เรขาคณิตวิเคราะห์ ครูแบล็ค

เรขาคณิตวิเคราะห์

analytic geometry

ระยะหา่ งระหว่าง ระบบ ระยะหา่ ง จดุ กงึ่ กลาง
เส้นตรงคู่ขนาน พกิ ัดฉาก ระหว่างจุดสองจุด ของสว่ นขอเสน้ ตรง

สองเส้น ความรู้เบ้ืองตน้ พกิ ัดของจุดแบง่
เกี่ยวกบั เรขาคณิต จดุ เดยี วของเส้นตรง
ระยะหา่ งระหวา่ ง
เสน้ ตรงกบั จุด จุดตัดของ
เสน้ มัธยฐาน
สมการ
ของเส้นตรง เส้นขนาน ความชัน
ของเส้นตรง
เส้นตงั้ ฉาก

ระบบพกิ ดั ฉาก

rectangular coordinate system

7

รวม

ฒื

เนญpAOsงBด a

• แกน X อย่ใู นแนวระดบั เรยี กวา่ แกนนอน ( horizontal axis )
• แกน Y อย่ใู นแนวด่ิง เรียกวา่ แกนตงั้ ( vertical axis )
• จดุ กาเนิด (origin) คือ จดุ ท่ีแกนทงั้ สองตดั กนั แทนดว้ ย 0
• พิกดั รว่ ม (coordinate) คือตาแหนง่ ของจดุ ใดๆ บนระนาบโดยท่วั ไปเราเขียน

คอู่ นั ดบั ใด ๆ ในรูป (x, y)เม่ือ xแทนจานวนท่ีอย่บู นแกน X และ y แทนจานวนท่ี
อย่บู นแกน Y
x หมายถงึ ระยะท่ีนบั บนแกน X เรยี กวา่ ระยะระดบั (abscissa)
y หมายถงึ ระยะท่ีนบั บนแกน Y เรยี กวา่ ระยะด่ิง (ordinate)

๊ิส้ืสู๊ฏ๊ึฏ๊ืฏ

ระยะหา่ งระหวา่ งจุดสองจุด

1)เสน้ ตรงขนานกบั แกน x
= 2 − 1

2)เสน้ ตรงขนานกบั แกน y
= 2 − 1

3)เสน้ ตรงไมข่ นานกบั แกน x และ y
= 1 − 2 2 + 1 − 2 2

ลองคิด ลองทา
ระยะหา่ งระหว่างจุดสองจุด

Ex.1)เสน้ ตรงขนานกบั แกน x Ex.2)เสน้ ตรงขนานกบั แกน y Ex.3)เสน้ ตรงไมข่ นานกบั แกน x และ y

จงหาระยะระหวา่ งจดุ จงหาระยะทางระหว่างจดุ (5,4) จงหาระยะทางระหว่างจดุ (2,5)
(2,-3)และจดุ (7,-3)
และ จดุ (5,13) และ (9,5)

Sol = 2 − 1 Sol = 2 − 1 Sol = 1 − 2 2 + 1 − 2 2
= 7−2 = 13 − 2 = 9−2 2+ 5−5 2

=5 =9 = 49 + 0
=7

อา้ งอิง : https://sites.google.com/site/mathqueen1043/khwam-ru-beuxng-tn-keiyw-kab-rekhakhnit-sastr/raya-thang-rahwang-cud-sxng-cud

https://www.mathpaper.net/index.php/en/4/582-2018-05-25-09-59-24

ลองคิด ลองทา

ระยะหา่ งระหว่างจุดสองจุด

Ex.4) ABCD เป็นรูปสีเ่ หลย่ี มคางหมดู งั รูป โดยที่ BCยาว 8 หนว่ ย ถา้ จดุ A มีพิกดั เป็น (-4,0) จดุ B มีพิกดั เป็น
(-1,4) และพืน้ ทีข่ องรูปสเี่ หลี่ยมคางหมนู เี้ ทา่ กบั 48 ตารางหนว่ ย
จงหา 1) พิกดั ของจดุ C

2) ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง AB
3) พิกดั ของจดุ D

Sol จากรูปให้ จดุ C มีพกิ ดั (x,y) ซงึ่ จะเห็นวา่ จดุ C มีระยะทางตามแกน Y ยาว 4 หน่วย ดงั นนั้ จดุ C มีพกิ ดั เป็น(x,4)

ระยะทางจากจดุ B ไปยงั C มีค่าเท่ากบั 8 หน่วย น่นั คือ − −1 2 + 4 − 4 2 = 8 ดงั นนั้ x = -9 หรือ x = 7 แต่ความยาวติดลบไม่ได้ ดงั นนั้ x = 7
ดงั นนั้ พกิ ดั c คือ (7,4)
ยกกาลังสองทง้ั สองข้างเพอ่ื ใหร้ ูทหาย
+ 1 2 + − 4 2 = 64
2 + 2 + 1 = 64
2 + 2 − 63 = 0

แยกตวั ประกอบ

+ 9 − 7 = 0

อา้ งองิ : https://www.mathpaper.net/index.php/en/4/582-2018-05-25-09-59-24

จุดกง่ึ กลางของส่วนของเส้นตรง

จดุ กง่ึ กลาง คือ จดุ หนง่ึ ท่อี ยบู่ นตาแหน่งกง่ึ กลาง

ของสว่ นของเสน้ ตรง ซง่ึ อยหู่ า่ งจากจดุ ปลายทง้ั

สองเป็นระยะทางเทา่ กนั จดุ ก่งึ กลางของสว่ นของ

เสน้ ตรงบนระนาบ โดยท่มี ีจดุ ปลายอยทู่ ่ีพิกดั

1, 1 และ 2, 2 สามารถคานวณได้
จาก
1 + 2
= 2

= 1 + 2
2

ลองคดิ ลองทา
จุดกงึ่ กลางของส่วนของเส้นตรง

Ex.1) Sol จะไดว้ า่ = 1+ 2 = 1+4 = 5
2 2 2
ให้ 1 1, 1 = 1 1,2 และ 1 + 2 2 + 5 7
2 2, 2 = 2 4,5 = 2 = 2 = 2

ดงั นนั้ , = 5 , 7 5,7

22 22

น่นั คือ จดุ กึง่ กลางของเสน้ ตรง 1 2 คือ

อา้ งองิ : https://nockacademy.com/math/math-%E0%B8%A1-4/%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94-

%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B
8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C/

พกิ ัดของจดุ แบ่งจุดเดยี วของเส้นตรง

= 2 1 + 1 2
2 + 1

= 2 1 + 1 2
2 + 1

ลองคดิ ลองทา
พกิ ดั ของจุดแบง่ จุดเดยี วของเส้นตรง

Ex.1) จงหาพิกดั ของจดุ แบง่ Sol ✗ = V2✗ , + V. ✗ 2
ระหว่างจดุ (2,3) และ (6,9)
โดยแบง่ ระยะทางระหวา่ งจดุ 2 rz +
จดุ เป็นอตั ราสว่ น 3 : 5
= 5 (2) + 3 (6) = 7 tt

5 +3 2

= V2 เ + ชา 2

rz +

= 5 (3) + 3 (9) 21

5 +3 = lta

H µดงั นนั้ น่นั คือ จดุ แบง่ ครงึ่ (x,y) คือ 2
,

อา้ งองิ : สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ (ครูศภุ กร) เลม่ 2

ทูมุทุ

จุดตดั ของเส้นมัธยฐาน

จะหาพกิ ัดจากจุดตดั น้ัน หาไดจ้ าก

01 = + +


02 = + +


ลองคดิ ลองทา
จุดตดั ของเส้นมัธยฐาน

Ex.1 หาความยาวของเสน้ มธั ยฐานของรูปสามเหล่ียม ABC เมอ่ื กาหนดให้ พกิ ดั A, B และ C มพี ิกดั เป็น (3, 2), (1, -3) และ (5, -3)
ตามลาดบั

