KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, saya panjatkan puja dan puji syukur kehadirat Allah subhanahu wa
ta'ala yang senantiasa melimpahkan segala rahmat Taufik dan hidayahnya
sehingga penyusun dapat menyelesaikan buku ajar ini.
Buku ajar ini disusun untuk memaksimalkan ketercapaian kompetensi dasar atau
KD yang diharapkan pemerintah. Dengan adanya buku ini seorang guru atau
peserta didik dapat dengan mudah mengetahui KD dan materi apa yang sedang
berlangsung di kelas. Selain itu untuk memudahkan guru atau peserta didik
melakukan penilaian setiap KD, maka buku ini juga dilengkapi dengan apersepsi,
peta konsep, latihan pada setiap KD, dan contoh soal beserta penyelesaiannya
sebagai bahan alternatif untuk pengamatan peserta didik.
Selain dari itu buku ajar ini disusun untuk memenuhi kebutuhan penulis dalam
mengikuti program PPG Daljab dalam rangka sertifikasi guru profesional di bidang
guru matematika.
Dalam pembuatan modul masih banyak kekurangan, untuk itu penulis sangat
membuka saran dan kritik yang sifatnya membangun mudah-mudahan modul ini
memberikan manfaat, dapat menjadi tema sekaligus menjadi bacaan yang
menyenangkan bagi kalian untuk mempelajari matematika dan menerapkannya
dalam kehidupan sehari-hari untuk diri sendiri dan lingkungan serta mendorong
kalian untuk mempelajari matematika secara lebih mendalam.
Rokan Hulu, Maret 2021
Penulis
BUKU AJAR MATEMATIKA | Kata Pengantar ii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .....................................................................................................................................................ii
Daftar Isi ..................................................................................................................................................................iii
Petunjuk Penggunaan Buku Ajar Matematika.......................................................................................iv
Bilangan Berpangkat, Akar, Dan Logaritma ...........................................................................................1
Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel .........................................12
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ...................................................................................................22
Program Linear.....................................................................................................................................................31
Barisan Dan Deret ...............................................................................................................................................44
Bunga, Pertumbuhan, Dan Peluruhan .......................................................................................................55
Perbandingan Trigonometri ..........................................................................................................................67
Grafik Fungsi Trigonometri............................................................................................................................77
Aturan Sinus Dan Cosinus ...............................................................................................................................86
Jumlah Dan Selisih Dua Sudut .......................................................................................................................93
Matriks................................................................................................................................................................... 101
Daftar Pustaka....................................................................................................................................................117
BUKU AJAR MATEMATIKA |Daftar Isi iii
Petunjuk Penggunaan Buku Ajar Matematika
Untuk mempelajari Buku Ajar Matematika ini, hal-hal yang perlu anda lakukan
adalah sebagai berikut :
1. Untuk mempelajari Buku Ajar Matematika ini haruslah berurutan, karena
materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi
berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan
yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah
mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal latihan dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam
mengerjakan soal latihan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah
referensi lain yang berhubungan dengan materi Buku Ajar Matematika ini.
Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Petunjuk Penggunaan Modul iv
BILANGAN BERPANGKAT, AKAR, DAN
LOGARITMA
APERSEPSI
Bumi merupakan salah satu planet terbesar kelima dari delapan planet yang ada
di tata surya. Menurut para ilmuwan, bumi berbentuk bulat seperti bola. Kita
ketahui bersama bahwa sebuah bola mempunyai ukuran jari-jari. Sama halnya
dengan benda yang berbentuk bola, bumi juga mempunyai jari-jari. Panjang jari-
jari bumi adalah 6371,0 kilo meter. Bilangan 6371,0 dapat dinyatakan dalam
bentuk 6,71 × 103. Dari penjabaran tersebut bilangan 103 yang disebut bilangan
berpangkat. Bagaimana cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
bilangan berpangkat? Guna lebih memahaminya, pelajari materi berikut!
KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyajikan penyelesaian masalah
bilangan berpangkat, bentuk akar
3.1 Menerapkan konsep bilangan dan logaritma
berpangkat, bentuk akar dan
logaritma dalam menyelesaikan
masalah
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 1
PETA KONSEP
A. BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka berarti
perkalian a sebangak n kali.
= × × × ⋯ ×
n faktor
dibaca a pangkat n
Contoh:
1. 54 = ⋯
2. (1)5 = ⋯
3
Penyelesaian:
1. 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
2. (1)5 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
3 3 3 3 3 3 243
1. Bilangan Berpangkat Positif
a. Perkalian eksponen
× = + , a ≠ 0
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 2
Contoh:
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
1. 24 × 25 = ⋯
2. 2 3 × 5 5 = ⋯
3. (1)2 × (1)3 = ⋯
33
Penyelesaian:
1. 24 × 25 = 24+5 = 29
2. 2 3 × 5 5 = (2 × 5) 3+5 = 10 8
3. (1)2 × (1)3 = (1)2+3 = (1)5 = 1
33 3 3 243
b. Pembagian eksponen
= − , a ≠ 0
Contoh:
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut
1. 721 ∶ 77 = ⋯
2. 12 = ⋯
8
3. 2 × 7 = ⋯
6 4
Penyelesaian:
1. 721 ∶ 77 = 721−7 = 714
2. 12 = 12−8 = 4
8
3. 2 × 7 = 2 1+7 = 2 8 = 2 8−4 = 1 4
6 4 6 4 6 4 3
6
c. Perpangkatan eksponen
( ) = × , a≠ 0
Contoh:
Sederhanakan bentuk bilangan berpamgkat berikut
1. (64)3 = ⋯
2. ((2)3)4 = ⋯
5
14
3. (54) = ⋯
3
4. 814 = ⋯
Penyelesaian:
1. (64)3 = 64×3 = 612
2. ((2)3)4 = (2)3×4 = (2)12
555
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 3
3. 14 = 514×4 = 5
(54)
4. 3 = 3 = 34×43 = 33 = 27
814 (34)4
d. Perpangkatan dari perkalian dua atau lebih bilangan
(a × b)n = an × bn, a ≠ 0, b ≠ 0
Contoh:
Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat berikut
1. (3 × 5)2 = ⋯
2. (42 × 33)2 = ⋯
3. ( 5 3)2 = ⋯
Penyelesaian:
1. (3 × 5)2 = 32 × 52 = 9 × 25 = 225
2. (42 × 33)2 = 42×2 × 33×2 = 44 × 36 = 256 × 729 = 186.624
3. ( 5 3)2 = 5×2 3×2 = 10 6
e. Perpangkatan bilangan pecahan
( ) = , a ≠ 0, b ≠ 0
Contoh:
Sederhanakan bentuk bilangan berpamgkat berikut
1. (5)2 = ⋯
9
2. (5 )3 = ⋯
2
3. ( 5×× 23 3 = ⋯
)
Penyelesaian:
1. (5)2 = 52 = 25
92 81
9
2. (5 )3 = 53× 3 = 125 3
23× 3 8 3
2
3. ( 5×× 23 4 = 4× 8
20 × 12
)
2. Bilangan berpangkat nol
a0 = 1, a ≠ 0
3. Bilangan berpangkat negatif
− = 1 , a ≠ 0
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 4
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk bulat positif
1. 2−3 = ⋯
2. (1)−3 = ⋯
4
3. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif dari 2 3 ∙ −5∙ 2
6 9 ∙ 2∙ −1
Penyelesaian:
1. 2−3 = 1 = 1
23 8
2. (1)−3 = 1 = 1 = 1 = 1 × 64 = 64
(14)3
4 13 1 1
43
64
−6∙ −7 ∙ 3 3
3 3 6∙ 7
= = =2 3∙ −5∙ 2
6 9 ∙ 2 ∙ −1
3. 3−9∙ −5−2 ∙ 2−(−1)
3
4. Bilangan berpangkat pecahan
√ = 1
√ =
Contoh:
Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
1. √32 = ⋯
2. 4√81 = ⋯
3. 4√258 = ⋯
Penyelesaian:
1. √32 = 1 = 25(21) = 5
(32)2 22
2. 4√81 = 1 = 1 = 3
(81)4 (34)4
3. 4√258 = 8 = 8 = 52×84 = 54 = 625
254 (52)4
Latihan
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Bentuk sederhana dari ( 2 )3. ( 2 4)−1 adalah . . .
