แยกตัวประกอบพหุนาม

การใช้แบบฝึกทกั ษะ 3

การใชแ้ บบฝึ กทกั ษะ

แบบฝึกทกั ษะชดุ นไ้ี ดอ้ อกแบบมาใหน้ กั เรียนมคี วามรู้ความเขา้ ใจ และความคดิ อา่ นดา้ นคณติ ศาสตร์
ทด่ี แี ละชัดเจนมากขน้ึ จากเน้อื หาหลกั ซง่ึ สามารถแยกอธิบายได้ ดงั น้ี

ทดสอบความ รกู ้ อ่ น

แบบทดสอบวัดควพามรรูพ้ อ้ ้นื มฐานทีจ่ าเปน็ เพอ่ื แบบทดสอบวดัเรควยี านมร้พู ้นื ฐานท่ีจาเป็น เพอ่ื

ประเมนิ ความพร้อมก่อนเขา้ สู่หน่วยการเรยี นรู้ ประเมินความพร้อมกอ่ นเขา้ สหู่ น่วยการเรียนรู้

สาระน่ารู ้ ควรระวงั

ความรเู้ สริมหรือเกร็ดความรตู้ า่ ง ๆ อธบิ ายสงิ่ ทมี่ ีโอกาสพลาดบอ่ ย
ทีเ่ กย่ี วข้องกับหน่วยการเรยี นรู้ หรือขนั้ ตอนทีค่ วรระวัง

ลองทาดู แนะ

โจทยท์ ใ่ี หผ้ ู้เรียนได้ใชว้ ิธที า แนะนแาวนธิ คีวดิ คในดิ ขัน้ ตอนตา่ ง ๆ
ตามตัวอย่างเพือ่ ฝกึ ฝน
ระหวา่ งเน้อื หา

สาระสาคั สรปุ
สรุปองคควค์ วาามมรรขู้ ูอ้ งแต่ละเรอ่ื ง
สรปุ แนวทางการใหญน้ ิยาม สมบตั ิ ทฤษฎี สจั พจน์

และขน้ั ตอนวธิ ีการต่าง ๆ หรอื สรปุ เนอื้ หา

แบบฝึ ก แบบฝึ ก

ระดับความทยากักงษา่ ยะของแบบฝึกหดั แบบทดสอบทควดามสรอกู้ อ่ บน-หลังเรยี น

* งา่ ย เพอื่ ให้ผู้เรยี นประเมนิ ว่าสว่ นใดท่ีทาได้ดี
* ปานกลาง และส่วนใดทย่ี ังต้องพฒั นา
* ยาก

คาชแี้ จงเกีย่ วกบั แบบฝึกทกั ษะ 3

คาชแี้ จงเกยี่ วกบั แบบฝึ กทกั ษะ

1. แบบฝกึ ทักษะนี้เป็นแบบฝึกทักษะกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ดกี รีสงู กว่าสอง ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 3 มที งั้ หมด 3 ชดุ ดังนี้

ชดุ ท่ี 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง
ชุดที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่เี ปน็ ผลบวกของกาลังสามและผลตา่ งของกาลงั สาม
ชดุ ที่ 3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กวา่ สองบางรูป
2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรน์ ี้ จดั ทาขนึ้ เพือ่ เป็นเอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณติ ศาสตร์
รหสั วชิ า ค23101 เพอ่ื ใหผ้ ้เู รยี นศกึ ษาค้นควา้ และฝกึ ทักษะเพม่ิ เติมด้วยตนเอง
3. แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์นี้ มีสว่ นประกอบในเลม่ ดังน้ี
3.1 คาชแ้ี จงเก่ียวกบั แบบฝกึ ทักษะ
3.2 คาชี้แจงการใช้แบบฝึกทกั ษะสาหรบั ครู
3.3 คาชี้แจงการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน
3.4 การใช้แบบฝึกทกั ษะ
3.5 สาระการเรียนรู้
3.6 ทดสอบความรู้
3.7 ใบความรู้
3.8 แบบฝึกทกั ษะ
3.9 แบบทดสอบหลังเรียน
3.10 บรรณานุกรม
4. แบบฝึกทกั ษะน้ี ใช้เวลาเรยี น 6 ช่ัวโมง

คาชแ้ี จงการใชแ้ บบฝกึ ทักษะสาหรับครู 3

คาชแี้ จงการใชแ้ บบฝึ กทกั ษะ

สาหรบั ครู

การใชแ้ บบฝึกทักษะ รายวิชาคณติ ศาสตร์ 5 รหัสวชิ า ค 23101 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 การแยกตวั
ประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกวา่ สอง ครูผู้สอนเปน็ ผูท้ ีม่ ีบทบาทสาคัญท่จี ะช่วยใหก้ ารดาเนนิ การเรยี นรขู้ อง
ผเู้ รยี นบรรลวุ ัตถุประสงค์ ครูจึงควรศกึ ษารายละเอยี ดเกยี่ วกบั การปฏิบตั ิตนก่อนท่ีจะใชแ้ บบฝกึ ทักษะในการ
จัดประสบการณ์การเรียนรู้ ดงั นี้

1. ครตู อ้ งศึกษาแบบฝกึ ทกั ษะและอา่ นเนื้อหาสาระอย่างละเอียดรอบคอบ พร้อมทั้งทาความเขา้ ใจ
กบั เนื้อหากอ่ นการใช้งาน

