บูรณาการ อนุวัฒน์

ค�ำ นำ�ชจสหกกงึัาบาอลรตจดกักพำ�ิ าคสแตเรัฒปลผตูาปน็มอ้น่รนฏงปทอก์นกิรยร่ีสาาูปับร่าะ�ำ งศกมกนยาึกาาัก่งิรศตษงทศนราาีผ่ึกฐนแยี ษู้เหาบครนา่งยีณัตตชนระาาวสมตกิชาแิรยาแผะชวลนทพีิชะพรพา(ชวฒัปรงีพะวนศตรชึกาา้อ.เษช)ศงาพบรไธดษัญ.ศิก้รฐญา.ับกร2ตักิจ5ไิกาแ6ดราล2้กพระเำ�อพสฒั หางัือ่ชนนคสวีาดมอใศใหแดหกึ ห้คษม้ ง่ลาี อ้ ง

คซอคใเรนธิดณึ่งียริบมแนิตปู ลาีเศนแยนะาบรอื้วำ�สาหเธิบคสตยกาณหนวรตานชิพ์ะรอาผา่วสมเื้นนยจู้แอจฐอ้ืกดัลนุดาหาทะนปอรมาำ�ยอรเสรแี่าจะาายีผงชสึงรนหนีพไงะดลคกทน้ดาร์า่เีำ�กหรำ�าเหเสยเมนรวนลยีานิ ิชาะอนกยาสเทนาทสมรบี่ื้อ่เี มปจูรหรดัน็ณารทกถาสำ�ากนาหราระปนระรฏังททาสบิย่ีเักหอืตัวษเมิชิจระาารยีกะแิงนรสลโะวดะมบิชยคกวาจำ�ับนดั ผกทู า�ำ ร
เนสกั มเรอยีมนา คนณักศะผกึ ษูจ้ ดัาททุก�ำ ทข่าอนขทอไี่ บวคว้ ณุางผใจู้บหรนิหังารสสือถขาอนงศสึกำ�นษักาพคมิรอูพาด์จว้ารยยด์ี

สารบัญ 154
หน่วยท่ี9 155
157
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 165

แบบทดสอบกอ่ นเร่ียน
พสิ ัย
สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
เเบบทดสอบหลังเร่ียน

154แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

1. ขอ้ ใดใช้การวดั การกระจายของข้อมลู
ก. ค่าเฉล่ียเลขคณิต ข. มัธยฐาน
ค. ฐานนิยม ง. พิสยั
จ. ความถี่สะสม

2. ค่าใชจ่ า่ ในแต่ละวนั ของขวัญใจ คือ 60 62 65 40 70 บาท จงหาวา่ พสิ ยั ตรงกบั ข้อใด
ก. 6 ข. 5 ค. 10 ง. 20 จ. 30

3. ถา้ ข้อมลู ชุดหนงึ่ มคี า่ ต่ำ�สดุ คอื 23 และพสิ ยั เท่ากับ 17 จงหาค่าสงู สุดของขอ็ มลู คอื ขอ้ ใด
ก. 6 ข. 10 ค. 20 ง. 30 จ. 40

4. ถ้าข้อมุลทุกค่าเหมือนกัน แสดงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือข้อใด
ก. -1 ข. 0 ค. 1 ง. 2 จ. หาไม่ได้

5. ในเวลา 7 วัน สมพงษ์เก็บเงินออมได้ 25 20 26 21 23 24 22 บาท จงหาว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตร
ฐานของเงินออม คือขอ้ใด
ก.1 ข. 2 ค.3 ง. 4 จ. 5

6. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 3 จำ�นวน 5 ตัว 5 จำ�นวน 3 ตัว และ 10 จำ�นวน 2 ตัว จงหาว่า
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล คือข้อใด

ก. 2.65 ข. 3.42 ค. 4.16 ง. 5.84 จ. 7.00

7. จากข้อมูลในข้อ 6. พิสัยมีค่าเท่ากับข้อใด จ. 8
ก. 2 ข. 5 ค. 6 ง. 7

8. คะแนนสอบของนักเรียน 20 คน ดังนี้

คะแนนสอบ 1 4 5 6 7 8 9
จำ�นวนคน 1 3 4 4 3 3 2

จงหาวา่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับขอ้ ใด จ. 8.00
ก. 1.92 ข. 2.82 ค. 4.31 ง. 7.78

