BAHAN AJAR MATEMATIKA FULL

Subtitusi = 4 ke (1)

+ 3 = 17
+ 3(4) = 17

+ 12 = 17

12 + = 17 − 12

12 + = 5
= + ( − 1)
41 = 5 + (41 − 1)4
41 = 5 + (40)4
41 = 5 + 160
41 = 165
Jadi, suku ke−41 adalah 165

2. Deret Aritmatika (Deret Hitung)

Bentuk umum deret aritmatika dinyatakan sebagai

1 + 2 + 3 + ⋯ +
Deret aritmatika adalah suatu barisan aritmatika yang suku-sukunya

dijumlahkan. Apabila jumlah suku barisan aritmatika yang beraturan

dinyatakan sebagai , maka


= 2 (2 + ( − 1) )
dengan

= jumlah suku pertama
= suku ke
= suku pertama

= beda

= banyak suku

Contoh:

Tentukan rumus suku pertama dari deret aritmatika 2 + 5 + 8 + ⋯

Penyelesaian:

Deret aritmatika 2 + 5 + 8 + ⋯

= 2 = 5 − 2 = 3

= (2 + ( − 1) )
2

= 2 (2(2) + ( − 1)3)


= 2 (4 + 3 − 3)

= 2 (1 + 3 )

3 2
= 2 + 2

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 47

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 11 + 16 + 21

Penyelesaian:

Deret aritmatika 11 + 16 + 21 + ⋯

= 11 = 16 − 11 = 5

= 2 (2 + ( − 1) )

10
10 = 2 (2(11) + (10 − 1)5)

10 = 5(22 + 45)

10 = 5(67)

10 = 335

B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berikutnya

diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan yang besrnya tetap ( = rasio).

Bentuk umum barisan geometri adalah sebagai berikut.
= −1

dengan

= suku ke−
= banyak suku

= rasio antara dua suku yang berurutan

dimana =

−1

Contoh:

Diketahui bsrisan geometri 2, 4, 8, 16, ⋯. Tentukan suku pertama, rasio,

rumus suku ke− .
Penyelesaian:
bsrisan geometri 2, 4, 8, 16, ⋯

Suku pertama ( 1) = = 2
Rsio ( ) =

−1

Rsio ( ) = 2

1

Rsio ( ) = 4

2

Rsio ( ) = 2

= −1
= 2. 2 −1
= 21+ −1
= 2

Contoh:

Tentukan suku ke 5 dari barisan 27, 9, 3, 1, ⋯

barisan 27, 9, 3, 1, ⋯

= 27 = 2 = 9 = 1
1 27 3

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 48

= −1

1 5−1
5 = 27. (3)

14
5 = 27. (3)

1
5 = 27. 81

27
5 = 81

1
5 = 3

Contoh:

Diketahui barisan geometri, 3 = 3 dan 5 = 27. Tentukan suku ke−8.

= −1

Suku ke−3 ( 3) = 3

Suku ke−3 ( 3) = 3−1 = 3

Suku ke−3 ( 3) = 2 = 3 ⋯ (1)

Suku ke−5 ( 5) = 27

Suku ke−3 ( 3) = 5−1 = 27

Suku ke−3 ( 3) = 4 = 27 ⋯ (2)

5 ⟺ 27 = 4
3 3 2

9 = 4−2

9 = 2

3 =

= −1
3 = 33−1
3 = 32

3 = 9

1
= 3

= −1

8 = 1 38−1
3

8 = 36

2. Deret Geometri

Seperti pada deret aritmatika, deret geometri juga dinyatakan dengan ,
yaitu:

Untuk <

(1 − )
= 1 −

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 49

Untuk >
( − 1)

= − 1
Contoh:

Tentukan rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri

3 + 6 + 12 + 24 + ⋯

Penyelesaian:

6
= 3 = 3 = 2
( −1)
Karena > 1, maka = −1

3(25 − 1)
5 = 2 − 1

5 = 3(32 − 1)

1

3(31)
5 = 1
93
5 = 1

5 = 93

Contoh:

Tentukan rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri

11
2+1+2+4+⋯

Penyelesaian:

1 (1− )
= 2 = 2 1−

Karena < 1, maka =

5 = 2(1 − (21)5−1)
1
− 1
2

5 = 2(1 − (12)4)
1

2

30

5 = 16
1

2

30 2
5 = 16 × 1

30
5 = 8

15
5 = 4

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 50

3. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya

tak hingga.
dengan ∞ = 1 −

∞ = jumlah deret geometri tak hingga
= suku pertama

= rasio

Contoh:

Hitung jumlah deret tak hingga: 18 + 6 + 2 + ⋯
Penyelesaian:

61
= 18 = 18 = 3


∞ = 1 −
18
∞ =
1
1 − 3

18
∞ = 2

3

∞ = 27

Contoh:

Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari
lantai, bola mencapai ketinggian 3 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah

4

panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti?

Penyelesaian:

Saat bola turun

Deret lintasan saat bola naik : 2 + 3 + 9 + 27 + 81 + ⋯

2 8 32 128

Panjang lintasan saat bola naik: ∞ = = 2 = 2 = 8
1− 1−14
1

4

Saat bola naik

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 51

Deret lintasan saat bola naik : 3 + 9 + 27 + 81 + ⋯

2 8 32 128

33
1−
Panjang lintasan saat bola naik: ∞ = = 2 = 2 = 6
1
1−14 4

Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah panjang lintasan saat

bola turun + panjang lintasan saat bola naik = 8 m + 6 m = 14 m

LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Rumus umum suku ke- untuk barisan aritmetika −1, 1, 3, 5, 7, ⋯ adalah ⋯

a. = + 2
b. = 2 − 1
c. = 2 − 2
d. = 2 − 3
e. = 3 − 2
2. Suku ke – 15 dari barisan 3, 5, 7, 9 … adalah . . .
a. 12
b. 24
c. 31
d. 168
e. 256
3. Jumlah nn suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan = 5 2 + 3 .

22

Suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah . . .
a. 49
b. 47,5
c. 33,5
d. 33
e. 29
4. Jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmetika ialah 500. Jika suku pertama
ialah 5, maka suku terakhir deret itu adalah . . .
a. 35
b. 39
c. 45
d. 48
e. 52
5. Dalam suatu deret aritmetika, jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, sedangkan
jumlah 12 suku pertamanya adalah 129. Jika suku ke-n adalah 193, nilai = . . .
a. 118
b. 122
c. 126
d. 128
e. 130

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 52

6. Suatu barisan geometri dengan suku pertama 16 dan 4 = 2. Jumlah 6 suku
pertama barisan tersebut adalah . . .
a. 31
b. 31,5
c. 32
d. 63
e. 64

7. Jumlah deret geometri tak hingga 6 + 2 + 2 + 2 + . . . adalah . . .

39

a. 8 8

9

b. 8 26

27

c. 9
d. 10
e. 18
8. Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 6 dan rasio 2 adalah . . .

