BAHAN AJAR MATEMATIKA FULL

2. 3
2 = 4
1−
(3)2
4

3

2 = 2 9

1− 16

3 3 16 24
=2× 7 = 7
2 = 2
7

16

5. Konversi Perbandingan Trigonometri Bentuk Perkalian ke Bentuk Jumlah dan

Selisih Dua Sudut

. = 1 ( ( + ) + ( − ))
2

. = 1 ( ( + ) − ( − ))
2
1
. = 2 ( ( + ) + ( − ))

. = 1 ( ( + ) − ( − ))
2

Contoh :

Hitunglah nilai 105° . 15°

Penyelesaian :

. = 1 ( ( + ) + ( − ))
2

. = 1 ( (105° + 15°) + (105° − 15°))
2
1
. = 2 ( (120°) + (90°))

11
. s = 2 (− 2 + 0)

1
. = − 4 + 0
1
. = − 4

6. Konversi Perbandingan Trigonometri Bentuk Penjumlahan dan Pengurangan

ke Bentuk Perkalian

+ = 2 1 ( + ) 1 ( − )
2 2
1 1
− = 2 2 ( + ) 2 ( − )

+ = 1 ( + ) 1 ( − )
2 2 2
1 1
− s β = −2 sin 2 (α + β) sin 2 (α − β)

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 97

Contoh:

Hitunglah nilai sin 75° + sin 15°

Penyelesaian :

sin α + sin β = 2 sin 1 (α + β) cos 1 (α − β)
2 2
1 1
sin α + sin β = 2 sin 2 (75° + 15°) cos 2 (75° − 15°)

sin α + sin β = 2 sin 1 (90°) cos 1 (60°)
2 2

sin α + sin β = 2 sin(45°) cos(30°)

11
sin α + sin β = 2 . 2 √2 . 2 √3

1
sin α + sin β = 2 . 4 √6

1
sin α + sin β = 2 √6

LATIHAN

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

1. Diketahui sin = 3 dan cos = 12, dan sudut lancip. Nilai tan ( + ) = . . .

5 13

a. 16

63

b. 11

15

c. 56

33

d. 24

25

e. 63

45

2. Nilai sin (45° + 30°) = . . .

a. 1 (√2 + √6)
4

b. 1 (√3 + √6)
4

c. 1 (√2 + √6)

2

d. 1 (√6 − √2)
2

e. 1 (√6 + √3)
2

3. Nilai 195° adalah . . .

a. 1 (√2 − √6)
4

b. 1 (√2 + √6)
4

c. 1 (√3 − √6)
4

d. 1 (√2 + √6)
2

e. 1 (√2 − √6)
2

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 98

4. Nilai dari tan 165° adalah . . .

a. 1 − √3

b. −1 + √3

c. −2 + √3

d. 2 − √3

e. 2 + √3

5. Dengan menyatakan 105° = (60° + 45°), maka nilai cos 105° adalah . . .

a. 1 (√2 − √6)
4

b. 1 (√3 − √2)
2

c. 1 (√6 − √3)
2

d. 1 (√6 − √2)
3

e. 1 (√5 − √2)
2

6. Hasil pengurangan trigonometri sin 75° − sin 15° adalah . . .

a. 1 √2
2

b. 1

2

c. − 1 √3
3

d. 1 √3
3

e. − 1 √2
2

7. Nilai dari cos 1110° adalah . . .

a. −1

b. − 1 √2
2

c. 1 √2
2

d. 1 √3
2

e. − 1 √3
2

8. Jika tan = 12 (A berada di kuadran III), maka nilai sin adalah . . .

5

a. 12

13

b. − 12

13

c. 5

13

d. − 5

13

e. − 13

12

9. Diketahui sin = − 7 (A kuadran II) dan cos = 3 (B kuadran IV). Nilai dari

25 5

tan . tan adalah . . .

a. − 24

96

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 99

b. 24

96

c. 28

72

d. 28

72

e. 1
10. Diketahui tan = − 3 ( A kuadran II) dan tan = 4 (B kuadran IV). Nilai dari

55

sin + sin adalah . . .
a. 7

5

b. 3 + 4

2√6 √41

c. 3 − 4

2√6 √41

d. 1

5

e. − 1

5

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar
1. Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
2. Hitunglah nilai dari

a. 165° = ⋯
b. 195° = ⋯
c. 15° = ⋯
3. Diketahui = 3 dan = 15, dengan A dan B sudut lancip. Tentukan nilai

57

dari ( + ).
4. Hitunglah nilai sin 2B, cos 2B, dan tan 2B. Jika tan B = 15 dan B sudut lancip.