2. เตรียมแบบฝึกทกั ษะให้ครบถ้วนเพียงพอกับจานวนนักเรียน
3. การจดั ช้นั เรยี นอาจจัดใหน้ ักเรียนศกึ ษาเปน็ รายบุคคล หรอื รายกลมุ่ กไ็ ด้
4. เตรียมเคร่อื งมอื วดั ผลและประเมินผล เพอ่ื ใหท้ ราบความก้าวหนา้ ของนักเรยี น
5. ช้แี จงใหน้ ักเรียนทราบลาดับขน้ั ตอนและวิธีการเรยี นโดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะอยา่ งชัดเจนและ
ประโยชนท์ ไี่ ดร้ บั จากการเรียนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
6. ชแี้ จงใหน้ กั เรยี นทราบเกยี่ วกับบทบาทของนักเรยี น ในการเรยี นโดยใชแ้ บบฝึกทักษะให้เขา้ ใจ
และเน้นย้าเรื่องความซือ่ สตั ย์ ไม่ลอกเพ่อื นหรือดเู ฉลยก่อนลงมือทาดว้ ยตนเอง
7. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพ่ือประเมินความรเู้ ดิมของนกั เรียนก่อนใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะ
8. แจ้งผลการเรยี นรู้ใหน้ ักเรียนทราบเสมอ
9. ดาเนนิ การตามกิจกรรมการเรยี นรูท้ ่ีกาหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรียนรทู้ ีใ่ ชค้ วบค่กู บั แบบฝึก
ทกั ษะน้ี
10. ให้นักเรยี นศึกษาเนื้อหา ใบความรู้ และลงมอื ทาแบบฝึกทกั ษะ เสร็จแล้วตรวจคาตอบตามเฉลย
11. ครสู ังเกตความตัง้ ใจของนักเรียน ความสนใจในการเรยี น การทางานร่วมกันเปน็ กลุม่ อย่าง
ใกล้ชดิ ถ้านกั เรยี นคนใดหรือกลุ่มใดมปี ญั หาใหท้ าการชว่ ยเหลือทนั ที
12. เวลาในการจัดกิจกรรมการเรยี นโดยใช้แบบฝึกทกั ษะของนักเรยี นแตล่ ะคน แตล่ ะกลุ่มอาจไม่
เท่ากัน ถา้ นักเรียนคนใดหรือกลุม่ ใดมปี ญั หาให้ทาการชว่ ยเหลือทันที
13. ให้นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพื่อประเมนิ ความก้าวหนา้ ของนกั เรยี นหลงั จากเรียนร้แู ละ
ทาแบบฝกึ ทกั ษะทั้งหมดแล้ว
14. เมือ่ มกี ารสรปุ บทเรยี นควรเป็นกจิ กรรมรว่ มกันของนกั เรียนทกุ คน หรอื แตล่ ะกลุม่ ส่งตัวแทนร่วม
อภปิ ราย หรอื วธิ ีการทใี่ ห้นกั เรยี นได้แสดงออกวา่ การเรยี นรมู้ ากทส่ี ุด ครูมหี น้าที่ช่วยเหลอื สนบั สนนุ อานวย
ความสะดวก
15. ในกรณที ี่นักเรยี นขาดเรียน สามารถให้นกั เรยี นศกึ ษาเป็นรายบุคคลด้วยตนเองนอกเวลาเรยี น
จากแบบฝึกทักษะ ตามความเหมาะสมและความสามารถของนักเรียน

คาชแี้ จงการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะสาหรับนักเรยี น 3

คาชแี้ จงการใชแ้ บบฝึ กทกั ษะ

สาหรบั นักเรยี น

ในการศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 5 รหสั วิชา ค23101 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 2 การ
แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี ูงกวา่ สอง นกั เรียนควรปฏบิ ัติตามคาแนะนาตอ่ ไปนีอ้ ยา่ งเคร่งครัด

1. อา่ นคาช้ีแจงเก่ยี วกับแบบฝึกทักษะ และคาแนะนาการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะสาหรบั นกั เรียนให้เข้าใจ
ก่อนทาการศึกษาดว้ ยแบบฝึกทกั ษะ ทุกครั้ง

2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียนเพื่อประเมินความรเู้ ดิมของนกั เรยี นด้วยความซื่อสัตย์
3. ศกึ ษาเนื้อหาและทาแบบฝึกทักษะ ตามลาดบั ขัน้ ตอน ถา้ ทาแบบฝึกทกั ษะข้อใดไม่ได้ ให้
ยอ้ นกลบั ไปศึกษาทบทวนเนือ้ หาอกี รอบ ศึกษาตัวอย่าง เอกสารเพมิ่ เติมหรือปรึกษาครูผูส้ อน
4. ตรวจแบบฝึกทักษะตามเฉลยและบันทึกคะแนนที่ได้ จากนน้ั รว่ มกบั เพื่อนชว่ ยกันสรปุ องค์ความรู้
ท่ีได้รบั จากการศึกษา โดยอาจขอคาชแ้ี นะและอธิบายเพิ่มเติมจากครผู สู้ อน
5. ทาแบบทดสอบหลังเรียน เพอื่ ประเมนิ ความก้าวหน้าของตนเองหลงั จากศกึ ษาแบบฝกึ ทักษะจบ
แลว้
6. ในการทาแบบฝึกทักษะ แบบทดสอบก่อนเรยี น-หลงั เรียน นักเรยี นตอ้ งพยายามทาด้วยความ
ตั้งใจ มีความซ่ือสตั ย์และเช่ือมั่นในความรขู้ องตนเองทไี่ ด้รับจากการศึกษาแบบฝกึ ทักษะ เพอื่ ใหเ้ กดิ ความรู้
ความเข้าใจท่ีแทจ้ ริง

