตา๋ ขึน้ แต้มเหมอื นกัน
E2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

1.3 จงเขียนเหตุการณ์ E3 ที่ลกู เต๋า 2 ลกู ขึน้ แตม้ รวมมากกวา่ 10
E3 = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}

2. ครอบครัวหน่งึ มีบตุ ร 3 คน จงหาเหตุการณต์ อ่ ไปนี้

2.1 มบี ตุ รชายอยา่ งน้อย 1 คน

E1 = {ชชช, ชชญ, ชญช, ญชช, ญญช, ญชญ, ชญญ} (1 คะแนน)
2.2 บุตรคนที่สามเป็นหญงิ

E2 = {ชชญ, ญชญ, ชญญ, ญญญ} (1 คะแนน)
2.3 บตุ รคนแรกเปน็ ชายและบตุ รคนทสี่ ามเป็นหญิง

E3 = {ชชญ, ชญญ} (1 คะแนน)
3. ในการสุ่มหยบิ ไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่สํารับหนงึ่ จงหาเหตุการณ์

3.1 ได้ไพแ่ ตม้ J

E1 = {J โพดํา, J โพแดง, J ขา้ วหลามตัด, J ดอกจิก} (1 คะแนน)
3.2 ไดไ้ พ่ 3 โพแดง

E2 = {3 โพแดง} (1 คะแนน)
3.3 ไดไ้ พ่แต้ม 5

E3 = {5 โพดํา, 5 โพแดง, 5 ข้าวหลามตดั , 5 ดอกจิก} (1 คะแนน)
3.4 ไดไ้ พภ่ าษาอังกฤษ

E4 = {J โพดาํ , J โพแดง, J ขา้ วหลามตดั , J ดอกจิก, Q โพดาํ , Q โพแดง, Q ขา้ วหลามตัด,
Q ดอกจกิ , K โพดํา, K โพแดง, K ข้าวหลามตัด, K ดอกจกิ , A โพดาํ , A โพแดง,

A ขา้ วหลามตัด,A ดอกจกิ }

(1 คะแนน)

โดย นางพรพิมาน ยุบลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบื้องตน้ และความนา่ จะเปน็ 108

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 12
เรือ่ ง การแกโ้ จทย์ปัญหาเกีย่ วกบั เหตกุ ารณ์

คาชแี้ จง: จงแสดงวิธีทาํ อยา่ งละเอยี ดในการหาคาํ ตอบตอ่ ไปนี้ (10 คะแนน)
1. โยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ 3 ครงั้ จงหาเหตกุ ารณใ์ นการเกิดหัว 2 คร้ัง กบั เกดิ กอ้ ย1คร้งั (5 คะแนน)
วธิ ที า ขั้นที่ 1 ทาความเข้าใจปัญหา----------------------------------------------------------------(1 คะแนน)

- สงิ่ ทีโ่ จทย์กาํ หนดให้ คอื โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 3 คร้งั
- สิ่งทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คือ จงหาเหตุการณใ์ นการเกิดหัว 2 ครงั้ กับเกิดก้อย1คร้งั

ขั้นท่ี 2 วางแผนแกป้ ญั หา -------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
กาํ หนดให้ H แทน เกิดหัว
T แทน เกดิ กอ้ ย

เขียน Sample Space และหาเหตกุ ารณท์ ี่สนใจ

ขั้นท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ด้วยการแสดงวธิ ีทํา------------------------------------------(2 คะแนน)
วธิ ีทํา เขียน Sample Space ดังนี้

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
และ เหตุการณ์ในการเกดิ หัว 2 ครง้ั กับเกิดก้อย1คร้งั

E = {HHT, HTH, THH}

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคล้องกับทกี่ ําหนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่ -- (1 คะแนน)
โยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ 3 ครั้ง เหตกุ ารณ์ในการเกดิ หวั 2 ครัง้ กบั เกิดกอ้ ย1ครั้ง

