Portofolio Bernanda Naiya H XII MIPA 3

KAIDAH PENCACAHAN
Kliping digital

KAIDAH PENCACAHAN

ATURAN ATURAN PERMUTASI KOMBINASI
PENJUMLAHAN PERKALIAN

PERMUTASI UNSUR PERMUTASI UNSUR PERMUTASI SIKLIS
YANG SAMA YANG BERBEDA

Kaidah Pencacahan adalah bagian dari kombinatorika yang
merupakan salah satu cabang dari matematika. Kaidah
pencacahan merupakan aturan untuk menghitung
banyaknya susunan objek-objek tanpa harus merinci
semua kemungkinan susunannya.

“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m
cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat
terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama
atau kedua dapat terjadi dalam (m+n) cara.”

Aturan penjumlahan berlaku bagi penyusunan
atau pemilihan objek yang dilakukan beberapa
tahap dan tidak dilaksanakan sekaligus, akan
tetapi dilakukan berdasarkan salah satu tahap.

Sharyn berangkat dari kota A ke Dua dadu bermata enam yaitu 1, 2,
kota C dapat memilih 4 jalan 3, 4, 5, 6. Hitung:
berbeda. Binar berangkat dari kota
C dapat memilih 3 jalan berbeda. a. Banyaknya pasangan mata
Jadi, berapa banyak cara Sharyn dadu berjumlah 10
maupun Binar dapat bertemu di
kota C? JAWAB

JAWAB (4,6), (5,5), (6,4) = 3 pasang

Sharyn: 4 cara a. Banyaknya pasangan mata
dadu yang jumlahnya paling
Binar: 3 cara sedikit 9

4+3 = 7 cara JAWAB

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1),
(5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)

Dijumlahkan, maka ada 25 pasang

Di dalam kantong terdapat 10 kelereng berwarna
merah, 7 kelereng berwarna hijau, 5 kelereng
berwarna kuning, dan 3 kelereng berwarna biru.

Berapakah banyaknya kemungkinan untuk
mengambil satu kelereng berwarna merah atau
hijau atau kuning atau biru?

JAWAB

Merah: 10 cara

Hijau: 7 cara

Kuning: 5 cara

Biru: 3 cara

10+7+5+3 = 25 cara

“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m
cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh
kejadian kedua yang terjadi dalam n cara, maka
kejadian pertama dan kedua tersebut secara
bersama-sama terjadi dalam (m×n) cara.”

Aturan perkalian berlaku bagi penyusunan atau
pemilihan objek yang dilakukan beberapa tahap
dan dilaksanakan sekaligus. Pada setiap tahap
dimungkinkan beberapa cara penyusunan atau
pemilihan

Kota A dan kota C Dari kota A ke kota B
dihubungkan oleh beberapa melalui 5 jalan. Dari kota B
jalan melalui kota B. Dari ke kota C melalui 3 jalan.
kota A ke kota B terdapat 2 Amir berada di kota A dan
jalan, dan dari kota B ke berencana pergi ke kota C
kota C terdapat 3 jalan. Jika melalui kota B. Berapa
seseorang berangkat dari banyak jalan berbeda yang
kota A menuju kota C, dapat dilalui oleh Amir?
banyak alternatif jalan yang
dipilih adalah... JAWAB

JAWAB A ke B: 5 jalan

A ke B: 2 jalan B ke C: 3 jalan

B ke C: 3 jalan 5×3 = 15 jalan

Alternatif jalan dari A ke C
adalah 2×3 = 6 jalan

Aturan pengisian tempat dalam bahasa Inggris
disebut filling slot, merupakan cara yang
digunakan untuk menentukan banyaknya cara
suatu objek menempati tempatnya.

Aturan pengisian slot
P1×P2×P3×P...×Pn

1. Terdapat angka-angka 7, 5, Terdapat angka-angka 7, 5, 6,
6, dan 4 dan 4
Akan disusun bilangan terdiri Akan disusun bilangan bilanga
dari 2 angka. Berapa banyak terdiri dari 2 angka. Berapa
bilangan yang terbentuk? banyak angka yang terbentuk
jika angkanya tidak boleh
44 sama?