สาระการเรียนรู้ 3

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสูงกวา่ สอง

x2 - 20

1. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง

1.1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่เี ป็นผลต่างของกาลาสอง
1.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องโดยการทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

A3 + B3 2. การแยกตวั ประกอบของพหุนาม
A3 - B3 ท่ีเปน็ ผลบวกของกาลงั สาม
และผลต่างของกาลังสาม

x3 + 4
x6 - 1

3. การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ดกี รสี ูงกวา่ สองบางรูป

ตวั ชวี้ ั
ด ค 1.2 ม.3/1 เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหุนามทีม่ ีดกี รสี ูงกวา่ สองในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกวา่ สอง 3

ทดสอบ 2
1. จคงหาวค่าขาองจมานวพนตอ่ รไปนอ้ี้ ม
3) 2
1) 3 2 7
2) − 5 2
4) − 0.04 2

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี 3) x2 + xy + 2x + 2y
1) 2x2 - 5xy 4) 2x2 – 8xy – x + 4y
2) 12x3 y + 4xy

3. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) x2 + 4x + 4 3) 9y2 + 6y + 1

2) x2 – 10x + 25 4) 25a2 – 60a + 36

4. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้ 3) 49x2 - 1
1) x2 - 1 4) 121m2 – 64n2
2) y2 – 100

ครูปาลม์ พมิ พว์ รยี ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสงู กว่าสอง 3

รูก้ อ่ นเรยี น

1. เมอื่ a เป็นจานวนจรงิ บวกหรอื ศนู ย์ a 2 = a และ − a 2 = a เชน่
5 2=5
− 11 2 = 11
3 2=3

77

2. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามในบางครั้งสามารถทาได้โดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง เชน่
12xy2 + 20x2y = (4xy)(3y) + (4xy)(5y)
= 4xy(3y + 5x)
3x2 – 6xy – 4x + 8y = 3x(x – 2y) – 4(x – 2y)
= (3x - 4)(x – 2y)

3. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามทีเ่ ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ มีสตู รดังน้ี
กาหนดให้ A และ B เป็นพหุนาม
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
เชน่
x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + 32
= (x + 3)2
(y - 2)2 – 2(y - 2)x + x2 = [(y - 2) - x]2

4. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่ีเป็นผลต่างของกาลงั สอง มสี ูตรดงั นี้
กาหนดให้ A และ B เป็นพหุนาม
A2 - B2 = (A + B)(A – B)
เชน่
x2 – 16 = x2 – 42
= (x + 4)(x - 4)
(y + 4)2 – (2x) 2 = (y + 4 + 2x)(y + 4 – 2x)

ครปู าล์ม พมิ พว์ รยี ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกวา่ สอง 3

1. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง

1.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องทีเ่ ป็นผลตา่ งของกาลังสอง
นักเรียนทราบสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็น

ผลตา่ งของกาลงั สองมาแลว้ ดังน้ี

สาระสาคั
ญ กาหนดให้ A และ B เป็นพหุนาม

A2 - B2 = (A + B)(A – B)

นักเรียนยงั ทราบอีกว่า a 2 = a เมอื่ a เปน็ จานวนจริงบวกหรอื
ศนู ย์ นักเรียนสามารถนาความรู้ดังกลา่ วมาใช้แยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรี
สองได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
3= a2
1) x2 – 3 3) 12 – (x - 8)2
12 = 2 3 2
2) 5x2 – 4 4) (x + 3)2 – 18

วธิ ีทา 1) x2 – 3 = x2 - 3 2

= (x + 3)(x – 3)

ดงั นัน้ x2 – 3 = (x + 3)(x – 3) ตอบ
ตอบ
2) 5x2 – 4 = 5 2 - 22 ตอบ
ตอบ
= ( 5x + 2)( 5x – 2)

ดงั นน้ั 5x2 – 4 = ( 5x + 2)( 5x – 2)

3) 12 – (x - 8)2 = 2 3 2 - (x - 8)2

= [2 3 + (x - 8)][2 3 – (x - 8)]

= [2 3 + x - 8][2 3 – x + 8]

= [2 3 - 8 + x][2 3 + 8 - x]

ดงั นัน้ 12 – (x - 8)2 = [2 3 - 8 + x][2 3 + 8 - x]

4) (x + 3)2 – 18 = (x + 3)2 - 3 2 2

= [(x + 3) +3 2][(x + 3) - 3 2]

= [x + 3 +3 2][x + 3 - 3 2]

= (2 3 - 8 + x)(2 3 + 8 – x)

ดงั นั้น 12 – (x - 8)2 = (2 3 - 8 + x)(2 3 + 8 – x)

