เนื้อหาความชันของเส้นโค้ง

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคลู สั ( Calculus )

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์

เอกสารประกอบการเรียน ภาคเรียนที่ 1 ปี การศึกษา 2563

วิชาคณติ ศาสตร์เสริม 5 รหัส ค 33201 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6 ผู้สอน มสิ สุวนั เพญ็ / มิสธนัฐพร

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1
แคลคูลสั ( Calculuc )

12. ความชันของเส้นโค้ง

รูปที่ 1
จากรูปท่ี 1 เป็ นกราฟของเสน้ โคง้ y = f (x) จะเห็นวา่ ความชนั ของเส้นตรงท่ีลากผา่ นจุด P(x, f (x))
และ Q(x + h , f (x + h)) เทา่ กบั f (x + h) − f (x)

h

รูปท่ี 2

จากรูปท่ี 2 ถา้ จุด Q เคลื่อนเขา้ หาจุด P ตามแนวโคง้ y = f (x) (เม่ือกาหนดใหจ้ ุด P คงที่) จะเห็นวา่

h → 0 และเสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจุด P และQจะเป็นเสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ y = f (x)ณ จุด P(x, y) ดงั น้นั ความชนั ของ

เสน้ สัมผสั เส้นโคง้ y = f (x) ณ จุด P(x, y) ใดๆ คือ lim f (x + h)− f (x) = dy
h→0 h dx

1

โรงเรียนอัสสัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคูลสั ( Calculus )

บทนยิ าม ถา้ y = f (x) เป็นสมการของเส้นโคง้ เสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ ท่ีจุด P(x, y)

ใดๆ จะเป็นเสน้ ตรงท่ีผา่ น จุด P และมีความชนั เท่ากบั lim f (x + h)− f (x) = dy
h→0 h dx

จะเห็นวา่ การหาความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f (x)ณ จุด (x, y) ใดๆ กค็ อื การหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั f ที่ x

บทนยิ าม ความชนั ของเสน้ โคง้ y = f (x) ณ จุด (x, y) ใด ๆ ก็คอื ความชนั
ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = f (x) ณ จุด (x , y)

บทนิยาม ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จุดใดๆ

ถา้ y = f (x) เป็นสมการของเสน้ โคง้ แลว้

(1) ความชนั ของเสน้ โคง้ ที่จุด (x, y) ใดๆ = m = dy = f (x)

dx

(2) ความชนั ของเส้นโคง้ = ความชนั ของเส้นสัมผสั ที่จุดสมั ผสั = f (ax)

หมายเหตุ (ก) ความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจุด (a , b) = f (a)

(ข) ความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจุด ซ่ึงมีค่า x = a คอื f (a)

ขอ้ มลู ท่ีจะใชส้ าหรับการทาโจทยท์ ่ีเก่ียวกบั ความชนั ของเสน้ โคง้
(1) ถา้ เส้นตรง L ผา่ นจุด (x1, y1) และมีความชนั เทา่ กบั m แลว้ สมการของเสน้ ตรง L

คือ y − y1 = m(x − x1 )

(2) (ก) ถา้ เส้นตรงมีสมการเป็น y =  x +  แลว้ ความชนั = M = 

(ข) ถา้ เสน้ ตรงมีสมการเป็น Ax + By + C − 0 แลว้ ความชนั = M = − A

B

(ค) เส้นตรงท่ีเอียงทามมุ แหลมกบั แกน x ดา้ นบวก จะมีความชนั เป็นบวก
เส้นตรงท่ีเอียงทามุมป้านกบั แกน x ดา้ นบวก จะมีความชนั เป็นลบ
เสน้ ตรงท่ีขนานกบั แกน x จะมีความชนั เป็นศูนย์
เสน้ ตรงท่ีขนานกบั แกน y ค่าของความชนั หาคา่ ไม่ได้

(3) ถา้ m1เป็นความชนั ของเสน้ ตรง L1 m2เป็นความชนั ของเส้นตรง L2แลว้
(ก) L1ขนานกบั L2ก็ต่อเม่ือ m1 = m2
(ข) L1ต้งั ฉากกบั L2กต็ อ่ เมื่อ m1m2 = -1

ข้นั ตอน ในการหาความชนั ของเสน้ โคง้

ถา้ y = f (x) เป็นสมการเสน้ โคง้ เราจะหาความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (a1,b1) ไดต้ ามข้นั ตอน
ดงั น้ี 1. หา f (x)