3

a. 2

3

b. 6 2

3

c. 7 1

2

d. 10
e. 18
9. Jumlah lima suku pertama dari barisan geometri 2 + 6 + 18, . .. adalah . . .
a. 252
b. 243
c. 242
d. 240
e. 229
10. Rasio dari barisan 32, 16, 8, 4, … adalah . . .
a. 2
b. 1
c. 1

2

d. 1

4

e. 1

8

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke−7 = 10 dan suku ke−13 = −2.

Tentukan suku ke 20
2. Diketahui barisan aritmatika 5 = 21 dan 10 = 41. Tentukan jumlah 11 suku

pertama barisan tersebut.
3. Ahmad menabung setiap hari semakin besar: Rp 3.000; Rp 3.500; Rp 4.000; dan

seterusnya. Setelah berapa hari jumlah tabungannya menjadi Rp 630.000

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 53

4. Jika suku pertama suatu barisan geometri 16 dan suku ketiga 36, hitunglah
besar suku kelima.

5. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 25 dm. Bola tersebut memantul lalu mencapai
ketinggian yang membentuk barisan geometri: 20 dm, 16 dm, ⋯. Hitung rasio,
kemudian tentukan panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti.

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 54

BUNGA, PERTUMBUHAN,
DAN PELURUHAN

APERSEPSI

Amir Berencana akan menginvestasikan uangnya sebesar Rp50.000.000 di bank
dengan keinginan mendapat keuntungan yang besar. Dia memasuki bank lokal A
di daerahnya dan bertemu dengan pegawai di sana. Bank tersebut menawarkan
program investasi dengan bunga tunggal 10% setiap tahunnya selama 5
tahun. Amir Akan menerima bunga setiap tahunnya sejumlah Rp5.000.000.
Sebelum memutuskan berinvestasi, Amir pergi ke bank lokal B yang tidak jauh
dari bank sebelumnya. Bank B menawarkan program investasi dengan modal
sama selama 5 tahun tetapi dengan bunga majemuk 9% setiap
tahunnya. Dapatkah anda membantu Amir, bank mana yang akan diambil untuk
menginvestasikan uangnya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah
materi pada bab ini dengan sungguh-sungguh.

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaiakan masalah kontekstual
3.1 Menganalisis pertumbuhan, yang berkaitan dengan
pertumbuhan, peluruhan, bunga dan
peluruhan, bunga dan anuitas anuitas

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 55

PETA KONSEP

A. MEYELESAIKAN MASALAH BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK DALAM

KEUANGAN.

1. Bunga Tunggal

Bunga Tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu

tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam.

Mr = (1 + ) Besar bunga = . .

Rumus untuk menghitung besaran investasi atau besar pengemmbalian

pinjaman pada tahun ke-n (Mn), dengan besar investasi awal M dan besar

persentase bunga p% pertahun adalah :

Konsep yang digunakan pada bunga tunggal adalah konsep

barisan dan deret aritmatika.

Contoh :

Jika wati menabung uangnya sebesar Rp. 15.000.000,- dibank dengan bunga

tunggal yang ditawarkan sebesar 8% pertahun, maka tentukan tptal saldo

tabungannya pada akhi tahun ke-6!

Penyelesaian :

M = Rp. 15.000.000,-

p = 8%/tahun

n = 6 tahun

Sehingga

Mn = M (1+np) ====> M6 = 15.000.000 (1+6 x 0.08)

M6 = 15.000.000 (1,48) ====> M6 = 22.200.000

Contoh :

Pak Hadi membutuhkan dana untuk merenovasi rumahnya. Beliau

memutuskan untuk meminjam uang sebesar Rp. 100.000.000,- ke bank

dengan bunga tunggal 5% per tahun. Pak Doni berencana akan melunasi

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 56

pinjamannya setelah tahun keempat. Tentukan besar total bunga pinjaman
Pah Hadi yang harus dibayar!
Penyelesaian:
M = Rp. 100.000.000,-
p = 5%/tahun = 0.05/tahun
n = 4 tahun
sehingga
Mn = M (1+np)
M4 = 100.000.000 (1 + 4 x 0,05)
M4 = 100.000.000 (1,2) ====> M4 = 120.000.000

Maka total bunga pinjaman Pak Hadi selama 4 tahun adalah:
B = Rp. 120.00.000 – Rp.100.000.000
B = Rp. 20.000.000,-
Contoh:
Ibu Tini meminjam uang kepada Koperasi Media Makmur sebesar Rp.
40.000.000. besar persentase bunga pinjaman 3% per tahun dengan
perhitungan bunga tunggal. Jika setelah n tahun Ibu Tini harus
mengembalikan sebesar Rp. 52.000.000, maka nilai n adalah ….
Penyelesaian :
M = 40.000.000
Mn = 52.000.000
p = 3%/tahun = 0.03/tahun
sehingga
Mn = M (1+np)
52.000.000 = 40.000.000 (1+ n.0,03)
52.000.000 = 40.000.000 + 1.200.000 n
12.000.000 = 1.200.000 n
n = 12.000.000 : 1.200.000 = 10
maka lamanya waktu peminjaman uang adalah 10 tahun.

2. Diskonto
Diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam saat menerima
pinjaman.
Jika nilai diskonto = D, jumlahuang yang diterima saat meminjam atau Nilai
Tunai = NT, dan jumlah uang yang harus dikembalikan atau Nilai Akhir =
NA, maka hubungan ketiganya dinyatakan dalam bentuk :
D = Na - Nt

Ada dua cara untuk mencari diskonto adalah sebagai berikut :
1. Diskonto dari nilai akhir


= . 100 . ℎ

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 57

2. Diskonto dari nilai tunai


= . 100 − .
Keterangan :
D = Diskonto
P = Suku bunga diskonto
NA = Nilai akhir
NT = Nilai tunai
t = Waktu pinjaman
h = 1,12 dan 360
Contoh :
Pinjaman sebesar Rp. 2.000.000,- dengan system diskonto 3%/bulan dan
akan dikembalikan setelah 5 bulan. Tentukan:
Penyelesaian:
NA = Rp. 2.000.000,-
P =3
t = 5 bulan
h = 1 (karena diskonto perbulan dan pernyataan dalam bulan)
Sehingga
a. = . .

100 ℎ

D = Rp. 2.000.000 x 3/100 x 5/1 = Rp.300.000,-
b. NT = NA – D

NT = (Rp. 2.000.000,-) – (Rp. 300.000,-) = Rp. 1.700.000,-
Contoh :
Pinjaman sebesar Rp. 5.000.000,- dengan sistem diskonto 18%/tahun dan
akan dikembalikan setelah 9 bulan. Tentukan:
a. Nilai diskonto (D)
b. Modal yang diterima peminjam (NT)
Penyelesaian :
NA = Rp. 5.000.000
P = 18
t= 9 bulan
h= 12 (karena diskonto pertahun dirubah perbulan sesuai pertanyaan 9
bulan)
Sehingga
a. = . .

