คณิตศาสตร์เสริมเข้ม2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 50

2.3 วงรี (Ellipse)

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงรี
วงรี (ellipse) คอื เซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบซ่ึง ผลบวก ของระยะทางจากจดุ ใด ๆ ไปยงั จุด F1

และ F2 ท่ีตรงึ อยู่กบั ทีม่ ีคา่ คงตวั (ดูรปู ที่ 1) โดยค่าคงตัวนต้ี ้องมากกวา่ ระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กบั ทที่ ั้งสองจุด
จุดสองจดุ ทีต่ รงึ อยู่กับทน่ี เี้ รียกวา่ โฟกัส (focus) ของวงรี

รปู ที่ 1

คา่ คงคต่าัวคงตวั

รปู ที่ 1 รปู ท่ี 2
จากบทนิยามเชิงเรขาคณติ ของวงรี มวี ิธีงา่ ย ๆ ในการวาดรูปวงรี (ดรู ูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาด
รปู ปกั หมดุ 2 ตวั ที่จดุ ตา่ งกนั ใช้เปน็ โฟกัสของวงรี ตดั เชอื กเส้นหนึ่งยาวกว่าระยะทางระหว่างหมดุ ท้งั สอง ผูก
ปลายเชอื กแตล่ ะขา้ งกับหมุด ใชด้ นิ สอรั้งเชอื กให้ตงึ ตลอดเวลา ขณะที่ค่อยๆเคลื่อนดินสอรอบโฟกสั รอยดินสอท่ี
เกดิ ข้ึนจะเป็นรูปวงรเี พราะผลบวกของระยะทางจากจดุ ปลายดินสอถงึ โฟกสั ทั้งสองเทา่ กบั ความยาวของเชอื กท่ีมี
ความยาวคงตวั เสมอ
ถา้ เชอื กยาวกว่าระยะหา่ งระหวา่ งโฟกสั เพยี งเล็กนอ้ ย วงรีที่วาดไดจ้ ะมีรูปร่างเรียวยาว ดงั เชน่ ในรูปท่ี 3ก
แต่ถา้ โฟกัสอยู่ใกล้กนั เมื่อเปรียบเทียบกบั ความยาวเชือก (เชอื กยาวกว่าระยะห่างระหวา่ งโฟกสั มาก) วงรีที่วาดได้
จะเกือบกลม ดงั เชน่ ในรูปที่ 3ข และถ้าโฟกสั ทบั ซอ้ นกนั รอยดินสอจะเคลื่อนเป็นรปู วงกลม

รปู ท่ี 3ก รูปท่ี 3ข

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 51

สว่ นประกอบของวงรี Y

โฟกสั จุดยอด/จดุ ปลายแกนเอก

B2

V1 F1 F2 V2 X

0

ลาตัสเรกตมั

จดุ ปลายแกนโท

B1

1. จดุ คงท่สี องจดุ คือ F1 และ F2 เป็น โฟกัส(focus) ของวงรี
2. จุดกึง่ กลางระหว่างโฟกัสท้ังสอง คือ จดุ C เปน็ จุดศูนยก์ ลาง(center) ของวงรี

3. จุดทเี่ ส้นตรงทลี่ ากผา่ นโฟกัสท้ังสองตัดกับวงรี คือ จุด V1 และ V1 เป็น จุดยอด(vertex) ของวงรี
4. สว่ นของเสน้ ตรงที่เชอ่ื มจุดยอดทัง้ สองของวงรี คือ V1V2 เรยี กวา่ แกนเอก(major axis) ของวงรี
5. ส่วนของเส้นตรงทต่ี ้ังฉากกับแกนเอกทีจ่ ุดศูนย์กลาง และมีจุดปลายทงั้ สองอยู่บนวงรี คือ B1B2 เรียกว่า

แกนโท(minor axis) ของวงรี

6. สว่ นของเสน้ ตรงทต่ี ัง้ ฉากกับแกนเอกที่โฟกัส และมจี ดุ ปลายท้งั สองอย่บู นวงรีเรียกว่า

ลาตสั เรกตมั (latus rectum) ของวงรี

รายละเอียดทสี่ ำคัญของวงรีที่มีจุดศูนยก์ ลางอยูท่ ่ีจดุ กำเนิดและแกนเอกอยู่บนพกิ ัด สรปุ ได้ดงั น้ี

สมการวงรที ่มี ีจุดศูนย์กลางท่ี (0,0) และแกนเอกอยู่บนพกิ ัด

สมการรปู แบบมาตรฐาน x2 + y2 =1 ,a b 0 x2 + y2 =1 ,a b 0
a2 b2 b2 a2
จดุ ศูนย์กลาง
จุดยอด C(0, 0)
จุดปลายแกนโท
โฟกัส V1(−a, 0),V2(a, 0) V1(0, −a),V2(0, a)
แกนเอก
B1(0, −b), B2(0,b) B1(−b, 0), B2(b, 0)

F1(−c, 0), F2(c, 0) F1(0, −c), F2(0, c)

อย่บู นแกน X ยาว 2a หนว่ ย อยูบ่ นแกน Y ยาว 2a หน่วย

แกนโท อย่บู นแกน Y ยาว 2b หนว่ ย อยู่บนแกน X ยาว 2b หนว่ ย

ความยาวลาตัสเรกตมั 2b2 หนว่ ย

a

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 52

ความสมั พันธร์ ะหวา่ ง c2 = a2 − b2
a,b และ c
กราฟ V2 (0, a)
F2 (0, c)
B2 (0,b) P(x, y)

V1(−a, 0) V2 (a, 0) B1(−b, 0) B2 (b, 0)
F1(−c, 0) F2 (c, 0) (0, 0)
0

B1(0, −b) F1(0, −c)
V1(0, −a)

เพอ่ื ความสะดวกให้ ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีถึงโฟกัสทั้งสอง คือ 2a หนว่ ย โดยท่ี a  b  0
จะไดว้ า่ ถา้ P(x, y) เปน็ จดุ ใดๆบนวงรแี ล้ว PF1 + PF2 = 2a

จากสตู รระยะทางระหวา่ งจดุ 2 จดุ จะได้

( x + c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 = 2a หรอื ( x − c)2 + y2 = 2a − ( x + c)2 + y2

บทนยิ ามของความเย้อื งศนู ย์กลาง

สำหรบั วงรี x2 + y2 =1 หรือ x2 + y2 =1 เมือ่ ab0
a2 b2 b2 a2

ความเยือ้ งศูนยก์ ลาง (eccentricity) ของวงรี แทนด้วย e คอื อัตราส่วนของ c ตอ่ a

เมอ่ื c = a2 −b2 น่นั คือ e = c

a

ความเยอื้ งศนู ย์กลางของวงรีมีคา่ ระหว่าง 0 และ 1 น่นั คือ 0  e 1 ถ้า e มีคา่ ใกล้ 1 หรอื c มคี า่ เกือบจะ

เท่ากบั a แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรปู รา่ งเรียวยาว) แต่ถา้ e มีคา่ ใกล้ 0 แล้ววงรมี คี วามรีน้อย

(รูปรา่ งเกือบจะกลม) ดรู ูปที่ 4 แสดงวงรีทม่ี ีความเยอ้ื งศนู ยก์ ลางต่าง ๆ กนั ตาเธอ e น้อย

ตาฉนั e มาก

e = 0.1 e = 0.5 e = 0.65 ตาเธอตี๋ ตาฉนั กลม
จังเลย

e = 0.85 รปู ท่ี 4 e = 0.95

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 53

สมการวงรีท่ีมีจดุ ศูนยก์ ลางท่ี (h,k )

1.วงรที ี่มีแกนเอกอยูบ่ นแกน X

ขอ้ สรุปเกยี่ วกับวงรีท่ีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยู่ที่ (h,k ) และแกนเอกอยู่บนแกน X สรุปได้ดังน้ี

Y Y

B2 (h, k + b)

กราฟ V1 (h − a, k ) F1 (h − c, k ) F2 ( h + c, k ) V2 ( h + a, k )

สมการรูปมาตรฐาน C (0, 0) X 
สมการรปู ทัว่ ไป
จดุ ศูนยก์ ลาง B1 (h, k − b) X
จดุ ยอด
จุดปลายแกนโท ( x − h)2 ( y − k )2
โฟกสั
แกนเอก a2 + b2 = 1, a  b  0
แกนโท
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, AC  0
ความยาวลาตัสเรกตัม
C (h, k )
V1 (h − a, k ),V2 (h + a, k )
B1 (h, k − b), B2 (h, k + b)
F1 (h − c, k ) , F2 (h + c, k )

อยบู่ นแกน X ยาว 2a หนว่ ย
อย่บู นแกน Y ยาว 2b หนว่ ย

2b2

a

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 54

2. วงรีท่ีมีแกนเอกอยู่บนแกน Y  Y Y

กราฟ V2 (h, k + b)
F2 (h,k + c)
สมการรูปมาตรฐาน
สมการรูปทัว่ ไป B1 (h − b, k ) B2 (h + b,k ) X 
จดุ ศูนยก์ ลาง C (0,0)
จดุ ยอด
จุดปลายแกนโท F1 (h, k − c) X
โฟกสั V1 (h, k − a)
แกนเอก
แกนโท ( x − h)2 ( y − k )2

