คณิตศาสตร์เสริมเข้ม2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 100
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.5ก

1. จงหา AB และ BA เมอ่ื กำหนด A และ B ดังต่อไปนี้

(1) A(–2, 1) และ B(3, 2) (2) A(0, 0) และ B(–1, 4)

(3) A(–2, –8) และ B(–1, 2) (4) A(1, –1, 2) และ B(2, –1, 0)

(5) A(7, 3, 1) และ B(–1, 8, 3) (6) A(1, 1, –1) และ B(0, 0, 0)

2. กำหนด a = −31 , b = 43 , c = 1 , d =  −01 จงหา
23 
− 7

(1) a − 5b (2) นิเสธของ a − 5b

(3) 2c − d (4) นิเสธของ 2c − d

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 101

ขนาดของเวกเตอร์ในสองมิติ และสามมิติ

ขนาดของเวกเตอร์ใดๆ หมายถงึ ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ระบุทศิ ทางท่ีแทนเวกเตอร์น้ัน

ถ้า PQ เป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ P มีพิกัดเป็น (x1 ,y1 )
และ Q มีพิกัดเปน็ (x 2 ,y 2 )

จะได้ PQ =  x2 − x1 
 y2 − y1 
 

และ PQ = …………………………………………

ถา้ AB เป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ A มีพิกดั เปน็ (x1 ,y1 ,z1 )
และ B มีพิกัดเป็น (x 2 ,y 2 ,z2 )

x2 − x1 
 
จะได้ AB =  y2 − y1 

z2 − z1 

และ AB = …………………………………………

ตวั อย่าง จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปน้ี

(1) u = 43

(2) PQ โดยท่ี P มพี ิกดั เปน็ (2, 1, 0) และ Q(–1, 1, 0)

เวกเตอร์หนงึ่ หน่วยในสองมิติ และสามมติ ิ

บทนิยาม เวกเตอรท์ ี่มขี นาดหนึง่ หนว่ ย เรียกวา่ เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย (unit vector)

เนอ่ื งจากเวกเตอร์ ab ใดๆ จะมีขนาดเทา่ กบั a2 + b2 ดังนัน้ เวกเตอร์ท่มี ขี นาดหนึ่งหน่วย และมีทิศทาง
เดียวกบั เวกเตอร์ ab ใดๆ ท่ไี มใ่ ชเ่ วกเตอรศ์ ูนย์ คือ  ab
1
a2 +b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 102

a
ในสามมติ ิ เวกเตอรท์ ่ีมีขนาดหนง่ึ หน่วย และมที ศิ ทางเดียวกบั เวกเตอร์ bc ใดๆ ที่ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ คือ

a2 1 + c2 a
+ b2 b
 c 
เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยในสองมิติท่ีสำคัญ คือ i = 10 และ j = 01

1 0 0
เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยในสามมิติท่ีสำคญั คือ i = 0 , j = 1 และ k = 0
0 0 1
ให้ u = ab เปน็ เวกเตอร์ในสองมิติ เราจะเขียนเวกเตอร์ u ใหอ้ ยู่ในรูปของ i และ j ดังน้ี
ab 0a + 0b 10 01
u = = = a  + b  = ………………………
 

a j
ให้ u = b เปน็ เวกเตอรใ์ นสามมิติ เราจะเขยี นเวกเตอร์ u ให้อยู่ในรปู ของ i , และ k ดังน้ี
c

a a 0 0 1 0 0
u = b = 0 + b + 0 = a0 + b1 + c0 = ………………………

c 0 0 c 0 0 1

ตัวอยา่ ง จงหาเวกเตอร์ท่มี ีจุดเรม่ิ ต้นท่ี A(2, -3) และจุดส้ินสุดท่ี B(–4, 6) และเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ยที่มที ิศทางเดียวกับ

เวกเตอร์นี้ในรปู ของ i และ j

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 103

ตัวอยา่ ง PQ มีจดุ เรมิ่ ตน้ ท่ี P(1, 2, 0) และจุดสน้ิ สุดที่ Q(–2, 3, 1) จงหาเวกเตอร์หนึง่ หน่วยทมี่ ีทศิ ทางเดียวกบั PQ

ในรูปของ i , j และ k

โคไซนแ์ สดงทศิ ทาง (Direction cosines)
การกำหนดทศิ ทางของเวกเตอรน์ นั้ นอกจากกำหนดด้วยพิกดั ของเวกเตอร์แล้ว ยังสามารถกำหนดดว้ ยมุมทเ่ี วกเตอร์

ทำกบั แกนพิกดั ท้ังสาม ดังนี้

a1 
P(a1,a2 ,a3 ) a2 
กำหนดจุด จะได้ OP = 

a3 

กำหนด  ,  ,   0 ,  เป็นมมุ ท่วี ดั จากแกนพิกดั ดา้ นบวกท้งั สาม

ตามลำดบั ไปยัง OP จะได้

cos = OQ = a1
OP OP

cos  = OR = a2
OP OP

cos = OS = a3
OP OP

หมายเหตุ ในทน่ี ้ี OQ,OR,OS หมายถงึ ระยะทมี่ ีทิศทางตามแนวแกน X ,Y,Z ตามลำดับ
มุม  ,  ,  คอื มมุ ที่ OP ทำกบั แกน X , Y , Z ทางดา้ นบวก ตามลำดบั เรียกมุมดังกล่าวว่า มุมกำหนดทิศทาง

