MODUL AJAR
Kelas : X
SMA Cita Mulia
Disusun oleh :
nurmala, m.Pd
ppg dalam jabatan kategori 2
universitas pgri palembang
DAFTAR ISI i
Kata Pengantar ii
Daftar Isi 1
BaB 1. Nilai Mutlak 3
Definisi Nilai Mutlak 3
Persamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan Nilai Mutlak 3
Latihan soal
BAB 2. Pertidaksamaan Rasional dan Irasional 4
Pertidaksamaan Rasional 5
Pertidaksamaan Irasional 6
Latihan Soal 7
BAB 3. Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV) 8
Peta konsep 9
Bentuk Umum
Solusi Menyelesaikan SPLTV 10
Latihan Soal 11
BAB 4. Relasi dan Fungsi 14
Fungsi Komposisi 16
Fungsi Invers 17
BIOGRAfi 18
20
iii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah, Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya,
sehingga penulis dapat menyelesaikan modul ajar. Tak lupa juga mengucapkan
shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar
Muhammad SAW, karena berkat beliau, kita mampu keluar dari kegelapan
menuju jalan yang lebih terang.
Kami ucapkan juga rasa terima kasih kami kepada pihak-pihak yang mendukung
lancarnya modul ajar ini yaitu orang tua kami, rekan-rekan kami, dan masih
banyak lagi yang tidak bisa kami sebutkan satu per satu.
Adapun,modul ajar’ ini telah selesai kami buat secara semaksimal dan sebaik
mungkin agar menjadi manfaat bagi pembaca yang membutuhkan informasi dan
pengetahuan mengenai Mater MAtematika kelas X
Dalam modul ini, tertulis materi ajar, contoh, soal serta latihan soal yang bisa
digunakan untuk siswa/i kelas SMA X Matematika Wajib.
Kami sadar, masih banyak luput dan kekeliruan yang tentu saja jauh dari
sempurna tentang modul ini. Oleh sebab itu, kami mohon agar pembaca memberi
kritik dan juga saran terhadap karya buku ajar ini agar kami dapat terus
meningkatkan kualitas modul ini khususnya. dan modul yang lain secara umum
Demikian modul ajar ini kami buat, dengan harapan agar pembaca dapat
bermanfaat bagi masyarakat dalam arti luas. Terima kasih.
Tangerang Selatan, Mei 2022
nilai mutlak
PPG DALAM JABATAN KATEGORI 2
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
PETA KONSEP
NILAI MUTLAK
Konsep Nilai mutlak Persamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan Nilai mutlak
BAB 1. NILAI MUTLAK
URAIAN MATERI
KONSEP NILAI MUTLAK
DEFINISI NILAI MUTLAK
Nilai mutlak bilangan x dinotasikan | x | didefinisikan sebagai berikut.
| x | = jarak x dari titik nol pada garis bilangan secara formal.
Nilai mutlak x didefinisikan dengan atau bisa dituliskan
| x | = x Jika x > 0
| x | = - x Jika x < 0
Jarak -5 dari 0 adalah 5, sehingga | - 5 | = 5. Jarak 5 dari 0 adalah 5, sehingga
|5|=5
PERSAMAAN NILAI MUTLAK
Adalah fungsi yang variabelnya didalam tanda mutlak.
x, jika x > 0
f(x) = | x |
-x, jika x < 0
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Sifat - sifat pertidaksamaan nilai mutlak :
Jika | x | > a , maka x < -a atau x > a
Jika | x | a , maka x -a atau x a
Jika | x | < a , maka -a < x < a
Jika | x | a , maka -a x a
BAB 1. NILAI MUTLAK
LATIHAN SOAL
Tentukan hasil penyelesaian dari :
a. 3 x | -4 | + | 12 - 23 | = ......
b. | -3 x 5 | + |32 + (-20) | = ......
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. | 3x - 12 | = -3
b. | x + 2 | = | 2x - 5 |
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. | 3x - 6 | > 12
b. | 6x - 1 | < 17
" jika kamu tidak tahan sulitnya belajar. maka kamu
akan merasakan pahitnya kebodohan "
PERTIDAKSAMAAN
RASIONAL DAN
IRASIONAL
PPG DALAM JABATAN KATEGORI 2
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
Pertidaksamaan Rasional
dan Irasional
URAIAN MATERI
PERTIDAKSAMAAN RASIONAL
Pertidaksamaan Rasional (pecahan) adalah pertidaksamaan yang memiliki
pembilang dan penyebut. Dimana antara pembilang atau penyebut memuat
variabel.