ความยาวลาตัสเรกตมั b2 + a2 = 1, a  b  0
ความสมั พันธร์ ะหวา่ ง
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, AC  0
a,b และ c
C (h, k )
V1 (h, k − a),V2 (h, k + a)
B1 (h − b, k ), B2 (h + b, k )
F1 (h, k − c) , F2 (h, k + c)

อยู่บนแกน Y ยาว 2a หน่วย
อยบู่ นแกน X ยาว 2b หน่วย

2b2

a

c2 = a2 − b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 55

ตัวอยา่ งที่ 36 วงรีวงหนึง่ สมการเปน็ x2 + y2 =1 จงหาโฟกัส จดุ ยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท
16 7

พรอ้ มทง้ั วาดกราฟ

วิธีทำ จากสมการ x2 + y2 =1

16 7

จะได้ a2 = 16a = 4

b2 =7  b = 7

และ c = 16 − 7 = 9 c = 3
แกนเอกอยบู่ นแกน X

ดังนั้น จุดยอด คือ V1(−4,0) และ V2 (4,0) จาก c2 = a2 − b2
โฟกัส คือ F1 (−3,0) และ F2 (3,0) จะได้ c = a2 −b2
แกนเอก มคี วามยาว 2(4) = 8 หน่วย

แกนโท มีความยาว 2( )7 = 2 7 หนว่ ย

ตวั อยา่ งท่ี 37 จงหาสมการวงรที ี่มีโฟกสั อยทู่ ี่ (−4,0) และ (4, 0) และมีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ 8
15

พร้อมท้งั วาดกราฟ

วธิ ีทำ เนือ่ งจาก e = 8 และ c = 4 จะได้
15

8 =4 (ความเยอ้ื งศูนย์กลาง e = c )
15 a a

a = 15
2

หาค่าของ b โดยใชส้ มการ c2 = a2 −b2

( )42 =15 2
2
− b2

( )b2 =15 2

2 − 42

= 161
4

b = 161
2

ดงั นัน้ สมการวงรคี ือ 4x2 + 4y2 =1

225 161

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 56

ตวั อย่างท่ี 38 จากสมการ ( x + 3)2 ( y − 2)2 =1 จงหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จดุ ยอด จุดปลายแกนโท โฟกัส

+
16 25

ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท ความเย้ืองศนู ย์กลาง และความยาวลาตัสเรกตัมพรอ้ มทั้งเขยี นกราฟ

วธิ ที ำ จากสมการ ( x + 3)2 + ( y − 2)2 =1

16 25

จะได้ a2 = 25  a = 5

b2 = 16  b = 4

และ c = 25−16 = 9 c = 3
แกนเอกอยู่บนแกน Y

1. จุดศนู ย์กลาง คอื C (−3, 2)

2. จุดยอด คือ V1 (−3, 2 − 5) = V1 (−3,−3) และ V2 (−3,2 + 5) = V2 (−3,7)
3. จุดปลายแกนโท คอื B1 (−3 − 4, 2) = B1 (−7, 2) และ B2 (−3+ 4, 2) = B2 (1, 2)
4. โฟกัส คือ F1 (−3, 2 − 3) = F1 (−3, −1) และ F2 (−3, 2 + 3) = F2 (−3,5)
5. แกนเอก มีความยาว 2(5) =10 หน่วย

6. แกนโท มีความยาว 2(4) = 8 หนว่ ย

7. ความเย้อื งศูนยก์ ลาง คอื e = 3

5

8. ลาตสั เรกตัม ยาว 2(4)2 = 32 หน่วย

55

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 57

ตวั อยา่ งที่ 39 จงหาสมการวงรที ี่มีจุดศูนย์กลางคือ (5,−1) แกนเอกยาว 10 หนว่ ย โฟกสั อยบู่ นแกน X
วงรีผา่ นจุด (3, 2)

วิธที ำ จาก แกนเอกยาว 10 หนว่ ย จะได้ 2a =10 a = 5
แกนเอกอย่บู นแกน X  และ (h,k) = (5,−1)

จะได้ ( x − 5)2 + ( y +1)2 =1 ………………………………………(1)

52 b2

และ วงรผี ่านจดุ (3,2) จะได้ (x, y) = (3,2) แทนลงใน (1) เพ่ือหาคา่ ของ b

(3 − 5)2 + (2 +1)2 =1

52 b2

4 + 9 =1
25 b2

9 =1− 4
b2 25

9 = 21
b2 25

b2 = 9 25 = 75
21 7

แทน b2 = 75 ลงใน (1) จะได้สมการวงรีคอื ( x − 5)2 ( y +1)2

7 25 + 75 = 1

7

( x − 5)2 7( y +1)2

+ =1
25 75

3( x − 5)2 + (7)( y +1)2

=1
75

( ) ( )3 x2 −10x + 25 + 7 y2 + 2y +1 = 75

3x2 − 30x + 75 + 7 y2 +14y + 7 − 75 = 0

3x2 + 7 y2 − 30x +14y + 7 = 0

ดังนัน้ สมการรปู มาตรฐาน คือ ( x − 5)2 ( y +1)2

+ =1
25 75

7

สมการรปู ท่ัวไป คือ 3x2 + 7y2 − 30x +14y + 7 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 58

แบบฝกึ หดั 2.3

1. จงพจิ ารณากราฟที่กำหนดให้ แล้วเตมิ คำตอบลงในช่องว่าง a
1.1
b
Y

V2 (0, −5) c

B1 (−3,0) X สมการรปู มาตรฐาน
สมการรูปทวั่ ไป
B2 (3,0) จดุ ศูนย์กลาง
จุดยอด
V1 (0,−5) จดุ ปลายแกนโท
1.2 โฟกัส
ความยาวแกนเอก
ความยาวแกนโท

ความเยื้องศนู ยก์ ลาง
ความยาวลาตัสเรกตัม

Y Y a

V1 (−7,1) B2 (−2, 4) V1 (3,1) b
C (−2,1)
c
X
X สมการรูปมาตรฐาน
สมการรปู ท่ัวไป
B1 (−2, −2) จดุ ศนู ยก์ ลาง
จดุ ยอด
จดุ ปลายแกนโท
โฟกัส
แกนเอก
ความยาวแกนเอก
ความยาวแกนโท

ความเย้อื งศูนยก์ ลาง
ความยาวลาตัสเรกตมั

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 59

2. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเย้ืองศูนย์กลาง ความยาวของแกนเอก และความยาวของแกนโทของวงรี แลว้ เขยี นกราฟ
2.1) x2 + y2 =1

25 16

2.2) 36x2 + 64y2 = 2,304

2.3) ( x − 2)2 + y2 = 1

9 25

2.4) 4x2 + 25y2 − 24x + 250y + 561 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 60

3. จงหาสมการรปู แบบมาตรฐานและรูปแบบท่ัวไปของวงรี ทส่ี อดคล้องกับเง่ือนไขที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี

3.1) จุดศูนย์กลางอยูท่ จ่ี ดุ (0,0) โฟกัสคือ 3.2) จุดศนู ย์กลางอยูท่ ่ีจดุ (0,0) แกนเอกยาว

(−4,0),(4,0) จุดยอดคือ (−5,0),(5,0) 6 หน่วย แกนโทยาว 4 หน่วย โฟกสั อย่บู นแกน X

3.3) จดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด จดุ ยอดคือ 3.4) จุดศูนย์กลางอยทู่ ีจ่ ดุ กำเนิด แกนเอกยาว 10 หนว่ ย

(−6,0),(6,0) และระยะระหวา่ งโฟกัสเทา่ กับ 4 หน่วย โฟกัสอย่บู นแกน X วงรีผา่ นจุด ( )5,2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 61

3.5) โฟกสั คือ (−1,−3),(−1,1) และจุดยอดคือ 3.6) จดุ ศนู ยก์ ลาง คือ (1,−3) แกนเอกยาว 6 หนว่ ย
(−1, −5),(−1,3) แกนโทยาว 4 หนว่ ย โฟกสั อยูบ่ นแกน X

3.7) จุดปลายแกนเอก (−10,0),(10,0) ระยะห่าง 3.8) ความเยอ้ื งศูนยก์ ลางคือ 0.8 และโฟกสั คือ
( −2,1) , ( 2,1)
ระหวา่ งโฟกสั เทา่ กบั 6 หนว่ ย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 62

2.4 ไฮเพอรโ์ บลา (Hyperbola)

แมว้ า่ รปู รา่ งของไฮเพอรโ์ บลากับวงรจี ะแตกตา่ งกนั อย่างสน้ิ เชิง แต่บทนยิ ามและสมการของภาคตัดกรวยสอง
ชนิดนค้ี ล้ายกัน โดยนยิ ามของวงรใี ช้ ผลบวก ของระยะทางจากโฟกัสท้ังสอง ในขณะที่ไฮเพอร์โบลาใช้ ผลต่าง