จะได้ E = {HHT, HTH, THH} สอดคล้องกบั ข้อมลู ทโี่ จทยก์ ําหนดให้

มีสติ คดิ อย่างรอบคอบ แล้วปัญญาจะเกิด

โดย นางพรพิมาน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทักษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบอื้ งต้นและความนา่ จะเป็น 109

2. ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครงั้ จงหาเหตกุ ารณ์ทีจ่ ะไดแ้ ต้มรวมไม่เกิน 4 (5 คะแนน)
วธิ ที า ข้ันท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)

- สิง่ ท่ีโจทยก์ าํ หนดให้ ทอดลูกเต๋า 1 ลกู 2 คร้งั
- สิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ คอื จงหาเหตุการณ์ทีจ่ ะได้แต้มรวมไม่เกนิ 4

ข้ันท่ี 2 วางแผนแกป้ ัญหา -----------------------------------------------(1 คะแนน)
เขยี น Sample Space และหาเหตกุ ารณ์ที่สนใจ

ขัน้ ท่ี 3 หาคาตอบของโจทย์ปัญหา ดว้ ยการแสดงวธิ ที าํ ------------------------------------(2 คะแนน)
วธิ ที ํา S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

E = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1)}

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคําตอบว่าสอดคลอ้ งกับที่กาํ หนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่ (1 คะแนน)
ทอดลกู เตา๋ 1 ลูก 2 คร้ัง เหตกุ ารณท์ ่ีจะไดแ้ ตม้ รวมไมเ่ กนิ 4

จะได้ E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1) }
สอดคลอ้ งกับข้อมูลที่โจทย์กําหนดให้

เพื่อความร้คู วามเขา้ ใจท่ีชดั เจนและถูกตอ้ ง
มเี วลากลับไปศกึ ษาเรียนร้อู กี รอบนะคะ

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝึกทกั ษะการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเป็น 110

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น
เร่อื ง เหตกุ ารณ์

ขอ้ ก ตวั เลอื ก ง
1 ขค X
2
3 X X
4 X
5 X
6 X X
7 X
8
9 X
10 X

โดย นางพรพมิ าน ยุบลวฒั น์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความน่าจะเป็น 111

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 13
เรอื่ ง ความน่าจะเปน็

คาชี้แจง : ให้นักเรียนแสดงวธิ ที าํ ตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)

1. จงหาความนา่ จะเป็นจากการไดห้ ัวและแตม้ ท่ีมากกว่า 4 จากการโยนเหรียญหนึ่งเหรยี ญและทอดลูกเตา๋

หนง่ึ ลกู หนง่ึ ครง้ั พรอ้ มกนั (2 คะแนน)

วธิ ีทํา จากโจทย์ กาํ หนดให้

n(S) เปน็ จาํ นวนเหตุการณท์ ่เี กดิ ข้ึนทงั้ หมดในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญและทอดลกู เต๋า

หนง่ึ ลกู พร้อมกัน

n(E) เปน็ จํานวนเหตกุ ารณ์ที่โยนเหรยี ญหนง่ึ เหรียญแล้วได้หวั และทอดลูกเต๋าได้แตม้ ท่ีมากกว่า 4

จะได้ n(S) = 2 x 6 = 12 …………………………………………….. (1 คะแนน)

E = {(H,5), (H,6)} ดังน้นั n(E) = 2 …………………………………………….. (1 คะแนน)

จะได้ P(E)  2 =

2

ตอบ ความนา่ จะเป็นทีไ่ ดห้ ัวและแตม้ มากกวา่ 4 เท่ากบั ......................................................