BENTUK UMUM :
f(x) dengan g(x) 0
g(x)
Langkah - langkah penyelesaian :
1.Ruas kanan harus dijadikan nol
2.ruas kiri dibuat pecahan yang paling sederhana
3.tentukan nilai pembuat nol fungsi pada pembilang dan penyebutnya
4.simpan nilai pembuat nol fungsi pada langkah ketiga dan buat pada garis
bilangan , serta tentukan tanda "+" atau "-" nya
5.tentukan penyelesaiannya
Contoh soal : 0
tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 7
x-4
Penyelesaian :
x+7=0 x-4 0
x = -7 x4
+++ ------ +++
-7 4
Himpunan penyelesaian adalah { -7 x < 4 }
Pertidaksamaan Rasional
dan Irasional
URAIAN MATERI
PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL
Pertidaksamaan Irrasional (bentuk akar) adalah pertidaksamaan yang variabelnya
berada di dalam tanda akar, pertidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan cara
mengkuadratkan kedua ruasna.
BENTUK UMUM :
f(x) > a berlaku juga untuk tanda dan
f(x) < a
Syarat :
1.f(x) 0
2.kuadratkan kedua ruas
f(x) > g(x) berlaku juga untuk tanda dan
f(x) < g(x)
Syarat :
1.f(x) 0
2.g(x) 0
3.kuadratkan kedua ruas
Contoh soal :
tentukan penyelesaian dari 4x + 1 > 5
Penyelesaian : 2. kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
Syarat :
4x + 1 > 25
1.f(x) 0
4x + 1 0 4x > 24 HP = {x > 6}
x -1/4 x>6
-1/4 6
BAB 1. NILAI MUTLAK
LATIHAN SOAL
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
x+8 <0
4x - 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
x + 6x + 8 > 0
x-4
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
5x - 25 10
" jika kamu tidak tahan sulitnya belajar. maka kamu
akan merasakan pahitnya kebodohan "
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR TIGA VARIABEL
PPG DALAM JABATAN KATEGORI 2
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
PETA KONSEP
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
TIGA VARIABEL
Solusi Sistem Persamaan Persamaan Linear Tiga Variabel
Linear Tiga Variabel
Metode Eliminasi
Metode Substitusi
Metode Eliminasi dan Substitusi
Metode Determinan
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
URAIAN MATERI
PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
DEFINISI
Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) adalah suatu persamaan linear yang
melibatkan tiga variabel.
Bentuk Umum Keterangan :
a, b, c, d, x, y, dan z E R
ax + by + cz = d a adalah koefisien variabel x
b adalah koefisien variabel y
c adalah koefisien variabel z
d adalah konstanta
x, y, danz adalah variabel
Agar kalian bisa lebih paham mengenai konsep persamaan linear tiga variabel.
perhatikan contoh soal berikut.
Contoh
Tentukan solusi. penyelesaian dari PLTV, x + y + z = 4 dengan x, y, da z adalah
bilangan bulat non negatif.
Pembahasan :
PLTV
x + y + z = 4 mempunyai titik - titik pojok pada bidang datar dimensi tiga xyz
sebagai berikut :
untuk x = 0, y = 0, dan z = 4
untuk x = 0, y = 4, dan z = 0
untuk x = 4, y = 0, dan z = 0
Jadi, (0, 0, 4); (0, 4, 0) ; (4, 0, 0) merupakan penyelesaian khusus dari PLTV diatas.
seperti terlihat pada grafik dibawah ini
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
URAIAN MATERI
jika kita mencermati lebih dalam untuk nilai-nilai z, yaitu pada daerah arsiran pada
grafik diatas yaitu ada sebanyak 2G1atmitbikapre1nyelesaian.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
URAIAN MATERI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
DEFINISI
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu sistem persamaan
linear yang melibatkan tiga variabel.