4×4 = 12 susunan 43

2. Terdapat angka-angka 1, 2, 4×3 = 12 susunan
3, 4, 5
Akan disusun 3 angka. Berapa Terdapat angka-angka 1, 2, 3,
banyak angka yang terbentuk? 4, 5
Akan disusun 3 angka
555 berbeda. Berapa banyak angka
yang terbentuk?
5×5×5 = 125 susunan
543

5×4×3 = 60 susunan

3. Terdapat angka-angka 5, 6, 4. Terdapat angka-angka
7, 8, dan 9 akan disusun 3 7,5,6 akan disusun bilangan
angka. terdiri dari 2 angka.
a. Berapa banyak angka yang Berapa banyak bilangan ganjil
terbentuk? yang terbentuk?

555 32

5×5×5 = 125 3×2 = 6
b. Berapa banyak angka Berapa banyak bilangan genap
berbeda yang terbentuk? yang terbentuk?

543 31

5×4×3 = 60 3×1 = 3

5. Terdapat angka-angka 6. Terdapat angka-angka
1,2,3,4,5 1,2,3,4,5

Akan disusun bilangan terdiri Akan disusun 3 angka. Berapa
dari 3 angka. Berapa banyak banyak angka >300 yang
bilangan genap yang terbentuk? terbentuk?

552 355
5×5×2 = 50
3×5×5 = 75

Terdapat angka-angka 1,2,3,4,5 Terdapat angka-angka 1,2,3,4,5

Akan disusun bilangan terdiri Akan disusun 3 angka berbeda.
dari 3 angka berbeda. Berapa Berapa banyak angka >300 yang
banyak angka genap yang terbentuk?
terbentuk?
343
432
3×4×3 = 36
4×3×2 = 24

7. Banyaknya bilangan 8. Bilangan terdiri dari angka
kelipatan 5 yang terdiri dari 3 yang disusun dari angka-
angka berbeda yang dapat angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9.
disusun dari angka Banyaknya bilangan dengan
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 adalah... angka-angka berlainan yang
(angka 0 tidak boleh di depan) lebih kecil dari 400 adalah...

882 254

8×8×2 = 128 2×5×4 = 40

Banyaknya bilangan kelipatan Bilangan terdiri dari angka
5 yang terdiri dari 3 angka yang disusun dari angka-
berbeda yang dapat disusun angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9.
dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Banyaknya bilangan dengan
adalah... (angka 0 boleh di angka-angka berlainan yang
depan) lebih kecil dari 450 adalah...

982 254

9×8×2 = 144 2×5×4 = 40

9. Terdapat angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9
Akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka.
a. Berapa banyak angka yang terbentuk (boleh
berulang)?

999

9×9×9 = 729
b. Berapa banyak angka yang terbentuk (tidak boleh
berulang)?

987

9×8×7 = 504
c. Berapa banyak angka berbeda dan tersusun bilangan
genap

874

8×7×4 = 224

10. Akan disusun nomor telepon rumah yang terdiri
dari 6 angka, dengan ketentuan angka pertama
tidak boleh angka 0. tentukan banyaknya nomor
telepon yang dapat dibuat dari angka-angka
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, jika:
a. Angka-angka boleh berulang
9×10×10×10×10×10 = 900.000

b. Tidak boleh ada angka berulang
9×9×8×7×6×5 = 136.080

c. Hanya angka pertama yang tidak boleh diulang
9×9×9×9×9×9 = 531.441

Untuk suatu n bilangan asli, n! (n faktorial)
didefinisikan sebagai:
n! = 1×2×3×...×(n-1)×n
0! = 1 (kesepakatan)
1! = 1
2! = 1×2 = 2×1! = 2
Secara umum ditulis
n! = n×(n-1)!

1. Hitunglah:

a. 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720

b. 5! = 5×4×3×2! = 60
2! 2!
c. 4!×3! = 4×3×2×1×3×2×1 = 144

d. 8! = 40320 = 7

7!+6! 5040+720

2. Nyatakan bentuk berikut dalam notasi faktorial

a. 4!(5×6) = 1×2×3×4×5×6 = 6!

b. 8×7×6×5 = 8!
4!
c. k(k-1)(k-2)! = k!

3. Sederhanakanlah penjumlahan pecahan 2 + 5 = 2 8 +5 = 21

7! 8! 8! 8!