บทนยิ ามเชิงเรขาคณติ ของไฮเพอรโ์ บลา

ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คอื เซตของจุดทง้ั หมดในระนาบซึ่ง ผลต่าง ของระยะทางจากจดุ ใด ๆ ไปยังจุด F1
และ F2 ท่ตี รงึ อยกู่ ับทม่ี ีคา่ คงตัว โดยคา่ คงตวั น้อยกว่าระยะหา่ งระหว่างจดุ ที่ตรึงอยู่กับท่ีทง้ั สองจดุ จุด F1 และ F2
ดังกล่าวน้ีเรียกวา่ โฟกสั (focus) ของไฮเพอร์โบลา

สว่ นประกอบของไฮเพอรโ์ บลา Y

จดุ ปลายแกนสงั ยคุ

B2

จดุ ศนู ย์กลาง ลาตสั เรกตมั

โฟกัส F1 V1 V2 F2 X

จุดยอด กง่ิ

B1 เสน้ กำกบั

1. จดุ คงทสี่ องจุด คือ F1 และ F2 เปน็ โฟกสั (foci) ของไฮเพอร์โบลา
2. จุด V1 และ V2 คอื จดุ ยอด (verticse) ของไฮเพอรโ์ บลา
3. ไฮเพอร์โบลาประกอบดว้ ยเส้นโค้ง 2 เส้น แตล่ ะเสน้ เรียกว่า กง่ิ (branches)
4. ส่วนของเส้นตรงทเ่ี ช่ือมจุดยอดแตล่ ะก่ิงของไฮเพอรโ์ บลา เรยี กวา่ แกนตามขวาง (transverse axis)
5. จุดกง่ึ กลางของแกนตามขวางเรยี กว่า จดุ ศนู ย์กลาง (center)
6. ส่วนของเส้นตรงทแ่ี บ่งครึง่ และต้งั ฉากกบั แกนตามขวางท่ีจุดศนู ยก์ ลางของไฮเพอร์โบลา เรียกวา่ แกนสังยุค

(conjugate axis)
7. จดุ B1 และ B2 คอื จุดปลายแกนสงั ยุค ของไฮเพอร์โบลา
8. เส้นตรงท่ีกำกบั โค้งไฮเพอรโ์ บลา คอื เสน้ กำกับ (asymptote)
9. ส่วนของเส้นตรงท่ีตั้งฉากกบั แกนตามขวางที่โฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองอยบู่ นก่ิงเรียกวา่

ลาตัสเรกตมั (latus rectum) ของไฮเพอร์โบลา

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 63

ในการหารูปแบบมาตรฐานของสมการไฮเพอรโ์ บลา ทำไดโ้ ดยกำหนดใหโ้ ฟกสั อย่บู นแกน X ท่ี
F1 (−c,0) และ F2 (c,0) จุดกำเนดิ อยู่ก่ึงกลางระหว่างโฟกัส ดังรปู

Y

P(x, y)

F1 (−c,0) F2 (c,0) X

ถา้ P(x, y) เปน็ จุดใดๆบนไฮเพอร์โบลา แลว้ PF1 − PF2 เป็นจำนวนจรงิ บวกเสมอ สมมตวิ า่ จำนวนจรงิ นัน้
คอื 2a โดยที 2a  2c นั่นคอื

PF1 − PF2 = 2a

( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = 2a

( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = 2a

( x + c)2 + y2 = 2a + ( x − c)2 + y2 ยกกำลงั สองท้งั สองขา้ ง จะได้

( x + c)2 + y2 = 4a2  4a ( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2  4a ( x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2

4cx − 4a2 = 4a ( x − c)2 + y2

cx − a2 = a ( x − c)2 + y2

( ) ( )cx − a2 2 = a2 ( x − c)2 + y2

( )c2x2 − 2ca2x + a4 = a2 x2 − 2cx + c2 + y2

c2x2 + a4 = a2x2 + a2c2 + a2 y2

( )c2 − a2 x2 − a2 y2 = a2c2 − a4
( ) ( )c2 − a2 x2 − a2 y2 = a2 c2 − a2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 64

x2 − y2 = 1………………………………………………………………(1)
a2 c2 − a2

จาก 0  a  c จะไดว้ ่า c2 − a2  0 ให้ b2 = c2 − a2,b  0 จากสมการ (1) สามารถเขยี นใหมเ่ ปน็

x2 − y2 =1
a2 b2

สมการท่ีไดน้ ้คี ือสมการรปู มาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

1. สมการไฮเพอร์โบลาที่มจี ุดศนู ยก์ ลางท่ี (0,0)

รายละเอียดที่สำคัญของไฮเพอร์โบลาที่มแี กนตามขวางในแนวนอน สรุปได้ดงั นี้

y=−b x Y y=bx
a a
B2 (0,b)

กราฟ F1 (−c,0) V1 (−a,0) V2 (a,0) F2 (c,0)

C (0,0) X

B1 (0, −b)

สมการมาตรฐาน x2 − y2 =1 (a  0, b  0)
a2 b2
จุดศนู ย์กลาง
จดุ ยอด C (0,0)

จดุ ปลายแกนสังยคุ V1 (−a,0) , V2 (a,0)
โฟกัส B1 (0,−b) , B2 (0,b)
F1 (−c,0) , F2 (c,0)
แกนตามขวาง
แกนสงั ยคุ อยูบ่ นแกน X ยาว 2a หนว่ ย
สมการเสน้ กำกบั อยูบ่ นแกน Y ยาว 2b หน่วย

ความยาวลาตัสเรกตมั y=bx
a
ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง a,b และ c
2b2

a

c2 = a2 + b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 65

รายละเอยี ดทสี่ ำคัญของไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางในแนวตั้ง สรุปได้ดังน้ี

กราฟ y=−ax Y y=ax
b b
สมการมาตรฐาน F2 (0,c)
จดุ ศนู ย์กลาง B1 ( −b, 0) B2 (b,0) X
V2 (0,a)
จดุ ยอด
จุดปลายแกนสังยุค V1 (0,−a)
F1 (0,−c)
โฟกัส
แกนตามขวาง y2 − x2 =1 (a  0,b  0)
แกนสังยคุ a2 b2
สมการเส้นกำกับ
ความยาวลาตสั เรกตมั C (0,0)
ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง a,b และ c
V1 (0, −a) , V2 (0, a)
B1 (−b,0) , B2 (b,0)
F1 (0, −c) , F2 (0,c)

อยบู่ นแกน Y ยาว 2a หน่วย
อยู่บนแกน X ยาว 2b หน่วย

y=ax
b

2b2

a

c2 = a2 + b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 66

2. สมการไฮเพอรโ์ บลาทม่ี ีจุดศนู ย์กลางท่ี (h,k )

1. ไฮเพอร์โบลาท่ีมีแกนตามขวางในแนวนอน

Y

y − k = − b (x − h) B2 (h,k + b) y − k = b (x − h)
a a

กราฟ

F1 (h − c,k ) V1 (h − a,k ) V2 (h + a,k ) F2 (h + c,k )X 
C (h,k )

B1 (h, k − b)

สมการมาตรฐาน ( x − h)2 ( y − k )2 =1 (a  0,b  0)

สมการรูปทวั่ ไป a2 −
จุดศนู ย์กลาง b2

จุดยอด Ax2 − By2 + Cx + Dy + E = 0, AC  0
จุดปลายแกนสังยคุ
C (h,k )
โฟกัส
แกนตามขวาง V1 (h − a, k ) , V2 (h + a, k )
แกนสังยคุ B1 (h, k − b) , B2 (h, k + b)
สมการเสน้ กำกับ F1 (h − c, k ) , F2 (h + c, k )
อย่บู นแกน X ยาว 2a หน่วย
ความยาวลาตสั เรกตมั อยบู่ นแกน Y ยาว 2b หนว่ ย

ความสัมพันธร์ ะหว่าง a,b และ c y −k =  b (x −h)

a
2b2

a

c2 = a2 + b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 67

2. ไฮเพอร์โบลาท่ีมีแกนตามขวางในแนวแกนต้งั

Y

y −k = − a (x−h) F2 (h,k + c) y −k = a (x−h)
V2 (h,k + a)
b b

กราฟ

B1 (h − b,k ) C (h,k) B2 (h + b,k ) X 

V1 (h,k − a)
F1 (h,k − c)

สมการมาตรฐาน ( y − k )2 (x − h)2 =1 (a  0,b  0)

สมการรปู ท่วั ไป a2 − b2
จุดศูนย์กลาง
Ax2 − By2 + Cx + Dy + E = 0, AC  0
จุดยอด
จุดปลายแกนสังยุค C (0,0)

โฟกสั V1 (h, k − a) , V2 (h, k + a)
แกนตามขวาง B1 (h − b, k ) , B2 (h + b, k )
แกนสังยุค F1 (h, k − c) , F2 (h, k + c)
สมการเสน้ กำกับ
อยู่บนแกน Y ยาว 2a หน่วย
ความยาวลาตัสเรกตมั อยบู่ นแกน X ยาว 2b หน่วย

