คณิตศาสตร์เสริมเข้ม2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 1

เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย

1. ความรเู้ บือ้ งตน้ เกยี่ วกบั เรขาคณติ วเิ คราะห์

เรขาคณิตวเิ คราะหเ์ ปน็ การเช่ืองโยงความรู้ระหว่างพชี คณิตและเรขาคณติ เขา้ ดว้ ยกนั ซ่ึงการแกป้ ัญหาทาง
พชี คณติ บางปัญหาอาจนำความรทู้ างเรขาคณิตมาชว่ ยแกป้ ัญหาหรือการแก้ปัญหาทางเรขาคณติ ก็อาจนำความรู้ทาง
พีชคณติ มาช่วยแกป้ ญั หาซ่ึงทำใหเ้ รขาคณติ วเิ คราะห์พฒั นาไปอยา่ งรวดเร็ว

1. ระยะทางระหว่างจดุ สองจุด

บนเสน้ จำนวน ถ้าจุด P แทนจำนวนจริง x1 และ Q แทนจำนวนจริง x2 ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P และ Q
คอื ค่าสัมบูรณข์ อง x1 − x2 เขยี นแทนด้วย PQ หรือ PQ

น่ันคือ PQ = PQ = x1 − x2
บนระบบพิกัดฉาก ถ้าจดุ P(x1, y1) และ Q(x2, y2)
1. เส้นตรงขนานกบั แกน X กำหนดจดุ P(x1, y1) และจุด Q(x2, y1) (สมาชิกตัวหลงั มคี า่ เท่ากนั )

จะได้ PQ = x1 − x2 หรอื PQ = x2 − x1

2. เส้นตรงขนานกับแกน Y กำหนดจดุ P(x1, y1) และจดุ Q(x1, y2) (สมาชิกตัวหนา้ มีคา่ เท่ากัน)
จะได้ PQ = y1 − y2 หรอื PQ2 = y2 − y1

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 2

3. เส้นตรงไม่ขนานกับแกน X และไม่ขนานกบั แกน Y กำหนดจุด P(x1, y1) และจุด Q(x2, y2)
จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก PQR โดยทฤษฎีบทพที าโกรัส
จะได้ PQ2 = x1 − x2 2 + y1 − y2 2

PQ = x1 − x2 2 + y1 − y2 2

PQ = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

( เนื่องจาก a 2 = a2 เม่ือ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

ทฤษฎีบท 1 ถ้า P(x1, y1) และจุด Q(x2, y2) เปน็ 2 จุดบนระนาบแล้ว
ระยะทางระหว่างจดุ P และ Q คือ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาระยะทางระหว่างจดุ A(4,3) และ B(−5,3)
วิธีทำ เน่ืองจากจุด A(4,3) และ B(−5,3) อยบู่ นแนวเส้นตรงขนานกับแกน X ดังรูป
จะได้ AB = x1 − x2

= 4 − (−5)

=9 (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

หรอื ใชส้ ูตร AB = (4 − (−5)2 + (3 − 3)2

จะได้ AB =

= 81

=9

ดังนน้ั ระยะทางระหวา่ งจุด A(4,3) และ B(−5,3) เท่ากบั 9 หนว่ ย
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาพกิ ัดของจุด W บนแกน X เมอ่ื W อย่หู า่ งจากจุด M (2,−3) และจุด S(4,6) เป็น

ระยะทางเท่ากัน
วิธีทำ จากโจทยใ์ ห้ W (x,0) เปน็ จดุ ซึ่งทำให้ WM =WS

จะได้ WM = (x − 2)2 + (0 + 3)2

WS = (x − 4)2 + (0 − 6)2

ดงั นัน้ (x − 2)2 + (0 + 3)2 = (x − 4)2 + (0 − 6)2

x2 − 4x + 4 + 9 = x2 − 8x +16 + 36
x2 − 4x +13 = x2 − 8x + 52

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 3

ยกกำลงั สองทงั้ 2 ขา้ ง จะได้

x2 − 4x +13 = x2 −8x + 52

8x − 4x = 52 −13

4x = 39

x = 39
4

( )ดงั น้นั จดุ W มพี กิ ัดเปน็ 39 , 0
4

ตรวจคำตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตัวอยา่ งท่ี 3 รถสองคนั ว่งิ ออกจากสี่แยกพร้อมกัน คนั แรกมงุ่ หน้าไปทางทศิ เหนอื คนั ทีส่ องมงุ่ หน้าไปทางทิศ

ตะวันออก รถท้ังสองคันวิง่ ด้วยความเร็วคงท่ี 40 กิโลเมตรต่อช่วั โมง จงหาว่าเมือ่ เวลาผ่านไป 3 ช่วั โมง
รถท้งั สองคนั อยหู่ ่างกนั กี่กโิ ลเมตร
วธิ ีทำ ....................................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 4
แบบฝึกหัดท่ี 1
1. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ แต่ละคตู่ ่อไปนี้
1. A(0,0) และ B(3,0) 2. A(−4,8) และ B(7,5)

3. A(1, −2) และ B(0,0) 4. A(−4, −5) และ B(8, −3)

5. A(3, 2) และ B(3,5) 6. A(−1, −2) และ B(3, −4)

7. A(−2, 4) และ B(5,7) 8. A(0, a) และ B(b,0)

9. A(5, −4) และ B(13, 2) 10. A(2,5) และ B(9,5)

2. จงแสดงว่าจุด A(2,3), B(9, 2) และ C(5,6) เป็น 3. กำหนด L(−2, −2),O(4, −2),V (4, 4) และ
จดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก E(−2,4) เป็นจุดยอดสีเ่ หลย่ี มรูปหนงึ่ จงหาความยาว
ของเส้นรอบรูปและพ้นื ที่ของรูปสเี่ หลย่ี มนี้

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 5

4. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศูนย์กลางทจ่ี ุด (2,3) และวงกลมนี้ 5. จงหาพิกัดของจดุ บนแกน X ซงึ่ อยหู่ า่ งจากจดุ
ผ่านจดุ (5,7) จงหาความยาวของเส้นผา่ นศนู ย์กลางของ P(5,9) และจดุ Q(−2,−4) เป็นระยะทางเท่ากัน
วงกลมนี้

6. จดุ สามจดุ ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั หรือไม่

6.1 M (1, 2),W (4,3) และ S(7, 4) 6.2 T (−2, −8),O(1, −3) และ M (5,5)

7. รถสองคันวิ่งออกจากส่แี ยกพร้อมกัน คันแรกม่งุ หนา้ ไปทางทศิ เหนือด้วยความเร็วคงที่ 45 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง
คันทส่ี องมุ่งหนา้ ไปทางทิศตะวันตกดว้ ยความเรว็ คงที่ 108 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

1.) จงหาระยะหา่ งระหวา่ งรถทั้งสองคัน เมื่อเวลาผ่านไป t ชว่ั โมง
2.) จงหาระยะห่างระหว่างรถท้งั สองคนั เมื่อเวลาผา่ นไป 5 ชว่ั โมง

ลงชื่อ.....................................ผตู้ รวจ
........................................................

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 6

2. จดุ ก่งึ กลางระหว่างจดุ 2 จุด

กำหนดจดุ P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เป็นจุดในระนาบเดียวกัน ให้ จดุ P(x, y) เปน็ จดุ กึง่ กลางระหว่างจดุ
P1 และ P2 ดงั นี้

จากรปู P1P2R P1PQ

จะได้ P1Q = P1P แต่ P(x, y) เป็นจุดกงึ่ กลางของ P1P2

P1R P1P2 x − x1 = x2 − x

จะได้ P1P = 1
P1P2 2

นน่ั คอื P1Q = 1

P1R 2

P1Q = 1 P1R
2

จะได้ P1Q = QR หรอื

ดงั นัน้ x − x1 = x2 − x

2x = x1 + x2

x = x1 + x2
2

ในทำนองเดียวกนั สามารถแสดงไดว้ ่า

y = y1 + y2
2

ทฤษฎีบท 2 ถ้า P(x, y) เปน็ จุดกง่ึ กลางระหวา่ ง P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) แลว้

x = x1 + x2 และ y = y1 + y2 หรือ (x, y) =  x1 + x2 , y1 + y2 
2  2 2 
2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 7

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาจุดก่ึงกลางระหวา่ งจุดแตล่ ะคตู่ ่อไปนี้

1.) R(1, 2) และ S(3, 4) 2.) A( 1 , 2) และ B(3, −1)
2

วธิ ที ำ ให้ P(x, y) เปน็ จุดกง่ึ กลางระหว่าง R และ S วธิ ีทำ ให้ P(x, y) เปน็ จดุ ก่งึ กลางระหวา่ ง A และ B