ครูปาล์ม พิมพว์ รีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกวา่ สอง 3

ลองทาดู

จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1) x2 – 5 3) 20 – (x + 4)2

2) 2x2 – 9 4) (x - 1)2 – 24

แบบฝึ ก

ท(*)กั จงษแยกะตวั ป1ระ.ก1อบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1) x2 – 7 11) (x - 3)2 – 2

2) x2 – 8 12) (x + 4)2 – 10

3) 6 - x2 13) 5 - (x - 1)2

4) 12 - x2 14) 8 - (x + 5)2

5) 4x2 – 3 15) (x + 7)2 – 40

6) 7x2 – 9 16) (x - 2)2 – 32

7) 16 - 2x2 17) 50 - (x - 8)2

8) 20 - 4x2 18) 63 - (x + 10)2

9) 25x2 – 2 19) (2x - 5)2 – 28
9 20) 96 - (3x + 7)2

10) 1x2 – 3
4

ครปู าลม์ พิมพว์ รยี ์

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสูงกวา่ สอง 3

1.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์
นกั เรยี นทราบสตู รการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่ีเป็นกาลัง

สองสมบูรณม์ าแล้ว ดังนี้

สาระสาคั กาหนดให้ A และ B เป็นพหนุ าม
ญ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

จากสตู รจะไดว้ า่

สาระสาคั
ญ กาหนดให้ x เปน็ ตัวแปร และ a เปน็ ค่าคงตวั

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
x2 – 2ax + a2 = (x - a)2

นกั เรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้วิธแี ยกตวั ประกอบท่ี

ทราบมาแลว้ เชน่

เพื่อใหม้ ีบางส่วนเป็นกาลังสอง x2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)
สมบรู ณ์ จึงเขียน x2 + 6x
พิจารณาการแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x - 16 โดยทาใหบ้ างสว่ นเป็น

เป็น x2 + 2(3)x แล้วเพมิ่ พจน์ 32 กาลังสองสมบรู ณ์ก่อน ดังนี้

เพอ่ื ให้จดั รปู กาลงั สองสมบรู ณ์ได้ x2 + 6x – 16 = [x2 + 2(3)x + 32] – 16 – 32
เปน็ (x + 3) 2 แลว้ ลบออกด้วย 32 = (x + 3)2 – 16 – 9
เพือ่ ให้คา่ ของพหนุ ามคงเดมิ = (x + 3)2 – 25

= (x + 3)2 – 52

= (x + 3 + 5)(x + 3 - 5)

= (x + 8)(x - 2)

การแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x – 16 ด้วยวิธีขา้ งตน้ เรยี กวา่

วิธที าเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ครูปาล์ม พิมพว์ รยี ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี งู กว่าสอง 3

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้วิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ จะทาให้นักเรียนสามารถแยกตัว
ประกอบของพหุนามดีกรีสองบางพหุนามท่ีไม่สามารถแยกได้ด้วยวิธีที่เคยศึกษามาก่อนหน้า เช่น ในการ
แยกตวั ปรกอบของพหุนาม x2 + 4x – 3 โดยใช้วิธีทาเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ ทาไดด้ งั นี้

x2 + 4x – 3 = [x2 + 2(2)x + 22 ] – 3 – 22
= (x + 2)2 – 3 – 4
= (x + 2)2 – 7 2
= (x + 2 + 7)(x + 2 - 7)

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x – 11โดยใช้วิธีทาเปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์

วธิ ที า x2 + 6x – 11 = [x2 + 2(3)x + 32] – 11 – 32 ตอบ
= (x + 3)2 – 11 – 9
= (x + 3)2 – 20
= (x + 3)2 – (2 5)2
= (x + 3 + 2 5)(x + 3 - 2 5)

ดงั น้นั x2 + 6x – 11 = (x + 3 + 2 5)(x + 3 - 2 5)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x2 - x – 11 โดยใชว้ ธิ ีทาเป็นกาลังสองสมบรู ณ์

วธิ ที า x2 - x – 11 = [x2 - 2 1 x + 1 2] – 11 – 1 2
22 2
= − 1 2– 11 – 1
24
2
- 1 + 35 = - (21 + 325) = − 1 45
2 2 −
24
= - (1−3 5) = (x - 1)2 – 3 5 2

2

= - 1−3 5 22

2 = (x - 1 + 3 5)(x - 1 − 3 5)
2 2 2 2

= (x - 1−3 5)(x - 1+3 5)
22

ดังน้นั x2 - x – 11 = (x - 1−3 5)(x - 1+3 5) ตอบ
22

ลองทาดู

จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนีโ้ ดยใช้วธิ ที าเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

1) x2 + 4x – 1 3) x2 - 8x + 4

2) x2 - 3x – 1 4) x2 + 7x + 3

ครูปาล์ม พิมพ์วรีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี ูงกว่าสอง 3

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 3x2 - 14x – 5 โดยใช้วิธีทาเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

วิธที า 3x2 - 14x – 5 = 3(x2 - 14x – 5)

ทาสัมประสทิ ธิ์ของ x2 ใหเ้ ป็น 3 3 72 2
1 โดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง
นา 3 ออกมาเป็นตวั คูณรว่ ม = 3[ 2 − 2 7 + −5− 7 ]