ความสมั พันธ์ระหว่าง a,b และ c y −k =  a (x −h)

b
2b2

a

c2 = a2 + b2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 68

ตัวอย่างท่ี 40 จากสมการ y2 − x2 =1 จงหาจดุ ศูนยก์ ลาง จุดยอด จดุ ปลายแกนสงั ยคุ โฟกสั

4 25

ความยาวลาตัสเรกตัม และสมการเส้นกำกับของไฮเพอรโ์ บลาพร้อมท้ังเขยี นกราฟ

วิธีทำ จากสมการ y2 − x2 =1

4 25

จะได้ a2 = 4 a = 2 ( )F2 0, 29

b2 = 25  b = 5

และ c = 4 + 25  c = 29 V2 (0, 2)
แกนตามขวางในแนวตั้ง

1. จุดศูนย์กลาง คือ C (0,0) B1 (−5, 0) B1 (5, 0)

2. จุดยอด คือ V1 (0, −2) และ V2 (0, 2) V1 (0, −2)
3. จดุ ปลายแกนสงั ยุค คือ B1 (−5,0) และ B2 (5,0)
( )F1 0,− 29
4. โฟกัส (คือ F1 0,− 29) และ (F2 0, 29)

5. ลาตัสเรกตมั ยาว 2(5)2 = 25 หน่วย

2

6. สมการเส้นกำกบั คือ y =  2 x

5

ตวั อยา่ งท่ี 41 จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ดุ กำเนดิ จดุ ยอดคือ (0,−2),(0,2)

สมการเสน้ กำกบั คือ y =  1 x

3

วธิ ที ำ จาก จดุ ยอดคือ (0, −2),(0,2) จะได้ a = 2

และ เส้นกำกับ คอื y =  1 x จะได้ 2 = 1 b = 6

3 b3

แกนตามขวางในแนวตั้ง

จะได้ y2 − x2 = 1

4 36
36 y2 − 4x2 = 144

36 y2 − 4x2 −144 = 1

ดงั น้นั สมการรูปมาตรฐาน คือ y2 − x2 = 1

4 36

สมการรปู ทั่วไป คือ 36y2 − 4x2 −144 = 1

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 69

ตวั อย่างที่ 42 จากสมการ 25y2 − 4x2 −100y + 24x − 36 = 0 จงหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จุดยอด จดุ ปลายแกนสงั ยุค
โฟกัส ความยาวลาตสั เรกตัม และสมการเสน้ กำกับของไฮเพอรโ์ บลาพร้อมทงั้ เขียนกราฟ

วิธที ำ จากสมการ 25y2 − 4x2 −100y + 24x − 36 = 0

( ) ( )จะได้ 25y2 −100y − 4x2 − 24x = 36

( ) ( )25 y2 − 4y − 4 x2 − 6x = 36

( ) ( )25 y2 − 2(2) y + (2)2 − 4 x2 − 2(3) x + (3)2 = 36 + 25(2)2 − 4(3)2

25( y − 2)2 − 4( x − 3)2 = 100

25( y − 2)2 − 4( x − 3)2 = 100

100 100 100

( y − 2)2 ( x + 3)2

− =1
4 25

จะได้ a2 = 4  a = 2, b2 = 25  b = 5 และ c = 4 + 25  c = 29

แกนตามขวางในแนวตงั้

1. จุดศูนย์กลาง คอื C (−3,2)

2. จดุ ยอด คือ V1 (−3, 2 − 2) = V1 (−3,0) และ V2 (−3, 2 + 2) = V2 (−3, 4)
3. จุดปลายแกนสงั ยคุ คือ B1 (−3 − 5, 2) = B1 (−8, 2) และ B2 (−3 + 5, 2) = B2 (2, 2)

( ) ( )4. โฟกสั คือ F1 −3,2 − 29 และ F2 −3,2 + 29

5. ลาตัสเรกตัม ยาว 2(5)2 = 25 หนว่ ย Y

2

6. สมการเสน้ กำกบั คือ y − 2 =  2 (x + 3)

5

Y

( )F2 −3, 2 + 29

B1 (−8,2) V2 (−3,4) B2 (2,2)X 
C (−3,2)
X

( )F1 −3,2 − 29

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 70

แบบฝึกหดั 2.4

1. จงพิจารณากราฟที่กำหนดให้ แล้วเตมิ คำตอบลงในชอ่ งว่าง

1.1 Y สมการรปู มาตรฐาน
สมการรปู ท่วั ไป
B1 (−4, 0) V2 (0,3)
a
X
B2 (4, 0) b

V1 (0, −3) c
จุดศนู ยก์ ลาง
1.2
จุดยอด
Y Y จุดปลายแกนสงั ยคุ

V1 (−2, −2) B2 (1, 2) โฟกัส
ความยาวแกนตามขวาง
X ความยาวแกนสังยุค
ความยาวลาตสั เรกตมั
X
สมการเส้นกำกบั
V2 (4, −2)
สมการรูปมาตรฐาน
B1 (1, −6) สมการรูปทั่วไป

a

b

c
จุดศูนย์กลาง

จุดยอด
จดุ ปลายแกนสังยุค

โฟกสั
ความยาวแกนตามขวาง
ความยาวแกนสงั ยุค
ความยาวลาตสั เรกตัม

สมการเส้นกำกบั

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 71

2. จากสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจุดศูนย์กลาง จดุ ยอด จุดปลายแกนสงั ยุค โฟกัส ความยาวลาตัสเรกตมั
และสมการเสน้ กำกับพร้อมท้ังเขยี นกราฟ

2.1 ) x2 − y2 = 1

46

2.2 ) −16y2 + 25x2 + 400 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 72

2.3 ) 4x2 − 25y2 −100 = 0

4

2.4 ) 9y2 −16x2 −18y − 64x −199 = 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 73

3. จงหาสมการรปู แบบมาตรฐานและรูปแบบทั่วไปของไฮเพอรโ์ บลาท่ีสอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขต่อไปนี้

3.1) จุดศนู ย์กลางอยู่ทีจ่ ดุ (0,0) จุดยอดคือ 3.2) จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู จ่ี ุด (0,0) แกนตามขวางยาว 6

(−4,0),(4,0) และโฟกัสคือ (−5,0),(5,0) หน่วย แกนสังยุคยาว 4 หน่วย โฟกัสอยูบ่ นแกน X

3.3) จดุ ปลายแกนสังยุคคือ (−1,1),(3,1) และจดุ ยอด 3.4) โฟกสั คือ (−3,0),(3,0) และไฮเพอร์โบลาผา่ น

คือ (1, −2),(1, 4) จุด (4,1)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 74

3.5) จดุ ศูนย์กลางอย่ทู ่ีจดุ (0,0) โฟกสั อยู่บนแกน X 3.6) จุดศนู ยก์ ลาง คือ (1,−5) แกนตามขวางขนาน
สมการเสน้ กำกับ คือ y = x และ ไฮเพอร์โบลาผ่าน แกน Y ยาว 10 หน่วย และแกนสังยคุ ยาว 6 หน่วย
จุด (5,3)

3.7) จุดศนู ย์กลางอยู่ท่ีจดุ (0,0) ลาตัสเรกตมั ยาว 3.8 ) โฟกัสคือ (−1,2 + ) (5 , −1,2 − 5)
8 หน่วย โฟกสั อยบู่ นแกน Y และแกนตามขวางยาว
4 หนว่ ย และแกนตามขวางยาว 2 หนว่ ย

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 75

2.5 การเลือ่ นแกนทางขนาน (Translation of Axis)

จงพจิ ารณาจดุ P1, P2 และ P3 แลว้ ตอบคำถามตอไปนี้

Y

P2 X
P1

P3

1. พิกัดของ P1 คอื ......................... ง่ายมากๆ
P2 คอื .........................
P3 คอื .........................

2. จาก P1 เลื่อนไปยัง P2 ตามแนวแกน X ทางขวา...............หน่วย
ตามแนวแกน Y ดา้ นบน................หนว่ ย

3. จาก P1 เลื่อนไปยัง P3 ตามแนวแกน X ทางซ้าย...............หน่วย
ตามแนวแกน Y ดา้ นล่าง...............หนว่ ย

4. ถ้าพกิ ัดของ P คอื ( x, y) เมื่อเล่ือน P ตามแนวแกน X ทางขวา h หน่วย และเลอ่ื นขนึ้ บนแกน Y k หนว่ ย

จะได้ พกิ ัดใหม่คอื .................................................................................................................................................

5. ถา้ พิกดั ของ P คอื ( x, y) เม่ือเลื่อน P ตามแนวแกน X ทางซ้าย h หนว่ ย และเล่อื นลงแกน Y k หน่วย

จะได้ พกิ ัดใหม่คอื .................................................................................................................................................