a. 4 −1
b. −4
c. 4
d. −1
e. −4
2. Bentuk sederhana dari ( 2 3)2 adalah . . .
3 4
a. 2 3
b. 3 2
c. 2 3
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 5
d. 3 2
e. 2 3
121
3. Hasil dari (32)5 + (81)4 − (36)2 adalah . . .
a. 17
b. 14
c. 10
d. 5
e. 2
4. Hasil dari ( 1 )−32 4 1 (UN 2010/2011)
125 + (8)3 − (1000)3 adalah ⋯
a. 9
b. 11
c. 19
d. 31
e. 41
5. Bentuk sederhana dari 10 12 adalah . . .
6 5
a. 2 2
2
b. 8 6
3
c. 8 6 3
d. 8 6 3
e. 4 12
4
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut ini dengan menggunakan sifat-sifat
bilangan berpangkat!
1. ( 2 ∙5 3)4
2. (4 2 −2)(3 6)
3. 5√323 ∙ 3√1252
4. 24∙9−2∙5−3
8∙3−5∙125−1
5. ( 4 −3)7
B. BENTUK AKAR
1. Definisi Bentuk Akar
1
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa 2 = √ . Bentuk akar adalah
akar dari suatu bilangan yang nilainya memuat tidak terhingga banyaknya
angka di belakang koma dan tidak terhingga.
Contoh:
a. √2 = 1,414213 ⋯
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 6
b. √8 = 2,828427 ⋯
c. √15 = 3,872983 ⋯
Sedangkan, √1, √4, dan √16 bukan bentuk akar karena √1 = 1, √4 = 2, √16 =
4. Bilangan 1, 2, dan 4 bukan bilangan irasional.
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam
akar tersebut menjadi dua bilangan di mana bilangan yang satu dapat diakarkan
sedang bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.
Contoh:
Sederhanakan bilangan bentuk akar berikut
1. √8 = ⋯
2. √48 = ⋯
Penyelesaian:
1. √8 = √4 × 2 = √4 × √2 = 2 × √2 = 2√2
2. √48 = √16 × 3 = √16 × √3 = 4 × √3 = 4√3
3. Mengoperasikan Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Untuk , bilangan real dan bilangan rasional non negative, berlaku
√ + √ = ( + )√
√ − √ = ( − )√
Contoh:
Sederhanakan bilangan bentuk akar berikut
1. 5√3 + 10√3 = ⋯
2. 5√12 − 2√3 = ⋯
Penyelesaian:
1. 5√3 + 10√3 = (5 + 10)√3 = 15√3
2. 5√12 − 2√3 = 5(2√3) − 2√3 = 10√3 − 2√3 = (10 − 2)√
b. Perkalian bilangan real dengan bentuk akar
Untuk , bilangan real dan bilangan rasional non negative, berlaku
∙ √ = √
Contoh:
Sederhanakan bilangan bentuk akar berikut
1. 6 ∙ 3√5
2. 2 ∙ √242
Penyelesaian:
1. 6 ∙ 3√5 = 18√5
2. 2 ∙ √242 = 2 ∙ √121 ∙ 2 = 2 ∙ 11√2 = 22√2
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 7
c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar
Untuk , bilangan real dan , , , bilangan rasional non negative,
berlaku
√ ∙ √ = √ ∙ atau √ ∙ √ = ∙ √ ∙
(√ + √ )(√ − √ ) = −
Contoh:
Sederhanakan bilangan bentuk akar berikut
1. √6 × √3 = ⋯
2. 2√2 × 3√12 = ⋯
3. √2(4√3 + √24) = ⋯
4. (√5 + √2)(√5 − √2) = ⋯
Penyelesaian:
1. √6 × √3 = √6 × 3 = √18 = √9 × 3 = √9 × √3 = 3√3
2. 2√2 × 3√12 = 6√24 = 6 × 2√6 = 12√6
3. √2(4√3 + √24) = √2 × 4√3 + √2 × √24
√2(4√3 + √24) = 4√6 + √48
√2(4√3 + √24) = 4√6 + 4√3
4. (√5 + √2)(√5 − √2) = √5 × √5 − √5 × √2 + √2 × √5 − √2 × √2
(√5 + √2)(√5 − √2) = 5 − √10 + √10 − 2
(√5 + √2)(√5 − √2) = 3
d. Merasionalkan penyebut bentuk akar
Merasionalkan penyebut bentuk akar artinya mengalikan pembilang dan
penyebut dengan sekawan dari penyebut.
1. √ sekawan dengan √
2. (√ + √ ) sekawan dengan (√ − √ )
3. (√ − √ ) sekawan dengan (√ + √ )
Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk di bawah ini.
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan bilangan-bilangan berikut ini dan
sederhanakan!
a. 12 = ⋯
√3
b. 5 = ⋯
2−√3
c. 3+√2 = ⋯
3−√2
Penyelesaian:
a. 12 = 12 × √3 = 12√3 = 4√3
√3 √3 √3 3
b. 5 = 5 × 2+√3 = 10+5√3 = 10+5√3 = 10+5√3 = 10 + 5√3
2−√3 2−√3 2+√3 4+2√3−2√3−3 4−3 1
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 8
c. 3+√2 = 3+√2 × 3+√2 = 9+3√2+3√2+2 = 9+2++3√2+3√2 = 11+6√2
3−√2 3−√2 3+√2 9+3√2−3√2−2 9−2 7
Latihan
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Bentuk sederhana dari 2√48 − 1 √12 + 4√75 adalah ⋯ (UN 2009/2010)
2
a. 12√3
b. 25√3
c. 26√3
d. 27√3
e. 35√3
2. Nilai dari 3√54 + 2√24 − √96 adalah . . .
a. 8√6 + 2
b. 27
c. 3√6 − 2
d. 9√6
e. 6√9
3. Bentuk sederhana dari 5 adalah . . .
√3−√2
a. 5√3 + 5√2
b. −5√3 + 5√2
c. 3√5 + 3√2
d. 3√3 − 3√5
e. 2√3 + √2
4. Bentuk sederhana dari 4√3 + 3√12 − √27 adalah . . .
a. 6√3
b. 7√3
c. 8√3
d. 9√3
e. 10√3
5. Nilai dari √2(√3 − √12 + √32) = . . .
a. 8 − √6
b. 8 − 2√6
c. √6
d. 8 + √6
e. 8 + 2√6
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Sederhanakan dan hitung hasil perkalian berikut
a. √2(√32 − √8) = ⋯
b. (√3 + 1)(√3 − 1) = ⋯
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 9
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut, lalu sederhanakan hasilnya
a. 12 = ⋯
3√2
b. 4 = ⋯
3+√5
c. √3−√5 = ⋯
√3+√5
C. LOGARITMA
1. Sifat-Sifat Logaritma
a. log( ) = log + log
b. log = log − log
c. log = log
d. log = log
log
e. 1 = log
log
f. log = 1 log
g. log = log
h. log =
i. log 1 = 0
j. log = 1
k. log log = log
Contoh:
Tentukan nilai dari
a. 2log 24 + 2log 3 − 2log 9 = ⋯
b. log 5 + log 4 − log 2 + log 10 = ⋯
c. 3log 27 = ⋯
Penyelesaian:
a. 3log 27 = 3log 33 = 3 3log 3 = 3. 1 = 3
b. 2log 24 + 2log 3 − 2log 9 = 2log 24×3 = 2log 8 = 2log 23 = 3
9
c. log 5 + log 4 − log 2 + log 10 = log 5×4×10 = log 100 = log 102 = 2
2
Latihan
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Hasil dari 7log 8 ∙ 2log 9 ∙ 3log 1 adalah ⋯ (UN 2010/2011)