100 ℎ

= 5.000.000. 18 . 9 = . 675.000, −

100 12

b. NT = NA – D
NT = ( Rp. 5.000.000,-) – (Rp. 675.000,-) = Rp. 4.325.000,-

3. Bungan Majemuk
Bunga majemuk adalah perhitungan bunga pinjaman atau investasi, di mana
perhitungan bunga tiapa periode berbeda – beda. Besaran bunga periode

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 58

selanjutnya dihitung dari jumlah simpanan atau pinjaman periode
sebelumnya. Jika besar pinjaman atau investasi awal M, besar persentase
bunga majemuk p (dalam persen), maka besar pinjaman atau investasi pada
akhir periode tahun ke – n adalah :

Mn = M(1 + p)n
Konsep yang digunakan pada bunga majemuk,
pertumbuhan dan peluruhan adalah konsep barisan dan
deret geometri.
Contoh :
Suatu modal sebesar Rp. 1.500.000,00 diinvestasikan dengan bunga 7% per
tahun. Tentukan besar modal di akhir tahun kedua jika modal diinvestasikan
dengan bunga majemuk!
Penyelesaian :
M = Rp. 1.500.000,00
p = 7%/tahun = 0.07/tahun
n = 2 tahun
Sehingga
Mn = M (1+p)n
Mn = 1.500.500 (1 + 0.07)2
Mn = 1.500.000 (1.07)2 ====> Mn = 1.500.000 (1,1449) = Rp 1.717.350,00
Contoh :
Murni menginvestasikan uangnya sebesar Rp. 9.000.000 di suatu perusahaan
dengan perjanjian mendapatkan bunga 6% per tahun dengan perhitungan
bunga majemuk. Jika pembayaran keuntungan dilakukan per caturwulan,
maka uang murni pada akhir bulan ke-20 adalah…
Penyelesaian:
M = Rp. 9.000.000
p = 6%/tahun = 1/3 x 0,006/4 bulan
n = 20 bulan = 5 x 4 bulan
Sehingga
Mn = M (1 + p)n
Mn = 9.000.000 (1 + 1/3 x 0.06)5
Mn = 9.000.000 (1,02)5
Mn = 9.936.727,229

B. PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN
1. Pertumbuhan
Formula untuk menghitung masalah pertumbuhan suatu objek, tidak
berbeda dengan perhitungan bunga majemuk. Bila kondisi awal ada
sebanyak dengan besar pertumbuhan p (dalam persen) dari tahun
sebelumnya, maka banyak objek yang tumbuh pada akhir tahun ke–n adalah
:
Nn = N0(1 + p)n

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 59

Contoh :

Sebuah penelitian menemukan fakta bahwa pertumbuhan jumlah penduduk

pada suatu kota selalu menjadi 2 kali lipat dari tahun sebelumnya.

Berdasarkan data penduduk tahun 2008 menunjukkan banyaknya

penduduk dikota tersebut adalah 10.000 jiwa. Banyaknya penduduk dikota

tersebut pada tahun 2013 adalah….

Penyelesaian:

Pada tahuan 2013 => n = 5

Karena 2 kali lipat tahun sebelumnya artinya tahun 2009 menjadi 20.000

jiwa sehingga = 20.000−10.000 100% = 10.000 100% = 100% = 1
10.000 10.000

N5 = 10.000 (1 +1)5 ==> N5 = 10.000 (2)5

N5 = 320.000 jiwa

Cara lain dengan menggunakan konsep deret geometri:

a = 10.000 juta jiwa (tahun 2008)

U2 = 20.000 juta jiwa (tahun 2009)

U3 = 40.000 juta jiwa (tahun 2010)

U4 = 80.000 juta jiwa ( tahun 2011)

U5 = 160.000 juta jiwa ( tahun 2012)

U6 = 320.000 juta jiwa ( tahun 2013)

Atau dengan rumus deret geometri:

a = 10.000

r=2

n = 6 (karena U1 terjadi mulai tahun 2008 maka U6 tahun 2013)

U6 = ar5

U6 = 10.000 x 25 ===> U6 = 10.000 x 32

U6 = 320.000 jiwa
Contoh:
Pertumbuhan suatu bakteri terdeteksi meningkat 4% dari satu jam

sebelumnya. Bila pada pukul 07:00 terdeteksi ada 150 bakteri, maka pada

pukul 12:00 banyak bakteri akan sebanyak…

Penyelesain :

N0 = 150 bakteri

P = 4% = 0,04

Jam 12:00 adalah 5 jam setelah pukul 07:00 maka n = 5, maka

N5 = 150 (1+0.04)5 ===> N5 = 150 (1.04)5 ===> 150 (1.22)

N5 = 183

2. Peluruhan
Peluruhan atau penurunan adalah suatu kondisi penurunan jumlah suatu
objek dengan persentase penurunan yang tetap. Masalah ini adalah
kebalikan dari masalah pertumbuhan di mana formula untuk menghitung
besar peluruhan adalah

Nn = N0(1 - p)n

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 60

Dengan kondisi awal, Nw adalah banyak objek setelah meluruh selama
satuan waktu w, dengan p adalah persentase peluruhannya.
Contoh :
Suatu mobil dibeli dengan harga Rp.180.000.000 pada tahun 2015. Jika
diasumsikan harga mobil akan turun sebesar 2% dari tahun sebelumnya.
Hitunglah harga mobil:
a. Pada tahun 2017!
b. Pada tahun 2021!
Penyelesaian:
Tahun 2015 = tahun ke – 0
N0 = Rp.180.000.000
p = 2% = 0,02
a. Tahun 2017 = tahun ke – 2

Nn = N0 (1 – p)n
N2 = 180.000.000 (1–00,2)2 ==> N2 = 180.000.000 (0.98)2 ==>
N2 = Rp. 172.872.00
b. Tahun 2021 = tahun ke – 6
Nn = N0 (1–p)n
N6 = 180.000.000 (1-0.02)6 ===> N6 = 180.000.000 (0.98)6 ==>
N6 = Rp. 159.451.628,56

C. ANUITAS
1. Pengertian Anuitas
Anuitas adalah sejumlah pembayaran (cicilan) yang sama besarnya, yang
dibayarkan setiap akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bunga dan
bagian angsuran. Dirumuskan dengan :

= + , = 1,2,3

= 1(1 + ) −1 = 1(1 + ) −1

= − −1 = −

=

Anuitas =angsuran + bunga

= 1 − 1 ((1 + ) − 1) = +1


Keterangan :
A = Anuitas

an = angsuran periode ke-n
bn = bunga periode ke-n
a1 = angsuran pertama
a2 = angsuran periode ke-k
p = suku bunga setiap periodenya