การเล่อื นแกนทางขนาน หมายถึง การเปลี่ยนแปลงแกนพิกัดเดมิ อย่างน้อยหนงึ่ แกน (แกน X หรอื แกน Y )
โดยใหแ้ กนพิกดั ใหม่ขนานกับแกนพิกดั เดมิ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 76

การเลือ่ นแกนทางขนานเป็นพื้นฐานสำคัญทจี่ ะชว่ ยในการศึกษาเกย่ี วกับภาคตดั กรวยไดส้ ะดวกยิ่งขึน้ ในระบบ
แกนพิกดั ฉาก เราใช้แกน X และ Y สำหรบั อ้างองิ พิกัดหรอื ตำแหน่งของจุดในระนาบ

จดุ P(x, y) เปน็ จดุ ทอ่ี ยู่ห่างจากแกน Y ไปทางขวามอื เปน็ ระยะ x หนว่ ย และอยหู่ ่างจากแกน X ซ่ึงอยู่
เหนอื แกน X เปน็ ระยะ y หน่วย ดังรปู

Y

x P ( x, y)

y

X
O

เมอื่ เล่ือนแกน จุด P(x, y) ยังคงท่ี แต่พิกดั ของจุด P จะเปลย่ี นไปเม่ือเทยี บกับแกนพิกัดใหม่ ดงั รูป

Y Y

x P ( x, y)

x y y

(h, k ) X
X
O k

O
h

จากรูป แกนพกิ ดั ใหม่ X  และ Y  ขนานกบั แกนพิกัดเดิม X และ Y ตามลำดบั พิกดั ของจุดกำเนิดใหม่เม่อื

เทียบกับแกนพิกดั เดิมคือจดุ O(h,k ) นั่นคอื แกนพิกัดใหม่เกิดจากการเลื่อนแกนตามแนวนอน h หน่วย และตาม

แนวตง้ั k หนว่ ย

ให้ ( x, y)เป็นพิกดั ของจดุ P เมื่อเทยี บกบั แกนพิกัดเดมิ

( x, y) เปน็ พิกัดของจุด P เม่อื เทยี บกบั แกนพกิ ัดใหม่ และ h,k เปน็ จำนวนจริง

ดงั น้ัน จะได้ x = x + h หรอื x = x − h

y = y + k y = y − k

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 77

ตวั อย่างท่ี 44 ถ้าเลอื่ นแกนไปโดยใชจ้ ุด (3, −5) เป็นจุดกำเนดิ ใหม่ ซง่ึ A(1,−3), B(2,−4),C (−3,1)
และ D(−2,−6)เป็นพิกัดของจดุ เม่ือเทียบกบั แกนพิกัดเดิม จงหาพกิ ัดของจุดเหลา่ นี้เมอ่ื เทยี บกบั แกนพิกัดใหม่

วธิ ที ำ ให้ ( x, y) เป็นพกิ ัดของจุดเมอ่ื เทยี บกบั แกนพกิ ัดเดิม
และ ( x, y) เปน็ พกิ ัดของจดุ เมื่อเทียบกับแกนพิกดั ใหม่
ในทนี่ ้ี (h, k ) = (3, −5) น่นั คอื h = 3 และ k = −5
จาก x = x − h และ y = y − k
จะได้ x = x − 3 และ y = y + 5

1) A(1, −3) ซง่ึ x =1, y = −3
จะได้ x =1− 3 = −2 และ y = −3+ 5 = 2
ดังนัน้ พกิ ัดของ A(1,−3) เมือ่ เทียบกบั แกนพกิ ัดใหม่ คอื (−2,2)

2) B (2, −4) ซง่ึ x = 2, y = −4
จะได้ x = 2 −3 = −1 และ y = −4 + 5 =1
ดงั นั้น พิกัดของ B(2,−4) เม่ือเทียบกบั แกนพิกัดใหม่ คือ (−1,1)

3) C (−3,1) ซง่ึ x = −3, y =1
จะได้ x = −3−3 = −6 และ y =1+ 5 = 6
ดังน้นั พิกดั ของ C (−3,1) เม่ือเทยี บกบั แกนพิกัดใหม่ คอื (−6,6)

4) D (−2, −6) ซง่ึ x = −2, y = −6
จะได้ x = −2 −3 = −5 และ y = −6 + 5 = −1
ดังนน้ั พกิ ัดของ D (−2, −6)เมอื่ เทยี บกบั แกนพิกัดใหม่ คือ (−5, −1)

ตัวอยา่ งท่ี 45 ถ้าเลื่อนแกนไปโดยใชจ้ ุด (2, −3)เปน็ จดุ กำเนิดใหม่ ซงึ่ P(−1,2),Q(4,−2), R(1, −4)
และ S (−2,7) เปน็ พกิ ัดของจดุ เมื่อเทยี บกบั แกนพกิ ัดใหม่ จงหาพิกดั ของจดุ เหล่าน้ีเม่อื เทยี บกับแกนพิกัดเดิม

วิธีทำ ให้ ( x, y) เปน็ พกิ ัดของจดุ เมื่อเทยี บกบั แกนพิกัดเดิม
และ ( x, y) เปน็ พกิ ดั ของจดุ เม่ือเทียบกบั แกนพิกัดใหม่
ในที่น้ี (h, k ) = (2, −3) นั่นคอื h = 2 และ k = −3
จาก x = x + h และ y = y + k
จะได้ x = x + 2 และ y = y − 3

1) P (−1, 2) ซง่ึ x = −1 และ y = 2
จะได้ x = −1+ 2 =1 และ y = 2 − 3 = −1
ดงั นนั้ พกิ ดั ของ P (−1, 2)เมอื่ เทียบกับแกนพิกัดเดิม คือ (1,−1)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 78

2) Q (4, −2) ซง่ึ x = 4 และ y = −2
จะได้ x = 4 + 2 = 6 และ y = −2 − 3 = −5
ดงั นน้ั พกิ ดั ของ Q(4,−2) เม่ือเทียบกบั แกนพิกดั เดิม คือ (6, −5)

3) R (1, −4) ซง่ึ x =1 และ y = −4
จะได้ x =1+ 2 = 3 และ y = −4 − 3 = −7
ดงั นั้น พิกัดของ R(1,−4) เมอ่ื เทยี บกบั แกนพิกดั เดิม คือ (3, −7)

4) S (−2,7) ซง่ึ x = −2 และ y = 7
จะได้ x = −2 + 2 = 0 และ y = 7 − 3 = −4
ดงั นัน้ พกิ ดั ของ S (−2,7) เม่อื เทยี บกบั แกนพิกัดเดมิ คือ (0,−4)

การเลอื่ นแกนทางขนานกับการเขียนกราฟ
การเขียนกราฟโดยการเลอื่ นแกนทางขนานไปท่จี ุด (h,k ) ทีเ่ หมาะสม จะเขยี นง่ายกวา่ การเขยี นกราฟในระบบ
พิกดั ฉากท่ีมจี ุดกำเนดิ ท่ีจดุ (0,0) โดยเปลยี่ นพกิ ัดจดุ P(x, y) ใดๆในระบบเดิม เปน็ P(x, y) ในระบบใหม่ โดยที่
x = x − h และ y = y − k จะทำใหส้ มการเทยี บกับแกนใหม่มีรปู ซ่งึ สะดวกต่อการเขียนกราฟ

ไมเ่ ข้าใจถามได้เลยนะคะ

ตวั อยา่ งท่ี 46 ถา้ เลื่อนแกนไปทจ่ี ดุ (−5,2) กราฟของสมการ y = x + 5 + 2 จะมสี มการเทียบกบั แกนพิกัดใหม่ ซงึ่ ใช้
พิกัด ( x, y) แทนพิกัด ( x, y) อยา่ งไร

วธิ ที ำ จากสมการ y = x + 5 + 2
จัดใหเ้ ปน็ y − 2 = x + 5 และเมอ่ื เลือ่ นแกนไปท่ีจุด (−5, 2)
ดงั นั้น จะได้สมการเทียบกบั แกนใหม่ คือ y = x ดังน้ี

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 79

ตวั อยา่ งที่ 47 ถ้าเลอ่ื นแกนไปทจ่ี ดุ (−4,3) กราฟของสมการ y = (x − 4)2 + 3 จะมีสมการเทยี บกบั แกนพกิ ัดใหม่
ซง่ึ ใชพ้ กิ ัด ( x, y) แทนพิกัด ( x, y) อย่างไร

วธิ ีทำ จากสมการ y = ( x − 4)2 + 3

จดั ให้เป็น y − 3 = (x + 4)2 และเม่อื เลอ่ื นแกนไปทีจ่ ุด (−4,3)
ดังน้ัน จะได้สมการเทียบกบั แกนใหม่ คือ y = (x) ดงั นี้

ตวั อยา่ งท่ี 48 จงเขียนวงรีทเ่ี ป็นกราฟของสมการ (x −1)2 + ( y + 2)2 =1
4 9

วิธที ำ จากสมการจะได้วงรีมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี (1,−2) ซึ่งเกิดจากการเล่ือนวงรที ี่เปน็ กราฟของ

