1.5 สับเซต (Subsets)

สบั เซต (Subsets)

เซต A เปน็ สบั เซตของ B กต็ ่อเมอ่ื สมาชิกทุกตัวของเซต A
เปน็ สมาชิกของเซต B เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A⊂B

เซต A ไม่เปน็ สบั เซตของ B กต็ อ่ เม่ือ มสี มาชกิ อย่างนอ้ ย
หนงึ่ ตัวของเซต A ทไี่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซต B เขยี นแทนด้วย
สญั ลกั ษณ์ A⊄B

ตวั อยา่ ง

1. กาหนดให้ A = {1, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5},

จากแผนภาพจะเหน็ วา่ สมาชกิ ทง้ั หมดของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
ดงั นั้นเซต A เป็นสบั เซตของเซต B เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ A ⊂ B

ตวั อยา่ ง

2. กาหนดให้ A = {a, b, d}, B = {a, b, c, e, f}

จากแผนภาพจะเหน็ วา่ สมาชกิ ทงั้ หมดของเซต A ไม่เปน็ สมาชกิ ของเซต B
ดังนัน้ เซต A ไม่เป็นสบั เซตของเซต B เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A ⊄ B

ตวั อย่าง

3. ถ้า A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6},
D = {4, 5, 6, 7} จงบอกว่าเซตใดเปน็ สบั เซตของเซต A

และเซตใดไม่เปน็ สับเซตของเซต A พร้อมทัง้ ใหเ้ หตผุ ล

B⊂A เพราะสมาชิกท้ังหมดของเซต B เปน็ สมาชกิ ของเซต A
C⊂A เพราะสมาชกิ ทงั้ หมดของเซต C เป็นสมาชกิ ของเซต A
D⊄A เพราะ มสี มาชกิ หน่ึงตวั ของเซต D ไม่เป็นสมาชิกของเซต A

ซงึ่ สมาชิกน้ันคือ 7

ตัวอย่าง

4. ถ้ากาหนดให้ A = {2, 3, 4} และ B = {4, 2, 3}

จงบอกว่าเซตใดเปน็ สบั เซตของเซตใดบ้าง พรอ้ มท้งั ให้เหตุผล

}A⊂B เพราะสมาชกิ ทงั้ หมดของเซต A เปน็ สมาชิกของเซต B A = B

B⊂A เพราะสมาชิกทัง้ หมดของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A

ข้อสงั เกต ถา้ A⊂B และ B⊂A แลว้ A = B

ตัวอย่าง
5. ถ้า A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4, 5},
D = {2, 3, 4, 6} จงบอกวา่ เซตใดเปน็ สับเซตของเซตใดบ้าง
พรอ้ มท้ังใหเ้ หตผุ ล
A⊂C เพราะสมาชกิ ท้ังหมดของเซต A เป็นสมาชิกของเซต C
B⊂C เพราะสมาชกิ ทง้ั หมดของเซต B เป็นสมาชิกของเซต C
A⊂B เพราะสมาชิกท้ังหมดของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
A=B
}B⊂A เพราะสมาชิกท้ังหมดของเซต B เปน็ สมาชิกของเซต A
ดังนน้ั จะกล่าวได้วา่ A⊂B และ B⊂A แลว้ A =B
หรืออาจกลา่ วไดอ้ กี อย่างหนึ่งว่า A=B แลว้ A⊂B และ B⊂ A

ตัวอย่าง
6. จงหาสบั เซตของเซตทีก่ าหนดให้
4. D มสี มาชิก 4 ตวั มที ง้ั หมด1…6…เซต = 24
1. A = {1} 25
สบั เซตทง้ั หมดของเซต A คอื ∅, {1} จานวนสบั เซตของเซต D
จานวนสบั เซตของเซต A มีทัง้ หมด 2 เซต = 21 5. E มสี มาชกิ 5 ตัว
2. B = {1, 2} มีทัง้ หมด.3..2…เซต =
จานวนสบั เซตของเซต E
สบั เซตทง้ั หมดของเซต B คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2} 6. F มสี มาชิก n ตัว
จานวนสบั เซตของเซต B มีทัง้ หมด 4 เซต = 22 จมาที นัง้ วหนมสดบั…เ…ซ2…ตn…ข…อ.ง.เเซซตต F
3. C = {1, 2, 3}
ส{1บั ,เซ3ต},ทงั้{ห2ม, ด3ข}อ, งเซ{1ต, C คือ ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2},
2, 3} จานวนสบั เซตของเซต C 8 เซต = 23
มที งั้ หมด