7
a. −6
b. −3
c. −2
d. 3
e. 6
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 10
2. Nilai dari 3log 9 + 3log 81 adalah . . .
a. 1
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
3. Nilai dari 2log 32 − 2log 8 adalah . . .
a. 1
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
4. Nilai dari 2log 8. 8log 64 adalah . . .
a. 1
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
5. Nilai dari 5log 625 adalah . . .
5log 25
a. 1
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Tentukan nilai dari
a. 2log 16 + 2log 1 = ⋯
2
b. 25log 43 = ⋯
c. 9log 25 = ⋯
d. 4log 9 ∙ 3log 125 ∙ 25log 16 = ⋯
e. 6log 9 + 6log 8 − 6log 2 = ⋯
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 11
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI
MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
APERSEPSI
Apakah Anda salah satu anggota Paskibraka di sekolah? Jika Anda termasuk
anggota Paskibraka, tentu tidak asing dengan aba-aba maju 3 langkah dan
mundur 4 langkah. Aba-aba tersebut terdengar jelas saat Anda mengikuti
latihan Paskibraka. Saat pemimpin memerintahkan untuk "mundur 4 langkah,
jalan! ", hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 4
langkah. Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak
yang tidak ditentukan arah. Contoh: " maju 3 langkah ", berarti mutlak 3 langkah
dari posisi diam dan "mundur 3 langkah", berarti mutlak 3 langkah dari posisi
diam ditAndai dengan tanda ( + ) dan mundur ditandai dengan tanda ( - ).
Berdasarkan penjabaran tersebut terlihat bahwa nilai mutlak dari 3 atau −3
tetap bernilai 3 (positif) Apakah yang dimaksud nilai mutlak? guna lebih
memahaminya, pelajari materi berikut!
KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaikan masalah yang
3.1 Menerapkan persamaan dan berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak bentuk
pertidaksamaan nilai mutlak bentuk linear satu variabel
linear satu variabel
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 12
PETA KONSEP
A. NILAI MUTLAK
Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tertentu dari
titik nol (0). Dengan demikian jaraknya selalu bernilai positif.
Misalnya :
Perhatikan garis bilangan berikut.
Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan
Jarak angka 9 dari titik 0 adalah 9
Jarak angka -9 dari titik 0 adalah 9
Dari penjelesan di atas jelas nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.
Tanda mutlak disimbolkan dengan | . | yang berisi suatu bilangan atau bentuk
aljabar.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat ditulis sebagai berikut :
|x| = {−xxjijkikaaxx≥<00
|x| = x jika x ≥ 0
|x| = −x jika x < 0
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 13
Definisi di atas dapat kita maknai sebagai berikut :
Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu
sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari
bilangan tersebut.
Sebagai contoh,
|9| = 9 |0| = 0 | − 7| = − (−7) = 7
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif
atau nol.
Persamaan √ 2 = hanya bernilai benar jika x ≥ 0.
Untuk < 0, maka √ 2 = − .
Dapat kita tulis
√ 2 = {− ≥0
<0
Jika kita perhatikan , bentuk diatas sama dengan definisi nilai mutlak .
sehingga , pernyataan berikut benar untuk setiap bilangan real akan selalu
bernilai positif atau nol.
| | = √ 2
Jika kedua ruas persamaan di atas kita kuadratkan akan diperoleh
| |2 = 2
persamaan terkhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau
pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti
yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.
B. PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
1. Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda " = ". Persamaan
linear adalah persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat
tertinggi satu.
Contoh:
a. 3 + 5 = 7, variabel
b. 2 = 10 , variabel
Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
+ = 0, ≠ 0, , ∈
dengan = koefisien = konstanta dan = variabel
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel
berikut.
a. 2 − 4 = 0
b. 3 + 6 = 12
c. 7 − 3 = 5 + 9
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 14
Jawab:
a. 2 − 4 = 0
4 − 2 = 4
4 − 2 = 2
Jadi, himpunan penyelesaian {2}
b. 3 + 6 = 12
6 + 3 = 12 − 6
6 + 3 = 6
6 + 3 = 2
Jadi, himpunan penyelesaian {2}
c. 7 − 3 = 5 + 9
7 − 5 = 9 + 3
7 − 2 = 12
7 − 2 = 6
Jadi, himpunan penyelesaian {6}
2. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Di awal telah di singgung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol
pada garis bilangan real. Pernyataan ini yang akan kita gunakan untuk
menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari
bentuk linier.
| | = dengan > 0
Persamaan | | = artinya jarak dari ke 0 sama dengan a.
Perhatikan gambar berikut.
Jarak – ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu . Pertanyaannya adalah
dimana agar jaraknya ke 0 juga sama dengan . Posisi di tunjukkan oleh
titik bintang pada gambar di atas, yaitu = − atau = . Jelas terlihat
bahwa jaral dari titik tersebut ke 0 sama dengan . Jadi, agar jarak ke nol
sama dengan , haruslah = − atau = .
Sifat Persamaan nilai mutlak linear satu variabel:
a. | | = ⟺ = atau = −
b. | − | = | | untuk ∈
c. | | = | || |
d. | | = | | jika ≠ 0
| |
e. | − | = | − |
f. | − | = | || − |
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 15
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x − 7|= 3
Penyelesaian :
|2 − 7| = 3 ⟺ 2 − 7 = 3 atau 2 − 7 = −3
|2 − 7| = 3 ⟺ 2 = 10 atau 2 = 4
|2 − 7| = 3 ⟺ = 5 atau = 2
Jadi, HP = {2,5}
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari | + 7| + 5 = 3
Penyelesaian :
|x + 7| + 5 = 3 ⟺ x + 7 = −2 ( tidak dapat di selesaikan karena = negatif )
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 5| − 2| = 0
Penyelesaian :
5| − 2| = 0
| − 2| = 0
− 2 = 2
= 2
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari −7 | + 11| + 3 = −25
Penyelesaian :
−7 | + 11| + 3 = −25
7 | + 11| = −28
| + 11| = 4
| + 11| = 4 ⇔ + 11 = 4 atau + 11 = −4
⇔ = −7 atau = −15
Contoh :
Tentukan HP dari |2 − 1| = | + 4|
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat :
|2 – 1| = | + 4|
⇔ 2 – 1 = + 4 atau 2 – 1 = − ( + 4 )
⇔ = 5 atau 3 = −3
⇔ = 5 atau = −1
Jadi, HP = {−1, 5 }
C. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL
1. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan salah
satu lambang berikut : <, > , ≤, ≥ atau ≠.
Secara umum pertidaksamaan dapat diubah menjadi bentuk berikut.
+ < 0, + > 0, + ≤ 0, + ≥ 0 atau + ≠ 0
dengan ≠ 0, , ∈
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 16
Contoh pertidaksamaan linear
a. 2 − 4 < 0
b. 7 − 4 ≤ 15 + 9
c. −2 ≤ 3
5
Tanda pada batas interval bertarti batas tersebut termasuk dalam interval.
Tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam
interval.
Beberapa sifat yang perlu diperhatikan:
1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kanan dan kiri
ditambah atau dikurang dengan bilangan negatif atau positif yang sama.
2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan
dikalikan atau dibagikan dengan bilangan positif yang sama.
3. Tanda pertidaksamaan berubah atau dibalik jika pada ruas kiri dan
kanan dikalikan atau dibagikan dengan bilangan negatif yang sama.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaanberikut untuk ∈ .
a. 3 + 6 > 12
b. 7 − 3 ≤ 5 + 9
Jawab:
a. −3 − 6 < −12
6 − 3 < −12 + 6
6 − 3 < −6 } dikalikan −1, tanda pertidaksamaan dibalik
6 − 3 > 6
6
6 − 3 > 3
6 − 3 > 2
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { | > 2, ∈ }
Jika digambarkan pada garis bilangan himpunan penyelesaian adalah
b. 7 − 3 ≤ 5 + 9
7 − 5 ≤ 9 + 3
7 − 2 ≤ 12
12
7 − 2 ≤ 2
7 − 2 ≤ 6
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { | ≤ 6, ∈ }
Jika digambarkan pada garis bilangan himpunan penyelesaian adalah
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 17
2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
| | < >
Pertidaksamaan | | < , artinya jarak dari ke 0 kurang dari a.