9. ตารางแจกแจงความถ่ี ของจ�ำ นวนสนิ ค้าทีต่ ัวแทนจ�ำ หน่ายของรา้ นคา้ แห่งหน่งึ จ�ำ หนา่ ยไดใ้ น
หนง่ึ สปั ดาห์
จำ�นวนสนิ คา้ (ชิ้น) จำ�นวนคน

1-3 1
4-6 3
7-9 6
10-12 4
13-15 2

จงหาพิสัยของจ�ำ นวนสนิ คา้ คอื ขอ้ ใด ง. 15 จ. 16
ก. 5 ข. 8 ค. 14

10. จากข้อ 9. จงหาสว่ นเบยี่ งเบนใาตรฐานเท่ากบั ข้อใด จ. 75.08
ก. 3.23 ข. 8.56 ค. 10.41 ง. 64.71

155

พสิ ยั (Range)

พสิ ยั คอื คา่ ทไ่ี ด้จากผลกระทบต่างระหว่างข้อมลู ทม่ี คี า่ สงู สุดกบั ข้อมูลท่มี คี ่าตำ�่ สดุ
1.1 การหาพสิ ัยของขอ้ มลู ท่ีไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี
x - xพิสยั =
xเมอื่ max เป็นค่าสงู สุดของขอ้ มลูmax min

xเมอื่ min เป็นคา่ ต่�ำ สุดของขอ้ มลู
ตัวอยา่ งที่ 1 จากการสมั ภาษณ์เก่ยี วกบั ความสามารถในการพมิ พ์ดีดภาษาไทย คิดเปน้ จ�ำ นวนค�ำ ต่อ

นาทีของนักเรยี นระดบั ชน้ั ปวช. ชนั้ ปที ี่1 จ�ำ นวน 6 คน ดังน้ี 30 40 35 32 45 และ 38 จงหาพิสยั

แนวคิด ตรวจสอบคา่ สงู สดุ และค่าต�ำ่ สดุ สาระน่ารู้ พิสัยเหมาะส�ำ หรบั ข้อมลุ ทีไ่ ม่มีคา่ ใดค่าหนึ่งสูงกว่าหรือต่�ำ กว่า

x xวิธที �ำ พิสยั = -max min
= 45 - 30

พสิ ัย = 15 คำ�ตอ่ นาที

แสดงความสามารถในการพิมพด์ ดี ภาษาไทย คิดเป็น

จำ�นวนค�ำ ตอ่ นาทขี องนกั เรยี น ปวช.1 จ�ำ นวน 6 คนน้ี นกั เรยี นท่ีพมิ พ์ไดส้ งู สดุ นน้ั พิมพไ์ ด้สงู สดุ น้ัน

พมิ พ์ได้มากกว่านกั เรียนทพ่ี ิมพไ์ ดต้ ่ำ�สุดอยู่ 15 ค�ำ ต่อนาที

1.2 การหาพิสยั ของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่
พิสัย = ขอบบนของอนั ตรภาคชั้นของคะแนนสงู สดุ - ขอบลา่ งของอนั ตรภาคช้นั ของคะแนน

ต�ำ่ สุด

ตวั อย่างท่ี 3 เงินเดือนของพนักงานจำ�นวน 50 คน ของบริษัทแหง่ หน่ึง มีการแจกแจงความถี่

เงนิ เดอื น (บาท) จำ�นวนพนกั งาน

3,500-3,999 5

4,000-4,499 8

4,500-4,999 10

5,000-5,499 15

5,500-5,999 6

6,000-6,499 4

6,500-6,999 2

N=50

แนวคิด ตอ้ งหาขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคช้นั แรกและชั้นสดุ ท้าย