3(x+ 13) = (3x + 1) 3 3 33

ดงั นัน้ = 3[ − 7 2 − 5 − 49]
3 39
2
= 3[ − 7 5+49 ]
−
39
= 3[ − 7 2 − 63]
39

= 3[ − 7 2 8 2

− ]
33
= 3[ − 7 + 8][ − 7 − 8]
33 33
= 3( − 7 + 8)( − 7 − 8)
33 33
= 3 + 1 − 5
3

= (3x + 1)(x - 5)

3x2 - 14x – 5 = (3x + 1)(x - 5) ตอบ

การแยกตวั ประกอบของ 3x2 - 14x – 5 ในตวั อยา่ งที่ 4 อาจใช้
วธิ ีการท่ีเคยเรียนมาแล้ว ดงั นี้

3x2 - 14x – 5 = (3x + 1)(x - 5)

(3x + 1)(1x - 5) 3 × 1 = 3

(3x + 1)(1x - 5) 1 × (-5) = -5

(3x + 1)(1x - 5) [3 × (-5)] + (1 × 1) = -14

ลองทาดู

จงแยกตวั ประกอบของ 5x2 + 8x + 3 โดยใช้วิธีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

ครปู าลม์ พมิ พ์วรีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกว่าสอง 3

ตัวอยา่ งที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 2x2 + 3x – 7 โดยใช้วิธีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

วิธีทา 2x2 + 3x – 7 = 2(x2 + 3x – 7)

ทาสัมประสิทธข์ิ อง x2 ให้เป็น 2 2 32 2
1 โดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
นา 3 ออกมาเปน็ ตัวคูณร่วม = 2[ 2 + 2 3 + −7− 3 ]

3(x+ 31) = (3x + 1) 4 4 24

ดงั นนั้ = 2[ + 3 2 − 7 − 196]
4 2
ลองทาดู 2
= 2[ + 3 56+9 ]
4 − 16

= 2[ + 3 2 − 63]
4 16

= 2[ + 3 2 65 2

− ]
44

= 2[ + 3 + 65][ + 3 − 65]
44 44

= 2 + 3 + 65 + 3 − 65
44 44

= 2 + 3+ 65 + 3− 65
44

2x2 + 3x – 7 = 2 + 3+ 65 + 3− 65 ตอบ
44

จงแยกตวั ประกอบของ 2x2 + 7x - 5 โดยใชว้ ธิ ีทาเป็นกาลังสองสมบรู ณ์

สาหรับพหุนามดกี รสี องบางพหุนามเชน่ x2 + x + 1 ถา้ ใช้วธิ ที าเปน็ กาลงั สอง

สมบรู ณ์ จะได้ว่า

x2 + x + 1 = [x2 + 2 1 x + 1 2] + 1 – 1 2
22 2
= + 1 2 + 1 – 1
24
= + 1 2 + 3
24
= + 1 2– − 3
24
จะเห็นว่า ไม่สามารถเขียน − 3 ในรูปกาลังสองของจานวนจริงได้ จึงไม่
4
สามารถเขียนพหุนาม + 1 2 – − 3 ในรูปผลต่างของกาลังสองได้ แสดงว่า ไม่
24
สามารถเขียนพหุนาม x2 + x + 1
ใหอ้ ยูใ่ นรูปการคูณของพหนุ ามดกี รหี นึ่งดว้ ยวิธีการทผี่ ่านมาได้

นอกจากพหุนาม x2 + x + 1 แล้ว ยังมีพหุนามดีกรีสองบางพหุนามท่ีม่สามารถแยกตัว

ประกอบด้วยวิธีการท่ีผา่ นมาได้ ซึ่งในหน่วยการเรยี นรูน้ ้จี ะยงั ไม่กลา่ วถงึ พหุนามในลกั ษณะดังกลา่ ว

ครปู าล์ม พิมพ์วรีย์

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง 3

สรุป

คการวแยากตมวั ปรระู ้กอบของพหุนามดกี รีสองทเี่ ปน็ ผลตา่ งของกาลงั สอง
x2 – 3 = x2 – 2

3

= (x + 3)(x - 3)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองโดยทาเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

x2 + 4x – 3 = [x2 + 2(2)x + 22] – 3 – 22

= (x + 2)2 – 3 – 4

= (x + 2)2 – 7

= (x + 2)2 – ( 7)2

= (x + 2 + 7)(x + 2 - 7)

แบบฝึ ก

ท1.กั (*)ษจงแะยกต1วั ป.ร2ะกอบของพหนุ ามต่อไปน้ีโดยใชว้ ิธที าเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
1) x2 + 4x + 1 6) x2 + 3x + 1

2) x2 + 2x – 7 7) w2 + w - 3

3) x2 - 16x + 24 8) x2 - 5x + 5

4) p2 – 8p – 5 9) x2 - 9x + 9

5) x2 + 40x + 391 10) x2 + 15x - 874

2. (**) จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยใช้วิธที าเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

1) 5x2 - 18x - 8 6) -x2 + 8x + 12

2) 3x2 + 26x + 55 7) 2x2 – 18x + 3

3) 7x2 + 80x - 48 8) 5y2 – 35y + 10

4) 4x2 + 16x – 8 9) -8x2 - 40x - 20

5) -6a2 + 48a - 54 10) 2x2 + 4x + 1

3. (***) จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้โดยใชว้ ิธที าเปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์