Perhatikan gambar berikut .
Posisi ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-
titik diantara – dan a yang biasa kita tulis – < < . Jika kita ambil
sebarang titik pada interval tersebut sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang
dari , jadi, agar jarak ke 0 kurang dari , haruslah
− < < .
| | >
Pertidaksamaan | | > artinya jarak dari ke 0 lebih dari . Perhatikan
gambar berikut.
Posisi ditunjukkan oleh ruasa garis berwarna merah yaitu < − atau
> . Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah
dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari . Jadi, agar jarak ke nol lebih dari ,
haruslah < − atau > .
Dari uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :
Sifat Pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel:
a. | | < ⟺ − < <
b. | | > ⟺ < − atau >
c. | | ≤ ⟺ ≤ − atau ≤
d. | | ≥ ⟺ ≤ − atau ≥
e. | − | ≥ || | − | ||
f. | + | ≤ | | + | |
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2 − 1| < 7
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat :
| | < ⟺ − < <
|2 − 1| < 7 ⟺ −7 < 2 – 1 < 7
|2 − 1| < 7 ⟺ −6 < 2 < 8
|2 − 1| < 7 ⟺ −3 < < 4
Jadi, HP = {−3 < < 4}
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4 + 2| ≥ 6
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 18
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat :
| | ≥ ⟺ ≤ − atau ≥
|4 + 2| ≥ 6 ⟺ 4 + 2 ≤ −6 atau 4 + 2 ≥ 6
|4 + 2| ≥ 6 ⟺ 4 ≤ −8 atau 4 ≥ 4
|4 + 2| ≥ 6 ⟺ ≤ −2 atau ≥ 1
Jadi, HP = { ≤ −2 atau ≥ 1}
Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari |3 − 2| ≥ |2 + 7|
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat :
| | ≥ − atau ≥ − atau ≥
|3 − 2 ≥ |2 + 7|
⟺ 3 − 2 ≤ − (2 + 7) atau 3 − 2 ≥ 2 + 7
⟺ 5 ≤ −5 atau ≥ 9
⟺ ≤ −1 atau ≥ 9
Jadi, HP = { ≤ −1 atau ≥ 9}
LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan −5| − 7| + 2 = −13
adalah . . .
a. {1, 2}
b. {3, 2}
c. {4, 10}
d. {1, 7}
e. {3, 8}
2. Himpunan penyelesaian dari | − 2| < 3 adalah . . .
a. { |−1 < < 5}
b. { |1 < < 5}
c. { |−1 < < −5}
d. { |−5 < < 1}
e. { |1 < < 7}
3. Nilai dari persamaan |2 − 3| = |5| adalah . . .
a. −1 atau 4
b. −1 atau −4
c. 1 atau 4
d. 1 atau −4
e. 1 atau −1
4. Nilai yang memenuhi persamaan | − 2| = 5 adalah . . .
a. −7 atau −3
b. −7 atau 3
c. −7 atau 7
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 19
d. 3 atau 7
e. −3 atau 7
5. Nilai yang memenuhi persamaan |4 + 8| − 4 = 0 adalah . . .
a. = −3 atau = −1
b. = 3 atau = −3
c. Tidak ada nilai yang memenuhi
d. = 1
e. = 3
6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |3 + 2| > 5 adalah . . .
a. { | < − 13 > 0}
b. { | < − 73 > 1}
c. { | < −1 > 1}
d. { | < − 12 > 1}
e. { | < − 14 > 0}
7. Jika 2 | − 1| < | + 2|, maka nilai yang memenuhi adalah . . .
a. 0 < < 2
b. −2 < < 0
c. > 1
d. 0 < < 4
e. < −4 atau > 0
8. Pertidaksamaan | − 2| ≤ | + 1| mempunyai himpunan penyelesaian . . .
a. { | ≥ 12 , ∈ }
b. { | ≥ − 12 , ∈ }
c. { | > 12 , ∈ }
d. { | ≤ 12 , ∈ }
e. { | ≤ − 12 , ∈
9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |3 − 5| > 1 adalah . . .
a. > 43 atau > 2
b. > 43 atau < 2
c. < 43 atau > 2
d. < 43 atau > −2
e. < −43 atau > −2
10. Himpunan semua x yang memenuhi pertidaksamaan |2 + 1| < |2 − 3|
adalah . . .
a. { | < − 12}
b. { | < 12}
c. { | < 32}
d. { | > 12}
e. { | > 32}
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Hitung nilai (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut.
a. 5|2 − 3| = 2|3 − 5 |
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 20
b. |4 – 3 | = | − 4|
c. 2|3 – 8| = |−10|
2. Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
a. |3 – 2 | < 4
b. |3 + 2| ≤ 5
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 21
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DUA VARIABEL
APERSEPSI
Pada suatu hari Ibu Nita, Ibu Maya, dan ibu Lola pergi ke toko buah. Ibu Nita
membeli 4 kg apel dan 5 kg jeruk dengan total uang yang dibayarkan Rp85.000.
Sedangkan Ibu Maya membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk dengan total uang yang
dibayarkan Rp60.000. Jika ibu membeli 2 kg apel dan 2 kg jeruk, dapatkah anda
menentukan total uang yang harus dibayar Ibu Lola? permasalahan tersebut sering
kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Guna menyelesaikan permasalahan
tersebut, kita dapat menggunakan konsep persamaan linear dua variabel.
KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyajikan penyelesaian masalah
sistem persamaan linier dua variabel
3.1 Menentukan nilai variabel pada sistem
persamaan linear dua variabel dalam
masalah kontekstual
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 22
PETA KONSEP
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)
Dua persamaan linear dengan dua variabel dinamakan sistem persamaan linear
dua variabel (SPLDV). Dinamakn sistem persamaan linear karena melibatkan lebih
dari satu persamaan linear yang saling berkaitan sementara dua variabel
menunjukkan banyaknya variabel yang akan ditentukan penyelesaiannya.
Bentuk umum SPLDV adalah:
{ 21 + 1 = 1. . . (1)
+ 2 = 2. . . (2)
dengan 1, 2, 1, 2, 1 dan 2 ∈
B. MENYELESAIKAN SPLDV DARI SUATU PERMASALAHAN
Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, SPLDV adalah persamaan yang
memiliki 2 buah persamaan linier dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat
ditentukan dengan cara mencari nilai variabel yang memenuhi kedua
persamaan linear dua variabel tersebut.
Berikut beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian
SPLDV.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 23
1. Metode Grafik
Langkah-langkah menyelesaiakan sistem persamaan linear dua variabel
dengan metode grafik sebagai berikut.
a. Tentukan titik potong kedua persamaan pada sumbu- dan sumbu- .
Kemudian gambar grafiknya.
b. Nilai dan merupakan titik potong antar kedua grafik.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut ini dengan metode grafik.
{2 +−3 ==112
Penyelesaian:
Titik potong kedua persamaan pada sumbu- dan sumbu- .
2 + 3 = 12
0 6
4 0
, (0,4) (6,0)
− = 1
0 1
−1 0
, (0, −1) (1,0)
2. Metode eliminasi
Eliminasi artinya menghilangkan. Jadi pada metode ini kita akan
menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode eliminasi.
{32 −−2 ==21
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 24
Penyelesaian :
2 − = 2 | × 12| 4 − 2 = 4 ⋯ (1)
3 − 2 = 1 × 3 − 2 = 1 ⋯ (2)
Mengeliminasi variabel
4 − = 4
3 − = 1 −
3 − = 3
2 − = 2 . .. .((12))| × 32| 6 − 3 = 6
3 − 2 = 1 .. × 6 − 4 = 2
Mengeliminasi variabel
− 3 = 6
− 4 = 2 −
3 − = 4
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(3, 4)}
3. Metode subtitusi
Subtitusi artinya mengganti. Jadi pada metode ini kita mengganti nilai salah
satu variabel dengan variabel lainnya.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode subtitusi.