Bentuk Umum Keterangan :
a, b, c, d, x, y, dan z E R
a1x + b1y + c1z = d1 a1, a2, dan a3 adalah koefisien variabel x
a2x + b2y + c2z = d2 b1, b2, dan b3 adalah koefisien variabel y
a3x + b3y + c3z = d3 c1, c2, dan c3 adalah koefisien variabel z
d1, d2, d3 adalah konstanta
x, y, dan z adalah variabel
SOLUSI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
A. ELIMINASI
B. SUBSTITUSI
C. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI
D. DETERMINAN MATRIKS
Untuk lebih memahami solusi diatas, perhatikan contoh berikut:
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan
menggunakan metode eliminasi dan substitusi
3x + 7y + 2z = 8
4x + 2y - 5z = -19
6y - 4z = 14
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
URAIAN MATERI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Pembahasan
3x + 7y + 2z = 8 ...... Persamaan 1
4x + 2y - 5z = -19 ...... Persamaan 2
6y - 4z = 14 ....... Persamaan 3
Langkah 1 : Eliminasi persamaan 1 dan 2
3x + 7y + 2z = 8 |x4| 12x + 28y + 8z = 32
4x + 2y - 5z = -19 |x3| 12x + 6y - 15z = -57
22y + 23 z = 89 ...... Persamaan 4
Langkah 2 : Eliminasi persamaan 3 dan 4
6y - 4z = 14 |x11| 66y - 44z = 154
22y + 23z = 89 |x3| 66y + 69z = 267
-133z = -133
z=1
Langkah 3 : substitusi z = 1 ke persamaan 3 Langkah 4 : substitusi z = 1, y = 3, ke
6y - 4z = 14 persamaan 1
6y - 4(1) = 14 3x + 7y + 2z = 8
6y - 4 = 14 3x + 7(3) + 2(1) = 8
6y = 14 + 4 3x + 21 + 2 = 8
6y = 18 3x = 8 - 23
y = 18/6 x = - 15 / 3
y=3 x = -5
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {-5, 3, 1}
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
URAIAN MATERI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
METODE DETERMINAN MATRIKS
3x + 7y + 2z = 8 ...... Persamaan 1
4x + 2y - 5z = -19 ...... Persamaan 2
6y - 4z = 14 ....... Persamaan 3
Langkah 1 : Ubah bentuk SPLTV diatas kedalam bentuk matriks,
372 x 8
4 2 -5 y -19
0 6 -4 z 14
Langkah 2: Bentuk matriks D, Dx, Dy, Dz
3 72 8 72 38 2
D= 4 2 -5 ; Dx = -19 2 -5 ; Dy = 4 -19 -5
6 -4
0 14 6 -4 0 14 -4
3 78
Dz = 4 2 -19
6 14
0
Langkah 3:
x = Dx y = Dy z = Dz
DD D
dari proses penyelesaian determinan didapat
x = -5, y = 3, z = 1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
LATIHAN SOAL
Himpunan penyelesaian dari :
3x + 2y - z =8
4x - y + 2z = 10
3x + 3y - 5z = 2
Sebuah toko alat tulis menyediakan spidol aneka warna. Perbandingan antara
banyak spidol biru dan spidol merah adalah 3:4. Perbandingan antara banyak
spidol merah dan spidol hitam adalah 4:5. Jumlah ketiga jenis spidol tersebut
adalah 430 buah. Susunlah informasi tersebut menjadi sistem persamaan
linear tiga variabel (SPLTV) yang menyatakan hubungan ketiga jenis spidol?
Harga 3 buku tulis, 2 pensil dan 3 bolpoin adalah Rp. 15.700, dan harga 2
buku tulis dan 3 pensil adalah Rp. 9.200 sedangkan harga 4 pensil dan 3
bolpoin adalah Rp. 11.000 Jika Budi ingin mebeli 2 buku tulis, 1 pensil dan 1
bolpoin, maka Budi harus membayar sebanyak....
" jika kamu tidak tahan sulitnya belajar. maka kamu
akan merasakan pahitnya kebodohan "
RELASI DAN FUNGSI
PPG DALAM JABATAN KATEGORI 2
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
RELASI DAN FUNGSI
KOMPOSISI FUNGSI
DEFINISI
Komposisi fungsi (o) adalah kejadian dimana fungsi f yang memetakan anggota x ke y,
dilanjukan oleh fungsi g yang memetakan dari y ke z. atau bisa dikatakan dengan suatu
metode yang digunakan untuk menggabungkan atau mensubstitusikan fungsi
x yz
f g
1 ad
2 be
3c
gof
f(x) = y atau f = {(x,y)}
g(y) = z atau g = {(y,z)}
sehingga :
1.(g o f) (x) = g(f(x))
2.(f o g) (x) = f(g(x))
nb : (f o g)(x) dibaca "f bundaran g" atau "f komposisi g"
SIFAT-SIFAT KOMPOSISI FUNGSI
Misal f : A -> B, g : B -> C, dan h :C -> D, maka :
(g o h ) o f = g o (h o f) ------> Sifat Assosiatif
f o g g o f -------> Tidak Komutatif
Mempunyai fungsi identitas I (x) = x dan sifat komutatif terhadap fungsi identitas
Iof=foI
RELASI DAN FUNGSI
KOMPOSISI FUNGSI
CONTOH SOAL
Diketahui f(x) = 2x+3 dan g(x) = 4x + 1. Hasil dari (f o g)(x) adalah .....