8

5. Hitunglah nilai dari
a. sin 75° . cos 15°
b. cos 195° − cos 75°

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 100

MATRIKS

APERSEPSI

Pernahkah Anda melihat barisan regu paduan suara di sekolah anda? Jika anda
perhatikan, pada barisan paduan suara tersebut terdiri atas barisan dan lajur -
lajur orang yang tertata rapi. Pada gambar tersebut Lubna berada pada barisan
kedua lajur kedua, sedangkan Mita berada pada barisan pertama lajur ketiga.
Dapatkah Anda menyebutkan siapa saja yang berada pada baris pertama?
Dengan menggunakan matriks, Anda dapat meringkas penyajian denah letak
masing-masing penyanyi pada barisan paduan suara tersebut. Dalam matriks
barisan yang dinamakan baris sedangkan lajur disebut kolom. Dalam penyajian
matriks, letak orang yang berada pada barisan paduan suara dinyatakan sebagai
elemen - elemen matriks. Agar anda lebih memahami materi tentang matriks,
maka pelajarilah materi pada bab berikut.

KOMPETENSI DASAR 4.1 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan matriks
3.13Menerapkan operasi matriks dalam
menyelesaiakan masalah yang 4.2 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan matriks berkaitan dengan determinan,
invers dan tranpose pada ordo 2 x 2
3.16Menetukan nilai determinan, invers serta nilai determinan dan tranpos
dan tranpos pada ordo 2 x 2 dan pada ordo 3 x 3
nilai determinan dan tranpos pada
ordo 3 x 3

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 101

PETA KONSEP

A. PENGERTIAN MATRIKS
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan berbeda bilangan atau huruf dalam bentuk persegi
panjang yang diatur menurut baris dan kolom. Setiap bilangan disebut
elemen matriks.
2. Notasi, Elemen dan Ordo Matriks
Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan sebagainya.
Sedangkan jika elemen matriks tersebut berupa huruf maka ditulis dengan
huruf kecil.
Jika matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks itu berordo
m × n dan ditulis sebagai Am×n. Oleh karena itu, matriks A yang berordo m ×
n dapat disajikan sebagai berikut

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 102

Dengan aij adalah elemen matriks pada baris ke - i kolom ke – j.

Perhatikan beberapa contoh matriks berikut :

2 −5 284 T = (ba dc)
B = (3 1 ) P = (3 2 0)

4 −7 412

Matriks B, P dan T memiliki ukuran yang berbeda. Ukuran matriks disebut

dengan ordo. Ordo suatu matriks ditentukn oleh banyaknya baris dan kolom.

Pada contoh di atas matriks A terdiri dari 3 baris dan 2 kolom, maka ordo

matriks A adalah 3 × 2, ditulis A3×2. Ordo matriks P adalah 3 × 3 ditulis P3×3
dan ordo matriks T adalah T2×2.
Contoh :

Tuliskan ordo masing-masing matriks berikut

26 46a
a. R = (0 − 1) b. A = (5 7 3)

4 c91

Penyelesaian :

a. 2×2
b. 3×3
Contoh :

Diketahui matriks

5 0 3 −4
4 2 −2 8
A = 3 −1 3 5

5 7 −2 6
(4 9 3 −4)
Tentukan:

a. Banyak baris

b. Banyak kolom

c. Ordo matriks A

d. Elemen-elemen pada baris ke- 1

e. Elemen-elemen pada baris ke- 3

f. Elemen-elemen pada baris ke- 5

g. Elemen-elemen pada kolom ke- 2

h. Elemen-elemen pada kolom ke- 4

i. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-4 (a34)
j. Elemen pada baris ke-4 kolom ke-2 (a42)
k. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-1 (a31)
l. Elemen pada baris ke-4 kolom ke-3 (a43)
m. a41
n. a33
o. a14
Penyelesaian :

a. 5

b. 4

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 103

c. 5×4
d. 5, 0, 3 dan − 4
e. 3, −1, 3 dan 5
f. 4, 9, 3, dan − 4
g. 0, 2, −1, 7 dan 9
h. −4, 8, 5, 6 dan − 4
i. 5
j. 7
k. 3
l. −2
m. 5
n. 3
o. −4