4. Hitunglah:

a. 15! = 15×14×13×12×11×10! = 7×123×11=500,5
10!6! 10!6×5×4×3×2×1
b.71! 2 3 1 8 9 −2 9 +3=597!
− 8! + 9! = 9!

5. Tentukan nilai n jika n! = 56(n-2)!
n(n-1)(n-2)!=56(n-2)!
n(n-1)=56
n=8

6. Buktikan bahwa: ! −2 ! = 2 − 2

−1 ! −3 !

−1 ! −2 −3 !=k(k-2)= 2 − 2

( −1)!( −3)!

Kota A dan kota E dihubungkan oleh beberapa
jalan melalui kota B, C, dan D. A ke B 3 jalan, B
ke C 2 jalan dan B ke D 3 jalan, C ke E 2 jalan
dan D ke E 1 jalan. Jika seseorang berangkat
dari kota A menuju kota E, berapa banyak
alternatif jalan yang terpilih?

ACE = 3×2×2 = 12 jalan

ADE = 3×3×1 = 9 jalan

Total jalan = 12+9 = 21 jalan

Banyaknya permutasi dari n unsur yang terdiri dari k unsur
jenis yang sama, l unsur jenis yang sama, m unsur jenis yang
sama dengan k+l+m≤ n, ditentukan dengan
P = !

! ! !

Contoh: Berapa banyak permutasi pada kata MATEMATIKA?
JAWAB
M ada 2
A ada 3
T ada 2
E, I, K masing-masing 1
P = P = 10! = 151.200

2!3!2!1!1!1!

Misal tersedia n unsur yang berbeda. Banyak
permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan
dengan aturan:
Psiklis = (n-1)!

Contoh: 3 orang (A, B, C) duduk melingkar.
Berapa banyak cara?
n = 3 orang
Psiklis = (3-1)! = 2! = 2 macam cara

Jika n dan r adalah dua bilangan bulat positif

dan r≤n, maka banyaknya permutasi r unsur

dari n unsur yang berbeda tanpa pengulangan,

diberi notasi P(n, r) ditentukan dengan

P(n, r) = !
− !

Banyaknya permutasi n unsur dari n unsur

berbeda adalah P(n, n) = n!

134526.....−6!2PPPPP3317 712!32 =03−==2== 17 76202−711,!-30311=−−03n3!!!32i0=l7!!a=−7==2i!311n19!80?−07016 7. P + 1 = 4 , nilai n?
n(n-1)=72 3
+ 1 ! !
− 2 ! = − 4 !

+ 1 !

n=9 ( − 2) − 3 − 4 !
P − 1 !
6. 3 = 110, nilai n?
= − 4 !
(n-1)(n-2)=110 2− +5 1 +6=1
n+1=n^2-5n+6
11×10=110 n^2-6n+5=0
n=1 atau 5
n-1=11 8. P2 2+ 1 − 3 = 0, nilai n?
(2n+1)!/(2n-1)!=n!/(n-3)!
n=12 (2n+1)2=(n-1)(n-2)

n^2-7n=0
n=0 atau 7

9. Ada 5 orang anak foto bersama tiga-tiga di
tempat penobatan juara I, II, dan III. Maka banyak
foto berbeda yang mungkin tercetak adalah...

5×5×5 = 125 foto

10. Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga
di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah
seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu
menempatkan tempat juara I, maka banyak foto
berbeda yang mungkin tercetak adalah...

I: 1 orang (harus)

1×4×3 = 12 foto

1. Suatu keluarga yang terdiri 2. Berapa cara 5 anak laki-laki
dari 6 orang duduk melingkar dan 3 anak perempuan dapat
pada meja makan. Jika ayah dan disusun pada suatu lingkaran
ibu selalu duduk berdampingan, jika anak perempuan selalu
maka banyak cara posisi duduk berdekatan
melingkar anggota keluarga n = 5 laki + 1 kumpulan
tersebut adalah... perempuan = 6
P = (6-1)!3!
n = anak + ayah dan ibu = 5 P = 5!3!
P = 720 cara
Psiklik = (n-1)!2!
3. Dalam berapa cara, 6 buku
Psiklik = (5-1)!2! pelajaran berbeda dapat disusun
pada rak?
Psiklik = 4!2! P = n!
P = 6! = 720 cara
Psiklik = 48 cara