1) 2x2 + 5x + 1 3) 3x2 + 5x - 8

2) 4x2 - 6x + 1 4) -5x2 + 8x + 3

ครปู าลม์ พิมพ์วรีย์

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี งู กวา่ สอง 3

2. การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเปน็ ผลบวกของ
กาลังสามและผลตา่ งของกาลังสาม

นักเรยี นได้ศึกษาเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c บางพหนุ าม
เมอ่ื a, b, c เป็นจานวนเตม็ ท่ี a ≠ 0 และไดต้ ัวประกอบเป็นพหุนามทีม่ ีสมั ประสทิ ธ์ขิ องแตล่ ะพจน์เป็นจานวน
เตม็ ในหัวข้อน้ีจะกลา่ วถึงการแยกตวั ประกอบของพหุนามท่เี ป็นผลบวกของกาลังสามและผลตา่ งของกาลงั สาม
และตัวประกอบที่ไดม้ าเปน็ พหุนามทีม่ ีสัมประสทิ ธข์ิ องแตล่ ะพจนเ์ ป็นจานวนเต็ม

พิจารณาผลคูณของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
(x + 3)(x2 - 3x + 9) = x3 - 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27
= x3 + 27
= x3 + 32
(x + 3)(x2 - 3x + 9) = x3 + 3x2 + 9x - 3x2 – 9x - 27
= x3 - 27
= x3 - 32

เรยี กพหุนามเชน่ x3 + 32 ว่า ผลบวกของกาลังสาม ( sum of cubes)
เรียกพหนุ ามเชน่ x3 - 32 วา่ ผลตา่ งของกาลังสาม ( difference of cubes)
โดยสมบตั ิสามาตรสามารถเขยี นแสดงการแยกตัวประกอบของ x3 + 32 และ x3 – 32 ได้ดงั นี้

x3 + 32 = (x + 3)(x2 - 3x + 9)
= (x + 3)(x2 - 3x + 32)

x3 + 32 = (x - 3)(x2 + 3x + 9)
= (x - 3)(x2 + 3x + 32)

โดยทว่ั ไปการแยกตัวประกอบของพหนุ ามทีเ่ ป็นผลบวกของกาลังสามและผลตา่ งของกาลงั สามทาได้
ตามสตู รดังน้ี

สาระสาคั
ญ กาหนดให้ A และ B เป็นพหุนาม

A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB+ B2)
A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB+ B2)

ครปู าลม์ พมิ พว์ รยี ์

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง 3

นกั เรียนอาจใชก้ ารคูณพหนุ ามเพอ่ื ตรวจสอบการแยกตัวประกอบของพหุนามทเี่ ปน็ ผลบวกของกาลัง
สามและผลตา่ งของกาลังสาม ดงั น้ี

(A + B) (A2 - AB+ B2) = (A)(A2) – (A)(AB) + (A)(B2)
+ (B)(A2) – (B)(AB) + (B)(B2)

= A3 - A2B + AB2 + A2B - AB2 + B3
= A3 + B3

(A - B) (A2 + AB+ B2) = (A)(A2) + (A)(AB) + (A)(B2)
- (B)(A2) – (B)(AB) - (B)(B2)

= A3 + A2B + AB2 - A2B - AB2 - B3
= A3 - B3
นอกจากน้ีนกั เรียนสามารถแสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นผลบวกของกาลังสามและ
ผลต่างของกาลังสามได้ โดยพจิ ารณาจากการหาปริมาตรของรปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ปี่ ระกอบข้ึนจากทรง
สเ่ี หลยี่ มมุมฉากได้ดงั กจิ กรรมตอ่ ไปนี้
กจิ กรรมที่ 1 พหนุ ามทเี่ ปน็ ผลบวกของกาลังสาม
1) กาหนดรูปเรขาคณติ สามมิติท่ีประกอบขึน้ จากลกู บาศก์ A และลูกบาศก์ B ทมี่ ีความยาวด้าน
a หนว่ ย และ b หน่วย ตามลาดบั ดงั รปู ท่ี 1

ครูปาลม์ พมิ พ์วรยี ์

ปรมิ าตรของลูกบาศก์ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสูงกวา่ สอง 3
= ความยาวของด้าน3
2) พจิ ารณาการหาปริมาตรของรูปเรขาคณติ ดงั กล่าวดว้ ยขั้นตอนตอ่ ไปนี้
ขน้ั ตอนท่ี 1 หาปริมาตรของลกู บาศกท์ ้งั สองลูกรวมกัน
จะได้ ปรมิ าตรของรปู เรขาคณิตสามมิติรปู ท่ี 1 = a3 + b3

ขัน้ ตอนที่ 2 พจิ ารณาใหร้ ปู ด้านลา่ งนเี้ ปน็ ส่วนหน่งึ ของทรงสเ่ี หลย่ี ม
มมุ ฉากรปู ใหญ่ จากนน้ั นาปรมิ าตรของทรงส่เี หล่ยี มมมุ ฉากรปู ใหญ่
หกั ออกดว้ ยปริมาตรของทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉากสว่ นทถี่ กู ตัดออกไป
ดงั รปู ท่ี 2