3. Jenis-Jenis Matriks

a. Matriks Baris

Matriks baris yaitu, matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Misalnya:

A1×2 = (1 3)
B1×3 = (1 0 4)
C1×4 = (1 0 2 4)
b. Matriks Kolom

Matriks kolom yaitu, matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Misalnya:

A2×1 = (41) 1
B3×1 = (2)

3

c. Matriks Persegi

Matriks persegi yaitu, matriks dengan banyak baris sama dengan banyak

kolom.

Misalnya: 46a
A2×2 = (ba dc) B3×3 = (5 7 3)
d. Matriks Nol
c91

Matriks nol dinotasikan dengan O, merupakan matriks yang semua

elemennya nol.

Misalnya:

O1×2 = (0 0) 0
e. Matriks Identitas O3×1 = (0)

0

Matriks identitas dinotasikan dengan I, yaitu matriks persegi yang

elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen lainnya 0.

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 104

Misalnya: 100
A2×2 = (10 10) B3×3 = (0 1 0)

001

4. Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama A = B, jika dan hanya jika ordo kedua

matriks sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) juga sama.

Contoh :

Tentukan nilai a dan b

a. (12 3a) = (b1 −32)
(a−+52 69) = (−45 6
b. 2b − 1)

c. (aa + bb) = (46)
−

Penyelesaian :

a. = −2

= 3

b. + 2 = 4

+ = 4 − 2

+ = 2

9 = 2 − 1

9 + 1 = 2

10 = 2

10
2 =
15 =

+ =4

c. − =6 −
2 =−2
2 =−22

2 =−1

+ =4
−1+ =4
−1+ =4+1
−1+ =5

5. Transpose Matriks
Transpose suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dengan
mengubah susunan kolom suatu matriks menjadi baris dan baris menjadi
kolom. Transpose matriks A = (aij) dengan ordo m × n ditulis AT = (aji) dan
ordonya n × m.

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 105

Contoh :

Tentukan transpose dari matriks

1 −4 7 dan B = 3 7
A = (−9 0 5) (04 −42)
−2 −5
3 1 1

Penyelesaian :

1 −9 3 dan B = (37 0 4 1 )
A = (−4 0 −2) −2 4 −5
5
7 1

B. OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka jumlah matriks A

dan B ditulis A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan

setiap elemen A dan elemen B yang bersesuaian (seletak).

Contoh :

Tentukan hasil dari penjumlahan matriks-matriks berikut

a. (−25) + (76) −26)
b. (24 68) + (−84

Penyelesaian :

a. (−25) + (76) = (−25++67) = (28)

b. (42 86) + (−84 −26) = (4 2+8 6 +8 +(−26)) = (100 100)
+ (−4)

Contoh :

Diketahui A = (31 24) dan B = (01 10). Tentukan matriks A + B.
Penyelesaian :

+ = (13 24) + (01 10) = (13 + 1 2 + 10) = (32 25)
+ 0 4 +

Serupa dengan penjumlahan, pengurangan matriks dapat dilakukan dengan

mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak).

Contoh :

Diketahui P = (14 −32) dan Q = (−14 −52). Tentukan matriks P − Q.
Penyelesaian :

− = (41 −32) − (−14 −52) = (1 4−1 3−−2(−−52))
− = (14 −32) − (−14 − (−4)

Contoh : −52) = (53 −57)

Tentukan nilai , dan dari persamaan

(x y z) − (−4 3 1) = (−5 3 0)

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 106

Penyelesaian :

(x y z) − (−4 3 1) = (−5 3 0)

( − (−4) − 3 − 1) = (−5 3 0)

( + 4 − 3 − 1) = (−5 3 0)

+ 4 = −5 − 3 = 3 − 1 = 0

+ = −5 − 4 − = 3 + 3 − = 0 + 1

+ = −9 − = 6 − = 1

2. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real

Jika diketahui A = (ac bd), maka kA = k (ac bd) = (kkac kkdb), k bilangan real.
Contoh :