M =Besar pinjaman awal periode

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 61

Contoh:
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya
anuitas Rp. 400.000,- tentukan :
a. Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama Rp. 250.000,-
b. Besarnya bunga ke-5 angsuran ke-5 adalah Rp. 315.000,-
Penyelesaian :
A = Rp. 400.000,-
b1 = Rp. 250.000,-
a5 = Rp. 315.000,-
Sehingga ; A = a1 + ba
a. A = a1 + b1 = => a1 = a – b1

a1 = 400.000 – 250.000 = Rp. 150.000,- (besar angsuran pertama)
b. A = a5 - b5 = = > b5 = A – a5

b5 = 400.000 – 315.000 = Rp. 85.000,- (besar bunga periode ke-5)
Contoh:
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan system anuitas tahunan. Tentukan
besar anuitas jika besarnya angsuran ke-7 dan bunga ke-7 masing-masing
adalah Rp. 425.000,- dan Rp. 75.000,-
Penyelesainya :
a7 = Rp. 425.000,- dan b7 = Rp. 75.000,-
sehingga : A = aa + ba
A = Rp. 425.000 + Rp. 75.000 + Rp. 500.000,-

2. Rumus Perhitungan Anuitas


= (1 − (1 + )− )

=

Catatan : daftar anuitas kolom p % dan baris ke-n

Contoh :

Jika pinjaman sebesar Rp. 600.000,- selama 2 tahun dengan suku bunga 3%

/bulan, tentukan :

a. Nilai Anuitasnya

b. Bunga dan angsuran pertama

Penyelesaian :

M = Rp. 6.000.000,-

p = 3% = 0,03 dan n = 24 bulan

sehingga;

a. Nilai anuitasnya

0,03 0,03
= 6.000.000 (1 − (1 + 0,03)−24) ==> = 6.000.000 (1 − (1,03)−24)

= 6.000.000 0,03 ==> = 6.000.000(0,0590474159)
(0,5080662637)

= 354.282,5

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 62

b. Bunga dan angsuran pertama
b1 = M x p
b1 = 6.000.000 x 0,03 = Rp. 180.000,- (bunga periode pertama) dan
a1 = A – b1
a1 = Rp. 354.284,5 – Rp. 180.000
a1 = Rp. 174.285,5 (angsuran pertama)

Contoh :
Andi berencana mengambil sebuah rumah dengan harga Rp. 350.000.000,00
Andi hanya mempunyai uang muka Rp. 150.000.000,00, sisanya akan dicicil
dengan sistem anuitas tahunan selama 8 tahun dengan suku bunga 12% /
tahun, tentukan :
a. Nilai anuitasnya
b. Cicilan setiap bulan
Penyelesaian :
M = Rp. 350.000.000,00 – Rp. 150.000.000,00 = Rp. 200.000.000,00
P = 12% = 0,12 / tahun dengan n = 8 tahun
Sehingga;
a. Nilai anuitasnya

0,12
= 200.000.000 (1 − (1 + 0,12)−8) ==>

0,12
= 200.000.000 (1 − (1,12)−8)

0,12
= 200.000.000 (0,596116772) ==>

= 200.000.000(0,2013028414)
= . 40.260.568,28
b. Cicilan setiap bulan

= 40.260.568,28 = Rp. 3.355.047,36

12

LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Rani menyimpan uang di bank mini sekolah Rp. 750.000.00 selama 1 tahun 6

bulan, dengan suku bunga tunggal 2 % per bulan. Besar simpanan Rani berikut
bunganya adalah …
a. Rp. 480.000.00
b. Rp. 500.000.00
c. Rp. 1.000.000.00
d. Rp. 1.020.000.00
e. Rp. 1.200.000.00
2. Yulia seorang pengusaha muda lulusan SMK, ia akan meminjam uang di
koperasi sebesar Rp. 9.000.000.00 dengan system bunga tunggal 5% per bulan.
Besar uang pinjman berikut bunga yang harus dikembalikan setelah 4 bulan

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 63

adalah…
a. Rp. 9.800.000.00
b. Rp. 9.900.000.00
c. Rp. 10.500.000.00
d. Rp. 10.800.000.00
e. Rp. 11.200.000.00
3. Seorang anggota meminjam uang dari koperasi sebesar Rp. 750.000.00 dengan
bunga tunggal 2% setiap bulan. Besar bunga setelah ½ tahun adalah….
a. Rp. 15.000.00
b. Rp. 30.000.00
c. Rp. 90.000.00
d. Rp. 150.000.00
e. Rp. 300.000.00
4. Fitria meminjam uang pada sebuah koperasi, ia hanya menerima sebesar Rp.
6.600.000.00 setelah dikenakan diskonto 3% per triwulan. Besar pinjaman yang
harus dikembalikan Fitria setelah 1 tahun adalah…
a. Rp. 7.932.000.00
b. Rp. 7.500.000.00
c. Rp. 6.798.000.00
d. Rp. 6.402.000.00
e. Rp. 5.700.000.00
5. Ari meminjam uang dengan suku bunga diskonto 6% sebulan. Pinjaman
tersebut akan dikembalikan setelah 3 bulan. Jika besar uang yang diterima Rp.
5.740.000.00, besar pinjaman Ari adalah….
a. Rp. 6.500.000.00
b. Rp. 7.000.000.00
c. Rp. 7.200.000.00
d. Rp. 7.500.000.00
e. Rp. 7.800.000.00

6. Modal sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk

sebesar 10% setiap tahun. Dengan menggunakan tabel, besar modal tersebut

pada akhir bulan ke-dua adalah . . .

a. Rp3.000.000.00 10%
b. Rp3.025.000.00 1 1,1000
c. Rp3.227.000.00 2 1,2100
d. Rp3.327.000.00 3 1,3310

e. Rp3.500.000.00

7. Mulai tanggal 1 Mei 2012 dan seterusnya Setiap awal tahun, perusahaan Jaya
Abadi akan memberikan sumbangan kepada yayasan yatim piatu sebesar
Rp3.600.000,00. Pihak yayasan menginginkan sumbangan tersebut diterima
sekaligus pada tanggal 1 Mei 2012, dan pihak bank setuju dengan
memperhitungkan suku bunga majemuk sebesar 6% per tahun. Besar uang

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 64

yang diterima Yayasan adalah. . .
a. Rp56.400.000,00
b. Rp59.784.000,00
c. Rp60.000.000,00
d. Rp60.216.000,00
e. Rp63.600.000,00

8. Seorang anggota koperasi menabung sebesar Rp8.000.000,00 yang dikenakan

suku bunga tunggal. Setelah 3 tahun modal tersebut menjadi Rp9.920.000,00

suku bunga pertahun adalah. . .

a. 4%

b. 6%

c. 8%

d. 10%

e. 12%

9. Bambang meminjam uang pada koperasi dengan diskonto 7% per tahun. Ia

hanya menerima uang Rp4.650.000,00. Besar pinjaman Bambang yang harus

dikembalikan adalah. . .