วิธีท�ำ จากสูตรพิสัย = ขอบบนของอันตรภาคชั้นของคะแนนสูงสุด-ขอบล่างอนั ตรภาคชัน้ ของคะแนนต�่ำ สดุ
อันตรภาคชน้ั ของเงินเดือนสงู สุด คือ ชว่ ง 6,500 - 6,999 บาท ซึ่งมีขอบบนเท่ากับ 6,999.5 บาท
อนั ตราภาคช้นั ของเงินเดือนตำ่�สดุ คือช่วง 3,500 - 3,999 บาท ซึ่งมีข้อบนเทา่ กับ 3,499.5 บาท
จะไดพ้ ิสยั = 6,999.5 - 3,499.5
= 3,500 บาท
ดังน้นั พิสัยของเงนิ เดอื นพนกั งานทงั้ 50 คนน้ีเทา่ กบั 3,500 บาท
แสดงว่า เงนิ เดือนพนกั งาน 50 คน ในบรษัทแห่งน้ี พนกั งานทีไ่ ด้รับเงินเดือนสงู สดุ ไดร้ ับ
มากกวา่ พนกั งานท่ไี ด้รับเงินเดือนตำ่�ทส่ี ดุ เท่ากับ 3,500 บาท

157

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน เปน็ การวดั การกระจายของขอ้ มลู วธิ ีหนง่ึ ซง่ึ ไดจ้ ากการน�ำ ข้อมลู ทกุ ๆ
คา่ มาคำ�นวณ และเป็นวธิ ีที่นักสถิตินิยมใช้กันมาก เนอื่ งจากค่าทไ่ี ดม้ คี วามละเอยี ดถกู ตอ้ งแลกน่า
เช่อื ถอื ไดม้ ากทสี่ ดุ รวมทั้งสามารถน�ำ ไปใช้ในการวเิ คราะหข์ ้อมลู สถิติในข้นั สงู ตอ่ ไป

สญั ลักษร์ท่ีใชแ้ ทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อาจใช้ S หรือ S.D. หรือ Q แต่ในท่นี ี้จะใช่ S
การแปรปรวน (Variance)
ความแปรปรวน คอื สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานกำ�ลังสอง
เมอื่ S แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
จะได้ S2 แทนความแปรปรวน
สตู ร การหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานทไ่ี ม่แจกแจงขอ้ มูล

ตวั อยา่ ง จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชุดนี้ 5,7,9,5,10,8,12
วิธที �ำ
1) หาคา่ เฉลี่ยของข้อมูล
2) หาคา่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน(S.D.)ของข้อมลู ชดุ น้ี มีค่าเท่ากบั 2.5820

หมายเหตุ *
เมอ่ื นำ�ค่าส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานมายกกำ�ลงั สอง จะเรยี กวา่ ค่าความ

แปรปรวนคา่ ความแปรปรวน(Variance : )

แบบทดสอบหลังเรยี น

จ1กขคง......2จ211101ง798หาพสิ ัยของข้อมูลต่อไปน้ี 168 ,153 ,167 ,149 ,152 ,148 ,163 ,161 ,169 ,150
2คจขงก......51927จ1งหาพสิ ยั จากข้อมลู ต่อไปน้ี 4, 7, 2, 5 และ 9
3.

งจจกคข.า....3ก493290ต00ารางแจกแจงความถ่ีของขอ้ มลู แสดงคะแนนและจำ�นวนของนกั เรยี น จงหาพิสัยของข้อมลู

4. 5ข7จ5121151ง179้อ.ห....ม97802886า981ูล0คข8ว7อาง7มน9แักป8ศ0รกึป8ษ6ราว8ทน5่ใี ข8ช1อบ้ ง7รข4ิกอ้ า7มร7หลู คอ้ ืองสขมอ้ ใุดดในระยะเวลา 10 วัน ของนักเรียนกลุ่มหนึง่ เป็นดังน้ี
กงคขจ.....