1+ 3 4 1 + 3 7 7
2 2 2 2 4
x= = =2 x= = 2 =
2

y = 2+4 = 6 =3 y= 2 + (−1) = 1
2 2 2 2

ดังน้นั P(x, y) = (2,3) ( )ดงั นัน้ P(x, y) = 7 , 1
4 2

ตวั อยา่ งที่ 5 ถา้ จดุ กึ่งกลางของสว่ นของเส้นตรงเสน้ หน่งึ เป็น (3,1) และมจี ุดปลายข้างหน่ึงเป็น (5,−7)

จงหาจดุ ปลายอกี ขา้ งหนึง่

วิธที ำ จากโจทย์กำหนดให้ P(x, y) = (3,1), P1(x1, y1) = (5, −7)

ตอ้ งการหา P2(x2, y2)

จะได้ x = x1 + x2 และ y = y1 + y2
2 2

3 = 5 + x2 1 = −7 + y2
2 2

6 = 5 + x2 2 = −7 + y2

นนั่ คือ x2 =1 และ y2 = 9

ดงั น้ัน จุดปลายอกี ข้างหนง่ึ คือ (1,9)

ตัวอย่างที่ 6 จงหาพกิ ัดของจดุ ปลายเสน้ มัธยฐานของรูปสามเหลย่ี มท่ีมีจดุ ยอดท่ี A(−9,−6), B(3,−8)
วธิ ีทำ
และ C(−1, 2)

จดุ ปลายเสน้ มัธยฐาน คอื จดุ ก่งึ กลางของดา้ นท้ังสาม

เสน้ มธั ยฐาน คอื เสน้ ท่ลี ากจาก

จุดยอดมาแบง่ ครึ่งฐาน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 8
แบบฝกึ หัดที่ 2
1. จงหาจดุ กึ่งกลางระหวา่ งจุดแตล่ ะค่ตู ่อไปน้ี
1.) Q(−3, −4) และ R(6, −7) 2.) Q(3, − 5) และ R(−3, −9)

2

3.) Q(1, 2) และ R(7,6) 4.) Q(−1, −3) และ R(5,3)

5.) Q( 1 , 2) และ R(3, −1) 6.) Q( 12 , 4 1 ) และ R(−2 1 , −7 12)
2 2 2

2. ถ้า V (2,3) เปน็ จุดก่ึงกลางระหวา่ งจดุ W (−2,0) และ S(x, y) จงหา S(x, y)

3. ให้ R(−7,−5), S(3,7) และ T(6,1) เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหล่ียมรปู หนึ่ง จงหาความยาวของเสน้ มัธยฐานจาก
จุด S ไปยังด้าน RT

4. จงหาคา่ y ถ้ากำหนดให้ (−3, y) อยหู่ ่างจากจุด (−12,3) และ (6,10) เปน็ ระยะเทา่ กัน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 9

5. จงพิสจู น์วา่ ระยะทางระหว่างจุดกึ่งกลางดา้ นขนานแบง่ ครง่ึ ซ่ึงกนั และกนั

6. ถ้าจุดปลายของเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของวงกลมวงหนึง่ เป็น (1,3) และ (7,11) จงหาพกิ ดั ของจุดศูนย์กลาง และ
ความยาวของรศั มีของวงกลมน้ี

7. ถ้า A(6,5) และ B(2,1) จงหาจุดท่แี บง่ สว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเป็น 4 สว่ นเท่าๆ กัน

ลงชอ่ื .....................................ผูต้ รวจ
........................................................

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 10

3. ความชนั ของเส้นตรง

บทนิยาม 1 ให้ เปน็ เส้นตรงท่ีผ่านจดุ P1(x1, y1) และ P2(x2, y2)

โดยท่ี x1  x2 ความชันของเส้นตรง คือ m= y1 − y2
x1 − x2

ความชันบอกลกั ษณะของเส้นตรงได้ดังนี้
1. ถ้า m = 0 แลว้ เส้นตรงจะขนานกับแกน X (จากรูป 1 มีความชนั เปน็ 0)
2. ถา้ หาความชนั ไม่ได้แล้ว เส้นตรงจะขนานกับแกน Y (จากรูป 2 หาความชันไม่ได้)
3. ถา้ m  0 แลว้ เส้นตรงทำมุมแหลมกับแกน X เมอ่ื วัดมุมทวนเข็มนาฬกิ าจากแกน X (จากรปู 3 มีความชนั  0)
4. ถ้า m  0 แลว้ เส้นตรงทำมมุ ปา้ นกบั แกน X เมือ่ วดั มุมทวนเข็มนาฬกิ าจากแกน X (จากรปู 4 มคี วามชัน  0)

จากบทนยิ าม

m= y1 − y2 = y2 − y1
x1 − x2 x2 − x1

ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาความชันของเส้นตรงทีผ่ ่านจดุ A(1,3) ตวั อย่างท่ี 8 จงหาความชันของเส้นตรงทีผ่ ่านจุด

และ B(4, 2) C(3, 2) และ D(3, −5)

วิธที ำ ความชนั ของ AB หรือ mAB = y1 − y2 วิธที ำ ความชันของ CD หรือ mCD = y1 − y2
x1 − x2 x1 − x2

= 3− 2 = − 1 = −5 − 2 = − 7
1− 4 3 3−3 0
หาค่าความชนั ไม่ได้

ดงั น้ัน ความชันของเส้นตรงเท่ากบั − 1 ดังนนั้ หาค่าความชันไม่ได้
3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 11

แบบฝกึ หดั ที่ 3

1. จงหาความชนั ของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ สองจุดต่อไปน้ี 2.) P(12,7) และ R(5,3)
1.) P(2,5) และ R(−7,5)

3.) P(2,3) และ R(−4,3) 4.) P(t +1, s) และ R(2t, s − 3) เมอื่ t  1

2. จงหาคา่ x ทท่ี ำใหเ้ ส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q มคี วามชันเท่ากับ m ตามที่กำหนด

1.) P(5, 2),Q(x,6) และ m = 4 2.) P(6, −3),Q(9, x) และ m = − 2
3

3.) P(4, x),Q(−3,1) และ m = 1 4.) P(x,12),Q(5,12) และ m = 0
2

3. ถ้าเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจดุ C(3,−2) และ 4. ถ้าเส้นตรงที่ลากผา่ นจุด A(5,6) และ B(9, k)
D(3x − 2,4x) มคี วามชันเท่ากับ -3 จงหาค่า x
มคี วามชนั เท่ากบั 1 จงหาค่า k
2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 12

5. กำหนด A(−6,−2), B(2,−2),C และ D เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีดา้ น AB เปน็ ฐานท่ยี าวเป็นสอง
เท่าของดา้ นคู่ขนาน DC และมีมมุ A เปน็ มมุ ฉาก มีพืน้ ที่ 24 ตารางหนว่ ย จงหาความชันของ BC

6. จงหาความชนั และความยาวของแตล่ ะด้านของรปู สามเหลยี่ มซึ่งมจี ดุ A(2,10), B(5,7) และ C(2,4)
เป็นจดุ ยอด

ลงชื่อ.....................................ผู้ตรวจ
........................................................

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 13

4. เส้นขนาน

ทฤษฎบี ท 3 เสน้ ตรงสองเส้นท่ีไม่ขนานกบั แกน Y จะขนานกนั กต็ ่อเมื่อ
ความชันของเส้นตรงท้งั สองเทา่ กนั

จากรูป 1 // 2 กต็ อ่ เม่อื m1 = m2

ตวั อยา่ งที่ 9 จงแสดงว่าเส้นตรงที่ลากผา่ นจุด A(1,2) และ B(4,6) ขนานกับเสน้ ตรงซงึ่ ผา่ นจุด C(9,−6)

และ D(6, −10)

วิธที ำ จากโจทย์ จะได้ mAB = 2−6 = −4 = 4
1− 4 −3 3

และ mCD = −6 − (−10) = 4
9−6 3

นนั่ คอื mAB = mCD

ดังน้ัน เสน้ ตรง AB ขนานกบั เส้นตรง CD

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงแสดงวา่ จดุ A(−2,3), B(−6,1) และ C(−10,−1) อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั

วธิ ีทำ จากโจทย์ จะได้ mAB = 3−1 = 2 = 1
−2 + 6 4 2

และ mBC = 1+1 = 2 = 1
−6 +10 4 2

นัน่ คอื mAB = mCD

ดงั นั้น จุด A(−2,3), B(−6,1) และ C(−10, −1) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั

หมายเหตุ ถา้ เส้นตรงสองเสน้ มีความชันเท่ากนั และมจี ุดร่วมกัน 1 จดุ แลว้ เส้นตรงทงั้ สองเสน้ จะเป็นเส้นตรงเดยี วกัน
จากตวั อยา่ งท่ี 10 เราจะหา mAB และ mAC หรือ mAC และ mBC กไ็ ด้