a. Rp3.500.00,00

b. Rp4.000.000,00

c. Rp4.900.000,00

d. Rp5.000.000,00

e. Rp6.000.000,00

10. Sebuah modal sebesar Rp10.000.000.00 dibungakan dengan suku bunga

majemuk 2% setahun. Besar modal setelah 7 tahun adalah . . .

a. Rp1.200.000.00 10%

b. Rp 1.261.627,45 6 1,1262

c. Rp 1.400.000,00 7 1,1487

d. Rp1.487.000.00 8 1,1717

e. Rp1.717.000.00

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Berdasarkan penelitian BPS, pertumbuhan penduduk di kota selalu menjadi 3

kali lipat dari tahun sebelumnya. Hasil sensus tahun 2007 menunjukan
banyaknya penduduk di kota tersebut adalah 15.000 jiwa. Banyak penduduk di
kota tersebut pada tahun 2011 adalah…..
2. Bakteri membelah diri setiap 2 jam sekali. Jika pada pukul 07.00 banyak bakteri
450 bakteri, tentukan banyak bakteri pada pukul 17.00 hari yang sama.
3. Suatu alat dibeli dengan harga Rp. 110.000.000.00 pada tahun 2017, jika
diasumsikan harga alat akan turun 1,5% dari tahun sebelumnya. Hitunglah
harga alat tersebut setelah tahun 2020.
4. Suatu pinjaman Rp. 40.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp.

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 65

1.500.000.00 jika suku bunga 2% per bulan, tentukan besarnya bunga pertama
dan angsuran pertama.
5. Jika pinjaman sebesar Rp. 10.000.00.00 selama 5 tahun dengan suku bunga 1%
per bulan tentukan nilai anuitasnya.

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 66

PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI

APERSEPSI

Sebuah kapal pesiar akan berlayar mengarungi samudra Hindia. Awalnya kapal
berlayar dari pelabuhan A menuju ke selatan sejauh 25 km, selanjutnya berbelok
ke barat menuju pelabuhan B yang berjarak 40 km dari posisi kapal tersebut
berbelok. Dapatkah anda menentukan besar sudut yang terbentuk dari
pelabuhan A dan B? Guna menjawab rasa ingin tahu Anda, pelajari materi pada
bab ini dengan sungguh-sungguh!

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyajikan penyelesaian masalah
3.1 Menentukan perbandingan yang berkaitan dengan
perbandingan trigonometri pada
trigonometri pada segitiga siku-siku segitiga siku-siku

3.2 Menentukan nilai sudut berelasi 4.2 Menyajikan penyelesaian masalah
diberbagai kuadran nilai sudut berelasi diberbagai
kuadran

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 67

PETA KONSEP

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
1. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan b

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
2 = 2 + 2
a. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah       1800

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 68

b. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

sin  = depan = b
miring c

cos   samping  a
miring c

tan   depan  b
samping a

cotg   samping  a
depan b

sec   miring  c
samping a

csc   miring  c
depan b

Contoh :

Gunakan rumus phytagoras untuk
menentukan
panjang sisi yang belum diketahui.

AB = √AC2 + BC2
AC = √AB2 − BC2
BC = √AB2 − AC2

Tentukan perbandingan trigonometri berikut:
a. sin α = ⋯
b. cos α = ⋯
c. tan α = ⋯
d. sin β = ⋯
e. cos β = ⋯
f. tan β = ⋯
Penyelesaian :

AC = √AB2 − BC2

AC = √52 − 32

AC = √16 4
AC = 4 sin β = 5

3 3
sin α = 5 cos β = 5

4 4
cos α = 5 tan β = 3

3
tan α = 4

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 69

2. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

Sudut

0° 30° 45° 60° 90°

Trigonometri 1 1
2 √3 0
Sin 0 11 ~
2 2 √2 1 1
2 ~
Cos 1 1 1 √3 0
2 √3 2 √2 2
3 √3
Tan 0 1 1 2
3 √3 1
3 √3
Cosec 0 2 √2

Sec 1 2 √2
3 √3

Cotan ~ √3 1

Contoh :
  1800
Tentukan nilai dari Sin 00 + Csc 450 = . . .
Penyelesaian :

Sin 00 + Csc 450 = 0 + 2  2

Contoh :

sec   cot g 
6 3 =...
Tentukan nilai dari tan 

3

Penyelesaian :

sec   cot g  2 31 3 3 =1
6  33 3  3
tan
3

3

3. Perbandingan Trigonometri Suatu Suddut di Berbagai Kuadran

Perbandingan trigonometri di tiap kuadran

Perbandingan I II III IV
Tigonometri

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cotg +- + -

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 70

90°

Kuadran II Kuadran I
Sin (+) Semua (+)
90°+∝ 0° < α < 90°

90° < α < 180°

180° 0°/360°

Kuadran III Kuadran IV
Tan (+) cos (+)
180°+∝ 270°+∝

180° < α < 270° 270° < α < 360°

270°

B. RELASI SUDUT
1. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I ° < < °

sin (90° − α°) = cos α°
cos (90° − α°) = sin α°
tan (90° − α°) = cot α°
cosec (90° − α°) = sec α°
sec (90° − α°) = cosec α°
cot (90° − α°) = tan α°

2. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran II 9 ° < < °

sin (90° + α°) = cos α° sin (180° − α°) = sin α°

cos (90° + α°) = −sin α° cos (180° − α°) = −cos α°

tan (90° + α°) = −cot α° tan (180° − α°) = −tan α°

cosec (90° + α°) = sec α cosec (180° − α°) = cosec α°

sec (90° + α°) = −cosec α° sec (180° − α°) = −sec α°

cot (90° + α°) = −tan α° cot (180° − α°) = −cot α°

3. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran III 18 ° < < °

sin (180° + α°) = −sin α° sin (270° − α°) = −cos α°

cos (180° + α°) = −cos α° cos (270° − α°) = −sin α°

tan (180° + α°) = tan α° tan (270° − α°) = cot α°

cosec (180° + α°) = −cosec α° cosec (270° − α°) = −sec α°

sec (180° + α°) = −sec α° sec (270° − α°) = −cosec α°

cot (180° + α°) = cot α° cot (270° − α°) = tan α°

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 71

4. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran IV 27 ° < < °

sin (270° + α°) = −cos α°
cos (270° + α°) = sin α°
tan (270° + α°) = −cot α°
cosec (270° + α°) = −sec α°
sec (270° + α°) = cosec α°
cot (270° + α°) = −tan α°

5. Perbandingan Trigonometri − °

sin (−α) = −sin α
cos (−α) = cos α
tan (−α) = −tan α
cosec (−α) = −cosec α
sec (−α) = sec α
cot (−α) = −cot α