4. Dari sejumlah siswa yang terdiri 5. Untuk keamanan di suatu bank,
dari 3 siswa kelas X, 4 siswa kelas nasabah diminta membuat kata
XI dan 5 siswa kelas XII, akan sandi dari susunan 4 huruf dari
dipilih pengurus OSIS yang terdiri
dari ketua, wakil ketua dan kata “aman” dan diikuti 2 angka
sekretaris. Ketua harus selalu
berada dari kelas yang lebih tinggi yang tidak boleh sama. Banyaknya
dari wakil dan sekretaris. Banyak kata sandi yang dapat dibuat
cara untuk memilih pengurus OSIS adalah...
adalah...
Susunan huruf:
Jika ketua dari kelas XII
A=2, M=1, N=1
5×7×6 = 210
P (2,1,1) = 4! = 12
Jika ketua dari kelas XI
2!1!1!
4×3×2 = 24
Susunan angka:
Total cara = 210+24 = 234 cara
0 sampai 9 tidak boleh sama

P 10 = 10! = 90
2
10−2 !

Banyak sandi kemungkinan =

12+90 = 102 kata sandi

Kombinasi n unsur yang diambil dari n unsur

yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah

suatu pilihan dari r unsur tanpa

memperhatikan urutannya.

Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n

unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

C = ! ! !
−

1. Ada 4 orang anak, Ada 4 orang anak,
akan dipilih 3 orang akan dipilih 3 orang
untuk menjadi untuk mengikuti
pengurus kelas seminar. Berapa
sebagai ketua, banyak cara memilih
sekretaris, dan 3 orang tersebut?
bendahara. Berapa
banyak cara memilih C = 4! =4 cara
3 orang tersebut?
3! 4−3 !
P = 4! =24 cara

4−3 !

2. Jika terdapat 10 soal Jika terdapat 10 soal
dalam ujian. Peserta
didik diminta dalam ujian. Peserta
mengerjakan 8 dari 10
soal tersebut. Berapa didik diminta
banyak cara peserta
didik dapat mengerjakan 8 dari 10
mengerjakan soal
tersebut? soal tersebut. Jika

C = 10! =40 cara nomor genap wajib

8! 10−8 ! dikerjakan. Berapa

banyak cara peserta

didik dapat

mengerjakan soal

tersebut?

C = 3! 5! =10 cara
5−3
!

3. Pada sebuah 4. Diketahui terdapat 4
lingkaran, terdapat 8 titik sembarang (tidak
titik yang berbeda. ada tiga titik yang tak
Dengan menggunakan segaris), yaitu A, B, C,
kedelapan titik dan D. Berapa banyak
tersebut, banyaknya garis yang dapat
tali busur yang dapat dibentuk dari 4 titik
dibuat adalah... tersebut?

C = 8! =28 tali C = 3! =3 garis

2! 8−2 ! 2! 3−2 !

busur

5. Dalam sebuah 6. Dalam sebuah
pertemuan terdiri dari
3 orang, dimana setiap pertemuan terdiri dari
orang berjabat tangan
satu kali dengan setiap 10 orang, dimana
orang lainnya dalam
pertemuan tersebut. setiap orang berjabat
Berapa banyaknya
jabatan tangan yang tangan satu kali
terjadi?
dengan setiap orang
C = 3! =3
lainnya dalam
2! 3−2 !
pertemuan tersebut.

Berapa banyaknya

jabatan tangan yang

terjadi?

C = 2! 10! =45
10−2
!

7. Dalam sebuah 8. Jika terdapat 10 soal
pertemuan sejumlah
orang, dimana setiap orang dalam ujian. Peserta didik
berjabat tangan satu kali
dengan setiap orang diminta mengerjakan 8
lainnya dalam pertemuan
tersebut. Jika terjadi 15 dari 10 soal tersebut. Jika
jabat tangan, berapakah
jumlah orang yang ada semua nomor ganjil wajib
dalam pertemuan tersebut?
dikerjakan. Berapa banyak
C = ! =15
cara peserta didik dapat
2! −2 !
mengerjakan soal tersebut?
n(n-1)=15(2)
C = 3! 5! =10 cara
6×5 = 30 5−3
!
n = 6 orang

9. Dalam sebuah ujian 10. Jika terdapat 5 soal
terdapat 10 soal, dari
nomor 1 sampai 10. ujian. Peserta didik
peserta ujian wajib
mengerjakan soal nomor diminta mengerjakan 3
1, 3, dan 5 serta soal
lainnya mengerjakan 8 dari 5 soal tersebut. Jika
dari 10 soal yang
tersedia. Banyak cara soal nomor 1 wajib
peserta ujian memilih
soal yang dikerjakan dikerjakan. Berapa
adalah...
banyak cara peserta
C = 7! =21 cara
didik dapat mengerjakan
5! 7−5 !
soal tersebut?