หาพิกดั จดุ a,b และ c หลงั จากหาพิกดั a,b และ c ไดแ้ ลว้ เราหา
ระยะห่างระหวา่ งจดุ กง่ึ กลางและจดุ ยอดดา้ นตรง
จดุ a : fy ำ× = 1 + 5
เ ขา้ มน่นั คือหาระยะห่างของ , และ
3 3)=-3 + ( - - =3 ซงึ่ ทงั้ สามเสน้ นีค้ ือเสน้ มธั ยฐานน่นั เอง

= =

,

2

3): a 13 -
.
,

3+5จดุ b : |✗ = =4 yi 2 + t 3) = -1 | |Aa = . ( 3- 3 +62- 1-3) = 25 5=
2
2 22

f):b l 4 - | 13b | ( [32 £- = q ÷ 25 36+25 = v61
, =
+-
y

จดุ c : Xg = 13--1 = | y2 = 2+1- 3) v gข 4 2
3
2 2 =± | | ป |Cc ±ำ=- ¢5- 2) -13 -

µะ Cf 2 - 2
,
= v9 +25 = ✓6T
4
2

อา้ งอิง :https://nockacademy.com/math/math-%E0%B8%A1-4/%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94-
%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0

%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C/

ุ้วุ้วุ้ว

ความชันของเส้นตรง

ความชนั ของเสน้ ตรง หาไดจ้ าก

01 = −
−

02 = −
−

ลองคดิ ลองทา
ความชันของเส้นตรง

Ex.1) จงหาความชนั ของเสน้ ตรง l ท่ีผ่านจดุ

1) (-1,-2) , (2,4)
2) (2,2) , (4,1)

Sol 1) yz y- 2) yiy 2
= ,
= ✗ 2- ✗ , X - Xz
เ
4- C- 2) = 2- 1
2- 4
2- C- 1)
=1
ง -2

=2 1 บวก ) = 1- 1 เ น ลบ) d
# 2 #

อา้ งองิ : สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม (ครูศภุ กร) เลม่ 2

ป็

เส้นขนาน &เส้นตงั้ ฉาก

• ถา้ l ขนานกบั l แลว้ m = m
1 2 12

• ถา้ m = m แลว้ l = l
12 12

• เสน้ ตรงสองเสน้ น้ไี มข่ นานกบั แกน Y จะขนานกต็ ่อเมอ่ื

ความชนั ของเสน้ ตรงทงั้ สองเทา่ กนั

• l ตงั้ ฉากกบั l กต็ อ่ เมอ่ื m ° m = -1
1 2 12

• m • m = -1 แลว้ l ตงั้ ฉากกบั l1 2
า2

ลองคดิ ลองทา
เส้นขนาน & เส้นตัง้ ฉาก

Ex.1) จงแสดงวา่ เสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ A Ex.2) จงแสดงวา่ จดุ A(-4,3) , B(-1,2) และ
(4,5) และ B (1,2) ขนานกบั เสน้ ตรงท่ีผา่ น C(2,11) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก
จดุ C (2,8) และ D(-2,4)
Sol ความชนั ของดา้ น AB คือ 3- 2 1

= -

- 4- 1- 1) 3

Sol ความชนั ของเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ AและB ความชนั ของดา้ น AC คือ 3- 11 4
= 5 2 =| - 4-2
=
4-1
3

ความชนั ท่ีผา่ นจดุ CและD ความชนั ของดา้ น BC คือ 2-11 =3

21---

= 8- 4 =1 จะเห็นวา่ ผลคณู ของความชนั ของดา้ นAB
2- f- 2) และBCเทา่ กบั -1

ดงั นนั้ เสน้ จรงท่ีผา่ นจดุ AและBขนานกบั เสน้ ตรงท่ี น่นั คือ ดา้ น AB ตงั้ ฉากกบั BC
ดงั นนั้ จดุ ทงั้ สามเป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมมมุ
ผา่ นจดุ CและD ฉาก
ข้อสังเกต ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ มีความชนั เทา่ กนั และมี
จดุ รว่ มกนั แลว้ เสน้ ตรงทงั้ สองจะเป็นเสน้ ตรงเดียวกนั