6. Perbandingan Trigonometri Sudut Lebih Besar 36 °

sin (n. 360° − α°) = −sin α° sin (n. 360° + α°) = sin α°

cos (n. 360° − α°) = cos α° cos (n. 360° + α°) = cos α°

tan (n. 360° − α°) = −tan α° tan(n. 360° + α°) = tan α °

cosec (n. 360° − α°) = −cosec α° cosec (n. 360° + α°) = cosec α°
sec (n. 360° − α°) = sec α° sec (n. 360° + α°) = sec α°

cot (n. 360° − α°) = −cot α° cot (n. 360° + α°) = cot α°

Contoh :

Tentukan nilai sin 135°

Penyelesaian:

sin 135° = sin(90° + 45°)

sin 135° = cos 45°
1

sin 135° = 2 √2
Contoh :

Tentukan nilai tan 315°

Penyelesaian:

tan 315° = tan(270° + 45°)

1
tan 210° = − tan 45°

1
tan 135° = − 1
tan 135° = − 1

Contoh :

Tentukan nilai sin −120°

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 72

Penyelesaian:
sin (−120°) = sin 120°
sin (−120°) = −(sin (90° + 30°))
sin (−120°) = −(cos 30°)

1
sin (−120°) = − (2 √3)

1
sin (−120°) = − 2 √3

LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Jika diketahui tan adalah 4 maka pernyataan yang tepat adalah . . .

3

a. sin = 2

3

b. sin = 3

4

c. sin = 3

5

d. cos = 3

5

e. cos = 2

3

2. Nilai sin pada segitiga disamping adalah . . .

a. 24

25

b. 24

7

c. 7

25

d. 7

24

e. 25

24

3. Nilai sin 105° akan bertanda . . .
a. Positif
b. Negatif
c. Nol
d. a dan b benar
e. a dan b salah

4. Di antara pernyataan di bawah ini, pernyataan yang tidak benar adalah . . .
a. cos (360° − ) = cos
b. cos (90° + ) = −sin
c. sin (270° − ) = cos
d. sin (180° + ) = −sin

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 73

e. tan (180° + ) = tan

5. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah . . .

a. sin 0° = cos 0°

b. tan 0° = cot 0°

c. sin 30° = cos 30°

d. sin 45° = cos 45°

e. sin 60° = cos 6 0°

6. Apabila nilai sin positif dan tan negatif, maka sudut terletak di kuadran . . .

a. IV

b. III

c. II

d. II dan IV

e. II dan III

7. Nilai sin 330° = . . .

a. − 1

2

b. − 1 √2

2

c. − 2 √2
3

d. − 1 √2
9

e. − 1 √2
4

8. Nilai cos 45° sama dengan nilai . . .

a. cos 135°

b. cos 225°

c. cos 315°

d. sin 315°

e. tan 135°

9. Nilai cos 330° + tan 240° − sin 45° = . . .

a. 1

2

b. 5

9

c. 5

16

d. 3 √3 − 1 √2
2 2

e. 3 √2
15

10. sin (−210°) = . . .

a. 1

2

b. 1 √2
2

c. 1 √3

2

d. − 1

2

e. − 1 √2
2

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 74

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut

pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi
dani 155 cm)

600 Tinggi pohon
10 m
Tinggi dani

2. Perhatikan gambar berikut!

Tentukan perbandingan trigonometri berikut:
a. sin α = ⋯
b. cos α = ⋯
c. cos β = ⋯
d. tan β = ⋯
3. Tentukan nilai dari sin −315°
4. Tentukan nilai dari cos 225°
5. Jika sin = 4, tentukan perbandingan trigonometri lainnya!

5

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 75

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 76

GRAFIK FUNGSI
TRIGONOMETRI

APERSEPSI

Pernahkah anda mempelajari materi tentang gelombang suara? Pada dasarnya
gelombang suara digambarkan dalam bentuk grafik. Grafik pada gelombang suara
dinyatakan dengan fungsi trigonometri. Bagaimana cara membuat grafik
gelombang suara? Supaya lebih memahaminya, pelajarilah materi pada bab berikut
dengan sungguh-sungguh.

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyajikan penyelesaian masalah
3.1 Menentukan koordinat kartesius perubahan koordinat kartesius
menjadi koordinat kutub dan
menjadi koordinat kutub dan sebaliknya
sebaliknya
4.2 Menyajikan grafik fungsi trigonometri
3.11Menerapkan nilai perbandingan
trigonometri pada grafik fungsi
trigonometri

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 77

PETA KONSEP

A. KONVERSI SUDUT TRIGONOMETRI

1. Konversi Sudut

Satuan ukuran sudut yang biasa digunakan adalah derajat (°) dan radian (rad).

Hubungan antara derajat dan radian adalah sebagai berikut:

180° = π rad
π

1° = 180 rad
180°

1 rad = π

Contoh :

Nyatakan satuan berikut dalam satuan radian

a. 30° = ⋯

b. 90° = ⋯

Penyelesaian :

a. 30° = 30° π rad = 1 π radian

180 6

b. 90° = 90° π rad = 1 π radian

180 2

Contoh :

Nyatakan satuan berikut dalam derajat

a. 1 π radian = ⋯

4

b. 2 π radian = ⋯

3

Penyelesaian :

a. 1 π radian = 1 π 180° = 45°

4 4π

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 78

b. 2 π radian = 2 π 180° = 120°

3 3π

2. Konversi Koordinat

Untuk mengubah koordinat kutub ( , ) ke koordinat cartesiusdapat

ditentukan dengan rumus berikut

( , ) = ( cos , sin )

Untuk mengubah koordinat cartesius ke koordinat kutub dapat

ditentukandengan rumus berikut

( , ) = √ 2 + 2, tan


Contoh:

Diketahui koordinat kutub titik P adalah (4, 30°). Tentukan koordinat cartecius

titik P.

Penyelesaian :
Titik P (4, 30°) → r = 4 α = 30°

1
x = r cos α = 4 cos 30° = 4 × 2 √3 = 2√3

1
y = r sin α = 4 sin 30° = 4 × 2 = 2

Jadi, koordinat cartecius P adalah (x, y) = (2√3, 2)

Contoh:

Nyatakan koordinat titik (2, 2) dalam koordinat kutub ( , )

Penyelesaian :

(−2, 2) → = 2 = 2. Titik terletak pada kuadran II

= √ 2 + 2 = √(−2)2 + (2)2 = √8 = 2√2

tan = 2 = −1 → = tan(−1) = 135°
−2

Jadi, koordinat kutub adalah (2√2, 135°)

B. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Langkah-langkah melukis grafik fungsi trigonometri menggunakan tabel
sebagai berikut:

a. Membuat tabel yang menyatakan hubungan antara dan ( ), memilih
sudut tertentu sehing nilai = ( ) mudah ditentukan.

b. Titik-titik yang diperoleh digambar pada bidang Cartesius

c. Menghubungkan titik-titik ( , ) dengan kurva mulus, sehingga diperoleh
sketsa grafik fungsi trigonometri yang dikehendaki.