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 14

5. เสน้ ตั้งฉาก

ทฤษฎีบท 4 เส้นตรงสองเส้นที่ไมข่ นานกบั แกน Y จะตัง้ ฉากกนั กต็ ่อเมื่อ
ผลคูณของความชันของเสน้ ตรงทง้ั สองเท่ากบั -1

จากรปู 1 ⊥ 2 ก็ตอ่ เมอื่ m1m2 = −1

ตัวอยา่ งท่ี 11 จงแสดงวา่ เส้นตรงที่ลากผา่ นจุด A(1,2) และ B(4,6) ตั้งฉากกบั เสน้ ตรงซง่ึ ผา่ นจุด C(−9,6)

และ D(−5,3)

วธิ ีทำ จากโจทย์ จะได้ mAB = 2−6 = −4 = 4
1− 4 −3 3

และ mCD = 6−3 = − 3
−9 + 5 4

( )( )น่นั คือ 4 3
mABmCD = 3 − 4 = −1

ดงั นัน้ เสน้ ตรง AB ตั้งฉากกับเส้นตรง CD

ตวั อย่างท่ี 12 ถ้าความชันของเสน้ ตรง 1 เทา่ กับ − 3 ต้งั ฉากกับเส้นตรง 2 แล้ว เสน้ ตรง 2 จะมคี วามชันเท่าใด
2

วิธีทำ จากโจทย์ ความชนั ของเสน้ ตรง 1 เท่ากบั −3 แต่เสน้ ตรง 1 และเส้นตรง 2 ตั้งฉากกัน
2

ฉะน้นั ผลคณู ของความชนั ของเสน้ ตรงทง้ั สองเทา่ กับ – 1

ให้ความชนั ของเสน้ ตรง 2 = m

จะได้ m(− 32) = −1

 m = (−1)(− 23) = 2
3

ดังนน้ั เสน้ ตรง 1 จะมีความชันเท่ากบั 2
3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 15
แบบฝกึ หัดที่ 4

1. จงพิจารณาว่าในแต่ละข้อต่อไปน้ี เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉากหรือไม่

1.) A(1,1), B(−1, −1) และ C(−4, 2) 2.) A(2,6), B(4,1) และ C(−1, −2)

2. ถ้าเสน้ ตรงทีผ่ า่ นจุด A(4,6) และ B(a − 2,−3) ขนานกบั เส้นตรงซง่ึ ผา่ นจุด C(2,4) และ D(5,−1)
จงหาค่า a

3. จงแสดงว่าจุด (−2,−1),(1,0),(4,3) และ (1,2) เป็นจดุ ยอดของรปู สี่เหลยี่ มดา้ นขนาน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 16

4. จากรูป ถ้า ABCD เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน โดยมี AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกบั AD
จงหา D(x, y)

5. จงแสดงวา่ จดุ (2,1),(6,4),(3,8) และ (−1,5) เปน็ จุดยอดของรูปสีเ่ หล่ยี มจัตุรสั และรูปสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสน้มี ีพ้นื ท่ี
เทา่ ใด

6. จงหาความชันของเสน้ ตรงซง่ึ ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงซง่ึ ผา่ น 7. จดุ (1,6),(8,8) และ (−7,2) เป็นจดุ ยอดของรูป

จุด (3, 4) และ (−3, −5) สามเหลีย่ มมุมฉากหรอื ไม่

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 17

8. ถ้า A(−2,1), B(5,5) และ C(9, y) เป็นจดุ ยอดของสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ซึ่งมี ABˆC เปน็ มมุ ฉาก
จงหาค่าของ y

9. จงแสดงวา่ A(−2,3), B(4,5),C(2,9) และ D(−1,8) เป็นจุดยอดมมุ ของรูปสีเ่ หล่ียมคางหมู

10. ถา้ เสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ (k,7) และ (−3,−2) ต้ังฉากกับเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (3,2) และ (1,−4) จงหาคา่ ของ k

ลงชอ่ื .....................................ผตู้ รวจ
........................................................

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 18

6. ความสัมพนั ธ์ซง่ึ มีกราฟเป็นเสน้ ตรง

ในการเขียนความสมั พนั ธซ์ งึ่ มีกราฟเปน็ เส้นตรงในลักษณะต่างๆ นยิ มเขียนเฉพาะสมการท่รี ะบุในเงื่อนไขของ
ความสมั พนั ธเ์ ท่านนั้ ซึง่ สมการเส้นตรงมีดงั น้ี

1. ความสัมพนั ธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเสน้ ตรงขนานกบั แกน X คือ ( x, y) R R y = b ซึ่งนิยมเขียน y = b

เป็นเส้นตรงตั้งฉากกบั แกน Y และตดั แกน Y ท่จี ดุ (0,b)
1.1 ถา้ b  0 (b เป็นจำนวนจรงิ บวก) เปน็ เสน้ ตรงอยูเ่ หนือแกน X และอย่หู ่างจากแกน X เป็นระยะb หนว่ ย
1.2 ถ้า b  0 (b เป็นจำนวนจริงลบ) เป็นเส้นตรงอยใู่ ตแ้ กน X และอยู่หา่ งจากแกน X เปน็ ระยะ b หน่วย
1.3 ถ้า b = 0 จะได้สมการ y = 0 คือแกน X

ตวั อยา่ งที่ 13 จงเขยี นกราฟของ y = 4 และ y = −2
วธิ ที ำ

2. ความสัมพันธซ์ ่ึงมกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงขนานกับแกน Y คือ ( x, y) R R x = a ซ่ึงนยิ มเขียน x = a

เป็นเส้นตรงต้ังฉากกับแกน X และตดั แกน X ทีจ่ ดุ (a,0)
1.1 ถา้ a  0 ( a เปน็ จำนวนจรงิ บวก) เปน็ เสน้ ตรงอยู่ทางขวาของแกน Y และอยหู่ า่ งจากแกน Y

เป็นระยะ a หนว่ ย
1.2 ถ้า a  0 ( a เป็นจำนวนจรงิ ลบ) เปน็ เส้นตรงอยู่ทางซา้ ยของแกน Y และอยู่หา่ งจากแกน Y

เป็นระยะ a หน่วย
1.3 ถ้า a = 0 จะได้สมการ x = 0 คือแกน Y

ตวั อย่างที่ 14 จงเขียนกราฟของ x = 4 และ x = −2
วิธีทำ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 19

3. ความสัมพันธซ์ ่ึงมีกราฟเป็นเส้นตรงท่ไี มข่ นานกับแกน X และไม่ขนานกับแกน Y
ให้ เปน็ เส้นตรงท่ีไม่ขนานกับแกน X และไม่ขนานกบั แกน Y มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1)

ถา้ (x, y) เปน็ จดุ อ่นื ๆ บนเสน้ ตรง จะได้ m = y− y1
x− x1

จะได้ ความสัมพนั ธ์ซงึ่ มีกราฟเป็นเส้นตรงทม่ี คี วามชัน m และผ่านจุด (x1, y1)

คอื (x, y)  R  R y − y1 = m(x − x1)

นยิ ามเขยี น y − y1 = m(x − x1)

ตัวอยา่ งท่ี 15 จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ (5,−2) และมคี วามชัน m = 2
3

วธิ ีทำ จากโจทย์ จะได้ x1 = 5, y1 = −2 และ m= 2
3

จากสมการเส้นตรง y − y1 = m(x − x1)

จะได้ y+2 = 2 ( x − 5)
3

3( y + 2) = 2(x − 5)

3y + 6 = 2x −10

2x − 3y −16 = 0

ดังน้ัน สมการเสน้ ตรง คือ 2x −3y −16 = 0

4. ถา้ เสน้ ตรงผ่านจดุ 2 จดุ คอื ( x1, y1) และ ( x2, y2 ) เม่ือ ( x, y) เป็นจุดอน่ื ๆ บนเส้นตรงนี้

จะได้สมการเส้นตรงคือ y − y1 = y2 − y1
x − x1 x2 − x1

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 20

ตวั อย่างที่ 16 จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,4) และจุด (−3,5)

วิธที ำ จาก y − y1 = y2 − y1 หรือหาสมการเสน้ ตรงไดด้ ังนี้
จะได้ x − x1 x2 − x1

y−4 = 5−4 m= y1 − y2 = 4−5 = − 1
x−3 −3 − 3 x1 − x2 3+3 6

y−4 = − 1 จาก y − y1 = m(x − x1)
x−3 6

6( y − 4) = −1(x − 3) จะได้ y−4 = − 1 ( x − 3)
6

6y − 24 = − x + 3 6y − 24 = − x + 3

x + 6y − 27 = 0 x + 6y − 27 = 0

ดังนน้ั สมการเสน้ ตรง คือ x + 6y − 27 = 0

5. ถ้าเส้นตรงมคี วามชัน m และมรี ะยะตัดแกน Y(Y − int ercept) เท่ากับ c (ตดั แกน Y ที่จดุ (0,c) )