5. 7ข4555...้อ421ม75366ูลข87อง7น9กั 8ศ0กึ 8ษ6า8ท5ีใ่ 8ช1้บ7ร4ิกา7ร7หจอ้ างกสขม้อุดมใลู นจรงะหยาะสเว่วลนาเบ1ย่ี0งวเบันนขมอางตนรกั ฐเรานยี นขอกงลขมุ่ อ้หมนลู ึง่ คเอืปขน็ ้อดใงัดน้ี
ขคก...

6. ขอ้ มลู คะแนน ของนกั เรยี นกลุม่ หนึง่ เปน็ ดังน้ี

39783
จงหาความแปรปรวนของขอ้ มลู คือข้อใด
ก. 1.56
ข. 6.40
ค. 12.72
ง. 5.16
จ. 25.20

7กขคงจ......214ขจ233....ง2.2อ้2539ห85ม1337าูลสค8ว่ ะ3นแเนบน่ยี งขเบองนนมกั าเตรรยี ฐนากนลขุม่ อหงนขอ้ึ่งมเปูล็นคดอื ขังนอ้ ้ีใด

8. 8เใ9687ทน70406่ากกาับรส1อ6บผคู้ทรีส่ ัง้ อหบนไึ่งดม้คผีะแ้เู ขนา้ นสสอบูงส3ดุ คเทน่ากปบั รขาก้อฏใดวา่ คา่ เฉล่ียเลขคณติ เท่ากับ 67 มธั ยฐาน เทา่ กับ 65 และพิสยั
กขจคง.....

จงคขก9......2ส121876.5.่ว15...น5545เบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู 6, 12, 9, 10, 6 และ 8 ตรงกับข้อใด

จงคขก1.0....3.4021ความแปรปรวนของขอ้ มูล 2, 2, 2, 2, 2 ตรงกบั ข้อใด

แบบฝึกหัดของการวัดการกระจายสัมพทั ธ์

1 จากการส�ำ รวจขอ้ มูลการใช้ยางรถยนต์สองชนดิ ปรากฎวา่
ยางรถยนต์ชนิดทหี่ นึ่งมีอายกุ ารใชง้ านนาน 32 ,28,34,48,23 เดือน
ยางรถยนต์ชนดิ ท่ีสองมอี ายกุ ารใชง้ านนาน 30,55,42,20,36,33 เดอื น
เใถบด้านสมมว่ คี นาณุ ตเบภรี่ยฐาพงาเนกบขานรอมใงชากต้งาารรนฐใชดาน้ยีกาวขง่าอชงนกดิ ารทใี่สชอย้ งาเงทช่านกดิับแ1ร0ก.8เทเา่ดกือบั น2จ.2งพเดิจอื านรณแาลวะ่าสย่วานงชเบน่ียิดง
วิธีท�ำ
อายุเฉลย่ี ของยางชนิดท1ี่ =32+28+34+48+235=33เดอื น
อายุเฉลี่ยของยางชนิดท่ี2=30+55+42+20+36+336=36เดอื น
สัมประสิทธขิ์ องการแปรผันยางชนดิ ท่ี1=2.233=0.07
สัมประสทิ ธ์ิของการแปรผันยางชนดิ ที2่ =10.836=0.3
ดคณุังนภนั้ าพอดายีกุกวา่ารใชย้ างชนดิ ที่ 1 มีการกระจายน้อยกว่าชนดิ ที่ 2 นัน่ คือยางชนดิ ที่ 1 มี

สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล(์ Quartile deviation ; Q.D. )

สแต่วกนตเบ่าี่ยงรงะเบหนวคา่ งวคอวไทอไลท์ คลือท์ ค่ี 3่า(ทQีใ่ ช3ว้ )ัดแกลาะรคกรวะอจไทายลทท์ ่ีห่ี 1าไ(Qด้จ1า)กครึ่งหน่ึง ของความ

ส่วนเบ่ยี งเบนควอไทล์ (Q.D.) = Q3 - 2Q2

ตวธิวั ทีอยำ�า่ ง เจหรงายี หตงา�ำขสแ้อห่วมนนูลเง่จบาี่ยกงQนQเบ3อ้3นย==คไ1ป4ว32มอ(ไา7ทก+ล1ไ์)ด(Q้ด=งั.D43น.(ี้)48จ,) 5า=ก, 67ข,อ้ 9ม,ูล101,01,25,,145, 9, 12, 17, 7