2. ใหน้ ักเรยี นเตมิ คําตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ใหถ้ กู ตอ้ งสมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน รวมเป็น 8 คะแนน)

ข้อที่ โจทย์ คาตอบ

1 ครอบครัวหนึง่ มีบตุ ร 2 คน จงหาความนา่ จะเป็นท่ีจะได้

1.1 บุตรคนแรกเป็นชาย 1.1 (1 คะแนน)
1.2 บตุ รทั้งสองคนเป็นหญิง
1.3 บตุ รชายอย่างน้อย 1 คน 2

1.2 (1 คะแนน)

1.3 (1 คะแนน)

2 จากการสอบถามนักเรยี น 3 คน วา่ ชอบเรยี นคณติ ศาสตร์หรอื ไม่

จงหาความน่าจะเป็นท่ี 2.1 (1 คะแนน)
2.1 นกั เรียนทง้ั สามคนชอบเรียนคณติ ศาสตร์ (1 คะแนน)

2.2 นกั เรยี นอย่างนอ้ ย 1 คน ไม่ชอบเรยี นคณติ ศาสตร์ 2.2

3 สุ่มเลือกตัวอักษรในคําวา่ “mountain” จงหาความน่าจะเปน็

3.1 ท่ีจะเลือกได้สระในภาษาอังกฤษ 3.1 (1 คะแนน)
3.2 ที่จะเลอื กได้ตัวอกั ษรทไี่ ม่ใช่สระภาษาอังกฤษ (1 คะแนน)
3.3 ทีจ่ ะเลอื กได้ n 2
(1 คะแนน)
3.2

2

3.3

โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝกึ ทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ 112

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 14
เรื่อง การแกโ้ จทย์ปญั หาเกย่ี วกับความน่าจะเป็น

คาช้แี จง: จงแสดงวธิ ที ําอย่างละเอยี ดในการหาคาํ ตอบตอ่ ไปน้ี (10 คะแนน)
1. โยนลกู เตา๋ 1 ลกู 1 ครัง้ จงหาความน่าจะเป็นทีล่ กู เต๋าหงายแตม้ เป็นจํานวนที่ 3 หารลงตัว (5 คะแนน)
วิธีทา ขั้นท่ี 1 ทาความเขา้ ใจปญั หา ------------------------------------------------------------------ (1 คะแนน)

- สง่ิ ทโ่ี จทย์กําหนดให้ คอื โยนลกู เต๋า 1 ลูก 1 ครง้ั
- สิ่งทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ คอื จงหาความน่าจะเป็นท่ลี กู เตา๋ หงายแต้มเปน็ จํานวนท่ี 3 หารลงตัว

ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปญั หา ------------------------------------------------------------------- (1 คะแนน)
หาแซมเปลิ สเปซ

ให้ E แทน เหตุการณ์ทลี่ กู เตา๋ หงายแตม้ เปน็ จํานวนที่ 3 หารลงตัว

ข้ันท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวธิ ที าํ ------------------------------------------ (2 คะแนน)
วิธีทาํ โยนลูกเตา๋ 1 ลูก 1 ครัง้ จะไดซ้ มเปิลสเปซ ดังน้ี

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n (S) = 6
ให้ E แทน เหตุการณ์ทล่ี กู เตา๋ หงายแตม้ เปน็ จํานวนที่ 3 หารลงตวั
E = {3, 6} , n (E) = 2
จาก P(E) = = 2 =



ดังนั้น ความน่าจะเปน็ ท่ลี ูกเต๋าหงายแต้มเป็นจํานวนท่ี 3 หารลงตวั คอื

ขั้นที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกับท่กี ําหนดในโจทยป์ ญั หาหรอื ไม่ -- (1 คะแนน)
โยนลกู เตา๋ 1 ลกู 1 คร้งั ความน่าจะเป็นทล่ี กู เตา๋ หงายแตม้ เปน็ จํานวนท่ี 3 หารลงตวั

จะได้ P(E) = = 2 = สอดคลอ้ งกบั ขอ้ มูลทโ่ี จทย์กาํ หนดให้



โดย นางพรพมิ าน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทักษะการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ 113

2. เรียงบตั ร 3 ใบ คอื A C T ให้เปน็ คําต่าง ๆ จงหาความน่าจะเป็นทไี่ ดค้ าํ ทม่ี ีความหมาย (5 คะแนน)
วธิ ที า ข้นั ที่ 1 ทาความเขา้ ใจปัญหา------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)