C = 2! 4! !=6 cara
4−2

11. Dalam suatu kolam ikan, 12. Dalam suatu kolam ikan,
terdapat 5 ikan koi dan 4 ikan terdapat 5 ikan koi dan 4 ikan
mujair. Pak Ali akan mujair. Pak Ali akan
memancing 1 ikan dari dari memancing 2 ikan dari kolam
kolam tersebut. Berapa tersebut. Berapa banyaknya
banyaknya cara pak Ali cara pak Ali mendapatkan 1
mendapat 1 ikan koi? ikan koi dan 1 ikan mujair?

5 ikan koi=5 cara 5×4= 20 cara

13. Dalam suatu kolam ikan, terdapat 5 ikan koi dan 4 ikan

mujair. Pak Ali akan memancing 2 ikan dari kolam tersebut.

Berapa banyaknya cara pak Ali mendapatkan ikan yang sama?

C = 2! 5! ! + 2! 4! ! =10+6=16 cara
5−2 4−2

Soal 14 sama dengan 13

15. Dalam suatu kolam 16. Dalam suatu kotak
ikan, terdapat 5 ikan terdapat 5 bola hijau
koi dan 4 ikan mujair. dan 4 bola merah.
Pak Ali akan Akan diambil 2 bola
memancing 3 kali dari secara acak. Berapa
kolam tersebut. Berapa banyak cara memilih 1
banyaknya cara pak Ali bola hijau dan 1 bola
mendapatkan minimal merah?
1 ikan koi?
5×4=20 cara
C = 8! =28 cara

2! 8−2 !

17. Dalam suatu kotak 18. Dalam suatu kotak
terdapat 5 bola hijau terdapat 5 bola hijau
dan 4 bola merah. dan 4 bola merah.
Akan diambil 3 buah Akan diambil 3 buah
bola secara acak. bola secara acak.
Berapa banyak cara Berapa banyak cara
memilih 2 bola hijau memilih ketiganya
dan 1 bola merah? merah?

C = 5! × 4! C = 4! =4 cara

2! 5−2 ! 1! 4−1 ! 3! 4−3 !

=10×4=40 cara

19. Dalam suatu kotak 20. Dalam suatu kotak
terdapat 5 bola hijau
terdapat 5 bola hijau dan 4 bola merah.
Akan diambil 2 buah
dan 4 bola merah. bola secara acak.
Berapa banyak cara
Akan diambil 3 buah memilih warnanya
sama?
bola secara acak.
C = 5! + 4! =10+6
Berapa banyak cara
2! 5−2 ! 2! 4−2 !
memilih minimal 2
=16 cara
merah?

C = 2! 4! ! ×
4−2
5! + 4!
1! 5−1 ! 3! 4−3 !

=6×5+4=34 cara



No. Pertanyaan Ya Tidak
V
1 Apakah kalian tahu yang dimaksud V
aturan perkalian? V
V
2 Apakah kalian tahu yang dimaksud
aturan penjumlahan? V

3 Apakah kalian tahu yang dimaksud V
dengan faktorial?

4 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalahan dengan menggunakan
aturan perkalian?

5 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalahan dengan menggunakan
aturan penjumlahan?

6 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalahan dengan menggunakan
konsep faktorial?

No. Pertanyaan Ya Tidak
V
1 Apakah kalian tahu yang dimaksud V
permutasi? V
V
2 Apakah kalian tahu yanh dimaksud
permutasi dengan pembatasan? V

3 Apakah kalian tahu yang dimaksud V
dengan permutsi siklis?

4 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalahan dengan menggunakan
konsep permutasi?

5 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalahan yang terkait permutasi
dengan pembatasan?

6 Apakah kalian dapat menyelesaikan
permasalah yang terkait permutasi
siklis?