{32 −−2 ==21
Penyelesaian :
32 −−2 ==21| 2 − 2 = ⋯ (1)
2 − 2 = ⋯ (2)
Subtitusi (1) ke (2)
3 − 2 = 1
3 − 2(2 − 2) = 1
3 − 4 + 4 = 1
3 − 4 = 1 − 4
− = −3
3 − 4 = 3
Subtitusi = 3 ke (1)
2 − 2 =
2(3) − 2 =
6 − 2 =
4 =
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(3, 4)}
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 25
4. Metode gabungan (eliminasi dan subtitusi)
Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan nilai variabel pertama, dan
hasilnya disubtitusiksn ke dalam persamaan kedua.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode gabungan.
{32 −−2 ==21
Penyelesaian :
2 − = 2 | × 12| 4 − 2 = 4 ⋯ (1)
3 − 2 = 1 × 3 − 2 = 1 ⋯ (2)
Mengeliminasi variabel
4 − = 4
3 − = 1 −
3 − = 3
Subtitusi = 3 ke (1)
4 − 2 = 4
4(3) − 2 = 4
12 − 2 = 4
4 − 2 = 4 − 12
4 − 2 = −8
−8
4 − 2 = −2
4 − 2 = 4
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(3, 4)}
C. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN
Contoh:
Di suatu toko Andi membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan harga Rp 9.750 dan
Budi membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan harga Rp 4250. Jika firda
membeli 5 buku tulis dan 2 pensil, berapakah harga yang harus di bayar Firda?
Penyelesaian:
Misal: buku tulis =
Misal: pensil =
Masalah di atas dapat ditulis:
4 + 3 = 9.750 ⋯ (1)
2 + = 4.250 ⋯ (2)
42 ++3 ==49.2.75500| × 21| 4 + 3 = 9.750
× 6 + 3 = 12.750
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 26
Mengeliminasi variabel
4 + = 9.750
6 + = 12.750 −
6 − 2 = −3000
−3000
6 − 2 = −2
6 − 2 = 1.500
Subtitusi = 1.500 ke (1)
4 + 3 = 9.750
4(1500) + 3 = 9.750
6.000 + 3 = 9.750
6.000 + 3 = 9.750 − 6.000
6.000 + 3 = 9.750 − 6.000
6.000 + 3 = 3750
3750
6.000 + 3 = 3
6.000 + 3 = 1.250
Firda membeli 5 buku dan 2 pensil
5 + 2 = 5(1.500) + 2(1.250)
5 + 2 = 5(1.500) + 2(1.250)
5 + 2 = 7.500 + 2.500
5 + 2 = 7.500 + 2.500
5 + 2 = 10.000
Jadi, harga yang harus dibayar Firda adalah Rp 10.000
LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Pasangan berurutan ( , ) yang merupakan penyelesaian SPLDV {53 ++24 ==2135 adalah .
..
a. (1, 5)
b. (5, −1)
c. (−1, −5)
d. (−5, −1)
e. (−4, −2)
2. Diketahui SPLDV : 3 + 2 = 2 dan − 4 = 10. Nilai + adalah . . .
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 27
3. Perhatikan gambar berikut!
Dari grafik tersebut, yang merupakan penyelesaian SPLDV ditunjukkan oleh titik . .
a. A
b. B
c. C
d. D
e.
4. Diketahui SPLDV : 3 + = 7 dan 4 + 2 = 12. Nilai 5 − adalah . . .
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
5. Harga 7 ekor ayam dan 6 ekor itik DlH Rp67.250,00, sedangkan harga 2 ekor ayam
dan 3 ekor itik Rp25.000,00. Harga seekor ayam adalah . . .
a. Rp4.500,00
b. Rp5.750,00
c. Rp6.750,00
d. Rp7.500,00
e. Rp2.000,00
6. Nilai variabel yang memenuhi 4 + 7 = 11 dan − + 3 = 2 adalah . . .
a. −2
b. −1
c. 1
d. 2
e. 3
7. Nilai x dan y berturut-turut yang memenuhi persaman x + 5y = 13 dan 2x – y = 4
adalah…
a. 2 dan 3
b. 3 dan 2
c. 4 dan 6
d. 1 dan 2
e. 2 dan 1
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 28
8. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00 harga 6 buah buku tulis
dan 5 buah pensil Rp. 11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil
adalah…
a. Rp. 13.600,00
b. Rp. 12.800,00
c. Rp. 12.400,00
d. Rp. 11.800,00
e. Rp. 10.000,00
9. Harga 5 pensil dan 2 buku Rp.26.000,00 sedangkan harga 3 pensil dan 4 buku
Rp.38.000,00. Jika harga 1 pensil dinyatakan dengan a dan harga 1 buku
dinyatakan dengan b, maka sistem persamaan linier dua variabel yang berkaitan
dengan pernyataan diatas adalah.....
a. 5a + 2b = 26.000 dan 4a + 3b = 38.000
b. 5a + 2b = 26.000 dan 3a + 4b = 38.000
c. 2a + 5b = 26.000 dan 3a + 4b = 38.000
d. 2a + 5b = 26.000 dan 4a + 3b = 38.000
e. 2a + 5b = 26.000 dan 4a + 4b = 38.000
10. Fitra membeli 3 buku dan 2 pensil seharga Rp.11.500,00 Prilly membeli 4 buku
dan 3 pensil dengan harga Rp.16.000,00. Jika Ika membeli 2 buku dan 1 pensil,
maka jumlah uang yang harus dibayar Ika adalah . . .
a. Rp.4.500,00
b. Rp.6.500,00
c. Rp.7.000,00
d. Rp.7.500,00
e. Rp.8.000,00
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV {33 + 5 = 4 dengan metode
− = 10
subtitusi.
2. ketahui sistem persamaan 3 + 3 = 3 dan 2 – 4 = 14. Tentukan nilai
4 – 3
3. Di suatu toko harga 1 kg kopi dan 2 kg gula adalah Rp 21.000, sedangkan harga
2
1 kg kopi dan 3 kg gula adalah Rp 19.500. Tentukan harga 1kg kopi dan 1 kg
4
gula pada toko tersebut.
4. Dua bilangan jika dijumlahkan menghasilkan 30. Jika enam kali bilangan
pertama ditambah dua kali bilangan kedua hasilnya adalah −8. Tentukan kedua
bilangan itu.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 29
5. Sebuah toko busana menggelar pekan diskon. Semua jenis sepatu dijual dengan
harga sama, begitu juga semua jenis baju. Erlin membeli 2 pasang sepatu dan 5
baju dan membayar Rp 180.000. Dina membeli 3 pasang sepatu dan 7 baju dan
membayar Rp 259.000. Tentukan harga sepasang sepatu dan sebuah baju.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 30
PROGRAM LINEAR
APERSEPSI
Bu Ani adalah seorang penjual buah-buahan. Beliau menggunakan gerobak
untuk menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000 tiap kg dan
pisang Rp8.000 tiap kg. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000 sedangkan
muatan gerobaknya tidak lebih dari 450 kg. Keuntungan tiap kg apel dua kali
keuntungan tiap kg pisang. Bagaimana cara menentukan banyaknya buah yang
harus dibeli oleh Bu Ani? Permasalahan tersebut merupakan salah satu konsep
dari program linear. Guna memahami materi tentang program linier maka
pelajarilah materi berikut!
KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyajikan penyelesaian masalah
kontekstual yang berkaitan dengan
3.1 Menentukan nilai maksimum dan program linear dua variabel
minimum permasalahan kontekstual
yang berkaitan dengan program
linear dua variabel
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 31
PETA KONSEP
A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR
Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi, dengan kata lain program linear merupakan
suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum (maksimum atau minimum)
suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala tertentu. Kendala-kendala ini
diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear.