อา้ งองิ : หนงั สอื เรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ เลม่ 2

สมการของเส้นตรง

01 บอกความชนั มาตรงๆ พรอ้ มจดุ ผา่ น 02 รูปแบบความชนั และระยะตดั แกน

− 1 = − 1 = +

03 บอกระยะตดั แกนทงั้ สอง

สมการท่วั ไปของเสน้ ตรง คอื Ax+By+C = 0
+ = 1 ; , ≠ 0

ลองคิด ลองทา

สมการเส้นตรง

Ex.1) จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ Ex.2) จงหาสมการเสน้ ทมี่ รี ะยะตดั แกน Ex.3) จงหาสมการเสน้ ตรง l ท่ีมีระยะ

(-2,-1) และมคี วามชนั เทา่ กบั -3 y เทา่ กบั -4 และมคี วามชนั เป็น -2 ตดั แกน x = 3 ระยะตดั แกน Y = 4

Sol y-yi.me × - × . 1 Sol by = mx + [ §Sol
y = -2 ✗ + 1- 4) 1+ =
y - 1- 1) = 1- 3) 1 ✗ - 1-2)1 หอ
¥+
= 1 ; ณ12ตลอด

y + า = -3 ✗ -6 y = -2 ✗ -4

Y3 ✗ + +7 ะ 0 y2 ✗ + +4 0= 121 ¥ ) +12 f- } 1 ° 12

4 ✗ +3 Y = 12
4 ✗ +3 y -12=0

อา้ งอิง : สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ (ครูศภุ กร) เลม่ 2 และ https://youtu.be/QdHH5VkP0xc

ุหืรุคุ้ห

ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงกับจุด

= 1 + +
2 + 2

ลองคดิ ลองทา
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกบั จุด

Ex.1) ให้ l มสี มการ 4x+By+4=0 จงหาระยะหา่ งระหว่างจดุ

(2,1) กบั l
Sol d = 1 A ✗ + By + cl

= | |2 2
A +B
41 2) + 31 1) +4

42 + 2

3

= 15
5

= 3 ห วย #

อา้ งองิ : สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม (ครูศภุ กร) เลม่ 2

น่

ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น

= 2 − 1
2 + 2

ลองคดิ ลองทา
ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงคขู่ นานสองเส้น

Ex.1) จงหาระยะหา่ งระหว่างเสน้ คขู่ นานทม่ี ีสมการ 3x+4y+2 = 0 และ
3x-y-3 = 0

Sol d= | C. - Cd
=
= A 2+132 ห วย*
=
| |2- 1- 3)

ำำ3 - 1-4

15 1

25

§ =1

อา้ งองิ : สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม (ครูศภุ กร) เลม่ 2

น่

เครดิตขอ้ มลู

https://sites.google.com/site/mathqueen1043/khwam-ru-beuxng-tn-keiyw-kab-
rekhakhnit-sastr/raya-thang-rahwang-cud-sxng-cud

https://www.mathpaper.net/index.php/en/4/582-2018-05-25-09-59-24

สมดุ วชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม (ครูศภุ กร) เลม่ 2

https://nockacademy.com/math/math-%E0%B8%A1-
4/%E0%B8%88%E0%B8%B8%E0%B8%94-

%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E
0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%

B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C/

หนงั สือเรียนวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม เลม่ 2

https://youtu.be/QdHH5VkP0xc

คตปิ ระจาใจ
ในการใช้ชวี ติ

“
บ่อยครงั้ ทเ่ี รามกั เผลอเอาสายตาของคนอน่ื

มาเป็นเครอ่ื งวดั คณุ คา่ ของตวั เรา

จงรคู้ ณุ คา่ ในตวั เอง ”

ผลิต

น.ส.กณวรรณ แซต่ ัน
ม.4/2 เลขที่ 23

แพนทนี (สุดสวย)

เสนอแนะ

คณุ ครู ศภุ กร หนิเสะ

( ครูพ่ีแบลค็ )