จะได้สมการเสน้ ตรง คือ y = mx + c

ตวั อย่างที่ 17 จากสมการเส้นตรง 2x −3y = 4 จงหาความชัน และหาจุดตดั แกน X และหาจุดตดั แกน Y
วธิ ที ำ จากสมการ 2x − 3y = 4 จัดใหอ้ ยู่ในรปู y = mx + c

จะได้ 3y = 2x − 4

y= 2 x − 4
3 3

หาจดุ ตัดแกน X จะได้ y = 0 และหาจดุ ตัดแกน Y จะได้ x = 0

จะได้ 2x = 4 3y = −4

x =2 y = − 4
3

( )ดังนั้น
เส้นตรงน้มี คี วามชัน 2 ตดั แกน X ทจี่ ุด(2,0) และตัดแกน Y ท่ีจุด 0, − 4
3 3

6. รูปทั่วไป (General Form) ของเส้นตรง Ax + By + C = 0 เม่ือ A, B,C เป็นคา่ คงตัว และ A, B ไม่

เปน็ ศูนย์พร้อมกัน จะได้ความชัน (m) = − A
B

ตวั อยา่ งที่ 18 จงหาความชนั ของเสน้ ตรง 2x −3y = 4

วิธีทำ จากสมการ 2x − 3y = 4 หรอื 2x − 3y − 4 = 0

ซ่ึง A=2 และ B = −3 จากความชัน m = − A
B

ดงั นน้ั m= − 2 = 2
(−3) 3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 21

ตัวอยา่ งท่ี 19 จงหาความสมั พันธซ์ ึง่ มีกราฟเปน็ เสน้ ตรงตดั แกน X ท่จี ดุ (−1,0) และตัดแกน Y ทจ่ี ุด (0,8)

วิธีทำ ความชนั ของเสน้ ตรงน้ี คือ m = y2 − y1 = 8−0 =8
x2 − x1 0 − (−1)

ดงั นัน้ ความสัมพนั ธท์ ต่ี ้องการ คือ (x, y) R R y − 0 = 8(x +1)

หรือ (x, y)  R  R y = 8x + 8

ตัวอยา่ งท่ี 20 จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (2,−3) และขนานกับเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ (1,2) และ (3,5)

วิธีทำ เนอื่ งจากเส้นตรงที่ผา่ นจดุ (1,2) และ (3,5)

มคี วามชัน m= y2 − y1 = 5−2 = 3
x2 − x1 3−1 2

จะได้ สมการเส้นตรงท่ผี ่านจุด (2,−3) และขนานกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจุด (1,2) และ (3,5)

จะตอ้ งมีความชนั เท่ากบั 3

2

จากสมการเส้นตรง y − y1 = m(x − x1)

ซ่ึง ( x1, y1) = (2, −3) และ m = 3
2

จะได้ y+3 = 3 (x − 2)
2

2( y + 3) = 3(x − 2)

2y + 6 = 3x − 6

3x − 2y −12 = 0

ดังนัน้ สมการเส้นตรงทีต่ ้องการ คอื 3x − 2y −12 = 0
ตัวอยา่ งท่ี 21 ถ้าสมการเส้นตรง ax + 5y = 4 ตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง 5x + 3y + 9 = 0 จงหาค่า a

วิธที ำ เสน้ ตรง 5x + 3y + 9 = 0 จะได้ y = − 5 x − 3
3

ดังน้นั เสน้ ตรง 5x + 3y + 9 = 0 มีความชัน = − 5
3

แต่ เสน้ ตรง ax + 5y = 4 ตั้งฉากกับเส้นตรง 5x + 3y + 9 = 0

ดงั นัน้ เส้นตรง ax + 5y = 4 หรือ y = − a x + 4
3

ตอ้ งมีความชันเทา่ กับ − a = 3 ( เพราะวา่ (− 53)(53) = −1)

55

น่ันคอื a = (53)(−5)

= −3

ดังน้นั a = −3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 22

ตวั อยา่ งที่ 22 จงหาสมการเสน้ ตรงทีล่ ากผา่ นจุดตัดของเส้นตรง x + y −5 = 0 และ x − y −3 = 0

และเสน้ ตรงนี้ขนานกบั เสน้ ตรง 5x + 6y + 7 = 0

วิธีทำ หาจุดตดั ของเสน้ ตรง x + y −5 = 0 กับ x − y −3 = 0

แก้ระบบสมการได้ ดังน้ี

ให้ x + y = 5 − − − (1)

x − y = 3 − − − (2)

(1) + (2); 2x = 8

x=4

นำ x = 4 แทนใน (1) จะได้

4+ y =5

y =1

ดังนั้น จะได้เสน้ ตรงสองเส้นนต้ี ดั กนั ท่จี ดุ (4,1)

ลากเสน้ ตรงผา่ นจุด (4,1) และขนานกับเส้นตรง 5x + 6y + 7 = 0 จะได้ความชนั m = − 5
6

จากสมการเส้นตรง y − y1 = m(x − x1)

ซง่ึ ( x1, y1) = (4,1) และ m = − 5 )
6

จะได้ y −1 = − 5 ( x − 4)
6

6( y −1) = −5(x − 4)

6y − 6 = −5x + 20

5x + 6y − 26 = 0

ดังน้ัน สมการเสน้ ตรง คือ 5x + 6y − 26 = 0
ตัวอยา่ งท่ี 23 จงเขยี นกราฟของเสน้ ตรง 2y −3x = 8

วิธที ำ หาจดุ ตัดแกน X จะได้ y = ..........
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….

หาจุดตัดแกน Y จะได้ x = ..........
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………….

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 23
แบบฝึกหดั ที่ 5

1. จงหาความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มีกราฟเปน็ เสน้ ตรงตามเงอ่ื นไขที่กำหนดให้ต่อไปน้ี

1.) ขนานกบั แกน X และอย่เู หนอื แกน X 2.) ขนานกับแกน Y และอยทู่ างซา้ ยแกน Y

เป็นระยะ 3 หน่วย เปน็ ระยะ 2 หน่วย

7 3

3.) ขนานกบั แกน X และอยู่ห่างจากจดุ (0,−1) 4.) ขนานกบั แกน Y และอยหู่ า่ งจากจดุ (−2,0)
เป็นระยะ 4 หน่วย เปน็ ระยะ 5 หน่วย

2. จงบอกความชนั ระยะตัดแกน X (x −int ercept) และระยะตดั แกน Y (y −int ercept)

ของกราฟของแต่ละข้อต่อไปน้ี

สมการ ความชัน ระยะตัดแกน X ระยะตดั แกน Y
1.) 2x − 3y = 7
2.) 5x + 4y − 2 = 0
3.) −4y − x +12 = 0
4.) x = −1
5.) 3x + 4y −12 = 0

6.) 3 x − 4 y = 48

43

7.) x + y = 0

8.) 5y + 3 = 0

9.) x + y =1
5 3

10.) 3( y −1) = −2(x − 2)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 24

3. จงแสดงว่าเสน้ ตรง 3y = 2x − 6 ขนานกบั เสน้ ตรง y = 2 x +1
3

4. จงหาสมการของท่ีผา่ นจุด (7,5) และขนานกบั เสน้ ตรง x + 2y +12 = 0

5. จงหาสมการของที่ผา่ นจดุ (3,2) และต้งั ฉากกับเสน้ ตรง 3x − 2y +12 = 0

6. ถา้ เสน้ ตรง 3x + by = 5 ต้ังฉากกับเสน้ ตรง 5x + 3y −10 = 0 จงหาค่า b

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 25

7. จงความสมั พันธซ์ ึง่ มีกราฟเปน็ เส้นตรงทผี่ า่ นจุด (−1,0) และขนานกับเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (1,2) และ (−3,4)

8. จงความสัมพันธซ์ ่งึ มีกราฟเป็นเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (−1,−4) และตงั้ ฉากกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ (−1,3) และ (−2,−2)

9. จงหาสมการเส้นตรงทีต่ งั้ ฉากกบั เส้นตรง x − 7y −11= 0 และผา่ นจดุ ที่เส้นตรง x − 7y −11= 0 ตัดกบั เสน้ ตรง

3x + 5y − 7 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 26

7. ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงกบั จดุ

ทฤษฎีบท 5 ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 กบั จดุ (x1, y1) เม่ือ A, B และ C
เป็นคา่ คงตวั ที่ A และ B ไม่เป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั คอื d = Ax1 + By1 + C