ของ OP และเรียก cos  , cos  , cos  ว่า โคไซนแ์ สดงทิศทางของ OP

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 104

บทนิยามโคไซนแ์ สดงทิศทาง (direction cosines) ของ a เม่ือ a = aaa123  ซง่ึ | a | 0 เทียบกับแกน X , Y , Z

ตามลำดับ คือ จำนวนสามจำนวนซึง่ เรยี งตามลำดับดงั น้ี |aa1| , |aa2| , |aa3| 


3
ตวั อยา่ ง ให้ a = 45 จงหาโคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ a

ตวั อย่าง จงหาโคไซนแ์ สดงทิศทางของเวกเตอร์ทม่ี จี ุดเริ่มต้นท่ี P(0, 3, 5) และจุดสนิ้ สุดท่ี Q(1, 5, 2)

บทนยิ ามเวกเตอรส์ องเวกเตอรจ์ ะมีทศิ ทางเดยี วกนั กต็ ่อเม่ือ มโี คไซน์แสดงทิศทางชดุ เดียวกนั และ จะมีทศิ ทางตรง
ขา้ มกัน ก็ต่อเม่ือ โคไซนแ์ สดงทิศทางเทียบแตล่ ะแกนของเวกเตอร์หน่งึ เปน็ จำนวนตรงขา้ มกับโคไซน์แสดงทิศทางของอีก
เวกเตอรห์ น่ึง

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 105

ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบว่า เวกเตอร์ต่อไปน้ีคใู่ ดขนานกนั

ก. เวกเตอร์ PQ มจี ดุ เริ่มต้นท่ี P(1, 2, 3) และจดุ สิน้ สดุ ท่ี Q(2, –3, 5)

 2
ข. a = −10

 4

ค. เวกเตอร์ OR ซง่ึ มจี ุดเร่ิมต้นทจ่ี ุดกำเนดิ และจดุ สน้ิ สุดท่ี R(–3, 15, –6)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 106
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.5ข

1. จงหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไปนี้

(1) 21 ,  43 , −−41 , 23 (2) 1  3 − 4 
− 1 , −21 ,  0 
3  −1

(3) AB เมอ่ื พิกัดของ A และ B คือ (1, 2) และ (5, 7) ตามลำดบั

(4) RS เมื่อพิกัดของ R และ S คือ (7, 4, 1) และ (–1, 3, 5) ตามลำดบั

2. จงแกส้ มการในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี (2) x 31 + y − 11 = 23

(1) x21 + y43 = 78

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 107

1 3 1  3
(3) x1 + y2 + z1 =  7

3 1 2 −1

3. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยท่ีมีทิศทางเดียวกบั เวกเตอร์ทก่ี ำหนดให้ โดยเขยี นในรูปของ i และ j ในระบบพิกดั ฉากสอง
มิติ และเขยี นในรปู ของ i , j และ k ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

(1) u = 21  1
(2) a = − 3

 − 1

(3) AB เม่ือพิกัดของ A และ B คือ (1, –3) และ (–4, 5) ตามลำดับ

(4) QC เม่ือพิกดั ของ Q และ C คอื (1, 5, 8) และ (0, –3, 1) ตามลำดบั

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 108

4.จงหาเวกเตอร์พร้อมทงั้ บอกขนาดและโคไซน์แสดงทศิ ทางของเวกเตอรซ์ ่ึงมจี ุดเรมิ่ ตน้ และจุดสิน้ สดุ ดังต่อไปน้ี

(1) จุดเรม่ิ ต้น P(2, 5, 3) จดุ สน้ิ สดุ Q(3, 5, –1) (2) จุดเรมิ่ ต้น R(–1, 4, 2) จุดส้ินสดุ S(2, –4, 7)

(3) จุดเรม่ิ ต้น U(–3, 1, 0) จุดส้นิ สดุ V(4, 2, 8)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 109

5.จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ต่อไปน้ีคใู่ ดขนานกนั

ก. เวกเตอร์ PQ มีจุดเร่ิมตน้ ท่ี P(1, 4, 3) และจดุ สิ้นสดุ ที่ Q(–2, 0, 1)
3

ข. a = 4
2

ค. เวกเตอร์ OR ซง่ึ มีจุดเร่มิ ตน้ ท่ีจุดกำเนดิ และจดุ สนิ้ สดุ ท่ี R(5, 0, 2)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 110

วงกลมหนง่ึ หนว่ ย

 sin cos tan cos ec sec cot
30
45
60
90

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 111

6. ผลคูณเชิงสเกลาร์

บทนิยาม ถา้ u = x1i + y1 j และ v = x2i + y2 j
ผลคูณเชิงสเกลารข์ อง u และ v คือ x1x2 + y1y2
ถ้า u = x1i + y1 j+ z1k และ v = x2i + y2 j+ z2k
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ u และ v คอื x1x2 + y1y2 + z1z2
เขยี นแทนดว้ ย u  v อ่านวา่ เวกเตอร์ ยู ดอท เวกเตอร์ วี