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 79

1. Grafik fungsi =
tabel fungsi =

grafik fungsi =
2. Grafik fungsi =

tabel fungsi =

grafik fungsi =
BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 80

3. Grafik fungsi =
tabel fungsi =

grafik fungsi =
4. Grafik fungsi =

Tabel fungsi =

grafik fungsi =
BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 81

5. Grafik fungsi =
Tabel fungsi = sec

grafik fungsi = sec
6. Grafik fungsi =

Tabel fungsi =

Grafik fungsi =
BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 82

LATIHAN

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Nilai dari 150° dalam radian adalah . . .

a. 3 radian

5

b. 3 radian

4

c. 4 radian

5

d. 5 radian

6

e. 6 radian

7

2. Nilai dari 220° dalam radian adalah . . .
a. 1 1 radian

3

b. 1 2 radian

3

c. 1 2 radian

9

d. 1 4 radian

9

e. 1 5 radian

3

3. Nilai dari 3 radian dalam derajat adalah . . .

5

a. 18°
b. 54°

c. 60°
d. 108°

e. 120°
4. 7 radian = . . .

4

a. 45°
b. 135°
c. 215°

d. 225°
e. 315°
5. Nilai dari 2 1 radian sama dengan . . .

6

a. 160°
b. 190°

c. 360°
d. 390°

e. 430°
6. Koordinat kutub suatu titik (4, 45°). Koordinat cartesius titik tersebut adalah . . .

a. (2, 2 √2)

b. (4, 2 √2)

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 83

c. (1 , 2 √2)

2

d. (2, 2)

e. (2√2, 2 √2)
7. Koordinat cartesius dari titik (6, 300°) adalah . . .

a. (3, −3√3)

b. (−3, 3√3)

c. (3√3, −3)

d. (−3√3, 3)

e. (−3√3, −3)
8. Titik (3, −3) dinyatakan dalam koordinat kutub adalah . . .

a. (3√3, 45°)

b. (3√2, 60°)

c. (3√2, 225°)

d. (3√2, 300°)

e. (3√2, 315°)

9. Koordinat kutub titik (3√3, −3) adalah . . .
a. (6, 30°)

b. (6, 150°)

c. (6, 210°)

d. (6, 315°)

e. (6, 330°)

10. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah . . .

a. = −2 sin(3 + 45)°
b. = −2 sin(3 − 15)°
c. = −2 sin(3 − 45)°
d. = 2 sin(3 + 15)°
e. = 2 sin(3 − 45)°

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Nyatakan ukuran derajat berikut ini dalam ukuran radian!

a. 45°
b. 100°

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 84

2. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam ukuran derajat!
a. 1 π radian

3

b. 7 π radian

4

3. Diketahui koordinat titik P adalah (4, 120°). Tentukan koordinat cartecius titik P.
4. Ubahlah titiktitik berikut dalamkoordinat kutub

a. (√3, 1)
b. (√2, −√2)
5. Gambarkan grafik fungsi trigonometri = ( + 60)°

BUKU AJAR MATEMATIKA |Untuk Kelas X SMK/MAK 85

ATURAN SINUS
DAN COSINUS

APERSEPSI

Sebuah menara mercusuar dibangun di pinggir pantai untuk mendeteksi adanya
tsunami. Jika Seseorang dari ujung menara melihat kearah dasar, maka akan
terlihat sangat tinggi. Jika sebuah teropong digunakan untuk melihat dengan
sudut kemiringan membentuk sudut 60° , dapatkah anda menentukan
ketinggian menara? Permasalahan tersebut merupakan salah satu penerapan
aturan sinus dan cosinus. Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan
tersebut? Agar anda dapat menentukan ketinggian menara, pelajari materi pada
bab berikut dengan sungguh-sungguh!

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaikan permasalah
3.11Menerapkan aturan sinus dan kontekstual dengan aturan sinus
dan kosinus
kosinus
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual
3.13Menentukan luas segitiga pada yang berkaitan dengan luas segitiga
trigonometri pada trigonometri

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 86

PETA KONSEP

A. ATURAN SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
abc
sin ∠A = sin∠ B = sin∠ C
Aturan sinus digunakan untuk menentukan
1. Panjang sisi segitiga jika diketahui panjang salah satu sisinya dan besar
dua sudutnya.
2. Besar dua sudut segitiga jika diketahui panjang dua sisinya dan besar
satu sudut yang bersebelahan dengan satu sisi yang diketahui.
Contoh:
Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 30°, ∠B = 60° dan panjang BC = 4 cm.
Hitunglah!
a. Besar ∠C
b. Panjang AC
c. Panjang AB
Penyelesaian:

a. Jumlah sudut pada
segitiga 180°
∠C = 180° − (∠A + ∠B)
∠C = 180° − (30° + 60°)
∠C = 90°
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 87

b. a = b

sin∠ A sin∠ B

4b
sin 30° = sin 60°

a. a 4 = b
12√3
sin A 1

2

a = b b= 4√3

b. sin A bb 2
1

2

c. a = b b = 4√3
sin A bb

c. a = c

sin ∠A sin ∠C

4c
sin 30° = sin 90°

d. a= 4 = c
1
sin A 1

2

e. a= c = 4

sin A 1

2

f. a = c = 8

sin A

Jadi, besar ∠C = 90°, panjang sisi AC = 4√3cm, dan panjang sisi AB = 8 cm

2. Aturan Cosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc . cos ∠A
b2 = a2 + c2 − 2 . ∠
2 = 2 + 2 − 2 . ∠

Aturan cosinus digunakan untuk menentukan
1. Panjang sisi segitiga jika diketahui sebuah sudut dan dua sisi yang

mengapitnya.
2. Besar sudut segitiga jika diketahui panjang tiga sisinya.
Contoh:
Diketahui segitiga ABC dengan sisi = 6 , = 8 , dan ∠ = 90°.
Hitunglah panjang sisi c!
Penyelesaian :
= 6 , = 8 , ∠ = 90°
2 = 62 + 82 − 2(6)(8) . 90°
2 = 36 + 64 − 96 .0
2 = 100 − 0

= √100
= 10
Jadi, panjang sisi c adalah 10 cm.

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 88

3. Luas Segitiga
Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan apabila panjang dua sisi dan
sudut apitnya diketahui.
1
= 2 . ∠
1
= 2 . ∠
1
= 2 . ∠
Luas segitiga ABC dapat ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui

= √ ( − )( − )( − )

+ +
= 2

Contoh:

Diketahui ∆ dengan panjang sisi = 20 , = 24 dan ∠ = 45°.

Hitunglah luas ∆ .

Penyelesaian :

= 20 = 24 ∠ = 45°

1
= 2 . ∠
1
= 2 (20)(24) . 45°

1
= 240. 2 √2

= 120√2

jadi, luas ∆ = 120√2
Contoh:

Tentukan luas ∆ jika = 6 , = 8 , = 10
Penyelesaian:

= 6 , = 8 , = 10
6 + 8 + 10

= 2
24

= 2
= 12

= √ ( − )( − )( − )

= √12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10)

= √12(6)(4)(2)

= √576
= 24
Jadi, luas ∆ adalah 24 satuan luas

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 89

LATIHAN
I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Diketahui segitiga seperti pada gambar di bawah.