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat matematika yang memuat dua
variabel, misalnya dan , dengan pangkat tertinggi satu dan dihubungkan dengan
tanda pertidaksamaan. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut
dapat disajikan dalam bidang cartesius.
Secara umum pertidaksamaan linear dua variabel dapat diubah menjadi bentuk
berikut.
+ < 0, + > 0, + ≤ 0, + ≥ 0 atau + ≠ 0
dengan ≠ 0, , ∈
2. Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat
dua variabel, misalnya dan .
Langkah - langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
linear dua variabel.
1. Mengganti tanda pertidaksamaan >, <, ≥, atau ≤ dengan tand “=”.
2. Menentukan titik potong koordinat kartesius dari persamaan linear
dua variabel dengan kedua sumbu.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 32
3. Menggambar grafik berupa garis yang menghubungkan titik ( , 0)
dengan titik (0, ).
4. Menggunakan sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian
pertidaksamaan
5. Memberikan Arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan
penyelesaian pertidaksamaan
Contoh :
Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan + 2 ≤ 4 pada
koordinat cartesius.
Penyelesaian :
Diketahui : Pertidaksamaan + 2 ≤ 4
Ditanya : Gambarkan himpunan penyelesaian padkoordinat cartesius.
Jawab:
Gambarlah terlebih dahulu garis + 2 = 4
Titik potong garis + 2 = 4 dengan sumbu koordinat:
Titik potong dengan sumbu Titik potong dengan sumbu y
diperoleh jika = 0 diperoleh jika = 0
0 4
2 0
( , ) (0, 2) (4, 0)
Jadi, titik potong sumbu adalah (4, 0) dan titik potong dengan sumbu y
adalah (0, 2). Garis yang menghubungkan titik (4, 0) dan (0, 2) adalah garis
+ 2 ≤ 4.
Ambil titik uji yang tidak terletak pada garis, misalnya titik (0, 0).
Kemudian perhatikan pertidaksamaan yang diperoleh berikut.
Ambil titik uji (0, 0), berarti = 0 dan = 0
Subtitusikan kedalam pertidaksamaan + 2 ≤ 4
+ 2 ≤ 4 ⟹ (0) + 2(0) ≤ 4 ⟹ 0 ≤ 4 (BENAR)
Pertidaksamaan yang diperoleh merupakan pertidaksamaan yang benar,
sehingga daerah yang mempunyai titik uji (0, 0) merupakan daerah
penyelesaian pertidaksamaan. Daerah penyelesaian merupakan daerah
yang diarsir. Perhatikan gambar.
Notes
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤
maka garis pembatas daerah Hp
merupakan garis lurus, jika tanda
pertidaksamaan > dan < maka garis
pembatas daerah Hp merupakan garis
putus-putus.
Dengan demikian, daerah penyelesaian merupakan daerah yang diarsir.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 33
3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dua variabel.
1. Menggambar setiap garis dari setiap pertidaksamaan linier dua
variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2. Menggunakan salah satu titik uji menentukan daerah yang memenuhi
setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Menggunakan arsiran berbeda
untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan berbeda.
3. Menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear yaitu
irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel
pada langkah (b).
Contoh :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
berikut.
Penyelesaian :
Diketahui : Pertidaksamaan 2 + 3 ≤ 12,
: Pertidaksamaan + 2 ≥ 6,
: Pertidaksamaan ≥ 0 dan ≥ 0
Ditanya : Gambarkan himpunan penyelesaian pada koordinat
: cartesius
Jawab :
Gambarkan terlebih dahulu garis 2x + 3y = 12
Titik potong garis 2x + 3y = 12 dengan sumbu koordinat:
x06
y40
(x, y) (0, 4) (6, 0)
Jadi, titik potong sumbu adalah (6, 0) dan titik potong dengan sumbu
adalah (0, 4).
Ambil titik uji (0, 0), berarti = 0 dan = 0
Subtitusikan kedalam pertidaksamaan + 2 ≤ 4
0 + 2(0) ≤ 4 ⟹ 0 ≤ 4 (BENAR)
Pertidaksamaan yang diperoleh merupakan pertidaksamaan yang benar,
sehingga daerah yang mempunyai titik uji (0, 0) merupakan daerah
penyelesaian.
Gambarkan terlebih dahulu garis x + 2y = 6
Titik potong garis x + 2y = 6 dengan sumbu koordinat:
x0 6
y3 0
(x, y) (0, 3) (6, 0)
Jadi, titik potong sumbu adalah (6, 0) dan titik potong dengan sumbu
adalah (0, 3).
Ambil titik uji (0, 0), berarti x = 0 dan y = 0
Subtitusikan kedalam pertidaksamaan + 2 ≥ 6
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 34
0 + 2(0) ≥ 6 ⟹ 0 ≥ 6 (SALAH)
Pertidaksamaan yang diperoleh merupakan pertidaksamaan yang salah,
sehingga daerah yang mempunyai titik uji (0, 0) bukan daerah
penyelesaian.
Untuk ≥ 0, daerah penyelesaian merupakan daerah di kanan sumbu
Untuk ≥ 0, daerah penyelesaian merupakan daerah di atas sumbu
Pertidaksamaan diatas dapat digambarkan dalam satu bidang cartesius
berikut. 2 + 3 ≤ 12
+ 2 ≥ 6
Dengan demikian, daerah penyelesaian merupakan daerah yang diarsir.
C. MODEL MATEMATIKA
Hal penting dalam masalah program linear adalah mengubah persoalan verbal
(soal cerita) ke dalam bentuk model matematika (persamaan dan
pertidaksamaan) yang merupakan penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam
bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti. Jadi model
matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan
atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika menerjemahkan suatu
soal verbal.
Model matematika pada persoalan program linear pada umumnya membahas
beberapa hal, yaitu:
a. Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua peubah
yang merupakan bagian kendala-kendala (sistem pertidaksamaan) yang
harus dipenuhi oleh peubah itu sendiri.
b. Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak
dioptimalkan (minimalkan atau maksimalkan).
Untuk mempermudah mengubah soal-soal verbal yang berbentuk program
linear ke dalam model matematika digunakan tabel berikut:
Variabel Variabel 1 Variabel 2 Persediaan
( ) ( )
Variabel lain 1
Variabel lain 2
Variabel lain 3
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 35
Contoh :
Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega.
Sedangkan untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega.
Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega yang ada 1,2 kg. jika harga roti A
Rp 4000,00 dan roti B harganya Rp 5000,00. Buatlah model matematikanya!
Penyelesaian :
Diketahui : Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan
: 25 gram mentega
: Untuk membuat roti B diperlukan 100 gram tepung dan
: 50 gram mentega
: Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega yang ada
: 1,2 kg
: Harga roti A Rp 4000,00 dan roti B Rp 5000,00
Ditanya : Buatlah model matematikanya!
Jawab :
Misalkan : Banyak roti A =
: Banyak roti B =
Berarti variabel yang lain adalah tepung dan mentega
Sehingga tabel yang diperoleh sebagai berikut:
Variabel Banyak roti A Banyak roti B Persediaan
( ) ( )
Tepung 200 gram 100 gram 4000 gram
Mentega 25 gram 50 gram 1200 gram
Harga 4000 5000
Terigu tersedia paling banyak 4 kg = 4000 gram
Mentega paling banyak tersedia 1,2 kg = 1200 gram
Jadi, tanda pertidaksamaan ≤
Dari tabel dapat dibuat pertidaksamaan:
200 + 100 ≤ 4000 disederhanakan: 2 + ≤ 40
25 + 50 ≤ 1200 disederhanakan: + 2 ≤ 48
Karena jumlah x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif maka:
≥ 0
≥ 0
Keempat pertidaksamaan di atas merupakan persyaratan yang harus dipenuhi
disebut fungsi kendala.