ตวั อย่าง ถา้ u = 2i + 3 j และ v = −3i + 4 j จงหา u  v

 4  1
ตวั อย่าง ให้ a =  1 และ b = − 2 จงหา u  v

− 2 − 3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 112

สมบตั ทิ สี่ ำคัญของผลคณู เชงิ สเกลาร์

1. ให้ u,v,w เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในสองมติ ิ หรอื สามมิติ และ a เป็นสเกลาร์ จะไดว้ ่า
1.1 u  v = v  u .
1.2 u (v + w) = u  v + u  w .
1.3 a(u  v) = (au) v = u (av) .
1.4 0  u = 0 .
1.5 u  u =| u |2 .
1.6 i  i = j j = k  k =1 และ i  j = j k = i  k = 0

2. ถ้า  เปน็ มุมระหวา่ ง u กับ v ซง่ึ 0   180 แลว้ u  v =| u || v | cos
3. ถา้ u และ v เป็นเวกเตอรท์ ่ีไม่ใช่เวกเตอร์ศนู ย์ u ตัง้ ฉากกบั v กต็ ่อเม่ือ u  v = 0

ตัวอย่าง จงหาโคไซน์ของมมุ ระหวา่ ง u กับ v เม่ือ (2) u = −4i + 2 j+ 4k และ v = 2i + 7 j− k
(1) u = 2i + 3 j และ v = 2i + j

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 113

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.6

1. จงหาคา่ ของ u  v เม่อื กำหนด u และ v ดงั ตอ่ ไปนี้

1.) u = 3i + 4 j และ v = 2i + j 2.) u = 2i + 5 j และ v = j

3.) u = −i + 3 j + k และ v = 3i + 4k 4.) u = −i − k และ v = 3i + j

2. กำหนดให้ a =  23 , b = 41 , c =  11 จงหา
− −

(1) a  b + a  c (2) (a + b)(a + b)

(3) b(a + b) (4) (a + b)(a − b)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 114

−4  2  6
3. กำหนดให้ a =  2 , b =  7 , c = − 3 จงหา

 4 − 7  0

(1) a  b + a  c (2) (a + b)(a + b)

(3) b(a + b) (4) (a + b)(a − b)

4. จงหาคา่ ของ m เมื่อกำหนดเวกเตอร์ u = (1− m)i + 2 j และ v = mi + (m + 2) j

(1) เวกเตอร์ u ต้งั ฉากกบั เวกเตอร์ v (2) เวกเตอร์ u มีขนาดเท่ากบั เวกเตอร์ v

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 115

5. กำหนดให้ u, v และ w เปน็ เวกเตอร์ ซึ่งมีสมบัติ | u |=| w | และ | u − v |=| v + w | ถา้ มมุ ระหวา่ ง u และ v
เท่ากับ 5 แลว้ มมุ ระหว่าง v และ w มีค่าเท่าใด

6. ถา้ | u |= 5, | v |= 3 และ | u + v |= 4 แล้ว | u − v | มคี า่ เท่าใด

7. กำหนดให้ OA = i + 3 j , OB = 4i + j ถา้ ลากเส้นตรงจากจดุ A ไปต้งั ฉากกับ OB ท่ีจุด D แล้ว พื้นท่ขี องรูป

สามเหลี่ยม OAD มีค่าเท่าใด

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 116

7. ผลคณู เชงิ เวกเตอร์

บทนิยาม ผลคณู เชิงเวกเตอร์ของ u= aaa123  และ v = bbb123  คือ เวกเตอร์ aaa213bbb231 − aaa132bbb312 
−
  − 
  
หรอื ab22 ab33  i − ab11 ab33  j+ ab11 ab22  k
เขยี นแทนด้วย u  v อ่านว่า เวกเตอร์ ยู ครอส เวกเตอร์ วี

ตัวอยา่ ง ให้ u = −01 และ 1 จงหา uv
v = 3
 3 4

ตวั อย่าง จงหา u  v เม่อื กำหนด (2) u = 2i + 3k , v = i + 5k
(1) u = 2i − 3 j, v = i − 5 j

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 117

สมบัตทิ สี่ ำคญั ของผลคูณเชิงเวกเตอร์

1. กำหนด u,v,w เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในสามมิติ และ k เปน็ จำนวนจริงใดๆ
uv = −(vu).
(u+v)w =(uw)+(vw).
u(v+ w)=(uv)+(uw).
u (kv) = k(u  v) .
(ku) v = k(u  v) .
uu = 0.
i j= k , jk = i , ki = j.

2. ให้ u,v,w เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ ในสามมติ ิ จะได้ u (v  w) = (u  v) w

3. ถา้ u  0 , v  0 จะได้ | uv |=| u || v | sin  เมือ่  เปน็ มุมระหว่าง u กับ v ,0   180
4. ให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ นสามมติ ิ ซึง่ ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนยแ์ ละไม่ขนานกัน จะได้วา่ u  v ตง้ั ฉากกบั u

และ v

ตวั อย่าง กำหนดให้ a = 2i − j, b = 2i + j+ k จงหาค่าของ sine ของมุมระหวา่ ง a กับ b

การใชเ้ วกเตอรใ์ นการหาพนื้ ที่ของรปู ส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน
จากรูป  เป็นมมุ ระหว่าง u และ v โดยมี | v | sin  คอื ส่วนสงู ของรูป

สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน

ดังนั้น | uv |=| u || v | sin  เป็นพื้นท่ีของรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนานที่มดี ้านไม่
ขนานกันยาว | u | และ | v | หน่วย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 118