สมการ x2 + y2 =1 ท่ีมจี ุดศูนย์กลางท่ีจดุ กำเนดิ ไปทางขวา 1 หนว่ ย และลงล่าง 2 หนว่ ย จดุ ปลายของแกนเอกและ

49

แกนโทของวงรี x2 + y2 =1 คอื (0,3),(0, −3) และ (2,0),(−2,0) ตามลำดับ

49

ถ้าเลือ่ นจุดเหลา่ นี้ไปทางขวา 1 หนว่ ย และลงลา่ ง 2 หนว่ ย จะได้จดุ ปลายของแกนเอกและแกนโทของวงรีท่ีเปน็

กราฟของสมการ (x −1)2 + ( y + 2)2 =1 ดังน้ี
4 9

(0,3) เลือ่ นไปยงั จดุ (0 +1,3− 2) = (1,1)

(0, −3) เลอ่ื นไปยังจดุ (0 +1, −3− 2) = (1, −5)

(2,0) เล่อื นไปยังจดุ (2 +1,0 − 2) = (3, −2)

(−2,0) เล่ือนไปยังจดุ −2 +1,0 − 2) = (−1,−2)

นำจุดเหล่าน้เี ป็นข้อมลู เขียนวงรที งั้ สองไดด้ งั นี้

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 80

แบบฝึกหดั 2.5

คำชี้แจง จงหาคำตอบพร้อมทัง้ แสดงวิธีทำ
1. ถา้ เล่ือนแกนไปโดยใชจ้ ุด (−5,3) เป็นจดุ กำเนิดใหม่ ซ่งึ A(2, −7), B(−5,3),C (1,1) และ D (2, −5) เป็น

พิกัดของจดุ เมอื่ เทยี บกับแกนพิกัดเดิม จงหาพิกดั ของจุดเหลา่ นี้เมอ่ื เทยี บกับแกนพิกดั ใหม่
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถา้ เลอ่ื นแกนไปโดยใช้จดุ (5, −2) เปน็ จดุ กำเนิดใหม่ ซ่ึง P(−6,2),Q(2, −8), R(−3,1) และ S (−11, 4)
เปน็ พกิ ัดเมอ่ื เทียบกบั แกนพิกัดใหม่ จงหาพิกดั ของจดุ เหลา่ นเี้ ม่อื เทียบกบั แกนพิกัดเดิม
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 81

3. ถา้ เลื่อนแกนไปทจ่ี ดุ (3, −4) กราฟของสมการ y = x − 3 − 4 จะมสี มการเทียบกบั แกนพกิ ัดใหม่ ซ่งึ ใช้พิกัด
( x, y) แทนพิกัด ( x, y) อยา่ งไร
.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

4. ถ้าเลือ่ นแกนไปทจี่ ดุ (−2,3) กราฟของสมการ y = (x + 2)2 − 3 จะมีสมการเทียบกับแกนพกิ ัดใหม่ ซ่ึงใช้
พิกัด ( x, y) แทนพกิ ัด ( x, y) อย่างไร
.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

5. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้บนระนาบเดยี วกนั 6. จงเขยี นกราฟของสมการต่อไปนบี้ นระนาบเดยี วกนั

5.1) y = −x2 5.2) y = −( x +1)2 + 2 6.1) x = − y 6.2) x = − y −1 − 2

5.3) y = ( x +1)2 + 2 6.3) x = y −1 − 2

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 82

เวกเตอรใ์ นสามมิติ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 83

เวกเตอรใ์ นสามมิติ

1. ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

กำหนดเสน้ ตรง XX ,YY และ ZZ เปน็ เสน้ ตรงที่ผ่านจดุ O และต้ังฉากซึ่งกนั และกัน โดยการกำหนดทิศทาง
ของเส้นตรงทง้ั สามนัน้ เปน็ ไปได้ 2 ระบบ คือระบบมือขวาหรือระบบมือซา้ ย ดังรูปที่ 1(ก) และ 1(ข) ตามลำดบั

(ก) (ข)

ถา้ ให้เส้นตรงทงั้ สามเปน็ เส้นจำนวน จะเรียก เส้นตรง XX, YY และ ZZ วา่
แกนพกิ ัด X แกนพกิ ดั Y และแกนพกิ ัด Z หรือเรยี กส้นั ๆ ว่า แกน X แกน Y
และแกน Z ตามลำดับ และเรียกจุด O ซงึ่ เป็นจุดตัดของแกน X แกน Y และ
แกน Z ว่า จุดกำเนิด
โดยท่วั ไปเม่อื เขียนรูปแกนพิกัดในสามมิติ นยิ มเขยี นเฉพาะ แกน X แกน Y และแกน Z ที่เนน้ เฉพาะทางจำนวนจรงิ
บวกซ่งึ มหี วั ลูกศรกำกับ โดยละทางด้านจำนวนจรงิ ลบไว้ในฐานทเ่ี ขา้ ใจ

(ก) (ข)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 84

แกน X แกน Y และแกน Z จะกำหนดระนาบข้นึ 3 ระนาบ เรยี กวา่ ระนาบอา้ งองิ เรยี กระนาบที่กำหนดด้วย แกน X
และแกน Y วา่ ระนาบอา้ งอิง XY แกน Y และแกน Z ว่า ระนาบอ้างอิง YZ และแกน X และแกน Z ว่า ระนาบอา้ งอิง
XZ หรอื เรยี กสั้นๆ ว่า ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ตามลำดับ

ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทั้งสามระนาบดังกล่าว จะแบ่งปริภมู สิ ามมิติออกเปน็ 8 บริเวณ คอื เหนือ
ระนาบ XY จำนวน 4 จำนวน และใต้ระนาบ XY จำนวน 4 บรเิ วณ เรยี กแตล่ ะบรเิ วณวา่ อัฐภาค

(ก) (ข)
เมอื่ กำหนดจุด P เปน็ จดุ ใดๆ ในปริภูมสิ ามมิติ จะระบุตำแหน่งของจุด P หรอื พกิ ดั ของจุด P โดยใช้จำนวนสาม
จำนวนเรียงกนั ตามลำดบั หรือสามสิง่ อนั ดับ ในรูป (x, y, z)

เรยี ก (x, y, z) วา่ พิกัดของจุด P และบางครั้งจะเขยี นจดุ และพิกัดกำกบั ไว้
ด้วยกันเปน็ P(x, y, z)

ตวั อยา่ ง จากรปู จงหาพิกัดของจุด B, C, D, E, F และ G เมอื่ กำหนด A(2, 4, 3)
จากรปู
จดุ B มีพกิ ัดเปน็ …………………………
จดุ C มพี กิ ัดเป็น …………………………
จดุ D มีพิกัดเปน็ …………………………
จุด E มพี ิกัดเป็น …………………………
จุด F มีพกิ ดั เปน็ …………………………
จุด G มพี ิกดั เปน็ …………………………

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 85

ตวั อยา่ ง จงเขยี นจุด P(2, 2, –1) , Q(1, –3, 2) , R(–1, 3, 3) ลงในระบบพิกดั ฉากสามมิติ

▪ ระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ ในปริภมู สิ ามมิติ

ถ้าเราลากเสน้ ผ่านจดุ P(x, y, z) ให้ขนานกบั แกน Z ไปตดั ระนาบ XY จะได้
จุดตัดมีพิกัด Q(x, y, 0) เรยี กจุดนวี้ า่ เปน็ ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XY
ในทำนองเดียวกนั จะเรยี กจุด R(0, y, z) วา่ เปน็ ภาพฉายของจุด P บนระนาบ
YZ และเรยี กจุด S(x, 0, z) ว่าเปน็ ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XZ

ทฤษฎบี ท ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1z1) และ Q(x2, y2z2) หรอื PQ มีค่าเท่ากับ
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 หน่วย
ตวั อยา่ ง จงหาภาพฉายของจดุ P(2, 2, 3) บนระนาบ XY ระนาบ
YZ และระนาบ XZ จากรปู
ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XY คือ …………………
ภาพฉายของจดุ P บนระนาบ YZ คอื …………………
ภาพฉายของจุด P บนระนาบ XZ คือ …………………

ตวั อยา่ ง จงหาระยะทางระหว่างจุด A(1,0,3) และ B(−1,3,2)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 86

1. แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.1

จากรปู จงหาพิกัดของจดุ มุมที่เหลอื ของทรงส่เี หลยี่ มมมุ ฉาก ซง่ึ มหี น้าทั้งหก
ขนานกบั ระนาบอ้างอิง

2. จากรูป จงหาพิกดั ซ่งึ เปน็ ภาพฉายของจุด C(3,3,1) บนแกนและระนาบที่
กำหนดให้ต่อไปนี้
1.) บนแกน X ………………………. 2.) บนแกน Y ……………………….
3.) บนแกน Z ………………………. 4.) บนแกน XY ……………………
5.) บนแกน YZ ………………………. 6.) บนแกน XZ ………………………