A2 + B2

ขอ้ สังเกต ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรง

Ax + By + C = 0 กบั จดุ (0,0)

จะได้ d = A(0) + B(0) + C

A2 + B2

0 C
d=
A2 + B2

ทฤษฎีบท 6 ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเส้นตรง Ax + By + C2 = 0
เมือ่ A, B และ C เป็นคา่ คงตัว ที่ A และ B ไม่เปน็ ศนู ย์พร้อมกัน คอื d = C1 − C2

A2 + B2

หมายเหตุ ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเสน้ ตรง Ax + By + C2 = 0 จะได้ว่าเส้นตรงท้ังสอง
มีค่า C1 และ C2 ต่างกัน (C1  C2) ถา้ C1 = C2 แลว้ เสน้ ตรงทัง้ สองนเี้ ป็นเสน้ ตรงเดยี วกัน

ตวั อยา่ งที่ 24 จงหาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 6x +8y =16 กับจดุ (−2,1)

วิธีทำ จาก d = Ax1 + By1 + C ในที่นี้ A = 6, B = 8,C = −16, x1 = −2 และ y1 = 1

A2 + B2

จะได้ d = (6)(−2) + (8)(1) + (−16) = −20 = 20 =2
100 10
62 + 82

ดังนัน้ ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง 6x +8y =16 กบั จุด (−2,1) เทา่ กับ 2 หน่วย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 27

ตัวอย่างที่ 25 จงหาระยะห่างระหวา่ งเส้นตรง 6x +8y −5 = 0 กบั เสน้ ตรง 3x + 4y +10 = 0

วธิ ีทำ จากเสน้ ตรง 6x + 8y − 5 = 0 กับเส้นตรง 3x + 4y +10 = 0

จะได้ A = 6, B = 8,C1 = −5 และ C2 = 20

จาก d = C1 − C2

A2 + B2

จะได้ d = −5 − 20

62 + 82

d = −25
100

d= 25 = 5
10 2

ดังนั้น ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง 6x +8y −5 = 0 กับเส้นตรง 3x + 4y +10 = 0 เท่ากับ 5

2

ตวั อย่างท่ี 26 จงหาสมการเส้นตรงทีข่ นานกับเสน้ ตรง 3x − 4y + 9 = 0 และอยหู่ ่างจากจุด (2,−1) เทา่ กับ 3 หน่วย

วธิ ีทำ ให้เสน้ ตรงท่ีตอ้ งการคือ 3x − 4y + C = 0 เม่อื C เปน็ จำนวนจริงใดๆ

เนอ่ื งจากเส้นตรง 3x − 4y + C = 0 อยหู่ ่างจากจุด (2,−1) เทา่ กบั 3 หน่วย

จะได้ A = 3, B = −4, x1 = 2 และ y1 = −1

จาก d = Ax1 + By1 + C

A2 + B2

จะได้ (3)(2) + (−4)(−1) + C
3=
32 + (−4)2

10 + C
3=

25

3 5 = 10 + C

10 + C = 15

นน่ั คอื C = 15 −10 หรอื C = −15 −10

C= 5 C = − 25
C = − 25,5

ดังน้ัน สมการเส้นตรงที่ต้องการคอื 3x − 4y + 5 = 0 หรือ 3x − 4y − 25 = 0

ทำไมมนั
ง่ายอยำ่ งน้ี

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 28
แบบฝกึ หัดท่ี 6

1. จงหาระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงกบั จุดท่ีกำหนดใหต้ ่อไปนี้

1.) 6x −8y + 4 = 0, (2, −3) 2.) y−4= 7 (x − 3), (8,11)
5

3.) 12x − 5y − 7 = 0, (0, −9) 4.) y =1, (−1,1)

2. จงหาระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงแต่ละคู่ท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1.) 3x + 4y − 7 = 0, 3x + 4y + 3 = 0 2.) 3x − 4y − 7 = 0, 6x −8y +16 = 0

3.) x − y − 3 = 0, 3x − 3y + 7 = 0 4.) 3x + y + 5 = 0, 7 − 3x − y = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 29

3. จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีขนานกบั เส้นตรง 15x −8y + 4 = 0 และอยู่ห่างจากเส้นตรงน้ี 4 หน่วย

4. จงหาสมการของเส้นตรงท่ีขนานกับเสน้ ตรง 4x −3y + 26 = 0 และอยหู่ า่ งจากจดุ (8,8) เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย
5. จงหาสมการของเสน้ ตรงที่ตัง้ ฉากกับเส้นตรง 12y = 5x − 7 และอยหู่ ่างจากจุด (−1,2) เป็นระยะ 3 หน่วย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 30

บนั ทึกเพิ่มเติม

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 31

2.ภาคตดั กรวย

2. ภาคตดั กรวย (Conic Section)

กรวยเป็นรปู เรขาคณิตท่ีมีวิธีสร้างในเชิงคณติ ศาสตร์ ดงั นี้
ให้ a และ b เป็นเสน้ ตรงใดๆ สองเส้นตดั กันทจี่ ุด V เป็นมุมแหลม  ใหเ้ ส้นตรง a และจดุ V ตรึงอยู่กบั ท่ี

ผิวท่ีเกดิ จากการหมนุ เสน้ ตรง b รอบเสน้ ตรง a (โดยมมุ  ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตวั เรยี กวา่ กรวยกลม
ตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปท่ี 1 ในทน่ี ้จี ะศกึ ษาเฉพาะกรวยกลมตรงเทา่ นั้นและจะเรยี กส้นั ๆ ว่า กรวย
(cone) เสน้ ตรงท่ตี รึงอยกู่ บั ท่ี เรียกวา่ แกน (axis) ของกรวย จุด V เรยี กวา่ จุดยอด (vertex) เส้นตรง b ท่ีผ่านจุด V
ทำมมุ  กบั แกนของกรวย เรยี กว่า ตวั กอ่ กำเนดิ (generator) ของกรวย
จุดยอด V แบง่ กรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึง่ อยู่คนละด้านของจดุ ยอด ดังรูป

รูปท่ี 1

ภาคตัดกรวย คือรปู ในระนาบทเี่ กิดจากการตดั กันของระนาบกบั กรวย เส้นโคง้ ซึ่งได้แก่ วงกลม (circle)
พาราโบลา (parabola) วงรี (ellipse) และไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

ภาคตดั กรวยทไ่ี ดจ้ ากการนำระนาบไปตดั กรวยกลมตรงโดยไม่ผ่านจุดยอดของกรวย จะได้ดังนี้

รูประนาบท่ตี ดั กรวย ลักษณะของระนาบทต่ี ัดกรวย รปู ในระนาบทีเ่ กิดจากการตัดกรวย
1. ระนาบทต่ี ดั กรวยตงั้ ฉากกับแกน วงกลม
ของกรวย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 32

รปู ระนาบทีต่ ดั กรวย ลกั ษณะของระนาบท่ีตัดกรวย รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกรวย
2. ระนาบทีต่ ดั กรวยขนานกับตวั พาราโบลา
กอ่ กำเนิดของกรวยจะตดั กรวย
ข้างเดียว

3. ระนาบทต่ี ัดกรวยทำมุมแหลมกับ วงรี

แกนของกรวยแต่ขนาดใหญก่ วา่ 

ระนาบจะตัดกรวยข้างเดยี ว

4. ระนาบทีต่ ัดกรวยขนานกับแกนของ ไฮเพอร์โบลา

กรวยและตดั ท้ังสองส่วนของกรวย

ถา้ ระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตดั ของระนาบกบั กรวยจะเป็นจุด หรือเสน้ ตรงหน่งึ เส้น หรอื เส้นตรงสองเสน้
ตัดกนั ซงึ่ เรียกลักษณะดังกลา่ วว่า ภาคตัดกรวยลดรปู (Degenerate conics) ดงั รูป

ระนาบทีต่ ัดกรวยผา่ นจดุ ยอดและตั้งฉากกบั แกนของกรวยจะได้ จุด 1 จุด

ระนาบทตี่ ดั กรวยผา่ นจุดยอดและตัดตวั กอ่ กำเนดิ ของกรวยจะได้ เสน้ ตรง 1 เสน้

ระนาบท่ีตดั กรวยผา่ นจุดยอดและตัดทบั แกนของกรวยจะได้ เส้นตรง 2 เส้นตัดกัน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 33

2.1 วงกลม (Circle)