ตวั อยา่ ง จงหาพน้ื ทข่ี องรูปส่ีเหล่ยี มด้านขนาน ABCD เมื่อ AB = i + 3j+ 4k และ AD = 3i − 2 j+ k

ตัวอย่าง จงหาพ้ืนท่ีของรปู สามเหลีย่ มทม่ี ีจุดยอดเปน็ A(1, –1, 3) , B(2, 3, –2) , C(1, 1, 5) ตามลำดับ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 119

การใชเ้ วกเตอรใ์ นการหาปริมาตรของทรงส่เี หลยี่ มด้านขนาน
กำหนดทรงส่ีเหลีย่ มดา้ นขนานซ่งึ มี u , v , r เป็นด้าน ดงั รปู ถ้า h เป็น
ความยาวของเส้นตั้งฉากทล่ี ากจากจุดสน้ิ สดุ ของ u มายังระนาบที่กำหนด
ดว้ ย v และ r  เป็นมุมระหวา่ ง u และ v  r จะได้วา่ h =| u || cos|
โดยที่ v  r คอื พ้นื ท่ขี องรปู สี่เหลย่ี มด้านขนานท่ีมดี ้านประกอบมมุ เป็น v

h และ r

ดังน้นั ปรมิ าตรของสี่เหล่ียมดา้ นขนานทรงตนั เทา่ กบั

| u || cos|| vr | = | u(vr) | .

ตัวอยา่ ง จงหาปรมิ าตรของทรงส่เี หล่ียมดา้ นขนานท่มี ี u = i + j, v = j+ k และ r = i + k เป็นด้าน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 120

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.7

1. จงหาเวกเตอร์ u  v และ v u จากเวกเตอร์ท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี

2 5 
u = 7 , v = 4 
1.) u = 2i + 3k , v = i + 2 j − k 2.) 

0 −3

2. กำหนดให้ u = 5i − 3 j+ 4k , v = j− k จงหา

1.) u  v 2.) | u v |

3.) คา่ sine ของมมุ ระหว่าง u และ v

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 121

3. ให้ u = 2i − j+ k และ v = −i + j− 2k จงหาเวกเตอรส์ องเวกเตอรท์ ี่มขี นาดเทา่ กับ | u v | และมี
ทศิ ทางต้ังฉากกบั ระนาบท่ีประกอบด้วยเวกเตอร์ u และ v

4. จงหาพื้นทขี่ องรูปสี่เหล่ียมดา้ นขนาน PQRS เม่ือ PO = 3i − 2 j และ PS = 3 j+ 4k

5. จงหาพืน้ ท่ีของรูปสามเหลี่ยมท่ีมจี ดุ ยอดเปน็ A(0, 2, 2) , B(8, 8, –2) และ C(9, 12, 6)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 122

6. จงหาปรมิ าตรของทรงส่ีเหลย่ี มด้านขนานท่ีมี u , v , r เปน็ ด้าน ดงั นี้
(1) u = i + k , v = i + j, r = j+ k

(2) u = 2i + 3 j− 4k , v = i − j+ k , r = i + j+ 2k

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 82

ฟงั ก์ชนั

1.1 ความหมายของฟงั กช์ นั

ฟงั ก์ชนั คอื ความสมั พันธ์ซึ่งในสองคู่อันดบั ใดๆ ของความสมั พนั ธน์ น้ั ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมอื นกันแลว้ สมาชิกตัว
หลงั ตอ้ งไม่ต่างกัน

น่ันคอื ถา้ (x1, y1)  r และ (x1, y2)  r แล้ว y1 = y2

หลกั ในการพจิ ารณาว่าความสมั พันธ์เป็นฟงั ก์ชันหรือไม่
1. ถ้าความสมั พนั ธ์น้นั อยใู่ นรปู แจกแจงสมาชิก ใหด้ ูว่าสมาชิกตวั หน้าของคอู่ ันดับซำ้ กนั หรอื ไม่ ถา้ สมาชกิ ตัว
หน้าซำ้ กัน แสดงวา่ ความสมั พนั ธ์นั้นไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน

2. ถ้าความสมั พันธน์ ้นั อยูใ่ นรปู ของการกำหนดเง่ือนไขของสมาชิก r = (x, y) A B P(x, y) ให้แทนค่า

แตล่ ะสมาชิกของ x ลงในเงือ่ นไข P(x, y) เพ่ือหาค่า y ถา้ มี x ตวั ใดท่ีให้ค่า y มากกว่า 1 คา่ แสดงวา่ ความสมั พนั ธ์
นน้ั ไม่เป็นฟงั ก์ชัน

3. พจิ ารณาจากกราฟของความสมั พันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ถ้าเส้นตรงดงั กล่าวตดั กราฟของ
ความสมั พันธม์ ากกวา่ 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธน์ ้ันไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1 1.2 (1,c),(2, d),(3,e),(4, f )

1. ความสมั พันธต์ ่อไปนี้เปน็ ฟงั ก์ชันหรอื ไม่
1.1 (3, 4),(4,5),(5,6),(6,7)

1.3 (1, c), (2, c), (3, c), (4, c) 1.4 (1,5),(2,7),(3, 2),(1,3)