2. หา f (a1 ) ซ่ึงค่าน้ีคอื ค่าความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (a1,b1) นนั่ เอง

2

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคูลัส ( Calculus )

ตวั อย่างที่ 1 จงหาความชันของเส้นโค้ง y = x2 − 3x ณ จดุ (3 , 0)
วธิ ีทำ
 y = x2 − 3x

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง y = 5 − x2 ทจี่ ุด ซ่ึง x = 1

2

วธิ ีทำ  y = 5 − x2

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาสมการเสน้ ตรงซึ่งสมั ผสั เสน้ โคง้ y = x2 + 2 ณ จุด x = 1

x

วิธีทำ  y = x2 + 2

x

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาสมการเสน้ ตรงทีล่ ากมาตั้งฉากกับเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ y = x2 + 2x + 5 ณจดุ (1 , 8)
วิธีทำ  y = x2 + 2x + 5

ตวั อยา่ งท่ี 5 ถ้าเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง y = x2 + 2x ขนานกบั เสน้ ตรง 4x − y + 5 = 0 จงหาจุดสัมผัส
วธิ ีทำ  y = x2 + 2x

ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาสมการเส้นตรงซงึ่ สมั ผัสเส้นโคง้ y = −4x + 2x2 − 3x4 ณ จดุ (1,−5)
วิธีทำ  y = −4x + 2x2 − 3x4

3

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคลู ัส ( Calculus )

ตัวอย่างที่ 7 ถา้ เส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง y = 2x2 − 3x +1 ณ จดุ (x1, y1) มคี า่ เทา่ กบั 5 แลว้ x1 + y1 มคี ่าเทา่ ไร
วิธที ำ  y = 2x2 − 3x +1

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาสมการเส้นตรงทีผ่ ่านจุด (0,6) และขนานกับเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ y = x2 − 3x3 โดยเส้นสัมผสั กับ

โคง้ ท่ีจดุ x = 1

วิธที ำ  y = x2 − 3x3 y = x2 + 2x

แบบฝึ กหดั ที่ 12

1. จงหาความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จุดท่ีกาหนดให้ พร้อมท้งั หาสมการของเส้นสัมผสั โคง้ ณ จุดน้นั

(1) y = 3x − 2 เม่ือจุดสัมผสั คอื (0 , -2) (2) y = x2 + 3 เมื่อจุดสัมผสั คอื (-1 , 4)

....................................................................... ..............................................................................

....................................................................... ..............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

(3) y = 5 + 4x − x2 เมื่อ x = 2 (4) y = 2 เมื่อ x = 1
.......................................................................
x +1

..............................................................................

....................................................................... ..............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

....................................................................... ...............................................................................

4

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวชิ า คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคลู ัส ( Calculus )

(5) y = x − 2 เม่ือ x = 3

x+3

................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
2. จงหาจุดสมั ผสั โคง้ y = 2x − x2 ที่ทาใหเ้ สน้ โคง้ มีความชนั เทา่ กบั 4
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
3. จงหาจุดสัมผสั โคง้ y = x2 + 3x − 2 ท่ีทาใหเ้ ส้นโคง้ มีความชนั เทา่ กบั 1
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................

4. จงหาสมการเสน้ สัมผสั โคง้ y = x2 + 3x ท่ีขนานกบั เส้นตรง x + y − 4 = 0
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
5. จงหาสมการเส้นตรงท่ีขนานกบั เส้นสมั ผสั โคง้ y = x2 + x − 3 ที่จุด (0 , 2) และผา่ นจุด (-1 , 1)
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................

5

โรงเรียนอัสสัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคูลัส ( Calculus )

6. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีขนานกบั เส้นสัมผสั โคง้ y = x3 − x +1และต้งั ฉากกบั เส้นตรง 2x + 4y = 5
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
7. จงหาสมการเสน้ ตรงที่ต้งั ฉากกบั เส้นสมั ผสั โคง้ y = 3x2 + x ท่ีจุด (1 , 4)
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
8. จงหาสมการเส้นตรงท่ีต้งั ฉากกบั เสน้ สมั ผสั โคง้ y = 4x3 − 2x เม่ือ x = 0
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
9. จงหาสมการเสน้ ตรงที่สัมผสั โคง้ y = x3 − 2 +1 และต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................