ปริมาตรของ จะได้
ทรงสเี่ หลย่ี มมุมฉาก ปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิตริ ูปที่ 2
= ความกว้าง × ความยาว = ปริมาตรของทรงส่เี หล่ยี มมุมฉากรูปใหม่

× ความสงู - [ปรมิ าตรของทรงสเ่ี หล่ียมมมุ ฉาก ก
+ ปรมิ าตรของทรงส่เี หล่ียมมมุ ฉาก ข]
ใชส้ มบัตแิ จกแจง = a2(a + b) – [ab(a - b) + b2(a - b)]
จัดรปู พหุนาม = a2(a + b) – [ab(a - b) + bb(a - b)]
= a2(a + b) – b(a - b)(a + b)
= (a + b)[a2 - b(a - b)]
= (a + b)(a2 - ab + b2)

จากการหาปริมาตรด้วยขัน้ ตอนที่ 1 และขน้ั ตอนที่ 2 จะไดว้ ่า
a3 - b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

ครูปาลม์ พิมพ์วรีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี ูงกว่าสอง 3

กจิ กรรมที่ 2 พหุนามทเ่ี ป็นผลตา่ งของกาลงั สาม
1) กาหนดลูกบาศก์ A ใหม้ ีความยาวดา้ น a หนว่ ย จากนั้นตดั ลกู บาศกด์ ัง
กลา่ วออกเปน็ ลกู บาศก์ B ทีม่ ีความยาวดา้ น b หน่วย ดงั รปู ท่ี 3

2) พจิ ารณาการหาปรมิ าตรของรปู เรขาคณิตดังกล่าวดว้ ยขั้นตอนต่อไปน้ี
ขน้ั ตอนที่ 1 หาผลต่างของปริมาตรของลกู บาศก์ทงั้ สามลกู
จะได้ ปริมาตรของรปู เรขาคณิตสามมติ ริ ูปท่ี 3 = a3 - b3

ข้ันตอนท่ี 2 แบ่งรปู เรขาคณติ สามมิติออกเป็นทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากสามรูป
ดงั รูปที่ 4

ใช้สมบตั ิแจกแจง จะได้
จัดรปู พหนุ าม ปริมาตรของรปู เรขาคณิตสามมิตริ ปู ท่ี 4
= ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ก

+ [ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ข
+ ปริมาตรของทรงสเี่ หลย่ี มมุมฉาก ค
= a2(a - b) + ab(a - b) + b2(a - b)
= (a - b)(a2 + ab + b2)

จากการหาปรมิ าตรด้วยขัน้ ตอนที่ 1 และขนั้ ตอนที่ 2 จะไดว้ ่า
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

ครปู าลม์ พมิ พว์ รีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กว่าสอง 3

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) x3 + 64

2) 27x3 + 1

3) 125x3 + (x - 1)3

4) (2x - 4)3 + (x + 1)3

วธิ ที า 1) x3 + 64 = x3 + 43

= (x + 4)[x2 - 4(x) + 42]

= (x + 4)(x2 - 4(x) + 16)

ดงั นั้น x3 + 64 = (x + 4)(x2 - 4(x) + 16) ตอบ

A = 3x, B = 1 2) 27x3 + 1 = (3x)3 + 13
= (3x + 1)[(3x)2 - 3(x) + 12]

= (3x + 1)(9x2 - 3(x) + 1)

ดงั น้ัน 27x3 + 1 = (3x + 1)(9x2 - 3(x) + 1) ตอบ

3) 125x3 + (x - 1)3 = (5x)3 + (x - 1)3

= [5x + (x -1)][(5x)2 – (5x)(x - 1) + (x - 1)2]

กาลังสองสมบรู ณ์ = (6x - 1)(25x2 – 5x2 + 5x + x2 – 2x + 1)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = (6x - 1)(21x2 + 3x + 1)

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ดงั นัน้ 125x3 + (x - 1)3 = (3x + 1)(9x2 - 3(x) + 1) ตอบ

4) (2x - 4)3 + (x + 1)3

= [(2x – 4) + (x +1)][(2x - 4)2 – (2x - 4)(x + 1) + (x + 1)2]

= (2x – 4 + x + 1)[(4x2 – 16x + 16) – (2x2 – 2x - 4) + (x2 + 2x + 1)

= (3x – 3)(4x2 – 16x + 16 – 2x2 + 2x + 4 + x2 + 2x + 1)

= (3x – 3)(3x2 – 12x + 21)

= 9(x – 1)(x2 – 4x + 7)

ดังน้นั (2x - 4)3 + (x + 1)3 = 9(x – 1)(x2 – 4x + 7) ตอบ

ลองทาดู

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
1) x3 + 8
2) 64x3 + 1
3) 216x3 + (x + 5)3
4) (3x - 2)3 + (x - 4)3

ครูปาลม์ พิมพว์ รยี ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กว่าสอง 3

ตัวอยา่ งที่ 7 ตอบ
ตอบ
จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี ตอบ
1) x3 - 125
2) 8x3 - 1 ตอบ
3) 64x3 - (x + 3)3
4) (x - 1)3 - (2x + 3)3
วธิ ีทา 1) x3 - 125 = x3 - 125