บทนยิ ามเชิงเรขาคณติ ของวงกลม
วงกลม (circle) คือเซตของจุดท้ังหมดในระนาบทีห่ ่างจากจดุ ๆ หนง่ึ ทต่ี รงึ อยู่กบั ท่เี ปน็ ระยะทางคงตัว
จุดท่ีตรึงอยู่กับทน่ี ีเ้ รียกวา่ จดุ ศูนยก์ ลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตวั ดงั กลา่ วเรยี กว่า รศั มี (radius)
ของวงกลม

ส่วนประกอบของวงกลม รัศมี หมายเหตุ วงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ี
เส้นรอบ จุด C (0,0) และรัศมียาว 1 หน่วย
เรยี กวา่ วงกลมหนึ่งหน่วย (unit)
จดุ ศนู ย์กลาง circle)

1. ให้ P(x, y) เป็นจดุ ใดๆบนวงกลม และ C (0,0) 2. ให้ P( x, y) เป็นจดุ ใดๆบนวงกลม และ C (h,k )
เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลม รัศมียาว r หนว่ ย ดังรูป เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลม รัศมียาว r หนว่ ย ดงั รปู

สรุป วงกลมท่ีมีจุดศนู ย์กลางทจ่ี ุด (0,0) สรปุ วงกลมท่มี ีจดุ ศูนยก์ ลางท่ีจุด C (h,k )
และรัศมี r หน่วย จะได้ และรัศมี r หน่วย จะได้

สมการรปู แบบมาตรฐานของวงกลม คอื x2 + y2 = r2 สมการรูปแบบมาตรฐาน ของวงกลม คอื
สมการรูปแบบทัว่ ไปของวงกลม คือ x2 + y2 − r2 = 0
( x − h)2 + ( y − k )2 = r2
สมการรปู แบบท่ัวไป ของวงกลม คอื

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมอ่ื A = B

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 34

จากสมการรปู แบบทวั่ ไปของวงกลม x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0

เมอื่ กำหนดให้ C = −2h, D = −2k , E = h2 + k2 − r2 และ C , D, E เปน็ ค่าคงตัว

จาก C = −2h จะได้ h = − C และ D = −2k จะได้ k = − D

22

ดงั นนั้ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม คอื (h, k ) =  − C ,− D 
 2 2 

และจาก E = h2 + k2 − r2 จะได้ r2 = h2 + k2 − E

r2 =  − C 2 +  − D 2 − E (แทนคา่ h และ k )
 2   2 

r2 = C2 + D2 − E
44

( )r2 = 1 C2 + D2 − 4E
4

 r = 1 C2 + D2 − 4E
2

ดงั นนั้ รศั มีของวงกลม คือ r = 1 C2 + D2 − 4E หน่วย

2

นน่ั คอื สมการรปู แบบทัว่ ไปของวงกลม x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0

จะมจี ดุ ศูนย์กลางอยูท่ ี่ ( h, k ) =  − C , − D 
 2 2 

และ รศั มียาว r = 1 C2 + D2 − 4E หน่วย

2

พจิ ารณาคา่ C2 + D2 − 4E

1. ถา้ C2 + D2 − 4E  0 แล้ว r  0 กราฟของสมการเป็นวงกลมมีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ที่  − C ,− D 
 2 2 

และรัศมเี ทา่ กบั 1 C2 + D2 − 4E หนว่ ย

2

2. ถา้ C2 + D2 − 4E = 0 แล้ว r = 0 กราฟของสมการเปน็ จดุ

เช่น สมการ x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0 จะได้ (−4)2 + 22 − 4(5) = 0 และ r = 0 ดงั นั้นกราฟเปน็ จุด

3. ถ้า C2 + D2 − 4  0 แลว้ r ไม่เป็นจำนวนจรงิ เขยี นกราฟไม่ได้

เช่น สมการ x2 + y2 + 4x + 2y +10 = 0 จะได้ 42 + 22 − 4(10) = −20 ดังนั้นเขยี นกราฟไม่ได้

อ่านแล้วคอ่ ยๆคดิ ตามนะคะ
อยา่ จำอย่างเดียวคะ่ เดยี๋ วลืม!!

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 35

ตวั อย่างท่ี 27 จงแสดงวา่ สมการ x2 + y2 = 9 เป็นสมการวงกลม แล้วหาจุดศูนย์กลาง และความยาวของรัศมี

ของวงกลม พร้อมทั้งวาดกราฟ

วิธีทำ จากสมการมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 = r2 3

จะไดว้ า่ x2 + y2 = 32

ดงั นน้ั เปน็ สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางทีจ่ ุด (0,0)

รัศมยี าว 3 หน่วย

นัน่ คอื x2 + y2 = 9 เปน็ สมการวงกลม

ตัวอยา่ งท่ี 28 จงแสดงว่าสมการ x2 + y2 +16 = 0 เป็นสมการวงกลม แลว้ หาจดุ ศนู ยก์ ลาง และความยาวของ

รศั มีของวงกลม พรอ้ มทั้งวาดกราฟ ถ้า r  0 เปน็ สมการวงกลม
วิธที ำ จากสมการมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 +16 = 0 r = 0 เป็นจดุ

จะไดว้ า่ x2 + y2 = −16 r  0 ไมเ่ ปน็ สมการวงกลม

ดงั นน้ั ไม่มีจำนวนจริงใดท่ียกกำลงั สองบวกกันได้จำนวนจรงิ ลบ

น่ันคือ x2 + y2 +16 = 0 ไม่เป็นสมการวงกลม

ตวั อยา่ งที่ 29 จงหาสมการรูปแบบมาตรฐานและรูปแบบท่ัวไปของวงกลมท่ีสอดคลอ้ งกับเงือ่ นไขต่อไปน้ี
พรอ้ มทั้งวาดกราฟ

1.) จุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (−2,3) เส้นผ่านศนู ยก์ ลางยาว 6 หนว่ ย
2.) จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (−3, 2)และสมั ผสั กบั เสน้ ตรง 4x −3y + 3 = 0
วธิ ที ำ 1.) สมการวงกลมท่ีมจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (−2,3) เส้นผ่านศนู ย์กลางยาว 6 หน่วย
จุดศูนยก์ ลาง คือ (−2,3)

รัศมียาว 6 = 3 หนว่ ย 3
จะได้
2

( x + 2)2 + ( y − 3)2 = 9

( )(x2 + 4x + 4) + y2 − 6y + 9 = 9

x2 + y2 + 4x − 6y + 4 = 0

ดงั น้นั สมการรูปมาตรฐาน คือ ( x + 2)2 + ( y − 3)2 = 9

สมการรูปทวั่ ไปของวงกลม คือ x2 + y2 + 4x − 6y + 4 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 36

2.) สมการวงกลมทม่ี ีจุดศูนย์กลางอยทู่ ี่ (−3, 2)และสมั ผัสกับเส้นตรง 4x −3y + 3 = 0
จุดศนู ย์กลาง คือ (−3, 2)

รศั มียาว 4(−3) − 3(2) + 3 −12 − 6 + 3
=
42 + (−3)2 16 + 9

= 15 = 3 หน่วย 3
5

จะได้ ( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 32

(x2 + 6x + 9) + ( y2 − 4 y + 4) = 9

x2 + y2 + 6x − 4y + 4 = 0

ดังนัน้ สมการรปู มาตรฐาน คือ (x + 3)2 + ( y − 2)2 = 9

สมการรูปทัว่ ไปของวงกลม คือ x2 + y2 −10y +17 = 0

ตัวอย่างที่ 30 จงแสดงวา่ สมการ x2 + y2 + 4x + 6y −12 = 0 เป็นสมการของวงกลม แล้วหาจดุ ศนู ย์กลาง
และความยาวของรัศมขี องวงกลม พร้อมทั้งวาดกราฟ

วธิ ีทำ วธิ ีที่ 1 จดั ให้อยู่ในรปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม (x − h)2 + ( y − k )2 = r2
จากสมการรูปทัว่ ไปของวงกลม x2 + y2 + 4x + 6y −12 = 0
จะได้ (x2 + 4x) + ( y2 + 6 y) = 12

(x2 + 2(2)x + (2)2) + ( y2 + 2(3) y + (3)2) =12 + (2)2 + (3)2

( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 25
ดงั น้ันเปน็ สมการวงกลม ท่ีมจี ุดศูนย์กลาง คือ (−2,−3) และ รัศมียาว 5 หน่วย

วิธีท่ี 2 ใชส้ ตู ร ( h, k ) =  − C , − D  และ r = 1 C2 + D2 − 4E
 2 2 
2

จาก x2 + y2 + 4x + 6 y −12 = 0

จะได้ ( h, k ) =  − 4 , − 6  = ( −2, −3)
 2 2 
5
และ r = 1 42 + 62 − 4(−12)

2

เลอื กทำวธิ ี = 1 100
ทถี่ นดั นะคะ 2

= 1 (10)