หาต�ำ แหนง่ Q1 = 541 (7+1) = 41 (8) = 2
Q1 =

เพราะฉะนั้น (Q.D.) = 122-5 = 3.5

ตัวอย่างท่ี จงหาสว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์จากตารางแจกแจงความถตี่ ่อไปน้ี
คะแนน 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
ความถ ี่ 10 20 11 12 21 6

วิธีทำ� จะได้ Q1 = 57
Q2 = 71.2

ดังนั้น ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ (Q.D.) = Q3 - Q1 = 71.2 - 57
22

= 7.10

บรรณานกุ รม

กมลชนก พพิ ัฒนชยั นนั ท์. (2538). การเปรยี บเทียบผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี น
คณิตศาสตรข์ อง นักเรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 ทไ่ี ดร้ บั การฝกึ ความ
สามารถดว้ ยจ านวนเหตุผล และมติ ิ สัมพันธ์ในชว่ งเวลาท่ีแตกตา่ ง
กัน. วทิ ยานพิ นธ์ ค.ม. (การมธั ยมศกึ ษา). กรุงเทพฯ: บณั ฑิต วทิ ยาลยั
จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย. ถ่ายเอกสาร. กติกา สุวรรณสมพงศ.์ (2541). การ
เปรียบเทียบผลสัมฤทธท์ิ างการเรยี น ความคงทนในการเรยี นรู้ และเจตคติ
ตอ่ วิชาคณติ ศาสตร์เรือ่ งเวลา และเงนิ ของนักเรยี นชั้นประถมศึกษาปีที่ 1โดย
ไดร้ บั การสอนแบบวรรณีทีใ่ ช้แบบฝึกหดั ท่ีสร้างข้นึ กบั แบบฝึกหดั ในหนงั สอื เรียน.
ปรญิ ญา นิพนธ์ กศ.ม. (การประถมศึกษา). กรงุ เทพฯ : บัณฑิตวิทยาลัย
มหาวทิ ยาลยั ศรีนครนิ ทรวโิ รฒ. ถา่ ยเอกสาร. เกอื้ จติ ต์ ฉมิ ทิม. (2532)
. เอกสารประกอบการสอนวิชา 215 322 หลักสตู รและการสอนคณติ ศาสตร์
ระดับประถมศึกษา .ขอนแกน่ : คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแกน่ . ก่ิง
ฟ้า สนิ ธวุ งษ์. (2547) . ค่มู อื อาจารยก์ ารพฒั นาการเรยี นทเ่ี น้นผูเ้ รยี นเปน็ ส าคัญ
.ขอนแก่น : หจก .โรงพิมพ์คลงั นาวทิ ยา. กิตตนิ ันท์ แวงค า. (2549).
การเปรยี บเทียบความร้สู ึกเชงิ จ านวนผลสมั ฤทธท์ิ างการเรยี น และความพึง
พอใจต่อการเรยี นคณติ ศาสตร์ เรื่อง เงนิ และการหารของนักเรียนชั้นประถมศึกษา
ปีที่ 2 ท่ีเรยี น ดว้ ยแผนการจัดการเรยี นรู้โดยใช้แบบฝกึ พฒั นาความรู้สกึ เชิง
จ านวนกับแผนการจัดการเรียนรู้ ปกติ. วิทยานพิ นธ์ กศ.ม. (การวดั ผลการ
ศึกษา) . มหาสารคาม: บัณทติ วิทยาลยั . มหาวทิ ยาลยั มหาสารคาม . ถ่าย
เอกสาร. กระทรวงศกึ ษาธิการ (2555). หนังสือเรียนคณติ ศาสตร์ ชั้นประถมศึกษา
ปที ี่ 2. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พค์ รุ ุสภา. .................. (2555). หลกั สตู รแกน
กลางการศึกษาข้ึนพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครงั้ ท่ี 1. กรงุ เทพฯ :
โรงพิมพค์ ุรสุ ภาลาดพรา้ ว. ...................