1.5 (x, y)  A B y = x +1 ; A = 1, 2,3 และ B = 2,3, 4

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 83

 1.6 (x, y)  A A y = x2 ; A = −3, −2, −1,0,1, 2,3

1.7 (x, y)  A A y  x ; A = 1, 2,3, 4,5

1.8 (x, y)  R  R y = 5  1.9 (x, y)  R  R x = −4 

 1.10 (x, y) R R y = x  1.11 (x, y) R R y = x2

 1.12 (x, y) R R x2 + y2 = 4;0  y  2  1.13 (x, y) R R y = x2 − 4

 1.15 (x, y) R R y = x2 − 2x −8

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 84

1.2 ประเภทของฟงั กช์ ัน

ฟังกช์ นั จาก A ไป B

f เป็นฟงั ก์ชันจาก A ไป B กต็ ่อเม่อื f เป็นฟังกช์ ันท่มี โี ดเมนคอื เซต A และเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซต B

เขยี นแทนด้วย f : A → B ซงึ่ จะเห็นไดว้ า่ “โดเมน = A” ได้ เม่ือทกุ ตวั ใน A ถกู f โยงกนั หมดนัน่ เอง เช่น

ให้ A = 1, 2,3, 4 และ B = a,b,c

f = (1, a),(2,b),(3, a),(4,b) → เป็นฟงั กช์ ันจาก A ไป B เพราะทกุ ตัวใน A ถกู โยงหมด

โดเมน = 1, 2,3, 4 = A

g = (1,b), (2,b), (4, c) → ไม่เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B เพราะ 3 ไม่ถูกโยง

โดเมน = 1, 2, 4  A

ฟังกช์ ันจาก A ไปท่ัวถงึ B

f เปน็ ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง B กต็ อ่ เมือ่ f เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนคือเซต A และเรนจเ์ ปน็ เซต B

เขยี นแทนด้วย f : A ⎯o⎯nto⎯→ B ซ่ึงจะเหน็ ได้วา่ “เรนจ์ = B ” ได้เมื่อ B ถูก f โยงมาหาหมดทุกตวั นั่นเอง

เช่น

ให้ A = 1, 2,3, 4 และ B = a,b,c

f = (1, a),(2,b),(3,b),(4,c) → เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B เพราะ B ถูกโยงหาหมดทกุ ตวั

เรนจ์ = a,b,c = B

g = (1,b),(2,b),(3,c),(4, c) → ไม่เปน็ ฟังกช์ นั จาก A ไปทัว่ ถึง B เพราะ a ไม่ถกู โยง

เรนจ์ = b,c  B

ฟังกช์ ันหน่ึงต่อหนึง่ จาก A ไป B

f เปน็ ฟังกช์ นั หนึ่งต่อหนง่ึ จาก A ไป B กต็ ่อเมื่อ f เป็นฟังกช์ นั A ไป B ซึ่งถา้ y  Rf แลว้ มี x Df เพยี งตวั
เดียวเทา่ นั้นทีจ่ ับคแู่ บบ “หนง่ึ x ค่หู นงึ่ y ทำให้ (x, y) f เขียนแทนดว้ ย f : A ⎯1⎯−1→ B เช่น

ให้ A = 1, 2,3 และ B = a,b,c, d

f = (1,c),(2,b),(3, d) → เปน็ ฟงั กช์ ันหน่ึงต่อหนง่ึ จาก A ไป B

g = (1,c),(2,b),(3,b) → ไม่เป็นฟงั กช์ ันหนงึ่ ต่อหนึ่ง เพราะ ท้งั 2 และ 3 จับค่กู ับ b

h = (1,c),(1,b),(2, d) → ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนึง่ เพราะ 1 คูท่ ง้ั c และ b (ไม่เป็นฟังกช์ นั )

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 85

ข้อสงั เกต

วธิ ีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหนง่ึ ตอ่ หน่งึ หรอื ไม่ จะคลา้ ยๆกับตอนที่ใชต้ รวจสอบว่าเปน็ ฟังกช์ ันหรอื ไม่

- จากสมการฟงั ก์ชนั : ถา้ x หรือ y ถกู ยกกำลังคูห่ รอื อยใู่ นเครอ่ื งหมายค่าสัมบรู ณ์ มักจะไม่ใชห่ นงึ่ ต่อ

หน่งึ

- จากกราฟ : ถา้ ลากเส้นในแนวนอนหรอื แนวตงั้ ตดั กราฟได้มากกว่า 1 จุด แปลวา่ ไมใ่ ชห่ น่งึ ต่อหน่ึง

ฟงั ก์ชันบางฟงั กช์ ันอาจเป็น “จาก” “ทวั่ ถึง” และ “หนง่ึ ตอ่ หนงึ่ ” พรอ้ มๆกันได้ เชน่

ให้ A = 1, 2,3, 4 และ B = a,b,c, d จะได้ f = (1, a),(2,b),(3,c),(4, d) เปน็ ฟังก์ชนั หนึง่ ต่อหนึง่ จาก

A ไปทั่วถึง B เปน็ ตน้ โดยฟงั กช์ ันหนง่ึ ตอ่ หนึ่ง จาก A ไปทวั่ ถงึ B เขียนแทนด้วย f : A ⎯⎯1−1⎯→ B

onto

ตัวอย่างท่ี 1 จงพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชัน f (x) = x − 2 เปน็ ฟังกช์ ันจาก R+ ไป R หรือไม่

ตวั อยา่ งที่ 2 จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั f (x) = x2 + 2x + 4 เป็นฟังก์ชนั จาก R ไปทั่วถงึ R หรอื ไม่