การหาจานวนสับเซต ถ้าเซต A
มสี มาชิกเทา่ กบั n ตวั
A มสี มาชกิ 1 ตวั จานวนสับเซตของเซต A มีทง้ั หมด…=……2…1……=……2.…เซต แล้วจานวนสบั เซต
B มสี มาชกิ 2 ตวั จานวนสบั เซตของเซต B มที ้งั หมด…=……2.…2…=…….4.…เซต ท้ังหมดของเซต A
C มสี มาชิก 3 ตัวจานวนสบั เซตของเซต C มีทั้งหมด…=……2..…3…=…….8.…เซต เทา่ กับ 2n เซต
D มีสมาชิก 4 ตวั จานวนสบั เซตของเซต D มีทงั้ หมด…=……2…4……=……1.6…เซต

E มสี มาชกิ 5 ตัวจานวนสบั เซตของเซต E มที ง้ั หมด=………2…5……=……3.…2.เซต
F มีสมาชิก n ตัว จานวนสบั เซตของเซต F มีท้ังหมด……………2…n….….…เซต
G มสี มาชกิ 0 ตัว จานวนสบั เซตของเซต G มีท้ังหมด…=……2……0…=………1เซต

สับเซตแท้ สบั เซตแท้
คอื
7. จงหาสับเซตและสับเซตแท้ของเซตที่กาหนดให้ สับเซตทไ่ี มใ่ ช่
1. A = {a} เซตของตวั มนั เอง
สสับับเเซซตตแททงั้ หข้ อมงดเซขอตงเAซตคAอื คือ ∅ , {a} มี 2 เซต จานวนสบั เซตแท้
∅ มี 1 เซต
2. B = {a, b} เทา่ กับ 2n -1 เซต
สับเซตทงั้ หมดของเซต B คอื ∅, {a}, {b}, {a, b} มี 4 เซต
สับเซตแท้ของเซต B คอื ∅, {a}, {b} มี 3 เซต
ส3สับบั. เเCซซตต=แททง้ั หข้{aอม,งดเbซขอต, งcเCซ}ตคCอื ∅ค,ือ∅{a,}, ม{aี ,8bเ,ซตc}
{{ab},},{b{c},},{c{a},, {ba},, b{a},, {ca},, c{b},, {cb},มcี 7}, เซต

สับเซตแท้

ถา้ A  B และ B  A แลว้ A = B
แต่ถา้ A  B และ B  A แลว้ A ≠ B

จะเรยี กเซต A ซงึ่ A  B และ A ≠ B
วา่ A เปน็ สบั เซตแทข้ อง B

สรปุ ได้วา่ กาหนดA และ B เป็นเซต
1. A เป็นสับเซตแทข้ อง B ก็ตอ่ เม่ือ A  B และ A ≠ B
2. A ไมเ่ ปน็ สบั เซตแทข้ อง B กต็ อ่ เมื่อ A  B และ A = B

คาถาม

ถ้า A เท่ากบั เซตวา่ งสามารถหาสบั เซต
และสบั เซตแทไ้ ดห้ รอื ไม่

A=∅
สับเซตของ A คือ ∅
ไม่มสี ับเซตแท้ของ A

การหาจานวนสับเซตทม่ี ีสมาชกิ n ตวั

A = {0, 1, 2, 3} จานวนสบั เซตของ A = 24 = 16

สับเซตของ A ที่มีสมาชกิ 0 ตัว คือ…∅……. มีจานวน 1 เซต
สับเซตของ A ทีม่ สี มาชกิ 1 ตวั คือ{…0…}…,…{…1…}…,{…2……}…,{…3…}. มีจานวน 4 เซต
สับเซตของ A ท่มี สี มาชกิ 2 ตัว คอื {…0…,…1…}…,{…0…,2……},…{…0…,3…}…,…{1…,…2…}…,{…1…,…3…}…,{…2…,3……} มจี านวน 6 เซต
สับเซตของ A ทมี่ ีสมาชกิ 3 ตวั คือ{…0…,…1…,2……},…{…0…,1…,…3…}…,{…0…,…2…,3…}…,{…1…,…2…,3……}มีจานวน 4 เซต

สับเซตของ A ท่มี ีสมาชกิ 4 ตัว คือ…{0……,1.…,2…,…3…} มีจานวน 1 เซต

การหาจานวนสับเซตที่มสี มาชกิ n ตัว

กาหนด B = {0, 1, 2, …, 9} จงหาจานวนสบั เซตของ B ซ่งึ มีสมาชิก 5 ตัว

! = − ( − ) …
5! =

==

สูตร =

= 252

จานวนสบั เซตของ B ซึ่งมสี มาชกิ 5 ตวั มจี านวน 252 สับเซต

แรงบันดาลใจ สูค่ วามสาเรจ็

“การเรียนรเู้ ปรยี บเหมอื นการพายเรอื ทวนน้า
การปล่อยใบพายรานา้ ไม่อาจทาให้ก้าวหน้าได้ ”

สุภาษติ จนี