Diketahui A = (13 26) dan B = (−23 04). Tentukan
a. 3A

b. 2A − 3B

Penyelesaian :

a. 3 = 3 (31 26) = (33 × 1 3 × 62) = (39 168)
× 3 3 ×
b. 2 − 3 = 2 (13 26) − 3 (−23 40)
(22 × 1 2 × 26) (33××−23 3 × 40)
2 − 3 = × 3 2 × − 3 ×

2 − 3 = (26 142) − (−69 102)

2 − 3 = (6 2−6 12 − 102)
− (−9) 4 −

2 − 3 = (−154 04)

3. Perkalian Dua Matriks

Dua matriks A dan B dapat dikalikan AB, jika banyaknya kolom matriks A

sama dengan banyaknya baris matriks B. qs), maka matriks A dengan B
Jika matriks A = (ac db) dan matriks B = (pr
dapat ditentukan dengan persamaan

AB = (ac db) (pr qs) = (acpp + br aq + dbss)
+ dr cq +

Contoh :

1. Tentukan hasil perkalian matriks-matriks berikut

a. (2 3) (45)
b. (34) (5 6)

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 107

c. (41 2 63) 7
d. (42 5 (8)

9
−12) (35 67)

Penyelesaian :

a. (2 3) (54) = ((2 × 4) + (3 × 5)) = (8 + 15) = (23)
b. (43) (5 (34 × 5 3 × 66) (1205 2184)
6) = × 5 4 × =

c. (41 2 63) 7 = (((14 × 7) + (2 × 8) + (3 × 99)))
5 (8) × 7) + (5 × 8) + (6 ×

9

(41 2 36) ( ) = (278++1460++2574)
5
7
(14 2 63) (8) = (15202)
5
9

d. (42 −12) (53 76) = (((42××33))++((−12××55)) ((42××66))++((−12××77)))

(24 −12) (53 67) = (12 6+5 12 (+−714))
+ (−10) 24 +

(24 −12) (53 67) = (121 1109)

C. DETERMINAN DAN INVERS

1. Matriks Ordo ×

a. Determinan Matriks Ordo ×

Matriks yang memiliki nilai determinan adalah matriks persegi. Nilai

determinan suatu matriks ordo 2 × 2 adalah hasil kali elemen-elemen

diagonal utama dikurangi hasil kali elemen diagonal kedua.

Misalkan diketahui matriks A berordo 2 × 2 A = (ac db), maka
determinan matriks A adalah

det A = |ac db| = ad − bc

Determinan matriks A dapat ditulis det A atau | |

Contoh :

Tentukan determinan matriks A = (−56 −32)
Penyelesaian :

det = |−56 −32| = (−6 × 3) − (−2 × 5)
det = |−56 −32| = −18 − (−10)
det = |−56 −32| = −18 + (10)
det = |−56 −32| = −8

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 108

Contoh :

Jika diketahui |A| = |2x 6 + x| = 10. Tentukan nilai x yang memenuhi
3

persamaan tersebut.

Penyelesaian :

|A| = |2x 6 + x| = 10
3

|A| = 3x − (6 + x)(2) = 10

| | = 3x − (12 + 2x) = 10

|A| = 3x − 12 − 2x = 10

|A| = x − 12 = 10

|A| = x = 22

b. Invers Matriks Ordo ×

Invers matriks A dilambangkan dengan A−1 dan dirumuskan sebagai

berikut. Jika A = (ac db) maka

A−1 = 1 (−dc −ab)
|A|

Dengan |A| = ad − bc ≠ 0

Contoh :

Tentukan invers dari matriks A = (−−27 157)
Penyelesaian :

A−1 = 1 (−dc −ab)
|A|

A−1 = |−−27 1 157| (177 −−25)
1
A−1 = (−2 × 17) − (5 × −7) (177 −−52)

A−1 = −34 1 (177 −−52)
− (−35)

A−1 = 1 (177 −−25)
1

A−1 = (177 −−25)