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 86

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2
1. กำหนด A = 1,2 และ B = 3 ฟงั กช์ ันจาก A ไป B ไดแ้ ก่
2. กำหนด A = 1,2 และ B = 3,4 ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B ไดแ้ ก่

3. กำหนด A = 1, 2,3 และ B = a,b,c 3.2 ฟังก์ชัน 1 – 1 จาก B ไป A ได้แก่
3.1 ฟังกช์ ัน 1 – 1 จาก A ไป B ไดแ้ ก่

4. กำหนด A = 1,2,3 และ B = 3,4 ฟงั ก์ชนั จาก A ไปทั่วถงึ B ได้แก่

5. จงเลือกคำตอบทก่ี ำหนดใหจ้ ากชอ่ งขวา มาเติมลงในช่องวา่ งให้ถกู ต้อง ก. f เปน็ ฟังก์ชนั
1.1) กำหนดให้ A = 1, 2,3 และ B = a,b และ ข. f เปน็ ฟงั ก์ชัน จาก A ไป B
f = (1, a),(2, a),(3, a) ข้อใดถกู ต้องบ้าง ค. f เปน็ ฟังกช์ นั จาก A ไปท่ัวถงึ B
ง. f เปน็ ฟงั ก์ชัน 1 – 1 จาก A ไป B
1.2) กำหนดให้ A = 1, 2,3 และ B = a,b และ จ. f เปน็ ฟงั ก์ชัน จาก B ไป A
f = (a,1),(b, 2) ขอ้ ใดถกู ต้องบ้าง ฉ. f เป็นฟังก์ชัน จาก B ไปทั่วถึง A
ช. f เปน็ ฟังกช์ นั 1 – 1 จาก B ไป A
1.3) กำหนดให้ A = 1, 2,3 และ B = 2,3, 4 และ ซ. f เปน็ ฟังก์ชนั จาก A ไป A
f = (2,1),(3, 2),(4,3) ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง ฌ. f เป็นฟงั กช์ ัน จาก A ไปทว่ั ถงึ A
ญ. f เป็นฟังกช์ ัน 1 – 1 จาก A ไป A
1.4) กำหนดให้ A = 2,3 และ B = 2,3, 4 และ
f = (2,3),(3, 2) ข้อใดถูกต้องบา้ ง

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 87

6. จงพิจารณาว่าฟังก์ชนั ทีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี ฟงั กช์ ันใดเปน็ ฟงั ก์ชนั 1 – 1

6.1 f (x) = 2x +1 6.2 f (x) = x2 +1

6.3 f (x) = x − 3 6.4 f (x) = x − 2

7. กำหนด f (x) = x2 + 2x + 4 จงหา 8. กำหนด f (x) = 2x2 −5x + 2 เม่ือ −2  x  3 จงหา
7.1 f (0) = 8.1 f (−1) =

7.2 f (2) = 8.2 f (3) =

7.3 f (−5) = 8.3 f (4) =

7.4 f (−2) = ( )8.4 f − 1 =
2

−2 ; x<0

9. กำหนด f ( x) =  x ;0  x  2 จงหา f (−2), f (0), f (3) และ f ( 3)

 2 ; x  2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 88

 10. กำหนด A = −3, −2, −1,0,1, 2,3 และ f = (x, y) A R y = x2 จงหา Df และ Rf

11. กำหนด A = 1, 2,3, 4,5,6 และ f = (x, y)  A A y = x จงหา Df และ Rf

12. กำหนด f = (x, y)  R  R y = x 1 2  จงหา Df และ Rf
 + 


 13. กำหนด f = (x, y)  R R y = x2 − 4x + 4 จงหา Df และ Rf

 14. กำหนด f = (x, y) R R y = x2 − 2x + 4 จงหา Df และ Rf

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 89

 15. กำหนด f = (x, y) R R y = x2 − 9 จงหา Df และ Rf

 16. กำหนด f = (x, y) R R y = 9 − x2 จงหา Df และ Rf

17. กำหนด f (x) = 3x − 2 และ −2  x  2 จงหา Rf
18. กำหนด f (x) = x2 − 2x −8 และ −2  x  2 จงหา Rf

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 90

1.3 การดำเนินการของฟงั ก์ชนั

บทนิยาม 1 ให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ ันทีม่ โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของ ผลบวก (sum) ผลตา่ ง

(difference) ผลคูณ (product) และผลหาร (quotient) ของ f และ g เขียนแทนดว้ ย f + g, f − g, fg และ f
g

ตามลำดับ เปน็ ฟังก์ชนั ซง่ึ กำหนดโดย

( f + g)(x) = f (x) + g(x) และ x  Df  Dg
และ x  Df  Dg
( f − g)(x) = f (x) − g(x) และ x  Df  Dg

( fg)(x) = f (x)g(x) และ x  Df  Dg

 f  (x) = f (x) เมื่อ g(x)  0
 g  g(x)

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ f (x) = x3 +1และ g(x) = x −3 จงหา ( f + g)(x),( f − g)(x),( fg)(x) และ

 f  (x)
 g 

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ f (x) = 2x และ g(x) = x2 จงหา ( f + g)(1),( fg)(2)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 91

ตัวอย่างที่ 5 ให้ f = (1, 6), (2,16), (3,12), (5,18) และ g = (1, 6), (2,11), (3, 0), (4,1)