6

โรงเรียนอสั สัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวิชา คณิตศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เรื่องแคลคูลัส ( Calculus )

แบบฝึ กหัดทบทวน

1. กาหนดเสน้ โคง้ xy = 2 สมการของเส้นตรง ซ่ึงสมั ผสั เส้นโคง้ น้ีท่ีจุด (-1 , -2) คือขอ้ ใด
1. 2x – y = 0 2. x – 2y – 3 = 0 3. x + 2y + 5 = 0 4. 2x + y + 4 = 0

2. ถา้ เสน้ ตรง x − 4y −15 = 0 ซ่ึงต้งั ฉากกบั เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ xy = 4 ท่ีจุด (a , b) เม่ือ a และ b
เป็นจานวนลบแลว้ a + b คือขอ้ ใด
1. -4 2. -5 3. -6 4. -7

3. ถา้ (x0 , y0 ) เป็นจุดบนเส้นโคง้ y = x2 +1 และเส้นสมั ผสั ท่ีจุด (x0 , y0 ) น้ีขนานกบั เส้นตรง y = 6x + 8
จงหาวา่ x0 + y0 มีค่าตรงกบั ค่าในขอ้ ใดต่อไปน้ี
1. 13 2. 14 3. 27 4. 73

4. จงหาระยะระหวา่ งจุดตดั แกน x และ y ของเส้นตรง ซ่ึงสมั ผสั เส้นโคง้ x2 − y2 = 3 ท่ีจุด (2 , 1)

1. 3 5 2. 4 5 3. 5 5 4. 6 5

2 2 2 2

5. เส้นตรง x + y = 2 จะสมั ผสั เสน้ โคง้ x2 = −8y ที่จุดใด

1. (4 , 2) 2. (4 , -2) ง. (-4 , 2) 4. (-4 , -2)

6. กาหนดใหจ้ ุด A(-1 , 4) เป็นจุดบนเสน้ โคง้ y = 4x2 เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด A ไปตดั แกน xที่จุด B เสน้ ตรงที่ต้งั

ฉากกบั เสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด Aไปตดั แกน x ที่จุด C จงหาวา่ พ้นื ท่ี ABC ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 62 ตารางหน่วย 2. 64 ตารางหน่วย 3. 65 ตารางหน่วย 4. 67 ตารางหน่วย

7

โรงเรียนอัสสัมชัญคอนแวนต์ เอกสารประกอบการเรียนวชิ า คณติ ศาสตร์เสริม 5 (ค33201) เร่ืองแคลคูลสั ( Calculus )

7. เสน้ โคง้ y = ax2 − bx + c ผา่ นจุด (1 , 2) และสมั ผสั กบั เสน้ ตรง y = x ที่จุดเร่ิมตน้ แลว้ คา่ ของ a – b – c คือ
คา่ ในขอ้ ใด
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

8. เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงสมั ผสั เส้นโคง้ ที่ y = x3 − 6x2 −15x ท่ีจุด (0 , 0)เสน้ สมั ผสั ดงั กล่าว จะไปตดั เส้นโคง้ อีก 1

จุดท่ีจุด (a , b) จงหาวา่ a + b มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

1. -84 2. -65 3. 12 4. 32

9. กาหนดเส้นโคง้ y = f (x) = ax2 + bx + c เม่ือ a , b และ c เป็นจานวนจริง ถา้ เสน้ โคง้ น้ีผา่ นจุด (1 , 2) และ
สมั ผสั กบั เส้นตรง y = x ที่จุดกาเนิด (0 , 0) แลว้ ความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจุดท่ีเส้นโคง้ น้ีตดั กบั เสน้ ตรง x – 1 = 0 มี
ค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด
1. -3 2. 3 3. -2 4. 2

3

10. กาหนด f (x) = 2x 2 − 2x3 + 3x2 −1 จงหาความชนั ของเสน้ สัมผสั ที่จุด (1 , 2) และสมการของเสน้ ตรงท่ีต้งั

x2

ฉากกบั เส้นสัมผสั น้นั ที่จุด (1 , 2)

1. ความชนั 1 และสมการเป็น y = −x + 3 2. ความชนั -1 และสมการเป็น y = x −1

3. ความชนั -5 และสมการเป็น y = 1 x + 9 4. ความชนั -1 และสมการเป็ น y = x +1

55

**************************************************************************

8