2. Matriks ordo ×

a. Determinan Matriks Ordo ×

Ada beberapa cara untuk menghitung nilai determinan matriks persegi

berordo 3 × 3, yang akan kita pelajari adalah dengan metode Sarrus.
abc

Misalkan A = (d e f). Dengan metode Sarrus, determinan A adalah
ghi

sebagai berikut

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 109

Contoh :
−1 4 0

Tentukan determinan matriks A = ( 5 −2 −1)
−3 6 3

Penyelesaian :
−1 4 0 −1 4

A = | 5 −2 −1| 5 −2
−3 6 3 −3 6
−− − + + +

A = [(−1)(−2)(3) + (4)(−1)(−3) + (0)(5)(6)] −
= [(0)(−2)(−3) + (−1)(−1)(6) + (4)(5)(3)]
A = [6 + 12 + 0] − [0 + 6 + 60]
A = [18] − [66]
A = −48
b. Minor, Kofaktor dan Adjoin

abc
Jika A = (d e f), maka minor dari matriks A dinyatakan oleh minor

ghi
aij atau Mij, didefinisikan sebagai determinan sub matriks setelah baris
ke-i dan kolom ke-j pada matriks A dihilangkan.
Minor dari matriks A di atas adalah sebagai berikut:

 Baris ke-1 dan kolom ke-1 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(he fi)
Jadi, minor a11 = |M11| = |he if| = ei − fh

 Baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(dg fi)
Jadi, minor a12 = |M12| = |dg fi| = di − fg

 Baris ke-1 dan kolom ke-3 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(dg he)
Jadi, minor a13 = |M13| = |dg he| = dh − eg

 Baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(hb ci)

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 110

Jadi, minor a21 = |M21| = |hb ci| = bi − ch

 Baris ke-2 dan kolom ke-2 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
ac
(g i)
Jadi, minor a22 = |M22| = |ga ci| = ai − cg

 Baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(ag hb)
Jadi, minor a23 = |M23| = |ag hb| = ah − bg

 Baris ke-3 dan kolom ke-1 dihilangkan sehingga diperoleh matriks

(be cf) cf| = bf − ce
Jadi, minor a31 = |M31| = |be

 Baris ke-3 dan kolom ke-2 dihilangkan sehingga diperoleh matriks
(da cf)
Jadi, minor a32 = |M32| = |da cf| = af − cd

 Baris ke-3 dan kolom ke-3 dihilangkan sehingga diperoleh matriks

(da be) be| = ae − bd
Jadi, minor a33 = |M33| = |da

Jika minor aij atau |Mij|menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka

kofaktor ke ij dari matriks A dinyatakan dengan Cij, didefinisikan sebagai

berikut

Cij = −1i+j|Mij|

Contoh :

−1 4 0

Tentukan minor dan kofaktor dari matriks A = ( 5 −2 −1)

−3 6 3

Penyelesaian :

11 = |−62 −31| = (−2)(3) − (−1)(6) 11 = −11+1| 11|
11 = |−62 −31| = −6 + 6 =1×0
11 = |−62 −31| = 0
=0

12 = |−53 −31| = 15 − 3 12 = −11+2| 12|
12 = |−53 −31| = 12 = −1 × 12

= −12

13 = |−53 −62| = 30 − 6 13 = −11+3| 13|
= 1 × 24

= 24

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 111

13 = |−53 −62| = 24 21 = −12+1| 21|
21 = |46 30| = 12 − 0 = −1 × 12
= −12
21 = |64 03| = 12
22 = |−−31 03| = −3 − 0 22 = −12+2| 22|
22 = |−−31 30| = −3 = 1 × −3
23 = |−−31 46| = −6 + 12 = −3

23 = −12+3| 23|
= −1 × 6

11 = | |=6 = −6

31 = |−42 −01| = −4 + 0 31 = −13+1| 31|
31 = |−42 −01| = −4 = 1 × −4

= −4

32 = |−51 −01| = 1 + 0 32 = −13+2| 32|
32 = |−51 −01| = 1 = −1 × 1

= −1

33 = |−51 −42| = 2 − 20 33 = −13+3| 33|
33 = |−51 −42| = −18 = 1 × −18

= −18

Matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari suatu matriks

disebut matriks kofaktor. Sedangkan transpose dari matriks kofaktor

disebut adjoin dari A dinyatakan dengan Adj (A).

Perhatikan contoh berikut!