จงหา f + g, fg และ f พร้อมทั้งหาโดเมนของแตล่ ะฟังกช์ ัน
g

ตัวอย่างท่ี 6 ให้ f (x) = x −1และ g(x) = x−3 จงหา Df +g , Df −g , Dfg และ D f
x−2
g

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 92

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3

1. กำหนด f = (1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5) และ g = (1,3), (2,5), (3, 7) จงหา f + g, f − g, f  g และ f
g

2. กำหนด f = (1,3),(2,5),(3,7),(4,9) และ g = (1, 4),(2,0),(4,1) จงหา f + g, f − g, f  g และ f
g

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 93

3. กำหนด f (x) = 2x +1 และ g(x) = x2 จงหา ( f + g)(x), ( f − g)(x), ( f  g)(x) และ f (x)
g

4. กำหนด f (x) = x2 และ g(x) = 2x + 8 จงหา ( f + g)(x), ( f − g)(x), ( f  g)(x) และ f (x)
g

5. กำหนด f (x) = x2 −1 และ g(x) = 9 − x2 จงหา f + g

6. กำหนด f (x) = x2 และ g(x) = 2x + 8 เมื่อ −2  x  2 จงหา Rf −g

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 94

7. กำหนด f (x) = x + 3 เมื่อ −3  x  3 และ g(x) = x − 2 เมอื่ −2  x  4 จงหา Rf +g

8. กำหนด f (x) = 3x2 เมอื่ 10  x  20 และ g(x) = x − 20 เมอื่ x R จงหา D f

g

9. กำหนด f (x) = 2x −1 เมือ่ 0  x  3, g(x) = x − 6 เมอื่ −2  x  2 และ h(x) = x −1 เมื่อ −1 x  4
จงหา D f − g

h

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 95

1.4 ฟงั กช์ นั ผกผัน (Inverse Function)

จากเรอื่ งความสัมพนั ธ์ เม่อื กำหนดความสัมพนั ธใ์ ดๆ ให้ สามารถหาตัวผกผันของความสมั พันธ์ไดโ้ ดยการสลบั ที่ของ
สมาชกิ ตวั หน้าและสมาชิกตวั หลงั ในแต่ละคู่ท่ีเป็นสมาชกิ ของความสัมพันธ์นน้ั เน่อื งจากฟงั กช์ ันเปน็ ความสัมพันธ์ ดงั นั้น
จงึ มตี วั ผกผนั ของฟังก์ชันซ่ึงเป็นความสมั พนั ธ์ แตม่ ีขอ้ สงั เกต คอื ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ไมจ่ ำเป็นต้องเปน็ ฟังก์ชันเสมอไป
เช่น

สำหรับ f = (1, 2),(2,3),(3, 4) เปน็ ฟังกช์ ัน
และ f −1 = (2,1),(3, 2),(4,3) เป็นฟังกช์ ัน
สำหรับ g = (1, 2),(3, 2),(2,3) เป็นฟงั กช์ ัน
แต่ g−1 = (2,1),(2,3),(3,2) ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั
ถ้าตัวผกผนั ของฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั ก์ชันแล้ว จะเรียก f −1 ว่าเปน็ ฟังก์ชนั ผกผนั (Inverse Function) ของ f และ
กล่าววา่ ฟงั กช์ ัน f มีฟังกช์ ันผกผัน *******ฟังก์ชนั ท่ีจะมฟี งั กช์ ันผกผนั ต้องเป็นฟงั กช์ นั หน่ึงตอ่ หนง่ึ *******

ทฤษฎบี ท 1 ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั
f มีฟงั ก์ชนั ผกผัน กต็ ่อเมื่อ f เป็นฟงั ก์ชนั 1−1

สมบตั ขิ องฟังก์ชันผกผนั
กำหนดให้ f เป็นฟังกช์ ัน
1. f −1 เปน็ ฟงั กช์ ัน เมอื่ f เปน็ ฟงั กช์ นั 1 – 1
2. Df = Rf −1 และ Rf = Df −1

ตวั อยา่ งที่ 7 ฟงั ก์ชัน f ซึง่ กำหนดโดย f (x) = 3x +1 จะมีฟังก์ชันผกผนั หรือไม่ ถา้ มี จงหาฟงั ก์ชนั ผกผัน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 96

ตัวอยา่ งที่ 8 กำหนด f (x) = x − 2 จงหา f −1

ตวั อยา่ งที่ 9 กำหนด f (x) = 2x +1 จงหา f −1(x) และ f −1(−8)
x+3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 97

แบบฝกึ ทักษะที่ 4 f −1 =

1. กำหนด f = (1, 2),(3, 4),(5,5),(6,8)
f −1 เปน็ ฟังกช์ ันหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

2. กำหนด f = (1, 2),(2, 4),(4,5),(5,7) f −1 =
f −1 เป็นฟงั ก์ชันหรือไม่ เพราะเหตุใด

3. กำหนด f = (x, y)  R  R y = 2x −1 f −1 =

f −1 เปน็ ฟังก์ชันหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

 4. กำหนด f = (x, y) R R y = x2 f −1 =

f −1 เป็นฟังก์ชนั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

 5. กำหนด f = (x, y) R R y = x −3 f −1 =

f −1 เปน็ ฟังก์ชันหรือไม่ เพราะเหตุใด 7. กำหนด f (x +1) = 2x − 3 จงหา f −1(x)