Harga roti A Rp 5000,00 dan roti B Rp 4000,00
Maka hasil penjualan dapat dirumuskan dengan = 5000 + 4000
disebut fungsi objektif atau fungsi sasaran yang dapat dimaksimumkan atau
diminimumkan.
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 36
D. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM
1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan fungsi besar keuntungan maksimum yang dapat
diperoleh atau menentukan biaya minimum yang dapat dikeluarkan, kita
dapat menyelidiki nilai fungsi objektif pada titik-titik pojok daerah
penyelesaian. Metode ini disebut uju titik pojok.
Langkah-langkah yang ditempuh dalam menggunakan uji titik pojok antara
lain:
a. Ubah persoalan verbal (kalimat matematika) ke dalam model
matematika (sistem pertidaksamaan) dan tentukan fungsi objektifnya.
b. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat
c. Gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang diperoleh
pada langkah a
d. Identifikasikan dan tentukan titik koordinat dari setiap titik pojok pada
daerah penyelesaian
e. Hitung nilai dari bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau
minimum) yang bersesuaian dengan titik pojok yang diperoleh
sebelumnya sehingga didapat nilai optimum (maksimum atau minimum).
Contoh:
Dalam suatu pentas, panitia menjual dua jenis tiket. Tiket yang tersedia
hanya 200 lembar. Setiap kelas VIP mendapat souvenir 30 buah, sedangkan
penonton biasa hanya mendapat 10 souvenir. Souvenir yang disediakan
panitia hanya 3.000 buah. Bila tiket penonton VIP Rp 100.000,00 dan
penonton biasa RP 50.000,00. Berapa banyak masing-masing tiket harus
terjual agar panitia memperoleh penghasilan maksimum!
Penyelesaian :
Diketahui : Dalam suatu pentas, panitia menjual dua jenis tiket
: Tiket yang tersedia hanya 200 lembar
: Setiap kelas VIP mendapat souvenir 30 buah
: Penonton biasa hanya mendapat 10 souvenir
: Souvenir yang disediakan panitia hanya 3.000 buah
: Tiket penonton VIP Rp 100.000,00
: Penonton biasa RP 50.000,00
Ditanya : Berapa banyak masing-masing tiket harus terjual agar
: panitia memperoleh penghasilan maksimum?
Jawab :
Misalkan : Tiket VIP =
: Tiket biasa =
Pernyataan diatas dapat dibuat dalam tabel seperti berikut:
Variabel Tiket VIP Tiket biasa Persediaan
( ) ( )
Banyak 1 1 200
Souvenir 30 10 3000
Harga tiket 100.000 50.000
Dari data diatas dapat dibuat model matematika sebagai berikut:
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 37
Fungsi objektif :
= 100.000 + 50.000
+ ≤ 200
30 + 10 ≤ 3000, disederhanakan 3 + ≤ 300
≥ 0
≥ 0
Titik potong garis x + y = 200 dengan sumbu koordinat:
0 200
200 0
( , ) (0, 200) (200, 0)
Uji titik (0, 0) pada garis.
+ ≤ 200 ⟹ (0) + (0) ≤ 200 ⟹ 0 ≤ 200 (BENAR)
Pertidaksamaan yang diperoleh merupakan pertidaksamaan yang benar,
sehingga daerah yang mempunyai titik uji (0, 0) merupakan daerah
penyelesaian pertidaksamaan.
Titik potong garis 3x + y = 300 dengan sumbu koordinat:
0 100
300 0
( , ) (0, 300) (100, 0)
Uji titik (0, 0) pada garis.
3 + ≤ 300 ⟹ 3(0) + (0) ≤ 300 ⟹ 0 ≤ 300 (BENAR)
Pertidaksamaan yang diperoleh merupakan pertidaksamaan yang benar,
sehingga daerah yang mempunyai titik uji (0, 0) merupakan daerah
penyelesaian pertidaksamaan.
Titik B merupakan titik potong kedua garis dan koordinatnya dapat dicari
dengan menggunakan cara eliminasi atau subtitusi
x + y = 200 x + y = 200
3x + y = 300 − 50 + y = 200
−2x = −100 50 + y = 150
x = 50
3 + ≤ 300
+ ≤ 200
Jadi koordinat titik potong B(50, 150)
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 38
Titik pojok pada daerah penyelesaian adalah
A(100,0), B(50, 150), C(0, 200)
Uji titik pojok pada daerah penyelesaian adalah sebagai berikut:
Titik Pojok 100.000x + 50.000y
A(100,0) 10.000.000
B(50, 150) 12.500.000
C(0, 200) 10.000.000
Dari tabel diperoleh keuntungan maksimum akan dicapai apabila terjual
sebanyak 50 lembar VIP dan 150 lembar tiket biasa yaitu sebesar
Rp 12.500.000,00
2. Garis Selidik
Garis selidik adalah suatu garis yang digunakan untuk menyelidiki nilai
optimum (maksimum atau minimum) yang diperoleh dari fungsi sasaran
atau fungsi objektif.
Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan nilai optimum dengan
menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut :
1. Buatlah garis + = , dimana + merupakan bentuk
objektif yang dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah, ambil =
.
2. Buatlah garis-garis sejajar + = , yaitu dengan cara
mengambil yang berbeda atau menggeser garis + = ke kiri
atau ke kanan.
Jika + = 1 adalah garis yang paling kiri pada daerah
penyelesaian yang melalui titik ( 1, 1),
maka 1 = 1 + 1 merupakan nilai minimum
Jika + = 2 adalah garis yang paling kanan pada daerah
penyelesaian yang melalui titik ( 2, 2),
maka 2 = 2 + 2 merupakan nilai maksimum bentuk objektif
tersebut.
Contoh:
Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum
dari fungsi objektif = 2 + 3 pada daerah feasible yang ditunjukan
pada gambar di atas !
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 39
Penyelesaian :
Untuk menentukan maksimum dan minimum yang pertama dilakukan
adalah dengan membuat persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui
yaitu 2 + 3 = 6 = , dan dinamai dengan garis .
Perhatikan gambar di atas !
Geserlah garis g sehingga memotong daerah feasible di titik yang paling kiti,
yaitu garis 1 yang merupakan garis yang sejajar dengan garis g dan tepat
melalui titik (1, 2). Dengan demikian :
nilai minimum adalah 1 = 2(1) + 3(2) = 8.
Sedangkan garis 2 merupakan garis yang paling kanan dan tepat melalui
titik (5, 4). Dengan demikian :
nilai maksimum adalah 2 = 2(5) + 3(4) = 22.
LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Seorang penjaga buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan
jeruk. Harga pembelian apel Rp 5.000 tiap kg sedangkan jeruk Rp 2.000 tiap kg.
Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp 1.250.000 dan muatan gerobak tidak
melebihi 400 kg. Jika menyatakan banyak apel dan menyatakan banyaknya
jeruk, maka model matematika dari pernyataan di atas adalah . . .
a. 5 + 2 ≤ 1250; + ≤ 400; ≤ 0; ≤ 0
b. 5 + 2 ≤ 1250; + ≥ 400; ≤ 0; ≤ 0
c. 5 + 2 ≤ 1250; + ≤ 400; ≥ 0; ≥ 0
d. 5 + 2 ≥ 1250; + ≤ 400; ≤ 0; ≤ 0
e. 5 + 2 ≥ 1250; + ≥ 400; > 0; ≥ 0
2. Nilai minimum fungsi obyektif ( , ) = + 2 dari sistem pertidaksamaan
2 + ≥ 20; 4 + 3 ≥ 48; ≥ 0; ≥ 0 adalah . . .
a. 10
b. 12
c. 22
d. 32
e. 40
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 40
3. Nilai maksimum 3 + pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:
10 + 4 ≥ 260; 2 + 4 ≥ 100; ≥ 0; ≥ 0 adalah . . .
a. 130
b. 135
c. 85
d. 65
e. 50
4. Makanan A yang harga belinya Rp 2.000 per bungkus dijual dengan laba Rp 4.00
per bungkus, sedangkan makanan B yang harga belinya Rp 1.000 per bungkus
dijual dengan laba Rp 300 per bungkus. Seorang pedagang makanan
mempunyai modal Rp 8.00.000 dan kiosnya dapat menampung 500 bungkus
makanan, akan memperoleh keuntungan sebesar-besarnya jika ia dpat menjual .