3. จงหารปู ทัว่ ไปของพิกดั ของจุดทอ่ี ยบู่ นแกน หรือระนาบที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้
1.) จดุ บนแกน X ………………………………………… 2.) จุดบนแกน Y ……………………………………………
3.) จดุ บนแกน Z ………………………………………… 4.) จุดบนแกน XY ……………………………………………
5.) จุดบนแกน YZ …………………………………………6.) จุดบนแกน XZ ……………………………………………

4. จงกำหนดระบบพกิ ัดฉากสามมิติ โดยใชร้ ะบบมือขวาและเขยี นจุดในระบบพกิ ัดฉากสามมิตทิ ี่มีพิกัดต่อไปน้ี
A(1,1,1), B(1,−1,2), C(3,2, −1) และ D(−1,−1,−2)

5. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ P(1,−2,7) และ Q(−2,−1,0)

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 87

6. จงพจิ ารณาวา่ รปู สามเหลยี่ มทมี่ จี ดุ ยอดท่ี A(1,2,1), B(−3,7,9) และ C(11,4,2) เปน็ รปู สามเหลีย่ ม
ชนดิ ใด

2. เวกเตอร์

บทนยิ าม
ปรมิ าณท่ีมแี ตข่ นาดเพียงอย่างเดียว เรยี กว่า ปรมิ าณสเกลาร์ ส่วนปริมาณทม่ี ที ัง้ ขนาดและทิศทาง เรียกวา่ ปริมาณ
เวกเตอร์ หรือเรียกสัน้ ๆ วา่ เวกเตอร์

ปริมาณสเกลาร์ แทนด้วยจำนวนจรงิ ส่วนปริมาณเวกเตอร์ ในเชิงเรขาคณติ แทนได้ด้วยส่วนของเสน้ ตรงทีร่ ะบทุ ิศทาง
โดยท่คี วามยาวของส่วนของเสน้ ตรงบอกขนาดของเวกเตอร์ และหวั ลูกศรบอกทิศทางของเวกเตอร์

จากรปู เราเรยี ก จดุ A ว่า จุดเริม่ ต้นของเวกเตอร์ และ จดุ B ว่า

B จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

A ในบางคร้งั เรานิยมใช้ u , v หรือ w เป็นสญั ลกั ษณ์แทนเวกเตอร์
เช่น ให้ u = AB เป็นตน้

บทนยิ าม

u และ v ขนานกนั ก็ต่อเมอื่ เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกันหรือทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม
u เทา่ กบั v ก็ต่อเมอ่ื เวกเตอร์ท้ังสอง มีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน เขยี นแทนดว้ ย u = v
นเิ สธของ u คือ เวกเตอรท์ ่ีมีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ u แต่มีทิศทางตรงกนั ข้ามกับทิศทางของ u เขียนแทนด้วย

−u

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 88

ตัวอยา่ ง ถ้ากำหนดทศิ ทางเป็นองศา ด้วยการบอกคา่ ของมุมที่วดั จากทิศเหนือไปตามเข็มนาฬิกาซงึ่ มีคา่ อยูร่ ะหวา่ ง 0 ถงึ

360 องศา โดยใชร้ ะบบตัวเลขสามตัวในการระบุทิศ จงเขียนส่วนของเส้นตรงที่มที ศิ ทางแทนปรมิ าณเวกเตอรต์ ่อไปนี้

(1) 120 เมตร ไปทางทิศเหนือ (2) 30 เมตร ไปทางทศิ 060

(3) 80 เมตร ไปทางทศิ 300 (4) 10 เมตร ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.2

1. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน จากรปู จงหาเวกเตอร์ทเ่ี ทา่ กบั เวกเตอรท์ ี่กำหนดให้ตอ่ ไปน้ี

D C (1) AB …………………………………
(2) AE …………………………………

E (3) −BC …………………………………

A B (4) BC …………………………………
(5) ED …………………………………

(6) −AE ………………………………….
2. กำหนดให้ ABCDEFGH เป็นทรงสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉาก จงหา

(1) เวกเตอร์ทขี่ นานกนั 3 คู่
E B ……………………………………………………

D C (2) เวกเตอร์ทเี่ ทา่ กนั 3 คู่
H G ……………………………………………………

AB (3) เวกเตอร์ที่เปน็ นิเสธซงึ่ กันและกนั
……………………………………………………

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 89

3. นกตัวหนึง่ บินหาอาหารโดยเร่ิมบินไปทางทศิ ตะวนั ตกเฉียงเหนือเป็นระยะทาง 2 กิโลเมตร แล้วบนิ ตรงไปทางทิศ
ตะวันออกเฉยี งเหนือเปน็ ระยะทาง 2 กโิ ลเมตร อยากทราบวา่ นกตวั นอ้ี ยูห่ า่ งจากจดุ เริ่มต้นเปน็ ระยะทางเทา่ ใด และอยู่
ในทศิ ใดของจดุ เริ่มตน้

4. ชายคนหนง่ึ เดนิ ไปทางทิศตะวันออกเฉยี งเหนือเปน็ ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร จากน้ันเดนิ ไปทางทศิ 315 เป็น
ระยะทางอีก 3 กโิ ลเมตร ชายคนนีอ้ ยู่ห่างจากจุดเร่มิ ต้นกี่กโิ ลเมตร และอยู่ในทศิ ทางใดของจดุ เร่ิมตน้

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 90

3. การบวกและการลบเวกเตอร์

➢ การบวกเวกเตอร์

บทนิยาม

ให้ u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ เล่ือน v ให้จดุ เริ่มตน้ ของ v อยทู่ ี่จดุ สิน้ สดุ ของ u
ผลบวกของ u และ v เขียนแทนดว้ ย u + v คือ เวกเตอร์ทีม่ ีจดุ เริม่ ต้นของ u และจุดสน้ิ สุดของ v

นอกจากวิธขี ้างต้น อาจหาผลบวกของ u และ v โดยใชว้ ธิ ีการทีเ่ รียกว่า “กฎของรปู สเ่ี หล่ยี มด้านขนาน”

ข้อสงั เกต ถา้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ใดๆ แลว้ u + v = v + u

บทนิยาม เวกเตอร์ศนู ย์ คือ เวกเตอรท์ ่ีมีขนาดเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0

➢ การลบเวกเตอร์
บทนิยาม ให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ

ผลลบของ u ดว้ ย v หมายถงึ ผลบวกของ u และนเิ สธของ v เขียนแทนด้วย u − v
นัน่ คอื u − v = u + (−v)

ตัวอย่าง C กำหนดรปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD ให้ AB = a, AD = d

D จงเขยี น BC, CD, CA และ BD ในรูปของ a และ d
E
(1) BC …………………………………
AB (2) CD …………………………………
(3) CA …………………………………
(4) BD …………………………………

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 91

ตวั อย่าง E D จากรูป จงหา AC, AD และ BE ในรปู ของ u , v และ w

FC (1) AC …………………………………
AB (2) AD …………………………………
(3) BE …………………………………

แบบฝึกทักษะท่ี 3.3
1. จากรูป จงเขยี นเวกเตอรต์ ่อไปนี้ในรปู ของ a , b , c , d , e และ f

B C (1) AB = ………………… (2) CA = …………………
A
D (3) BD = ………………… (4) DB = …………………
E (5) AF = ………………… (6) FA = …………………

F (7) AE = ………………… (8) EA = …………………

2. PQRS เป็นรูปส่เี หลยี่ มรปู วา่ ว มเี ส้นทแยงมุมตดั กันทจ่ี ุด O
Q จงหา

(1) PQ + (QS +SP)

P OR (2) (OR − QS) + RO

S (3) (PQ + QR) −SR

3. กำหนด ABCDEFGH เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก จงหา

G F (1) BC + DE + FA

B C (2) DC − GF − AB
H E

AD (3) เวกเตอร์ทบ่ี วกกนั แลว้ ได้ 0

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 92

4. การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

บทนิยาม ให้ a เปน็ สเกลาร์ และ u เป็นเวกเตอร์
ผลคูณของเวกเตอร์ u ด้วยสเกลาร์ a เขยี นแทนด้วย au โดยที่

ถา้ a = 0 แล้ว au = 0
ถา้ a  0 แล้ว au มขี นาดเทา่ กับ | a || u | และมีทิศทางเดยี วกับ u
ถ้า a  0 แลว้ au มีขนาดเท่ากับ | a || u | และมีทิศทางเดยี วกับ u

ตัวอยา่ ง ให้ u เปน็ เวกเตอรท์ ม่ี ขี นาด 4 หน่วย และมที ศิ ทาง 060 จงบรรยายลกั ษณะของเวกเตอร์
ตอ่ ไปนี้

(1) 4u …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
(2) − 2u …………………………………………………………………………………
(3) 14 u
(4) − 12 u …………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ ง จากรูป ABCDE เปน็ พีระมดิ ตรงฐานสี่เหลี่ยมจตั รุ ัส
ถา้ กำหนด AB = a, AE = b และ CE = c แลว้ จงเขยี นเวกเตอร์
E ทีก่ ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ใี นรปู ของ a , b และ c
(1) BC
DC
AFB (2) EF