Penyelesaian :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(4x+ 1)
= 2(4x+1)+3
= 8x+2+3
= 8x + 5
Diketahui f(x) = 3x - 9 dan (f o g)(x) =9x +3. Nilai dari g(2) adalah .....
Penyelesaian :
(f o g)(x) =f(g(x)) = 9x+3 nilai dari g(2) = 3 (2) + 4
3g(x)-9 = 9x + 3 = 6 + 4 = 10
3g(x) = 9x +3 + 9
3g(x) = 9x + 12
g(x) = 9x + 12
3
g(x) = 3x + 4
Diketahui f(x) = x + 1, g(x) = 3x, h(x) = x2. Buktikan bahwa (f o g) o h(x) = f o (g o h)(x)!
Penyelesaian :
(f o g) o h(x) f o (g o h)(x)
(f o g)(x) = (f(g(x)))
(g o h)(x) = g (h(x)
= (3x +1)
(f o g) o h(x) = 3x2+1 = 3x2
f o (g o h)(x) =3x2 +1
HASILNYA SAMA
RELASI DAN FUNGSI
INVERS FUNGSI
DEFINISI
Invers fungsi (f-1(x)) adalah kebalikan dari fungsi f(x) yang juga merupakan sebuah
fungsi.
SYARAT FUNGSI MEMILIKI INVERS
f(x) harus merupakan fungsi bijektif
grafik fungsi tidak boleh membalik
CONTOH INVERS FUNGSI
Dari berbagai cara penyajian :
DIAGRAM PANAH B A B
a
A -1
h
1h a
1
2b 2b
3c
3c
PASANGAN BERURUTAN
Berlaku Df = Rf-1
Berlaku Rf = Df-1
Contoh :
f = {(1,5), (2,8),(3, 10),(4, 13)}
f-1 ={(5,1), (8,2),(10,3),(13,4)}
RUMUS FUNGSI
Berlaku f(x) = a, maka inversnya
f-1(a) = x
Contoh :
1.Tentukan invers dari fungsi f(x) = 4x + 5
Penyelesaian :
f(x) = 4x + 5 f-1 (x) = x - 5
y = 4x + 5 4
4x + 5 = y
4x = y - 5
x=y-5
4
RELASI DAN FUNGSI
LATIHAN SOAL
Diketahui f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 6x – 1. Hasil dari (fog)(x) adalah …..
Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua
tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan
kertas setengah jadi dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang
menghasilkan kertas jadi. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan
setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 2x-1 dan mesin II mengikuti
fungsi g(x)=x^2-3x, dengan x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam
satuan ton. Fungsi yang menyatakan jumlah kertas yang dihasilkan oleh
produksi tersebut adalah …..
Nilai (n) peserta diklat dipengaruhi oleh keaktifan selama kegiatan di dalam
kelas, ditentukan oleh rumus n(A)=(3A+22)/4. Keaktifan peserta diklat
bergantung pada banyaknya program kegiatan (P), ditentukan oleh rumus A(P) =
4P+6. Jika Zikro adalah seorang peserta diklat yang mampu melaksanakan 80%
dari 25 kegiatan yang ada dalam diklat tersebut, maka nilai yang diperoleh Zikro
adalah
" jika kamu tidak tahan sulitnya belajar. maka kamu
akan merasakan pahitnya kebodohan "
RELASI DAN FUNGSI
BIOGRAFI PENULIS
Penulis dengan nama lengkap Nurmala, lahir pada tanggal 13 Agustus 1994 di
Kota Depok, Jawa Barat. Ia merupakan lulusan Sarjana dari Universitas Islam
Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Jurusan Pendidikan Matematika dan
melanjutkan studi Magister di Universitas Indraprasta PGRI (Unindra)
Jurusan Pendidikan MIPA.
Pada saat ini, penulis mengajar di Sekolah di daerah Pamulang, Tangerang Selatan, Provinsi
Banten. Penulis mengajar Matematika di SMP - SMA Cita Mulia dan mengampu kelas
tujuh(7), sepuluh(10), sebelas (11), dan duabelas (12).
Besar harapan penulis, semoga modul ini bisa bermanfaat untuk banyak orang. dan bisa
menjadi referensi untuk siswa dalam belajar, untuk guru sebagai bahan ajar yang diberikan
kepada siswa, dll.
Salam Hormat
Nurmala