- สิง่ ทโี่ จทย์กาํ หนดให้ บตั ร 3 ใบ คอื A C T
- สิง่ ทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบ คือ จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีไดค้ าํ ทม่ี คี วามหมาย

ขนั้ ท่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา -------------------------------------------------------------------(1 คะแนน)
หาแซมเปิลสเปซ

ให้ A แทน เหตุการณ์ทไ่ี ดค้ าํ ท่มี คี วามหมาย

ข้นั ท่ี 3 ดาเนนิ การตามแผน ดว้ ยการแสดงวิธที าํ ------------------------------------------(2 คะแนน)
วิธีทํา เรยี งบตั ร 3 ใบ ไดด้ ังนี้ ACT, ATC, TCA, CTA, CAT, TAC

ดังน้นั n(S) = 6
ให้ A แทน เหตุการณท์ ไ่ี ด้คาํ ท่มี ีความหมาย

ดงั นัน้ A = {CAT} , n(A) = 1
P(E) = =



ดงั น้นั ความนา่ จะเป็นที่ไดค้ ําที่มคี วามหมายคือ

ข้ันที่ 4 ตรวจสอบผล ทบทวนคาํ ตอบวา่ สอดคลอ้ งกบั ท่กี าํ หนดในโจทย์ปญั หาหรอื ไม่ -- (1 คะแนน)
เรียงบตั ร 3 ใบ คือ A C T ใหเ้ ปน็ คาํ ตา่ ง ๆ ความน่าจะเปน็ ทีไ่ ดค้ ําทม่ี ีความหมาย

จะได้ P(E) = = สอดคลอ้ งกับขอ้ มูลทโี่ จทยก์ ําหนดให้



ขยนั ฝึกนะคะจะไดเ้ ก่ง

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวฒั น์

แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เร่อื ง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็ 114

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น
เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น

ข้อ ก ตัวเลอื ก ง
1 ขค X
2X
3 X X
4 X X
5X X
6
7 X
8 X
9
10

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์

แบบฝึกทกั ษะการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนับเบ้ืองต้นและความนา่ จะเป็น 115

บรรณานกุ รม

กระทรวงศึกษาธกิ าร. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พช์ ุมนมุ สหกรณ์การเกษตรแหง่ ประเทศไทย.

กนกวลี อุษณกรกลุ และ รณชัย มาเจริญทรพั ย.์ (2553). แบบฝกึ หัดและประเมินผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์
พ้ืนฐาน ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4-6 เล่ม 2. กรงุ เทพมหานคร : สาํ นักพมิ พ์เดอะบุคส์.

กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนิคการเรยี นคณิตศาสตร์ : ความนา่ จะเป็น. กรุงเทพมหานคร : สํานักพมิ พ์
ฟสิ ิกสเ์ ซ็นเตอร์. ทินกฤต เรือนสม. (2560).

สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2554). หนงั สอื เรยี นรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2
ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศกึ ษา
ขนั้ พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
. (2554). หนังสือเรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กล่มุ สาระ
การเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551.
กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

หลกั การนบั เบื้องต้น. (ออนไลน)์ ; https://www.sites.google.com. เข้าถึงเมื่อ 15 มนี าคม 2561.
ความนา่ จะเปน็ . (ออนไลน)์ ; https://www.sites.google.com. เข้าถงึ เมอื่ 15 มนี าคม 2561.
หลักการนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น. (ออนไลน์) ; https :// www.trueplookpanya.com.

เข้าถึงเมอ่ื 16 มีนาคม 2561.
. https :// www.thaigoodview.com. เข้าถึงเมื่อ 15 มนี าคม 2561.
. https :// www. mathsetter.wordpress.com. เขา้ ถึงเมือ่ 15 มนี าคม 2561
images for หลกั การนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น. (ออนไลน์) ; https://www.google.co.th/search?.
เขา้ ถงึ เม่ือ 16 มนี าคม 2561

โดย นางพรพิมาน ยบุ ลวัฒน์