2

=5

ดงั นนั้ เป็นสมการวงกลม ทม่ี ีจดุ ศูนย์กลาง คือ (−2,−3) และ รศั มียาว 5 หนว่ ย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 37

ตัวอย่างที่ 31 จงเขยี นกราฟของบรเิ วณซงึ่ กำหนดโดยเซตต่อไปนี้

 1.) ( x, y) x2 + y2  9
 2.) ( x, y) x2 + y2 16

วิธที ำ 1.) ถา้ x2 + y2 = 9 เป็นสมการวงกลมมจี ดุ ศนู ย์กลางที่ (0,0) และรศั มี 3 หน่วย
จะไดก้ ราฟของอสมการ x2 + y2  9 คอื บรเิ วณที่แรเงา ดังรูป

Y

X

2.) ถา้ x2 + y2 =16 เปน็ สมการวงกลมมีจดุ ศนู ย์กลางที่ (0,0) และรศั มี 4 หน่วย
จะได้กราฟของอสมการ x2 + y2  9 คือบรเิ วณทแ่ี รเงา ดังรปู

Y

X

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 38
แบบฝกึ หดั 2.1

1. จงแสดงวา่ สมการต่อไปนเี้ ป็นสมการของวงกลม แล้วหาจุดศนู ย์กลาง และความยาวของรัศมีของวงกลม

1.1) x2 + y2 = 1 1.2) 3x2 + 3y2 −12 = 0

1.3) x2 + y2 +10x − 4y +13 = 0 1.4) x2 + y2 − 1 x + 1 y − 1 = 0
2 2 8

2. จงหาสมการรปู แบบมาตรฐานและรูปแบบทว่ั ไปของวงกลมทส่ี อดคลอ้ งกบั เงื่อนไขต่อไปนี้
2.1) จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่จดุ (0,0) รศั มียาว 7 หนว่ ย 2.2) จดุ ศูนย์กลางอยทู่ จ่ี ุด (0,0) และเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง

ยาว 28 หนว่ ย

2.3) วงกลมอยใู่ นจตภุ าคท่ี 1 และสมั ผัสแกน X และ 2.4) จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี (−1,2) และสมั ผสั กับเส้นตรง

แกน Y รศั มยี าว 5 หน่วย 2x − 4y +3 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 39

2.5) จดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ่จี ุด (3,−9) และผ่านจุด 2.6) จุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่ีจุด (3,7) และวงกลมสัมผัสกับ
แกน Y
(−1, 3)

3. ถ้าจดุ ปลายของเส้นผ่านศูนยก์ ลางของวงกลมวงหนง่ึ เป็น (1,3) และ (7,11) จงหาพิกดั ของจดุ กึ่งกลาง และสมกา
รูปแบบมาตรฐานและรปู แบบทัว่ ไปของวงกลมนี้ พรอ้ มทั้งเขยี นกราฟ

4. วงกลมหนึ่งหนว่ ย มสี มการคอื x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0 ถา้ วงกลมนี้มจี ุดศูนย์กลางคอื (−3,2) และมรี ัศมียาว
5 หน่วย แลว้ จงหาค่าของ C, D และ E พร้อมท้งั วาดกราฟ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 40

5. จงเขยี นกราฟของบริเวณซึ่งกำหนดโดยเซตต่อไปนี้  5.2) (x, y) x2 + y2  4

 5.1) ( x, y) x2 + y2  25

 5.3) ( x, y) x2 + y2 + x + 2y +1 0  5.4) ( x, y) x2 + y2 +10x − 4y +13  0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 41

2.2 พาราโบลา (Parabola) Y

สว่ นประกอบของพาราโบลา โฟกสั ลาตสั เรกตัม

F

V แกนสมมาตร

X

จดุ ยอด ไดเรกตริกซห์ รอื เส้นบังคับ

1. จุด V คือ จดุ ยอดของพาราโบลา อยกู่ งึ่ กลางระหว่างโฟกสั กับไดเรกตริกซ์
2. จดุ F คอื โฟกสั ของพาราโบลา
3. ไดเรกตริกซ์หรอื เส้นบังคับ คือเสน้ ตรงคงที่ ท่อี ยู่ตรงข้ามกับโฟกสั ระยะทางจากจดุ ยอดถึงโฟกสั จะเท่ากบั

ระยะทางจากจุดยอดถงึ ไดเรกตรกิ ซ์
4. แกนสมมาตร คอื เส้นตรงท่ีผา่ นโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตรกิ ซ์
5. ลาตัสเรกตัม คือ ส่วนของเส้นตรงทผี่ า่ นโฟกสั มจี ดุ ปลายทัง้ สองอยูบ่ นพาราโบลา และต้ังฉากกับ

แกนสมมาตร
นักเรยี นเคยเรียนแล้ววา่ กราฟของสมการในรูปแบบ y = ax2 + bx + c เปน็ เส้นโคง้ ท่เี รียกว่า พาราโบลา
ซ่ึงอาจเปน็ เส้นโค้งหงายข้นึ หรือคว่ำลงข้นึ อยกู่ ับคา่ ของ a วา่ มากกว่าหรือน้อยกวา่ ศนู ย์ (ดูรปู ท่ี 1) จุดสูงสุดหรอื จุดตำ่ สุด
ของพาราโบลา เรียกวา่ จดุ ยอด (vertex) พาราโบลามีลักษณะสมมาตรเทียบกับเส้นตรงเสน้ หน่ึงท่ผี ่านจดุ ยอด เรียก
เสน้ ตรงนว้ี า่ แกน (axis) หรอื แกนสมมาตร (axis of symmetry) ของพาราโบลา

แกน

X X

( 0, 0) ( 0, 0)
กราฟของ y = ax2 + bx + c เมือ่ a  0
กราฟของ y = ax2 + bx + c เมือ่ a  0
รูปที่ 1

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 42

ในหัวข้อน้ี จะศกึ ษาพาราโบลาโดยเรม่ิ ตน้ จากบทนิยามเชิงเรขาคณิตและแสดงการหาสมการของพาราโบลา

บทนยิ ามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา

พาราโบลา (parabola) คือเซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจดุ F ทีต่ รงึ อยู่กับทจี่ ดุ หน่ึงและเส้นตรง l ที่
ตรงึ อยูก่ ับทีเ่ สน้ หนงึ่ เปน็ ระยะทางเทา่ กนั จุดทตี่ รงึ อยกู่ บั ทีน่ ้ีเรียกว่า เส้นบงั คับ หรอื ไดเรกตรกิ ซ์ (directrix) ของ

พาราโบลา

บทนยิ ามนแ้ี สดงในรปู ท่ี 2 สังเกตว่า จดุ ยอด V ของพาราโบลาอยู่ก่ึงกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกตริกซ์ และแกน

สมมาตร คือเส้นตรงท่ผี ่านโฟกสั และตัง้ ฉากกับไดเรกตริกซ์ Y
พาราโบลา

F โฟกสั F (0, p)

P( x, y)

จดุ ยอด V X

แกน ไดเรกตริกซ์ ไดเรกตริกซ์
รูปท่ี 2 รูปท่ี 3

ข้อสรุปเก่ียวกับพาราโบลาที่มีแกนในแนวนอน และจดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุดกำเนิด สรปุ ได้ดังนี้

YY

กราฟ x = − p x = −p

V (0,0) F ( p,0) X F ( p,0) V (0,0) X

y2 = 4 px เม่อื p  0 y2 = 4 px เม่ือ p  0

สมการรูปมาตรฐาน y2 = 4 px
สมการทว่ั ไป
จดุ ยอด y2 − 4 px = 0
โฟกัส
V (0,0)
ความยาวลาตัสเรกตมั F ( p,0)
สมการไดเรกตริกซ์ 4 p หน่วย

x = −p

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 43

ขอ้ สรปุ เกย่ี วกับพาราโบลาท่ีมีแกนในแนวตั้ง และจุดยอดอยู่ท่ีจดุ กำเนิด สรุปได้ดังนี้

Y Y

F (0, p) y = −p

กราฟ X V (0,0) X
F (0, p)
สมการรปู มาตรฐาน V (0,0)
สมการทัว่ ไป x2 = 4 py เมอ่ื p  0
จดุ ยอด y = −p
โฟกสั
x2 = 4 py เม่ือ p  0
ความยาวลาตสั เรกตมั
สมการไดเรกตรกิ ซ์ x2 = 4 py

x2 − 4 py = 0

V (0,0)
F (0, p)
4 p หน่วย

y =−p

ขอ้ สรุปเกี่ยวกับพาราโบลาที่มีแกนในแนวนอน และจุดยอดอย่ทู ่ี V (h,k ) สรปุ ไดด้ งั นี้