..
a. 300 bungkus makanan A dan 200 bungkus makanan B
b. 200 bungkus makanan A dan 300 bungkus makanan B
c. 250 bungkus makanan A dan 250 bungkus makanan B
d. 100 bungkus makanan A dan 400 bungkus makanan B
e. 400 bungkus makanan A dan 100 bungkus makanan B
5. Seorang pedagang sayuran yang menggunakan gerobak menjual Sawi dan kol.
Harga pembelian Sawi Rp 5.000 tiap kg sedangkan kol Rp 2.000 tiap kg.
Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp 1.250.000 dan muatan gerobak tidak
melebihi 400 kg. Jika menyatakan banyak Sawi dan menyatakan banyaknya
kol, maka model matematika dari pernyataan di atas adalah . . .
a. 5 + 2 ≤ 1250; + ≤ 400; ≤ 0; ≤ 0
b. 5 + 2 ≤ 1250; + ≥ 400; ≤ 0; ≤ 0
c. 5 + 2 ≤ 1250; + ≤ 400; ≥ 0; ≥ 0
d. 5 + 2 ≥ 1250; + ≤ 400; ≤ 0; ≤ 0
e. 5 + 2 ≥ 1250; + ≥ 400; > 0; ≥ 0
6. Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
2 + ≤ 6, + 3 ≥ 6, ≥ 0, ≥ 0
Untuk , anggota builangan real adalah . . .
a. I
b. II
c. III
d. IV
e. V
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 41
7. Perhatikan gambar berikut ini!
Nilai minimum untuk fungsi objektif = 3 + 5 adalah . . .
a. 15
b. 16
c. 17
d. 18
e. 19
8. Sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah
adalah . . .
a. 3 + 4 ≥ 12 ; 3 + ≤ 6 ; ≥ 0; ≥ 0
b. 3 + 4 ≤ 12 ; 3 + ≥ 6 ; ≥ 0; ≥ 0
c. 3 + 4 ≥ 12 ; + ≤ 6 ; ≤ 0; ≥ 0
d. 3 + 4 ≤ 12 ; 3 + ≤ 6 ; ≥ 0; ≥ 0
e. 3 + 4 ≥ 12 ; 3 + ≥ 6 ; ≥ 0; ≥ 0
9. Daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan 3 + 2 ≤ 36 ; + 2 ≥
20 ; ≥ 0 dan ≥ 0 pada gambar di bawah adalah . . .
a. I
b. II
c. III
d. IV
e. V
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 42
10. Nilai maksimum fungsi objektif ( , ) = 4 + 5 yang memenuhi system
pertidaksamaan + 2 ≥ 6 ; + ≤ 8 ; ≥ 0 ; ≥ 2 adalah . . .
a. 15
b. 18
c. 34
d. 40
e. 44
II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut pada sistem
koordinat cartesius!
a. 12 ≥ 60
b. 9 + 6 > 36
2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.
2 + 2 ≤ 72; 6 + 8 ≤ 240; ≥ 0; ≥ 0; , ∈ ℜ
3. Pesawat penumpang sebuah perusahaan penerbangan domestik mempunyai
tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa
bagasi seberat 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya mampu
membawa bagasi seberat 1440 kg . bila harga tiket kelas eksekutif
Rp 1.000.000,00 dan kelas ekonomi Rp 800.000,00 serta semua tiket habis
terjual, tuliskan model matematikanya!
4. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki
paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko
tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan tiap pasang sepatu laki-
laki Rp 1.000,00 dan setiap pasang sepatu wanita Rp 500,00 jika banyaknya
sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, buatlah model matematika
dari persoalan itu!
5. Dalam suatu pentas, panitia menjual dua jenis tiket. Tiket yang tersedia hanya
200 lembar. Setiap kelas VIP mendapat souvenir 30 buah, sedangkan penonton
biasa hanya mendapat 10 souvenir. Souvenir yang disediakan panitia hanya
3.000 buah. Bila tiket penonton VIP Rp 100.000,00 dan penonton biasa
RP 50.000,00. Berapa banyak masing-masing tiket harus terjual agar panitia
memperoleh penghasilan maksimum!
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 43
BARISAN DAN DERET
APERSEPSI
Pernahkah Anda menonton film di bioskop ? Coba Ingatlah bagaimana susunan
kursi tempat duduk penonton dalam gedung bioskop! Susunan tempat duduk
tersebut membentuk barisan maupun deret. Apakah yang dimaksud dengan
barisan dan deret? Dapatkah Anda mengemukakan penerapan Konsep barisan
dan deret dalam kehidupan sehari-hari? Rumusan barisan dan deret sebagai
susunan bilangan dapat di buktikan dengan induksi matematika. Bagaimanakah
cara membuktikan barisan dan deret menggunakan induksi matematika?
Pelajarilah uraian materi berikut dengan seksama untuk memahaminya secara
mendalam!
KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaikan masalah kontekstual
3.1 Menganalisis barisan dan deret yang berkaitan dengan barisan dan
deret aritmatika
aritmetika
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual
3.2 Menganalisis barisan dan deret yang berkaitan dengan barisan dan
geometri deret geometri
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 44
PETA KONSEP
A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
1. Barisan Aritmatika
Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan,
yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), maka
barisan bilangan itu disebut barisan aritmatika.
Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut
= + ( − 1)
dimana
= banyak suku
= suku pertama
= banyak suku
= beda
dimana = − −1
Contoh:
Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke− dari barisan 5, 10, 15, 20, ⋯
Penyelesaian:
Barisan 5, 10, 15, 20, ⋯
Suku pertama ( 1) = = 5
Beda ( ) = − −1
Beda ( ) = 2 − 2−1
Beda ( ) = 2 − 1
Beda ( ) = 10 − 5
Beda ( ) = 5
Rumus suku ke− ( ) = + ( − 1)
Rumus suku ke− ( ) = 5 + ( − 1)5
Rumus suku ke− ( ) = 5 + 5 − 5
Rumus suku ke− ( ) = 5
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 45
Contoh:
Tentukan banyak suku dari barisan 2, 4, 6, ⋯ , 126
Penyelesaian:
Barisan 2, 4, 6, ⋯ , 126
2, 4, 6, ⋯ , 126
↓ ↓
1
= 2 = 2 − 1
= 4 − 2
= 2
= 2 = 2
= + ( − 1)
126 = 2 + ( − 1)2
126 = 2 + 2 − 2
126 = 2
126
2 =
63 =
Jadi, banyak suku dari barisan adalah 63
Contoh:
Tentukan suku ke−10 dari barisan 2, −1, −3, −7, ⋯
Penyelesaian:
Barisan 2, −1, −3, −7, ⋯
= 2 = 2 − 1
= 2 = −1 − 2
= 2 = −3
= + ( − 1)
10 = 2 + (10 − 1) − 3
10 = 2 − 30 + 3
10 = −25
Contoh:
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke−4 = 17 dan suku ke−9 = 37.
Tentukan suku ke 41
Penyelesaian:
= + ( − 1)
Suku ke−4 ( 4) = 17
Suku ke−4 ( 4) = + (4 − 1) = 17
Suku ke−4 ( 4) = + 3 = 17 ⋯ (1)
Suku ke−9 ( 9) = 37
Suku ke−4 ( 4) = + (9 − 1) = 17
Suku ke−4 ( 4) = + 8 = 37 ⋯ (2)
Eliminai (1) dan (2)
+ 3 = 17
+ 8 = 37 −
− 5 = −20
= 4
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 46
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
BAHAN AJAR MATEMATIKA FULL
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search