Panjang sisi adalah . . .

a. 1 √2
2

b. 1 √3
2

c. √3

d. 8 √6
3

e. 8√6

2. Pada ∆ , ∠ = 120°, = 12, = 10. Panjang = . . .

a. 2√91
b. 18

c. 2√71
d. 12

e. 2√31
3. Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar diatas, panjang = 2 dan = 3√2 . Panjang adalah . .
a. 4√7
b. 3√7
c. 4√2
d. √10
e. 2√2
4. Pada ∆ , diketahui sisi = 10 , = 20 , dan ∠ = 60°. Luas segitiga
itu adalah . . .
a. 50 2
b. 50√2 2
c. 50√3 2
d. 100 2
e. 100√2 2
5. Pada sebuah segitiga , diketahui ⦟ = 30°, ⦟ = 45°, dan panjang sisi =
6 . Besar sisi adalah . . .

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 90

a. √2

b. 3√2

c. 6√2

d. 8√2

e. 12√2

6. Diketahui segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 10 , 11 , dan

13 . Luas segitiga tersebut adalah . . .

a. 2 √714 2
3

b. 2√714 2

c. √714 2

d. √952 2

e. √1428 2

7. Luas segitiga dibawah adalah . . .

a. 110 2
b. 55√3 2
c. 55 2
d. 27,5√3 2
e. 27,5 2
8. Sebuah segitiga mempunyai panjang sisi = 6 . Jika besar sudut =
30° dan sudut = 60°, maka panjang sisi adalah . . .
a. 2√3
b. 3√3
c. 4√3
d. 5√3
e. 6√3
9. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut panjang sisi adalah . . . cm
a. 15√3
b. 16√3
c. 17√3

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 91

d. 18√3

e. 19√3

10. Sebuah segitiga sembarang dengan panjang sisi masing – masing 2 cm, 3 cm,

dan 4 cm. Luas segitiga tersebut adalah . . . 2

a. 1 √15
5

b. 1 √15
6

c. 3 √15
4

d. 1 √15
5

e. 3 √15

4

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar

1. Diketahui ∆ dengan panjang = 2√3, = 2, dan = 4. Hitunglah besar
sudut .

2. Diketahui panjang = 6 , = 9 , dan ∠PQR = 120°. Tentukan keliling
segitiga !

3. Pada ∆ diketahui ∠ = 60°, ∠ = 30° dan panjang = 12 . Tentukan
panjang sisi a.

4. Pada ∆ diketahui = 6 , = 4 dan ∠ = 120°. Tentukan panjang sisi
a.

5. Hitunglah luas ∆ , jika
a. ∠ = 45°, = 12 dan = 10
b. = 6 , = 5 dan = 10

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 92

JUMLAH DAN SELISIH
DUA SUDUT

APERSEPSI

Saat Anda pergi ke pelabuhan, maka anda akan menemukan beberapa kapal
yang bersandar di dermaga. Kapal-kapal tersebut bersandar untuk menunggu
penumpang atau hanya sekedar membawa barang. Jika kapal telah penuh
dengan penumpang, maka kapal akan kembali berlayar menuju pelabuhan
lainnya. Saat kapal akan menuju pelabuhan yang lain, maka kapal akan berputar
sesuai dengan arah pelabuhan yang dituju. Perputaran kapal akan membentuk
sudut. Besarnya sudut putaran tergantung pada letak pelabuhan yang akan
dituju. Sudut yang kita pelajari selama ini besarnya adalah
0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Adakah sudut - sudut lain selain sudut yang disebutkan
tersebut? Bagaimana menentukan nilai trigonometri untuk sudut - sudut yang
tidak bistimewa? Untuk lebih memahaminya, pelajari materi berikut.

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaikan nilai nilai sudut
3.13Menganalisis nilai sudut dengan dengan rumus jumlah dan selisih
dua sudut
rumus jumlah dan selisih dua sudut

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 93

PETA KONSEP

A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
1. Rumus ( ± )
( − ) = . + .
( + ) = . − .
Contoh :
Tentukan nilai dari
165° = ⋯
Penyelesaian :
165° = (120° + 45°)
165° = 120° . 45° − 120°. 45°
11 1 1
165° = − 2 . 2 √2 − 2 √3. 2 √2
11
165° = − 4 √2 − 4 √6
1
165° = − 4 (√2 − √6)
2. Rumus ( ± )
( − ) = . − .
( + ) = . + .

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 94

Contoh :

Tentukan nilai dari

15° = ⋯

Penyelesaian :

15° = (45° − 30°)

15° = 45° . 30° − 45°. 30°

11 11
15° = 2 √2. 2 √3 − 2 √2. 2

11
15° = 4 √6 − 4 √2

1
15° = 4 (√6 − √2)

3. Rumus ( ± )

( + ) = +
1 − .

( − ) = −
1 + .

Contoh:

Tentukan nilai dari

105° = ⋯

Penyelesaian :

105° = (60° + 45°)
60° + 45°

105° = 1 − 60°. 45°

105° = √3 + 1
1 − √3. 1

√3 + 1
105° =

1 − √3

105° = √3 + 1 1 + √3
×
1 − √3 1 + √3

105° = √3 + 3 + 1 + √3
1 − 3

105° = 4 + 2√3
−2

105° = 4 + 2√3
−2 −2

105° = −2 −√3

Contoh :
Diketahui = 4 dan = 12, dengan A dan B sudut lancip. Tentukan

5 13

nilai dari ( + ).

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 95

Penyelesaian :

( + ) = . − . B Dengan menggunakan rumus
phytagoras diperoleh nilai
3 12 4 5 = 3, sehingga = 3
( + ) = 5 . 13 − 5 . 13
5
36 4
( + ) = 65 − 13 Dengan menggunakan rumus
phytagoras diperoleh nilai
36 − 20 = 3, sehingga = 5
( + ) = 65
13
16
( + ) = 65
Jadi, nilai dari ( + ) adalah 16

65

4. Rumus Sudut Rangkap

2 = 2
2 = 2 − 2
2 = 1 − 2 2
2 = 2 2 − 1

2
2 = 1 − 2
Contoh :
Hitunglah nilai 2 , 2 , dan 2 . Jika = 3 dan B sudut lancip.

5

Penyelesaian :

2 = 2

2 = 2.3.4 Dengan menggunakan rumus

55 phytagoras diperoleh nilai

24 = 4, sehingga
2 = 25
2 = 2 − 2 = 4 , = 3

42 32 54
2 = (5) − (5)

16 9
2 = 25 − 25

7
2 = 25

2
2 = 1 − 2

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 96