Matriks kofaktor dari matriks pada contoh 11 adalah:

C11 C12 C13 0 −12 24

(C21 C22 C23) = (−12 −3 −6 )

C31 C32 C33 −4 −1 −18

Adjoin (A) adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga

0 −12 −4

( ) = (−12 −3 −1 )

24 −1 −18

c. Invers matriks ordo ×

Invers matriks berordo 3 × 3 didefinisikan sebagai berikut

A−1 = 1 Adj (A)
|A|

Dengan syarat |A| ≠ 0

Contoh :
BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 112

−1 4 0

Tentukan invers matriks A = ( 5 −2 −1)

−3 6 3

Penyelesaian :

C11 C12 C13 0 −12 24
(C21 −6 )
C22 C23) = (−12 −3
C31 −18
C32 C33 −4 −1

0 −12 −4

= (−12 −3 −1 )

24 −1 −18

A−1 = 1 Adj (A)
|A|

A−1 = 1 0 −12 −4
−48 (−12 −3 −1 )
−1
24 −18 11
0 −12 −4 0 4 12
−48 −48 −48
A−1 = −12 −3 −1 = 1 1 1
−48 −48 −48 4 16 48

24 −1 −18 11 3
(−48 −48 −48) (− 2 8 8 )

D. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN

MATRIKS

1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan

Matriks

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dapat dicari dengan

menggunakan determinan atau sering disebut sebagai aturan Cramer.

Misalkan diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut:

{paxx + by = c
+ qy = r

Maka dengan aturan cramer, diperoleh

x = |cr qb| , dan y = |pa rc|
|pa qb| |pa qb|

Contoh :

Gunakan aturan Cramer untuk untuk menentukan himpunan penyelesaian

sistem persamaan linear

{3x2x−+4yy = −5
= 4

Penyelesaian :

= 3 = −4 = −5

p=2 q=1 r=4

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 113

x = |cr bq| = |−45 −14| = −5 + 16 = 11 = 1
|pa bq| |23 −14| 3+ 8 11

a c |23 −45|
|p r| |23 −14|
y= |pa bq| = = 12 + 10 = 22 = 2
3 + 8 11

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {1, 2}

2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Menggunakan

Matriks

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat ditentukan

dengan aturan cremer sebagai berikut

Misalkan diketahui sistem persamaan:

ax + by + cz = d

{kx + ly + mz = n
px + qy + rz = s

db c ad c abd

|n l m| |k n m| |k l n|

Maka, x = s q r ,y = p s r , dan z = p q s
a b c a b c a b c

|k l m| |k l m| |k l m|

pq r pq r pq r

Contoh :

Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut.

3x − 2y + z = −5

{x + 5y − 2z = 29
4x + y + 5z = 8

Penyelesaian :

= 3 = −2 c = 1 = −5

k = 1 l = 5 m = −2 n = 29

p = 4 q = 1 = 5 = 8

d b c −5 −2 1
|n l m| | 29 5 −2|
s q r −64 + 240 176
x= a b c = 8 1 5 = 92 − 4 = 88 = 2
3 −2 1

|k l m| |1 5 −2|

pq r 41 5

a d c 3 −5 1
|k n m| |1 29 −2|
p s r 483 − 43 440
y= a b c = 4 8 5 = 92 − 4 = 88 = 5
3 −2 1

|k l m| |1 5 −2|

pq r 4 1 5

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 114

a b d 3 −2 −5
|k l n| |1 5 29|
p q s −117 + 29 −88
z= a b c = 4 1 8 = 92 − 4 = 88 = −1
3 −2 1

|k l m| |1 5 −2|

pq r 4 1 5

Jadi, himpunan penyelesaian adalah { 2, 5, −1}

LATIHAN

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

2 3 −1

1. Diketahui matriks = (14 3 −54). Nilai 12 + 11 + 32 = . . .
−8

2 −4 6

a. −5

b. 3

c. −3

d. 13

e. −1

2. Nilai 2 + 5 dari kesamaan matriks (−31 −42 ) = (−31 13 ) adalah . . .
3 +

a. −19

b. −5

c. 5

d. 25

e. 31

3. Jika matriks = (23 −14), = (−−31 −52)dan = (−52 −41), maka 2 − +
3 adalah .

a. (−91 −66) −12) adalah . . .
b. (−241 −66)
c. (95 −66)
d. (−156 −66)
e. (−−264 −66)
4. Determinan matriks (−46

a. −14

b. −6

c. 2

d. 8

e. 14

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 115

510
5. Jika = ( 2 −4 3 ), maka | | = . . .