6. กำหนด f (x) = 2x + 3 จงหา f −1(5)

8. กำหนด f −1(x) = x3 +1 จงหา f −1(−3) 9. กำหนด f (x) = x2 +1 จงหา f −1(25)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 98

10. กำหนดให้ f (x) = 5− 2x จงหาคา่ ของ f −1(−2)
1+ 3x

11. กำหนดให้ f (x) = x −3 จงหาค่าของ f −1(7)

12. กำหนดให้ f (x) = x + 4 ฟงั ก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผันหรอื ไม่ ถา้ มี จงหาฟังกช์ นั ผกผันของ f

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 99

1.5 ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function)

ให้ f และ g เปน็ ฟงั ก์ชัน ดงั แสดงในแผนภาพ

จากแผนภาพจะได้ f (1) = a, f (2) = c, f (3) = b

g(a) = p, g(b) = p, g(c) = q

จาก f และ g ที่กำหนดให้ จะได้

g( f (1)) = g(a) = p

g( f (2)) = g(c) = q

g( f (3)) = g(b) = p

จะเหน็ ได้วา่ ฟงั ก์ชันทสี่ รา้ งขนึ้ มาใหม่เปน็ ฟังกช์ นั จากเซต A ไปเซต C เขยี นแทนฟงั กช์ ันนี้ดว้ ย g f (อา่ นว่า จีโอ
เอฟ) และเรียกว่า ฟงั กช์ ันประกอบ (Composite Function) ของ f และ g โดย

g f (1) = g( f (1)) = p

g f (2) = g( f (2)) = q

g f (3) = g( f (3)) = p

น่นั คือ g f = (1, p),(2, q),(3, p)

จากแผนภาพ สำหรับแต่ละ x ในเซต A ถา้ มี y = f (x) ในเซต B และมี z = g(y) ในเซต C จะหา
g( f (x)) ได้ ซึง่ เทา่ กับ z สถานการณ์ข้างต้นทำให้เกิดฟงั ก์ชันประกอบ g f เพราะฉะนนั้ การเกดิ g f มีเงื่อนไข
สำคัญคือ ต้องมี y อยู่ใน Rf และ Dg พรอ้ มกนั นน่ั คือ Rf  Dg ตอ้ งไมใ่ ชเ่ ซตวา่ ง ดงั นนั้ จงึ ให้บทนิยามของฟังกช์ นั
g f ดังนี้

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า |

100

บทนยิ าม 2 ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ ัน และ Rf  Dg  
ฟังก์ชนั ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย g f คือฟงั ก์ชันที่มโี ดเมนคือ

 Dg f = x  Df f (x) Dg

และกำหนด g f โดย g f (x) = g( f (x)) สำหรบั ทุก x ใน Dg f

ตวั อย่างท่ี 10 ให้ f (x) = x2 −3และ g(x) = x + 2 จงหาฟงั ก์ชนั g f และ f g พรอ้ มท้งั โดเมน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า |

101

ตวั อย่างที่ 11 กำหนดให้ f (x) = −x2 −1และ g(x) = x จะมี g f และ f g หรือไม่ เพราะเหตุใด
ถ้ามจี งหา g f และ f g พรอ้ มทัง้ โดเมน

ตวั อยา่ งท่ี 12 กำหนดให้ f = (1,5),(2, 4),(3,6)และ g = (3,8),(4,10),(5,9) จงหา g f

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า |

102

แบบฝึกทักษะที่ 5
1. กำหนด f = (1, 2),(3, 4),(5,7),(9,3) และ g = (2,5),(3,8),(4,0),(7, 4) จงหา g f

2. กำหนด f = (a, 2),(b,3),(c,5),(d,1) และ g = (5, a),(1, d),(b, 4),(c,3) จงหา f g

3. กำหนด f = (1, 2),(3, 4),(5,6),(7,8) จงหา f f −1 และ f −1 f

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า |

103

4. กำหนด f (x) = 2x −3 และ g(x) = x −1 จงหา (g f )(x) และ ( f g)(x)

5. กำหนด f (x) = x + 3 และ g(x) = x2 +1 จงหา (g f )(x)
6. กำหนด f (x) = x +1 และ g(x) = x จงหา (g f )(x)
7. กำหนด f (x) = 2x −5 และ g(x) = x2 + 3 จงหา (g f )(1) และ ( f g)(1)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า |

104

8. กำหนด f (x) = x − 2 และ g(x) = 3x จงหา (g f )−1(x) และ ( f −1 g−1)(x)

9. กำหนด f (x) = 5x, g(x) = x +1 และ h( x) = 2x − 2 ;x0
2x − 3 ;x0

จงหา 1.) ( f g h)(1) 2.) ( f g h)(−1) 3.) ( g h f )(3) 4.) (h g f )(−3)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า |

105

10. กำหนด f (x) = x + 2 และ (g f )(x) = 3x − 6 จงหา g(x)

11. กำหนด f −1(x) = x − 3 และ g−1(x) = x จงหา (g f )(x)
2 3

12. กำหนด f (x +1) = 3x + 2 และ (g f )(x) =15x + 5 จงหา g(x)

13. กำหนด (g f )(x) = 2x + 9 และ g(x) = 2x −1 จงหา f −1(x)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า |

106