ทฤษฎบี ทบางทฤษฎใี นเรขาคณติ อาจพิสจู น์โดยใชเ้ วกเตอร์ ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 93

ตัวอย่าง จงแสดงว่าสว่ นของเสน้ ตรงทตี่ อ่ จากจุดก่ึงกลางของด้านสองดา้ นของรปู สามเหลีย่ มใดๆ ย่อมยาว
เปน็ คร่ึงหนึง่ ของดา้ นท่สี าม และขนานกับดา้ นท่สี าม

ตัวอย่าง จงแสดงวา่ ผลรวมของเวกเตอรท์ เ่ี ป็นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมใดๆ มคี ่าเป็นศูนย์ เม่ือจดุ ยอดของ
รูปสามเหลี่ยมเปน็ จุดเรม่ิ ต้นของเวกเตอร์ทเ่ี ปน็ มัธยฐาน

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 94

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.4

1. จากรูปส่เี หลยี่ มด้านขนาน ABCD

DC จงพจิ ารณาวา่ ข้อความต่อไปนขี้ ้อใดเปน็ จริง
E
(1) v = w (2) DB = u + v

(3) 2s − u = v (4) 2AE = u + v

AB (5) AE = w + s (6) AE = u − w
2 2

2. กำหนด ABCDEFGH เป็นทรงสเ่ี หลย่ี มด้านขนานดงั รปู

GZ F มี X , Y เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน AD และ CF ตามลำดับ และ GZ = 1 GF
3

B CY ถ้า AB = a, AD = b และ AH = c
H E
จงเขยี นเวกเตอรท์ ่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ในรูปของ a , b และ c

AX D (1) AX (2) AZ

(3) EY (4) XZ

3. จากรูป ถ้า P เปน็ จุดกึง่ กลางของด้าน AB จงแสดงว่า OP = 1 (OA + OB)
2

A

P

OB

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 95

4. กำหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน ให้ w = (a + 4b)u + (2a + b +1)v และ
s = (b − 2a + 2)u + (2a − 3b −1)v ถา้ 3w = 2s จงหาค่าของ a และ b

5. A , B และ C เปน็ จดุ ซงึ่ อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั C แบง่ AB ตามอัตราสว่ น AC : CB = m : n ให้ O เป็นจุด ๆ

หนึ่งซ่งึ ไม่อยู่บน AB และ OA = v , OB = u จงแสดงวา่ OC = m 1 n (nv + mu )
+

6. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ยี มจัตุรสั และ M , N เป็นจดุ ก่งึ กลางของด้าน BC และ CD ตามลำดบั ให้

AM = u, AN =v จงแสดงว่า AB = 4 u − 2 v
3 3

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 96

5. เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

➢ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ

ในกรณีทัว่ ไป เมอ่ื a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราจะเขยี น ab แทนเวกเตอร์ซง่ึ เป็นผลบวกของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ โดยที่
เวกเตอร์แรกมขี นาด | a | หนว่ ย ถ้า a  0 เวกเตอร์นี้จะมีทิศทางขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย

ถา้ a  0 เวกเตอรน์ ี้จะมีทิศทางขนานกบั แกน X ไปทางขวา

เวกเตอรท์ ่สี องมีขนาด | b | หนว่ ย ถา้ b  0 เวกเตอรน์ ้จี ะมีทศิ ทางขนานกับแกน Y ไปขา้ งล่าง

ถา้ b  0 เวกเตอร์นจ้ี ะมีทิศทางขนานกับแกน Y ไปขา้ งบน

ตวั อยา่ ง จงเขยี นรูปแสดงเวกเตอร์  23 โดยท่ีจุดเริม่ ต้นที่ O(0, 0) , A(2, 3) และ B(–5, 1) พรอ้ มท้ังหาจุดส้นิ สดุ ของ
−

เวกเตอรด์ ว้ ย Y

OX

จะสังเกตเห็นว่า

ในเชงิ เรขาคณติ เวกเตอร์ ab เป็นเวกเตอร์ที่มีจดุ เร่ิมต้นที่ (x, y) และมีจดุ ส้นิ สดุ ท่ี (x + a, y + b)

ในกรณีทัว่ ไป

ถา้ AB มจี ดุ เร่มิ ต้นท่ี A(x1 , y1 ) และจุดสน้ิ สดุ ท่ี B(x 2 ,y2 ) จะเขียนแทน AB ดว้ ย xy 2 − xy11 
2 − 

และ ถ้า x2 − x1 = a และ y2 − y1 = b จะเขียนแทน AB ด้วย ab

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 97

➢ เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ

บทนิยาม

x
กำหนดให้ x, y, z เปน็ จำนวนจริง เรียก y ว่า เวกเตอร์ในปรภิ มู ิสามมติ ิ หรือ เวกเตอรใ์ นสามมิติ หรอื เรียก

 z 

สัน้ ๆ วา่ เวกเตอร์

x
ในทางเรขาคณติ เราแทนเวกเตอร์ y ดว้ ยสว่ นของเสน้ ตรงที่กำหนดทิศทางซึ่งมจี ุดเริ่มตน้ ที่จดุ กำเนิด และมี
 z 

จดุ ส้ินสุดที่ (x, y, z)

 2 1 c  4
ตวั อย่าง จงเขยี นเวกเตอร์ a − 1 , b = 3 และ  02 ลงในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ
=  3 4 = −

ในบทนยิ ามขา้ งตน้ ได้กล่าวถึงการกำหนดเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากท่ีมจี ุดเรมิ่ ตน้ ทีจ่ ุดกำเนิด ส่วนการกำหนด

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากที่มีจดุ เริม่ ตน้ ทีไ่ มใ่ ชจ่ ดุ กำเนิด สามารถกำหนดไดด้ ังนี้

สว่ นของเส้นตรงท่ีระบุทิศทาง มจี ดุ เรม่ิ ต้นท่ีจดุ P1 (x1 , y1 ,z1 ) และจดุ สนิ้ สดุ ที่จุด P2 (x2 , y2 ,z2 ) ซงึ่ เขียนแทน

ดว้ ย P1P2 หมายถึง เวกเตอร์ x 2 − zxy111 
y 2 −
 z 2 − 


โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ที่ 2 ห น้ า | 98

ตวั อย่าง กำหนดให้ P มีพิกัดเปน็ (3, 4, –4) และ Q มพี ิกัดเปน็ (5, 0, 7) จงหา PQ และ QP

สำหรับเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมติ ิ และสามมติ ิ การเท่ากนั ของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ เวกเตอรศ์ นู ย์ นิเสธ

ของเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ จะเปน็ ไปตามบทนิยามต่อไปน้ี

บทนยิ าม เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

การเทา่ กัน a = c  ก็ตอ่ เมื่อ a = c และ b = d a d 
b  d 
b  = e  ก็ต่อเม่ือ a = d,b = e
 
c   f 

และ c = f

การบวกเวกเตอร์ a + c  = a + c  a d  a + d 
b  d  b + d 
b  + e  = b + e 
  
c   f  c + f 

เวกเตอรศ์ นู ย์ เวกเตอรศ์ นู ย์คอื 0 0
0
เวกเตอรศ์ นู ย์คอื 0

0

นเิ สธของเวกเตอร์ นเิ สธของ a คอื − a หรอื −a a a −a
b  b  −b 
นเิ สธของ b  คือ − b  หรอื −b 
 
c  c  −c 

การลบเวกเตอร์ a  − c  = a − c  a d  a − d 
b  d  b − d 
b  − e  = b − e 
  
c   f  c − f 

การคูณเวกเตอร์ดว้ ย  a =  a  เมอื่  เป็นจำนวนจริง a a
สเกลาร์ b   b  b  b 
 =  เมือ่  เป็นจำนวนจริง

ใดๆ c  c 

ใดๆ

โ ร ง เ รี ย น มั ธ ย ม วั ด สิ ง ห์ ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ ส ริ ม เ ข้ ม 2 ภ า ค เ รี ย น ท่ี 2 ห น้ า | 99

ขอ้ สงั เกต

1. ในกรณีที่  = –1 จะเหน็ ว่า (−1)ab = ((−−11))ab = − a  นัน่ คอื −  ab = − ab
− b   −

ในสามมติ กิ ็มผี ลในทำนองเดียวกัน

2. เวกเตอร์ ba ขนานกับเวกเตอร์ dc กต็ ่อเม่ือ มีจำนวนจรงิ   0 ท่ีทำให้ a = c และ

b = d
ในสามมติ ิก็มีผลในทำนองเดียวกัน

ตวั อยา่ ง กำหนดให้ u = 23 , v = −41 และ  = 3 จงหา

(1) u + v (2) u − v

(3) − v (4)  u

ตวั อยา่ ง กำหนดให้ a = 1 b = 3 และ  = − 12 จงหา
42 , 42

(1) a + 2b (2) 3a − b

(3) − a (4)  b