= (x - 5)[x2 + (5)x + 52]
= (x - 5)(x2 – 5x + 25)
ดงั นัน้ x3 - 125 = (x - 5)(x2 – 5x + 25)
2) 8x3 - 1 = (2x)3 - 13
= (2x - 1)[(2x)2 + (2x)(1) + 12]
= (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
ดงั นนั้ 8x3 - 1 = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1)
3) 64x3 - (x + 3)3 = (4x)3 + (x + 3)3

= [4x - (x + 3)][(4x)2 + (4x)(x + 3) + (x + 3)2]
= (3x - 3)(16x2 + 4x2 + 12x + x2 + 6x + 9)
= (3x - 3)(21x2 + 18x + 9)
= 9(x - 1)(7x2 + 6x + 3)
ดังนั้น 64x3 - (x + 3)3 = 9(x - 1)(7x2 + 6x + 3)
4) (x - 1)3 - (2x + 3)3
= [(x – 1) - (2x + 3)][(x - 1)2 + (x - 1)(2x + 3) + (2x + 3)2]
= (x – 1 - 2x - 3)[(x2 – 2x + 1) + (2x2 + x - 3) + (4x2 + 12x + 9)
= (-x – 4)(x2 – 2x + 1 + 2x2 + x - 3 + 4x2 + 12x + 9)
= (-x – 4)(7x2 + 11x + 7)
= -(x + 4)(7x2 + 11x + 7)
ดังน้ัน (x - 1)3 - (2x + 3)3 = -(x + 4)(7x2 + 11x + 7)

ลองทาดู

จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) x3 – 27 3) 8x3 - (x + 7)3

2) 1000x3 – 1 4) (3x + 1)3 - (x - 2)3

ครูปาลม์ พมิ พว์ รีย์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสูงกว่าสอง 3

สรุป

ความรู ้ ผลบวกของกาลังสาม
หนา้ 3 + หลงั 3 = (หนา้ + หลงั ) (หนา้ 2 – (หนา้ )(หลัง)+ หลงั 2)

ผลตา่ งของกาลงั สาม
หนา้ 3 - หลงั 3 = (หนา้ - หลงั ) (หนา้ 2 + (หนา้ )(หลัง)+ หลงั 2)

แบบฝึ ก

1ท. (*กั) จงษแยะกตัว2ประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1) x3 + 1 6) x3 - 1

2) y3 + 27 7) z3 - 8

3) 8x3 + 1 8) 27x3 - 1

4) 125d3 + 1 9) 343x3 - 1

5) 216x3 + 64 10) 64x3 - 729

2. (**) จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี

1) x3 + (2x - 1)3 4) x3 - (x - 2)3

2) (2x)2 + (3x + 4)3 5) (3x)3 – (2x + 1)3

3) (x – 3)3 + y3 6) (x + 1)3 + y3

3. (***) จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) (x + 2)3 + (5x + 2)3 3) (6x + 5)3 – (x - 1)3

2) (3x - 4)3 + (y + 2)3 4) (2x - 1)3 – (3y - 7)3

ครูปาลม์ พิมพว์ รยี ์

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสงู กว่าสอง 3

3. การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กว่าสองบางรปู

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทมี่ ีดีกรสี งู กวา่ สองบางรูป บางคร้งั อาจทาได้
โดยการจดั ใหอ้ ยู่ในรูปผลต่างของกาลังสอง กาลงั สองสมบรู ณ์ และผลบวกของกาลังสาม
หรือผลตา่ งของกาลงั สาม จากนั้นนาความรทู้ ีไ่ ด้เรยี นมาแลว้ ใช้ในการแยกตวั ประกอบ
ตอ่ ได้ ในทีน่ ีจ้ ะพจิ ารณาการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสงู กว่าสองบางรูปทีม่ ี
สัมประสทิ ธ์เิ ป็นจานวนเต็ม

ตัวอยา่ งที่ 8 จงแยกตวั ประกอบของ 81x4 – 16
วิธีทา 81x4 – 16 = (9x 2)2 – 42
จดั ให้อยู่ในรปู
ผลตา่ งของกาลังสอง = (9x2 + 4)(9x2 – 4
= (9x2 + 4)[(3x)2 – 22]
= (9x2 + 4)(3x + 2)(3x - 2) ตอบ
= (3x + 2)(3x - 2)(9x2 + 4)
ดงั นัน้ 81x4 – 16 = (3x + 2)(3x - 2)(9x2 + 4)

ลองทาดู

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) x4 – 16 2) 625x3 - 81

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงแยกตวั ประกอบของ x4 + 3x2 + 4
วธิ ีทา x4 + 3x2 + 4 = (x 2)2 + 3x2 + 22
ตอบ
= [(x2)2 + (2)(2)x2 + 22] + 3x2 – (2)(2)x2
= (x2 + 2)2 + 3x2 – 4x2
= (x2 + 2)2 - x2
= [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x]
= (x2 + x + 2)(x2 - x + 2)
ดังนัน้ x4 + 3x2 + 4 = (x2 + x + 2)(x2 - x + 2)

จากตัวอย่างท่ี 9 จะเหน็ วา่ ไม่สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนาม
(x2 + x + 2) และ (x2 - x + 2) ดว้ ยวธิ ีการทผ่ี า่ นมาได้ จึงหยดุ การ

แยกตัวประกอบเอาไวเ้ ท่านี้

ครูปาลม์ พมิ พว์ รีย์