Y Y Y Y

กราฟ x = h − p x=h− p

C (h, k ) F (h + p,k ) F (h + p,k ) C (h, k ) X

X

(0,0) X (0,0) X

( y − k )2 = 4 p ( x − h) เมอ่ื p  0 ( y − k )2 = 4 p ( x − h) เมื่อ p  0

สมการรูปมาตรฐาน ( y − k )2 = 4 p(x − h)
สมการท่ัวไป
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
จุดยอด
โฟกัส เม่อื A และ B เป็น 0 ไม่พรอ้ มกนั
ลาตสั เรกตัม
สมการไดเรกตรกิ ซ์ V (h, k )

F (h + p,k )

ยาว 4 p หนว่ ย

x=h− p

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 44

ขอ้ สรุปเกี่ยวกับพาราโบลาท่ีมีแกนในแนวตั้ง และจุดยอดอยู่ที่ V (h,k ) สรุปไดด้ ังน้ี

Y Y Y Y
y=k−p

F (h,k + p)

กราฟ

C (h, k ) X

C (h, k ) X

( 0, 0) X (0,0) F (h,k + p) X

y=k−p

( y − k )2 = 4 p ( x − h) เมอื่ p  0 ( y − k )2 = 4 p ( x − h) เม่ือ p  0

สมการรูปมาตรฐาน ( x − h)2 = 4 p( y − k )
สมการทว่ั ไป
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
จุดยอด
โฟกัส เมือ่ A และ B เปน็ 0 ไม่พร้อมกัน
ลาตสั เรกตมั V (h, k )
สมการไดเรกตรกิ ซ์
F (h, k + p)
ยาว 4 p หนว่ ย

y=k−p

ตวั อย่างท่ี 32 จากสมการ 3x2 + 24y = 0 จงหาจุดยอด โฟกัส ความยาวลาตัสเรกตัม ไดเรกตริกซ์ พร้อมท้ังเขยี นกราฟ
วธิ ที ำ จากสมการ 3x2 + 24y = 0

x2 = −8y

x2 = 4(−2) y  p = −2
เปน็ พาราโบลาคว่ำ

1. จดุ ยอด คือ V (0,0) ทำสัมประสิทธิ์หน้า x2 ให้เป็น 1
2. โฟกัส คือ F (0, −2) โดย เอา 3 หารตลอด
3. ลาตสั เรกตมั ยาว −8 = 8 หน่วย
4. ไดเรกตริกซ์ คือ y = 2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 45

ตวั อย่างท่ี 33 จงหาสมการพาราโบลาท่ีมีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่จดุ กำเนดิ และมโี ฟกสั คอื F (2,0)
วิธที ำ จาก โฟกัส คือ F (2,0) จะได้ p = 2
เปน็ พาราโบลาเปดิ ขวา
จะไดส้ มการพาราโบลา คอื y2 = 4(2)x

y2 = 8x

y2 −8x = 0

ดังนน้ั สมการรูปมาตรฐาน คือ y2 = 8x
สมการรปู ท่วั ไป คอื y2 − 8x = 0

ตวั อยา่ งท่ี 34 จงหาจุดยอด โฟกัส ความยาวลาตัสเรกตัม ไดเรกตริกซ์ พร้อมทงั้ เขยี นกราฟ
1.) y2 − 6y + 4x +1 = 0
2.) 3x2 −12x − y +12 = 0

วธิ ที ำ 1.) จาก y2 − 6y + 4x +1 = 0

y2 − 6 y = −4x −1

y2 − 2(3) y + (3)2 = −4x −1+ (3)2
( y − 3)2 = −4x + 8
( y − 3)2 = −4(x − 2)
( y − 3)2 = 4(−1)(x − 2) p = −1

เป็นพาราโบลาเปิดซ้าย
1. จุดยอด คือ V (2,3)
2. โฟกัส คือ F (2 −1,3) = F (1,3)
3. ลาตัสเรกตัม ยาว 4(−1) = 4 หน่วย
4. ไดเรกตริกซ์ คือ x = 2 +1= 3

2) 3x2 −12x − 6 y +12 = 0 ทำสัมประสทิ ธิห์ น้า x2 ใหเ้ ปน็ 1
โดย เอา 3 หารตลอด
x2 − 4x − 2y + 4 = 0
x2 − 4x = 2y − 4

x2 − 2(2) x + (2)2 = 2y − 4 + (2)2
( x − 2)2 = 2y

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 46

(x − 2)2 = 4  1  y p= 1
 2  2

เปน็ พาราโบลาหงาย
1. จดุ ยอด คือ V (2,0)

2. โฟกสั คอื F  2, 0 + 1  = F  2, 1 
 2   2 

3. ลาตัสเรกตัม ยาว 4  1  =2 หนว่ ย
 2 

4. ไดเรกตริกซ์ คือ y = 0 − 1 = − 1

22

ตัวอยา่ งท่ี 35 อปุ กรณส์ ่องหาวตั ถุมีโคมสะทอ้ นแสงทรงพาราโบลา กวา้ ง 12 นวิ้ และลกึ 6 นว้ิ ดังรปู ถ้าตอ้ งการให้ไส้
หลอดไฟอยู่ท่ีกลางโฟกัสของโคมเพ่ือให้ผวิ โคมไฟสะท้อนแสงเป็นลำขนานกับแกนของโคม ควรใหไ้ ส้หลอดไฟอย่หู า่ งจาก
จดุ ยอดของโคมสะท้อนแสงเท่าใด

วธิ ที ำ เขียนภาคตัดขวางรปู พาราโบลาของโคมในระนาบให้จดุ ยอดอยทู่ ี่จุดกำเนดิ แกนของพาราโบลาอยู่
บนแกน Y และจดุ (6,6) อยู่บนพาราโบลา

จะได้ สมการพาราโบลาอยใู่ นรูปแบบ x2 = 4py
เนื่องจากจุด (6,6) อย่บู นพาราโบลา ดังนนั้

62 = 4 p(6)

36 = 24 p

p = 36 = 3
24 2

( )จะได้
โฟกัส คอื 0, 3
2

นนั่ คอื ระยะทางระหวา่ งจุดยอดและโฟกัสเทา่ กบั 3 หรือ 1.50 นิ้ว
2

ดังนั้น ควรใหไ้ ส้หลอดไฟอย่หู ่างจากจุดยอดของโคมสะท้อนแสง 1.50 นิ้ว

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 47

แบบฝกึ หัด 2.2

1. จงพจิ ารณากราฟท่ีกำหนดให้ แลว้ เติมคำตอบลงในช่องว่าง p
1.1)
สมการรปู มาตรฐาน
สมการรปู ท่ัวไป
จุดยอด
โฟกสั
ลาตัสเรกตัม
ไดเรกตริกซ์

1.2) p
สมการรูปมาตรฐาน
สมการรูปทว่ั ไป
จุดยอด
โฟกัส
ลาตัสเรกตมั
ไดเรกตริกซ์

p

1.3) สมการรปู มาตรฐาน
สมการรปู ทัว่ ไป

จดุ ยอด

โฟกัส

ลาตัสเรกตมั

ไดเรกตริกซ์

1.4

p

สมการรูปมาตรฐาน
สมการรปู ทวั่ ไป
จดุ ยอด
โฟกสั
ลาตัสเรกตมั
ไดเรกตริกซ์

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 48

2. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ไดเรกตรกิ ซ์และ ความยาวลาตัสเรกตมั พร้อมท้ังเขียนกราฟ
2.1) x2 = 4y

2.2) 5y2 + 20x = 0

2.3) ( x − 2)2 = −8( y +1)

2.4) 3y2 + 9x − 6y + 5 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 49

3. จงหาสมการรูปแบบมาตรฐานและรูปแบบท่วั ไปของพาราโบลาทีส่ อดคลอ้ งกับเง่ือนไขท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้
3.1) จดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ี่จดุ กำเนดิ โฟกสั คอื F (3,0) 3.2) จดุ ศูนยก์ ลางอย่ทู จ่ี ดุ กำเนดิ ไดเรกตริกซม์ ีระยะ

ตดั แกน Y ด้านบวก เท่ากบั 2 หนว่ ย

3.3) จุดยอดอยู่ท่จี ดุ (−2,0) และโฟกัสอยู่ที่ (−2,−3) 3.4) จุดยอดอยู่ท่ีจดุ (1,−2) ไดเรกตรกิ ซ์ขนานแกน Y
และหา่ งจากจุดยอดด้านซา้ ย 3 หนว่ ย

3.5) จดุ ยอดคือ (−3, 2) และไดเรกตริกซ์ คือ x = 0 3.6) เป็นพาราโบลาเปดิ ลา่ ง มีโฟกสั หา่ งจากจุดยอด
7 หนว่ ยและจุดยอด คือ (−4,5)