−1 0 −2
a. 33

b. 37

c. 41

d. 49

e. 53

6. Nilai yang memenuhi persamaan matriks (61 − ) + ( 34) =
(27 95) adalah . . . 5 +
a. −2

b. 2

c. 4

d. 5

e. 6

7. Invers matriks = (−13 −−42) adalah . . .

13

a. (−102 −101)

55

−1 −2
b. ( 5 15)
3

10 10

−1 −3
c. ( 10 110)
2

55

1 −2
7 )
d. (−73 − 1

14 14

13

e. (−142 −141) −01) adalah . ..

77

8. Hasil dari 2 − 2 untuk = (23
a. (−03 −03)
b. (152 −−34)
c. (−123 03)
d. (05 −03)
e. (05 −−43)

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 116

9. Nilai yang memenuhi persamaan matriks ( − 56) + ( 3 4 ) =
1 +


(75 29 ) adalah . . .

a. −2

b. 2

c. 4

d. 5

e. 6

10. Invers matriks = (−13 −−42) adalah . . .
(−41 −23)
a. − 1
10

b. 1 (−32 −14)
10

c. 1 (−41 −23)
10

d. − 1 (−32 41)
14

e. − 1 (−41 −23)
14

II. Selesaikan soal –soal berikut dengan benar 31a−−a1)

1. Tentukan nilai a, b, c dan d dari (−43 −b5) − (1b −−d3) = (−35cc
2. Diketahui matriks A = (21 −31). Tentukan matriks A2
3. Diketahui matriks A = (20 13) dan B = (12 53). Tentukan

a. A−1

b. B−1

101
4. Tentukan invers dari matriks A = (2 3 7)

416
5. Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan

matriks.

a. {−35xx+−47yy==−157

3x − 3y + 2z = 13

b. { 2x + y − 5z = 9

−4x + 2y − 3z = −13

BUKU AJAR MATEMATIKA | Untuk Kelas X SMK/MAK 117

DAFTAR PUSTAKA

Aisyah, Yuliatun. 2018. Matematika SMK/MAK X. Jakarta : PT. Bumi Aksara
Aisyah, Yuliatun. 2018. Matematika SMK/MAK XI. Jakarta : PT. Bumi Aksara
http://2.bp.blogspot.com/-tRB8HpSrjoQ/Veo-
cJp4_FI/AAAAAAAACFE/0IY2Imb5YGM/s1600/tugas%2Bcustomer%2Bservice%2Bban
k.jpg
http://dephub.go.id/photos/resized/600x340/pelabuhan-sukadana.jpg
http://psikologid.com/wp-content/uploads/2016/09/psikologi-bioskop-131015c.jpg
https://kebudayaan.kemdikbud.go.id/wp-content/uploads/2016/10/Paduan-Suara.jpg
https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/11/cara-menentukan-nilai-optimum-
dengan-garis-selidik.html
https://moondoggiesmusic.com/wp-content/uploads/2019/07/Planet-Bumi.jpg
https://myblogwidiharti.wordpress.com/modul-pembelajaran/
https://pxhere.com/en/photo/601769
https://smapatbarabai.files.wordpress.com/2013/04/paskibraka.jpg
https://telset.id/wp-content/uploads/2019/05/Gelombang-Suara.jpg
https://www.academia.edu/11995956/Modul_Matematika_Kelas_X_Trigonometri
https://www.goodnewsfromindonesia.id/wp-
content/uploads/images/source/atikaapjpw/20193007istimewa-mercusuar.jpg
https://www.tokomesin.com/wp-content/uploads/2016/02/Peluang-Bisnis-Toko-
Buah-dan-Analisa-Bisnisnya-tokomesin.jpg
https://www.tripelaketoba.com/wp-content/uploads/2018/04/cruisecrop.jpg
Kasmina dkk. 2008. Matematika 1. Jakarta. PT. Gelora Aksara Pratama
Kasmina dkk. 2008. Matematika 2. Jakarta. PT. Gelora Aksara Pratama
Kuntarti dkk. 2007. Matematika SMA Dan MA 3A. Jakarta : PT. Gelora Aksara Pratama

BUKU AJAR MATEMATIKA | Daftar Pustaka 117